PERMODELAN MATEMATIKA DAN ANALISIS STABILITAS DARI PENYEBARAN PENYAKIT FLU BURUNG (MATHEMATICAL MODEL AND STABILITY ANALYSIS THE SPREAD OF AVIAN INFLUENZA) Oleh : Dinita Rahmalia NRP. 1206100011 Dosen Pembimbing : Drs. M. Setijo Winarko, M.Si. ABSTRAK Di Indonesia terdapat banyak peternak unggas sebagai matapencaharian sehingga Indonesia rawan sebagai sumber penyebaran flu burung. Penyebab flu burung adalah virus influensa tipe A dengan subtipe H5N1 yang menyebar antar unggas dan dapat menular pada manusia. Burung liar dan hewan domestik (ternak) menjadi sumber penyebar H5N1. Virus ini dapat menular melalui udara ataupun kontak melalui makanan, minuman, dan sentuhan. Flu burung termasuk jenis penyakit mikroparasitis (jenis penyakit yang disebabkan oleh virus) tetapi ada keterkaitan antara unggas dan manusia sebagai hospes (host). Karena itu model flu burung berbeda dengan model-model flu umumnya. Pada penelitian ini akan ditentukan analisis kualitatif dari model penyebaran flu burung (avian flu) untuk mendapatkan bilangan reproduksi dasar R0, dimana R0 bertujuan mengetahui adanya penyebaran penyakit atau tidak adanya penyebaran penyakit melalui analisis stabilitas dari disease free equilibrium maupun endemic equilibrium. Kata kunci : Model Flu Burung, Analisis Stabilitas, R0 I.
pengetahuan sebagian penduduk Indonesia terhadap dampak dari flu burung juga ikut berpengaruh pada kasus penyebaran flu burung. Pada tugas akhir ini, akan dianalisis kestabilan dari model matematika flu burung untuk memperoleh bilangan reproduksi dasar dan pola penyebarannya.
PENDAHULUAN
Flu burung telah menjadi perhatian yang luas dari masyarakat karena telah menewaskan banyak korban baik unggas maupun manusia. Pada awal tahun 1918, wabah pandemi virus influenza telah membunuh lebih dari 40.000 orang, dimana subtipe yang mewabah saat itu adalah virus H1N1 yang dikenal dengan “Spanish Flu”. Tahun 1957 virus bermutasi menjadi H2N2 atau “Asian Flu” menyebabkan 100.000 kematian. Tahun 1968 virus bermutasi menjadi H3N2 atau “Hongkong Flu” menyebabkan 700.000 kematian. Tahun 1977 virus bermutasi menjadi H1N1 atau “Russian Flu”. Akhirnya pada tahun 1997, virus bermutasi lagi menjadi H5N1 atau “Avian Influenza” [10]. Di Asia Tenggara kebanyakan kasus flu burung terjadi pada jalur transportasi atau peternakan unggas sebagai jalur migrasi burung liar. Hingga 6 Juni 2007, WHO telah mencatat sebanyak 310 kasus dengan 189 kematian pada manusia yang disebabkan virus ini termasuk Indonesia dengan 99 kasus dengan 79 kematian [11]. Hal ini dipengaruhi oleh matapencaharian penduduk Indonesia sebagai peternak unggas sehingga Indonesia rawan pada penyebaran penyakit flu burung. Selain itu, kurangnya
II. 1. 2. 3. 4. III. 3.1.
METODE PENELITIAN Studi Literature Penyelesaian secara Analitis Interpretasi Kesimpulan
TINJAUAN PUSTAKA Sistem Kompartemen Sistem kompartemen merupakan sebuah susunan kerja atau proses yang menunjukkan aliran individu dari satu kompartemen ke kompartemen lainnya seperti saat individu tersebut sehat, tertular penyakit atau sembuh dari penyakit. Berikut ini adalah contoh sederhana bentuk sistem kompartemen :
1
Untuk suatu skalar disebut nilai karakteristik dari J dan x dikatakan vektor karakteristik yang bersesuaian dengan . Untuk mencari nilai karakteristik matriks J yang berukuran n×n, maka dapat dituliskan kembali persamaan (2.6) sebagai Jx = Ix atau ekuivalen dengan (J - I)x = 0, mempunyai penyelesaian tak nol jika dan hanya jika | J - I| = 0.
Gambar 1. Kompartemen 3.2. Bilangan Reproduksi Dasar Untuk mengetahui tingkat penyebaran suatu penyakit diperlukan suatu parameter tertentu. Parameter yang biasa digunakan adalah Bilangan Reproduksi Dasar (Basic Reproduction Number). Bilangan Reproduksi Dasar adalah bilangan yang menyatakan banyaknya rata-rata individu infektif sekunder akibat tertular individu infektif primer yang berlangsung didalam populasi susceptible. Namun adapula yang mengartikan rasio atau perbandingan yang menunjukkan jumlah individu susceptible yang menderita penyakit yang diakibatkan oleh satu individu infected. Jika model hanya mempunyai dua titik kesetimbangan yaitu titik kesetimbangan bebas penyakit dan titik kesetimbangan endemik, maka tidak terjadi endemik jika R0 < 1 dan terjadi endemik jika R0 > 1. 3.3. Kestabilan Titik Tetap Pandang persamaan diferensial
Jika matriks (2.6) dapat ditulis
Akar-akar karakteristiknya adalah Teorema 2.1 [4] Titik setimbang
stabil asimtotis jika dan
hanya jika nilai karakteristik matriks
,
mempunyai tanda negatif pada bagian realnya dan tidak stabil jika sedikitnya satu dari nilai karakteristik mempunyai tanda positif pada bagian realnya. 3.5. Kriteria Kestabilan Routh Hurwitz Kriteria kestabilan Routh – Hurwitz adalah suatu metode untuk menunjukkan kestabilan sistem dengan memperhatikan koefisien dari persamaan karakteristik tanpa menghitung akarakar karakteristik secara langsung. Jika diketahui suatu persamaan karakteristik dengan orde ke-n sebagai berikut : .
Sebuah titik merupakan titik kesetimbangan dari persamaan (2.1) jika memenuhi . Karena turunan suatu konstanta sama dengan nol, maka sepasang fungsi konstan. Adalah penyelesaian kesetimbangan persamaan (2.1) untuk semua t.
maka
dengan
dari
Stabil Asimtotis Lokal Kestabilan asimtotis lokal merupakan kestabilan dari sistem linier atau kestabilan dari linierisasi sistem tak linier. Kestabilan lokal pada titik kesetimbangan ditentukan oleh tanda bagian real dari akar-akar karakteristik sistem dari matriks Jacobian yang dihitung di sekitar titik kesetimbangan. 3.4.
Sistem dikatakan stabil jika akar-akar persamaan karakteristik dari suatu matriks mempunyai real nilai eigen negatif jika dan hanya jika elemen-elemen pada kolom pertama (a0, a1, b1, c1, …) memiliki tanda yang sama. IV. 4.1.
ANALISIS PEMBAHASAN Permodelan Matematika Penyebaran Flu Burung pada Populasi Unggas Penyebaran flu burung pada populasi unggas adalah penyebaran flu burung yang hanya melibatkan unggas saja tanpa melibatkan manusia
Definisi 2.4 [4] Jika J adalah matriks yang berukuran n×n maka vektor tak nol dinamakan vektor karakteristik dari J jika memenuhi : Jx = x (2.6) 2
dalam penyebarannya. Asumsi-asumsi penyebaran flu burung pada populasi unggas adalah sebagai berikut : Pada penyebaran flu burung, populasi unggas dibagi menjadi dua kelompok. Yang pertama adalah unggas susceptible, yaitu unggas yang sehat namun rentan terhadap penyakit. Jumlah unggas susceptible ini dinyatakan dengan . Kedua adalah unggas infective, yaitu unggas yang telah terinfeksi flu burung, dan dapat menularkan penyakitnya. Jumlah unggas infective ini dinyatakan dengan , sehingga jumlah unggas dalam suatu populasi adalah . Recruitment pada unggas berupa kelahiran atau imigrasi yang dinyatakan dengan . Unggas terinfeksi flu burung pada saat melakukan kontak dengan unggas infective sebesar . Unggas susceptible dapat mengalami kematian secara alami atau emigrasi yang dinyatakan dengan . Namun pada unggas infective selain mengalami kematian secara alami atau emigrasi, unggas tersebut juga mengalami kematian karena flu burung yang dinyatakan dengan . Dari asumsi-asumsi tersebut didapat model flu burung untuk unggas adalah tipe SI karena unggas yang terinfeksi diasumsikan mati (tidak dapat disembuhkan), sehingga didapat model kompartemen sebagai berikut :
Dengan daerah penyelesaian : 4.2.
Permodelan Matematika Penyebaran Flu Burung pada Populasi Manusia Penyebaran flu burung pada populasi manusia adalah penyebaran flu burung yang hanya melibatkan manusia. Secara teori, manusia terinfeksi virus flu burung yang telah bermutasi sehingga dapat menularkan pada manusia sehat lainnya. Namun karena infeksinya berasal dari kontak dengan manusia yang terinfeksi virus flu burung yang telah bermutasi dan bukan berasal dari unggas, maka populasi unggas dapat diabaikan. Asumsi-asumsi penyebaran flu burung pada populasi manusia adalah sebagai berikut : Pada penyebaran flu burung, populasi manusia dibagi menjadi tiga kelompok. Yang pertama adalah manusia susceptible, yaitu manusia yang sehat namun rentan terhadap penyakit. Jumlah manusia susceptible ini dinyatakan dengan . Kedua adalah manusia infective, yaitu manusia yang terinfeksi flu burung yang telah bermutasi, dan dapat menularkan penyakitnya pada manusia sehat lainnya. Jumlah manusia infective ini dinyatakan dengan . Ketiga adalah manusia recovered, yaitu manusia yang sembuh dan mendapat kekebalan setelah terkena flu burung. Jumlah manusia recovered ini dinyatakan dengan , sehingga jumlah manusia dalam suatu populasi adalah . Recruitment pada manusia berupa kelahiran atau imigrasi yang dinyatakan dengan . Manusia terinfeksi flu burung pada saat melakukan kontak dengan manusia infective sebesar . Manusia susceptible dapat mengalami kematian secara alami atau emigrasi yang dinyatakan dengan . Namun pada manusia infective selain mengalami kematian secara alami atau emigrasi, manusia tersebut juga mengalami kematian karena flu burung yang dinyatakan dengan . Setelah terinfeksi flu burung, manusia melakukan pengobatan sehingga menjadi sembuh dengan laju penyembuhan . Setelah sembuh maka kekebalan akan hilang dengan laju . Dari asumsi-asumsi tersebut didapat model flu burung untuk manusia adalah tipe SIRS karena manusia yang telah terkena flu burung dapat terserang flu burung lagi, sehingga didapat model kompartemen sebagai berikut :
Gambar 2. Kompartemen Penyebaran Flu Burung pada Populasi Unggas Dalam bentuk matematika, model penyebaran flu burung pada populasi unggas adalah :
Untuk memudahkan penyelesaian, maka model dinormalisasikan menjadi
3
lainnya. Namun karena infeksinya berasal dari kontak dengan unggas yang terinfeksi, maka penyebarannya melibatkan unggas. Supaya pada populasi unggas dan manusia dapat dihubungkan maka ada penambahan asumsi yaitu penambahan jumlah manusia pre-infective yang dinyatakan dengan , yaitu manusia yang telah terinfeksi flu burung yang belum bermutasi sehingga belum dapat menularkan penyakitnya pada manusia sehat lainnya. Manusia terinfeksi flu burung pada saat melakukan kontak dengan unggas infective sebesar dan laju mutasi yang dinyatakan dengan . Dengan menggabungkan flu burung yang terjadi pada populasi unggas dan populasi manusia, maka didapat model kompartemen sebagai berikut :
Gambar 3. Kompartemen Penyebaran Flu Burung pada Populasi Manusia Dalam bentuk matematika, model penyebaran flu burung pada populasi manusia adalah:
Untuk memudahkan penyelesaian, maka model dinormalisasikan menjadi
Dengan daerah penyelesaian :
Gambar 4. Kompartemen Penyebaran Flu Burung pada Populasi Campuran Dalam bentuk matematika, model penyebaran flu burung pada populasi campuran adalah :
4.3.
Permodelan Matematika Penyebaran Flu Burung pada Populasi Campuran Permodelan matematika penyebaran flu burung pada populasi campuran adalah menggabungkan penyebaran flu burung yang terjadi pada populasi unggas dan populasi manusia, karena penyebaran flu burung pada populasi manusia dipengaruhi oleh populasi unggas. Jadi dalam penyebarannya melibatkan dua populasi. Namun terdapat sedikit perbedaan yang terletak pada penularannya. Penyebaran flu burung pada populasi campuran adalah penyebaran flu burung yang melibatkan unggas dan manusia. Secara teori, ketika manusia melakukan kontak dengan unggas yang terinfeksi, virus tersebut belum bermutasi sehingga belum dapat menularkan pada manusia sehat lainnya. Ketika virus flu burung telah bermutasi, maka manusia yang terinfeksi flu burung itu dapat menularkan pada manusia sehat 4
Untuk memudahkan penyelesaian, maka model dinormalisasikan menjadi
Nilai eigen diperoleh dari dari persamaan karakteristik
Sehingga didapat
Titik kesetimbangan dari suatu sistem dikatakan stabil jika akar-akar persamaan karakteristik dari suatu matriks mempunyai nilai eigen dengan bagian real negatif. Berdasarkan nilai eigen berikut :
Dengan daerah penyelesaian :
dapat dianalisa sebagai
4.4. Analisis Stabilitas Populasi Unggas 4.4.1. Titik Kesetimbangan Nilai eigen Dengan mengambil , maka akan diperoleh titik kesetimbangan model.
bernilai positif jika
dan bernilai negatif jika
Oleh
karena itu Basic Reproduction Number (Rb0) adalah : .
Jika diambil , maka akan diperoleh titik kesetimbangan bebas penyakit, dimana pada keadaan ini semua unggas masuk ke dalam populasi susceptible dan tidak ada unggas infective yang dapat menyebarkan penyakit.
Nilai eigen diperoleh dari dari persamaan karakteristik
Sehingga didapat titik kesetimbangan bebas penyakit pada populasi unggas adalah .
Dengan nilai Jika diambil , maka dapat ditunjukkan terdapat unggas infective yang dapat menyebarkan penyakit dan menyebabkan endemik.
Dimana
Sehingga didapat titik kesetimbangan endemik pada populasi unggas adalah Titik kesetimbangan dari suatu sistem dikatakan stabil jika akar-akar persamaan karakteristik dari suatu matriks mempunyai nilai eigen dengan bagian real negatif jika dan hanya
4.4.2. Stabilitas Lokal Diberikan matriks Jacobian pada populasi unggas
Supaya
5
, maka
Sehingga didapat Ketika
atau ,
maka
. Titik kesetimbangan dari suatu sistem dikatakan stabil jika akar-akar persamaan karakteristik dari suatu matriks mempunyai nilai eigen dengan bagian real negatif.
4.5. Analisis Stabilitas Populasi Manusia 4.5.1. Titik Kesetimbangan Dengan mengambil , maka akan diperoleh titik kesetimbangan model.
Berdasarkan nilai eigen berikut :
Jika diambil , maka akan diperoleh titik kesetimbangan bebas penyakit, dimana pada keadaan ini semua manusia masuk ke dalam populasi susceptible dan tidak ada manusia infective yang dapat menyebarkan penyakit. Sehingga didapat titik kesetimbangan bebas penyakit pada populasi manusia adalah .
Nilai eigen
dapat dianalisa sebagai
bernilai positif jika
dan bernilai negatif jika Jika diambil , maka dapat ditunjukkan terdapat manusia infective yang dapat menyebarkan penyakit dan menyebabkan endemik.
Oleh
karena itu Basic Reproduction Number (Rh0) adalah :
Sehingga didapat titik kesetimbangan endemik pada populasi manusia adalah dengan
Nilai eigen diperoleh dari dari persamaan karakteristik Dengan nilai
4.5.2. Stabilitas Lokal Diberikan matriks Jacobian manusia
pada
Dimana
populasi
Titik kesetimbangan dari suatu sistem dikatakan stabil jika akar-akar persamaan karakteristik dari suatu matriks mempunyai nilai eigen dengan bagian real negatif jika dan hanya Supaya
Nilai eigen diperoleh dari dari persamaan karakteristik 6
maka
dan
Ketika
atau ,
4.6.2. Stabilitas Lokal
maka
Diberikan campuran
matriks
Jacobian
pada
populasi
4.6. Analisis Stabilitas Populasi Campuran 4.6.1. Titik Kesetimbangan Dengan
mengambil
, maka akan diperoleh titik kesetimbangan model. Nilai eigen diperoleh dari dari persamaan karakteristik
Jika diambil dan maka akan diperoleh titik kesetimbangan bebas penyakit, dimana pada keadaan ini semua unggas dan manusia masuk ke dalam populasi susceptible dan tidak ada unggas maupun manusia infective yang dapat menyebarkan penyakit. Dengan demikian tidak ada populasi manusia yang sembuh dari penyakit (tidak ada manusia recovered atau ).
Sehingga didapat
Sehingga didapat titik kesetimbangan bebas penyakit pada populasi campuran adalah . Jika diambil dan , maka dapat ditunjukkan terdapat unggas infective dan manusia infective yang dapat menyebarkan penyakit dan menyebabkan endemik. Sehingga didapat titik kesetimbangan endemik pada populasi campuran adalah dengan
Titik kesetimbangan dari suatu sistem dikatakan stabil jika akar-akar persamaan karakteristik dari suatu matriks mempunyai nilai eigen dengan bagian real negatif. Berdasarkan nilai eigen berikut :
Dengan 7
dapat dianalisa sebagai
Nilai eigen
bernilai positif jika
bernilai negatif jika
suatu matriks mempunyai nilai eigen dengan bagian real negatif jika dan hanya
dan
Oleh karena itu
Basic Reproduction Number (Rbh0) adalah : Supaya Berdasarkan nilai eigen berikut :
dapat dianalisa sebagai
, Maka
Nilai eigen
bernilai positif jika
dan bernilai negatif jika
Oleh Ketika
karena itu Basic Reproduction Number (Rh0) adalah :
atau
,
maka . Ketika
atau maka
0, 1 2− 0 3>0,
Nilai eigen diperoleh dari dari persamaan karakteristik
. 4.7.
Dengan nilai
Simulasi pada Populasi Unggas
Dengan mengambil parameter Dengan nilai awal Didapat Maka didapat grafik kestabilan
Gambar 5. Grafik Kestabilan Penyebaran Flu Burung pada Populasi Unggas Dimana
Laju Pertumbuhan Unggas Susceptible Pada awal laju pertumbuhannya, unggas susceptible mengalami kenaikan karena laju kelahiran atau imigrasi yang lebih besar daripada laju infeksi. Kemudian unggas susceptible mengalami penurunan karena unggas susceptible terinfeksi dan menjadi unggas infective.
Titik kesetimbangan dari suatu sistem dikatakan stabil jika akar-akar persamaan karakteristik dari 8
Kemudian unggas susceptible mengalami kenaikan karena kelahiran atau imigrasi. Kemudian unggas susceptible mengalami penurunan karena mati atau emigrasi. Kemudian konstan karena tidak ada pengurangan pada unggas susceptible yang terinfeksi.
dari manusia susceptible yang terinfeksi dan tidak ada pengurangan pada manusia infective yang sembuh. Karena konstan pada titik nol maka dapat diartikan manusia infective telah habis. Laju Pertumbuhan Manusia Recovered Pada awal laju pertumbuhannya, manusia recovered mengalami penurunan karena manusia recovered telah hilang kekebalannya dan menjadi manusia susceptible. Kemudian konstan karena tidak ada penambahan dari manusia infective yang sembuh dan tidak ada pengurangan pada manusia recovered yang telah hilang kekebalannya. Karena konstan pada titik nol maka dapat diartikan manusia recovered telah habis.
Laju Pertumbuhan Unggas Infective Pada awal laju pertumbuhannya, unggas infective mengalami penurunan karena mati atau emigrasi. Kemudian unggas infective mengalami kenaikan karena unggas susceptible terinfeksi dan menjadi unggas infective. Kemudian unggas infective mengalami penurunan karena mati atau emigrasi. Kemudian konstan karena tidak ada penambahan dari unggas susceptible yang terinfeksi.
4.9. Simulasi pada Populasi Campuran Dengan mengambil parameter
4.8. Simulasi pada Populasi Manusia Dengan mengambil parameter
Dengan nilai awal Dengan nilai awal Didapat Maka didapat grafik kestabilan
Didapat dan Maka didapat grafik kestabilan
Gambar 6. Grafik Kestabilan Penyebaran Flu Burung pada Populasi Manusia
Gambar 7. Grafik Kestabilan Penyebaran Flu Burung pada Populasi Campuran
Laju Pertumbuhan Manusia Susceptible Pada awal laju pertumbuhannya, manusia susceptible mengalami penurunan selain karena laju kelahiran atau imigrasi yang lebih kecil daripada laju infeksi, manusia susceptible terinfeksi dan menjadi manusia infective. Kemudian konstan karena tidak ada penambahan dari manusia recovered yang telah hilang kekebalannya dan tidak ada pengurangan pada manusia susceptible yang terinfeksi.
Laju Pertumbuhan Unggas Infective Pada awal laju pertumbuhannya, unggas infective mengalami kenaikan karena laju infeksi lebih besar daripada laju kematian atau emigrasi serta kematian akibat flu burung. Kemudian konstan karena tidak ada penambahan dari unggas susceptible yang terinfeksi. Laju Pertumbuhan Manusia Susceptible Pada awal laju pertumbuhannya, manusia susceptible mengalami kenaikan karena manusia recovered telah hilang kekebalannya dan menjadi manusia susceptible. Kemudian mengalami penurunan karena manusia susceptible terinfeksi dan menjadi manusia pre-infective dan infective. Kemudian konstan karena tidak ada penambahan
Laju Pertumbuhan Manusia Infective Pada awal laju pertumbuhannya, manusia infective mengalami penurunan karena manusia infective sembuh dan menjadi manusia recovered. Kemudian konstan karena tidak ada penambahan 9
dari manusia recovered yang telah hilang kekebalannya dan tidak ada pengurangan pada manusia susceptible yang terinfeksi.
infective berkurang sehingga flu burung akan menurun dan tidak terjadi penyebaran (endemik) pada populasi manusia. 2. Jika maka didapat Titik kesetimbangan endemik stabil yang berarti jumlah manusia infective bertambah sehingga flu burung akan meningkat dan terjadi penyebaran (endemik) pada populasi manusia.
Laju Pertumbuhan Manusia Pre-Infective Pada awal laju pertumbuhannya, manusia preinfective mengalami kenaikan karena manusia susceptible terinfeksi dan menjadi manusia preinfective. Kemudian konstan karena tidak ada penambahan dari manusia susceptible yang terinfeksi dan tidak ada pengurangan pada manusia pre-infective yang bermutasi.
Pengaruh titik kesetimbangan pada kestabilan lokal adalah pada populasi campuran adalah :
Laju Pertumbuhan Manusia Infective Pada awal laju pertumbuhannya, manusia infective mengalami kenaikan selain karena manusia susceptible terinfeksi dan menjadi manusia infective, manusia pre-infective bermutasi dan menjadi manusia infective. Kemudian konstan karena tidak ada penambahan dari manusia susceptible yang terinfeksi, manusia pre-infecive yang bermutasi, dan tidak ada pengurangan pada manusia infective yang sembuh.
1. Jika
maka didapat . Titik kesetimbangan bebas penyakit stabil yang berarti jumlah unggas infective dan manusia infective berkurang sehingga flu burung akan menurun dan tidak terjadi penyebaran (endemik) pada populasi manusia. 2. Jika dan maka didapat . Titik kesetimbangan endemik stabil yang berarti jumlah unggas infective dan manusia infective bertambah sehingga flu burung akan meningkat dan terjadi penyebaran (endemik) pada populasi manusia.
Laju Pertumbuhan Manusia Recovered Pada awal laju pertumbuhannya, manusia recovered mengalami kenaikan karena manusia infective sembuh dan menjadi manusia recovered. Kemudian konstan karena tidak ada penambahan dari manusia infective yang sembuh dan tidak ada pengurangan pada manusia recovered yang telah hilang kekebalannya. V.
dan
Pada pembahasan Tugas Akhir ini telah dijelaskan model matematika flu burung untuk mengetahui adanya penyebaran atau tidak sehingga untuk lebih kedepannya dapat diteliti lebih lanjut pada upaya pengendalian dan pencegahannya.
KESIMPULAN DAN SARAN
Pengaruh titik kesetimbangan pada kestabilan lokal adalah pada populasi unggas adalah :
VI.
1. Jika maka didapat Titik kesetimbangan bebas penyakit stabil yang berarti jumlah unggas infective berkurang sehingga flu burung akan menurun dan tidak terjadi penyebaran (endemik) pada populasi unggas. 2. Jika maka didapat . Titik kesetimbangan endemik stabil yang berarti jumlah unggas infective bertambah sehingga flu burung akan meningkat dan terjadi penyebaran (endemik) pada populasi unggas.
[1]
[2]
[3]
[4]
Pengaruh titik kesetimbangan pada kestabilan lokal adalah pada populasi manusia adalah : 1. Jika
maka didapat . Titik kesetimbangan bebas penyakit stabil yang berarti jumlah manusia
[5] 10
DAFTAR PUSTAKA Badan Penelitian dan Pengembangan Kesehatan, Depkes RI. 20 Februari 2010. Flu Burung,
De Leon, C.V. 2009. Constructions of Lyapunov Functions for Classics SIS, SIR and SIRS Epidemic model with Variable Population Size. Derouich, M. dan Boutayeb, A. 2008. An Avian Influenza Mathematical Model. Finizio, N. dan Landas, G. 1988. Ordinary Differential Equations with Modern Applications. California: Wadsworth Publishing Company. Hamid. 2006. Analisa Kualitatif Model Matematika Penyebaran Penyakit
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
Influenza dengan Vaksinasi. Thesis Jurusan Matematika ITS. Surabaya. Iwami, S. Takeuchi, Y. Liu, X. 2007. Avian-human Influenza Epidemic Model. Kristianto, D.A. 2009. Analisis Model Perkembangan Virus HCV Type 4A pada Penyebaran Penyakit Hepatitis C. Tugas Akhir Jurusan Matematika ITS. Surabaya. Ma, Z. dan Li, J. 2009. Dynamical Modeling and Analysis of Epidemics. Singapore: World Scientific Publishing. Mairides, H. 2008. Model Penyebaran Avian Flu di Cikelet Jawa Barat. Tugas Akhir Jurusan Matematika ITB. Bandung Radji, M. 2006. Avian Influenza A (H5N1): Patogenesis, Pencegahan, dan Penyebaran pada Manusia. Wikipedia. 19 Januari 2010. Flu Burung,
11
