Plasticita - ur£ení parametr· zpevn¥ní z tahové zkou²ky Zpracoval Ctirad Novotný pro matmodel.cz 1
Postup p°i ur£ování parametr· • získání tahového diagramu →p°epo£et na závislost
tická deformace)
• ur£ení závislosti
nap¥tí - deformace
hodnota funkce zpevn¥ní - deformace
(nebo plas-
(nebo plastická deformace)
• vyjád°ení funkce zpevn¥ní, ur£ení jejích parametr·
Jako p°íklad je uveden postup p°i ur£ování parametr· zpevn¥ní pro houºevnatou ocel. 2
Tahová zkou²ka - závislost nap¥tí deformace
Z tahové zkou²ky je získána závislost s´ıla − posuv . Je t°eba ji p°epo£ítat na závislost nap¥tí - deformace. Tahové nap¥tí ve vzorku lze de novat jako smluvní, tj. σ=
F , A0
(1)
kde F je p·sobící síla, A0 je po£áte£ní pr·°ez vzorku. Pro popis deformace lze zvolit inºenýrskou deformaci ε=
△l , l0
(2)
kde △l je posuv (prodlouºení vzorku) a l je po£áte£ní délka vzorku. V oblasti velkých deformací je vhodn¥j²í p°epo£et na závislost skute£né nap¥tí - logaritmická deformace. Skute£né nap¥tí je de nováno jako pom¥r p·sobící síly F a skute£ného (okamºitého) pr·°ezu A, tj. σsk =
F . A
(3)
Pokud není moºnost m¥°it b¥hem tahové zkou²ky zm¥nu pr·°ezu vzorku, lze pro p°epo£et smluvního nap¥tí na skute£né vyuºít následující úvahu. P°i rozvinutých plastických deformacích je objemová zm¥na nulová. Platí tedy A0 l0 = A l ,
(4)
kde l je okamºitá délka vzorku. Pokud zanedbáme elastické deformace, m·ºeme vyjád°it inºenýrskou deformaci ε=
l A0 △l = −1= −1, l0 l0 A
1
(5)
potom pro skute£ný pr·°ez platí A=
A0 . 1+ε
(6)
Skute£né nap¥tí pak lze p°epo£ítat ze smluvního pomocí vztahu σsk =
F F = (1 + ε) = σ (1 + ε) . A A0
(7)
Logaritmická deformace je de nována vztahem dεln =
a po integraci
ˆl εln =
dl l
dl l = ln = ln (1 + ε) . l l0
(8)
(9)
l0
Je z°ejmé, ºe v p°ípad¥ malých deformací platí A =. A0 , σsk =. σ , εln =. ε. Pro data získaná z tahové zkou²ky houºevnaté oceli (tabulka 1) je na obrázku 1 zobrazeno srovnání smluvní a skute£né závislosti nap¥tí - deformace. Dále uvedené výpo£ty parametr· zpevn¥ní budou provád¥ny pro malé deformace (inºenýrská deformace do hodnoty 0,04). Budeme pracovat pouze se závislostí smluvní nap¥tí - inºenýrská deformace. Jako po£áte£ní mez kluzu byla stanovena hodnota σK0 = 428 MPa a odpovídající modul pruºnosti E = 2, 14 · 105 MPa. Celkovou deformaci ε lze rozloºit na elastickou a plastickou £ást σ ε = εE + εP = + εP (10) E
a tedy εP = ε −
σ . E
P°i plastických výpo£tech je vhodn¥j²í pouºívat plastickou k°ivku (závislost nap¥tí stická deformace ) - viz obrázek .. 3
(11) - pla-
Modely zpevn¥ní
Pokud máme k dispozici pouze tahovou k°ivku, je moºné z ní ur£it pouze parametry isotropního zpevn¥ní nebo kinematického zpevn¥ní. Nelze z ní ur£it parametry smí²eného zpevn¥ní. Izotropní zpevn¥ní.
Uvaºujme podmínku plasticity dle von Misese pro isotropní zpevn¥ní 1 1 f = Sij Sij − (σK0 + r)2 = 0 , 2 3
(12)
kde Sij je sloºka deviátorického nap¥tí, σK0 je po£áte£ní mez kluzu a r je funkce zpevn¥ní. P°i jednoosé napjatosti (tah ve sm¥ru x) platí Sxx = 32 σ , Syy = Szz = − 13 σ . Podmínku plasticity lze upravit na tvar σ − σK0 = r . (13) Z grafu σ − ε lze p°ímo ur£it závislost r − ε. 2
Tabulka 1: Zm¥°ená data houºevnaté oceli. smluvní nap¥tí [MPa] inºenýrská deformace [1] 0,0 0 ,0000 428,5 0,0020 470,7 0,0036 483,1 0,0041 494,1 0,0047 499,7 0,0052 507,8 0,0066 519,1 0,0104 541,6 0,0194 565,8 0,0299 589,0 0,0404 605,3 0,0510 617,8 0,0615 626,9 0,0720 634,2 0,0825 639,1 0,0931 642,0 0,1036 644,2 0,1141 645,0 0,1246 644,6 0,1352 642,6 0,1457 637,7 0,1562 628,9 0,1667 Kinematické zpevn¥ní.
ického zpevn¥ní zní
f=
Podmínka plasticity dle von Misese s uvaºováním kinemat1 1 (Sij − αij ) (Sij − αij ) − (σK0 )2 = 0 , 2 3
(14)
kde αij je sloºka backstress (coº je deviátorické nap¥tí stejn¥ jako Sij ). P°i jednoosé napjatosti (tah ve sm¥ru x) platí Sxx = 32 σ , Syy = Szz = − 13 σ = − 21 Sxx a podobn¥ αyy = αzz = − 12 αxx . Podmínku plasticity lze potom upravit na tvar 3 σ − σK0 = αxx = axx . 2
(15)
Z grafu σ − ε lze p°ímo ur£it závislost axx − ε. Z porovnání rovnic (13) a (15) je z°ejmé, ºe z grafu σ − ε lze ur£it bu¤ závislost r − ε, nebo axx − ε - viz obrázek 3. 4
Zpev¬ovací funkce - ur£ení parametr·
Funkce isotropního zpevn¥ní nebo backstress lze vyjád°it matematicky. 3
800
700
nap
tí [MPa]
600
500
400
300
200
závislost smluvní nap
100
tí - in enýrská deformace
skute né nap
tí - logaritmická deformace
0 0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
deformace [1]
Obrázek 1: Závislosti smluvní nap¥tí - inºenýrská deformace a skute£né nap¥tí - logaritmická deformace. Izotropní zpevn¥ní.
lineární funkce:
(16)
dr = h dεPe ,
po integraci pro p°ípad jednoosé napjatosti (17)
r = h εP nelineární funkce
(exponenciální vztah): dr = b (Q − r) dεPe ,
po integraci pro p°ípad jednoosé napjatosti (
r = Q 1 − e−b ε
P
)
(18) (19)
Kinematické zpevn¥ní.
lineární funkce:
dαij = C dεPij ,
(20)
po integraci pro p°ípad jednoosé napjatosti 3 axx = C εP = K εP 2 nelineární funkce
(21)
(exponenciální vztah): αij = C dεPij − γ αij dεPe ,
(22)
po integraci pro p°ípad jednoosé napjatosti axx =
) ( ) 3C ( P P 1 − e−γ ε = D 1 − e−γ ε 2γ
4
(23)
800
700
nap
tí [MPa]
600
500
400
300
200
100
0 0,000
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
0,040
plastická deformace [1]
Obrázek 2: Plastická k°ivka. Ur£ení parametr·.
Pro ur£ení parametr· funkcí vyjad°ujících isotropní nebo kinematické zpevn¥ní (h nebo K , Q nebo D a b nebo γ ) z plastické k°ivky je moºno pouºít metodu nejmen²ích £tverc·. Je zaloºena na minimalizaci sumy druhých mocnin rozdíl· nam¥°ených a vypo£tených hodnot nap¥tí dle p°íslu²ného modelu. M¥jme z experiment· hodnoty nap¥tí σi a odpovídající hodnoty εPi (i = 1, . . . , N , kde N je po£et °e²ení). Potom lze vyjád°it rozdíl (residuum) nam¥°ené a vypo£tené hodnoty pro i-té m¥°ení ( ) ℜi = σi − σ εPi . (24) Pro lineární izotropní zpevn¥ní je rozdíl (
ℜi = σi − σK0 + h εPi
)
(25)
,
pro nelineární isotropní zpevn¥ní (
(
ℜi = σi − σK0 + Q 1 − e−b εi
P
))
Cílem je najít takové parametry h nebo Q a b, pro které je logicky lze získat vztahy pro kinematické zpevn¥ní.
(26)
. ∑N i=1
(ℜi )2 minimální. Ana-
Výsledkem této optimaliza£ní úlohy jsou následující parametry: • lineární zpevn¥ní: h = K = 5212, 33 MPa • nelineární zpevn¥ní: Q = D = 135, 7 MPa; b = γ = 220, 81
Srovnání závislostí nap¥tí - deformace získaných z experimentu a vypo£tených dle zvolené funkce zpevn¥ní je na obrázku 4.
5
700
600
r nebo axx
tí [MPa]
400
nap
500
300
K0
200
100
0 0,000
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
0,040
deformace [1]
Obrázek 3: Funkce isotropního zpevn¥ní r nebo velikost backstress axx = 23 αxx v grafu σ − ε.
700
600
tí [MPa]
400
nap
500
300
200
závislost nap
tí-deformace
experiment 100
zpevn
ní lineární
zpevn
ní exponenciální
0 0,000
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
0,040
deformace [1]
Obrázek 4: Závislosti nap¥tí-deformace dle experimentu a model· zpevn¥ní.
6
