MODEL MATEMATIS SISTEM DINAMIS DAN SISTEM KENDALI

Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL303 Sistem Kendali _____________________________________________________________________________

MODEL MATEMATIS SISTEM DINAMIS DAN SISTEM KENDALI

• PENDAHULUAN

• KLASIFIKASI SISTEM

• MODEL MATEMATIS SISTEM FISIS

• PEMODELAN STATE SPACE

Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 1 dari 28 _____________________________________________________________________________


PENDAHULUAN • Untuk analisis dan desain sistem kendali, sistem fisis harus dibuat model fisisnya. • Model fisis harus dapat menggambarkan karakteristik dinamis sistem tsb secara memadai. • Model matematis diturunkan dari hukum-hukum fisis sistem ybs. - Dinamika sistem mekanis dimodelkan dengan hukum-hukum Newton. - Dinamika sistem elektrik dimodelkan dengan hukum-hukum Kirchoff, Ohm. • Model matematis suatu sistem: kumpulan persamaan yang menggambarkan dinamika suatu sistem secara memadai. • Model matematis dapat meningkat akurasinya dengan memodelkan secara lebih lengkap, bila diperlukan dalam analisis yang teliti. • Perlu kompromi antara kesederhanaan model dengan akurasi hasil analisis.



• Kesederhanaan model dicapai dengan memperhatikan faktorfaktor penting saja dalam pemodelan.

- Pemodelan dengan persamaan differential (bukan parsial), akan menghilangkan sifat-sifat nonlinear tertentu dan parameter-parameter terdistribusi yang mungkin ada pada sistem. - Pemodelan suatu komponen pada frekuensi rendah tidak dapat digunakan pada frekuensi tinggi. • Suatu sistem yang memiliki model matematis sama tidak selalu menggambarkan model fisis yang sama (Misal: analogi sistem mekanis dengan sistem elektrik). • Dua pendekatan analisis : - Fungsi Alih (Tradisional, untuk sistem SISO) - State Space (Modern, untuk sistem modern, misal MIMO)



KLASIFIKASI SISTEM

- LINEAR VS NONLINEAR

- TIME-INVARIANT VS TIME-VARYING

- CONTINUOUS-TIME VS DISCRETE-TIME

- DETERMINISTIC VS STOCHASTIC

- LUMPED- VS DISTRIBUTED - PARAMETERS

- TRANSFER FUNCTION VS STATE SPACE



- LINEAR VS NON-LINEAR

- Sistem fisis umumnya bersifat nonlinear dalam tingkat tertentu. - Untuk daerah kerja yang kecil, sistem nonlinear dapat dianggap linear (piece-wise linearisation)

Daerah linear

- Sistem linear : berlaku hukum superposisi: - respons suatu sistem terhadap beberapa input berbeda merupakan kombinasi respons masing-masing input. - Pengujian kelinearan suatu sistem melalui input sinusoidal. - Dalam beberapa hal elemen-elemen nonlinear sengaja disertakan dalam sistem kendali untuk optimasi unjuk kerja. - Relay on-off dipakai pada sistem kontrol optimal waktu, sistem kendali pesawat dan sistem peluru kendali.



TIME-INVARIANT VS TIME-VARYING - Sistem time-invariant memiliki parameter-parameter yang konstan, tak tergantung waktu. - Respons nya tak tergantung pada saat kapan input diberikan. - Sistem time-varying memiliki satu atau lebih parameter yang berubah terhadap waktu. - Respons nya tergantung pada waktu diberikan input. - Contoh Sistem Kendali Time-varying: Sistem kendali pesawat ruang angkasa : bobotnya berkurang akibat konsumsi bahan bakar.

CONTINUOUS-TIME VS DISCRETE-TIME - Sistem kontinyu waktu : memiliki semua variabel / sinyal yang kontinyu terhadap waktu. - Sistem diskrit waktu : memiliki satu atau lebih variabel / sinyal yang diskrit terhadap waktu.



DETERMINISTIC VS STOCHASTIC - Sistem deterministik memiliki respons terhadap suatu input yang dapat ditebak dan berulang / konsisten. - Sistem stokastik: respons terhadap input yang sama tidak selalu menghasilkan output yang sama.

LUMPED- VS DISTRIBUTED – PARAMETERS - Pemodelan komponen yang sederhana bila dapat dianggap bahwa parameter-parameter komponen tsb dapat dimodelkan secara terkumpul disatu titik. - Dicirikan dengan persamaan differensial biasa. - Pemodelan parameter terdistribusi lebih tepat digunakan, misalnya pada sistem transmisi. - Dicirikan dengan persamaan differensial parsial.



TRANSFER FUNCTION VS STATE SPACE - Analisis sistem sederhana, SISO yang bersifat linear, kontinyu, time-invariant, lumped-parameters, deterministik, dapat dilakukan melalui pendekatan tradisional (fungsi alih) yang merupakan domain frekuensi kompleks. Alat bantu analisis dan perancangan dapat berupa Root Locus (domain waktu), Bode Plot atau Nyquist (domain frekuensi).

- Untuk sistem modern yang kompleks dan berakurasi tinggi (ditandai dengan MIMO, non-linear, time-varying, optimal, robust) harus digunakan pendekatan state space yang bersifat domain waktu.



Model Matematis untuk Rangkaian Elektrik(1) L ei

R c

i

eo

Hukum Fisis : Kirchoff Persamaan dinamis sistem / Persamaan differensial

L

di 1 + Ri + ∫ idt = ei dt c

1 idt = eo c∫ Dalam bentuk Laplace : (anggap kondisi mula = 0)

sLI ( s) + RI ( s ) +

1 I ( s ) = Ei ( s) Cs

1 I ( s) I ( s ) = Eo ( s ) → = sEo ( s ) C sC I (s) s 2 LI ( s ) + RsI ( s ) + = sEi ( s ) c

Fungsi alih :

I (s) C

Eo ( s ) 1 = = E i ( s )  s 2 L + Rs + 1  I ( s) LCs 2 + RCs + 1   C 



Model Matematis untuk Rangkaian Elektrik (2) L1

R

e(t)

C +-

i1(t)

e(t ) = Ri1 + L1 e0 = L2

di1 + e0 dt

di2 dt

ic = i1 (t ) − i2 (t ) d (t ) ic = C e 0 dt

i2(t)

L2 e0(t)

(1) ( 2)

}

de0 i1 − i2 = C dt

(3)



Transformasi Laplace : E 0 ( s) − sL2 I 2 ( s)

(2) →

I 2 ( s) =

I1 ( s) − I 2 ( s) = sC E0 ( s)

(3)

E ( s) = ( R + sL1 ) I1 ( s) + E0 ( s)

(1)

I1 ( s) =

E ( s) − E 0 ( s) R + sL1

E 0 ( s) sL2

(2)

(1)

(1) & (2) → (3)

E ( s) − E 0 ( s) E 0 ( s) − = sC E 0 ( s) R + sL1 sL2 SL2 E ( s) − sL2 E0 ( s) − ( R + sL1 ) E 0 ( s)

( R + sL )(sL ) 1

= sC E0 ( s)

2

( ) sL E ( s) = [ s L C( R + sL ) + s( L + L ) + R ]E ( s) (

)

sL 2 E ( s) − R + s( L1 + L2 ) E0 ( s) = ( R + sL1 ) s2 L 2 C E 0 ( s) 2

2

2

1

1

2

0

E 0 ( s) sL2 = 2 E ( s) s L2 C( R + sL1 ) + s( L1 + L2 ) + R

=

sL2

s3 L1 L2 C + s2 L2 CR + s( L1 + L2 ) + R



Model Matematis untuk Rangkaian Elektrik (3)

R2

i2 R1 ei

i1

ex

i0

Op Amp ideal : Zin = ~ Sehingga i0 = 0

+

eo

virtual ground, sehingga ex ~0

i

1

=

i

2

Persamaan Rangkaian:

ei − ex ex − eo e −e = ⇒ i = o R1 R2 R1 R2 Diperoleh:

eo = −

R2 e: R1



Model Matematis untuk Rangkaian Elektrik (4)

R1 i1 ei

ex

i2

c

i1 = i2 + i3

i3

R2

i1 =

-

ei − e x ei ~ R1 Ri

d (e x − eo ) dt − de o ~C dt e −e −e i3 = x o ~ o R2 R2

i2 = C

+ eo

ei deo eo = −C − R1 dt R2 Ei ( s ) E (s) = − sCEo ( s) − o R1 R2 sehingga R  E o ( s) 1 = − 2  Ei ( s )  R1  R2 Cs + 1



Model Matematis untuk Sistem Mekanis: Translasi(1) n input y output k

pada t < 0 : sistem tak bergerak pada t = 0 gerobak di gerakan dengan kecepatan konstan

m

dn = kons tan dt

b

y = output relatif terhadap ground

d 2 y  dy dn  m 2 + b −  + k ( y − n)  dt dt  dt dy dn d2y m 2 + b + ky = b + kn dt dt dt Laplace :

(ms

2

)

+ bs + k Y ( s ) = (bs + k )U ( s )

Y ( s) bs + k = U ( s ) ms 2 + bs + k



Model untuk Sistem Mekanis : Translasi(2)

x k m

gaya luar f

b

Hukum Newton kedua :

ma = ∑ F

M = massa, (kg) A = percepatan, m / s2 F = gaya, N

d2x dx m + b + kx = f d +2 dt Laplace :

ms 2 X ( s) + bs X ( s) + kX ( s) = F ( s) Diperoleh Fungsi Alih:

X ( s) 1 = 2 F ( s) ms + bs + k Ambil : f = d(t) , sehingga F(s) = 1; m= 1; b=2; k = 1

X ( s) =

1 1 = s 2 + 2 s + 1 [EYS( s98] + 1)( s + 1)

Teknik Elektro ITB hal 15 dari 28 _____________________________________________________________________________


Model Matematis untuk Sistem Mekanis: Rotasi

Jα = ∑ T J = momen inersia beban kg m2 α = percepatan sudut beban rad / s2 T = torsi yang diberikan pada sistem Nm

J T

w b

d 2θ dθ J 2 +b =T dt dt atau : dω J + bω = T dt

ω = kecepatan sudut rad / s θ = simpangan sudut (rad)



Model Matematis untuk Generator DC : Rf

Rg

ef

Lf

if if = arus medan

Lg

eg

n

ia

ea

zL

ia = arus jangkar

ο Kecepatan konstan n ο Arus output ia dapat dikontrol dari besarnya arus if

e g = k1 ⋅ n ⋅ φ

}

φ = k2 ⋅ i f

eg = k g ⋅ i f

(1)

Konstanta generator

KVL pada kiri/input :

e(1) := f

dif

Rf i f + Lf

if =

eg

dt

kg

( 2)

(3)

Substitusi (3) -à (2):

ef = Rf

eg kg

+

L f deg k g dt



Dalam Laplace:

E f ( s) =

[

]

1 R f + sL f E g ( s) kg

FungsiAlih : E g (s) kg = E f ( s) R f + sL f KVL pada loop kanan/ouput

− ea = −eg + ia Rg + L + Lg

dia ; dt

ea = ia ⋅ z L Atau:

ea ia = zL Substitusi :

Lg dea ea − e a = −e g + R g + zL z L dt Rg Lg dea   eg = eat + ea +  zL z L dt   Rg sLg   E g ( s) = 1 + +  Ea ( s) z ( s ) z ( s )  L L  Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 18 dari 28 _____________________________________________________________________________


 z L ( s)   E ( s) =  z L ( s)  a Diperoleh:

E a ( s) z L ( s) = E g ( s) z L ( s) + Rg + Lg s Sehingga :

E a ( s) E g ( s) Ea ( s) = x E f ( s) E f ( s) E g ( s) =

Rg R + sLf

x

z L ( s) z L ( s) + Rg + sLg



Model Matematis untuk Motor DC dengan Pengontrolan Arus Jangkar rangkaian jangkar Rm ea

Lm

ia

em τ

θ o(t)

simpangan sudut J

inersia B= damping

ia = arus jangkar Lf If

Ef = konstan if = arus medan

em = tegangan terinduksi

em = k1 ⋅ φ ⋅ n

φ = k2 ⋅ i f

n= kecepatan rotasi (putaran)motor

φ = konstan

If = konstan sehingga

dθo em = k e ⋅ n = k e dt

Ke = konstanta tegangan motor



Persamaan rangkaian :

d ia + em dt dθ d ea = Rm ia + Lm ia + k e o dt dt ea = Rm ia + Lm

Ea ( s) = ( Rm + sLm ) I a ( s) + k e sθo ( s)

Persamaan Beban Torsi yang dihasilkan motor : sebanding dengan fluksi v (yang dalam hal ini konstan) dan sebanding dengan arus jangkar ia

T = kT . ia KT = konstansta torsi motor

d 2θo dθ T= J 2 +B dt dt atau :

(

)

kT I a ( s) = Js 2 + Bs Θo ( s ) -

sehingga :

Θ ( s) kT = E ( s) J L s + ( R J + L B)s + ( R B + k k )s

Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 21 dari o 28 2 2 _____________________________________________________________________________ a m m m m e T


Dengan definisi :

Ta =

Lm → Rm

Tm =

J Rm → ke kT

γ =

Rm B → ke kT

Konstanta waktu jangkar Konstanta waktu motor

Faktor redaman

Diperoleh:

Θ s ( s) 1k = Ea ( s) s Ta Tm s2 + (Tm + γ Ta )s + (γ + 1)

[

]



Model Matematis untuk Motor DC dengan Pengontrolan Arus Jangkar : back emf volt Ra

La θ simpangan sudut pores motor rad

ea

ia

eb Τ

J

ia = arus jangkar if konstan arus medan

moren b = kref gesekan motor + beban inersia Nm / rad/s motor + beban kg m2

torsi yang dihasilkan motor, Nm

Fluksi oleh arus medan :

ψ = k f ⋅i f

→Konstan ψ untuk if konstan

Torsi T :

T = ki ia ⋅ φ = ki ⋅ ia ⋅ k f ⋅ i f = k ⋅ ia k = konstanta motor - torsi Tegangan Back EMF: Tegangan EMF: proporsional terhadap fluksi (konstan) & kecepatan sudut putaran poros motor.

eb = kb ⋅

dθ dt



Persamaan input :

La

dia + Ra ia +eb = ea dt

Persamaan output :

d 2θ dθ T = k ⋅ ia = J 2 + b dt dt



Model Matematis untuk Sistem Generator-Motor Ward-Leonard Generator dc mendrive motor dc dengan pengontrolan arus jangkar Konfigurasi dasar :

ef

Lg

Rg

Rf

Lm

Rm

eg

Lf

em

if

ia n generator dc

If

θo J B

Ef servo motor

Fungsi alih :

E g ( s)

E f ( s)

=

kg R f + sL f

Persamaan Loop kanan :

(

) ( ) E ( s) = [( R + R ) + s( L + L )]I ( s) + k sΘ ( s)

eg = Rg + Rm ia + Lg + Lm g

g

m

g

d in dθ + ke o dt dt m

a

e

o



Persamaan Beban :

d 2θ o dθ +B o T=J d+2 dt kT ⋅ I a ( s ) = (Js 2 + Bs )Θo ( s )

(Js I (s) = a

+ Bs ) Θo ( s) kT

2

atau :

(

)

(

)

ea → eg ⋅ Rm → Rm + Rg ; Lm → Lm + Lg , sehingga Θ o ( s) kT = E g ( s) s J L + L s 2 + R + R J + L + L B s + R + R B + k k m g m g m g m g e T

[(

) [(

) (

)] (

)

sehingga :

Θ o ( s) Θ o ( s) E g ( s) = x e f ( s) E g ( s) E f ( s) = ……………………..


]


Model Matematis untuk Motor DC dengan Pengontrolan Arus Medan Rf

Ia = arus jangkar konstan Lf

ef if if = arus medan

J

Ea θ o(t) B

Torsi yang dihasilkan motor :

T ~ φa = kons tan

~ if

sehingga

T = k T . if Pers beban :

d 2θo dθo T= J 2 +B dt dt J d 2θo dθo if = + B kT dt 2 dt Pers loop kiri / input :



e f = i f Rf + Lf

di f dt

Diperoleh:

kT R f ⋅ B θ o (s) → = E f ( s ) s (1 + T f s )(1 + Tm s ) Tf =

Lf = Rf

Tm =

J = B

Konstanta waktu rangkaian

Konstanta waktu motor


MODEL MATEMATIS SISTEM DINAMIS DAN SISTEM KENDALI

Recommend Documents