Analisa Penerapan Metode Robust Locally Weight Regression Smoothing Scatterplots Pada Obligasi (“ Analysis of Application Robust Locally Weight Regression Smoothing Scatterplots’s Method in Obligation “) Oleh : Wahyu Safi’i 1204 100 059 Dosen Pembimbing : Drs. Soehardjoepri, M.Si Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya 2010
ABSTRAKSI Obligasi adalah surat perjanjian yang diterbitkan oleh pihak yang butuh dana jangka panjang, dimana penerbit obligasi berjanji akan membayar bunga dan pokok hutang pada waktu tertentu kepada pemegang obligasi. Salah satu atribut penting dalam penilaian harga obligasi adalah struktur yield. Penilaian yield untuk penelitian ini digunakan pendekatan Yield to Maturity (YTM). Metode yang digunakan untuk memodelkan yield curve dalam penelitian ini adalah Robust Locally Weighted Regression Smoothing Scatterplots (RLWRSS). RLWRSS merupakan salah satu metode yang tegar terhadap outlier. Data obligasi pemerintah Indonesia didapatkan dari Badan Pengawas Pasar Modal (BAPEPAM) melalui Indonesian Bond Pricing Agency (IBPA). Data yang digunakan dalam penelitian ini sebanyak 12 pasangan YTM-TTM yang dipilih berdasarkan kecukupan data untuk proses validasi. Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa nilai Root mean Square Error (RMSE) out sample dari metode RLWRSS dipilih nilai residual ሺɂ୧ ሻ terkecil sehingga, menurut Cleveland (1979) didapatkan suatu kriteria yang baik dalam menentukan harga obligasi yang optimal. Kata kunci : Obligasi, yield, RLWRSS, outlier, RMSE. I.
Pada penelitian ini yang dibahas adalah surat berharga berupa obligasi. Penetapan harga wajar suatu obligasi dapat ditentukan dengan perkiraan besar arus kas yang diharapkan dan besarnya hasil (yield). Salah satu cara untuk mengukur yield yang umumnya digunakan oleh manajer portofolio adalah pendekatan Yield to Maturity (YTM). Sedangkan model yang mencerminkan hubungan Yield to Maturity (YTM) dengan Time to Maturity (TTM) seringkali disebut kurva imbal hasil (yield curve). Pada penelitian ini akan digunakan data obligasi pemerintah Indonesia yang didapatkan dari Bapepam dengan menggunakan metode Robust Locally Weight Regression Smoothing Scatterplots (RLWRSS).
Pendahuluan
Bagi para investor, pasar modal merupakan wahana yang dapat dimanfaatkan untuk menginvestasikan dananya (dalam aset finansial). Dalam hal ini aset finansial tersebut sering kita kenal dengan istilah surat berharga.Pada dasarnya, surat berharga di pasar modal diklasifikasikan dalam dua bentuk yaitu surat berharga yang bersifat ekuitas (equity), umumnya dikenal dengan nama saham dan surat berharga yang bersifat pendapatan tetap (fixed income), umumnya dikenal dengan obligasi. Sedangkan surat berharga yang lainnya merupakan turunan dari kedua bentuk itu.
1
Pada Tugas Akhir ini dilakukan analisa model matematis yang digunakan dalam menyelesaikan permasalahan dalam obligasi. Selain itu, dilakukan penelitian dengan menggunakan metode RLWRSS yang bertujuan untuk mendapatkan suatu kriteria kebaikan dalam menentukan harga obligasi yang optimal berdasarkan Hubungan YTM dan TTM yang ditunjukkan berupa yield curve.
Gambar 2.1 Transaksi Perdagangan Obligasi Sumber : Pusat Manajemen Obligasi Negara Departemen Keuangan Republik Indonesia dalam Siahaan (2002).
2.2 Penetapan Harga Obligasi Penentuan harga obligasi dapat dilakukan setelah diketahui arus kas obligasi dan hasil yang diinginkan. Dikarenakan harga obligasi merupakan nilai sekarang (present value) arus kas, maka harga obligasi ditentukan dengan menambahkan dua nilai sekarang yaitu : i) Nilai sekarang pembayaran suku bunga kupon (misal enam bulanan) ii) Nilai sekarang nilai maturitas obligasi (nilai sekarang dari nilai obligasi pada saat jatuh tempo)
2. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Pengertian Dasar Obligasi Siahaan (2002) mendefinisikan obligasi sebagai surat pengakuan utang dengan kesanggupan untuk mengembalikan pokok utang pada waktu yang telah ditentukan (jatuh tempo). Selain itu, penerbit wajib membayar bunga (kupon) setiap tahun atau enam bulan sekali kepada pemegang obligasi. Ketidakmampuan membayar bunga sesuai ketetapan dalam kontrak menyebabkan peminjam disebut wanprestasi (Fabozzi, 2004). Peminjam dapat dituntut untuk dinyatakan pailit di pengadilan. Obligasi dapat dibeli langsung dari emiten (badan yang menerbitkan) atau di pasar terbuka melalui bursa efek. Obligasi dapat juga didapatkan melalui perusahaan efek (investment bankers). Sebagian besar perdagangan obligasi dilakukan di luar bursa efek (Over The Countermarket atau OTC). Transaksi di OTC dilakukan secara langsung antara pihak-pihak berkepentingan yaitu emiten, perantara dan investor melalui telepon media elektronik, pialang dan lain sebagainya. Secara umum perdagangan obligasi dapat ditunjukkan pada Gambar 2.1.
Misalkan kupon dibayarkan setahun dua kali, maka formulasi perhitungan harga obligasi adalah : n C P t 1 r t 1
(2.1)
dengan : P = harga obligasi sekarang (pada saat t = 0) n = jatuh tempo (jumlah tahun x 2), minimal 4 tahun. C = besarnya pembayaran kupon/ bunga obligasi (Rp) r = yield yang diinginkan/ tingkat diskonto obligasi (%). M = nilai par value/ maturitas obligasi (Rp) t = periode waktu pembayaran kupon ( t ≥ 1) Harga obligasi dapat berubah sewaktu-waktu. Hal ini merupakan ciri dasar obligasi, dimana perubahan harga terjadi dengan arah berlawanan dari perubahan hasil yang diinginkan. Penyebabnya adalah karena harga obligasi merupakan nilai sekarang dari arus kas. Seiring dengan meningkatnya hasil yang diinginkan, nilai sekarang dari arus kas akan menurun. Sehingga harga obligasi juga turun.
PASAR PERDANA Adalah kegiatan penawaran dan penjualan obligasi untuk pertama kali
2.3 Yield To Maturity (YTM) Hasil saat jatuh tempo (YTM) adalah suku bunga yang menyamakan nilai sekarang dari sisa arus kas obligasi dengan harga obligasi ditambah bunga yang akan dibayar (Fabozzi, 2000). Sedangkan yield merupakan tingkat keuntungan investor atau tingkat pengembalian emiten dan berbeda dengan
PASAR SEKUNDER Adalah kegiatan perdagangan obligasi yang telah dijual
BURSA EFEK
M (1 r ) n
OTC
2
bunga. Perhitungan hasil saat jatuh tempo membutuhkan prosedur uji coba (trial and error). Untuk memperoleh yield digunakan Persamaan (2.1) dengan mencoba berbagai nilai suku bunga hingga nilai sekarang dari arus kas akan sama dengan harga obligasi. Fabozzi (2000) menyatakan perhitungan untuk obligasi zero coupon adalah sebagai berikut :
Gambar 2.4 Fungsi Pembobot Tricube Selanjutnya pembobot yang berbeda, i didefinisikan untuk setiap ( xi , yi ) tergantung berdasarkan besarnya residual yang dihasilkan. Residual yang kecil mengakibatkan nilai pembobot, i besar, dan sebaliknya Kemudian didapatkan nilai taksiran yang baru dengan prosedur sama seperti locally weighted regression tetapi mengganti pembobot wk ( xi ) dengan i wk ( xi ) . Perhitungan pembobot dan nilai taksiran yang baru diulangi hingga beberapa kali. Keseluruhan tahapan prosedur, termasuk penentuan nilai awal f dan iterasi disebut dengan robust locally weighted regression. Prosedur penghalusan kurva dengan satu variabel independen disebut scatterplot smoothing. Prosedur smoothing telah dibuat untuk memperhalus data dengan Persamaan :
1/ n
M r P
(2.2)
1
Hubungan antara yield dengan harga obligasi berbanding terbalik. Apabila nilai suku bunga (kupon) sama dengan yield yang diinginkan maka harga obligasi dijual pada nilai maturi-tasnya (par). Jika obligasi dijual dibawah nilai maturitasnya, maka disebut obligasi dijual dengan diskonto (obligasi diskonto). Obligasi dengan harga diatas nilai maturitasnya disebut dijual pada premi (obligasi premi). 2.4 RLWRSS atau Robust Locally Weighted Regression Smoothing Scatterplots Taksiran lokal dengan polinomial telah digunakan selama lebih dari satu dasawarsa untuk memperhalus plot time series (Macauley, 1931). Locally weighted regression merupakan perlu-asan dari teknik ini dengan struktur variabel prediktor yang lebih umum. Stone (1977) menjelaskan bahwa locally regression merupakan pendekatan untuk menaksir kurva dengan prosedur smoothing.
yi g ( xi ) i
(2.3) dengan g adalah fungsi penghalus dan i merupakan variabel acak dengan rata-rata nol dan skala konstan. yˆ i adalah taksiran dari
g ( xi ) . Pada proses penghalusan kurva, titik di persekitaran ( xi , yi ) dapat digunakan dalam pembentukan yˆ i . Untuk fungsi pembobot,
Dalam metode RLWRSS, fungsi pembobot W didefinisikan dengan kriteria sebagai berikut: (Cleveland, 1979) i). W ( x ) 0 untuk | x | 1 ii). W ( x ) W ( x ) iii). W (x ) adalah fungsi tidak naik untuk
W(x) nilainya menurun setiap bertambahnya nilai x (positif naik) dan nilai pembobot wk ( xi ) menurun seperti meningkatnya jarak
x0
xk dari x i . Titik yang dekat dengan x i berpengaruh besar dalam pembentukan yˆ i ,
iv). W ( x ) 0 untuk | x | 1
dan sebaliknya. Peningkatan pada nilai f berpengaruh pada tingkat kehalusan kurva yang dihasilkan.
dengan W adalah fungsi pembobot tricube : (1 | x |3 ) 3 , | x | 1 W ( x) ,| x | 1 0
Maka fungsi pembobot W, dapat diilustrasikan dengan Gambar 2.4.
3
Prosedur RLWRSS secara rinci didefinisikan oleh Cleveland (1979) sebagai berikut : (1). Nilai awal f dapat ditentukan diantara 0 hingga 1. Untuk setiap i, menghitung hi
dan ei merupakan residual pada langkah (2) yaitu ei y i yˆ i . Nilai s adalah median dari | ei | .
xi ke r terdekat persekitaran xi . Oleh karena itu, hi adalah bilangan r diantara | xi x j | sebagai jarak dari
(4). Untuk setiap i, nilai taksiran yˆ i dihitung kembali (seperti pada langkah 2) menggunakan weighted least squares dengan pembobot k w k ( x i ) .
terkecil dimana i j 1, 2, ...n . Untuk pembobot wk ( xi ) dapat ditentukan dengan persamaan : ( x xi ) (2.4) w (x ) W k
k 1, 2, ..., n ,
k
i
hi
2.4 Kriteria Pemilihan Model Terbaik Perbandingan model yield curve yang dihasilkan dari metode RLWRSS dapat dilakukan dengan kriteria RMSE (Root Mean Squared Error). Baki (2006) menjelaskan perhitungan RMSE untuk yield curve adalah sebagai berikut :
dengan W adalah fungsi pembobot tricube, (1 | x |3 ) 3 , | x | 1 W ( x) ,| x | 1 0
(2.5)
m* 2 1 RMSEin out i 1 i m* Untuk perhitungan nilai RMSE insample, m* merupakan banyaknya obligasi pada hari ke-t dan i adalah residual yang dihasilkan pada yield hari ke-t. Pada RMSE out-sample, m* adalah banyaknya obligasi pada hari ke-t+1 dan i adalah residual yang dihasilkan pada yield hari ke-t+1, yang dihitung berdasarkan model pada hari ke-t. Data obligasi hari ke-t+1 merupakan data validasi. Menurut cleveland (1979) model terbaik adalah model yang menghasilkan nilai RMSE terkecil out-sample yaitu dipilih nilai residual yang terkecil dari banyaknya sampel yang dipilih.
(2). Untuk setiap i, dapat ditentukan estimasi parameter ˆ j ( xi ), j 0,1,..., d , yaitu parameter di regresi polinomial dari y k ke x k dengan derajat d. Kemudian melakukan analisis regresi polinomial dengan pembobot wk ( x i ) untuk ( x k , y k ) . Parameter didapatkan dengan ˆ j ( x i ) meminimalisasikan errornya dari persamaan : n
w ( x )y k
i
k
0 ( xi ) 1 ( xi ) xk ... d ( xi ) xk
d 2
k 1
(2.6) Berdasarkan metode weighted least squares, estimasi parameter untuk RLWRSS dapat didapatkan dengan persamaan : ˆ ( xi ) ( ˆ0 ( xi ), ˆ1 ( xi ),..., ˆd ( xi )) ' 1
x ' wk ( xi ) x x ' wk ( xi ) y
3. Metode Penelitian 3.1 Sumber Data Data yang digunakan dalam penelitian ini merupakan data sekunder berasal dari IBPA. Sedangkan IBPA mendapatkan data ini dari BAPEPAM periode Januari hingga April 2009. Data tersebut berbentuk data pasangan YTM dan TTM.
(2.7)
(3). Nilai parameter ˆ j ( xi ) telah didapatkan di langkah (2). Langkah selanjutnya adalah menentukan nilai pembobot robust, k : e k B k 6s
(2.9)
3.2 Variabel Penelitian Variabel yang digunakan untuk memodelkan yield curve dalam penelitian ini meliputi, variabel dependen (y) yaitu YTM dalam persentase dan variabel independen (x) yang merupakan TTM dalam satuan tahun. Data obligasi periode Januari hingga April 2009 terdapat 82 hari transaksi. Pada
dengan B adalah fungsi pembobot bisquare, yaitu : (1 x 2 ) 2 , | x | 1 B( x) , | x |1 0
(2.10)
4
penelitian ini digunakan 12 hari transaksi, yaitu tiga hari ditiap bulannya. Pasangan data YTM-TTM yang dimodelkan dipilih berdasarkan kecukupan data untuk proses validasi secara out-sample. Data validasi yang digunakan adalah hari berikutnya. Kriterianya adalah nilai TTM data validasi tidak melebihi dari data nilai TTM yang dimodelkan. Hal ini dikarenakan pada RLWRSS, metode yang digunakan untuk menaksir YTM hari berikutnya adalah dengan interpolasi.
Mulai Menetapkan YTM sebagai variabel y dan TTM sebagai variabel x Menentukan nilai f dengan batasan 0-1 Menghitung r yaitu (f.n) Menghitung h yaitu jarak terdekat ke-r persekitaran x i
3.3 Langkah Analisis Gambar 3.1 adalah diagram alir proses penelitian secara umum mulai dari pengumpulan data obligasi pemerintah periode Januari hingga April 2009, analisa data dengan metode RLWRSS hingga pemilihan metode terbaik berdasarkan nilai RMSE in-out sample RLWRSS.
Menghitung wk ( xi ) Iterasi hingga konvergen Melakukan analisis regresi antara variabel y dan x dengan pembobot wk ( x i ) Mendapatkan residual ( i )
Pengumpulan data obligasi pemerintah Indonesia sebagai study kasus
Menghitung pembobot robust k Melakukan analisis regresi kembali antara variabel y dan x dengan pembobot k wk ( x i )
Analisa data metode RLWRSS
Nilai konvergen
Perbandingan metode berdasarkan akurasi prediksi dan kehalusan kurva yield
tidak
ya
Selesai Pemilihan metode terbaik dengan kriteria RMSE in-out sample
Gambar 3.2 Proses Pemodelan yield curve Menggunakan Metode RLWRSS.
Kesimpulan dan saran
Gambar 3.1 Diagram Alir Penelitian
5
dipilih berdasarkan kecukupan nilai TTM untuk proses validasi.
4. Hasil Penelitian 4.1 Deskripsi Data Transaksi Obligasi Pemerintah Dalam pembahasan ini, YTM sebagai variabel independen dan TTM sebagai variabel dependen. Data obligasi pemerintah Indonesia memiliki banyak outlier dan juga memiliki interval TTM yang panjang. Hal inilah yang mendasari penelitian untuk menggunakan metode RLWRSS. Metode RLWRSS merupakan salah satu metode non-linear yang tegar terhadap adanya data outlier. Oleh karena itu, data transaksi obligasi pemerintah yang akan digunakan adalah data asli tanpa proses penghilangan outlier.
4.2 Pemodelan RLWRSS
Yield
Curve
dengan
Metode RLWRSS merupakan salah satu metode yang tegar terhadap adanya data outlier. Hal ini karena RLWRSS memiliki nilai penghalus f, yang berfungsi sebagai titik penghalus yang dapat ditentukan oleh peneliti. Nilai f memiliki batasan antara 0 hingga 1. Penentuan nilai f tergantung dari pola datanya. Jika terdapat data outlier dalam data, maka semakin besar nilai f akan semakin halus kurva yang dihasilkan. Sebagian besar peneliti menyarankan menggunakan nilai f sebesar 0.5 Nilai lain yang dapat ditentukan oleh peneliti adalah derajat polinomial, d. Dalam penelitian ini derajat polinomial yang digunakan adalah polinomial kuadratik dan nilai f yang digunakan adalah 0.3 dan 0.5. Nilai f ini dipilih karena sebagian besar data obligasi pemerintah memiliki hasil residual yang kecil.
Gambar 4.1 adalah plot dari data transaksi obligasi pemerintah sebanyak 12 buah yang akan dimodelkan. Data pasangan YTM-TTM ini diambil pada bulan Januari hingga April masing-masing 3 hari. Gambar tersebut menunjukkan pola hubungan antara YTM dan TTM yang semakin menaik. Hal ini menunjukkan bahwa antar variabel memiliki hubungan yang non-linear.
Tabel 4.2 Nilai RMSE Data YTM-TTM in-out sample Plot 12 PasangData YTM-TTM YTM-5J*TTM-5J
YTM-16J*TTM-16J
YTM-23J*TTM-23J
YTM-4F*TTM-4F
0.120
0.105
0.120
0.120
0.105
0.105
0.090
0.12
0.10
(b)
(a)
RMSE in-sample Tgl Transaksi f = 0.3 f = 0.5 5-Jan 0.0023* 0.0032 16-Jan 0.0048* 0.0064 23-Jan 0.0041* 0.0043 4-Feb 0.003 0.0027* 9-Feb 0.0059* 0.006 26-Feb 0.0092 0.0062* 4-Mar 0.0069* 0.0075 5-Mar 0.0038* 0.0042 17-Mar 0.0041* 0.0057 8-Apr 0.0029* 0.003 17-Apr 0.0018* 0.0018* 28-Apr 0.0020* 0.0026 *Nilai RMSE lebih kecil
(c)
(d)
0.090
0.090
0.08 0
15
30
0
YTM-9F*TTM-9F
15
30
0
YTM-26F*TTM-26F
15
30
10
20
YTM-5M*TTM-5M
0.16 0.12
0
YTM-4M*TTM-4M 0.16
0.130 0.12
0.10
0.12
0.105
(f)
(e)
(g) 0.08
0.08
(h) 0.08
0.080 0
10
20
0
YTM-17M*TTM-17M
10
20
0
YTM-8A*TTM-8A
10
20
0
YTM-17A*TTM-17A
10
20
YTM-28A*TTM-28A
0.15 0.12
0.12
0.12 0.12 0.10
0.10
0.10 0.09
(i) 0
10
20
(j) 0.08 0
10
20
(k)
0.08 0
10
20
(l)
0.08 0
10
20
Gambar 4.1 Plot Pasangan Data YTM-TTM Januari-April 2009 Gambar 4.1 merupakan data pasangan YTM-TTM yang akan dimodelkan. Plot (a), (b) dan (c) merupakan data pasangan YTMTTM tanggal 5, 16 dan 23 Januari. Plot (d), (e) dan (f) adalahYTM-TTM tanggal 4, 9 dan 26 Februari. Plot (g), (h) dan (i) adalah YTMTTM tanggal 4, 5 dan 17 Maret. Plot (j), (k) dan (l) merupakan data pasangan YTM-TTM tanggal 8, 17 dan 28 April. Data pasangan ini
RMSE sample f = 0.3 0.0097* 0.0076* 0.0044 0.0057 0.0098 0.0191* 0.0167 0.0097* 0.0152 0.0030* 0.0033* 0.0161*
outf = 0.5 0.0101 0.0156 0.0043* 0.0055* 0.0096* 0.0201 0.0155* 0.0098 0.0087* 0.0031 0.0035 0.0169
Berdasarkan Tabel 4.2 menunjukkan nilai RMSE in-out sample dari 12 pasang data YTM-TTM. Ditunjukkan bahwa sebagian besar nilai RMSE in-sample dengan nilai f sebesar 0.3 memiliki nilai lebih kecil daripada menggunakan f sebesar 0.5 Dengan nilai f sebesar 0.3, sebanyak 9 hari memiliki RMSE in-sample lebih kecil. Dan pada transaksi tanggal 17 April memiliki nilai RMSE insample yang sama antara nilai f sebesar 0.3
6
p 0 0 0 5 2 0 2 7 0 4 2 0
dan 0.5. Nilai ini menjadi nilai RMSE insample terkecil yaitu 0.18.
DAFTAR PUSTAKA [1] Prasetyo, H dkk. 1996. Manajemen Portofolio dan Analisis Investasi. Yogyakarta : ANDI Yogyakarta. [2] Bolder, D., & Streliski, D. 1999. Yield Curve Modelling at the Bank of Canada. Technical. Ottawa: Bank of Canada. [3] Cleveland, W.S. 1981. LOWESS: A Program for Smoothing Scatterplots by Robust Locally Weighted Regression. The American Statistician, 35, 54. [4] Durand, D. 1942. Basic Yields of Corporate Bonds, 1990-1942. Cambridge: Mass. [5] Fabozzi, F. J. 2000. Manajemen Investasi Buku 2. Jakarta : Salemba Empat. [6] Fakhruddin, M. & Hadianto, M. S. 2001. Perangkat dan Model Analisis Investasi di Pasar Modal. Jakarta : PT. Elex Media Komputindo. [7] Drapper, N.R., & Smith, H. 1992. Analisis Regresi Terapan. Jakarta : PT. Gramedia Pustaka Utama. [8] Cleveland, W. S. 1981. LOWESS: A Program for Smoothing Scatterplots by Robust Locally Weighted Regression. The American Statistician. [9] Cleveland, W. S. & Grosse, E. 1991. Computational Methods for Local Regression. Statistics and Computing.
5. Penutup Berdasarkan analisis dan pembahasan pada bab sebelumnya maka diperoleh dua kesimpulan yang merupakan jawaban dari permasalahan penelitian ini, yaitu Pemodelan yield curve obligasi pemerintah Indonesia menggunakan RLWRSS menunjukkan bahwa dengan nilai awal f sebesar 0.3 dan derajat polinomial dua (kuadratik) menghasilkan nilai RMSE out sample yang lebih kecil dibandingkan ݂ ൌ Ͳǡͷ. Selain itu kurva yang dihasilkan dari plot prediksi out sample RLWRSS lebih halus karena ada pembobot robust. Rata-rata jumlah data validasi yang keluar dari selang metode RLWRSS sebanyak 2 (pembulatan) buah data. Metode RLWRSS merupakan metode yang tahan terhadap adanya data outlier sehingga data outlier tersebut tidak perlu dihapus/ dihilangkan.
7
