PENENTUAN PELUANG BERTAHAN DALAM MODEL RISIKO KLASIK DENGAN MENGGUNAKAN TRANSFORMASI LAPLACE
AMIRUDDIN
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Penentuan Peluang Bertahan dalam Model Risiko Klasik dengan Menggunakan Transformasi Laplace adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis.
Bogor, Juni 2008 Amiruddin
ABSTRACT AMIRUDDIN. Determination of Survival Probabilities in the Classical Risk Model Using Laplace Transform. Under direction of I GUSTI PUTU PURNABA and EFFENDI SYAHRIL. The purpose of this thesis is to show that, for the classical risk model, explicit solutions for survival probability in a finite time horizon can be obtained through the inversion of double Laplace transform of the distribution of time to ruin. To do this, the probability of ultimate non-ruin function as developed by Gerber and Shiu (1998) is being considered. Two methods used in this research are Laplace transform and analytic inversion. In analytic inversion, algebraic manipulations and Laplace complex inversion formula are applied. The Laplace complex inversion uses residue theorem and Laurent series expansion for complex functions. At the end some numerical results using Mathematica software are presented. The numerical results show that the increase in survival probability value is caused by the increase in initial capital or premium income, and the corresponding decrease is caused by the increase in time . Keywords: classical risk model, double Laplace transform, time to ruin, ruin probability.
RINGKASAN AMIRUDDIN. Penentuan Peluang Bertahan dalam Model Risiko Klasik dengan Menggunakan Transformasi Laplace. Dibimbing oleh I GUSTI PUTU PURNABA dan EFFENDI SYAHRIL. Dalam perusahaan asuransi, model risiko klasik adalah model untuk menentukan akumulasi kekayaan perusahaan pada suatu waktu tertentu (t), yang N (t ) 0 dan U (0) u. Peubah u adalah . Xi , t ditulis sebagai U (t ) u ct i 1 modal awal, c adalah rata-rata premi yang masuk per satuan waktu, X i adalah besar klaim ke-i dan N (t ) adalah banyaknya klaim yang terjadi dalam interval waktu [0,t]. X i dengan i = 1, 2, 3, ..., N (t ) adalah variabel acak sebanyak N (t ) yang diasumsikan saling bebas dan X i juga bebas terhadap N (t ). Dengan mengasumsikan bahwa {N (t ), t 0} adalah proses Poisson dengan laju , maka N (t ) i 1
Xi , t
0, adalah proses Poisson majemuk, sehingga U (t ) merupakan
proses stokastik. Suatu perusahaan asuransi dinyatakan jatuh atau bangrut jika U (t ) 0. Peluang jatuh adalah fungsi dalam u dan t, dinotasikan sebagai (u, t ), dan peluang bertahan dinotasikan sebagai (u, t ), sehingga (u, t ) 1 (u , t ). Jika X i mengikuti suatu sebaran tertentu, maka solusi eksplisit dari (u, t ) dapat ditentukan. Tujuan penelitian ini adalah menentukan fungsi sebaran peluang bertahan ( (u, t ) ) dengan asumsi X i menyebar eksponensial, Erlang(2) dan eksponensial campuran. Dari masing-masing solusi ditentukan contoh perhitungannya dengan menggunakan software Mathematica. Langkah awal dalam penentuan fungsi sebaran peluang bertahan dalam model risiko klasik adalah menentukan fungsi Laplace dari fungsi kepekatan peluang pada peubah acak yang menyebar eksponensial, Erlang(2) dan eksponensial campuran . Langkah berikutnya, didefinisikan suatu fungsi peluang bertahan ( (u, t ) ) dan suatu fungsi dalam u ( (u ) ). Dari kedua fungsi tersebut ditentukan fungsi transformasi Laplacenya, yaitu ˆˆ ( s, ) dan ˆ( s ) yang di dalamnya memuat fungsi Laplace dari fungsi kepekatan peluang. Langkah akhir, dengan ekspansi deret Maclaurin dan formula invers kompleks, fungsi ˆˆ ( s, ) diubah menjadi fungsi (u, t ). Fungsi terakhir adalah fungsi sebaran peluang bertahan dalam model risiko klasik Penelitian ini menunjukkan bahwa, fungsi sebaran peluang bertahan dalam model risiko klasik dapat ditentukan melalui transformasi Laplace dan invers Laplace. Ekspansi deret Maclaurin dan formula invers kompleks digunakan pada analisis invers Laplace.
Untuk mengetahui perilaku dari masing-masing fungsi sebaran, dilakukan beberapa perhitungan numerik dengan menggunakan software Mathematica. Hasil akhir menunjukkan bahwa nilai peluang bertahan akan naik jika modal awal dan premi diperbesar dan akan turun jika interval waktu diperpanjang. Dengan hasil ini, nilai peluang bertahan suatu perusahaan asuransi untuk beberapa waktu (t) ke depan dapat ditentukan dan dapat diatur dengan menentukan modal awal (u) dan besar premi (c). Kata kunci: model risiko klasik, transformasi Laplace ganda, waktu jatuh dan peluang jatuh.
©Hak cipta milik IPB, tahun 2008 Hak cipta dilindungi Undang-undang 1 Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebut sumber. a Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah. b Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB. 2 Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin IPB.
PENENTUAN PELUANG BERTAHAN DALAM MODEL RISIKO KLASIK DENGAN MENGGUNAKAN TRANSFORMASI LAPLACE
AMIRUDDIN
Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Departemen Matematika
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008
Judul Tesis : Penentuan Peluang Bertahan dalam Model Risiko Klasik dengan Menggunakan Transformasi Laplace Nama : Amiruddin NIM : G551060181
Disetujui Komisi Pembimbing
Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA. Ketua
Drs. Effendi Syahril, Grad. Dipl. Sc. Anggota
Diketahui
Ketua Program Studi Matematika Terapan
Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS.
Tanggal Lulus:
Dekan Sekolah Pascasarjana
Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, MS.
Tanggal Ujian: 9 Juli 2008
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis : Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS.
PRAKATA Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karuniaNya sehingga tesis ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Januari 2008 ini ialah peluang bertahan dalam model risiko klasik dengan judul Solusi Eksplisit Pada Peluang Bertahan Dalam Model Risiko Klasik. Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA. dan Bapak Drs. Effendi Syahril, Grad. Dipl. Sc. selaku dosen pembimbing yang telah banyak memberi saran. Disamping itu penulis sampaikan ucapan terima kasih kepada Departemen Agama Republik Indonesia yang telah memberikan beasiswa untuk studi. Ucapan terima kasih juga disampaikan kepada isteri, anak dan seluruh keluarga, atas doa dan dukungannya. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, Juni 2008 Amiruddin
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Boyolali pada tanggal 25 Juli 1969 dari ayah H. Chamdani dan ibu Hj. Suparti. Penulis merupakan putra keempat dari lima bersaudara. Tahun 1987 penulis lulus dari MAN Surakarta dan pada tahun 1991 lulus dari IAIN Sunan Kalijaga Yogjakarta. Tahun 1995 penulis diangkat menjadi PNS di lingkungan Departemen Agama dengan NIP. 150275020 dan ditugaskan sebagai guru matematika di MTsN Sumberlawang Sragen. Penulis diterima sebagai mahasiswa pascasarjana Institut Pertanian Bogor tahun ajaran 2006/2007 melalui seleksi penerimaan beasiswa tugas belajar yang diselenggarakan oleh Departemen Agama Republik Indonesia kerja sama dengan Institut Pertanian Bogor.
DAFTAR ISI Halaman DAFTAR TABEL ............................................................................................... xii DAFTAR GAMBAR .......................................................................................... xiii DAFTAR LAMPIRAN ...................................................................................... I
II
xiv
PENDAHULUAN ....................................................................................
1
1.1 Latar Belakang ..................................................................................
1
1.2 Perumusan Masalah ..........................................................................
2
1.3 Tujuan Penelitian ..............................................................................
2
1.4 Ruang Lingkup Penelitian ................................................................
2
1.5 Sistematika Pembahasan ...................................................................
3
KONSEP DASAR ....................................................................................
4
2.1 Proses Poisson ...................................................................................
4
2.2 Sebaran Peubah Acak ........................................................................
5
2.3 Sebaran Jumlah dari Peubah Acak-Peubah Acak Yang Saling Bebas ..................................................................................................
8
2.4 Transformasi Laplace .........................................................................
8
2.5 Deret Maclaurin .................................................................................. 10 2.6 Formula Invers Komplek ................................................................... 11 III
PENENTUAN PELUANG BERTAHAN ............................................... 12 3.1 Model Resiko Klasik .......................................................................... 12 3.2 Sebaran dari Klaim Tunggal .............................................................. 13 3.3 Sebaran dari Jumlah Klaim ................................................................ 16 3.4 Peluang Jatuh dan Peluang Bertahan ................................................. 16 3.5 Transformasi Laplace Pada dan (u, t ) ......................................... 17 3.6 Transformasi Laplace Pada f ..........................................................
20
3.7 Invers Komplek Pada ˆˆ ...................................................................
22
x
IV
PERHITUNGAN NUMERIK .................................................................. 36 4.1 Parameter ........................................................................................... 36 4.2 Hasil Perhitungan Numerik ................................................................ 37 4.3 Analisis Hasil Perhitungan ................................................................. 41
V
KESIMPULAN DAN SARAN ................................................................ 43 5.1 Kesimpulan ......................................................................................... 43 5.2 Saran ................................................................................................... 43
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 44 LAMPIRAN .......................................................................................................... 45
xi
DAFTAR TABEL Halaman 4.1
Nilai peluang bertahan dalam model risiko klasik untuk besar klaim menyebar eksponensial dengan parameter kedatangan
4.2
1 dan besar premi c 1 ...................................................... 37
Nilai peluang bertahan dalam model risiko klasik untuk besar klaim menyebar eksponensial dengan parameter kedatangan
4.3
Nilai peluang bertahan dalam model risiko klasik untuk besar klaim
kedatangan
1, parameter waktu antar
1 dan besar premi c 1, 2 .................................................. 38
Nilai peluang bertahan dalam model risiko klasik untuk besar klaim menyebar Erlang(2) dengan parameter kedatangan
4.5
1, parameter waktu antar
1 dan besar premi c 1,1 .................................................... 38
menyebar eksponensial dengan parameter
4.4
1, parameter waktu antar
2, parameter waktu antar
1 dan besar premi c 1 ...................................................... 39
Nilai peluang bertahan dalam model risiko klasik untuk besar klaim menyebar Erlang(2) dengan parameter kedatangan
2, parameter waktu antar
1 dan besar premi c 1,1 .................................................... 39
4.6 Nilai peluang bertahan dalam model risiko klasik untuk besar klaim menyebar Erlang(2) dengan parameter kedatangan 4.7
2, parameter waktu antar
1 dan besar premi c 1, 2 ...................................................
Nilai peluang bertahan dalam model risiko klasik untuk besar klaim menyebar eksponensial campuran dengan parameter b
4.8
40
1
3
, parameter waktu antar kedatangan
1
2
,
2 dan
1 dan besar premi c=1 ...
40
Nilai peluang bertahan dalam model risiko klasik untuk besar klaim menyebar eksponensial campuran dengan parameter b
1
3
, parameter waktu antar kedatangan
1
2
,
2 dan
1 dan besar premi c 1,1 .. 41
4.9. Nilai peluang bertahan dalam model risiko klasik untuk besar klaim menyebar eksponensial campuran dengan parameter b
1
3
, parameter waktu antar kedatangan
xii
1
2
,
2 dan
1 dan besar premi c 1, 2 . 41
DAFTAR GAMBAR Halaman 3.1
Grafik fungsi kepekatan peluang peubah acak tersebar eksponensial (
3.2
0,5 ) ......................................................................................................
Grafik fungsi sebaran peluang peubah acak tersebar eksponensial (
0,5 ) ......................................................................................................
Grafik fungsi kepekatan peluang peubah acak tersebar erlang(2) (
3.4
Grafik fungsi sebaran peluang peubah acak tersebar erlang(2) (
3.5
Grafik fungsi kepekatan peluang peubah acak tersebar eksponensial campuran (
0, 25;
0, 75 dan b
13
0,5 ) 14
3.3
3.6
13
0,5 ) ..
0, 25 ) ............................................
14
15
Grafik fungsi sebaran peluang peubah acak tersebar eksponensial 0, 25 ) ............................................
16
3.7
Dua akar persamaan dasar Lundberg ...........................................................
18
3.8
Grafik fungsi Laplace dari fungsi kepekatan peluang peubah acak tersebar
campuran (
eksponensial ( 3.9
0, 25;
0, 75 dan b
0,5 ) ................................................................................
20
Grafik fungsi Laplace dari fungsi kepekatan peluang peubah acak tersebar Erlang(2) (
0,5 ) ...................................................................................... 21
3.10 Grafik fungsi Laplace dari fungsi kepekatan peluang peubah acak tersebar eksponensial campuran (
0, 75 dan b
0, 25;
xiii
0, 25 ) ......................
22
DAFTAR LAMPIRAN Halaman Lampiran 1 ..........................................................................................................
46
Lampiran 2 ..........................................................................................................
49
Lampiran 3 ..........................................................................................................
79
xiv
