VŠB Technická univerzita Ostrava Fakulta stavební Katedra stavební mechaniky. Pružnost a plasticita - příklady. Oldřich Sucharda

VŠB – Technická univerzita Ostrava Fakulta stavební Katedra stavební mechaniky

Pružnost a plasticita - příklady Oldřich Sucharda

Ostrava, září 2013

Obsah 1.

Průřezové charakteristiky................................................................................................... 4 1.1. Těžiště lomené čáry.................................................................................................... 4 1.2. Těžiště rovinného obrazce.......................................................................................... 5 1.3. Složený válcovaný průřez: hlavní průřezové charakteristiky .................................... 6 2. Fyzikální vztahy mezi napětími a deformacemi ................................................................ 7 2.1. Idealizované pracovní diagramy ................................................................................ 7 2.2. Skutečné pracovní diagramy ...................................................................................... 8 2.3. Sloup zatížený silou - prostý tlak ............................................................................... 9 2.4. Sloup zatížený teplotou ............................................................................................ 10 2.5. Dopočet materiálových charakteristik...................................................................... 11 3. Normálové napětí a přetvoření prutu namáhaného tahem - SU ....................................... 12 3.1. Táhlo I ...................................................................................................................... 12 3.2. Táhlo II..................................................................................................................... 13 3.3. Táhlo III.................................................................................................................... 15 4. Přetvoření prutu namáhaného tahem - SN ....................................................................... 17 4.1. Krátký sloup složený z betonu a válcovaného profilu ............................................. 17 4.2. Příklad 2 ................................................................................................................... 19 Krátký sloup složený z betonu a válcovaného profilu ......................................................... 20 4.3. Příklad 2 ................................................................................................................... 22 4.4. Příklad 3 ................................................................................................................... 23 5. Přetvoření prutu namáhaného nerovnoměrným osovým zatížením (vlastní tíha), pružnoplastické přetvoření. ................................................................................................................. 24 5.1. Trvalé (nevratné) protažení tyče .............................................................................. 24 5.2. Trvalé (nevratné) protažení tyče - jiné řešení........................................................... 25 5.3. Přetvoření prutu namáhaného osovým zatížením a vlivem vlastní tíhy................... 26 6. Kroucení ........................................................................................................................... 28 6.1. Návrh a posudek kroucené konzoly - MSU ............................................................. 28 6.2. Návrh a posudek kroucené konzoly - MSP.............................................................. 30 6.3. Staticky neurčitá úloha ............................................................................................. 31 7. Normálová napětí v prutech namáhaných na ohyb .......................................................... 32 7.1. Výpočet maximálního normálového napětí ............................................................. 32 7.2. Návrh a posudek nosníku s I profilem ..................................................................... 34 7.3. Návrh a posudek nosníku s dvojicí U profilů........................................................... 36 7.4. Návrh a posudek nosníku s I profilem ..................................................................... 38 7.5. Únosnost složeného průřezu..................................................................................... 40 8. Smyková napětí v ohýbaných nosnících .......................................................................... 41 8.1. Konzola .................................................................................................................... 41 8.2. Nosník se spojitým zatížením .................................................................................. 43 8.3. Konzola se spojitým zatížením ................................................................................ 45 9. Přetvoření nosníků namáhaných ohybem I: ..................................................................... 47 9.1. Konzola zatížená osamělým břemenem ................................................................... 47 9.2. Zatížitelnost prostého nosníku se spojitým zatížením.............................................. 50 9.3. Konzola se spojitým zatížením ................................................................................ 52 9.4. Konzola se spojitým zatížením (jiné řešení) ............................................................ 54 9.5. Konzola - trojúhelníkové zatížení ............................................................................ 57 9.6. Konzola - spojité zatížení a síla................................................................................ 59 9.7. Konzola - síla a moment........................................................................................... 62 10. Přetvoření nosníků namáhaných ohybem II................................................................. 64

10.1. Nosník .................................................................................................................. 64 10.2. Nosník zatížený momenty.................................................................................... 65 10.3. Nosník zatížený momenty (jiné řešení)................................................................ 67 10.4. Nosník zatížený momenty a silou ........................................................................ 68 10.5. Konzola – obecné řešení ...................................................................................... 71 11. Přetvoření nosníků namáhaných ohybem III - SN ....................................................... 72 11.1. Staticky neurčitý nosník 1x .................................................................................. 72 11.2. Staticky neurčitý nosník 3x .................................................................................. 76 11.3. Pružnoplastická únosnost průřezu za ohybu ........................................................ 78 12. Stabilita a vzpěrná pevnost prutů ................................................................................. 80 12.1. Prut I..................................................................................................................... 80 12.2. Prut II.................................................................................................................... 82 12.3. Prut III .................................................................................................................. 83 12.4. Prut IV .................................................................................................................. 84 12.5. Prut V ................................................................................................................... 85 13. Rovinná napjatost:........................................................................................................ 86 13.1. Příklad 1 ............................................................................................................... 86 13.2. Příklad 2 ............................................................................................................... 87 13.3. Příklad 3 ............................................................................................................... 88 13.4. Příklad 4 ............................................................................................................... 89 13.5. Příklad 5 ............................................................................................................... 90 14. Literatura ...................................................................................................................... 91

___________________________________________________________________________

1.

Průřezové charakteristiky Těžiště lomené čáry

1.1.

Stanovte polohu těžiště lomené čáry, která je dána spojnicí bodů. i

Xi

Zi

úšečka

di [m]

Tix [m]

Tiz [m]

Six [m2]

Siz [m2]

A

-6

-5

AB

7,81

-3,00

-2,50

-19,53

-23,43

B

0

0

BC

2,00

0,00

1,00

2,00

0,00

C

0

2

CD

5,83

2,50

3,50

20,41

14,58

D

5

5 2,883

-8,853

Σ

Σ

15,641 Tx [m] Tiz [m]

Statický moment k ose x´: Sx´ = ∑di.T,iz Statický moment k ose z´: Sz´ = ∑di.T,ix Souřadnice těžiště lomené čáry: Sx´ = d . zT → zT = Sx´ / d = Sz´ = d . xT → xT = Sz´ / d =

-0,566 0,184

AB

BC

x CD

z

___________________________________________________________________________ Strana 4 z 91

___________________________________________________________________________

1.2.

Těžiště rovinného obrazce

Stanovte polohu těžiště rovinného obrazce.

h2

x’ (2)

h2

z’2 T2

x2’

T2

z’T

(1)

z2

x

x

T

T

z1 h1

z’1

T1

x1’

h1

T1

z

z

b1

b1

b2

b2

i

di [mm]

plocha

Ai [mm2]

zi [mm]

Six [mm3]

Iiz [mm3]

b1

14

A1

3080,00

130,00

400400,00

50 306,7

h1

220

b2

180

h2

20

Iix [mm3] 12 422 666,7 12 881 465,8

A2

3600,00

10,00

36000,00

9 720 000,0

120 000,0 11 020 809,6

Σ

Σ

6680,000

436400,000

zt [mm]

65,329

z1 [mm]

64,671

z2 [mm]

-55,329

9 770 306,7

36 444 942,1

___________________________________________________________________________ Strana 5 z 91

___________________________________________________________________________

1.3.

Složený válcovaný průřez: hlavní průřezové charakteristiky

Průřezové charakteristiky profilu U A U=

0,0028 m2

x U=

0,0293 m

IxU=

0,0000135 m4

IzU=

0,00000113 m4

A I=

0,0015 m2

IxI=

2,8125E-06 m4

IzI=

1,25E-08 m4

x I= 0,005 m Statický moment k ose z: xT=

150/10 - 1

0,020823256 m

U180 - 2 Vzdálenosti dílčích těžišť od celkového těžiště x 1= x 2=

0,015823256 m 0,008476744 m

T1

0 8 1

T2

0 5 1

Centrální momenty setrvačnosti k těžištním osám I x=

1,63125E-05 m4

I z=

1,71926E-06 m4

Polární moment setrvačnosti IP=

0,00001803 m4

Průřezový modul ke krajním vláknům ehor.=

0,09 m2

edol.=

0,09 m2

wx.hor=

0,00018125 m3

wx.dol=

0,00018125 m3

___________________________________________________________________________ Strana 6 z 91

___________________________________________________________________________

2.

Fyzikální vztahy mezi napětími a deformacemi 2.1.

Idealizované pracovní diagramy

Zakreslete pracovní diagram pro: a) ideálně pružný materiál b) pružnoplastický materiál c) pružnoplastický materiál se zpevněním d) tuhoplastický materiál a) ideálně pružný materiál

b) pružnoplastický materiál

σ

σ

arctg E

ε

ε d) tuhoplastický materiál

c) pružnoplastický materiál se zpevněním

σ

σ

ε

ε

___________________________________________________________________________ Strana 7 z 91

___________________________________________________________________________

2.2.

Skutečné pracovní diagramy

Zakreslete pracovní diagram a uveďte základní charakteristiky materiálové pro: a) ocel b) beton

σ

Ocel

σ

Beton

ε

ε

Ocel (izotropní materiál)

Beton (izotropní materiál)

E = 210 000 MPa G = 81 000 MPa µ = 0,3

E = 20 000 - 40 000 MPa G = 0,42 E µ = 0,2

___________________________________________________________________________ Strana 8 z 91

___________________________________________________________________________

2.3.

Sloup zatížený silou - prostý tlak

Určete průběh nenulových napětí a přetvoření tyčového prvku u zobrazené konstrukce pro případ od zatížení silou F. Určete poměrné deformace pro hlavní směry (x, y, z). Vstupní údaje: Průřez je z oceli S235, E = 210 GPa, ν =0,3 (µ) Schéma:

Vstupní údaje:

Průřez:

F

b

N

l a b F

0,9 m (délka tyče) 0,2 m (šířka průřezu) 0,3 m (výška průřezu) 2000,0 kN

-F a

Nl − 2 ⋅ 10 6 ⋅ 0,9 N − 10 6 ∆l = = − 0 , 000143 m σ = = = −33,33 MPa x EA A 0,3 ⋅ 0,4 210 000 ⋅ 10 6 ⋅ 0,2 ⋅ 0,3 l´= l + ∆l = 1 − 0,000143 = 1,999857 m ∆l − 0,00003968 εx = = = −0,000071 l 1 ε y = ε z = − µε x = −0,3(−0,000071) = 0,000021 ∆l =

∆a = ε y ⋅ a = 0,000021 ⋅ 0,2 = 0,0000042857 m a´= a + ∆a = 0,2 + 0,0000042857 = 0,20000042857 m

∆b = ε z ⋅ b = 0,000021 ⋅ 0,3 = 0,0000064285 m b´= b + ∆b = 0,3 + 0,0000064285 = 0,3000064285 m

___________________________________________________________________________ Strana 9 z 91

___________________________________________________________________________

2.4.

Sloup zatížený teplotou

Určete průběh nenulových napětí a přetvoření tyčového prvku u konstrukce z předešlého příkladu pro případ, že tyč se zahřeje o 100 C°. αt =12.10-6 °C-1 Určete poměrné deformace pro hlavní směry (x, y, z). ∆l = α t ∆Tl = 12 ⋅ 10 −6 ⋅ 100 ⋅ 2 = 0,0024 m

l´= l + ∆l = 2 + 0,0024 = 2,0024 m

ε x = ε y = ε z = α t ∆T = 12 ⋅ 10 ⋅ 100 = 0,0012 −6

∆a = ε y ⋅ a = 0,0012 ⋅ 0,2 = 0,00024 m

a´= a + ∆a = 0,2 + 0,00024 = 0,20024 m

∆b = ε z ⋅ b = 0,0012 ⋅ 0,3 = 0,00036 m

b´= b + ∆b = 0,3 + 0,00036 = 0,30036 m

___________________________________________________________________________ Strana 10 z 91

___________________________________________________________________________

2.5.

Dopočet materiálových charakteristik

Dopočítejte modul pružnosti ve smyku G u předešlého příkladu. G=

E 2(1 + µ )

G=

210 = 80,76 GPa 2(1 + 0,3)

___________________________________________________________________________ Strana 11 z 91

___________________________________________________________________________

3.

Normálové napětí a přetvoření prutu namáhaného tahem SU 3.1.

Táhlo I

Navrhněte a posuďte u zobrazené konstrukce průřez táhla tak, aby splňovalo kriteria mezních stavů únosnosti a použitelnosti pro osově namáhané průřezy. Průřez je tvořen kruhovým profilem. Návrh průměru táhla zaokrouhlete na celé mm. Vstupní údaje: Průřez je z oceli S235, E = 210 GPa, γM =1,0, γQ =1,50, γG =1,35, ∆lim=5 mm. Vstupní údaje:

Schéma:

N

l L gk qk

c

L

+

p

a

8,0 m 7,0 m 20,0 kN/m 10,0 kN/m p = g+q

b l

Výpočet reakce Raz: (podmínky rovnováhy) Raz,d = (10·1,5+20·1,35) ·8/2= 168 kN Vnitřní síly: N Ed = Raz ,d = 168 kN

N k = Raz ,k = 120 kN f yk

235 = 235 MPa γM 1 Návrh: (Mezní stav únosnosti) N Amin = Ed = 0,00715 m 2 f yk Navrhuji: (kruhový průřez zaokrouhlený na celé mm) A 4 d = 2 min = 0,03017 m ⇒ 31 mm

Materiál:

f yd =

Raz,k = (10+20) ·8/2= 225 kN

=

π

Výsledný návrh je: 36 mm Posudek: (Mezní stav únosnosti) N Rd = A ⋅ f yd = 239,2 kN N Rd = 239,2 kN > N Ed = 168,0 kN Průřez vyhoví

Návrh: (Mezní stav použitelnosti) Nkl Amin = = 0,001000 m 2 E∆l lim Navrhuji: (kruhový průřez zaokrouhlený na celé mm) A 4 d = 2 min = 0,03568 m ⇒ 36 mm

π

Posudek: (Mezní stav použitelnosti) Nkl ∆l skut = = 0,00393 m EAskut ∆l lim = 4,00 mm > ∆l skut = 3,93 mm Průřez vyhoví

___________________________________________________________________________ Strana 12 z 91

___________________________________________________________________________

3.2.

Táhlo II

Navrhněte a posuďte ocelové táhlo u zavěšeného podhledu dle mezního stavu únosnosti a použitelnosti. Táhlo tvoří kruhový průřez. Výsledný návrh průměru táhla d zaokrouhlete na celé mm. Mezní protažení táhla je 4 mm. Táhlo je z oceli S235 (γM =1,0; E = 210 000 MPa). Dílčí součinitel spolehlivosti pro stálé zatížení γG je 1,35 a pro proměnné γQ je 1,5. Vstupní údaje:

N

Průřez: c

d Táhlo

l

g

Mq Tuhá deska

a

x1

b

+

x1 x2 L l g Mq

4m 6m 10 m 5m 15 kN/m 5 kNm

x2 L

Zatížení: g k ; M qk ; g d = g d ⋅ γ G ; M qd = M qk ⋅ γ Q Výpočet reakce Rcz: (podmínky rovnováhy) 2 g .L2 M 2 g .L M 0 : R L M = + ⋅ − − = 0 ⇒ Rcz = + (↑) ∑ ia cz 2⋅3 L 2⋅3 g. ⋅2 M g⋅L M 0 : R L M = − ⋅ − + = 0 ⇒ Raz = − + (↑) ∑ ic az 2⋅3 L 2⋅3 Kontrola:  M 2 g .l   M g .l   gl  ∑ Fiz = 0 : + − l + 2.3  +  + l + 2.3  −  2  = 0 Vnitřní síly: M qd 2 g d ⋅ l M qk 2 g k ⋅ l + = 68,7 kN + = 51,00 kN N Ed = Rcz = N k = Rcz = l 2⋅3 l 2⋅3 f yk 235 Materiál: = = 235 MPa f yd = γM 1 Návrh: (Mezní stav únosnosti) Návrh: (Mezní stav použitelnosti) Nkl N Ed Amin = = 0,000242 m 2 Amin = = 0,000292 m 2 E∆l lim f yk Navrhuji: Navrhuji: (kruhový průřez zaokrouhlený na celé mm) (kruhový průřez zaokrouhlený na celé mm)

___________________________________________________________________________ Strana 13 z 91

___________________________________________________________________________

d =2

Amin 4

π

= 19,29 mm ⇒ 20 mm

Výsledný návrh je: 20 mm Posudek: (Mezní stav únosnosti) N Rd = A ⋅ f yd = 14,95 kN N Rd = 73,83 kN > N Ed = 68,7 kN Průřez vyhoví

d =2

Amin 4

π

= 17,58 mm ⇒ 18 mm

Posudek: (Mezní stav použitelnosti) Nkl ∆l skut = = 0,00387 m EAskut ∆l lim = 5,00 mm > ∆l skut = 3,87 mm Průřez vyhoví

___________________________________________________________________________ Strana 14 z 91

___________________________________________________________________________

3.3.

Táhlo III

Navrhněte a posuďte u výše zobrazené konstrukce průřez táhla tak, aby splňovalo kriterium mezního stavu použitelnosti a únosnosti pro osově namáhané průřezy. Průřez je z oceli S235, E = 210 GPa, γM=1,0, γQ=1,50, γG=1,35, ∆lim=5 mm. gk = 30,0 kNm-1, qk = 15,0 kNm-1, l = 10,0 m, L = 6,0 m, pd = gd+qd. Průřez je tvořen: a) profilem I b) profilem U c) čtvercovým profilem, stranu zaokrouhlete na celé mm d) kruhovým profilem, průměr zaokrouhlete na celé mm e) dvojicí profilů I f) dvojicí profilů U

N c

L

+

p

a

b l

Vnitřní síly: N Ed = 315 kN

N k = 225 kN f yk

235 = 235MPa γM 1 Návrh: (Mezní stav únosnosti) N Amin = Ed = 0,001340.m 2 f yk

Materiál:

f yd =

=

Návrh: (Mezní stav použitelnosti) Nkl Amin = = 0,001286m 2 E∆l lim

___________________________________________________________________________ Strana 15 z 91

___________________________________________________________________________ a) profilem I – Návrh I100 A skut A skut NRd wskut

1,42 0,00142 333,70 0,004527

mm2 m2 kN m

b) profilem U – Návrh U100 A skut A skut NRd wskut

1350 0,00135 317,25 0,004762

mm2 m2 kN m

c) čtvercovým profilem, stranu zaokrouhlete na celé mm a min askut NRd wskut

0,036611822 0,037 321,72 0,004696

mm m kN m

d) kruhovým profilem, průměr zaokrouhlete na celé mm D min dskut NRd wskut

0,041312018 0,042 325,58 0,004640

mm m kN m

0,757 0,000757 0,001514 355,79 0,004246

mm2 m2 m2 kN m

712 0,000712 0,001424 334,64 0,004514

mm2 m2 m2 kN m

e) dvojicí profilů I - Návrh I100 A skut A skut 2xAskut NRd wskut f) dvojicí profilů U - Návrh U50 A skut A skut 2xAskut NRd wskut

___________________________________________________________________________ Strana 16 z 91

___________________________________________________________________________

4.

Přetvoření prutu namáhaného tahem - SN 4.1.

Krátký sloup složený z betonu a válcovaného profilu

Určete nenulové vnitřní síly a napětí pro mezní stav únosnosti v betonu a oceli u krátkého sloupu, který je zobrazen na schématu. Válcovaný ocelový profil posuďte podle mezního stavu únosnosti. Vstupní údaje: Beton Ec = 30 GPa, Ocel S235, Eo = 210 GPa, strana a = 250 mm, γM =1,0, γQ =1,50, γG =1,35, Pd = Gd+Qd, Gk=68,0 kN, Qk=30,0 kN, L=0,5 m. Průřez: P b

N

Varianta A

Varianta B

I200

2xU65

a

L a

a

Schéma:

II.

a

a

Varianta A Deformační podmínka: ∆l B = ∆l O N Ol N Bl = E B AB EO AO NO NB = E B AB EO AO N E A NB = O B B EO AO Statická podmínka: N B + NO = N

fyd=235/1=235 MPa AO= 0,00334 m2 AB=0,25·0,25-0,00334 = 0,05916 m2 N O E B AB N O 30 ⋅ 10 9 ⋅ 0,05916 NB = = = 2,53 N O EO AO 210000 ⋅ 10 9 ⋅ 0,00334

2,53 N O + N O = N = 136,8 kN N O = 38,75 kN = N Ed N B = 138 − 38,75 = 98,05 kN

N Rd = 0,00334 ⋅ 235 ⋅ 10 6 = 784,9 kN > N Ed = 38,75 kN Ocelová výztuž vyhoví

___________________________________________________________________________ Strana 17 z 91

___________________________________________________________________________ Varianta B

∆l B = ∆l O

fyd=235/1=235 MPa AO= 0,001806 m2 AB=0,25·0,25-0,001806 = 0,060694 m2

N Ol N Bl = E B AB EO AO

NB =

Deformační podmínka:

NO NB = E B AB EO AO N E A NB = O B B EO AO Statická podmínka: N B + NO = N

N O E B AB N 30 ⋅ 10 9 ⋅ 0,060694 = O = 4,8 N O EO AO 210000 ⋅ 10 9 ⋅ 0,001806

4,8 N O + N O = N = 136,8 kN N O = 23,58 kN = N Ed N B = 138 − 23,58 = 108,68 kN

N Rd = 0,001806 ⋅ 235 ⋅ 10 6 = 424,41kN > N Ed = 23,58 kN Ocelová výztuž vyhoví

___________________________________________________________________________ Strana 18 z 91

___________________________________________________________________________

4.2.

Příklad 2

Posuďte oboustranně nepoddajný prut profilu U120 rovnoměrně oteplený o 100 oC. Prut je dlouhý l=6 m a, fyk = 235 MPa, E=2,1.105 MPa, γM=1,0, α T = 1,2 ⋅ 10 −5 o C −1 .

∆T

N

l Statické podmínky rovnováhy: ∑ Fix = 0 Ra − Rb = 0 ⇒ Ra = Rb ⇒ N Deformační podmínka: Nl ∆l = 0 ⇒ ∆l = + α T ∆T ⋅ l = 0 EA N = N Ed = −α T ∆T ⋅ EA = −1,2.10 −5.100.210.10 9.1700.10 −6 = 42,84 kN Posouzení průřezu prutů: N Rd = f yd ⋅ A = 235 ⋅ 10 6 ⋅ 1700 ⋅ 10 −6 = 399,5 kN

N Rd = 399,5 ≥ N Ed =42,84 kN Průřez vyhoví

___________________________________________________________________________ Strana 19 z 91

___________________________________________________________________________

Krátký sloup složený z betonu a válcovaného profilu Určete nenulové vnitřní síly a napětí pro mezní stav únosnosti v betonu a oceli u krátkého sloupu, který je zobrazen na schématu. Válcovaný ocelový profil posuďte podle mezního stavu únosnosti. Vstupní údaje: Beton Ec = 30 GPa, Ocel S235, Eo = 210 GPa, strana a = 250 mm, γM =1,0, γQ =1,50, γG =1,35, Pd = Gd+Qd, Gk=100,0 kN, Qk=40,0 kN, L=0,8 m. Schéma:

Průřez: P

N

Varianta A

Varianta B

a

I.

a

b

b

L b

d

a a

b= 100 mm

a

d= 80 mm

Varianta A Deformační podmínka: ∆l B = ∆l O N Ol N Bl = E B AB EO AO NO NB = E B AB EO AO N E A NB = O B B EO AO Statická podmínka: N B + NO = N

fyd=235/1=235 MPa AO= 0,01 m2 AB=0,35·0,35-0,01 = 0,1125 m2 N O E B AB N O 30 ⋅ 10 9 ⋅ 0,1125 NB = = = 1,61N O EO AO 210000 ⋅ 10 9 ⋅ 0,01

1,61N O + N O = N = 195,0 kN N O = 74,79 kN = N Ed N B = 195 − 74,79 = 120,21 kN

N Rd = 0,01 ⋅ 235 ⋅ 10 6 = 2350 kN > N Ed = 74,79 kN Ocelová výztuž vyhoví

___________________________________________________________________________ Strana 20 z 91

___________________________________________________________________________

Varianta B Deformační podmínka: ∆l B = ∆l O N Ol N Bl = E B AB EO AO NO NB = E B AB EO AO N E A NB = O B B EO AO Statická podmínka: N B + NO = N

fyd=235/1=235 MPa AO= 0,005027 m2 AB=0,35·0,35-0,005027 = 0,117473 m2 N O E B AB N O 30 ⋅ 10 9 ⋅ 0,117473 NB = = = 3,34 N O EO AO 210000 ⋅ 10 9 ⋅ 0,005027

3,34 N O + N O = N = 195 kN N O = 44,94 kN = N Ed N B = 195 − 44,94 = 150,06 kN

N Rd = 0,001806 ⋅ 235 ⋅ 10 6 = 1181,24kN > N Ed = 44,94 kN Ocelová výztuž vyhoví

___________________________________________________________________________ Strana 21 z 91

___________________________________________________________________________

4.3.

Příklad 2

Posuďte oboustranně nepoddajný prut profilu 2xI100 rovnoměrně oteplený o 200oC. Prut je dlouhý l=4 m a, fyk = 235 MPa, E=2,1.105 MPa, γM=1,0, α T = 1,2 ⋅ 10 −5 °C -1 .

∆T

N

l Statické podmínky rovnováhy: ∑ Fix = 0 Ra − Rb = 0 ⇒ Ra = Rb ⇒ N Deformační podmínka: Nl ∆l = 0 ⇒ ∆l = + α T ∆T ⋅ l = 0 EA N = N Ed = −α T ∆T ⋅ EA = −1,2.10 −5 ⋅ 200 ⋅ 210 ⋅ 10 9 ⋅ (2 ⋅ 1060 ⋅ 10 −6 ) = -106,848 kN Posouzení průřezu prutů: N Rd = f yd A = 235.10 6 ⋅ ( 2 ⋅ 1060 ⋅ 10 −6 ) = 498,2 kN

N Rd = 498,2 ≥ N Ed = 106,848 kN Průřez vyhoví

___________________________________________________________________________ Strana 22 z 91

___________________________________________________________________________

4.4.

Příklad 3

Posuďte táhla konstrukce dle mezního stavu únosnosti. Táhla jsou tvořena průřezem I140. Dokonalé tuhý nosník je zatížen stálým spojitým zatížením q=100 kNm-1, a = 3 m, b = 4 m, l = 12 m, Fe 360/S235, γq=1,35, γM=1,15, fyk=235 MPa. Rc

Rb

l

q Ha ∆l1

Ra a

b ∆l1

Statické podmínky: ∑ Fix = 0 ∑ Fiz = 0

∑M

ia

=0

Deformační podmínka: ∆l1 ∆l2 = a a+b N Rd = f yd A = 235 ⋅ 10 6 2280 ⋅ 10 −6 =535,8 kN N Rd = 535,8 kN ≥ N Ed

___________________________________________________________________________ Strana 23 z 91

___________________________________________________________________________

5.

Přetvoření prutu namáhaného nerovnoměrným osovým zatížením (vlastní tíha), pružno-plastické přetvoření. 5.1.

Trvalé (nevratné) protažení tyče

Určete trvalé a pružné protažení ocelové tyče délky, jeli protažení ∆l = 40 mm. Původní délka tyče byla l = 5 m. Materiál má modul pružnosti E = 210 GPa a pevnost fyk = 275 MPa. Předpokládejte udělaně pružnoplastický materiál.

ε = ε el + ε pl

ε el =

∆l el l

ε pl =

∆l pl l

R

N

Pružné oblasti platí:

Pro pevnost materiálu platí: f yk = ε el E

ε el =

f yk

=

275 = 0,001309 210000

E ∆l ε el = el ⇒ ∆l el = ε el l = 0,001309 ⋅ 5,0 = 0,006545 m l ∆l pl = l − ∆l el = 0,04 − 0,006545 = 0,033455m = 33,455 mm

l=5m

σ = ε el E

+

P

___________________________________________________________________________ Strana 24 z 91

___________________________________________________________________________

5.2.

Trvalé (nevratné) protažení tyče - jiné řešení

Určete trvalé a pružné protaže ní ocelové tyče délky, jeli protažení ∆l = 50 mm. Původní délka tyče byla l = 3 m. Materiál má modul pružnosti E = 210 GPa a pevnost fyk = 275 MPa. Předpokládejte udělaně pružnoplastický materiál.

ε = ε el + ε pl

ε el =

∆l el l

ε pl =

∆l pl l

R

N

Pružné oblasti platí:

Pro pevnost materiálu platí: f yk = ε el E

∆l 0,05 = = 0,01666 l 3 f 275 ε el = yk = = 0,001309 E 210000

l=3m

σ = ε el E

+

ε=

P

ε pl = ε − ε el = 0,0153576 ∆l pl = ε pl l = 0,015357 ⋅ 3 = 0,04607 m = 46,07 mm

___________________________________________________________________________ Strana 25 z 91

___________________________________________________________________________

5.3.

Přetvoření prutu namáhaného osovým zatížením a vlivem vlastní tíhy

Určete nutnou průřezovou plochu Anut tyče. Průřez tyče je čtvercový. Tyč je zatížená silou F a vlastní tíhou. Určete také skutečné protažení tyče. Vstupní údaje: 8000 10 2,1.105 190 83 1,2 40

kg/m3 m/s2 MPa MPa kN

R

N

l = 40 m

ρ= g= E= fyd = Fk = γg= l=

m

měrná tíha γ = ρ g = 80 kN/m3 N max = Fk + Gk N ed = Fed + Ged

+

P

Gk = γ . A.l Ged = γ . A.l.γ g Fed = Fk .γ g

N ed Anut F + Ged = ed Anut Fed + γ . A.l.γ g = Anut

f yd = f yd f yd

Anut = a nut =

f yd

Anut =

f yd

Fed − γ . Anut .l.γ g

Fed 83 ⋅ 1,2 = = 0,000535 m 2 − γ . Anut .l.γ g 190 ⋅ 10 3 − 80 ⋅ 40 ⋅ 1,2

Anut = 23 mm

___________________________________________________________________________ Strana 26 z 91

___________________________________________________________________________ Výsledný návrh a navrh = 25 mm N Rd = Askut . f yd N Rd = 118,75 kN > N Ed = Fed + Ged = 102 kN

Obecný popis protažení tyče

u=∫

N ( x) 1  F + γ . A.x x2  . dx = ∫ dx = F x + γ A +C 2  EA( x) EA EA 

Okrajová podmínka: u(x=l)=0 1  x2  F . x + γ A +C =0 EA  2  F .l γl 2 − EA 2 E F .l γl 2 u ( x = 0) = − − EA 2 E

C=−

Záporné znaménko je z důvodu směru posunutí.

Protažení tyče – pouze celkové protažení l

l l F + Gk ( x) F + γ . A.x N ( x) 1  x2  u=∫ dx = ∫ k dx = ∫ k dx = F . x + γ A k EA( x) EA EA EA  2  0 0 0 Fk .l γl 2 u ( x = 0) = − − = 0,0253 + 0,0003 = 0,026 mm EA 2 E

___________________________________________________________________________ Strana 27 z 91

___________________________________________________________________________

6.

Kroucení 6.1.

Návrh a posudek kroucené konzoly - MSU

Navrhněte rozměry nosníku kruhového průřezu pro mezní stav únosnosti a určete maximální smykové napětí τmax, únosnost v kroucení TRd a úhel zkroucení ϕl. Nosník je tvořen z oceli Fe 430/S275, G = 81 000 MPa, γq=1,5, γM=1,0.

Mxk= 2,0 kNm

a

c

l1 = 5,0 m +

T

T1 G=

E 2(1 +ν )

I t ,nut

TEd

rnut

=

ocel : τ dov =

I t ,nut

τ dov

rnut

f yd 3 −5

= 1,889.10 m

3

3 π rnut

2

= 1,8895 ⋅ 10 −5 m 3

rnut = 0,0229m 3

rnávrh = 0,023m It =

πd 4 32

τ max =

=

πr 4 2

= 0,000000439573m 4 = 0,439573 ⋅ 10 −6 m 4

TEd 2.10 3 r= 0,023 = 156,97 MPa It 0,439573 ⋅ 10 6

TRd = τ dov

It 0,439573 ⋅ 10 −6 = 158,77 = 3,034 kNm r 0,023

___________________________________________________________________________ Strana 28 z 91

___________________________________________________________________________

TRd = 3,034 kNm ≥ TEd = 3 kNm Průřez vyhoví T ⋅l 2 ⋅ 10 3 5 ϕL = ∑ i i = = 0,2808 rad Gi ⋅ I ti 81.10 9 ⋅ 0,439573 ⋅ 10 −6

___________________________________________________________________________ Strana 29 z 91

___________________________________________________________________________

6.2.

Návrh a posudek kroucené konzoly - MSP

Navrhněte rozměry nosníku z předešlého příkladu pro mezní stav použitelnosti a určete maximální smykové napětí τmax, únosnost v kroucení TRd a úhel zkroucení ϕl. Nosník je tvořen z oceli Fe 430/S275, G = 81 000 MPa, γQ=1,5, γM=1,0. Průřez je kruhový. Maximální pootočení je ϕdov = 0,1 rad.

ϕL = ∑ rnut = 4

Ti ⋅ li Gi ⋅ I t i

2Tk ⋅ l

π .G ⋅ I t

=4

2.2.5 = 0,002977 m 3,14.81.10 9

rnávrh = 0,0030 m It =

τ max

πd 4

πr 4

= 0,000001272345m 4 = 1,272345 ⋅ 10 − 6 m 4 32 2 T 2 ⋅ 10 3 = Ed r = 0,030 = 70,74 MPa It 1,272345 ⋅ 10 6 =

It 1,272345 ⋅ 10 −6 = 158,77 = 6,734 kNm r 0,030 Průřez vyhoví TRd = τ dov

ϕL = ∑

Ti ⋅ l i 2 ⋅ 10 3 5 = = 0,098 rad Gi ⋅ I ti 81 ⋅ 10 9 ⋅ 1,272345 ⋅ 10 −6

ϕ dov = 0,1 rad > ϕ L = 0,098 rad Průřez vyhoví

___________________________________________________________________________ Strana 30 z 91

___________________________________________________________________________

6.3.

Staticky neurčitá úloha

Určete vnitřní síly na oboustranně vetknutém prutu tvořeném trubkou průměru d = 84 mm, tloušťka stěny trubky je ts= 8 mm. Trubka je tvořena z oceli Fe360 / S235, G = 81 000 MPa. Schéma:

Mxc = 12 kNm – návrhová hodnota

a

b

c

l1 = 3,0 m +

T

T1

l2 = 9,0 m T2 -

Statická podmínka rovnováhy: -M xa - M xb + M xc = 0 Deformační podmínka:

ϕl = 0

T1.l1 T2 l2 + =0 GI t GI t

T1 = M xa , T2 = M xa - M xc T1 = M xa = 9,0 kNm T2 = M xb = −3,0 kNm

___________________________________________________________________________ Strana 31 z 91

___________________________________________________________________________

7.

Normálová napětí v prutech namáhaných na ohyb 7.1.

Výpočet maximálního normálového napětí

Určete velikost maximálního normálového napětí v horních a dolních vláknech u nosníku, který je tvořen svařovaným T profilem. Průřez je z oceli S235, E = 210 GPa, γM=1,0, γQ=1,50, γG=1,35 a p=q+g. Vstupní údaje:

Průřez:

l qk gk

pásnice (160 x 16)

6m 5 kN/m 10 kN/m

T stojina (10 x 220) x=0

q

l +63,0

V -63,0

M 2° +94,5

___________________________________________________________________________ Strana 32 z 91

___________________________________________________________________________ Výpočet polohy těžiště k dolní hraně průřezu:

220 ⋅10 ⋅110 + 160 ⋅16 ⋅ 228 = (220 ⋅10 + 160 ⋅16) zT zT =

220 ⋅10 ⋅110 + 160 ⋅16 ⋅ 228 220 ⋅10 + 160 ⋅16

zT = 173,46 mm Vzdálenost těžiště jednotlivých obrazců od celkového těžiště:

z1 = 228 − z T = 54,54 mm z 2 = z T − 110 = 63,46 mm Momenty setrvačnosti vzhledem k těžištním osám: 1 1 I y = b1h13 + b1h1 z12 + b2 h23 + b2 h2 z 22 12 12 1 1 = 160 ⋅163 + 160 ⋅16 ⋅ 54,54 2 + 10 ⋅ 2203 + 10 ⋅ 220 ⋅ 63,46 2 12 12 7 4 = 2,54027 ⋅10 mm == 2,54027 ⋅10 −5 m 4 Průřezový modul ke krajním vláknům: I y 2,54027 ⋅10 7 = = 4,0618 ⋅105 mm 3 Wy ,h = eh 62,54

Wy ,d =

Iy ed

=

2,54027 ⋅10 7 173,46

= 1,4644 ⋅105 mm3

Maximální normálové napětí:

σ max,h =

M Ed 94,5 ⋅ 10 3 = = 232,6 MPa Wy,h 4,0618 ⋅ 10 −3

σ max,d =

M Ed 94,5 ⋅ 0 3 = = 645,3 MPa Wy,d 1,4644 ⋅ 10 −3

σ max,h

T

σ max,d

___________________________________________________________________________ Strana 33 z 91

___________________________________________________________________________

7.2.

Návrh a posudek nosníku s I profilem

Navrhněte a posuďte ocelový nosník z válcovaného I profilu. Průřez je z oceli S235, E = 210 GPa, γM=1,0, γQ=1,50, γG=1,35 a p=q+g. Vstupní údaje:

l qk gk

5m 5 kN/m 10 kN/m

Schéma: p

l

V

M

2°

___________________________________________________________________________ Strana 34 z 91

___________________________________________________________________________

Materiál: Ocel S235 f yk = 235MPa

γ M = 1,0

f yd =

f yk

γM

=

235 ⋅ 10 6 = 235 MPa 1

Mezní stav únosnosti Mmax=MEd= 42,0 kNm w y , min =

Návrh

M Ed = 178,72·103 mm3 f yd I200

w y , skut = 214·103 mm3

Posudek M Rd = w y , skut f yd = 50,29 kNm M Rd = 50,29 kNm > M Ed = 42,0 kNm Průřez vyhoví

___________________________________________________________________________ Strana 35 z 91

___________________________________________________________________________

7.3.

Návrh a posudek nosníku s dvojicí U profilů

Navrhněte a posuďte ocelový nosník z dvojice válcovaných U profilů. Průřez je z oceli S235, E = 210 GPa, γM=1,0, γQ=1,50, γG=1,35 a p=q+g. Vstupní údaje:

l qk gk

Schéma:

5m 5 kN/m 10 kN/m

p

2

2

1

V

M 2°

___________________________________________________________________________ Strana 36 z 91

___________________________________________________________________________


γ M = 1,0

f yd =

f yk

γM

=

235 ⋅ 10 6 = 235 MPa 1

Mezní stav únosnosti Mmax=MEd= 40,13 kNm w y , min, celkové = w y , min,U =

Návrh

M Ed = 170,766·103 mm3 f yd

M Ed / 2 = 85,38·103 mm3 f yd 2x U140

w y , skut ,U = 172,8.103 mm3


___________________________________________________________________________ Strana 37 z 91

___________________________________________________________________________

7.4.

Návrh a posudek nosníku s I profilem

Navrhněte a posuďte ocelový nosník z dvojice válcovaných U profilů. Průřez je z oceli S235, E = 210 GPa, γM=1,0, γq=1,50, γg=1,35 a p=q+g. Vstupní údaje: l qk gk

5m 5 kN/m 10 kN/m

Schéma:

p

1

2

2

1

V

M 2°

___________________________________________________________________________ Strana 38 z 91

___________________________________________________________________________


γ M = 1,0

f yd =

f yk

γM

=

235 ⋅ 10 6 = 235 MPa 1


Návrh

M Ed = 134,05·103 mm3 f yd I180

w y , skut = 160·103 mm3


___________________________________________________________________________ Strana 39 z 91

___________________________________________________________________________

7.5.

Únosnost složeného průřezu

Vypočtěte únosnost složeného průřezu pro mezní stav únosnosti ohýbaných průřezů. Profil se skládá z I240 a U160. Průřez je z oceli S235, E = 210 GPa, γM=1,0. Těžiště: 4610.120 + 2400 ⋅ (240 + 18,4) 4610 + 2400 z t = 167,38374mm

Průřez:

U 160

zt =

I 240

z1 = 120 − 167,38374 = 47,383mm z 2 = (240 + 18,4) − 167,38374 = 91,01mm Moment setrvačnosti: I z ,U 160 = 8,50.10 -7 m 4 I y , I 240 = 4,24.10.10 -5 m 4 I y = 0,0000424 + 0,00461 ⋅ 0,047383 2 + 0,00000085 + 0,0024 ⋅ 91,012 I y = 7,3482.10 -5 m 4 Pozor na osy u profilu U. Průřezový modul: 7,3482 ⋅ 10 -5 w y ,h = 0,305 - 0,16738374

w y ,h = 5,3396 ⋅ 10 -4 m 3 w y ,d =

7,3482 ⋅ 10 -5 0,16738374

w y ,d = 4,390 ⋅ 10 -4 m 3 Únosnost: M Rd ,h = 235 ⋅ 5,3396 ⋅ 10 -4 = 125,48 kNm M Rdy ,d = 235 ⋅ 4,390 ⋅ 10 -4 = 103,17 kNm Výsledná únosnost průřezu je: M Rdy ,d = 235 ⋅ 4,390 ⋅ 10 -4 = 103,17 kNm

___________________________________________________________________________ Strana 40 z 91

___________________________________________________________________________

8.

Smyková napětí v ohýbaných nosnících 8.1.

Konzola

Navrhněte a posuďte u výše zobrazené konstrukce šířku průřezu v lepené spáře tak, aby konstrukce splňovala kriterium spolehlivosti dle mezního stavu únosnosti pro průřezy namáhané smykem. Návrhová pevnost lepidla ve smyku v lepené spáře τdov,lep = 0,9 MPa. Výsledný návrh šířky průřezu zaokrouhlete na sudé mm. Vykreslete průběh V a M. Vstupní údaje: l q F h

2m 10 kN/m 5 kN 0,20 m

q

F

l

V -25,0 xxx

M

2°

___________________________________________________________________________ Strana 41 z 91

___________________________________________________________________________

τ max =

VEd .S y

VRd ,lep =

S y ,1 / 3 =

I y .b 3 ⋅ b ⋅ h ⋅ τ dov ,lep 4

bh 2 9

Iy =

bh 3 12

VRd ≥ VEd

bmin =

4VEd . 3τ xz h

τ xz = τ dov

Extrémní smyková síla Extrémní posouvající síla Vmax [kN] :

25,000

Průřez Výška průřezu h [m] : Počet lamel v průřezu n [ks] :

0,22 3

Dovolené namáhání tdov [MPa] :

0,90

Minimální šířka průřezu bmin [m] :

0,168

Minimální šířka průřezu bmin [mm] :

168,4

Navržená šířka průřezu b [mm] :

170

Výsledky Smykové napětí tmax [MPa] :

0,891

VEd [kN] :

25,0000

VRd [kN] :

25,245

Průřez

Vyhoví

___________________________________________________________________________ Strana 42 z 91

___________________________________________________________________________

8.2.

Nosník se spojitým zatížením

a) Navrhněte z hlediska smyku dřevěný lepený nosník obdélníkového průřezu na napětí v lepené spáře, je-li τdov,lep pro lepidlo 0,6 MPa. Zatížení je nahodilé γQ=1,5 a nominální hodnotu qk =7 kN/m. Délka nosníku je 5 m a výška průřezu 0,3 m. b) Navrhněte průřez také z hlediska maximálního napětí (na ose y), je-li návrhová pevnost dřeva ve smyku τdov,dř =2,0 MPa. c) Navrhněte nosník z hlediska maximálního normálového napětí za ohybu, je-li fd,dřeva = σdov,dřeva = 13,7 MPa. d) Vyberte rozhodující hodnotu šířky průřezu a posuďte všechny tři únosnosti (VRd,lep, VRd,dřeva, MRd,dřeva) x=0

q

l +28,125

V -28,125

M 2° +35,16

___________________________________________________________________________ Strana 43 z 91

___________________________________________________________________________ a) Smykové napětí v lepené spáře VEd = Vmax = 28,125kN S y ,1 / 3 =

b ⋅ h h bh 2 = 3 3 9

bh 2 VEd S y ,1 / 3 9 = 4 VEd τ xz ,1 / 3 = = 1 3 I yb 3 bh bh b 12 4V Ed 4.28,125 bnut = = = 208,33 mm 3τ xz ,lepidla h 3.0,6.0,3 V Ed

b) Maximální smykové napětí v těžišti průřezu b ⋅ h h bh 2 S y ,1 / 2 = = 2 4 8 bh 2 VEd S y ,1 / 2 VEd 8 3 VEd τ xz ,1 / 2 = = = 1 3 I yb 2 bh bh b 12 3VEd 3 ⋅ 28,125 bnut = = = 70,32 mm 2τ xz , drěrě h 2 ⋅ 2,0 ⋅ 0,3 c) Maximální normálové napětí v nebezpečném průřezu M Ed = M max = 35,15kNm M 6M 6 ⋅ 35,16 σ x = Ed == 2 Ed = = 171,1 mm wy h σ dov ,dř 0,3 2 ⋅ 13,7 d) Návrh a posouzení průřezu Výsledný návrh je 210 mm. VRd ,dř =

VRd ,dř =

3bhτ dov ,lep 4 2bhτ dov ,dř

M Rd ,dř =

3 bh 2σ dov , dř 6

=

3 ⋅ 0,21 ⋅ 0,3 ⋅ 0,6 = 28,35 kN 4

Průřez vyhovuje

=

2 ⋅ 0,21 ⋅ 0,3 ⋅ 13,7 = 575,39 kN 3

Průřez vyhovuje

0,21 ⋅ 0,3 2 ⋅ 13,7 = = 43,15 kNm 6

Průřez vyhovuje

___________________________________________________________________________ Strana 44 z 91

___________________________________________________________________________

8.3.

Konzola se spojitým zatížením

a) Navrhněte z hlediska smyku dřevěný lepený nosník obdélníkového průřezu na napětí v lepené spáře, je-li τdov,lep pro lepidlo 0,7 MPa. Návrhové zatížení má hodnotu p =10 kN/m. Délka nosníku je 2 m a výška průřezu 0,24 m. b) Navrhněte průřez také z hlediska maximálního napětí (na ose y), je-li návrhová pevnost dřeva ve smyku τdov,dř =1,0 MPa. c) Navrhněte nosník z hlediska maximálního normálového napětí za ohybu, je-li fd,dřeva = σdov,dřeva = 12,0 MPa. d) Vyberte rozhodující hodnotu šířky průřezu a posuďte všechny tři únosnosti (VRd,lep, VRd,dřeva, MRd,dřeva).

x=0

p

l +20,0

V

-20,0

M

2°

___________________________________________________________________________ Strana 45 z 91

___________________________________________________________________________ a) Smykové napětí v lepené spáře VEd = Vmax = 20,0 kN S y ,1 / 3 =

b ⋅ h h bh 2 = 3 3 9

bh 2 VEd S y ,1 / 3 9 = 4 VEd τ xz ,1 / 3 = = 1 3 I yb 3 bh bh b 12 4V Ed 4 ⋅ 20,0 bnut = = = 158,73 mm 3τ xz ,lepidla h 3 ⋅ 0,7 ⋅ 0,24 V Ed

b) Maximální smykové napětí v těžišti průřezu b ⋅ h h bh 2 S y ,1 / 2 = = 2 4 8 bh 2 V Ed VEd S y ,1 / 2 8 = 3 VEd τ xz ,1 / 2 = = 1 3 I yb 2 bh bh b 12 3VEd 3 ⋅ 20 bnut = = = 125,0 mm 2τ xz , drěrě h 2 ⋅ 1,0 ⋅ 0,24 c) Maximální normálové napětí v nebezpečném průřezu M Ed = M max = 20 kNm M 6M 6.20,0 σ x = Ed == 2 Ed = = 173,6 mm wy h σ dov ,dř 0,3 2.12 d) Návrh a posouzení Výsledný návrh je 174 mm. VRd ,dř =

VRd ,dř =

3bhτ dov ,lep 4 2bhτ dov ,dř

M Rd ,dř =

3 bh 2σ dov ,dř 6

=

3 ⋅ 0,174 ⋅ 0,24 ⋅ 0,7 = 21,92 kN 4

Průřez vyhovuje

=

2 ⋅ 0,174 ⋅ 0,24 ⋅ 12,0 = 334,08,2 kN 3

Průřez vyhovuje

0,174 ⋅ 0,24 2 ⋅ 12,0 = =≥ M ed = 20,04 kNm 6

Průřez vyhovuje

___________________________________________________________________________ Strana 46 z 91

___________________________________________________________________________

9.

Přetvoření nosníků namáhaných ohybem I: 9.1.

Konzola zatížená osamělým břemenem

Vykreslete průběhy vnitřních sil na konstrukci a popište je. Odvoďte rovnici ohybové čáry a vykreslete ji. Vykreslete průběhy nenulových napětí po výšce průřezu v bodech a a b a popište je. Respektuje zvolený souřadný systém (x=0).

Vstupní údaje:

Průřez: x=0

b h l F

h

F a

b

0,12 m 0,24 m 2m 15 kN

EIy = konst. ≠ 0

l b

a) Vnitřní síly na konstrukci. Normálové síly

0

N

F + Posouvající síly

0

V -F.l 1°

Ohybové momenty

M

0

b) Nákres ohybové čáry.

___________________________________________________________________________ Strana 47 z 91

___________________________________________________________________________

wmax =

1Fl 3 1 ; I y = bh 3 3EI y 12

Momentová funkce a rovnice ohybové čáry: M = M ( x) = − Fl + Fx EIw´´= − M = + Fl − Fx

Okrajové podmínky: w(0) = 0 ⇒ C2 = 0 w´(0) = 0 ⇒ C1 = 0

x2 + C1 2 x2 x3 EIw = + Fl −F + c1 x − c 2 2 6 x2 x3 EIw = + Fl −F 2 6 2 Fl 3 Fl 3 + Fl l w( x = l ) = − = EI 2 6 3EI EIw´= + Flx − F

c) Napětí: Vmax= F; Mmax= -F·l

Normálové napětí

Průřez:

σmax

Bod b Smykové napětí

σx

Normálové napětí

τ xy

σx

Smykové napětí

τ xy

parabola 2°

Bod a

h

+

+

τ max

+

τ max

-

σmax

b

(pozor – záporný moment)

τ max =

Vmax .S y I y .b

=

3Vmax 2bh

σ max =

M max 6 M max = Wy bh 2

___________________________________________________________________________ Strana 48 z 91

___________________________________________________________________________

Geometrie konstrukce Délka l [m] :

2,00

Geometrie konstrukce Šířka b [m] :

0,12

Šířka h [m] :

0,24

Zatížení konstrukce Velikost zatížení F[kN] :

15,00

Výsledky Maximalní posouvající síla Vmax [kN] :

15,00

Maximalní moment Mmax [kNm] :

-30,00

Maximalní σx,max [MPa] :

-26,04

Maximalní τxz,max [MPa] :

0,7813

___________________________________________________________________________ Strana 49 z 91

___________________________________________________________________________

9.2.

Zatížitelnost prostého nosníku se spojitým zatížením

Určete výslednou zatížitelnost nosníku se spojitým zatížením q pro mezní stav únosnosti a použitelnosti. Nosník je z válcovaného profilu I200 a oceli S235 (γM =1,0; E = 210 000 MPa). Dílčí součinitel spolehlivosti pro proměnné zatížení γQ je 1,5. Největší dovolený průhyb nosníku je wlim=l/300. Respektuje zvolený souřadný systém (x=0). Délka nosníku je l=4 m. Vykreslete průběh V a M. x=0

q

l Vmax

V

M 2° Mmax


γ M = 1,0

f yd =

f yk

γM

235 ⋅ 10 6 = = 235 MPa 1

Mezní stav únosnosti: Profil I200 w y ,skut . = 0,818 ⋅ 10 −4 m 3 q l 1 M Rd = f yd .w y M max = q d l 2 2 Raz = Rbz = d 8 2 1 M Rd = M Ed = M max = q d l 2 = f yd .w y 8 8 f yd ⋅ w y 8 ⋅ 235 ⋅ 10 6 ⋅ 0,000214 q 11,18 qd = = = 25,15 kN/m qk = d = = 16,76 kN/m 2 16 γ Q 1,50 l

___________________________________________________________________________ Strana 50 z 91

___________________________________________________________________________ Mezní stav použitelnosti: qx 2 M ( x) = Raz x − 2 qx 2 EIw′′ = − M ( x) = − Raz x + 2 2 3 x qx EIw′ = − Raz + + c1 2 6 x 3 qx 4 EIw = − Raz + + c1 x + c 2 6 24

Raz =

wlim =

qlx 3 qx 4 ql 3 ql 3 + + (+ − )x 12 24 12 24

EIw = −

qlx 3 qx 4 ql 3 + + x 12 24 24

w( x = l / 2) =

w( x = l ) = 0 l 2 ql 3 ql 3 − = 6 24 24

EIw = − Raz

EIw = −

1  ql 4 ql 4 ql 4 ql 4  −  + + − EI  96 384 24 48  1  4ql 4 ql 4 16ql 4 8ql 4 − w( x = l / 2) = + + − EI  384 384 384 384

w( x = 0) = 0 c2 = 0

c1 = + Raz

ql 2

  

5ql 4 w( x = l / 2) = 384 EI

x 3 qx 4 l 2 ql 3 + + (+ Raz − )x 6 24 6 24

l 5ql 4 = 300 384 EI

qk = q =

384 EI = 17,98 kN/m 5.300l 3

Zatížitelnost nosníku spojitým zatížením je q = 16,76 kN/m . (Menší hodnota)

___________________________________________________________________________ Strana 51 z 91

___________________________________________________________________________

9.3.

Konzola se spojitým zatížením

Navrhněte a posuďte u výše zobrazené konstrukce průřez tak, aby konstrukce splňovala kriteria mezního stavu použitelnosti a únosnosti pro průřezy namáhané ohybem. Průřez je z oceli S235, E = 210 GPa, γM=1,0, γQ=1,50, γG=1,35, wlim=10 mm. l=2 m, gk=6,0 kN/m, qk=1,5 kN/m, p=q+g. Průřez je tvořen dvojicí profilů I. x=0

p

l

V -22,2 -20,7 2°

M


γ M = 1,0

f yd =

f yk

γM

=

235 ⋅ 10 6 = 235MPa 1

Mezní stav použitelnosti: px 2 M ( x) = − 2 EIw′′ = − M ( x) =

px 2 2

px 3 + c1 6 px 4 EIw = + c1 x + c 2 24

EIw′ =

___________________________________________________________________________ Strana 52 z 91

___________________________________________________________________________ w′( x = l ) = 0 c1 = −

pl 3 6

w( x = l ) = 0 pl 4 c2 = 8 EIw =

px 4 pl 3 pl 4 − x+ 24 6 8

Mezní stav únosnosti: Mmax=MEd= 20,7 kNm w y , min =

M Ed = 88,08·103 mm3 f yd

I y , min =

1 pl 4 = 7,142·106 mm4 wlim 8 E

Výsledný návrh, který splňuje obě podmínky: I120 w y , skut = 57,3·103 mm3

I y ,skut , = 8,190.106 mm4 2xI120 w y , skut = 114,6·103 mm3 I y ,skut , = 16,38·106 mm4

Posudek: Mezní stav únosnosti M Rd = w y , skut f yd = 38,49 kNm M Rd > M Ed Průřez vyhoví Mezní stav použitelnosti wskut = 6,23 mm wlim > wskut Průřez vyhoví

___________________________________________________________________________ Strana 53 z 91

___________________________________________________________________________

9.4.

Konzola se spojitým zatížením (jiné řešení)

Navrhněte a posuďte u výše zobrazené konstrukce průřez tak, aby konstrukce splňovala kriteria mezního stavu použitelnosti a únosnosti pro průřezy namáhané ohybem. Průřez je z oceli S235, E = 210 GPa, γM=1,0, γq=1,50, γg=1,35, wlim=10 mm. l=2 m, gk=6,0 kN/m, qk=1,5 kN/m, p=q+g. Průřez je tvořen dvojicí profilů I.

x=0

p

l 22,2

V

-20,7

M

2°

___________________________________________________________________________ Strana 54 z 91

___________________________________________________________________________


γ M = 1,0

f yd =

f yk

γM

=

235 ⋅ 10 6 = 235 MPa 1

Mezní stav použitelnosti: pl 2 px 2 M = M ( x) = − + plx − 2 2 pl 2 px 2 − plx + 2 2 2 2 3 pl x px EIw´= + x − pl + + c1 2 2 6 pl 2 x 2 x 3 px 4 EIw = + − pl + + c1 x + c 2 4 6 24

EIw´´= − M = +

w(0) = 0 ⇒ C 2 = 0 w´(0) = 0 ⇒ C1 = 0 pl 2 x 2 x 3 px 4 EIw = + − pl + 4 6 24

1  6 pl 4 4 pl 4 pl 4  3 pl 4 pl 4   w( x = l ) = + − + = = EI  24 24 24  24 EI 8EI Mezní stav únosnosti: Mmax=MEd= 20,7 kNm w y , min =

M Ed = 88,08·103 mm3 f yd

I y , min =

1 pl 4 = 7,142·106 mm4 wlim 8 E

Výsledný návrh, který splňuje obě podmínky: I120 w y , skut = 57,3·103 mm3 I y , skut , = 8,190·106 mm4 2xI120 w y , skut = 114,6·103 mm3 I y , skut , = 16,38·106 mm4

___________________________________________________________________________ Strana 55 z 91

___________________________________________________________________________

Posudek Mezní stav únosnosti M Rd = w y , skut f yd = 38,49 kNm M Rd > M Ed Průřez vyhoví

Mezní stav použitelnosti wskut = 6,23 mm wlim > wskut Průřez vyhoví

___________________________________________________________________________ Strana 56 z 91

___________________________________________________________________________

9.5.

Konzola - trojúhelníkové zatížení

Navrhněte a posuďte u výše zobrazené konstrukce průřez tak, aby konstrukce splňovala kriteria mezního stavu použitelnosti a únosnosti pro průřezy namáhané ohybem. Průřez je z oceli S235, E = 210 GPa, γM=1,0, γQ=1,50, γG=1,35, wlim=10 mm. l=2 m, gk=6,0 kN/m, qk=1,5 kN/m, p=q+g. Průřez je tvořen dvojicí profilů I.

x=0

p

l

2°

11,1

V

M Materiál: Ocel S235 f yk = 235MPa

-13,87

γ M = 1,0

3°

f yd =

f yk

γM

=

235 ⋅ 10 6 = 235 MPa 1

Mezní stav použitelnosti: pl 2 plx px 3 M = M ( x) = − + − 3 2 6l pl 2 plx px 3 − + 3 2 6l 2 2 4 pl x plx px EIw´= + − + + c1 3 4 24l

EIw´´= − M = +

___________________________________________________________________________ Strana 57 z 91

___________________________________________________________________________

EIw = +

pl 2 x 2 plx 3 px 5 − + + c1 x + c 2 6 12 120l

w(0) = 0 ⇒ C 2 = 0 w´(0) = 0 ⇒ C1 = 0 1  pl 3l pl 3 pl 3  3 pl 3 1 pl 3 + = − + = EI  3 4 24  24 EI 8EI 1  pl 2 x 2 plx 3 px 5  pl 4 (+ 20 − 10 + 1) 11 pl 4 + = − + = w( x = l ) = EI  6 12 120l  EI 120 120 EI w´(x = l ) =

Mezní stav únosnosti: Mmax=MEd= 13,865 kNm w y , min =

M Ed = 58,723·103 mm3 f yd

I y , min =

1 11 pl 4 = 5,238·106 mm4 wlim 120 E

Výsledný návrh, který splňuje obě podmínky: I120 w y , skut = 32,8·103 mm3 I y ,skut , = 5,47·106 mm4 2xI120 w y , skut = 65,6·103 mm3 I y ,skut , = 10,94·106 mm4


Mezní stav použitelnosti wskut = 7,98mm wlim > wskut Průřez vyhoví

___________________________________________________________________________ Strana 58 z 91

___________________________________________________________________________

9.6.

Konzola - spojité zatížení a síla

Navrhněte a posuďte u výše zobrazené konstrukce průřez tak, aby konstrukce splňovala kriteria mezního stavu použitelnosti a únosnosti pro průřezy namáhané ohybem. Průřez je z oceli S235, E = 210 GPa, γM=1,0, γQ=1,50, γG=1,35, wlim=10 mm. l=2 m, gk=6,0 kN/m, qk=1,5 kN/m Fq,k = 20,0 kN, p=q+g. Průřez je tvořen dvojicí profilů I. x=0

p

Fq

l

V

-xxx -80,7 2°

M


γ M = 1,0

f yd =

f yk

γM

=

235 ⋅ 10 6 = 235 MPa 1

Mezní stav použitelnosti M ( x) = −

px 2 − Fx 2

___________________________________________________________________________ Strana 59 z 91

___________________________________________________________________________

EIw′′ = − M ( x) =

px 2 + Fx 2

px 3 x2 EIw′ = +F + c1 6 2 px 4 x3 EIw = +F + c1 x + c 2 24 6 w′( x = l ) = 0 c1 = −

pl 3 Fl 2 − 6 2

w( x = l ) = 0 c2 =

pl 4 1 3 + Fl 8 3

EIw =

 pl 3 Fl 2  px 4 pl 4 1 3  x + + Fx +  − − + Fl 24 2  8 3  6

wmax( x =0) =

1  pl 4 1 3   + Fl  EI  8 3 


I y , min

M ed = 343,40·103 mm3 f yd

1 = Ewlim

 pl 4 1 3   + Fl  = 32,539·106 mm4 3  8 

Výsledný návrh, který splňuje obě podmínky I120 w y , skut = 214·103 mm3

I y ,skut , = 2,14.106 mm4 2xI120 w y , skut = 428·103 mm3 I y ,skut , = 4,28·106 mm4

Posudek Mezní stav únosnosti M Rd = w y , skut f yd = 100,58 kNm ___________________________________________________________________________ Strana 60 z 91

___________________________________________________________________________ M Rd > M Ed Průřez vyhoví Mezní stav použitelnosti wskut = 7,60 mm wlim > wskut Průřez vyhoví

___________________________________________________________________________ Strana 61 z 91

___________________________________________________________________________

9.7.

Konzola - síla a moment

Navrhněte a posuďte u výše zobrazené konstrukce průřez tak, aby konstrukce splňovala kriteria mezního stavu použitelnosti a únosnosti pro průřezy namáhané ohybem. Průřez je z oceli S235, E = 210 GPa, γM=1,0, γQ=1,50, γG=1,35, wlim=10 mm. l=2 m, Mg,k=10 kNm, Fq,k = 20,0 kN, p=q+g. Průřez je tvořen profilem I.

x=0

Fq Mg

l

V

-30,0 -73,5

M


γ M = 1,0

f yd =

f yk

γM

=

235 ⋅ 10 6 = 235 MPa 1

Mezní stav použitelnosti M ( x) = − Fx − M EIw′′ = − M ( x) = Fx + M 1 EIw′ = Fx 2 + Mx + c1 2 1 x2 EIw = Fx 3 + M + c1 x + c 2 6 2 w′( x = l ) = 0

___________________________________________________________________________ Strana 62 z 91

___________________________________________________________________________ 1 2 Fl + Ml + c1 2 1 c1 = − Fl 2 − Ml 2 w( x = l ) = 0

0=

3

Fl Mx 2 + + c1 x + c 2 6 2 1 1 c 2 = Fl 3 + Ml 2 3 2 1 1 1 1  1  EIw = Fx 3 + Mx 2 +  − Fl 2 − Ml  x + Fl 3 + Ml 2 6 2 3 2  2  0=

wmax( x =0) =

1 1 3 1 2   Fl + Ml  EI  3 2 


M Ed = 312,76·103 mm3 f yd

I y , min =

1 Ewlim

 pl 4 1 3   + Fl  = 34,920 ·106 mm4 3  8 

Výsledný návrh, který splňuje obě podmínky I240 w y , skut = 354·103 mm3 I y ,skut , = 4,25·106 mm4

Posudek Mezní stav únosnosti M Rd = w y , skut ⋅ f yd = 83,19 kNm M Rd > M Ed Průřez vyhoví


___________________________________________________________________________ Strana 63 z 91

___________________________________________________________________________

10. Přetvoření nosníků namáhaných ohybem II 10.1.

Nosník

Určete rovnici ohybové čáry pro daný nosník. x=0

M

q

g

F

x1 x2 x3 x4 l

M ( x) = Raz −

M− x > x1

x > x2

EIw′′ = − M ( x) = − Raz +

EIw′ = − Raz x +

F (l − x 2 ) −

M+ x > x1

x > x2

q (l − x 4 ) 3 1 1 q (l − x3 ) 2 + q (l − x 4 ) 2 − 6(l − x 4 ) x > x3 2 x > x4 2

F (l − x 2 ) +

q (l − x 4 ) 3 1 1 q (l − x3 ) 2 − q (l − x 4 ) 2 + 6(l − x 4 ) x > x3 2 x > x4 2

q (l − x3 ) (l − x 2 ) 2 q (l − x 4 ) 3 q (l − x 4 ) 4 + − + + c1 2 12 12 24(l − x 4 ) x > x3 x > x4 3

x > x1

M ( x − x1 ) +

F x > x2

q (l − x3 ) ( x − x1 ) 2 (l − x 2 ) 3 q (l − x 4 ) 4 x2 + M + F + − + 2 x > x1 2 6 24 24 x > x2 x > x3 x > x4 4

EIw = − Raz

q (l − x 4 ) 5 + + c1 x + c 2 120(l − x 4 )

___________________________________________________________________________ Strana 64 z 91

___________________________________________________________________________

10.2.

Nosník zatížený momenty

Navrhněte a posuďte u výše zobrazené konstrukce průřez tak, aby konstrukce splňovala kriteria mezního stavu použitelnosti a únosnosti pro průřezy namáhané ohybem. Průřez je z oceli S235, E = 210 GPa, γM=1,0, γQ=1,50, γG=1,35, wlim=10 mm. l=2 m, Mq,k=10 kNm. Průřez je tvořen profilem I. Příklad řešte Mohrovou metodou. x=0

M

2

M

2

2

l=6m

M x=0

g

2

2

2

l=6m

M 2°

___________________________________________________________________________ Strana 65 z 91

___________________________________________________________________________


γ M = 1,0

f yd =

f yk

γM

=

235 ⋅ 10 6 = 235 MPa 1

Mezní stav únosnosti Mmax=MEd= 50·1,5 = 75,0 kNm w y , min =

M Ed = 319,1·103 mm3 f yd

Mezní stav použitelnosti 1 (125) = 59,53·106 mm4 I y ,min = Ewlim Výsledný návrh, který splňuje obě podmínky: I280 w y , skut = 541·103 mm3 I y , skut , = 75,8·106 mm4



___________________________________________________________________________ Strana 66 z 91

___________________________________________________________________________

Nosník zatížený momenty (jiné řešení)

10.3.

Předešlý příklad řešte Clabsovou metodou. Parametry: l, F, M. M ( x) = −

M+ x >2

M x >4

EIw′′ = − M ( x) = +

M− x>2

EIw´= +

M ( x − 2) − x >2

EIw = +

x>4

M x >2

w( x = 0) = 0 c2 = 0 w( x = l ) = 0 c1 = 50

EIw(l / 2, x =3) =

I y ,min =

M x >4

M ( x − 4) + c1

( x − 2) 2 ( x − 4) 2 − M + c1 x + c 2 2 2 x >4

− 50 + 150 = 125 2

125 Ewlim

___________________________________________________________________________ Strana 67 z 91

___________________________________________________________________________

10.4.

Nosník zatížený momenty a silou

Navrhněte a posuďte u výše zobrazené konstrukce průřez tak, aby konstrukce splňovala kriteria mezního stavu použitelnosti a únosnosti pro průřezy namáhané ohybem. Průřez je z oceli S235, E = 210 GPa, γM=1,0, γQ=1,50, γG=1,35, wlim=10 mm. Fq,k = 100 kN, Mq,k = 10,0 kNm . x1 = 2 m, x2 = 1 m. Průřez je tvořen profilem I. x=0

Mq

x1

Fq

x2

x2

Mq

x1

l

V

M

___________________________________________________________________________ Strana 68 z 91

___________________________________________________________________________

Mezní stav použitelnosti Parametry: l, F, M. M ( x) = Raz x +

M− x>2

F ( x − 3) − x >3

EIw′′ = − M ( x) = − Raz x −

M x >4

M+ x >2

F ( x − 3) + x >3

M x >4

x2 ( x − 3) 2 EIw´= − Raz − M ( x − 2) + F + − M ( x − 4) + c1 2 x >2 2 x >3 x >4 EIw = − Raz

x3 ( x − 2) 2 ( x − 3) 3 ( x − 4) 2 − M + F + M + c1 x + + c 2 6 x>2 2 6 2 x >3 x >4

w( x = 0) = 0 c2 = 0 w( x = l ) = 0 l3 (l − 2) 2 (l − 3) 3 (l − 4) 2 −M +F +M + c1l + 0 6 2 6 2 l3 42 33 22 0 = − Raz − M +F +M + c1l 6 2 6 2 0 = − Raz

c1 =

Raz l 2 M 4 2 F 33 M 2 2 + − − =300+13,333-75-3,3333=235 6 2l 6l 2l

EIw(l / 2, x =3) = −50

33 (3 − 2) 2 − 10 + 235 ⋅ 3 6 2

EIw(l / 2, x =3) = −225 − 5 + 705 = 475

475 EI 475 = Ewlim

w(l / 2, x =3) =

I y ,min

Mezní stav únosnosti Mmax=MEd= 238,5 kNm Výsledný návrh, který splňuje obě podmínky I380 w y , skut = 1,26·10-3 m4

___________________________________________________________________________ Strana 69 z 91

___________________________________________________________________________ I y ,skut , = 2,4·10-4 mm3 Posudek Mezní stav únosnosti M Rd = w y , skut f yd = 1,26·10-3·235·10-3 = 296,1 kNm M Rd > M Ed Průřez vyhoví Mezní stav použitelnosti 475 ⋅ 1000 = 9,42 mm 210 ⋅ 10 9 ⋅ 2,4.10 − 4 = 9,42 mm

wlim, skut wskut

wlim > wskut

Průřez vyhoví

___________________________________________________________________________ Strana 70 z 91

___________________________________________________________________________

10.5.

Konzola – obecné řešení

Vyřešte průhyb u konzoly Mohrovou metodou obecně. x=0

F

l -F.l M

-F.l

g (1/3)F.l3 3°

M

___________________________________________________________________________ Strana 71 z 91

___________________________________________________________________________

11. Přetvoření nosníků namáhaných ohybem III - SN 11.1.

Staticky neurčitý nosník 1x

Navrhněte a posuďte průřez u zobrazené staticky neurčité konstrukce namáhané ohybem tak, aby konstrukce splňovala kriterium mezního stavu únosnosti (pro průřezy namáhané ohybem). Průřez je tvořen válcovaným ocelovým profilem I. Vstupní údaje: Průřez je z oceli S235, E = 210 GPa, γM=1,0. Vstupní údaje:

Schéma:

l x1 x2 gd

x=0

q

5,0 m 1,0 m 4,0 m 10,0 kN/m

Průřez:

x1

x2 l

Reakce

V

M 2° ___________________________________________________________________________ Strana 72 z 91

___________________________________________________________________________ Deformační podmínka: wq + wRa = 0

Řešení od průhybu od osamělé síly q: Metoda přímé integrace: M ( x) = −

qx 2 2

EIw′′ = − M ( x) =

qx 2 2

qx 3 + c1 6 qx 4 EIw = + c1 x + c 2 24 w′( x = l ) = 0 EIw′ =

c1 = −

ql 3 6

w( x = l ) = 0 c2 =

ql 4 810 = 8 EI

qx 4 ql 3 ql 4 − x+ 24 6 8 3 10 10.5 10.5 4 573,336 EIw = − 1+ = 0,416 − 208,33 + 781,25 = 24 6 8 EI EIw =

wq ( x = 1) =

573,33 EI

Řešení od průhybu od reakce Ra: Clapsova metoda : M ( x) = x >1

Ra ( x − 1)

EIw′′ = − M ( x) = − x >2

R a ( x − 2)

( x − 1) 2 + c1 2 x >1 ( x − 1) 3 EIw = − Ra + c1 x + c 2 6 x >1 w′( x = l ) = 0 EIw′ = −

Ra

___________________________________________________________________________ Strana 73 z 91

___________________________________________________________________________ (5 − 1) 2 = 8 Ra 2 w( x = l ) = 0 c 2 = +10,67 Ra − 40 Ra + = −29,33Ra

c1 = Ra

( x − 1) 3 EIw = − Ra + 8Ra x − 29,33Ra 6 x >1

wRa ( x = 1) =

− 21,33Ra 1 (8Ra 2 − 37,33Ra ) = EI EI

Mohrova metoda: q~ = 4 Ra ~ 4 Ra 4 Q= = 8 Ra kNm 2 2 ~ ~ M a = −Q ⋅ (2,667) = −21,336 kNm 3 ~ M − 21,336 Ra w Ra = = EI EI

Deformační podmínka: 573,336 21,33Ra − =0 EI EI Ra = 26,88,33 kN Rb = 23,12 kN M b = −17,43 kNm

Návrh a posudek: Ocel S235 f yk = 235MPa

γ M = 1,0 f yd =

M Ed

235 ⋅ 10 6 = 235 MPa γM 1 = M max = 17 ,43 kNm (12,37) f yk

w y ,min =

=

M Ed 17,43 ⋅ 10 3 = = 0,7438 ⋅ 10 − 4 m 3 f yd 235 ⋅ 10

___________________________________________________________________________ Strana 74 z 91

___________________________________________________________________________ Návrh: I140 w y , skut . = 0,818 ⋅ 10 −4 m 3 Posudek M Rd = f yd .w y , skut. = 235 ⋅ 10 6 ⋅ 0,848 ⋅ 10 −4 = 19,22 kNm M Rd = 19,22 kNm > M Ed = 17,48 kNm Průřez vyhoví

___________________________________________________________________________ Strana 75 z 91

___________________________________________________________________________

11.2.

Staticky neurčitý nosník 3x

Navrhněte a posuďte průřez ocelového nosníku, který je z dvojice válcovaných profilu U dle mezního stavu únosnosti pro průřezy namáhané ohybem. Nosník je z oceli S235 (γM =1,0; E = 210 000 MPa). Respektuje zvolený souřadný systém (x=0). Vstupní údaje:

x=0

q

l q

7m 10 kN/m

Profil: a

b

l

V

M 2°

___________________________________________________________________________ Strana 76 z 91

___________________________________________________________________________

Materiál: Ocel S235 f yk = 235MPa EIw′′′′ = q EIw′′′ = −V = qx + c1

10 ⋅ 7 ql = = 35,00kN 2 2

M Ed = M max = M a = M b = −

w y ,min

ql 2 = −40,83kNm 12

ql 2 = 20,42kNm 24 M 40,83 ⋅ 10 3 = Ed = = 0,0001737 m 3 f yd 235 ⋅ 10 3

M max 2 =

f yd =

w′( x = l ) = 0

x2 EIw′′ = − M = q + c1 x + c 2 2 x3 x2 EIw′ = q + c1 + c 2 x + c3 6 2 x4 x3 x2 EIw = q + c1 + c2 + c3 x + c 4 24 6 2 w′( x = 0) = 0 c3 = 0 w( x = 0) = 0 c 4 = 0

Raz = Rbz =

γ M = 1,0

f yk

γM

=

235 ⋅ 10 6 = 235 MPa 1

l2 l − c1 6 2 w( x = l ) = 0

c2 = −q

l2 l c 2 = − q − c1 12 3 ql c1 = − 2 ql 2 ql 2 ql 2 c2 = − + = 12 6 12

Návrh: I200 w y ,skut . = 2,14 ⋅ 10 −4 m 3 Posudek: M Rd = f yd .w y , skut. = 235 ⋅ 10 6 ⋅ 2,14.10 −4 =

= 50,29kNm M Rd = 50,29 kNm > M Ed = 40,83 kNm Průřez vyhoví

___________________________________________________________________________ Strana 77 z 91

___________________________________________________________________________

11.3.

Pružnoplastická únosnost průřezu za ohybu

Určete průřezový modul obdélníkového průřezu b x h za těchto předpokladů: 1. Dojde k dosažení meze kluzu fy v nejnamáhavějších (krajních) vláknech průřezu. 2. Dojde ke zplastizování vnějších čtvrtin průřezu. 3. Dojde ke zplastizování celého průřezu. 1) Dojde k dosažení meze kluzu fy v nejnamáhavějších (krajních) vláknech průřezu. σx F

y

r = 2/3 . h . fy

h

z

F = 1/2 . h/2 fy

b

1 h 2 1 ⋅ ⋅ b ⋅ f y ⋅ h = bh 2 f y 2 2 3 6 M y1 1 2 = bh = W y ,el M y1 = f y ⋅ W y1 ⇒ W y1 = 6 fy M y1 = F ⋅ r =

2) Dojde ke zplastizování vnějších čtvrtin průřezu. fy

σx F1

y

r2

h F2

M y1 = F ⋅ r =

r1

F1

z b

3 h 4 1 r2 = h 3 r1 =

F2

fy

1 h 2 1 ⋅ ⋅ b ⋅ f y ⋅ h = bh 2 f y 2 2 3 6

M y1 = f y ⋅ W y1 ⇒ W y1 =

M y1 fy

1 = bh 2 = W y ,el 6

___________________________________________________________________________ Strana 78 z 91

___________________________________________________________________________

3) Dojde ke zplastizování celého průřezu. fy

σx

F

y h

r = h/2 F = h/2 . B . fy

z fy

b

M y3

=

1 2 bh ⇒ (= 1,5 ⋅ W y ,el ) 4

M y3 = F ⋅ r =

h h 1 ⋅ b ⋅ f y ⋅ = bh 2 f y 2 2 4

Wy 3 =

fy

___________________________________________________________________________ Strana 79 z 91

___________________________________________________________________________

12. Stabilita a vzpěrná pevnost prutů 12.1.

Prut I

Určete maximální možnou hodnotu zatížení F, jeli součinitel bezpečnosti k=4.

F

Vstupní údaje: E

210 000 MPa 150 MPa 1,8 m 0,08 m

σdov l d

Průřez: l

d

Geometrické charakteristiky:

A=

πd 2 4

Iy =

πd 4 64

Prostý tlak:

σ dov

F = k A

Vzpěrný tlak:

F=

σ dov A k

F=

π 2 EI y l cr2 k

___________________________________________________________________________ Strana 80 z 91

___________________________________________________________________________


1,80

Součinitel uložení β :

0,70

Délka lcr [m] :

1,26

Součinitel bezpečnosti k :

4,00

Materiálové charakteristiky Modul pružnosti E [MPa] : Napětí na mezi kluzu σdov [MPa] :

210000,00 150,00

Průřezové charakteristiky Průměr d [m] :

0,08

2

Plocha A [m ] :

0,01 3

Průřezový modul Iy [m ] :

0,000002

Prostý tlak Síla F [kN] :

188,50

Vzpěrný tlak Síla F [kN] :

656,2

Výsledná únosnost Maximalní zatížitelnost silou F [kN] :

188,50

___________________________________________________________________________ Strana 81 z 91

___________________________________________________________________________

12.2.

Prut II

Určete maximální možnou hodnotu zatížení F, jeli součinitel bezpečnosti k=4.

F

Vstupní údaje: E

σdov l d

Průřez: l

210 000 MPa 150 MPa 2,2 m 0,05 m

d


2,20


0,70

Délka lcr [m] :

1,54


4,00


210000,00 150,00

Průřezové charakteristiky Průměr d [m] :

0,05

Plocha A [m2] :

0,00

Průřezový modul Iy [m3] :

0,000000


73,63


67,0


67,03

___________________________________________________________________________ Strana 82 z 91

___________________________________________________________________________

12.3.

Prut III

Určete velikost kritické síly pro I200 a L = 3,0 m. Určete kritické Eulerovo napětí, štíhlost prutu a vše porovnejte s prostým tlakem. F

Fe = 360 / S 235, λmo = 1,15, f yk = 235MPa

β =1

l=3m

Lcr = β ⋅ l = 1 ⋅ 4 = 4m

A = 3340mm 2 I y = 21,4 ⋅10 6 mm 4 I z = 1,16 ⋅10 6 mm 4 i y = 80mm iz = 18,636mm i y = 80mm

x

⇒ λy = y

Lcr = 50 iy

iz = 18,636mm

I200

⇒ λz =

Lcr = 214,637 iz

z

Eulerova síla: Fcr =

π 2 ⋅ E ⋅ Iz L2cr

= 150,264 kN

Fcr = 44,99 MPa A Eulerovo napětí: π2 ⋅E nebo : = 44,99 MPa 2

σ cr =

λz

f yd =

Prostý tlak:

f yk

λ mo

=

235 = 204,35 MPa = σ dov 1,15

Fcr F ⇒ Amin = cr = 735,338mm 2 A σ dov 2 Stačilo by I80 (A=757 mm ).

σ dov ≥

___________________________________________________________________________ Strana 83 z 91

___________________________________________________________________________

12.4.

Prut IV

Určete maximální možnou hodnotu zatížení F, jeli součinitel bezpečnosti k=4. Průřez je čtvercový. F

Vstupní údaje: E

σdov

l

l a

210 000 MPa 170 MPa 2,0 m 0,05 m

x


2,00


1,00

Délka lcr [m] :

2,00


4,00


210000,00 170,00

Průřezové charakteristiky Strana a [m] :

0,05

2

0,0025


0,000000

Plocha A [m ] :


106,25


39,7


39,74

___________________________________________________________________________ Strana 84 z 91

___________________________________________________________________________

12.5.

Prut V

Určete maximální možnou hodnotu zatížení F, jeli součinitel bezpečnosti k=4. Průřez je čtvercový. F

Vstupní údaje: E

σdov

l

l a

210 000 MPa 170 MPa 1,7 m 0,08 m

x


1,70


1,00

Délka lcr [m] :

1,70

Součinitel bezpečnosti k:

4,00


210000,00 170,00

Průřezové charakteristiky Strana a [m] :

0,08

2

0,0064


0,000002

Plocha A [m ] :


272,00


360,5


272,00

___________________________________________________________________________ Strana 85 z 91

___________________________________________________________________________

13. Rovinná napjatost: 13.1.

Příklad 1

Určete stav napjatosti elementární krychle. (Hlavní napětí σ1 a σ2, maximální smykové napětí τmax, úhly α1 a α2.) Na element působí složky napětí σx, σy a τxy. Úlohu řešte početně. Vstupní údaje: σx = 100 MPa, σy = 40 MPa a τxy = 30 MPa. Normálové napětí σx [MPa]:

100,00

Normálové napětí σy [MPa]:

40,00

Smykové napětí τxy [MPa]:

30,00

Hlavní napětí σ1 [MPa]:

112,4264


27,5736

Extrémní smykové napětí τmax [MPa]:

42,4264

Směr hlavních napětí α1 [deg]:

22,5000


-67,5000

σ1 > σ 2 σ 1, 2 = (σ x + σ y ) ± 2 1

(σ

− σ y ) + 4τ xy2   2

x

 2τ xy  1  α1 = arctan  2 σ − σ y   x

α 2 = α1 ± 90° 1 2

τ max, min = ± (σ 1 − σ 2 )

___________________________________________________________________________ Strana 86 z 91

___________________________________________________________________________

13.2.

Příklad 2

Určete stav napjatosti elementární krychle. (Hlavní napětí σ1 a σ2, maximální smykové napětí τmax, úhly α1 a α2.) Na element působí složky napětí σx, σy a τxy. Úlohu řešte početně. Vstupní údaje: σx = 100 MPa, σy = −40 MPa a τxy = 30 MPa. Normálové napětí σx [MPa]:

100,00


-40,00


30,00


106,1577


-46,1577


76,1577


11,5993


-78,4007

___________________________________________________________________________ Strana 87 z 91

___________________________________________________________________________

13.3.

Příklad 3

Určete stav napjatosti elementární krychle. (Hlavní napětí σ1 a σ2, maximální smykové napětí τmax, úhly α1 a α2.) Na element působí složky napětí σx, σy a τxy. Úlohu řešte početně. Vstupní údaje: σx = −100 MPa, σy = −40 MPa a τxy = 30 MPa. Normálové napětí σx [MPa]:

-100,00


-40,00


30,00


-27,5736


-112,4264


42,4264


-22,5000


-112,5000

___________________________________________________________________________ Strana 88 z 91

___________________________________________________________________________

13.4.

Příklad 4

Určete stav napjatosti elementární krychle. (Hlavní napětí σ1 a σ2, maximální smykové napětí τmax, úhly α1 a α2.) Na element působí složky napětí σx, σy a τxy. Úlohu řešte graficky. Vstupní údaje: σx = 100 MPa, σy = 40 MPa a τxy = 30 MPa. τ

42,426

σ1

22,50° 0

67,50°

σ

σ2 27,574 112,426

Normálové napětí σx [MPa]:

100,00


40,00


30,00


112,4264


27,5736


42,4264


22,5000


-67,5000

___________________________________________________________________________ Strana 89 z 91

___________________________________________________________________________

13.5.

Příklad 5

Zakreslete: a) osovou napjatost b) čistý smyk c) všesměrný tah nebo tlak

σx ≠ 0 a) σ y = 0

b)

τ xy = 0

σx =σy τ xy ≠ 0

τ

0 σ2

b)

τ

σ1

σ

σ2

0

σx =σy τ xy = 0

τ

σ1

σ

0 σ2

σ1

___________________________________________________________________________ Strana 90 z 91

σ

___________________________________________________________________________

14. Literatura [1]

RAVINGER, J., KOLEKOVÁ Y. Pružnosť II. Bratislava: STU v Bratislavě, 2002. ISBN 80-227-1769-X.

[2]

SERVÍT, R. a kol. Teorie pružnosti a plasticity, I. díl, Praha: ČVUT v Praze, 1977.

[3]

SERVÍT, R. a kol. Teorie pružnosti a plasticity II, Praha: SNTL/ALFA, 1984. ISBN 978-80-7318-440-7.

[4]

ŠMIŘÁK, S. Pružnost a plasticita I. Brno: VUT Brno, 1999. ISBN 80-214-1151-1.

___________________________________________________________________________ Strana 91 z 91

VŠB Technická univerzita Ostrava Fakulta stavební Katedra stavební mechaniky. Pružnost a plasticita - příklady. Oldřich Sucharda

Recommend Documents