SISTEM KENDALI KLASIK Pemodelan Matematika
Analisis Diagram Bode, Nyquist, Nichols Step & Impulse Response Gain / Phase Margins Root Locus Disain
Simulasi
SISTEM KONTROL LOOP TERTUTUP
PLANT PEMBANGKIT DAYA UAP
SISTEM KENDALI GENERATOR
KOMPONEN DISAIN SISTEM KENDALI
MODEL MATEMATIKA
Bagaimana membuat model matematika ?
MODEL MATEMATIKA Rancangan dari sistem kendali membutuhkan rumus model
matematika dari sistem.
Mengapa harus dengan model matematika ? Agar kita dapat merancang dan menganalisis sistem kendali. Misalnya: Bagaimana hubungan antara input dan output. Bagaimana memprediksi/menggambarkan perilaku dinamik dari sistem kendali tersebut.
Dua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1.
2.
Fungsi Pindah (Transfer Function) dalam domain frekuensi (menggunakan Transformasi Laplace). Persamaan-persamaan Ruang Keadaan (State Space Equations) dalam domain waktu.
RANGKAIAN RLC Persamaan Diferensial Biasa dapat menggambarkan perilaku dinamik sistem fisik (hubungan input vs output) seperti sistem mekanik menggunakan Hukum Newton dan sistem kelistrikan menggunakan Hukum Kirchoff. Contoh: Rangkaian RLC, jika V(t) adalah Input; i(t) adalah Output Menggunakan KVL:
L R V(t)
i(t) C
v(t ) vR (t ) vL (t ) vC (t )
di(t ) 1 t v(t ) vR (t ) L i( )d dt C 0 Menggunakan persamaan diferensial : • Apakah dapat menjadi persamaan aljabar sederhana ? • Apakah mudah menggambarkan hubungan antara Input dan Ouput dari sistem ? • Dapatkah dibuat menjadi satuan-satuan terpisah ?
Jika jawabannya adalah tidak untuk ketiga pertanyaan
diatas, maka kita membutuhkan transformasi Laplace. Transformasi Laplace memberikan: Representasi dari Input, Ouput dan Sistem sebagai satuan-
satuan terpisah. Hubungan aljabar sederhana antara Input, Output dan Sistem.
Keterbatasan dari Transformasi Laplace : Bekerja dalam domain frekuensi. Berlaku hanya apabila sistem adalah linier..
TRANSFORMASI LAPLACE x(t)
Time Domain Time Domain Circuit Circuit
Laplace Transform
L
X(s)
1
L
s-Domain Circuit Y(s) s j Complex Frequency 2 Types of s-Domain Circuits With and Without Initial Conditions
y(t)
Inverse Laplace Transform
TRANSFORMASI LAPLACE Transformasi Laplace adalah metoda operasional yang dapat
digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier.
Dapat mengubah fungsi umum (fungsi sinusoida, sinusoida
teredam, fungsi eksponensial) menjadi fungsi-fungsi aljabar variabel kompleks.
Operasi diferensiasi dan integrasi dapat diganti dengan operasi
aljabar pada bidang kompleks.
Solusi persamaan diferensial dapat diperoleh dengan
mengguna-kan tabel transformasi Laplace atau uraian pecahan parsial.
Metoda transformasi Laplace memungkinkan penggunaan grafik
untuk meramalkan kinerja sistem tanpa harus menyelesaikan persamaan diferensial sistem.
Diperoleh secara serentak baik komponen transient maupun
komponen keadaan tunak (steady state).
VARIABEL KOMPLEKS Variabel kompleks:
s = + j
dengan : adalah komponen nyata
j adalah komponen maya j j1
o
Bidang s s1
1
FUNGSI KOMPLEKS Suatu fungsi kompleks:
G(s) = Gx + jGy
dengan : Gx dan Gy adalah besaran-besaran nyata Im
Bidang G(s) G
Gy q O
Besar dari besaran kompleks: Sudut : q tan
1
Gy Gx
Gx
Re
G(s) G 2x G 2y
TURUNAN FUNGSI ANALITIK Turunan fungsi analitik G(s) diberikan oleh:
d G(s s) G(s) G G(s) lim lim s 0 s 0 s ds s
Harga turunan tidak tergantung pada pemilihan lintasan s. Karena s = + j , maka s dapat mendekati nol dengan tak-terhingga lintasan yang berbeda
Untuk lintasan s = (lintasan sejajar dengan sumbu nyata)
G y G x G y G x d G(s) lim j j s 0 ds
Untuk lintasan s = j (lintasan sejajar sumbu maya), maka
G y G x G x G y d j G(s) lim j s 0 j ds j
Jika dua harga turunan ini sama G y G y G x G x j j Syarat Cauchy-Riemann G G y x G y G x
CONTOH SOAL Tinjau G(s) berikut, apa analitik ?
G(s) Jawab:
1 G( j) G x jGy j 1
dimana
Gx
1 s 1
1
1
2
2
dan
Gy
12 2
Dapat dilihat bahwa, kecuali s=-1 (yaitu =-1,=0), G(s) memenuhi syara Cauchy-Riemann: 2 G y G x G y 2 1 G x 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1
Dengan demikian G(s)=1/(s+1) adalah analitik di seluruh bidang s kecuali pada s=-1.
Turunan dG(s)/ds pada s=-1 adalah G y Gy G x d Gx G(s) j j ds 1 1 2 j 1 s 12 Perhatikan bahwa turunan fungsi analitik dapat diperoleh hanya dengan mendiferensiasikan G(s) terhadap s
d 1 1 ds s 1 s 12 Titik-titik pada bidang s yang menyebabkan fungsi G(s) analitik disebut titik ordiner, sedangkan titik-titik pada bidang s yang menyebabkan fungsi G(s) tidak analitik disebut titik singuler. Titik-titik singuler yang menyebabkan fungsi G(s) atau turunanturunannya mendekati tak terhingga disebut pole
KUTUB-KUTUB DAN NOL-NOL • Zeros dari G(s)
roots numerator
• Poles dari G(s)
roots denominator
• Persamaan karakterisk
denominator dari G(s)=0 Im
Re
poles zeros
Pola pole-zero
CONTOH SOAL Tentukan jumlah pole dan zero dari fungsi G(s) berikut: G(s)
K (s 3) (s 1) (s 2) 2
Jawab: Mempunyai pole di s=-1 dan s=-2 Mempunyai sebuah zero di s=-3. Jika titik-titik di tak terhingga di masukkan: lim G(s) lim
s
s
K s
2
0
Fungsi G(s) mempunyai 2 buah zero di tak terhingga. Jadi G(s) mempunyai jumlah pole dan zero yang sama, yaitu 3 buah pole dan 3 buah zero (satu zero terhingga dan dua zero tak terhingga).
PEMETAAN KONFORMAL Pemetaan Konformal adalah suatu pemetaan yang menjaga
ukuran maupun pengertian sudut.
Pemetaan Konformal digunakan dalam membahas diagram
tempat kedudukan akar (root locus) dan kriteria kestabilan Nyquist.
Hubungan fungsional: z=F(s) dapat diinterpretasikan sebagai
pemetaan titik-titik pada bidang s ke titik-titik pada bidang z / bidang F(s).
Untuk setiap titik P pada bidang s terdapat suatu titik P’
pasangannya pada bidang F(s). P’ adalah bayangan dari P.
Untuk membuktikan bahwa pemetaan yang dinyatakan dengan
suatu fungsi analitik z=F(s) adalah konformal, tinjau suatu kurva halus s=s(), yang melalui suatu titik ordiner.
Jika kita tulis zo=F(so), maka:
F(s) F(s o ) z zo (s s o ) s so Dengan demikian, F(s) F(s o ) z z o s s o s so
s - so adalah sudut antara sumbu nyata positif dan vektor dari so ke s. Jika s mendekati so sepanjang kurva halus s(), maka s - so adalah sudut q1 antara sumbu nyata positif dan garis singgung kurva tersebut pada so. Dengan cara sama, jika z mendekati zo, maka z - zo mendekati sudut 1 yang merupakan sudut antara sumbu nyata positif dan garis singgung dari F(s) pada z0. Dengan demikian diperoleh 1 - q1 = F’(so)
Dengan kurva halus yang lain s=s2(), yang melalui titik so, kita dapat melakukan analisis serupa sehingga diperoleh 2 - q2 = F’(so) Oleh karena itu 1 - q1 = 2 - q2 atau 2 - 1 = q2 - q1
Jadi ukuran dan pengertian sudut pada pemetaan tetap dijaga.
Pemetaan yang dinyatakan dengan suatu fungsi analitik z=F(s) adalah konformal di setiap titik yang menyebabkan F(s) reguler dan F’(s) 0.
DEFINISI TRANSFORMASI LAPLACE Transformasi Laplace dari f(t) didefinisikan sebagai
L[f (t)] F(s) f (t) e st dt 0
dengan: f(t) = fungsi waktu t, dengan f(t)=0 untuk t<0 s = variabel kompleks
Contoh fungsi Dirac
L[f ( t )] F(s) f ( t )e st dt 0
f(t)
( t )
t
L[( t )] ( t )e st dt 1 0
f(t)
( t t 0 )
t
t0
L[f ( t )]
( t t 0 )e st dt e st 0
0
26
CONTOH •Transformasi Laplace dari fungsi tangga berikut: f(t) = 0 untuk t < 0 f(t) =A untuk t > 0 A t
Jawab: L{f (t)}
0
e Ae dt A s st
st
A s 0
•Transformasi Laplace dari fungsi Ramp f(t)
f (t) at untuk
t0
t
ate st L[r ( t )] ate dt s 0
st
a st a e dt 2 s 0 0 s
28
•Transformasi Laplace dari fungsi eksponensial berikut: -at e f(t) = 0 untuk t < 0 A = Ae-at untuk t > 0 t Jawab: at
L{Ae
}
0
at st
Ae
e
e A (s a)
( s a) t
dt A
0
e (s a) t dt
A 0 (s a)
•Transformasi Laplace dari fungsi sinusoida berikut: f(t) = 0 untuk t < 0 = A sint untuk t > 0 Jawab: L{A sin t} A sin t e st dt
0
ejt = cos t + j sin t e-jwt = cos t - j sin t
1 jt sin t (e e jt ) 2j
A jt jt st L{f (t)} ( e e ) e dt 2j 0
A 1 A 1 A 2 2 j s j 2 j s j s 2
f(t)
F(s)
Step function, u(t)
1/s
e-at
1/(s+a)
te-at
1/(s+a)2
sin(t )
/ ( s2 + 2)
cos(t )
/ ( s2 + 2)
t
n
1 (e at e bt ) ba
n!/sn+1 1 (s a)(s b)
f(t)
F(s)=L[f(t)]
( t ) u(t)
1 1/ s
t
1/ s2 n! / s ( n 1) 1 /( s a )
tn e at
sin(at ) cos(at ) sh(at ) ch (at ) e bt sin( at ) e bt cos(at)
a /(s 2 a 2 ) s /(s 2 a 2 )
a /(s 2 a 2 ) s /(s 2 a 2 ) a /[(s b) 2 a 2 ] (s b) /[(s b) 2 a 2 ]
(e bt e at ) /( b a ) 1 /(s a )(s b)
a b
(bebt aeat ) /( b a ) s /( s a )(s b )
a b
SIFAT LINIERITAS F1 (s) L[f1 (t )] F2 (s) L[f 2 (t )]
c1 , c 2 Cons tan ts
L[c1.f1 ( t ) c 2 .f 2 ( t )] c1.L[f1 ( t )] c 2 .L[f 2 ( t )] c1.F1 (s) c 2 .F2 (s)
SIFAT TRANSLASI L[e at f ( t )] F(s a )
a) Jika F(s)=L[f(t)]
0
0
L[e at f ( t )] [e at f ( t )]e st dt f ( t )e (s a ) t dt F(s a )
Contoh
s L[Cos(2t )] 2 s 4
s 1 s 1 L[e Cos(2t )] 2 2 (s 1) 4 s 2s 5 t
f(t)
• Translasi [time]
g(t)
b) Jika g(t) = f(t-a) for t>a = 0 for t
as
L[g( t )] e F(s)
a
0
0
0
L[g ( t )] f ( t a )]e st dt f (u )e s ( u a ) du e as f (u )e su du Contoh g ( t ) ( t 2) 3 , t 2 g ( t ) 0, t 2
3! 6 L[ t ] 4 4 s s 3
6e 2s L[g( t )] 4 s
35
1 s L[f (a.t )] F( ) a a
•Perubahan skala waktu
L[f (a.t )] f (a.t )]e dt f (u )e 0
st
0
su a
du 1 s F( ) a a a
Contoh
1 L[Sin (t )] 2 s 1
1 1 3 L[Sin (3t )] 2 3 s s2 9 3 1
36
TEOREMA DIFERENSIASI Transformasi Laplace dari turunan fungsi f(t) diberikan sebagai
df (t ) df (t ) st L e dt 0 dt dt
Integrasi bagian demi bagian memberikan
df (t ) st L f ( t ) e dt
0
s f (t )e st dt 0
df (t) L f (0) sLf (t) dt Transformasi Laplace sangat berguna karena mengubah persamaan diferensial menjadi persamaan aljabar sederhana.
Turunan Pertama [Derivative first order] df L[f ' (t )] L[ ] L[f (t )] s.F(s) f (0 ) dt
L[f ' (t)] e
st
f (t)dt e
st
f (t)
se 0
0
st
f (t)dt
0
sF(s) f (0 ) f(t)
L[f ' (t)] s.F(s) f (0 )
f (0 )
t
38
Turunan orde tinggi df L[f ' (t )] L[ ] L[f (t )] s.F(s) f (0 ) dt
L[f " ( t )] L[f ( t )] s 2 .F(s) s.f (0 ) f ' (0) (n )
L[ f ( t )] s F(s) s n
(n)
n 1
f (0) s n
L[f ( t )] s F(s) n
s
n 2
n i
( n 1)
(1)
f (0) ..... f (0)
(i 1)
. f (0)
i 1
•Jika discontinuity pada a
f (a ) f (a )
L[f ' ( t )] s.F(s) f (0) e as [f (a ) f (a )]
39
Contoh Turunan L[Sin (t )] 2 s 2
s L[Cos(t )] 2 s 2
d[sin( t )] 1 d[Sin (t )] Cos(t ) Cos(t ) dt dt s Sin (0 ) s s L[Cos(t )] L[Sin (t )] 2 2 2 (s ) s 2 1 d[Cos(t )] d[Cos(t )] Sin (t ) Sin (t ) dt dt s Cos(0 ) L[Sin (t )] L[Cos(t )] 2 (s 2 )
40
APLIKASI RANGKAIAN RC Persamaan rangkaian R
e(t)
C
v(t)
dv e( t ) RC v( t ) dt v(0) 0
Transformasi Laplace: E(s) RCsV(s) V(s) V(s)[1 RCs] E(s) V(s) 1 RCs
INTEGRASI t
F(s) L[f ( t )]
g( t ) f (u )du] 0
g(t ) f ( t )
L[g ( t )] sL[g( t )] g (0 ) F(s) t
F(s) L[ f (u )du] s 0
PERKALIAN DENGAN FAKTOR T
dF(s) d ' F (s) [ e st f ( t )dt ds ds
Leibnitz’s rule
0
0
0
dF(s) st [e f ( t )dt ] e st [ tf ( t )]dt L[ tf ( t )] ds s
L[tf (t )] F' (s) Rumus umum n n d F(s) L[ t f ( t )] (1) n n
ds
PEMBAGIAN DENGAN FAKTOR T f (t ) g( t ) t
f ( t ) tg ( t )
dL[g(t )] dG(s) L[f ( t )] F(s) ds ds
s
G (s) F(u )du
F(u )du
s
f (t) L[ ] t
s
F(u )du
LimG (s) 0 s
FUNGSI PERIODIK t, k
f ( t kT ) f ( t ) T
2T
3T
0
T
2T
L[f ( t )] F(s) e st f ( t )dt e st f ( t )dt e st f ( t )dt....... T
T
T
0
0
0
L[f ( t )] F(s) e st f ( t )dt e s ( u T ) f (u T)du e s ( u 2T ) f (u 2T)du....... T
T
T
0
0
0
L[f ( t )] F(s) e st f ( t )dt e sT e su f (u )du e 2sT e su f (u )du.......
T
n 0
0
L[f ( t )] F(s) e nsT [ e st f ( t )dt]
e nsT n 0
1 1 e sT
T
L[f ( t )] F(s)
st f ( t ) e dt 0
1 e sT
FUNGSI PERIODIK SINUS & COSINUS e jt Cos(t ) jSin (t )
0
0
L[e jt ] L[Cos(t )] jL[Sin (t )] e jt e st dt e ( js ) t dt T
L[e jt ] T
e 0
( j s ) t
1 dt e ( j s ) t j s
T 0
( js ) t e dt 0
1 e sT 1 1 jT sT [e e 1] [e sT 1] j s j s
1 s j s j L[e ] 2 s j (s j)(s j) s 2 jt
PERILAKU BATAS LIMIT : NILAI INISIAL
L[f ( t )] sF(s) f (0 )
Exponential order
Lim[ e
st
f ( t )dt] 0
0
s Lim[sF(s)] f (0 ) s
Lim [f ( t )] f (0 ) t0
Lim[f ( t )] lim[ sF(s)] {t 0}.......{s }
FUNGSI IMPULSIONAL e ( t ) e 0 ( t )
e0 V(s) 1 RCs
E(s) e 0
Impulse response
e0 V(s) 1 RC (s ) RC 1
e sV(s)
t CR
se0 (RCs 1)
e0 RC
t
e0 CR v( t ) e RC
t
s
RC
s 0
FUNGSI TANGGA DENGAN KONDISI AWAL NOL e( t ) e 0 u ( t )
e0 e0 V(s) s (s 1 ) RC
v( t ) e 0 e 0 e
e0 V(s) s(1 RCs)
e0 E(s) s
t CR
e 0 [1 e
t cr
v( t ) e 0 [1 e ] e0
t CR
]
0,63e0
RC
FUNGSI TANGGA DENGAN KONDISI AWAL Step function dan initial conditions v(0) 0 E(s) RC[sV(s) v(0)] V(s) V(s)[1 RCs] RCv(0)
e0 RCv(0) V(s) s(1 RCs) 1 RCs V(s)
e 0 v(0) e 0 s (s 1 ) RC
v( t ) e 0 [ v(0) e 0 ]e
v( t ) e 0 [ v(0) e 0 ]e e0
v(0)
t CR
sV(s) e0
RCs[v(0) e0 ] RCs 1
t cr
FUNGSI RAMP e(t ) r(t ) t E(s)
V(s)
1 RC RC 1 s2 s (s ) RC
1 s2
1 V(s) 2 s (1 RCs)
v( t )
t CR v( t ) t RC RCe t
dv 1 e CR dt
t CR
RC 1 (RC) 2 s sV(s) RC s (RCs 1)
ANALISIS HARMONIK e( t ) e 0 sin( t )
E(s) e0 2 s 2
ae 0 V(s) (s a )(s 2 2)
1 a RC
A Bs C V(s) ae0( 2 ) 2 sa s ae0 1 a s V(s) 2 ( 2 2 ) 2 2 2 a sa s s
1 a 2 2 1 B 2 a 2 a C 2 a 2 A
ae0 1 a s V(s) 2 ( 2 2 ) 2 2 2 a sa s s t
ae 1 v( t ) 2 0 2 [e CR sin( t ) cos(t )] a RC
tg() RC
Cos()
1 1 (RC) 2
v( t ) e 0 Cos()[sin( t ) sin( )e Forced
t CR
Transient
]
TRANSFORMASI LAPLACE INVERSE Diketahui: F(s)=L[f(t)] Bagaiman mencari f(t) dari F(s) ?
f (t) L1[F(s)] a) Method Analitik i .
1 1 st L [F(s)] f ( t ) e F(s).ds 2..i i. Pada kontour Bromwich
b) Metoda Tabel
1 F(s) f (t ) eat sa
c) Ekspansi fraksi dengan akar-akar berbeda a1 a2 an B(s) F(s) ... A(s) s p1 s p 2 s pn
f (t) a1e
p1t
a2e
p 2 t
......ane
pn t
n
n
aie pit
i1
aie pit
i1
Harga ak (residu pada pole s=-pk) dapat diperoleh dengan: a B(s) ak an ak (s pk ) 1 (s pk ) ... (s pk ) ... (s pk ) s pk s pn A(s) s pk s p1 s pk
Semua suku uraian menjadi nol, kecuali ak. Jadi residu ak diperoleh: B (s ) ak (s p k ) A ( s ) s p k
CONTOH SOAL Carilah transformasi Laplace balik dari
F(s )
Jawab: Transformasi Laplace balik dari:
s3 (s 1)(s 2)
1
a -pt L a e s p
F (s )
a1 a2 s3 (s 1)(s 2) (s 1) (s 2)
s3 a1 (s 1) 2 (s 1)(s 2) s 1 s3 a2 (s 2) 1 (s 1)(s 2) s 2
2 1 1 L F(s) L L ( s 1 ) ( s 2 ) 1
1
L1 F(s) 2e t e 2t
untuk t 0
CONTOH SOAL 2s 2 4 F(s) (s 1)(s 2)(s 3)
1 3 7 F(s) 6(s 1) 4(s 2) 2(s 3) e t 3e 2t 7e 3t f (t) 6 4 2
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI LAPLACE
