COMPROMISE PROGRAMMING UNTUK PEMILIHAN PORTOFOLIO Nama Mahasiswa : Putri Ciptaningrum NRP : 1206 100 018 Jurusan : Matematika Dosen Pembimbing : Drs. Sulistiyo, MT Abstrak Portofolio merupakan gabungan atas sekumpulan asset yang dimiliki oleh investor. Dengan memiliki beberapa asset, resiko dapat dikurangi. Pada tugas akhir ini asset yang digunakan berupa saham, terdiri dari 5 saham perusahaan yaitu PT Gudang Garam, Indofood Sukses, Kalbe Farma tbk, Ultra Jaya Milk, dan JAPFA tbk, sehingga portofolio yang dapat dibentuk dari kombinasi 5 saham tersebut sebanyak 26 portofolio. Dalam model optimasi pemilihan portofolio terdapat 2 fungsi obyektif yang harus dipertimbangkan investor, yaitu memaksimalkan nilai expected return portofolio dan meminimalkan nilai resiko portofolio. Pada tugas akhir ini, digunakan compromise programming untuk menyelesaikan permasalahan multi-objective pada model optimasi portofolio, dengan meminimalkan penyimpangan antara fungsi obyektif dengan nilai ideal fungsi obyektif. Penyelesaian dengan menggunakan compromise programming akan mendapatkan proporsi dana yang harus diinvestasikan pada masing-masing saham. Pada tugas akhir ini juga didapatkan 5 portofolio efisien. Portofolio efisien didapatkan dengan cara membandingkan portofolio yang mempunyai nilai resiko yang hampir sama, kemudian dicari portofolio yang memberikan nilai expected return yang terbesar atau dari portofolio yang mempunyai nilai expected return yang hampir sama, dicari portofolio yang memberikan nilai resiko terkecil. Kata kunci: Compromise Programming, Pemilihan Portofolio, Multi-Objective Programming. investor yaitu memaksimalkan nilai expected return dan meminimalkan nilai resiko. I. PENDAHULUAN Portofolio adalah gabungan atau Teori dasar tentang pemilihan kombinasi dari berbagai instrumen atau saham potofolio pertama kali dicetuskan oleh yang disusun untuk mencapai tujuan investor Markowitz (1952). Pemilihan portofolio dalam melakukan investasi. Investor harus membahas tentang permasalahan bagaimana memilih dan mengalokasikan kekayaannya di mengalokasikan sebuah modal agar tengah berbagai sekuritas. Saham adalah salah penanaman tersebut dapat membawa satu jenis sekuritas yang diperdagangkan di keuntungan terbanyak namun dengan resiko pasar finansial. Jika para investor membeli yang terkecil. Pada penelitian sebelumnya saham, berarti mereka membeli prospek yang dilakukan oleh Sastri Endhartia (2009) perusahaan dari saham tersebut. Kalau prospek membahas tentang pemilihan portofolio dari perusahaan membaik, harga saham tersebut kumpulan saham dengan menggunakan akan meningkat. Dengan gambaran seperti itu, algoritma Markowitz. orang semakin tertarik untuk melakukan Pada tugas akhir ini, digunakan investasi, sehingga investasi di sektor finansial compromise programming dalam menjadi primadona di kalangan investor, menyelesaikan permasalahan multi-objective karena menjanjikan tingkat return yang lebih pada model optimasi portofolio. Compromise tinggi dibandingkan dengan investasi di sektor programming memberikan solusi kompromi real asset. Namun perlu diketahui bahwa dari mengoptimalkan dua atau lebih fungsi semakin besar return maka tingkat resikonya objektif dengan meminimalkan penyimpangan semakin meningkat pula. Investor pada antara fungsi objektif dengan nilai ideal fungsi umumnya merupakan pihak yang sangat tidak objektif. Penyelesaian dengan menggunakan menyukai resiko tetapi menginginkan return compromise programming akan mendapatkan yang maksimal, sehingga jika dirumuskan proporsi dana yang harus diinvestasikan pada dalam sebuah model optimasi, akan terdapat masing-masing saham. Selain itu akan dua fungsi objektif yang dipertimbangkan didapatkan pula portofolio efisien dari sekumpulan portofolio yang sudah terbentuk.
1
II. TINJAUAN PUSTAKA
= Opening Price = Dividen 2.4.2Expected Return Saham Individual Expected return secara sederhana adalah rata-rata tertimbang dari berbagai return, faktor penimbangnya adalah probabilitas masing-masing return. Expected return atas saham individual dapat dihitung dengan:
2.1 Studi Pendahuluan Pada penelitian sebelumnya, Sastri Endhartia (2009) pada tugas akhirnya, membahas tentang pemilihan portofolio dari kumpulan saham dengan menggunakan algoritma Markowitz. Dalam model meanvariance Markowitz terdapat dua macam model dalam menentukan proporsi dana yaitu, meminimalkan resiko dengan menetapkan expected return terlebih dahulu, dan Memaksimalkan expected return dengan mempertahankan resiko pada tingkat tertentu. 2.2 Investasi Investasi pada hakikatnya merupakan penempatan dana pada saat ini dengan harapan memperoleh keuntungan di masa mendatang. Umumnya investasi dibedakan menjadi dua yaitu investasi pada financial assets dan investasi pada real assets. Investasi pada financial assets dilakukan di pasar uang, misalnya berupa deposito, commercial paper, surat berharga, pasar uang dan lainnya. Atau dilakukan di pasar modal misalnya berupa saham, obligasi, waran, opsi, dan lainnya. Sedangkan investasi pada real assets diwujudkan dalam bentuk pembelian assets produktif, pendirian pabrik, pembukaan pertambangan, pembukaan perkebunan, dan lainnya. 2.3 Portofolio Portofolio merupakan kombinasi atau gabungan atau sekumpulan assets, baik berupa real assets maupun financial assets yan dimiliki oleh investor. Hakikat pembentukan portofolio adalah unuk mengurangi resiko dengan cara diversifikasi, yaitu mengalokasikan sejumlah dana pada berbagai alternatif investasi. Dalam pembentukan portofolio investor selalu menginginkan return yang maksimal dengan resiko yang minimal. 2.4 Return dalam Investasi Dalam konteks manajemen investasi, return merupakan imbalan yang diperoleh dari investasi. 2.4.1Return Saham Individual Return saham individual dapat dihitung berdasarkan data historis harga saham. Selanjutnya return dapat dihitung dengan :
Dengan, = return yang terjadi pada periode pengamatan 2.4.3Expected Return Portofolio Expected Return secara sederhana adalah rata-rata tertimbang dari expected return saham individual, faktor penimbangnya adalah proporsi dana yang diinvestasikan pada masing-masing saham. Expected return portofolio dapat dihitung dengan formula sebagai berikut :
Dengan, = expected return portofolio = expected return dari investasi saham i = proporsi dana yang diinvestasikan pada saham i 2.5 Resiko dalam Investasi Dalam konteks manajemen investasi, resiko merupakan besarnya penyimpangan antara tingkat pengembalian yang diharapkan (expected return) dengan tingkat pengembalian yang dicapai secara nyata (actual return). Semakin besar penyimpangannya maka semakin besar tingkat resikonya. Alat yang digunakan sebagai ukuran penyebaran tersebut adalah varian atau standard deviasi. 2.5.1 Resiko Saham Individual Resiko saham individual dapat dihitung sebagai berikut :
Dengan adalah return yang terjadi pada periode pengamatan. 2.5.2 Resiko Portofolio
= return saham i pada waktu j = Closing Price
2
Secara umum, bagi portofolio dengan aktiva sebanyak , varians portofolio adalah
Dengan rumus
koefisien resiko lebih besar daripada 1, berarti memiliki resiko lebih besar dari resiko ratarata pasar, misalnya nilai koefisien resiko adalah 1,5, maka saham tersebut akan bergerak 1,5 kali perubahan IHSG. Oleh karena itu, semakin besar koefisien resiko , maka akan semakin peka excess return suatu saham terhadap perubahan excess return portofolio pasar, sehingga saham itu akan semakin beresiko. Dengan demikian dapat dikatakan bahwa, tingkat return portofolio ditentukan oleh resiko sistematis ataun resiko pasar yang diukur dengan resiko dan tingkat return pasar. 2. Resiko Tidak Sistematis (Unsystematic Risk) Resiko tidak sistematis (unsystematic risk) merupakan resiko yang dapat dihilangkan dengan melakukan diversifikasi, karena resiko ini hanya ada dalam satu perusahaan atau industri tertentu. Fluktuasi resiko ini besarnya berbeda-beda antara satu saham dengan yang lain. Karena perbedaan itulah maka masingmasing saham memiliki tingkat sensitivitas yang berbeda terhadap setiap perubahan pasar. Misalnya faktor: struktur modal, struktur asset, tingkat likuiditas, tingkat keuntungan, dan sebagainya. Resiko ini juga disebut diversiable risk. 2.6 Compromise programming Compromise programming diperkenalkan oleh Zeleny (1974). Compromise programming digunakan untuk mencari solusi kompromi terbaik dari mengoptimalkan dua atau lebih fungsi obyektif yang menghasilkan penyimpangan minimal dari solusi ideal. Dalam permasalahan maksimasi, nilai ideal dapat ditulis sebagai = maksimasi Dengan kendala : , adalah fungsi obyektif ke- . dimana S adalah daerah yang mungkin (feasible region), Sedangkan dalam permasalahan minimasi, nilai ideal dapat ditulis sebagai = minimasi Dengan kendala : , adalah fungsi obyektif ke- . dengan S adalah daerah yang mungkin (feasible region). Jarak antara titik efisien dengan titik ideal (jarak terdekat dari
adalah
: kovarian return saham dengan saham 2.5.3 Jenis Resiko Sementara itu secara umum dalam konteks portofolio, resiko dibedakan menjadi dua yaitu : 1. Resiko Sistematis (Systematic Risk) Resiko Sistematis (Systematic Risk) merupakan resiko yang tidak dapat dihilangkan dengan melakukan diversifikasi, karena fluktuasi resiko ini dipengaruhi oleh faktor makro yang dapat mempengaruhi pasar secara keseluruhan. Misalnya adanya perubahan tingkat bunga, kurs valas, kebijakan pemerintah, dan sebagainya. Koefisien resiko adalah suatu ukuran untuk resiko sistematis. Koefisien resiko dihitung dengan membandingkan return history asset dengan return pasar dengan formulasi sebagai berikut :
Dimana, : koefisien resiko saham ke: return pasar (diwakili oleh Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG)) , dengan t = periode pengamatan : varian pasar Koefisien resiko mengukur korelasi antara nilai investasi dan gerakan pasar secara keseluruhan. Jika nilai koefisien resiko adalah 1 berarti memiliki resiko yang sama dengan nilai resiko rata-rata pasar. Misalnya, jika IHSG naik 5per sen maka harga pasar saham tersebut cenderung meningkat 5per sen. Jika nilai koefisien resiko kurang dari 1 berarti memiliki resiko lebih kecil dari resiko rata-rata pasar, misalnya nilai koefien resiko adalah 0,5, maka saham tersebut akan bergerak 0,5 kali perubahan IHSG. Selanjutnya, jika nilai
3
titik efisien dan titik ideal) dapat dijelaskan pada persamaan (2.13).
data lima perusahaan terlengkap di Bursa Efek Indonesia.Perusahaan yang memiliki data terlengkap tersebut adalah PT Gudang Garam (GGRM), Indofood Sukses (INDF), Kalbe Farma tbk (KLBF), Ultra Jaya Milk (ULTJ), dan JAPFA tbk (JPFA) 2. Menghitung Return dan Expected Return Saham Individual 3. Menghitung Varian dan Kovarian Saham 4. Menghitung Koefisien Resiko Masingmasing Saham 5. Membentuk Portofolio 6. Merancang Model Optimasi Portofolio 7. Menentukan Proporsi Dana 8. Memilih Portofolio yang Efisien 9. Penarikan Kesimpulan IV. ANALISIS DAN PEMBAHASAN
, Penyimpangan individu dapat ditingkatkan ke setiap , sebelum dijumlahkan, dan bobot 1 =1 =1 dapat ditambahkan pada fungsi tujuan yang berbeda. Oleh karena itu penting untuk menggunakan penyimpanganpenyimpangan relatif daripada penyimpangan absolut. Hal ini dapat ditunjukkan pada persamaan (2.14).
4.1 Perhitungan Return dan Expected Return Saham Individual
Untuk masalah multi-objective, titik ideal didefinisikan sebagai solusi ideal individu, , dimana semua multiobjective bertujuan meminimasi penyimpangan dari setiap fungsi individu. Formulasi compromise programming dapat dilihat pada persamaan (2.15). Min
Hasil dari investasi diukur dari pengembalian (return) yang diperoleh dalam periode waktu tertentu. Dengan menggunakan persamaan (2.1), didapatkan return masingmasing saham pada setiap periode. Return saham Gudang Garam tbk pada periode Januari 2009 adalah 0,270588 atau tingkat pengembaliannya sebesar 27,0588%, sedangkan pada bulan Februari 2009 return saham tersebut adalah -0,037037 atau 3,7037%. Hal ini menunujukkan bahwa pada bulan Februari saham tersebut mengalami kerugian. Selanjutnya adalah menghitung nilai expected return dari masing-masing saham. Dengan persamaan (2.3), didapatkan hasil yang disajikan pada Tabel 4.1. Tabel 4.1 Nilai Expected Return MasingMasing Saham Nama Saham GGRM 0.008702 INDF 0.016529 KLBF 0.023984 ULTJ 0.016079 JPFA 0.044146 4.2 Perhitungan Varian dan Kovarian Saham Dengan menggunakan persamaan (2.8) dan (2.12) varian dan kovarian antar saham didapatkan hasil yang disajikan pada Tabel 4.2.
Dengan kendala, Dengan adalah bobot dari tujuan, dan adalah solusi optimal individu. 2.7 Pemilihan portofolio yang efisien Suatu portofolio dikatakan efisien apabila portofolio tersebut bila dibandingkan dengan portofolio lain memenuhi kondisi sebagai berikut : 1. Menawarkan ekspektasi return terbesar dengan resiko yang sama. 2. Menawarkan resiko terkecil dengan ekspektasi return yang sama. III. METODE PENELITIAN 1. Pengumpulan Data Data saham yang digunakan dalam tugas akhir ini adalah data sekunder yang diperoleh dari Bursa Efek Indonesia. Data yang digunakan meliputi data opening price, data closing price dan data dividen saham serta data Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG) mulai bulan Januari 2005 sampai dengan bulan Oktober 2009. Data yang digunakan adalah
4
Tabel 4.2 Nilai Varian dan Kovarian Saham GGRM INDF KLBF ULTJ JPFA
GGRM 0.013545 0.009765 0.006554 -0.001573 0.004426
INDF
KLBF
ULTJ
JPFA
0.021936 0.008554 0.000033 0.012123
0.019749 0.000999 0.004489
0.025389 0.007557
0.04314
5. Portofolio 5 : GGRM -KLBF-ULTJ-JPFA 6. Portofolio 6 : INDF-KLBF-ULTJ-JPFA 7. Portofolio 7 : GGRM-INDF-KLBF 8. Portofolio 8 : GGRM-INDF-ULTJ 9. Portofolio 9 : GGRM-INDF-JPFA 10. Portofolio 10 : GGRM -KLBF-ULTJ 11. Portofolio 11 : GGRM- KLBF- JPFA 12. Portofolio 12 : GGRM- ULTJ-JPFA 13. Portofolio 13 : INDF-KLBF-ULTJ 14. Portofolio 14 : INDF-KLBF-JPFA 15. Portofolio 15 : INDF- ULTJ-JPFA 16. Portofolio 16 : KLBF-ULTJ-JPFA 17. Portofolio 17 : GGRM-INDF 18. Portofolio 18 : GGRM- KLBF 19. Portofolio 19 : GGRM- ULTJ 20. Portofolio 20 : GGRM- JPFA 21. Portofolio 21 : INDF-KLBF 22. Portofolio 22 : INDF-ULTJ 23. Portofolio 23 : INDF-JPFA 24. Portofolio 24 : KLBF-ULTJ 25. Portofolio 25 : KLBF- JPFA 26. Portofolio 26 : ULTJ-JPFA Jadi dari kumpulan 5 saham tersebut dapat dibentuk 26 portofolio.
Sehingga dengan menggunakan persamaan (2.9), standar deviasi masingmasing saham disajikan pada Tabel 4.3. Tabel 4.3 Nilai Standard Deviasi Saham Saham Standar Deviasi GGRM 0.116383 INDF 0.148108 KLBF 0.140531 ULTJ 0.159339 JPFA 0.207694 4.3 Perhitungan Koefisien Resiko Koefisien resiko dihitung dengan membandingkan kovarian saham-return pasar dengan varians return pasar, maka perlu dihitung varian return pasar dan kovarian saham-return pasar, dengan hasil perhitungannya disajikan pada Tabel 4.4. Tabel 4.4 Nilai Kovarian Saham-Return Pasar Rm GGRM 0.00501 INDF 0.00857 KLBF 0.0064 ULTJ 0.00136 JPFA 0.00691 Rm 0.00638 Setelah diketahui varian return pasar dan kovarian antara masing-masing saham dengan return pasar, maka dengan persamaan (2.5) dapat dihitung koefisien resiko atau koefisien resiko masing-masing saham disajikan pada Tabel 4.5. Tabel 4.5 Nilai Koefisien Resiko Saham Saham Koefisien Resiko GGRM 0.785433 INDF 1.342461 KLBF 1.002898 ULTJ 0.213426 JPFA 1.082042 4.4 Pembentukan Portofolio Kombinasi yang dapat dihasilkan dari kumpulan lima saham tersebut antara lain: 1. Portofolio 1 : GGRM-INDF-KLBF-ULTJJPFA 2. Portofolio 2 : GGRM-INDF-KLBF-ULTJ 3. Portofolio 3 : GGRM-INDF-KLBF-JPFA 4. Portofolio 4 : GGRM-INDF -ULTJ-JPFA
4.5 Model Optimasi Portofolio Model optimasi portofolio terdiri dari dua fungsi obyektif yaitu memaksimalkan nilai expected return dan meminimalkan resiko portofolio, resiko dalam hal ini adalah varian. Sedangkan variabel keputusannya adalah mendapatkan proporsi dana yang akan diinvestasikan pada masing-masing saham dalam portofolio tersebut. Pendefinisian variabel keputusannya adalah sebagai berikut : : jumlah proporsi dana yang diinvestasikan pada saham PT Gudang Garam, : jumlah proporsi dana yang diinvestasikan pada saham Indofood Sukses, : jumlah proporsi dana yang diinvestasikan pada saham Kalbe Farma tbk, : jumlah proporsi dana yang diinvestasikan pada saham Ultra Jaya Milk, dan, : jumlah proporsi dana yang diinvestasikan pada saham JAPFA tbk (JPFA). 4.5.1 Perumusan Fungsi Obyektif Model Penentuan fungsi obyektif model portofolio mempertimbangkan dua aspek yaitu return dan resiko dari portofolio, sebagai berikut : 1. Fungsi Obyektif Maksimasi Expected Return
5
Perumusan fungsi obyektif maksimasi expected return dapat dilihat pada persamaan (2.4) Maks 2. Fungsi Obyektif Minimasi Resiko Perumusan fungsi obyektif minimasi resiko dapat dilihat pada persamaan (2.10) Min
4.6 Compromise programming Sebelum merumuskan kedalam fungsi objektif compromise programming, maka perlu didapatkan terlebih dahulu nilai ideal dari masing-masing fungsi objektif, dengan cara mengoptimasi masing-masing fungsi objektif dengan fungsi kendala yang ada. Untuk memudahkan perhitungan digunakan software LINDO 6.1. 4.6.1 Nilai Ideal Expected Return Portofolio Nilai ideal expected return dari masingmasing portofolio dapat dicari dengan menyelesaikan persamaan (4.1). Expected return masing-masing saham disajikan pada tabel 4.1. Sedangkan nilai koefisien resiko masing-masing saham disajikan pada tebel 4.5. Untuk portofolio 1 terdiri dari 5 saham yaitu PT Gudang Garam, Indofood Sukses, Kalbe Farma tbk, Ultra Jaya Milk, dan JAPFA tbk maka dirumuskan:
....(4.2) 4.5.2Perumusan Fungsi Kendala Dalam memenuhi tujuan optimasi portofolio tersebut ada beberapa kendala, antara lain: 1. Fungsi Kendala Koefisien Resiko Koefisien resiko mengukur korelasi antara nilai investasi dan gerakan pasar secara keseluruhan. Perumusan fungsi kendala koefisien resiko adalah sebagai berikut :
Dengan, = nilai koefisien resiko saham . Karena investor cenderung menghindari resiko, maka koefisien resiko harus kurang dari atau sama dengan satu. 2. Fungsi Kendala Jumlah Proporsi Dana yang Diinvestasikan Perumusan fungsi kendala jumlah proporsi dana yang diinvestasikan adalah sebagai berikut
Dengan return pada
adalah nilai ideal expected portofolio 1. Didapatkan . Dengan perumusan yang sama, nilai ideal untuk masing-masing portofolio didapatkan sebagai berikut : Tabel 4.6 Nilai Ideal Expected Return Portofolio Portofolio Portofolio 1 0.033017 14 infeasible 2 0.020919 15 0.037892 3 0.027398 16 0.039332 4 0.035033 17 0.011717 5 0.035779 18 0.022456 6 0.036131 19 0.015341 7 0.020648 20 0.034342 8 0.015632 21 infeasible 9 0.028469 22 0.016392 10 0.021665 23 infeasible 11 0.33272 24 0.023194 12 0.037795 25 infeasible 13 0.022448 26 0.041339
Jumlah proporsi dana yang diinvestasikan pada masing-masing saham adalah satu. 3. Fungsi Kendala Batas Bawah Dana yang Diinvestasikan Agar dana yang diinvestasikan dapat terisi untuk semua saham, diasumsikan batas bawah penanaman modal adalah 10per sen Jadi model optimasi portofolio dapat diformulasikan sebagai berikut : Maks Min Dengan kendala :
6
programming dapat dilihat pada persamaan (2.16). Dengan asumsi dan bobot masing-masing untuk (ekspektasi return) dan (resiko). Sehingga untuk masing-masing portofolio dapat diformulasikan sebagai berikut : Min
4.6.2 Nilai Ideal Resiko Portofolio Nilai ideal resiko dari masing-masing portofolio dapat dicari dengan menyelesaikan persamaan (4.2). Varian dan kovarian untuk masing-masing saham disajikan pada tabel 4.2. Untuk portofolio 1 maka nilai ideal resiko portofolionya dapat dirumuskan sebagai berikut:
–
Min 4.6.4 Perhitungan Proporsi Dana Setelah didapatkan nilai ideal masingmasing fungsi objektif dan fungsi objektif compromise programming, maka untuk portofolio 1 dapat dirumuskan sebagai berikut: Min
Dengan kendala
–
+
Dengan adalah nilai ideal varian pada portofolio 1. Didapatkan Dengan perumusan yang sama, nilai ideal resiko portofolio untuk masing-masing portofolio disajikan pada Tabel 4.7. Tabel 4.7 Nilai Ideal Resiko Portofolio Portofolio Portofolio 1 0.007528 14 infeasible 2 0.007363 15 0.011774 3 0.010187 16 0.010821 4 0.007966 17 0.012649 5 0.007408 18 0.011124 6 0.009565 19 0.008112 7 0.010903 20 0.011806 8 0.007889 21 infeasible 9 0.011614 22 0.011785 10 0.007411 23 infeasible 11 0.010141 24 0.011599 12 0.007999 25 infeasible 13 0.009543 26 0.019436 4.6.3 Perumusan Fungsi Objektif Compromise programming Perhitungan pada fungsi compromise programming ini dengan menganggap semua fungsi objektif mempunyai bobot yang sama dan nilai dari adalah sama dengan satu. Perumusan fungsi objektif dalam compromise
Dengan kendala
Sehingga didapatkan proporsi dana pada portofolio 1 disajikan pada Tabel 4.8. Tabel 4.8 Nilai Proporsi Dana Pada Portofolio 1 Investasi Saham Proporsi Dana 0.279902 0.100000 0.242181 0.266208 0.111708 Dengan nilai expected return pada portofolio 1 atau adalah 0.019109. Nilai varian pada portofolio 1 atau adalah 0.007762 dan standar deviasi sebesar 0.088101.
7
Dengan cara yang sama, hasil return dan varian portofolio tidak ada yang perhitungan proporsi dana untuk masingmemenuhi sehingga portofolio ini tidak masing portofolio disajikan pada tabel 4.9. dipakai dalam perhitungan selanjutnya. Pada portofolio 14, 21, 23,dan 25, nilai ideal Tabel 4.9 Nilai Proporsi Dana Pada Masing-Masing Portofolio Portofolio 1 0.2799 0.1 0.24218 0.26621 0.11171 0.01911 0.00776 0.0881 2 0.27928 0.10944 0.30138 0.3099 0.01645 0.00773 0.08793 3 0.26425 0.1 0.37776 0.25799 0.0244 0.01143 0.10691 4 0.45820 0.1 0.30867 0.13312 0.01648 0.00818 0.09045 5 0.35256 0.25468 0.26348 0.12927 0.01911 0.00768 0.08763 6 0.17704 0.37896 0.29104 0.15294 0.02345 0.009911 0.099556 7 0.40722 0.2522 0.34067 0.01588 0.01123 0.10596 8 0.45071 0.1 0.44929 0.0128 0.00834 0.09133 9 0.40569 0.14703 0.44728 0.02571 0.0157 0.1253 10 0.35842 0.32653 0.31505 0.01602 0.00775 0.08803 11 0.37677 0.37494 0.24829 0.02323 0.01087 0.10428 12 0.53741 0.31292 0.14967 0.01632 0.00825 0.09085 13 0.25113 0.41273 0.33614 0.01945 0.00967 0.09835 15 0.3503 0.35323 0.29648 0.02456 0.01376 0.1173 16 0.48566 0.30206 0.21229 0.02588 0.011106 0.105385 17 0.6148 0.3852 0.01172 0.013 0.11402 18 0.46616 0.53384 0.01686 0.01183 0.10878 19 0.59437 0.40563 0.01169 0.0082 0.09057 20 0.68197 0.31803 0.01997 0.01258 0.11217 22 0.53996 0.46005 0.01632 0.01179 0.10856 24 0.61119 0.38881 0.02091 0.01169 0.10812 26 0.54261 0.45739 0.02892 0.02025 0.14231 return yang diberikan sekitar 2.34 per sen 4.7 Pemilihan Portofolio Efisien Titik-titik diatas menunjukkan portofolio untuk portofolio 6 dan sekitar 2.46 per sen dengan masing-masing sumbu koordinatnya untuk portofolio 15, namun portofolio 6 adalah standard deviasi atau nilai resiko menawarkan nilai resiko yang lebih kecil yaitu portofolio dan expected return atau tingkat sekitar 9.96 per sen, sedangkan portofolio 15 pengembalian yang diharapkan dari portofolio. memberikan 11.7per sen. Portofolio 1 dan 5 Nilai expected return dan standard deviasi lebih efisien daripada portofolio 13 karena portofolio disajikan pada lampiran 5. dengan nilai expected return yang hampir Karena untuk mendapatkan portofolio sama yaitu sekitar 1.91 per sen untuk yang efisien adalah dengan cara portofolio 1 dan 5, dan 1.95 per sen untuk membandingkan portofolio-portofolio yang portofolio 13, portofolio 1 dan 5 memberikan memiliki nilai resiko yang sama atau nilai resiko yang lebih rendah yaitu sekitar membandingkan portofolio-portofolio yang 8.81 per sen untuk portofolio 1 dan 8.76 per memiliki nilai expected return yang sama, sen untuk portofolio 5, sedangkan portofolio maka dari gambar grafik diatas, terlihat bahwa 13 memberikan nilai resiko sekitar 9.83 per portofolio 16 lebih efisien daripada portofolio sen. Portofolio 1 juga lebih efisien daripada 9, karena dengan nilai expected return yang portofolio 2 dan portofolio 10, karena dengan hampir sama yaitu sekitar 2.59 persen untuk nilai resiko yang hampir sama yaitu sekitar portofolio 16 dan sekitar 2.57 per sen untuk 8.81 per sen untuk portofolio 1, 8.79 per sen portofolio 9, portofolio 16 memberikan nilai untuk portofolio 2, dan 8.80 per sen untuk resiko lebih rendah yaitu sekitar 10.5per sen, portofolio 10, portofolio 1 memberikan nilai sedangkan portofolio 9 menawarkan nilai expected return lebih tinggi yaitu sekitar 1.91 resiko sekitar 12.5per sen. Portofolio 6 lebih per sen, sedangkan portofolio 2 memberikan efisien daripada portofolio 15, nilai expected
8
sekitar 1.64 per sen dan portofolio 10
memberikan sekitar 1.60 per sen.
0.035
0.03
26 16
E (Rp)
0.025
15 3 6 11 24 20 5 13 1 18 2 12 22 10 4 7
0.02
0.015
8 19
9
17
0.01
0.005
0 0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
Standard Deviasi (Rp)
Gambar 4.1 Grafik Resiko dan Expected Return Portofolio Sehingga sesuai gambar grafik diatas (titik-titik yang berwarna merah) didapatkan 5 portofolio yang efisien yaitu portofolio 1, portofolio 5, portofolio 6, portofolio 16, dan portofolio 26. V. KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan Berdasarkan analisis dan pembahasan yang telah dilakukan, dapat diambil beberapa kesimpulan sebagai berikut : 1. Model optimasi portofolio adalah multiobjective programming, dengan dua fungsi tujuan yaitu memaksimalkan expected return portofolio dan meminimalkan resiko portofolio. Model optimasi portofolio dapat dirumuskan sebagai berikut :
Maks Min
Dengan kendala :
Oleh karena itu, dalam peyelesaiannya digunakan Compromise Programming untuk mendapatkan berapa proporsi dana yang akan diinvestasikan pada masingmasing saham. Sebelum pada tahap pembentukan fungsi obyektif Compromise Programming dihitung nilai ideal dari masing-masing fungsi obyektif. Nilai ideal dari masing-masing fungsi obyektif disajikan pada Tabel 4.6 dan Tabel 4.7. Nilai ideal tersebut digunakan dalam pembentukan fungsi obyektif Compromise
9
Programming, sehingga dengan menyelesaikannya didapatkan jumlah proporsi dana yang diinvestasikan pada masing-masing saham yang disajikan pada Tabel 4.9. 2. Setelah didapatkan jumlah proporsi dana yang diinvestasikan, maka diketahui nilai expected return dan nilai resiko masingmasing portofolio. Portofolio yang sudah terbentuk, digambarkan pada sebuah grafik sesuai dengan expected return dan nilai resiko masing-masing portofolio. Portofolio yang efisien adalah portofolio yang menawarkan expected return terbesar dengan resiko yang sama atau menawarkan resiko terkecil dengan expected return yang sama. Dari hasil analisis gambar grafik tersebut didapatkan 5 portofolio efisien dari 22 portofolio yang sudah dibentuk. Portofolio efisien yang didapat disajikan pada Tabel 5.1. Tabel 5.1 Portofolio Efisien Portofolio 1 0.019109 0.088101 5 0.019119 0.087638 6 0.023453 0.099556 16 0.025876 0.105385 26 0.028916 0.142305
DAFTAR PUSTAKA Abdelaziz, F., Belaid Aouni, dan Rimeh El Fayedh. Nov. 2005. “Multi-Objective Stochastic Programming for Portfolio Selection ”. European Journal of Operational Research 177 (2007) 1811-1823. Chen, Wei, Margaret M. Wiecek, dan Jinhuang Zhang. Okt. 1998. “Quality Utility-A Compromise Programming Approach to Robust Design”. Modified Manuscript to JMD 14. Endhartia, S..2009. “Analisis Portofolio Efisien pada No Short Selling dengan Menggunakan Algoritma Markowitz”.Tugas Akhir, Matematika.Surabaya:Institut Teknologi Sepuluh Nopember. Fabozzi, F.J. 1995. Manajemen Investasi (buku satu). Jakarta. Halim, A. 2003. Analisis Investasi. Jakarta: Penerbit Salemba Empat. Sierliawati, Widdya P.2009.”Optimasi Perencanaan Produksi pada Multi-Item Produk dengan Pendekatan Compromise Programming”.Tugas Akhir, Matematika.Surabaya:Institut Teknologi Sepuluh Nopember. TIM BEI.Februari.2008.Investasi di Bursa Efek Indonesia Selalu Lebih Menarik,URL:http//economy.okezone. com Zeleny, M. 1974. “A Concept of Compromise Solutions and The Method of the displaced Ideal ”. Computers and Operations Research I. 479-496.
5.2 Saran Saran yang dapat diberikan pada tugas akhir ini adalah: 1. Disarankan selain mendapatkan portofolio yang efisien dari sekumpulan portofolio yang sudah terbentuk, dicari pula portofolio optimal dari portofolioportofolio yang efisien. 2. Diharapkan pada penelitian selanjutnya, fungsi obyektif yang digunakan tidak hanya melihat dari segi ekspektasi return dan nilai resiko portofolio saja, sehingga ada penambahan fungsi obyektif baru dalam pemilihan portofolio. Selanjutnya dapat dibandingkan seberapa besar pengaruh penambahan fungsi obyektif tersebut dalam hal pemilihan portofolio.
10
