TUGAS AKHIR
ANALISIS STABILITAS DAN OPTIMAL KONTROL PADA NYAMUK AEDES AEGYPTI DENGAN TEKNIK STERILISASI SERANGGA DAN INSEKTISIDA Oleh Erdina Sri Febriyanti NRP. 1207100028 Dosen Pembimbing Dr. Erna Apriliani, M.Si Drs. Setijo Winarko, M.Si
ABSTRAK Teori optimal kontrol sering diaplikasikan pada berbagai cabang ilmu. Salah satunya, teori optimal kontrol diterapkan pada pengendalian populasi nyamuk Aedes Aegypti. Gigitan nyamuk Aedes Aegypti (betina) menyebabkan terjangkitnya penyakit Demam Berdarah Dengue (DBD). Untuk dapat menekan jumlah penderita DBD maka dilakukan suatu metode yang dapat mengendalikan populasi nyamuk Aedes Aegypti. Sterile Insect Technique (SIT) merupakan teknik pengendalian secara biologi dengan memberikan mutagen atau radiasi gamma pada nyamuk jantan sehingga menjadi steril. Nyamuk steril inilah yang nantinya akan dilepaskan ke lingkungan untuk kawin dengan nyamuk normal sehingga nyamuk normal akan menjadi steril, sedangkan Insektisida merupakan teknik pengendalian secara kimia. Pada tugas akhir ini pengendalian populasi nyamuk Aedes Aegypti dilakukan dengan menerapkan Sterile Insect Technique dan insektisida untuk menganalisis upaya minimal dalam mengurangi nyamuk betina subur, sehingga diperoleh kontrol yang optimal dengan mempertimbangkan biaya fungsional seperti biaya penerapan insektisida, biaya produksi nyamuk steril dan pelepasannya, serta biaya sosial. Optimal kontrol diperoleh dengan menerapkan Prinsip Maksimum Pontryagin. Kata Kunci : Sterile Insect Technique, Insektisida, Optimal Kontrol, Prinsip Maksimum Pontriyagin
PENDAHULUAN Demam Berdarah Dengue Sejak tahun 1968 hingga tahun 2009, WHO mencatat Indonesia sebagai negara dengan kasus Demam Berdarah tertinggi di Asia Tenggara Th.1998 sebanyak 2.133 korban terjangkit penyakit DBD dengan jumlah korban meninggal 1.414 jiwa
Mengurangi Populasi Nyamuk
Sterile Insect Technique (SIT) dan Insektisida
RUMUSAN MASALAH 1. Bagaimana menentukan stabilitas pada model populasi nyamuk Aedes Aegypti? 2. Bagaimana mendapatkan kontrol yang optimal dari model populasi nyamuk Aedes Aegypti dengan Sterile Insect Technique dan Insektisida?
BATASAN MASALAH 1. State dipengaruhi oleh waktu (t) dalam keadaan kontinu 2. Sistem dalam keadaan terkontrol dan lama waktu penerapan SIT dan insektisida berada pada interval waktu tertentu 3. Kontrol yang dapat diterima (admissible control) disimbolkan dengan u1 dan u2 dalam keadaan terbatas dan kontinu pada dan . 4. Model dasar sistem dan parameter yang digunakan diambil dari referensi 5. Simulasi dilakukan dengan menggunakan toolbox DotcvpSB dengan MATLAB 7.0
TUJUAN 1. Mendapatkan jenis kestabilan pada model populasi nyamuk Aedes Aegypti 2. Mendapatkan bentuk kontrol yang optimal dari penggunaan Sterile Insect Technique dan Insektisida pada model pengendalian nyamuk Aedes Aegypti
MANFAAT Manfaat dalam Tugas Akhir ini adalah memberikan pengetahuan tentang pengendalian optimal dari populasi nyamuk Aedes Aegypti dengan metode Sterile Insect Technique dan Insektisida dengan biaya yang minimum sehingga jumlah populasi nyamuk dapat berkurang
TINJAUAN PUSTAKA STERILE INSECT TECHNIQUE Merupakan metode pengendalian serangga secara biologi dengan penggunaan mutagen atau radiasi gamma yang diberikan kepada serangga (nyamuk jantan) sehingga nyamuk tersebut menjadi steril. Nyamuk steril inilah yang akan dilepaskan ke alam bebas untuk kawin dengan nyamuk betina normal sehingga nyamuk betina tersebut menjadi steril dan telur yang dihasilkan tidak akan menetas. Hal ini berlaku juga secara timbal balik
INSEKTISIDA merupakan suatu senyawa kimia yang digunakan untuk membunuh serangga pengganggu. Ada dua mekanisme untuk membunuh serangga yaitu dengan meracuni makanannya atau dengan langsung meracuni serangga tersebut
Model Populasi Nyamuk AedesAegypti (2.1) (2.2) (2.3) (2.4)
(2.5)
Model Populasi Nyamuk AedesAegypti dengan Pengontrol (2.6) (2.7) (2.8) (2.9) (2.10) Tujuan akhir dari pengendalian nyamuk Aedes Aegypti dengan SIT dan Insektisida adalah untuk mendapatkan bentuk yang optimal sehingga meminimalkan biaya dengan kontrol dengan F diminimalkan dan dimaksimalkan. Sehingga bentuk indek performancenya adalah [3] :
(2.11)
Dengan : A : Populasi nyamuk pada belum dewasa (telur, larva dan pupa) I : Populasi betina belum kawin F : Populasi betina subur M : Populasi nyamuk jantan normal : Populasi nyamuk jantan steril : Laju kematian nyamuk belum dewasa : Laju kematian betina belum kawin : Laju kematian betina subur : Laju kematian jantan normal : Laju kematian jantan steril α : Rata-rata dimana jantan steril dilepaskan : Tingkat kawin nyamuk normal : Tingkat kawin betina normal dengan jantan steril : Tingkat oviposisi nyamuk betina C : Carrying capacity : Populasi nyamuk belum dewasa yang berhasil menjadi nyamuk dewasa : Proporsi nyamuk betina : Proporsi nyamuk jantan : Kuantitas insektisida yang diterapkan : Banyaknya nyamuk yang disterilkan dan dilepaskan : faktor penyeimbang biaya
Titik Setimbang dan Kestabilan Lokal Suatu sistem persamaan diferensial berbentuk
2.12 Sebuah titik
merupakan titik kesetimbangan dari
(2.12) jika memenuhi
, ,
, dan
Kestabilan suatu titik setimbang dapat diperiksa dari akar – akar karakteristik (nilai eigen ) dengan menyelesaikan dengan A adalah matrik dari sistem persamaan differential (2.12) yang linear dan berukuran 5x5 berdasarkan tanda bagian Sifat stabilitas titik setimbang real nilai eigen dibagi menjadi 3 yaitu : 1. Stabil Titik Setimbang dikatakan stabil jika dan hanya jika akar karakteristik (nilai eigen ) adalah real dan negatif atau mempunyai bagian real tak positif. 2. Stabil Asimtotis Titik Setimbang dikatakan stabil asimtotis jika dan hanya jika akar karakteristik (nilai eigen ) adalah real dan negatif atau mempunyai bagian real negatif. 3. Tidak Stabil Titik Setimbang dikatakan tidak stabil jika dan hanya jika akar karakteristik (nilai eigen ) adalah real dan positif atau mempunyai paling sedikit satu niai eigen dengan bagian real positif.
Kriteria kestabilan Routh – Hurwitz adalah suatu metode untuk menunjukkan kestabilan sistem dengan memperhatikan koefisien dari persamaan karakteristik tanpa menghitung akar-akar karakteristik secara langsung. Jika diketahui suatu persamaan karakteristik dengan orde ke-n sebagai berikut : . Kemudian susun koefisien persamaan karakteristik menjadi : Tabel 2.1 Tabel Routh – Hurwitz sistem dikatakan stabil atau mempunyai bagian real negatif jika dan hanya jika elemen – elemen pada kolom pertama memiliki tanda yang sama dengan
Untuk sistem tak linear harus dilinearkan sehingga didapatkan bentuk sistem linear. Tinjau kembali persamaan (2.12) dimana f, g, h, i dan j adalah persamaaan nonlinear dan adalah titik setimbang dari persamaan (2.12). Dalam hal ini matriks
disebut matriks Jacobian disekitar titik setimbang
Kestabilan Global Sistem Taklinear Kestabilan global dari titik kesetimbangan dapat ditentukan dengan menggunakan fungsi Lyapunov Definisi 2.3 Diketahui
, misalkan
memuat titik setimbang Suatu fungsi
dari
adalah subhimpunan terbuka dari dengan
adalah fungsi Lyapunov dalam
dan
yang .
jika :
a. b. c. d. Dari definisi 2.3, jika a, b dan c terpenuhi maka stabil, jika d terpenuhi maka stabil asimtotis, sedangkan jika b dan d terpenuhi maka global. [14]
stabil asimtotis
Masalah Optimal Kontrol Pada prinsipnya, tujuan dari optimal kontrol adalah menentukan signal yang akan diproses dalam plant dan memenuhi konstrain fisik. Kemudian pada waktu yang sama dapat ditentukan ekstrim (maksimum/minimum) yang sesuai dengan kriteria performance index. Secara umum, formulasi yang dapat diberikan pada permasalahan optimal kontrol adalah (Naidu, 2002) : 1. Mendiskripsikan secara matematik artinya diperoleh metode matematika dari proses terjadinya pengendalian (secara umum dalam bentuk variabel keadaan). 2. Spesifikasi dari performance index 3. Menentukan kondisi batas dan konstrain fisik pada keadaan (state) dan atau kontrol. Dengan tujuan mencari kontrol yang mengoptimalkan (memaksimumkan atau meminimumkan) performance index (2.17) Dengan kendala (2.18)
Prinsip Maksimum Pontryagin Prinsip Maksimum Pontryagin merupakan suatu kondisi sehingga dapat diperoleh penyelesaian optimal kontrol yang sesuai dengan tujuan. (memaksimalkan performance index). Misal diberikan permasalahan dengan suatu kontrol yang terbatas sebagai berikut :
Didefinisikan persamaan Hamiltonian Untuk kondisi pada persamaan Hamiltonian tersebut digeneralisasi dengan memaksimumkan fungsi tujuan (2.19) yang dapat dinyatakan sebagai berikut max
(2.29)
kendala
(2.30)
LANJUTAN……. Persamaan Lagrangian yang terbentuk dari (2.29) dan (2.30) adalah
Dengan
supaya optimal maka harus memenuhi persamaan 1. Kondisi Stationer (2.31) 2. Persamaan Keadan
Dengan dan Dari persamaan (2.31) dapat diperoleh bentuk optimal kontrol
.
METODE PENELITIAN Metode yang digunakan untuk memecahkan permasalahan dalam tugas akhir ini adalah sebagai berikut: 1. Mencari Titik Setimbang 2. Analisis Stabilitas Model Populasi Nyamuk Aedes Aegypti
3. Penyelesaian Optimal Kontrol 4. Simulasi 5. Analisis Hasil Penyelesaian dan Simulasi
Daerah Penyelesaian Model
Titik Setimbang Model Titik setimbang adalah titik yang invariant terhadap waktu. Dengan demikian pada persamaan (2.1) - (2.5) titik-titik setimbang diperoleh dari sehingga persamaan (2.1) - (2.5) menjadi
Titik Setimbang Bebas Penyakit Pada saat adalah suatu keadaan dimana tidak terjadi penyebaran penyakit yang disebabkan nyamuk Aedes Aegypti. Sehingga didapatkan titik setimbang bebas penyakit
Titik Setimbang Endemik Titik setimbang endemik yaitu suatu kondisi dimana penyakit selalu ada dalam populasi tersebut. Titik setimbang endemik dipengaruhi oleh populasi nyamuk betina subur dengan . Sehingga diperoleh titik setimbang dengan mengambil
Maka didapatkan
adalah penyelesaian dari persamaan differential orde 2 (4.12) Dengan
Dari (4.7) diketahui bahwa penyelesaian titik setimbang non trivial positif dan memenuhi . Misalkan
Merupakan rata-rata jumlah betina yang berhasil dilahirkan oleh induknya
Merupakan rasio tingkat kawin dari betina dengan jantan steril dan jantan normal Sehingga persamaan (4.10) menjadi
mempunyai satu atau 2 akar pada interval (0,C) jika dan hanya jika
Dari syarat tersebut diperoleh (4.17)
Sehingga
(4.18) mempunyai 2 akar yaitu
Jadi titik setimbang endemik adalah
Kestabilan Lokal Titik Setimbang Bebas Penyakit Titik setimbang
Nilai eigen diperoleh dari
mempunyai matrik Jacobian
: maka
Sehingga didapat
bernilai negatif pada bagian realnya maka berdasarkan sifat stabilitas titik setimbang berdasarkan akar – akar karakteristik (nilai eigen ) maka titik setimbang stabil asimtotis.
Kestabilan Lokal Titik Setimbang Endemik Pada titik setimbang
Nilai eigen diperoleh dari
matrik Jacobiannya adalah
: maka
Pada hasil tersebut dapat diketahui bahwa matrik jacobian pada titik setimbang nilai eigen selanjutnya diperoleh dari :
merupakan nilai eigen dari .Sehingga untuk 4
LANJUTAN…………..
Sehingga diperoleh bentuk polynomial Dengan
