VŠB – Technická univerzita Ostrava Fakulta strojní Katedra pružnosti a pevnosti (339)
Pružnost a pevnost v energetice (Návody do cvičení)
Cvičení 11 (Creep a plasticita)
Autor: Jaroslav Rojíček Verze: 0 Ostrava 2009
PPE
Cvičení 11
1.
Základní předpoklady
V předchozích cvičeních jsme často předpokládali: lineární chování materiálu (Hookův zákon), obvykle platil princip superpozice sil a posunutí (napětí, deformace), změny polohy či tvaru byly vzhledem k velikosti součásti zanedbatelné a blízké nule (malé deformace), rychlost zatěžování byla dostatečně pomalá, aby bylo možno zanedbat dynamické jevy (statické zatěžování), pohybem se zabývaly předměty kinematika a dynamika, v úlohách byl „zanedbán“ vliv času na materiál součásti (creep, relaxace napětí, únava materiálu apod. ale také opotřebení atd.), tělesa měly ve všech bodech a směrech stejné vlastnosti (homogenní a isotropní materiál), chování anizotropních materiálů zde nebudeme rozebírat, v předchozích cvičeních jsme si přiblížili jednoduché výpočty ukazující vliv teplot, teploty mají samozřejmě vliv na chování materiálu (změny materiálových parametrů vlivem teploty jsou podrobněji rozebrány na přednáškách), Tyto předpoklady, důvody jejich zavedení, omezení apod. byly vysvětleny v předmětech statika, kinematika, dynamika, pružnost a pevnost I, nauka o materiálu. V následujících případech je potřeba zvážit zejména použití superpozice (plasticita, creep). V případech plasticity a creepu bývají často velké deformace, řeší se obvykle pomocí (MKP). Řešením velkých deformací se nebudeme zabývat, u následujících příkladů předpokládáme, že deformace jsou malé (zanedbatelné) vůči velikosti součásti.
2.
Řešené příklady na procvičení – Cv_11_Př_1 – plasticita Dáno: F, L, D (S), materiálové parametry
ØD L
F
Urči: Rozbor úlohy pro různé varianty aproximace tahového diagramu.
Obr. 1
Varianta a/: Nejjednodušší nahrazení tahového diagramu (viz Obr. 2): Závislost napětí – deformace ( σ – ε ) nahradíme: v oblasti do meze kluzu 𝜎 ≤ 𝑅𝑒 platí 𝜎 = 𝐸 ∙ 𝜀, 𝑅𝑒 v oblasti nad mezí kluzu 𝜀 > 𝜀𝑒 = 𝐸 platí 𝜎 = 𝑅𝑒, deformace roste nad všechny meze. Ideálně pružněplastický materiál (bez zpevnění). Materiálové parametry E, Re.
2/14
σ Re
εe
ε Obr. 2
PPE
Cvičení 11
Princip superpozice při zatěžování nad mezí kluzu Re neplatí, k vysvětlení je použit zjednodušený tahový diagram viz Obr. 3. Myšlenkový experiment: zatížení na Obr. 1 (sílu F) rozdělíme na dvě části, nejprve součást zatížíme silou FA, pak silou FB. Platí, že 𝐹 𝐹 𝐹 = 𝐹𝐴 + 𝐹𝐵 . Dále platí 𝜎𝐴 = 𝑆𝐴 , 𝜎𝐵 = 𝑆𝐵 viz Obr. 3. Z obrázku je také patrné, že v případě 𝜎𝐴 + 𝜎𝐵 > 𝑅𝑒 pak celkové napětí 𝜎𝐶 při zatížení silou F bude 𝜎𝐶 = 𝑅𝑒 ne 𝜎𝐴 + 𝜎𝐵 = 𝜎𝐶 ! Varianta b/: Nahrazení tahového diagramu (viz Obr. 4): σ E2 Re = + E1 εe Obr. 4
E1
σ σ A+ σ B σA
Re
Obr. 3
ε
ε
Závislost napětí – deformace ( σ – ε ) nahradíme: v oblasti do meze kluzu 𝜎 ≤ 𝑅𝑒 platí 𝜎 = 𝐸1 ∙ 𝜀, 𝑅𝑒 v oblasti nad mezí kluzu 𝜎 > 𝑅𝑒 platí 𝜀𝑒 = 𝐸 , 𝜎 − 𝑅𝑒 = 𝐸2 ∙ (𝜀 − 𝜀𝑒 ).
1
Tahový diagram se zpevněním. Materiálové parametry E1, E2, Re. Křivku lze také nahradit více než dvěma přímkami – multilineární materiálový model.
Varianta c/: Aproximace tahového diagramu pomocí paraboly vyššího řádu (viz Obr. 5) např.: 1
𝜎
𝜀=𝐴+
𝜎 𝐶 , 𝐵 𝐵
σ
𝜎 =𝐴∙𝜀 , Materiálové parametry A, B, C, …
Materiálové parametry je nutné určit z výsledků experimentu, lze využít hodnoty běžně udávané v tabulkách (Re – mez kluzu, Rm – mez pevnosti atd.).
Obr. 5
ε
3. Řešené příklady na procvičení – Cv_11_Př_2 – tah – staticky neurčitá úloha 2 1 α α
Dáno: L, D (S), α, F, E1, E2, Re. Urči: Reakce v závislosti na velikosti síly F.
D 3
L
A F
Obr. 6
Použijte variantu b závislosti napětí – deformace, uvažujte malé deformace. Samostatně variantu a závislosti napětí – deformace, uvažujte malé deformace.
3/14
PPE
Cvičení 11
Nejprve sestavíme rovnice rovnováhy, jedná se o soustavu prutů, které jsou zatěžovány pouze tahem (předpokládáme kladnou sílu F, zanedbáváme vlastní tíhu prutů apod.). K řešení použijeme styčníkovou metodu – uvolníme bod (styčník), kde se „stýká“ více než jeden prut (bod A). Schéma a výsledné rovnice jsou uvedeny v Tab. 1. Tab. 1. Schema: Rovnice: 1/ 0 = 𝐹𝑋 α α 0 = 𝑅1 ∙ sin 𝛼 − 𝑅3 ∙ sin 𝛼 → 𝑅1 = 𝑅3 R2 R R1 3 2/ 0 = 𝐹𝑌 0 = 𝐹 − 𝑅1 ∙ cos 𝛼 − 𝑅3 ∙ cos 𝛼 − 𝑅2 A 0/ 𝑀𝐴 = 0 Všechny síly mají k bodu A nulové rameno, rovnice je splněna F vždy Úloha je 1 staticky neurčitá, sestavíme tedy deformační podmínku. Nakreslíme bod A před (A) a po zatížení (A´) silou F. Musí se jednat o polohu, kterou připouštějí vazby v úloze. Nemusí to být poloha, která skutečně nastane (tu neznáme a teprve ji počítáme). Využijeme symetrie úlohy, řešení se tím zjednoduší (síly R1 a R3 mají stejnou velikost, rovněž pruty mají stejný průřez a jsou skloněny pod stejným úhlem). Schéma a výsledné rovnice jsou uvedeny v Tab. 2. Tab. 2. Schema: 3 A
3´
ΔL2 α A´
ΔL3
k
Vysvětlení a rovnice: Bod A se po zatížení posune do bodu A´. Předpokládáme, že úhly se po zatížení nezmění (malé deformace). Pak posunutí bodu A odpovídá prodloužení prutu 2 – ΔL2. Prodloužení prutu 3 – ΔL3 odpovídá posunutí bodu A v příslušném směru. Poloha bodu A po zatížení je dána bodem A´. Poloha bodu A před zatížením je dána průsečíkem kružnice k se středem v bodu D (viz Obr. 6) s prutem 3´ - po zatížení. Při malých deformacích se kružnice k změní v kolmici k prutu. Prodloužení ΔL2, prodloužení ΔL3 a kolmice k vytvoří pravoúhlý trojúhelník s úhlem α v bodu A´. Z toho plyne rovnice: 3/ ∆𝐿3 = ∆𝐿2 ∙ cos (𝛼)
Poslední částí je doplnění rovnic, které reprezentují chování materiálu. Přesněji jde o rovnice vyjadřující závislost prodloužení prutu na velikosti působící síly. Sloučíme tedy rovnice 𝐹 ∆𝐿 𝜎 = 𝑆 , 𝜀 = 𝐿 s rovnicí vyjadřující chování materiálu. Předpokládejme, že napětí nepřekročí 𝐹∙𝐿
𝑅3 ∙𝐿3
1
𝐸1 ∙𝑆
mez kluzu Re, tedy 𝜎 = 𝐸1 ∙ 𝜀, pak ∆𝐿 = 𝐸 ∙𝑆. Pro náš případ pak platí: ∆𝐿3 = 𝐿
𝑅 ∙𝐿
, ∆𝐿2 = 𝐸2∙𝑆 1
kde 𝐿3 = cos (𝛼). Po dosazení do rovnice 3/ získáme výslednou třetí rovnici: 𝐿 cos (𝛼 )
𝑅3 ∙
𝐸1 ∙𝑆
𝑅 ∙𝐿
= 𝐸2∙𝑆 ∙ cos 𝛼 → 𝑅3 = 𝑅2 ∙ cos 2 (α) a řešením soustavy rovnic získáme řešení: 1
𝐹∙𝑐𝑜𝑠 2 (𝛼)
𝑅1 = 𝑅3 = 1+2∙𝑐𝑜𝑠 3 (𝛼),
𝐹
𝑅2 = 1+2∙𝑐𝑜𝑠 3 (𝛼) (5). Nyní máme hotový první krok analýzy.
Porovnáním rovnic (5) zjistíme, že 𝑅2 ≥ 𝑅3 a tedy pro sílu 𝐹 ≤ 𝑅𝑒 ∙ 𝑆 ∙ (1 + 2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 3 (𝛼)) (6) 4/14
PPE
Cvičení 11
dosáhne napětí ve více zatíženém prutu 2 maximálně meze kluzu Re. Tuto mezní sílu nazveme FMAX1. Pro případ, že síla F přesáhne hodnotu FMAX1 ale napětí v prutech 1 a 3 nedosáhne meze kluzu, musíme vytvořit nové řešení. Rovnice rovnováhy (rovnice 1, 2)a deformační podmínka (rovnice 3) budou stejné. Všechny rovnice jsou v Tab. 3. Tab. 3 Rovnice rovnováhy: (1), (2) 𝑅1 = 𝑅3 0 = 𝐹 − 𝑅1 ∙ cos 𝛼 − 𝑅3 ∙ cos 𝛼 − 𝑅2 Deformační podmínka (3): ∆𝐿3 = ∆𝐿2 ∙ cos (𝛼) Závislost síla-prodloužení u prutu 3 (4) Stejné jako v předchozím případě: 𝐿 𝑅3 ∙ cos (𝛼) ∆𝐿3 = 𝐸1 ∙ 𝑆 Závislost síla-prodloužení u prutu 2 𝜎 − 𝑅𝑒 = 𝐸2 ∙ (𝜀 − 𝜀𝑒 ) 𝑅2 𝜎= 𝑆 ∆𝐿2 𝜀= 𝐿 𝑅2 𝐿 Výsledná rovnice: (5) ∆𝐿2 = 𝜀𝑒 ∙ 𝐿 + − 𝑅𝑒 ∙ 𝑆 𝐸2 Řešením soustavy rovnic (1), (2), (3), (4), (5) získáme reakční síly (proveďte samostatně). Toto řešení bude platit dokut napětí v prutu 1 a 3 nepřesáhne mez kluzu. Pro prut 3 𝑅 (nebo 1) tedy můžeme psát: 3 ≤ 𝑅𝑒 → 𝑅3𝑀𝑎𝑥 = 𝑅𝑒 ∙ 𝑆, po dosazení reakce R3 můžeme vyjádřit 𝑆 kritickou sílu FMAX2 podobně jako v předchozím případě (proveďte samostatně). Pokud síla F padne do intervalu FMAX1 - FMAX2 (𝐹 ∈ FMAX 1 , FMAX 2 ) pak v prutu 2 je napětí nad mezí kluzu a v prutech 1 a 3 napětí pod mezí kluzu. Překročí-li velikost síly F hodnotu FMAX2 překročí napětí v prutech 1 a 3 mez kluzu. Dále postupujeme stejným způsobem jako v předchozích dvou případech. Základní rovnice shrnuje Tab. 4. Tab. 4 Rovnice rovnováhy: (1), (2) 𝑅1 = 𝑅3 0 = 𝐹 − 𝑅1 ∙ cos 𝛼 − 𝑅3 ∙ cos 𝛼 − 𝑅2 Deformační podmínka (3): ∆𝐿3 = ∆𝐿2 ∙ cos (𝛼) 𝐿 𝑅3 𝐿 Závislost síla-prodloužení u prutu 3 (4) ∆𝐿3 = 𝜀𝑒 ∙ + − 𝑅𝑒 ∙ cos (𝛼) 𝑆 𝐸2 ∙ cos (𝛼) 𝑅2 𝐿 Závislost síla-prodloužení u prutu 2 (5) ∆𝐿2 = 𝜀𝑒 ∙ 𝐿 + − 𝑅𝑒 ∙ 𝑆 𝐸2 Dalším kritickým momentem může být překročení meze pevnosti. Při překročení meze pevnosti by došlo k porušení prutu (nejprve prutu 2). Řešili bychom staticky určitou úlohu (bez porušeného prutu 2) podobným způsobem jak je výše naznačeno.
5/14
PPE
Cvičení 11
4.
Řešené příklady na procvičení – Cv_11_Př_3 – ohyb Dáno: L, a,b - (J), F, E, Re Určete průběhy napětí v nosníku. L
F
Použijte variantu a závislosti napětí – deformace, uvažujte malé deformace.
Obr. 7 Při řešení tohoto případu znovu musíme začít z rovnic rovnováhy. Případ rozdělíme do tří částí: v první napětí v tělese nikde nepřekročí mez kluzu Re, ve druhé napětí v části tělesa (průřezu) překročí mez kluzu Re a ve třetím překročí napětí v celém průřezu v kritickém místě tělesa mez kluzu Re. Řešení prvního případu bylo podrobně probráno v pružnosti a pevnosti I a je shrnuto v Tab. 5 (také viz cvičení 1). Tab. 5 Příklad_1_ohyb Celé těleso MRA F R AX Proměnná x1 popisující polohu řezu v tělese se A mohou pohybovat v oblasti: x1 0; L . RAY x1 Průběh momentu
ohybového Moment v řezu: M ( x1 ) F x1
M
M
Extrém M MAX F L
+
x1
Rovnice rovnováhy v řezu: Odvození rovnic rovnováhy v řezu: M(x) Fix 0 , dS 0 tato rovnice je splněna σ umístníme-li počátek do těžiště plochy řezu.
M iy 0 ,
z dS 0 tato rovnice je splněna je-li deviační moment roven nule. M iz 0 , y dS M ( x) 0 z této
z
𝑀(𝑥)
rovnice odvodíme 𝜎 = 𝐽 𝑦, kde J je kvadratický moment plochy - osový. Průběh napětí v řezu
dS
b
y
x
σMAX
σ
x
Obr. 8
6/14
a
x=L
PPE
Cvičení 11
V dalším postupu můžeme využít znalosti o průběhu napětí po průřezu, viz Obr. 8. Pro sílu 𝑀 𝑏 𝐹𝑀𝐴𝑋 1 ∙𝐿 𝑏 FMAX1 dosáhne maximální napětí σMAX meze kluzu Re: 𝑅𝑒 = 𝜎𝑀𝐴𝑋 = 𝑀𝐴𝑋 ∙ = ∙2 a 𝐽 2 𝐽 𝑅𝑒 ∙𝐽 ∙2
z toho plyne: 𝐹𝑀𝐴𝑋 1 = 𝐿∙𝑏 . Překročí-li zatěžující síla F hodnotu FMAX1 , bude v části tělesa napětí odpovídající mezi kluzu Re. V následující Tab. 6 jsou zopakovány potřebné rovnice a naznačeno řešení pro sílu překračující hodnotu FMAX1. Hodnota c je vzdálenost od těžiště, ve které napětí dosáhne meze kluzu Re. Tab. 6 Chování materiálu: σ Re V oblasti do meze kluzu 𝜎 ≤ 𝑅𝑒 platí: 𝜎 = 𝐸 ∙ 𝜀. 𝑅𝑒 V oblasti nad mezí kluzu 𝜀 > 𝜀𝑒 = 𝐸 platí: ε 𝜎 = 𝑅𝑒, deformace roste nad všechny meze. ε e
Rovnice rovnováhy v řezu: Fix 0 - jako v předchozím případě.
M M
Re
iy
0 - jako v předchozím případě.
iz
0 až po hodnotu c bude průběh napětí
M(x) c
𝑅𝑒
stejný jako v předchozím případě (𝜎 = 𝑐 ∙ 𝑦), navíc zde přibude část odpovídající napětí na mezi kluzu Re. b c b 2 y dS 2 Re a c M ( x) 0 C 2 2
x
Po dosazení získáme rovnici (1): b b c c 2 Re 2 b 2 Re a c b 2 2 y dS 2 Re a c 2 Re a c M ( x) c C 2 3 2 2 2 Z rovnice (1) pak můžeme určit pro příslušnou sílu F a polohu x (M(x))hodnotu c. S rostoucím zatížením F se bude hodnota c zmenšovat až k mezní hodnotě c=0 mm. Situace, pro c=0, se nazývá plastický kloub a je popsána v Tab. 6. Tab. 7 Rovnice rovnováhy v řezu: MMAX Re Fix 0 - jako v předchozím případě.
M M
iy
0 - jako v předchozím případě.
0 - bude zde část odpovídající napětí na b b mezi kluzu Re: 2 Re a M MAX 0 4 2 iz
b2 b2 FMAX 2 Po úpravě získáme rovnici: Re a M MAX Re a 4 4 L
7/14
x
PPE
Cvičení 11
Po dosažení hodnoty F=FMAX2 se vytvoří plastický kloub, v našem případě nosník není schopen přenést větší sílu. U staticky neurčitých úloh pak řešíme novou úlohu s vloženým kloubem a momentem MMAX.
5.
Řešené příklady na procvičení – Cv_11_Př_4 – creep:
L
Dáno: L, D (S), F, t, materiálové parametry. Urči: Prodloužení tyče po čase t.
Obr. 8
Uvažujte pouze vliv síly F, ostatní vlivy zanedbejte (např. vlastní tíha).
ØD
F
Creep (tečení) se obvykle popisuje pomocí grafu závislosti poměrného prodloužení na čase (Obr. 9). Křivku lze rozdělit do tří částí: I – začátek tečení, materiál zpevňuje, ε rychlost deformace se zmenšuje. II – rychlost deformace je konstantní, tuto část budeme počítat, k popisu lze použít 𝑑𝜀 III Nortonův vztah 𝑑𝑡𝑐 = 𝐴 ∙ 𝜎 𝑛 , kde A, n jsou II materiálové parametry. I
III – začínají se projevovat lokální poruchy, zmenšování plochy průřezu až do lomu.
Obr. 9
t
Budeme počítat prodloužení tyče po čase t, zanedbáme vliv oblasti I (primární creep), zanedbáme vliv změny průřezu apod. Předpokládáme jednoosou napjatost – tah. Elastickou složku poměrného prodloužení budeme označovat 𝜀𝑒 , složku náležející creepu 𝜀𝑐 . Postup řešení je shrnut v Tab. 8. Tab. 8 𝑑𝜀𝑐 Nortonův vztah: = 𝐴 ∙ 𝜎𝑛 𝑑𝑡 Hookův zákon: 𝜎 = 𝐸 ∙ 𝜀𝑒 𝐹 Napětí při tahu: 𝜎= 𝑆 ∆𝑑𝑦 Definice poměrného prodloužení: 𝜀= 𝑑𝑦 Poměrné prodloužení: 𝐹 𝐹 𝑛 ∆𝑑𝑦 𝑛 𝜀 = 𝜀𝑒 + 𝐴 ∙ 𝜎 𝑑𝑡 = +𝐴∙ ∙𝑡 = (zatížení není funkcí času) 𝐸∙𝑆 𝑆 𝑑𝑦 (𝑡) 𝑛 𝐿 Prodloužení prutu: 𝐹 𝐹 ∆𝐿 = +𝐴∙ ∙ 𝑡 𝑑𝑦 (zatížení není funkcí polohy) 𝑆 0 𝐸∙𝑆 𝐹 𝐹 𝑛 ∆𝐿 = +𝐴∙ ∙𝑡 ∙𝐿 𝐸∙𝑆 𝑆 Řešení je v tomto případě jednoduché. Výsledné vztahy jsou nelineární, což značně komplikuje řešení staticky neurčitých úloh.
8/14
PPE
Cvičení 11
6.
Řešené příklady na procvičení – Cv_11_Př_5 – tah 2
1 α α
Dáno: L, D (S), α, F, t, materiálové parametry Urči: Určete reakce (soustavu rovnic). Určete posunutí bodu A
D 3
L
A Obr. 10
F
K řešení můžeme použít soustavu rovnic sestavenou v příkladu 2 (viz Tab. 1, Tab. 2). Závislost prodloužení – síla použijeme z Tab. 8 (creep). V následující Tab. 9 jsou příslušné rovnice se stručným popisem. Tab. 9. Schema: Rovnice: 1/ 𝑅1 = 𝑅3 α α R2 R 3
R1
2/
0 = 𝐹 − 𝑅1 ∙ cos 𝛼 − 𝑅3 ∙ cos 𝛼 − 𝑅2
A F
3 A
3/
∆𝐿3 = ∆𝐿2 ∙ cos (𝛼)
4/
∆𝐿2 =
5/
∆𝐿3 =
3´
ΔL2 α A´
ΔL3
k
Prodloužení prutů:
𝑅2 𝐸∙𝑆 𝑅3
+𝐴∙
+𝐴∙ 𝐸∙𝑆
𝑅2 𝑛 𝑆 𝑅3 𝑛 𝑆
∙𝑡 ∙𝐿 𝐿
∙ 𝑡 ∙ cos (𝛼)
Vidíme, že oproti příkladu 2 se změnily pouze rovnice 4 a 5. Řešením soustavy rovnic 1-5 získáme reakce R3, R2, R1, ∆𝐿2 , ∆𝐿3 . Posunutí bodu A odpovídá prodloužení prutu 2 - ∆𝐿2 .
9/14
PPE
Cvičení 11
7.
Řešené příklady na procvičení – Cv_11_Př_6 – Ohyb Dáno: L, a, b, F, t, materiálové parametry Urči: Určete napětí. Určete průhybovou čáru.
L F
Obr. 11 V tomto příkladu využijeme rovnice popsané v příkladu 3. Řešení je naznačeno v Tab. 10. Tab. 10 Rovnice rovnováhy v řezu: Odvození rovnic rovnováhy v řezu: M(x) Fix 0 , dS 0 tato rovnice je splněna σ umístníme-li počátek do těžiště plochy řezu.
M iy 0 , z dS 0 tato rovnice je splněna jeli deviační moment roven nule. M iz 0 , y dS M ( x) 0 Po úpravě 1/: 𝑀 𝑥 =
𝜎 ∙ 𝑦 ∙ 𝑑𝑆
deformace 𝑒 𝑐 : 𝜀 = 𝜀 𝑒 + kde
𝑑𝑡
𝑑𝜀
≈ 0 → 𝑑𝑡 =
𝑑𝜀 𝑐
𝑑𝜀 𝑒 𝑐 , 𝑑𝑡
=
𝑑𝜀 𝑒 𝑑𝑡
+
𝑑𝜀 𝑐 𝑑𝑡
1 𝑛
1
𝑦 𝑛 +1 𝑑𝑆
∙
=
1 𝑦𝑛
𝜌+𝑦 𝑑𝜑 −𝜌∙𝑑𝜑 𝜌∙𝑑𝜑
1 𝑛
1 𝑑 1 ∙ 𝐴 𝑑𝑡 𝜌
1 𝑦𝑛 1 𝑛
𝑦
=𝜌
ρ dφ b
y
Z pružnosti a pevnosti I (analytická metoda)
=𝜎
můžeme ještě doplnit 4/:
𝑦 𝑑 1 𝐴 𝑑𝑡 𝜌
a rovnici upravíme 5/:
1 𝑦𝑛
=
𝐿
𝑑2𝑤 𝑑𝑥 2
=
1 𝜌
kde w je průhyb.
Výsledkem je rovnice:
𝜎 ∙ 𝑦 ∙ 𝑑𝑆 =
1 𝑑 1 𝑀 𝑥 = 𝐴 𝑑𝑡 𝜌
∆𝐿
,
Napětí vložíme do rovnice 1/
𝑀 𝑥
x
𝑑𝑡 𝑑𝜀
𝑦 𝑑 1 𝐴 𝑑𝑡 𝜌
b
Poloměr křivosti 2/: 𝜀 =
Nortonův vztah 3/: 𝑑𝑡 = 𝐴 ∙ 𝜎 𝑛 Sloučíme vztahy 2/ a 3/: 𝑑𝜀 𝑑 𝑦 𝑑 1 = =𝑦 = 𝐴 ∙ 𝜎𝑛 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝜌 𝑑𝑡 𝜌 a z rovnice vyjádříme napětí:
𝑀 𝑥 =
dS y
Elastická složka deformace 𝜀 𝑒 , „creepová“ složka 𝑑𝜀 𝑒
z
a
1 𝑛
1 𝑀 𝑥 𝑛, ∙ 𝑦 𝐽∗ ∗ kde 𝐽 je charakteristika průřezu:
𝜎=
∙ 𝑦 ∙ 𝑑𝑆
∙ 𝑦 ∙ 𝑑𝑆 𝑦𝑑 1 = 𝐴 𝑑𝑡 𝜌
1
𝑦 𝑛 +1 𝑑𝑆.
𝐽∗ = 𝑆 1 𝑛
10/14
PPE
Cvičení 11
Vidíme, že výsledná rovnice je velmi podobná klasické rovnici pro výpočet napětí při ohybu. Kombinací rovnice 5 a rovnice 4 můžeme snadno sestavit také diferenciální rovnici pro tečení v ohybu, viz Tab. 11. Tab. 11. Sloučením a úpravou těchto dvou rovnic: Získáme: 1 𝑑 2 𝑑𝑤 𝐴 ∙ 𝑀(𝑥)𝑛 1 1 𝑑 1 𝑛 = , 𝑀 𝑥 = 𝑦 𝑛 ∙ 𝑦 ∙ 𝑑𝑆 𝑑𝑥 2 𝑑𝑡 𝐽∗ 𝑛 𝐴 𝑑𝑡 𝜌 kde 𝐽∗ je charakteristika průřezu: 𝑑2 𝑤 1 1 = 𝑑𝑥 2 𝜌 𝐽∗ = 𝑦 𝑛 +1 𝑑𝑆. 𝑆
Výsledné rovnice pro výpočet průhybu a napětí při creepu se od klasických rovnic příliš neliší, musíme mít ovšem na paměti, že neplatí princip superpozice.
8. Řešené příklady na procvičení – Cv_11_Př_7 – creep řešení jednoduchého nosníku q
Dáno: L, a, b, q, t, n, A. Urči:
L
Určete průhybovou čáru.
a b
Obr. 12
Postup bude stejný jako u úloh pružnosti a pevnosti I: Uvolnění a reakce (v některých případech k řešení reakce nepotřebujeme). Určení počtu řezů, volba souřadných systémů a sestavení rovnic vnitřních účinků. Dosazení do příslušných rovnic (provedení integrace nebo derivace atd.). Řešení integračních konstant – nalezení okrajových podmínek. Řešení úlohy je naznačeno v Tab. 12. Tab. 12. Popis: Schéma, obecné rovnice: Rovnice: 𝑥1 Řez1 q 𝑀 𝑥1 = −𝑞 ∙ 𝑥1 ∙ 2 + x1 Řez1 1 integrál
𝐽∗ 𝑛 𝑑 𝑑𝑤 𝑥1 ∙ = −(−𝑞 ∙ 𝑥1 ∙ )𝑛 𝑑𝑥1 𝐴 𝑑𝑥 𝑑𝑡 2 𝑛 𝐽∗ 𝑛 𝑑 𝑑𝑤 −𝑥1 −𝑞 ∙ 𝑥1 2 ∙ = ∙ + 𝐶1 𝐴 𝑑𝑥 𝑑𝑡 1 + 2𝑛 2 Pro řešení okrajových podmínek budeme používat natočení 𝜑: 𝑛 𝐽∗ 𝑛 −𝑥1 −𝑞 ∙ 𝑥1 2 ∙𝜑 = ∙ + 𝐶1𝑑𝑡 𝐴 1 + 2𝑛 2 Znovu integrujeme a rovnici upravíme do vhodnějšího tvaru. 𝑑2 𝑑𝑤 𝐴 ∙ 𝑀(𝑥)𝑛 =− , 𝑑𝑥 2 𝑑𝑡 𝐽∗ 𝑛 𝑑𝑤 =𝜑 𝑑𝑥
11/14
PPE
Cvičení 11
Popis:
Rovnice:
Řez1 2 integrál
𝑛
𝐴 −𝑥1 −𝑞 ∙ 𝑥1 2 𝜑(𝑥1 ) = ∗ 𝑛 ∙ + 𝐶1 ∙ 𝑡 + 𝜑0(𝑥1 ) 1 + 2𝑛 2 𝐽 Přidáme integrační konstantu 𝜑0(𝑥1 ), která odpovídá natočení v čase t=0 (bez vlivu creepu). Integrační konstantu 𝜑0(𝑥1 ) nalezneme např. pomocí analytické metody (viz Pružnost a pevnost I). 𝑛 𝐽∗ 𝑛 𝑑𝑤 −𝑥1 −𝑞 ∙ 𝑥1 2 ∙ = ∙ + 𝐶1𝑑𝑥1 𝐴 𝑑𝑡 1 + 2𝑛 2 2 𝑛+1 −𝑥 1 𝐽∗ 𝑛 𝑑𝑤 2 ∙ = 𝑞𝑛 + 𝐶1 ∙ 𝑥1 + 𝐶2 𝐴 𝑑𝑡 𝑛 + 1 ∙ 1 + 2𝑛 Stejným způsobem jako u natočení (integrace, úpravy) získáme rovnici popisující průběh posunuti na nosníku. 𝑛+1
𝑤(𝑥1 ) =
𝐴 ∙ 𝑞𝑛 𝐽∗ 𝑛
−𝑥1 2 2 + 𝐶1 ∙ 𝑥1 + 𝐶2 ∙ 𝑡 + 𝑤0(𝑥1 ) 𝑛 + 1 ∙ 1 + 2𝑛
Přidáme integrační konstantu 𝑤0(𝑥1 ), která odpovídá průhybu v čase t=0 (bez vlivu creepu). Integrační konstantu 𝑤0(𝑥1 ) nalezneme např. pomocí analytické metody (viz Pružnost a pevnost I). Tímto jsme vyřešili natočení a posunutí v obecném místě nosníku, zbývá vyřešit integrační konstanty (𝐶1, 𝐶2 - creep). V Tab. 13 je naznačeno řešení integračních konstant. Tab. 13. Popis: Nalezené řešení
𝐴 = ∗𝑛 𝐽
𝜑 𝑥1
Rovnice: −𝑥1 −𝑞 ∙ 𝑥1 2 ∙ 1 + 2𝑛 2
𝑛
+ 𝐶1 ∙ 𝑡
𝑛+1
𝑤(𝑥1 ) = Okrajové podmínky Určení C1
𝐴 𝐽∗ 𝑛
−𝑥1 2 2 + 𝐶1 ∙ 𝑥1 + 𝐶2 ∙ 𝑡 𝑛 + 1 ∙ 1 + 2𝑛
𝑞𝑛
Ve vetknutí musí platit pro libovolný čas t : 𝜑 𝑥1 = 𝐿 = 0 𝑤 𝑥1 = 𝐿 = 0 𝐴 −𝐿 −𝑞 ∙ 𝐿2 𝜑 𝑥1 = 𝐿 = ∗ 𝑛 ∙ 1 + 2𝑛 2 𝐽 −𝐿 −𝑞 ∙ 𝐿2 ∙ 1 + 2𝑛 2
Určení C2
𝑛
𝑛
+ 𝐶1 ∙ 𝑡 = 0
𝐿 −𝑞 ∙ 𝐿2 + 𝐶1 = 0 → 𝐶1 = ∙ 1 + 2𝑛 2
𝑛
𝑛 +1
𝐴 𝑤 𝑥1 = 𝐿 = ∗ 𝑛 𝐽
𝑞
𝑛
−𝐿2 𝐿 −𝑞 ∙ 𝐿2 2 + ∙ 𝑛 + 1 ∙ 1 + 2𝑛 1 + 2𝑛 2
12/14
𝑛
∙ 𝐿 + 𝐶2 ∙ 𝑡 = 0
PPE
Cvičení 11
Popis
Rovnice: 𝑛+1
−𝐿2 𝑛 𝐿 −𝑞 ∙ 𝐿2 2 𝑛 𝑞 + ∙ ∙ 𝐿 + 𝐶2 = 0 𝑛 + 1 ∙ 1 + 2𝑛 1 + 2𝑛 2 𝑛+1 −𝐿2 𝑛 𝐿 −𝑞 ∙ 𝐿2 2 𝑛 𝐶2 = −𝑞 − ∙ ∙𝐿 𝑛 + 1 ∙ 1 + 2𝑛 1 + 2𝑛 2 Char. průřezu:
1
𝑦 𝑛 +1 𝑑𝑆.
𝐽∗ = 𝐽∗ = Pro n=1 (bez creepu) platí:
𝑎∙
1 𝑏 𝑛 +2 1
4 ∙ 2𝑛
𝑆
∙
𝑛 ∙ 1 − −1 1 + 2𝑛
1 𝑛
.
1
1 𝑎 ∙ 𝑏 1+2 1 𝑎 ∙ 𝑏3 1 = 𝐽∗ = ∙ ∙ 1 − −1 4 ∙ 21 1 + 2 12 Pomocí výše uvedených rovnic můžeme sestrojit průhybovou čáru.
9.
Řešené příklady na procvičení – Cv_11_Př_7 – Relaxace Dáno: L, ΔL, D (S), E, A, n, L+ΔL=konst., t1 ØD
Urči: L ΔL
Snížení napětí po čase t.
Tyč nejprve protáhneme o hodnotu ΔL, tím vneseme do úlohy předpětí (např. předepjaté šrouby). Zajímá nás, jak rychle bude napětí klesat (relaxace).
Obr. 13 Můžeme spočíst počáteční napětí v tyči způsobené prodloužením o ΔL. Pro tyč zatíženou 𝐹∙𝐿 ∆𝐿∙𝐸∙𝑆 𝐹 ∆𝐿∙𝐸 tahem platí: ∆𝐿 = 𝐸∙𝑆 → 𝐹 = 𝐿 a dopočteme napětí (rovnice 1) 𝜎0 = 𝑆 = 𝐿 . Celková délka 𝐿 + ∆𝐿 se v průběhu času nemění, platí tedy 𝜀 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. Zatížená tyč se v průběhu času prodlouží (creep). Zvětší-li se hodnota L musí se zmenšit hodnota ΔL. Pro celkovou poměrnou deformaci platí: 𝜀 = 𝜀𝑒 + 𝜀𝑐 , kde 𝜀𝑒 je elastická složka, 𝜀𝑐 je složka odpovídající creepu (v čase t=0 je nulová) a 𝜀 je počáteční (konstantní) hodnota. Po derivaci a dosazení Hookova zákona (elastické) a Nortnovy rovnice (Creep) získáme: 𝑑𝜀 𝑑𝜀𝑒 𝑑𝜀𝑐 1 𝑑𝜎 = + = + 𝐴 ∙ 𝜎𝑛 . 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐸 𝑑𝑡 Počáteční deformace 𝜀 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡., musí tedy platit: 1 𝑑𝜎 0= + 𝐴 ∙ 𝜎𝑛 . 𝐸 𝑑𝑡 Rovnici upravíme a integrujeme: 𝑑𝜎 =− 𝜎𝑛
𝐸 ∙ 𝐴 ∙ 𝑑𝑡,
13/14
PPE
Cvičení 11
𝜎 1−𝑛 = −𝐸 ∙ 𝐴 ∙ 𝑡 + 𝐶. 𝑛−1 Integrační konstantu určíme z počátečních podmínek t=0: 𝜎0𝑛−1 𝐶= 𝑛−1 Po úpravě získáme výslednou rovnici: 𝜎 1−𝑛 = 𝜎0𝑛−1 − 𝐸 ∙ 𝐴 ∙ 𝑡 ∙ 𝑛 − 1 , 𝜎 𝑡 = 𝜎0𝑛−1 − 𝐸 ∙ 𝐴 ∙ 𝑡 ∙ 𝑛 − 1
10.
1 1−𝑛 .
Literatura
[1] Trebuňa, F., Šimčák, F.: Odolnosť prvkov mechanických sústav, Košice, 2004.
14/14
