Pružnost a plasticita II CD03

Pružnost a plasticita II CD03

Luděk Brdečko _________________________________________________________

VUT v Brně, Fakulta stavební, Ústav stavební mechaniky

tel: 541147368 email: brdecko.l @ fce.vutbr.cz http://www.fce.vutbr.cz/STM/brdecko.l/html/distcz.htm

Obsah předmětu •      •   •    •  

1. přednáška spolehlivost konstrukcí výpočtové modely základní veličiny pružnosti základní vztahy pružnosti nelineární pružnost 2. přednáška těleso (základní veličiny a vztahy) prut (základní veličiny a vztahy) 3. přednáška Rovinný problém - stěny (základní veličiny a vztahy) desky (základní veličiny a vztahy) skořepiny 4. přednáška metody řešení – přesné, přibližné variační metody – Ritzova metoda, Metoda konečných prvků

Těleso • •

Rekapitulace veličin vektor napětí

•

vektor deformace

•

vektor přemístění

    x , y , z , xy , yz , zx T

    x ,  y ,  z ,  xy ,  yz ,  zx T

u  u, v, wT • •

Rekapitulace vztahů diferenciální podmínky rovnováhy (3)

  X  0 •

fyzikální vztahy (6)

  C •

nebo

geometrické vztahy (6)

 -  T u

  D

1    1   C    E 0  0   0





1





1

0

0

0

0

0

0

 0 0 0  0 0 0   2(1   ) 0 0  0 2(1   ) 0   0 0 2(1   ) 0

0

0

0 0  / y 0  / z   / x   0  / y 0  / x  / z 0   0 0  / z 0  / y  / x 

Prut • • •

Prut s vlivem smyku Rekapitulace veličin vnitřní síly N, V, M

• • • •

deformace N,V,M přemístění u, w, j Rekapitulace vztahů statické podmínky

N´n  0 •

M´V  m  0

fyzikální podmínky

N  EA N •

V ´q  0

V  GA  V

M  EI M

geometrické podmínky

 N  u´

 M  j´

 V  w´j

Prut • • •

Prut bez vlivu smyku Rekapitulace veličin vnitřní síly N, V, M

• • • •

deformace N,M přemístění u, w Rekapitulace vztahů statické podmínky

N´n  0 •

V ´q  0

fyzikální podmínky

N  EA N •

M´V  m  0 M  EI M

geometrické podmínky

 N  u´

 M  w´´

Rovinný problém • •

Rekapitulace veličin vektor napětí

•

vektor deformace

•

vektor přemístění

• •

Rekapitulace vztahů diferenciální podmínky rovnováhy (2)

    x ,  y , xy T

    x ,  y ,  xy T

u  u x , u y T

  X  0 •

  C •

nebo

geometrické vztahy (3)

 -  T u

  D

1 1 C    E  0

 1 0

x 

u x

x



 y y

Y  0

rovinná deformace

rovinná napjatost

fyzikální vztahy (3)

 xy

 x  yx  X 0 x y

 0  2(1  ) 0

y 

  1 2  C   1    E  1   0 

v y

 xy 



 1  1 0

v u  x y

 0   0   2  1  

Desky •

rekapitulace veličin / vztahů - Mindlinova – tlustá deska (s vlivem smyku)

•

měrné vnitřní síly

•

deformace průřezu

• přemístění podmínky statické

vx v y   p0 x y

mx , m y , mxy , v x , v y

 mx ,  my ,  mxy ,  vx ,  vy w, j x , j y podmínky geometrické

 mx 

j y

 my

m y

 mxy 

x



mxy y

 vx  0

x

j y y



dw jy dx dw  vy   jx dy

 vx 

  D 

mx  D  mx   my

j  x y

mx mxy   vx  0 x y

podmínky fyzikální

my j x x

mxy  D

my

(1  )  mxy 2

Gh  vx 1.2 Gh vy   vy 1 .2

vx 

 mx

 

Desky •

rekapitulace veličin / vztahů - Kirchhofova – tenká deska (bez vlivu smyku)

•

měrné vnitřní síly

• deformace průřezu • přemístění podmínky statické

vx v y   p0 x y mx mxy   vx  0 x y m y x



mxy y

 vx  0

mx , m y , mxy , v x , v y

 mx ,  my ,  mxy w podmínky geometrické

 my

2w  2 y

 mx

2w  2 x

 mxy

2w  2 yx

podmínky fyzikální

  D 

mx  D  mx   my

my

mxy  D

my

 mx

 

(1  )  mxy 2

Metody řešení • z hlediska kvality dosaženého výsledku 1) přesné metody – přímé řešení diferenciálních rovnic, většinou pro jednoduché konstrukce • např. řešení ohybu prutu přímou integrací 2) přibližné metody – náhrada hledané funkce nějakou aproximací, se kterou se lépe pracuje. Např.: • řešení pomocí nekonečných trigonometrických řad (použije se konečný počet členů) • diferenční metoda, metoda sítí (funkce je definována v diskrétních bodech, derivace funkce jsou vyjádřeny pomocí hodnot v okolních bodech a vzdáleností těchto bodů)

f (i ) 

• •

f (i 1)  f (i 1) 2h

Ritzova metoda metoda konečných prvků

Metody řešení vycházejí: • přímo z diferenciálních rovnic sestavených pomocí základních vztahů (statické, fyzikální, geometrické rovnice, popř. podmínky kompatibility), např.: • řešení pomocí nekonečných řad • metoda sítí • z energetických principů (vyjádření potenciální energie, popř. virtuální práce), např.: • Ritzova metoda • metoda konečných prvků

Metody řešení • • • • • • • • •

podle primárních neznámých a využitých rovnic silová metoda primární neznámé jsou silové veličiny – vnitřní síly nebo napětí využijí se podmínky kompatibility, fyzikální a statické podmínky např.: stěnová rovnice deformační metoda primární neznámé jsou přemístění využijí se geometrické, fyzikální a statické rovnice např.: desková rovnice, ohybová čára prutu

Metody řešení • •

•

příklad silové metody – odvození stěnové rovnice výchozí rovnice: podmínka kompatibility (1), fyzikální rovnice (3), statické rovnice (2) 2 2  x  yx  2 x   y   xy  X 0   C    x  y y 2 x 2 xy  xy  y  Y  0  x  y neznámé: deformace (3), napětí (3)

•

podmínka kompatibility se vyjádří v napětích pomocí fyzikálních podmínek 3 rovnice pro 3 napětí

•

výsledná stěnová rovnice (pro X=Y=0)

4F 4F 4F 2 2 2  4 0 4 x x y y kde

F ( x, y )

je tzv. Airyho funkce napětí, ze které lze přímo odderivovat složky vektoru napětí

2F x  2 y

2F y  2 x

2F  xy   xy

Metody řešení • • •

příklad deformační metody – odvození ohybu prutu bez vlivu smyku výchozí rovnice: statické rovnice (2) V ´ q

M ´ V M  EI M

•

fyzikální rovnice(1)

•

geometrické podmínky (2)

• • • • •

neznámé: vnitřní síly (V,M) deformace průřezu (M) přemístění (w,f) výsledná rovnice ohybové čáry

j´  M w´ j

( EIw´´)´´ q

Metody řešení •

Kirchhofova – tenká deska (bez vlivu smyku) – deformační metoda

•

měrné vnitřní síly

•

deformace průřezu

• přemístění podmínky statické

vx v y   p0 x y mx mxy   vx  0 x y m y x



mxy y

 vy  0

mx , m y , mxy , v x , v y  mx ,  my ,  mxy

w podmínky geometrické

 my

2w  2 y

 mx

2w  2 x

 mxy  2

 w yx 2

podmínky fyzikální

mx  D  mx   my









my  D  my  mx mxy  D

(1  )  mxy 2

Dosazení podmínek geometrických. do fyzikálních, fyzikálních. do statických a druhé a třetí statické do první -> desková rovnice

4w 4w 4w p 2 2 2  4  4 x x y y D

Energetické principy • • •

Energetické principy princip virtuálních prací princip minima potenciální energie

Energetické principy • •

Princip virtuálních prací Virtuální deformace – libovolný myšlený deformační stav tělesa (popsaný přemístěními a deformacemi), který splňuje kinematické okrajové podmínky (předepsaná přemístění v podporách) a geometrické podmínky (vztah mezi přemístěními a deformacemi)

•

Virtuální síly – libovolný myšlený silový stav tělesa (popsaný vnějšími a vnitřními silami), který splňuje statické podmínky rovnováhy

• •

Virtuální práce: Práce skutečných sil na virtuálních deformacích

W   uT  F     T  N dx L

•

Práce virtuálních sil na skutečných deformacích

W   F T  u  N  T   dx •

L

Skutečné a virtuální veličiny jsou na sobě nezávislé - POSUNY NEVZNIKLY DÍKY SILÁM!!!!

Energetické principy • • • •

Princip virtuálních prací Virtuální práce vnějších a vnitřních sil je nulová

W  0 Lagrangeův princip virtuálních přemístění

W   uT  F      T  N dx  0 L

•

Použití: např. odvození deformační varianty metody konečných prvků

•

Castigliánův princip virtuálních sil

W   F T  u  N  T   dx  0 L

•

Použití: např.: Metoda jednotkových sil pro výpočet přemístění

Energetické principy • • •

Princip virtuálních sil Aplikace: Metoda jednotkových sil pro výpočet přemístění Virtuální práce

W   F T  u  N  T   dx L

•

Vyjádřená pro prut

W  D  F    N N dx    V V dx    M M dx L

•

L

Dosadí se za deformace z fyzikálních podmínek

D  F   L

•

L

N V M N dx   V dx   M dx EA GA EI L L

Za virtuální sílu F se uvažuje jednotkový impulz (síla nebo moment) v místě a směru hledaného přemístění (posun nebo pootočení). D představuje hledané přemístění.

D L

NN VV MM dx   dx   dx EA GA EI  L L

Energetické principy Přetvárná práce vnějších sil • práce, kterou koná závaží na protažení táhla n

ut

i 1

0

Le   Fi Du   F (u )du Doplňková práce vnějších sil • práce, která je konána při přesouvání závaží na plošinu n

Ft

i 1

0

Le   ui DF   u ( F )dF *

Obecně

L  Le  Ft ut *

lineárně pružný materiál

Le  Le  *

1 Ft ut 2

Silové a deformační veličiny jsou na sobě závislé -> postupně narůstají ->odtud 1/2

Energetické principy • • • •

Deformační energie energie, která se akumuluje v konstrukci při její deformaci vlivem zatěžování konstrukce je schopna ji vydat zpět při odtěžování odpovídá přetvárné práci vnějších sil (Pro pružné těleso)

 i  Le •

obecně pro těleso

i  •

pro prut i 

•

1 T    dV   2V

1 1 1  N dx   V dx   M M dx N V 2 L 2 L 2 L

po dosazení fyzikálních podmínek i 

1 1 1 EA  N2 dx   GA  V2 dx   EI M2 dx  2L 2L 2L

Energetické principy • • • • •

Mechanický systém mechanický systém = konstrukce + zatížení Potenciální energie systému změna celkové energie mechanického systému vlivem zatěžování potenciální energie vnitřních sil – energie akumulovaná v konstrukci (kladná)

 i  Le •

potenciální energie vnějších sil – ztráta polohy břemene (záporná)

e  F u  ( Le  L*e ) •

celková potenciální energie

  i  e   Le  ( Le  L*e )   L*e

Energetické principy •

Princip minima potenciální energie

•

Ze všech možných deformačních stavů pružného tělesa, které neporušují jeho spojitost a respektují veškeré kinematické okrajové podmínky nastane právě ten, při němž je potenciální energie systému minimální.

  min

Variační metody • • •

Variační metody matematické postupy k hledání funkce udělující extrém danému funkcionálu F funkcionál – integrál z operátoru nad funkcemi a jejich derivacemi

F   L( y, y´, y´´..... y ( n ) )dx

y  f (x)

l

•

variace funkce – infinitesimální změna celého průběhu funkce

• •

přípustná funkce – funkce splňující okrajové podmínky variační metoda převádí úlohu o nalezení funkce udělující minimum funkcionálu F

F  extrém na tvar

F  0

Variační metody • •

Případ ohybu prutu funkcionál – potenciální energie

  f ( w, w´´) •

podmínka extrému

  min •

i 

1 1 2 2   EI  dx  EI ( w ) dx M 2 L 2 L

 e   Fw   i  e 

1 EI ( w) 2 dx  Fw  2L

hledaná funkce – funkce průhybu

w(x) •

přípustná funkce – funkce splňující okrajové podmínky. Např.:

w(x)

w x  0   0    x l 

Ritzova metoda •

aproximace přemístění n

w( x)   ai f ( x) i 1

•

f(x) .... bázová funkce definovaná na celé oblasti konstrukce, splňuje okrajové podmínky ai .... neznámé koeficienty: mají pouze matematický význam – definují váhu dané bázové funkce Bázové funkce - volí se omezený počet funkcí. - variační princip z nich vybere nejlepší možné řešení z hlediska minima potenciální energie - pokud je mezi zvolenými bázovými funkcemi správné PŘESNÉ řešení, je variačním principem vybráno

Ritzova metoda •

podmínka minima

  min

•

vyjádřená

 0

•

vyjádření variace – parciální derivace podle všech proměnných parametrů vede na soustavu rovnic

 0  ai jejíž řešením jsou neznámé koeficienty ai. Ty se zpětně dosadí do původní aproximace a získáme rovnici přemístění. n

w( x)   ai f ( x) i 1

Metoda konečných prvků • •

Aproximace přemístění Rozdělení konstrukce na prvky a uzly

•

Bázové funkce Ni patřící k jednomu uzlovému parametru jsou nenulové pouze na okolních prvcích k danému uzlu Uzlové parametry D mají konkrétní fyzikální význam – hodnota daného přemístění v uzlu - představují primární neznámé, pomocí kterých se vše ostatní vyjadřuje Vyjádření přemístění po oblasti prvku

•

•

u ( x)  [ N ]{D}

Metoda konečných prvků •

Vyjádření deformací – z geometrických podmínek

   u  N D  BD •

Vyjádření napětí – z fyzikálních podmínek

   D   DBD •

Vyjádření potenciální energie

i 

1 1 T 1 T T T       D K D        dV  D B D B dV  V 2 V 2 2

 e  D F  T

  i  e •

kde



1 T D K D  DT F  2

K ... matice tuhosti D ... vektor uzlových parametrů F ... vektor uzlových sil

Metoda konečných prvků

•

Vyjádření minima potenciální energie podle variačního principu

K D  F

• •

lze provést - pro každý prvek - pro celou konstrukci soustava se stává řešitelnou po zavedení okrajových podmínek řešením jsou uzlová přemístění D, pomocí kterých se zpětně vyjádří - přemístění u - deformace  - napětí (resp. vnitřní síly)  na jednotlivých prvcích

Metoda konečných prvků K D  F • • •

• • •

okrajové podmínky homogenní, nehomogenní – dosazení příslušného přemístění do uzlového parametru pružné vazby – přidání tuhosti pružiny do matice tuhosti konstrukce na pozici odpovídající dané síle a posunu zatížení prvkové (spojitá zatížení po oblasti prvku) – přetransformuje se do uzlů -> vektor zatížení prvku -> vektor zatížení konstrukce uzlové (osamělá břemena přímo v uzlech) – dosazují se přímo do vektoru zatížení konstrukce

Metoda konečných prvků Fáze výpočtu • analýza prvku • sestavení matic tuhostí prvků (dle geometrie, průřezových a materiálových charakteristik) • sestavení vektorů zatížení prvků (dle zatížení po oblasti prvku) • analýza konstrukce • sestavení vektoru uzlových parametrů konstrukce • sestavení matice tuhosti konstrukce (z matic tuhostí jednotlivých prvků) • sestavení vektoru zatížení konstrukce (z vektorů zatížení prvků a z břemen působících v uzlech) • zavedení okrajových podmínek • řešení soustavy rovnic -> vektor uzlových parametrů konstrukce, reakce • dokončení analýzy prvku • sestavení vektoru uzlových parametrů prvku (z vektoru uzlových parametrů konstrukce) • výpočet deformací (z geometrických vztahů) • výpočet napětí (z fyzikálních vztahů)

Metoda konečných prvků definice úlohy • typ prvku • dimenze úlohy • tvar prvku, uzly na prvku • uzlové parametry, klouby na prutech • geometrie modelu • definice uzlů (souřadnice) a prvků (dle uzlů) • definice oblastí + automatické generování uzlů a prutů • průřezové charakteristiky + přiřazení k prvkům • číselně, z katalogu • materiálové charakteristiky + přiřazení k prvkům • číselně, z katalogu • podepření • předepsaná přemístění uzlů, pružné vazby • zatížení + kombinace zatěžovacích stavů • uzlová, prvková

Metoda konečných prvků Prvky a jejich stupně volnosti (uzlové parametry)

Metoda konečných prvků Prvky a jejich stupně volnosti (uzlové parametry)