Paragraaf 11: Recursieve formules versie 4 18 april Hoe kun je bij sommige rijen een term vinden uit de voorgaande term(en)? Wat zijn recursieve formules? Wat is het nut ervan? Hoe houd je recursieve formules en directe formules uit elkaar? We bekijken de populatiegroei van konijnen en ratten.
Groeten Een club van acht leden komt bijeen. Ze geven elkaar allemaal een hand en spreken dan een groet uit. Hoeveel handen worden geschud? Hoeveel keer worden handen geschud? Hoeveel keer wordt een groet uitgesproken?
Uit Pythagoras april 2008
1. Probeer bovenstaande vragen te beantwoorden. Een club van een onbekend aantal leden komt bijeen. We letten weer op: hoeveel keer worden handen geschud? Bij aanwezigheid van twee leden: eenmaal. Er komt een derde lid binnen en deze schudt de handen van de twee al aanwezige leden. Dit geeft een totaal van drie. ( 1+2) Een vierde lid komt binnen en schudt de handen van de eerste drie leden. Dit geeft een totaal van 3 plus 3. Een vijfde lid komt binnen, er zijn al 6 handen geschud. Het totaal bij vier leden wordt uitgebreid met 4. Er ontstaat een volgende rij van getallen: 1, 3, 6, 10 . Bij aanwezigheid van 2 leden wordt eenmaal de handen geschud. We noteren dan: u(2) 1 . 1
Bij aanwezigheid van 3 leden noteren we: u (3) 3 . Zo verdergaand ontstaat een rij met startwaarde u (2) : u(2) 1, u(3) 3, u(4) 6, u(5) 10 Bij een zesde lid krijgen we het totaal bij vijf leden u (5) dat vermeerderd wordt met 5. We noteren dan : u(6) u(5) 5 =15. Bekijk de volgende formule: u(n) u(n 1) n 1 (andere notatie: un un1 n 1 ) 2. Leg uit binnen de context van de club wat de betekenis er van is.
Bij sommige rijen kun je een term vinden uit de voorgaande term(en). Dit heet recursie. De bijbehorende formule heet een recursieve formule. De formule wordt ook wel een recurrente betrekking genoemd. Je kunt de rij alleen maken als je naast de recursieve formule de waarde van één van de termen weet uit de rij. De eerste term van een rij wordt de startwaarde genoemd. Bij een recursieve formule wordt bijna altijd deze startwaarde vermeld! Je kunt ook twee startwaarden hebben of zelfs meer. We bekijken ook daar voorbeelden van. Figuur 1 In de vorige paragraaf heb je de omtrekken berekend van een aantal letters V. De grootste letter V heeft een omtrek van 73,5 cm. De tweede letter V heeft een omtrek van 36,75 cm. Immers de afmetingen zijn gehalveerd zodat ook de omtrek wordt gehalveerd. De derde letter V heeft een omtrek die precies de helft is van de tweede letter V. Zie ook vraag 15b. Deze rij van omtrekken van letters V is een voorbeeld van recursie.
P(n) is de omtrek van de n e letter V. 3a. Schrijf de wiskundige notatie op van de startwaarde. 3b. Hoe bereken je de omtrek van een willekeurige letter V uit genoemde rij als je de omtrek weet van de voorgaande letter? 3c. Schrijf in de juiste wiskundige notatie de recursieve formule op. We kunnen ook de rij van de oppervlaktes van de letters V bekijken. De grootste letter V heeft een oppervlakte van ongeveer 47,74 cm2 . A(n) is de oppervlakte van de n e letter V. 4a. Hoe bereken je de oppervlakte van een willekeurige letter V uit genoemde rij als je de oppervlakte weet van de voorgaande letter? 2
4b. Schrijf in de juiste wiskundige notatie de recursieve formule op. Hoeveel driehoeken zie je? figuur 2
In begin 2010 kwam je de twee plaatjes die je in figuur 2 ziet op veel websites tegen. 5. Hoeveel driehoeken zie je in het linkerplaatje van figuur 2. En hoeveel in het rechterplaatje? Vraag 5 kun je oplossen door handmatig de driehoeken te tellen. Voor grotere exemplaren wordt het handmatig tellen een stuk lastiger. Probeer het maar eens bij een exemplaar waarbij de onderste rij bestaat uit zes driehoeken met een hoekpunt naar boven gericht. ( rechtopstaande driehoek). 6. Teken genoemd exemplaar en geef het totaal aantal driehoeken. Bij het maken van opgave 6 zal het opgevallen zijn dat het lastig is om direct het totaal aantal driehoeken te geven. Vandaar dat we het probleem eerst gaan vereenvoudigen. We letten voorlopig eerst op de rechtopstaande driehoeken. Exemplaar 1, die niet is afgebeeld, bestaat uit slechts één (rechtopstaande) driehoek. Exemplaar 2, zie driehoek links in figuur 2, bestaat uit 1+2+1 rechtopstaande driehoeken. Exemplaar 3, zie figuur 3, bestaat uit 4+3+2+1 rechtopstaande driehoeken. figuur 3
exemplaar 3
grootste driehoek
4 3
+
3
+
2
+1
Exemplaar 4 bestaat uit het aantal rechtopstaande driehoeken bij exemplaar 3 vermeerdert met 4+............. 7. Vul het getal 4 aan. We maken weer gebruik van de rijnotaties: u(1) 1, u(2) 4, u(3) 10, u(4) 20, u (4) is dus het aantal rechtopstaande driehoeken bij exemplaar 4. u(5) u(4) 5 4 3 2 1 8. Laat dit zien en bereken u (5) . Gebruik zo nodig een plaatje!
figuur 4 exemplaar 6
In figuur 4 zie je hoe exemplaar 6 ontstaat uit exemplaar 5. u(6) u(5) 6 ........ 9a. Schrijf op hoe je het aantal rechtopstaande driehoeken bij exemplaar 6 kunt verkrijgen uit het aantal rechtopstaande driehoeken bij exemplaar 5 en bereken u (6) .
Om u (100) uit te drukken in u (99) is het handig om de getallen 1 tot met 100 snel op te kunnen tellen. 9b. Waarom? Leg dat uit. Wie dat lukte op jonge leeftijd was Johan Carl Friedrich Gauss.
Carl Friedrich Gauss (oorspronkelijk in het Duits met een ß, dus Gauß) (Brunswijk, 30 april 1777 – Göttingen, 23 februari 1855) was een Duits wiskundige en natuurkundige, die een zeer belangrijke bijdrage heeft geleverd aan een groot aantal deelgebieden van de wiskunde en de exacte wetenschappen.
4
Anekdote over de jonge Gauss Een beroemde anekdote, die zich tijdens doorvertellen steeds verder heeft ontwikkeld, stelt dat zijn leraar op de basisschool, J.G. Büttner, zijn leerlingen een tijdje bezig wilde te houden door hen de gehele getallen van 1 tot 100 te laten optellen. De jonge Gauss zou het juiste antwoord echter binnen een paar seconden hebben gegeven, dit tot verbazing van zijn leraar en diens assistent Martin Bartels. Gauss besefte, ervan uitgaand dat de op te tellen gehele getallen van 1 tot 100 liepen, dat paarsgewijze optelling van "tegenoverliggende" termen identieke tussenresultaten oplevert: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101, enzovoort, de totale som bedraagt dan 50 × 101 = 5050 . Hoewel deze methode zeker werkt, is het verhaal waarschijnlijk niet heel aannemelijk. 10. Tel op de manier van de jonge Gauss de getallen bij elkaar op van 1 tot en met 300. Dus 1+300, 2+299, 3+ 298 enz. Voor het optellen van de eerste n natuurlijke getallen is er de volgende formule: S 12 n (1 n) S is de som van de getallen 1 tot en met n. 11. Controleer dit voor de twee voorgaande voorbeelden. Zie dus opgave 10. Terug naar de rechtopstaande driehoeken. Er bestaat voor het aantal rechtopstaande driehoeken een recursieve formule (1) :
u (n) u (n 1) 12 n (1 n) u (1) 1 u (n) is het aantal rechtopstaande rechthoeken van exemplaar n. u(n 1) is het aantal rechtopstaande rechthoeken van het voorgaande exemplaar n 1 .
Deze recursieve formule kan ook als volgt worden opgesteld:
u (n 1) u (n) 12 (n 1) (2 n) u (1) 1
u(n 1) is het aantal rechtopstaande rechthoeken van exemplaar n 1 . We noemen dit voor het gemak formule (2)
12a. Laat zien hoe je deze formule(2) kunt afleiden uit formule(1). Zie bijlage voor hoe deze formules op de GR wordt ingevoerd. 12b. Bereken het aantal rechtopstaande driehoeken met behulp van de GR voor het zesde exemplaar en daarna voor het honderdste exemplaar. Je kunt u (n) ook in verband brengen met de term die vooraf gaat aan zijn voorganger u(n 1) . Voor deze term schrijven we u (n 2) . Er blijkt dan te gelden: u(n) u(n 2) n2 . De term u(n 1) is zijn voorganger vermeerderd met de som van de eerste n 1 termen. 13. Schrijf dit zo kort mogelijk op in de rij-notaties. 5
14. Vervang u(n 1) door het antwoord bij vraag 13 in de uitdrukking
u(n) u(n 1) 12 n (1 n) en herleid de uitdrukking door het wegwerken van haakjes tot u(n) u(n 2) n2 . Terugblik op " driehoeken tellen". We hebben gezien dat het niet eenvoudig is om bijvoorbeeld bij het achtste exemplaar het totaal aantal opstaande driehoeken direct te geven. Weten we het totaal aantal opstaande driehoeken van het zevende exemplaar dan kunnen we wel direct het totaal aantal rechtopstaande driehoeken berekenen van het achtste exemplaar. We kunnen ook gaan kijken naar het aantal driehoeken met de punt naar beneden. De vraag is: " is er een algemene regel te vinden voor het totaal aantal driehoeken, als het aantal driehoeken op de onderste rij gelijk is aan n?" Zie hiervoor de onderzoeksopgave op het eind van deze paragraaf.
Van een rij getallen is gegeven dat: t (n) 3n 1 maar ook t (n) t (n 1) 3 15a. Leg uit wat met beide uitdrukkingen wordt bedoeld. 15b. Kun je met de formule t (n) t (n 1) 3 direct uitrekenen wat de waarde is van t (100) ? Voor een rij getallen geldt a(n 1) 5 3 a(n) waarbij a(49) 101 . 16. Bereken a(50) en a(48) .
6
Fibonaccigetallen Hier volgt een passage uit het ondertussen wereldberoemde boek De Da Vinci Code van Dan Brown uit 2004.
Wat is er met de getallen? De door elkaar gehusselde Fibonacci-rij is een hint, zei professor Langdon, terwijl hij de foto van agente Sophie Neveu aanpakte. Figuur 5
Voor invoering bij Casio zie bijlage!
In figuur 5 zie je hoe de recursieve formule van de Fibonacci-rij is ingevoerd in de grafische rekenmachine. Let op er zijn twee startgetallen: 1 en 1. 17.
Schijf de eerste tien getallen van deze rij in de juiste volgorde op.
De Fibonacci-rij was natuurlijk al veel eerder bekend. De rij is voor het eerst beschreven in het rekenboek Liber Abaci uit 1202, van de hand van Leonardo Pisano, die beter bekend staat onder zijn bijnaam Fibonacci.
7
figuur 6
In het boek komt de volgende opgave voor ( vrij vertaald): Een man plaatst één paar konijnen in een afgesloten ruimte . Vanaf de tweede maand zijn konijnen vruchtbaar. Elk vruchtbaar paar krijgt elke maand een nieuw paar konijnen. Hoeveel konijnenparen zullen er na één jaar in het hok zitten? In figuur 6 zie je van boven naar beneden het aantal konijnenparen voor de eerste zes maanden. 18. Neem figuur 6 over in je schrift en breidt het uit inclusief lijntjes tot en met 8 maanden. Hieronder staat een deel van de Fibonacci-rij waarbij het beginstuk is weggelaten: ……….………
1597
2584 4181
6765
………………
19. Schrijf de volgende termen op: die term voorafgaand aan 1597 en de twee eerste termen die volgen op 6765. Groei van rattenpopulatie Maarten 't Hart (Maassluis, 25 november 1944) is een Nederlandse gedragsbioloog en schrijver. Hij werd geboren als oudste zoon van een gereformeerde grafdelver. Hij schreef onder andere het boek "ratten". Zie de volgende passage uit dit boek hieronder.
Ook over de hoeveelheid nakomelingen van één rattenpaar in één jaar worden zeer verschillende getallen verstrekt. In het volgende hoofdstuk zal ik de schaarse gegevens van onderzoek over de vruchtbaarheid van ratten in de natuur bespreken, maar het is misschien aardig hier een schatting te maken van het aantal nakomelingen van één paar, uitgaande van de meest optimale omstandigheden. Daartoe gebruik ik de de volgende gegevens. Gemiddeld is het aantal jongen per worp te stellen op zes; van deze zes jongen behoren er drie tot het 8
vrouwelijk geslacht. De draagtijd is eenentwintig dagen; het zogen duurt ook eenentwintig dagen. Een vrouwtje kan echter al bevrucht worden op de dag van de bevalling. Gemakshalve stel ik de periode tussen twee bevallingen op veertig dagen. Als nu een vrouwtje op 1 januari bevalt van zes jongen is dat vrouwtje veertig dagen later opnieuw in staat om zes jongen ter wereld te brengen. De vrouwtjes van de eerste worp van zes jongen zijn zelf na honderdtwintig dagen in staat om nakomelingen voort te brengen. Als ik er vanuit ga dat er bij elke worp steeds drie vrouwtjes zijn en als ik dan alle nakomelingen optel van alle vrouwtjes in een jaar kom ik op 1808 ratten op 1 januari van het volgende jaar, het oorspronkelijke paar meegerekend. Dit is een fictief getal. Er is sterfte; moeders verwerpen soms hun jongen; vrouwtjes komen soms langere tijd niet in oestrus. Niettemin geeft dit getal enig idee van het leger ratten dat na een jaar ontstaan kan zijn. Maarten 't Hart doet in deze passage een aantal aannames over de groei van ratten. Op basis van die aannames komt hij tot de conclusie dat er, startend met één rattenpaar, een jaar later 1808 ratten zijn. De vraag is natuurlijk: " hoe komt hij aan dat getal?" 20a Schrijf die aannames van Maarten overzichtelijk op 20b. Probeer een methode te vinden om het getal 1808 te verklaren. We proberen nu de vraag over het getal 1808 te beantwoorden met behulp van een recursieve formule. Om deze vraag te beantwoorden zijn er een aantal aanwijzingen die je wellicht bij opgave 20a gevonden hebt:
Verdeel het jaar in 9 perioden van 40 dagen. Gebruik 40 dagen als tijdseenheid. Stel 1 januari de datum waarop de eerste bevalling plaats vindt op t 0 Gebruik de notatie R(n) waarbij dit het aantal ratten na n perioden van 40 dagen voorstelt.
21a. Leg uit waarom R(1) 2 en wat het betekent. 21b. Leg ook uit waarom R(0) 8 en wat het betekent. 21c. Bereken nu R(1) en R(2) en laat zien dat in de eerste drie periodes er sprake is van lineaire groei. Bij t 3 verandert het groeiproces. 22a. Leg uit dat je R(3) als volgt kunt vinden uit R(2) en R(0) : R(3) R(2) 22b. Stel zo'n betrekking op voor R(4) .
9
R(0) 6 2
In tabel 1 staat een nog niet geheel ingevuld overzicht van het aantal ratten over 10 perioden. tabel 1 t
-1
0
1
2
R(t)
2
8
14
20
3
4
5
6
7
8
9
23a. Ga na door tabel 1 geheel in te vullen of het getal 1808 ook inderdaad klopt. Wellicht heb je het vermoeden gekregen dat vanaf t 3 er een recursieve formule bestaat. 23b. Schrijf deze recursieve formule inclusief de startwaarde(n) op . 23c. Heeft het zin om deze recursieve formule in te voeren op de GR? Welke problemen kom je nu tegen. Terug naar het boek " de Telduivel"
Uit de telduivel
In de zesde rij staan de machten van twee. 24a. Stel de recursieve formule hiervan op. Denk aan de startwaarde! Bekijk de zevende rij. De negenenzestigste term is een groot getal geschreven in de wetenschappelijke notatie: 1,711224524E98 . 24b. Hoe vind je de zeventigste term uit de negenenzestigste term? 24c. Schrijf de recursieve formule op van deze rij. 24d. Beschrijf het verschil tussen beide recursieve formules.
10
Van recursieve formule naar directe formule en van directe formule naar recursieve formule Zie figuur 1 voor de van papier gemaakte letters V. Voor zowel de omtrekken als de oppervlakken van de letters V kun je directe formules opschrijven. 25. Stel beide directe formules op. 26. Ga na wat het verschil is tussen een directe formule en een recursieve formule.
Gebruik bijvoorbeeld bij je uitleg de rij van de even getallen 2, 4, 6, 8, .......
u (n) 5 u (n 1) 27 Van een rij is de recursieve formule: u (1) 1 a. Stel de directe formule op.
u (n) (1 1n ) u (n 1) voor n 2 Van een andere rij is de recursieve formule: u (1) 1 27b. Stel de directe formule op van deze rij.
Nu andersom Van een rij is de directe formule: u(n) 61 11n voor n 1 28a. Geef de recursieve formule. Vergeet het startgetal niet! Van een andere rij is de directe formule: u(n) 8n 6 voor n 1 28b. Schrijf een aantal termen op en formuleer een vermoeden over wat voor veelvouden deze termen zijn. 28c. Geef de recursieve formule van deze rij.
11
Geld van de bank lenen De heer Jansen koopt een tweedehands auto voor 9500 euro. Hij kan contant 4500 euro betalen maar moet bij de bank 5000 euro lenen. Deze lening kost per jaar 8,3% aan effectieve rente. Hij wil weer snel van de lening af en besluit per maand 500 euro af te lossen. De vraag is wat gaat hem die lening kosten? figuur 7
In figuur 7 zie je een stukje uit zijn kredietoverzicht van september 2010. Hieruit blijkt dat hij het geld heeft opgenomen op 11 augustus 2010. Niet eind augustus maar eind september begint hij met de aflossing van 500 euro. De heer Jansen heeft gekozen voor een kredietlimiet van 10500 euro. Hij beperkt zijn lening echter tot 5000 euro. 29a. Leg uit waarom hij meer dan 10 maanden nodig heeft om zijn schuld af te lossen. De effectieve jaarrente is 8,3 %. De groeifactor per jaar van de lening is dus 1,083. 29b. Bereken de groeifactor per maand van de lening en het maandelijkse rentepercentage. Waarschijnlijk wijkt jouw maandelijkse rentepercentage afgezien van eventuele rekenfouten iets af met de 0,669% in het overzicht 29c. Geef hier een verklaring voor. De eerste aflossing wordt niet gedaan eind augustus maar op eind september. Zie figuur 7. Het nieuwe saldo op 30 september is 4555,79. 30a Hoe groot is na een maand , dus op 30 oktober het saldo? En hoe groot is het saldo op 30 november? 30b. Stel de recursieve formule op van de restantschuld R(t) met t het aantal maanden na 30 september. Dus R(0) 4555,79 . 30c. Bereken na hoeveel maanden hij zijn lening heeft afgelost en hoeveel de lening hem heeft gekost. Verschilrij Hoewel de heer Jansen elke maand 500 euro aflost wordt zijn schuld niet elke maand 500 euro minder. 31a. Leg uit waarom niet. Op 30 oktober is zijn schuld 469,5 euro minder geworden ten opzichte van 30 september. We onderzoeken de afname van de restantschuld en bekijken de volgende rij: v(1) R(1) R(0) 4086,3 4555,8 469,5 , v(2) R(2) R(1) 472,6 , v(3) .......enz 31b. Bereken v(3), v(4) en v(5) en schrijf op wat je opvalt bij de schuldafname per maand. 12
Geld van de bank opnemen Een vrouw heeft na haar scheiding een bedrag op de bank staan van 100000 euro. Zij is in deze relatie niet de meest draagkrachtige partner en ontvangt daardoor een financiële uitkering ter tegemoetkoming van de kosten van haar levensonderhoud . Voor haar blijkt de uitkering niet voldoende te zijn. Zij besluit, om vijftien jaar lang, elke maand een vast bedrag van de bank op te nemen totdat het geld helemaal op is. De jaarlijkse rente van haar bedrag op de bank is 3 procent. De vraag is welk vast bedrag zij maandelijks van de bank kan afhalen. Veronderstel eerst dat ze niets van de bank haalt. 32a. Bereken na hoeveel jaar zij 130000 euro heeft. Geef je antwoord in maanden nauwkeurig. 32b. Laat zien dat het maandelijkse rentepercentage nagenoeg gelijk is aan 0,247 %. Veronderstel dat ze elke maand 600 euro van de bank haalt. Haar bedrag op de bank wordt beschreven door de recursieve formule:
B(t ) 1,00247 B(t 1) 600 met B(0) 100000 waarbij B(t ) het bedrag op de bank is na t maanden. 32c. Leg uit dat deze recursieve formule juist is. 32d. Bereken de waarden van B(1), B(2), B(3), B(4) en B(5). 32e. Bereken hoeveel geld ze nog op haar bankrekening heeft staan na 15 jaar. 32f. Zoek uit met je GR welk maandelijks vast bedrag zij van de bank kan afhalen zodat na 15 jaar voor het eerst niets meer staat op haar spaarrekening.
Terugblik Een getallenrij is een serie getallen waarbij vaak patronen of regelmatigheden in terug te vinden zijn. De getallen uit een rij heten termen. Voor deze termen hebben we een wiskundige notatie. Bijvoorbeeld de vijfde term van een rij geven we aan met u (5) of u5 . Soms kun je een willekeurige term vinden uit een voorgaande term, dat heet recursie. Bij sommige rijen kun je de waarde van een term direct berekenen met een directe formule. Je moet dus weten wat het verschil is tussen een recursieve formule en een directe formule. Er wordt van jou ook verwacht dat je bij sommige rijen beide formules kunt opstellen. Voorbeeld: Van een rij u (n) zijn de eerste vijf termen 1000, 200, 40, 8 en 1,6 . Een term, behalve de eerste term, krijg je uit de voorgaande term door die term te delen door vijf of te vermenigvuldigen met 15 . 13
u (n) 15 u (n 1) De recursieve formule is u (1) 1000 De directe formule is u(n) 1000 ( 15 )n1
In tabel 2 staan gegevens vermeld van vijf rijen. tabel 2 Directe formule t (n) 1 7n voor n 0
Eerste vijf termen in rijnotatie
u(n) 3 4n
u(1) 12, u(2) 48,........
recursieve formule
t (n 1) ....... t (1) 1
u (n) 12 u (n 1) u (1) 1 u (n 1) 1 2 u (n) u (0) 1 a1 3, a2 9, a3 27, a4 81,.....
33a. Neem tabel 2 over en vul met behulp van berekenen de lege hokjes in. In een woordenboek staat voor de betekenis van het woord "recurrent" teruglopend, terugkerend. 33b. Ga na dat deze betekenissen toepasbaar zijn in de wiskundige context.
14
Tegels tellen De eerste opgave uit het onderdeel " estafette" van het wiskunde toernooi van de Radboud Universiteit Nijmegen van 1 oktober 2010 zie je hieronder. figuur 8a
figuur 8b
4 witte tegels aan iedere zijde
In figuur 8a zie je een stukje van een tegelvloer. De gehele tegelvloer heeft dit patroon. De vloer heeft de vorm van een regelmatige zeshoek waarbij elke zijde bestaat uit tien naast elkaar liggende witte tegels. De vraag is : Uit hoeveel donkere tegels bestaat de vloer?. Misschien lukt het om het probleem meteen op te lossen. Lukt het niet ga dan verder met opgave 34. 34. Bereken het aantal donkere tegels van de gehele vloer. Als het niet gelukt is om de vraag meteen op te lossen kijk dan naar de volgende aanpak. Neem ergens in het midden een donkere tegel, zie figuur 8b en kijk naar de zes witte tegels die er om heen liggen. We hebben nu een regelmatige zeshoek met precies twee witte tegels aan iedere zijde. Daar omheen liggen zes donkere tegels. Vervolgens krijgen we een regelmatige zeshoek met precies vier witte tegels aan iedere zijde. Deze bevat nu in totaal zeven donkere tegels. Daarom heen liggen 12 donkere tegels. Vervolgens krijgen we een regelmatige zeshoek met zes witte tegels aan iedere zijde. 35a. Bereken het totaal aantal donkere tegels in een regelmatige zeshoek met zes witte tegels aan iedere zijde. We breiden de vloer weer verder uit. Zie tabel 3. Tabel 3 Aantal witte tegels aan iedere zijde
2
4
Aantal donkere tegels binnen regelmatige zeshoek
1
7
Toename aantal donkere tegels
15
6
6
8
12
18
10
12
35b. Neem tabel 3 over en vul de lege hokjes in. 35c. Laat zien dat het totaal aantal donkere tegels in een regelmatige zeshoek met een gelijk aantal witte tegels aan iedere zijde een kwadratisch verband is.
Hieronder staat deels opgesteld de bijbehorende recursieve formule:
u (n) u (n 1) ............ u (1) 1 waarbij u (n) het totaal aantal donkere tegels is in de regelmatige zeshoek met n witte tegels aan iedere zijde. 35d. Vul in de recursieve formule de open plaats in. 35e. Onderzoek hoeveel witte tegels je aan een zijde van een regelmatige zeshoek moet kiezen om minstens 200 donkere tegels binnen in te krijgen. In tabel 3 zien we naast de rij van het aantal donkere tegels ook twee andere rijen met een regelmatig patroon. In paragraaf 13 komen we hierop terug. 35f. Schrijf die regelmaat op.
16
Onderzoeksopdracht: Hoeveel driehoeken zie je? Na opdracht 14 werd de volgende opmerking gemaakt: We kunnen ook gaan kijken naar het aantal driehoeken met de punt naar beneden. De vraag is natuurlijk is er een algemene regel te vinden voor het totaal aantal driehoeken, als het aantal driehoeken op de onderste rij gelijk is aan n? Met die algemene regel wordt bedoeld: "Vind een recursieve formule voor het totaal aantal driehoeken". Plan van aanpak. Voor de rechtopstaande driehoeken kennen we inmiddels de recursieve formule:
u (n) u (n 1) 12 n (1 n) u (1) 1 Bekijk nu de rij v(n) van de driehoeken met de punt naar beneden. Zie weer figuur 1. 36a Schrijf de eerste vijf termen op. 36b. Ga na dat geldt: v(4) v(3) 3 1 , v(5) v(4) 4 2 en v(6) v(5) 5 3 1 36c. Stel een recursieve formule op voor het aantal driehoeken met de punt naar beneden. Tenslotte: 36d. Stel een recursieve formule op voor het totaal aantal driehoeken t (n) .
17
BIJLAGE: Vaardigheid: invoeren van recursieve formule in GR. We bekijken dit voor TI en Casio. Invoering TI: Let op: de startwaarde 1 moet ook worden ingevoerd. Zie ook de afgedrukte tabel.
Invoering CASIO Kies MENU RECUR Met TYPE(F3) kun je an+1 instellen, met n.an.. (F4) krijg je de mogelijkheden voor de functietoetsen in beeld (zie onderstaand plaatje)
EXE en kies SET (F5) en vul in zoals, hieronder staat. Kies ook voor a1 (F2)
figuur 5 Casio Kies MENU Recursion Kies Type (F3) an+2 (F3) Kies SET (F5) vul onderstaande in
18
EXE EXE geeft de tabel, de somtabel alleen als je met SHIFT MENU in regel 2 Σ Display op ON (F1) zet
