Permutasi dan Kombinasi
Menghitung Titik Sampel • Dasar dari prinsip menghitung titik sampel sering di diartikan sebagai aturan pengalian. • Aturan 1: Jika suatu operasi dapat dilakukan dalam n1 cara, dan dari setiap cara tersebut, operasi kedua dapat dilakukan dengan n2 cara, maka dua operasi tersebut dapat dilakukan secara bersama dalam n1n2 cara.
• Contoh aturan 1: n1 4;n2 3 Sehingga seorang pembeli dapat memilih dari: n1n2 4 3 12 kemungkinan
• Aturan 2: Jika suatu operasi dapat dilakukan dalam n1 cara, dan setiap dari cara tersebut operasi keduanya dapat dilakukan dalam n2 cara, dan setiap dari dua cara pertama tersebut operasi ketiganya dapat dilakukan dalam n3 cara, dan seterusnya, maka rangkaian dari k operasi dapat dilakukan dengan n1n2…nk cara. • Contoh: Sam ingin merakit sebuah komputer. Dia memiliki pilihan processor dari 2 merek, hardisk dari 4 merek, DDR dari 3 merek, dan seperangkat asesoris dari 5 toko berbeda, maka dada berapa banyak cara Sam melakukan pemesanan perangkat?
n1 n2 n3 n4 2 4 3 5 120
Permutasi • Permutasi adalah penyusunan dari semua atau bagian himpunan obyek. • Definisi 1: Untuk sembarang bilangan bulat non-negatif n, n! disebut n faktorial, didefinisikan: n! nn 1...(2)(1) dengan kasus khusus 0! = 1. • Teorema 1: Banyaknya permutasi dari n obyek adalah n!
• Secara umum, n obyek yang berbeda dan diambil r obyek dalam sekali waktu, dapat disusun:
nn 1 n 2 ...n r 1 cara • Teorema 2: Banyaknya permutasi dari n obyek berbeda yang diambil sebanyak r obyek dalam sekali waktu adalah: n! n Pr n r !
• Teorema 3: Banyaknya permutasi dari n obyek yang disusun secara melingkar adalah (n – 1)! • Teorema 4: Banyaknya permutasi berbeda dari n obyek yang memiliki sebanyak n1 sejenis, n2 sejenis, …, nk sejenis adalah n! n1 !n2 !...nk !
• Seringkali kita tertarik dengan banyak cara mempartisi suatu himpunan dari n obyek pada r himpunan bagian yang disebut sel. • Teorema 5: Banyaknya cara mempartisi suatu himpunan n obyek pada r sel dengan sebanyak n1 elemen untuk sel pertama, n2 elemen untuk sel kedua, dan seterusnya adalah
n n! n ,n ,...,n n !n !...n ! r 1 2 1 2 r dimana n1 n2 ... nr n
Kombinasi • Dalam banyak kasus, kita tertarik dengan banyaknya cara memilih r obyek dari n obyek tanpa memperhatikan urutan. • Teorema 6: Banyaknya kombinasi dari n obyek yang berbeda yang diambil sebanyak r obyek dalam sekali waktu adalah
n n! r r! n r !
Latihan 1.
Dalam studi bahan bakar ekonomis, setiap 3 mobil balap diuji menggunakan 5 merek bahan bakar yang berbeda. Pengujian dilakukan pada 8 lokasi uji yang berbeda. Jika dalam studi tersebut mempekerjakan 2 pengemudi, dan setiap uji dilakukan sekali untuk setiap kondisi yang berbeda, maka berapa banyak uji yang diperlukan?
2.
Terdapat 7 orang yang mengantri tiket bis.
a) b) c)
3.
Ada berapa banyak cara 7 orang tersebut mengantri? Jika terdapat 3 orang yang memaksa selalu berdekatan, maka ada berapa banyak cara mengantri? Jika terdapat 2 orang yang menolak untuk saling berdekatan, maka ada berapa banyak cara mengantri?
Suatu soal pilihan ganda terdiri atas 5 soal dengan 5 pilihan jawaban yang salah satunya benar.
a)
b)
Dalam berapa banyak cara seorang mahasiswa memilih satu jawaban untuk setiap soal? Dalam berapa banyak cara seorang mahasiswa memilih satu jawaban untuk setiap soal, dan jawaban tersebut semua salah?
4. Terdapat pilihan angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. Akan disusun suatu bilangan dari angka-angka tersebut yang terdiri dari 3 angka berbeda: a) b) c)
Ada berapa banyak susunan yang dapat dibuat? Ada berapa banyak bilangan ganjil pada susunan tersebut? Ada berapa banyak bilangan yang lebih dari 330 dari susunan tersebut?
5. Sebuah kelompok terdiri dari 6 mahasiswa dan 7 mahasiswi. Ada berapa cara kita bisa memilih panitia yang terdiri dari: a) b)
3 mahasiswa dan 4 mahasiswi. 4 orang paling sedikitnya 1 mahasiswi.
6. Dalam berapa banyak cara 10 buku yang berbeda dapat dibagikan pada 3 mahasiswa jika mahasiswa pertama mendapatkan 5 buku, mahasiswa kedua mendapatkan 3 buku dan mahasiswa ketiga mendapatkan 2 buku? 7. Terdapat 9 butir manik-manik berbeda warna yang akan diambil 7 butir untuk membuat sebuah gelang. Ada berapa banyak variasi gelang yang dapat dibuat? 8. Di dalam sebuah kotak terdapat 5 bola merah dan 6 bola kuning. Secara acak diambil 3 bola sekaligus dari kotak tersebut. Berapa banyak cara mendapatkan minimal 1 bola kuning?
