PERSAMAAN BAKU PARABOLA DAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PARABOLA MAKALAH

PERSAMAAN BAKU PARABOLA DAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PARABOLA MAKALAH Dibuat untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Geometri Analitik Ruang yang diampu oleh M. Khoridatul Huda, S. Pd., M. Si.

Oleh: TMT 5E Kelompok 6 1. Rifdiati Rohmah

(2814123131)

2. Rika Setiani

(2814123133)

3. Sinta Dewi Fadilah

(2814123139)

4. Zulin Fu’adzatus Sofiyah

(2814123159)

JURUSAN TADRIS MATEMATIKA FAKULTAS TARBIYAH DAN ILMU KEGURUAN (FTIK) INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI (IAIN) TULUNGAGUNG 2014

DAFTAR ISI

Halaman Sampul .......................................................................................... i DAFTAR ISI ................................................................................................. ii PARABOLA.................................................................................................. 1 A. Definisi Parabola ................................................................................ 1 B. Contoh Soal Persamaan Baku Parabola .............................................. 5 C. Persamaan Garis Singgung Parabola .................................................. 8 D. Contoh Soal Persamaan Garis Singgung Parabola .............................. 10 E. Latihan Soal ....................................................................................... 12 Lampiran....................................................................................................... 14 DAFTAR RUJUKAN ................................................................................... 34

ii

PARABOLA

A. Definisi Parabola Ambillah sebuah kerucut lingkaran tegak, dengan dua cabangnya. Kita potong kerucut itu dengan berbagai bidang dengan sudut yang berbeda terhadap sumbu simetris, seperti yang dilihat pada Gambar 1. Bidang itu memotong kerucut menurut kurva-kurva, masing-masing dinamakan elips, parabola dan hiperbola. (Dalam bentuk-bentuknya yang istimewa anda juga akan memperoleh: sebuah lingkaran, sebuah titik, garis-garis yang berpotongan dan satu garis). Kurva-kurva tersebut dinamakan irisan kerucut, atau konik. Nama-nama tersebut kita warisi dari orang Yunani dan tampaknya agak rumit. Di bawah ini kita berikan definisi yang lain tentang kurva-kurva tersebut. Kurva pengertian di atas adalah konsisten.

Elips

Hiperbola

Parabola

Gambar 1

pada sebuah bidang ada garis l tetap (garis arah) dan F sebuah titik tetap (fokus) yang terletak pada garis l (Gambar 2). Himpunan titik-titik P yang perbandingan antara jarak 𝑃𝐹 dari fokus dam jarak 𝑃𝐿 dari garis arah adalah suatu konstanta positif 𝑒 (keeksentrikan), yakni yang memenuhi hubungan 𝑃𝐹 = 𝑒 𝑃𝐿

1

…….. (1)

dinamakan konik. Apabila 0 < 𝑒 < 1, konik itu dinamakan elips; apabila 𝑒 = 1, dinamakan parabola; apabila 𝑒 > 1 dinamakan hiperbola.

𝑃

𝐿

𝐹

𝑙 Gambar 2 1

Pada Gambar 3 dapat kita lihat masing-masing kurva untuk 𝑒 = 2 , 𝑒 = 1, dan 𝑒 = 2. Untuk setiap kasus, kurva-kurva tersebut simetrik terhadap garis yang melalui fokus dan yang tegak lurus pada garis arah. Garis ini kita sebut sumbu panjang (atau sumbu) dari konik. Titik yang merupakan titik potong sumbu dengan konik dinamakan puncak. Parabola memiliki satu puncak, sedangkan pada elips dan hiperbola mempunyai dua puncak.

𝐹

𝐹

𝑙

𝐹

𝑙 1

Elips (𝑒 = ) 2

𝑙

Parabola (𝑒 = 1)

Gambar 3

2

Hiperbola (𝑒 = 2)

PARABOLA (𝑒 = 1) Parabola adalah himpunan titik-titik P yang berjarak sama dari garis arah l dan fokus F, yaitu yang memenuhi hubungan …….. (2)

𝑃𝐹 = 𝑃𝐿

Dari ketentuan tersebut, kita dapat menentukan persamaan 𝑥𝑦, dan kita ingin persamaan tersebut paling sederhana. Kedudukan sumbu koordinat tidak mempengaruhi bentuk kurva, tetapi kedudukan itu dapat mempengaruhi kesederhanaan persamaan kurva tersebut. Oleh karena sebuah parabola itu simetrik terhadap sumbunya, sudah lazim untuk menempatkan satu dari sumbu koordinat misalnya sumbu 𝑥 pada sumbu simetri kurva tersebut. Kita ambil fokus F di sebelah kanan titik asal, misalnya di (𝑝, 0). Garis arah kita ambil di sebelah kirinya dengan persamaan 𝑥 = −𝑝. Dengan demikian, puncak parabola ada di titik asal sistem koordinat. Hal-hal di atas dapat kita lihat pada Gambar 4. Dari syarat 𝑃𝐹 = 𝑃𝐿 dan rumus jarak dua titik, kita peroleh 𝑥−𝑝

2

2

+ 𝑦−0

=

𝑥+𝑝

2

+ 𝑦−𝑦

2

𝑦 𝐿(−𝑝, 𝑦)

𝑃(𝑥, 𝑦)

𝐹(𝑝, 0)

𝑥

𝑥 = −𝑝 Gambar 4

Berdasarkan lampiran 1 diperoleh: 𝑦 2 = 4𝑝𝑥

(untuk lebih jelas, lihat lampiran 1)

3

…….. (3)

Persamaan ini disebut persamaan baku sebuah parabola mendatar (artinya sumbunya mendatar) dan yang terbuka ke kanan. Perhatikan bahwa 𝑝 > 0 dan 𝑝 merupakan jarak dari titik fokus ke puncaknya. Ada tiga persamaan baku parabola. Apabila 𝑥 dan 𝑦 dipertukarkan kita peroleh persamaan 𝑥 2 = 4𝑝𝑦, yang merupakan persamaan parabola tegak dengan fokus di (0, 𝑝) dan garis arah 𝑦 = −𝑝. Jika kita beri tanda negatif pada salah satu ruas persamaan parabola kita peroleh parabola yang terbuka ke arah yang berlawanan. Keempat jenis parabola itu dapat dilihat pada Gambar 5.

𝑥 = −𝑝

𝑦

𝑥 2 = 4𝑝𝑦

𝑦 𝐹(𝑜, 𝑝) 𝑥

𝐹(𝑝, 0) 𝑥

𝑦 = −𝑝

𝑦 2 = 4𝑝𝑥

𝑦

𝑥=𝑝

𝑦 𝑦=𝑝

𝐹(−𝑝, 0) 𝑥

𝑥

𝐹(𝑜, −𝑝) 𝑥 2 = −4𝑝𝑦

𝑦 2 = −4𝑝𝑥

Gambar 5

4

Secara ringkas, persamaan baku parabola dapat ditulis sebagai berikut: 1. Persamaan parabola dengan titik puncak 𝟎, 𝟎 a. Persamaan parabola 𝑦2 = 4𝑝𝑥 merupakan persamaan parabola dengan: 1) Fokus F 𝑝, 0 2) Persamaan direktris 𝑥 = −𝑝 3) Persamaan sumbu simetri 𝑦 = 0 b. Persamaan parabola 𝑥2 = 4𝑝𝑦 merupakan persamaan parabola dengan: 1) Fokus F 0, 𝑝 2) Persamaan direktris 𝑦 = −𝑝 3) Persamaan sumbu simetri 𝑥 = 0 2. Persamaan parabola dengan titik puncak 𝒂, 𝒃 1. Persamaan parabola (𝑦 − 𝑏)2 = 4𝑝(𝑥 − 𝑎) merupakan persamaan parabola dengan: a. Fokus F(𝑝 + 𝑎, 𝑏); b. Persamaan direktris 𝑥 = −𝑝 + 𝑎; c. Persamaan sumbu simetri 𝑦 = 𝑏 (untuk lebih jelasnya lihat lampiran 2) 2. Persamaan parabola (𝑥 − 𝑎)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑏) merupakan persamaan parabola dengan: 1) Fokus F(𝑎, 𝑝 + 𝑏, ); 2) Persamaan direktris 𝑦 = −𝑝 + 𝑏; 3) Persamaan sumbu simetri 𝑥 = 𝑎 (untuk lebih jelasnya lihat lampiran 2) B. Contoh Soal Persamaan Baku Parabola 1. Tentukan fokus dan garis arah parabol 𝑦 2 = 12𝑥 Penyelesaian Diketahui 𝑦 2 = 4(3)𝑥, maka 𝑝 = 3. Maka fokus parabola di (3,0) dan garis arah 𝑥 = −3.

5

2. Tentukan fokus dan garis arah parabol 𝑥 2 = −𝑦 dan gambarlah grafiknya. Penyelesaian Kita tulis 𝑥 2 = −4

1 4

1

𝑦; maka 𝑝 = 4. Dari persamaan parabol itu, kita

lihat bahwa parabol tersebut tegak dan terbuka ke bawah. Fokus berada 1

1

pada 0, − 4 dan garis arah 𝑦 = 4. Grafik parabol ini dapat dilihat pada gambar berikut.

𝑦 1

1 −

1 4

𝑥

−1

𝑥 2 = −𝑦 Gambar 6

3. Tentukan persamaan parabol dengan puncak di titik asal dan berfokus di (0,5). Penyelesaian Parabol ini terbuka ke atas dan 𝑝 = 5. Jadi persamaannya adalah 𝑥 2 = 4 5 𝑦 atau 𝑥 2 = 20𝑦 .

4. Tentukan persamaan parabol dengan puncak di titik asal, yang melalui (−2,4) dan terbuka ke kiri. Gambar parabol ini. Penyelesaian Bentuk persamaan parabol adalah 𝑦 2 = −4𝑝𝑥. Karena parabol ini melalui (−2,4), maka (4)2 = −4𝑝(−2), sehingga 𝑝 = 2. Jadi persamaan yang dicari adalah 𝑦 2 = −8𝑥. Grafiknya dapat dilihat pada gambar berikut.

6

𝑦 (−2,4)

4 3

1

−2

𝑥

𝑦 2 = −8𝑥 Gambar 7

5. Diketahui persamaan parabola y 2  12 x . Tentukan: a. Koordinat puncak b. Persamaan sumbu simetri c. Koordinat fokus d. Persamaan direktris Jawaban: Persamaan parabola y 2  12 x berarti 4𝑝 = 12 atau 𝑝 = 3. a. Koordinat puncak 𝑂 (0,0) b. Persamaan sumbu simetri 𝑦 = 0 c. Koordinat fokus (3,0) d. Persamaan direktris 𝑥 = −3. 6. Diketahui persamaan parabola y 2  4 y  8x  20  0 . Tentukkan: a. Koordinat puncak b. Persamaan sumbu simetri c. Koordinat fokus d. Persamaan direktris

7

Jawaban :

y 2  4 y  8x  20  0 diubah ke dalam bentuk

Persamaan parabola

 y  b

2

 4 p  x  a

y 2  4 y  8 x  20  0 

y 2  4 y  8 x  20

 y  2   4  8 x  20 2  y  2   8 x  16 2  y  2  8  x  2 2

  

4p  8  p  2

Sehingga: a.

Koordinat puncak (2,2)

b.

Persamaan sumbu simetri 𝑦 = 2

c.

Koordinat fokus (4,2)

d.

Persamaan direktris 𝑥 = 0.

C. Persamaan Garis Singgung Parabola 1. Persamaan garis singgung parabola dengan gradien m Perhatikan

gambar

y

di

y = mx+n

samping. Sebuah garis 𝑔 ∶ 𝑦 = y2 = 4px

𝑚𝑥 + 𝑛 bersinggungan dengan kurva

parabola

𝑦2 = 4𝑝𝑥. x

Dengan melakukan substitusi 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 kedalam 𝑦2 = 4𝑝𝑥 maka diperoleh :

g

𝑦2 = 4𝑝𝑥 (𝑚𝑥 + 𝑛)2 = 4𝑝𝑥 𝑚2 𝑥2 + 2𝑚𝑛𝑥 + 𝑛2 = 4𝑝𝑥

Gambar 8

𝑚2 𝑥2 + 2𝑚𝑛 − 4𝑝 𝑥 + 𝑛2 = 0 (merupakan persamaan kuadrat dalam 𝑥) Syarat garis menyinggung parabola adalah 𝑝

𝐷 = 0 sehingga

diperoleh 𝑛 = 𝑚 (untuk lebih jelasnya lihat lampiran 3). Dengan proses

8

yang sama, kita dapat mensubstitusikan 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 kedalam 𝑥2 = 4𝑝𝑦 diperoleh : 𝑥2 = 4𝑝𝑦 𝑥2 = 4𝑝 𝑚𝑥 + 𝑛 𝑥2 = 4𝑝𝑚𝑥 + 4𝑝𝑛 𝑥2 − 4𝑝𝑚𝑥 − 4𝑝𝑛 = 0 (merupakan persamaan kuadrat dalam 𝑥) Syarat garis menyinggung parabola adalah 𝐷 = 0 sehingga diperoleh 𝑛 = −𝑚2 𝑝 (untuk lebih jelasnya lihat lampiran 3).. Persamaan garis singgung dengan gradient 𝑚 pada parabola : a. 𝑦2 = 4𝑝𝑥 adalah 𝑦 = 𝑚𝑥 +

𝑝 𝑚

b. 𝑥2 = 4𝑝𝑦 adalah 𝑦 = 𝑚𝑥−𝑚2 𝑝 2

c. (𝑦 − 𝑏) = 4𝑝(𝑥 − 𝑎) adalah 𝑦 − 𝑏 = 𝑚(𝑥 − 𝑎) +

𝑝 𝑚

d. (𝑥 − 𝑎)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑏) adalah 𝑦 − 𝑏 = 𝑚(𝑥 − 𝑎)−𝑚2 𝑝 (untuk lebih jelas lihat lampiran 3) 2. Persamaan garis singgung parabola dititik 𝑷 𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 Perhatikan disamping.

gambar

Titik

𝑃 𝑥1 , 𝑦1

y

y2 = 4px

terletak pada kurva parabola 𝑦2 = 4𝑝𝑥.

Kita

menentukan singgung

dapat

persamaan di

titik

garis

O

tersebut.

Persamaan garis singgung dititik 𝑃 𝑥1 , 𝑦1 pada parabola : a. 𝑦2 = 4𝑝𝑥 adalah 𝑦1 𝑦 = 2𝑝(𝑥 + 𝑥1 ) b. 𝑥2 = 4𝑝𝑦 adalah 𝑥1 𝑥 = 2𝑝(𝑦 + 𝑦1 )

Gambar 9

c. (𝑦 − 𝑏)2 = 4𝑝(𝑥 − 𝑎) adalah 𝑦1 − 𝑏(𝑦 − 𝑏) = 2𝑝(𝑥 + 𝑥1 − 2𝑎) d.

𝑥−𝑎

2

= 4𝑝 𝑦 − 𝑏 adalah 𝑥1 − 𝑎 𝑥 − 𝑎 = 2𝑝 𝑦 + 𝑦1 − 2𝑎

9

x

D. Contoh Soal Persamaan Garis Singgung Parabola 1. Tentukkan persamaan garis singgung parabola

 y  1

2

 4  x  2  di titik  2,5 .

Jawaban: Titik (2,5) pada parabola, yaitu  5  1  4  2  2  . 2

Persamaan garis singgung:

 y1  b  y  b   2 p  x  x1  2a    5  1 y  1  21 x  2  4   4  y  1  2  x  6  

4 y  4  2 x  12

  

2y  2 x  6 2y  x 8  0 x  2y 8  0

Jadi, persamaan garis singgungnya x  2 y  8  0 . 2. Tentukkan persamaan garis singgung yang dapat ditarik dari titik 𝑃(−3,1) terhadap parabola y 2  x . Jawaban: Garis y  mx 

singgung

y2  x

dengan

p 1 ;dengan p  . m 4

1  y  mx  4 m Melalui 𝑃(−3,1), maka:

10

gradien

m

adalah

1 1  3m  4 m 1 4 2  4m  12m  1  m  3m 2 

 12m 2  4m  1  0   6m  1 2m  1  0  m1 

1 1 atau m2   6 2

Untuk m1 

1 garis singgungnya adalah 6

1 1 y  x 4 1 6 6 1 3  y  x 6 2  x  6y  9  0 Untuk m2  

1 garis singgungnya adalah 2

1 1 y  x 4 1 2  2 1 1  y  x 2 2  x  2 y 1  0 Jadi, persamaan garis singgungnya x  6 y  9  0 dan x  2 y  1  0 .

11

E. Latihan Soal 1. Persamaan parabola y 2  20 x mempunyai titik fokus di koordinat… 2. Parabola y 2  6 y  4 x  17  0 mempunyai titik puncak di titik… 3. Persamaan parabola y 2  6 y  8x  1  0 memiliki koordinat titik fokus … 4. Persamaan sumbu simetri parabola y 2  8 y  8x  0 adalah… 5. Persamaan direktris parabola x2  6 x  6 y  3 adalah… 6. Himpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap titik (5,0) dan garis

x  3  0 adalah… 7. Persamaan parabola yang memiliki titik puncak (-2,4), sumbu simetri sejajar sumbu 𝑦, dan melalui titik (-1,3) adalah… 8. Persamaan garis singgung parabola y 2  16 x yang tegak lurus garis x  y  3  0 adalah…

9. Persamaan garis singgung parabola  x  2   8  y  1 dengan gradien 2 2

adalah… 10. Persamaan garis singgung parabola

 y  2

2

 8  x  6  yang tegak lurus

garis x  2 y  3  0 adalah… 11. Tentukan persamaan parabol yang melalui titik asal sistem koordinat, jika parabola ini melalui titik (3, −1) dan yang sumbu simetrisnya adalah sumbu 𝑥. Buatlah sketsanya. 12. Tentukan persamaan parabola yang puncaknya berada di titik asal, sumbunya adalah sumbu 𝑦 dan melalui titik (−3,5). 13. Tentukan persamaan parabola yang melalui titik (6, −5), jika puncaknya berada di titik asal dan sumbunya berimpit dengan sumbu 𝑦. 14. Diketahui kurva parabola x2  2 x  6 y  19  0 Tentukkan : a. Koordinat puncak b. Fokus c. Persamaan sumbu simetri

12

15. Tentukkan persamaan parabola yang memiliki titik fokus F(-2,3) dan garis direktris

y = -4.

16. Tentukkan titik singgung parabola y 2  8 x jika gradien garis singgung adalah 2. 17. Kemiringan garis singgung parabola 𝑦 2 = 5𝑥 di sebuah titik adalh

5 4

.

Tentukan koordinat-koordinat titik itu. 18. Tentukan persamaan garis singgung pada parabola 𝑦 2 = −18𝑥 yang sejajar dengan garis 3𝑥 − 2𝑦 + 4 = 0. 19. Tentukkan persamaan garis singgung parabola

 y  1

2

 6  x  3 yang

sejajar dengan garis 2 x  y  1  0 . 20. Tentukkan persamaan garis singgung parabola y 2  2 y  4 x  7  0 yang tegak lurus dengan garis x  2 y  3  0

(Untuk pembahasan lihat lampiran 4)

13

Lampiran 1: Persamaan parabola

Ayo menemukan persamaan parabola Perhatikan gambar 10 titik 𝑃 𝑥1 , 𝑦1 y

terletak pada parabola. Jarak titik 𝑃 ke

direktris

(𝑥 − (−𝑝))2 + (𝑦 − 𝑦)2

adalah = (𝑥 + P(x,y)

𝑝). Jarak titik 𝑃 ke titik fokus adalah (𝑥 − 𝑝)

2

O

+ 𝑦2

Oleh karena jaraknya sama, maka (𝑥 − 𝑝)2 + 𝑦2 = (𝑥 + 𝑝) x=-p Dengan mengkuadratkan kedua ruas diperoleh: (𝑥 − 𝑝)2 + 𝑦2 = (𝑥 + 𝑝)2

Gambar 10

𝑥2 − 2𝑝𝑥 + 𝑝2 + 𝑦2 = 𝑥2 + 2𝑝𝑥 + 𝑝2 𝑦2 = 4𝑝𝑥 Jadi persamaan parabola dengan puncak di O(0,0) adalah 𝑦 2 = 4𝑝𝑥

14

x F(p,0)

Lampiran 2: Persamaan Parabola dengan Titik Puncak (a,b) A. Persamaan parabola (𝑦 − 𝑏)2 = 4𝑝(𝑥 − 𝑎) merupakan persamaan parabola dengan: 1. Fokus F(𝑝 + 𝑎, 𝑏); 2. Persamaan direktris 𝑥 = −𝑝 + 𝑎; 3. Persamaan sumbu simetri 𝑦 = 𝑏 Misalkan titik P(x,y) adalah sebarang titik pada parabola. Berdasarkan definisi parabola haruslah berlaku:

PF  PL

 x  a  p   y  b 2

2

 x  a  p



2

x 2  a 2  p 2  2ax  2 px  2ap   y  b   x 2  a 2  p 2  2ax  2ap  2 px 2

 y  b   4 px  4ap 2  y  b  4 p  x  a 2

Sehingga persamaan parabola yang berpuncak di A(a,b) dan fokus F(a+p,b) adalah

 y  b

2

 4 p  x  a .

y Puncak A (a,b)

P(x,y) Sumbu simetri F(a+p,b) x

G= garis direktris Gambar 11

15

B. Persamaan parabola (𝑥 − 𝑎)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑏) merupakan persamaan parabola dengan: a. Fokus F(𝑎, 𝑝 + 𝑏, ); b. Persamaan direktris 𝑦 = −𝑝 + 𝑏; c. Persamaan sumbu simetri 𝑥 = 𝑎 Misalkan titik P(x,y) adalah sebarang titik pada parabola. Berdasarkan definisi parabola, haruslah berlaku :

PF  PL

 x  a  p   y  b 2

 x  a

2

2

 y  b  p



2

 y 2  b 2  p 2  2by  2 py  2bp  y 2  b 2  p 2  2by  2 py  2bp

 x  a   4 py  4bp 2  x  a  4 p  y  b 2

Sehingga persamaan parabola yang berpuncak di A(a,b) dan fokus F(a,p+b) adalah

 x  a

2

 4 p  y  b .

y

P(x,y)

b

A(a,b)

G= garis distrik x

a Sumbu simetri Gambar 12

16

Lampiran 3: Persamaan Garis Singgung Parabola dengan Gradien m Persamaan garis singgung parabola dengan gradien m. 𝑦2 = 4𝑝𝑥 (𝑚𝑥 + 𝑛)2 = 4𝑝𝑥 𝑚2 𝑥2 + 2𝑚𝑛𝑥 + 𝑛2 = 4𝑝𝑥 𝑚2 𝑥2 + 2𝑚𝑛 − 4𝑝 𝑥 + 𝑛2 = 0

D  b 2  4ac 0   2mn  4 p   4m 2 n 2 2

0  4m 2 n 2  16 pmn  16 p 2  4m 2 n 2 0  16 p 2  16 pmn

:16 p

0  p  mn mn  p n

p m

𝑥 2 = 4𝑝𝑦 𝑥 2 = 4𝑝 𝑚𝑥 + 𝑛 𝑥 2 = 4𝑝𝑚𝑥 + 4𝑝𝑛 𝑥 2 − 4𝑝𝑚𝑥 − 4𝑝𝑛 = 0

D  b 2  4ac 0   4 pm   4 1  4 pn 2

0  16 p 2 m 2  16 pn

:16 p

0  pm 2  n n   pm 2 a. 𝑦2 = 4𝑝𝑥 adalah 𝑦 = 𝑚𝑥 +

Subtitusikan n  y  mx 

𝑝 𝑚

p ke persamaan 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 m

p m

b. 𝑥2 = 4𝑝𝑦 adalah 𝑦 = 𝑚𝑥−𝑚2 𝑝

Subtitusikan n  m2 p ke persamaan 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 𝑦 = 𝑚𝑥 − m2 p

17

c.

𝑦−𝑏

2

= 4𝑝 𝑥 − 𝑎 adalah 𝑦 − 𝑏 = 𝑚 𝑥 − 𝑎 +

Untuk parabola dengan bentuk umum 𝑦 − 𝑏

2

𝑝 𝑚

= 4𝑝 𝑥 − 𝑎 dengan garis

singgung y = mx+n dapat kita peroleh garis singgungnya dengan mensubtitusikan garis y = mx+n ke dalam persamaan parabola.

 y  b

2

 4 p  x  a

   mx  n   b   4 p  x  a  2

  mx  n   2  mx  n  b  b 2  4 p  x  a  2

 m 2 x 2  2mxn  n 2  2mbx  2nb  b 2  4 p  x  a   m 2 x 2  2mxn  n 2  2mbx  4 px  4 pa  2nb  n 2  b 2  0  m 2 x 2   2mn  2mb  4 p  x  4 pa  2nb  n 2  b 2  0

Syarat garis yang menyinggung parabola adalah D=0





  2mn  2mb  4 p   4m 2 4 pa  2bn  n 2  b 2  0 2

 4m n  8m nb  4m b  16mnp  16mbp  16 p 2  16m 2 pa  8m 2bn  4m 2 n 2  4m 2b 2  0 2 2

2

2 2

 16mnp  16mbp  16 p 2  16m 2 pa  0

:16 p

 mn  mb  p  m a  0 2

 mn  mb  m 2 a  p  mn  m  ma  b   p 

n    ma  b  

p m

Subtitusi nilai n pada persamaan y=mx+n

y  mx  n y  mx    ma  b  

p m

p m p  y  b  m  x  a  m Sihingga persamaan garis singgung parabola dengan bentuk umum

 y  b   mx  ma 

 y  b

2

 4 p  x  a  dengan garis singgung y=mx+n adalah

 y  b  m  x  a  

p m

18

2

d. (𝑥 − 𝑎) = 4𝑝(𝑦 − 𝑏) adalah 𝑦 − 𝑏 = 𝑚(𝑥 − 𝑎)−𝑚2 𝑝

Untuk parabola dengan bentuk umum (𝑥 − 𝑎)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑏) dengan garis singgung y=mx+n dapat kita peroleh persamaan garis singgungnya dengan mensubsitusikan y=mx+n kedalam persamaan parabola.

( x  a ) 2  4 p ( y  b) Subsitusikan y  mx  n  ( x  a) 2  4 p(mx  n  b)  x 2  2ax  a 2  4 pmx  4 p  n  b   x 2  2ax  a 2  4 pmx  4 p  n  b   0  x 2  2ax  4 pmx  a 2  4 p  n  b   0  x 2   2a  4 pm  x  a 2  4 p  n  b   0 Syarat garis yang menyinggung parabola adalah D = 0

  2a  4 pm   41 4 p  n  b    a 2  0 2

 4a 2  16 pma  16 p 2 m 2  16 p  n  b   4a 2  0  16 pma  16 p 2 m 2  16 p  n  b   0

:16 p

 ma  pm 2   n  b   0   n  b   ma  pm 2  n  ma  pm 2  b Subtitusi nilai n ke persamaan y=mx+n

 y  mx  n



 y  mx  ma  pm 2  b



 y  mx  ma  pm 2  b  y  b  mx  ma  pm 2  y  b  m  x  a   pm 2 Sehingga persamaan garis singgung parabola dengan bentuk umum (𝑥 − 𝑎)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑏) dengan garis singgung y=mx+n adalah

y  b  m  x  a   pm2

19

y y-b = m(x-a)-pm2 P(x,y)

x 2

n= -ma+pm +b y = mx+n

Gambar 13

20

Lampiran 4: Pembahasan Soal 1. Diketahui : 𝑦 2 = −20𝑥 Ditanya

: 𝐹 = ⋯?

Jawab

: 𝑦 2 = −20𝑥 𝑦 2 = 4(−5)𝑥 𝑝 = −5

Jadi, 𝐹( 5, 0 ) 2. Diketahui : 𝑦 2 − 6𝑦 + 4𝑥 + 17 = 0 Ditanya

: titik puncak 𝑃 = ⋯ ?

Jawab

: 𝑦 2 − 6𝑦 + 4𝑥 + 17 = 0 𝑦 2 − 6𝑦 = −4𝑥 − 17 (𝑦 − 3)2 = −4𝑥 − 17 + 9 (𝑦 − 3)2 = −4𝑥 − 8 (𝑦 − 3)2 = −4(𝑥 + 2)

Jadi, 𝑃(−2,3) 3. Diketahui : 𝑦 2 − 6𝑦 + 4𝑥 + 17 = 0 Ditanya

: 𝐹 = ⋯?

Jawab

: 𝑦 2 − 6𝑦 + 4𝑥 + 17 = 0 𝑦 2 − 6𝑦 = −8𝑥 − 1 (𝑦 − 3)2 = −8𝑥 − 1 + 9 (𝑦 − 3)2 = −8𝑥 + 8 𝑦−3

2

= −8 𝑥 − 1

(𝑦 − 3)2 = 4 −2 (𝑥 − 1) 𝑃 = −2 fokus (𝑝 + 𝑎, 𝑏) Jadi, 𝐹 −2 + 1, 3 = 𝐹 (−1, 3)

21

4. Diketahui : 𝑦 2 + 8𝑦 − 8𝑥 = 0 Ditanya

: Sumbu simetri …?

Jawab

: 𝑦 2 + 8𝑦 − 8𝑥 = 0 𝑦 2 + 8𝑦 = 8𝑥 (𝑦 + 4)2 = 8𝑥 + 16 (𝑦 + 4)2 = 8(𝑥 + 2) (𝑦 + 4)2 = 4 . 2 (𝑥 + 2) 𝑎 = −2 𝑏 = −4 𝑝=2

Persamaan sumbu simetri 𝑦 = 𝑏 jadi 𝑦 = −4 5. Diketahui : 𝑥 2 − 6𝑥 = 6𝑦 + 3 Ditanya

: Persamaan direktris …?

Jawab

: 𝑥 2 − 6𝑥 = 6𝑦 + 3 (𝑥 − 3)2 = 6𝑦 + 3 + 9 (𝑥 − 3)2 = 6𝑦 + 12 𝑥−3

2

=6 𝑦+2

3 (𝑦 + 2) 2 3 𝑎 = 3 ; 𝑏 = −2 ; 𝑃 = 2 (𝑥 − 3)2 = 4 .

Direktris 𝑦 = −𝑝 + 𝑏 3

Jadi, 𝑦 = − 2 − 2 𝑦= −

7 2

6. Diketahui : 𝐹( 5, 0 ) Direktris 𝑥 + 3 = 0 Ditanya

: Persamaan parabola …?

22

Jawab

: Karena 𝐹( 5, 0 ) dan 𝑥 + 3 = 0 𝑥 = −3 maka kurva terbuka kekanan sehingga (𝑦 − 𝑏)2 = 4𝑝(𝑥 − 𝑎) dengan puncak (𝑎, 𝑏) 𝐹 𝑝 + 𝑎, 𝑜 = ( 5, 0 ) 𝑝+𝑎 =5 𝑎 =5−𝑝 𝑥 = −𝑝 + 𝑎 −3 = −𝑝 + 5 − 𝑝 𝑝=4 𝑎 =5−𝑝 𝑎 =5−4=1 𝑏=0

Jadi, 𝑦 − 𝑏

2

= 4𝑝 𝑥 − 𝑎

𝑦−𝑏

2

= 4.4 𝑥 − 1

𝑦 2 = 16 𝑥 − 1 𝑦 2 = 16𝑥 − 16 7. Diketahui : puncak 𝑃( −2, 4 ) Sumbu simetri sejajar sumbu 𝑦 dan persamaan parabola melalui 𝐴(−1, 3) Ditanya

: Persamaan parabola …?

Jawab

: Karena sumbu simetri sejajar sumbu 𝑦 dan 𝑃( −2, 4 ) maka persamaan parabolanya : 𝑥−𝑎

2

= 4𝑝 𝑦 − 𝑏

𝑥+2

2

= 4𝑝 𝑦 − 4

Melalui 𝐴(−1, 3) −1 + 2 1

2

2

= 4𝑝 3 − 4

= 4𝑝 −1

1 = −4𝑝

23

1 4 Persamaan parabolanya : 𝑝=−

𝑥−2

2

=4 −

1 (𝑦 − 4) 4

𝑥 2 + 4𝑥 + 4 = −(𝑦 + 4) 𝑥 2 + 4𝑥 + 𝑦 = 0 8. Persamaan garis singgung parabola 𝑦 2 = 16𝑥 yang tegak lurus garis 𝑥 + 𝑦 + 3 = 0 adalah… Jawab : 𝑦 2 = 16𝑥 𝑦2 = 4 4 𝑥 ; 𝑝 = 4 𝑥+𝑦+3=0 𝑦 = −𝑥 − 3 ; 𝑚1 = −1 Karena tegak lurus maka 𝑚1 . 𝑚2 = −1 −1 . 𝑚1 = −1 𝑚2 = 1 Persamaan garis singgungnya : 𝑝 𝑦 = 𝑚2 . 𝑥 + 𝑚2 = 1.𝑥 +

4 1

=𝑥+4 9. Persamaan garis singgung parabola (𝑥 − 2)2 = 8(𝑦 + 1) dengan gradient 2 adalah… Jawab: (𝑥 − 2)2 = 8 𝑦 + 1 ; 𝑚 = 2 ⇒ 𝑝 = 𝑦 + 𝑏 = 𝑚 𝑥 − 𝑎 − 𝑚2 𝑝 𝑦 + 1 = 2𝑥 − 4 − 8 𝑦 − 2𝑥 + 13 = 0 −2𝑥 + 𝑦 + 13 = 0 24

8 = 2 ;𝑎 = 2 ;𝑏 = 1 4

10. Persamaan garis singgung parabola (𝑦 − 2)2 = 8(𝑥 + 6) yang tegak lurus garis 𝑥 + 2𝑦 − 3 = 0 adalah … Jawab : (𝑦 − 2)2 = 8(𝑥 + 6) 𝑥 + 2𝑦 − 3 = 0 2𝑦 = −𝑥 + 3 1 3 𝑦=− 𝑥+ 2 2 𝑝=2 𝑏=2 𝑎=6 1 2 Karena tegak lurus maka : 𝑚=−

𝑚1 . 𝑚2 = −1 −

1 . 𝑚2 = −1 2 𝑚2 = 2

Persamaan garis singgungnya adalah … 𝑝 𝑦−𝑏 =𝑚 𝑥−𝑎 + 𝑎 𝑦−2 =2 𝑥+6 +1 𝑦 = 2𝑥 + 12 + 1 + 2 𝑦 = 2𝑥 − 15 11. Diketahui : Puncak (0,0) Melalui titik A(3,-1) Sumbu simetri adalah sumbu x Ditanya

: a. Persamaan parabola? b. Sketsa grafik?

Dijawab

: a. 𝑦 2 = 4𝑝𝑥

karena melalui A(3,-1), maka:

25

−1

2

= 4𝑝 3

1 = 12𝑝 𝑝=

1 12

Jadi, persamaan bola dengan puncak (0,0) dan melalui titik (3,-1) serta sumbu x sebagai sumbu simetrinya adalah 𝑦 2 = 4 b.

1 12

𝑥

1

atau 𝑦 2 = 3 𝑥.

y

x

(0,0)

(3,-1)

12. Diketahui : Puncak (0,0) Melalui titik (-3,5) Ditanya

: Persamaan parabola?

Dijawab

: parabola 𝑦 2 = 4𝑝𝑥 5

2

melalui A(-3,5), maka:

= 4𝑝 −3

25 = −12𝑝 𝑝=−

25 12

Jadi, persamaan bola dengan puncak (0,0) dan melalui titik (-3,5) serta sumbu y sebagai sumbu simetrinya adalah 𝑦 2 = 4 −

26

25 12

𝑥

atau 𝑦 2 = −

25 3

𝑥.

13. Diketahui : Puncak (0,0) Melalui titik A(6,-5) Sumbu simetri adalah sumbu y Ditanya

: Persamaan parabola?

Dijawab

: parabola 𝑥 2 = 4𝑝𝑦 karena melalui A(6,-5), maka:

6

2

= 4𝑝 −5

36 = −20𝑝 𝑝=−

36 20

𝑝=−

9 5

Jadi, persamaan bola dengan puncak (0,0) dan melalui titik (6,-5) serta sumbu 9

y sebagai sumbu simetrinya adalah 𝑥 2 = 4 − 5 𝑦 14.

atau 𝑥 2 = −

36 5

𝑦

Jawab: 𝑥 2 − 2𝑥 − 6𝑦 + 19 = 0 𝑥 2 − 2𝑥 = 6𝑦 − 19 𝑥−1

2

= 6𝑦 − 19 + 1

𝑥−1

2

= 6𝑦 − 18

𝑥−1

2

=6 𝑦−3

4𝑝 = 6 𝑝=

6 3 = 4 2

Jadi, koordinat puncak parabola 𝑥 2 − 2𝑥 − 6𝑦 + 19 = 0 adalah (1,3) a. 𝐹 𝑝 + 𝑎, 𝑏 =

3 2

+ 1, 3 =

5 ,3 2

Jadi, koordinat fokus pada parabola 𝑥 2 − 2𝑥 − 6𝑦 + 19 = 0 adalah b. Persamaan sumbu simetri 𝑥 = 1

27

5 ,3 2

15. Diketahui : F(-2,3) Garis direktris y = -4 Ditanya

: Persamaan bola?

Dijawab

: Karena y=-4 dan F(-2,3) maka kurva terbuka ke atas. Sehingga persamaan parabolanya: (𝑥 − 𝑎)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑏)

…..

F(-2,3)=(a, p+b) a = -2 p+b=3 p=3–b

…

(2)

…

(3)

l : y = -4 -p + b = -4 b = -4 + p Substitusi (3) ke (2) b = -4 + 3 –b 2b = -1 b = -1 1

𝑏 = −2

(Substitusi ke (2)) 𝑝=3+

𝑝=

1 2

7 2

Substitusi a,b,p, ke (1) 𝑥+2

2

= 4.

7 1 𝑦+ 2 2

𝑥 2 + 4𝑥 + 4 = 14 𝑦 +

1 2

𝑥 2 + 4𝑥 + 4 = 14𝑦 + 7 𝑥 2 + 4𝑥 − 14𝑦 − 3 = 0

28

(1)

16. Diketahui : Persamaan parabola 𝑦 2 = 8𝑥 Gradien = 2 Ditanya

: Titik singgung T?

Dijawab

: 𝑦 2 = 8𝑥 𝑦2 = 4 2 𝑥 𝑝=2 𝑝

Persamaan garis singgung 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑚 𝑦 = 2𝑥 + 𝑦 = 2𝑥 + 1

2 2

… (1)

Substitusi (1) ke persamaan parabola 2

2𝑥 + 1

= 8𝑥

4𝑥 2 + 4𝑥 + 1 = 8𝑥 0 = 4𝑥 2 − 4𝑥 + 1 0 = 2𝑥 − 1 2𝑥 − 1 0 = 2𝑥 − 1 2𝑥 = 1 𝑥=

1 2

Substitusi ke (1) 𝑦=2

1 +1 2

𝑦 =1+1 𝑦=2

29

Jadi, titik singgung parabola T adalah 17. Diketahui : 𝑦 2 = 5𝑥 , 𝑚 =

1 .2 2

5 4

Ditanya

: Titik singgung T?

Dijawab

: 𝑦 2 = 5𝑥 4𝑝 = 5 𝑝=

5 4

Persamaan garis singgungnya: 𝑦 = 𝑚𝑥 +

𝑝 𝑚

5 5 𝑦= 𝑥+ 4 4 5 4 𝑦=

5 𝑥 4

+ 5 …. (1)

Substitusi (1) ke 𝑦 2 = 5𝑥 5 𝑥+ 5 4

2

= 5𝑥

5 2 5 𝑥 + 𝑥 + 5 = 5𝑥 16 2 5𝑥 2 + 40𝑥 + 80 = 80𝑥 5𝑥 2 − 40𝑥 + 80 = 0 𝑥 2 − 8𝑥 + 16 = 0 𝑥−4 𝑥−4 = 0 𝑥−4=0 𝑥=4

30

Jadi, koordinat titik singgung parabola T adalah 𝑇 4,2 5 18. Diketahui : Parabola 𝑦 2 = −18𝑥 Sejajar dengan garis 3𝑥 − 2𝑦 + 4 = 0 Ditanya

: Persamaan garis singgung parabola?

Dijawab

: 𝑦 2 = −18𝑥 4𝑝 = −18 𝑝=−

18 4

𝑝=−

9 2

Sejajar dengan garis 3𝑥 − 2𝑦 + 4 = 0 2𝑦 = 3𝑥 + 4 3 𝑦 = 𝑥+2 2 3

Karena sejajar, maka 𝑚1 = 𝑚2 = 2 Persamaan garis singgung: 𝑦 = 𝑚𝑥 +

𝑝 𝑚

3 9 2 𝑦= 𝑥+ − . 2 2 3 3 18 𝑦= 𝑥− 2 6 3 𝑦 = 𝑥−3 2

Jadi, persamaan garis singgung parabolanya adalah 3𝑥 − 2𝑦 − 6 = 0 19. Diketahui : parabola 𝑦 − 1

2

=6 𝑥−3

31

Sejajar dengan 2𝑥 + 𝑦 − 1 = 0 Ditanya

: Persamaan garis singgung?

Dijawab

: 2𝑥 + 𝑦 − 1 = 0 𝑦 = −2𝑥 + 1

Karena sejajar, maka 𝑚1 = 𝑚2 = −2 Persamaan garis singgungnya 3 𝑦 − 1 = −2 𝑥 − 3 +

𝑦 − 1 = −2𝑥 + 6 −

2 −2

3 4

4𝑦 − 4 = −8𝑥 + 24 − 3 4𝑦 + 8𝑥 − 25 = 0

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah 4𝑦 + 8𝑥 − 25 = 0 20. Diketahui : parabola 𝑦 2 − 2𝑦 − 4𝑥 − 7 = 0 sejajar dengan 𝑥 + 2𝑦 + 3 = 0 Ditanya

: Persamaan garis singgung?

Dijawab

: 𝑥 + 2𝑦 + 3 = 0 2𝑦 = −𝑥 − 3 2𝑦 = −𝑥 − 3 1 3 𝑦=− 𝑥− 2 2

Karena tegak lurus, maka 𝑚1 . 𝑚2 = −1. Sehingga 𝑚2 = 2 Persamaan garis singgungnya 𝑦−1=2 𝑥+1 +

1 2

2𝑦 − 2 = 4𝑥 + 2 + 1

32

2𝑦 − 2 = 4𝑥 + 3 4𝑥 − 2𝑦 + 5 = 0

Jadi, persamaan garis singgung parabola adalah 4𝑥 − 2𝑦 + 5 = 0

33

DAFTAR RUJUKAN

Aksin, Nur dan Muklis. 2014. Matematika: Peminatan Matematika dan Ilmu-ilmu Alam. Klaten: PT Intan Pariwara Purcell, Edwin J. Dan Dale Varbeg. 1987. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2 Edisi Kelima. Jakarta: Erlangga

34