Oleh: Shelvi Sheptianti 1206 100 065 Dosen Pembimbing : Dr. Erna Apriliani, M.Si Drs. M. Setijo Winarko, M.Si
Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya 2011
RUMUSAN MASALAH Diberikan model Pengendalian SARS dengan Kontrol Karantina dan Isolasi :
(1.1)
Meminimalkan Perfomance Index (Fungsional)
(1.2)
LATAR BELAKANG SARS Coronavirus
Pencegahan
Epidemik SARS
Karantina terhadap individu yang terdeteksi virus SARS dan isolasi terhadap individu yang terdiagnosa SARS
Sistem persamaan differensial tak linear
sebagai plant Meminimumkan Performance Indeks
Optimal Control yang dependent
Solusi yang tepat
Berdasarkan model pada persamaan (1.1) maka permasalahan pada penelitian ini adalah : 1. Bagaimana bentuk optimal kontrol dari penanganan isolasi dan karantina pada model epidemik SARS sehingga dapat meminimumkan jumlah populasi yang terdeteksi, terkarantina, terinfeksi dan terisolasi SARS. 2. Bagaimana performansi dari state variable, dan optimal control yang didapatkan.
BATASAN MASALAH Batasan yang digunakan dalam permasalahan di atas adalah • Kontrol yang dapat diterima (admissble control) yang disimbolkan dalam keadaan terbatas dan kontinu pada • State yang dipengaruhi oleh waktu (t) dalam keadaan kontinu • Sistem dalam keadaan terkontrol dan lama waktu tunggu untuk dikarantina dan diisolasi pada interval waktu tertentu • Simulasi dilakukan dengan menggunakan software DOTcvpSB versi R2010_E3.
TUJUAN 1. Mengetahui bentuk optimal kontrol dari penanganan isolasi dan karantina pada model epidemik SARS sehingga dapat meminimumkan jumlah populasi yang terdeteksi, terkarantina, terinfeksi, dan terisolasi SARS. 2. Mengetahui performansi dari state variabel, dan optimal control yang didapatkan.
MANFAAT Manfaat dari penulisan tugas akhir ini adalah untuk memberikan pengetahuan kepada pihak / badan kesehatan tentang cara penanganan penyakit epidemik tanpa adanya obat-obatan dan vaksin yang valid dengan menggunakan program karantina dan isolasi sehingga dapat meminimumkan jumlah populasi yang terdeteksi, terkarantina, terinfeksi dan terisolasi SARS.
TINJAUAN PUSTAKA Titik Setimbang dan Kestabilannya Stabil Titik Setimbang
Sifat
Stabil Asimtotis
Tidak Stabil Untuk sistem taklinear, akar karakteristik diperoleh dengan melinearkan terlebih dahulu sehingga didapatkan bentuk sistem linear.
titik simpul Titik setimbang dari sistem taklinear
titik pelana titik fokus
Kriteria Kestabilan Routh – Hurwitz Kriteria kestabilan Routh-Hurwitz adalah suatu metode untuk menunjukkan kestabilan sistem dengan memperhatikan koefisien dari persamaan karakteristik tanpa menghitung akar-akar karakteristik secara langsung.
Teori Optimal Control Dalam teori kontrol modern, persoalan optimal control adalah untuk mendapatkan kontrol pada sistem dinamik yang sesuai dengan target atau variabel keadaan dan pada waktu yang sama dapat dilakukan optimasi maksimum/minimum pada performance index. Beberapa bentuk performance index: 1. Performance Index for time Optimal Control System 2. Performance Index for Fuel Optimal Control System 3. Performance Index for Minimum Energy Control System 4. Performance Index for General Optimal Control System Pada prinsipnya, tujuan dari optimal control adalah menentukan signal yang akan diproses dalam plant (sistem) dan memenuhi konstrain fisik. Kemudian, pada waktu yang sama dapat ditentukan ekstrim (maksimum/minimum) yang sesuai dengan kriteria performance index.
Pontryagin Maximum Principle dengan Kontrol Terbatas Perhatikan permasalahan berikut ini: t1
max f ( x, u, t )dt
kendala x g ( x, u, t ) x(t 0 ) x0 a u b
t0
Persamaan Hamiltonian yang terbentuk H f ( x, u, t ) g ( x, u, t ) Persamaan Lagrangian yang terbentuk L f ( x, u, t ) g ( x, u, t ) w1 (b u) w2 (u a) dengan Supaya optimal jika memenuhi persamaan w1 0, w2 0 1. Kondisi stasioner w (b u ) 0 1
w2 (u a) 0
L fu ( x, u, t ) gu ( x, u, t ) w1 w2 0 u
dapat diperoleh penyelesaian optimal control 2. Persamaan Keadaan L L x x
dengan x(t 0 ) x0 dan (t1 ) 0
(u * )
Akan tetapi, sebelum melakukan penyelesaian optimal control pada suatu model maka terlebih dahulu seharusnya dilakukan identifikasi mengenai eksistensi optimal control. Jika plant dalam keadaan kontinu dan terbatas, kemudian fungsi pada integral performance index harus concave dan terbatas maka eksistensi optimal control dapat diidentifikasi. Tetapi, kontrol yang dapat diterima (u* ) harus dalam keadaan convex dan tertutup (Kamien, 1991).
Teorema Pendukung Penyelesaian 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Himpunan tertutup dan terbuka dalam R Fungsi Kontinu Fungsi Terbatas Fungsi Lipshitz Convex Fungsi Konkaf
Metode Penelitian Metode yang digunakan pada tugas akhir dalam menyelesaikan permasalahan adalah : 1. Studi literatur 2. Analisis model 3. Penyelesaian optimal control 4. Penarikan kesimpulan
ANALISIS DAN PEMBAHASAN Deskripsi Model SARS tanpa Kontrol Karantina dan Isolasi 1.
Populasi SARS dibagi menjadi empat kelas yaitu kelas Susceptible, Exposed, Infectious, dan Recovered. Jumlah total populasi yang bergantung pada waktu diberikan N(t)=S(t)+E(t)+I(t)+R(t). Diasumsikan bahwa individu Susceptible dapat terinfeksi SARS melalui kontak dengan individu Exposed (terdeteksi SARS tetapi belum mengembangkan gejala klinis SARS yang terinfeksi SARS. 2. Populasi Susceptible meningkat dengan adanya laju rekruitment dari individu yang masuk ke dalam suatu wilayah dan menurun dengan laju kematian alami. Kontak langsung antara individu Susceptible dengan individu yang terinfeksi akan mengakibatkan individu ini ikut terinfeksi dan berdampak populasi ini berkurang. Koefisien transmisi kelas Susceptible dan Exposed ini berturut-turut adalah dan 3. Individu ini terdeteksi sudah terinfeksi tetapi belum menginfeksi (Exposed (E)) namun secara medis gejala penyakit SARS belum menyebar. Total populasi ini dinotasikan E, dan berkembangnya gejala medis ( ), dan menurun dengan laju kematian alami ( ).
Deskripsi Model SARS tanpa Kontrol Karantina dan Isolasi 4. Individu terinfeksi (Infectious (I)) ini muncul setelah berkembangnya gejala medis penyakit SARS oleh kelas terdeteksi sebanyak . Populasi I ini berkurang oleh adanya kematian akibat penyakit SARS ( ) dan penyembuhan penyakit , dan menurun dengan kematian alami ( ). 5. Populasi sembuh (Recovery) ini disimbolkan dengan notasi R dan diasumsikan bahwa individu ini mempunyai imunisasi tahan lama untuk melawan SARS. Populasi berasal dari individu terinfeksi (I) yang sembuh dari penyakit SARS dengan laju rata-rata dan menurun karena adanya laju kematian alami ( ). Dengan demikian keseluruhan model transmisi epidemik SARS tanpa Kontrol Karantina dan Isolasi:
Daerah Penyelesaian Model SARS tanpa Kontrol Karantina dan Isolasi
Titik Setimbang dari Model a. Titik Setimbang Bebas Penyakit b. Titik Setimbang Endemik Dengan
Kestabilan Lokal Model SARS tanpa Kontrol Karantina dan Isolasi
Setelah itu dicari nilai eigen matriks Jacobian dari model SARS tanpa Kontrol Karantina dan Isolasi. Akan ditinjau dua kasus yaitu kestabilan titik setimbang bebas penyakit (disease-free equilibrium), dan kestabilan titik setimbang endemik.
a. Titik Setimbang Bebas Penyakit
Dengan
Stabil jika
Untuk titik setimbang
: dengan :
Stabil jika
Deskripsi Model SARS dengan Kontrol Karantina dan Isolasi 1. Populasi SARS dibagi menjadi enam kelas yaitu kelas S, E , Q, I, J, dan R Jumlah total populasi yang bergantung pada waktu diberikan dengan N(t) = S(t)+E(t)+Q(t)+I(t)+J(t)+R(t). Diasumsikan bahwa individu susceptible dapat terinfeksi SARS melalui kontak dengan individu exposed (terdeteksi SARS tetapi belum mengembangkan gejala klinis SARS), individu yang dikarantina, individu yang terinfeksi SARS, dan individu yang diisolasi. 2. Susceptible beresiko tinggi terinfeksi SARS. Populasi Susceptible meningkat dengan adanya laju rekruitment individu yang masuk ke dalam suatu wilayah dan menurun dengan laju kematian alami. Laju rekruitment meliputi kelahiran, imigrasi, dan emigrasi. Kontak langsung antara individu ini dengan individu yang terinfeksi akan mengakibatkan individu ini ikut terinfeksi dan berdampak populasi ini berkurang. Individu terinfeksi yang dimaksud meliputi individu di kelas terdeteksi, individu yang menunjukkan telah terinfeksi, individu karantina dan isolasi.
3. Exposed Individu ini terdeteksi sudah terinfeksi tetapi belum menginfeksi (Exposed (E)) namun secara medis gejala penyakit SARS belum menyebar.Total populasi ini dinotasikan E, dan berkembangnya gejala medis ( ), dan berkurang dengan adanya kontrol karantina dari orang-orang yang sudah terdeteksi ( ) dan kematian alami ( ). Parameter adalah kontrol karantina yang merupakan laju rata-rata karantina (1/hari).Pergerakan keluar dari kompartemen E ke kompartemen Q adalah yang merupakan waktu tunggu yang berdistribusi eksponensial di kelas E (Brauer, F. dan Castillo-Chavez, C., (2001)). Dengan kata lain, rata-rata transfer adalah probabilitas masih berada dalam kelas exposed selama unit t kemudian memasuki kelas karantina dan adalah rata-rata waktu tunggu sebelum dikarantina (Brauer, F. dan Castillo-Chavez, C., (2001)). 4. Karantina Individu yang sudah teredeteksi selanjutnya akan dikarantina karena individu ini ditetapkan telah mempunyai kontak dengan sumber virus. Dalam kelas karantina, populasi Q ini berkurang karena berkembangnya gejala medis sebanyak sebelum ke kelas isolasi dan berkurang dengan kematian alami. Di kelas karantina ini dilakukan program karantina, seminar mengenai penyakit SARS, monitoring terhadap individu yang dikarantina.
3. Infeksi Individu terinfeksi (Infectious (I)) ini muncul setelah berkembangnya gejala medis penyakit SARS oleh kelas terdeteksi sebanyak . Populasi I ini berkurang oleh adanya kontrol isolasi ( ), kematian karena dari penyakit SARS ( ) dan penyembuhan penyakit , dan berkurang dengan kematian alami ( ). Sedangkan kontrol isolasi ( ) mewakili rata-rata individu yang terinfeksi yang sedang melakukan perawatan medis dan dimasukkan ke dalam kelas isolasi dan dilakukan proses isolasi. Parameter adalah kontrol isolasi yang merupakan laju rata-rata isolasi (1/hari). Pergerakan keluar dari kompartemen I ke kompartemen J adalah yang merupakan waktu tunggu yang berdistribusi eksponensial di kelas I (Brauer, F. dan Castillo-Chavez, C., (2001)). Dengan kata lain, rata-rata transfer adalah probabilitas masih berada dalam kelas infectious selama unit t kemudian memasuki kelas isolasi dan adalah ratarata waktu tunggu sebelum diisolasi (Brauer, F. dan Castillo-Chavez, C., (2001)).
5. Isolasi Secara medis, gejala penyakit pada individu yang terisolasi (J) ini sudah berkembang, dengan mengisolasi penderita di rumah sakit (hospitalization). Populasi dalam kelas ini berasal dari kelas yang terinfeksi (I) dan kelas Karantina (Q) sebanyak . Populasi ini berkurang dengan adanya pasien yang sembuh ( ), kematian yang disebabkan dari penyakit SARS ( ) dan berkurang dengan kematian alami ( ). 6. Recovery Populasi pada kelas yang individunya sembuh (Recovery) ini disimbolkan dengan notasi R dan diasumsikan bahwa individu ini mempunyai imunisasi tahan lama untuk melawan SARS. Populasi dari kelas ini ada oleh individu terinfeksi (I) dan terisolasi (J) yang sembuh dari penyakit SARS dengan laju rata-rata dan dan berkurang karena adanya laju kematian alami ( ).
Dengan demikian keseluruhan model transmisi epidemik SARS dengan Kontrol Karantina dan Isolasi:
Daerah Penyelesaian Model SARS dengan Kontrol Karantina dan Isolasi
Titik Setimbang dari Model a. Titik Setimbang Bebas Penyakit b. Titik Setimbang Endemik Dengan
Kestabilan Lokal Model SARS dengan Kontrol Karantina dan Isolasi
Dengan
Setelah itu dicari nilai eigen matriks Jacobian dari model SARS dengan Kontrol Karantina dan Isolasi. Akan ditinjau dua kasus yaitu kestabilan titik setimbang bebas penyakit (disease-free equilibrium), dan kestabilan titik setimbang endemik.
a. Titik Setimbang Bebas Penyakit
Dengan
Lanjutan
Dengan menggunakan aturan Routh- Hurwitz:
Stabil jika
b. Titik Setimbang Endemik
Dengan
Lanjutan
Dengan menggunakan aturan Routh- Hurwitz:
Stabil jika
Analisa Eksistensi Optimal Control Permasalahan pada sistem persamaan (4.2) yang memenuhi : i. Kontrol tidak kosong . ii. Kontrol dalam keadaan konveks dan tertutup. iii. Persamaan ruas kanan pada state sistem yang kontinu adalah terbatas pada state dan kontrol, kemudian dapat dituliskan sebagai fungsi linear pada variabel kontrol dengan koefisien yang bergantung pada waktu dan state. iv. Integrand pada performance index konkaf pada . v. Integrand pada performance index terbatas. maka terdapat optimal control sedemikian hingga dengan Bukti:
ii. Kontrol dalam keadaan konveks dan tertutup
iii. Persamaan ruas kiri pada state sistem yang kontinu adalah terbatas pada state dan kontrol dan dapat dituliskan sebagai fungsi linear pada variabel kontrol dengan koefisien yang bergantung pada waktu dan state. kemudian dengan
iv. . Integrand pada performance index konkaf pada U Berarti untuk menunjukkan bahwa J konkaf pada U maka harus dibuktikan untuk
v.
Integrand pada performance index terbatas
Dengan kata lain akan dibuktikan bahwa terdapat bilangan positif M , sedemikian hingga berlaku
untuk semua
Misalkan terdapat
dan
terbatas pada
sedemikian hingga
Akibat fungsi kontrol yang terletak pada interval maka
untuk
dapat diperoleh
terdapat suatu konstanta M =
sedemikian hingga
Jadi terbukti bahwa Integrand pada performance index terbatas.
[0, tf]
PENYELESAIAN OPTIMAL KONTROL Persamaan Lagrangian yang terbentuk dari masalah (4.2)
Dimana g merupakan persamaan diferensial sebelah kanan dari variabel keadaan ke-i,
Dengan berdasarkan prinsip maksimal diadapatkan:
(4.3)
Dari persamaan (4.3) dapat diperoleh bentuk optimal kontrol yaitu yang fisibel
dan
Membangun Sistem Optimal Optimal control yang fisibel disubstitusikan ke dalam persamaan keadaan dan persamaan adjoint maka dapat diperoleh sistem persamaan differensial, yang kemudian disebut dengan sistem optimal sebagai berikut:
(4.4)
Dengan kondisi batas sebagai berikut:
(4.5)
Dengan kondisi batas sebagai berikut:
Ketunggalan Sistem Optimal Ketunggalan sistem optimal dilakukan dengan memastikan ketunggalan dari solusi pada sistem yang optimal pada persamaan (4.4) dan (4.5) karena optimal control yang didapatkan bergantung pada state sistem tersebut. Untuk mengkajinya, dengan memisalkan dua solusi yang berbeda dari sistem optimal, kemudian akan ditunjukkan ternyata solusi tersebut sama. (Fariyanto, 2008) Berikut ini akan ditunjukkan penyelesaian dari sistem optimal (4.4) dan (4.5) adalah tunggal Andaikan dan adalah dua solusi yang berbeda dari sistem optimal (4.4) dan (4.5) dengan
Dengan:
Dan:
Dengan Untuk Didapatkan
:
Untuk:
Dengan menggunakan Teorema Lipshitz
Dan
Kemudian dilakukan pengurangan
Dengan mengkombinasikan hasil pengurangan diatas maka dapat diperoleh
Sehingga
Berarti:
Jika dipilih
maka
Oleh karena itu, haruslah
Sehingga:
Jadi , solusi dari sistem optimal adalah tunggal pada interval waktu yang kecil
Simulasi Model SARS tanpa Kontrol Dengan Nilai parameter ada di makalah : Kondisi awal persamaan keadaan 7
1.2
x 10
4000
1.195
3500
1.19
3000 Banyaknya Individu
Number of Susceptible
Without Control
1.185 1.18 1.175 1.17
2500 2000 1500 1000
1.165 1.16
E(t) I(t) R(t)
500
0
50
100
150 200 Time(days)
250
300
350
0
0
50
100
150 200 time(days)
250
300
350
Simulasi Model SARS dengan Kontrol 8000
7
1.2
x 10
7000
Under Optimal Control
1.196
1.194
1.192
5000 4000 3000
1.19
2000
1.188
1000
1.186
E(t) Q(t) I(t) J(t) R(t)
6000 Banyaknya Individu
Number of Susceptible (S)
1.198
0 0
50
100
150 200 Time(days)
250
300
350
0
50
100
150 200 Time(days)
250
300
350
0.5 u1 u2
0.45 0.4
Optimal Controls
0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05
0
50
100
150 200 Time(days)
250
300
350
KESIMPULAN 1. Pada analisis optimal control dapat diketahui bahwa : a. Eksistensi optimal control pada model transmisi SARS dapat ditunjukkan, sedemikian hingga dapat dicari optimal control yang meminimalkan performance index yang ingin dicapai. b. Kontrol yang didapatkan dari model SARS adalah
c. Sistem Optimal yang diperoleh pada model transmisi SARS dengan mensubstitusikan optimal control di dalamnya mempunyai solusi yang tunggal pada interval waktu yang kecil.
2. Hasil simulasi numerik dengan software DOTcvpSB menunjukkan keefektifan kontrol karantina dan isolasi yang dapat mengurangi individu yang terdeteksi, terkarantina, terinfeksi dan terisolasi dan meminimumkan biaya dalam menerapkan program karantina dan isolasi. Simulasi Numerik menunjukkan bahwa jumlah populasi yang sembuh dari penyakit SARS dengan adanya kontrol karantina dan isolasi lebih banyak daripada tanpa kontrol.
SARAN Adapun saran dari Tugas Akhir ini adalah 1. Pengendalian optimal yang dilakukan dapat juga dengan populasi yang sering bepindah antar kota ke kota atau negara ke negara (metapopulation) dan terjadi adanya mobilitas. 2.Metode Optimal Control dapat diaplikasikan ke berbagai permasalahan di bidang biologi, fisika, kimia, ekonomi, dll.
DAFTAR PUSTAKA Aini, N.S. (2010), Pengendalian optimal penggunaan insektisida dan virus penginfeksi pada hama serangga. Tugas Akhir S1 Jurusan Matematika ITS. Surabaya. Bartle, R.G., dan Sherbert, D.R., (1994). Introduction to Real Analysis. Singapore: John Willy & Sons. Bryson, A. E. dan Ho, Y. C. (1975). Applied Optimal Control. New York: Taylor & Francis Group. Boyd, S., dan Vandenbenghe, L., (2003). Convex Optimization. USA: Cambridge University Press. Brauer, F. dan Castillo-Chavez, C., (2001). Mathematicals Models in Population Biology and Epidemology, Springer-Verlag. Brewster, J.F. dkk (2006). Sensitivity and Uncertainty Analyses for SARS Model with Time Varying Inputs and Outputs, Mathematical Biosciences and Engineering, 3:3. Dosen-dosen Jurusan Matematika FMIPA ITS. (2004). Kalkulus I. Surabaya: Studio L. Fariyanto, Achmad, (2008). Analisis Eksistensi dan Ketunggalan Optimal Control Pada Model Immunology HIV, Tugas Akhir Jurusan Matematika ITS, Surabaya. Gumel, dkk. (2004), Modelling strategies for controlling SARS outbreaks, Proceedings of the Royal Society of London.2223-2232 Gopal, M. .(1987). Modern Control System Theory. John Willy & Sons. Singapore. Hirmajer, T., Canto, E.B., dan Banga, J.R., (2009), DOTcvpSB: a Matlab Toolbox for Dynamic Optimization in Systems Biology, User’s Guide Technical Report, Instituto De Investigaciones Marinas [IIM-CSIC], Spanyol. Joshi, HR,dkk. (2006). Optimal Control Methods Applied to Disease Models. Contemporary Mathematics
LANJUTAN DAFTAR PUSTAKA Kamien, M. I dan Schwarz, N. L., (1991). Dynamic Optimization: the calculus of variations and optimal control in economics and management. North-Holland. Amsterdam. Kristianto, D.A. (2009). Analisis Model Perkembangan Virus HCV Type 4A pada Penyebaran Penyakit Hepatitis C. Tugas Akhir Jurusan Matematika ITS. Surabaya. Lewis, F, (1986). Optimal Control. Georgia : School Of Enginering Georgia Institute of Technology Atlanta. Lingappa, JR, dkk. (2004), Wresting SARS from uncertainty. Emerging infectious Diseases, 10:167-170. Ma, Z. dan Li, J. 2009. Dynamical Modeling and Analysis of Epidemics. Singapore: World Scientific Publishing. Naidu, D.S. (2002), Optimal Control Systems, CRC PRESS, New York. Olsder, G. J., (1994) , Mathematical System Theory, Netherlands: Delftse Uitgevers Maatscheppij b. v. Pontryagin, L.S , Boltyanskii, V. G, Gamkrelidze, R. V, and Mishchenko, E.F. ,(1962). The Mathematical Theory Of Optimal Process. Wiley, New York. Putri, C.D. (2010). Pengendalian optimal pada kemoprofilaksis dan penanganan tuberkulosis. Tugas Akhir S1 Jurusan Matematika ITS. Surabaya. Subchan, S., dan Zbikowski, R., (2009), Computational Optimal Control Tools and Practise, John Willey and Sons, Ltd, publication, United Kingdom.
LANJUTAN DAFTAR PUSTAKA Yan, X., Zou, Y. (2008), Optimal quarantine and isolation strategies in epidemics control, Mathematical and Computer Modelling, 235-245 www.SARSreference.com/sarssref/summary.htm. Diakses 3 Agustus 2010.Jam 14.00. www.id.wikipedia.org/wiki/SARS. Diakses 3 Agustus 2010. Jam 14.00. www.who.int/csr/sars/map2003_05_26.gif. Diakses 3 Agustus 2010. Jam 14.00. WHO, (2003), Consensus document on the epidemiology of severe acute respiratorysyndrome (SARS).
