MATEMATIKA 6. MUNKAFÜZET Megoldások

MATEMATIKA 6. MUNKAFÜZET Megoldások

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

A kiadvány megfelel az 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet: 2. sz. melléklet: Kerettanterv az általános iskolák 5–8. évfolyama számára 2.2.03. előírásainak. Tananyagfejlesztők: SZÁMADÓ LÁSZLÓ, GEDEON VERONIKA, KOROM PÁL JÓZSEF, URBÁN Z. JÁNOS, DR. WINTSCHE GERGELY Alkotószerkesztő: DR. WINTSCHE GERGELY

Vezetőszerkesztő: TÓTHNÉ SZALONTAY ANNA

Tudományos szakmai lektor: RÓZSAHEGYINÉ DR. VÁSÁRHELYI ÉVA Pedagógiai lektor: BECK ZSUZSANNA

Nyelvi lektor: SZŐNYI LÁSZLÓ GYULA Fedélterv: SLEZÁK ILONA

Látvány és tipográfiai terv: OROSZ ADÉL Illusztráció: LÉTAI MÁRTON

Szakábrák: SZALÓKI DEZSŐ, SZALÓKINÉ TÓTH ANNAMÁRIA

Fotók: Wikimedia Commons; Pixabay; Public Domain Pictures; Morgue File; Flickr

A tankönyv szerkesztői ezúton is köszönetet mondanak mindazoknak a tudós és tanár szerzőknek, akik az elmúlt évtizedek során olyan módszertani kultúrát teremtettek, amely a kísérleti tankönyvek készítőinek is ösztönzést és példát adott. Ugyancsak köszönetet mondunk azoknak az íróknak, költőknek, képzőművészeknek, akiknek alkotásai tankönyveinket gazdagítják. ISBN 978-963-682-764-9

© Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet A kiadásért felel: dr. Kaposi József, főigazgató Raktári szám: FI-503010602 Műszaki szerkesztő: Orosz Adél Grafikai szerkesztő: Kováts Borbála Nyomdai előkészítés: Kardos Gábor Terjedelem: 14,42 A/5 ív, tömeg: 288 gramm 1. kiadás, 2014

A kísérleti tankönyv az Új Széchenyi Terv Társadalmi Megújulás Operatív Program 3.1.2-B/13-2013-0001 számú, „A Nemzeti alaptantervhez illeszkedő tankönyv, taneszköz és Nemzeti Közoktatási Portál fejlesztése”című projektje keretében készült. A projekt az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával valósult meg. Nyomtatta és kötötte az Alföldi Nyomda Zrt., Debrecen Felelős vezető: György Géza vezérigazgató A nyomdai megrendelés törzsszáma: 0000.49.01

TARTALOMJEGYZÉK Játékos feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

I. Műveletek, oszthatóság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8



1. A törtek áttekintése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2. Törtek szorzása törttel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3. Reciprok, osztás törttel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4. Szorzás tizedes törttel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 5. Osztás tizedes törttel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 6. Gyakorlás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 7. Az egész számok szorzása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 8. Az egész számok osztása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 9. Közös többszörös, legkisebb közös többszörös . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 10. Közös osztó, legnagyobb közös osztó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 11. Oszthatóság 10‐zel, 5‐tel, 2‐vel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 12. Oszthatóság 3‐mal és 9‐cel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 13. Prímszámok, összetett számok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 14. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

II. Mérés, geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39



1. Hosszúság, tömeg, idő . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2. Terület, térfogat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3. Alakzatok síkban, térben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4. Háromszögek egybevágósága . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5. A kör és a hozzá kapcsolódó fogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 6. Tengelyes tükrözés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 7. A tengelyes tükrözés tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 8. A tengelyes tükrözés alkalmazásai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 9. Tengelyes szimmetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 10. Tengelyesen szimmetrikus háromszögek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 11. Tengelyesen szimmetrikus négyszögek, sokszögek . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 12. Szerkesztések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 13. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3

TARTALOMJEGYZÉK

III. EGYENLETEK, FÜGGVÉNYEK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66



1. Az arány fogalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Arányos osztás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Százalékszámítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. A 100% kiszámítása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Hány százalék? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Vegyes százalékszámításos feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Százalékszámítás gyakorlása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Egyenletek, lebontogatás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. A mérlegelv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. Összevonás, zárójelfelbontás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. Szöveges feladatok megoldása egyenlettel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. Egyenlőtlenségek megoldása mérlegelvvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. Egyenlettel megoldható feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. Egyenletek gyakorlása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15. Egyenes arányosság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16. Egyenes arányossággal megoldható feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17. Grafikonok, diagramok, összefüggések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

66 67 68 69 70 71 73 74 75 76 77 78 79 81 82 83 85 88

TARTALOMJEGYZÉK

IV. Kerület, terület, felszín, térfogat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94



1. A sokszögek kerülete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 2. A sokszögek területe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3. Alakzatok a térben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4. Testek felszíne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 5. Felszínszámítással kapcsolatos gyakorlati feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 6. Átdarabolással megadható testek térfogata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 7. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

V. Statisztika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105



1. Játék . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 2. Adatok ábrázolása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3. Kördiagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4. Sorbarendezések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5

JÁTÉKOS FELADATOK SUDOKU A 9 darab 3×3-as négyzetbe 1-től 9-ig írhatsz be számokat úgy, hogy minden szám csak egyszer szerepelhet benne, és a nagy négyzet soraiban és oszlopaiban is minden szám csak egyszer fordulhatnak elő. 9 2 3 5 1 6 4 7 8 3 4 1 8 6 7 2 9 5 7 8 2 1 5 9 6 3 4

6 1 7 4 8 2 5 3 9 2 5 6 3 9 1 7 4 8 1 6 4 8 2 3 9 7 5

A KERT Samu vetemé­­nyeskertjében min­denféle földi jó meg­talál­ha­­tó. Samu fele­sége­, Bori a (–1; 4)-ből és a (3; 3)-ból fog levest főzni, a (5; 2)-ből pedig még tortát is süt hozzá. A kilenc gyerek kedvence a (–5; –4) lekvár, és a kis Dóri rajong a (3; 4)-ért, de nem eszi meg a (–1; –4)-et.

8 5 4 7 3 9 6 2 1 9 7 8 2 4 5 3 1 6 5 9 3 4 6 7 1 8 2

9 4 3 2 7 5 6 7 8 1 2 3 4 9 5 8 1 6

8 7 3 1 6 5 6 8 4 9 4 2 5 3 9 4 1 8 7 5 6 2 9 1 3 2 7

2 5 6 1

9 8 4 7 1 3 9 2 5 1 8 3 7 6 2 4 6 9 7 5 3 2 1 8 4 7 3 6 8 4 5 9

a) Miből lesz a leves? krumpli, alma

b) Miből készül a gyerekek kedvenc lekvárja? szilva c) Mi Dóri kedvence? alma

Mit nem szeret Dóri? tök

d) A zöldséges kertben 4 katicabogár mászkál. Hol vannak most? (–4; 1), (–2; –1), (4; –3), (6; 3) e) Mik találhatók a (–1; 1), (3; 5), (–3; 1), (7; –3) helyeken? krumpli, alma, répa, uborka f) Hol vannak a

-k? (1; –3), (1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5)

g) Hol helyezkednek el az

h) Miből van több a kertben,

-k? (7; –1), (7; –2), (7; –3), (7; –4), (7; –5)

-ból vagy

-ből? eperből

1 i) A kert -át Samu gondozza, a többit a nagyobb gyerekek, Tóni, Kata, Zsiga és Rózsa egyenlő arányban. 6 5 5 24 5 6 30 15 5 = ⋅ = = = Mekkora rész jut egy-egy gyerekre? : 4 = : 6 6 6 6 24 144 72 24

6

JÁTÉKOS FELADATOK TORPEDÓ, avagy hol rejtőzik az ellenséges flotta? A torpedó játékot ketten játszhatjátok. Helyezzetek el a 6×6-os táblán egy db 3 egység hosszú, két db 2 egység hosszú és három db 1 mezőt elfoglaló hajót! Ezek egymással még átlósan sem érintkezhetnek. Az  X helyen egy hajó tartózkodik. Takarjátok el saját tábláitokat, és felváltva tippeljetek.! Keresd meg a társad 1, 2 vagy 3 mezős hajóit! A  társad tábláját a játék elején hagyd üresen, ebben jelölheted, hol fogod az ő hajóit elsüllyeszteni. a Például: X X X b a társad azt mondja: a4, mire te azt, hogy: c „nem talált”, és tippelsz egyet: d3. X X X d A társad válaszol, és azt mondja: d1, X X e mire te azt válaszolod, hogy „talált, süllyedt”. X X f (És így tovább.) 1 2 3 4 5 6 Ha a te táblád:



A te táblád (töltsd ki)

Tippjeid a társad hajóiról

a b c d e f



1 2 3 4 5 6



1 2 3 4 5 6

a b c d e f

HÁNYAN ÉLÜNK A FÖLDÖN? Míg 2010-ben körülbelül 7  milliárd ember élt a Földön, addig 1950-ben még csak 3 000 000 000 volt a Föld lakosainak a száma. Szakemberek szerint 2050-ig bolygónk lélekszáma megközelítheti a kilencmilliárdot.

a b c d e f



1 2 3 4 5 6



1 2 3 4 5 6

a b c d e f

A világ népessége régiók szerint. 1950-2010 (tény) 2011-2100 (2010. Évi ENSZ előreszámítás, közepes változat)

Milliárd fő 12 10 8 6 4 2 0

1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020 2030 2040 2050 2060 2070 2080 2090 2100 Afrika

Ázsia

Európa

Észak-Amerika

Dél- és Közép-Amerika

Ausztrália és Óceánia

a) Mennyivel nőtt a Föld lakóinak száma 1950 és 2010 között? 4 000 000 000

b) Valószínűleg mennyivel fog nőni a Föld lakosainak a száma 2010 és 2050 között? 2 000 000 000 c) A grafikon alapján melyik földrész lakosainak a száma fog nőni a leggyorsabban 2100-ig? Afrika d) Körülbelül hányan éltek a Földön, amikor te megszülettél? Egyéni megoldások

7

I. MŰVELETEK, OSZTHATÓSÁG 1. A TÖRTEK ÁTTEKINTÉSE 1  Olvasd le az ábrákról, hogy az 1 egész téglalap hányadrésze színes! Írd le ezeket a törteket az ábra alá, és végezd el a műveleteket! Színezd ki az üres téglalapokat az eredménynek megfelelően!  

9 12

7 12

16 12



10 12

6 12

4 1 = 12 3

 

7 12

3 8

23 24

7 9

10 15

5 1 = 45 9

2  Egyszerűsítés után rendezd növekvő sorrendbe a következő törteket!

a) b)

16 4 = 20 5

26 13 = 14 7

40 8 = 25 5

33 3 = 55 5

65 13 = 25 5

136 17 = 72 9

32 2 = 80 5

56 7 = 40 5

78 13 = 48 8

130 13 = 110 11

3 4 3  Karikázd be azokat a számokat, amelyek nagyobbak, mint , és kisebbek, mint . 5 5 8 15

7 10

13 20

21 25

17 30

29 35

15 120

−

33 40

4  A ∆ mely értékénél igazak az alábbi egyenlőségek? 13 ∆ 7 − = ∆ = 6 a) 10 10 10

13 ∆ 23 + = 7 7 7 13 5 18 + = c) 15 ∆ 15 b)

7 5 ∆ − = 4 6 12 13 3 41 − = e) 8 ∆ 40

d)

∆ = 10 ∆ = 15

∆ = 11 ∆ = 5

5  Ábrázold a számegyenesen a következő törteket! 1 1 4 − − 3 6 48

8

0 240

4 32

1. A TÖRTEK ÁTTEKINTÉSE

Páros munka

Szükségetek lesz két dobókockára. Az első játékos dob a két kockával, összeadja, és beírja az összeget az alsó ábrán ide: Ez lesz a 2 tört közös nevezője (pl. 7). A második játékos dob a két kockával, összeadja, és beírja az összeget az ábrán ide: Ez lesz az első tört számlálója (pl. 5). A második játékos számolja ki a hiányzó értéket! 5 9 14 5 ∆ =2 + = 2 megoldása 9, mert + = 7 7 7 7 7 És írja be ide: 9 A következő játszmában cseréljetek szerepet!



 2



 2



 2



 2

7 5

A játék módosítható úgy, hogy az összeget is 2 dobókockával dobjátok.

















6  Mi a műveletlánc vége? 5 2 4 7 4 3 150 40 144 105 48 54 157 − + = + − + − + = a) + − + 6 9 5 12 15 10 180 180 180 180 180 180 180 b)

121 121 ⋅ 1 ⋅ 9 ⋅ 6 6534 1 ⋅ 100 : 11 ⋅ 9 : 11 ⋅ 6 : 11 = = = 37 800 378 ⋅ 11 ⋅ 11 ⋅ 11 503 118 77

9

2. TÖRTEK SZORZÁSA TÖRTTEL 1  Szorozd össze a számegyenesen bejelölt törteket, és jelöld a szorzat helyét is a számegyenesen!

2  Színezd ki a szorzatnak megfelelő területet a minta szerint!

9 20

12 21

   

12 35

3  Állítsd a szorzatok eredményét növekvő sorrendbe! 14 1 14 1 3 3 9 7 5 35 7 ⋅ = = ⋅ = ⋅ = = 10 21 210 15 4 2 8 25 12 300 60 4 4 16 4 10 4 40 1 5 9 5 45 1 ⋅ = = ⋅ == = ⋅ = = 12 5 60 15 8 15 120 3 15 25 27 675 15 1 1 7 3 4 5 77 9 = < < < < < < 15 15 60 15 15 15 120 8 85 20 4  Mekkora területet kell felásnunk, ha a m hosszú és m 9 3 széles téglalap alakú kertünkben virágokat szeretnénk ültetni? 85 20 1700 ⋅ = 9 3 27

10

6 12

11 7 77 ⋅ = 12 10 120 3 1 3 ⋅ = 5 3 15

2. TÖRTEK SZORZÁSA TÖRTTEL 5  Hány négyzetméter üveglap kell egy akvárium téglalap ala-

15 7 m és m hosszúak? 18 9 2 Mekkora az akvárium űrtartalma, ha a harmadik oldala m? 3

kú elejének elkészítéséhez, ha oldalai 15 7 35 ⋅ = 18 9 54

35 2 70 35 ⋅ = = 54 3 162 81

6  Javítsd ki a dolgozatokat! Húzd alá a rossz eredményt, és pipáld ki a jókat!

Név: Kiss Tamás Név: Nagy Magdolna Szorozd össze a törteket! Szorozd össze a törteket! 1 2 3 6 2 1 3 6 3 ⋅ 6 18 2 a) ⋅ = = = A) ⋅ = = 4 9 6 3 4 9 4 ⋅ 9 36 4 2 3 2 2 20 22 20 ⋅ 22 440 4 20 22 4 = = b) ⋅ = B) ⋅ = 11 50 11 ⋅ 50 550 5 11 50 5 1 5 5 1 25 8 200 20 4 25 8 5 1 = = = C) ⋅ = c) ⋅ = 16 15 240 24 5 16 15 10 2 2 3 1 3 13 9 117 13 9 3 d) ⋅ = D) ⋅ = 12 26 312 12 26 8 4 2 3 7 9 14 21 9 14 126 =1 E) ⋅ = e) ⋅ = 6 21 6 6 21 126 2 3

7  A versenyautók fölötti szorzatokból megtudhatod, hány másodperccel érkeztek az első autó után a célba. Melyik autó nyert?

4 15 60 ⋅ == 2 5 6 30

9 0 0 ⋅ = =0 4 9 36

42 2 84 15 4 60 36 20 720 ⋅ = = 2,3 ⋅ = = 0,83 ⋅ = = 3,6 4 9 36 8 9 72 25 8 200

11

2. TÖRTEK SZORZÁSA TÖRTTEL 4 8  a) A boltban árusított termékek ára -szörösére változott. Írd fel az új árat a kirakatban lévő termékek 5  árcédulájára! 24

2 5

12

30 20 10

1 61 = 2 2

61 4 244 122 2 ⋅ = = = 24 2 5 10 5 5

3 43 = 4 4

43 4 172 43 3 ⋅ = = = 8 4 5 20 5 5

1 101 = 5 5

101 4 404 4 ⋅ = = 16 5 5 25 25

15 12

1 76 = 5 5

1 25 = 2 2

b) Írd fel az új árak tizedestört alakját, és kerekíts századokra! 24,4

12,16

122 = 24,4 5

12

404 = 16,16 25

43 = 8,6 5

16,16

8,6 10

304 = 12,16 25

16

4 25

4 25

8

3 5 10

76 4 304 4 ⋅ = = 12 5 5 25 25 25 4 100 ⋅ = = 10 2 5 10

2. TÖRTEK SZORZÁSA TÖRTTEL 9  Párosítsd a pólókat! Az összetartozó pólón lévő törtek szorzata 1.

75 28 2100 ⋅ = = 1 100 21 2100 60 30 1800 ⋅ = = 1 72 25 1800

42 90 3780 ⋅ = = 1 60 63 3780

72 18 1296 ⋅ = = 1 81 16 1296

3. RECIPROK, OSZTÁS TÖRTTEL 1  Számold ki a következő átváltásokat! a) milliméter

centiméter

16 3

16 8 = 30 15

25 4

b)

25 5 = 40 8

méter

25 5 1 = = 400 80 16

25 1 = 4000 160

16 4 = 300 75

16 2 = 3000 375

1000 11

1000 100 = 110 11

1000 10 = 1100 11

1000 1 = 11000 11

milliliter

centiliter

deciliter

liter

500 9

c)

deciméter

1200 13

500 50 = 90 9 1200 120 = 130 13

500 5 = 900 9 1200 12 = 1300 13

500 5 1 = = 9000 90 18 1200 12 = 13000 130

gramm

dekagramm 250 25 = 290 29

250 25 1 = = 29000 2900 116

7500 11

7500 750 = 110 11

7500 75 15 = = 11000 110 22

250 29

kilogramm

13

3. RECIPROK, OSZTÁS TÖRTTEL 2  Melyik válasz igaz, melyik hamis? Írj a négyzetekbe I vagy H betűt!

a) Minden számnak van reciproka. b) Az 1 reciproka a −1. 1 1 c) Az reciproka az . 3 3 d) A 2-nek nincs reciproka.

e) A negatív szám reciproka negatív.

H H

H

H I

3  Egyszerűsítsd a törteket és párosítsd a reciprokértékeket!

12 3 = 4 1

27 3 = 18 2

1

4  Töltsd ki az alábbi osztótáblázatot! :

5 4

10 3 8 3

5 4

5 5 5 4 20 : = ⋅ = =1 4 4 4 5 20 10 5 10 4 40 8 : = ⋅ = = 3 4 3 5 15 3 8 5 8 4 32 : = ⋅ = 3 4 3 5 15

2 1 = 12 6

10 3

5 10 5 3 3 : = · = 4 3 4 10 8 10 10 : =1 3 3

8 10 8 3 24 4 : = ⋅ = = 3 3 3 10 30 5

5  Bori édesanyja egyik este rakott krumplit készített. Mivel öttagú a család, öt egyenlő részre osztották. Bori még nem volt otthon, így az ő részét eltették. Este hétre hazaért az edzésről, de vele volt két barátnője, Klári és Zsófi is. Az eltett rakott krumplit így hármuk között osztotta el anya. A vacsora hányad része jutott Borinak? 1 1 :3 = 5 15

14

3 7 = 4 4

5 1 = 15 3 6 2 = 9 3

2 18 9 2= = 8 8 4

8 3

5 8 5 3 15 : = ⋅ = 4 3 4 8 32 10 8 10 3 30 5 : = ⋅ = = 3 3 3 8 24 4 8 8 : =1 3 3

3. RECIPROK, OSZTÁS TÖRTTEL 6  Mi kerülhet az üres helyekre, hogy az egyenlőség igaz legyen? a) b) 7 −    12 7 12

 14 15

3 8



8 3





17 48

−

 7 20

5 16









17 48

32 15

15 32



 2 3 



7  Javítsd ki a dolgozatokat! Húzd alá a rossz eredményeket, és pipáld ki a jókat! Név: Kerpes István Végezd el az osztást!

Név: Angyal Angéla Végezd el az osztást!

12 9 12 10 120 24 : = ⋅ = = 25 10 25 9 175 35

12 9 12 10 120 8 : = ⋅ = = 25 10 25 9 225 15

32 15 32 15 480 5 : = ⋅ = = =5 24 4 24 4 96 1

32 15 32 4 128 32 : = ⋅ = = 24 4 24 15 360 90

6 9 6 5 30 : = ⋅ = 4 5 4 9 36

6 9 6 5 30 5 : = ⋅ = = 4 5 4 9 36 6

100 18 1800 8 ⋅ = = 81 25 2025 9

100 25 32 4 128 32 : = ⋅ = = 81 18 24 15 360 90

12 21 12 14 158 79 : = ⋅ = = 70 14 70 21 1470 735

12 14 168 4 ⋅ = = 70 21 1470 35

8  Mely számok kerüljenek a pólókra, hogy a szorzatok eredménye

48 63

5 3

2 legyen? 3

4 9

2 63 2 72 144 48 : = ⋅ = = 3 72 3 63 189 63

8 21

2 50 2 125 250 5 : =⋅ = = 3 125 3 50 150 3

2 21 2 14 28 4 : = ⋅ = = 3 14 3 21 63 9

2 42 2 24 48 8 : = ⋅ = = 3 24 3 42 126 21

15

4. SZORZÁS TIZEDES TÖRTTEL 1  Végezd el a következő szorzásokat! 0,342 ⋅ 5 1,710

1,29 ⋅ 31 387 +  129 39,99

3,5 6 ⋅ 237 712 1068 +  2492 843,72

2  Végezd el a következő szorzásokat! 3,47

⋅ 10

⋅ 100

⋅ 1000

⋅ 10 000

576

5760

57 600

576 000

34,7

57,6

0,089

347

0,89

méter

deciméter

2,46

24,6

 b)

 c)

23,4

234

246

2460 gramm

245

0,167

2450

16,7

liter

167

deciliter

3,567

centiliter

35,67

0,002

890

milliméter

dekagramm

2,45

34 700

89

centiméter

2,34

kilogramm

3 470

8,9

3  Váltsd át a következő mennyiségeket!  a) 0,234

 3,338 ⋅ 34 10014  13352 +   2492 113,492



milliliter

356,7

0,02

3567

0,2

2

4  Rendezd a szorzatokat csökkenő sorrendbe! Számolj a füzetedben! a) 7,4 ⋅ 3,5 = 25,9;     4,4 ⋅ 5,9 = 25,96;     3,2 ⋅ 8,24 = 26,368;     2,6 ⋅ 9,35 = 24,31; 3,2 ⋅ 8,24

>

4,4 ⋅ 5,9

>

1,86 ⋅ 8,6

>

7,4 ⋅ 3,5

>

2,6 ⋅ 9,35

b) 4,9 ⋅ 3,25 = 15,925;    4,55 ⋅ 3,6 = 16,38;    2,8 ⋅ 5,6 = 15,68;     1,86 ⋅ 8,6 = 15,996. 4,55 ⋅ 3,6

16

>

4,9 ⋅ 3,25

>

2,8 ⋅ 5,6

4. SZORZÁS TIZEDES TÖRTTEL 5  Hány négyzetméteres a lakás? Konyha: 2,34 m ⋅ 2,5 m Előszoba: 1,34 m ⋅ 4,23 m WC: 2,12 m ⋅ 1,24 m Fürdőszoba: 3,29 m ⋅ 2,45 m Nappali: 4,23 m ⋅ 5,3 m Hálószoba: 4,23 m ⋅ 3,2 m Gyerekszoba: 4,23 m ⋅ 3,17 m Összesen:

5,85

m2

5,6682

m2

8,0605

m

2,6288 22,419 13,536

13,4091 71,5716

m2 2

m2 m2

m2

m2

2,34 ⋅ 2,5 468 + 1170 5,850 1,34 ⋅ 4,23 536  268 +   402 5,6682 2,12 ⋅ 1,24 212  424 +   848 2,6288

3,29 ⋅ 2,45 658 1316 +  1645 8,0605

  4,23 ⋅ 3,17  1269    423 +   2961 13,4091  4,23 ⋅ 5,3 2115 +  1269 22,419

 4,23 ⋅ 3,2 1269 +   846 13,536

6  a) Egy padlóburkoló lap 0,33 méter oldalú négyzet, a közöttük lévő fuga 0,005 méter. A padlón éppen 25 sornyi lap és 24 darab köz látható. Milyen hosszú a szoba? 25 ⋅ 0,33 + 24 ⋅ 0,005 = 8,25 + 0,12 = 8,37 b) A hinta 0,26 másodperc alatt lendül egyet. Mennyi idő alatt lendül 10-et, 15-t, 50-et? 0,26 ⋅ 10 = 2,6 0,26 ⋅ 15 026 +  130  3,90

0,26 ⋅ 50 130 +  000 13,00

7  Színezd ki azokat a lapokat, amelyekben a szorzat éppen 6,048-del egyenlő! 8,4 0,72 33,6 0,18

3,6 1,68 89,6 0,0675

11,2 0,54

2,8 2,16

8,4 ⋅ 0,72 00 588 +  168 6,048

89,6 ⋅ 0,0675 000  000   5376    6272 +     4480   6,04800

11,2 ⋅ 0,54 000  560 +   448  6,048 3,6 ⋅ 1,68 36 216 +  288 6,048

33,6 ⋅ 0,18 000  336 +  2688  6,048 2,8 ⋅ 2,16 56  28 +  168 6,048

17

4. SZORZÁS TIZEDES TÖRTTEL 8  Csóka úr gyárában különböző méretű mikrocsipeket gyártanak. A számítógépek monitorján kiírták, hogy hányszor hány cm-es csippel működnek. Jelöld meg azokat a számítógépeket, amelyek monitorján látható szorzat 11,02-nál nagyobb!  2,56 ⋅ 4,5 1024 +  1280 11,520

 5,6 ⋅ 1,85  56  448 +   280 10,360

 3,45 ⋅ 3,25 1035   690 +   1725 11,2125

2,56  4,5

 8,32 ⋅ 1,45  832  3328 +   4160 12,0640

5,6  1,85

3,45  3,25

8,32  1,45

9  Számold ki annak az öt téglalapnak a területét, amelyeknek oldalai párhuzamosak a tengelyekkel, és két átellenes csúcsuk az origo, illetve az A, B, C, D, E pontok egyike! 2,65  1,85

y 1

B

D0,4 1

0,5

C

0,25

0

A0,05

1 x

0,5

0,5 0,5

2,66  4,05

0,525

E 1

A) 0,2 ⋅ 0,25 00  04 +   10 0,050 D) 0,8 ⋅ 0,5 00 +   4 0 0,40

3,5  3,15

B) 0,75 ⋅ 0 000

E) 0,75 ⋅ 0,7 000 +  525 0,525

10  1 m3 fa felhasogatva és halomba rakva 1,75 m3 helyet foglal el, és körülbelül 900 kg. a) Mekkora helyet foglal el 8 m3 fa? 14

c) Mekkora helyet foglal el 3,25 m3 fa? 5,6875  8 ⋅ 1,75  8  56 +   40 14,00

18

4,4 ⋅ 1,75 44 308 +  220 7,700

C) 0,5 ⋅ 0,5 00 +  25 0,25

b) Mekkora helyet foglal el 4,4 m3 fa? 7,7 1,75 ⋅ 3,25 525  350 +   875 5,6875

5. OSZTÁS TIZEDES TÖRTTEL 1  Váltsd át!

a) 23,6 dkg = 0,236 kg b) 564,7 gramm = 0,5647 kg

c) 54,8 milliméter = 0,0548 méter d) 56,7 cm = 0,567 méter e) 4,56 deciliter = 0,456 liter 2  Itt látható az ALMATEKERCS cukrászda étlapjának egy oldala. Az ételek mellett az árak euróban szerepelnek. Mennyibe kerülnek az ételek forintban, ha 1 euró aznap 300 forint?

f) 34,79 milliter = 0,3479 deciliter

Mézes almatekecs:

Mákos almatekercs:

Almás pite:

Almás lepény:

Pikáns almatorta

euró

7 € 8 11 € 8 8 € 5 27 € 20 39 € 25

forint

262,5

412,5 480

405 468

3  a) A 22,72 milliméter vastag magyarkártya-pakliban 32 lap van. Milyen vastag egy kártyalap? Számolj a füzetedben! 22,72 : 32 = 0,71 mm

 ) Egy pakli francia kártyában 52 lap található, és a pakli b 4,264 cm magas. Milyen vastag egy kártyalap? Számolj a füzetedben! 4,264 : 52 = 0,082 cm

4  a) A teniszlabda átmérője 6,45 cm. Hány labda

fér el a 161,25 cm hosszú hengerben? 25 db

b) A pingponglabda átmérője 40 mm. Hány labda van a 32 cm hosszú dobozban? 8 db

c) A golflabda átmérője 42,67 mm. Hány labda fér el az 51,204 cm hosszú dobozban? 12 db

d) A gyeplabda átmérője 36,6 milliméter. Hány darab van a 21,96 centiméter hosszú dobozban? 6 db

a)

c)

161,25 : 6,45 = 16125 : 645 = 25 3225 0 512,04 : 42,67 = 51204 : 4267 = 12 8534 0

b)

320 : 40 = 8

d)

2196 : 366 = 6

19

5. OSZTÁS TIZEDES TÖRTTEL 5  Végezd el az osztásokat!

a) 48,36 : 5,2 =    b) 13,34 : 3,2 =    c) 0,6912 : 0,27 =    d) 7,782 : 1,2 = 483,6 : 52 = 9,3  156    0

133,4 : 32 = 4,16875   54   220    280     240      160        0

69,12 : 27 = 2,56 151  1 6 2      0

77,82 : 12 = 6,485  58  1 0 2      6 0        0

6 Tamás és Péter elvégezte a következő osztást: ((12,6 : 12,5) : 3,5) : 1,2

Péter 0,24-ot, Tamás 0,25-ot kapott. Melyik fiúnak volt igaza? Petinek 126 : 125 = 1,008   10   100   1000      0

10,08 : 35 = 0,288 100  308   280     0

2,88 : 12 = 0,24 28  48   0

7  Autók számára parkolóhelyet terveznek. a) Egy átlagos parkolóhely szélessége 2,5 és 2,75 méter között lehet. Hány parkolóhelyet jelölhetnek ki egy 33,8 méter hos�szú üres területen, ha egymás mögött 2 autó állhat?

Ha 2,5 m, akkor 26 parkolóhelyet, ha 2,75 m, akkor pedig 24-et.

b) Milyen széles lesz egy parkolóhely, ha egyenlő szélességű parkolóhelyeket szeretnének kijelölni? 2,6

c) Ha egy felfestett fehér csík 20 cm, egy parkoló autó pedig 2 m széles, akkor mekkora hely marad a parkoló szélénél, illetve két autó között a kiszálláshoz? Ha 13 parkolót hozunk létre egy sorban, akkor 14 ⋅ 0,2 m = 2,8 m a felfestések szélessége. A fennmaradó hely 33,8 – 2,8 = 31 (m). Ezt kell 13 részre elosztani, ami kb. 2,4 m. Az autó két széle és a felfestés között így 0,2–0,2 m hely marad. Tehát két autó között 0,2 + 0,2 + 0,2 = 0,6 (m) hely marad. 338 : 25 = 13,52  130    50     0

20

3380 : 275 = 12,29090   800   2500     250     2500       250

33,8 : 13 = 2,6  78   0

5. OSZTÁS TIZEDES TÖRTTEL 8.  A Cutty Sark kereskedelmi vitorláshajó néhány adatát a vitorlákon lévő hányadosok rejtik. Számold ki, melyek ezek! Hossza: 85,4 m

Tömege: 978,5 t

Merülési mélysége: 6,4 m Magassága: 64,8 m

10675 : 125 = 85,4   675    500      0

35226 : 36 = 978,5  282   306    180      0

2016 : 315 = 6,4  1260     0

152928 : 236 = 64,8  1132   1188      0

6. GYAKORLÁS 1  Végezd el a szorzásokat, és karikázd be a legnagyobb eredményt! ⋅

8 9 5 6

6 5

48 45

30 30

9 10

⋅

72 90

24 36

⋅

45 60

2  Végezd el az osztásokat, és karikázd be a legkisebb eredményt! :

2 3 5 6

3 2

4 16 = 9 36

10 20 = 18 36

:

3 4

8 32 = 9 36

20 40 = 18 36

3 4

15 24 :

6 5

10 20 = 18 36 25 36

21

6. GYAKORLÁS 3  Végezd el a szorzásokat!  ⋅ 0,3

0,2

0,06

0,4

Az eredményeket jelöld a számegyenesen! 4  Végezd el az osztásokat! :  0,2

0,15

0,04

0,16

0,2

0,1

:  0,4

:  0,25

0,1

0,16

0,075

0,2

Az eredményeket jelöld a számegyenesen! 0,3 : 2 = 0,15  3   10

 ⋅ 0,5

0,08

0,12

0,03

 ⋅ 0,4

0,3 : 4 = 0,075  3   30    20     0

3 : 25 = 0,12 30  50   0

0,12

0,4 : 4 = 0,1  4  0

4 : 25 = 0,16 40 150   0

0,4 : 2 = 0,2  4  0

5  Végezd el a következő műveleteket! Az eredményeket kerekítsd két tizedesjegyre!

a) 1,23 ⋅ 2,45 ≈ 3,01 1,23 ⋅ 2,45 246  492 +   615 3,0135

  b) 1,446 : 1,2 ≈ 1,21

14,46 : 12 = 1,205  24   06    60     0

6  a) Mennyit kapok, ha a 2,4-et előbb elosztom

0,8-del, majd a hányadost elosztom 1,25-dal? 2,4 b) Mi az eredmény, ha az 1,25-ot megszorzom 4,59 5 del, majd a szorzatot elosztom -del?  4 2

c) Ha az 0,123-et elosztom 0,125-del, akkor véges vagy végtelen szakaszos tizedes törtet kapok? véges

22

  c) 0,49 ⋅ 1,42 ≈ 0,7 0,49 ⋅ 1,42 049 196 + 098 0,6958

24 : 8 = 3

 d) 8,9175 : 2,5 ≈ 3,57

300 : 125 = 2,4  500    0

123 : 125 = 0,984 1230  1050    500      0

89,175 : 25 = 3,567 14 1  1 67    175      0

1,25 ⋅ 4,5 500 +  625 5,625

45 4 180 5 ⋅ = = 8 9 72 2

7. AZ EGÉSZ SZÁMOK SZORZÁSA 1  Párosítsd a számokat az ellentettjükkel!

27

–100

36

–100

–20

100

B: (–4)⋅(+6) = –24;

E: (–3)⋅(–8) = 24;

100

–27

2  a)Ábrázold a számegyenesen a szorzatokat!

A: (–3)⋅(–12) = 36;

–36

20

C: 2⋅(–18) = –36;

F: 3⋅11 = 33;

D: 7⋅(–3) = –21;

G: (–1)⋅(–4) = 4;

H: (0)⋅(–25) = 0.

b) Karikázd be kék ceruzával azokat a szorzatokat, amelyek az abszolút értékük ellentettjével egyenlők! c) Karikázd be piros ceruzával azokat a szorzatokat, amelyek megegyeznek abszolút értékükkel! 3  Állítsd növekvő sorrendbe a következő szorzatokat!

A: (–3) · (5) = –15;

D: 13 · (–3) = –39;

D

B: (–3) · (–4) · (–1) = –12;

<

A

E: (–7) · (–6) = 42; <

B

<

C

C: (–2) · (–10) = 20;

<

E

F: 12 · 4 = 48. <

4  A levegő hőmérséklete 500 méterenként 3 °C-kal csökken. a) Ha a Föld felszínén 20 °C a hőmérséklet, akkor mekkora a hőmérséklet

F

2000 méter magasságban? 2000 : 500 = 4 3 ⋅ 4 = 12 20 − 12 = 8 °C b) Ha a földfelszínen 25  °C a hőmérséklet, akkor mekkora a hőmérséklet

3500 méter magasságban? 3500 : 500 = 7

3 ⋅ 7 = 21

25 − 21 = 4 °C

5  Sötétedés előtt a levegő hőmérséklete 24 °C. Este 8-kor lemegy a Nap. Sötétedés után a levegő hőmérséklete óránként két fokkal csökken. a) Mennyivel lesz hidegebb 4 óra múlva? 4 ⋅ 2 = 8 °C-kal b) Mennyi lesz a hőmérséklet 6 óra múlva? 6 ⋅ 2 = 12

c) Mennyi lesz a hőmérséklet 12 óra múlva? 12 ⋅ 2 = 24

24 − 12 = 12 °C

24 − 24 = 0 °C

23

7. AZ EGÉSZ SZÁMOK SZORZÁSA 6  Javítsd ki a dolgozatokat!



7  Az egyik gleccser évente 70 métert csúszik lefelé. Mennyit tesz meg 12 év alatt?  70 ⋅ 12  70 + 140 840

840 m-t tesz meg 12 év alatt.

8  Milyen magasra jut a kiránduló család 3 óra alatt, ha óránként 200 métert tesznek meg felfelé? Amikor ereszkednek, óránként 250 méterrel csökken a magasságuk. Mennyivel jutnak lejjebb 2 óra alatt? 200 ⋅ 3 = 600 m magasra jutnak.

2 ⋅ 250 = 500 m-rel jutnak lejjebb.

24

7. AZ EGÉSZ SZÁMOK SZORZÁSA 9  Az áruk berakodása után az uszályok merülési mélysége 1,4-szeresre változott. a) Milyen mélyre merültek? b) Az uszályok mekkora magasságú része áll ki a vízből? a) 1,2 ⋅ 1,4 = 1,68 m-re merül 3,2 m

1,2 m

b) 3,2 − 1,68 = 1,52 m állki

5,6 m

1,6 m

a) 1,6 ⋅ 1,4 = 2,24 m-re merül

10  Kösd a pozitív eredményű műveleteket tartalmazó bójákat a pozitív jelű, a negatívakat a negatív jelű, a 0 eredményűeket pedig a 0 jelű cölöphöz!

b) 5,6 − 2,24 = 3,36 m állki

0

( 2) 0 4

(3 ( 4)) (( 4) ( 5)))

0

−8

( 2 ( 2))

−4

(3 ( 2) ( 7))

4 ( 3) ( 2)

42

14

( 4) ( 5) ( 6)

5 ( 1) 6

−120

3 ( 4) 22

1

−10 11  Írd be az 1, 2, 3 számokat a 3×3-as táblázatba úgy, hogy minden sorban és minden oszlopban egy szám csak egyszer szerepelhet, de figyelj arra, hogy a vastagabb vonallal határolt tartományokban a megadott műveleteknek is igaznak kell lenniük! Például a „3/” azt jelenti, hogy az abban a részben álló két szám hányadosa 3. Nemcsak 3×3-as, hanem 4×4-es, 5×5‑ös, ... 9×9-es táblázatot is szoktak készíteni, ezekbe természetesen 1-től 4-ig ..., 1-től 9-ig kell beírni a számokat. Segítségül megadtunk egy kitöltött táblát, a többit töltsd ki te! A Mathdoku játékot megtalálod az interneten is. 3

2

1

2

3

1

2

1

3

1

2

3

1

3

2

3

1

2

2

1

3

4

4

3

2

1

4

3

1

2

3

1

4

2

1 3

2 4

4 2

3 1

2 1

4 2

1 3

3 4

2

4

5

1

3

3

5

1

2

4

3

2

5

1

1 5 4

2 1

3 4

4 3

5 2

25

8. AZ EGÉSZ SZÁMOK OSZTÁSA 1  Végezd el az osztásokat! a) (–204) : (–12); b) (–365) : (+28); e) (–308) : (–11); f) 2132 : 41; a) −204 : (–12) = 17

c) 459 : (–9); g) (–1023) : (–31);

b) −365 : 28 = −13 85 1 f) 2132 : 41 = 52

e) −308 : (–11) = 28

d) (–576) : 16; h) 0 : (–25).

c) 459 : (–9) = 51

d) −576 : 16 = −36

g) −1023 : (–31) = 33

h) 0 : (–25) = 0

2  Párosítsd a számokat az ellentettjükkel!

3

4

6

−7

9 −4

−3

−9

3  a) Ábrázold a számegyenesen a hányadosokat! A: (–180) : (–5) = 36; B: 546 : (–42) = –13; C: (–276) : 23 = –12; E: 0 : (–23) = 0; F: 528 : 16 = 33; G: (483) : (–23) = –21;

D: (–576) : 32 = –18; H: (–305) : 61 = –5.

b) Karikázd be kék ceruzával azokat a hányadosokat, amelyek az abszolút értékük ellentettjei!

c) Karikázd be piros ceruzával azokat a hányadosokat, amelyek megegyeznek az abszolút értékükkel! 4  Állítsd növekvő sorrendbe a hányadosokat!



A: (–105) : 5 = –21



D: 42 : (–3) = –14 A

<



D

B: (–80) : (–5) : (–4) = –4 <

E: (–27) : (–3) = 9 B

<

F

<

5  A levegő hőmérséklete 500 méterenként 3 °C-kal csökken.



C: (–40) : (–8) = 5

C

<

F: 12 : 4 = 3 E

a) Milyen magasságban lesz a hőmérséklet 18 °C-kal hidegebb a földfelszíni hőmérséklethez képest? 3000 m magasan

b) Ha a földfelszínen 30,5 °C a hőmérséklet, akkor milyen magasságban lesz 3,5 °C a hőmérséklet? 0,5 − 3,5 = 27

4500 m magasan

26

27 : 3 = 9

9 ⋅ 500 = 4500

6,11 7

8. AZ EGÉSZ SZÁMOK OSZTÁSA 6  Számold ki az eredményeket, és színezd ki a pozitív végeredményű mezőket!

7  Sötétedés előtt a levegő hőmérséklete 25 °C. Sötétedés után a levegő hőmérséklete óránként 3 fokkal csökken. Mennyi idő múlva lesz 10 °C a hőmérséklet? 25 °C − 10 °C = 15 °C

5 óra múlva

15 °C : 3 °C = 5

8  Az egyik gleccser évente 65 métert ereszkedik. Mennyi idő alatt tesz meg 1495 métert? 23 év alatt

9  Ha a kiránduló család óránként 260 métert tesz meg felfelé, akkor mennyi idő alatt másznak 1560 méterrel magasabbra? Amikor ereszkednek, óránként 380 méterrel csökken a magasságuk. Men�nyi idő alatt ereszkednek 2660 métert? 6 óra alatt 7 óra alatt

1495 : 65 = 23  195

1560 : 260 = 6 2660 : 380 = 7

27

9. KÖZÖS TÖBBSZÖRÖS, LEGKISEBB KÖZÖS TÖBBSZÖRÖS 1  Sorold fel a számok pozitív osztóit!

a) 10; 10, 5, 2, 1

d) 16; 16, 8, 4, 2, 1

b) 12; 12, 6, 4, 3, 2, 1

c) 15; 15, 5, 3, 1

e) 20; 20, 10, 5, 4, 2, 1

f) 60. 60, 30, 20, 15, 12, 10, 6, 5, 4, 3, 2,1

2  Jelöld a számegyenesen a) a 3 és a 4 közös többszöröseit! b) a 4 és a 6 közös többszöröseit!

Mindkét esetben pirossal jelöld a legkisebb közös többszöröst! 3  Keresd meg a legkisebb közös többszöröst

a) [2; 8] = 8

d) [7; 11] = 77

g) [2; 3; 6] = 6

b) [5; 10] = 10

c) [6; 8] = 24

e) [3; 5] = 15

h) [2; 3; 4] = 12

f) [4; 8; 16] = 16

i) [4; 5; 6] = 60

4  A legkisebb közös többszörös felhasználásával hozd közös nevezőre a következő törteket, és végezd el a kijelölt műveleteket! 5 6 25 36 61 1 3 13 7 26 21 5 b) 2 − 1 =− = a) + = + − = = 6 5 30 30 30 6 4 6 4 12 12 12 c)

11 11 55 44 99 33 + =+ = = 12 15 60 60 60 20

5  a) Írd be a halmazábrába a természetes számokat 1-től 32-ig!

d)

13 11 65 33 32 8 + = + = = 36 60 180 180 180 45

b) Írd be a halmazábrába a természetes számokat 1-től 32-ig!

Mit állíthatsz az üresen maradt rész alapján? 6-nak minden többszöröse 2-nek is többszöröse.

28



9. KÖZÖS TÖBBSZÖRÖS, LEGKISEBB KÖZÖS TÖBBSZÖRÖS 6  Mely számok állhatnak a betűk helyén? Hány megoldás van?

a) [2; a] = 8 b) [b; 10] = 10 c) [c; 12] = 48







a = 8



b = 1; 2; 5; 10

c = 16; 48

d) [2; d] = 21 e) [e; 12] = 36 f) [ f ; 4] = 20.











e = 9; 18; 36

nincs megoldás

f = 5; 10; 20

7  a) Egy buszvégállomásról 6 percenként indul a 3-as busz és 10 percenként a 9-es. Mindkét járat reggel 5-kor indul először. Hány perc után indulnak ismét egyszerre? [6; 10] = 30, tehát 5.30-kor indulnak együtt előszőr, majd 30 percenként

b) A transzformátorháztól párhuzamosan indulnak a villanyvezetékek. Az egyik típusú vezetéknél 100 méterenként vannak a villanyoszlopok, a másiknál 120 méterenként. Hány méterenként állnak egymás mellett az oszlopok? [100; 120] = 23 ⋅ 3 ⋅ 52 = 600 méterenként

8  Péter és Pál tapszenekart alakított. a) Az első szerzeményt együtt indítják, aztán Péter minden negyedik, Pál pedig minden ötödik ütemre tapsol. Hányadik ütem után fognak újra együtt tapsolni? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Péter X

Pál

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

b) A második szerzeményben Péter a közös indítás után minden második ütemre tapsol, Pál pedig felváltva tapsol 2 és 3 ütemenként. Hány ütemenként tapsolnak együtt? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Péter X Pál

X

X X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

29

9. KÖZÖS TÖBBSZÖRÖS, LEGKISEBB KÖZÖS TÖBBSZÖRÖS 9  Az útfeleket elválasztó szaggatott vonalat újrafestik. A kicsit kopott régi csík 3 méter hosszú volt, és 1 méter volt a csíkok közötti távolság. Rajzolj le a négyzetrácsra legalább 8 csíkot! Az új festésnél ráfestenek a korábbi csíkokra. Most 2 méter hosszú a csík, és 3 méter a csíkok közötti távolság. Milyen hosszú a régi és az új festés alapján kialakult leghosszabb csík? Rajzold le! Hány méterenként alakulnak ki ezek a hosszú csíkok? 9

11 m 10  A falon 30 darab fogas található. Az osztályba járó fiúk balról jobbra nézve minden negyedik fogasra, a lányok minden harmadik fogasra akasztják a kabátjukat. a) Hány fogason van két kabát? 2 fogason

b) Hány fogason nincs kabát? 15 üres fogas

11  A falat 20 centiméter széles deszkák fedik. Az első fogas az első deszka közepén helyezkedik el. a) Rajzolj be még néhány fogast az ábrába! b) Hányadik deszkán lesz újra középen egy fogas, ha a fogasok 25 centiméterenként követik egymást? A 6. deszkán

10. KÖZÖS OSZTÓ, LEGNAGYOBB KÖZÖS OSZTÓ 1  Írd le a számok pozitív osztóit!

a) 80; 80, 40, 20, 16, 10, 8, 5, 4, 2, 1

b) 50; 50, 25, 10, 5, 2, 1

c) 125; 25, 5, 1

d) 108; 108, 54, 36, 27, 18, 4, 3, 2, 1, 6, 12, 9

e) 90; 90, 45, 30, 15, 10, 9, 6, 3, 2, 1

2  Keresd meg a legnagyobb közös osztókat!

f) 64; 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1

a) (0; 4) = 4

b) (100; 1) = 1

c) (2; 1) = 1

g) (6; 8; 10) = 2

h) (12; 4; 20) = 4

i) (20; 10; 30) = 10

d) (40; 4) = 4

30

e) (8; 14) = 2

f) (15; 25) = 5

9. KÖZÖS OSZTÓ, LEGNAGYOBB KÖZÖS OSZTÓ 3  Ábrázold grafikonon, hogy az 1 és 100 közé eső számok közül hány osztható 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel, 6-tal, 7-tel, 8-cal 9-cel, 10-zel!

4  a) Ábrázold halmazábrán a 60 és a 80 pozitív osztóit!

3 6

2

12 15 30

60

b) Ábrázold halmazábrán a 18 és a 36 pozitív osztóit!

5

2

6

1 20

1 18

4

10

3

9

8

16

40

36

80

12

4

5  A legnagyobb közös osztó megtalálása után egyszerűsítsd a törteket!

a) 5 = 5 6 6

b) 2 5 = 7 15 3 108 d) = 3 36

c) 70 = 2 105 3

6  Mely számok állhatnak a betűk helyén? Hány megoldás van? a) (4; a) = 4 b) (b; 3) = 1

c) (c; 10) = 5

a = 4, 8, 12, 16, ... b = 1, 2, 4, 5, ... c = 5, 15, 25, 35, 45, ...

végtelen sok végtelen sok végtelen sok

d) (12; d) = 8



e) (e; 6) = 2

f) ( f ; 4) = 20

e = 2, 4, 8, 10, 14, ...

nincs megoldás végtelen sok nincs megoldás

31

9. KÖZÖS OSZTÓ, LEGNAGYOBB KÖZÖS OSZTÓ 7  Három természetjáró csapat együtt szeretne menetelni a diáktalálkozón. Az első csapat 33 fős, a második 27 fős, a harmadik pedig 21 főt számlál. Hány oszlopba rendeződjenek, ha nem akarnak vegyes sorokat (amelyben más csapat tagjai is megtalálhatók lennének) kialakítani? Ekkor hány sorból áll a menetük? Készíts rajzot!

11. OSZTHATÓSÁG 10-ZEL, 5-TEL, 2-VEL 1  Hamupipőke azt a feladatot kapta a gonosz mostohától, hogy minden ötödik szem lencsét tegye a kék edénybe, minden másodikat pedig a pirosba, de minden tizedik szemet tegyen el magának a kis sárga lábosába. Írd bele a lábosokba, hogy hányadik lencse hová kerül! 23; 242; 45; 79; 50; 125; 64; 78; 0; 40; 93; 2; 5 45

125

64

2  Írd be a halmazábrába a számokat! 125; 200; 142; 524; 850; 705

850

32

900;

125

975

475

242

50

78

1048;

200 900 1000

475; 1048

524

562;

142

562

40

705;

975;

1000

11. OSZTHATÓSÁG 10-ZEL, 5-TEL, 2-VEL 3  Egy cetlire felírt hétjegyű telefonszám utolsó három számjegye elázott, ezért olvashatatlan.

5555_ _ _

a) Sorold fel a lehetséges telefonszámokat, ha tudjuk, hogy 25-tel osztható a szám! 5555 000, 5555 025,

5555 050, 5555 075, 5555 100, 5555 125, 5555 150, 5555 175, 5555 200, 5555 225, 5555 250,

5555 275, 5555 300, 5555 325, ... b) Sorold fel a lehetséges számokat, ha 25-tel osztható, és páros a szám! A fenti számok közül a 0-ra

végződők.

4  Szofi hétjegyű telefonszáma nagyobb, mint 9  999  800, és osztható 4-gyel. Ha a kapcsolási díj 5 Ft, akkor legfeljebb hány forint költséggel hívhatjuk fel Szofit? 245 Ft

999 − 800 = 199

199 : 4 = 49  39   3

49 ⋅ 5 = 245

5  Mely számok kerülhetnek a hiányzó helyekre, hogy a) 2-vel osztható számot kapjunk? 24; 1; 2; ... 9

6 1;4 56 ; 0; 2; 4; 6; 8 1 4 ; az 1 és 4 közé 0 és 9 közötti bármely számjegy; a 4 után 0; 2; 4; 6; 8 b) 5-tel osztható számot kapjunk? 20; 1; 2; ... 9 4 1;4 19 ; 0; 5 6 3 ; a 6 és 3 közé 0 és 9 közötti bármely számjegy; a 3 után 0; 5 c) 4-gyel osztható számot kapjunk?

36; 1; 2; ... 9 9 1;4 76 ; 0; 4; 8 1 9 ; az 1 és 9 közé 0 és 9 közötti bármely számjegy; a 9 után 2; 6 d) 25-tel osztható számot kapjunk?

25; 1; 2; ... 9

7



0; 0; 5

8



1;4

18

; 00; 25; 50; 75



6  Jeromos házáról tudni lehet, hogy a házszáma 82-től 135-ig valamelyik szám, és 4-gyel osztható.

Legfeljebb hány házba kell becsöngetni, hogy megtaláljuk Jeromost? 13 házba 7  Igaz-e?

a) Ha egy számot 10-zel megszorzunk, akkor 0-ra fog végződni.

I

b) Ha egy páratlan számot 5-tel megszorzunk, akkor 0-ra fog végződni.

H

e) Két páratlan számot összeszorozva páros számot kapunk.

H

c) Ha egy páros számot 5-tel megszorzunk, akkor 0-ra fog végződni. d) Két páros számot összeszorozva páros számot kapunk.

f) Egy néggyel osztható szám számjegyeinek összege páros.

I I

H

33

12. OSZTHATÓSÁG 3-MAL ÉS 9-CEL 1  Kilenc egyforma nyakláncot szeretnének készíteni a gyerekek úgy, hogy az összes gyöngy elfogyjon. Sikerülhet-e nekik A: 117 piros gyöngy;

D: 207 arany gyöngy;

B: 135 kék gyöngy; E: 261 fehér gyöngy;

C: 189 sárga;

F: 387 zöld gyöngy esetén?

2  Írd be a számokat a halmazábrába! 5616; 20562; 5628; 22767; 585; 6943; 22222

22222 20562 5628 22767

5616 585

3  Egy kiránduláson a 32 gyereket három egyenlő létszámú csapatra akarták osztani a számháborúhoz. Hány gyerek legyen tagja a zsűrinek, hogy ez sikerüljön? 32 : 3 = 10  2

Tehát 3 db 10 fős csoportot kell létrehozni és 2 gyerek a zsűri tagja. 4  Milyen számok kerülhetnek a hiányzó helyekre, hogy a) 3-mal osztható számot kapjunk? 41; 1; 4; 7

9

4; 2; 5; 8

b) 9-cel osztható számot kapjunk?

20; 7 78 9; 3 c) 6-tal osztható számot kapjunk?

53

; 1; 4; 7

9

9

; 0; 3; 6; 9

79

;2

6

3

; 0; 9

36; 3; 6; 9

5

4; 0; 3; 6; 9

9

1; 0

1

25; 2; 5; 8

7

0; 2; 5; 8

8

1; 0

18

d) 15-tel osztható számot kapjunk? 5  Melyik igaz?

a) Ha egy szám osztható 50-nel, akkor nem osztható 3-mal. b) 3-mal osztható szám nem végződhet 0-ra.

c) 9-cel osztható szám biztosan osztható 18-cal.

d) 18-cal osztható szám biztosan osztható 9-cel.

e) Egy 9-cel osztható szám számjegyeinek összege 9.

f) Ha egy szám osztható 3-mal, akkor osztható 9-cel is.

34

H H H I

H H

9 ;0

; 4 ?? Gergő!

13. PRÍMSZÁMOK, ÖSSZETETT SZÁMOK 1  Keresd meg a prímszámokat 1-től 225-ig eratosztenészi szitát használva! a) Keress páros prímszámot! 2

b) Írd le a prímszámokat!

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79,

83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113,

127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223 c) Keresd meg a leghosszabb egymást követő összetett számokból álló sorozatot! 114−126

d) Keresd meg azokat a prímeket, melyek különbsége 1!

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75

76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105

106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120

121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135

136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150

151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165

166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180

181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195

196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210

211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225

3−2

e) Keresd meg azokat a prímeket, amelyek különbsége 2! Írd le a számpárokat!

199 − 197; 193 − 191; 139 − 137; 109 − 107; 103 − 101; 73 − 71; 61 − 59; 151 − 149; 181 − 179;

43 − 41; 31 − 29; 19 − 17; 13 − 11; 7 − 5, 5 − 3

2  Ábrázold diagramon, hogy a megadott számtartományokba hány darab prímszám esik!

35

13. PRÍMSZÁMOK, ÖSSZETETT SZÁMOK 3  A halmazábrán megadtunk két számot. Prímtényezős alakban írtuk fel őket. Írd be a felsorolt számokat a halmazábra megfelelő helyére! 1; 2; 3; 4, 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22; 23; 24; 25; 26; 27; 28; 29; 30; 31; 32; 33; 34; 35; 36; 37; 38; 39; 40; 41; 42; 43; 44; 45; 46; 47; 48; 49; 50

4  A szerencsekeréken igaz és hamis állítások találhatók. Színezd ki zölddel, ami igaz, pirossal, ami hamis!

4; 8; 9; 11 20

15

5

12; 13; 16 (= 30) 42 =) (

10

1

3

2

21

14

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

6  Írd fel 1-től 20-ig azokat a számokat, amelyeknek a) pontosan egy osztójuk van: 1

b) pontosan két osztójuk van: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19

c) pontosan három osztójuk van: 4, 9

d) pontosan négy osztójuk van: 6, 8, 5, 10, 14, 15 e) négynél több osztójuk van: 12, 16, 18, 20

7  Készítsd el a következő számok prímtényezős felbontását! d) 63 = 3 ⋅ 3 ⋅ 7

36

 b) 40 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5

 e) 72 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3

7

22 24

42 30 23 26 27 25 28; 29; 31; 32; 33; 34; 35; 36; 37; 38; 39; 40; 41; 43; 44; 45; 46; 47; 48; 49; 50 6

5  A 6 nála kisebb pozitív osztói az 1, 2, 3 és 1 + 2 + 3 = 6. Keress ugyanilyen tulajdonságú számokat 20 és 30 között!

a) 12 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3

17; 18; 19

 c) 46 = 2 ⋅ 23

 f) 98 = 2 ⋅ 7 ⋅ 7

 

 

14. ÖSSZEFOGLALÁS 1  Milyen előjelű az utolsó eredmény? a) 2

  900 

+



+

+ 

5





−

b)

4

3

400

−

−

2  Jelöld a táblázatban az első oszlopban megadott számok osztóit! 888

2

4

− +

−

5

25

3

9

4

+

4

− +

6

15

12

11 025 60 724 555

3  A nevezők legkisebb közös többszörösének használatával számold ki az összeadásokat, kivonásokat! 11 7 88 35 123 + = + = 30 48 240 240 240 25 5 275 15 290 + = + = c) 108 396 1188 1188 1188 a)

b)

d)

37 17 185 51 134 − =− = 81 135 405 405 405

7 5 35 30 5 − = − = 72 60 360 360 360

4  A legnagyobb közös osztó megkeresésével egyszerűsítsd a törteket!

a) c)

240 5 = 336 7

252 4 = 441 7

b)

d)

504 9 = 392 7

540 2 = 1350 5

5  Balról indulva a 315 darab kerítésléc közül minden harmadikat sárgára, minden ötödiket kékre festenek. A sárgára és kékre festett lécek zöldek lesznek. a) Színezd ki a léceket!

b) Hányadik léc lesz először zöld, hányadik az utolsó zöld léc? 15; 315

c) Hány léc van két zöld között? 14

37

14. ÖSSZEFOGLALÁS 6  Állítsd csökkenő sorrendbe! [7;8] 56 (162;270) 54 [12;15] 60 (572;468) 52  60

>

56

>

54

>

52

7  Sorold fel a számok osztóit, és karikázd be a három szám közös osztóit! 27: 1; 3; 9; 27

135: 1; 3; 5; 9; 15; 27; 45; 135

216: 1; 2; 3; 6; 8; 9; 24; 36; 27; 72; 108; 216

8  Készítsd el a számok prímtényezős felbontását! 3528 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 7

11 000 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 11 7020 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 13 3528 2 1764 2  882 2  441 3  147 3   49 7    7 7    1

11000 11  1000 2   500 5   100 5    20 5     4 2     2 2     1

7020 3 2340 5  468 3  156 3   52 2   26 2   13 13    1

TESZTKÉRDÉSEK 1. A 3 és a 15 legnagyobb közös osztója A: 3; B: 15; C: 1.

2. A 3 és a 15 legkisebb közös többszöröse A: 3; B: 15; C: 1. 3. A 14 és a 20 legnagyobb közös osztója A: 70; B: 140; C: 2.

4. A 14 és a 20 legkisebb közös többszöröse A: 70; B: 140; C: 2. 5. Két prímszám szorzata mindig A: prímszám; B: összetett szám.

38

II. MÉRÉS, GEOMETRIA 1. HOSSZÚSÁG, TÖMEG, IDŐ 1  Karikázd be a hosszúság mértékegységeit, húzd alá a tömeg mértékegységeit, keretezd be az idő mértékegységeit! g   h   cm   mg   dm   kg

m   s   dkg   km    t   mm

2  Add meg milliméterben és méterben a következő hosszúságokat! a) 500 cm = 5000 mm

= 5 m;

b) 780 cm = 7800 mm

= 7,8 m;

e) 44,2 cm = 442 mm

= 0,442 m;

f) 90 cm = 900 mm

= 0,9 m;

c) 510 dm = 51 000 mm g) 8,9 dm = 890 mm

= 51 m;

= 0,89 m;

d) 2500 dm = 250 000 mm

h) 0,8 dm = 80 mm

3  Add meg méterben és kilométerben a következő hosszúságokat! a) 2160 dm = 216 m

= 0,126 km;

b) 46 100 dm = 4610 m

e) 920 dm = 92 m

= 0,092 km;

f) 406 dm = 40,6 m

c) 99 800 cm = 998 m g) 905 800 cm = 9058 m

= 0,998 km; = 9,058 km;

4  Pótold a hiányzó mértékegységeket!

a) 15 dkg = 150 g

d) 0,9 q = 90 kg

5  Váltsd át kilogrammra!

d) 675 100 cm = 6751 m

= 250 m;

= 0,08 m. = 4,61 km;

= 6,751 km;

= 0,0406 km;

h) 6 500 000 cm = 65 000 m = 65 km.

b) 51 kg = 5100 dkg

e) 0,08 t = 8000 dkg

c) 92 q = 9200 kg

f) 0,002 t = 2 kg

a) 16 000 g = 16 kg; b) 175 000 g = 175 kg; c) 169 200 dkg = 1692 kg;

d) 22 400 dkg = 224 kg; e) 251 000 000 mg = 251 kg; f) 553 200 mg = 0,5532 kg. 6  A hivatalos angol mérföldet 1609 méterre, az angol tengeri mérföldet pedig 1853 méterre kerekíthetjük. Mekkora az eltérés 111 mérföld esetén a hivatalos angol és az angol tengeri mérföld között? Eltérés: 27 084 m.

1853 − 1609 = 244 244 ⋅ 111 = 27084

39

1. HOSSZÚSÁG, TÖMEG, IDŐ 7  A font a tömeg egyik mértékegysége. Angliában és az Amerikai Egyesült Államokban az angol font még hivatalos mértékegység. A köznyelvben 1 font körülbelül 0,5 kg-ot jelent. Az 1 angol font pontosabban is megadható: 453,6 gramm. Add meg grammban és kilogrammban a következőket! 4 font = 1814,4 g = 1,8144 kg

15,5 font = 7030,8 g = 7,0308 kg 0,5 font = 226,8 g = 0,2268 kg 453,6 ⋅ 4 = 180 4 ,4 453,6 ⋅ 15,5 = 7030,8 453,6 ⋅ 2 = 226,8

8  A következő táblázatban kilométerben adtuk meg a városok távolságait. Budapest Győr

Miskolc Pécs

Budapest

Győr

Miskolc

Pécs

179

303

–

377

–

123 198

123 –

241

179 303

377

198 241 –

a) Hány kilométer hosszú az út Miskolctól Pécsig Budapesten át? b) Győrből Budapestre utaztunk, majd onnan Pécsre. Összesen hány kilométert tettünk meg? c) Budapestről árut kellett szállítani egy teherautóval Győrbe, Miskolcra és Pécsre. Hány kilométert vezetett a teherautó sofőrje, ha a végén visszaérkezett Budapestre? Hányféle megoldást kaptál? a) Az út hossza: 377 km;

b) Az út hossza: 321 km;

c) Az út hossza: 1000 km, 1001 km, 920 km vagy 921 km. 2 ⋅ 123 + 2 ⋅ 179 + 2 ⋅ 198 = 1000 123 + 303 + 377 + 198 = 1001 123 + 241 + 377 + 179 = 920 198 + 377 + 303 + 123 = 1001 198 + 241 + 303 + 179 = 1001 198 + 241 + 303 + 179 = 921 179 + 377 + 241 + 123 = 920 179 + 303 + 241 + 198 = 921 123 + 123 + 179 + 377 + 198 = 1000 179 + 179 + 198 + 241 + 123 = 920 198 + 198 + 123 + 303 + 179 = 1001 9  Add meg a hiányzó számokat! a) 6 h = 0,25 nap = 360 perc; c) 2 hét = 14 nap = 336 h;

40

b) 0,25 h = 15 perc = 900 s; d) 43 200 s = 720 perc = 12 h.

2. TERÜLET, TÉRFOGAT 1  Írd be a hiányzó mértékegységeket!

a) 5,3 dm² = 530 cm2 = 53 000 mm2

b) 120 cm² = 0,12 = 12 000 mm2



c) 225 m² = 22 500 dm2 = 2 250 000 cm2

d) 250 000 mm² = 2500 cm2 = 25 dm2

2  Rakd növekedő sorrendbe!

1200 mm²;    0,012 m²;    0,000012 km²;    12 dm²;    1,2 cm² 1,2 cm2

<

1200 mm2

3  Írd le köbdeciméterben!

a) 3600 cm3 = 3,6 dm3

<

0,012 m2



<

12 dm2

<

b) 81 000 cm3 = 81 dm3

c) 9 m3 = 9000 dm3



d) 33 m3 = 33 000 dm3

g) 900 000 mm³ = 0,9 dm3



h) 1 710 000 mm³ = 1,71 dm3

e) 0,007 km3 = 7 000 000 000 dm3 4  Add meg hektoliterben!

a) 7800 liter = 78 hl





0,000012 km2

f) 0,000 6 km3 = 600 000 000 dm3

b) 655 liter = 6,55 hl

c) 960 000 dl = 960 hl d) 12 000 000 ml = 120 hl

5  Két egyforma nagy, 1,4 hl űrtartalmú hordó lefejtését kezdték meg. Az egyikből 180 dl, a másikból 13 liter bor hiányzik. Hány liter van a két hordóban összesen? Első hordó: 140 − 18 = 122 liter

Második hordó: 140 − 13 = 127 liter

Összesen: 122 + 127 = 249 liter

6  Egy hatlakásos társasház felújításánál egy burkoló elvállalta az összes szoba parkettázását. Két lakásban 2-2 darab, egyenként 11,5 m2, négy lakásban pedig 3-3 darab, egyenként 10 m2 alapterületű szobát kell parkettáznia. a) Hány m2-t vállalt összesen? b) Hány darab 125 cm2-es keskeny parkettát használt fel a kisebb szobák burkolására, ha azt feltételezzük, hogy nem volt hulladék? c) A nagyobb szobák burkolására 1840 darab széles parkettát használt fel. Hány cm2-t fed le egy parketta, ha azt feltételezzük, hogy nem volt hulladék? a) Alapterület összesen: 166 m2 b) A parketták száma: 9600 db

c) Egy parketta területe: 250 cm2 4 ⋅ 11,5 = 46

12 ⋅ 10 = 120

1 200 000 ⋅ 125 = 9600 460 000 : 1840 = 250

41

2. TERÜLET, TÉRFOGAT 7  Egy 18 m² alapterületű terem magassága 2,5 m. A teremben négy egyforma, 2,25 m3 térfogatú szekrény található. A további bútorok térfogata 8400 dm3. Mekkora a terem üresen maradt része? A terem térfogata: 45 m3

18 ⋅ 2,5 = 45 4 ⋅ 2,25 = 9 9 + 8,4 = 17,4 45 − 17,4 = 27,6

A szekrények térfogata: 9 m 3

Az összes bútor térfogata: 17,4 m3

A terem üresen maradt része: 27,6 m3

8  János bácsi 8 magyar holdon búzát, 11 magyar holdon pedig árpát termelt. a) Add meg ezeket a területeket külön-külön katasztrális holdban! b) Hány négyszögöl a két terület összesen? a) A búzaföld: 6 katasztrális hold.

b) A terület összesen: 22 800 négyszögöl. a) 8 ⋅ 1200 = 9600 11 ⋅ 1200 = 13 200

Az árpaföld: 8,25 katasztrális hold.

9600 : 1600 = 6 13 200 : 1600 = 8,25

b) (8 + 11) ⋅ 1200 = 22 800

3. ALAKZATOK SÍKBAN, TÉRBEN 1  Megadtuk egy háromszög két szögét. Mekkora a hiányzó harmadik?

a) β = 25°, γ = 86°. A hiányzó szög: 180° – 25° – 86° = 69°

b) α = 28°, γ = 48°. A hiányzó szög: 180° – 28° – 48° = 104°

c) α = 62°50’, β = 46°40’. A hiányzó szög: 180° – 62°50’ – 46°40’ = 70°30’ d) α = 17°52’, β = 6°18’. A hiányzó szög: 180° – 17°52’ – 6°18’ = 155°50’

2  Cso­por­tosítsd nagyságuk szerint az ábrán látható szögeket! Nullszög: e)

Hegyesszögek: a), c), f), l)

i)

h)

g)

f)

e)

d)

c)

b)

a)

Derékszög: b), i)

Tompaszögek: h), j) Egyenesszög: g), n)

Homorúszögek: d), k), m) Teljesszög: nincs

42

j)

k)

l)

m)

n)

3. ALAKZATOK SÍKBAN, TÉRBEN 3  Keress az ábrán nevezetes szögpárokat! Nevezd el a szögeket, aztán írd le a szögpárokat!

Egyállású szögek: például α és ε

α

Váltószögek: például α és µ

β

δ

γ

ε

Csúcsszögek: például α és γ

θ υ

µ

Kiegészítőszögek: például α és δ

4  Az ábrán az azonos színnel jelölt szögek azonos nagyságúak: α = 10°30’, β = 12°15’. Számold ki a γ szög nagyságát! Első számolási mód: 5 · α = 52°30’

4 · β = 49°

Második számolási mód: α + β = 22°45’

4 · (α + β) = 91°

Harmadik számolási mód: α + β = 22°45’

5 · (α + β) = 113°45’

γ = 101°30’

γ = 4 · (α + β) + α = 101°30’



     

γ = 5 · (α + β) − β = 101°30’

5  Ha α = 43°46´, β = 48°54´, akkor mekkora az α + β kiegészítőszöge?

α + β = 92°40’

α + β kiegészítőszöge: 87°20’

6  Ha α = 102° 15´, β = 86° 27´, akkor mekkora az α − β pótszöge?

α − β = 15°48’

α − β pótszöge: 74°12’

7  Add meg a következő négyszögek meghatározását!

Trapéz: olyan négyszög, amelynek van párhuzamos oldalpárja.

Paralelogramma: olyan négyszög, amelynek két párhuzamos oldalpárja van. Rombusz: olyan négyszög, amelynek minden oldala egyenlő hosszú.

Téglalap: olyan négyszög, amelynek minden szöge egyenlő nagyságú. (90°).

Négyzet: olyan négyszög, amelynek minden oldala egyenlő hosszú, és minden szöge egyenlő nagyságú.

43

3. ALAKZATOK SÍKBAN, TÉRBEN 8  a) Milyen négyszögek vannak az ábra zölddel festett részében? négyzetek

b) Tervezz egy olyan ábrát, ahová ezeket írhatod: négyszögek, trapézok, paralelogrammák, téglalapok, négyzetek! Alaphalmaz: négyszögek ⊑ trapézok ⊑ paralelogrammák ⊑ téglalapok ⊑ négyzetek.

9  Írd be a hiányzó szavakat!

Azokat a rombuszokat, amelyek téglalapok is, négyzeteknek nevezzük.

Azokat a téglalapokat, amelyek rombuszok is, négyzeteknek nevezzük.

10  Hogyan mondanád egy szóval? Rajzold is le! a) Olyan téglalapot rajzoltunk, amelynek minden oldala egyenlő hosszúságú. négyzet

b) Olyan trapézt rajzoltunk, amelynek minden oldala egyenlő hosszúságú. rombusz

c) Olyan négyszöget rajzoltunk, amelynek két-két szemközti oldala egyenlő hosszúságú. paralelogramma

d) Olyan négyszöget rajzoltunk, amelynek két szomszédos szöge 90°. derékszögű trapéz

44

3. ALAKZATOK SÍKBAN, TÉRBEN 11  Tizenhat darab egyforma négyzetet rendezünk el téglalap alakban! Hányféle téglalapot kaphatunk? Töltsd ki a táblázat minél több oszlopát, ha a ≤ b! a

b

 1

16

2 8

4

4

12  Tizenkét darab egyforma kockából téglatestet építünk. Hányféle téglatestet kaphatunk? Töltsd ki a táblázat minél több oszlopát, ha a ≤ b ≤ c! a b c

 1

1

1

2

12

6

4

3

 1

2

3

2

45

4. HÁROMSZÖGEK EGYBEVÁGÓSÁGA 1  Hasonlítsd össze a két középső kört! Melyik a nagyobb? Válasz: A két kör ugyanakkora.

2  Tippelj! Melyik oszlop magasabb?

A zöld színű oszlop kb. 3 mm-rel magasabb. Válaszodat méréssel ellenőrizd! Tévedésem milliméterben: 3.

A tippelt adatok tetszőlegesek lehetnek. Zöld: 18 mm. Piros: 18 mm.

3  Válassz egybevágó párokat!



4  Szerkessz egyenlő szárú háromszöget, ha adott az alapja és a szárszöge!

Adatok:

46

Vázlat:

Szerkesztés:

4. HÁROMSZÖGEK EGYBEVÁGÓSÁGA 5  Szerkessz egyenlő szárú háromszöget, ha adott a szára és az alapon fekvő egyik szöge! Adatok: Vázlat: Kivitelezés:

6  Szerkessz derékszögű háromszöget, ha adott a leghosszabb oldala és az egyik hegyesszöge! Adatok: Vázlat: Kivitelezés:

7  Vágd egy-egy egyenessel két egybevágó háromszögre a síkidomokat!

47

5. A KÖR ÉS A HOZZÁ KAPCSOLÓDÓ FOGALMAK 1  Írd be a hiányzó szavakat az ábrába!

érintési pont

érintő

szelő

2  Keresd a megfelelő meghatározást, és írd a betűjelét az üres helyre! a) Két azonos középpontú körvonallal határolt síkidom. b) Egy körív és a kör két sugara által határolt síkidom. c) A kör középpontját és a körvonal tetszőleges pontját összekötő szakasz. d) A körvonal két különböző pontját összekötő szakasz. e) A kör leghosszabb húrja. f) A sík adott pontjától adott távolságra lévő pontjainak összessége. g) A körvonal egy darabja. h) Egy körív és egy húr által határolt síkidom. sugár: c)

átmérő: e)

körszelet: h)

körvonal: f)

körív: g)



körgyűrű: a)



b)

c)

d)

e)

körcikk: b)

húr: d)

3  Készíts egy-egy szemléltető ábrát az előző feladat nyolc meghatározásához: a)

metszéspontok

f)

g)

h)

4  Képzeld el az összes olyan 1,5 cm sugarú körlapot, amelynek középpontja az ábrán látható szakaszra illeszkedik! Színezd ki azokat a pontokat, amelyek illeszkednek valamelyik körlapra!

5  Képzeld el az összes olyan 0,5 cm sugarú körlapot, amelynek középpontja az ábrán látható körvonalra illeszkedik. Színezd azokat a pontokat, amelyek illeszkednek valamelyik körlapra!

48

5. A KÖR ÉS A HOZZÁ KAPCSOLÓDÓ FOGALMAK 6  Pótold a hiányzó szavakat!

A kör

érintője

merőleges az érintési pontba húzott sugárra.

Az érintési pontban az érintőre merőleges egyenesre illeszkedik a kör

A kör egy adott pontjában csak egy

érintő

és az ezeken lévő érintő szakaszok

egyenlő

Egy körön kívüli pontból

két

rajzolható.

középpontja

érintő húzható a körhöz,

7  Egy kör sugara centiméterben mérve egész szám. A körvonal egy tetszőleges pontjából megrajzoltuk az összes olyan húrt, amelynek hossza centiméterben mérve szintén egész szám. Összesen 9 ilyen húr van. Hány centiméteres a kör sugara?

hosszúak.

A kör sugara: 2,5 cm.

8  Rajzolj egy K középpontú kört és két olyan, KA és KB sugarat, amelyek 60°-os szöget zárnak be egymással! Rajzold meg az A pontra illeszkedő érintőt is! Ez az érintő a KB egyenest egy P pontban metszi. Mekkora az APK szög? APK szög = 30°.

9  A fényképen látható olimpiai öt karika Budapesten a Duna partján látható. A félkörívek piros, fehér és zöld színnel lettek lefestve. A következő állítások közül melyik igaz, melyik hamis? A megfelelő szót húzd alá! a) Piros festéket használtak a legtöbbet.

Igaz – Hamis

c) A fehér ívekből pontosan két teljes fehér kört lehetne összeilleszteni.

Igaz – Hamis

b) Zöld festékből használtak a legkevesebbet.

d) A piros ívekből két teljes piros kört lehetne összeilleszteni.

e) Ha hat doboz piros festéket használtak fel a festéskor, akkor a fehérből nyolcat.

Igaz – Hamis Igaz – Hamis Igaz – Hamis

49

5. KÖR ÉS A HOZZÁ KAPCSOLÓDÓ FOGALMAK 10  a) A következő köröket 1, 2, 3 és 4 darab átmérővel vágd fel körcikkekre! Írd az ábrák alá, hogy hány darab körcikket kaptál!

   2   

   4  

    6  

    8  

b) Ha 210 különböző átmérőt rajzolnék egy körbe, akkor 420 darab körcikket kapnék. c) 422 darab körcikket

211 darab átmérő berajzolásával kapnék.

11  Az ábrán egy közlekedési táblát látsz. A következő mondatokat erről fogalmaztuk meg. Pótold a hiányzó szavakat! A tábla

két

körvonalból áll, amelyeknek egybeesik a

A két körvonalnak nem egyenlő hosszú a A piros alakzat neve: körgyűrű.

sugara

és az

6. TENGELYES TÜKRÖZÉS 1  Rajzold meg vázlatosan a táj tükörképét a tó vizén!

2  Szerkeszd meg az A, B és C pontok tükörképét!

50

középpontja.

átmérője. 

6. TENGELYES TÜKRÖZÉS 3  Rajzold le szabadkézzel a sokszögek csúcsainak tükörképét! A tükörképként kapott pontokat kösd össze a megfelelő sorrendben!

a) 

e) 

  b) 

  f ) 

  c) 

  g) 

  d) 

  h) 

4  Rajzolj olyan háromszöget a rácsra, amelynek a tükörképét szabadkézzel is könnyen meg tudod rajzolni!

5  Az ábrán látható A, B, C és D pontoknak a tükörképe az A’, B’, C’ és D’ pontok. Rajzold be a közös tengelyt, ha van!

51

7. A TENGELYES TÜKRÖZÉS TULAJDONSÁGAI 1  Rajzolj olyan tengelyt, hogy az ábrán látható alakzat képe önmaga legyen!

a) 

d) 

     b) 

     e) 

     c) 

     f) 

2  Igaz vagy hamis? Húzd alá az állítás mellett a megfelelő szót!

a) Van olyan pont a síkon, amelynek a tengelytől vett távolsága nem egyenlő a képének a tengelytől vett távolságával.

Igaz – Hamis

c) A tengelyes tükrözés távolságtartó transzformáció.

Igaz – Hamis

b) A tengelyre illeszkedő pont képe önmaga.

d) A tengelyre illeszkedő pont több pontnak is lehet a képe.

e) Ha az A pont illeszkedik az a egyenesre, akkor az A’ illeszkedik az a’ -re. f) Egy szabályos háromszög képe is szabályos háromszög lesz.

Igaz – Hamis Igaz – Hamis Igaz – Hamis Igaz – Hamis

3  Egy háromszöget tengelyesen tükröztünk. Az eredeti háromszög egyik szögét 20°-osnak, a képháromszög egyik szögét 45°-osnak mértük. Add meg az eredeti háromszög három szögének nagyságát! Milyen háromszöget tükröztünk? Az eredeti háromszög szögeinek nagysága: 20°, 45°, 115°

Ez egy tompaszögű háromszög. 4  Rajzold meg a téglalap tükörképét a megadott egyenesre!

52

7. A TENGELYES TÜKRÖZÉS TULAJDONSÁGAI 5  Az ABC háromszögben AB = AC = 4 cm. A B csúcs az AC oldaltól 2 cm-re található. Mekkora a BAC szög?

BAC∢ = 30°

6  A négyzethálón egy alakzat részletét látod. A hiányzó részleteknek megadtuk a tengelyes tükörképét. Rajzold meg a teljes ábrát! 7  Egy tükörben a következő órákat látjuk. Írd az ábrák alá, hogy mennyi a pontos idő! 6:00

3:00

8. A TENGELYES TÜKRÖZÉS ALKALMAZÁSAI 1  Pótold a hiányzó szavakat!

a) A rombusz minden b) A rombusz két-két

c) A rombusz

átlói

d) A rombusz két-két e) A rombusz

oldala

egyenlő.

szemközti oldala

4:00

1:30

párhuzamos egymással.

merőlegesek egymásra.

szemközti

szomszédos

szöge egyenlő.

szögeinek összege 180°.

f) Ha a rombusz minden szöge egyenlő, akkor az

négyzet.

2  Írj a négyzetbe I-t, ha igaznak, H-t, ha hamisnak gondolod az állítást! a) A deltoid két-két szomszédos oldala egyenlő hosszú. b) Minden rombusz deltoid.

I I

c) Minden deltoid rombusz.

H

f) A deltoidnak van két szomszédos egyenlő szöge.

H

d) Minden négyzet deltoid. e) A deltoid átlói felezik egymást. g) A deltoidoknak nem lehet derékszöge.

I

H H

53

8. A TENGELYES TÜKRÖZÉS ALKALMAZÁSAI 3  Tükrözd a derékszögű háromszöget sorban, mindhárom oldalegyenesére! Mit alkot az eredeti és a képként kapott háromszög egyesítése? a)

b)

c) a) A kapott alakzat neve: egyenlő szárú háromszög. b) A kapott alakzat neve: szabályos háromszög.

c) A kapott alakzat neve: deltoid. 4  Rajzolj olyan deltoidot, amelyben van azonos hosszúságú oldal és átló!

5  a) A 0, 2, 5, 8 számjegyeknek van olyan digitális írásmódja, hogy egy függőleges tengelyre tükrözve is számjegyet kapunk. Rajzold le a tükörképeket!

b) Mennyivel lesz kisebb a tükrözött háromjegyű szám az eredetihez képest? Rajzold le a tükörképet! 255 − 225 = 30 Nincs ilyen

802 − 508 = 294

A tükörképen látható szám 30-cal kisebb, mint az eredeti. c) Készíts a füzetedbe olyan kétjegyű számot, amelyet ha egy függőleges tengelyre tükrözöl, akkor 54-gyel nagyobb számot kapsz! Rajzold le a megoldásodat! Nincs ilyen szám. (A fenti négy számjegy felhasználásával kapható kétjegyű számokat kell megnézni.) d) Készíts a füzetedbe olyan háromjegyű számot, amelyet ha egy függőleges tengelyre tükrözöl, akkor 294-gyel kisebb számot kapsz. Rajzold le a megoldásodat! 802 − 508 = 294 

54

8. A TENGELYES TÜKRÖZÉS ALKALMAZÁSAI 6  Rajzolj olyan alakzatokat, amelyeket egy tengelyre tükrözve római számokat kapsz! Példaként egyet megadtunk. Rejtvény: Hogyan lehet a tizenkettőnek hét a fele?

9. TENGELYES SZIMMETRIA 1  Rajzold be a síkidomok szimmetriatengelyét!

2  Rajzolj olyan cégjelzéseket, cégéreket, amelyek tengelyesen szimmetrikusak! Lehetnek ismertek, de tervezhetsz újakat is.

3  Rajzolj szimmetrikus címerpajzsalakokat, ha segítségül megrajzoltuk az egyik felüket!

4  A kész mintának két egymásra merőleges tengelyű szimmetriája lesz. Rajzold le a teljes mintát!

55

9. TENGELYES SZIMMETRIA 5  Hány szimmetriatengelyt tudsz rajzolni a következő mintára? (Természetesen most nem kell geometriai pontosságra törekedned!)

6  Ágnes egy terítőre keresztszemes hímzéssel az alábbi mintákat szeretné kihímezni. A mintákat tartalmazó könyvben a szimmetrikus képeknek csak az egyik felét rajzolták meg. Ezt láthatod az ábrán.

Készítsd el a képeket, ha a jobb szélén lévő tengelyre kell tükrözni mindent! A négyzetháló segít az ilyen minták rajzolásában. Tervezd meg a kész kép színeit is!

7  A régészek egy római kori piactérről kiderítették, hogy négyzet alakú volt, és 4 fal határolta. Ismert, hogy a piac közepén állt egy kút, amelybe az árusok egy támadás alkalmával elrejtették a pénzüket. A feltárás során találtak egy oszlopot, mely közvetlenül a piac egyik sarkába futó falszakasz mellett állt. Megtalálták az ezzel a sarokkal átellenes sarokból kifutó falak egy-egy méternyi darabját. Hol keressék a kútba rejtett kincset? Rajzolj!

8  Mutasd meg, hogy a következő állítások hamisak! Rajzolj! a) A tengelyesen szimmetrikus négyszögek konvexek. b) Minden szabályos sokszögnek van olyan átlója, amelynek egyenese szimmetriatengely.

c) Csak a szabályos sokszögek tengelyesen szimmetrikusak.

56

9. TENGELYES SZIMMETRIA 9  A következő ábrák eredetiek vagy tükörképek? Válaszaidat röviden indokold!

a) Tükörkép, a házszámon látszik.

b) Tükörkép, a kitűzőn látszik.

c) Tükörkép, az óra feletti római számon látszik.

d) Tükörkép, mert az eredeti táblán a piros autó a baloldali.

a)

b)

c)

d)

10. TENGELYESEN SZIMMETRIKUS HÁROMSZÖGEK 1  Fogalmazd meg egy mondattal a következő két állítást! Ha egy háromszögnek három szimmetriatengelye van, akkor az szabályos háromszög. Ha egy háromszög szabályos, akkor a háromszögnek három szimmetriatengelye van. Egy háromszög akkor, és csak akkor szabályos, ha három szimmetriatengelye van.

2  Keress a környezetedben egyenlő szárú háromszögeket! Rajzolj, és színessel jelöld a rajzodon a háromszöget!

3  Szerkeszd meg az ABC háromszög hiányzó C csúcsát úgy, hogy a háromszög a) szabályos; b) egyenlő szárú derékszögű háromszög legyen!

A

B

A

B

4  A közlekedési táblák jelentős része szabályos háromszög alakú. Rajzolj olyanokat, amelyek a benne lévő ábrával együtt tengelyesen szimmetrikus alakzatot alkotnak!

57

10. TENGELYESEN SZIMMETRIKUS HÁROMSZÖGEK 5  Tervezz a koordináta-rendszerbe olyan szimmetrikus háromszöget, amelyiknek egyik oldala sem párhuzamos a tengelyekkel! Add meg a csúcsainak koordinátáit! A(3; 3),

B(−3; 1), C(1; −3).

6  A négyzetrácson látható kilenc pont közül úgy válassz hármat, hogy azok egy szimmetrikus háromszög csúcsai legyenek! Mekkorák a szögei ezeknek a háromszögeknek? Szimmetrikus háromszögek: ACK, BDK, CEK, DFK, EGK,

FHK, GAK, HBK, ACF, BDG, CFH, DFH, EGA, FHB, GAC, HBD.

Szögeik nagysága: 90, 45, 45

7  Rajzold be a következő pontokat a koordináta-rendszerbe! A(−1; 0), B(1; 3), C(2; 2), D(6; 1), E(−1; −2)

Adj meg olyan ponthármasokat, amelyek tengelyesen szimmetrikus háromszöget határoznak meg! ABC háromszög;

BDE háromszög; 8  Egy tengelyesen szimmetrikus háromszög két csúcsa látható az ábrán. Ezeket A-val és B-vel jelöltük. Rajzold be az ábrába zölddel azokat a pontokat, amelyek a háromszög harmadik csúcsai lehetnének!

58

11. TENGELYESEN SZIMMETRIKUS NÉGYSZÖGEK, SOKSZÖGEK 1  Rajzolj szimmetrikus háromszögeket! Lehet-e egy szimmetrikus háromszög a) hegyesszögű? Igen – Nem b) derékszögű?

c) tompaszögű?

Igen – Nem Igen – Nem

2  Pótold a hiányzó szavakat!

a) A deltoid szimmetriaátlója felezi a másik átlóját.

b) A deltoidnak van két-két szomszédos egyenlő hosszúságú oldala.

c) Ha egy négyszögnek van két egyenlő szemközti szöge, akkor az deltoid.

3  a) Színezd sárgára azokat a pontokat, amelyek az A és B pontoktól egyenlő távolságra találhatók! b) Színezd pirosra azokat a pontokat, amelyek az A ponthoz közelebb vannak, mint a B ponthoz! c) Színezd zöldre azokat a pontokat, amelyek a B ponthoz közelebb vannak, mint az A ponthoz!

d) Ha az ABC háromszögben AC = BC, akkor milyen színű lehet a C pont? Készíts rajzokat!

e) Ha ABC háromszög egyenlő oldalú, akkor milyen színű lehet a C pont? Rajzolj is!

a, b, c

e

d

4  A felsorolt állítások közül melyek igazak a rombuszra? Rajzolj egy rombuszt! a) Minden oldala egyenlő.

b) Csak egy szimmetriaátlója van. c) Van két egyenlő oldala.

d) Átlói merőlegesek egymásra.

e) Csak az egyik átló felezi a másikat.

f) Szomszédos szögeinek összeg 180°. g) Átlói egyenlő hosszúságúak.

I

H I I

H I

H

59

11. TENGELYESEN SZIMMETRIKUS NÉGYSZÖGEK, SOKSZÖGEK 5  a) Rajzold meg az A’ és B’ tükörképeket, ha az y tengely

a szimmetriatengely! A’(−6; −2), B’(−4; 2).

Az ABB’A’ milyen négyszög? szimmetrikus trapéz

b) Rajzold meg az A” és B” tükörképeket, ha a szimmetriatengely az origóra és a P(1;3) pontokra illeszkedik! A”(−6; 2), B”(−2; 4).

Az ABB”A” milyen négyszög? szimmetrikus trapéz

c) Rajzold meg a C pontot úgy, hogy ABB’C paralelogramma legyen! C(−2; −2).

d) Add meg a D pont koordinátáját, ha ABOD egy négyzet! D(2; −4).

e) Abod egy falu. Keresd meg, hogy melyik megyében található! A megye: Borsod-Abaúj-Zemplén megye. 6  Vágd szét az ábrát egybevágó deltoidokra!

7  A képen látható tengelyesen szimmetrikus tizenkétszög (ami egy H betűt formáz) kirakható a mellette található színes sokszöglapokból. Hogyan? Rajzolj és színezz! A lapok a másik oldalukra is fordíthatók!

60

11. TENGELYESEN SZIMMETRIKUS NÉGYSZÖGEK, SOKSZÖGEK 8  A képen látható sokszögek egymáshoz illesztésével egy tengelyesen szimmetrikus sokszöget lehet kirakni, ami egy betűt formáz. Készítsd el az összerakás vázlatrajzát! A lapok a másik oldalukra is fordíthatók!

12. SZERKESZTÉSEK 1  Szerkeszd meg a szakaszok negyedét, nyolcadát!

2  Szerkeszd meg a szögek negyedét, nyolcadát!

61

12. SZERKESZTÉSEK 3  Szerkessz az AB egyenesre B-ben, az AC egyenesre C-ben egy-egy merőleges egyenest! A két merőleges egyenes metszéspontja legyen D!

A következő állítások közül melyik igaz az ABCD négyszögre?

Ez a négyszög deltoid.

Igaz – Hamis

Nincsen szimmetriatengelye.

Igaz – Hamis

Van két derékszöge.

Egyik szöge tompaszög.

Átlói felezve metszik egymást.

Igaz – Hamis Igaz – Hamis Igaz – Hamis

4  Szerkeszd meg a következő ábrák másolatait a füzetedben! a)

b)

     

5  Megadtuk az α, β, γ szögeket. Szerkeszd meg az a) α + β − γ ; b)

c) d)

α β + ; 2 2

β −γ ; 2

a)

b)

c)

d)

α + γ szögeket! 4

62

12. SZERKESZTÉSEK 6  Szerkessz a füzetedbe a) egyenlő oldalú háromszöget, ha az oldala 3,5 cm hosszú! b) egyenlő szárú háromszöget, ha az alapja 4 cm, a szára 6 cm hosszú! c) háromszöget, ha a 3 cm-es és a 4 cm-es oldala 60°-os szöget zár be! d) háromszöget, ha a 4 cm-es oldalán 60o-os és 45°-os szög található! b)

c)

7  Szerkessz a füzetedbe egy 4 cm és 3 cm oldalhosszúságú téglalapot!

a) d)

8  Szerkessz a füzetedbe téglalapot, ha az egyik csúcsából induló 6 cm-es átlója 60°-os szöget zár be a 3 cm-es oldalával!

9  Megadtuk egy négyzet átlóját, szerkeszd meg a négyzetet!

10  Megadtuk egy téglalap átlóját, amely harmadolja a téglalap szögét. Szerkeszd meg a téglalapot!

11  Szerkeszd meg a kör középpontját!

63

13. ÖSSZEFOGLALÁS 1  Igaz-e?

a) Van olyan négyzet, amely téglalap.

Igaz – Hamis

b) Van olyan téglalap, amely négyzet.

Igaz – Hamis

c) Minden téglalap rombusz.

Igaz – Hamis

d) Minden téglalap paralelogramma.

Igaz – Hamis

e) Minden trapéz rombusz.

Igaz – Hamis

f) Minden téglalap trapéz.

Igaz – Hamis

g) Van olyan téglalalap, amely nem paralelogramma. Igaz – Hamis h) Van olyan rombusz, amely nem paralelogramma. Igaz – Hamis

2  Add meg a következő négyszögek meghatározását!

Trapéz: olyan négyszög, amelynek van egy párhuzamos oldalpárja.

Paralelogramma: olyan négyszög, amelynek két párhuzamos oldalpárja van. Rombusz: olyan négyszög, amelynek mind a négy oldala egyenlő hosszú.

Téglalap: olyan négyszög, amelynek mind a négy szöge egyenlő nagyságú.

Négyzet: olyan négyszög, amelynek mind a négy szöge egyenlő nagyságú. 3  Rajzolj a megadott szöghöz egyállású szöget, váltószöget, csúcsszöget!

4  Add meg a szögek kiegészítő szögének nagyságát! a) α = 45°, 135°

 b) β = 122°, 58°

 c) γ = 123°40’, 56°20’

 d) δ = 41°23’47”, 138°36’13”

a) α = 51°, 39°

 b) β = 76°, 14°

 c) γ = 19°42’, 70°18’

 d) δ = 23°46’48”, 66°13’12”

5  Add meg a szögek pótszögének nagyságát! 6  Rajzold meg az órák tükörképét!

a)



64

b) c) d)

13. ÖSSZEFOGLALÁS 7  A vízszintes vonalat úgy képzeld el, mintha egy folyó partja lenne. Rajzold meg a folyó melletti épületek tükörképeit a vízen!

8  Fejezd be a szerkesztést úgy, hogy az ábrán ABCD paralelogramma legyen!

9  Az ábrán látható húrtrapézt tükrözd az egyik átlójára! Milyen síkidomot alkot az eredeti és a képként kapott síkidom közös része? Deltoidot.

65

III. EGYENLETEK, FÜGGVÉNYEK 1. AZ ARÁNY FOGALMA 1  Írd fel más alakban is a következő arányokat! Egyszerűsíts! 10 2 24 1 48 3 = = b) 24 : 72 = c) 48 : 16 = = = 3 a) 10 : 15 = 15 3 72 3 16 1

2  A következő arányokat írd fel egész számok segítségével! 0,3 ⋅ 10 3 2,25 ⋅ 4 9 1,2 ⋅ 5 6 3 = = = = b) 2,25 : 4,75 = c) 1,2 : 2,8 = a) 0,3 : 0,7 = 0,7 ⋅ 10 7 4,75 ⋅ 4 19 2,8 ⋅ 5 14 7 3  Adj meg három olyan számpárt, amelyek aránya 2 : 5, és három olyat, melyek aránya 7 : 3!

2 : 5 =

2 4 6 8 10 12 7 14 21 28 35 42 = = = = = = = = = = 7 : 3 = 5 10 15 20 25 30 3 6 9 12 15 18

4  Adj meg három olyan számhármast, amelyek aránya 1 : 2 : 5! a) A számhármas első tagja legyen 4!

1 : 2 : 5 = 4 : 8 : 20

b) A számhármas középső tagja legyen 14! 1 : 2 : 5 = 7 : 14 : 35

c) A számhármas utolsó tagja legyen 80!

1 : 2 : 5 =16 : 32 : 80

5  2014 májusában olvashattuk az interneten:

„A Central America gőz­hajó 1857-ben süllyedt el egy hurrikánban Dél-Karolina partjainál, 13,6 ton­na arannyal a fedélzetén. Maradványait 1988-ban találták meg. A hajó 2200 méter mélyen van az Atlanti-óceánban. Szakértők szerint a hajóroncsban lehet az a kereskedelmi aranyszállítmány, amely 1857-ben kb. 90  ezer dollárt ért. Az elsüllyedt hajóban lehet még az utasok által birtokolt arany is, melynek értéke akkoriban kb. 720 ezer dollár volt. A hajókincs felszínre hozatala megkezdődött. Az első feltáró merülést víz alatti robot segítségével hajVálaszolj a kérdésekre! tották végre. A roncsban található arany mai áron kb. kilencvenmillió dollárt ér.” Milyen mélyen van a hajó? A hajó 2200 méter mélyen van. Hogyan hozzák felszínre a kincseket? A kincseket víz alatti robotokkal hozzák felszínre. Mennyi a kincs becsült értéke 2014-ben? A kincs becsült értéke kilencvenmillió dollár. Mekkora a kereskedők és az utasok kincsének aránya? A kereskedők és utasok kincseinek aránya 90 : 720 = 1 : 8. Mennyi arannyal indult útnak a gőzhajó 1857-ben? 13,6 tonna arany volt a hajón. Mekkora a kincs mai értékének aránya a korabeli értékéhez képest? A régi és az új érték aránya 90 000 000 : 810 000 = 1 : 9. 6  A spanyol zászló színeit viselő téglalap vízszintes mérete 6 cm, függőleges mérete 4 cm. A zászló területe: 4 ⋅ 6 = 24 cm2. A piros sávok függőleges mérete egyenként 1 cm. A piros sávok együttes területe: 1 ⋅ 6 + 1 ⋅ 6 = 12 cm2. A sárga sáv függőleges mérete: 2 cm. A sárga sáv területe: 2 ⋅ 6 = 12 cm2.

A piros sávok együttes területének és a zászló területének aránya törta­lak­ban:

A sárga sáv területének és a zászló területének aránya törtalakban: A két tört összege:

66

1 1 + = 1 2 2

12 1 = 24 2

12 1 = 24 2

2. ARÁNYOS OSZTÁS 1  Oszd fel a képeken látható tárgyakat a megadott arányban! 1 : 2

1 : 1

2 : 3

3 : 5

2  a) Egy 180 m2-es telket ketten örökölnek 2 : 1 arányban. Mekkora rész jut az egyes örökösöknek? Az egyik örökösnek jut: 180 ⋅

1 = 60 m2 3

A másik örökösnek jut: 180 ⋅

2 = 120 m2 3

b) Egy 200 m2-es telket hárman örökölnek meg, 2 : 1 : 1 arányban. Készíts ábrát a füzetedbe, ügyesen oszd fel! 2 1 100 m2 ; 200 ⋅ = 50 m2 . Azaz 100, 50 és 50 m2 jut az Mekkora rész jut az egyes örökösöknek? 200 ⋅ = 4 4 egyes örökösöknek. 3  Egy kert két oldalának aránya 4 : 5. A rövidebb oldal hossza 20 m. a) Készíts rajzot a füzetedbe, oszd fel megfelelően az oldalait! b) Mekkora a hosszabbik oldal? A 20 métert 4 részre osztjuk: 20 : 4 = 5 méter. A hosszabb oldal 5 rész, ezért 5 ⋅ 5 = 25 méter. c) Mekkora a kert kerülete? 20 + 25 + 20 + 25 = 90 méter hosszú. d) Mekkora a kert területe? 5 ⋅ 5 = 25 m2.

4  Az iskolai kosárlabda-bajnokságban a 6/a és az 5/b osztály csapatai mérkőztek. A magasságkülönbség az eredményben is megmutatkozott: a mérkőzés összesen 45 pontjából a 6-osok kétszer annyit értek el, mint ellenfelük. a) Milyen arányban értek el pontokat a csapatok? A csapatok 2 : 1 arányban értek el pontokat. b) Hány pontot értek el az ötödikesek, illetve a hatodikosok? A 45 pontot három részre kell felosztani. Egy rész 45 : 3 = 15 pont. Az ötödikesek 15 pontot, a hatodikosok 2 ⋅15 = 30 pontot szereztek. 2 részét c) Az összes pont hányad részét érték el a hatodikosok, illetve az ötödikesek? Az összes pont 3 1 szerezték meg a hatodikosok, és részét az ötödikesek. 3 5  Ágoston 7 éves, Domonkos pedig 9. A zsebpénzük aránya 7 : 9. Mennyi pénzt kapnak külön-külön, ha összesen 1600 Ft jut nekik? 700 illetve 900 Ft-ot kaptak. A pénzt 7 + 9 = 16 részre kell felosztani. Egy rész 1600 : 16 = 100 forint. Ágoston 7 ⋅ 100 = 700 forintot, Domonkos 9 ⋅ 100 = 900 forintot kapott.

67

3. SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS 1  Számítsd ki a hiányzó értékeket, és töltsd ki a táblázatot az első sornak megfelelően! Feladat

180-nak a 30%-a

220-nak a 25%-a

Kiszámítása (I.) 30 180 ⋅ = 54 100 25 220 ⋅ = 55 100

Kiszámítása (II.) 180 · 0,3 = 54

220 ⋅ 0,25 = 55

75 = 33 44 · 0,75 = 33 100   85 1600-nak 1600 ⋅ = 1360 1600 ⋅ 0,85 = 1360 a 85%-a 100 44-nek a 75%-a

44 ⋅

2  Színezd ki a téglalapok megadott százalékát! 10%

25%

Alap

Százalékláb

Százalékérték

 220

25

  55

 180

30

  44

75

1600

85

50%

75%

  54   33

1360

80%

3  Bálint meg akarja határozni 120-nak a 30%-át. A kiszámítás módjára különböző ötletei vannak. Van olyan, amelyik jó eredményt ad, van, amelyik nem. Keretezd be a helyeseket! Húzd át a helyteleneket! 120 ⋅

30 100

120 :

30 100

120 :

100 30

30 ⋅ 120 100

120 ⋅ 0, 3

120 : 0, 3

4  A megadott törtrészeket add meg százalékalakban, a megadott százalékot pedig tizedes törtben, majd közönséges törtben, a minta szerint! 3 → 60% 5

4 80% → 0,8 = 5

3 → 75% 4

2% → 0,02 =  2 1 = = 100 50

4 → 80% 5

135% → 1,35 =  135 27 = = 100 20

3 → 37,5% 8

29% → 0,29 = 

29 100

5 → 100% 5

300% → 3

5  A százalékszámításból írt dolgozat kiosztása után Dani közölte Ágival, hogy a 26 fős osztálynak csak 10%-a kapott ötöst. Ági válasza: Úgy látom, te nem voltál közöttük. Miért gondolhatta ezt Ági? A 26-nak a 10%-a 26 ⋅ 0,1 = 2,6. Az emberek száma csak egész szám lehet, így

mivel Dani rossz választ adott, a dolgozata valószínűleg nem volt ötös.

68

3. SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS 6  Gergő kerékpárra gyűjt, ezért havi 3000 Ft-os zsebpénzének 60%-át 10 hónapon keresztül félretette. Az összegyűlt pénzt év végén a jó bizonyítvány jutalmaként édesapja megduplázta. Gergő így éppen meg tudta venni a kiválasztott biciklit. Mennyiért? a) Mennyi pénzt tett félre havonta? 3000 ⋅ 0,6 = 1800 forintot.

b) 10 hónap alatt mennyi pénze gyűlt össze? 10 ⋅ 1800 = 18 000 Ft.

c) Mennyit kapott édesapjától év végén? 18 000 forintot kapott

édesapjától.

d) Mennyibe került a bicikli? 18 000 + 18 000 = 36 000 forintba került.

7  Egy 3 millió Ft-ért vásárolt autó értéke két év múlva az eredeti érték 70%-a lesz.

a) Hány forint az értéke két év után? 3 000 000 ⋅ 0,7 = 2 100 000 Ft az értéke két év után.

b) Hány forintot veszített az értékéből? 3 000 000 – 2 100 000 = 900 000 forintot veszített az értékéből.

c) Az eredeti árának hány százaléka a használt autó ára? 70%-a az eredeti árának a használt autó értéke. d) Hány százalékot veszített az értékéből az autó két év alatt? 100% − 70% = 30%-ot veszített az

értékéből az autó két év alatt.

4. A 100 SZÁZALÉK KISZÁMÍTÁSA 1  

Számítsd ki, melyik számnak

a 30%-a 657!

a 120%-a 90! a 26%-a 416!

1%

657 = 21,9 30

90 = 0,75 120

416 = 16 26

100%

21,9 ⋅ 100 = 2190 0,75 ⋅ 100 = 75

16 ⋅ 100 = 1600

2  Egy hat évfolyamos iskolában mind a négy hatodik osztályba 24 tanuló jár. Az iskola diákjainak 15%át teszik ki a hatodikosok. Hányan járnak az iskolába?

A hatodik évfolyam tanulóinak száma: 4 ⋅ 24 = 96, ez az iskolai tanulószámnak a 15%-a. 96 = 6,4   6,4 ⋅ 100 = 640 1% → 15

3  Egy laptop képernyőjén az akkumulátor állapotát jelző felirat: 1 óra 12 perc (40%) van hátra. Mennyi ideig működik hálózati kapcsolat nélkül a 100%-os töltöttségű akkumulátorral a laptop? Számolj percekben! 1 óra 12 perc = 72 perc.



 40% → 72 perc; 72 = 1,8 perc;   1% → 40 100% → 180 perc = 3 óra 0 perc.

69

4. A 100 SZÁZALÉK KISZÁMÍTÁSA 4  Az egészségre káros élelmiszerekre kivetett adó miatt a 250 grammos Maxi Mix ára 30%-kal emelkedett. Most 240 Ft-tal többe kerül. Mennyi az ára? Az eredeti árat tekintjük 100 %-nak. 30% → 240 Ft

1% → 240 : 30 = 8 Ft

100% → 8 ⋅ 100 = 800 Ft

Az új ár: 800 +240 = 1040 Ft.

5  Káin anyukája a tükör előtt állva megállapította, hogy egy kicsit túlsúlyos, mert az ajánlottnál 8%kal nehezebb. Elhatározta, hogy több testmozgással és a cukros üdítőitalok fogyasztásának elhagyásával 4 kg-ot lead, és így eléri az egészséges állapotot. Hány kg lenne Káin anyukája egészségesen? 4 A testtömeg 8%-a 4 kg. Az 1% → = 0,5 kg. A 100% → 0,5 ⋅ 100 = 50 kg lenne az egészséges tömege. 8

5. HÁNY SZÁZALÉK? 1  Testünk körülbelül 70%-a víz. Számítsd ki, hogy egy 56 kg-os ember testében

hány kg víz van! 56 ⋅ 0,7 = 39,2 kg.

Az ember testének víztartalma 56 ⋅ 0,7 = 39,2 kg.

2  Számítsd ki, hogy a 8400-nak hány százaléka a 2940! Százalékérték: 2940, alap: 8400. A 8400-nak a 2940 a 35%-a.

3  Egy doboz 200 gramm tömegű tejfölben 24 gramm a zsír súlya. Hány százalékos zsírtartalmú ez a tejföl? A tejföl 12%-os.

70

2940 ⋅ 100 = 0,35 ⋅ 100 = 35% 8400 24 ⋅ 100 = 12% 200

5. HÁNY SZÁZALÉK? 4  Hány százaléka a

15 25% -a. ⋅ 100 = 60 30 50% -a. ⋅ 100 = c) 30 perc az 1 órának: 60

a) 15 perc az 1 órának:





15 12,5% -a. ⋅ 100 = 120 30 25% -a. ⋅ 100 = d) 30 perc a 2 órának: 120

b) 15 perc a 2 órának:

5  Egy téglalap oldalai 10 cm és 5 cm hosszúak. A téglalap minden oldalát 20%-kal növeljük.

a) Határozd meg a meg­növelt téglalap oldalait! A két oldal 10 ⋅ 1,2 = 12 cm és 5 ⋅ 1,2 = 6 cm lesz. b) Számítsd ki az eredeti és a megnövelt téglalap kerületét! Az eredeti kerület: 30 cm. Az új kerület: 36 cm. c) Hány százalékkal nőtt a téglalap kerülete? A kerület 20%-kal növekedett. d) Számítsd ki az eredeti és a megnövelt téglalap területét! Az eredeti terület: 50 cm2. Az új terület: 72 cm2. e) Hány százalékkal nőtt a téglalap területe? A terület 44%-kal növekedett. b)

d)

2 ⋅ (10 + 5) = 30 cm2; 2 ⋅ (12 + 6) = 36 cm2 10 ⋅ 5 = 50 cm2; 12 ⋅ 6 = 72 cm2

6  Egy derékszögű háromszög egyik hegyesszöge 27°.

c)

e)

36 = 1,2 → 120% 30 72 = 1,44 → 144% 50

A derékszögű háromszög hegyesszögeinek összege: 90°

A háromszög másik hegyesszögének nagysága: 90° – 27° = 63° A 27°-os szög a derékszögnek 30%-a. 27 = 0,3 → 30% 90

A 27°-os szög a másik hegyesszögnek 42,86%-a.

27 ≈ 0,4286 → 42,86% 63

6. VEGYES SZÁZALÉKSZÁMÍTÁSOS FELADATOK 1  a) Egy 5600 Ft-os termék árát 4760 Ft-ra csökkentették. Hány százalékos volt az árengedmény?

Az engedmény mértéke Ft-ban: 5600 − 4760 = 840 Ft; 840 ⋅ 100 = 15% Az engedmény az eredeti árnak 5600 b) Egy 3200 Ft-os könyv árát 400 Ft-tal csökkentették. 400 ⋅ 100 = 12,5% -os az árengedmény. Hány százalékos az árengedmény? 3200 c) Egy autó árát 20%-kal emelték, így most 3 millió Ft-ba kerül. Mennyi volt az emelés előtt? 3 000 000 = 25 000 Ft. Az új ár az eredeti ár 100% +20% = 120%-a. A hárommillió forint 1%-a 120 A 100% a régi ár: 25 000 ⋅ 100 = 2 500 000 Ft.

d) Egy hamarosan lejáró szavatosságú 700 Ft-os sajtot 25%-kal olcsóbban adnak. Mennyibe kerül? Ha 25%-kal olcsóbban adják, akkor eredeti ár 100% – 25% = 75%-ába kerül. 75 = 700 ⋅ 0,75 = 525 Ft Az új ár tehát 700 ⋅ 120

71

6. VEGYES SZÁZALÉKSZÁMÍTÁSOS FELADATOK 2  A napsütéses órák száma évszakonként változik. Magyarországon havi bontásban, decemberben a legalacsonyabb, körülbelül 50 óra, júliusban a legnagyobb, körülbelül 300 óra. A napsütéses órák száma egy év alatt átlagosan 2000 óra körüli érték. Számítsd ki, hogy decemberben, júliusban, illetve az egész év folyamán az órák hány százaléka volt napos! A napok száma decemberben: 31 nap;

Az órák száma decemberben: 31 ⋅ 24 = 744 óra 50 25 50 = ⋅ 100 ≈ 6,72% ; Százalékosan: A napsütéses és az összes óra hányadosa decemberben: 744 372 744 A napok száma júliusban: 31 nap ; Az órák száma júliusban: 31 ⋅ 24 = 744 óra 300 25 300 = ⋅ 100 ≈ 40,32% A napsütéses és az összes óra hányadosa júliusban: ; Százalékosan: 744 62 744 A napok száma egész évben: 365 nap Az órák száma egész évben: 365 ⋅ 24 = 8760. 2000 50 2000 = ⋅ 100 ≈ 22,83% A napsütéses és az összes óra hányadosa egész évben: ; Százalékosan: 8760 219 8760

3  A 2013/14-es spanyol labdarúgó-bajnokságban (Primera Division) az FC Barcelona csapata a 34 forduló után összeállított statisztikák szerint a mérkőzések 76,47%-át megnyerte, 14,71%-át elveszítette. (Megnyert mérkőzésért 3 pont, döntetlenért 1 pont jár. Vereségért nem adnak pontot.) Hány pontja van a csapatnak? A megnyert mérkőzések száma: 26

A megnyert mérkőzésekért kapott pontok: 26 ⋅ 3 = 78 pont A döntetlenek száma: 34 – (26 + 5) = 3 mérkőzés.

A döntetlen mérkőzésekért kapott pontok: 3 pont A pontok száma összesen: 81 pont 34 ⋅

76,47 = 34 ⋅ 0,7647 = 26 100

34 ⋅

14,71 = 34 ⋅ 0,1471 = 5 100

78 + 3 = 81 pont

4  A 80 pontos százalékszámítás témazáró ponthatárai százalékban: 80%–100% jeles, 60%–79% jó, 40%–59% közepes, 25%–39% elégséges, 0%–24% elégtelen. A gyerekek pontszámai mellé írd be a dolgozatuk osztályzatát! Te hányasra tudod a százalékszámítást? Az utolsó rovatba írd be a neved, és osztályozd a tudásodat! Név

Pontszám Százalék

Osztályzat

72

Cili 65

Dóri 60

Gábor 40

Ági 23

András 75

65 60 40 23 75 ⋅ 100 = 81,25% ⋅ 100 = 75% ⋅ 100 = 50% ⋅ 100 = 28,75% ⋅ 100 = 93,75% 80 80 80 80 80 5

4

3

2

5

7. SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS GYAKORLÁSA 1  Írd fel az arányokat más számokkal, az a) feladatban megadott mintához hasonlóan!

4 3 a) 60 : 45 = 20 : 15 = 4 : 3 = 8 : 6 =  :  = 28 : 21 5 5 1 3 : 3 2= : 6 5 := 15 = : 7 : 21 b) 25 : 75 = 1= 5 5 2 6 45 1= : 3 10 := 30 = : 40 : 120 c) 1,5 : 4,5 = 15 := 5 5 4 3 : 3 8= : 6 20 := 15 60 := 45 28 : 21 d) :  = 4= 5 5

2  Határozd meg a következő arányok hiányzó tagjait! a) 18 : 25 = 36 : 50 = 72 : 100 = 1,8 : 2,5 = 54 : 75 = 5,4 : 7,5. b) 0,4 : 1,8 = 2 : 9 = 16 : 72 = 20 : 90 = 12 : 54 = 18 : 81. c) 2,5 : 4 = 10 : 16 = 2 : 3,2 = 75 : 120 = 0,4 : 0,64 = 45 : 72. 3  Két szám aránya 5 : 9.

45 ⋅9 = 81 a nagyobbik. 5 270 ⋅5 = 150 a kisebbik. b) Mekkora a kisebbik, ha a nagyobbik 270? 9

a) Mekkora a nagyobbik, ha a kisebbik 45? 

c) Mekkorák a számok, ha a különbségük 48? A két szám különbsége 9 – 5 = 4 rész. Egy rész A kisebb szám 5 ⋅ 12 = 60. A nagyobb szám 9 ⋅ 12 = 108.

d) Mekkorák a számok, ha az összegük 0,7? A két szám összege 9 + 5 = 14 rész. Egy rész A kisebb szám 5 ⋅ 0,005 = 0,25. A nagyobb szám 9 ⋅ 0,005 = 0,45.

48 = 12 . 4

0,7 = 0,05 . 14

4  Három szám aránya 3 : 5 : 11. A két kisebbik összege 32. Mekkorák a számok? 3 + 5 = 8 rész, tehát a 32-t kell 8 felé osztani. 32 : 8 = 4. A számok 3 ⋅ 4 = 12, 5 ⋅ 4 = 20 és 11 ⋅ 4 = 44.

5  Egy 10  000 Ft-os termék árát kétszer változtatják, mindig 40%-kal. Számítsd ki, hogy az alábbiak szerint történő árváltoztatások esetén, milyen irányú és hány százalékos egyszeri változtatással érnék el a végső árat! a) mindkétszer emelés

1,4 ⋅ 1,4 = 1,96. Tehát 96%-os az emelés.

c) először emelés, azután csökkentés

1,4 ⋅ 0,6 = 0,84 és 1 – 0,84 = 0,16, tehát 16%-os a csökkentés.

b) mindkétszer csökkentés

d) először csökkentés, azután emelés

0,6 ⋅ 0,6 = 0,36 és 1 – 0,36 = 0,64, tehát 64%-os a csökkentés. 0,6 ⋅ 1,4 = 0,84 és 1 – 0,84 = 0,16, tehát 16%-os a csökkentés.

6  Számítsd ki, hogy ha az egymillió forintos megtakarításunkat bankban helyezzük el évi 4,5%-os kamatra, akkor 2 év alatt mennyivel nő a megtakarításunk? Egy év múlva megkapjuk a betétünk 100%-át és még 4,5%-ot. Vagyis 1 év múlva a betét 104,5%-át vehetjük fel, ez a betét 1,045-szeresét jelenti. Egy év elteltével 1 000 000 ⋅ 1,045 = 1 045 000 Ft lett a betétünk. A következő évben ez az összeg nő tovább: 1 045 000 ⋅ 1,045 = 1 092 025 Ft lesz két év után a betétünk. Tehát a megtakarítás két év alatt 92 025 Ft-tal nő.

73

8. EGYENLETEK, LEBONTOGATÁS 1  Az alábbi folyamatábrában töltsd ki az üres mezőket!

2  Oldd meg lebontogatással és folyamatábra segítségével az egyenleteket! 11  a)  x + 2  = 6 3 2 

b)

3a − 7 + 6 = 22 5

3  Oldd meg lebontogatással folyamatábra nélkül az egyenleteket! 3a − 7 22 +6 = 5

−6

3(a − 7) +6 = 21 − 6 5

3a − 7 = 16 5

3(a − 7) = 15 5

⋅5 ⋅5

3a − 7 = 80

3(a − 7) = 75

+ 7 : 3

3a  =  87

a − 7  =  25

: 3 +7

a  =  29 a  = 32

4  a) Két szomszédos szám összege 2015. Melyek ezek a számok? A kisebbik számot jelöljük x-szel, a nagyobbik 1-gyel nagyobb, tehát x + 1. Így az összegük: x + (x + 1) = 2x + 1 = 2015. Oldd meg lebontogatással! 2x + 1 = 2015 /– 1  →  2x = 2014 /: 2  →  x = 1007. A két szám 1007 és 1008.

b) Három szomszédos szám összege 144. Melyek ezek a számok? Jelölje a legkisebb számot x, a másodikat x + 1, a harmadikat x + 2. Ekkor 3x + 3 = 144 /–3  →  3x = 141 /: 3  →  x = 47. A három szám 47, 48 és 49.

c) Találj ki hasonló feladatot! Négy szomszédos szám összege 102. Melyek ezek a számok? Jelölje a számokat x, x + 1, x + 2 és x + 3. Összegük 4x + 6 = 102 /–6  →  4x = 96 /: 4  →  x = 24. A négy szám 24, 25, 26 és 27.

74

9. A MÉRLEGELV 1  A mérlegeken ismeretlen és ismert súlyok vannak. Az azonos színű kockák azonos súlyúak.

Írd fel az egyes mérlegek egyensúlyát leíró egyenletet, és oldd meg azokat a mérlegelv alkalmazásával!

Mindkét oldalról vegyünk le egy fekete kockát. Az 5 kg egyenlő 4 kg-mal és egy fekete kockával. Mindkét oldalról vegyünk el 4 kg-ot, marad 1 fekete kocka, ami 1 kg.

Vegyünk el egy-egy 2 kg-os súlyt és egy-egy kék kockát. Négy kék kocka 2 kg. Egy kocka tehát 0,5 kg.

Vegyünk el egy-egy piros kockát és 1 kg-ot. A három piros kocka éppen 9 kg. Egy piros kocka tehát 3 kg.

2a − 5 = 11 egyenletet lebontogatással és a mérlegelv alkalmazásával is! 3 Az egymásnak megfelelő lépéseket azonos színnel jelezd, a megadott minta szerint!

2  Oldd meg a

 

3  Egy tégla súlya egy kiló és egy fél tégla. Hány kiló egy tégla? Töltsd fel a mérleg serpenyőit a feladatnak megfelelően! Írd fel a feladat egyenletét, és oldd meg! 1 tégla = 1 kg + 1 tégla = 1 kg 2

1 tégla 2

/−

1 tégla 2

/⋅2

2a − 5 = 11 3 2= a − 5 33 2a = 38 a = 19







7x − 6 = −8

x = − 14

x = 

/ −6

/: 7

Javítás:







/ +5 /:2

/⋅2

1 tégla = 2 kg

4  Megoldottunk egy egyenletet, de az ellenőrzéskor kiderült, hogy hibásan. Keresd meg a hibát, és a javítás után oldd meg az egyenletet! Ellenőrizd a megoldást!

/ + 2x 4x − 6 + x = −8 − 2x

/ ⋅3

4x − 6 + x = −8 − 2x 7x − 6 = −8

7x = −2 2 x =  − 7

/ + 2x / +6 /: 7

75

10. ÖSSZEVONÁS, ZÁRÓJELFELBONTÁS 1  Végezd el a lehetséges összevonásokat!

3 ⋅ x + 15 − 21 − 5 ⋅ x + 7 ⋅ x − 2 = (3 − 5 + 7) ∙ x + (15 − 21 – 2) = 5 ∙ x − 8 −2 ⋅ x − 12 − 9 ⋅ x + 11 ⋅ x − 2 = (−2 − 9 + 11) ∙ x + (−12 − 2) = −14

52 ⋅ x − 120 + 48 ⋅ x − 2 + x = (52 + 48 + 1) ∙ x + (−120 − 2) = 101 ∙ x − 122 12 ⋅ x + 32 − 10 ⋅ x + 15 ⋅ x − 32 = (12 − 10 + 15) ∙ x + (32 − 32) =17 ∙ x

2  A könyvben lévő mintapéldához hasonló rajzon szemléltesd az 5 ⋅ ( x + 3) szorzás elvégzését!

3  Végezd el a következő műveleteket kétféleképpen, a megadott minta szerint! 5 ⋅ (8 − 2) = 5 ⋅ 6 = 30 5 ⋅ (8 − 2) = 5 ⋅ 8 − 5 ⋅ 2 = 40 − 10 = 30

5 ⋅ (8 − 2) = 5 ⋅ 8 − 5 ⋅ 2

2 2 ⋅ (12 − 3) =⋅ 9 = 6 3 3 2 2 2 ⋅ (12 − 3) = ⋅ 12 − ⋅ 3 3 3 3

2 2 2 ⋅ (12 − 3) = ⋅ 12 − ⋅ 3 = 8−2 = 6 3 3 3

1 1 1 1 1 1 ⋅ ( 32 + 4 − 12) = − ⋅ 24 = −6 − ⋅ ( 32 + 4 − 12) = − ⋅ 32 − ⋅ 4 − ( −12) =−8 − 1 + 3 = −6 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1 − ⋅ ( 32 + 4 − 12) = − ⋅ 32 − ⋅ 4 − ( −12) 4 4 4 4 −

4  Bontsd fel a zárójeleket a következő kifejezésekben, ezután végezd el a lehetséges összevonásokat:

a) 12 ⋅(a − 6) − 11(5 + a) = 12 ⋅ a − 12 ⋅ 6 − 11 ⋅ 5 − 11 ⋅ a = 12 ⋅ a − 11 ⋅ a − 72 − 55 = a − 127 b)

1 1 3⋅b 5 3⋅b 5 1 ⋅ ( 2 ⋅ b + 28 ) − 8 ⋅  +  = ⋅ 2 ⋅ b + ⋅ 28 − 8 ⋅ +8⋅ = b + 14 − 6 ⋅ b + 5 =−5 ⋅ b + 19 2 8 4 2 4 8  4

1  3 3 1 3   3 16 ⋅ ⋅c − 16 ⋅ ( −2) − 44 ⋅ ⋅c − 44 ⋅ ⋅c = 24 ⋅c + 32 − 12 ⋅c − 2 ⋅c = 10 ⋅c + 32 c) 16 ⋅  ⋅ c − 2  − 44 ⋅  +  ⋅ c = 2 11 22 2   11 22 

5  Oldd meg az alábbi egyenleteket!

a) 15( x − 9) = 225  15 ⋅ x − 15 ⋅ 9 = 225; 15 ⋅ x − 135 = 225; 15 ⋅ x = 360; x  =24. 2 18   2 ⋅ 3 ⋅ x − 2 ⋅ = x + 13 ; 6 ⋅ x − 5 = x + 13; 5 ⋅ x − 5 = 13; 5 ⋅ x = 18;  x = . b) 5 5    

76

11. SZÖVEGES FELADATOK MEGOLDÁSA EGYENLETTEL 1  Egy 3 napig tartó kerékpáros versenyen a teljes útvonal hossza 540 km. Az első napi távolság a leghos�szabb, a továbbiak 15 km-rel, illetve 30 km-rel rövidebbek. Mekkora utat tesznek meg az egyes napokon? Válasszuk ismeretlennek az első nap megtett utat: x

A második napi ennél 15 km-rel rövidebb, tehát: x − 15

A harmadik az első napinál 30 km-rel rövidebb, tehát: x − 30

A feladathoz tartozó egyenlet és megoldása: x + (x − 15) + (x − 30) = 540 3x – 45 = 540⋅ /+45  →  3x = 585 /:3  →  x = 195

Az első napon 195 km-t, második napon 180 km-t, a harmadik napon 165 km-t tesznek meg.

2  Andrea, Boróka és Cili páronként ráállva egy mérlegre, három mérést végeztek el. Andrea és Boróka tömege együtt 76 kg, Andrea és Cili együtt 82 kg-ot tesz ki, Boróka és Cili pedig 78 kg együtt. Mekkora a tömegük külön-külön? Egyenlet nélkül: Hányszor állt a mérlegre egy-egy gyerek? Minden gyerek kétszer állt a mérlegre.

A három mérés eredményének összegében hányszor szerepel egy-egy gyerek tömege? Kétszer. A három mérés eredményének összege: 76 kg + 82 kg + 78 kg = 236 kg. Mit mutatna a mérleg, ha hárman állnának rá? 236 kg : 2 = 118 kg-ot.

Andrea és Boróka páros mérésének eredményéből és a hármas mérés eredményéből kinek a tömege határozható meg, és hogyan? Andrea tömege: 118 − 78 = 40 kg

Boróka tömege: 118 − 82 = 36 kg

Cili tömege: 118 − 76 = 42 kg

Egyenlettel is megoldjuk: Jelöljük Andrea tömegét a-val! Vegyük a három mérést! Andrea és Boróka együttes tömegéből vonjuk ki Andrea tömegét! Mit kapunk? ❶

❷ ❸

Andrea + Boróka

−

Andrea

=

Boróka

Boróka + Cili

−

Boróka

=

Cili

+

76

−

a

Kifejeztük Boróka tömegét a segítségével. 78

−

(76 − a)

Andrea + Cili 82

=

Andrea

Kifejeztük Cili tömegét a segítségével. a

Az egyenlet megoldását önállóan végezd!

=

= +

76 − a

78 − (76 − a) = 78 − (76 − a) = 78 − 76 + a = 2 + a Cili

2+a

a = 40 kg

A füzetedben oldd meg a feladatot úgy is, hogy Boróka tömegét választod ismeretlennek!

77

11. SZÖVEGES FELADATOK MEGOLDÁSA EGYENLETTEL 3  Andris most háromszor annyi idős, mint a húga, Ági. Kiszámította, hogy 2 év múlva már csak kétszer olyan idős lesz, mint a húga. Hány évesek most? Készítsünk táblázatot, a következő adatokat írjuk a megfelelő helyre: Legyen Ági életkora x!

Andrisé 3-szor ennyi, tehát: 3x

2 év múlva Ági 2 évvel idősebb lesz, tehát: x + 2

2 év múlva Andris 2 évvel idősebb lesz, tehát: 3x + 2

Most 2 év múlva

Ági x

Andris

x+2

3x + 2

3x

A feladat szerint, ha Ági 2 évvel későbbi életkorát 2-vel megszorozzuk, megkapjuk Andris 2 évvel későbbi életkorát. Írd le az egyenletet, és oldd meg! Ellenőrizd a megoldást! 2(x + 2) = 3x + 2 2x + 4 = 3x + 2 4 = x + 2 x=2

/Zárójel felbontása /−2x /−2 Ági 2 éves, Andris 6 éves.

12. EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA MÉRLEGELVVEL 1  Oldd meg az egyenlőtlenséget! Végezd el a jelölt műveleteket! Figyelj az egyenlőtlenség irányára! −2 ⋅ x + 5 > x − 10



–2x > x – 15



–3x > –15



x<5



/− 5

7 ⋅ x + 5 − 3 ⋅ x − 4 > 5 + x − 10 − 5 ⋅ x

/ : (− 3)



/− x







4x + 1 > –5 – 4x

8x + 1 > –5

8x > –6 6 x> − 8

/összevonás

/+4 · x /− 1 /: 8

2  Jelöld, hogy a következő megoldásokban hogyan változtattuk az egyenlőtlenség két oldalát!

7 ⋅ x + 3 − 4 ⋅ x ≤ 3 + 6 ⋅ x + 2 3⋅ x + 3 ≤ 5 + 6 ⋅ x



3⋅ x ≤ 2 + 6 ⋅ x



−3 ⋅ x ≤ 2 2 x≥− 3



/ összevonás



/ − 6x



/−3

/ : (−3)

Ellenőrzés: 2 Egy –  -nál nagyobb szám, például az x = 0, 3 2 és egy –  -nál kisebb szám, például az x = − 1 3 behelyettesítésével.

78







−2 ⋅ x + 1 − 4 ⋅ x > 3 − 2 ⋅ x + 12 −6 ⋅ x + 1 > 15 − 2 ⋅ x −6 ⋅ x > 14 − 2 ⋅ x

−4 ⋅ x < 14 14 7 x>− =− 4 2

/ összevonás

/−1

/ +2x

/ : (−4)

Ellenőrzés: 7 Egy − -nél nagyobb szám például az x = 0 behelyet2 tesítésével: hamis. Egy-nél kisebb szám például az x =

–4 behelyettesítésével. 25 > 23, igaz.

12. EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA MÉRLEGELVVEL 3  Add meg az összes pozitív egész számot, ami igazzá teszi a következő egyenlőtlenséget! 6 ⋅ x − 10 < 12 + 2 ⋅ x

a) Próbálkozással: a legkisebb pozitív egésztől, x = 1-től kezdve: bal: 6 · x − 10

x=1 − 4

x=2

x=3

x=4

x=5

x=6

x=7

14

16

18

20

22

24

26

jobb: 12 + 2 · x

2

b) A mérlegelvet alkalmazva:

8

14

6 ⋅ x − 10 < 12 + 2 ⋅ x /−2x 4 ⋅ x − 10 < 12  /+10 4 ⋅ x < 22 /: 4 22 11 = x = = 5,5 4 2   4  Oldd meg a következő egyenlőtlenségeket! 1 3 2 /⋅ 30 b) 7(x − 5) − 4 > 6 ∙ x − 9 a) − ⋅ x < 4 + ⋅ x 2 5 3 15 − 18 ⋅ x < 120 + 20 ⋅ x /+ 18x 7⋅x − 5 − 4 > 6 ∙ x − 9 15 < 120 + 38 ⋅ x /− 120 7x – 39 > 6 ∙ x − 9 −105 < 38 ⋅ x /: 38 x – 39 > –9 −105 < x x > 30 38

20

26

32

/zárójel felbontása

/egyneműek összevonása /–6x /+39

13. EGYENLETTEL MEGOLDHATÓ FELADATOK 1  Írj a négyzetbe olyan számot, hogy a

a) 3 ⋅ ( x − 2) + 1 = 3 ⋅ x − 5

egyenlet azonosság legyen;

b) 3 ⋅ ( x − 2) + 1 = 3 ⋅ x − 2 egyenlet ellentmondás legyen. Például 2. Ha a négyszögbe nem az 5 kerül, akkor a kifejezés ellentmondás. c) 3 ⋅ ( x − 3) + 1 =

⋅ x − 5. A négyzetbe 2-t, 3-at, végül 4-et írunk. Oldd meg a kapott egyenleteket! 3 ⋅ ( x − 3) + 1 = 3 ⋅ x − 5

3 ⋅ ( x − 3) + 1 = 2 ⋅ x − 5 3 ⋅(x − 3) + 1 = 2 ⋅ x − 5  3 ⋅ x − 9 + 1 = 2 ⋅ x − 5 3 ⋅ x − 8 = 2 ⋅ x − 5 x − 8 = – 5 x = 3

d) 4 ⋅ ( x + 1) − 3 = 4 ⋅ x + 1

3 ⋅ ( x − 3) + 1 = 4 ⋅ x − 5

3 ⋅(x − 3) + 1 = 3 ⋅ x − 5  /− 2x /+ 8

3 ⋅ x − 9 + 1 = 3 ⋅ x − 5 3 ⋅ x − 8 = 3 ⋅ x − 5 − 8 = – 5

Nincs megoldás.

3 ⋅(x − 3) + 1 = 4 ⋅ x − 5  /− 3x

3 ⋅ x − 9 + 1 = 4 ⋅ x − 5

3 ⋅ x − 8 = 4 ⋅ x − 5 /− 3x −8 = x – 5 x = –3

/+ 5

Írj a téglalapokba egy-egy olyan számot, hogy az egyenlet azonosság le-

gyen! A két téglalapba az 4-et és 1-et kell írni.

79

13. EGYENLETTEL MEGOLDHATÓ FELADATOK 2   a) Add meg az x ⋅ x ≤ 64 egyenlőtlenség igazsághalmazát, ha az alaphalmaz az egész számok halmaza. Töltsd ki a táblázat üres helyeit! x

x ⋅ x

–10

100

–9

–8

81

–7

64

–6

49

–5

36

25

–4

16

–3

–2

9

4

–1

0

1

1

0

Vigyázz, a táblázatot x = 4 utáni értékekre gondolatban folytatnod kell! Add meg az egyenlőtlenség megoldásait a megadott alaphalmaz esetén! x = –8; –7; –6; –5; –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; 5, 6; 7; 8

2

1

3

4

9

4

16

Az egyenlőtlenség igazsághalmaza: I = {–8; –7; –6; –5; –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; 5, 6; 7; 8}

 ) Add meg az x ⋅ x ≤ 64 egyenlőtlenség igazsághalmazát, ha az alaphalmaz az egyjegyű pozitív összetett b számok halmaza! Használd az előző egyenlőtlenség megoldását! I = {4; 5, 6; 7; 8}

3  Az alábbi két, azonos szerkezetű egyenletet ugyanolyan lépésekben oldjuk meg. A bal oldali egyenlet megoldását folytasd, és fejezd be! A jobb oldali egyenletet önállóan oldd meg! 4⋅ x −5 + 2 = 2 ⋅ x   /⋅ 6 6

4 ⋅ x − 5 + 12 = 12 ⋅ x 4 ⋅ x + 7 = 12 ⋅ x  7 = 8 ⋅ x 7 =x 8

A nevezővel megszorozzuk mind­ két oldalt → törttelenítünk. Figyelj! A bal oldal mindkét tagját szorozzuk a nevezővel!

3⋅ x + 4 −7 = 4⋅ x 2

Összevonás után, a mérlegelv szerint, azonosan változatjuk a két oldalt.

4  Mekkorák az ábrákon szereplő α, β és γ szögek?

20



3 ⋅ x + 4 − 14 = 8 ⋅ x  3 ⋅ x − 10 = 8 ⋅ x  −10 = 5 ⋅ x −2 = x





40 10 





α = 600



α = 700







α = 500

a

8

a

25

a) A háromszög kerülete 60 cm. Mekkora a területe? K = 25 + 3 + 2a + 8 = 60 25 ⋅ 12 a = 12; t = = 150 cm3 2

b

b

b) A téglalap területe 60 cm Mekkora a kerülete? T = 2b ⋅ 3 = 60 b = 10; k = 4b + 6 = 46 2



γ = 500

3 3

80



β = 150

5  Ismert és ismeretlen hosszúságú szakaszokat jelöltünk az alábbi ábrákon. a



14. EGYENLETEK GYAKORLÁSA 1  Írd le a megfelelő egyenletet, és oldd meg! a) Egy szám felénél 5-tel nagyobb szám a 100. Egy szám felénél 5-tel nagyobb szám 100

b) Egy számnál 5-tel nagyobb szám fele a 100. Egy számnál 5-tel nagyobb szám fele 100

x x +5 + 5 = 100 /−5  = 100 2 2 x = 95 /⋅2 x + 5 = 200 2 x = 190 x = 195

/⋅2

/–5

c) Egy számnál 5-tel nagyobb a 100 fele. d) Egy szám az 5 felével nagyobb 100-nál. Egy számnál 5-tel nagyobb a 100 fele Egy szám az 5 felével nagyobb 100-nál 100 5 x = 100 + x + 5 = 2 2 x + 5 = 50 /−5 x = 102,5 x = 45

2  A táblázat üres rovatainak kitöltése után, oldd meg az egyenleteket és egyenlőtlenségeket a megadott alaphalmazok esetén! x

− 2

− 1

x  –  4

− 6

− 5

12

5

x ∙ (x  –  4)

0

1

2

3

− 4

− 3

− 2

− 1

0

− 3

− 4

− 3

a) x ⋅ ( x − 4) = 0 b) x ⋅ ( x − 4) = 0 c) x ⋅ ( x − 4) = 0 d) x ⋅ ( x − 4) ≤ 0 e) x ⋅ ( x − 4) ≤ 0

Alaphalmaz:

4

0

0

pozitív egész számok

nemnegatív egész számok

pozitív kétjegyű egész számok pozitív egész számok

nemnegatív egész számok

5

6

1

2

5

12

Megoldás:

7

3

21

x=4

x = 0; 4

Nincs megoldás x = 1; 2; 3; 4

x = 0; 1; 2; 3; 4

3  Három szomszédos egész szám összege 54. Melyek ezek a számok? a) Jelöljük a legkisebbet x-szel! b) Jelöljük a középsőt x-szel!

8

4

32

{1; 2; 3; 4}

{0; 1; 2; 3; 4}

c) Jelöljük...

Az egyenlet: x − 1 + x + x + 1 = 54

Az egyenlet: x + x − 1 + x − 2 = 54

A három szám: 17, 18, 19

A három szám: 17, 18, 19

60

{ }

Az egyenlet: x + x + 1 + x + 2 = 54

Megoldása: 3 ⋅ x  = 54 x = 18

6

{0; 4}

A középső: x − 1

Megoldása: 3 ⋅ x + 3 = 54 x = 17

45

10

{4}

A legkisebb: x − 1

A legnagyobb: x + 1

5

Igazsághalmaz:

A középső: x + 1

A legnagyobb: x + 2

9

A legkisebb: x − 2

Megoldása: 3 ⋅ x − 3 = 54 x = 19

A három szám: 17, 18, 19

4  Három szomszédos páratlan szám összege 99. Melyek ezek a számok? A középső szám a 99 : 3 = 33. A három szám a 31, 33, 35.

81

15. EGYENES ARÁNYOSSÁG 1  Egy rövidáru üzletben a gombokat négyes csomagolásban árusítják. Egy csomag ára 50 forint. a) Ábrázold koordináta-rendszerben a gombok és az árak viszonyát! b) Mennyi gomb vásárolható 950 forintért? 76 gomb c) Mennyibe kerül 48 gomb? 600 forint 950 : 50 = 19 19 ⋅ 4 = 76

48 : 4 = 12 12 ⋅ 50 = 600

2  Egy táborban bundáskenyér a reggeli, 10 darab elkészítéséhez 4 tojást használt fel a szakács. A gyerekek 125 bundáskenyeret ettek meg. Mennyi tojásra volt szükség az elkészítéséhez? 125 50 db ⋅4 = A tojások száma: 10

3  Egészítsd ki a táblázatot! A két mennyiség közt egyenes arányosság van. a gép munkaideje (perc)

a legyártott alkat­részek száma (db)

5

2,5

6

3

15

18

50

60

10

12

30

36

60

72

20

500

24

600

4  Ha egy futószalag egy óra alatt 500 terméket továbbít, akkor mennyi idő alatt juttat célba 50, 250, 750, 800 terméket? Készíts táblázatot! a futószalag munkaideje (perc)

a továbbitott termékek száma (db)

 60 500

 6 50

 30 250

 90 750

 96 800

5  Válaszd ki az alábbiak közül azokat az értékpárokat, amelyek között egyenes arányosság van! Egyenes arányosság esetén válaszolj a feltett kérdésre! a) Lili 3200 grammal született. Mennyi lesz a tömege 2 éves korában? b) Másfél kg burgonya 330 Ft-ba kerül. Mennyibe kerül 4 kg burgonya? c) Ha egy csésze teába 2 kockacukrot teszünk, akkor 6 csésze teába mennyi kell? d) Reggel 6-kor 12 °C volt a hőmérséklet. Mennyi lesz a hőmérséklet ugyanezen a napon 18 órakor? e) Egy csövön keresztül 4 óra alatt lehet megtölteni egy medencét vízzel. Mennyi idő alatt lenne tele a medence, ha három ilyen csövön folyna bele a víz? Egyenes arányosság: b), c) Válaszok: b) Fél kg burgonya 110 forintba kerül, 4 kg pedig ennek a nyolcszorosába, azaz 880 forintba kerül. c) 6 csésze teába 12 kockacukor kell.

82

16. EGYENES ARÁNYOSSÁGGAL MEGOLDHATÓ FELADATOK 1  Döntsd el, hogy a következő összetartozó mennyiségek közül melyek egyenesen arányosak! Indokold a döntésedet! Az egyenesen arányos mennyiségek esetén folytasd a táblázat kitöltését öt összetartozó számpárral! a)

x

y b)

x

2

4

8

16

12

24

6

8

24

32

48

10

12

40

14

48

56

16

64

y 4 2 1 Nem egyenes arányosság, mert míg az x kétszeresére nő, az y értéke felére csökken. c)

x

1

2

3

1,2

4

5,1

y 1 4 9 Nem egyenes az arányosság, mert 1 : 1 ≠ 2 : 4. d)

x

y

3,6

9

15,3

Nem egyenesen arányos mennyiségek, az első pár hányadosa 3, a másodiké pedig

4 . 9

2  A tankönyv 4. feladatában olvashattál a gyertyaóráról. Nézd meg, és olvasd el a működését! Este 10 órakor meggyújtották a gyertyaórát. Rajzold be az ábrába, hogy mekkora lesz a gyertya a megadott időpontokban!

3  Az alábbi ábrák közül melyik lehet egyenes arányosság ábrája? b) a)

b)

y



c)



 

x

y









y



d)



x



x

y

 

x





83

16. EGYENES ARÁNYOSSÁGGAL MEGOLDHATÓ FELADATOK 4  Egyenes arányos-e a négyzet egyik oldalának hossza és a négyzet kerülete? Igen – Nem. Készíts táblázatot! négyzet oldala (cm)

négyzet kerülete (cm)

1

4

2

8

3

12

4

16

5

20

6

24

7

28

Indoklás: a négyzet kerülete mindig négyszerese az oldalnak. Tehát az összetartozó párok hányadosa mindig 4. 5  Egyenes arányos-e a négyzet egyik oldalának hossza és a négyzet területe? Igen – Nem. Készíts táblázatot! négyzet oldala (cm)

négyzet területe (cm2)

1

1

2

4

3

9

4

16

5

25

Indoklás: az összetartozó párok hányadosa nem állandó: 1, 2/4, 3/9, 4/16 …

6

36

7

49

6  A meteorológiai előrejelzés szerint a vihar megérkezett az ország nyugati határához. Tudjuk a hírekből, hogy 40 perc alatt 30 km-t halad keletre. Hány óra múlva várható Budapesten? Nézz utána, hogy Budapest kb. hány kilométerre van a nyugati határtól! Válasz: Válasz, Budapest a nyugati határtól megközelítőleg 210 m-re van, ezért kb. 4-5 óra múlva várható Budapesten. 210 : 30 = 7 7 ⋅ 40 perc = 280 perc = 4 óra és 40 perc

7  Az InterCityn az utasokat tájékoztató kijelző adatai szerint a vonat 1 óra alatt 96 km-t tesz meg. Ha ez maradna a sebessége, akkor mennyit tenne meg 10 perc; 45 perc; 1,2 óra; 1,5 óra alatt? Válasz: 10 perc – 16 km; 45 perc – 72 km; 1,2 óra – 115,2 km; 1,5 óra – 144 km 96 : 6 = 16 96 : 4 = 14 24 : 3 = 75 96 : 5 = 19,2

84

96 : 19,2 = 115,2 96 : 2 = 48 48 + 96 = 144

17. GRAFIKONOK, DIAGRAMOK, ÖSSZEFÜGGÉSEK 1  Az osztályfőnök összesítette a 6/b szeptemberi és októberi érdemjegyeit. Ezt láthatjuk az alábbi oszlop­ diagramon, ahol mindig a bal oldali oszlop a szeptemberi, a jobb oldali pedig az októberi adatokat mutatja. a) Melyik hónapban kapott az osztály több érdemjegyet, és mennyivel? Októberben, 60-nal.

b) Hány darab közepes érdemjegyet gyűjtöttek a két hónap alatt összesen? 170-et.

db 100

50

0

c) Melyik hónapban van a megszerzett jegyek darabszámá1 2 3 4 5 érdemjegy hoz viszonyítva több jeles? 60 60 ≈ 0,1714 > ≈ 0,1714 , de az eltérés nagyon kicsi. A jelesek aránya gyakorlatiSzeptemberben. ( 350 350 lag állandó.) d) Az átlag alapján melyik hónap mondható eredményesebbnek? szeptemberi: októberi:

1 ⋅ 30 + 2 ⋅ 60 + 3 ⋅ 70 + 4 ⋅ 80 + 5 ⋅ 50 930 = ≈ 3,172 290 290

1 ⋅ 40 + 2 ⋅ 60 + 3 ⋅ 100 + 4 ⋅ 90 + 5 ⋅ 60 1120 = = 3,2 350 350

A október volt az átlag alapján az eredményesebb (de nagyon kicsi eltéréssel), az átlag gyakorlatilag állandó.

2  Az iskolai használtelem-gyűjtés eredményét mutatja a táblázat a 6. évfolyam négy osztályára.

a) Ábrázold oszlopdiagramon az osztályok teljesítményét! b) Melyik két osztályhoz tartozó oszlopok együttes magassága egyenlő a c osztályhoz tartozó oszlop magasságával? Az a és a b osztály vagy az a és a d osztály.

85

17. GRAFIKONOK, DIAGRAMOK, ÖSSZEFÜGGÉSEK 3  a) A pékség kirakatában nagy tábla hirdeti, hogy 1 db zsömle ára 12 Ft. Tudjuk, hogy a pénztárnál öt forintra kerekített összeget kell fizetnünk. Ennek megfelelően töltsd ki a következő táblázat hiányzó részeit! Darab

Kiírás szerinti ár (Ft)

Fizetendő összeg (Ft)

1 db zsömléért fizetett összeg (ezred Ft pontossággal)

2

 24

25

12,5

1

3 4 5 6 7 8 9

10

 12

 36  48  60  72  84  96 108

120

10

35 50 60 70 85 95

110

120

10

11,667 12,5 12

11,667 12,143 11,875

12,222 12

b) Ha egynél több, de 10-nél nem több zsömlét vásárolunk, akkor hány darab vásárlásánál lesz a zsömle ára a legkedvezőbb? Három vagy hat zsömle vásárlása esetén.

c) Ha egynél több, de 10-nél nem több zsömlét vásárolunk, akkor hány darab vásárlásánál lesz a zsömle ára a legkedvezőtlenebb? Kettő, vagy négy zsemle vásárlása esetén.

d) Fejezd be az oszlopdiagram megrajzolását, amely a zsömlék darabszámhoz kapcsolódó egységárat mutatja! Használd az a) feladatban kapott eredményeidet! A függőleges tengelyből azért „törtünk ki” egy darabot, mert az egységárak minden esetben várhatóan 10 Ft és 13 Ft között lesznek.

86

17. GRAFIKONOK, DIAGRAMOK, ÖSSZEFÜGGÉSEK e) A vásárolt darabszámok alapján alakíts ki két kategóriát: rossz vétel, jó vétel! Válaszodat röviden indokold is! Rossz vétel: 2, 4, 7, 9 Jó vétel: 1, 3, 5, 6, 8, 10 Indoklás: Rossz vételnél többet fizetünk darabjáért, mint 12 forint. f) Ábrázold koordináta-rendszerben a zsömlék darabszámához tartózó árat! A bal oldali ábrán a számított ár, a jobb oldali ábrán a fizetendő összeg szerepeljen!

g) A fenti két ábra közül melyik mutat egyenes arányosságot? A bal oldali.

h) Guszti szereti, ha neki kell a pékségben a családnak meg­vá­sárolnia a zsömlét. Általában 2 és 9 darab közötti mennyiség beszerzését bízzák rá. A ravasz Guszti általában egyesével veszi meg a zsömléket, mert így egy kis haszonra tesz szert. Készítsd el Guszti hasznának táblázatát! A vásárolt zsömlék száma (db) Guszti haszna (Ft)

2

5

3

5

4

10

5

10

6

10

7

15

8

15

9

20

Szerinted Guszti hány darab zsömlét szeret vásárolni? Kilencet, mert akkor a legnagyobb a haszna.

25 – 2 ⋅ 10 = 5 35 – 3 ⋅ 10 = 5 50 – 4 ⋅ 10 = 10 60 – 5 ⋅ 10 = 10

 70 – 6 ⋅ 10 = 10  85 – 7 ⋅ 10 = 15  95 – 8 ⋅ 10 = 15 110 – 9 ⋅ 10 = 20

87

18. ÖSSZEFOGLALÁS 1  Tekintsünk el az elválasztó fekete és fehér csíkok vastagságától! A piros háromszög csúcsa a zászló középpontjában van, a sárgáé pedig a jobb oldal felezőpontjában. Határozd meg a méretek pontos ismerete nélkül, a különböző színű részek és az egész zászló területének arányát, tört alakban! 1 1 1   sárga:   zöld: 4 4 2 a három tört összege: 1

piros:

Nézz utána, melyik ország zászlója ez! Keresd meg a térképen! Guyana

2   Határozd meg, hogy a három látható lapon lévő kis négyzetek hányad része piros! 1 2 2 Bal oldali lap:   Jobb oldali lap:   Felső lap: 9 9 9

4 27 A nem látható lapokon lévő piros négyzetek közül 3 darab A három nem látható lap hányad része piros?



van a kocka valamelyik csúcsában, 1 db van oldalél közepén, és 0 db lap lapközépen.

3  Gergőék családja nagy, havi villanyszámlájuk ezért elég magas; átlagosan 16 ezer Ft. Az elekt­romos áram árának 10%-kal történt csökkentése miatt, mennyi a család megtakarítása? a) havonta: 1600 Ft

b) évenként: 19 200 Ft 16 000 : 10 = 1600 1600 ⋅ 12 = 19 200

4  Az emelkedő utat egy derékszögű háromszögben ábrázoljuk: – az átfogó az emelkedő út; – a vízszintes befogó az útnak a térképen ábrázolt hossza; – a függőleges befogó az emelkedés mértéke, 20%-os emelkedő   esetén a függőleges befogó a vízszintesnek 20%-a. a) Mennyit emelkedik a 12%-os emelkedésű út, ha a térképen ábrázolt hossza 1 km? 120 métert.

88

18. ÖSSZEFOGLALÁS b) Hány százalékos emelkedése van annak az útnak, amely 400 m-en 32 métert emelkedik ? 8%-os. Az

edő elk

út

em

Az emelkedés mértéke

Az út térképen jelölt hossza

c) Hegymászók számára nem jelzik az emelkedő meredekségét. Ha mégis megtennék, akkor egy 45°-os szögben emelkedő hegyi ösvény elejére milyen táblát kellene kitenni? 100%-os emelkedő. 1000 : 100 = 10 10 ⋅ 12 = 120 32 : 400 = 0,08

20%-os emelkedőre figyelmezető tábla

5  A Föld 7,2 milliárd fős népességéből 1,3 milliárd Kínában, 9,9 millió Magyarországon él. a) Számítsd ki, hogy a Föld népességének hány százaléka él Kínában, illetve Magyarországon! Kínában: kb. 18%

Magyarországon: 0,138%

b) Ha a Föld különböző országaiban élőket egyenletesen osztanánk el az országok és vá­ro­sok között, akkor a 2 milliós Budapesten hány kínai, és hány magyar élne? Kínai: 360 000, magyar: 2760. 1,3 : 7,2 = 0,18056 0,0099 : 7,2 = 0,00138 2 000 000 ⋅ 0,18 = 360 000 2 000 000 ⋅ 0,00138 = 2760

89

18. ÖSSZEFOGLALÁS 6  Két állásajánlatot hasonlítunk össze: mindkettő 4 hónapos idénymunkára szól, mindkettőnél 100 ezer Ft a kezdő kereset, ami megfelelő munkavégzés esetén állandóan növekszik. Az egyik ajánlat esetében a növekmény havi 10 ezer Ft, a másik esetben a bér havonta 10%-kal nő. A táblázat kitöltésével könnyen össze tudod hasonlítani a két ajánlatot. Első hónapban 100 000 Ft

100 000 Ft

Második hónapban Harmadik hónapban Negyedik hónapban 110 000 Ft

110 000 Ft

120 000 Ft

130 000 Ft

121 000 Ft

13 3100 Ft

110 000 ⋅ 1,1 = 121 000 121 000 ⋅ 1,1 = 133 100 100 000 + 110 000 + 121 000 + 133 100 = 464 100

Összes kereset 460 000 Ft

464 100 Ft

7  Egy jelenleg 4 millió Ft-ot érő autó értékének csökke­nését kétféle módszerrel is kiszámolhatjuk. Az egyik módszer szerint minden évben 400 ezer Ft, a másik szerint évente 10%-os az értékcsökkenés. A táblázat kitöltésével hasonlítsd össze az autó értékének alakulását az első három évben a kétféle számítás szerint!

Jelenlegi ár

4 000 000 Ft

4 000 000 Ft

3 600 000 ⋅ 0,9 = 3 240 000 3 240 000 ⋅ 0,9 = 2 916 000

90

1 év múlva

3 600 000 Ft

3 600 000 Ft

2 év múlva

3 200 000 Ft

3 240 000 Ft

3 év múlva

2 800 000 Ft 2 916 000 Ft

18. ÖSSZEFOGLALÁS 8  Az adózó állampolgárok befizetett adójának 99%-ról az állam, 1%-ról az adózó dönthet. Egy adófizető adójának 1%-át a gyermekkórház javára ajánlotta fel. Egy év alatt mekkora összeggel segíti a kórházat, ha havi 200 ezer Ft után fizet 16% adót? 200 000 ⋅ 0,16 = 32 000 32 000 ⋅ 0,01 = 320 320 ⋅ 12 = 3840

9  Balázs százalékszámításból írt dolgozata 54 pontos lett, 2 pont hiányzott az ötöshöz. Jeles osztályzat

80%-tól kapható. Mekkora volt a dolgozat maximális pontszáma? 70 pont a maximum. 56 : 80 = 0,7 0,7 ⋅ 100 = 70

10  Egy zöldséges árukészletét mutatja a táblázat: zöldségek

mennyiség (kg)

uborka

300

paradicsom paprika

hagyma

250 175 125

a) Készíts az adatok alapján oszlopdiagramot! b) Elemezd az ábrádat! Írj két összehasonlító állítást a diagram alapján! I. A paprikához és a hagymához tartozó oszlopok együttes magassága egyenlő az uborkához tartozó oszlop magasságával. II. Uborkából van a legtöbb és hagymából a legkevesebb.

III. A paradicsomhoz tartozó oszlop kétszer olyan magas, mint a hagymához tartozó oszlop.

91

18. ÖSSZEFOGLALÁS 11  A következő összetartozó értékek közül melyek egyenes arányosságok? Húzd alá az „Igen” vagy a „Nem” szót! a) A rovarok száma – a rovarok lábainak száma.

Igen – Nem

c) A meghallgatott dalok száma – az eltelt idő.

Igen – Nem

b) Az évek száma – az évszakok száma.

Igen – Nem

d) Az iskolában eltöltött idő – a megszerzett érdemjegyek száma.

Igen – Nem

e) A téglalap egyik oldalának hossza – a téglalap kerülete.

Igen – Nem

f) A dobókockák száma – a dobókockákon lévő pöttyök száma.

Igen – Nem

g) A dobások száma – a dobott hatosok száma.

Igen – Nem

h) Az éveid száma – a magasságod centiméterben.

Igen – Nem

i) A tojások darabszáma – a tojások összértéke.

Igen – Nem

j) A bicikli kerekének fordulatszáma – a megtett út hossza.

Igen – Nem

12  A táblázat adatai alapján elkezdtünk egy oszlopdiagramot rajzolni. Fejezd be az ábrát! 1

8

2

6

3

6

4

6

5

8

6

5

7

5

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

5

5

5 11 8

8

8 11 5

5

5 13 13 7 12 13 14 20

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

14 13 12 7 13 13 5

5

5 11 8

8

8 11 5

Szerinted mihez hasonlít a kialakult kép? Az Országházra.

92

5

5

5

5

8

6

6

6

8

18. ÖSSZEFOGLALÁS 13  A táblázat egy egyenes arányosság összetartozó értékeit tartalmazza, de néhány szám hiányzik. a) Pótold ezeket! b) A táblázat adatait felhasználva készíts egy grafikont, amely a nemnegatív x értékekhez mutatja az y értéket! x

2

y

3

2,5

5

3,75

9

6,25

11,25

13

16,25

18

100

22,5

125

14  Rendezd táblázatba az oszlopdiagramról leolvasható párokat! a

b

c

d

e

f

50

40

60

70

90

50

15  Melyik grafikon mutat egyenes arányosságot?

a) y

 b) y

 c) y

 d) y













x





x





x





x

Egyenes arányosság grafikonja: a), c)

16  A 32 fős osztályból 16-an a csokoládé-, 4-en az eper,- 12-en a mogyorófagylaltot szeretik a legjobban. Készíts az adatok alapján diagramot a füzetedbe!

93

IV. KERÜLET, TERÜLET, FELSZÍN, TÉRFOGAT 1. A SOKSZÖGEK KERÜLETE 1  Számítsd ki a c oldalú rombusz kerületét!

a) c = 405 mm: K = 1620 mm

b) c = 5,2 cm: K = 20,8 cm 405 ⋅ 4 = 1620 5,2 ⋅ 4 = 20,8

2  Számítsd ki a deltoid kerületét, ha egyik oldala a, másik oldala b hosszúságú! a) a = 12 cm, b = 3,5 cm; K = 31 cm

b) a = 5,6 dm, b = 240 mm.

  

K = 160 cm

   12 + 3,5 = 15,5 15,5 ⋅ 2 = 31

56 + 24 = 80 80 ⋅ 2 = 160

3  Egy paralelogramma két különböző hosszúságú oldalának összege 17,2 cm. a) Mekkora a paralelogramma kerülete? K = 34,4 cm b) A paralelogramma két azonos hosszúságú oldalát megnöveltük, s így egy 42 cm kerületű rombuszt kaptunk. Mennyivel kellett megnövelni egy oldalt? 3,8 cm-rel 17,2 ⋅ 2 = 34,4 42 − 34,4 = 7,6 7,6 : 2 = 3,8

4  Melyik igaz?

a) Egy négyszög kerülete kisebb, mint a leghosszabb oldal hosszának négyszerese.

H

c) A téglalap kerülete kisebb a két átló hosszának összegénél.

H

e) Ha egy paralelogramma oldalainak hossza méterben mérve egész szám, akkor a kerülete páros.

I

b) Egy háromszögben bármely két oldal hosszának összege nagyobb, mint a kerület fele. d) A trapéznak lehet négy különböző hosszúságú oldala.

94

I I

1. A SOKSZÖGEK KERÜLETE 5  Mérj és számolj! Mekkora kerületű sokszögeket látsz az ábrán?

A tizenkétszög egy oldala:  5 mm. A tizenkétszög kerülete: 60 mm. A tizenhatszög egy oldala:  4 mm. A tizenhatszög kerülete: 64 mm. TESZTKÉRDÉSEK

1  Rajzoltunk egy sokszöget a koordináta-rendszer kezdőpontjából indulva, a rácsvonalak mentén. Mennyi lehet a kerülete? A: 5 B: 9 C: 103 D: 112 E: 1111

2  Egy sokszög szomszédos oldalai merőlegesek egymásra. Mekkora a kerülete? A: 17 B: 30 C: 32 D: 34 E: Kevés adatot ismerünk.

3  Egy sokszög szomszédos oldalai merőlegesek egymásra, és mindegyik hossza méterben mérve egész szám. Melyik lehet a sokszög kerülete méterben megadva? A: 17 B: 30 C: 32 D: 34 E: Kevés adatot ismerünk.

4  Egy négyzet két szemközti oldalának hosszát megnöveljük 2,2 dm-rel, a másik két szemközti oldalának hosszát pedig 136 mm-rel. Hány centiméterrel lesz nagyobb az így kapott téglalap kerülete a négyzet kerületénél? A: 35,6 B: 71 C: 71,2 D: 138,2 E: Az előzőek egyikével sem. 5  Gazsi egy 168 cm kerületű szabályos hétszöget rajzolt. Mekkora a hétszög egyik oldalának a hossza? A: 28 cm B: 420 mm C: 24 cm2 D: 0,24 m E: Az előzőek egyike sem.

6  Attila egy-egy 2520 mm kerületű szabályos háromszöget, négyszöget, ötszöget, hatszöget, hétszöget, nyolcszöget, kilencszöget és tízszöget rajzolt. Mennyi a sokszögek egy-egy oldalának összege? A: 36,01 m B: 36,1 dm C: 360,1 cm D: 840 mm E: Az előzőek egyike sem 7  Az ábrán látható sokszöget egy hosszú papírcsíkra rajzoltuk. Minden oldalának hossza 1 cm. Most csak a papírcsík elejét és végét láthatod. Hány centiméter lehet a sokszög kerülete?

A: 2006  B: 1956  C: 1902  D: 1848  E: 1001

95

2. A SOKSZÖGEK TERÜLETE 1  Számítsd ki a téglalap területét, ha oldalainak hossza: a) 73 cm és 12 cm; b) 5 m és 4,84 m! a) t = 876 cm2;

b) t = 24,2 cm2

2  Mekkora a négyzet területe, ha oldalának hossza: a) 17 cm; b) 32 cm? a) t = 289 cm ;

2

b) t = 1024 cm

2

3  Mekkora a derékszögű háromszög területe, ha két befogójának hossza: a) 124 cm és 70 cm; b) 48 mm és 1,2 dm? a) t = 4340 cm2;

124 ⋅ 70 = 8680 8680 : 2 = 4340

b) t = 28,8 cm2

4,8 ⋅ 12 = 57,6 57,6 : 2 = 28,8

4  Mekkora a deltoid területe, ha két átlójának hossza: a) 44 cm és 76 cm; b) 1,2 m és 72 cm. a) t = 1672 cm2;

44 ⋅ 76 = 3344 3344 : 2 = 1672

b) t = 4320 cm2.

72 ⋅ 120 = 8640 8640 : 2 = 4320

5  Ábrázold a következő pontokat a koordináta-rendszerben: A(–1; 2), B(2; 4), C(5; 2), D(2; –3)! a) Milyen négyszöget kaptál? Deltoidot

b) Mekkora az ABCD négyszög területe? 6 ⋅ 7 42 = T = = 21 négyzetegység 2 2

96

73 ⋅ 12 = 876 5 ⋅ 4,84 = 24,2

17 ⋅ 17 = 289 32 ⋅ 32 = 1024

2. A SOKSZÖGEK TERÜLETE 6  Ábrázold a következő pontokat a koordináta-rendszerben: A(–3; –2), B(3; –1), C(5; 3), D(–1; 2)!

a) Milyen négyszöget kaptál? Paralelogrammát b) Mekkora az ABCD négyszög területe?

T = 5 · 8 – 2 · (2 + 3 + 4) = 22 négyzetegység

7  Egy 10 méter széles épület tűzfala egy 4 méter magas téglalapra és 4 méter magas háromszögre bontható. Hány m2 ez a fal?

A téglalap területe: 4 · 10 = 40 m2

A háromszög területe: 4 · 10 : 2 = 20 m2 Összesen: 40 + 20 = 60 m2

8  Mekkora a képen látható síkidom területe, ha a beszínezett része 24 m²? a) A nagy síkidom területe: b) A nagy síkidom területe: c) A nagy síkidom területe:

T = 6 · 24 = 144 m2

 

 

T =  4· 24 = 96 m2

 

 

9  Mekkora a területe? A négyzetrács egységét 1 cm-nek vedd!

T = 5 · 24 = 120 m2

   

Területe: 5 · 4 = 20 cm2

10  Mekkora a rácsra rajzolt sokszög területe, ha a rácsvonalak távolsága 5 mm? a) T = (2 · 4 : 2) · 25 = 4 · 25 = 100 mm2 = 1 cm2

b) T = (2 · 4 + 2 + 1) · 25 = 11 · 25 = 275 mm2 = 2,75 cm2

a)

b)

97

3. ALAKZATOK A TÉRBEN 1  Rajzolj az AC lapátlóval a) párhuzamos;

b) kitérő;



c) metsző lapátlókat a kockán!



2  A képen látható testet 11 darab kockából építettük. Rajzold le szemből, oldalról és felülről!

3  Egy kocka csúcsait kezdd el zöldre festeni! Ha egy csúcs már zöld, akkor a vele szomszédos (vele éllel összekötött) csúcsot nem festheted be. Hány csúcsot tudtál befesteni? A befestett csúcsok száma: legfeljebb 4 db.

4  Egy kocka lapjainak középpontjai meghatároznak egy testet. Rajzold be a többi lapközéppontot is! Ha két lapnak van közös éle, akkor kösd ös�sze a középpontokat! a) Milyen lapok határolják ezt a testet? Szabályos háromszögek.

b) Hány csúcsa van az így kapott testnek? 6 csúcsa van. c) Hány éle van az így kapott testnek? 12 éle van.

5  Egyforma kockákból oszlopokat építünk. Az ábrán látható kockák egy-egy oszlop legfelső darabját mutatják. Minimum hány kockából hozható létre ez az építmény? Segítségként megadtuk az alaprajzot is. A kockák száma:

1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 = 15 db

98

3. ALAKZATOK A TÉRBEN 6  Egy téglatest alakú doboz három különböző élének hossza: 8 cm, 5 cm és 3 cm. Az egyik legrövidebb éltől hány csúcsnak tudnád mérés nélkül is megmondani a távolságát? Mekkorák ezek a távolságok? Készíts egy rajzot, és írd rá! A csúcsok száma: 4, plusz az él 2 végpontja, amelyek 0 távol vannak az éltől. Rajz:

7  Hány csúcsa, éle, lapja van ezeknek a testeknek? a) b)

a) A csúcsok száma: 14.

 b) A csúcsok száma: 20.

A lapok száma: 9.

 A lapok száma: 12.

Az élek száma: 21.

 Az élek száma: 30.

4. TESTEK FELSZÍNE 1  Add meg az a, b és c élű téglatest felszínképletét!

A = 2 · (ab + ac + bc)

2  Add meg az a élű kocka felszínképletét! A = 6a2

3  Számítsd ki a téglatest felszínét, ha az élei a, b és c hosszúságúak! a) a = 15 cm, b = 42 cm, c = 13 cm; b) a = 34 mm, b = 21 mm, c = 8 mm. a) A = 2742 cm2

15 ⋅ 42 = 630 15 ⋅ 13 = 195 42 ⋅ 13 = 546 630 + 195 + 546 = 1368 1154 ⋅ 2 = 2308

b) A = 2308 mm2

1368 ⋅ 2 = 2736 34 ⋅ 21 = 714 34 ⋅ 8 = 272 21 ⋅ 8 = 168 714 + 272 + 168 = 1154

99

4. TESTEK FELSZÍNE 4  Számítsd ki a kocka felszínét, ha az élei a hosszúságúak! a) a = 26 cm; b) a = 34 mm. a) A = 4056 cm2;

b) A = 6936 mm2.

26 ⋅ 26 = 676 676 ⋅ 6 = 4056

34 ⋅ 34 = 1156 1156 ⋅ 6 = 6936

5  Kockát építünk 27 darab egybevágó 2 cm élű kiskockából. Hogyan változik az építmény felszíne, ha elvesszük a sarkokban lévő kiskockákat? Válasz: a felszín nem változik, mert egy sarokkocka elvételével 3 négyzetlappal kevesebb lesz, de a belső kockák felszínéből még három négyzetlapnyi hozzáadódik a felszínhez.

6  Egy téglatest éleinek aránya: 2 : 3 : 7. A különböző élek hosszának összege 240 cm. Mekkora a téglatest felszíne? Az élek hossza: a = 40 cm = 4 dm A téglatest felszíne: A = 328 dm2 2 + 3 + 7 = 12 240 : 12 = 20

a = 2 ⋅ 20 = 40 b = 3 ⋅ 20 = 60 c = 7 ⋅ 20 = 140

b = 60 cm = 6 dm 4 ⋅ 6 = 24 4 ⋅ 14 = 56 6 ⋅ 14 = 84

c = 140 cm = 14 dm

24 + 56 + 84 = 164 164 ⋅ 2 = 328

7  Egy pingponglabda átmérője 40 mm. Egy négyzet alapú papírdobozba öt labda fér egymás mellé. Készíts rajzot a labdákról, amint a dobozban vannak, és számold ki a doboz felületét! Rajz:

A doboz felszíne: 352 cm2

4 ⋅ 4 = 16 4 ⋅ 20 = 80 2 ⋅ 16 + 4 ⋅ 80 = 32 + 320 = 352

100

5. FELSZÍNSZÁMÍTÁSSAL KAPCSOLATOS GYAKORLATI FELADATOK 1  A képen látható dobozba egy nyakláncot csomagoltak. A doboz magassága 14 mm, az alja és a teteje olyan deltoid, amelynek átlói 6,3 cm és 4 cm, a kerülete pedig 15,4 cm. A doboz minden lapját öntapadós, színes lappal fedték be. Mennyi öntapadós, színes papírral lehet beburkolni a dobozt? 6,3 ⋅ 4 = 12,6 cm2 2 A téglalapok területe: 15,4 · 1,4 = 21,56 cm2

A deltoid területe:

A felszíne: 12,6 + 12,6 + 21,56 = 46,76 cm2

2  Mekkora az irattartó külső részének a felszíne? A legfontosabb adatokat az ábra tartalmazza! A síkidomok területe: Talja = 25 · 12 = 300 cm2; Teleje = 12 · 20 = 240 cm2;

20 cm

32 cm

Thátulja = 12 · 32 = 384 cm2; Toldala = 25 · 20 + 25 · 12 : 2 = 650 cm2.

12 cm

A felszín: 300 + 240 + 384 + 650 + 650 = 2224 cm2

25 cm

3  Egy test hálózata négy egybevágó négyzetből és két egybevágó rombuszból áll. A négyzetek oldalai 13 cm, a rombusz félátlói pedig 5 cm és 12 cm hosszúak. a) Tervezd meg a test hálózatát! b) Mekkora felületű test készíthető ebből a hálózatból? a) A test hálózata:

b) A test felszíne: 676 + 240 = 916 cm2

13 ⋅ 13 = 169 169 ⋅ 4 = 676 2 ⋅ 10 ⋅24 : 2 = 240

12 cm

4  Az ábrán látható doboz egy sajt csomagolása. a) Készítsd el a doboz hálózatát! b) Az adatok alapján számold ki a sajtosdoboz felszínét! a) A test hálózata:

4 cm

b) A test felszíne: 264 cm 10 + 13 + 13 = 36 36 ⋅ 4 = 144 2 ⋅ 12 ⋅ 10 : 2 = 120 144 + 120 = 264

2

13 cm 10 cm

101

6. ÁTDARABOLÁSSAL MEGADHATÓ TESTEK TÉRFOGATA 1  Mekkora a két test térfogata? a)

b)





150 cm

150 cm











12 cm

12 cm

a) V1 = 4 · 150 · 12 = 600 · 12 = 7200 cm2 4 cm

4 cm

b) V2 = V1 : 2 = 7200 : 2 = 3600 cm2

2  Egy sajtdarab adatait leolvashatod az ábráról. Mekkora a térfogata?

V = 4 · 7,5 · 7 = 210 cm3

3  Egy téglatest élei centiméterben mérve egész számok. Mekkora lehet a téglatest hiányzó éleinek hos�sza, ha V = 364 cm3, a = 13? Lehet, hogy a táblázat több oszlopot tartalmaz, mint amennyire szükséged lesz! 364 : 13 = 28 c 1 2 4 28 14 7 b

28

14

7

1

2

4

A téglatest hiányzó éleinek a hossza 1 és 28, 2 és 14, illetve 4 és 7 cm lehet.

4  Egy négyzetes oszlop élei centiméterben mérve egész számok. Mekkorák az oszlop élei, ha a felszíne a lehető legkisebb, és a térfogata 612 cm3? A szóba jöhető lehetséges élhosszok: a

m A

1

612

2450

2

153

1232

3

68

834

17

a

480

a

Lehet, hogy a táblázat több oszlopot tartalmaz, mint amennyire szükséged lesz! Minden lehetséges párhoz a felszín: Válasz: 6, 6 és 17 cm 612 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 17 612 : 4 = 153 612 : 9 = 68 612 : 36 = 17

102

m

6

612 ⋅ 4 = 2448 153 ⋅ 8 = 1224 68 ⋅ 12 = 816 17 ⋅ 24 = 408

6. ÁTDARABOLÁSSAL MEGADHATÓ TESTEK TÉRFOGATA 5  Számítsd ki a kocka térfogatát, ha az élei a hosszúságúak! a) a = 3,1 dm; b) a = 4,22 m.

a) V = 29,791 dm3 b) V = 75,151448 m3 3,1 ⋅ 3,1 = 9,61 9,61 ⋅ 3,1 = 29,791 4,22 ⋅ 4,22 = 17,8084 17,8084 ⋅ 4,22 = 75,151448

6  Az 1,5 méter hosszú, 120 cm2 keresztmetszetű fagerendából le kell fűrészelni egy 18 cmes darabot. Mekkora lesz az így kapott gerenda térfogata? 15840 cm3

150 − 18 = 132 132 ⋅ 120 = 15840 18 ⋅ 120 = 2160

A maradék térfogata: 2160 cm3

7  A képen látható V betűt egy 1,5 cm vastag, 8 cm széles és 9 cm hosszú téglatestből fűrészelték ki. Mekkora a térfogata? A térfogata: 49,5 cm3

4 ⋅ 9 − 3 = 36 − 3 = 33 33 ⋅ 1,5 = 49,5

8  Az előző feladathoz hasonlóan tervezz olyan betűt, amelyik szakaszokból áll, kivágható téglatestből, és meg tudod határozni a térfogatát! Terv: Térfogat: 54 cm3

12 + 2 + 8 + 2 + 12 = 36 36 ⋅ 1,5 = 54

103

7. ÖSSZEFOGLALÁS 1  Egy négyzet alakú telek körül 140 m kerítés készült. Az autóbejáró kapuja 7 méter széles, a kiskapu pedig 1 méter széles. Mekkora a telek területe? Válasz: 1369 m2

140 + 8 = 148 148 : 4 = 37 37 ⋅ 37 = 1369

2  A megfelelő téglalapok és derékszögű háromszögek területeinek meghatározásával add meg a következő sokszögek területét! A rácsvonalak távolságát vedd 1 cm-nek! a)

T = 8 · 3 − 3 · 3 : 2 – 3 · 2 : 2 = 24 – 4,5 – 3 = 16,5 cm2



b)

T = 9 · 3 − 3 · 6 : 2 – 3 · 4 : 2 = 27 – 9 – 6 = 12 cm2



c)

d)



T = 8 · 3 − 2 · 2 – 1 · 2 = 24 – 4 – 2 = 18 cm2





T = 8 · 3 − 5 · 2 : 2 – 3 · 3 : 2 = 24 – 5 – 4,5 = 14,5 cm2

3  Egy kockákból épített testet lerajzoltunk három irányból. Minimum hány kocka kell a felépítéséhez? Mekkora a test felszíne, ha a kockák élei 3 cm hosszúak?

A kockák száma: 7 db

A test felszíne: 9 · (6 + 6 + 5 + 5 + 4 + 4) = 9 · 30 = 270 cm2

4  A rajz 12 cm magas testek alaprajzát mutatja. a) Számítás nélkül találsz-e közöttük egyenlő térfogatúakat? b) Rakd a térfogatuk alapján növekvő sorrendbe ezeket a testeket! I.

II.

 

a) Egyenlő térfogatúak: M, N

b) A sorrend: T < F < E < M = N

104

III.

 

IV.

 

V.

 

V. STATISZTIKA 1. JÁTÉK Játék

Egyszámjáték Minden tanuló írjon fel magának egy pozitív egész számot! A tanár elkezdi sorolni a számokat 1-től, és aki az adott számot írta, felteszi a kezét. Az nyer, aki a legkisebb olyan számot írta, amelynél egyedül ő jelentkezett. A nyertes jutalmat kap. Például: 1 – három kéz a magasban, 2 – két jelentkező, 3 – egyedül Lulu jelentkezik, ő nyert.

Játék

Négyet egy sorba Alkossatok párokat, és készítsetek elő három dobókockát! Válasszatok magatoknak egy-egy színt, mondjuk a pirosat és a kéket! Dobjatok felváltva a három kockával, majd mindhárom dobott szám egyszeri felhasználásával és tetszőleges művelettel vagy műveletekkel, képezzetek egy egész számot 1 és 36 között, amit beszínezhettek a saját szinetekre! Akinek előbb sikerül 4 számot egy sorban, egy oszlopban vagy átlósan beszíneznie, az nyer. , akkor a játékos kiszínezheti a 6 + 1 + 3 = 10, vagy

Például ha az első dobás:

a 13 + 6 = 19, vagy a 6 : 3 − 1 = 1 stb. számok közül az egyiket.

Itt találtok négy játéknak való táblát, de ha betelik, folytathatjátok a füzetetekben is. Jó játékot! 1

7

13

19

25

2

8

14

20

26

3 9

15 21

27

4

10 16

22

5

34

7

8

9

10

13

19

25

31

14

20

26

32

15 21

27

33

23

4

33 3

17

29

32 2

11

28

31 1

5

16

22 28

34

6

12

18 24

29 35

18 24

30

36

11

27

28

29

3

4

33

7

8

26 2

13

14

31

32

19

25

20 26

5

10

32

20

4

9

31

19

1

12

8

3

14

6

11

2

13

25

36

23

7

30

35

17

1

15

12

17

18

34

35

36

9

10

11

27

28

29

21

15

21

33

16

6

22

16 22

34

23

5

24 30 6

12

17

18

35

36

23

24 30

105

2. ADATOK ÁBRÁZOLÁSA 1 A grafikon négy adat alapján mutatja az óriáspandák körülbelüli számának változását.

a) Melyik időszakban csökkent a pandák száma? 1976–1986 között

b) A feltüntett évek közül melyikben volt a legnagyobb a pandák száma? 2006-ban

c) Meg lehet-e állapítani, hogy az 1976 és 2006 közötti időszakban mikor élt a legkevesebb panda? A feltüntett évek közül 1986-ban, de a köztes évekről nincs adat. d) Hány százalékkal nőtt a pandák száma 1996 és 2006 között?

(1600 – 1000) : 1000 = 600 : 1000 = 0,6, azaz 60%-kal nőtt a pandák száma. e) Mit sugall a grafikon a pandák 2016-os számáról? Azt sugallja, hogy tovább nő, de bármi történhet.

2 Megkérdeztünk néhány gyereket, hogy hány barátjuk van az osztályban. A következő válaszokat kaptuk: Panni: Nyolc barátom van. Szofi: Hat barátom van. Lulu: Öt barátom van. Berta: Hat barátom van. Ági: Öt barátom van. Mia: Három barátom van. Ábrázoljátok az adatokat oszlopdiagramon!

106

2. ADATOK ÁBRÁZOLÁSA 3 100 gyereket kérdeztünk meg édességfogyasztási szoká­saikról. Az adatokat táblázatba foglaltuk.

ritkán

hetente 1–2-szer

hetente 3–6-szor

minden nap

naponta többször

4

12

24

50

10

a) A gyerekek hány százaléka eszik minden nap édességet? (50 + 10) : 100 = 60 : 100 = 0,6, azaz a gyerekek 60%-a eszik minden nap édességet.

b) A gyerekek hány százaléka eszik hetente legfeljebb hat napon édességet? (4 + 12 + 24) : 100 = 40 : 100 = 0,4,

azaz a gyerekek 40%-a eszik legfeljebb hat napon édességet. Vegyük észre, hogy ez éppen 100% – 60%! c) Készíts az adatok alapján oszlopdiagramot!

d) Te hányszor eszel édességet hetente? Saját adat

perc tanulók

0–29

30–59

4 A 6/z osztály tanulói a táblázatban meg7 3 száma adott időt töltik hetente internetezéssel. Készíts oszlopdiagramot az adatok alapján! Te hány percet internetezel hetente?

60–119

több, mint 120

12

4

107

3. KÖRDIAGRAM 1 Az iskolában az órák és a szünetek a táblázat szerint kezdődnek és fejeződnek be. Számold össze, hogy hány perc tanítás, és hány perc szünet van reggel 8-tól délután 14 óráig! szünet, azaz 90 : 360 = 0,25. Az idő 25%-a szünet.

a) Az adott időtartam hány százaléka szünet? 360 percből 90 perc b) Az adott időtartam hány százaléka tanítás?

360 percből

270 perc tanítás, azaz 270 : 360 = 0,75. Az idő 75%-a tanítás.

c) Készíts kördiagramot a szünetek és a tanítási idő arányáról!

kezdődik

vége

1. óra

8:00

8:45

2. óra

8:55

9:40

3. óra

9:55

10:40

4. óra

10:50

11:35

5. óra

11:50

12:35

6. óra

13:15

14:00

Csoportmunka Gyűjtsétek össze az osztályban, hogy anyukátoknak hány gyereke van! Készítsetek az adatok alapján kördiagramot! Segítségül rajzoltunk egy kört, amit 10 fokonként megjelöltünk. az osztályban gyűjtött adatok

gyerekek száma

1

2

3

4 vagy több

A Központi Statisztikai Hivatal országos adatai alapján készítettünk egy táblázatot. Készítsetek el ez alapján is a kördiagramot! a nők százalékos megoszlása a gyermekek száma szerint

gyerekek száma százalék

0

26,7

1

22,4

2

35,4

3

11,0

4 vagy több 4,5

Beszéljétek meg, hogy a két kördiagram hasonló, vagy nem! Mi okozhatja az eltéréseket?

108

3. KÖRDIAGRAM 2 Készíts kördiagramot a fejezet 2. leckéjének 2-es, 3-as és 4-es feladatához!



2. feladat

3. feladat

4. feladat

3 A levegő 78% nitrogént, 21% oxigént és 1% argont tartalmaz (ezek százalékra kerekített értékek, ezeken kívül még számos összetevője van, de elhanyagolható mennyiségben). Ábrázold a levegő összetételét oszlop- és kördiagramon is! Szerinted melyik mutatja az összetételt szemléletesebben?

4 Az iskolában 862 tanuló szavazhatott arról, hogy legyen-e iskolarádió. 362 gyerek szavazott igennel, 250 nemmel, a többiek nem szavaztak. Ábrázold az eredményeket oszlop- és kördiagramon is!

109

4. SORBARENDEZÉSEK 1 A sarki étteremben te magad állíthatod össze az ebédedet. Háromféle leves, háromféle főétel és háromféle desszert közül választhatsz. Mindegyiknek van egy száma. Ha a pincér a konyhában a 132‑es rendelést adja le, akkor ez azt jelenti, hogy az 1-es számú levest, a 3-as számú főételt és a 2-es számú des�szertet kérted. A te rendelésednek mi lenne a száma? sorszám

1

2

3

leves

erőleves cérnametélttel

erőleves zöldségekkel

paradicsomleves

a) Rajzolj fadiagramot a szemléltetéshez!

főétel

spenót tükörtojással

tökfőzelék tükörtojással

sült virsli rizzsel

desszert

túrógombóc

szilvásgombóc

csokis mignon

b) Sorold fel az összes lehetséges háromfogásos ebéd sorszámát! 111, 112, 113, 121, 122, 123, 131, 132, 133, 211, 212, 213, 221, 222, 223, 231, 232, 233, 311, 312, 313, 321, 322, 323, 331, 332, 333

c) Hányféle ebédet rendelhetsz? 27 félét

1 -ad az esélye 3 1 e) Mekkora az esélye annak, hogy a rendelt ebéd kódja osztható 3-mal? -ad az esélye 3 1 f) Mekkora az esélye annak, hogy a rendelt ebéd kódja osztható 2-vel? -ad az esélye 3

d) Mekkora az esélye annak, hogy a rendelt ebéd kódja 3-ra végződik?

2 Panninak 4 szoknyája és 9 felsője van. a) Hányféleképpen válogathatja össze a szoknyát és a felsőt, ha mindegyiket felveheti mindegyikkel?

4 ∙ 9 = 36 b) A nagynénjétől kapott szoknyájában a világ minden pénzéért sem menne ki az utcára. Ha édesapja véletlenszerűen készít ki neki hajnalban egy szoknyát, akkor mennyi az esélye, hogy reggel gond nélkül felveszi? 3 = 0,75 4

c) Az egyik felsőjét az osztálytársai nagyon megdicsérték, ezért hétfőn, szerdán és pénteken abban megy suliba. Hányféleképpen tud felöltözni kedden, amikor koszos a kedvenc felsője, és a nagynénitől kapott szoknyát sem hajlandó felvenni? 3 ∙ 8 = 24

110

5. ÖSSZEFOGLALÁS Csoportmunka A krétai labirintus hat elágazása látható az ábrán. Thészeusz elhatározta, hogy minden elágazásnál feldobja az Ariadnétól kapott érmét. Ha azon fej lesz, balra fordul, ha írás, akkor jobbra. a) Tippeld meg milyen eséllyel ér el Thészeusz a bikához, a kardhoz, a kendőhöz vagy a szoknyához! Saját eredmények.

b) Játszd el, hogy te vagy Thészeusz! Indulj el, és az elágazásoknál dobj fel egy pénzérmét! Jegyezd fel, hová jutottál! Ismételd meg 16-szor! Egyeznek a tippjeid az eredményeiddel? Dolgozzatok csoportokban!

c) Összesítsétek a kapott eredményeket négyesével! Hányszor jutottatok el az egyes célokhoz? Készítsetek az adatok alapján oszlop- és kördiagramot is!

az én eredményeim

a csoportom eredményei

Saját eredmények.

d) Hasonlítsátok össze a csoportok eredményeit! Találtok lényeges különbségeket?

111

5. ÖSSZEFOGLALÁS 1 Zsombi most 152 cm, de egy évvel fiatalabban, 11 éves korában 146 cm, 10 évesen 138 cm, 9 évesen pedig 130 cm volt. Milyen grafikonon érdemes ábrázolnod az adatokat? Készítsd is el!

2 Az iskolai futóversenyre minden osztálynak egy lányt és egy fiút kellett küldenie. A 6/a-ba 12 fiú és 12 lány jár, a 6/b-be pedig 9 fiú és 15 lány. a) Hányféle párt indíthat a 6/a osztály? 12 ∙ 12 = 144 b) Hányféle párt indíthat a 6/b osztály? 9 ∙ 15 = 135

3  Minden állítás után írd be, hogy igaz (I), vagy hamis (H) az állítás! a) Az oszlopdiagram elsősorban az adatok nagyságát szemlélteti.

I

c) Mindig van értelme annak, hogy az adatokból kördiagramot készítsünk.

H

b) A kördiagram elsősorban az adatok arányait szemlélteti.

d) Mindig van értelme annak, hogy az adatokból oszlopdiagramot készítsünk.

TESZTKÉRDÉSEK

1   Négy szám átlaga 6. Ha az egyik számot 1-gyel csökkentem, akkor az átlag mennyivel csökken? A: 1    B: 4    C: 0,5    D: 0,25

2  Négy szám átlaga 6. Ha az egyik számot 4-gyel csökkentem, akkor az átlag mennyivel csökken? A: 1    B: 4    C: 0,5    D: 0,25

3  A kör 72°-os körcikke hány százalékot szemléltet?

A: 25%    B: 20%    C: 72%    D: 40%

4  Ha 14%-ot szemléltet az α szögű körcikk, akkor α

A: 50,4°    B: 28°    C: 54°    D: 28,8°

112

I

H