MODUL 4 LINGKARAN DAN BOLA

Modul Geometri Analitik Berbasis Kontruktivisme dengan Software Wingeom

MODUL 4 LINGKARAN DAN BOLA

Sumber: www.google.co.id

Gambar 6. 6. Benda berbentuk lingkaran dan bola Dalam kehidupan sehari sehari-hari kita banyak menjumpai benda-benda benda yang berbentuk bola maupun lingkaran. Contohnya gambar di atas, yaitu bola, ban, cd, cincin dan masih banyak lagi. Benda-benda Benda benda tersebut adalah benda benda-benda yang berbentuk bola maupun lingkaran. Dalam Dalam matematika, lingkaran didefinisikan sebagai himpunan titik-titik titik titik (pada bidang datar XY) yang memiliki jarak tetap terhadap suatu titik tertentu. Bola adalah himpunan titiktitik-titik yang berjarak sama dari suatu titik tertentu (pada bidang XYZ). Pada bab ini terdiri atas 3 kegiatan belajar. Tujuan dari ke tiga kegiatan belajar ini adalah anda akan merumuskan persamaan lingkaran dan bola, bentuk umum persamaan lingkaran dan bola, menentukan garis singgung lingkaran dan menentukan bidang singgung bola.

[Program Studi udi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]

1


KEGIATAN BELAJAR 7

Persamaan Lingkaran dan Bola Setelah mempelajari kegiatan belajar 7 ini, mahasiswa diharapkan mampu menentukan persamaan lingkaran dan bola

Dalam kehidupan sehari-hari, tentu Anda banyak sekali melihat atau menemukan bangun-bangun yang permukaanya berbentuk lingkaran, bola, dan sebagainya. Coba Anda catat bangun-bangun apa saja yang permukaannya berbentuk lingkaran, bukan lingkaran, bola dan bukan bola. Pelajari ciri-ciri apa saja yang Anda temukan pada bangun-bangun yang termasuk lingkaran dan bola. Berikut ini kita akan mempelajari, bagaimana menentukan persamaan lingkaran dan bola. A. Menentukan Persamaan Lingkaran Ilustrasi 7.1: 7.1: Anda tentu sangat mengenal sekali benda yang bernama sepeda. Sepeda merupakan salah satu alat transportasi yang memanfaatkan bangun berbentuk lingkaran untuk bergerak. Bangun lingkaran pada sepeda diantaranya terdapat pada roda depan, roda belakang, roda-roda gigi depan dan belakang. Perhatikan gambar sepeda di bawah ini (Gambar 7.1).

[Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]

2



Gambar 7.1 7.1 sepeda balap Lingkaran-lingkaran tersebut mempunyai ukuran dan letak yang berbeda-beda. Ukuran lingkaran ditentukan oleh panjang jari-jarinya sedangkan letaknya ditentukan oleh posisi titik pusatnya. Definisi 1: Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu. Sebuah titik tertentu itu disebut pusat lingkaran dan jarak yang sama itu disebut jari-jari lingkaran (radius). Sekarang kita pindahkan gambar roda sepeda (Gambar 7.1) pada Koordinat Cartesius di bidang, seperti yang terlihat pada Gambar 7.2 di bawah ini.


Gambar 7.2 7.2 roda sepeda balap dan lingkaran pada koordinat cartesius [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]

3


Jika unsur-unsur lingkaran tersebut diketahui, tahukah Anda bagaimana menentukan

persamaan

lingkarannya?

Untuk

menentukan

persamaan

lingkaran berdasarkan panjang jari-jari dan letak titik pusatnya, lakukanlah kegiatan berikut ini. Kegiatan 7.1 Menentukan Persamaan lingkaran dengan pusat (, ) Langkah-langkahnya: 1.

2. 3.

Gambarkan sebuah lingkaran dengan mengambil titik pusat di sebarang titik selain titik (0,0) (beri nama titik tersebut yaitu titik (, )) dan jari-

jarinya .

(, ). Jarak antara titik T dan titik P adalah ( − ) + ( − ) .

Kemudian buatlah sebuah titik sebarang pada lingkaran tersebut, misalkan Karena jarak titik T dan titik P merupakan jari-jari lingkaran yaitu , maka

diperoleh hubungan yaitu ( − ) + ( − ) = atau

( − ) + ( − ) =

…(1)

Karena (, ) sebarang titik pada lingkaran, maka setiap titik pada lingkaran

tersebut memenuhi persamaan (1). Sehingga diperoleh persamaan (1) adalah kumpulan titik itu membentuk persamaan lingkaran yang berpusat di titik

(, ) dengan jari-jari satuan. Dengan cara proses aljabar, dapat ditentukan jika pusat lingkaran (, )

adalah (0,0), maka persamaan (1) menjadi:

( − 0) + ( − 0) = , sehingga diperoleh persamaan

+ = …(2) Persamaan (2) merupakan persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari-

jari .

Cara lain dalam menemukan konsep persamaan lingkaran yang berpusat (, )

yaitu dengan menggunakan rumus translasi sumbu koordinat seperti yang terlihat pada Gambar 7.3 di bawah ini.


4


Gambar 7.3. 7.3. Translasi (0,0) → (a,b)

Menemukan hubungan antara dan ′ serta dan ′. Garis ′, ′ adalah sumbu

baru sejajar , sumbu lama dan melalui (, ). Dengan menggeser titik pusat

(0, 0) ke titik (, ), maka didapat hubungan bahwa: ′ ′ = ! + ! → ! = " − ! ′ = " − = " − Terhadap sistem ′′, maka persamaa lingkaran (, ) yang oleh sistem ′′ dinyatakan dengan (0, 0) dan jari-jari adalah (′) + (′) = yang

jika dinyatakan dalam susunan sistem #$ menjadi:

( " − ) + ( " − ) = Jika " diganti dengan dan " diganti dengan maka persamaan di atas sama dengan bentuk pada persamaan (1) yaitu ( − ) + ( − ) = . Masalah 7.1

4 + 4 − 4 + 16 − 19 = 0 Penyelesaian Tentukan

koordinat

pusat

dan

jari-jari

lingkaran

dengan

persamaan

Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah

4 + 4 − 4 + 16 − 19 = 0 akan dibentuk menjadi persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) yaitu ( − ) + ( − ) = .

tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Dari

persamaan

Maka persamaan 4 + 4 − 4 + 16 − 19 = 0 dibagi 4 pada kedua ruas

sehingga diperoleh + − + 4 −

)* +

=0.


5


Selanjutnya + − + 4 4 − − + + + 4 + 4 = ) +

)*

+ )

)* +

= 0 dijadikan kuadran sempurna yaitu

+ +4 ) +

Sehingga diperoleh − ! + ( + 2) = 9

Jadi koordinat pusat lingkaran adalah

)

, −2! dan jari-jari adalah 3.

Setelah memahami persamaan lingkaran di atas, sekarang A Anda lanjutkan untuk memahami materi bola di bawah ini. B. Menentukan Persamaan Bola Ilustrasi 7.2: Mungkin Anda tidak asing dengan benda yang namanya bola. Benda yang berbentuk bola ini sering Anda gunakan dalam kehidupan sehari-hari, sehari hari, misalnya dalam permainan basket, voly, sepak bola, golf, kasti, dan lain sebagainya. Bola memiliki

ukuran

yang

berbeda-beda berbeda beda

tergantung

jenis

permainannya.

Perhatikan Gambar bola di bawah ini.


Gambar 7.4 7.4 Bola Sesuai dengan namanya, bola termasuk bangun ruang. Tahukah Anda apa itu bola? Definisi 2: Bola (permukaan bola) adalah himpunan titik titik-titik titik di ruang dimensi tiga yang berjarak sama dari suatu titik tertentu. Selanjutnya jarak yang sama itu disebut dengan jari-jari jari bola sedangkan titik tertentu itu dinamakan dengan titik pusat bola. Definisi 3: 3: Permukaan bola merupakan tempat kedudukan titik-titik titik titik ujung vektor di dalam ruang yang titik pangkalnya tertentu dan panjang vektor tersebut konstan. Titik pangkal tertentu itu disebut titik pusat bola, dan panjang vektor yang konstan [Program Studi udi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]

6


itu disebut jari-jari bola. Sekarang kita pidahkan gambar bola tersebut pada Koordinat Cartesius tiga dimensi. Seperti Seperti yang terlihat pada (Gambar 7 7.5) di bawah ini.

Sumber: www.google.co.id Gambar 7.5 bola sepak dan bola pada sistem koordinat 4 bolanya diketahui? Untuk menentukan persamaan bola dengan pusat (, , .)

Tahukah Anda bagaimana menentukan persamaan bola jika unsur unsur-unsur

lakukanlah kegiatan 7.2 .2 di bawah ini dan diskusikan dengan teman Anda. Kegiatan 7.2 Menentukan Persamaan bola dengan pusat (, , 5) Langkah-langkahnya:

-( , , .) dan jari-jari ..

1.

Gambarkan sebuah bola pada ruang dimensi tiga, dengan titik pusat

2.

Ambil atau buat sebuah titik sebarang /(, , 6) pada permukaan bola tersebut.

3.

Gambar 7.6 7.6 Bola pada sistem koordinat 4 000001 = 〈 − , − , 6 − .〉 dengan -/ 000001 = , Vektor -/

000001 = | | = 〈 − , − , 6 − .〉 -/ Kemudian kuadratkan vektor tersebut, sehingga persamaannya menjadi [Program Studi udi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]

7


000001 8 = ( − ) + ( − ) + (6 − .) 8-/ 000001 8 = = jari-jari bola 8-/

= ( − ) + ( − ) + (6 − . ) Karena /(, , 6) adalah sebarang titik pada permukaan bola, maka persamaan ( − ) + ( − ) + (6 − . ) = merupakan persamaan bola atau

4.

dengan pusat -(, , .) dan jari-jari = .

Persamaan bola dengan pusat -(, , .) dan jari-jari = adalah ( − ) + ( − ) + (A − 5) =

( − ) + ( − ) + (6 − .) =

…(3) (0, 0, 0),

Dengan cara proses aljabar, dapat ditentukan jika pusat persamaan bola adalah

titik

pangkal

( − 0) + ( − 0) + (6 − 0) =

persamaan itu menjadi:

+ + A =

atau

maka

…(4)

Sehingga persamaan (4) merupakan persamaan bola dengan pusat (0, 0, 0) dan

jari-jari = .

Masalah 7.2 Tentukan persamaan bola yang berpusat di titik (1,2,3) dan melalui titik (2,4,1). Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Jari-jari bola adalah jarak dua titik yang diketahui tersebut, yaitu

= (2 − 1) + (4 − 2) + (1 − 3) = √1 + 4 + 4 = 3 Dari kegiatan 7.4 diketahui bahwa persamaan bola yaitu ( − ) + ( − ) + (6 − . ) = Selanjutnya dengan menggunakan persamaan tersebut substitusikan jari-jari 3

dan titik pusat (1,2,3) sehingga diperoleh ( − 1) + ( − 2) + (6 − 3) = 3 Sehingga diperoleh persamaan bola yaitu ( − 1) + ( − 2) + (6 − 3) = 9


8


Setelah memahami persamaan lingkaran dan persamaan bola di atas, kita lanjutkan materi selanjutnya, yaitu bentuk umum persamaan lingkaran dan bola. C. Menentukan Bentuk Umum Persamaan Lingkaran Tahukah Anda bagaimana menentukan persamaan bola jika unsur-unsur bolanya diketahui? Untuk menentukan persamaan bola dengan pusat (, , .)

lakukanlah kegiatan 7.3 di bawah ini dan diskusikan dengan teman Anda. Kegiatan 7.3. 7.3. Menentukan persamaan umum lingkaran Langkah-langkahnya: di (, ) yang telah dilakukan, yaitu ( − ) + ( − ) = Jabarkan persamaan tersebut, sehingga diperoleh

1.

Tulis kembali bentuk persamaan lingkaran pada kegiatan 9.1 yang berpusat

2.

− 2 + + − 2 + = kemudian semua variabel dipindahkan ke ruas kiri sehingga diperoleh

3.

− 2 + + − 2 + − = 0 dengan memisalkan persamaan di atas dengan - = −2, / = −2 , dan persamaan

4.

D = + − atau

1 1 E - = −2, / = −2 , = − - + − / − D 2 2 + + F + G + H = I

Sehingga diperoleh bentuk umum persamaan lingkaran adalah

…(3)

J J ) ) Dengan pusat di − F, − G! dan jari-jari = K − -! + − /! − D

Sehingga diperoleh = K F + G − H J L

J L

Dari persamaan (5) dan jari-jari di atas, dapat disimpulkan tiga kemungkinan,

yaitu: 1.

Jika - + / − D > 0 atau D < - + / , maka lingkaran itu dinamakan ) +

) +

lingkaran nyata (sejati). (sejati)

2.

Jika

) +

) +

) +

- + / − D < 0 atau D > - + / , maka lingkaran itu disebut ) +

lingkaran khayal. khayal

) +

) +


9


3.

Jika

) +

- + / − D = 0 atau D = ) +

) +

- + / , maka lingkaran itu disebut ) +

lingkaran titik. titik Jadi, lingkaran titik adalah lingkaran yang mempunyai jarijari = 0. Jika diketahui tiga buah titik O(1,3), P (6, −2) dan (−3, −5) yang tidak segaris Masalah 7.3: 7.3:

P ≡ + + - + / + D = 0 yang mengandung tiga parameter yaitu -, /, dan D, bagaimanakah bentuk pada suatu persamaan umum lingkaran, yaitu

persamaan lingkaran tersebut?

Gambar 7.7 7.7. .7. Lingkaran Yang Melalui Tiga Buah Titik Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. untuk menentukan persamaan umum lingkaran tersebut dapat digunakan cara determinan dan cara subsitusi-eliminasi. Misalkan tiga buah titik O() , ) ), P( , ) dan (U , U ) yang tidak segaris

P ≡ + + - + / + D = 0 yang mengandung tiga parameter yaitu -, /, dan D. pada suatu persamaan umum lingkaran, yaitu

a.

Dengan cara Determinan

Secara determinan menentukan persamaan lingkaran yang melalui ke tiga titik dengan menggunakan rumus di bawah ini.


10


+ J J J JW + J V ≡ WW J =I …(6) + JW X + X X X J Substitusikan nilai () , ) ), ( , ) dan(U , U ) ke dalam persamaan (6) dan

cari determinan dari L tersebut menggunakan ekspansi kofaktor. kofaktor b.

Dengan cara SubstitusiSubstitusi-eliminasi Misalkan bentuk umum persamaan lingkaran yang akan ditentukan: V ≡ + + F + G + H = I O() , ) ) pada P, berarti: ) + ) + -) + /) + D = 0 P( , ) pada P, berarti: + + - + / + D = 0

(U , U ) pada P, berarti: U + U + -U + /U + D = 0

…(7) ……(7.1) ……(7.2)

Dari persamaan (7.1), (7.2), dan (7.3), tentukan nilai -, /, dan D.

……(7.3)

Atau

…(8) V ≡ ( − ) + ( − ) = Dimana ( − ) = − + begitu juga sebaliknya untuk ( − ) .

dengan menggunakan persamaan lingkaran yaitu:

O() , ) ) pada P, berarti: () − ) + () − ) = P( , ) pada P, berarti: ( − ) + ( − ) = (U , U ) pada P, berarti: (U − ) + (U − ) =

……(8.1)

……(8.2) ……(8.3)

Dengan mensubstitusi nilai () , ) ) pada persamaan (8.1), nilai ( , )

pada persamaan (8.2), dan nilai (U , U ) pada persamaan (8.3) maka

diperoleh nilai , , dan . Setelah memperoleh nilai , , dan maka

substitusi , , dan ke persamaan (8), selanjutnya persamaan (8) dijabarkan sehingga terbentuk persamaan umum lingkaran seperti persamaan (7).

Setelah memahami materi di atas, selesaikanlah masalah 9.3 dengan menggunakan cara determinan dan eliminasi-substitusi dengan teman Anda. Buatlah dikertas kegiatan Anda. D. Menentukan Bentuk Umum Persamaan Bola Untuk menentukan bentuk umum bola lakukanlah kegiatan di bawah ini. Kegiatan 7.4. 7.4. Menentukan persamaan umum bola Langkah-langkahnya: 1.

2.

(, , .) yang telah dilakukan, yaitu ( − ) + ( − ) + (6 − .) = Jabarkan persamaan tersebut, sehingga diperoleh

Tulis kembali bentuk persamaan bola pada kegiatan 1.2 yang berpusat di


11


3.

+ + 6 − 2 − 2 − 2.6 + + + . − = 0 Kemudian dimisalkan - = −2, / = −2 , D = −2. dan + + . − = Y + + A + F + G + HA + Z = I

Maka persamaan bola tersebut dapat ditulis menjadi,

…(9)

bahwa persamaan bola adalah suatu persamaan kuadrat dalam , dan 6

Dari bentuk umum persamaan bola tersebut maka dapat disimpulkan

Tidak memuat suku-suku , 6 atau 6,

dengan ciri-ciri sebagai berikut a.

b.

Koefisien-koefisien , , dan 6 selalu sama.

dari persamaan + + 6 + - + / + D6 + Y = 0. Persamaan ini diubah

Selanjutnya, akan ditentukan koordinat titik pusat dan jari-jari dari bola

dalam bentuk kuadrat sempurna dari , dan 6 sebagai berikut:

+ - + - ! + + / + / ! + 6 + D6 + D ! = - + / + D − Y )

)

+

)

+

)

+

+

)

)

+

+

1 1 1 1 1 1 + - + + / + 6 + D = - + / + D − Y 2 2 2 4 4 4 Persamaan di atas sama bentuknya dengan persamaan bola yang telah Selanjutnya, persamaan tersebut dijadikan ke dalam bentuk

diperoleh pada kegiatan 1.2, dari persamaan tersebut diperoleh titik pusat bola

yaitu [ − F, − G, − H! dan jari-jarinya adalah = K F + G + H − Z. J

J

J

J

L

J L

Dari persamaan umum bola + + 6 + - + / + D6 + Y = 0, atau

J L

dengan - = −2, / = −2 , D = −2. dan Y = + + . − ,

maka diperoleh = − -, = − /, dan . = − D. )

)

)

1 1 1

(, , . ) = (− -, − /, − D) 2 2 2 Kemudian Y = + + . − , atau Berarti pusat bola itu adalah

= + + . − Y

= − -! + − /! + − D! − Y )

)

1 1 1 = - + / + D − Y 4 4 4

)


12

13


Maka = K F + G + H − Z, ini merupakan rumus untuk menghitung J

J

L

jari-jari bola.

J

L

L

Dari persamaan dan yaitu: (i) Jika

) +

jari-jari di atas, dapat disimpulkan tiga kemungkinan,

- + / + D − Y > 0, maka > 0. Kondisi ini memperlihatkan )

)

+

+

bentuk bola yang disebut bola nyata (sejati). (sejati) (ii) Jika

) +

- + / + D − Y = 0, maka = 0. Kondisi ini memperlihatkan ) +

) +

bentuk bola yang disebut dengan bola titik. titik (iii) Jika

) +

- + / + D − Y < 0, ) +

) +

maka

imajiner.

Kondisi

ini

memperlihatkan bentuk bola yang disebut dengan bola khayal (imajiner). (imajiner) Masalah 7.4: Jika diketahui tiga buah titik O(2, −1,8), P(−3, −1,3), (2,4,3) dan ](2,2, −1)

^ ≡ + + 6 + - + / + D6 + Y = 0 yang mengandung empat parameter yaitu -, /, D, dan D bagaimanakah bentuk

yang tidak sebidang pada suatu persamaan umum bola, yaitu

persamaan bola tersebut?. Penyelesaian

Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. untuk menentukan persamaan umum bola tersebut dapat digunakan cara Misalkan empat buah titik yaitu O() , ) , 6) ), P( , , 6 ), (U , U , 6U )

determinan dan cara subsitusi-eliminasi.

dan ](+ , + , 6+ ) yang tidak sebidang. Maka persamaan bola tersebut dapat dicari dengan menggunakan cara di bawah ini. a.

Dengan cara determinan Secara determinan menentukan persamaan bola yang melalui ke empat + + A WJ + J + AJ _ ≡ + + A W + + A X X X L + L + AL

J X L

J X L

A AJ A AX AL

J JW J =I JW J

titik dengan menggunakan rumus di bawah ini.

…(10)



Substitusikan nilai () , ) , 6) ), ( , , 6 ), (U , U , 6U ) dan (+ , + , 6+ ) ke dalam

persamaan (9) dan cari determinan dari S tersebut menggunakan ekspansi kofaktor. kofaktor b.

Dengan eliminasi atau subsitusisubsitusi-eliminasi Misalkan bentuk umum persamaan bola yang akan ditentukan:

_ ≡ + + A + F + G + HA + Z = I .........(10)

O() , ) , 6) ) pada ^, berarti: ) + ) + -) + /) + D6) + Y = 0 …(10.1) P( , , 6 ) pada ^, berarti: + + - + / + D6 + Y = 0 …(10.2)

(U , U , 6U ) pada ^, berarti: U + U + -U + /U + D6U + Y = 0…(10.3)

](+ , + , 6+ ) pada ^, berarti: + + + + -+ + /+ + D6+ + Y = 0 …(10.4)

Dari persamaan (10.1), (10.2), dan (10.3), tentukan nilai -, /, D dan Y.

Atau

…(11) _ ≡ ( − ) + ( − ) + (A − 5) = O() , ) , 6) ) pada ^, berarti:() − ) + () − ) + (6) − .) = ..(11.1)

dengan menggunakan persamaan bola yaitu

P( , , 6 ) pada P, berarti: ( − ) + ( − ) + (6 − .) = ..(11.2) (U , U , 6U ) pada P, berarti:(U − ) + (U − ) + (6U − .) = .(11.3)

Dengan mensubstitusi nilai () , ) , 6) ) pada persamaan (11.1), nilai ( , , 6 ) pada persamaan (11.2), dan nilai (U , U , 6U ) pada persamaan

(11.3) maka diperoleh nilai , , ., dan . Setelah memperoleh nilai , , ., dan maka substitusi , , ., dan ke persamaan (11), selanjutnya

persamaan (11) dijabarkan sehingga terbentuk persamaan umum lingkaran seperti persamaan (10). Setelah memahami materi di atas, selesaikanlah masalah 7.4 dengan

menggunakan cara determinan dan eliminasi-substitusi dengan teman Anda. Buatlah dikertas kegiatan Anda.

Rangkuman 1.

Lingkaran adalah himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang memiliki jarak tetap terhadap suatu titik tertentu. Selanjutnya titik itu disebut pusat lingkaran. Sedangkan ruas garis yang menghubungkan tiap-tiap titik pada lingkaran dan titik pusat lingkaran disebut jari-jari lingkaran.

2. 3.

+ + A = Persamaan lingkaran dengan pusat -(, ) dan berjari-jari r adalah

Persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) adalah


14


4.

( − ) + ( − ) = Bentuk umum persamaan lingkaran adalah

+ + F + G + H = I dengan pusat di − F, − G! dan

jari-jari = K − F! + − G! − H J

5.

J

J

J

Bola adalah himpunan titik-titik di ruang dimensi tiga yang berjarak sama dari suatu titik tertentu. Selanjutnya jarak yang sama itu disebut jari-jari bola dan titik tertentu itu disebut titik pusat bola. Permukaan bola merupakan tempat kedudukan titik-titik ujung vektor di dalam ruang yang titik pangkalnya tertentu dan panjang vektor tersebut konstan. Titik pangkal tertentu itu disebut titik pusat bola, dan panjang vektor yang konstan itu disebut jari-jari bola. + + A = Persamaan bola dengan jari-jari r dan titik pusat (a,b,c) adalah

6.

Persamaan bola dengan pusat (0,0,0) adalah

7.

( − ) + ( − ) + (A − 5) = Bentuk umum persamaan bola adalah

8.

+ + A + F + + HA + Z = I

dengan titik pusat bola yaitu G − F, − G, − H! dan jari-jarinya adalah = K F + G + H − Z. J L

J L

J L

J

J

J


15


KEGIATAN BELAJAR 8

Garis Singgung Lingkaran Setelah mempelajari kegiatan belajar 8 ini, mahasiswa diharapkan mampu menentukan persamaan garis singgung lingkaran dan kuasa lingkaran.

Pernahkah Anda memperhatikan suatu benda yang berbentuk lingkaran yang berada pada suatu daerah datar seperti yang terlihat pada gambar 8.1 di bawah ini?


Gambar Gambar 8.1 lingkaran menyinggung suatu daerah datar garis singgung lingkaran bergradien `, persamaan garis singgung melalui titik () , ) ) pada lingkaran, dan persamaan garis singgung melalui titik () , ) ) di Berikut ini kita akan mempelajari, bagaimana menentukan persamaan

luar lingkaran.


16


Masalah 8.1 Jika Gambar 8.1 di atas kita pindahkan gambar lingkaran yang menyinggung suatu daerah datar pada Koordinat Cartesius di bidang, seperti yang terlihat pada Gambar 8.2 di bawah ini.

Gambar jari-jari dan Gambar 8.2 lingkaran dengan pusat a(I, I) jariMenyinggung garis Jika unsur-unsur lingkaran tersebut diketahui, tahukah Anda bagaimana A. Menentukan Persamaan Garis Singgung Lingkaran Berpusat di (I, I) dan (, ) bergradien b.. menentukan persamaan garis singgung lingkaran tersebut?

(0,0) dan (, ) bergradien ` lakukanlah kegiatan 8.1 dan perhatikan Gambar

Untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran berpusat di

8.3 di bawah ini serta diskusikan dengan teman Anda.

Gambar Gambar 8.3 8.3 lingkaran dengan pusat a(I, I) jarijari-jari dan sebuah garis di luarnya


17


Kegiatan 8.1. Gradien garis singgung diketahui dan dan lingkaran berpusat di (0,0) Langkah-langkahnya: 1.

potonglah antara lingkaran + = dan garis = ` + c sebagai

d + = e dipotongkan = ` + c Subsitusikan garis = ` + c ke persamaan lingkaran + =

berikut.

2. 3.

4.

sehingga diperoleh: + (` + c) = + ` + 2`c + c = …(12) (1 + ` ) + 2`c + c − = 0 Persamaan (13) di atas merupakan persamaan kuadrat dalam variabel .

Berdasarkan sifat-sifat akar sebuah persamaan kuadrat, jika persamaan (12)

• Diskriminan (Y) positif atau Y > 0, diperoleh diperoleh dua akar riil

mempunyai nilai:

yang berbeda. secara geometri berarti garis = ` + c memotong lingkaran + = pada dua titik.

• Y < 0, diperoleh dua akar imajiner. Secara geometri berarti garis = ` + c tidak memotong lingkaran + = atau garis = `

• Y = 0, diperoleh dua akar kembar. Secara geometri berarti garis = berada di luar lingkaran.

5.

` + c menyinggung lingkaran + = pada suatu titik.

Agar garis = ` + c menyinggung lingkaran + = , maka ambil Y = 0, yaitu:

(2`c ) − 4(1 + ` )(c − ) = 0 4` c − 4c + 4 − 4` c + 4` = 0 −4c + 4 + 4` = 0 −4(c − − ` ) = 0 c − (1 + ` ) = 0

c = ± 1 + ` Sehingga persamaan garis singgung pada lingkaran + = dengan gradien ` atau yang sejajar dengan garis = ` + c memiliki dua buah

garis singgung yaitu:

= b + J + b kl = b − J + b

…(13)

tentukan persamaan garis singgung lingkaran ( − ) + ( − ) = dengan

Dengan menggunakan prinsip translasi maka dapat dengan mudah di

gradien `. Geser titik pusat lingkaran (0, 0) ke titik (, ).


18


Akibatnya persamaan garis singgung = ` + √1 + ` bergeser menjadi − = `( − ) + √1 + ` atau = `( − ) + ( − √1 + ` ) − = `( − ) − √1 +

Dan

persamaan

garis

( − ) + ( − ) = Sehingga

`

` ).

bergeser

menjadi

dengan gradien ` atau yang sejajar dengan garis

persamaan

= ` − √1 + `

atau = `( − ) + ( − √1 +

singgung

garis

singgung

pada

lingkaran

= ` + c memiliki dua buah garis singgung yaitu:

− = b( − ) + J + b kl − = b( − ) − J + b

…(14)

B. Menentukan Persamaan Garis Singgung Melalui titik (J , J ) Pada Lingkaran yang berpusat di (I, I) dan (, )

Untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran berpusat di (0,0) dan (, ) yang melalui titik () , ) ) lakukanlah kegiatan 2.2 di bawah ini dan diskusikan dengan teman Anda.

Kegiatan 8.2. Persamaan garis singgung jika titik singgungnya diketahui pada lingkaran berpusat di (0,0) 1. Misalkan persamaan lingkaran + = dan titik /() , ) ) dan D( , ) yang terletak pada lingkaran.

2.

3.

Sehingga persamaan garis BC adalah − J − J − J …(15) ( − J ) = mnmo − J = − J − J − J Karena titik /() , ) ) dan D( , ) berada pada lingkaran maka berlaku + = dan ) + ) = Selanjutnya kedua persamaan tersebut dieliminasi menghasilkan persamaan berikut

) − + ) − = 0 → ) − = − )

− ) = −( − ) ) ( − ) )( + ) ) = −( − ) )( + ) )

atau

pJ

4.

(x − x ) )

pJ

= −

qJ

qJ

…(16)

Subsitusikan persamaan (16) ke persamaan (15) sehingga diperoleh: y − y) =

st psu vt pvu

x − xJ = −

y + y J (y − y J ) x + xJ

…(17)


19


5.

Apabila titik D( , ) bergerak mendekati titik /() , ) ), sehingga titik

D( , ) dan /() , ) ) berimpit, dan garis /D akan menjadi garis singgung

lingkaran di titik /() , ) ), akibatnya = ) dan = ).

Sehingga persamaan (18) menjadi: (x) + x) ) (x − x) ) y − y) = − (y) + y) ) 2x) (x − x) ) y − y) = − (kalikan semuanya dengan ) ) 2y) ) − ) = −) + ) ) + ) = ) + ) ) + ) = Jadi, persamaan garis singgung yang melalui titik /() , ) ) pada lingkaran + = adalah:

J + J =

Perhatikan perubahan persamaan lingkaran + = menjadi:

…(18)

) + ) = kita menggunakan kaidah membagi adil.

Kaidah Membagi Adil: Digunakan untuk menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran

yang melalui titik () , ) ). Penerapannya dengan cara mengubah variabel pada diubah menjadi )

persamaan lingkaran dengan aturan sebagai berikut: diubah menjadi ) ( − -) diubah menjadi () − -)( − -)

( − /) diubah menjadi () − / )( − /) diubah menjadi () + ) )

)

diubah menjadi () + )

(0, 0) ke (, ) seperti yang terlihat pada Gambar 8.4 di bawah ini.

Caranya dengan prinsip translasi yaitu dengan menggeser pusat lingkaran


20


Gambar 8.4 8.4 Tranlasi (0,0) ke (a,b) Maka persamaan garis singgung ) + ) = atau () − 0)( − 0) + () − 0)( − 0) = berubah menjadi: () − )( − ) + () − )( − ) = Jadi, persamaan garis singgung pada lingkaran ( − ) + ( − ) = dengan titik singgung () , ) ) adalah:

(J − )( − ) + (J − )( − ) =

…(19)

Dengan menggunakan Kaidah Membagi Adil yang tertera di atas, maka persamaan garis singgung yang melalui titik () , ) ) pada lingkaran adalah:

+ + - + / + D = 0

J + J +

J

F( + J ) +

J

G( + J ) + H = I

…(20)

C. Menentukan Persamaan Garis Singgung Melalui titik (J , J ) di Luar Lingkaran Agar dapat menentukan persamaan garis singgung melalui titik () , ) )

di luar lingkaran, maka diskusikan kegiatan 8.3 dengan teman Anda.

Kegiatan 8.3 8.3. .3. Menentukan Kuasa Titik [(J , J ) Terhadap Lingkaran

+ = Jika titik () , ) ) terletak di luar lingkaran yang berpusat di (0, 0) seperti yang terlihat pada Gambar 8.5 di bawah ini:


21


Gambar 8.5 8.5 Titik di Luar Lingkaran Persamaan garis singgung yang melalui titik () , ) ) tersebut dapat ditentukan Titik () , ) ) berada di luar lingkaran + = .

dengan cara sebagai berikut denagn langkah-langkahnya adalah: 1.

2.

Dari titik dapat dibuat 2 buah garis singgung lingkaran yaitu ~ dan .

Garis ~ menyinggung lingkaran di (U , U ); garis menyinggung

lingkaran di ( , ). Jadi, titik merupakan titik potong garis singgung

3.

dan ~.

Tentukan persamaan garis singgung dengan menggunakan persamaan

garis singgung yang melalui titik yaitu + = . Titik () , ) ) pada

, sehingga diperoleh ) + ) = . Itu berarti /( , ) pada garis

4.

5.

) + ) = ….(1)

Tentukan persamaan garis singgung dengan menggunakan persamaan

garis singgung diperoleh U + U = . Itu berarti D(U , U ) pada persamaan ) + ) = ….(2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh persamaan garis (garis

penghubung antara titik dan ) yaitu ) + ) = , yang juga di sebut

garis kutub atau garis polar dari titik -() , ) ) terhadap lingkaran ) +

) = adalah

J + J =

…(21)

Persamaan garis kutub (polar) dari titik () , ) ) terhadap lingkaran

Berdasarkan kegiatan di atas berlaku pula: 1.

( − ) + ( − ) = adalah

(J − )( − ) + (J − )( − ) =

…(22)


22


2.

Persamaan garis kutub (polar) dari titik () , ) ) terhadap lingkaran

+ + 2- + 2/ + D = 0 adalah

J + J + FJ + F + GJ + G + H = I

…(23)

Kegiatan 8.4. 8.4. Menentukan persamaan garis singgung dari titik [(J , J ) di luar lingkaran baik yang berpusat di a(I, I) maupun yang berpusat di [(, ) Membuat garis kutub (polar) dari titik terhadap lingkaran.

diperlukan langkah-langkah sebagai berikut: 1.

2.

Mencari koordinat titik potong garis kutub dengan lingkaran.

3.

Menentukan persamaan garis singgung di titik potong antara garis kutub (polar) dan lingkaran tersebut.

D. Kuasa Lingkaran Masalah 8.2 8.2 Roda telah digunakan dalam transportasi selama lebih dari lima tahun, kendaraan pertama pribadi praktis dengan menggunakan roda yaitu sepeda, ditemukan lebih dari seratus tahun yang lalu. Sepeda moderen adalah salah satu transportasi yang paling efisien, dengan jumlah energi yang diperlukan untuk membawa sejumlah berat. Untuk mencegah rangka sepeda goyang, maka posisi titik temu rangka harus diperhitungkan dengan tepat dan memperhatikan posisi roda pula. Bidang olah raga juga menggunakan konsep kuasa lingkaran untuk memperhitungkan posisi pemain untuk melakukan lemparan, tendang dan lainnya. Contohnya dalam kasus berikut: Misalkan seorang pemain bola berlari di garis sisi lapangan dan dia ingin melepaskan tendangan. Pada posisi mana seharusnya dia menendang sehingga memberikannya kesempatan terbaik menggolkannya. Permasalahan di atas adalah menentukan titik pada garis sisi lapangan sehingga memaksimumkan sudut terhadap garis gawang. Diilustrasikan pada Gambar 8.6 di bawah ini:


23


Gambar 8.6 8.6 titik pada garis sisi lapangan E. Kuasa Titik Terhadap Lingkaran Misalkan persamaan lingkaran P(, ) = + = dan titik O() , ) ).

Definisi 2.1:

Kuasa titik O() , ) ) terhadap lingkaran P adalah suatu konstanta c) dengan c = P() , ) ) = ) + ) − . Ada tiga jenis kemungkinan nilai c, yaitu:

•

• •

c > 0, berarti titik O() , ) ) di luar lingkaran P ≡ + = c = 0, berarti titik O() , ) ) pada lingkaran P ≡ + =

c < 0, berarti titik O() , ) ) di dalam lingkaran P ≡ + = Selanjutnya kita akan membahas mengenai kuasa suatu titik terhadap

lingkaran. Agar lebih memahaminya, lakukanlah kegiatan berikut ini. Gambarlah sebuah lingkaran dengan pusat , jari-jari , satu titik diluar

Kegiatan 8.5 Kuasa suatu titik terhadap lingkaran 1.

lingkaran dan 4 titik berada pada lingkaran yang terlihat pada gambar di bawah ini.


24


Gambar 8.7 8.7 Titik di Luar Lingkaran 2.

Pada gambar di atas dapat dilihat melalui titik dapat ditarik banyak sekali menyinggung lingkaran dititik dan .

garis-garis yang memotong lingkaran masing-masing di dua titik, dan

Gambar di atas dalam geometri berlaku bahwa: |-) ||-| = |/) ||/| = |D) ||D| = || = || = | | − . Maka hasil

kali ini disebut kuasa titik terhadap lingkaran. Sekarang akan dihitung besarnya kuasa titik terhadap lingkaran tersebut. Misalkan () , ) ) dan persamaan lingkaran adalah + + - + / + D = 0 dengan pusat

− -, − /!dan kuadrat jari-jarinya adalah = - + / − D. )

)

)

+

) +

Kuasa titik T terhadap lingkaran tersebut adalah |D) ||D| = (| | − )(| | + ) = | | − 1 1 = ) + - + ) + / − 2 2 = ) + ) + -) + /) + D Jadi, kuasa titik () , ) ) pada lingkaran adalah + + - + / + D = 0

adalah ) + ) + -) + /) + D. Kuasa suatu titik dapat bernilai positif,

nol atau negatif berturut-turut apabila titik itu diluar, pada atau di dalam lingkaran. Jika persamaan lingkaran dalam bentuk P ≡ ( − ) + ( − ) = ,

maka kuasa titik () , ) ) terhadap P adalah:

= (J − ) + (J − ) −

…(24)


25


F.

Garis Kuasa Sudut perpotongan dua lingkaran adalah sudut antara garis singgunggaris singgung pada salah satu titik potong ke dua lingkaran itu, atau sudut Gambarkan dua lingkaran P) dan P yang masing-masing berpusat di )

antara jari-jari yang mengarah ke titik potong tersebut.

dan . Misalkan ke dua lingkaran itu berpotongan di titik - dan /.

Gambar 8.8. .8. perpotongan antara dua lingkaran ) adalah sentral ke dua lingkaran. Garis ) - (atau garis ~)) adalah garis

singgung lingkaran P dan garis - (atau garis ~ ) adalah garis singgung

lingkaran P . Misalkan adalah sudut antara P) dan P (yaitu sudut yang dibentuk oleh perpotongan garis singgung ) - dan -).

G. Titik Kuasa Kuasa Misalkan O) , O , OU adalah tiga lingkaran yang pusat-pusatnya tidak berada pada satu garis lurus (konsentris). Ketiga lingkaran tersebut mempunyai tiga garis kuasa yang saling berpotongan di satu titik. Titik potong ketiga garis ini disebut titik kuasa seperti yang terlihat pada Gambar 8.9 di bawah ini. O) − O = 0 O) = O = OU atau O − OU = 0d O) − OU = 0

Dilambangkan dengan:


26


Gambar 8.9 tiga buah lingkaran membentuk satu titik kuasa Jika ketiga lingkaran adalah konsentris maka garis-garis kuasanya sejajar, dan ini berarti titik kuasa ketiga lingkaran berada di titik tak hingga.

Rangkuman 1.

Persamaan garis singgung lingkaran lingkaran + = dengan gradien m dititik pusat O(0,0) adalah

2.

= b + √J + b dan = b − √J + b

Persamaan lingkaran garis singgung lingkaran lingkaran + = − = b( − ) + √J + b dan − = b( − ) − √J + b

dengan gradien m dititik (a,b) adalah

3.

Persamaan garis singgung lingkaran + = di titik () , ) ) yang

J + J = Persamaan garis singgung lingkaran ( − ) + ( − ) = di titik () , ) ) yang berpusat di (a,b) adalah

berpusat di O(0,0) adalah 4.

5.

6.

(J − )( − ) + (J − )( − ) = Persamaan garis singgung lingkaran + + - + / + D = 0 di titik () , ) ) yang berpusat di (a,b) adalah J J J + J + F( + J ) + G( + J ) + H = I Lingkaran dengan pusat ) membagi dua lingkaran , maka ∆ ) - sikusiku, sehingga |[J [ | = J − .


27


KEGIATAN BELAJAR 9

Bola dan Bidang Rata Setelah mempelajari kegiatan belajar 9 ini, mahasiswa diharapkan mampu menentukan persamaan bidang singgung bola dan titik kuasa bola. Pernahkah Anda memperhatikan pertandingan sepak bola seperti yang terlihat pada Gambar 9.1 di bawah ini? Bola di sepak pada suatu daerah/bidang datar yaitu lapangan bola yang berumput.

Gambar 9.1 9.1 Bola dan bidang Rata Pada kegiatan belajar 9 ini kita akan membahas kedudukan suatu bola pada bidang rata. Untuk lebih memahami kedudukan bola dan bidang rata, selesaikanlah masalah di bawah ini.


28


A. Kedudukan Bola dan Bidang Rata Masalah 9.1 9.1

Jika Bola ^ ≡ ( − ) + ( − ) + (6 − .) = 0 berjari-jari , pusat (, , .).

Bidang rata ≡ - + / + D6 + Y = 0, dengan adalah jarak antara pusat bola

(, , .) ke bidang rata ≡ - + / + D6 + Y = 0, maka ada 3 kemungkinan

kedudukan antara bola ^ = 0 dengan bidang = 0. Bagaimana hubungan bola

dengan bidang rata? Untuk menentukan hubungan antara bola dan bidang rata lakukan kegiatan 9.1 di bawah ini. Kegiatan 9.1. 9.1. Hubungan antara bola dan bidang rata Langkah-langkahnya: 1.

Lukislah suatu lingkaran dengan > , berarti bola ^ = 0 berpotongan

dengan bidang rata = 0, seperti yang terlihat pada Gambar 3.1 di bawah ini.

Gambar Gambar 9.1 9.1 Bola berpotongan dengan Bidang Rata Perpotongan Bola ^ = 0 dengan bidang rata = 0 akan membentuk sebuah

lingkaran dengan persamaan lingkaran adalah: ^ = 0d P≡ =0 Bagaimanakah cara menentukan pusat dan jari-jari lingkaran tersebut? Untuk menentukan pusat dan jari-jari lingkaran berpotongan tersebut lakukanlah langkah-langkah di bawah ini. a. b.

Perhatikan ∆ -] siku-siku di ]. ] adalah titik pusat lingkaran. phytagoras yaitu - = ] + ]- sehingga diperoleh:

Untuk menentukan jari-jari lingkaran kita dapat menggunakan dalil


29


= + ]- ]- = −

]- = − Jadi, jari-jari lingkaran yang disimbolkan dengan adalah: c.

= √ − k …(25) Untuk menyatakan persamaan lingkaran di dalam ruang, kita dapat

mengambil sebuah bola ^ = 0 dan sebuah bidang rata = 0 yang saling

berpotongan menurut lingkaran tersebut. Jadi, persamaan lingkaran

d.

dinyatakan dengan dua persamaan yaitu: _ = Id V≡ …(26) =I Selain berpotongan bola dan bidang rata, suatu lingkaran dapat pula (1) Perpotongan antara bola ^) = 0 dengan bola ^ = 0 dinyatakan sebagai berikut:

(2) Perpotongan silinder (tabung) atau kerucut lingkaran tegak lurus dengan bidang paralelnya(=bidang yang tegak lurus poros) seperti yang terlihat pada Gambar 9.2 (a) dan (b) di bawah ini.

Gambar 9.2 9.2 (a) Bidang Rata dan Tabung

Gambar 9.2 9.2 (b) Bidang Rata dan Kerucut [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]

30


e.

Dari persamaan (26) di atas, kita dapat menentukan titik pusat lingkaran (1) Pusat lingkaran P adalah titik tembus antara garis ] dengan bidang tersebut yaitu dengan cara:

rata = 0. Garis ] tegak lurus dengan bidang rata = 0, berarti

vektor arah garis ] sama dengan vektor normal bidang rata atau dapat di tulis menjadi , , . = -, /, D. = ) + Persamaan garis ] = = ) + d …… (1) 6 = 6) + . (2) Subsitusikan persamaan (1) ke persamaan bola sehingga diperoleh nilai .

(3) Setelah nilai di dapatkan maka subsitukan nilai tersebut ke persamaan (1) sehingga diperoleh titik pusat lingkaran.

2.

= k berarti bola ^ = 0 menyinggung bidang rata = 0, seperti yang

terlihat pada Gambar 9.3 di bawah ini.

Gambar 9.3 9.3 Bola menyinggung bidang rata Jika bidang rata = 0 menyinggung bola ^ = 0 maka bidang rata = 0 disebut

juga dengan bidang singgungnya.

Bagaimana menentukan bidang singgung tersebut? Untuk menentukan bidang singgung tersebut lakukanlah langkah-langkah di bawah ini dan diskusikanlah Misalkan ^ ≡ + + 6 + - + / + D6 + Y = 0

dengan teman Anda. a.

dengan pusat bola

(− -, − /, − D) dan ]() , ) , 6) ) adalah titik singgung bola ^ = 0 dan )

)

)

bidang rata = 0.


31


b.

00000001 tegak lurus terhadap bidang rata = 0, berarti vektor arah garis Vektor ] 00000001 sama dengan vektor normal bidang rata yaitu: ] , , . = -, /, D sehingga diperoleh: ) ) ) 000001 ] = ) + -, ) + /, 6) + D

…..(1)

Bidang rata melalui titik ]() , ) , 6) ) maka persamaan bidang rata c.

adalah: ≡ -( − ) ) + / ( − ) ) + D (6 − 6) ) = 0

…..(2)

persamaan bidang singgung bola ^ = 0 di titik ]() , ) , 6) ) adalah:

Subsitusikan persamaan (1) ke persamaan (2) sehingga diperoleh ≡ J + J + AJ A + F

qJ

!+G

qJ

!+H

AqAJ

!+Z = I

…(27)

1) Jika ^ ≡ + + 6 + - + / + D6 + Y = 0, maka persamaan bidang Berdasarkan proses di atas, dapat di simpulkan bahwa:

singgung di titik ]() , ) , 6) ) adalah: + J + J A + AJ ≡ J + J + AJ A + F + G +H +Z= I 2) Jika ^ ≡ ( − ) + ( − ) + (6 − .) = , maka persamaan bidang singgung di titik ]() , ) , 6) ) adalah:

≡ (J − )( − ) + (J − )( − ) + (AJ − 5)(A − 5) − = I 3) Jika ^ ≡ + + 6 = , maka persamaan bidang singgung di titik ]() , ) , 6) ) adalah:

≡ J + J + AJ A − = I Persamaan bidang singgung di atas mengikuti kaidah “Membagi Adil” yaitu pergantian: menjadi ) , menjadi ) , 6 menjadi 6) 6

menjadi ( + ) ), menjadi ( + ) ), 6 menjadi (6 + 6) ) )

menjadi () + ) ). 3.

)

)

)

< berarti bola ^ = 0 tidak memotong dan tidak menyinggung bidang

rata = 0 seperti yang terlihat pada Gambar 9.4 di bawah ini.


32


Gambar 9.4 9.4 bola tidak memotong maupun menyinggung bidang rata Misalkan bola ^(, , 6) ≡ + + 6 + - + / + D6 + Y = 0 dan misalkan Kuasa Titik

titik () , ) , 6) ).

Kuasa titik () , ) , 6) , ) terhadap bola ^(, , 6) di defenisikan sebagai: c = ^() , ) , 6) ) ≡ ) + ) + 6) + -) + /) + D6) + Y = 0 ada 3 kemungkinan nilai c yaitu:

Definisi 1:

•

• •

Titik di luar bola jika dan hanya jika c > 0 Titik pada bola jika dan hanya jika c = 0

Titik di dalam bola jika dan hanya jika c < 0

Anti Geometri dari Kuasa Titik Misalkan bola ^(, , 6) ≡ + + 6 + - + / + D6 + Y = 0 dan titik () , ) , 6) ) adalah titik sebarang. Bagaimana cara menentukan persamaan garis

Masalah 9.2 9.2

singgung bola jika titiknya di luar bola. Untuk menentukan persamaan garis lurus tersebut lakukanlah kegiatan di bawah ini dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1.

Perhatikan Gambar 9.5 di bawah ini.


33


Gambar 9.4 9.4 Titik di Luar Bola 2.

Tarik garis ~ melalui () , ) , 6) ). Misalkan cosinus arah garis ~ adalah: cos , cos , cos sehingga persamaan parameter garis ~ adalah: = ) + cos ~ ≡ = ) + cos d ………… (1) 6 = 6) + cos Garis ~ ada yang menembus bola, ada yang menyinggung bola, dan ada

Andaikan garis ~ tersebut menembus bola pada titik dan untuk

yang tidak menyinggung atau tidak menembus bola. 3.

^ = 0 sehingga di peroleh:

mencari titik tembus, subsitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan bola

+ J + F! + J + G! + AJ + H! + J + J

J

J + AJ + FJ + GJ + HAJ + Z = I

J

Persamaan di atas adalah persamaan kuadrat dalam , ……. (2)

ada beberapa

(1) Jika Y > 0 maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai 2 buah akar ) ketentuan persamaan kuadrat tersebut yaitu: dan yang berbeda.

(2) Jika Y = 0 maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai 2 buah akar ) dan yang konstan (sama).

(3) Jika Y < 0 maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai 2 buah akar ) 4.

dan yang imaginer.

Andaikan persamaan kuadrat (1) mempunyai dua akar yang berbeda

yaitu ) dan . Berarti garis ~ menembus bola pada dua titik. Misalkan titik itu adalah titik dan dengan:

() + ) cos , ) + ) cos , 6) + ) cos ) dan


34


() + cos , ) + cos , 6) + 6) cos )

= () − () + ) cos )) + () − () + ) cos )) + (6) − (6) + ) cos )) = K) . + ) . + ) . = K) (. + . + . ) = K) . 1

= |) | ……………. Akar dari persamaan kuadrat (1)

= () − () + cos )) + () − () + cos )) + (6) − (6) + cos )) = K . + . + . = K (. + . + . ) = K . 1

= | | ……………. Akar dari persamaan kuadrat (1) 5 ( [). ( ¡) = |J || | = 8J + J + AJ + FJ + GJ + HAJ + Z8 = J = 8J + J + AJ + FJ + GJ + HAJ + Z8 Jadi,, ( [). ( ¡) = |_(J , J , AJ )|

= ¢8J + J + AJ + FJ + GJ + HAJ + Z8¢

= harga mutlak kuasa titik () , ) , 6) ) terhadap Bola

…(28)

Bila dari titik tertentu ditarik garis sebarang yang memotong bola di dan maka harga ( ). () adalah konstan. Kalau di luar bola maka harganya = Atau :

kuasa , dan kalau di dalam bola maka harga negatifnya = kuasa . Bidang Kutub 9.3 Masalah 9 .3

Misalkan persamaan Bola ^(, , 6) ≡ + + 6 + - + / + D6 + Y = 0 dan

sebarang titik () , ) , 6) ). Bagaimanakah persamaan bidang kutubnya?

Untuk menentukan persamaan bidang kutub, lakukanlah kegiatan di bawah ini. Kegiatan 9.4. Persamaan Bidang Kutub [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]

35


Langkah-langkahnya adalah: 1.

Perhatikan Gambar 9.5 (a) di bawah ini.

2.

Gambar 9.5 9.5 (a) Bola dan garis Tarik garis ~ melalui titik () , ) , 6)) sehingga menembus bola di dan .

3.

Misalkan titik (£ , £ , 6£ ) pada garis ~ sehingga titik dan sekawan haromonis dengan titik dan . Artinya jika ∶ = ∶ 1 maka

∶ = − ∶ 1. Seperti yang terlihat pada Gambar 9.5(b) di bawah ini.

4.

5.

Gambar 9.5(b) 9.5(b) Bola dan garis Jika garis ~ digunakan, maka tempat kedudukan titik merupakan suatu

bidang rata, yang disebut dengan bidang kutub (bidang polar) bola ^ = 0,

dengan titik kutubnya adalah titik .

Misalkan persamaan Bola ^ ≡ + + 6 − = 0, dengan titik kutubnya () , ) , 6) ) maka koordinat titik adalah £ + ) £ + ) 6£ + 6)

, , … … . (1) +1 +1 +1


36


Agar ∈ ^ maka ^ ≡ + + 6 − = 0 6.

………..(2)

kutub adalah J + = I

Subsitusikan persamaan (1) ke (2) sehingga diperoleh persamaan bidang

Rangkuman 1.

2.

3.

4.

Persamaan bidang singgung bola ( − ) + ( − ) + (6 − .) = yang melalui titik () , ) , 6) ) adalah

() − )( − ) + () − )( − ) + (6) − . )(6 − . ) = Persamaan bidang singgung bola + + 6 + - + / + D6 + Y = 0 yang melalui titik () , ) , 6) ) adalah 1 1 1 ) + ) + 6) 6 + -( + ) ) + /( + ) ) + D (6 + 6) ) + Y = 0 2 2 2 ) Kuasa suatu titik () , ) , 6) terhadap persamaan bola + + 6 + - + / + D6 + Y = 0 adalah

) + ) + 6) + -) + /) + D6) + Y = 0 Jika titik () , ) , 6) ) terletak pada, di dalam atau di luar bola, maka kuasa titik terhadap bola berturut-turut mempunyai nilai nol, negatif atau positif.


37

MODUL 4 LINGKARAN DAN BOLA

Recommend Documents