PRUŽNOST A PLASTICITA CD03 Vlastislav Salajka 2010

© 2010 © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 Vlastislav Salajka ©2010 PRUŽNOST A PLASTICITA CD03

1

Matematický popis chování těles při silovém a nesilovém namáhání Těleso – kontinuum – popis spojitými funkcemi (složité parciální diferenciální rovnice) Popis pomocí polí © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 Jednotlivá pole – ze základní (inženýrské) pružnosti 1. Pole posunutí 2. Pole deformací 3. Pole napětí

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 V metodě konečných prvků je těleso diskretizováno ui(x, t)

1

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 Základní vztahy mezi jednotlivými složkami polí 1. Deformace

Posunutí

2. Napětí Deformace © 2010 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2010 © 3. Další vztahySalajka (např. podmínky rovnováhy, rovnice kompatibility) © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 3D modely MKP Visutá lávka, Kolín

Přivaděč VE Matka Makedonie

Propiler

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010

Kontejment JE Temelín

Pole posunutí


Vektor složek posunutí



2

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 Pole deformací




Pole deformací – pokr.




3

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 Deformace v libovolném bodě tělesa je popsána vektorem


Vektor složek deformací



Pole napětí




4


© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 Stav napětí v bodě tenzor napětí pro tento bod

popisuje






5


Vektor složek napětí © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010






6








7


© Salajka 2010 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2010 Základní rovnice v teorii lineární pružnosti 1. Vztahy mezi deformacemi a posunutími 2. Vztahy mezi napětími a deformacemi 3. Statické podmínky rovnováhy © Salajka © Vlastislav Vlastislav Salajka 2010 2010 4. Doplňkové rovnice – rovnice kompatibility


2

Salajka ©aVlastislav Vlastislav Salajka 2010 2010 1. Vztahy mezi deformacemi© posunutími

Lineární operátor

Geometrické rovnice

Nelineární operátor


© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 ,

8

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 kde

Po rozepsání © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010



© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 Nebo po rozepsání


© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 6 rovnic

2. Vztahy mezi napětími a deformacemi - fyzikální rovnice © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010


© Salajka 2010 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2010 Objemové změny


9

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 Tvarové změny



Prostorová úloha – 3D úloha

10



© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 Pro lineární izotropní model materiálu

Uvedené rovnice se nazývají © fyzikální rovnice Salajka © Vlastislav Vlastislav Salajka 2010 2010

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 Fyzikální rovnice

6 rovnic © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010


11


© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 Inverzní vztahy lze získat řešením soustavy výše uvedených rovnic





3. Rovnice rovnováhy



12



3 diferenciální rovnice © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 rovnováhy

Řešitelnost




13





Vlastislav Salajka 2010 © Vlastislav Salajkadeformace 2010 4. Podmínky kompatibility –© rovnice spojitosti



14




2 © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010

1

© Salajka 2010 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2010 Zjednodušení 3D úlohy na 2D a 1D úlohy pružnosti 2D úlohy pružnosti -

3

rovinná napjatost rovinná deformace rotačně symetrická úloha

Rovinná napjatost © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010



Nenulové složky Nezávislé ux, uy σxx, σyy, σxy εxx, εyy, εxy Závislé uz a εzz



Poznámky:


15

Rovinná deformace

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 Nenulové složky Nezávislé ux, uy σxx, σyy, σxy εxx, εyy, εxy © 2010 © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010


Závislé

σzz

16




Rotačně symetrická úloha – řešení nádrží, kopulí atd. Odvození ve válcovém systému souřadnic © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010

1D úlohy pružnosti


© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 Další vztahy v teorii kontinua


Např. vztahy mezi napětím a rychlostí deformace

17





Vlastislav 2010 © Vlastislav Salajka Salajka 2010 napjatosti Deformační práce a energie © deformace při prostorové


4

d2010 © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka W2010

b)

a)

18




Intenzita energie deformace - poměrná potenciální energie Wd šrafovaná část obr. b) Pro lineárně pružný izotropní materiál (v tahu)





19


Celková energie deformo-


© Salajka 2010 © Vlastislav Vlastislav 2010 V Vaného Salajka tělesa o objemu je rovna integrálu poměrných energií


© Salajka © Vlastislav Vlastislav Salajka 2010 2010 Metody řešení okrajových úloh teorie pružnosti. Princip virtuálních prací a variační principy


5


1. Energie soustavy 1.1 Potenciální energie soustavy – P.E.S.

20








1.2 Komplementární (doplňková) energie soustavy – K.E.S.

21





2 Funkcionál a jeho variace © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010

Funkcionál je lineární – funkce Vlastislav v 1.© ©mocnině Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 Pro dvě trojice funkcí a

vystupují © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010

zobrazení

zobrazení

22




Příkladem kvadratického funkcionálu je potenciální energie deformace © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010

3 Virtuální práce

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 - skutečná práce - virtuální práce



23

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 4 Princip virtuálních přemístění


- podmínky rovnováhy



© © Vlastislav Vlastislav Salajka 2010 2010 4 Princip virtuálních přemístění – pokr. Salajka



24

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 5 Princip virtuálních sil




© Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 6 Klasické variační principy © 6.1 Princip minima celkové potenciální energie soustavy (Lagrange) Vychází se z principu virtuálních přemístění



Tedy Platí

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 minimum

Věta o absolutním minimu potenciální energie © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010

25

Joseph-Louis Lagrange comte de l'Empire 1736 - 1813



© Salajka 2010 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2010 (Castigliano) 6.2 Princip minima komplementární energie soustavy Vychází se z principu virtuálních sil



Tedy Věta o absolutním minimu komplementární energie © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010


Carlo Alberto Castigliano 1847 - 1884 26


Energie deformace ohýbaného nosníku Práce vnějších sil Celková energie soustavy


© Salajka 2010 © Vlastislav Vlastislav Salajka (Lagrange) 2010 Maticový zápis principu virtuálních přemístění



Deformační © metoda Vlastislav © Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010

27

Maticový zápis principu virtuálních přemístění (Castigliano)


Vlastislav Silová © metoda © Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010

7





28



Najděte aproximaci podélného posunutí prutu



Řešení:


Potom



29




Pro řešení úloh mechaniky na bázi variačního počtu existuje celá řada postupů ▪ metoda vážených reziduí ▪ Galerkinova metoda ▪ kolokační metoda

▪ Ritzova metoda ▪ metoda nejmenších čtverců © ▪ atd. 2010 © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010

8

© Salajka © Vlastislav Vlastislav Salajka 2010 V případě Ritzovy metody zvolené náhradní funkce2010 jsou dosazeny do výrazu pro celkovou energii deformace Poté lze získat

rovnic pro výpočet parametrů

z podmínek

© Salajka 2010 © 2010 V případě Ritzovy metody zvolené náhradní (Ritzovy) funkce musí plnit Salajka pouze hlavní © Vlastislav Vlastislav Salajka 2010 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2010 okrajové podmínky. Přírodní okrajové podmínky jsou splněny automaticky neboť jsou nepřímo obsaženy ve funkcionálu . Přesto je však velmi těžké najít takové funkce, aby byly splněny hlavní okrajové podmínky (praktické omezení Ritzovy metody).

30

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 ♣

1. © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010


2. a) b) © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010

Řešení: 1.

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 Přirozená okrajová podmínka (silová okrajová podmínka)



31




2. a)

♣ © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010

Funkce vyhovuje hlavní okr. podmínce, ale ne přirozené okr. podmínce

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 a - minimalizace vzhledem



b)

32


- minimalizace vzhledem

a







33




Uvedená rovnice je zobecněnou úlohou o vlastních hodnotách Řešení


© Poznámky k variačním metodám © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 1. Variační metody dovolují relativně jednoduše sestavit soustavu řídících rovnic. Jednoduchost použití variačních principů vychází ze skutečnosti, že ve variační Formulaci úlohy pracujeme se skaláry (energie, potenciál atd.) a ne s vektory (síly, posunutí atd.) 2. Variační metody převádí řešení na soustavu řídících rovnic a okrajových podmínek. 3. Variační řešení poskytuje některé doplňující informace o řešení problému a dává © © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 nezávislou kontrolu při formulaci problému. 4. Pro aproximaci řešení lze použít širokou třídu náhradních funkcí. V mnoha případech je výhodnější pracovat s s variační formulací než přímo s diferenciální formulací úlohy. Výhodou je skutečnost, že při užití variační formulace náhradní funkce nemusí vyhovovat všem okrajovým podmínkám, a to z důvodu, že některé 34 © Salajka © Vlastislav Vlastislav Salajka 2010 okrajové podmínky jsou již nepřímo obsaženy ve2010 funkcionálu. Uvedené postupy a metody posloužily jako základ pro rozvoj dnes všeobecné používané metody konečných prvků (MKP). Metoda konečných prvků jako nástroj pro analýzu nejrůznějších úloh byla vyvinuta se © vznikem počítačů (konec 50. a 60. let minulého století). © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 Dnes MKP – komplexní modely konstrukcí a jejich částí Využití speciálního softwarového vybavení na bázi MKP a výkonných mnoho procesorových počítačů (desítky až stovky jader) FEA – propojení s CAD systémy – rychlá tvorba modelů Výkonné stabilní řešiče rovnic (100 mil. stupňů volností) © Salajka 2010 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2010 Rychlé zpracování výsledků v grafické a číselně formě


Výpočtové modely

Výpočtový model konstrukce

Výpočtový model zatížení

a – spojitý model (parciální diferenciální rovnice)

Deterministický model zatížení a) Zadán funkcí b) Zadán tabulkou

b –© diskrétní model Salajka 2010 Vlastislav © Vlastislav Salajka 2010 s jedním stupněm volnosti obyč. dif. rovnice

Stochastický model zatížení © Salajka © Vlastislav Vlastislav Salajka 2010 2010 zatížení známo pouze ve smyslu statistického vyjádření

9

c – diskrétní model se třemi stupni volnosti. obyč. dif. rovnice

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 Výpočtový model konstrukce mostu – MKP 30 tis. stupňů volnosti

Požadavky na výpočtové modely a) model má vystihovat (v metodě konečných prvků) nejvěrněji geometrii © Salajka © Vlastislav Vlastislav Salajka 2010 2010 © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 nosného systému konstrukce b) model musí vystihovat co nejlépe mechanické vlastnosti skutečné konstrukce Návrh konstrukce – výkres. dokumentace, geologie, technický popis atd. Analýza konstrukce s posouzením – výpočet, posouzení podle norem Experimentální ověření konstrukce – experiment v souladu s předpisy a normami


35

© Salajka 2010 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2010konstrukce a zatížení Analýza konstrukce – vytvoření matematického popisu (abstraktní modely konstrukce a zatížení)



36





Metoda konečných prvků


Úvod


10


37








38








39








40






prvek prvek11

prvek 2

uzel 1

prvek 3 uzel 3

uzel 2

uzel 4 prvek 4


© Salajka © Vlastislav Vlastislav Salajka 2010 2010 Zjednodušený výpočtový model

Výpočtový model potrubního systému se skládá z nosníkových prvků, příhradového prvku a torzní pružiny

Pro analýzu systému je nutno znát matice tuhosti prvků v globální souřadnicové soustavě

41


Bez okrajových podmínek má soustava 7 stupňů volnosti




Matice tuhosti soustavy (konstrukce) se sestaví přímým způsobem


Γp Ω



Γu Ωe © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010Diskretizace metodou konečných prvků



Rovnice rovnováhy mají tvar Před řešením okrajových podmínek je nutno zadat okrajové podmínky Matice

se získá vyloučením 1. a 7. řádku a sloupce matice

a © Salajka © Vlastislav Vlastislav Salajka 2010 2010 Řešením soustavy rovnic se vyčíslí vektor uzlových parametrů Vektor

42

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 Uvedený příklad ukazuje jak idealizovanou konstrukci lze sestavit z jednotlivých prvků. Deformační metoda prakticky splývá s metodou konečných prvků. Metoda konečných prvků však dovoluje řešit obecnější případy konstrukcí (2D a 3D úlohy), kdy není známo tzv. „přesné řešení“ v rámci zavedených předpokladů (hypotéz), jak je tomu u prutových prvků. Metoda konečných prvků vychází z Ritz-Galerkinových variačních principů, kdy 2010 jsou © Salajka 2010 © Salajka © Vlastislav Vlastislav Salajka 2010 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2010 používány bázové funkce aproximující určitá pole v závislosti na zvoleném rozdělení řešené oblasti na konečné prvky. Klasické variační principy (např. Ritzova metoda) hledají součinitele předem zvolených funkcí, které mají obecně nenulové hodnoty v celé řešené oblasti. Formálně se převádí analytické řešení diferenciálních rovnic na řešení algebraických rovnic. Tak je tomu i v metodě konečných prvků. Pokrok je ve způsobu, 43 Vlastislav ©matematicky Vlastislav Salajka Salajka 2010 kterým se tento převod provádí;© řečeno2010 ve volbě bázových (náhradních aproximačních) funkcí, do kterých jsou rozloženy hledané funkce. Rozklad je úzce vázán na rozdělení řešené oblasti na podoblasti stručně zvané konečné prvky. Nejčastěji se využívá deformační varianta metody konečných prvků. Jednoduchost © Salajka 2010 © Vlastislav Vlastislav 2010 pojetí úlohy, obecně ve formulaci © 2010 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2010 použití spočívá Salajka v energetickém úlohy Salajka jako variační, přičemž se hledá extrém nějakého operátoru (funkcionálu), který má aditivní povahu. To znamená, že jeho hodnota pro celou oblast je rovna součtu hodnot v částech či prvcích soustavy (podoblastech - konečných prvcích). Tuto povahu mají zejména všechny veličiny dané jakýmkoliv omezeným integrálem v oblasti. Tak například celková energie je podle Lagrangeova variačního principu minimální právě pro skutečný stav tělesa Salajka © © Vlastislav Vlastislav Salajka. 2010 2010

© Vlastislav Salajka 2010 Vlastislav Salajka 2010 získat derivováním Rovnice v metodě konečných © prvků lze v tomto případě podle jednotlivých parametrů přemístění . Například tá rovnice

Nezáleží jaká je geometrická dimenze prvků . Ty se uplatní jen svými maticemi © Vlastislav Salajka 2010 © Vlastislav Salajka 2010 © Vlastislav Salajka 2010 Salajka tuhosti a vektory parametrů zatížení , které mohou © mítVlastislav u různých prvků 2010 téže soustavy různý rozměr . Prvky mohou být 1, 2 a 3 rozměrné, aniž to komplikuje podstatu řešení. V jedné řešené soustavě mohou být obecně např. pruty, deskové, stěnové, případně skořepinové a prostorové prvky. Před sčítáním je formálně nutné přestavět matice a na stejný rozměr , (jak bylo ukázáno 44 Vlastislav Salajka 2010 výše). Celá soustava lineárních© pro výpočet parametrů ©rovnic Vlastislav Salajkaneznámých 2010 vznikne jednoduše takto:

kde© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 kde


je počet prvků


© Salajka 2010 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2010 Matice tuhosti prutu příhradoviny – základní postup

11 - přímý prut konstantního průřezu



45



Poměrná deformace

Matice

© Vlastislav Salajka 2010 ©se Vlastislav Salajkasouřadnic 2010 nazývá matice

je v prutu konstantní, rovněž normálové napětí © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010

je konstantní





46

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 Matice tuhosti příhradového prvku v globální soustavě souřadnic (rovinná úloha)



Po dosazení výše uvedeného výrazu do výrazu pro potenciální energii deformace



47





© Salajka 2010 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2010 tvarových (přípustných, Matice tuhosti prutu příhradoviny – odvození pomocí bázových) funkcí - nejjednodušší funkce aproximující posunutí © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010


48





© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 Po dosazení do výrazu pro potenciální energii deformace aproximační funkce a úpravě platí , kde © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010


Potom

49

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 a Nakonec © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010


Poznámka: V případě úloh dynamiky je nutno sestavit matici hmotností prvku Matice

lze získat ze vztahu


. Členy

© Salajka 2010 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2010 Matice tuhosti a vektor zatížení ohýbaného prutu – odvození pomocí tvarových (přípustných, bázových) funkcí Předpoklady


12

© © Vlastislav Salajka Salajka22010 2010 1 Vlastislav

Prut je zatížen pouze na koncích

50


Tvarové funkce ohýbaného prutu





© Salajka © Vlastislav Vlastislav Salajka 2010 © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 Výrazy pro výpočet matice2010 tuhostí prvku a zatěžovacího vektoru ©

51








52



V případě dvou uzlového prutu v 3D prostoru matice tuhosti prvku je typu 12x12 a zatěžovací vektor 12x1, neboť prostorový prvek popisovaného prutu má celkem 12 stupňů © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 volností; po šesti v každém uzlu.


© Vlastislav Salajka 2010

© Vlastislav Salajka 2010 souřadnic Matice tuhosti prutového prvku 3D v soustavě lokálních


Vektor zatížení


53








54





© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 Rovinná úloha – 2 D problém Matice tuhosti a zatěžovacího vektoru trojúhelníkového prvku

13

Předpoklad - lineárním průběhem složek posunutí



55





© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 Rovinná napjatost


Zapsáno maticově


56

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 Tento vztah se dosadí do výrazu pro potenciální energii deformace



Matice tuhosti prvku





Zatěžovací vektor

57





Vlastislav ©pro Vlastislav Salajka 2010 Poznámka ke konečným prvků© řešení Salajka 2D úloh:2010 Uvedeným způsobem lze odvodit celou řadu jiných prvků; prvků vyšší kvality než tříuzlový (trojúhelníkový ) prvek s lineární aproximací polí posunutí Uvedený prvek se v praxi nepoužívá V praxi se používá trojůhelníkový prvek s kvadratickou aproximační funkcí, tj. prvek se šesti uzly (tři ve vrcholu a tři ve středech stran) nebo čtyřuzlový s lineární aproximací, popř. osmiuzlový s kvadratickou aproximací.



Sestavení matice tuhostí jednoduché konstrukce sestávající z různých typů konečných prvků © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 Konstrukce sestává ze čtyř prvků tří©typů

14

Konstrukce má 8 stupňů volností




58




59








60

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 Zatěžovací vektor konstrukce zatěžovacích vektorů prvků

se sestavuje obdobným způsobem z jednotlivých

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 kde

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 -

je počet prvků

Počet neznámých (stupňů volností) n definuje počet rovnic – dnes milióny rovnic Soustavy rovnic dosahují značných rozměrů a jsou numericky stabilní Možnosti řešení ovlivňuje velikost operační paměti a2010 velikost pevných disků © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 Izoparametrické konečné prvky

15

Předchozí postupy odvození matic konečných prvků byly uvedeny z důvodu pochopení samotné metody konečných prvků. Odvození matic izoparametrických prvků je trochu odlišné. Pracuje se přímo s danými aproximačními funkcemi. Použití izoparametrických prvků je velmi efektivní a celá řada těchto prvků je zahrnuta v systémech programů na bázi metody konečných prvků. V předchozích postupech se vycházelo ze zvoleného polynomu a při vyčíslení jejich koeficientů bylo©nutno provést inverzi 2010 matice . Toto v případě izoparametrických prvků není třeba2010 Salajka © Salajka © Vlastislav Vlastislav Salajka 2010 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2010 provádět, a také není nutno vyčíslovat matice pro transformaci z lokálního systému souřadnic do globálního systému souřadnic.

Základní pojmy

61





© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 Nejjednodušší případ izoparametrického prvku2010 – dvouuzlový konečný prvek příhradoviny Odvození matice tuhosti Popis geometrie


Popis pole posunutí – 1D prvek


62








63

© Salajka © Vlastislav Vlastislav Salajka 2010 2010 Tabulka vybraných izoparametrických prvků







64








65








66








67





© Salajka © Vlastislav Vlastislav Salajka 2010 2010 Matice tuhosti a zatěžovací vektor čtyřuzlového izoparametrického prvku pro řešení úlohy rovinné napjatosti



68








69








70





Energie deformace prvku

Rovinná napjatost


Rovinná deformace

Rotačně symetrická úloha



71








72








73








74

© Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 Pro všechny čtyři zatížené strany ©




Vlastislav 2010 ©čtyřuzlového Vlastislav Salajka Salajka 2010 Doplnění - matice hmotnosti© izoparametrického prvku



75





Numerická integrace



16


76








77








78








79








80








81








82








83


☺





☻



84








85




☺, ☻ © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010




86








87





Praktické poznámky:

© Salajka 2010 © Vlastislav Vlastislav SalajkaStupeň 2010 Řád

Při integraci je nutno zvolit řád integrace odpovídající typu konečného prvku Řád numerické integrace výrazně ovlivňuje přesnost matic prvku a nároky na čas výpočtu matic prvku

integrace přesnosti

2x2

3

Při © určitém řádu integrace všechny Vlastislav Salajka © Vlastislav Salajka 2010 2010 matice prvků jsou vyčíslovány přesně V některých případech snížení řádu integrace může vést k lepšímu řešení a výrazně urychlit výpočet

Poloha integračních bodů (váhy jsou uvedeny v tabulce)

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 3x3

5

Existuje řada doporučení jaký řád © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 integrace použít pro daný typ prvku© Hodnoty vyčíslených veličin jsou nejpřesněji vyčísleny v integračních bodech

4x4

88

7




© Salajka © Vlastislav Vlastislavdesek Salajka 2010 2010 Základní přístupy k řešení ohýbaných

17

1 Odvození základních vztahů na případě tlusté desky



89


♠ ♥ ♣ © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 ♠,♥

♣

♦ © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010



Příčné spojité zatížení


90








91








92








93








94


© Salajka © Vlastislav Vlastislav Salajka 2010 2010 Marie-Sophie Germain (1776 –1831) francouzký matematik, fyzik a filosof

Kirchhoff, Gustav Robert © Salajka 2010 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2010

(1824–1887) německý fyzik – zakladatel spektrální analýzy


© Salajka © Vlastislav Vlastislav Salajka 2010 2010 2 Teorie tenkých desek – klasická Kirchhoffova teorie





Příčné spojité zatížení



95




96








97








© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010Podle 2. Newtonova zákona




98

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 3 Základní okrajové podmínky 3.1 Prosté podepření okraje



99





3.2 Volný okraj



3.2 Vetknutý okraj


100






3.3 Speciální okrajové podmínky © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010

4 Hlavní momenty


101





5 Přesnější modely desek




102

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 6 Metody řešení desek




© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 Matice tuhosti ohýbaných desek

18

1. Tenké desky



103





!

Vlastislav Salajka 2010 © Vlastislav Salajka 2010desek 1.1 Trojúhelníkový konečný © prvek - teorie tenkých



104







Funkce průhybu


105




Poměrné deformace pro dosazení do funkcionálu energie deformace prvku desky



Po dosazení dříve uvedených vztahů



Potenciální energie deformace prvku

106






1.2 Obdélníkový konečný prvek - teorie tenkých desek © © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010

107








108








109





Vlastislav 2010 ©pro Vlastislav Salajkatenkých 2010 desek Kompatibilní konečné prvky© řešení Salajka ohybu



110





Statická kondenzace



19


111








112








113



Kompatibilní čtyřúhelníkové © konečné prvky © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010


© Salajka 2010 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2010 Konečné prvky pro řešení ohybu „tlustých“ desek


20



Izoparametrický konečný prvek o 24 stupních volnosti © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010

3x8 = 24 stupňů volností


114




115








116








117





Skořepiny


21

Skořepinami se rozumí nosné plošné konstrukce staveb, zakřivené nebo zalomené v jednom popřípadě v obou směrech. Základní charakteristikou skořepiny (tak, jako u desek) je, že jeden její rozměr tloušťka je výrazně menší než zbývající dva rozměry. Skořepiny dělíme do tří skupin, a to podle jejich statického chování, které předurčuje © Salajka 2010 © Salajka © Vlastislav Vlastislav 2010 © Vlastislav Vlastislav Salajkaa2010 2010 použití výchozí Salajka teorie. Je vhodné zavést pojem střední tloušťka skořepiny pojem střední poloměr křivosti střednicové plochy .


118

Velmi tenké skořepiny - kovové zásobníky, velkorozměrové nádrže z oceli, venkovní kovová potrubí velkých průřezů, vysoké kovové komíny … © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 © Salajka © Vlastislav Vlastislav Salajka 2010 2010 Tenké skořepiny - železobetonové skořepiny, železobetonové pláště chladicích věží, vysoké železobetonové komíny, velkorozměrové železobetonové nádrže, venkovní železobetonové velkoprůměrová potrubí … Tlusté skořepiny - nádrže železobetonových vodojemů, tlakové železobetonové potrubí, klenbové železobetonové přehradní nádrže, opěrné zdi vyklenuté proti zemině … © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010

© Vlastislav Salajka Základem teorie skořepin je teorie skořepin, to z těchto důvodů: ©tenkých Vlastislav Salajkaa 2010 2010 1. Vyšetřování velmi tenkých skořepin je vždy velmi specifické, závislé na geometrickém tvaru skořepiny, vychází z teorie tenkých skořepin 2. Vyšetřování tlustých skořepin je složitější než vyšetřování tenkých skořepin, proto se obchází různými jednoduššími teoriemi Při navrhování skořepin usilujeme o to, aby hlavní část zatížení spojitě působila v kolmých směrech na střednicovou plochu. Podaří-li se to, potom skořepina přenáší vnější © Salajka 2010 © © Vlastislav Vlastislav Salajka 2010 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2010 2010 zatížení do podpor především normálovými silami a je málo namáhaná ohybově.Salajka Toto se daří zejména u nízkých střešních bání, které se chovají jako prostorový oblouk. Všeobecná teorie staticky namáhaných tenkých skořepin je vypracována ve třech variantách seřazených podle úrovně modelování a tedy i podle obtížnosti. 1. Přesná ohybová teorie 2. Technická ohybová teorie © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 3. Membránová teorie

119

Nejjednodušší teorie je membránová, kterou lze použít jen vzácně a to u skořepin s převládajícími stěnovými vnitřními silami. Vyšetřujeme-li statické stavy navržené konkrétní tenké skořepiny za použití přesné ohybové teorie nebo technické ohybové teorie, potom je nutno tuto všeobecnou teorii podle tvaru podepření. Je to vždy velmi © Vlastislav 2010 © konkretizovat Vlastislav Salajka Salajka 2010střednicové plochy a podle způsobu © 2010 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2010 nesnadná a mnohdy neřešitelná úloha. Teoretické vyšetřování tenkých skořepinSalajka je matematicky velmi náročné. Stejně jako u stěn a desek je klíčem ke stanovení jejich statických stavů stěnová a desková rovnice. Obě tyto rovnice jsou sestavovány z příslušných podmínek statických, geometrických a fyzikálních. Obdobně v případu tenkých skořepin jsou tři simultánní parciální diferenciální rovnice 3. a 4. řádu pro složky přemístění střednicové plochy ux, uy a uz. Také tyto rovnice se sestavují z podmínek, statických, geometrických a fyzikálních. Přitom geometrické podmínky se u tenkých © Salajka 2010 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2010 skořepin odvozují velmi nesnadno, přičemž se mění s funkcí geometrie střednicové plochy.

© Salajka 2010 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2010 Stejně jako u stěn a desek je klíčem ke stanovení jejich statických stavů stěnová a desková rovnice. Obě tyto rovnice jsou sestavovány z příslušných podmínek statických, geometrických a fyzikálních. Obdobně v případu tenkých skořepin jsou tři simultánní parciální diferenciální rovnice 3. a 4. řádu pro složky přemístění střednicové plochy ux, uy a uz. Také tyto rovnice se sestavují z podmínek, statických, geometrických a fyzikálních. Přitom geometrické podmínky se u tenkých skořepin odvozují velmi nesnadno, přičemž se mění s funkcí geometrie střednicové plochy. Tenké stavební skořepiny



– Střednicová plocha – zcela hladká (spojitost v bodě včetně první derivace) po částech hladká – Skořepiny – s jednou křivostí se dvojí křivostí

Významnou skupinu tvoří rotační skořepiny, které mohou mít jednu a dvojí křivost. Další skupinu 120 © Vlastislav Salajka ©neboť Vlastislav Salajka 2010 2010 tvoří tzv. lomenice s nulovou křivostí jsou sestaveny ze stěnodesek. Příklady používaných tenkých skořepin

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 Dlouhá střešní válcová skořepina – jedna křivost

Rotační válcová skořepina – jedna křivost

Střešní konoidická skořepina – dvojí křivost

Rotační báně – dvojí křivost

Prefabrikovaný díl střešní Střešní hyperbolicko© Vlastislav Salajka 2010 © Vlastislav Salajka 2010 Skořepiny do rozponu 25 m parabolická skořepina hyperbolický paraboloid – dvojí křivost – dvojí křivost

Jednodílný hyperboloid

© Salajka © Vlastislav Vlastislav – dvojí křivost Salajka 2010 2010

Lomená skořepina – lomenice – nulová křivost

© Křivky nejběžnějších hladkých ploch © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 - Válcové plochy - Rotační kuželová plocha - Kulová plocha - Plocha jednodílného rotačního hyperboloidu - Plocha konoidu

© Salajka Přesná ohybová teorie pro2010 vyšetřování plných tenkých skořepin © Vlastislav Vlastislav Salajka 2010


Výchozí předpoklady 1. Materiál skořepiny je homogenní, izotropní a lineárně pružný. 2. Normáloví napětí v kolmých směrech na střednicovou plochu jsou ve srovnání s normálovým napětím ve zbývajících směrech natolik malá, že je považujeme za nulová. 3. Předpokládá se platnost rozšířené Navierovy – Bernoulliho hypotézy. Normály střednicové 121 © Vlastislav Salajka 2010 Vlastislav Salajka 2010 plochy zůstávají normálami i po © jejím přetvoření, přičemž vzdálenosti bodů na normálách od střednicové plochy se nemění. 4. Předpokládají se natolik malá přetvoření skořepiny, že lze vycházet z teorie I. řádu. Geometrie diferenciálního elementu skořepiny







122




Zatížení skořepin


© Vlastislav Salajka ©prvku Vlastislav Salajka 2010 2010 Rozdělení napětí na elementárním skořepiny

Vnitřní síly skořepiny



© Vlastislav Salajka napětí 2010 1. Integrací normálového , do získáme ohybové momenty 2. Integrací smykového napětí , do získáme kroutící momenty 3. Integrací smykového napětí

,

Salajka 2010, získáme normálové síly © Vlastislav , . Přemístěním , . získáme tangenciální síly , , . Protože , potom získáme posouvající

,

. Jejich přemístěním a . .

123

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 Normálové síly

a

[N.m-1]

Ohybové momenty


a

[N]


Tangenciální síly

a

[N.m-1]

Kroutící momenty

[N.m-1]

Posouvající síly

[N]

a


a


Transformace napjatosti v obecném bodě skořepiny



Přemístění skořepiny

124


Základní rovnice plných tenkých skořepin


Technická ohybová teorie skořepin - geometrický předpoklad

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 - fyzikální předpoklad


© © Vlastislav Vlastislav Salajka 2010 Skořepinový plochý čtyřuzlový konečnýSalajka prvek 2010


Chybějící tuhost

22


Deskostěnový konečný prvek s pěti stupni volností v uzlu

125

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 Deskový prvek


Stěnový prvek


Lomenice

Málo zakřivená (plochá) skořepina





126

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 Rozšířená lokální matice tuhosti



© Vlastislav Salajka Tuhost odpovídající rotaci v lokální soustavě souřadnic je nulová. Toto vyplývá z faktu,2010 že tento stupeň volnosti nebyl zohledněn při formulaci problému (nebyl zahrnut ve výrazu pro energii deformace prvku). V případě lomenice po transformaci z lokální soustavy souřadnic do globální soustavy souřadnic již má všechny globální stupně volností. V případě plochých (slabě zakřivených) skořepin tuhost odpovídající stupni volnosti je malá. Potom matice tuhosti může být špatně podmíněna nebo dokonce i singulární. Tento problém může být odstraněn zavedením malých koeficientů tuhosti © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 odpovídajících rotacím .


© 2010 © © Vlastislav Vlastislav Salajka 2010 © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 U řady prvků jsouSalajka provedeny zlepšení upravující uvedený nedostatek.

23

Prostorové konečné prvky


24 stupňů volností 127 60 stupňů volností 12 stupňů volností 30 stupňů volností




Síť z „bricků“

© 2010 © Vlastislav Vlastislav Salajka SalajkaSíť 2010 z „tetů“

V praxi se preferuje používat sítě prvků typu „brick“ před použitím prvků typu „tet“. V současné © Salajka 2010 © Salajka 2010 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2010 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2010 době však neexistují generátory sítě prvků ve tvaru šestistěnu pro obecně tvarované objemy. Objemy je nejprve rozdělit na pravidelné topologicky přípustné podobjemy, a ty potom lze již vykrýt prvky ve tvaru šestistěnu. V případě použití čtyřstěnů lze prakticky bez významných komplikací generovat sítě prvků vykrývající libovolně tvarovaný objem – výhoda při přenosu objemů z CAD systémů.

Analýza konvergence Konvergence k „přesnému“ řešení


24

- monotónní - nemonotónní

Abychom zajistili monotónní konvergenci ke správnému řešení je nutné v deformační variantě © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 © 2010 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2010 konečných prvků dosáhnout toho, aby prvky byly úplné a kompatibilní. Jsou-li Salajka tyto podmínky splněny, potom při zjemňování sítě prvků přesnost řešení spojitě roste. Požadavek úplnosti je kladen na funkce posunutí a je nutno zaručit, aby pohyb tělesa jako tuhého celku nevyvolal v tělese pružné deformace a dále aproximační funkce musí zaručovat možnost přesného stanovení konstantních deformací nebo napětí.


128




Požadavek úplnosti je kladen na funkce posunutí a je nutno zaručit, aby pohyb tělesa jako tuhého celku nevyvolal v tělese pružné deformaceSalajka a dále aproximační funkce musí zaručovat © 2010 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2010 možnost přesného stanovení konstantních deformací nebo napětí.

129

Požadavek kompatibility – Výběr aproximačních funkcí musí zaručovat spojitost hledané funkce uvnitři na jeho hranici. Je-li n řád nejvyšší derivace ve variačním funkcionálu prvku, potom aproximační funkce musí být n-krát diferencovatelná a její derivace musí být spojité do řádu (n-1) © Salajka 2010 © Vlastislav Vlastislav Salajkatomuto 2010 předpokladu patří do třídy Cn-1 prvků. © včetně. Prvky vyhovující © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 Současné splnění všech podmínek je spojeno s velkými těžkostmi. Existence n-té derivace se zaručuje relativně jednoduše. Požadavky spojitosti ve většině případech se vztahují k prvkům desek, skořepin nezávisle na stanoveném poštu stupňů volností. U těchto prvků se velmi těžko vyhovuje všem vztahům popisujícím pohyb tělesa jako tuhého celku. Podmínky úplnosti jsou splněny například, jestli aproximační funkce obsahují polynomy minimálního řádu n, kde n je řád nejvyšší derivace v . © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010

Salajka 2010 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2010 zaručují monotónní konvergenci k Úplné spojité funkce na prvku při © diskretizaci oblasti konstrukce hledanému řešení. Teoretické sledování přesnosti řešení ukázalo, že energetická norma reziduí je proporcionální hn+1-i, kde h je charakteristický rozměr prvku, n je nejvyšší řád úplného polynomu obsaženého v aproximaci na prvku, i je nejvyšší řád derivací v U. Rychlost konvergence je závislá na tvaru polynomu použitého pro aproximaci funkce posunutí.


prostorově izotropní prvky


130


Je známo, že přesnost řešení MKP při zvětšení polynomu roste rychleji než při zhušťování sítě prvků.

© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 Nekompatibilní modely prvků





© © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 „Bublinková funkce“

Jednotlivé prvky se testují a prověřují se jejich vlastnosti – těmto testům se říká benchmark testy 131 © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010 Kontroluje se: obecná funkčnost prvku, přesnost prvku, neobsahuje-li prvek defekty (shear locking, spurious energy modes atd.), tvarová citlivost vzhledem k integraci apod.

25

Výpočet napětí na prvku © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010

2010 © Vlastislav Vlastislav Salajka 2010 Na základě uzlových hodnot lze vyčíslit napětí v libovolném bodě © prvku. VýpočetSalajka se provádí pomocí tzv. matice napětí – jedná se o matici napětí v závislosti na vektoru složek deformací. V praxi se napětí vyčíslují pouze ve vybraných místech na prvku. Hodnoty složek napětí nejsou spojité mezi prvky, přestože pole napětí je obsaženo ve formulaci konečného prvku. Je vysledováno, že napětí v některých bodech je vyčíslováno s výraznou vyšší přesností než v ostatních bodech. Nejvíce „přesnými“ body jsou Gaussovy integrační body. © © Vlastislav Vlastislav Salajka Salajka 2010 2010

PRUŽNOST A PLASTICITA CD03 Vlastislav Salajka 2010

Recommend Documents