PENENTUAN PELUANG BERTAHAN DALAM MODEL RISIKO KLASIK DENGAN MENGGUNAKAN TRANSFORMASI LAPLACE AMIRUDDIN

PENENTUAN PELUANG BERTAHAN DALAM MODEL RISIKO KLASIK DENGAN MENGGUNAKAN TRANSFORMASI LAPLACE

AMIRUDDIN

SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Penentuan Peluang Bertahan dalam Model Risiko Klasik dengan Menggunakan Transformasi Laplace adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis.

Bogor, Juni 2008 Amiruddin

ABSTRACT AMIRUDDIN. Determination of Survival Probabilities in the Classical Risk Model Using Laplace Transform. Under direction of I GUSTI PUTU PURNABA and EFFENDI SYAHRIL. The purpose of this thesis is to show that, for the classical risk model, explicit solutions for survival probability in a finite time horizon can be obtained through the inversion of double Laplace transform of the distribution of time to ruin. To do this, the probability of ultimate non-ruin function as developed by Gerber and Shiu (1998) is being considered. Two methods used in this research are Laplace transform and analytic inversion. In analytic inversion, algebraic manipulations and Laplace complex inversion formula are applied. The Laplace complex inversion uses residue theorem and Laurent series expansion for complex functions. At the end some numerical results using Mathematica software are presented. The numerical results show that the increase in survival probability value is caused by the increase in initial capital or premium income, and the corresponding decrease is caused by the increase in time . Keywords: classical risk model, double Laplace transform, time to ruin, ruin probability.

RINGKASAN AMIRUDDIN. Penentuan Peluang Bertahan dalam Model Risiko Klasik dengan Menggunakan Transformasi Laplace. Dibimbing oleh I GUSTI PUTU PURNABA dan EFFENDI SYAHRIL. Dalam perusahaan asuransi, model risiko klasik adalah model untuk menentukan akumulasi kekayaan perusahaan pada suatu waktu tertentu (t), yang N (t ) ditulis sebagai U (t ) u ct 0 dan U (0) u. Peubah u adalah .X i , t i 1 modal awal, c adalah rata-rata premi yang masuk per satuan waktu, X i adalah besar klaim ke-i dan N (t ) adalah banyaknya klaim yang terjadi dalam interval waktu [0,t]. X i dengan i = 1, 2, 3, ..., N (t ) adalah variabel acak sebanyak N (t ) yang diasumsikan saling bebas dan X i juga bebas terhadap N (t ). Dengan mengasumsikan bahwa {N (t ), t 0} adalah proses Poisson dengan laju , maka N (t ) i 1

Xi , t

0, adalah proses Poisson majemuk, sehingga U (t ) merupakan

proses stokastik. Suatu perusahaan asuransi dinyatakan jatuh atau bangrut jika U (t ) 0. Peluang jatuh adalah fungsi dalam u dan t, dinotasikan sebagai (u , t ), dan peluang bertahan dinotasikan sebagai (u , t ), sehingga (u , t ) 1 (u , t ). Jika X i mengikuti suatu sebaran tertentu, maka solusi eksplisit dari (u , t ) dapat ditentukan. Tujuan penelitian ini adalah menentukan fungsi sebaran peluang bertahan ( (u , t ) ) dengan asumsi X i menyebar eksponensial, Erlang(2) dan eksponensial campuran. Dari masing-masing solusi ditentukan contoh perhitungannya dengan menggunakan software Mathematica. Langkah awal dalam penentuan fungsi sebaran peluang bertahan dalam model risiko klasik adalah menentukan fungsi Laplace dari fungsi kepekatan peluang pada peubah acak yang menyebar eksponensial, Erlang(2) dan eksponensial campuran . Langkah berikutnya, didefinisikan suatu fungsi peluang bertahan ( (u , t ) ) dan suatu fungsi dalam u ( (u ) ). Dari kedua fungsi tersebut ditentukan fungsi transformasi Laplacenya, yaitu ˆˆ ( s, ) dan ˆ( s) yang di dalamnya memuat fungsi Laplace dari fungsi kepekatan peluang. Langkah akhir, dengan ekspansi deret Maclaurin dan formula invers kompleks, fungsi ˆˆ ( s, ) diubah menjadi fungsi (u , t ). Fungsi terakhir adalah fungsi sebaran peluang bertahan dalam model risiko klasik Penelitian ini menunjukkan bahwa, fungsi sebaran peluang bertahan dalam model risiko klasik dapat ditentukan melalui transformasi Laplace dan invers Laplace. Ekspansi deret Maclaurin dan formula invers kompleks digunakan pada analisis invers Laplace.

Untuk mengetahui perilaku dari masing-masing fungsi sebaran, dilakukan beberapa perhitungan numerik dengan menggunakan software Mathematica. Hasil akhir menunjukkan bahwa nilai peluang bertahan akan naik jika modal awal dan premi diperbesar dan akan turun jika interval waktu diperpanjang. Dengan hasil ini, nilai peluang bertahan suatu perusahaan asuransi untuk beberapa waktu (t) ke depan dapat ditentukan dan dapat diatur dengan menentukan modal awal (u) dan besar premi (c). Kata kunci: model risiko klasik, transformasi Laplace ganda, waktu jatuh dan peluang jatuh.

©Hak cipta milik IPB, tahun 2008 Hak cipta dilindungi Undang-undang 1 Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebut sumber. a Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah. b Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB. 2 Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin IPB.

PENENTUAN PELUANG BERTAHAN DALAM MODEL RISIKO KLASIK DENGAN MENGGUNAKAN TRANSFORMASI LAPLACE

AMIRUDDIN

Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Departemen Matematika

SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008

Judul Tesis : Penentuan Peluang Bertahan dalam Model Risiko Klasik dengan Menggunakan Transformasi Laplace Nama : Amiruddin NIM : G551060181

Disetujui Komisi Pembimbing

Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA. Ketua

Drs. Effendi Syahril, Grad. Dipl. Sc. Anggota

Diketahui

Ketua Program Studi Matematika Terapan

Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS.

Tanggal Lulus:

Dekan Sekolah Pascasarjana

Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, MS.

Tanggal Ujian: 9 Juli 2008

Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis : Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS.

PRAKATA Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karuniaNya sehingga tesis ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Januari 2008 ini ialah peluang bertahan dalam model risiko klasik dengan judul Solusi Eksplisit Pada Peluang Bertahan Dalam Model Risiko Klasik. Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA. dan Bapak Drs. Effendi Syahril, Grad. Dipl. Sc. selaku dosen pembimbing yang telah banyak memberi saran. Disamping itu penulis sampaikan ucapan terima kasih kepada Departemen Agama Republik Indonesia yang telah memberikan beasiswa untuk studi. Ucapan terima kasih juga disampaikan kepada isteri, anak dan seluruh keluarga, atas doa dan dukungannya. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, Juni 2008 Amiruddin

RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Boyolali pada tanggal 25 Juli 1969 dari ayah H. Chamdani dan ibu Hj. Suparti. Penulis merupakan putra keempat dari lima bersaudara. Tahun 1987 penulis lulus dari MAN Surakarta dan pada tahun 1991 lulus dari IAIN Sunan Kalijaga Yogjakarta. Tahun 1995 penulis diangkat menjadi PNS di lingkungan Departemen Agama dengan NIP. 150275020 dan ditugaskan sebagai guru matematika di MTsN Sumberlawang Sragen. Penulis diterima sebagai mahasiswa pascasarjana Institut Pertanian Bogor tahun ajaran 2006/2007 melalui seleksi penerimaan beasiswa tugas belajar yang diselenggarakan oleh Departemen Agama Republik Indonesia kerja sama dengan Institut Pertanian Bogor.

DAFTAR ISI Halaman DAFTAR TABEL ............................................................................................... xii DAFTAR GAMBAR .......................................................................................... xiii DAFTAR LAMPIRAN ...................................................................................... I

II

xiv

PENDAHULUAN ....................................................................................

1

1.1 Latar Belakang ..................................................................................

1

1.2 Perumusan Masalah ..........................................................................

2

1.3 Tujuan Penelitian ..............................................................................

2

1.4 Ruang Lingkup Penelitian ................................................................

2

1.5 Sistematika Pembahasan ...................................................................

3

KONSEP DASAR ....................................................................................

4

2.1 Proses Poisson ...................................................................................

4

2.2 Sebaran Peubah Acak ........................................................................

5

2.3 Sebaran Jumlah dari Peubah Acak-Peubah Acak Yang Saling Bebas ..................................................................................................

8

2.4 Transformasi Laplace .........................................................................

8

2.5 Deret Maclaurin .................................................................................. 10 2.6 Formula Invers Komplek ................................................................... 11 III

PENENTUAN PELUANG BERTAHAN ............................................... 12 3.1 Model Resiko Klasik .......................................................................... 12 3.2 Sebaran dari Klaim Tunggal .............................................................. 13 3.3 Sebaran dari Jumlah Klaim ................................................................ 16 3.4 Peluang Jatuh dan Peluang Bertahan ................................................. 16 3.5 Transformasi Laplace Pada

dan

(u , t ) ......................................... 17

3.6 Transformasi Laplace Pada f .......................................................... 20 3.7 Invers Komplek Pada ˆˆ ................................................................... 22

x

IV

PERHITUNGAN NUMERIK .................................................................. 36 4.1 Parameter ........................................................................................... 36 4.2 Hasil Perhitungan Numerik ................................................................ 37 4.3 Analisis Hasil Perhitungan ................................................................. 41

V

KESIMPULAN DAN SARAN ................................................................ 43 5.1 Kesimpulan ......................................................................................... 43 5.2 Saran ................................................................................................... 43

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 44 LAMPIRAN .......................................................................................................... 45

xi

DAFTAR TABEL Halaman 4.1 Nilai peluang bertahan dalam model risiko klasik untuk besar klaim menyebar eksponensial dengan parameter kedatangan

1, parameter waktu antar

1 dan besar premi c 1 ...................................................... 37

4.2 Nilai peluang bertahan dalam model risiko klasik untuk besar klaim menyebar eksponensial dengan parameter kedatangan

1, parameter waktu antar

1 dan besar premi c 1,1 .................................................... 38

4.3 Nilai peluang bertahan dalam model risiko klasik untuk besar klaim menyebar eksponensial dengan parameter kedatangan

1, parameter waktu antar

1 dan besar premi c 1, 2 .................................................. 38

4.4 Nilai peluang bertahan dalam model risiko klasik untuk besar klaim menyebar Erlang(2) dengan parameter kedatangan

2, parameter waktu antar

1 dan besar premi c 1 ...................................................... 39

4.5 Nilai peluang bertahan dalam model risiko klasik untuk besar klaim menyebar Erlang(2) dengan parameter kedatangan

2, parameter waktu antar

1 dan besar premi c 1,1 .................................................... 39

4.6 Nilai peluang bertahan dalam model risiko klasik untuk besar klaim menyebar Erlang(2) dengan parameter kedatangan

2, parameter waktu antar

1 dan besar premi c 1, 2 ...................................................

40

4.7 Nilai peluang bertahan dalam model risiko klasik untuk besar klaim menyebar eksponensial campuran dengan parameter b

1

3

, parameter waktu antar kedatangan

1

2

,

2 dan

1 dan besar premi c=1 ...

40

4.8 Nilai peluang bertahan dalam model risiko klasik untuk besar klaim menyebar eksponensial campuran dengan parameter b

1

3

, parameter waktu antar kedatangan

1

2

,

2 dan

1 dan besar premi c 1,1 .. 41

4.9. Nilai peluang bertahan dalam model risiko klasik untuk besar klaim menyebar eksponensial campuran dengan parameter b

1

3

, parameter waktu antar kedatangan

xii

1

2

,

2 dan

1 dan besar premi c 1, 2 . 41

DAFTAR GAMBAR Halaman 3.1 Grafik fungsi kepekatan peluang peubah acak tersebar eksponensial (

0,5 ) ...................................................................................................... 13

3.2 Grafik fungsi sebaran peluang peubah acak tersebar eksponensial (

0,5 ) ...................................................................................................... 13

3.3 Grafik fungsi kepekatan peluang peubah acak tersebar erlang(2) ( 3.4 Grafik fungsi sebaran peluang peubah acak tersebar erlang(2) (

0,5 ) 14 0, 5 ) ..

14

3.5 Grafik fungsi kepekatan peluang peubah acak tersebar eksponensial campuran (

0, 25;

0, 75 dan b

0, 25 ) ............................................ 15

3.6 Grafik fungsi sebaran peluang peubah acak tersebar eksponensial campuran (

0, 25;

0, 75 dan b

0, 25 ) ............................................ 16

3.7 Dua akar persamaan dasar Lundberg ........................................................... 18 3.8 Grafik fungsi Laplace dari fungsi kepekatan peluang peubah acak tersebar eksponensial (

0,5 ) ................................................................................ 20

3.9 Grafik fungsi Laplace dari fungsi kepekatan peluang peubah acak tersebar Erlang(2) (

0,5 ) ...................................................................................... 21

3.10 Grafik fungsi Laplace dari fungsi kepekatan peluang peubah acak tersebar eksponensial campuran (

0, 75 dan b

0, 25;

xiii

0, 25 ) ......................

22

DAFTAR LAMPIRAN Halaman Lampiran 1 ..........................................................................................................

46

Lampiran 2 ..........................................................................................................

49

Lampiran 3 ..........................................................................................................

79

xiv

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Dalam perusahaan asuransi, proses surplus adalah proses akumulasi kekayaan yang dinotasikan dengan U (t ) dan didefinisikan oleh Bowers (1997) sebagai U (t )

S (t ) , t

u ct

0 dan U (0) u.

(1.1)

Peubah u adalah modal awal (initial capital), c adalah rata-rata premi yang masuk per satuan waktu, t adalah waktu dan S (t ) adalah proses akumulasi klaim (aggregate claims process). Persamaan (1.1) dikenal sebagai model risiko klasik. Proses akumulasi klaim, dengan notasi S (t ), didefinisikan oleh Dickson (2005) sebagai

S (t )

N (t ) i 1

.X i , X i

0 untuk i = 1, 2, 3, ..., N (t ).

(1.2)

Peubah acak X i adalah besar klaim ke-i dan N (t ) adalah banyaknya klaim yang terjadi dalam interval waktu [0,t]. Untuk semua i = 1, 2, 3, ..., N (t ), X i adalah peubah acak kontinu sebanyak N (t ) yang diasumsikan saling bebas dan X i juga bebas terhadap N (t ). Dalam aplikasi asuransi, X i dapat diasumsikan mengikuti suatu sebaran tertentu. Dalam penelitian ini, X i diasumsikan menyebar eksponensial, Erlang(2) dan eksponensial campuran. Pengambilan ketiga asumsi berkenaan dengan metode transformasi Laplace. Transformasi Laplace pada fungsi kepekatan peluang dari sebaran ekponensial, Erlang(2) dan eksponensial campuran lebih sederhana dibanding dengan transformasi Laplace pada sebaran yang lain. Hal ini juga berakibat pada penerapan metode invers Laplace. Suatu perusahaan asuransi dinyatakan jatuh atau bankrut jika U (t ) Peluang jatuh adalah fungsi dalam u dan t, dinotasikan sebagai peluang bertahan dinotasikan sebagai

0.

(u , t ), dan

(u, t ), sehingga sesuai dengan Ross

(1996) (u , t ) 1

1

(u , t )

(1.3)

1.2 Perumusan Masalah Dari latar belakang masalah tersebut di atas, masalah penelitian dapat dirumuskan sebagai berikut: 1 Bagaimana menentukan fungsi sebaran peluang bertahan dalam model risiko klasik ( (u , t ) ), jika besarnya klaim yang datang ( X i ) menyebar: a

eksponensial,

b Erlang(2) dan c

eksponensial campuran?

2 Jika peubah dalam model risiko klasik (u, c dan t) dan parameter dalam fungsi kepekatan peluang dari ketiga sebaran tersebut ditentukan, bagaimana contoh hasil perhitungan numeriknya? 1.3 Tujuan Penelitian Berdasarkan perumusan masalah di atas, tujuan penelitian ini adalah sebagai berikut: 1 Menentukan fungsi sebaran peluang bertahan dalam model risiko klasik ( (u , t ) ), jika besarnya klaim yang datang ( X i ) menyebar: a

eksponensial,

b Erlang(2) dan c

eksponensial campuran.

2 Menentukan contoh hasil perhitungan numeriknya, jika peubah-peubah dalam model risiko klasik dan parameter dalam fungsi kepekatan peluang pada ketiga sebaran tersebut ditentukan. 1.4 Ruang Lingkup Penelitian Ruang lingkup penelitian ini adalah sebagai berikut: 1 Model risiko klasik. 2 Fungsi peluang dalam model risiko klasik. 3 Fungsi kepekatan peluang dari peubah acak yang menyebar secara eksponensial, Erlang(2) dan eksponensial campuran.

2

4 Transformasi Laplace pada fungsi peluang dalam model risiko klasik dan fungsi kepekatan peluang dari peubah acak yang menyebar secara eksponensial, Erlang(2) dan eksponensial campuran. 5 Formula invers kompleks. 6 Program komputasi dengan software Mathematica. 1.5 Sistematika Pembahasan Dalam memahami model risiko klasik, dibahas beberapa konsep dasar, yaitu: proses Poisson, sebaran peubah acak, sebaran jumlah dari peubah acakpeubah acak yang saling bebas, transformasi Laplace dan formula invers kompleks. Konsep dasar ini disajikan pada bab II. Langkah awal dalam penentuan fungsi sebaran peluang bertahan dalam model risiko klasik adalah menentukan fungsi Laplace dari fungsi kepekatan peluang pada peubah acak yang menyebar eksponensial, Erlang(2) dan eksponensial campuran. Langkah berikutnya, didefinisikan suatu fungsi peluang bertahan ( (u , t ) ) dan suatu fungsi peluang jatuh dalam u ( (u ) ). Dan dari kedua fungsi tersebut ditentukan fungsi transformasi Laplacenya, yaitu

ˆˆ ( s, ) dan ˆ( s) yang di

dalamnya memuat fungsi Laplace dari fungsi kepekatan peluang. Langkah akhir, dengan formula invers kompleks, fungsi menjadi fungsi

ˆˆ ( s, ) diubah

(u, t ). Fungsi terakhir adalah solusi eksplisit pada peluang

bertahan pada model risiko klasik. Ketiga langkah tersebut di atas disajikan pada bab III. Selanjutnya dalam bab IV dan bab V masing-masing disajikan simulasi atau contoh perhitungan dan kesimpulan akhir dari penelitian ini. Beberapa teorema dan persamaan yang ada dalam bab II dan bab III memerlukan bukti, penjelasan atau uraian aljabar. Untuk mengefektifkan penulisan dan kepadatan isi, rangkaian bukti, penjelasan atau uraian aljabar ditulis pada lampiran 1 dan lampiran 2. Sedangkan program untuk menentukan contoh hasil perhitungan numerik disajikan dalam lampiran 3.

3

BAB II KONSEP DASAR Konsep dasar yang ditulis dalam bab 2 ini, merupakan beberapa dasar acuan yang akan digunakan untuk menganalisa model risiko klasik dan menentukan fungsi sebaran peluang bertahan dalam model risiko klasik. Diantara dasar acuan tersebut adalah: proses Poisson, sebaran peubah acak, sebaran pada jumlah dari beberapa peubah acak yang saling bebas, transformasi Laplace, deret Maclaurin dan formula invers kompleks. 2.1 Proses Poisson Definisi 2.1 Proses stokastik Proses stokastik (stochastic process) {N (t ), t

T } adalah koleksi dari

peubah acak. Untuk setiap t dalam himpunan indeks T, N (t ) merupakan peubah acak. Jika t menyatakan waktu, maka N (t ) menyatakan kondisi proses saat t. Jika T himpunan indeks terhitung maka, {N (t ), t

T } disebut proses stokastik

waktu diskret dan jika T kontinu, maka {N (t ), t

T } disebut proses stokastik

waktu kontinu. Ross (1996) Definisi 2.2 Proses pencacahan Suatu proses stokastik {N (t ), t

0} disebut sebagai proses pencacahan

(counting process) jika N (t ) menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi dalam selang waktu [0, t ] dan N (t ) harus memenuhi: (i)

N (t )

(ii)

N (t ) bernilai bulat.

(iii) Jika s

0.

t, maka N (s )

N (t ).

(iv) Untuk s t, N (t ) N (s ) menyatakan banyak kejadian yang terjadi dalam selang waktu (s,t]. Ross (1996) Definisi 2.3 Proses Poisson Suatu proses pencacahan {N (t ), t process) dengan laju ,

0, jika: 4

0} disebut proses Poisson (Poisson

(i)

N (0) = 0.

(ii)

proses memiliki kenaikan bebas.

(iii) banyaknya kejadian yang terjadi dalam setiap selang waktu sepanjang t menyebar Poisson dengan rataan t. Sehingga untuk semua s, t

P[ N (t s) N ( s ) n]

1 e n!

t

( t )n ,

0 berlaku

n = 0, 1, 2, …. Ross (1996)

Definisi 2.4 Proses Poisson majemuk Suatu proses stokastik {S (t ), t

0} disebut sebagai proses Poisson majemuk

(compound Poisson process), jika dapat dinyatakan sebagai

S (t ) dimana {N (t ), t

N (t ) i 1

Xi , t

0,

0} adalah proses Poisson dengan laju , untuk semua i = 1, 2,

3, ..., X i adalah peubah acak iid (independent and identically distributed) dan juga bebas terhadap {N (t ), t

0}. Peubah acak iid adalah peubah acak yang

saling bebas dan memiliki sebaran yang identik. Ross (1996) 2.2 Sebaran Peubah Acak Definisi 2.5 Fungsi sebaran pada peubah acak diskret Jika X adalah suatu peubah acak diskret, maka fungsi F didefinisikan pada (

,+ ) sebagai F(t) = P(X

t) dan disebut sebagai fungsi sebaran (distribution

function) pada X. Fungsi F merupakan akumulasi dari semua peluang X yang yang nilainya termuat dalam selang (

,t], sehingga F disebut juga sebagai

fungsi distribusi kumulatif (cumulative distribution function) dari X yang memenuhi: (i)

F fungsi tak turun, jika t

(ii)

lim F (t ) 1 .

u maka F(t)

F(u).

t

(iii) lim F (t ) 0. t

(iv) lim F (tn ) n

F (t ). Ghahramani (2000) 5

Definisi 2.6 Fungsi peluang peubah acak diskret Fungsi peluang p pada peubah acak diskret X dengan himpunan nilai yang mungkin {x1 , x2 , x3 ,...} adalah suatu fungsi dari R ke R yang memenuhi: (i)

p( x)

0 , jika x {x1 , x2 , x3 ,...}.

(ii)

p( xi )

P( X

(iii)

i =1

xi ) dan p( xi )

0 , (i 1, 2,3,...).

p ( xi ) 1 . Ghahramani (2000)

Jika X adalah peubah acak diskret, maka fungsi sebarannya dinyatakan sebagai n 1

F (t )

i 1

p ( xi ) , xn

t

1

xn ,

dimana p adalah fungsi peluang (probability function). Ghahramani (2000) Definisi 2.7 Nilai harapan peubah acak diskret Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan

himpunan nilai yang

mungkin adalah A. Jika p(x) adalah fungsi peluang dari X, maka nilai harapan (expected value) dari peubah acak X didefinisikan sebagai

E( X )

x p ( x) x A

dan E( X ) dikatakan ada jika

x p( x) konvergen mutlak. x A

Ghahramani (2000) Definisi 2.8 Simpangan baku dan ragam peubah acak diskret Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan himpunan nilai yang mungkin adalah A, p(x) adalah fungsi peluang dari X dan E( X ) = harapan dari X, maka

X

adalah nilai

dan Var(X) masing-masing adalah simpangan baku

(standard deviation) dan ragam (variance) dari X didefinisikan sebagai X

E[( X

)2 ]

dan Var( X )

E[( X

) 2 ].

Ghahramani (2000) 6

Definisi 2.9 Fungsi kepekatan peluang pada peubah acak kontinu Misalkan X peubah acak kontinu bernilai real. Suatu fungsi kepekatan peluang (probability density function) pada X yang dinotasikan sebagai f ( x ) adalah fungsi real yang memenuhi P( a

Jika E

X

.b

b)

.a

f ( x) dx ,

a,b

R.

R, maka E)

P( X

.E

f ( x) dx.

Ross (2007) Definisi 2.10 Fungsi sebaran peluang pada peubah acak kontinu Jika f adalah fungsi kepekatan peluang dari peubah acak X yang kontinu dengan fungsi sebaran F, maka f harus memenuhi: (i) (ii)

. .

f ( x )dx 1.

F ' ( x)

f ( x ).

(iii) P( X

a)

(iv) P( a

X

.a .a

b)

f ( x ) dx

P( a

0. X

b)

P( a

X

b)

P( a

X

b)

.b .a

f ( x )dx.

Ghahramani (2000) Menurut Ross (1996), jika X adalah peubah acak kontinu, maka fungsi sebarannya dapat dinyatakan sebagai F (t )

.t .

f ( x)dx = 1

. .t

f ( x)dx,

dimana f(x) adalah fungsi kepekatan peluang. Definisi 2.11 Nilai harapan pada peubah acak kontinu Jika X adalah peubah acak kontinu dengan f sebagai fungsi kepekatan peluang, maka nilai harapan dari X didefinisikan sebagai

E( X )

. .

xf ( x)dx. Ghahramani (2000)

7

Definisi 2.12 Simpangan baku dan ragam pada peubah acak kontinu Jika X adalah peubah acak kontinu dengan E( X ) = , maka

X

dan Var(X)

masing-masing adalah simpangan baku dan ragam dari X yang didefinisikan sebagai

E[( X

X

.

)2 ]

)2 ] dan Var( X ) E[( X

(x

.

)2 f ( x)dx.

Ghahramani (2000) 2.3 Sebaran Jumlah dari Peubah Acak-Peubah Acak yang Saling Bebas Teorema 2.1 Teorema konvolusi Misalkan X dan Y adalah dua peubah acak yang saling bebas dengan fungsi kepekatan peluang berturut-turut f1 dan f 2 serta fungsi sebaran peluang berturutturut F1 dan F2 . Jika g dan G berturut-turut adalah fungsi kepekatan peluang dan fungsi sebaran peluang dari X + Y, maka .

g (t )

x) dx

(2.1)

f1 ( x) F2 (t x)dx.

(2.2)

f1 ( x ) f 2 (t

.

dan .

G (t )

.

Bukti teorema ada pada lampiran 1 sub 1.1. Bentuk (2.1) dan (2.2) dapat juga ditulis sebagai: .

g (t )

.

y )dy dan G (t )

f 2 ( y ) f1 (t

. .

f 2 ( y ) F1 (t

y )dy.

Ghahramani (2000) 2.4 Transformasi Laplace Definisi 2.13 Transformasi Laplace Transformasi Laplace dari fungsi f (t ), .0

, adalah fungsi

t

[f] pada

peubah real s yang dinyatakan sebagai [f](s) = fˆ ( s) =

. .0

e

st

f (t )dt = lim

.0

e

st

f (t )dt.

(2.3)

Transformasi terdefinisikan untuk semua bilangan real s jika limit (2.3) ada. Borrelli dan Coleman (1998) Menurut Dickson (2005), untuk fungsi f dengan dua peubah bebas (x,y), yaitu f (x,y ), 0

x

dan 0

y

maka 8

.

fˆ ( x, s)

sy

e

.0

f ( x, y )dy

(2.4)

f ( x, y )dx.

(2.5)

dan .

fˆ ( , y )

.0

e

x

Sehingga transformasi ganda dapat ditulis sebagai ˆ fˆ ( , s )

.

.

.0

.0

e

x sy

(2.6)

f ( x, y )dxdy.

Beberapa bentuk transformasi Laplace, yang berkaitan dengan aplikasi dalam teori risiko, sebagaimana dikemukan oleh Dickson (2005) adalah transformasi Laplace pada jumlah dua fungsi atau lebih, fungsi integral, fungsi turunan dan konvolusi fungsi. Misalkan h1 , h2 masing-masing adalah fungsi dan

1

,

2

masing-masing

adalah konstanta. Jika tranformasi Laplace dari h1 dan h2 ada, maka . .0

e

sy

h ( y)

1 1

hˆ ( s)

h ( y ) dy

2 2

1 1

hˆ ( s ).

2 2

(2.7)

Lihat lampiran 1 sub 1.2. Misalkan h adalah fungsi yang memiliki transformasi Laplace dan H ( x)

.x .0

h( y ) dy ,

maka transformasi Laplace dari H ( x) dengan H (0)

Hˆ ( s)

0 adalah

1ˆ h( s ). s

(2.8)

Lihat lampiran 1 sub 1.3. Misalkan

d h( y ) adalah turunan dari h terhadap y maka transformasi dy

Laplacenya adalah . .0

e

sy

d h( y ) dy dy

shˆ( s ) h(0).

(2.9)

Lihat lampiran 1 sub 1.4. Misalkan konvolusi dari fungsi h1 dan h2 adalah h1 h2 = h didefinisikan sebagai h( x )

.0

h1 ( y ) h2 ( x

9

y ) dy,

maka transformasi Laplace dari h adalah

hˆ( s)

hˆ1 ( s)hˆ2 ( s ).

(2.10)

Lihat lampiran 1 sub 1.5. Misalkan H dan h berturut-turut adalah fungsi sebaran dan fungsi kepekatan peluang dari peubah acak X yang kontinu dengan H(0) = 0, maka sX

E[e

] hˆ( s).

(2.11)

Lihat lampiran 1 sub 1.6. 2.5 Deret Maclaurin Definisi 2.14 Deret Maclaurin Deret Maclaurin dari suatu fungsi f(z) ditulis sebagai

f ( z ) = f (0) = k 0

f (1) (0) z 1!

f (2) (0) 2 z 2!

f (3) (0) 3 z ... 3!

f ( k ) (0) k z ... k!

f ( k ) (0) k z . k!

Dengan f (0) ( z ) = f ( z ) dan f ( k ) ( z ) adalah turunan ke-k dari f ( z ). Stewart (2003) Beberapa deret Maclaurin yang digunakan dalam pembahasan pada bab III adalah: (i)

(ii) (iii) (iv)

ez = 1

exp

z 1!

z2 2!

z3 ... 3!

1 z1 =1 z 1!

z2 2!

z3 3!

...

1 = 1 az a 2 z 2 a 3 z 3 ... 1 az 1 a 1 z

= 1 az

1

a2 z

2

k 0

zk . k!

k 0

z k . k!

=

a3 z

3

=

ak z k .

= k 0

ak z k .

... = k 0

Lihat lampiran 1 sub 1.7.

10

2.6 Formula Invers Kompleks Definisi 2.15 Fungsi analitik Misal U

C , C adalah sistem bilangan kompleks dan fungsi f : U

C.

Jika f ( z ) dengan z U turunannya ada, maka f disebut fungsi analitik pada U. Marsden (1973) Definisi 2.16 Singularitas Misal ( z0 , R1 , R2 ) {z | R1

R2 } dan ( z0 , 0, R2 )

B( z0 , R) {0}.

Fungsi f dikatakan mempunyai singularitas di z0 jika ada R

0 sedemikian

z

z0

hingga f fungsi analitik pada ( z0 , 0, R ). Singularitas dikatakan terhapuskan jika zn

0 untuk semua n

0.

Marsden (1973) Definisi 2.17 Residu Misalkan f fungsi analitik yang mempunyai sebuah singularitas di z0 , maka f dapat ditulis dalam ekspansi Laurent sebagai f ( z ) = ...

b2 ( z z0 ) 2

b1 ( z z0 )

a0 a1 z z0

...

dan

b1 disebut sebagai residu dari f di z0. Marsden (1973) Definisi 2.18 Formula invers kompleks Misalkan fungsi rasional f ( z )

g ( z ) / h( z ) adalah transformasi Laplace

dari f (t ) dan singularitas C dari f ( z ) adalah solusi dari h( z )

0 , maka invers

laplace dari f ( z ) adalah f (t ) =

Residu dari e zt f ( z ) di setiap titik singularitas C . Marsden (1973)

Misalkan g ( z ) dan h( z ) mempunyai singularitas di z0 , maka residu dari fungsi rasional f ( z ) = g ( z ) / h( z ) adalah

g ( z0 ) , dengan h '( z0 )

h '( z0 ) 0 . 11

g ( z0 )

0,

h ( z0 )

0

dan

BAB III PENENTUAN PELUANG BERTAHAN 3.1 Model Risiko Klasik Sebagaimana telah disebutkan dalam bab I, bahwa persamaan (1.1) adalah model risiko klasik. Dengan mensubstitusikan persamaan (1.2) ke dalam persamaan (1.1) diperoleh

U (t )

u ct

N (t ) i 1

.X i , t

0 dan U (0) u.

Peubah u adalah modal awal (initial capital), c adalah rata-rata premi yang masuk per satuan waktu, t adalah waktu, X i adalah besar klaim ke-i dengan i = 1, 2, 3, ..., N (t ) , sehingga X i

0. Peubah acak N (t ) menyatakan banyaknya klaim

yang terjadi dalam interval waktu [0,t]. Untuk semua i = 1, 2, 3, ..., N (t ), X i adalah peubah acak kontinu sebanyak N (t ) yang diasumsikan saling bebas dan

X i juga bebas terhadap N (t ). Dengan mengasumsikan X i mengikuti sebaran tertentu, maka analisis terhadap U (t ) dapat dilakukan. Dalam tesis ini, X i diasumsikan mengikuti sebaran eksponensial, sebaran Erlang(2) atau sebaran eksponensial campuran. Karena N (t ) adalah banyaknya klaim yang terjadi dalam interval waktu [0,t], maka N (t ) s

t , N (t )

0, N (t ) bernilai bulat, N (s )

N (t ) untuk s

t dan untuk

N (s ) menyatakan banyak kejadian yang terjadi dalam interval

waktu (s,t]. Sehingga menurut definisi 2.2, N (t ) adalah proses pencacahan. Jika {N (t ), t

0} diasumsikan sebagai proses Poisson dengan laju , dan

X i dengan i = 1, 2, 3, ..., N (t ) diasumsikan sebagai peubah acak independent and

identically distributed dan juga bebas terhadap {N (t ), t

0}, maka menurut

N (t )

definisi 2.4, {S (t )

Xi , t

0} adalah proses Poisson majemuk.

i 1

12

3.2 Sebaran dari Klaim Tunggal Misalkan klaim tunggal yang dinotasikan dengan X adalah peubah acak kontinu memiliki fungsi sebaran F ( x) dengan F (0)

0 dan fungsi kepekatan

peluang f (x) , maka :

f (x) = F' ( x). Sesuai dengan pembahasan sub bab 3.1, bahwa klaim tunggal X i dengan i = 1, 2, 3, ..., N (t ) diasumsikan mengikuti sebaran eksponensial, sebaran Erlang(2) dan sebaran eksponensial campuran. 3.2.1 Klaim Tersebar Eksponensial Jika X i tersebar eksponensial dengan parameter , maka menurut Ross (1996), fungsi kepekatan peluangnya dapat dinyatakan sebagai f (x ) = e

x

dengan x

0

(3.1)

dan fungsi sebaran peluangnya dapat ditulis sebagai F ( x) = 1 e

x

.

Lihat lampiran 2 sub 2.1. Gambar 3.1 dan 3.2 adalah grafik sebagai ilustrasi perilaku dari fungsi kepekatan dan fungsi sebaran peluang untuk peubah acak yang tersebar eksponensial dengan laju = 0,5.

Gambar 3.1 Grafik fungsi kepekatan peluang peubah acak tersebar eksponensial

(

0,5) 13

Gambar 3.2 Grafik fungsi sebaran peluang peubah acak tersebar eksponensial (

0,5)

3.2.2 Klaim Tersebar Erlang(2) Jika X i tersebar Erlang(2) dengan parameter

, maka fungsi kepekatan

peluangnya menurut Dickson dan Hipp (2001) dapat dinyatakan sebagai 2

x

dengan x dan fungsi sebaran peluangnya dapat ditulis sebagai f (x ) =

xe

F ( x) = 1

x +1 e

0 x

(3.2)

.

Lihat lampiran 2 sub 2.2. Gambar 3.3 dan 3.4 adalah grafik sebagai ilustrasi perilaku dari fungsi kepekatan dan fungsi sebaran peluang untuk peubah acak yang tersebar Erlang(2) parameter

= 0,5.

Gambar 3.3 Grafik fungsi kepekatan peluang peubah acak tersebar Erlang(2) ( 0,5) 14

Gambar 3.4 Grafik fungsi sebaran peluang peubah acak tersebar Erlang(2)

(

0,5)

3.2.3 Klaim Tersebar Eksponensial Campuran Jika X i tersebar eksponensial campuran dengan parameter

dan

dengan

proporsi b dan (1 b), maka fungsi kepekatan peluangnya menurut Garcia (2005) dapat dinyatakan sebagai x

x

dengan x dan fungsi sebaran peluangnya dapat ditulis sebagai f (x ) = b e

+(1 b) e

F ( x) = 1 [be Lihat lampiran 2 sub 2.3.

x

+(1 b)e

x

0

(3.3)

].

Gambar 3.5 dan 3.6 adalah grafik sebagai ilustrasi perilaku dari fungsi kepekatan dan fungsi sebaran peluang untuk peubah acak yang tersebar eksponensial campuran dengan parameter = 0,25;

= 0,75 dan b = 0,75.

Gambar 3.5 Grafik fungsi kepekatan peluang peubah acak tersebar eksponensial campuran (

0, 25;

0, 75 dan b

15

0, 75)

Gambar 3.6 Grafik fungsi sebaran peluang peubah acak tersebar eksponensial campuran (

0, 75 dan b

0, 25;

0, 75)

3.3 Sebaran dari Jumlah Klaim Misalkan F adalah fungsi sebaran dari peubah acak X. Jika F * F adalah konvolusi dari F dengan F yang dinotasikan sebagai F2 , sehingga F2

F *F

F3

F *F *F

F * (F * F )

F * F2

F4

F *F *F *F

F * (F * F * F )

F * F3

Fn

= F * F * F * ... * F

F * ( F * F * ... * F )

F * Fn-1

. . .

(n-1) konvolusi dari F

n konfolusi dari F

maka Fn adalah fungsi sebaran dari Z

nX .

Fungsi sebaran dan fungsi kepekatan peluang dari jumlah klaim (aggregate claims) dapat dinotasikan berturut-turut sebagai Ft ( x ) dan ft (x). Sehingga : Ft = FN (t ) = F1 * F2 * F3 * ... * FN (t ) dan f t = f N (t ) = f1 * f 2 * f3 * ... * f N ( t ) .

3.4

Peluang Jatuh dan Peluang Bertahan Peluang jatuh dan peluang bertahan dalam waktu terbatas (finite time) pada

suatu perusahaan asuransi sampai waktu t dengan modal awal u dinotasikan sebagai

(u , t ) dan

0 berturut-turut

(u , t ), sehingga:

(u, t ) 1 16

(u , t ).

(3.4)

Peluang jatuh dan peluang bertahan dalam waktu takterbatas (infinite time) adalah

(u) dan

(u, )

(u ), sehingga

(u , )

(u ) 1

(u ).

Misalkan T adalah waktu untuk jatuh, maka inf{t | U (t ) 0}.......................................... jika U (t ) 0 untuk-semua t 0.

T

Peluang jatuh dalam waktu takterbatas adalah suatu fungsi dalam u. Gerber dan Shiu (1998) mendefinisikan fungsi tersebut sebagai (u )

P[T

| U (0)

u]

dan didefinisikan fungsi sebagai

(u )

T

E[e

I (T

u] ,

) U (0)

(3.5)

dengan I adalah fungsi indikator dan adalah parameter tak negatif dalam bidang komplek. Untuk = 0,

(u ). Fungsi

(u ) .

(u )

.0

e

t

dapat ditulis sebagai ˆ (u, )

(u , t )dt =

t

(u, 0).

(3.6)

Lihat lampiran 2 sub 2.4. 3.5 Transformasi Laplace pada Misalkan g (t )

e

t

dan

(u , t )

adalah fungsi kepekatan peluang dari waktu antar

kedatangan dua klaim yang berurutan. Fungsi

segera setelah klaim pertama

terjadi, sebagaimana disampaikan oleh Garcia (2005),

(u ) =

=

. .0

. .0

t

g (t ) e

. .u ct

f ( x) dx

u ct 0

g (t )[1 F (u ct )].e t dt +

.

f ( x) (u ct

.0

.u ct

t

g (t ).e

.0

dapat ditulis sebagai :

x) dx dt

f ( x) (u ct x).dxdt. (3.7)

Lihat lampiran 2 sub 2.5. Dengan mensubstitusikan g (t ) (u ) =

. .0

e

(

)t

[1 F (u ct )].dt +

t

e . .0

e

(

17

ke persamaan (3.7) diperoleh )t

.u ct .0

f ( x) (u ct

x).dxdt.

(3.8)

Untuk s (u ) = e (

u ct , maka t .

)u / c

c

.u

e

(

( s u ) / c, dt )s / c

[1 F ( s )].ds +

ds / c dan u .

e

.u

(

)s / c

.s .0

s f ( x) ( s

, sehingga x ).dxds .

(3.9)

Lihat lampiran 2 sub 2.6. Turunan (u ) terhadap u pada persamaan (3.9) adalah .u d (u ) = (u ) [1 F (u )] f ( x) (u du c c c .0 dan transformasi Laplace dari (3.10) adalah

ˆ( s) = c (0) cs

s

[1

x).dx

fˆ ( s)] . fˆ ( s)

(3.10)

(3.11)

Lihat lampiran 2 sub 2.7. Untuk menentukan singularitas C dari persamaan (3.11), penyebutnya diberi nilai 0. Kondisi ini dapat ditulis sebagai

fˆ ( s).

cs

(3.12)

Persamaan (3.12) oleh Dickson dan Hipp (2001) disebut sebagai Persamaan dasar Lundberg. Persamaan tersebut memiliki akar tak negatif p dan akar negatif R sebagaimana diilustrasikan pada gambar 3.7.

Gambar 3.7 Dua akar persamaan dasar Lundberg Jika s

= 0, maka p = 0 dan R adalah koefisien penyesuaian Lundberg. Untuk p, c (0)

p

[1

18

fˆ ( p )]

(3.13)

dan

ˆ( s ) =

p

[1

fˆ ( p)]

s

fˆ ( s )]

[1

fˆ ( s)

cs

.

(3.14)

Lihat lampiran 2 sub 2.8. Peluang jatuh suatu perusahaan dalam interval waktu [0,t] adalah dan jika t (u , t ) =

0, maka

(u, 0)

(u , t )

0, sehingga

(u , t ) 0

=

(u , 0) .

(u , t )

(3.15)

Dan persamaan (3.15) disubstitusikan ke persamaan (3.4) menjadi (u , t ) = 1

(u , t )

=1

(u , 0) .

(u , t )

(3.16)

Transformasi Laplace dari (3.16) dengan parameter

0 dan s

0

menghasilkan :

ˆ (u, ) =

1

1

1 (u ) dan ˆˆ ( s, ) = s

1 ˆ ( s) .

(3.17)

Lihat lampiran 2 sub 2.9. Persamaan (3.14) disubstitusikan ke persamaan (3.17) menghasilkan c

ˆˆ ( s, ) = 1 s

=

s

cs

[1

fˆ ( s)] fˆ ( s)

fˆ ( s) cs (0) [1 s (cs fˆ ( s))

cs

cs

=

(0)

s(cs

fˆ ( s)]

cs (0) . fˆ ( s))

(3.18)

Untuk s = p, dengan alasan dan bukti yang sama seperti pada persamaan (3.13), maka (0) 1

cp

.

(3.19)

Persamaan (3.19) disubstitusikan ke persamaan (3.18) menghasilkan :

ˆˆ ( s, ) =

s p

s(cs

fˆ ( s))

p s

=

ps(cs 19

fˆ ( s ))

.

(3.20)

3.6 Transformasi Laplace pada f 3.6.1 Klaim Tersebar Eksponensial Jika X i menyebar eksponensial dengan parameter

, maka menurut

persamaan (3.1) fungsi kepekatan peluangnya dapat dinyatakan sebagai x

f (x) = e

dengan x 0 .

(3.21)

Dan transformasi Laplace dari (3.21) adalah

fˆ (s) =

s

,

Re( s )

.

(3.22)

Lihat lampiran 2 sub 2.10. Gambar 3.8 adalah grafik sebagai ilustrasi perilaku dari fungsi fˆ (s) , yaitu transformasi Laplace dari fungsi kepekatan peluang peubah acak tersebar eksponensial dengan parameter

= 0,5.

Gambar 3.8 Grafik fungsi Laplace dari fungsi kepekatan peluang peubah acak tersebar eksponensial (

0,5)

3.6.2 Klaim Tersebar Erlang(2) Jika X i menyebar Erlang(2) dengan parameter , maka menurut persamaan (3.2) fungsi kepekatan peluangnya dapat dinyatakan sebagai

f (x) =

2

xe

x

20

dengan x

0.

(3.23)

Transformasi Laplace dari (3.23) adalah 2

fˆ (s)

=

s)2

(

, Re( s )

.

(3.24)

Lihat lampiran 2 sub 2.11. Gambar 3.9 adalah grafik sebagai ilustrasi perilaku dari fungsi fˆ (s) , yaitu transformasi Laplace dari fungsi kepekatan peluang peubah acak tersebar Erlang(2) dengan parameter

= 0,5.

Gambar 3.9 Grafik fungsi Laplace dari fungsi kepekatan peluang peubah acak tersebar Erlang(2) (

0,5)

3.6.3 Klaim Tersebar Eksponensial Campuran Jika X i menyebar eksponensial campuran dengan fungsi kepekatan peluang seperti dalam persamaan (3.3), yaitu f (x ) = b e

x

+(1 b) e

x

dengan x 0,

(3.25)

maka transformasi Laplace dari (3.25) adalah

fˆ (s) = b

s

+ (1 b)

s

Lihat lampiran 2 sub 2.12.

21

, Re( s )

.

(3.26)

Gambar 3.10 adalah grafik sebagai ilustrasi perilaku dari fungsi fˆ (s) , yaitu fungsi Laplace dari fungsi kepekatan peluang peubah acak tersebar eksponensial campuran dengan parameter

= 0,25;

= 0,75 dan b = 0,75.

Gambar 3.10 Grafik fungsi Laplace dari fungsi kepekatan peluang peubah acak tersebar Erlang(2) (

0, 75 dan b

0, 25;

0, 75)

3.7 Invers Kompleks pada ˆˆ 3.7.1 Klaim Tersebar Eksponensial Persamaan (3.22) disubstitusikan ke persamaan (3.12) menjadi =

cs

s

.

(3.27)

Selanjutnya persamaan (3.27) disubstitusikan ke persamaan (3.20) diperoleh p s

ˆˆ ( s, ) = ps(cs

s

)

=

( p s )( s) ps(cs cs s s

=

( p s )( p s2 p s2

2

p

s

) s) pc s 2

22

pcs 3

.

(3.28)

Invers pertama dari

ˆˆ ( s, ), yaitu mengganti s dengan u menjadi

ˆ (u , ) dapat ditentukan melalui formula invers komplek pada transformasi

Laplace yang dikemukakan oleh Marsden (1973) sebagai berikut : (Residu dari eus ˆˆ ( s, ) pada setiap singularitas dalam C). (3.29)

ˆ (u, ) =

Singularitas terjadi pada s

0 dan s

R. Sedangkan s

p merupakan

singularitas yang terhapuskan, karena residunya bernilai 0. Sehingga ˆ (u , ) =

=

Res s 0 eus ˆˆ ( s, ) Res s R eus ˆˆ ( s, ) 1

euR

( p R)( R) . 2 p R 2 p R 2 pc R 3 pcR 2

p

(3.30)

Lihat lampiran 2 sub 2.13. Invers ke dua dari ˆ (u , ), yaitu mengganti

dengan t menjadi

(u , t ).

Invers dari suku pertama adalah 1 dan invers dari suku kedua adalah residu dari : e

t uR

p

( p R)( R) , 2 p R 2 p R 2 pc R 3 pcR 2

(3.31)

sehingga (u , t ) = 1

(Residu dari (3.31) pada setiap singularitas dalam C).

(3.32)

Jika s = R disubstitusikan ke persamaan (3.27), diperoleh = cR Untuk R

R

.

0, maka diperoleh tiga titik penting yaitu R

(3.33) 0, R

r

c

dan

. Ketiga titik tersebut merupakan singularitas dari residu (3.41) setelah

dikalikan dengan d / dR. Nilai dari r disebut koefisien penyesuaian Lundberg. Turunan dari terhadap R adalah 2

c

d = dR

(

2c R cR 2 . R) 2

(3.34)

Lihat lampiran 2 sub 2.14. Akar-akar dari persamaan dasar Lundberg, yaitu p dan R memiliki hubungan sebagai 23

c

p = R

.

c

(3.35)

Lihat lampiran 2 sub 2.15. Jika persamaan (3.33) disubstitusikan ke persamaan (3.35) diperoleh

c c(

p =

2

c R R)

(3.36)

Lihat lampiran 2 sub 2.16. Persamaan (3.33) dan (3.36) disubstitusikan ke (3.31), diperoleh t c t cRt R

exp R

u uR

1

c

(3.37)

cR R R)2

(

Lihat lampiran 2 sub 2.17 Hasil (3.37) dikalikan dengan (3.34) diperoleh : exp R

t c t cRt R

u uR

c

2

(

2c R cR 2 c cR ) R

(3.38)

Lihat lampiran 2 sub 2.18. Sehingga (u , t ) = 1

(Residu dari (3.38) pada setiap singularitas dalam C).

Evaluasi residu dua singularitas pertama, yaitu R

0 dan R

(3.39) r

c

menghasilkan negatif, dan ini tidak memberikan makna pada nilai peluang sebagaimana diharapkan dari

(u , t ). Sedangkan R

pembagi yang nilainya 0. Sehingga haruslah R R

akan menghasilkan

0 , misalkan R

z atau

z.

Res R

z

(3.38) = Res z=0

1

exp

( t

u

ct ) 1 z

exp (u ct ) z exp

1

t

cz

z

(3.40)

.

Lihat lampiran 2 sub 2.19. Persamaan (3.40) disubstitusikan ke (3.39) diperoleh

(u, t ) = 1 Res z=0

1

exp

( t

u

exp (u ct ) z exp

ct ) 1 z

24

1

t

cz

z

(3.41)

Perlu dicatat bahwa nilai z tergantung pada R dan nilai R tergantung pada . Padahal

berjalan dari 0 sampai

. Akibatnya persamaan (3.51) belum dapat

digunakan untuk menentukan nilai

(u, t ). Dalam hal ini faktor ketiga, keempat

dan kelima pada suku kedua dari (3.41) dapat diuraikan dengan menggunakan deret kuasa (power series). 1

cz

k

1 z

t )k z k!

(

t =

j

c

.z j ,

(3.42)

j 0

(u ct ) k z k k! 0

exp (u ct ) z =

exp

= 1

z

j

1

k 0

dan

(3.43)

k

(3.44)

Lihat lampiran 2 sub 2.20. Persamaan (3.42), (3.43) dan (3.44) disubstitusikan ke persamaan (3.41) diperoleh 1

(u, t ) = 1 Res z

0

e

( t

u

ct )

1

1

j

c

j

.z j

j 0

k

(u ct ) k z k k! 0

t )k z k!

( k 0

k

.

Menurut definisi 2.17, residu pada singularitas z = 0 adalah koefisien dari z 1 , sehingga 1

(u , t ) = 1

e

( t

u

ct ) k

1

e

( t

u

(u ct ) k ( t ) k k !(k 1)! 0 1

ct )

j

c

j 0

j

1

(u ct ) k ( t ) j k . k !( j k 1)! k 0

1

(3.45)

Lihat lampiran 2 sub 2.21. Persamaan terakhir adalah fungsi sebaran peluang bertahan dalam model risiko klasik untuk besar klaim yang menyebar eksponensial.

25

3.7.2 Klaim Tersebar Erlang(2) Persamaan (3.24) disubstitusikan ke persamaan (3.12) menjadi 2

=

cs

(3.46)

s)2

(

yang mempunyai tiga akar persamaan, yaitu : Q, R dan p dengan hubungan Q

R

p. Untuk p

0

0 jika dan hanya jika

0. Jika (3.24)

disubstitusikan ke persamaan (3.20) diperoleh p s

ˆˆ ( s, ) =

2

ps(cs =

)

( p s)( s)2 s)2 ( s)2 (

ps cs(

( p

= ps cs

=

s)2

(

2

ps 2

2cs 2

s

cs 3

2

( p s )( 2 2 s

s2

s)2 s)2

s )( 2

2

s2

s

s)2 s 2 cs

2

2

2

2cs 2

s2

s

cs 3

2

(3.47)

.

Invers pertama dari ˆˆ ( s, ), yaitu mengganti s dengan u menjadi (Residu dari eus ˆˆ ( s, ) pada setiap singularitas dalam C) (3.48)

ˆ (u , ) =

Singularitas terjadi pada s = Q keluar dari domain fˆ ( s) dan singularitas s = p terhapuskan. Sehingga ˆ (u , ) = Re s s 0 eus ˆˆ ( s, ) Re s s R eus ˆˆ ( s, )

= 1 euR

p 4

R 3 R2

2

( p R )( R)2 4 R 3 R 2 2cR

2

6cR 2

4cR 3

. (3.49)

Lihat lampiran 2 sub 2.22. Invers ke dua dari ˆ (u , ), yaitu mengganti

dengan t menjadi

(u , t ).

Invers Laplace dari suku pertama adalah 1 dan invers Laplace dari suku kedua adalah residu dari : e

(p

t uR

p 4

R 3 R2

2

4

R)2

R )(

R 3 R2

26

2cR

2

6cR 2

4cR 3

(3.50)

sehingga (u , t ) = 1

(Residu dari (3.50) pada setiap singularitas dalam C).

(3.51)

Jika s = R disubstitusikan ke persamaan (3.46), diperoleh 2

= cR Untuk

(3.52)

R)2

(

0, maka diperoleh tiga titik penting yaitu R1

, R2

0 dan

r1,2 . Ketiga titik tersebut merupakan singularitas dari residu (3.50) setelah

R3

dikalikan dengan d / dR dan r adalah koefisien penyesuaian Lundberg. Turunan dari terhadap R adalah 2

d =c dR =

2

R )3

( 2

2

c

3

3c (

2

R 3c R 2 cR 3 . R )3

(3.53)

Lihat lampiran 2 sub 2.23. Akar-akar dari persamaan dasar Lundberg, yaitu p dan R memiliki hubungan sebagai

c

p = R

(3.54)

c

dan jika persamaan (3.52) disubstitusikan ke persamaan (3.54) diperoleh 2

p =

c

3

2c 2 R c R 2 c( R)2

(3.55)

Lihat lampiran 2 sub 2.24. Persamaan (3.52) disubstitusikan ke (3.50) kemudian dikalikan dengan (3.53), diperoleh exp

R

2

Rt c 2t 2c Rt cR 2t ( R) 2

t

2

u 2 uR uR 2

1 p

Rt c 2t 2c Rt cR 2t ( R)2

2

u 2 uR uR 2

1 2 t Rt c 2t 2c Rt cR 2t exp R p ( R)2 Lihat lampiran 2 sub 2.25.

2

u 2 uR uR 2

=

1 exp R

R

2

t

27

1 R

(3.56)

Sehingga (u , t ) = 1

(Residu dari (3.56) pada setiap singularitas dalam C).

(3.57)

Residu suku pertama dari (3.56) pada singularitas R

z

atau

z , adalah

R

exp

c t

u

2

t exp u ct z exp

t z

1

2

(3.58)

z

Lihat lampiran 2 sub 2.26. Misalkan a

2

u ct dan b

exp

c t

t , maka (3.58) dapat ditulis menjadi

t exp eaz exp bz

u

1

2

(3.59)

z

Dengan deret kuasa terhadap z diperoleh

e

c t

u

ak z k 0 k!

t k

c t

=e

u

t k

=e

c t

u

k

bk z 2k k! 0

ak 1 z k 1 1)! 1 (k 1

t

k

2j 1

j 1

k

j

1

zj

j 0

b k 1 z 2( k 1) (k 1)! 1

a 2 k 1b k 1)! k 1 (2k

j 1

1

zj

1

j 1

j 1

2j

1

j 1!

k

a2k 2bk 2)! k 1 (2 k

j 1

j 1!

(3.60) Lihat lampiran 2 sub 2.27. Untuk menentukan residu suku kedua dari (3.56) dengan merubah 1/p menjadi fungsi dalam R. Dari persamaan (3.46) dapat ditulis menjadi s3

2

c

c

s2

2

2

2

2 c

c

s

c

0

(3.61)

Lihat lampiran 2 sub 2.28. Jika a1

2

c

c

, a2

2

2 c

s3

2

2

a1 s 2

c

dan a3

a2 s a3

c

0

, maka (3.62)

Dari persamaan (3.54) dan (3.52) dapat ditulis menjadi p = a1

(z

)

a3 p( z

(3.63)

)

Lihat lampiran 2 sub 2.29, 28

dan z2

=

cz 3

cz 2

2

(3.64)

z2

Lihat lampiran 2 sub 2.30, serta

1 = p

pcz 2 p cz 2

2

z 2 pcz 2

(3.65)

.

Lihat lampiran 2 sub 2.31. Solusi dari persamaan terakhir untuk 1/p ada dua tetapi hanya satu yang merepresentasikan 1/p, yaitu : 2cz 2

1 1 = h( z ) = 2 p 2 cz z

2

2

4cz 3

.

(3.66)

Lihat lampiran 2 sub 2.32. Persamaan (3.66) dapat diekspresikan dalam Maclaurin’s Series, sebagai

1 = ck z k p k 0

(3.67)

Lihat lampiran 2 sub 2.33, dengan ck =

1 dk h( z ) k ! dz k

(3.68)

. .z 0

Sehingga residu suku kedua dari (3.56) pada singularitas R z , dengan a

R

e

c t

u

t k

=e

c t

ak z k 0 k! u

t

bk z 2k k! 0

k

c2 j j 1

2

u ct dan b

2 k

z atau

t , adalah

ck z k k 0

a 2 k 1b k j 1 c2 j 1)!(k j 1)! 1 (2k

1 k

a 2k 2bk 2)!(k 1 (2k

j 1

(3.69) j 1)!

Dengan mensubstitusikan persamaan (3.60) dan (3.69) ke dalam persamaan (3.57) diperoleh :

29

(u , t )

1 e

c t

u

2j 1

1

t j 1

e

c t

u

t

k

c2 j j 1

=1 e

c t

1

u

k

j 1

1

j 1!

2j

k

a 2 k 1b k j 1 c2 j 1)!(k j 1)! 1 (2 k

a 2k 2bk 2)! k 1 (2 k

a 2k 2bk 2)!(k 1 (2 k

j 1

a 2k 2 bk 2)! k 1 (2k

j 1

1 k

j 1

j 1!

j 1)!

t

2j 1

j 1

k

c2 j

2

a 2 k 1b k 1)! k 1 (2 k

a 2 k 1b k 1)! k 1 (2k

j 1

1

j 1!

k

a 2 k 1b k j 1 c2 j 1)!(k j 1)! 1 (2k

2 k

2j

1 k

a 2k 2 bk 2)!(k 1 (2k

j 1!

j 1

j 1)!

Dengan mensubstitusikan kembali nilai a dan b diperoleh 2j 1

1 (u , t ) =1 e

c t

u

t

c2 j

2

k

(u ct ) 2 k 1 ( 1)! k 1 (2k

t )k j 1 j 1!

2

k

(u ct ) 2 k 2 ( 2)!(k 1 (2k

t )k j 1 j 1)!

2

j 1

(3.70) 1

2j

c2 j

1

Persamaan terakhir adalah fungsi sebaran peluang bertahan dari model risiko klasik untuk besar klaim yang menyebar Erlang(2). 3.7.3 Klaim Tersebar Eksponensial Campuran Persamaan (3.26) disubstitusikan ke persamaan (3.20) diperoleh ˆˆ ( s, ) =

p s

fˆ ( s))

ps(cs

p s

=

=

ps cs

b

( p s)( s)( h( s )

s)

s

+ (1 b)

s (3.71)

,

Lihat lampiran 2 sub 2.34, dengan

h( s ) = ps(cs 3 (

c

c ) s 2 [ (b

c ) b

]s

). (3.72)

30

Untuk h( s ) = 0 mempunyai akar persamaan 0, Q, R dan p yang memenuhi Q

dan p bergerak dari 0

0

R

p

. Dan R bergerak dari kanan ke kiri yaitu dari r

. Q di luar domain fˆ ( s ), sehingga tidak digunakan dalam evaluasi

hingga invers.

Singularitas s = p adalah singularitas terhapuskan, sehingga invers pertama dari (3.71) adalah residu dari r(s) pada singularitas s = 0 dan s = R. Dengan r (s) =

( p s)( s)( h'( s )

s)

(3.73)

,

sehingga 1

ˆ (u , ) =

euR r ( R).

(3.74)

Lihat lampiran 2 sub 2.35. Invers suku pertama dari (3.84) adalah 1 dan invers suku kedua dari (3.74) adalah residu dari fungsi e

t + uR

(3.75)

r ( R ).

Dari persamaan (3.12) dapat di tulis sebagai

cR

fˆ ( R)

(3.76)

dan jika persamaan (3.76) disubstitusikan ke (3.75) kemudian dikalikan dengan

'( R), diperoleh e

(

cR

fˆ ( R )) t uR

(3.77)

r ( R) '( R)

dan dapat ditulis menjadi exp R

=

exp R

exp R

t

Rt c

t c Rt c Rt cR 2t t b t b ( R)( R)

u

uR

uR

uR 2

1 R

1 p

t

Rt c

t c Rt c Rt cR 2t t b t b ( R)( R)

u

uR

uR

uR 2 1 R

t

Rt c

t c Rt c Rt cR 2t t b t b ( R)( R)

u

uR

uR

uR 2 1 (3.78) . p

Lihat lampiran 2 sub 2.36. Dengan mensubtitusikan R

z

ke dalam suku pertama dari (3.78), diperoleh:

31

exp ( z

t

=e

tc

zt tc z tc z tcz 2 t b z( z

)

u

e( u

ct ) z

exp t b

z

1 z

1 b z

t

exp

b u z u z uz 2

t )

1

(3.79)

.

z

Lihat lampiran 2 sub 2.37. Deret kuasa dari z untuk masing-masing faktor adalah:

1 z e(u

k

1

=

zk ,

k 0

ct ) z

k

(u ct )k k z , k! 0

k

(t b ) k z k! 0

=

exp t b

exp

=

z

1 b z

t

dan

ck z k dengan

= k 0

1 dk exp k ! dz k

ck

k

1 b z

t

. .z 0

Sehingga persamaan (3.79) dapat ditulis menjadi

e

t

tc

u k

=e

t

tc

(u ct )k k z k! 0

u

1

cj j 0

k

k

k 1

l 1

(t b )k z k! 0

k

1

ck z k k 0

k

zk

k 0

(t b ) j k l 1 (u ct )l 1 . ( j k l 1)! (l 1)!

Dengan cara yang sama, R

(3.80)

disubstitusikan ke dalam suku pertama

z

dari (3.78), diperoleh

e

t

tc

u k

=e

t

tc

(u ct )k k z k! 0

u

ej j 0

dengan e j

1

k

k

k 1

1 dj exp j ! dz j

l 1

(t (1 b) ) k z k! 0

(t (1 b) ) j k l ( j k l 1)! t

b z

k k 0

(u ct )l 1 , (l 1)!

1

. .z 0

32

ck z

1

k

k

zk

k 0

(3.81)

Untuk merubah suku kedua dari (3.78) dalam deret kuasa, 1/p harus diekspresikan sebagai fungsi dalam z. Dari persamaan (3.76) dan (3.12) diperoleh cs

b

(1 b)

s

s

dan

s3

a1s 2

a2 s a3 = 0

dengan c c b

a1 a2

c b

c

(3.82)

.

c

a3

c Lihat lampiran 2 sub 2.38. Persamaan (3.82) mempunyai tiga akar penyelesaian, yaitu p, R dan R1. Dan untuk R

memiliki hubungan

z

p=

=

a1 R R1

a1 ( z

)

a3 p( z

)

(3.83)

.

Dengan mensubstitusikan persamaan (3.92) ke (3.93), diperoleh c c

p=

c

(z

)

cp( z

)

.

(3.84)

.

(3.85)

sebagai fungsi dalam z dapat ditulis : =

c( z

= (z

fˆ ( z

) z cz

)

) cz 2 b z )

cz z(

b

Jika disubstitusikan ke persamaan (3.84), diperoleh persamaan dalam x

1 , p

yaitu : b0 x 2 b1 x b2

0

dengan b0 b1 b2

(cz 2 ( c( cz

c )z

2

c(

2

c ( c

)z b 2

c

2

b b

)z

Lihat lampiran 2 sub 2.39. 33

. (3.86)

) (1 b)

) z b(

)

Persamaan terakhir mempunyai dua akar solusi, tetapi hanya satu yang mempresentasikan 1/p, yaitu x( z )

b12 4b0b2 . 2b0

b1

1 = p

=

Fungsi x( z ) dapat diekspresikan ke dalam deret Maclaurin sebagai berikut :

x( z ) =

dk z

k

dengan

dk =

k 0

Sehingga untuk R

1 dk x( z ) k ! dz k

. z 0

, suku kedua dari persamaan (3.78) dapat ditulis

z

sebagai e

t

tc

u

cj j 0

dk

(t b ) j k l 1 (u ct )l 1 , ( j k l 1)! (l 1)!

1

k 1

l 1

Dengan cara yang sama, untuk R

(3.87) dapat diturunkan fungsi 1/p

z

sebagai y( z)

=

a12 4a0 a2 , 2a0

a1

1 = p

dengan ( cz 2 ( c

a0

c

) z (1 b)

)z2 ( c

a1

c(

a2

cz 2 c(

2

c

2

b

(1 b) (1 b)

) ) z (1 b)

2

(1 b)

(3.88)

)z

Lihat lampiran 2 sub 2.40. Fungsi y ( z ) dapat diekspresikan ke dalam deret Maclaurin sebagai y( z) =

fk z

k

dengan

fk =

k 0

Sehingga untuk R

z

1 dk y( z) k ! dz k

. z 0

, suku kedua dari persamaan (3.78) dapat ditulis

sebagai e

t

tc

u

ej j 0

fk k 1

1 l 1

(t (1 b) ) j k l ( j k l 1)!

1

(u ct )l 1 (l 1)!

(3.89)

Hasil substitusi persamaan (3.89), (3.87), (3.81) dan (3.80) ke (3.78) disubstitusikan ke persamaan (3.74) diperoleh :

34

(u, t ) = 1 e

t

tc

u

cj j 0

e

t

tc

u

dk

1

k 1

l 1

1

ej j 0

k

1

k 1

k

fk

1 l 1

(t b ) j k l 1 (u ct )l 1 ( j k l 1)! (l 1)!

(t (1 b) ) j k l ( j k l 1)!

1

(u ct )l 1 . (l 1)!

(3.90)

Persamaan terakhir adalah fungsi sebaran peluang bertahan dari model risiko klasik untuk besar klaim yang menyebar eksponensial campuran.

35

BAB IV PERHITUNGAN NUMERIK Dengan memperhatikan fungsi sebaran peluang bertahan dari masingmasing sebaran klaim, sebagai mana ditulis pada persamaan (3.45), (3.70) dan (3.90), perhitungan numerik tidak mudah dilakukan secara manual. Hal ini disebabkan adanya indeks j dan k yang berjalan dari 0 sampai tak hingga. Untuk itu perhitungan numerik dilakukan dengan menggunakan software Mathematica. Program perhitungan numerik beserta hasil outputnya dapat dilihat pada lampiran 3. Agar hasil aslinya dapat dilihat dengan jelas, maka printoutnya tetap dalam format Mathematica. 4.1 Parameter Untuk menentukan nilai fungsi peluang bertahan dalam model risiko klasik ( (u, t ) ), ditentukan nilai dari beberapa parameter dan peubah yang diperlukan. Peubah dari model risiko klasik adalah u dan t, sedangkan parameternya adalah c. Parameter dari fungsi kepekatan peluang peubah acak besarnya klaim adalah , dan b. Sedangkan

adalah parameter fungsi kepekatan peluang peubah acak

waktu antar kedatangan dua klaim yang berurutan. Modal awal (u) ditentukan sebesar 0, 1, 2, 3, 4, 5 dan 10. Besar premi (c) dipilih 1; 1,1 dan 1,2 agar kelihatan perbedaannya. Untuk besar klaim menyebar eksponensial dan Erlang(2), waktu (t) dipilih 1, 2, 3, ...,10. Sedangkan untuk besar klaim menyebar eksponensial campuran, nilai t dipilih 1, 2, 3, ...,8. Untuk besar klaim yang menyebar secara eksponensial, nilai sebesar 1 dan untuk besar klaim yang menyebar secara Erlang(2) nilai

diambil sebesar

2. Sedangkan pada besar klaim yang menyebar secara eksponensial campuran nilai ,

dan b berturut-turut dipilih 1/2, 2 dan 1/3. sebagai parameter fungsi kepekatan peluang peubah acak waktu antar

kedatangan dua klaim yang berurutan, dipilih sebesar 1. Parameter terakhir ini adalah merupakan parameter proses Poisson. 36

Meskipun beberapa parameter telah ditentukan di depan, untuk keperluan eksplorasi, pembaca dapat menentukan sendiri semua parameter sesuai dengan keinginan. 4.2 Hasil Perhitungan Numerik Karena keterbatasan tampilan yang dimiliki oleh Mathematica, hasil perhitungan disusun kembali di dalam workseet pada software Excel. Hasil perhitungan nilai peluang bertahan dalam model risiko klasik secara lengkap dapat dilihat pada tabel 4.1 sampai dengan tabel 4.9. Interpretasi dari nilai-nilai yang ada pada setiap tabel adalah peluang bertahan suatu perusahaan asuransi dalam interval waktu [0,t] dengan modal awal u dan besar premi per satuan waktu adalah c. Misalnya nilai 0,452522 yang tertera pada tabel 4.1 baris 5 kolom 3 menyatakan bahwa suatu perusahan dengan modal awal 1 dan premi yang masuk per satuan waktu adalah 1, dalam interval waktu [0,5] memiliki nilai peluang bertahan sebesar 0,452522. Nilai yang diperoleh berasumsikan bahwa klaim menyebar eksponensial dengan rataan 1. 4.2.1 Eksponensial ( =1) Tabel 4.1 Nilai peluang bertahan dalam model risiko klasik untuk besar klaim menyebar eksponensial dengan parameter =1, parameter waktu antar kedatangan =1 dan besar premi c=1 Nilai Peluang Bertahan

t u=0

u=1

u=2

u=3

u=4

u=5

u=10

1

0,523778

0,754062

0,875804

0,938420

0,969931

0,985508

0,999674

2

0,385753

0,628038

0,782073

0,875724

0,930718

0,962116

0,998509

3

0,318709

0,549107

0,711640

0,820832

0,891398

0,935572

0,996300

4

0,277574

0,493892

0,656836

0,773815

0,854568

0,908518

0,993039

5

0,249096

0,452522

0,612798

0,733435

0,820846

0,882163

0,988814

6

0,227891

0,420046

0,576470

0,698457

0,790187

0,857032

0,983757

7

0,211313

0,393680

0,545864

0,667862

0,762337

0,833318

0,978004

8

0,197894

0,371723

0,519634

0,640851

0,736987

0,811054

0,971688

9

0,186743

0,353070

0,496834

0,616799

0,713841

0,790195

0,964927

10

0,177287

0,336967

0,476781

0,595217

0,692631

0,770659

0,957822

37

Tabel 4.2 Nilai peluang bertahan dalam model risiko klasik untuk besar klaim menyebar eksponensial dengan parameter =1, parameter waktu antar kedatangan =1 dan besar premi c=1,1 Nilai Peluang Bertahan

t u=0

u=1

u=2

u=3

u=4

u=5

u=10

1

0,536599

0,761944

0,880294

0,940854

0,971205

0,986158

0,999692

2

0,407136

0,645431

0,794328

0,883674

0,935598

0,964993

0,998650

3

0,344789

0,574022

0,731541

0,835242

0,901180

0,941909

0,996770

4

0,306693

0,524715

0,683593

0,794706

0,869793

0,919073

0,994105

5

0,280402

0,488107

0,645581

0,760489

0,841638

0,897341

0,990767

6

0,260881

0,459571

0,614552

0,731250

0,816458

0,877008

0,986885

7

0,245662

0,436536

0,588633

0,705959

0,793894

0,858125

0,982580

8

0,233374

0,417448

0,566579

0,683840

0,773592

0,840636

0,977958

9

0,223189

0,401304

0,547350

0,664304

0,755239

0,824442

0,973106

10

0,214573

0,387424

0,530870

0,646901

0,738570

0,809433

0,968097

Tabel 4.3 Nilai peluang bertahan dalam model risiko klasik untuk besar klaim menyebar eksponensial dengan parameter =1, parameter waktu antar kedatangan =1 dan besar premi c=1,2 Nilai Peluang Bertahan t u=0

u=1

u=2

u=3

u=4

u=5

u=10

1

0,548979

0,769506

0,884583

0,943173

0,972416

0,986773

0,999708

2

0,427733

0,661876

0,805782

0,891042

0,940091

0,967628

0,998777

3

0,370048

0,597469

0,749936

0,848385

0,910008

0,947577

0,997178

4

0,335091

0,553703

0,708179

0,813567

0,883342

0,928352

0,995003

5

0,311146

0,521613

0,675615

0,784753

0,859960

0,910515

0,992373

6

0,293492

0,496865

0,649395

0,760534

0,839443

0,894178

0,989406

7

0,279825

0,477080

0,627755

0,739882

0,821357

0,879284

0,986203

8

0,268867

0,460831

0,609541

0,722049

0,805321

0,865715

0,982846

9

0,259846

0,447204

0,593966

0,706481

0,791015

0,853335

0,979400

10

0,252267

0,435582

0,580472

0,692763

0,778180

0,842017

0,975913

38

4.2.2 Erlang(2) ( =2) Tabel 4.4 Nilai peluang bertahan dalam model risiko klasik untuk besar klaim menyebar Erlang(2) dengan parameter

=2, parameter waktu antar

kedatangan =1 dan besar premi c=1 Nilai Peluang Bertahan t u=0

u=1

u=2

u=3

u=4

u=5

u=10

1

0,474548

0,741084

0,892471

0,958325

0,984633

0,994561

0,999981

2

0,340600

0,613471

0,800131

0,903210

0,955505

0,980432

0,999804

3

0,279447

0,534692

0,729146

0,851441

0,922446

0,961226

0,999268

4

0,242587

0,480020

0,673468

0,805632

0,889485

0,939681

0,998212

5

0,217286

0,439259

0,628556

0,765553

0,858147

0,917400

0,996551

6

0,198541

0,407370

0,591431

0,730418

0,828932

0,895270

0,994262

7

0,183937

0,381543

0,560115

0,699431

0,801914

0,873763

0,991366

8

0,172144

0,360075

0,533253

0,679060

0,776989

0,853112

0,987906

9

0,162362

0,341863

0,509892

0,647283

0,753993

0,833421

0,983943

10

0,154079

0,326161

0,489337

0,625109

0,732745

0,814716

0,979538

Tabel 4.5 Nilai peluang bertahan dalam model risiko klasik untuk besar klaim menyebar Erlang(2) dengan parameter

=2, parameter waktu antar

kedatangan =1 dan besar premi c=1,1 Nilai Peluang Bertahan t u=0

u=1

u=2

u=3

u=4

u=5

u=10

1

0,488408

0,751323

0,897816

0,960744

0,985630

0,994945

0,999982

2

0,364106

0,635115

0,814990

0,911867

0,960039

0,982631

0,999833

3

0,307657

0,565021

0,753322

0,867694

0,932242

0,966682

0,999407

4

0,273762

0,517045

0,705941

0,829626

0,905384

0,949420

0,998611

5

0,250577

0,481626

0,668289

0,796967

0,880453

0,932058

0,997410

6

0,233458

0,454130

0,637526

0,768776

0,857649

0,915197

0,995816

7

0,220165

0,432006

0,611823

0,744225

0,836888

0,899112

0,993860

8

0,209466

0,413720

0,589956

0,722652

0,817991

0,883913

0,991587

9

0,200621

0,398288

0,571076

0,703533

0,800757

0,869620

0,989047

10

0,193155

0,385046

0,554570

0,686459

0,784996

0,856207

0,986284

39

Tabel 4.6 Nilai peluang bertahan dalam model risiko klasik untuk besar klaim menyebar Erlang(2) dengan parameter

=2, parameter waktu antar

kedatangan =1 dan besar premi c=1,2 Nilai Peluang Bertahan t u=0

u=1

u=2

u=3

u=4

u=5

u=10

1

0,502106

0,761117

0,902870

0,963012

0,986559

0,995300

0,999984

2

0,387029

0,655524

0,828698

0,919722

0,964098

0,984578

0,999858

3

0,335338

0,593515

0,775365

0,882169

0,940798

0,971369

0,999520

4

0,304598

0,551845

0,735378

0,850754

0,919044

0,957610

0,998921

5

0,283769

0,521535

0,704209

0,824428

0,899395

0,944194

0,998058

6

0,268532

0,498308

0,679157

0,802147

0,881831

0,931498

0,996955

7

0,256808

0,479840

0,658528

0,783076

0,866157

0,919659

0,995648

8

0,247459

0,464746

0,641211

0,766577

0,852142

0,908694

0,994176

9

0,239799

0,452145

0,626444

0,752163

0,839568

0,898569

0,992574

10

0,233393

0,441444

0,613687

0,739463

0,828241

0,889228

0,990877

4.2.3 Eksponensial Campuran ( =1/2, =2 dan b=1/3) Tabel 4.7 Nilai peluang bertahan dalam model risiko klasik untuk besar klaim menyebar eksponensial campuran dengan parameter =1/2, =2 dan b=1/3, parameter waktu antar kedatangan =1 dan besar premi c=1 Nilai Peluang Bertahan t u=0

u=1

u=2

u=3

u=4

u=5

u=10

1

0,567133

0,792685

0,880171

0,925039

0,951868

0,96887

0,996479

2

0,440482

0,675515

0,790809

0,859682

0,904776

0,935263

0,990872

3

0,372842

0,597869

0,722953

0,804794

0,861878

0,902435

0,983717

4

0,32883

0,541689

0,669564

0,758493

0,823472

0,871465

0,975434

5

0,29728

0,498687

0,626271

0,718981

0,78918

0,842661

0,966351

6

0,273271

0,464444

0,590303

0,684849

0,758483

0,816018

0,95672

7

0,25423

0,43636

0,55983

0,655029

0,730882

0,791411

0,946737

8

0,238658

0,412796

0,533596

0,628711

0,70594

0,768669

0,93655

40

Tabel 4.8 Nilai peluang bertahan dalam model risiko klasik untuk besar klaim menyebar eksponensial campuran dengan parameter =1/2, =2 dan b=1/3, parameter waktu antar kedatangan =1 dan besar premi c=1,1 Nilai Peluang Bertahan t u=0

u=1

u=2

u=3

u=4

u=5

u=10

1

0,580846

0,798626

0,883252

0,926879

0,953042

0,969637

0,996572

2

0,461369

0,68882

0,799485

0,86559

0,908884

0,938134

0,991327

3

0,397651

0,617285

0,737364

0,815487

0,8698

0,90827

0,984852

4

0,356298

0,566103

0,689276

0,774039

0,835562

0,880747

0,977563

5

0,326745

0,527251

0,650749

0,739194

0,805509

0,855627

0,969761

6

0,304322

0,496513

0,619042

0,709449

0,77898

0,832751

0,961661

7

0,286586

0,471437

0,592386

0,683716

0,755402

0,811901

0,953421

8

0,272104

0,450484

0,569581

0,661188

0,734304

0,792847

0,945151

Tabel 4.9 Nilai peluang bertahan dalam model risiko klasik untuk besar klaim menyebar eksponensial campuran dengan parameter =1/2, =2 dan b=1/3, parameter waktu antar kedatangan =1 dan besar premi c=1,2 Nilai Peluang Bertahan t u=0

u=1

u=2

u=3

u=4

u=5

u=10

1

0,593767

0,804255

0,886199

0,92865

0,954174

0,970376

0,996662

2

0,480969

0,701241

0,807617

0,871144

0,91275

0,940835

0,991753

3

0,421067

0,635335

0,750729

0,825395

0,877131

0,913661

0,985892

4

0,382411

0,588789

0,70745

0,788309

0,846617

0,889206

0,979478

5

0,354951

0,553819

0,673245

0,757628

0,820312

0,86732

0,972779

6

0,334236

0,526393

0,645411

0,731787

0,797441

0,847719

0,965974

7

0,317938

0,50419

0,622235

0,709687

0,777379

0,83011

0,95184

8

0,304702

0,485765

0,602576

0,690534

0,759632

0,814224

0,952489

4.3 Analisis Hasil Perhitungan Dengan memperhatikan hasil perhitungan numerik yang disajikan dalam setiap tebel, menunjukkan bahwa: 1 Perusahaan asuransi yang tidak memiliki modal awal, dalam interval waktu tertentu masih memiliki harapan untuk tetap bertahan, karena nilai 41

peluangnya tidak 0. Hal ini ditunjukkan oleh nilai-nilai yang ada pada kolum u

0 dari setiap tabel.

2 Perusahaan asuransi dengan modal awal yang lebih besar akan memiliki harapan bertahan lebih besar dibanding dengan perusahaan asuransi dengan modal awal yang lebih kecil. 3 Perusahaan asuransi dengan modal awal 10, memiliki peluang bertahan yang besar, bahkan mendekati 1. Hal ini berarti harapan akan terjadi kebangkrutan pada perusahaan tersebut sangat kecil. 4 Disamping dengan memperbesar modal awal, usaha lain untuk meningkatkan harapan bertahan pada perusahaan asuransi adalah dengan cara meningkat rata-rata premi yang masuk per satuan waktu. 5 Untuk interval waktu yang semakin lama, nilai peluang bertahan menuju 0. Sehingga semakin lama perusahaan asuransi berdiri, harapan untuk tetap bertahan akan semakin kecil.

42

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan Dengan memperhatikan uraian pada bab III dan IV, dapat disimpulkan bahwa: 1 Dalam model risiko klasik, untuk besar klaim yang menyebar eksponensial, Erlang(2) dan eksponensial campuran, fungsi sebaran peluang bertahan dapat ditentukan dengan menggunakan transformasi Laplace. 2 Ekspresi dari fungsi sebaran peluang bertahan dalam model risiko klasik adalah suatu deret. 3 Jika modal awal atau premi dinaikkan, maka nilai peluang bertahan akan naik. Berarti untuk meningkatkan harapan bertahan, perusahaan asuransi harus menambah modal atau menaikkan premi. 4 Untuk interval waktu yang semakin lama, harapan bertahan perusahaan asuransi semakin kecil. 5.2 Saran Dengan memperhatikan hasil penelitian ini, disarankan untuk diadakan penelitian lanjutan tentang peluang bertahan dalam model risiko klasik, dengan assumsi besar klaim menyebar selain eksponensial, Erlang(2) dan eksponensial campuran.

43

DAFTAR PUSTAKA Borrelli RL, Coleman CS. 1998. Differential Equations. New York: John Wiley & Sons, Inc. Bowers NL. et al. 1997. Actuarial Mathematics. New York: The Society of Actuaries. Dickson DCM. 2005. Insurance Risk and Ruin. Cambridge: Cambridge University. Dickson DCM, Hipp C. 2007. On The Time to Ruin for Erlang(2) Risk Processes. Insurance Mathematics and Economics. Vol. 29, 333-344. Garcia JMA. 2005. Explicit Solutions for Survival Probabilities in The Classical Risk Model. Astin Bulletin 2005, Vol. 35 No. I, 113-130. Gerber HU, Shiu ESW. 1998. On The Time Value of Ruin. North American Actuarial Journal. Vol. 2, 48-78. Ghahramani S. 2000. Fundamentals of Probability. New Jersey: Prentice Hall, Inc Marsden JE. 1973. Basic Complex Analysis. San Francisco: W.H. Freeman and Company. Ross SM. 1996. Stochastic Processes. New York: John Woley & Sons, Inc. Ross SM. 2007. Intruduction to Probability Models. Burlington: Elsevier, Inc. Stewart J. 2003. Calculus. Belmont: Thomson Learning, Inc.

44

LAMPIRAN

45

Lampiran 1 1.1 Bukti Teorema Konvolusi Misalkan f ( x, y ) adalah fungsi kepekatan peluang bersama dari peubah acak X dan Y, maka h1 ( x, y )

x

f ( x, y ) = f1 ( x ) f 2 ( x) . Misalkan U

y dan h2 ( x, y )

X

Y, V

x , maka diperoleh sistem persamaan x

y

u

x

y

v

yang memiliki solusi unik, yaitu x v , y x u y u

J

x v y v

u v dan matriks jacobiannya adalah

0 1

1 1

1 0,

maka fungsi kepekatan peluang bersama peubah U dan V adalah (u , v) = f1 (v) f 2 (u v ) J

f1 (v) f 2 (u v ).

Sehingga fungsi kepekatan peluang dari peubah acak U g (u ) =

X,

(u, v)dv =

f1 (v) f 2 (u v)dv

dan dapat ditulis sebagai g (t ) =

f1 ( x) f 2 (t x )dx. t

G (t ) =

g (u )du

t

=

f1 ( x) f 2 (u x)dx du t

= =

f 2 (u x)du f1 ( x)dx

F2 (t x ) f1 ( x ) dx . .

f1 ( x) F2 (t

46

X

x)dx.

Y adalah

1.2

1.3

. .0

e

sy

.x

H ( x)

.0

Hˆ ( s) =

1.4

. .0

e

2 2

h( y )dy dan H (0)

1 e s

sx

1 s

=

1ˆ h( s ). s

0

1 s

H ( x) 0

=

.0

1

=

1 1

h ( y )dy

1 1 .

=

.0

e sy h1 ( y )dy

hˆ ( s )

hˆ ( s ).

2 2

0.

0

e

sx

d H ( x)dx dx

e sx h( x)dx

d h( y ) dy = e sy h( y ) 0 dy

sy

sy

e

e sx H ( x)dx

0

=

.

h ( y ) dy =

h ( y)

1 1

s

. .0

e sy h( y )dy

= h(0) shˆ( s) = shˆ( s ) h(0). 1.5

h( x )

h1 ( y )h2 ( x

.0

hˆ( s) = = = =

0

0

0

0

e

sx .0

h1 ( y )h2 ( x

e sy e

s(x y)

e sy e

sv

e

sy

y )dy

.0

.0

y )dydx

h1 ( y )h2 ( x

y )dydx

h1 ( y )h2 (v ) dydv

h1 ( y ) dy

.0

e sv h2 (v )dv

= hˆ1 ( s)hˆ2 ( s). 1.6

E[e

sX

] =

0

e sx h( x)dx

= hˆ( s ).

47

.

sy

e

.0

. 2

h ( y )dy

2 2

.0

e sy h2 ( y )dy

1.7 i

Misalkan f ( z ) = e z , maka f ( k ) ( z ) = e z dan f ( k ) (0) = e0 = 1, untuk k = 0, 1, 2, .... ez = k 0

f ( k ) (0) k z = k!

k

1 k z = 0 k!

k 0

z2 2!

z zk =1 k! 1!

z3 ... 3!

1 , maka z

ii Misalkan p

k

exp

1 = ep = z

iii Misalkan

k 0

f ( z) =

pk = k!

k 0

1 z = k!

k 0

z1 z k =1 1! k!

z2 2!

z3 3!

...

1 , maka 1 az

f (0) (0) = 1, f (1) (0) = a, f (2) (0) = 2a 2 , ..., f ( k ) (0) = k ! a k , ...

untuk k = 0, 1, 2, ....

1 = 1 az

k 0

iv Misalkan p

1 a 1 z

=

f ( k ) (0) k k !a k k z = z = a k z k = 1 az a 2 z 2 a 3 z 3 ... k! k 0 k! k 0

1 , maka z

1 1 = ak pk = ak 1 ap k 0 z k 0

= 1 az

1

a2 z

2

a3 z

3

48

...

k

ak z

= k 0

k

Lampiran 2 x

2.1 Dari persamaan (3.1) : f (x) = e

.

dan dari definisi 2.10 : F (t ) = 1

.

e

=1 e

x

2

.

.x

. dengan x

0

f ( y )dy, maka

.x .

F ( x) = 1

dy

.

y

x

xe

dan dari definisi 2.10 : F ( x) = 1

y

e

.x

=1

2.2 Dari persamaan (3.2) : f (x) =

0

f ( y )dy, maka

.x

F ( x) = 1

2

.x

y

ye

dy .

=1

y e

y

=1

y e

y

e

y

=1

0 0 x e

x

=1 =1

dengan x

x

x +1 e x

2.3 Dari persamaan (3.3) : f (x) = b e dan dari definisi 2.10 : F ( x) = 1 F ( x) = 1

x

x e

.

e

. .x x

e

x

+(1 b) e

x

dengan x

0

f ( y ) dy , maka

.x .

b e

.x

x

y

=1

0 0 be be

x

y

+(1 b) e

be

49

dy

.

=1

=1

y

e

.x

x

.

x

(1 b) e

.x

(1 b) e

(1 b) e

dy

x

.

x

2.4 Dari persamaan (3.5) : (u ) (u ) =

.

t

=e

2.5

t

e

.0

(u, t ) (u, 0)

=

ˆ (u, )

(u ) =

= = =

. .0 . .0 . .0 .

I (T

.

.

.0

.0

t

e

(u, t )dt

ˆ (u, ).

(u, 0).

g (t ) e

t

g (t ) e

t

g (t ) e

t

u ct

f ( x) (u ct

0 u ct 0 u ct 0

.

x) dx x) dxdt

f ( x ) (u ct

x) dxdt .

. .0 . .0

g (t ) e

t

g (t ) e

t

.u ct

t

g (t ).e

.0

f ( x) dx dt

.u ct

f ( x) (u ct

g (t )[1 F (u ct )].e t dt +

.0

u ] , maka

) U (0)

(u , t )dt

t

=

T

E[e

.0

.

f ( x) dxdt

.u ct

1 F (u ct ) dt

f ( x ) (u ct

x).dxdt.

2.6 Dari persamaan 3.8 .

(u ) =

.0

Misal s (u ) =

(

e

)t

c

.u

(

e

= e(

)u / c

= e(

)u / c

)( s u ) / c

.

c

e

.u .

c

.u

[1 F ( s )].ds +

(

e

)s / c

(

c

(

e

.0

( s u ) / c, dan dt

u ct , t .

.

[1 F (u ct )].dt +

.u ct

f ( x) (u ct x).dxdt.

.0

ds / c dan u

s

.

.s

e

.u

[1 F ( s )].ds + e (

)s / c

)t

[1 F ( s )].ds +

(

)( s u ) / c

.0 .

)u / c

c .

e

.u

, maka

(

.u

(

e

)s / c

f ( x) ( s )s / c

.s .0

.s

x).dxds

f ( x) ( s

x )dxds

f ( x ) ( s x ).dxds .

.0

2.7 Dari (3.9) (u ) = e(

d (u ) = du = =

.

)u / c

c c c

c

.u

e

(

)s / c

(u ) + e( (u ) + e (

(u )

c

.

[1 F ( s )].ds +

)u / c

c )u / c

c

(

e

e

[1 F (u )]

50

)s / c

(

.u

(

.u .0

.s

)s / c

[1 F ( s )]+e

)u / c

c

e

.0

(

[1 F (u )] e

f ( x) ( s x).dxds . )s / c

.s .0

(

f ( x) (u x).dx.

)u / c

.

f ( x) ( s

x).dx .u

.u .0

f ( x ) (u

x ) .d x

d (u ) = du

(u )

c

c

.u

[1 F (u )]

c

.0

f ( x) (u

(3.10)

x).dx

Transformasi Laplace dari persamaan (3.10) adalah 0

e

su

d (u )du = du

0

e

su

(u )

c

.u

[1 F (u )]

c

c

.0

f ( x ) (u

x ).dx du.

Dengan menggunakan persamaan (2.7), (2.8), (2.9) dan (2.10), persamaan tersebut dapat ditulis sebagai s ˆ( s )

(0)

=

0

0

=

= = =

s ˆ( s )

c

c

su

e

(u )du

c e

.u

su

c ˆ( s )

c

ˆ( s )

c

ˆ( s )

c c

c

.0

f ( x) (u

c

cs

0

e

su

c

du

0

cs

cs

cs

(0)

cs ˆ( s )

fˆ ( s ) ˆ( s)

=

c (0)

cs

fˆ ( s ) ˆ( s )

=

c (0) c (0)

= cs

51

cs

fˆ ( s )

fˆ ( s ) ˆ( s )

[1 F (u )]du

x ).dxdu

su

e

fˆ ( s ) ˆ( s) =

ˆ( s )

su

e

0

fˆ ( s )

c

cs

cs s s s

fˆ ( s )

c

c

fˆ ( s ) ˆ( s )

fˆ ( s ) ˆ( s )

fˆ ( s ) ˆ( s )

1

fˆ ( s ) .

1

fˆ ( s )

1

fˆ ( s )

1

fˆ ( s )

1

fˆ ( s ) fˆ ( s )

dikalian dengan c

2.8 Dari persamaan (3.5) : T

(0) = E[e E[e

T

(0)

I (T

I (T

(u )

=1

I (T

) U (0)

u]

0] dan menurut Gerber dan Shiu (1998)

) U (0) 0] = 1

) U (0)

T

E[e

cp

, sehingga

cp fˆ ( s). Untuk s

Dari persamaan (3.12) : cs cp

=

fˆ ( p)

=

fˆ ( p) cp

p,

sehingga (0)

=1

fˆ ( p) cp cp

=1

fˆ ( p) 1 cp cp

=

c (0) =

c (0)

p

cp

fˆ ( p) cp

p

fˆ ( p) p fˆ ( p)]

[1

c (0) Dari persamaan (3.11) : ˆ( s) = cs ˆ( s ) =

p

s

fˆ ( s )] , sehingga fˆ ( s)

[1

fˆ ( p )]

[1

s

[1

fˆ ( s )

cs

2.9 dari (3.16) : (u , t ) = 1 ˆ (u , ) =

. .0

1

= =

e

1

e

t

.dt t . .0

ˆ (u , )

. .0

(u, t ) t

e . .0

e

1

(u, 0) .

(u, t ) t

(u, 0) .dt

(u, t ).dt .

e

t

fˆ ( s )]

(u , 0) .0

52

. .0

e

t

(u, 0).dt

= = =

1 1

1

1

1

ˆˆ ( s, ) = 1 s

1

ˆ (u, )

(u , 0)

ˆ (u , t )

(u, 0)

menurut persamaan (3.6)

(u ).

1 ˆ ( s ).

karena persamaan (2.7)

x

2.10 Dari (3.31): f (x) = e

fˆ (s) =

. .0

sx

e .

=

dengan x

(

e

.0

x

e

s)x

0 .

dx

dx .

= =

s 2

2.11 Dari (3.33): f (x) =

fˆ (s) =

e

s

. .0

=

2

=

2

.0

x

dengan x

sx

.

2

x

xe (

xe

.0

s) x

.

xe e

(

1 s

0.

dx

s)x

dx

e

(

s)x

.

1

x

e

s)2

(

(

s)x

.0

2

=

s)2

(

x

2.12 Dari (3.35): f (x) = b e

fˆ (s) =

. .0

=b

. .0

e

=b

(

s)x

dengan x

0.

x

dx

(1 b) e

dx + (b 1)

. .0

e

.

s

s

x

b e

1

=b

x

+(1 b) e

sx

e

.

e

(

s)x

(1 b) .0

+ (1 b)

53

s

.

(

s) x

dx .

1 s

e

(

s)x

.0

2.13 ˆ (u , ) = =

Res s 0 eus ˆˆ ( s, ) Res s R eus ˆˆ ( s, ) Res s 0 eus

p

s

Res s R eus

=

eus

=

1

2.14 Dari (3.33):

p

s

p euR

c(

R

R)2 ( R)2 2

(

2c R cR 2 R) 2

cs

=

c

2.15 Dari 3.27: cs cs 2

p =

R =

, maka

R)2

(

=

s1,2 =

s) pc s 2

pcs 3

.s 0

.s R

( p R)( R) . 2 p R 2 p R 2 pc R 3 pcR 2

p

d =c dR =

pcs 3

( p s )( s) 2 p s 2 p s 2 pc s 3 pcs 2

= cR

c s

( p s )( p s2 p s2

s) pc s 2

( p s)( s) 2 p s 2 p s 2 pc s 3 pcs 2

p

eus

( p s)( p s2 p s2

s s

=

s

=0

cs 2

(c

)s

=0

cs 2

(c

)s

=0 ) 2 4c

( c

)

( c 2c

( c

)

( c 2c

)2

4c

( c

)

( c 2c

)2

4c

54

s

.

R

p = ( c

)

2( c 2c

=

)2

( c 2c

4c

( c

)

)2

( c 2c

4c

)

c

=

c c

p = R

.

c

3.16 Dari 3.33 dan 3.35 :

= cR

R c

p = R

c

c

cR

p = R

R

c

cR

c

cR

= =

+

R

c c R cR

2

2

c

cR c(

2

c c(

=

3.17 Dari (3.43) : dan (3.46)

R c R cR 2 R)

R

c R . R) = cR

R c c(

: p =

2

c R R)

keduanya disubtitusikan ke (3.31), diperoleh : e

( p R)( R) 2 p R 2 p R 2 pc R 3 pcR 2

t uR

p = exp

cR

t uR

R

( (

p (cR

R

)

c c(

2

2 p (cR

55

c R ) R )( R) R

R)

) R 2 p R 2 pc R 3 pcR 2

tR c tR cR 2t R

= exp

1 ( c

u uR 2 c

t c t cRt R

u uR

1 c (

3.18 Dari (3.37): exp R

t c t cRt R

cR R R)2

u uR

c

c

2

1

c

2

=

=

z

t c t cRt R

exp R

exp ( z

c

= exp ( z

exp

2c

( )t

u u( z

2

2c R cR 2 c cR) R

)

c

(

t c t c t czt z 2

c )

(

2

c

z

) 2

u uR

t c t c( z

)

(

1

2c R cR 2 ( c cR) R 2 2c R cR 2 c . ( c cR ) R

c

(3.88)

= exp ( z

=

cR R R)2

2

2c R cR ( R) 2 t c t cRt u uR = exp R R t c t cRt u uR = exp R R 3.19 Res R

2c R cR 2 )

cR R R)2

(

c

2

1

2c R cR 2 ( R)2 t c t cRt u uR R

c

2c R cR 2 )

.

(

d dan (3.34) : = dR d (3.47) = exp R dR

2

cR R( R)2

c(

= exp R

c

u

2

R z

2c ( z c c( z

u uz

2c z c 2 2c z cz 2 c cz )( z )

t czt uz z

t c tz u z z

cz 2 cz )( z

(

)

tz ctz 2 uz 2 )

(

56

cz 2 cz )( z )

) c( z )2 ))( z )

1

=

t

exp

( c t u

z

t ) (ct u ) z

z c z cz 2 ( cz )( z 1

=

t

exp

1

=

= 3.20

1

t z t

exp

e(

1

z

c t u

t)

cz

c t u

1

z

(

t ) (ct u ) z

( c t u

e(

z c z cz 2 ) ( ( cz )( z

(

t ) (ct u ) z

( c t u

z

exp

1

=

t

c z

)

( c t u

z

= 1 exp

z

t ) (ct u ) z

t)

(

cz )( z

ct u z

e

cz )

(

1

1

1

z 1 c

1

e

z

z

ct u z

1 1

(

) )

(

cz )

(z

(

(

cz )

)

z) t

exp

z

.

z 2

c

z 2

1

z

k

1

z

j 0

)

(z cz )( z

1

cz )

c

1

c

= 1

(

z)

1 c

= 1

= 1

1

)

z) (

3

z

...

3

z

...

k

z

j 0

c

= 1

k

k

1

z

z

j 0

c

= 1

k

k

1

zk .

j 0

e(u

ct ) z

exp

1 z

=1

(u ct ) z 1!

t =1

(

(u ct ) 2 z 2 2!

t )1 z 1!

1

(

(u ct )3 z 3 3!

t )2 z 2! 57

2

(

.... = k

t )3 z 3!

(u ct ) k z k . k! 0

3

(

.... = k 0

t )k z k . k!

c z)

2.21 Dari persamaan : 1

(u , t ) = 1

e

(u , t ) = 1 1 e

( t

( t

u

ct )

ct )

u

1

cz

z

k

c

1

e

k

1

zk k

j 0

=1 1e

k

( t

u

ct ) k

1

e

( t

u

(u ct ) z k! 0 c

ct )

k

k

a dan

k

(

t) z k!

k 0 k

1

zk

j 0

Misalkan u ct

k

t

b, maka k

k

a z 0 k!

= k

0 0

=

a z 0!

k

k

k 1 1

az 1!

b z k! 0

( u ct ) z

e

1 z

t

(u ct ) k z k k! 0

t )k z k!

( k 0

k

k

(u ct )k z k k! 0

(u ct ) k z k k! 0

( k 0

t )k z k!

( k 0

k

.

t )k z k!

k

k

a2 z 2 2!

a3 z 3 ... 3!

b0 z 0 0!

b1 z 1 1!

b2 z 2 2!

b3 z 3 ... 3!

a 0b0 a 0b1 z 1 a 0b 2 z 2 a 0 b3 z 3 + + + +… 0!0! 0!1! 0!2! 0!3!

= +

a1b 0 z1 + 1!0!

+

a 2b0 z 2 a 2b1 z1 + + 2!0! 2!1!

+

a 3b0 z 3 a 3b1 z 2 a 3b 2 z1 + + 3!0! 3!1! 3!2!

= …+

a1b1 a1b 2 z 1 a1b3 z 2 + + + 1!1! 1!2! 1!3! a 2b 2 a 2 b3 z 1 + + 2!2! 2!3! +

a 3b 3 3!3!

+

… … …

a 0b3 z 3 a 0b 2 z 2 a 0b1 z 1 a 0b 0 a1b0 z1 a 2b0 z 2 a 3b0 z 3 + + + + + + +… 0!3! 0!2! 0!1! 0!0! 1!0! 2!0! 3!0!

a1b 4 z 3 a1b3 z 2 a1b 2 z 1 a1b1 a 2b1 z1 a 3b1 z 2 a 4b1 z 3 …+ + + + + + + +… 1!4! 1!3! 1!2! 1!1! 2!1! 3!1! 4!1! ... +

a 2 b 5 z 3 a 2 b 4 z 2 a 2 b 3 z 1 a 2 b 2 a 3b 2 z 1 a 4 b 2 z 2 a 5 b 2 z 3 + + + + + + +… 2!5! 2!4! 2!3! 2!2! 3!2! 4!2! 5!2!

... +

a 3b 6 z 3 a 3b 5 z 2 a 3b 4 z 1 a 3 b 3 a 4 b 3 z 1 a 5 b 3 z 2 a 6 b 3 z 3 + + + + + + +… 3!6! 3!5! 3!4! 3!3! 4!3! 5!3! 6!3!

58

=

a 0b1 0!1!

= k

a1b 2 1!2!

a 2 b3 2!3!

a 3b 4 ... 3!4!

(menurut definisi 2.14)

a k bk 1 1)! 0 k !( k k

= k 0

k 1

u ct t k !(k 1)!

.

Dengan cara yang sama c

k

k

1

j 0

k

k

c

=

(u ct ) k z k k! 0

zk k

1

j 0

(u ct ) k j ( j )!(k 0 (k

k

( k 0

t )k z k!

k

t )k j 1 , j 1)!

sehingga 1

(u , t ) = 1

k

( t

e

u

u ct t k !(k 1)!

ct ) k 0

1

e

( t

u

c

ct )

k

k

1

j 0

k

k 1

(u ct ) k j ( j )!( k 0 (k

t )k j 1 . j 1)!

Karena R adalah bilangan negatif, maka suku kedua dan ketiga harus dikalikan dengan (-1), sehingga menjadi

(u , t ) = 1

1

e

( t

u

u ct

ct )

e

( t

u

c

ct )

t

k 1

k !(k 1)!

k 0

1

k

k

1

j 0

k

k

(u ct ) k j ( t )k j 1 . j )!(k j 1)! 0 (k

2.22 ˆ (u , ) = Re s s 0 eus ˆˆ ( s, ) Re s s R eus ˆˆ ( s, )

= Res s 0 eus

ps 2

Re s s R eus

ps 2

s2

s

s

( p s)( 2 2 s ( p s )( 2 2 s

s2

59

s)2 s 2 cs s)2 s 2 cs

2

2cs 2

2

2cs 2

cs 3

cs 3

= eus

eus

=

s 3 p s2

4p

1

euR

2

p

s 3 p s2

4p

( p s )( s)2 4 p s 3 p s 2 2 pcs ( p s )( s)2 4 p s 3 p s 2 2 pcs

2

p

R 3 R2

p 4

2

6 pcs 2

2

( p R )( R)2 4 R 3 R 2 2cR

2

2

2.23 Dari 3.52 :

= cR

R )3

(

R )3

c(

=

2

=

2

2 R )3

( c(

R)2

2

2

=c

=

2

d dR (

d =c dR

R)2

(

3

2

3

2

R 3 R 2 R3 ) 2 ( R )3 3

c

3c (

2

R 3c R 2 cR 3 . R )3 2

2.24 Dari 3.52 dan 3.54:

= cR

R)2

(

c

p = R

c 2

cR = R

c

R)2

(

c 2

cR

cR

=

c

R)2

( c 2

cR cR

( c

=

c

R)2

2

=

(

R)2 c

2

c

60

4 pcs 3

6 pcs 2

2

6cR 2

.s 0

4 pcs 3

.s R

4cR 3

.

2

R)2

c (

=

R)2

c( 2

c

=

3

2c 2 R c R 2 . c( R)2

2.25 2

Dari 3.52 :

= cR

Dari 3.53 :

2 d = dR

R)2

( 2

3

c

2

R 3c R 2 R )3

3c (

cR 3

Dari 3.50 : e

( p R)( R)2 4 R 3 R 2 2cR

t uR

R 3 R2

p 4

2

2

6cR 2

t uR(

R) 2

4cR3

Faktor pertama dari 3.50 adalah : 2

e

t uR

= exp

cR

2

= exp ctR = exp

2

= exp

(

t R)2

R)2

t(

t

ctR(

t uR

R)2

(

uR R)2 ( R) 2

cRt 2 cR 2t cR 3t

2

2

t 2

2

ct 2 cRt cR 2t 2 (

t

Rt

p 4

R

R 3 R2

2

t

( p R)( R) 2 4 R 3 R 2 2cR

2

t

2

uR 2 uR 2 uR 3

2

u 2 uR uR 2

R)2

Rt c 2t 2c Rt cR 2t ( R) 2 Faktor kedua dari 3.50 adalah = exp

2

R)2

(

= exp R

R 2t

Rt

2

6cR 2

2

u 2 uR uR 2

4cR3

.

Masing-masing suku pada faktor kedua dari penyebutnya adalah: 4

R =

=

4 4

R(a R)2 (a R) 2 3

R 8 (

2

R2 4 R) 2

R3

.

61

.

3 R2 =

2

3 R2 ( R)2 3 = ( R)2

R 2 6 R3 3 R 4 . ( R)2

4

2

=c

2

c

2

R(

c

4

R 2c

= = =

4

c

2

R

R)2 (

R 2c

= = = 3 R

2

= = 2cR

2

R2

2

c

R2 c (

2

R)2

4

4

2

R3 (

4 cR 2 (

R)2

4

R( R)2

3

2

4

( 4 cR

2

8 cR

4 3cR 2 8 3

3 R

3cR 3 ( 3c

2

2

2

R)2

R3

3

3

R)2

3cR 5 3 (

=

= 4cR 3 =

2

2c

4

R2

.

3

R

3

2

R 8 R)2 2

R2 4

R2

R3

4

3

R3

4

3

3

2

R2

.

R 4c 3 R 2 2c ( R) 2

2

3 2

2

R2

R2 6 R)2

R3 3 R 4

R3

R3 3 R 4

.

.

6cR 2 ( R)2 ( R) 2 6c

4

R2 R)2

R 3 6c R 4 3cR 5 6 ( R)2 2cR 2 ( R)2 = ( R) 2 3c

4

4 (

3 R2 ( R)2 ( R)2

6c R 4

R2

R R) 2

4 cR 4

2

2

R 2

R

cR 3 4 cR 4 8 ( R)2 3 (

3

R)2

R3 2 R)2 3

= 6cR 2

3

( R)2

4 (

= 3cR =

3

2

R

R = 4 cR 2

4

R) 2

(

R 2 12c 2 R3 6c R 4 . ( R)2

4c 4cR3 ( R)2 = 2 ( R)

2

R3 8c R 4 4cR5 . ( R) 2 62

R

Sehingga faktor kedua dari penyebutnya adalah R 3 R2

4

=

3

4

+

+

+

2

R3 3

6c 3

2

R2 4 R) 2

R 2c

3c

R 3 R2

4

2

R 8 (

4 3cR 2

+

=

4

c

2

3

R2

2

c (

8 2cR3

R3

+

2

3

R2

R3 2 R) 2

3

4 cR 4 8 ( R)2

2

R 2

R2

2

R2 c

4

R3

4

2

4cR 3

R2

R3 3 R 4

4c R 2 12c 2 R3 6c R 4 + 2 ( R)

6cR 2

R3 3 R 4 R) 2

6 (

6c R 4 3cR5 6 ( R) 2

R 2

2

2cR

2c

+

4

R 4c 3 R 2 2c ( R) 2

R3 8c R 4 ( R) 2

R 4c 3 R 2 6c ( R)2

2

4cR 5

R3 4c R 4 cR5

.

Sehingga

p 4 =

R 3 R

3

p 2 2

2

2

2

R 2

2

3

c

( ( p R)( = p 2 3R 2 =

( p R)( c 4 R 4c

R2

3c

( p R)( R)2 4 R 3 R 2 2cR

2

R 3c R 2 R )3

R)( 2 2 2 R c

p R2 pR 2

=

p R = pR

3

2 2

3

1 R

2

2

R3

6cR

2

4c R 4

4cR

3

d dR

cR5

cR3

2

c 3 3c 2 R 3c R 2 cR3 ) 4 R 4c 3 R 2 6c 2 R3 4c R 4 cR5

( p R)( 2 3 2 2 R c pR 2 3 2 2 R c 4

=

R)4 3 2 R 6c

2

R c 2 R c

4

4 4

R 6c 2 R 2 4c R3 cR 4 ) 4c 3 R 6c 2 R 2 4c R3 cR 4 4c

3

4c 3 R 6c 2 R 2 4c R3 cR 4 4c 3 R 6c 2 R 2 4c R 3 cR 4

1 . p

Dan

63

2

R3

e

( p R)( R)2 4 R 3 R 2 2cR

t uR

R 3 R2

p 4

= exp

R

= exp

2

1 exp R

=

R

exp

z

2

= exp

c t

u

t

=e

c t

u

t

=e

c t

u

t

u 2 uR uR 2

2

1 R

u 2 uR uR 2

1 p

1 R

2

u 2 uR uR 2

2

t

Rt c 2t 2c Rt cR 2t ( R) 2

2

u 2 uR uR 2

1 p

.

z disubtitusikan suku pertama dari (3.66) diperoleh z t c 2t 2c

t

exp

e

u ct z

e

u ct z

2

tz

u 2 u

z

u

z

2

1 z

z tz

1

2

z

z t z

2

exp

2

1

2

2

exp

z t

1

2

t czt uz

czt uz

2

z t c z2

zt cz 2t uz 2 z2

t

u e

4cR 3

Rt c 2t 2c Rt cR 2t ( R)2

c t

=e

6cR 2

t

z

= exp

2

2

z atau R

R

2

Rt c 2t 2c Rt cR 2t ( R) 2

t

R

1 exp p 2.26

Rt c 2t 2c Rt cR 2t ( R)2

t

2

R

2

t z

2

1

2

1

z z

.

2.27 e az = k

e

c t

u

2 ak z k , ebz = 0 k!

t

eaz

exp bz

k 2

bk z 2k 1 , dan = k! z 0

1 z

=e

c t

u

t k

Tiga faktor terakhir adalah ak z k bk z 2k cjz j k! k 0 k! k 0 j 0

64

cjz j

dengan c

1

.

j 0

ak z k 0 k!

k

bk z 2k k! 0

cjz j . j 0

=

a0 z 0 0!

a1 z1 1!

b0 z 0 0!

b1 z 2 1!

a2 z 2 2! b2 z 4 2!

a3 z 3 3!

a4 z 4 3!

b3 z 6 3!

...

b4 z 8 4!

...

c 0 z 0 c1 z1 c 2 z 2 c3 z 3 c 4 z 4 ...

=

a 0b0 z 0 a1b0 z1 a 2b0 z 2 a 3b0 z 3 a 4b0 z 4 ... 0!0! 1!0! 2!0! 3!0! 4!0! a 0b1 z 2 a1b1 z 1 a 2b1 z 0 a 3b1 z1 a 4b1 z 2 ... 0!1! 1!1! 2!1! 3!1! 4!1! a 0b 2 z 4 a1b 2 z 3 a 2b 2 z 2 a 3b 2 z 1 a 4b 2 z 0 ... 0!2! 1!2! 2!2! 3!2! 4!2! a 0b3 z 6 a1b3 z 5 a 2b3 z 4 a 3b3 z 3 a 4b3 z 2 ... 0!3! 1!3! 2!3! 3!3! 4!3! a 0b 4 z 8 a1b 4 z 7 a 2b 4 z 6 a 3b 4 z 5 a 4b 4 z 4 ... 0!4! 1!4! 2!4! 3!4! 4!4 ! ...... ............. .............. ............... .............. ...... c 0 z 0 c1 z1 c 2 z 2 c3 z 3 c 4 z 4 ...

a1b1c 0 a 3b 2 c 0 a 5b3c 0 a 7 b 4 c 0 1!1! 3!2! 5!3! 7!4! 0 1 1 2 2 1 4 3 1 6 4 1 a bc a b c a bc a b c 0!1! 2!2! 4!3! 6!4! 1 2 2 3 3 2 5 4 2 a b c a b c a b c a 7 b5 c 2 1!2! 3!3! 5!4! 7!5! 0 2 3 2 3 3 4 4 3 a b c a b c a b c a 6b 4 c3 = 0!2! 2!3! 4!4! 6!5! 1 3 4 3 4 4 5 5 4 7 6 4 abc ab c a b c a b c 1!3! 3!4! 5!5! 7!6! 0 3 5 2 4 5 4 5 5 a b c a b c a b c a 6b6 c5 0!3! 2!4! 4!5! 6 !6! ..... ............ ............. ............. .......

... ... ...

(Menurut definisi 2.14 )

... ...

k

a 2 k 1b k a 2 k 1b k 1 a 2 k 1b k 2 c2 c4 ... 1)! 2)! 1 (2k 1)! k ! k 1 (2k 1)!( k k 1 (2k 1)!( k

k

a 2 k 2b k a 2 k 2b k 1 a 2 k 2b k 2 c3 c5 ... 2)!k ! 2)!(k 1)! 2)!(k 2)! 1 (2k k 1 (2k k 1 (2k

c0 =

...

c1

65

c2 j

=

2

j 1

k

a 2 k 1b k j 1 j 1)! 1 (2k 1)!( k

c2 j

a 2 k 2b k 2)!(k 1 (2k

1

j 1

k

j 1

.

j 1)!

Sehingga e

c t

=e

u

t

c t

u

eaz

exp bz

t

c2 j

2

j 1

=e

c t

u

t

k

c2 j

z

a 2 k 1b k j 1 j 1)! 1 (2k 1)!( k

c2 j

k

1

j 1

a 2 k 1b k j 1 c2 j 1)!(k j 1)! 1 (2k

2

j 1

1

2

k

a 2 k 2b k 2)!(k 1 (2k

a 2k 2 bk 2)!(k 1 (2k

1 k

j 1

j 1)!

j 1

j 1)!

2

2.28 Dari (3.56) :

c

2

=

cs

s 2c s 2 cs 3

s

3

2 s s3

cs (

s)2

2

s

2

2

s)2

(

c

2

s

2

c

c

s)2

( s2

s

2

2

2

s2

c

2

2

s

c

s

=0 2

=0

2

2

c

s

=0

c 2

2 c

2

s2

s

2

2

s)2

(

c

s

c

0

2

2.29 Dari (3.56):

=

cs

s)2

(

Persamaan ini mempunyai tiga akar persamaan, yaitu Q, R dan p. Persamaan (3.56) ekuivalen dengan persamaan (3.71), yaitu s

3

2

c

Jika a1

c

2

c

s

c

2

2

2 c

, a2

2

2

2

s

c 2

0 2

2 c

c

c

dan a3

c

, maka

s 3 a1 s 2 a2 s a3 0 Jika s1 , s2 dan s3 adalah akar-akar dari persamaan terakhir, maka s1 s2

s3 = a1 dan s1s2 s3 = a3

Sehingga 2

pRQ =

c 66

.

Q =

a3 pR

dan p R Q = a1

=

p

a1 R Q

= a1 R

a3 pR

= a1 ( z

)

a3 p( z

)

2

2.30

= cR

R) 2

(

2

= c( z

)

z2

z 2 cz 3 cz 2 z2

=

2

2.31 2

a1 = 2

c

p = a1 ( z

c

, a3 = )

c

a3 p( z

dan

z 2 cz 3 cz 2 z2

=

2

) 2

= 2

= 2 2 = 2 cz 2

cz

2 = 2 cz

c

c

z

pc( z

)

z 2 cz 3 cz 2 cz 2

2 2 cz 2 cz 2 2 p cz 2 p = pcz 2

2

cz 3 cz 2 cz 2 2

=

2

z

c

z 2 cz 3 cz 2 cz 2

z2

z 2 cz 3 cz 2

2

(z

z2 cz 2 2

pcz 2 ( z

cz 3 cz 2

z2

cz 3

) c 2 z2 pcz 2 2 3 z c 2 z2 pcz 2

67

2

c z2 cz 2

c z2

2 2

z

2

2

)

c 2 z3 c 3 z 2 pcz 2 ( z )

(z2

2

) c 2 pcz ( z

2 2

z (z )

4

)

2 p cz 2

=

2

p

2

3

z

2 2

c

z

2

2

(

=

1 = p

p

p

pcz 2 c z2

p

2

(

pcz c z2 pcz 2 pcz 2 c z2

z 2 pcz 2 )

.

z 2 pcz 2 )

.

2.32 Dari (3.75) :

1 = p

2

(

cz 2

=

1 ( p

= 3

3

2

1 p

c z2

p

2

1 p

1 c p

2

z

2

z

2

2

=

=

2c z 2 3

2

c

2cz 2 2

2

4

2

z

2

2c z 2

2

1 p

2

2

4c 2 z

2c z 2

2

2

z

2

3

4

2 2

c

2

2

4c z 3

2.33

1 h(0) (0) 0 = z 0! p = k

h(1) (0) 1 z 1!

1 d k h( z ) dz k 0 k!

h(2) (0) 2 z 2!

zk = z 0

2 2

c

z

z

z

h(3) (0) 3 z ... 3!

ck z k . k 0

68

1 = cz 2 p

1 cz 2 = 0 p

z3

2cz 2

2 cz 2

2c z 2

4c z 3 z

c z2

1

2

1 z p

2

3

2 2

2

1 p

2c z 2

2

1,2

z

1 p

z

2c z 2

=

=

2

2 2

2 2

c

2

z 2 pcz 2 )

cz 2 1 c 2 z2 p

2

3

1 p

z 2 pcz 2 )

.

2

z cz 2

2.34 ˆˆ ( s, ) =

p s

fˆ ( s))

ps(cs

p s

= ps cs

b

s

b(

ps cs

=

s

p s

=

=

+ (1 b)

1 ps

(

cs (

ps(cs

3

s )(

s)

(

s )(

(1 b)( s )( s)

s)

( p s )( s )( s) s) ( s )( s)

( p s)( s)( 2 c ) s [ (b

c

(

( p s)( s )( h( s )

=

s)

s)

b(

s)

(1 b )(

s)

s) c ) b

]s

)

.

2.35 Dari (3.82): h( s ) = ps (cs 3 (

c

= pcs 4 (

h' (0) =

c ) b

c ) ps 3 [ (b

c

h' ( s ) = 4 pcs 3 3(

c ) s 2 [ (b

c

c ) ps 2

c ) b

2[ (b

]s ] ps 2

c ) b

] ps

( p s )( s)( h'( s )

s)

p.

Dari (3.83)

: r (s) =

ˆ (u , ) = Res s

=

p h'(0)

=

p p

=

1

0

( p s)( s)( h'( s )

( p s )( s)( h'( s) euR euR

s)

( p R)( R)( h'( R) ( p R)( R)( h'( R)

euR r ( R).

69

s)

Res s

R

R) R)

) ps p

2.36 Dari 3.87 : e

(

fˆ ( R )) t uR

cR

r ( R) '( R)

Faktor pertama : e

(

=e

fˆ ( R )) t uR

cR

tfˆ ( R ) uR

t tcR

= exp

t tcR

t b

= exp

t tcR

t

= exp

t tcR

= =

exp

exp

t(

R

(1 b)

R b

t R

R

tb

R t R

tb ( R)(

R tc R2 tc R2 tcR3

tR 2 tc

t R

= exp = exp R

t

Rt c

R) t ( R)

tb (

uR

uR

R

R R2 )

R

tR2 tc

R tb

R

R R 2 ) tcR(

t R

uR

b

(

t

R

R)(

tb R R)

R)

t

R tc R 2 tc R 2 tcR3 tb R ( R)( R)

tb (

t R

R) uR(

tb

tb R u

t c Rt c Rt cR 2t t b t b ( R)( R)

tb R u

R R2 )

R

R u R2 u R2 uR3 )

R u R 2 u R 2 uR3 )

u

uR

uR

uR 2

.

Faktor kedua : r ( R ) '( R ) r ( R)

=

( p R)( R)( h'( R)

h( R ) = pcR 4 (

=

fˆ ( R) = b

cR R

=

cR

=

cR

c ) pR3 [ (b

c

h' ( R ) = 4 pcR 3 3(

R)

c ) pR 2

c

c ) b

2[ (b

fˆ ( R) (1 b)

b

R

R

b R

(1 b)

R

(1 b) R

70

c ) b

] pR 2 ] pR

pR p

'( R) = c

=

b (

R)

(1 b) ( R)2

2

R)2 (

c(

R)2

b ( R)2 (1 b) ( 2 2 R) ( R)

(

h' ( R ) = 4 pcR 3 3(

c ) pR 2

c

= pR 4cR 2 3(

4cR 2

c

b

4cR 2

b b

cR

R

2 b

R

c R c R cR 2

c = pR

R

2 b

2

R R

2 (1 b) R b R(

2

R)

c )R

c )R

c ) (1 b) R

R

b

cR

R

c )

c

(1 b) R b

c R

]

(1 b) R (1 b) R

R

p

(1 b) R

R

R

3( cR (b

= pR

b

b

c

(1 b) R

R

cR cR

(1 b) R

R b

cR

] pR

c ) b

b

cR

2

R

c ) b

c ) R 2[ (b

3( (b

= pR

2[ (b

R) 2

2

(1 b) R 3 b R R 2 b

(1 b) R( R)

71

3 (1 b) R 2 b R 2

2

2 b R

2 (1 b) R

2

c( = pR

2 b

R)( 2

2 (1 b) R

R

c(

(

pR R)(

R R)2 (

R)2

3 b R(

(

(

pR R)(

R)

R)

R )( R)(

2 (1 b)

2

(

R2

=

(

(

pR R )(

R)

2 2

2 b

R)

2

R)

R)

2

b

( (

R) R) 2

b

R 3 b R2

3 b 2

2

R 2

2 b 2

R) 2 (

2 b 2

R 2 b

R

b

R 2 b R2

4 b

2

4 b R)2 2

R

72

R 2 b R2 R2

R 2 2

2

3 b R2

R2

2 b

2 b

b

2

R2

R

R

R 2 b R2 2

R

2

2

b

2

2 b b

R) 2 3 b R 2

R)2 (

R

R

2

4 b

2

R

R 2 b

2

2

c(

(

R

R) 3 (1 b) R(

R 2 b

2

pR R)(

2

(1 b)

R)2

2

2 b

=

R)

R 2 b R2

2 b

c(

( R

2

R)

2

2

R)

R) 2 b ( R) 2 (1 b) R) 2 ( R )( R) 2 b

R 3

2

2

b

R)

R 3 b R2

2 b R)

(

R)

(

2

R)2 (

2

2

R)2 3 b R(

2 b ( 2 b (

3

=(

R) 2 b ( R) 2 (1 b) R) 2 ( R)( R)

R)( R

3 b

pR R)(

R) 3 (1 b) R( 2

R) 2 (1 b)

R) 2 (

c(

(1 b) 2 R( R)

R)

R)( R)(

(

=

R

b R(

2 b

c(

2 b

2

2

2 b ( 2 b (

R)

3 (1 b) R 2 b R 2 b

2

2 (1 b) R

=

3 b R R

R)

b 2

R 2 b

2

b

2

b R2

R

b R2

=

=

=

=

=

(

(

pR R)(

(

pR R)(

(

pR R)(

R)

(

pR R )(

R)

= pR

R)

R)

R) 2 (

R)(

( p R)( pR '( R)(

=

( p R) pR

=

p R pR

=

1 R

2 R

R 2 ))

R)2

b (

R)2

R) 2

b (

R) 2

R) 2

R)(

R) 2

(1 b)( R) 2

(1 b)(

R)

R).

( p R)( R)( h'( R)

=

2

R) 2

b ( (

R) 2

R2 )

R)2

R)2 ( R)2

R2 )

2b R bR 2 )

b (

2 R

(1 b)(

c(

2 R

b (

R)2 2

2

R 2 ) b(

2 R

(1 b)( c(

b

R)2

R) 2 (

c(

2

b (

R2

2 R

2

((

R)

R)2

R) 2 (

c(

= pR '( R)(

r ( R) '( R) =

2

(

R) 2 (

c(

R)2 (

c(

pR R)(

R)( R)(

R)

'( R)

R) '( R) R)

1 . p

Sehingga e

(

cR

= exp =

fˆ ( R )) t uR

R

t

r ( R ) '( R )

Rt c

t c Rt c Rt cR 2t t b t b ( R)( R)

u

uR

uR

uR 2

1 R

1 exp R R

t

Rt c

t c Rt c Rt cR 2t t b t b ( R)( R)

u

uR

uR

uR 2

1 exp R p

t

Rt c

t c Rt c Rt cR 2t t b t b ( R)( R)

u

uR

uR

uR 2

73

1 p

.

2.37 exp ( z =

)

z ( t z tc z tc z tcz 2 t b

exp

=

t b

z ( t z tc z tc z tcz 2 t b

exp

=

zt tc z tc z tcz 2 t b z( z

t b

t b

u z u z uz 2 ) ( t z tc z tc z tcz 2 t b z( z )

t b

2

z tc )

1 z

u z u z uz 2 ) ( t z tc z tc z tcz 2 t b z( z )

( t z 2 tc z 2 tc z 2 tcz 3 t b z t b z u z 2 u z 2 uz 3 ) (t z( z

exp

b u z u z uz 2

t )

z tc

1

u z u z uz ) z

1

u z u z uz ) z

z tc z 2 t b

2

t b

2

u

z u

z u z)

1 z

=

z t z2 t

t

exp

z tc z 2 tc

z tc

2

z u z2 u

z u z u

2

z u z 2 uz 3 u z 2 ct z 2 ctz 3 ct z 2 t b z( z )

t b z t b

2

t

z t b z

1 z

=

t z(

exp

z

) tc z (

z

) u z(

z

) uzz ( z(

z

t

tc

u

uz ctz

= exp

t

tc

u

(u ct ) z t b

t

tc

u

e(u

ct ) z

exp t b

) t b (

z

) z( t

1

t b) z

t

t b

1

z z

exp

z

z

)

t b z

= exp

=e

) ctzz (

z

z

t

1 b z

t

1 b z

1 z 1

.

z

3.38 cs

b

s

b

cs (

s )(

s ) cs (

s )(

s)

s) +

b (

+ (1 b)

s (

b s

+ s)

s

s2 c

s c s 2 c s 2 cs 3

s cs 3 (

c

s3

c c

c )s2 ( c

s2

b b b

s)

s ) =0

s )( b s

s

b

c c

c 74

b

b s

b

=0

b (

( s

=0

s

s2 = 0

s

=0

)s s

c

=0

c c

a1

c

b

a2

c c

b

c c

b

b

c

a3

c

c

c c

.

2.39 Dari (3.95) : Dari (3.94) : (z p =

=

z cz

) c c

p=

z cz

)

c

cz 2 b z )

(z

)

b

cp( z b b

cz 2 z )

cz z(

c

z cz

cz

cz 2

cz cpz (

( pz

z

b

)

p

)(

p z cp z cpz 2 cpz

( pz

p

=

p z cp z cpz 2 cpz

cz ( pz

p cpz

=

p z cp z cp z c cpz

z

=

p z cp z cp z c cpz

z

p z2

p

z

c

c

(z

cz 2 )

cz 2

cz z

)

b

b )

)

( pz

( pz

p p cpz

pb

pb z 2 pb z ) 75

b )

) ( b z )

z

b )]

z

b )

)[ b( z ) ( z cpz ( z )

bz )]

p

)( cpz (

( pz

b

)

z )[cz ( cpz (

z pb z cpz

z cpz (

.

b )

z cz cpz (

c

p z cp z cp z c

.

)

=

=

cz z(

c z cz cz cz 2 b b (z ) z( z ) cp( z ) c c c( z ) (z )( z cz cz c c cz ( z (

=

= (z

) b

( pz

b

z b

z

b z

p cpz (

)

)( z bz ) z )

=

p z cp z cp z c

pb

z (1 b) p z 2 (1 b) p cpz ( z )

(1 b)

=

z pb z cpz

p z cp z cp z c

(1 b)(

z pb z cpz

p z2 p z )

z cpz (

p z cp z cp z c

z

b

z pb

b

z)

pb z

=

pb

b

(1 b) z

b

(1 b) z

( (

pz z

p ) )

(

pz z

p ) )

cpz

Sehingga

1 = p

cpz p z cp z cp z c

z

p( z c z c z b z b

cz (1 b) z ( z ) ( ) z

= z c z c z b z b (1 b) z ( z )

z b

c

pb

cpz (1 b) z ( z ) ) c z ( )

=

c

pb z

c

(

z

) (1 b) z

( z c z c z b z b

)(

z

cz (

z

z

) b

z(

=

cz 2

=

cz 2 (

=

cz 2 (

= (cz 2 (

z

)

) b

2

2

cz 2

2

c

c

c c

( cz

2

2

z

) (1 b) z 2

z

2

c

)z

c

)z b

)z b

b

)

76

2

2

b

b 2

b b

1 p

) (1 b) z ( z

Sehingga b0 = c

(1 b) z ( ) z

1 p

(1 b) z ( z ) 1 cz = 0 ( z ) p

z c z c z b z b

z(

(1 b) z z ( )

z b

z b

2

1 p

(

b 2

2

)

1 p

=0

b1 =

( z c z c z b z b

= c z2 c z2 c

2

z

= (c

c )z2

(c

2

= c(

)z2

( c

2

b2 = cz (

z

z b

z c

b 2

c

z

)(

2

c

b

) (1 b) z ( z 2

z b

b

2

)z b

(1 b)

2

z b

) b

b

) z b(

)

)

= cz 2 c(

)z

2.40 Untuk R

, maka

z

Persamaan (3.85) menjadi : =

cR

fˆ ( R)

=

c( z

)

fˆ ( z

=

c( z

)

(b

=

c( z

)

) (1 b)

z

b

)

z

(1 b) z

z

Persamaan (3.84) menjadi c c

p =

c

c( z

(z

)

cp( z

b

)

(1 b) z

z

=

) c

c

c c( z (z

)

b

b

z z

=

(1 b)

c

(1 b) z

z cp( z

(1 b) z c

z

=

b

)

)

c

c( z

b

)

z c )

(z

z

(

=

z z

(1 b)

c z c z p

c czp

77

z

(

2

)

b 2 z z )( z cpz

czp

b

(1 b) z

z cp( z

c z c z p

2

b z

2

)

z )( z

(1 b) 2 (z )

)

b (z

2

)

Sehingga 1 p

czp b

z

(1 b)

z 1 p

c z c z p

c

z

c

z

(

b z

(

b z

2

z )( z

)

b (z

)

b (z

2

)

cz b

z

(1 b)

z b

z

(1 b)

z c

z

( b

z

) c

z (1 b)

(

z

)cz

c z c z 2

b z

(

z c z c z

z )( z

z(

(

z

2

b (z

) z

c

b 2 (z

)

) c z(

z )

2

b z

(

2

1 p

)

z

b

z

2

z )

( (z

z

) c z(

z

)

z )( z

z )( z

)

2

b (z

)

(1 b)

z b

2

2

1 ) p

1 1 ) p p

cz

1 cz p

c z c z 2

1 p 1 p

z

)

b 2 (z

z )

b

z2 c

2

0

Sehingga a0 =

(

=

2

=

2

= c

z

) c 2

=b

2

c

z (1 b)

= cz 2 c(

( c

2

z (1 b)

z c

2

2

2

c

z

2

c

) c z( 2

z c z2

z (1 b )

b

(1 b)

)z

78

( (z

z )

(

z (z

2

) z

(

))

) 2

b 2

)

z b

)cz

z b

(1 b)

(1 b)

) c z(

(1 b)

)z2

z

z

(

2

2

z (1 b)

2

b

z

z2 c

z c

) z (1 b)

= c z2 c z2 c

a2 = (

)

c

z (1 b)

z c 2

z c

z2 ( c

= c(

2

z c

= ( cz 2 ( c a1 = b

z(

c

z z c

z (1 b ) ) z (1 b)

) z c z2

2

c

2

(1 b ) (1 b)

z

2

0