MODUL 8 FUNGSI LINGKARAN & ELLIPS
8.1. LINGKARAN A. PERSAMAAN LINGKARAN DENGAN PUSAT PADA TITIK ASAL DAN JARI-JARI R Persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari –jari R adalah :
x2 + y2 = R2
B. PERSAMAAN LINGKARAN DENGAN PUSAT (a,b) DAN JARI-JARI R Persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) dan jari-jari R adalah : (x – a)2 + (y – b)2 = R2
C. PERSAMAAN UMUM LINGKARAN Bentuk Umum persamaan lingkaran adalah :
x2 + y 2 + Ax + By + C = 0
Dimana : -
Pusatnya
:
-
Jari-jarinya =
:
Keterangan :
1. Koefisien x2 dan y2 adalah sama 2. Tidak ada suku yang berbentuk xy D. PERPOTONGAN GARIS DENGAN LINGKARAN
Jika diketahui garis
g : y = mx + n
Lingkaran
L : x2 + y2 = R2
Maka jika garis g disubstitusikan pada lingkaran L akan didapat :
x2 + (mx + n) 2 = R2
Jika persamaan ini diselesaikan akan didapatkan suatu persamaan kuadarat dalam x sebagai berikut :
(1 - m2 ) x2 + 2mnx + n 2 - R2 = 0
Diskriminan dari persamaan kuadrat ini adalah :
D = -4 n2 + 4 R2 ( 1 + m2)
Jika : -
D < 0 Æ berarti g tidak memotong L
-
D > 0 Æ berarti g memotong L pada dua titik yang berbeda
-
D = 0 Æ berarti g memotong L pada satu titik (garis g menyinggung L)
E. GARIS SINGGUNG PADA LINGKARAN Jika diketahui garis Lingkaran
g : y = mx + n L : x2 + y2 = R2
Jika g disubstitusikan pada L, maka didapat persamaan kuadrat dengan
D = -4 n2 + 4 R2 ( 1 + m2)
Agar g menyinggung L, maka D = 0, sehingga diperoleh : -4 n2 + 4 R2 ( 1 + m2) = 0
Jika persamaan tersebut diuraikan, maka diperoleh :
n=
Jika harga ini disubstitusikan pada persamaan garis g, maka akan didapatkan persamaan garis singgung dengan koefisien arah m pada lingkaran yang berpusat di titik asal dengan jari-jari R sebagai berikut :
y=
Dari hasil di atas didapatkan persamaan garis singgung dengan koefisien arah m pada lingkaran L = (x - a)2 + (y – b)2 = R2 sebagai berikut :
(y – b) =
Jika diketahu titik P (x1, y1) erletak pada lingkaran x2 + y2 = R2 maka persamaan garis singgung di titik
x1x + y1y = R2
Contoh SOAL : 1.
. Tentukan titik pusat lingkaran
Persamaan lingkaran tersebut! Jawab : Diketahui
:
Dit anya
: Titik Pusat lingkaran ?
Maka
:
.
Titik Pusat Lingkaran
, dimana A = -4 dan B = 6
= = = (2, -3) =====
2.
Persamaan Lingkaran
. Tentukan titik pusat dan jari-jarinya !
Jawab : .
Diketahui
:
Ditanya
: Titik pusat dan jari-jari ?
Maka
:
Titik Pusat Lingkaran
, dimana A = -2 dan B = -6
= = = (1, 3) =====
Jari-jari lingkaran
=
=
dimana A = -2 dan B = -6, C = 6
=
= 3.
=
=2
Lingkaran L dengan persamaan (x – 5)2 + (y + 3)2 = 49 dan garis g dengan persamaan y = 3. Buktikan bahwa garis g tersebut memotong lingkaran L ! Jawab : Diketahui
: (x – 5)2 + (y + 3)2 = 49 dan y = 3
Ditanya
: Buktikan bahwa garis g tersebut memotong lingkaran L !
Maka
: Untuk memotong suatu lingkaran : Diskriminan > 0 (x – 5)2 + (y + 3)2 = 49 dan y = 3 (x – 5)2 + (3 + 3)2 = 49 (x – 5)2 + 36 = 49 Æ (x – 5)2 + 36 - 49 = 0 x2 - 10x + 25 – 13 = 0 x2 - 10x + 25 – 13 = 0 x2 - 10x + 12 = 0 D = b2 – 4ac Æ dimana : a = 1, b = -10 dan c = 12 D = (-10)2 – 4(1)(12) D = 100 – 48 D = 52 > 0 Î Garis g memotong lingkaran L
4.
Lingkaran L : x2 + Y2 = 25 dan titik P(3,4) maka tentukanlah garis singgung di titik P! Jawab : Diketahui
: L : x2 + Y2 = 25 dan titik P(3,4)
Ditanya
: Garis singgung ???
Maka Garis singgung pada lingkaran tersebut adalah : Dengan menggunakan persamaan x1x + y1y = R2, didapat garis singgung di (3, 4) : 3x + 4y = 25
5.
Tentukan persamaan garis singgung di titik (4, -1) pada lingkaran : x2 + y2 + 6x – 4y – 45 = 0 Jawab : x2 + y2 + 6x – 4y – 45 = 0 Æ pusat = ( -1/2 (6), -1/2(-4)) = (-3, 2) Persamaan garis g melalui pusat lingkaran (-3, 2) dan titik (4, -1) adalah : (y – 2) = x + 3 -1 – 2 4 – 3
Æy–2 -3
=
x+3 1
y – 2 = -3x – 9 y = -3x + 11 Æ m1 = -3 Persamaan garis l melalui titik (4, -1) adalah : (y + 1) = m2(x – 4) y = m2x – (4m2 + 1) Agar I merupakan garis singgung lingkaran haruslah m1m2 = -1 (-3)m2 = -1 Æ m2 = 1/3 Persamaan garis singgung di (4, -1) ialah : Y = 1/3 x – (4. 1/3 + 1) Y = 1/3 x – 1/3 =========
6.
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 9 yang melalui titik ( 0, -5) di luar lingkaran Jawab : Persamaan garis singgung melaui (0, -5) Æ y + 5 = m(x – 0) y= mx – 5
…………………….
Garis ini memotong lingkaran (x2 + y2) = 9. Pada titik potong tersebut berlaku : x2 + (mx – 5)2 = 9 x2 + m2x2 – 10 mx + 25 = 9 (1 + m2)x2 - 10 mx + 16 = 0 Agar (1) merupakan garis singgung haruslah D = 0
1
D = 0 Æ (-10m)2 – 4(1 + m2)16 = 0 100 m2 – 64m2 – 64 = 0 36m2 = 64 m = ±4/3 Garis singgung : y = 4/3x – 5 dan y = -4/3x – 5
SOAL LATIHAN : 1. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 9 dan tegak lurus sumbu x 2. Tentukan pusat lingkaran 4x2 + 4y2 – 16x + 24y – 48 = 0 3. Tentukan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0 di titik (5, 1) 4. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (0, 0) dan melalui titik (7, 1) 5. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 yang ditarik dari (7, 1) 6. Diketahui garis y = x – 1 dan lingkaran x2 + y2 – 4x – 6 = 0, maka perpotongan keduanya : 7. Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 16 dengan koefisien arah m = 3 8. Persamaan lingkaran dengan pusat (2, 3) dan melalui (5, -1) 9. Selidiki apakah garis y = mx + 1 dan lingkaran x2 + y2 – 2x – 2y + 1 = 0 10. Jika garis g : y = 3, dan lingkaran L = (x - 5)2 + (y + 3)2 = 49. Bagaimana keadaan garis g tersebut ????
8.2. ELLIPS Dalam matematika, sebuah elips adalah gambar yang menyerupai lingkaran yang telah dipanjangkan ke satu arah. Elips adalah salah satu contoh dari irisan kerucut dan dapat didefinisikan sebagai lokus dari semua titik, dalam satu bidang, yang memiliki jumlah jarak yang sama dari dua titik tetap yang telah ditentukan sebelumnya (disebut fokus).
Ellips & Sifat-sifat Matematisnya
Irisan kerucut dalam suatu bidang datar dapat membentuk elips
================
