MATEMATIKA 6. Megoldások

MATEMATIKA 6. Megoldások

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

A kiadvány megfelel az 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet: 2. sz. melléklet: Kerettanterv az általános iskolák 5–8. évfolyama számára 2.2.03. előírásainak. Tananyagfejlesztő: Gedeon Veronika, Korom Pál József, Számadó László, Urbán Z. János, dr. Wintsche Gergely Alkotószerkesztő: dr. Wintsche Gergely Vezetőszerkesztő: Tóthné Szalontay Anna Tudományos szakmai lektor: Rózsahegyiné dr. Vásárhelyi Éva Pedagógiai lektor: Beck Zsuzsanna Nyelvi lektor: Szőnyi László Gyula Olvasószerkesztő: Füleki Lászlóné, Mikes Vivien Fedél: Slezák Ilona terve alapján készítette Kováts Borbála Látvány- és tipográ iai terv: Gados László, Orosz Adél IIlusztráció: Létai Márton Szakábra: Szalóki Dezső, Szalókiné Tóth Annamária Fotók: MorgueFile 19., 38., WikimediaCommons 8., 20., 23., 37., 48., 67., 68., 82., 85., 94., 96., 111., 118., 123., 130., 137., Flickr 21., 25., 36., 67., PublicDomainPictures 30., Pixabay 37., 38., 67., 87., 93., 97., 156., SK 50., 102., 109., 119., 138. A tankönyv szerkesztői ezúton is köszönetet mondanak mindazoknak a tudós és tanár szerzőknek, akik az elmúlt évtizedek során olyan módszertani kultúrát teremtettek, amely a kísérleti tankönyvek készítőinek is ösztönzést és példát adott. Ugyancsak köszönetet mondunk azoknak az íróknak, költőknek, képzőművészeknek, akiknek alkotásai tankönyveinket gazdagítják. ISBN 978-963-682-763-2 © Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet A kiadásért felel: dr. Kaposi József, főigazgató Raktári szám: FI-503010601 Műszaki szerkesztő: Orosz Adél Gra ikai szerkesztő: Kováts Borbála Nyomdai előkészítés: Gados László, Hontvári Judit Terjedelem: 20,6 (A/5 ív), tömeg: 406 gramm 1. kiadás, 2014 A kísérleti tankönyvek az Új Széchenyi Terv Társadalmi Megújulás Operatív Program 3.1.2-B/13-2013-0001 számú, „A Nemzeti alaptantervhez illeszkedő tankönyv, taneszköz és Nemzeti Közoktatási Portál fejlesztése” című projektje keretében készült. A projekt az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társ inanszírozásával valósult meg.

TARTALOM I. Műveletek, oszthatóság  1. Törtek áttekintése . . . . . . . . . . . .  2. Törtek szorzása törttel . . . . . . . . . .  3. Reciprok, osztás törttel . . . . . . . . .  4. Szorzás tizedes törttel . . . . . . . . . .  5. Osztás tizedes törttel . . . . . . . . . . .  6. Gyakorlás . . . . . . . . . . . . . . . . . .  7. Az egész számok szorzása . . . . . . .  8. Az egész számok osztása . . . . . . . .  9. Közös többszörös, legkisebb közös többszörös . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. Közös osztó, legnagyobb közös osztó 11. Oszthatóság 10-zel, 5-tel, 2-vel . . . . 12. Oszthatóság 3-mal és 9-cel . . . . . . . 13. Prímszámok, összetett számok . . . . 14. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . .

5  4. A 100% kiszámítása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

6 8 10 12 14 16 17 19

. . . . . .

. . . . . .

22 24 25 27 29 31

II. Mérés, geometria

35

 1. Hosszúság, tömeg, idő . . . . . . . . . . . .  2. Terület, térfogat . . . . . . . . . . . . . . . .  3. Alakzatok síkban, térben . . . . . . . . . .  4. Háromszögek egybevágósága . . . . . . .  5. Kör és a hozzá kapcsolódó fogalmak . . .  6. Tengelyes tükrözés . . . . . . . . . . . . . .  7. A tengelyes tükrözés tulajdonságai . . . .  8. A tengelyes tükrözés alkalmazásai . . . .  9. Tengelyes szimmetria . . . . . . . . . . . . 10. Tengelyesen szimmetrikus háromszögek . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. Tengelyesen szimmetrikus négyszögek, sokszögek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. Szerkesztések . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36 40 43 44 46 48 51 54 55 58 60 62 65

 5. Hány százalék? . . . . . . . . . . . . .  6. Vegyes százalékszámításos feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . .  7. Százalékszámítás gyakorlása . . . . .  8. Egyenletek, lebontogatás . . . . . . .  9. A mérlegelv . . . . . . . . . . . . . . . . 10. Összevonás, zárójelfelbontás . . . . . 11. Szöveges feladatok megoldása egyenlettel . . . . . . . . . . . . . . . . 12. Egyenlőtlenségek megoldása mérlegelvvel . . . . . . . . . . . . . . . 13. Egyenlettel megoldható feladatok . 14. Egyenletek gyakorlása . . . . . . . . . 15. Egyenes arányosság . . . . . . . . . . 16. Egyenes arányossággal megoldható feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . 17. Gra ikonok, diagramok, összefüggések . . . . . . . . . . . . . . 18. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . .

. . .

77 79

. . . . .

. . . . .

80 82 83 85 86

. . .

87

. . . .

. . . . .

. . . .

. . . .

90 94 97 102

. . .

107

. . . . . .

109 113

IV. Kerület, terület, felszín, térfogat

119

1. A sokszögek kerülete . . . . . . . . . . . . . 2. A sokszögek területe . . . . . . . . . . . . . . 3. Alakzatok a térben . . . . . . . . . . . . . . . 4. Testek felszíne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Felszínszámítással kapcsolatos gyakorlati feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Átdarabolással megadható testek térfogata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V. Statisztika

128 130 132

137

III. Egyenletek, függvények

67 1. Játék . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 1. Az arány fogalma . . . . . . . . . . . . . . .  2. Arányos osztás . . . . . . . . . . . . . . . . .  3. Százalékszámítás . . . . . . . . . . . . . . .

68 70 73

2. Adatok ábrázolása 3. Kördiagram . . . . 4. Sorbarendezések . 5. Összefoglalás . . .

120 122 124 126

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

138 139 140 143 144

A hatodikos osztálykirándulás hasonlóan kezdődött, mint az előző. Két napja puszikat adtak anyának és apának, integettek a kikötőben, és felszálltak a helyi menetrend szerinti Hold-járatra. Éppen időben érkeztek ahhoz, hogy elcsípjenek egy Földfelkeltét, aztán át kellett szállniuk. A Féreglyuk Expressz bérelt hajója a Hold körüli pályáról indult. Az osztály már tavaly is a FérEx-szel akart utazni, és most, hogy valóra vált az álmuk, lecsukták a szemüket, és igyelték a gyomrukban megjelenő gyenge remegést. – A hajó indulásra kész – jelezte a központi számítógép. Holdidő szerint 13:00-kor start. Panni, Gazsi és Gerzson is becsatolta a rögzítő hevedereket, és felnéztek Attilára, aki a kirándulást szervezte. – Irány a Reciprok – mosolygott Attila, aki tavaly óta nem lett kevésbé okos, de jóval megfontoltabbnak tűnt, így a korábbi „Okoska” becenév is kezdett lekopni róla. – Olyan bolygó nincs is a Naprendszerben, – kapta fel a fejét Berta. – Nincs bizony! – bólogatott Attila, de a FérEx-szel mindegy, milyen távoli a cél. A Reciprok különleges 3 1 1 hely. Ott minden törtet egészek reciprokaiból raknak össze, például helyett azt mondják: + . 4 2 4 – Törtidő alatt odaérünk – vigyorgott Attila. – Már ha össze nem törjük magunkat – csatlakozott hozzá Zsombor. – És persze, ha az utazás meg nem tizedel minket – kapcsolódott be Szo i is a mókázásba. Észre sem vették, amikor a csillagok egy pillanatra kihunytak körülöttük, és megkezdték utazásukat.

1.

TÖRTEK ÁTTEKINTÉSE

Feladatok A királykisasszony hét próbája Törtország királyának volt egy szép és az okosságáról messze földön híres lánya, Törtilla. Matematikafeladatokban senki sem volt jobb nála. A király kijelentette tanácsadóinak, hogy csak az maradhat továbbra is nagy méltóságú hivatalában, aki megoldja Törtilla 7 próbáját. (A füzetedben számolj!) 1. próba: Egyszerűsítsd a következő törteket, majd állítsd növekvő sorrendbe őket! 2 6 9 14 14 63 4 25 1200 . – ;  ; – ;  ; – ;  ;  ;  ; – 10 36 6 60 35 70 12 5 10 Megoldás: 3 2 1 1 7 1 9 < < <5 –120 < – < – < – < < 2 5 5 6 30 3 10 2. próba: Mely összegek eredménye egyenlő? a)

5 1  +  ; 8 6

b)

1 6  +  ; c) 5 15

Megoldás: 15 4 19 + = ; a) 24 24 24 2 6 8 4 d) + = = ; 6 6 6 3

1 4 1 2  +   +  ; ; d) 3 15 3 2

3 6 9 + = = 15 15 15 3 7 10 e) + = = 12 12 12

b)

3 ; 5 5 ; 6

e)

1 7  +  ; f) 4 12

1 1  +  . 3 2

5 4 9 3 + = = ; 15 15 15 5 2 3 5 f) + = . 6 6 6 c)

b = c és e = f. 3. próba: Melyik kivonás eredménye kisebb a)

5 1  –  ; 8 6

b)

4 1  –  ; 5 6

Megoldás: 37 74 = . 60 100 75 20 55 – = ; a) 120 120 120

c)

2 2  –  ; 3 5

37 -nál? 60 d)

48 10 38 – = ; 60 60 60 55 16 32 ; ; . A megadottnál kisebbek: 120 60 60 b)

19 5  –  . 20 12

c)

40 24 16 – = ; 60 60 60

d)

57 25 32 – = . 60 60 60

4. próba: – A nyakláncom hányadrészét tartom a kezemben – kérdezte a királykisasszony? Ha 10 -ed része lenne a kezemben? megszoroznám 5-tel és osztanám 3-mal, akkor a nyakláncom 21 2 Megoldás: -ét. 7

Ͳ

TÖRTEK ÁTTEKINTÉSE 5. próba: A főszakács a megmaradt torta hányad részét kapta egy-egy kukta?

1.

15 -ed részét az 5 kukta között egyenlően elosztotta. A torta 24

Megoldás: 15 15 : 5 3 1 :5= = = . 24 24 24 8 6. próba: E két dobozban igazgyöngyöket tartok. Az első dobozban 13 igazgyöngy van, és értékük összesen 25 tallér. A második dobozban 9 igazgyöngy van 20 tallérért. Melyik dobozban értékesebbek az igazgyöngyök? Megoldás: 25 225 20 260 = , = , tehát a második doboz gyöngyei értékesebbek. 13 117 9 117 7. próba: Számítsd ki sorban a műveletek eredményét! 2

11

– +9 15 ⋅ 2 : 3 ………… ………… ………… 36 ………… 24 (A végén 25 tanácsadóból csak 10 maradt. A többieket azóta is Törtilla tanítja.)

Megoldás: 15 15 5 5 5 5 2 15 8 23 23 11 12 1 ⋅2= = ;  : 3 = ;  + = + = ;  – = = . 24 12 4 4 12 12 9 36 36 36 36 36 36 3

ͳ

2.

TÖRTEK SZORZÁSA TÖRTTEL

Feladatok 1

Egyszerűsítsd a következő törteket, majd bővítsd őket úgy, hogy a nevezőjük 60 legyen! 52 4 48 Például:  =   =  . 65 5 60 12 21 10 72 13 18 ; b) – ; c) – ; d) ; e) – 5 ; f) 4 . a) 18 28 25 54 65 27 Megoldás: 12 2 40 = = ; a) 18 3 60 72 4 80 = = ; d) 54 3 60

21 3 45 =– =– ; 28 4 60 13 1 12 312 e) –5 = –5 = –5 = – ; 65 5 60 60

10 2 24 =– =– ; 25 5 60 18 126 14 280 f) 4 = = = . 27 27 3 60

b) –

c) –

2 a) b) c) d)

Igaz vagy hamis? A tört számlálója lehet 0. A tört nevezője lehet 0. A tört nevezője a törtvonal feletti szám. A tört nevezője megmutatja, hogy hány részre osztjuk az egészet. 11 3 e) A -hoz -ot kell adni, hogy 1-et kapjunk. 8 8 5 40 5 6 5 4 f) Az és a – tört egyenlő. g)  > . h)  < . 4 34 4 4 4 3 Megoldás: a) Igaz. b) Hamis. c) Hamis. d) Igaz. e) Hamis. f) Hamis. g) Hamis. h) Igaz. 3

Mi kerülhet a i helyébe? 4 i 5 i  +   = 2; a)  +   = 2; 6 2 6 2 5 12 i  +   = 5; b)  + i = 5; 3 1 3 1 5 9 i  +   = –1; c)  + i = –1; 7 8 7 8

7  +  i  = 2; 12 12 11 i  +   = 5; 2 2 1  +  i  = –2; 11 11

11 i  +   = 2; 4 4 7 i  +   = 5; 4 4 5 i  +   = –2. 6 6

Megoldás: a) 8; –1; 17; –3. b) 10; –7; –1; 13. c) –12; –17; –23; –17. 4

Számítsd ki a szorzatokat! 4 1 7 1 b)  ⋅  ; a)  ⋅  ; 5 3 6 3 14 3 3 4  ⋅  ; g)  ⋅  ; f) 11 8 8 9 Megoldás: 4 ; a) 15 42 21 = ; f) 88 44

ʹ

7 ; 18 12 1 g) = ; 72 6

b)

8 1  ⋅  ; 5 4 6 2 h)  ⋅  ; 15 9 c)

8 2 = ; 20 5 4 h) ; 45

c)

9 1  ⋅  ; 16 5 2 7 i)  ⋅  ; 5 10

4 1  ⋅  ; 7 6 3 1 j)  ⋅  . 10 6

9 ; 80 14 7 i) = ; 50 25

4 2 = ; 42 21 3 1 j) = . 60 20

d)

d)

e)

e)

TÖRTEK SZORZÁSA TÖRTTEL 5

Számítsd ki a szorzatokat! 1 5 3 4 7 6 a)  ⋅   ⋅   ⋅  ; b)  ⋅  ; 5 3 4 7 6 7 3 2 5 1 g)  ⋅ 2 ; f) 1  ⋅  ; 11 7 14 3 Megoldás: 1 a) ; 7 28 4 = ; f) 77 11 6

b) 1; g)

35 5 = ; 42 6

8 3 5  ⋅   ⋅  ; 5 4 6 3 3 h) 3  ⋅ 4 ; 4 5

c)

c) 1; h)

345 69 = ; 20 4

2 3 8  ⋅   ⋅  ; 15 4 3 1 3 i) 3  ⋅  ; 9 14

d)

48 4 = ; 180 15 84 2 i) = ; 126 3 d)

2.

6 5  ⋅  ; 5 6 1 5 j) 7  ⋅ 5 . 2 6

e)

e) 1; j)

525 175 = . 12 4

14 három huszonnyolcad része? 11 24 Mennyi hét tizenketted része? 5 5 i 15  ⋅   =  . Mely számot írhatjuk a háromszög helyére, hogy igaz legyen az egyenlőség? 7 2 14 5 3 15  ⋅   =  . Mely számot írhatjuk a háromszög helyére, hogy igaz legyen az egyenlőség? 7 11 i 13 5 5 i 31  <   ⋅  i és  ⋅   <  . Mely számot írhatjuk a háromszög helyére, hogy igaz legyen az 44 11 4 11 4 44 egyenlőtlenség?

a) Mennyi b) c) d) e)

Megoldás: 14 3 3 24 7 14 ⋅ = ; b) ⋅ = ; c) 3; d) 77; e) 3, 4, 5, 6. a) 11 28 22 5 12 5

͵

3.

RECIPROK, OSZTÁS TÖRTTEL

Feladatok 1

Végezd el a következő osztásokat! 9 36 18 b)  : 100; c)  : 4; a)  : 3; 5 7 7 45 24 36  : 10; g)  : 12; h)  : 18; f) 8 5 25 Megoldás: 9 3 = ; a) 15 5 45 9 = ; f) 80 16 2

36 9 = ; c) 700 175 24 2 g) = ; h) 60 5 b)

35  : 10; 18 8 i)  : 100; 9 d)

18  : 6; 7 42 j)  : 21. 25

e)

18 9 35 7 = ; d) = ; e) 28 14 180 36 36 2 8 2 = ; i) = ; j) 450 25 900 225

18 3 = ; 42 7 42 2 = . 525 25

Váltsd át a következő mennyiségeket! 50 milliméter hány centiméter, deciméter és méter? 9 750 milliméter hány centiméter, deciméter és méter? 7 250 milliliter hány centiliter, deciliter és liter? 3 1250 gramm hány dekagramm és kilogramm? 2

a) b) c) d)

Megoldás: 5 1 1 dm = m; a) cm = 9 18 180 25 5 1 cl = dl = l; c) 3 6 12

75 15 3 cm = dm = m; 7 14 28 125 5 d) dkg = kg. 2 8 b)

3

Mi a reciproka a következő számoknak? 2 5 6 2 b) – ; c) ; d) – ; a) ; 3 3 5 7 1 0 h) 3; i) ; j) –1; g) – ; 5 5 6 2 3 2 n) 1 ; o) –2 ; p) –7 ; m) 2 ; 7 5 8 3

e) 0;

f) 1;

k) –6;

l)

q) 10;

r) –11.

e) nincs;

f) 1;

1 ; 7

Megoldás: 3 ; 2

a)

g) –5 ; m)

7 ; 20

ͭͬ

3 b) – ; 5 1 h) ; 3 5 n) ; 7

5 ; 6

7 d) – ; 2

i) nincs;

j) –1;

c)

o) –

8 ; 19

p) –

3 ; 23

1 k) – ; 6 1 q) ; 10

l) 7; r) –

1 . 11

RECIPROK, OSZTÁS TÖRTTEL 4 a) b) c) d) e)

Válaszolj a kérdésekre!

3.

Megoldás: 5 ; 4 4 ; 7 12 ; 13 45 ; 8 12 . 7

4 Mennyivel kell szorozni -öt, hogy 1-et kapjunk? 5 7 Mennyivel kell szorozni -et, hogy 1-et kapjunk? 4 13 Mennyivel kell szorozni -ot, hogy 2-t kapjunk? 6 8 Mennyivel kell szorozni -öt, hogy 3-at kapjunk? 15 7 Mennyivel kell szorozni -ot, hogy 4-et kapjunk? 3

5

Végezd el a következő osztásokat! Ha lehet, egyszerűsíts! 5 2 1 1 8 5 2 2 b)  :  ; c)  :  ; d)  :  ; a)  :  ; 4 3 9 3 9 6 3 3 7 28 1 1 7 1 2 4  :  ; f) 3  :  ; g)  : 1 ; h) 1  : 1 ; e) 13 11 2 3 10 8 25 5 1 1 4 3 j) 7 :  ; k) 8 : 2 ; l) 1 :  . i) 5 : 4 ; 6 3 7 5 Megoldás: 15 ; 8 56 28 g) = ; 90 45 a)

3 1 48 16 = ; c) = ; 9 3 45 15 135 27 30 6 h) = ; i) = ; 225 45 25 5 b)

d)

6 = 1; 6

j) 21;

77 11 = ; 364 52 56 28 k) = ; 18 9 e)

6

21 ; 2 5 l) . 3 f)

4 a) A téglalap egyik oldala deciméter. Mekkora a másik oldala, ha a területe 2 dm2? 3 5 15 dm2? b) A téglalap egyik oldala deciméter. Mekkora a másik oldala, ha a területe 4 8

Megoldás: 3 dm; 2 3 dm. 2

7

Az énekkaros lányok hajába egyforma hosszú szalagot szeretnének kötni az iskolai műsoron. Egy 5 szalag hossza méter. Hány szalag készülhet 10 méter anyagból? 7 5 10 7 70 ⋅ = = 14. Megoldás: 10 : = 7 1 5 5 8

Az énekkaros lányok szoprán szólamában éneklő lányok hajának hossza:

1 1 1 méter, méter, méter, 6 6 4

1 1 1 2 2 3 3 méter, méter, méter méter, méter, méter és méter. 5 5 4 5 5 5 4 a) Hány tagja van a szoprán szólamnak? b) Átlagosan mekkora a hajhosszuk? c) Mekkora lenne az átlagos hajhosszuk cm-ben mérve, ha mindegyik lánynak 10 cm-t nőne a haja? Megoldás: 10 10 15 12 12 15 24 24 36 45 203 203 203 1 + + + + + + + + + = ;  : 10 = méter . m; a) 10; b) 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 600 3 203 1 203 60 263 263 5 + = + = méter = cm = 43 cm. c) 600 10 600 600 600 6 6

ͭͭ

4.

SZORZÁS TIZEDES TÖRTTEL

Feladatok 1

a) 0,23 milliméter vastag papírlapból egymásra teszünk 5-öt, 10-et, 23-at, 79-et, 100-at, illetve 348at. Milyen vastag papírkötegeket kapunk? b) Milyen vastag a pénztárszalag, ha a papír vastagsága 0,34 milliméter és 14, 50, 89, 120, 345 menetet tartalmaz?

Megoldás: a) 0,23 ∙ 5 = 1,15 mm; 0,23 ∙ 10 = 2,3 mm; 0,23 ∙ 23 = 5,29 mm; 0,23 ∙ 79 = 18,17 mm; 0,23 ∙ 100 = 23 mm; 0,23 ∙ 348 = 80,04 mm. b) 0,34 ∙ 14 = 4,76 mm; 0,34 ∙ 50 = 17 mm; 0,34 ∙ 89 = 30,26 mm; 0,34 ∙ 120 = 40,8 mm; 0,34 ∙ 345 = 117,3 mm. 2

a) Milyen vastag a 0,125 méter vastag fal deciméterben, centiméterben, illetve milliméterben? b) Egy süteménybe 0,078 kg liszt szükséges. Mennyi liszt kell 6, 12, 35, 43 darab sütemény elkészítéséhez? c) A kémialaboratóriumban 2,27 milliliterenként öntik le a kiválasztott elixírt. 27 öntés után mennyi elixír lesz?

Megoldás: a) 0,125 m = 1,25 dm = 12,5 cm = 125 mm. b) 0,078 ∙ 6 = 0,468 kg; 0,078 ∙ 12 = 0,936 kg; 0,078 ∙ 35 = 2,73 kg; 0,078 ∙ 43 = 3,354 kg. c) 2,27 ∙ 27 = 61,23 ml. 3 Alakítsd át közönséges törtté a felsorolt tizedes törteket! Ha lehet, egyszerűsíts! Használhatsz vegyesszám alakot is! a) 1,2; b) 13,25; c) –5,6; d) –3,5; e) 0,123; f) 2,775; g) –100,1; h) 7,02; i) 3,17; j) 9,99. Megoldás: 12 6 = ; a) 10 5 2775 111 = ; f) 1000 40

1325 53 = ; 100 4 1001 g) – ; 10 b)

4 Végezd el a szorzásokat! a) 0,6 ⋅ 1,2; b) 7,25 ⋅ 4,2; f) 5,71 ⋅ 7,2; g) 0,317 ⋅ 1,25;

56 28 =– ; 10 5 702 351 h) = ; 100 50

d) –

35 7 =– ; 10 2 317 i) ; 100

e)

c) 7,6 ⋅ 0,3; h) 2,34 ⋅ 35,5;

d) 4,3 ⋅ 5,3; i) 12,5 ⋅ 3,98;

e) 0,12 ⋅ 0,95; j) 0,0123 ⋅ 502,7.

c) –

123 ; 1000 999 j) . 100

Megoldás: a) 0,72; b) 30,45; c) 2,28; d) 22,79; e) 0,114; f) 41,112; g) 0,39625; h) 83,07; i) 79,75; j) 6,18321. 5

a) A füvesítés négyzetméterenként 506 forintba kerül. Mennyibe kerül 200,65 négyzetméter terület füvesítése? b) 1 liter üzemanyag 401,9 forintba kerül. Mennyibe kerül 23,56 liter üzemanyag? c) Zsiga 1 perc alatt 0,26 kilométert kerékpározik. Hány kilométert tesz meg 12,67 perc alatt?

Megoldás: a) 101528,9 forintba; b) 9468,764 forintba; c) 3,2942 km-t.

ͭͮ

SZORZÁS TIZEDES TÖRTTEL 6

4.

a) Hányszor kell megszorozni 625-öt 0,2-del, hogy 1-et kapjunk? b) Hányszor kell megszorozni 32-t 0,5-del, hogy 1-et kapjunk?

Megoldás: a) 4-szer; b) 5-ször. 7 1 deciliter tejhez 4,56 gramm kakaóport ajánlott keverni. Mennyi kakaópor szükséges 2,6 deciliter tejhez? Megoldás: 4,56 ⋅ 2,6 = 11,856 gramm. 8 Egy csomag papírra gyakran felírják a papír tömegét, például A4 80 g azt jelenti, hogy a papír tömege négyzetméterenként 80 gramm, és A4-es méretűre, azaz 29,7 cm × 21,0 cm-es lapokra van vágva. Hány gramm egy A4-es lap? Megoldás: 1 m2 = 10 000 cm2. A lap területe: 29,7 ⋅ 21 = 623,7 cm2. 1 grammnyi papír területe: 10 000 : 80 = 125 cm2/g. A kérdéses papírlap tömege: 623,7 : 125 = 4,9896 gramm. 9

Hány négyzetméter területű a téglalap alakú szőnyeg, ha oldalai 1,85 méter és 2,6 méter hosszúak?

Megoldás: 4,81 m2.

ͭͯ

5.

OSZTÁS TIZEDES TÖRTTEL

Feladatok 1 A törtátíró verseny második fordulójába csak az juthatott, aki az öt tört közül legalább négyet két tizedes jegyre kerekített tizedes tört alakba írt át. Szerinted Gerzson bekerült a második fordulóba? 256 56 35 40 125  . 8,83; b)  . 0,63; c)  . 1,67; d)  . 3,15; e)  . 0,42. a) 29 89 21 13 300 Megoldás: a) 8,83, jó; b) 0,63, jó; c) 1,67, jó; d) 3,08 a helyes; e) 0,42, jó. Igen, Gerzson bekerült a 2. fordulóba. 2

a) Milyen nehéz egy kisautó, ha 5 darab 6,5 dekagramm? b) Milyen nehéz egy borsószem, ha 13 darab 17,55 gramm?

Megoldás: a) 6,5 : 5 = 1,3 dkg; b) 17,55 : 13 = 1,35 gramm. 3

a) Hány darab ceruzát állítottak sorba a gyerekek, ha 6,237 méter hosszú sort kaptak, és egy ceruza 0,231 méter? b) Hány szem meggy lehet az 54,18 dekagramm tömegű zacskóban, ha egy szem tömege 0,43 dekagramm? c) A gyár kapujában lévő mérleg a ráálló autók tömegét tonnában méri meg. A gyárba érkező üres teherautó tömege 1,923 tonna. Az alkatrésszel megrakott, távozó teherautó tömege 3,467 tonna. Hány darab alkatrész volt rajta, ha egy darab tömege 0,193 tonna?

Megoldás: a) 6,237 : 0,231 = 27 db ceruzát állítottak sorba. b) 54,18 : 0,43 = 126 szem meggy lehet a zacskóban. c) 3,467 – 1,923 = 1,544 (t); 1,544 : 0,193 = 8 darab alkatrész. 4 Állítsd növekvő sorrendbe a következő hányadosokat! A) 70,564 : 5,2; B) 140,286 : 10,3; C) 32,472 : 2,4;

D) 6,8799 : 0,51.

Megoldás: A) 13,57; B) 13,62; C) 13,53; D) 13,49; növekvő sorrend: D < C < A < B. 5

a) A Velencei-tó körüli kerékpárút 30,75 kilométer. Mennyi idő alatt kerüli meg a tavat az a kerékpáros, aki óránként 12,5 kilométert tesz meg? b) 494,78 m2 a téglalap alakú telek területe, a szélessége 14,3 méter. Milyen hosszú a telek? c) Az „Öleld meg a Dunát” akció a környezetvédelemről szólt. Az emberek élőláncot alkottak a Szabadság híd és az Erzsébet híd között. Hány ember alkotta a láncot, ha a két híd távolsága 1,4 km, és egy ember 1,5 m-t jelent? (A Duna mindkét partján kialakult lánc.)

Megoldás: a) 2,46 óra = 2 óra 27 perc 36 másodperc. b) 34,6 méter hosszú a telek. c) 1400 : 1,5 = 933,333; 933,3332 ⋅ 2 = 1866,666 ≈ 1867 ember.

ͭͰ

OSZTÁS TIZEDES TÖRTTEL

5.

6 A téglalap alakú szőnyeg területe 3,1875 négyzetméter. Az egyik oldala 2,55 méter. Mekkora a szőnyeg másik oldala? Megoldás: 3,1875 : 2,55 = 1,25 méter a szőnyeg másik oldala. 7 a) b) c)

A téglalap alakú utat kockakövekkel borították. Egy kockakő éle 6,8 cm. Hány kockakő szélességű a 7,208 méter széles út? Hány kockakő hosszúságú az 51,408 méter hosszúságú út? Összesen hány kockakövet raktak le?

Megoldás: a) 720,8 : 6,8 = 106 kockakő széles az út. b) 5140,8 : 6,8 = 756 kockakő hosszú az út. c) 106 ⋅ 756 = 80 136 darab kockakövet raktak le. 8 A függönykarikák közötti távolság 10,25 cm. Hány függönykarika van, ha a függöny egy 1,435 méter széles ablakot takar? Megoldás: 143,5 : 10,25 = 14; 14 + 1 = 15 függönykarikát varrtak föl. 9 A díszkorláton a rézhuzalt szorosan egymás mellé tekercselték. A rézdrót 1,16 milliméter átmérőjű. A tekercselt rész 28,42 centiméter hosszú. Hány menetes a tekercs? Megoldás: 284,2 : 1,16 = 245 menetes a tekercs. 10

Egy vasúti sínszál 11,2 méter hosszú. Hány sínszál található az 5,1072 kilométer hosszú szakaszon?

Megoldás: 5107,2 : 11,2 = 456 sínszál van a szakasz egy oldalán, a sínpár 456 ⋅ 2 = 912 sínszálból áll.

ͭͱ

6.

GYAKORLÁS

Feladatok 1

Melyik szám a legnagyobb? 3 8 7 11  ⋅  ;  :  ; a) 11 5 5 3 b) 0,12 : 0,025; 3,84 ⋅ 1,25;

2 2 1  : 3 ; 5 3 1,4 ⋅ 3,5.

Megoldás: 24 21 21 24 ; ; .A a legnagyobb. b) 4,8;4,8;4,9. A 4,9 a legnagyobb. a) 55 55 55 55 2

329 cm, akkor milyen magas egy tégla? Milyen magas hét tégla? 7 2 650 8 b) Ha kg liszt ára Ft, akkor mennyibe kerül 1 kg liszt? Mennyibe kerül kg liszt? 7 21 5 c) A lakás közös költsége négyzetméterenként 675,4 forint. A lakás 62,75 négyzetméter. Mennyi a lakás közös költsége? a) Ha öt tégla egymásra rakva

Megoldás: 329 329 47 :5= = = 9,4 cm; 9,4 ∙ 7 = 65,8 cm. a) 7 35 5 650 2 650 7 4550 325 8 8 : = ∙ = = ≈ 108 forintba. ⋅ 108 = 172,8 (Ft)-ba kerül kg liszt. b) 21 7 21 2 42 3 5 5 c) 675,4 ∙ 62,75 = 42381,35 forint. 3

a) 0,72 kilogramm lisztből hány süti készíthető, ha egy sütihez 0,12 kilogramm szükséges? Mennyi liszt kell 24 sütihez? 2 b) A 2 deciméter hosszú mákos bejglit 20 ugyanolyan vastag szeletre vágjuk. Milyen vastag egy 3 szelet? c) Géza egy kört 1,5 perc alatt fut le. Mennyi idő alatt fut Géza két és háromnegyed kört? Hány kört fut le 4,25 perc alatt? d) Éva az elé táruló 5,25 kilométer hosszú tájat több képpel szeretné megörökíteni. Hány fényképet kell készítenie, ha egy fénykép a tájból 0,75 kilométernyit örökít meg? e) Egy cső 2,45 méter hosszú. Milyen hosszú a kerti vízvezeték, ha 3 egész és egy fél cső összehegesztésével jut el a vízórától a kerti csapig?

Megoldás: a) 0,72 ∶ 0,12 = 6 db; 24 ∙ 0,12 = 2,88 kg . 8 8 2 : 20 = = ≈ 0,133 dm; 3 60 15 3 11 ∙ 1,5 = 2,75 ∙ 1,5 = 4,125 perc; 4,25 ∶ 1,5 ≈ 2,83 kört. c) 2 ∙ 1,5 = 4 4 d) 5,25 : 0,75 = 7 darabot. e) 2,45 ⋅ 3,5 = 8,575 méter. b)

ͭͲ

AZ EGÉSZ SZÁMOK SZORZÁSA

7.

Feladatok 1 Határozd meg a számok ellentettjét! a) (–1); b) (–34);

c) (–3);

d) 3.

c) 3;

d) –3.

c) (–3) ⋅ (+32); g) (–5) ⋅ (–25);

d) (+3) ⋅ (–4); h) (–4) ⋅ (–7).

c) –96; g) 125;

d) –12; h) 28.

c) (–5) ⋅ (–5); g) (–1) ⋅ (–24);

d) (+6) ⋅ (–4); h) (–4) ⋅ (–6).

c) 25; g) 24;

d) –24; h) 24.

Megoldás: a) 1;

b) 34;

2 Számold ki a szorzatokat! a) (–1) ⋅ (+56); b) (–34) ⋅ (–1); e) (–5) ⋅ (–3); f) (+2) ⋅ (+7); Megoldás: a) –56; e) 15;

b) 34; f) 14;

3 Mely szorzatok abszolút értéke 24? a) (–2) ⋅ (+12); b) (–3) ⋅ (+4); e) (–3) ⋅ (–8); f) (+1) ⋅ (+24); Megoldás: a) –24; e) 24; A válasz: e, f, g, h. 4 a) d) g)

b) –12; f) 24;

Számítsd ki a műveletek eredményét! (–1) ⋅ (–1) ⋅ (–1); b) (–2) ⋅ (–1) ⋅ (–3); (–3) ⋅ (–6) ⋅ (+4); e) (+3) ⋅ (–8) ⋅ (+3); |(+7) ⋅ (–2)|; h) |(–8) ⋅ (–5)|;

c) (–3) ⋅ (–4) ⋅ (–5); f) (+5) ⋅ 0 ⋅ (–6); i) |(–2) ⋅ (–4) ⋅ (–8)|.

Megoldás: a) –1; b) –6; c) –60; d) 72; e) –72; f) 0;  g) 14; h) 40; i) 64. 5 Végezd el a szorzásokat! a) (–346) ⋅ (+302); b) (–567) ⋅ (+93); d) (–345) ⋅ (–41); e) (+34) ⋅ (–25) ⋅ (–73);

c) (+465) ⋅ (–345); f) (–21) ⋅ (–47) ⋅ (–52).

Megoldás: a) –104 492; b) –52 731; c) –160 425; d) 14 145; e) 62 050; f) –51 324.

ͭͳ

7.

AZ EGÉSZ SZÁMOK SZORZÁSA

6 Egy vitorlázórepülő az egyik magasságmérőjét tengerszint felett 2000 méteren nullázta le a pilóta. (Az emelkedés a pozitív irány.) a) Mennyivel változott a repülő magassága 8 perc alatt, ha a repülő percenként 150 métert süllyedt? Milyen magasra került a repülő a tengerszinthez képest? b) Mennyivel változott a repülő magassága 7 perc alatt, ha a repülő percenként 80 métert emelkedett? Milyen magasra került a repülő a tengerszinthez képest? Megoldás: a) 8 ∙ (–150) = –1200 méter, tehát 1200 méterrel változott. 2000 – 1200 = 800 méter magasra került. b) 7 ∙ 80 = 560 méter, tehát 560 méterrel változott. 2000 + 560 = 2560 méter magasra került. 7 A búvár a vízfelszín alatt 20 méterrel nullázta le mélységmérő óráját. (A felfelé irány a pozitív.) a) Mennyivel változott az új 0 szinthez képest a búvár mélysége 5 perc alatt, ha percenként 4 métert süllyedt? b) Mennyivel változott az új 0 szinthez képest a búvár mélysége 6 perc alatt, ha percenként 1 métert emelkedett? Megoldás: a) 5 ∙ (–4) = –20 méter, tehát 20 méterrel változott;  b) 6 ∙ 1 = 6 méter. 8 A 320 °C-os kemencét hajnali 4 órakor Kis Bence kikapcsolta. A kemence hőmérséklete a kikapcsolás utáni 6 órában átlagosan óránként 47 °C-kal csökkent. a) Hány fokos lett a kemence délelőtt 10 órára? b) Ki lehet-e számolni, hogy reggel 7-kor hány fokos volt? Megoldás: a) 6 ∙ 47 = 282 °C; 320 – 282 = 38 °C; b) Nem, mert a lehűlés nem egyenletes!

ͭʹ

AZ EGÉSZ SZÁMOK OSZTÁSA

8.

Feladatok 1 Határozd meg a hányadosok értékét! a) (–62) : (+1); b) (–13) : (–1); e) (–63) : (–3); f) (+1057) : (+7);

c) (–288) : (+32); g) (–625) : (–25);

d) (+772) : (–4); h) (–91) : (–7).

Megoldás: a) –62; b) 13; c) –9; d) –193; e) 21; f) 151; g) 25; h) 13. 2 Mely hányadosok abszolút értéke 12? a) (–144) : (+12); b) (–52) : (+4); e) (–94) : (–8); f) (+12) : (+1);

c) (–60) : (–5); g) (–24) : (–2);

d) (+48) : (–4); h) (–192) : (–16).

Megoldás: a) –12; b) –13; c) 12; d) –12; e) 11,75; f) 12; g) 12; h) 1. Tehát c, f, g, h. 3 a) d) g)

Számítsd ki a műveletek eredményét! (–1) : (–1) : (–1); b) (–6) : (–2) : (–3); (–312) : (–6) : (+4); e) (+1224) : (–8) : (+3); |14 : (–2)|; h) |(–40) : (–5)|;

c) (–100) : (–4) : (–5); f) 0 : (+5) : (–6); i) |(–288) : (–4) : (–8)|.

Megoldás: a) –1; b) –1; c) –5; d) 13; e) –51; f) 0; g) 7; h) 8; i) 9. 4 Végezd el az osztásokat! a) (–906) : (+302); b) (–651) : (+93); d) (–369) : (–41); e) (+31 025) : (–25) : (–73);

c) (+4120) : (–345); f) (–56 212) : (–47) : (–52).

Megoldás: a) –3; b) –7; c) –11,94; d)  9; e) 17; f) –23. 5 A Poszeidon tengeralattjáró –300 méteren lebeg, majd gyakorlás céljából négy egyenlő szakaszban a felszínre emelkedik. Milyen mélységeken fog tartózkodni az egyes emelkedési szakaszok után? Megoldás: 300 : 4 = 75; –300 + 75 = –225 méteren; –225 + 75 = –150 méteren; –150 + 75 = –75 méteren; –75 + 75 = 0 méteren. 6 A hőmérséklet 12 °C-kal lett hidegebb 4 óra alatt. Ha minden órában ugyanannyival hűlt, akkor egy óra alatt mekkora volt a változás? Megoldás: 12 : 4 = 3 °C.

ͭ͵

8.

AZ EGÉSZ SZÁMOK OSZTÁSA

7 Robokuty áramkörei álmában ellazulnak. Minél mélyebben alszik, annál több számolást ront el. Milyen mélyen alszik most Robokuty? a) (–13) : (–1) = –13; b) (+12) : (–4) = –3; c) (–98) : (–14) = –7; d) (–111) : (–3) = +39; e) (+54) : (–27) = –2; f) (–72) : (–12) = 6. Megoldás: a) 13, és nem –13; b) –3; c) 7, és nem –7; d) 37, és nem 39; e) –2; f) 6. 3 hibás, 3 jó, tehát félig alszik. 8 Bringaországban a kerékpárkölcsönző tulajdonosa meg igyelte, hogy átlagosan napi 20 000 küküllőt keres, ezért csak az ettől való eltérést szokta számolni. A többletet + jellel, a elmaradt hasznot – jellel jelöli. A +1200 küküllő esetén 21 200, –2300 küküllő esetén 17 700 küküllőt keresett. Április első hetének eredménye:

a) Melyik ábra mutatja április második hetének eltéréseit, ha minden nap éppen az első hét eltérései feleződtek meg? b) Melyik ábra mutatja április harmadik hetének eltéréseit, ha minden nap éppen az első hét eltéréseinek mínusz harmada látható rajta? A: B:

C:

Megoldás: a) A B ábra; b) a C ábra.

ͮͬ

D:

AZ EGÉSZ SZÁMOK OSZTÁSA

8.

9 Robokuty az ebéd utáni csendespihenőben elfoglalta magát! A gumicsontra az volt írva: (–56) : (–7). Mennyit kapott Robokuty, a) ha az osztandót 3-mal szorozta, de az osztót nem változtatta meg? b) ha az osztandót nem változtatta meg, de az osztót szorozta (–2)-vel? c) ha az osztandót szorozta (–5)-tel, az osztót pedig (+4)-gyel? d) ha az osztandót osztotta (–4)-gyel, és az osztót szorozta (–2)-vel? Megoldás: a) b) c) d)

(–56) ∙ 3 = (–168); (–168) : (–7) = 24; (–7) ∙ (–2) = 14; (–56) : 14 = (–4); (–56) ∙ (–5) = 280; (–2) ∙ (–7) = 14; 280 : 14 = 20; (–56) : (–4) = 4; (–7) ∙ (–2) = 14; 4 : 14 = 0,29.

10 Az autópálya-tervezők az adott útszakasz magasságát a szaggatott vonalhoz mérik. Azt tartanák ideálisnak, ha az út minden hegy vagy völgy magasságának a negyedénél futna. Milyen magasan kell vezetni az utat az egyes hegyeken-völgyeken?

Megoldás: 1. hegy: 356 : 4 = 91,25 méter. 1. völgy: –104 : 4 = –26 méter. 2. hegy: 92 : 4 = 23 méter. 2. völgy: –128 : 4 = –32 méter.

ͮͭ

9.

KÖZÖS TÖBBSZÖRÖS, LEGKISEBB KÖZÖS TÖBBSZÖRÖS

Feladatok 1 Kockás füzetben számozd meg az oszlopokat 0-től 30-ig és a sorokat 1-től 10-ig! Minden sorban színezd ki azt a négyzetet, ahol a sorhoz írt számot osztja az oszlophoz írt szám! Megoldás: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10

2 Melyik igaz, melyik hamis? a) 1 osztója 1-nek; b) 2 osztója 1-nek; e) 0 osztója 1-nek; f) 1 osztója 0-nak;

c) 1 osztója 2-nek; d) 0 osztója 0-nak; g) 3 osztója 20-nak; h) 5 osztója 15-nek.

Megoldás: a) Igaz. b) Hamis. c) Igaz. d) Hamis. e) Hamis. f) Igaz. g) Hamis. h) Igaz. 3 Sorold fel a számok pozitív osztóit! a) 5; b) 6; c) 8;

d) 36;

e) 1;

f) 0.

Megoldás: a) 1, 5; b) 1, 2, 3, 6; c) 1, 2, 4, 8; d) 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36; e) 1; f) 1, 2, 3, 4, 5, 6, … . 4 Írd le a füzetedbe a 3 és az 5 többszöröseit! A megtalált többszörösök közül válaszd ki a közös többszörösöket! Megoldás: 3 többszörösei: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36…; 5 többszörösei: 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45…; közös többszörösök: 0, 15, 30, … .

ͮͮ

KÖZÖS TÖBBSZÖRÖS, LEGKISEBB KÖZÖS TÖBBSZÖRÖS

9.

5 Rajzolj a füzetedbe számegyenest 0-tól egyesével 30-ig! Pirossal jelöld a 2 többszöröseit, kékkel a 3 többszöröseit! a) Mely számokat jelölted kékkel és pirossal is? b) Mely számoknak többszörösei a pirossal és kékkel jelölt számok? c) Melyik szám osztója az összes kékkel és pirossal jelölt számnak? d) Melyik szám a 2 és a 3 legkisebb közös többszöröse? Megoldás: a) 0, 6, 12, 18, 24, 30; b) 6; c) 1, 2, 3, 6; d) 6. 6 Keresd meg a legkisebb közös többszöröst! a) [5; 6]; b) [9; 8]; c) [12; 8]; e) [30; 40]; f) [12; 72]; g) [11; 13];

d) [6; 12]; h) [9; 27].

Megoldás: a) 30; b) 72; c) 24; d) 12; e) 120; f) 72; g) 143; h) 27. 7

Hozd közös nevezőre a törteket, és számold ki az összegüket, különbségüket! 11 3 13 2 9 5 11 3 és ; b) és ; c) és ; d) és . a) 6 8 6 15 10 18 3 8 Megoldás: 44 9 53 44 9 35 + = ; – = ; a) 24 24 24 24 24 24 81 25 106 53 81 25 56 28 + = = ; – = = ; c) 90 90 90 45 90 90 90 45 8

65 4 69 + = ; 30 30 30 88 9 97 d) + = ; 24 24 24

b)

65 4 61 – = ; 30 30 30 88 9 79 – = . 24 24 24

A 12 melyik két szám legkisebb közös többszöröse? (Több megoldás is lehetséges.)

Megoldás: [1; 12]; [2; 12]; [3; 12]; [4; 12]; [6; 12]; [12; 12]; [4; 6]; [4; 3]. 9 a) b) c) d)

Igaz-e? Egy páros szám többszöröse páros szám. Egy páros szám összes osztója páros szám. Egy páratlan szám összes osztója páratlan. Egy páratlan szám minden többszöröse páratlan.

Megoldás: a) Igaz; b) Hamis; c) Igaz; d) Hamis. 10 Igaz-e? a) A legkisebb közös többszörös minden közös többszörösnek osztója. b) Egy szám osztói a szám többszörösének is osztói. c) Két szám legkisebb közös többszöröse összes többszörösének osztója mindkét szám. d) Két szám közös többszöröse nem lehet egyenlő a két számmal. e) Ha az egyik szám osztója a másik számnak, akkor a legkisebb közös többszörös a másik szám. Megoldás: a) Igaz; b) Igaz; c) Igaz; d) Hamis; e) Igaz.

ͮͯ

10.

KÖZÖS OSZTÓ, LEGNAGYOBB KÖZÖS OSZTÓ

Feladatok 1 Sorold fel a következő számok osztóit, és legalább öt többszörösét! a) 17; b) 32; c) 25; d) 24; e) 20. Megoldás: a) b) c) d) e)

A 17 osztói: 1; 17; többszörösei: 17; 34; 51; 68; 85; 102. A 32 osztói: 1; 2; 4; 8; 16; 32; többszörösei: 32; 64; 96; 128; 160; 192. A 25 osztói: 1; 5; 25; többszörösei: 25; 50; 75; 100; 125; 150. A 24 osztói: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24; többszörösei: 24; 48; 72; 96; 120; 144. A 20 osztói: 1; 2; 4; 5; 10; 20; többszörösei: 20; 40; 60; 80; 100; 120.

2 Sorold fel a következő számpárok közös osztóit, és jelöld meg a legnagyobb közös osztót! a) 5 és 15; b) 10 és 15; c) 24 és 18; d) 6 és 12. Megoldás: a) 1; 5; b) 1; 5; c) 1; 2; 3; 6; d) 1; 2; 3; 6. 3 Megadjuk egy szám két többszörösét. Mi lehetett az eredeti szám? a) 9 és 15; b) 14 és 35; c) 5 és 11; d) 40 és 60. Megoldás: a) 1, 3; b) 1, 7; c) 1; d) 1, 2, 4, 5, 10, 20. 4 Határozd meg a következő számpárok legnagyobb közös osztóját! a) 9 és 15; b) 21 és 42; c) 12 és 18; d) 30 és 18; e) (100; 60); f) (100; 700); g) (9; 9); h) (1; 5). Megoldás: a) 3; b) 21; c) 6; d) 6; e) 20; f) 100; g) 9; h) 1. 5 Határozd meg a következő számhármasok legnagyobb közös osztóját! a) (10; 20; 30); b) (4; 6; 8); c) (3; 4; 5); d) (21; 42; 48). Megoldás: a) 10; b) 2; c) 1; d) 3. 6

Egyszerűsítsd a törteket a legnagyobb közös osztójukkal! 24 42 12 33 ; b) ; c) ; d) ; a) 36 56 20 55 Megoldás: 2 a) 12; ; 3 7 a) b) c) d) e) f)

b) 14;

3 ; 4

c) 4;

3 ; 5

d) 11;

e) 3 ; 5

e) 13;

Igaz-e? Két páros számnak a legnagyobb közös osztója is páros. Két páratlan szám legnagyobb közös osztója páratlan. Páros és páratlan szám legnagyobb közös osztója lehet páros. Két szám legnagyobb közös osztójának minden közös osztójuk osztója. A nulla soha nem lehet legnagyobb közös osztó. Két szám közös osztójának nem lehet osztója a két szám.

Megoldás: a) Igaz; b) Igaz; c) Hamis; d) Igaz; e) Igaz; f) Hamis.

ͮͰ

39 ; 52

f) 3 ; 4

36 . 45

f) 9;

4 . 5

OSZTHATÓSÁG

‐ZEL, ‐TEL, ‐VEL

11.

Feladatok 1 A felsorolt számok közül melyek oszthatók 2-vel, és melyek oszthatók 5-tel? 1 000 000; 200 000; 303; 205; 10 105; 340; 2002; 4021; 58. Megoldás: 2-vel oszthatók: 1 000 000; 200 000; 340; 2002; 58; 5-tel oszthatók: 1 000 000; 200 000; 205; 10 105; 340. 2 Írd le a felsorolt számokat a füzetedbe! Karikázd be kékkel a 25-tel, pirossal a 4-gyel oszthatókat! 600 000; 44 010; 650; 456; 9150; 80 460; 975. Megoldás: Kék: 600 000; 650; 9150; 975. Piros: 600 000; 456; 80 460. 3 Írd le a felsorolt számokat a füzetedbe! Karikázd be kékkel a 125-tel, pirossal a 8-cal oszthatókat! 100 125; 2000; 250; 3400; 22 875; 3008; 242. Megoldás: Kék: 100 125; 2000; 250; 22 875. Piros: 2000; 3400; 3008. 4 Ábrázold halmazábrán a 2-vel és az 5-tel osztható számokat, ha az alaphalmaz a 19 és 41 közötti természetes számok! Megoldás:

Csak 2-vel: 22; 24; 26; 28; 32; 34; 36; 38; csak 5-tel: 25; 35; mindkettővel: 20; 30; 40. 5 Sorold fel azokat a 25-tel osztható számokat, amelyek nem kisebbek, mint 450 és nem nagyobbak, mint 725! Megoldás: 450; 475; 500; 525; 550; 575; 600; 625; 650; 675; 700; 725. 6

Sorold fel az 1000-nél nagyobb, de az 1999-nél kisebb 125-tel osztható számokat!

Megoldás: 1125; 1250; 1375; 1500; 1625; 1750; 1875.

ͮͱ

11.

OSZTHATÓSÁG

‐ZEL, ‐TEL, ‐VEL

7 Egy SIM-kártya négyjegyű pinkódjáról a következőket tudjuk: 3-mal kezdődik, páros, az utolsó két számjegyből képzett szám háromszorosa az első két számjegyből képzett számnak. Mi lehet a kódszám? Megoldás: 3090 vagy 3296. 8 a) b) c) d) e) f)

Igaz-e? Ha egy szám osztható 10-zel, akkor osztható 2-vel is. Ha egy szám osztható 5-tel, akkor osztható 10-zel is. A páros számok tartalmaznak páros számjegyet. Van 5-tel nem osztható páros szám. Ha egy természetes szám osztható 10-zel, akkor osztható 100-zal is. Ha egy természetes szám osztható 25-tel, akkor nem osztható 100-zal.

Megoldás: a) Igaz. b) Hamis. c) Igaz. d) Igaz. e) Hamis. f) Hamis.

ͮͲ

OSZTHATÓSÁG ‐MAL ÉS ‐CEL

12.

Feladatok 1 Mely számok oszthatók 3-mal a következők közül? 246; 298; 35 634; 231; 65; 2349; 504; 432;

980; 444;

3075; 519.

439; 333;

232; 784.

Megoldás: 246; 35 634; 231; 3075; 2349; 504; 432; 444; 519. 2 Mely számok oszthatók 9-cel a következők közül? 4568; 435; 211; 456; 23; 654; 902; 33; Megoldás: 333. 3 A mezőgazdász apa magához hívta 3 iát, és megkérte őket, hogy az állatai közül az egyik fajtát osszák el egymás között igazságosan. Melyik jószágot választották, ha mindhármuknak ugyanannyi jutott?

421 kacsa

2576 házityúk

1695 liba

Megoldás: A libákat. 4 a) b) c) d) e) f) g) h)

Melyik igaz? Minden 3-mal osztható szám osztható 9-cel. Minden 9-cel osztható szám osztható 3-mal. A 6-tal osztható számok számjegyeinek összege osztható 3-mal. A 6-tal osztható számok számjegyeinek összege osztható 2-vel. Nem minden 9-cel osztható szám páratlan. Ha egy szám osztható 3-mal és 9-cel, akkor osztható 27-tel. Ha egy szám osztható 2-vel és 9-cel, akkor osztható 18-cal. Ha egy szám osztható 45-tel, akkor osztható 5-tel és 9-cel.

Megoldás: a) Hamis. b) Igaz. c) Igaz. d) Hamis. e) Igaz. f) Hamis. g) Igaz. h) Igaz.

ͮͳ

12.

OSZTHATÓSÁG ‐MAL ÉS ‐CEL

5 Mely számok oszthatók 6-tal a következő számok közül? 345 689; 3 399 876; 4 445 634; 2 345 670; 343 542;

56 235 768.

Megoldás: 3 399 876;

4 445 634;

2 345 670;

343 542;

56 235 768.

6 Melyik számkártyahármasokból állíthatsz össze hárommal osztható számokat? Írd le a lehetséges megoldásokat! a)

b)

c)

b) nem lehet.

c) 123; 132; 213; 231; 321; 312.

Megoldás: a) 522; 252; 225.

ͮʹ

PRÍMSZÁMOK, ÖSSZETETT SZÁMOK

13.

Feladatok 1 Válogasd ki a következő számok közül a prímszámokat és az összetett számokat! Mely számok nem kerültek egyik csoportba sem? 12; 7; 13; 1; 17; 21; 43; 45; 63; 57; 0; 34; 2; 31; 33. Megoldás: Prímszámok: 7, 13, 17, 43, 2, 31; Összetett számok: 12, 21, 45, 63, 57, 34, 33; Egyik sem: 1, 0. 2 Készítsd el a következő számok prímtényezős felbontását! a) 10; b) 24; c) 30; d) 36; e) 50; g) 60; h) 61; i) 62; j) 70; k) 102;

f) 59; l) 105.

Megoldás: a) 2 ∙ 5; b) 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3; c) 2 ∙ 3 ∙ 5; g) 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5; h) 61; i) 2 ∙ 31;

d) 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3; e) 2 ∙ 5 ∙ 5; j) 2 ∙ 5 ∙ 7; k) 2 ∙ 3 ∙ 17;

f) 59; l) 3 ∙ 5 ∙ 7.

3 Három testvér életkora prímszám, és vannak köztük ikrek. Éveik számának szorzata 20. Hány évesek az ikrek? Megoldás: A feladat szövege helyesen így szól: Három testvér életkora prímszám, és vannak köztük ikrek. Éveik számának szorzata 20. Hány évesek az ikrek? 2 ∙ 2 ∙ 5 = 20. Az ikrek 2 évesek, a harmadik testvér 5 éves. 4

Melyik az a legkisebb szám, amelynek prímtényezős felbontásában három különböző prím szerepel?

Megoldás: 2 ∙ 3 ∙ 5 = 30 5 Egy szám osztható 14-gyel. Prímtényezős felbontásában három darab prímszám szerepel, de csak kétféle. Melyik lehet ez a szám? (Több megoldás is lehetséges.) Megoldás: 2 ∙ 2 ∙ 7 = 28 vagy 2 ⋅ 7 ⋅ 7 = 98 6 Két szám szorzata 28. Az egyik szám prímtényezős felbontása kétféle prímszámból áll. Mekkora a másik szám? Megoldás: 1 ⋅ 28 = 28 vagy 2 ⋅ 14 = 28

ͮ͵

13.

PRÍMSZÁMOK, ÖSSZETETT SZÁMOK

7 Peti összeszorozta jó barátainak számát az életkorával és az osztálytársainak számával, és így 598-at kapott. Hány éves Peti? Hány tagú az osztálya? Hány jó barátja van? Megoldás: 598 = 2 ⋅ 13 ⋅ 23; tehát Peti 13 éves, 23 fős az osztálya és 2 jó barátja van. A többi számhármas nem felel meg a feladat szövegének. 8 a) b) c) d)

Igaz-e? Ha egy szám páros, akkor prímtényezős felbontásában szerepel a 2. Ha egy szám prímtényezős felbontásában szerepel a 2, akkor a szám 2-re végződik. Ha egy szám prímtényezős felbontásában szerepel a 3, akkor a szám 3-ra végződik. Ha egy szám 2-re végződik, akkor a prímtényezős felbontásában szerepel a 2.

Megoldás: a) Igaz. b) Hamis. c) Hamis. d) Igaz.

ͯͬ

ÖSSZEFOGLALÁS

14.

Feladatok 1 Az öt állítás közül az egyik nem igaz. Melyik? a) A prímszámnak pontosan két pozitív osztója van. Az 1 és a 0 nem prímszám. Az összetett számok olyan nemnulla egészek, amelyeknek kettőnél több osztójuk van. A 0 összetett szám. A 33 összetett szám. b) A legnagyobb közös osztó a közös osztók közül a legnagyobb. A legkisebb közös többszörös a közös többszörösök közül a legnagyobb. 0-nak 0 az ellentettje. –3-nak +3 az ellentettje. Két azonos előjelű, nem nulla szám szorzata biztosan pozitív. c) Ha az egész szám számjegyeinek összege osztható 3-mal, akkor a szám is osztható 3-mal. Ha az utolsó két számjegyből képzett szám osztható 4-gyel, akkor a szám is osztható 4-gyel. Ha egy szám osztható 6-tal, akkor a számjegyeinek összege osztható 3-mal és páros számjegyre végződik. Ha egy szám osztható 6-tal, akkor osztható 12-vel is. Ha egy szám osztható 5-tel, akkor 0-ra vagy 5-re végződik. Megoldás: A hamis állítások: a) A 0 összetett szám. b) A legkisebb közös többszörös a közös többszörösök közül a legnagyobb. c) Ha egy szám osztható 6-tal, akkor osztható 12-vel is. 2 Hány 60 és hány –60 eredményű művelet található az alábbiak között? (–2) ⋅ (–30); (–2) ⋅ (–3) ⋅ (–10); (+180) : (–3); (–5) ⋅ (–12) ⋅ (–1); (–720) : (+4) : (–3); (+5) ⋅ (–2) ⋅ (–6); (+30) ⋅ (+8) : (–4); (–1) ⋅ (–1) ⋅ (+60). Megoldás: +60: 4 db.  –60: 4 db. 3 Végezd el a következő műveleteket! (–15) ⋅ (+4) : (–5); [(+180) : (–15)] ⋅ [(–50) : (–25)];

(–120) : [(–4) ⋅ (+6)]; (–3) ⋅ (–3) ⋅ (–3) ⋅ (–3).

Megoldás: (–15) ∙ (+4) : (–5) = 12; (–120) : [(–4) ∙ (+6)] = 5; [(+180) : (–15)] ∙ [(–50) : (–25)] = –24; (–3) ∙ (–3) ∙ (–3) ∙ (–3) = 81.

ͯͭ

14.

ÖSSZEFOGLALÁS

4 Osztható-e 2-vel, 4-gyel, 8-cal? a) 421 658; b) 991 944;

c) 51 848;

d) 66 356.

c) Osztható: 2, 4, 8.

d) Osztható: 2, 4.

c) 456 125;

d) 456 750.

Megoldás: a) Osztható: 2.

b) Osztható: 2, 4, 8.

5 Osztható-e 5-tel, 25-tel, 125-tel? a) 56 705; b) 5 678 450; Megoldás: a) Osztható: 5. c) Osztható: 5, 25, 125.

b) Osztható: 5,25. d) Osztható: 5, 25, 125.

6 Osztható-e 3-mal, 9-cel? a) 68 895; b) 456 798;

c) 1 134 567;

d) 76 222.

c) Osztható: 3.

d) Osztható: –.

c) 51 845;

d) 66 420.

c) Osztható: –.

d) Osztható:6, 12, 15.

Megoldás: a) Osztható: 3, 9.

b) Osztható: 3.

7 Osztható-e 6-tal, 12-vel, 15-tel? a) 547 632; b) 345 645; Megoldás: a) Osztható: 6, 12. 8

b) Osztható: 15.

Egy számról tudjuk, hogy biztosan osztható 12-vel. Milyen számokkal osztható még biztosan?

Megoldás: 1, 2, 3, 4, 6. 9

Mivel osztható biztosan az a szám, amely számjegyeinek összege 27 és 0-ra végződik?

Megoldás: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90. 10

Egy számról tudjuk, hogy az utolsó két számjegyéből álló szám 20. Mivel osztható biztosan?

Megoldás: 1, 2, 4, 5, 10, 20.

ͯͮ

ÖSSZEFOGLALÁS

14.

11 Határozd meg az alábbi természetes számok prímtényezős felbontását! Melyek prímszámok? a) 1; b) 31; c) 57; d) 0; e) 39; f) 180; g) 1024; h) 1080. Megoldás: a) b) c) d) e) f) g) h)

1; 31; 3 ∙ 19; Nincs. A prímtényezős felbontás pozitív egész számokra vonatkozik. 3 ∙ 13; 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5; 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2; 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5.

12 Határozd meg a természetes számok osztóit, és írd fel három darab többszörösüket! a) 6; b) 9; c) 24; d) 50. Megoldás: a) b) c) d)

1, 2, 3, 6. Töbszörösök: 12, 18, 24. 1, 3, 9. Töbszörösök: 9, 18, 27, 36. 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Töbszörösök: 24, 48, 72, 96. 1, 2, 5, 10, 25, 50. Töbszörösök: 50, 100, 150, 200.

13 Határozd meg a két szám legkisebb közös többszörösét! a) [5; 4]; b) [9; 6]; c) [50; 250];

d) [24; 86].

Megoldás: a) 20;

b) 18;

c) 250;

14 Határozd meg a két szám legnagyobb közös osztóját! a) (6; 1); b) (9; 27); c) (6; 82);

d) 1032. d) (231; 132).

Megoldás: a) 1;

b) 9;

c) 2;

d) 33.

15 Két futó edz a körpályán. Egyszerre indultak. Az egyik 10 percenként két kört tesz meg, a másik pedig 3 kört. Indulás után mikor haladnak át először egyszerre az indulási helyen? Megoldás: 10 percnél.

ͯͯ

14.

ÖSSZEFOGLALÁS

16 A csempéző kisiparos kétféle csempét használ. A piros csempe 25,6 cm, a sárga 12,8 cm hosszú. Milyen hosszú falrészt fednek le a következő minták? a)

; ;

b) 

.

c) Megoldás: a) 25,6 ∙ 6 + 12,8 ∙ 3 = 192 cm; b) 25,6 ∙ 4 + 12,8 ∙ 9 = 217,6 cm; c) 25,6 ∙ 7 + 12,8 ∙ 5 = 243,2 cm. 17

a) b) c) d)

Készíts 2-vel osztható négyjegyű számokat ezekből a számkártyákból! Készíts 5-tel osztható négyjegyű számokat ezekből a számkártyákból! Készíts 3-mal osztható négyjegyű számot ezekből a számkártyákból! Készítsd el a 3-mal osztható összes háromjegyű számot ezekből a számkártyákból!

Megoldás: a) b) c) d)

3560, 3650, 5360, 5630, 6350, 6530, 3056, 3506, 5036, 5306. 3065, 3605, 6035, 6305, 3560, 3650, 5360, 5630, 6350, 6530. Nem lehet. 630, 360, 603, 306.

A tervezett út második megállója körül keringtek. Az égbolton a csillagok szokatlan alakzatokba álltak össze, némelyiknek tegnap már nevet is adtak. Attila és Zsombi a panorámaablak előtt vitatkozott. Panni érdeklődve kapcsolódott be, mivel a két iú beszélgetése legtöbbször valamilyen érdekes tudományos felvetés körül forogott, Zsombort egyébként is különösen kedvelte . – Mi a gond? – mosolygott Panni várakozóan. – Látod az ablakon a tükröződést? – kérdezte Attila. – Persze, idebent világos van, odakint sötét, az üveg tükörként működik – bólintott Panni. – És nem látsz semmi furcsaságot? – irtatta Zsombi még mindig az üveget bámulva. Panni megvonta a vállát. – Itt vagy te, Atis meg én… minek kéne furcsának lennie? – A tükröződésnél mindig oldalt cserélünk. Én itt vagyok, te ott tükröződsz, ahol Atis áll, én meg a másik oldalon. Mintha itt nem lennének érvényesek a szabályok. – Lehetséges – bólintott Panni – mivel ez a Geometria bolygó, lehet, hogy körülöttünk kavarognak a szabályok, és csak azután kerül minden a helyére, ha leszálltunk. Vagy akkor sem. – Talán jobb lenne, ha nem néznénk a tükröződést, – aggodalmaskodott Zsombor – a végén nem fogjuk tudni, hogy valójában a tükör melyik oldalán állunk.

1.

HOSSZÚSÁG, TÖMEG, IDŐ

Feladatok 1 a) b) c)

Keresd az egyenlőket! 0,18 km 180 cm 2,4 t 240 kg 3,6 h 3600 s

180 m 24 000 dkg 216 perc

1800 mm; 2 400 000 g; 0,216 nap.

Megoldás: a) 0,18 km = 180 m b) 2,4 t = 2 400 000 g c) 3,6 h = 216 perc. 2 a) e) i)

180 cm = 1800 mm; 240 kg = 24 000 dkg;

Add meg méterben a következő hosszúságokat! 48 000 mm; b) 18 300 mm; c) 700 cm; 650 dm; f) 1200 dm; g) 4 km; 2,3 km; j) 0,2 km; k) 0,06 km;

d) 670 cm; h) 19 km; l) 0,25 km.

Megoldás: a) 48 m; e) 65 m; i) 2300 m; 3 a) e) i)

b) 18,3 m; f) 120 m; j) 200 m;

c) 7 m; g) 4000 m; k) 60 m;

Add meg centiméterben a következő hosszúságokat! 150 mm; b) 1880 mm; c) 92 dm; 980 m; f) 6,1 m; g) 0,07 km; 13 mm; j) 270 dm; k) 4,28 m;

d) 6,7 m; h) 19 000 m; l) 250 m. d) 46 dm; h) 1,1 km; l) 0,72 km.

Megoldás: a) 15 cm; e) 98 000 cm; i) 1,3 cm; 4 a) e) i)

b) 188 cm; f) 610 cm; j) 2700 cm;

c) 920 cm; g) 7000 cm; k) 428 cm;

Add meg deciméterben a következő hosszúságokat! 1800 mm; b) 7710 mm; c) 900 cm; 20 m; f) 0,9 m; g) 2 km; 0,3 mm; j) 1,8 cm; k) 0,35 m;

d) 460 cm; h) 110 000 cm; l) 72 000 cm. d) 860 cm; h) 0,02 km; l) 0,043 km.

Megoldás: a) 18 dm; e) 200 dm; i) 0,003 dm;

ͯͲ

b) 77,1 dm; f) 9 dm; j) 0,18 dm;

c) 90 dm; g) 20000 dm; k) 3,5 dm;

d) 86 dm; h) 200 dm; l) 430 dm.

HOSSZÚSÁG, TÖMEG, IDŐ 5 Mérd meg, hogy milyen hosszú az ábrán látható vonal! Add meg milliméterben, centiméterben és deciméterben is a hosszát! Hány milliméterrel rövidebb ennél az A és B pontot összekötő szakasz hossza?

1. B

A

Megoldás: A vonal hossza szakaszonként mérve: 20 + 14 + 24 + 8 + 22 + 20 = 108 mm = 10,8 cm = 1,08 dm. Az AB szakasz hossza 7,7 cm. Ez 31 milliméterrel rövidebb, mint az ábrán látható vonal. 6 Még napjainkban is találkozhatunk az inch (hüvelyk, col) hosszúságegységgel, bár már nincs az elfogadott egységek között. Tudjuk, hogy 1 inch = 1 hüvelyk = 1 col = 2,54 cm. a) Egy televízió tájékoztató füzetében olvasható, hogy képernyőjének átlója 26 col. Hány centimétert jelent ez? A tietek otthon nagyobb vagy kisebb ennél? b) A kerékpár kerékátmérőjét a használó testmagasságához kell választani. Ezzel kapcsolatban a következő táblázatot találtuk: testmagasság (cm) javasolt kerékátmérő (inch) 75–90 12  90–110 14 110–120 16 120–135 20 135–150 24 Add meg milliméterben az egyes kategóriákhoz tartozó kerékátmérőket! Neked mekkora kerékátmérőjű bicaj ajánlott? c) A mesebeli Hüvelyk Matyi nagyon kicsi volt. Hány centiméter magas Nagy Matyi, ha 68 hüvelyk a magassága?

Megoldás: a) 26 col = 26 ∙ 2,54 cm = 66,04 cm. b) testmagasság (cm) 75–90  90–110 110–120 120–135 135–150 c) 68 hüvelyk = 68 ∙ 2,54 cm = 172,72 cm.  7 Váltsd át grammra! a) 15 dkg; b) 501 dkg; e) 0,03 t; f) 0,002 t;

javasolt kerékátmérő (inch) 12 14 16 20 24

javasolt kerékátmérő (cm) 30,48 35,56 40,64 50,80 60,96

c) 98 kg; g) 8300 mg;

d) 7,9 kg; h) 200 mg.

c) 9800 g; g) 8,3 g;

d) 7900 g; h) 0,2 g.

Megoldás: a) 150 g; e) 30000 g;

b) 5010 g; f) 2000 g;

ͯͳ

1.

HOSSZÚSÁG, TÖMEG, IDŐ

 8 Váltsd át kilogrammra! a) 7000 g; b) 72 000 g; e) 211 000 mg; f) 303 300 mg;

c) 29 500 dkg; g) 12 t;

d) 2200 dkg; h) 2,1 t.

c) 295 kg; g) 12000 kg;

d) 22 kg; h) 2100 kg.

Megoldás: a) 7 kg; e) 0,211 kg;

b) 72 kg; f) 0,3033 kg;

 9 A 140 grammos csokoládékat 12-esével csomagolják. Egy bolt 45 csomaggal rendelt belőle. Hány kilogramm lesz ez? (A csomagolás tömege elhanyagolható.) Megoldás: 140 ∙ 12 ∙ 45 = 75 600 g = 75,6 kg. 10 Egy kis boltban 30 grammos csomagokban fűszerkeverék, 12 grammos csomagokban pedig zöldbors kapható. Összesen 25 csomag van a polcon. a) Milyen határok között mozoghat a 25 csomag tömege? Add meg dekagrammban! b) Ha ezek tömege összesen 73,2 dkg, akkor melyikből mennyi van a polcon? Megoldás: a) Legalább 25 ∙ 12 = 300 g, illetve legfeljebb 30 ∙ 25 = 750 g lehet a 25 csomag tömege. b) A 2 tized végződés miatt zöldbors is biztosan van a polcon (1, 6, 11, … db). Ha egy csomag van belőle a polcon, akkor pont megkapjuk a feladatbeli össztömeget (24 ∙ 30 + 1 ∙ 12 = 732). Tehát 1 csomag zöldbors és 24 csomag fűszerkeverék van a polcon. 11 A következő mennyiségeket add meg másodpercben, percben és órában! a) 5 h; b) 25 h; c) 90 perc; d) 130 perc; e) 5400 s; f) 1800 s; g) 0,5 h; h) 0,25 h. Megoldás: a) 5 h = 300 perc = 18 000 s. b) 25 h = 1500 perc = 90 000 s. c) 90 perc = 5400 s = 1,5 h. 13 h. d) 130 perc = 7800 s = 6 e) 5400 s = 90 perc = 1,5 h . f) 1800 s = 30 perc = 0,5 h. g) 0,5 h = 1800 s = 30 perc. h) 0,25 h = 15 perc = 900 s.

ͯʹ

HOSSZÚSÁG, TÖMEG, IDŐ

1.

12 Edelényben felújították a kastélyt – olvashattuk, hallhattuk a híradásokban. Szeretnénk vonattal Budapestről Edelénybe utazni. A http://www.mav-start.hu/ oldalról megtudtuk, hogy az indulási időpont 8:30, az érkezés 11:43. Hány percet töltünk vonaton, ha a menetrend szerint Miskolcon 39 percünk lesz az átszállásra? Megoldás: Az indulási és az érkezési időpont között 3 óra és 13 perc telik el, ebből 39 percet kivonva megkapjuk, hogy a vonaton töltött idő menetrend szerint 2 óra és 34 perc. 13 A pékségben fél kilogrammos, 750 grammos és 1 kilogrammos kenyereket árulnak. Az egyik boltba 20, 24 és 40 darabot rendeltek, csak elfelejtettük, hogy melyikből mennyit. a) Minimum hány kilogramm kenyeret kell a boltba szállítanunk, hogy a rendelést a helyszínen teljesíteni tudjuk? b) Hány kilogramm lehetett a megrendelt mennyiség? Megoldás: a) Minden kenyérféléből 40-40 darabot kell szállítani, hogy a rendelést teljesíteni lehessen. Ez összesen 40 ⋅ 0,5 + 40 ⋅ 0,75 + 40 ⋅ 1 = 90 kg pékárut jelent. b) A rendelt mennyiség legalább: 40 ⋅ 0,5 + 24 ⋅ 0,75 + 20 ⋅ 1 = 58 kg, legfeljebb: 20 ⋅ 0,5 + 24 ⋅ 0,75 + 40 ⋅ 1= 68 kg. A lehetséges közbülső értékek: 40 ⋅ 0,5 + 20 ⋅ 0,75 + 24 ⋅ 1 = 59 kg; 24 ⋅ 0,5 + 40 ⋅ 0,75 + 20 ⋅ 1 = 62 kg; 24 ⋅ 0,5 + 20 ⋅ 0,75 + 40 ⋅ 1 = 67 kg; 20 ⋅ 0,5 + 40 ⋅ 0,75 + 24 ⋅ 1 = 64 kg. Vagyis a rendelt mennyiség 58, 59, 62, 64, 67 vagy 68 kg lehetett.

ͯ͵

2.

TERÜLET, TÉRFOGAT

Feladatok 1 Párosítsd a mérőszámokat a mértékegységekkel úgy, hogy három egyenlő mennyiséget kapj! 60 0,6 6000 cm² dm² m² Megoldás: 0,6 m2 = 60 dm2 = 6000 cm2. 2 Válogasd szét két halmazba a következő mértékegységeket! liter hektár négyzetméter deciliter négyszögöl milliliter ár Megoldás: Például: Űrmértékek: liter, deciliter, milliliter. Terület mértékegységek: hektár, négyzetméter, négyszögöl, ár. Tetszőleges értelmes csoportosítás jó lehet. 3 Add meg négyzetmilliméterben! a) 3 cm2; b) 15 cm2; e) 8 m2; f) 29 m2;

c) 7 dm2; g) 0,012 m2;

d) 125 dm2; h) 1,65 m2.

c) 70 000 mm2; g) 12 000 mm2;

d) 1 250 000 mm2; h) 1 650 000 mm2.

c) 120 000 cm2; g) 330 000 mm2;

d) 85 000 cm2; h) 820 000 000 mm2.

c) 12 m2; g) 0,33 m2;

d) 8,5 m2; h) 820 m2.

c) 87 m2; g) 11 ha; k) 920 m2;

d) 26 m2; h) 0,005 ha; l) 0,012 m2.

c) 8700 dm2; g) 11 000 000 dm2; k) 92000 dm2;

d) 2600 dm2; h) 5000 dm2; l) 1,2 dm2.

Megoldás: a) 300 mm2; e) 8 000 000 mm2;

b) 1500 mm2; f) 29 000 000 mm2;

4 Add meg négyzetméterben! a) 5200 dm2; b) 13 400 dm2; 2 e) 0,000 02 km ; f) 0,000 035 km2; Megoldás: a) 52 m2; e) 20 m2; 5 a) e) i)

b) 134 m2; f) 35 m2;

Add meg négyzetdeciméterben! 5000 cm2; b) 660 cm2; 5 ár; f) 0,6 ár; 2 17 m ; j) 0,3 m2;

Megoldás: a) 50 dm2; e) 50 000 dm2; i) 1700 dm2;

Ͱͬ

b) 6,6 dm2; f) 6000 dm2; j) 30 dm2;

TERÜLET, TÉRFOGAT

2.

6 Rakd területük alapján növekedő sorrendbe a következő újsághirdetésekben szereplő telkeket! a) Pest megyében Budapesthez közel 2500 nm-es telek elfogadható áron eladó. b) Miskolctól 20 km-re 1600 négyszögöles építési telek eladó. Érdeklődni a megadott telefonszámon lehet. c) Debrecenben, csöndes, nyugodt környezetben, félhektáros telken lakások eladók. Megoldás: A pest megyei telek mérete 2500 m2. A miskolci telek mérete 1600 ⋅ 3,6 = 5760 m2. A debreceni telek mérete 0,5 ha = 5000 m2. Tehát a pest megyei hirdetésben szerepel a legkisebb, a debreceniben a középső és a miskolciban a legnagyobb méretű telek. 7 A 3,6 km2 nagyságú földön elkezdték a szántást. Az első napon 450 000 m2-t, a második napon 48 hektárt sikerült felszántani. a) Mennyit kell még szántani a második nap után? b) Ha hat nap alatt szeretnék befejezni a munkát, akkor a további napokon átlagosan hány hektárral kellene végezni? c) Hány km2 lesz a hat napra vonatkoztatott napi átlagos felszántott terület, ha a hat nap alatt elkészülnek a teljes munkával? Megoldás: a) Számoljunk hektárban! A hátralévő terület 360 – 45 – 48 = 267 ha. 267 = 66,75 hektárral kellene végezni. b) A maradék négy napon átlagosan 4 c) A hat napra vonatkoztatott napi átlagos felszántott terület 3,6 : 4 = 0,9 km2. 8 Add meg köbmilliméterben! a) 3 cm3; b) 7 cm3; e) 2 liter; f) 0,3 liter;

c) 2 dm3; g) 1,4 dl;

d) 5 dm3; h) 150 ml.

c) 2 000 000 mm3; g) 1 400 000 mm3;

d) 5 000 000 mm3; h) 150 000 mm3.

c) 1,5 m3; g) 0,6 liter; k) 1700 liter;

d) 0,1 m3; h) 0,4 hl; l) 0,04 hl.

c) 15000 dl; g) 6 dl; k) 17000 dl;

d) 1000 dl; h) 400 dl; l) 40 dl.

Megoldás: a) 3000 mm3; e) 2 000 000 mm3; 9 a) e) i)

b) 7000 mm3; f) 300 000 mm3;

Add meg deciliterben! 4 dm3; b) 12 dm3; 3 18 000 mm ; f) 0,06 m3; 72 liter; j) 480 hl;

Megoldás: a) 40 dl; e) 0,18 dl; i) 720 dl;

b) 120 dl; f) 600 dl; j) 480000 dl;

Ͱͭ

2.

TERÜLET, TÉRFOGAT

10 Egy építkezés megkezdésekor az alap kiásása során 16 000 m3 földet kell elszállítani. Négy darab 4 m3-es és nyolc darab 6 m3-es rakodórésszel rendelkező teherautó végzi a munkát. Hányszor kell fordulni a tizenkét teherautónak, hogy a földet elszállítsák? Megoldás: A tizenkét teherautó egy forduló alatt 4 ⋅ 4 + 6 ⋅ 8 = 64 m3 földet szállít el. 16 000 = 250 forduló szükséges. Az összes föld elszállításához 64 11 Három üvegben összesen 28 dl szörp volt, de az elsőből már elfogyott 0,2 liter bodza-, a másodikból 30 cl eper-, a harmadikból 200 ml málnaszörp. Így most mindegyik üvegben ugyanannyi maradt. Mennyi szörpöt tartalmaztak eredetileg az üvegek? Megoldás: Ha most ugyanannyi szörp van az üvegekben, akkor ez a 28 – 2 – 3 – 2 = 21 dl egyharmada, azaz üvegenként 7 dl. Vagyis az első üvegben 9 dl, a másodikban 10 dl és a harmadik üvegben 9 dl szörp volt eredetileg. 12 Két téglalap alaprajzú, 8 méter hosszú teremnek 160 m3 a légtere. Az egyik 3 méter, a másik 3,5 méter magas. a) Melyik teremnek nagyobb az alapterülete és mennyivel? b) Melyik terem kifestéséhez kell több festék? Mennyivel nagyobb a kifestendő terület, ha az ajtók és az ablakok felszínének összege mindkettőnél ugyanakkora? Megoldás: 160 20 20 160 = m, alapterülete pedig ⋅8= ≈ 53,3 m2. 8⋅3 3 3 3 160 40 40 320 = m, alapterülete pedig ⋅8= ≈ 45,7 m2. A magasabb terem szélessége 8 ⋅ 3,5 7 7 7 Az alacsonyabb terem alapterülete a nagyobb 53,3 – 45,7 = 7,6 négyzetméterrel.

a) Az alacsonyabb terem szélessége

b) A festéshez a plafon és az oldalfalak területének összegét számoljuk ki. (A plafon egyenlő az alapterülettel.) 160 20 +2⋅8⋅3+2⋅ ⋅ 3 ≈ 141,3 m2. Aalacsonyabb = 3 3 320 40 + 2 ⋅ 8 ⋅ 3,5 + 2 ⋅ ⋅ 3,5 ≈ 141,7 m2. Amagasabb = 7 7 Tehát a magasabb terem kifestendő felülete 0,4 négyzetméterrel nagyobb, mint az alacsonyabb teremé. 13 Egy csomag magyar kártya (32 lapból áll) vastagsága 8 mm. Egy lap 9 cm-szer 5,8 cm-es. Fejezd ki köbcentiméterben egy kártyalap térfogatát! Megoldás: A kártyapakli térfogata 9 ⋅ 5,8 ⋅ 0,8 = 41,76 cm3. Egy kártyalap térfogata pedig 41,76 : 32 = 1,305 cm3.

Ͱͮ

ALAKZATOK SÍKBAN, TÉRBEN

3.

Feladatok 1 Mekkora a hiányzó harmadik szög nagysága, ha α + β + γ = 180°? a) β = 69°, γ = 82°; b) α = 22° 36’, γ = 48° 45’; c) α = 52° 52’, β = 43° 41’; d) α = 42° 55’ 54”, β = 29° 43’ 21”. Megoldás: a) α = 29°; c) γ = 83° 27’; 2

b) β = 108° 39’; d) γ =107° 20’ 45”.

Tudjuk, hogy α = 27° 42’ és α + β tompaszög. Milyen határok között mozoghat β?

Megoldás: Ha a β = 62° 18’, akkor az összegük derékszög, ha a β = 152° 27’, akkor az összegük egyenesszög. Vagyis: 62° 18’ < β < 152° 27’. 3 A 360°-ot egyenlő hegyesszögekre vágtuk. Mekkora lehet a legnagyobb hegyesszög, amit így kaphattunk? Megoldás: Ha négyfelé vágjuk, akkor derékszögeket kapunk, ezért legalább ötfelé kell vágnunk a teljesszöget, ami 72°-os hegyesszögeket jelent. Ez a lehető legnagyobb hegyesszög. 4 Mekkora az α kiegészítő szöge, ha α = a) 28° 42’; b) 54° 13’;

c) 22° 55’ 44”;

d) 12° 34’ 56”?

c) 157° 4’ 16’’;

d) 167° 25’ 4’’.

Megoldás: a) 151° 18’;

b) 125° 47’;

5 Hogyan nevezhetjük azt a háromszöget, amelyben két szög nagysága: a) α = 62°, β = 28°; b) α = 45°, β = 90°; c) α = 52° 51’, β = 50° 37’; d) α = 42° 13’, β = 41° 39’? Megoldás: a) γ = 90°, derékszögű háromszög; c) γ = 76° 32’, hegyesszögű háromszög;

b) γ = 45°, egyenlő szárú, derékszögű háromszög; d) γ = 96° 8’, tompaszögű háromszög.

Ͱͯ

4.

HÁROMSZÖGEK EGYBEVÁGÓSÁGA

Feladatok 1 a) b) c) d) e)

Keresd meg a hamis állítást! A háromszöget egyértelműen meghatározza három oldala. A háromszöget egyértelműen meghatározza három szöge. A háromszöget egyértelműen meghatározza két oldala és a közbezárt szöge. A háromszöget egyértelműen meghatározza egy oldala és a rajta fekvő két szöge. A háromszöget egyértelműen meghatározza két oldala és a hosszabb oldallal szemközti szöge.

Megoldás: Hamis állítás: b) 2 Két egyenlő szárú háromszög alapja egyenlő hosszúságú. Melyik adatuk egyenlősége kell még, hogy egybevágóak legyenek? Megoldás: Például a szárak, vagy az alapon fekvő szögük, vagy a szárak által bezárt szögük egyenlősége kell az egybevágósághoz. 3 Két derékszögű háromszög egybevágó, ha a leghosszabb oldaluk hossza egyenlő, és van azonos nagyságú hegyesszögük? Megoldás: Igen. 4 Rajzoltam két háromszöget. Mivel egy-egy oldaluk hossza megegyezik, ezért egybevágóak. Milyen háromszögeket rajzolhattam? Megoldás: Ez az állítás csak két szabályos háromszög esetén lehet biztosan igaz. 5 Határozd meg a hiányzó szögek nagyságát abban a háromszögben, amelynek van két 4 cm-es oldala, és van 30°-os szöge! Megoldás: Két eset lehetséges. 180° – 30° = 75° nagyságúak. 2 II. Ha az alapon fekvő szögek 30°-osak, akkor a szárak által bezárt szög 180° – 2 ⋅ 30° = 120° nagyságú.

II. Ha a szárak által bezárt szög 30°-os, akkor az alapon fekvő szögek

6 Egy konvex négyszög oldalainak a hossza: a = 1,5 cm, b = 3 cm, c = 4 cm és d = 4 cm. Az egyik átlója mentén két egyenlő szárú háromszögre vágható szét. Milyen hosszú lehet ez az átló? Megoldás: Ha a 4 cm hosszú oldalak találkozásából indul, akkor 4 cm hosszú az átló, ha pedig a 4 és 3 cm hosszú oldalak találkozásból indul, akkor 3 cm hosszú az átló.

ͰͰ

HÁROMSZÖGEK EGYBEVÁGÓSÁGA

4.

7 Rajzoltunk egy háromszöget. Van egy 7 cm és egy 8 cm hosszúságú oldala, és van egy 60 fokos szöge. Ha te is rajzolsz egy ilyen háromszöget, akkor a két háromszög biztosan egybevágó lesz? Válaszodat rajzzal szemléltesd! Megoldás: Nem biztos, hogy egybevágó lesz a két háromszög.

8 Mérd meg az ábrán látható háromszögek oldalainak hosszát! Melyik pár egybevágó? Hány oldalpár hosszát kellett megmérned? a)

b) 40°

40°

c)

d) 30°

30° 45°

45°

60° 60°

Megoldás: a) A két háromszög egybevágó. Mindhárom oldalpár hosszát meg kellett mérni. b) A két háromszög egybevágó. Elegendő két oldalpár hosszát megmérni. (A megadott szög száraira illeszkedőket.) c) A két háromszög egybevágó. Elegendő egy oldalpár hosszát megmérni. (Például a nem megadott szöggel szemköztit.) d) A két háromszög nem egybevágó. Mérés nélkül is jól látható.

Ͱͱ

5.

KÖR ÉS A HOZZÁ KAPCSOLÓDÓ FOGALMAK

Feladatok 1 Rajzolj egy kört és egy egyenest! Hány lényegesen különböző ábrát tudsz készíteni? Szavakkal nevezd el az ábráid fontos szereplőit! Megoldás:

2 Rajzolj két kört! Hány lényegesen különböző ábrát tudsz készíteni? Az ábráidon jelöld (ha van) az érintési pontot, a metszéspontot! Megoldás:

3 Rajzolj a füzetedbe egy 3 cm sugarú kört! A körvonalon jelölj egy A pontot! Hány olyan A végpontú húr van a körben, amelyiknek a hossza centiméterben mérve egész szám? Készítsd el az ábrát! Színezéssel szépítheted is! Megoldás:

11 ilyen húr van.

ͰͲ

KÖR ÉS A HOZZÁ KAPCSOLÓDÓ FOGALMAK

5.

4 Rajzolj egy K középpontú kört és két olyan KA és KB sugarat, amelyek 30°-os szöget zárnak be egymással! Rajzold meg az A pontra illeszkedő érintőt is! Ez az érintő a KB egyenest egy P pontban metszi. a) Mi a neve az AB egyenesnek, AB szakasznak, AP egyenesnek, AP szakasznak? b) Mekkora az APK szög? Megoldás:

a) Az AB egyenes szelő, az AB szakasz húr, az AP egyenes érintő, az AP szakasz érintőszakasz. b) Az APK szög 60° nagyságú, mert az AKP háromszög derékszögű, és a másik hegyesszöge 30°-os. 5 A vázlatrajz egy kör alakú medencét és a környezetét mutatja felülnézetben. Panka és Janka két egyenes útvonal C metszéspontjában beszélgetnek. Később Janka a CA és AE útvonalon, Panka pedig a CB és BE útvonalon elsétál a medence széléhez. Véleményed szerint melyikük útvonala a hosszabb? Megoldás:

D

A

C

E

K

B F

Tudjuk, hogy CD = CF, AD = AE, BF = BE, mert egy külső pontból a körhöz húzott érintőszakaszokról van szó. Panka útja: CA + AE = CA + AD = CD. Janka útja: CB + BE = CB + BF = CF. Vagyis egyenlő hosszúságú útvonalon sétáltak a medencéhez.

Ͱͳ

6.

TENGELYES TÜKRÖZÉS

Feladatok 1 Másold át a füzetedbe az ábrákat! Rajzold meg szabadkézzel a síkidomok csúcsainak tükörképeit! A tükörképként kapott pontokat kösd össze a megfelelő sorrendben! t1

t2

t3

t4

Megoldás:

2 Másold át a füzetedbe az ábrákat! Rajzold meg szabadkézzel a síkidomok csúcsainak tükörképeit! A tükörképként kapott pontokat kösd össze a megfelelő sorrendben! t1

Megoldás:

Ͱʹ

t2

t3

t4

TENGELYES TÜKRÖZÉS

6.

3 Rajzolj egy háromszöget! Vegyél fel egy tengelyt az egyik csúcsán át! A tengely ne vágjon bele a háromszögbe! Szerkeszd meg a háromszög három csúcsának tükörképét! A tükörképeket kösd össze! Megoldás:

4 Rajzolj a füzetedbe egy A, B és egy A’ pontot. a) Szerkeszd meg a tengelyt, ha tudod, hogy az A pont képe az A’! b) Szerkeszd meg a B pont képét! Megoldás:

5 Adott a t egyenes és a rá nem illeszkedő B’ pont. Szerkeszd meg a B pontot, ha tudod, hogy a t tengelyre vett tükörképe a B’! Megoldás:

Ͱ͵

6.

TENGELYES TÜKRÖZÉS

6 Rajzolj egy négyzetet! Vegyél fel egy tengelyt az egyik csúcsán át! A tengely ne vágjon bele a négyzetbe! Szerkeszd meg a négyzet négy csúcsának tükörképét! A tükörképeket kösd össze! Megoldás:

7

Szerkessz egy négyzetet és minden oldalra kifelé egy-egy szabályos háromszöget!

Megoldás:

ͱͬ

A TENGELYES TÜKRÖZÉS TULAJDONSÁGAI

7.

Feladatok 1 Rajzolj egy téglalapot és tükrözd a) a rövidebb oldalegyenesére; b) a hosszabb oldalegyenesére; c) az átló egyenesére; d) egy tetszőleges, a középpontjára illeszkedő egyenesre! Megoldás: a)

b)

c)

d)

2 Szerkeszd meg a tükörképét a) egy félkörnek; b) egy negyed körnek! Megoldás:

     3 Szerkeszd meg egy négyzet tükörképét, ha a tengely illeszkedik a) két szomszédos oldal; b) két szemközti oldal felezőpontjára! Megoldás: a)

b)

ͱͭ

7.

A TENGELYES TÜKRÖZÉS TULAJDONSÁGAI

4 Kaphattuk-e tengelyes tükrözéssel az egyik síkidomból a másikat? a) b) c)

d)

e)

Megoldás: a) b) c) d) e)

Nem. Igen. Igen. Nem. Igen.

5 A négyzethálón egy alakzat részletét látod. A hiányzó résznek megadtuk a tengelyes tükörképét. Másold át a füzetedbe, és rajzold meg a teljes ábrát!

t

Megoldás:

6  Az ábrán látható két háromszög egymás tükörképe. Hogyan tudnád megszerkeszteni a tengelyt, ha csak vonalzód van? Megoldás: A három piros egyenes képe a megfelelő zöld egyenes. Ezek a párok a tengelyen metszik egymást. Két ilyen metszéspont már elegendő a tengely megszerkesztéséhez.

ͱͮ

A TENGELYES TÜKRÖZÉS TULAJDONSÁGAI

7.

7 Az ábrán látható két háromszög egymás tükörképe. Hogyan tudnád megszerkeszteni a tengely két pontját, ha csak körződ van? Megoldás: A háromszög egyik csúcsában és a képében két azonos sugarú, metsző kört szerkesztünk. A körök a tengelyen metszik egymást.

ͱͯ

8.

A TENGELYES TÜKRÖZÉS ALKALMAZÁSAI

Feladatok 1 a) c) e) g)

A következő állítások közül melyek igazak a deltoidra, és melyek a rombuszra? Van két egyenlő szöge. b) Van két egyenlő oldala. Van négy egyenlő oldala. d) Mindkét átlója szögfelező. Átlói merőlegesek egymásra. f) Átlói felezik egymást. Szemközti szögei egyenlőek. h) Az egyik átlója felezi a másikat.

Megoldás: deltoid: a); b); e); h). rombusz: a); b); c); d); e); f); g); h). 2

Rajzolj egy paralelogrammát! Tükrözd az egyik oldalegyenesére!

Megoldás:

3 A következő alakzatok közül melyek azok, amelyeken nem lehet észrevenni, ha tükrözzük őket egy függőleges tengelyre?

Megoldás:

4

Add meg azokat a nyomtatott nagybetűket, amelyek a tükörben nem változnak meg!

Megoldás: A nyomtatott nagybetűk: A, H, I, M, O, Ö, T, U, Ü, V, W, X, Y. 5

Add meg azokat a számjegyeket, amelyek a tükörben nem változnak meg!

Megoldás: A számjegyek: 0, 8.

ͱͰ

A TENGELYES TÜKRÖZÉS ALKALMAZÁSAI

9.

Feladatok 1 Az ábrákon két háromszög és egy egyenes látható. Melyik ábráról mondhatjuk, hogy az egyik háromszöget az egyenesre tükrözve a másik háromszöget kapjuk? b) c) d) a)

Megoldás: Csak a b) ábráról mondhatjuk. 2 Rajzold le a füzetedbe a következő alakzatot, majd tengelyes tükrözések egymásutánjával készíts sormintát! a) Melyek azok az ábrák, amelyek ugyanúgy állnak, mint az első? b) Melyek azok az ábrák, amelyek tükörképei az elsőnek? Hová kell tenni a tengelyt? Megoldás:

a) A harmadik, az ötödik és minden páratlan sorszámú ábra. b) A második, a negyedik és minden páros sorszámú ábra. A tengely függőleges, és két ábra közé, félúthoz kell tenni. 3

a) Melyek azok a digitális számjegyek, amelyeket úgy tudsz lerajzolni, hogy legyen szimmetriatengelyük? b) Készíts olyan többjegyű számot ezekkel a számjegyekkel, amelynek van szimmetriatengelye!

Megoldás: a)

b)

Például: 18081, 8018103, … .

Megjegyzés. A megadott példákban vízszintes tengelyek vannak. Tudunk olyan számot is készíteni, amelyikben függőleges a tengely. Gondoljunk arra, hogy a digitális 5 és 2 számjegy egymás tükörképe!

Például: 52, 285, 25025 stb.

ͱͱ

9. 4

TENGELYES SZIMMETRIA

a) Melyek azok a nyomtatott nagybetűk, amelyeket úgy tudsz lerajzolni, hogy legyen szimmetriatengelyük? b) Írj nyomtatott nagybetűkkel olyan szavakat, amelyeknek van szimmetriatengelyük!

Megoldás: a) A, B, C, D, E, H, I, K, M, O, Ö, T, U, Ü, V, W, X, Y (van, amelyiknek függőleges és van, amelyiknek vízszintes a szimmetriatengelye). b) Függőleges tengelyű: AHA, TAT, AMA, … . Vízszintes tengelyű: IBI, DECI, DOBOK, … . 5 Az emberek ősidők óta használják a tükrözést. Meg igyelhetjük ékszerek, edények, bútorok készítésénél, díszítésénél. Átlátszó papír segítségével készítsd el a füzetedben az ábrák másik felét is, hogy tengelyesen tükrösek legyenek!

Megoldás:

6

a) Készíts négyzetek és egy téglalap felhasználásával szimmetrikus ábrát! b) Készíts körvonalak segítségével szimmetrikus ábrát!

Megoldás: a) Például:

b) Például:

ͱͲ

TENGELYES SZIMMETRIA 7

9.

Rajzolj olyan közlekedési táblákat, amelyek tengelyesen szimmetrikusak!

Megoldás:

8 Egy egyenes út mellett a mezőn két fa látható. Készíts egy térképvázlatot! Hogyan lehetne az útnak azt a pontját megtalálni a vázlatodon, amelytől mindkét fa egyenlő távolságra van? Megoldás: A két fa felezőmerőlegese jelöli ki az úton a kérdéses pontot.

9 Rajzolj két párhuzamos egyenest! Színezd pirossal azokat a pontokat, amelyek mindkét egyenestől ugyanolyan messze vannak! Megoldás:

ͱͳ

10.

TENGELYESEN SZIMMETRIKUS HÁROMSZÖGEK

Feladatok 1 Egy szimmetrikus háromszög egyik oldalának hossza 4 cm, a másik oldalának hossza pedig 3 cm. Mekkora lehet a háromszög harmadik oldalának a hossza? Szerkeszd meg a füzetedbe! Megoldás: Két eset van: 3 cm és 4 cm hosszú is lehet a harmadik oldal hossza.

2 Az egyenlő szárú háromszög két oldalának hossza 5 cm és 2 cm. Mekkora lehet a háromszög harmadik oldalának a hossza? Szerkeszd meg a füzetedbe! Megoldás: A harmadik oldal hossza csakis 5 cm lehet.

3 Megadunk a koordináta-rendszerben hat pontot: A(1; 2), B(2; 6), C(4; 1), D(4; –1), E(7; 4), F(7; –2). Válassz közülük hármat úgy, hogy azok egy egyenlő szárú háromszög csúcsai legyenek! Hány megfelelő ponthármast találtál? Megoldás: Két egyenlő szárú háromszög van: BCE és CEF.

ͱʹ

TENGELYESEN SZIMMETRIKUS HÁROMSZÖGEK 4

10.

Mekkorák lehetnek a szimmetrikus háromszög hiányzó szögei, ha az egyik szöge 56°-os?

Megoldás: Két eset van: II. Ha két 56°-os szöge van, akkor a harmadik 68°-os. II. Ha egy 56°-os szöge van, akkor a másik két szöge 62°-os. 5 Az ábrán látható szabályos háromszöget kilenc, illetve hat szabályos háromszögre vágtuk. Hogyan vágnál szét egy szabályos háromszöget nyolc szabályos háromszögre? Megoldás:

ͱ͵

11.

TENGELYESEN SZIMMETRIKUS NÉGYSZÖGEK, SOKSZÖGEK

Feladatok 1 a) b) c) d) e) f)

Lehet-e egy négyszög húrnégyszög és nem trapéz; húrnégyszög és rombusz; húrnégyszög és deltoid; deltoid és téglalap; téglalap és rombusz; rombusz és nem trapéz?

Megoldás: a) Igen.

b) c) d) e) f)

Igen. (Négyzet.) Igen. (Például: négyzet.) Igen. (Négyzet.) Igen. (Négyzet.) Nem. (Minden rombusz trapéz.)

2 Rajzolj olyan deltoidot, amelynek pontosan három szöge egyenlő nagyságú! Mekkora szögeket használtál? Megoldás:

Lehet például: 100°, 100°, 100°, 60°. 3

Egy deltoidnak egy 110°-os és egy 80°-os szöge van. Mekkorák lehetnek a hiányzó szögei?

Megoldás: Ha ez két szemközti szöge, akkor a maradék két szög 85°-os. Ha ez két szomszédos szöge, akkor lehetnek 80°, 110°, 80°, 90°, illetve 110°, 80°,110°, 60°-osak a deltoid szögei.

Ͳͬ

TENGELYESEN SZIMMETRIKUS NÉGYSZÖGEK, SOKSZÖGEK 4

11.

A húrtrapéz egyik szöge 55° 28’. Add meg a hiányzó szögeit!

Megoldás: A másik szög ennek a kiegészítő szöge, azaz 124° 32’. A húrtrapéz négy szöge: 124° 32’, 124° 32’, 55° 28’, 55° 28’. 5

Egy 3 cm oldalú rombusz egyik szöge fele egy másik szögének. Szerkessz ilyen rombuszt!

Megoldás: A két szomszédos szög egymás kiegészítő szöge. A feladat szövege szerint az egyik 60°, a másik 120° lesz.

6 a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)

Melyik igaz, melyik hamis? A deltoid szimmetriaátlója felezi a másik átlót. A deltoidnak van két-két szomszédos egyenlő hosszúságú oldala. Ha egy négyszögnek van szimmetriaátlója, akkor az deltoid. Ha egy négyszögnek nincs szimmetriaátlója, akkor az nem deltoid. A deltoidnak van két egyenlő szöge. Ha egy négyszögnek két szöge egyenlő, akkor az deltoid. Ha egy négyszögnek két-két oldala egyenlő hosszúságú, akkor az deltoid. Ha egy négyszög átlói merőlegesek egymásra, akkor az deltoid. Minden rombusz deltoid. Van olyan rombusz, ami nem deltoid.

Megoldás: a) Igaz; f) Hamis;

b) Igaz; g) Hamis;

c) Igaz; h) Hamis;

d) Igaz; i) Igaz;

e) Igaz; j) Hamis.

7 Az ábrán látható pontok közül válassz négyet, úgy, hogy azok a) téglalapot; y b) deltoidot; H D A c) rombuszt; d) húrtrapézt I alkossanak! E

Megoldás: a) b) c) d)

ABGH; EGIH; DGJI; BCFG.

B

G J

1 0 C

x

1 F

Ͳͭ

12.

SZERKESZTÉSEK

Feladatok 1

Rajzolj a füzetedbe egy szakaszt! Szerkesztéssel oszd négy egyenlő részre!

Megoldás:

2

Rajzolj a füzetedbe egy tompaszöget! Szerkesztéssel oszd négy egyenlő részre!

Megoldás:

3 Rajzolj egy egyenest, és végy fel rajta egy pontot! Szerkessz a pontban egy erre az egyenesre merőleges egyenest! Ezen az egyenesen is végy fel egy pontot, és ismét szerkessz a pontban erre az egyenesre is egy merőleges egyenest! Az első és a harmadik egyenesnek milyen helyzetűnek kell lennie? Megoldás: A válasz: párhuzamosak.

4 Az a és a b egyenes merőleges egymásra. Szerkessz egy merőleges egyenest a-ra és szerkessz egy másik merőleges egyenest b-re! Milyen síkidomot határoz meg a négy egyenes? Megoldás: A válasz: téglalapot.

Ͳͮ

SZERKESZTÉSEK

12.

5 Az a és a b egyenes párhuzamos egymással. Szerkessz egy merőleges egyenest a-ra és szerkessz egy másik merőleges egyenest b-re! Milyen síkidomot határoz meg a négy egyenes? Megoldás: A válasz: téglalapot.

6 Rajzolj a füzetedbe egy szöget három példányban! Szerkeszd meg a szög felét, negyedét és háromnegyedét! Megoldás: g

7

Rajzolj a füzetedbe három hegyesszöget, nevezd el őket: α, β, γ! Szerkeszd meg a következő szögeket: α+β+γ α β α β ; c)  +   + γ; d)  +   + γ. a) α + β + γ; b) 2 4 2 2 2 Megoldás:

a)

b)

c)

d)

Ͳͯ

12.

SZERKESZTÉSEK

8 Szerkeszd meg a következő szögeket: a) 30°; b) 15°; c) 22,5°;

d) 135°;

e) 120°;

f) 150°.

Megoldás: a) b) c) d) e) f)

60°-os szög szerkesztése és felezése. A 30°-os szög felezése. 90°-os szög szerkesztése, felezése és annak a felezése. 60° + 60° + 15°. 60° + 60°. 60° + 60° + 30°.

9 Szerkeszd meg a következő ábrák másolatait! a) b)

Megoldás: a) A kör középpontja és két szomszédos levélke csúcsa szabályos háromszöget ad. b) Két merőleges átmérő, majd ezek szögfelezőinek megszerkesztése a feladat. A kör kerületén kapott pontokból sorban merőlegest állítunk a következő átmérőre. 10 Figyeld meg az ábrák szerkezetét, majd szerkesztéssel másold át a füzetedbe őket! Tervezz te is ilyen mintákat! a) b)

Megoldás: a) A félkörök átmérőinek végei nyolcszöget alkotnak. Ezeket a pontokat az előző feladat b) részében látható módon megkaphatjuk. Utána a félkörök megfelelő íveit kell megszerkesztenünk. b) Egy kör két merőleges átlója által meghatározott négy sugár felezőpontjait megszerkesztjük. Ekkor a megfelelő félkörívek megrajzolhatók lesznek.

ͲͰ

ÖSSZEFOGLALÁS

13.

A következő feladatok mindegyikében csak egy helyes válasz van! 1 A: B: C: D: E:

A következő állításokat háromszögekről fogalmaztuk meg: Létezik olyan háromszög, amelyiknek két tompaszöge van. Egyenlő szárú háromszög csak a hegyesszögű háromszögek között található. Létezik olyan derékszögű háromszög, amelyikben a derékszögnél nagyobb és kisebb szög is van. Minden háromszögben van legalább két hegyesszög. Ha egy háromszögben a legkisebb szög hegyesszög, akkor az biztosan hegyesszögű háromszög.

Megoldás: A helyes válasz: D. 2 Melyik mennyiséget kell kihagynunk, hogy mindegyik ugyanannyi legyen? A: 21 600 másodperc; B: negyed nap; C: 6 óra; D: 36 000 másodperc; E: 360 perc. Megoldás: A helyes válasz: D. 3 Add meg a háromszög hiányzó szögét: 42° 30’, 58° 30’, …! A: 101°; B: 100°; C: 80°; D: 79°;

E: 60°.

Megoldás: A helyes válasz: D. 4 A: B: C: D: E:

A tengelyes tükrözés néhány tulajdonságát soroltuk fel. Melyik hibás? A tengellyel párhuzamos egyenes tükörképe is párhuzamos a tengellyel. A tengelyt metsző egyenes és képe a tengelyen metszik egymást. A tengelyre merőleges egyenes képe párhuzamos a tengellyel. Ha egy kör érinti a tengelyt, akkor a képe ugyanott érinti a tengelyt. Ha egy kör metszi a tengelyt, akkor a képe ugyanott metszi a tengelyt.

Megoldás: A helyes válasz: C. 5 Egy deltoid három csúcsa: (1; 1), (1; 5), (–2; 4). Melyik lehet a deltoid negyedik csúcsa? A: (–3; –1); B: (–3; 1); C: (3; 4); D: (–2; 8); E: (2; 4). Megoldás: A helyes válasz: B. 6 Egy rombusz három csúcsa: (1; 1), (1; 7), (0; 4). Melyik lehet a rombusz negyedik csúcsa? A: (–3; –1); B: (–3; 1); C: (3; 4); D: (–2; 8); E: (2; 4). Megoldás: A helyes válasz: E.

Ͳͱ

13.

ÖSSZEFOGLALÁS

7 Egy húrtrapéz három csúcsa: (1; 1), (1; 5), (–2; 4). Melyik lehet a húrtrapéz negyedik csúcsa? A: (–3; –1); B: (–3; 1); C: (3; 4); D: (–2; 8); E: (2; 4). Megoldás: A helyes válasz: E. 8 Egy négyszögben a szimmetriatengelyek száma nem lehet A: 0; B: 1; C: 2; D: 3; Megoldás: A helyes válasz: D.

ͲͲ

E: 4.

Panni felrázta a bóbiskoló Attilát. – Elromlott a központi számítógép – suttogta fojtott hangon, hogy a többieket fel ne riassza – már órák óta csak azt mutatja, hogy 100% és 99,999 999 99%. – Nem romlott el – morogta Atis a másik oldalára fordulva – a 100% a bolygó neve, a másik a megtett út, az előző start és a következő cél között. – Miért nem kilométerben mutatja, vagy fényévekben, vagy az eltelt órákban? – Tudja úgy is, de azt programoztam be, hogy a megtett távolság arányát mutassa, százalékos formában. Majd reggel átváltom neked. Ha akarod azt mutatja, hogy az eltelt idő az egésznek hány százaléka vagy azt, hogy az üzemanyagnak hányad részét használtuk el. Bármit meg tud mutatni… – nyögte Attila és a fejére húzta a fóka alakú párnát. Mikor felébredt, Panni büszkén mutatott a kijelzőre. – Nézd, játszottam vele reggel, és én is be tudtam állítani. Most azt mutatja, hogy a teljes távolság 6289 fényév, ebből megtettük szinte az egészet, és már csak az út 0,000 000 01 része van hátra. Ügyes vagy, mondta Attila kidörzsölve a maradék álmot a szeméből. Az a jó a FérExben, hogy az út nagyrészét szinte egy pillanat alatt tesszük meg, aztán a megközelítés vesz el még egy kicsi időt.

1.

AZ ARÁNY FOGALMA

Feladatok 1

Írjatok egy olyan mondatot, amelyben szerepel az arány szó!

Megoldás: Például: Keverd össze a vizet és a málnaszörpöt 6 : 1 arányban! Az aranymetszés aránya a művészetben is sok helyen megjelenik. 2 Add meg egyszerűsített tört alakban és arányként is a következő számok arányát! a) 12 és 1; b) 20 és 2; c) 8 és 24; d) 40 és 400; e) 36 és 8; f) 144 és 60; g) 56 és 72. Megoldás: 12 = 12 : 1; a) 1 36 9 = = 9 : 2; e) 8 2

20 10 8 1 = = 10 : 1; c) = = 1 : 3; 2 1 24 3 144 12 56 7 f) = = 12 : 5; g) = = 7 : 9. 60 5 72 9 b)

d)

40 1 = = 1 : 10; 400 10

3 Add meg két egész szám hányadosaként, tovább nem egyszerűsíthető tört alakban és arányként is a következő számok arányát! a) 1,2 és 0,1; b) 1,2 és 0,2; c) 0,12 és 3; d) 12 és 0,4; e) 12 és 50; f) 1,8 és 3,2; 2 5 2 4 2 3 1 3 3 5 h) és ; i) és 1,2; j) és ; k) 1,25 és ; l) és . g) és ; 3 6 7 21 7 8 2 4 7 13 Megoldás: 1,2 12 = = 12 : 1; a) 0,1 1 0,12 12 1 = = = 1 : 25; c) 3 300 25 12 6 = = 6 : 25; e) 50 25 2 5 2 6 12 4 = = 4 : 5; g) : = · = 3 6 3 5 15 5 2 2 12 2 10 20 5 : 1,2 = : = · = = = 5 : 21; i) 7 7 10 7 12 84 21 3 5 3 5 4 20 5 = = 5 : 3; k) 1,25 : = : = · = 4 4 4 4 3 12 3

Ͳʹ

b) d) f) h) j) l)

1,2 12 6 = = = 6 : 1; 0,2 2 1 12 120 30 = = = 30 : 1; 0,4 4 1 1,8 18 9 = = = 9 : 16; 3,2 32 16 2 4 2 21 42 3 : = · = = = 3 : 2; 7 21 7 4 28 2 3 1 3 2 6 3 : = · = = = 3 : 4; 8 2 8 1 8 4 3 5 3 13 39 : = · = = 39 : 35. 7 13 7 5 35

AZ ARÁNY FOGALMA 4 a) b) c)

1.

Egy szörpkészítményben a bodzasűrítmény mennyisége 25 dkg. Ezt hígítják 75 dkg vízzel. Határozd meg a sűrítmény és az össztömeg arányát! Az össztömeg hányadrésze víz? Mennyi a sűrítmény és a víz aránya?

Megoldás: a) Az össztömeg 25 dkg + 75 dkg = 100 dkg. A sűrítmény és az össztömeg aránya: 25 : 100 = 1 : 4. 3 b) Az össztömeg -ed része víz. 4 c) A sűrítmény és a víz aránya: 25 : 75 = 1 : 3. 5

a) Két szám aránya 5 : 7. A kisebbik 35. Mekkora a nagyobbik? b) Két szám aránya 5 : 7. A nagyobbik 35. Mekkora a kisebbik?

Megoldás: a) A 35-öt felosztjuk 5 részre → 7. Ennek vesszük 7-szeresét → 49. A nagyobbik szám 49. b) A 35-öt felosztjuk 7 részre → 5. Ennek vesszük 5-szörösét → 25. A kisebbik szám 25. (Szükség esetén szemléltetés szakaszok felosztásával.) 6

Három szám aránya 1 : 2 : 5. A középső 12. Mekkora a másik kettő?

Megoldás: A 12-t felosztjuk 2 részre → 6. Ez a legkisebb, a legnagyobb pedig ennek 5-szöröse: 30. A keresett két szám a 6 és a 30. 7 Az Önkéntes Állatbarátok Szövetségének szavazatszámláló bizottsága megállapította, hogy a két elnökjelölt közül Bögre Gizella 120, Korsó Oszkár csak 60 szavazatot kapott. Mi volt a jelöltekre leadott szavazatok aránya? Megoldás: 120-nak és 60-nak az aránya: 120 : 60 = 2 : 1.

Ͳ͵

2.

ARÁNYOS OSZTÁS

Feladatok 1

Egy téglalap kerülete 96 cm. Oldalainak aránya 3 : 5. Számítsuk ki a téglalap területét!

Megoldás: Két egymást metsző oldal hosszának összege 96 cm : 2 = 48 cm. Ezt felosztjuk 3 : 5 arányban az arányos osztás módszere szerint: 48 : (3 + 5) = 48 : 8 = 6. A két keresett oldal: 3 · 6 cm = 18 cm és 5 · 6 cm = 30 cm. A téglalap területe: 18 cm · 30 cm = 540 cm2. 2

Egy téglalap rövidebb oldala 12 cm. Oldalainak aránya 3 : 7. Mekkora a kerülete és a területe?

Megoldás: Egységnyi részre 12 cm : 3 = 4 cm jut. A másik oldal 7 · 4 cm = 28 cm. A téglalap kerülete: k = 2 · (12 cm + 28 cm) = 80 cm, területe: t = 12 cm · 28 cm = 336 cm2. 3 Számítsuk ki azt a két számot, melyek aránya 2 : 5, és a) az összegük 157,5; b) a kisebbik szám 12,4; c) a nagyobbik 7,5; d) a különbségük 135! Megoldás: a) b) c) d)

157,5 : (2 + 5) = 22,5; 12,4 : 2 = 6,2; 6,2 · 5 = 31; 7,5 : 5 = 1,5; 1,5 · 2 = 3; 135 : (5 – 2) = 45; 45 · 5 = 225 és 45 · 2 = 90;

A két szám 2 · 22,5 = 45 és 5 · 22,5 = 112,5. A két szám 12,4 és 31. A két szám 3 és 7,5. A két szám 225 és 90.

4 Egy iskolában a iúk és lányok aránya 19 : 21. Az iskolában 640 diák tanul. Hány lány és hány iú jár az iskolába? Megoldás: 640 : (19 + 21) = 16. A iúk száma: 19 · 16 = 304, a lányoké: 21 · 16 = 336. 5 Mekkora az egyes részek hossza, ha egy 24 cm hosszú szakaszt osztottunk fel a következő arányokban? a) 1 : 5; b) 1 : 2; c) 1 : 11; d) 1 : 1; e) 1 : 3; f) 1 : 5 : 6; g) 1 : 1 : 10; h) 1 : 1 : 6. Megoldás: a) b) c) d) e) f) g) h)

24 : (1 + 5) = 4. 24 : (1 + 2) = 8. 24 : (1 + 11) = 2. 24 : (1 + 1) = 2. 24 : (1 + 3) = 6. 24 : (1 + 5 + 6) = 2. 24 : (1 + 1 + 10) = 2. 24 : (1 + 1 + 6) = 3.

ͳͬ

Az egyes részek hossza: 4 cm és 20 cm. Az egyes részek hossza: 8 cm és 16 cm. Az egyes részek hossza: 2 cm és 22 cm. Az egyes részek hossza: 12 cm és 12 cm. Az egyes részek hossza: 6 cm és 18 cm. Az egyes részek hossza: 2 cm, 10 cm és 12 cm. Az egyes részek hossza: 2 cm, 2 cm és 20 cm. Az egyes részek hossza: 3 cm, 3 cm és 18 cm.

ARÁNYOS OSZTÁS

2.

6 Egy 100 m2-es felület burkolását két brigád végzi el. Az egyiben 3 munkás 24 m2 felületet burkolt le, a másikban 5 munkás 76 m2-t. Az egész munka 200 ezer Ft-ot ér. Mennyit kapnak az egyes munkások, ha a pénzt a brigádok között a) a létszámuk arányában; b) az elvégzett munka arányában osztjuk szét? Szerintetek melyik elosztás igazságosabb? Megoldás: a) A munkások létszáma összesen 5 + 3 = 8 fő. Egy munkásra jutó összeg 200 000 Ft : 8 = 25 000 Ft. Az egyes brigádoknak izetendő összeg 3 · 25 000 Ft = 75 000 Ft, és 5 · 25 000 Ft = 125 000 Ft. b) Az egy négyzetméterre eső összeg 200 000 Ft : (24 + 76) = 2000 Ft. Az egyes brigádoknak izetendő összeg 24 · 2000 Ft = 48 000 Ft, és 76 · 2000 Ft = 152 000 Ft. Érdemes összehasonlítani a kétféle elosztást. 7 Orsi, Gazsi és Matyi testvérek. Szüleik úgy gondolják, hogy úgy igazságos, ha a havi zsebpénzt életkoruk arányában kapják. Orsi 18, Gazsi 16, Matyi 12 éves. Mennyi pénzt kapnak külön-külön, ha a szülők havonta összesen 2300 Ft-ot adnak a három gyereknek? Megoldás: Az egy hónapra jutó összeg: 2300 Ft : (18 + 16 + 12) = 50 Ft. Az egyes gyerekek havi zsebpénze: Orsi: 18 · 50 Ft = 900 Ft. Gazsi: 16 · 50 = 800 Ft. Matyi: 12 · 50 = 600 Ft. 8 A vízen úszó jég víz alatti és víz feletti részének aránya 9 : 1. Egy jéghegy víz feletti részének térfogata 20 m3. a) Mennyi a jéghegy víz alatti részének a térfogata? b) Hány köbméter az egész jéghegy? Megoldás: A víz alatti rész a víz felettinek 9-szerese, tehát 9 · 20 m3 = 180 m3. Az egész jéghegy 20 + 180 = 200 (m3).

ͳͭ

2.

ARÁNYOS OSZTÁS

9 Egy kenyeret szeretnénk két olyan részre osztani, melyek aránya 2 : 1. A kenyeret 10, 12, 18 vagy 20 szeletre tudják vágni. a) Melyik szeletelést kérjük, ha a szeletek darabolása nélkül akarjuk a kenyeret elosztani? b) Melyik szeletelést kérjük, ha célunk minél kevesebb egész szelet elosztása? c) Milyen legkisebb számú „kenyérszelettel” lehetne megoldani a 2 : 1 arányú elosztást? Oldd meg a feladatot a füzetedben! Oldd meg az a), b) és c) feladatokat a füzetedben: d) 3 : 1; e) 3 : 2; f) 5 : 1 arányú elosztás esetére is! Megoldás: a) A lehetséges 10, 12, 18 és 20 szelet közül a 12 és a 18 osztható fel 2 : 1 arányban, mert ezek oszthatók 1 + 2 = 3-mal. A 12 szeletes kenyérnél az elosztás 8 szelet és 4 szelet, a 18 szeletesnél 12 szelet és 6 szelet. b) A 12 szeletes kenyér esetén kell kevesebb szeletet elosztani. c) A legkisebb számú „kenyérszelet” 2 : 1 arányú elosztás esetén a 3. d) 3 : 1 arányú elosztás esetén a 12 vagy 20 szeletes darabolást kell kérni. 12 szelet esetén kell kevesebb szeletet elosztani. A legkisebb számú „kenyérszelet” 3 : 1 arányú elosztás esetén a 4. e) 3 : 2 arányú elosztás esetén a 10 vagy 20 szeletes darabolást kell kérni. 10 szelet esetén kell kevesebb szeletet elosztani. A legkisebb számú „kenyérszelet” 3 : 2 arányú elosztás esetén az 5. f) 5 : 1 arányú elosztás esetén a 12 vagy 18 szeletes darabolást kell kérni. 12 szelet esetén kell kevesebb szeletet elosztani. A legkisebb számú „kenyérszelet” 5 : 1 arányú elosztás esetén a 6.

ͳͮ

SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS

3.

Feladatok 1 Számold ki a füzetedben 240-nek az (a) a) 5%-át, 10%-át, 12%-át, 20%-át, 60%-át, 80%-át! 1 1 3 1 3 4 részét, részét, részét, részét, részét, részét! b) 20 10 25 5 5 5

(

c) Írd le az a), illetve a b) részben kiszámított egyenlő értékek kapcsolatát pl. 25% = Megoldás: 5 = 240 · 0,05 = 12; a) 240 · 100 12 = 240 · 0,12 = 28,8; 240 · 100 60 = 240 · 0,6 = 144; 240 · 100 1 = 12; b) 240 · 20 3 = 28,8; 240 · 25 3 240 · = 144; 5 1 c) 5% = ; 20 3 12% = ; 25 3 60% = ; 5 2

)

1 . 4

10 = 240 · 0,1 = 24; 100 20 240 · = 240 · 0,2 = 48; 100 80 240 · = 240 · 0,8 = 192. 100 1 240 · = 24; 10 1 240 · = 48; 5 4 240 · = 192. 5 1 10% = ; 10 1 20% = ; 5 4 80% = . 5 240 ·

Az alábbi alakzatok hány százaléka színezett és hány százaléka nem színezett?

Megoldás: Tíz darab egybevágó háromszögből egy színezett, így az alakzat 10%-a színezett, 90% nem színezett. Az alakzat 20%-a színezett, 80%-a nem színezett. Az alakzat 25%-a színezett, 75%-a nem színezett. 3 Öt darab egybevágó háromszögből három színezett, így az alakzat -öd része = 60%-a színezett, 40% 5 nem színezett. Négy darab egybevágó négyszögből három színezett, így az alakzat 75%-a színezett, 25% nem színezett.

ͳͯ

3. 3 a) c) e)

SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS

Melyik több és mennyivel? 20 000 Ft 40%-a, vagy 100 000 Ft 10%-a? 12 km 150%-a, vagy 50 km 20%-a? Másfél óra 50%-a, vagy fél óra 150%-a?

b) 100 liter 12%-a, vagy 200 liter 6%-a? d) 20 km 30%-a vagy 4000 m 120%-a? f) Egy nap 25%-a, vagy 3 óra 150%-a?

Megoldás: 40 = 20 000 · 0,4 = 8000 (Ft); 100 10 = 100 000 · 0,1 = 10 000 (Ft); 100 000 Ft 10%-a = 100 000 · 100 Az utóbbi 2000 Ft-tal több. 12 = 12 (liter); 100 liter 12%-a = 100 · 100 6 = 12 (liter). 200 liter 6%-a = 200 · 100 A két mennyiség egyenlő. 150 = 12 · 1,5 = 18 (km); 12 km 150%-a = 12 · 100 20 = 50 · 0,2 = 10 (km). 50 km 20%-a = 50 · 100 Az első 8 km-rel több. 30 = 20 · 0,3 = 6 (km); 20 km 30%-a = 20 · 100 120 = 4000 · 1,2 = 4800 (m) = 4,8 (km). 4000 m 120%-a = 4000 · 100 Az első 1,2 km-rel több. 50 = 1,5 · 0,5 = 0,75 (óra) = 45 (perc); 1,5 óra 50%-a = 1,5 · 100 150 = 0,5 · 1,5 = 0,75 (óra) = 45 (perc). 0,5 óra 150%-a = 0,5 · 100 A két mennyiség egyenlő. 25 = 24 · 0,25 = 6 (óra); 24 óra 25%-a = 24 · 100 150 = 3 · 1,5 = 4,5 (óra). 3 óra 150%-a = 3 · 100 Az első mennyiség 1,5 órával több.

a) 20 000 Ft 40%-a = 20 000 ·

b)

c)

d)

e)

f)

4 Mennyi lesz a izetése annak a dolgozónak, akinek a 200 ezer Ft-os izetését 10%-kal növelik? Mekkora a növekedés mértéke? Megoldás: A növekedés mértéke 200 ezer Ft 10%-a = 200 000 Ft · A megnövelt izetés 220 000 Ft. Vagy: 10%-os növekedés esetén a izetés 110%-ra nő. 110 = 220 000 Ft. 200 ezer Ft 110%-a = 200 000 Ft · 100

ͳͰ

10 = 20 000 Ft. 100

SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS 5

3.

A tejszín tömegének 62%-a vaj. Hány kg tejszínből készíthető 1 kg vaj?

Megoldás: Következtetéssel:  62% → 1 kg; 1 kg;   1% → 62 1 kg = 1,63 kg. 100% → 100 · 62 (A 100% kiszámítása leckéhez tartozó feladat.) 6 Andrisék családja lakásfelújításra 2 millió Ft kölcsönt vett föl egy évre. Hitelfelvételkor a bankok kamatot számolnak fel. A kamat mértékét százalékban adják meg, jelenleg egy évre 12% kamatot kell izetni. Mekkora összeget kell vissza izetnie Andris családjának egy év múlva? Megoldás: 12 = 240 000 (Ft). 100 A vissza izetendő összeg: 2 000 000 Ft + 240 000 Ft = 2 240 000 Ft.

A kamat a 2 millió 12%-a: 2 000 000 ·

7 Zsó i telefonjának kijelzőjén öt függőleges vonal jelzi az akkumulátor teljes töltöttségét. Ha az akkumulátor töltöttsége 80%-ra csökken, az öt vonalból egy eltűnik, ha 60%-ra, akkor még egy, és így tovább. Mit mondhatunk a telefon akkumulátorának töltöttségéről, ha a kijelzőn két vonal látható? Megoldás: A harmadik vonal eltűnésének pillanatában az akkumulátor töltöttsége 40%-ra csökken, a negyedik vonal eltűnésekor 20%. Ha két vonal látszik, akkor az akkumulátor töltöttsége 20% és 40% között van. 8 Egy illatszerbolt akciós kuponja a következő kedvezményt ajánlja: „Ha a kupon felmutatója két terméket vásárol, akkor az olcsóbbik árából 20%, a drágábbikéból 40% kedvezményt kap”. Vince édesanyja egy 850 Ft-os sampont, és egy 2200 Ft-os hajfestéket vásárol. Megkéri Vincét, hogy számítsa ki a kuponnal elérhető megtakarítás nagyságát. A helyesen kiszámított eredmény jutalmaként felajánlja, hogy a megtakarítás 40%-ával növeli Vince havi zsebpénzét. Vince természetesen jól számította ki a megtakarítás nagyságát. Mennyi lett Vince zsebpénz-kiegészítése? Megoldás: 20 1 = 850 · = 850 · 0,2 = 170 (Ft). 100 5 40 2 = 2200 · = 2200 · 0,4 = 880 (Ft). A drágábbik 2200 Ft-os árának 40%-a: 2200 · 100 5 Az összes megtakarítás: 170 Ft + 880 Ft = 1050 Ft. 40 2 Ennek 40%-a: 1050 · = 1050 · = 1050 · 0,4 = 420. 100 5 Tehát 420 Ft-tal nőtt meg Vince zsebpénze.

Az olcsóbbik 850 Ft-os termék árának 20%-a: 850 ·

ͳͱ

3.

SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS

9 Egy televíziós tehetségkutató verseny döntőjében a két együttes közti versenyt közönségszavazatok döntik el. Telefonon és interneten is lehet szavazni. A 62 500 telefonos szavazat 43%-át az Iker Prímek Duó, a 7500 internetes szavazat 22%-át a Siket Rímek Band együttes kapta. Ki nyerte a döntőt? Megoldás: Iker Prímek szavazatok arány

szavazat

62 500 telefonos

43% 62 500 ·

7500 internetes

78%

összes szavazat

Siket Rímek arány

szavazat

43 57 = 62 500 · 0,43 = 26 875 57% 62 500 · = 62 500 · 0,57 = 35 625 100 100

7500 ·

78 = 7500 · 0,78 = 5850 100

22%

7500 ·

32 725

22 = 7500 · 0,22 = 1650 100 37 275

A versenyt a Siket Rímek nyerték. 10 Egy konzervgyárban adagolóautomata tölti a csokoládékrémes dobozokat. Az automata által adagolt anyag mennyisége ingadozik. A dobozon feltüntetett névleges értéktől vett 2%-os eltérés mindkét irányban megengedhető. Milyen határok között változik egy 400 grammos csokoládékrémes doboz tartalmának tömege? Megoldás: 2 = 400 · 0,02 = 8 (g). 100 A doboz tartalmának tömege 392 gramm és 408 gramm között változik.

A 400 grammos névleges tömeg 2%-a: 400 ·

ͳͲ

A

% KISZÁMÍTÁSA

4.

Feladatok 1 Számítsd ki azt a számot, melynek a) 1%-a 29; b) 2%-a 22; e) 1%-a 100; f) 2%-a 75;

c) 20%-a 40; g) 20%-a 95;

d) 120%-a 40; h) 120%-a 88!

Megoldás: a)   1% → 29 100% → 100 · 29 = 2900;

e)   1% → 100 100% → 100 · 100 = 10 000;

b)   2% → 22 100% → 50 · 22 = 1100;

f)   2% → 75 100% → 50 · 75 = 3750;

c)  20% → 40 100% → 5 · 40 = 200;

g)  20% → 95 100% → 5 · 95 = 475;

d) 120% → 40 40 1 =   1% → 120 3 40 ; 100% → 120

h) 120% → 88 88 11   1% → = 120 15 1100 220 = . 100% → 15 3

2

a) Egy nyeregtetős ház tetejére 24 négyzetméter napkollektort szerelnek, amellyel a teljes tető 30%át fedték le. Mekkora a tető teljes felülete? b) A házban lakó család villanyszámlája havi 16 ezer Ft. A napkollektor használatával a nyári hónapokban 40%-os csökkenést értek el. Hány Ft-ot takarítanak meg a nyári hónapokban?

Megoldás: a)  30% → 24 m2 24 2 4 2 m = m   1% → 30 5 400 2 m = 80 m2. 100% → 5 b) 16 ezer Ft 40%-a = 16 000 Ft ·

40 = 6400 Ft havonta. 100

ͳͳ

4.

A

% KISZÁMÍTÁSA

3 Egy őstermelő a piaci nap délelőttjén eladta a reggeli öszibarack készletének 60%-át. Délután a maradék 120 kg is elfogyott. Mennyi öszibarackja volt a nap elején? Az őstermelő délelőtt kilogrammonként 160 Ft-ot kért, délután 15%-os árengedményt adott. Mennyi volt az aznapi bevétele? Megoldás: A délutánra maradt 120 kg a reggeli készlet 40%-a.  40% → 120 kg;   1% → 3 kg; 100% → 300 kg a reggeli készlet. Délelőtt 300 kg – 120 kg = 180 kg öszibarackot adott el, 180 · 160 Ft = 28 800 Ft-ért. 85 A délutáni egységár a 160 Ft 85%-a, 160 Ft · = 136 Ft. 100 A délutáni bevétel 120 · 136 Ft = 16 320 Ft. Az egész napi árbevétel: 28 800 Ft + 16 320 Ft = 45 120 Ft. 4 Ingatlan vásárlása esetén szerződéskötéskor 10%-os foglalót szoktak kérni a vevőtől. A foglaló a vételárba beleszámít. Egy család 7500 eurót izetett foglalóként egy ház vásárlásánál. Mennyibe került a ház? Megoldás: A ház ára a 10%-os foglaló 10-szerese, 75 000 Euró. 5 A 95-ös benzin árát 1,5%-kal csökkentették. Autónk 47 literes benzintankjában már csak 5 liter üzemanyag van, amikor teletankoljuk. Az árcsökkenés miatt 280 Ft-ot takarítottunk meg. Mennyibe került literenként a benzin az árcsökkentés előtt? Megoldás: Tankoláskor 47 liter – 5 liter = 42 litert tankoltunk. 280 20 A literenkénti megtakarítás: 280 Ft : 42 = = Ft. Ez egy liter eredeti árának 1,5%-a. 42 3 20 20 3 20 2 40 : 1,5 = : = · = Ft;   1% → 3 3 2 3 3 9 40 4000 = ≈ 444,44 Ft, a benzin eredeti literenkénti ára. 100% → 100 · 9 9 6 Mennyi Peti édesapjának az éves adóköteles bevétele, ha 16%-os adókulcs esetén 480 000 Ft adót izetett? Megoldás:  16% → 480 000 Ft;   1%→ 480 000 : 16 = 30 000 Ft; 100%→3 000 000 Ft.

ͳʹ

HÁNY SZÁZALÉK?

5.

Feladatok 1 Hányadrésze és hány százaléka a a) 24 a 72-nek; b) 85-nek a 17; e) 24 óra az egy hétnek; f) 50 gramm a 2,5 kg-nak; Megoldás: . 24 1 = = 0,333 . 33,3%; a) 72 3 5 . 0,119 = 11,9%; c) 42 24 óra 1 nap 1 = = . 0,143 = 14,3%; e) 1 hét 7 nap 7 20 perc 20 perc = = 40 = 4000%. g) 30 másodperc 0,5 perc

c) 5 a 42-nek; d) 2534-nek az 52; g) 20 perc a 30 másodpercnek?

17 1 = = 0,2 = 20%; 85 5 52 26 d) = . 0,02 = 2%; 2534 1267 50 gramm 0,05 kg 5 1 f) = = = = 0,02 = 2%; 2,5 kg 2,5 kg 250 50 b)

2 Egy cipőbolt tél végi akcióját reklámozó szóróanyagon látható: Hány százalékos volt a leárazás? Megoldás: Az árcsökkenést viszonyítjuk az eredeti árhoz: 4800 Ft = 0,2 = 20%. 24 000 Ft 3 Két egymást követő árváltozás során egy 2000 Ft-os könyv árát először 1600 Ft-ra csökkentették, később felemelték ismét 2000 Ft-ra. Hány százalékos volt az árcsökkentés és hány százalékos az áremelés? Megoldás: A változás mértékét mindig az aktuális árhoz viszonyítjuk: 400 Ft = 0,2 = 20%. A csökkentés mértéke 400 Ft; százalékosan: 2000 Ft 400 Ft = 0,25 = 25%. Az emelés mértéke: 400 Ft; százalékosan: 1600 Ft 4

Egy 440 km-es autós utazásból eddig 176 km-t tettünk meg. Az út hány százaléka van még hátra?

Megoldás: A hátralévő út: 440 km – 176 km = 264 km. 264 km Ezt viszonyítjuk a teljes úthosszhoz: = 0,6 = 60%. 440 km

ͳ͵

6.

VEGYES SZÁZALÉKSZÁMÍTÁSOS FELADATOK

Feladatok 1 Egy 50 000 Ft-os termék árát kedden 20%-kal megemelték. Csütörtökön újabb árváltozás történt: 20%-os leárazás. Számítsuk ki a termék pénteki árát! Számítsuk ki a pénteki árat akkor is, ha a két 20%-os árváltozás fordított sorrendű, először történik a leárazás, azután az emelés! Megoldás: 20 = 10 000 Ft, az új ár 60 000 Ft. 100 Másképpen 50 000 · 1,2 = 60 000 Ft az új ár. 20 = 12 000 Ft. Az új ár 48 000 Ft. Az árcsökkentés ennek 20%-a: 60 000 Ft · 100 Másképpen 60 000 · 0,8 = 48 000 Ft az új ár. A keddi áremelés mértéke: 50 000 Ft ·

Fordított sorrend esetén az árcsökkentés mértéke: 10 000 Ft. Az új ár 40 000 Ft. Másképpen 50 000 · 0,8 = 40 000 Ft az új ár. 20 = 8000 Ft. Az új ár: 48 000 Ft. Az áremelés ennek 20%-a 40 000 Ft · 100 Másképpen 40 000 · 1,2 = 48 000 Ft az új ár. A pénteki ár független az árváltoztatások sorrendjétől. 2 Benedek iskolába menet egy 200 méteres útszakasz egyik felén sétálva másodpercenként 1 métert tesz meg. Az út másik felét végigfutotta, kétszeresre növelt sebességgel. Hány métert tesz meg másodpercenként az út második felén? Hány százalékkal növelte sebességét? Mennyi idő alatt tette meg az út első és második felét külön-külön? Hány százalékkal kisebb a menetidő az út második felében? Megoldás: A kétszeresre növelt sebesség miatt az út második felén 2 métert tesz meg másodpercenként. A kétszeresre növelés 100%-os emelést jelent. Az út 100 méteres első felét másodpercenként 1 métert haladva 100 másodperc alatt teszi meg. Az út második, 100 méteres felét másodpercenként 2 métert haladva 50 másodperc alatt, tehát 50 másodperccel rövidebb idő alatt teszi meg. Az 50 másodperces menetidő-különbség az 100 másodperces menetidőnek 50%-a. Tehát a 100%-os sebességnövelés 50%-os menetidő-csökkenést okozott. 3 Százalékszámításból írt dolgozatát osztotta ki a tanár a 6. a osztálynak, és azt mondta: „Gyerekek, ez pocsékul sikerült. Az osztály 37%-ának egyes lett a dolgozata.” Csongi erre hátulról közbekiabált: „Nem is vagyunk annyian az osztályban!” Miután kinevetgélték magukat, alapos ismétlésbe kezdtek. Hányan lehettek az osztályban, és hány tanuló dolgozata lett egyes, ha a dolgozatok 37%-a lett egyes? Az érték egy tizedesjegyre kerekített, és az osztályban 20-nál több, de 30-nál kevesebb tanuló volt. Megoldás: Próbálgatással: 21-nek 37%-a: 21 · 0,37 = 7,77; 22-nek 37%-a: 22 · 0,37 = 8,14; 23-nak 37%-a: 23 · 0,37 = 8,51; 24-nek 37%-a: 24 · 0,37 = 8,88; 25-nek 37%-a: 25 · 0,37 = 9,25;

ʹͬ

VEGYES SZÁZALÉKSZÁMÍTÁSOS FELADATOK

6.

26-nak 37%-a: 26 · 0,37 = 9,62; 27-nek 37%-a: 27 · 0,37 = 9,99; 28-nak 37%-a: 28 · 0,37 = 10,36; 29-nek 37%-a: 29 · 0,37 = 10,73. 10 . 37%, tehát a 27 Egyetlen olyan érték van, amelyiknél egy tizedesre kerekítve megkapjuk a 37%-ot, 27 fős osztályban 10 elégtelen dolgozat született. 4 A 6. b-ben az irodalomórán is lehetett derülni. A tanáruk éppen arról mesélt, hogy egy statisztika szerint a 14 éves iúk 59%-a és a lányok 41%-a heti egy óránál kevesebbet olvas, amikor Csongi közbekotyogott. „Jé! Ez éppen 100%. Akkor egyetlen gyerek sem olvas heti egy óránál többet!” Szegény Csongit már megint kinevették a többiek. Miért? Megoldás: Feltéve, hogy a gyerekek fele lány és fele iú, ebből csak annyi következik, hogy a gyerekek 50%-a heti egy óránál kevesebbet olvas. 5 Tegyük fel, hogy az osztályod minden tanulója válaszol az alábbi kérdésekre: Az osztálytársaid hány százaléka a) szemüveges b) lány c) szemüveges iú? Hányféle helyes válasz születhet az egyes kérdésekre? Melyek ezek, és kik adják? Elképzelhető olyan osztály, ahol az a) kérdésre mindenki ugyanazt a helyes választ adja? Ha igen akkor, hogyan? Megoldás: Mindegyikre kétféle helyes válasz születhet: egy szemüveges tanulónak pl. eggyel kevesebb szemüveges osztálytársa van, mint a nem szemüvegeseknek. Ha egy osztályban csak szemüvegesek, vagy csak szemüveg nélküliek vannak, akkor mindenki ugyanazt a helyes választ adja. 6 Ha tiszta vízbe sót keverünk, akkor a kapott sós víz töménysége az oldott só tömegének és a sós víz tömegének százalékban megadott aránya. Határozd meg a táblázat hiányzó adatait! Vedd igyelembe, hogy 1 liter víz tömege 1 kg. Dolgozz a füzetedben! Oldott só tömege (kg)

0,15

Tiszta víz mennyisége (liter)

0,85

Sós víz tömege (kg)

1

Töménység (%)

15

0,2

0,3 3

5,7

50 20

15

0,2 3,6

25

Megoldás: Oldott só tömege (kg)

0,15

0,2

7,5

1

0,3

0,2

Tiszta víz mennyisége (liter)

0,85

0,8

42,5

3

5,7

3,4

Sós víz tömege (kg)

1

1

50

4

6

3,6

15

20

15

25

5

5,56

Töménység (%)

ʹͭ

7.

A SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS GYAKORLÁSA

Feladatok 1 Szezonvégi kiárusítás alkalmával egy 24 000 Ft-os telefon árát 20%-kal csökkentették. Mennyiért lehet megkapni most? Megoldás: Az eredeti árból kivonjuk az engedményt. 24 000 Ft 20%-a → 24 000 Ft · 0,2 = 4 800 Ft. Ennyi az engedmény. Az új ár: 24 000 Ft – 4 800 Ft = 19 200 Ft. Vagy: Az új ár az eredeti ár 80%-a. 24 000 Ft 80%-a → 24 000 Ft · 0,8 = 19 200 Ft. 2 Andris a százalékszámítás-dolgozatra készül. Megoldotta a feladatgyűjtemény összes idevágó példáját. A végeredmények ellenőrzésekor megállapította, hogy a feladatok 80%-át, szám szerint 32 darabot helyesen oldott meg. Hány feladatot oldott meg András? Megoldás: 100%-ot, vagyis az alapot keressük. A százalékérték 32, a százalékláb 80. 32 4 = 100 ⋅ = 40. A példák száma = 100 · 80 10 Andris összesen 40 feladatot oldott meg. 3 Egy kifutó árucikkeket forgalmazó áruház 50%-os árengedményt hirdetett meg egy eredetileg 6000 Ft-os termékre. A termék az akció ellenére nem fogyott elég gyorsan, ezért az új árból még 50%-ot engedtek. Ennek hatására már gyorsan elfogyott a készlet. Mennyibe került a termék az első és a második akció után? Mekkora árengedménnyel lehetett volna egy lépésben elérni a végső árat? Megoldás: 50%-os engedmény esetén a termék árának felét elengedik, tehát féláron megkapjuk. Az első csökkennés után az ár 6000 Ft helyett 3000 Ft, a második után 1500 Ft, ami az eredeti ár negyede, azaz 25%-a. 6000 Ft

–50%

3000 Ft

–50%

1500 Ft

=

6000 Ft

–75%

1500Ft

A két egymást követő 50%-os árcsökkentés egyetlen 75%-os csökkentéssel helyettesíthető.

ʹͮ

EGYENLETEK, LEBONTOGATÁS

8.

Feladatok 1

Találj ki a Balázséhoz hasonló „trükköt”!

Megoldás: Például: Gondolj egy számra! Vedd a kétszeresét! Növeld 8-cal! Vedd ennek a számnak a felét! Csökkentsd ezt a számot 4-gyel! Most éppen a gondolt számot kaptad. 2 Add meg a megkezdett folyamatábrához tartozó egyenletet! Az ábra befejezésével oldd meg az egyenletet! A füzetedben dolgozz! Oldd meg folyamatábra lerajzolása nélkül is! ×4

x

-8

:5

=4

Megoldás: ·4

x

–8

4·x

ǁ

ǁ :4

7

:5

4·x–8

(4 · x – 8) : 5

ǁ +8

28

ǁ ·5

20

4

Az egyenlet: (4 · x – 8) : 5 = 4. A (4 · x – 8) ötöde 4, tehát (4 · x – 8) = 20. A 4 · x-nél 8-cal kisebb szám a 20, tehát 4 · x = 28. Az x négyszerese 28, tehát x = 7. 3 a)

A lebontogatás módszerével, folyamatábra segítségével oldd meg az alábbi egyenleteket! 2a – 5  – 2 = 11; 3

b)

(

)

1 2 b – 1  = 7; 5 3

c)

(

)

2 2 1 1 c +   =  . 3 5 2 2

Megoldás: a) a

·2

ǁ 22

2·a

–5

ǁ :2

44

2·a–5

:3

ǁ +5

39

2a – 5 3

–2

ǁ ·3

13

2a – 5 –2 3 ǁ

+2

11

ʹͯ

8.

EGYENLETEK, LEBONTOGATÁS

b) b

·

2 3

ǁ 54

2 ·b 3

–1

ǁ :

2 3

36

·

2 5

2 ·c 5

2 ·b–1 3

·

1 5

(

1 2 · ·b–1 5 3

ǁ +1

35

)

ǁ :

1 5

7

·

2 3

2 2 1 · c+ 3 5 2

c) c ǁ 5 8

ʹͰ

+

1 2

ǁ :

2 5

1 4

2 1 c+ 5 2 ǁ

–

1 2

3 4

(

ǁ :

2 3

1 2

)

A MÉRLEGELV

9.

Feladatok 1 Az alábbi szöveges feladathoz írj egyenletet, és oldd meg a mérlegelv alkalmazásával! Ellenőrizd a kapott eredményt! Figyelj arra, hogy szöveges egyenlet megoldásának ellenőrzésekor a feladat szövegébe kell behelyettesíteni! Gondoltam egy számot. A gondolt számnál 7-tel kisebb számot 5-tel megszoroztam. Az eredményhez hozzáadtam 1-et. Ezzel a gondolt számnál 18-cal kisebb számot kaptam. Melyik számra gondoltam? Megoldás: A gondolt szám: x. A 7-tel kisebb szám: x – 7. 5-tel szorozva: 5 · (x – 7). 1-et hozzáadva: 5 · (x – 7) + 1. A gondolt számnál 18-cal kisebb szám: x – 18. Az egyenlet: 5 · (x – 7) + 1 = x – 18. Az egyenlet megoldása: 5 · (x – 7) + 1 = x – 18 5 · (x – 7) = x – 19 5 · x – 35 = x – 19 4 · x – 35 = –19 4 · x = 16 x=4

/–1 /–x /+35 /:4

A gondolt szám a 4. A nála 7-tel kisebb a –3. Ennek ötszöröse: –15. Ennél 1-gyel nagyobb a –14. Ez egyenlő a gondolt számnál 18-cal kisebb számmal: 4 – 18 = –14. 2 Oldd meg az egyenleteket! a) x + 2 = 5 + 1; b) x + 4 + x = 10;

c) 2 ⋅ x + 3 = 17;

d) x + 30 = 5 ⋅ x + 20.

Megoldás: a) x + 2 = 5 + 1 /–2 x=5+1–2=4 Ellenőrzés: 4+2=5+1 6=6

b) x + 4 + x = 10 x+x=6 2·x=6 x=3 Ellenőrzés: 3 + 4 + 3 = 10 10 = 10

c) 2 · x + 3 = 17 2 · x = 14 x=7 Ellenőrzés: 2 · 7 + 3 = 17 17 = 17

d) x + 30 = 5 · x + 20 /–30 x = 5 · x –10 /–5x –4x = –10 /:–4 x = 2,5 Ellenőrzés: 2,5 + 30 = 5 · 2,5 + 20 32,5 = 32,5

/–3 /:2

/–4 /:2

ʹͱ

10.

ÖSSZEVONÁS, ZÁRÓJELFELBONTÁS

Feladatok 1 Végezd el a lehetséges összevonásokat! a) 3 ⋅ x – 7 + 6 ⋅ x + 3 – 4 ⋅ x =; b) –13 ⋅ x + 8 + 5 ⋅ x + 3 – 9 ⋅ x =; 5 3 2 1 d)  ⋅ x –   + 2x –   =. c) –  ⋅ x + 8 + 5 ⋅ x + 3 – 9 ⋅ x =; 3 5 3 5 Megoldás: a) 3 ⋅ x – 7 + 6 ⋅ x + 3 – 4 ⋅ x = 5 ⋅ x – 4; b) –13 ⋅ x + 8 + 5 ⋅ x + 3 – 9 ⋅ x = –17 ⋅ x + 11; 5 5 5 12 17 c) –  ⋅ x + 8 + 5 ⋅ x + 3 – 9 ⋅ x = –  ⋅ x – 4 ⋅ x + 11 = –  ⋅ x –  ⋅ x + 11 = –  ⋅ x + 11; 3 3 3 3 3 3 2 1 3 2 1 3 10 10 3 13 13 d)  ⋅ x –   + 2x –   =  ⋅ x + 2x –  –   =  ⋅ x +  ⋅ x –  –   =  ⋅ x – . 5 3 5 5 3 5 5 5 15 15 5 15 2

Bontsd fel a zárójeleket a következő kifejezésekben! 4 5 12 c)  ⋅  x –   =. a) 5 ⋅ (x – 8) =; b) –  ⋅ (x – 10) =; 5 6 5

(

)

Megoldás: a) 5 ⋅ (x – 8) = 5 ⋅ x – 40; 4 4 b) –  ⋅ (x – 10) = –  ⋅ x + 8; 5 5 5 12 5 5 12 5 c)  ⋅  x –   =  ⋅ x –   ⋅   =  ⋅ x – 2. 6 5 6 6 5 6

(

)

3

Bontsd fel a zárójeleket a következő kifejezésekben, ezután végezd el a lehetséges összevonásokat! 1 b 3 a) 11(a – 5) – 7(3 + a) =; b)  ⋅ (b + 14) – 8 ⋅   –   =; 2 2 4 1 6 2 d)  ⋅ (15 ⋅ d + 10) – 3 5 +   ⋅ d  =. c) 6 ⋅ (2 ⋅ c – 5) – 4 3 +   ⋅ c  =; 2 5 3

(

(

)

(

Megoldás: a) 11(a – 5) – 7(3 + a) = 11 ⋅ a – 55 – 21 – 7 ⋅ a = 4 ⋅ a – 76; 1 b 3 1 7 b)  ⋅ (b + 14) – 8 ⋅   –   =  ⋅ b + 7 – 4 ⋅ b + 6 = –  ⋅ b + 13; 2 2 4 2 2 1 c) 6 ⋅ (2 ⋅ c – 5) – 4 3 +   ⋅ c  = 12 ⋅ c – 30 – 12 – 2 ⋅ c = 10 ⋅ c – 42; 2 6 2 d)  ⋅ (15 ⋅ d + 10) – 3 5 +   ⋅ d  = 18 ⋅ d + 12 – 15 – 2 ⋅ d = 16 ⋅ d – 3. 5 3

( (

ʹͲ

)

(

)

)

)

)

SZÖVEGES FELADATOK MEGOLDÁSA EGYENLETTEL

11.

Feladatok 1 Egy állatkereskedés kirakatában papagájok és tengerimalacok vannak. Dávid 12 fejet és 36 lábat számolt össze. Hány papagáj és hány tengerimalac van a kirakatban? Megoldás: 12 feje 12 állatnak van; ha x-szel jelöljük a papagájok számát, akkor 12 – x a tengerimalacoké. x papagájnak 2 · x lába van, 12 – x tengerimalacnak (12 – x) · 4. Az összes láb 36. Az egyenlet: 2 · x + (12 – x) · 4 = 36 2 · x + 12 · 4 – x · 4 = 36 –2 · x + 48 = 36 –2 · x = –12 x=6

/–48 /:8

A papagájok száma 6, a tengerimalacoké 12 – 6 = 6. A lábak száma 6 · 2 + 6 · 4 = 12 + 24 = 36. 2 A Múzeumkertben golyózó Pál utcai iúktól a Pásztor testvérek golyókat raboltak. Nemecsektől és Richtertől ugyanannyit, Kolnaytól ennél 2-vel többet, Barabástól 4-gyel kevesebbet, összesen 30-at. Menynyi a Pál utcaiak vesztesége egyenként? Megoldás: Ha Nemecsektől és Richertől x-x db golyót, akkor Kolnaytól x + 2 db-ot, Barabástól x – 4 db-ot raboltak el. Az összes veszteség ezek összege: x + x + x + 2 + x – 4. Az egyenlet: x + x + x + 2 + x – 4 = 30 4x – 2 = 30 4x = 32 x=8

/+2 /:4

Nemecsektől és Richertől 8 golyót, Kolnaytól 10 golyót, Barabástól pedig 4 golyót vettek el. Ezek összege 8 + 8 + 10 + 4 = 30 3 Miklós nem számolta a perceket, amíg agyonütötte az első farkast. A másodikkal 2 perccel tovább viaskodott, a harmadikkal pedig még a másodiknál is 3 perccel lassabban végzett. Összesen 13 perc alatt győzte le az ordasokat. Hány perc alatt végzett az egyes farkasokkal? Megoldás: Ha az első farkas legyőzése x percig tartott, akkor a másodiké x + 2 perc, a harmadiké x + 2 + 3 = x + 5 perc. A farkaskaland hosszúsága ezek összege: x + x + 2 + x + 5 perc. Az egyenlet: x + x + 2 + x + 5 = 13 3x + 7 = 13 3x = 6 x=2

/–7 /:3

Az első farkast 2 perc alatt, a másodikat 4 perc alatt, a harmadikat 7 perc alatt győzte le. Ezek összege: 2 perc + 4 perc + 7 perc = 13 perc.

ʹͳ

11.

SZÖVEGES FELADATOK MEGOLDÁSA EGYENLETTEL

4 Egy mélyvízre igyelmeztető táblát tartó oszlop negyede a föld alatt, fele a vízben, 1méter pedig a víz felett van. Milyen mélységű vízre igyelmezet a tábla? Milyen hosszú az oszlop? Megoldás: 1 1 x a föld alatti rész, x a víz alatti rész. A víz fölé 1 méter emelkedik. 4 2 Ezek összege a rúd teljes hossza. Az egyenlet: 1 1 x+ x+1=x 4 2 3 3 x+1=x /– x 4 4 1 /·4 1= x 4 4=x

Ha az oszlop hossza x, akkor

A rúd hossza 4 méter. Ennek fele, vagyis 2 méter van a föld alatt, negyede, azaz 1 méter a víz alatt. A maradék 1 méteres rész van a víz felett. 5 A 6. a osztály kosárlabdacsapata 66 pontot ért el az egyik mérkőzésén egy-, két-, illetve hárompontos dobásokból. Az egy, két, illetve három pontot érő dobások számának aránya 2:3:1. Hány egy-, két-, illetve hárompontos találatot ért el a csapat? Megoldás: Ha a hárompontos találatok száma x, akkor az egypontosoké 2 · x, a kétpontosoké 3 · x. A kosarak értéke: egypontosoké 2 · x, a kétpontosoké (3 · x) · 2 = 6x, a hárompontosoké 3 · x. Az elért pontok száma ezek összege: 2 · x + 6 · x + 3 · x. Az egyenlet: 2 · x + 6 · x + 3 · x = 66 11x = 66 x=6

/:11

6 db hárompontos, 12 db egypontos, és 18 db kétpontos kosarat dobtak. Ezek pontértéke: 18 + 12 + 36 = 66.

ʹʹ

SZÖVEGES FELADATOK MEGOLDÁSA EGYENLETTEL

11.

6 A mobilszolgáltatók kedvezménnyel jutalmazzák vásárlóik hűségét. Domonkos új telefont vásárol eddigi szolgáltatójától. Kétféle kedvezmény közül választhat: • Új telefonja vételárából lebeszélhet 6000 Ft-ot, vagy • 20% engedményt kap a vételárból. Mekkora vételárig jár jobban Domonkos azzal, ha az első lehetőséget választja? Megoldás: Legyen a vételár x Ft. Az első esetben a kedvezmény 6000 Ft, a másodikban a vételár 20%-a: 0,2x. Kérdés: mekkora x esetén nagyobb 6000, mint 0,2x? 6000 > 0,2x 30 0000 > x

/·5

30 000 Ft-os vételárig az első lehetőség kedvezőbb, efölött a második. 7 Egy izetőparkoló díjszabása: Az első óra: 400 Ft. Minden további megkezdett óra: 200 Ft. a) Mennyibe kerül ebben a parkolóban egy 6,5 órás parkolás? b) Mennyi ideig parkoltunk, ha 2400 Ft-ot izettünk? Megoldás: a) 6,5 órás parkolás az első után 6 megkezdett óra. Ennek díja: 400 Ft + 6 · 200 Ft = 1600 Ft. b) x megkezdett órás parkolás esetén a díj 400 Ft + (x – 1) · 200Ft. Az egyenlet: 400 + (x – 1) · 200 = 2400 400 + 200 · x – 200 = 2400 200 + 200 · x = 2400 200 · x = 2200 x = 11

/–200 /:200

11 megkezdett óra parkolás után 2400 Ft-ot izetünk. Az első óra díja 400 Ft, a további megkezdett 10 óra díja 10 · 200 Ft = 2000 Ft; összesen 2400 Ft. Tehát több mint 10 órát, de kevesebb mint 11 órát parkoltunk.

ʹ͵

12.

EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA MÉRLEGELVVEL

Feladatok 1 Panni kerékpárra gyűjt. Egy netes kereskedő oldalon talált egy 54 000 Ft-os biciklit. Ennek árából már 38 000 Ft-ot összegyűjtött. Heti 600 Ft-os zsebpénzét hozzáadva mennyi idő múlva veheti meg a kerékpárt? Megoldás: Jelöljük x-szel a szükséges pénz összegyűléséig hátralévő hetek számát. Ezalatt 600 · x Ft zsebpénzt kap. A zsebpénz és a már meglévő 38 000 Ft összege eléri vagy meghaladja a bicikli árát: 38 000 + 600 · x ≥ 54 000 600 · x ≥ 16 000 x ≥ 26,7

/–38 000 /:600

Tehát 27 hét után veheti meg a kerékpárt. Ennyi idő alatt 27 · 600 Ft = 16 200 Ft zsebpénzt kap. 38 000 Ft + 16 200 = 54 200 Ft > 54 000 Ft. 2

Oldd meg a következő egyenlőtlenségeket!

a) 3x – 5 > 0;

b) –2x + 5 < 3;

c)

1 x + 1 > 2. 2

Megoldás: a) 3x – 5 > 0 3x > 5 5 x> 3 b) –2x + 5 < 3 –2x < –2 x>1 1 c) x + 1 > 2 2 1 x > 1 2

/+5 /:3 /–5 /:(–2) /–1 /·2

x>2 3 Matyi hétfőn a 17. oldalon tartott a 132 oldalas Ábel a rengetegben című könyvben. Ha keddtől naponta 24 oldalt olvas, akkor melyik napon fejezi be a könyvet? Megoldás: Jelöljük x-szel a könyv elolvasásáig hátralévő napok számát. Matyi ezalatt 24 · x oldalt olvas el. Ha ehhez hozzáadjuk a már elolvasott 17 oldalt, akkor elérünk a regény végéig: 24 · x + 17 ≥ 132 /–17 24 · x ≥ 115 /:24 x ≥ 4,8 Matyi az 5. napon, tehát szombaton fejezi be a regényt.

͵ͬ

EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA MÉRLEGELVVEL

12.

4 Hány oldalt kellene Matyinak naponta elolvasnia, ha a 129 oldalas Ábel az országban regénynek négy nap alatt akar a végére jutni? Megoldás: Ha x oldalt olvas naponta, akkor négy nap alatt 4·x oldalt. Ez a regény oldalaival egyenlő, vagy annál nagyobb: 4· x ≥ 129 x ≥ 32,25

/:4

Matyinak 33 oldalt kell elolvasnia naponta, és legfeljebb 42 oldalt. Ha több mint 42 oldalt olvasna el, akkor már 3 vagy kevesebb nap alatt kiolvasható a regény. 5

Melyik nagyobb? Írd a megfelelő relációs jelet (< vagy >) a két szám közé! Dolgozz a füzetedben! 7 7 a) 7 + 5 ⋅ 7 + 4 vagy 6 ⋅ 7 + 1; b) 7 ⋅ 9 – 9 + 2 ⋅ 9 + 5 vagy 8 ⋅ 9 + 1; c) 7 +   –  vagy 2 ⋅ 7. 3 5

Megoldás: a) 7 + 5 · 7 + 4 = 6 · 7 + 4 > 6 · 7 + 1; b) 7 · 9 – 9 + 2 · 9 + 5 = 8 · 9 + 5 > 8 · 9 + 1; 7 7 c) A 7 + – összegben a 7-et növeltük egy 7-nél kisebb számmal, ezért 3 5 7 7 7 + – < 2 · 7. 3 5 6x – 12 tört értéke 6 Az x milyen értékei esetén lesz a 5 a) pozitív;  b) nem negatív;  c) negatív;  d) 1-nél kisebb;  e) 1-nél nem nagyobb? (A feladat helytelenül jelent meg a könyvben, a tört nevezője helyesen 5, nem pedig 2.) Megoldás: a)

6 · x – 12 >0 5 6 · x – 12 > 0 6 · x > 12 x>2

/·5 /+12 /:6

6 · x – 12 ≥ 0. Az egyenlőtlenség megoldása az a) alapján: x ≥ 2. 5 6 · x – 12 < 0. Az egyenlőtlenség megoldása az a) alapján: x < 2. c) 5 6 · x – 12 d) <1 /·5 5 6 · x – 12 < 5 /+12 6 · x < 17 /:6 17 x< 6 6 · x – 12 17 ≤ 1. Az egyenlőtlenség megoldása a d) alapján: x ≤ . e) 5 6 b)

͵ͭ

12.

EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA MÉRLEGELVVEL

14 – x tört értéke az x értékétől függ. 2 a) Milyen pozitív x értékek esetén lesz a T tört értéke pozitív? b) Milyen pozitív egész x értékek esetén lesz a T tört értéke pozitív? c) Milyen pozitív x értékek esetén lesz a T tört értéke pozitív egész?

7

A T=

Megoldás: 14 – x tört értéke pozitív, ha a számláló pozitív (mivel a nevező pozitív). 2 A 14 – x számláló pozitív, ha x < 14. Tehát 0 < x < 14. b) A 14-nél kisebb pozitív egészek esetén: 1, 2, … 12, 13. 14 – x tört akkor egész, ha a számlálóban x-ből páros x-et vonunk ki. c) A T = 2 Tehát: x = 2, 4, 6, 8, 10, 12.

a) x pozitív, tehát x > 0. A T =

8 Az italautomata 10 és 20 forintosokat fogad el. Feltöltésekor az üzemeltető egy-egy zsákba üríti a bedobott érméket tartalmazó tartályt. Egy ürítéskor a 10 forintosokat tartalmazó zsák 4 kg tömegű lett, a 20-asokat tartalmazó 2 kg tömegű. A 20 forintos 15%-kal nehezebb a 10-esnél. Melyik zsák tartalma ér többet? Hány százalékkal? Megoldás: 20 Ft-os

10 Ft-os

Mennyiség (darab)

n

m

A zsákok értéke (Ft)

20n

10m

Összes tömeg (kg)

2

4

Egy érme tömege (kg)

2 n

4 m

2 4 2 m m : = · = . n m n 4 2n 10m m = . A 10 Ft-os és 20 Ft-os zsákok értékének aránya: 20n 2n Tehát a 10 Ft-os és 20 Ft-os zsákok értékének aránya egyenlő a 20 Ft-os és 10 Ft-os érmék tömegének arányával. A 10 Ft-os zsák 15%-kal többet ér. A 20 Ft-os és 10 Ft-os érmék tömegének aránya

͵ͮ

EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA MÉRLEGELVVEL

12.

9 Zsó it megbízták azzal, hogy a piacon szerezzen be sárgabarackot. 2500 Ft-ot költhet el. Zsó i felmérte, hogy 1 kg barack ára 380 Ft és 550 Ft között mozog. Mennyi barackot vehet? Megoldás: A legolcsóbb barackból szerezheti be a legtöbbet: 2500 = 4,5 kg-ot. 550 Egyenlőtlenséggel: A vásárolható barack mennyisége x. 2500 Ft-ot költ. 2500 Ft-ból 1 kg barackra x 380 ≤ 2500 x 380 · x ≤ 2500 x ≤ 6,6 380 ≤

2500 = 6,6 kg-ot, a legdrágábból a legkevesebbet: 380

2500 ≤ 550 x 2500 ≤ 550 x 2500 ≤ 550 · x 4,5 ≤ x

/·x /:380

/·x /:550

Zsó i 4,5 kg és 6,6 kg között vehet barackot. 10

Oldd meg az egyenlőtlenségeket:

a) 3 ⋅ x + x – 4 < 34;

b) 3 ⋅ x –

x < –9; 2

2 ⋅ x – 7  > 2 ⋅ x; d) (x – 8) : 7 < –9. 5 (A c) feladat hibásan jelent meg a tankönyv első kiadásában.) c)

Megoldás: a) 3 · x + x – 4 < 34 összevonás: 4 · x – 4 < 34 /+4 4 · x < 38 /:4 38 19 = = 9,5 x< 4 2 c)

2 ⋅ x – 7 > 2x 5 2x – 7 > 10x 2x > 10x + 7 –8x > 7 7 x<– 8

/·5 /+7 /–10x /:(–8)

b) 3 · x –

x < –9 összevonás: 2

5 · x < –9 2 x < –9 :

/:

5 2

5 2 18 = –9 · = – = –3,6 2 5 5

d) (x – 8) : 7 < –9 (x – 8) < –9 · 7 = –63

/·7 /+8

x < –63 + 8 = –55 x < –55

͵ͯ

13.

EGYENLETTEL MEGOLDHATÓ FELADATOK

Feladatok 1 A metró szerelvényeinek első és utolsó kocsijában nagyobb a férőhelyek száma, mint a középső háromban. Az ülőhelyeké 8-cal, az állóhelyeké 13-mal. A teljes szerelvény ülőhelyeinek száma 211, az állóhelyeké 811. Az alábbi két egyenlet a fenti adatokból született. a) 3 ⋅ x + 2 ⋅ (x + 8) = 211; b) 3 ⋅ (y – 13) + 2 ⋅ y = 811 A füzetedben fogalmazd meg azt a két kérdést, melyekre az egyenletek megoldása ad választ! Mi az egyenletek alaphalmaza? Mit jelöltünk x-szel, illetve y-nal? Oldd meg az egyenleteket a füzetedben! Megoldás: a) Mennyi az egyes metró kocsikban az ülőhelyek száma, ha a szerelvény az első és utolsó kocsijában 8-cal nagyobb, mint a középső háromban? Az egyenletek alaphalmaza a pozitív egész számok halmaza. x-szel jelöltük a középső három kocsi ülőhelyeinek számát. Az egyenlet megoldása: 3 · x + 2 · (x + 8) = 211 3 · x + 2 · x + 16 = 211 5 · x + 16 = 211 5 · x = 195 x = 39

/–16 /:5

A középső három kocsiban 39, a két szélsőben 47 ülőhely van. Összesen: 39 · 3 + 47 · 2 = 211. b) Mennyi az egyes metró kocsikban az állóhelyek száma, ha a szerelvény az első és utolsó kocsijában 13-mal nagyobb, mint a középső háromban? y-nal jelöljük a két szélső kocsi állóhelyeinek számát. Az egyenlet megoldása: 3 · (y – 13) + 2 · y = 811 3 · y – 39 + 2 · y = 811 5 · y – 39 = 811 5 · y = 850 y = 170

/+39 /:5

A két szélső kocsiban 170 állóhely van, a középső háromban kocsiban 157. Összesen: 157 · 3 + 170 · 2 = 811.

͵Ͱ

EGYENLETTEL MEGOLDHATÓ FELADATOK

13.

2 Keresd meg a szöveges feladatokhoz tartozó egyenletet, és oldd meg a füzetben! A) A 33 fős osztály tanulói 8 egyforma padot megtöltöttek, és egy tanulónak nem jutott hely. Hány személyes a pad? B) A 33 fős 6. a osztályban 3-mal több a lány, mint a iú. Mennyi a lányok és a iúk száma? C) A 33 fős osztályban mindenki tanulja az angol vagy a német nyelvet. Angolt 19, németet 17 diák tanul, és olyan is van, aki mindkettőt. Hányan tanulják mindkét nyelvet? D) Az osztálylétszám harmadánál 4-gyel többen vannak a iúk. A lányok 18-an vannak. Hány tanuló van az osztályban? 1 a) 19 + 17 – x = 33; b) 8 ⋅ x + 1 = 33; c)  ⋅ x + 4 = x – 18; d) x + x + 3 = 33. 3 Megoldás: A) → b) x személyes egy pad. 8 · x + 1 = 33 8 · x = 32 x=4

/–1 /:8

4 személyesek a padok. 8 padot 32 tanuló tölt meg. 1 tanulónak nem jut hely. 8 · 4 + 1 = 33. B) → d) A iúk száma x. x + x + 3 = 33 2 · x + 3 = 33 2 · x = 30 x = 15

/–3 /:2

15 iú és 18 lány jár az osztályba: 15 + 18 = 33. C) → a) Mindkét nyelvet x fő tanulja. Az angol és német nyelvet tanulók összege a két nyelvet tanulókat kétszer veszi igyelembe, ezért egyszer kivonva megkapjuk az osztálylétszámot: 19 + 17 – x = 33 36 – x = 33 –x = –3 x=3

/–36

Mindkét nyelvet 3 tanuló tanulja. Csak angolt 19 – 3 = 16, csak németet 17 – 3 = 14 tanuló tanul. 16 + 14 + 3 = 33.

͵ͱ

13.

EGYENLETTEL MEGOLDHATÓ FELADATOK

D) → c) Az osztálylétszám x. A iúk száma az osztálylétszám harmadánál 4-gyel nagyobb, másrészt az osztálylétszámból kivonva a lányok számát: 1 · x + 4 = x – 18 /–4 3 1 · x = x – 22 /–x 3 2 2 /: – – · x = –22 3 3 x = 33 A 33-as létszám harmada 11, ennél 4-gyel nagyobb a iúk száma: 15. A lányoké 18. 18 + 15 = 33.

( )

3 Add meg a következő egyenlet igazsághalmazát: x ⋅ x = 4! a) Az alaphalmaz a pozitív egész számok halmaza. b) Az alaphalmaz az egész számok halmaza. Próbálkozz az x = –5, –4, …, 4, 5 számok behelyettesítésével! Megoldás: a) 1 · 1 = 1 < 4, 2 · 2 = 4, 3 · 3 = 9 > 4, 4 · 4 = 16 > 4, … egyre nagyobb a 4-től való eltérés, ezért sejthető, hogy nincs több megoldás a pozitív egészek halmazán. b) (–5) · (–5) = 25 > 4, (–4) · (–4) = 16 > 4, (–3) · (–3) = 9 > 4, (–2) · (–2) = 4, (–1) · (–1) = 1 < 4, 0 · 0 = 0 < 4. 1 · 1 = 1 < 4, 2 · 2 = 4, 3 · 3 = 9 > 4 … A szorzatok 4-től való eltérése x = 2 után és x = –2 előtt egyre nagyobb, ezért sejthető, hogy nincs több megoldás az egészek halmazán. Tehát x = –2 vagy x = 2. 4

a) Oldd meg az x ⋅ x < 50 egyenlőtlenséget! Az alaphalmaz az egyjegyű prímszámok halmaza. b) Oldd meg az x ⋅ x > 100 egyenlőtlenséget! Az alaphalmaz az egyjegyű pozitív számok halmaza.

Megoldás: a) x · x < 50 Az egyjegyű prímszámok: 2, 3, 5, 7. Ezeket behelyettesítve: 2 · 2 = 4 < 50, 3 · 3 = 9 < 50, 5 · 5 = 25 < 50, 7 · 7 = 49 < 50. Minden egyjegyű prímszám megoldása az egyenlőtlenségnek. Az egyjegyű prímek halmazán az egyenlőtlenség azonosság. b) x · x > 100 Az egyjegyű pozitív számokat behelyettesítve: 1 · 1 = 1 < 100, 2 · 2 = 4 < 100, …. 9 · 9 = 81 < 100. Nincs megoldás az egyjegyű pozitív számok halmazán. Ezen a halmazon az egyenlőtlenség ellentmondás.

͵Ͳ

EGYENLETEK GYAKORLÁSA

14.

Feladatok 1 Az alábbi egyenletek között vannak olyanok, melyeknek azonos az alaphalmaza és az igazsághalmaza is. Az ilyen egyenleteket egyenértékűeknek, idegen szóval ekvivalenseknek nevezzük. Az egyenletek megoldásával keresd meg ezeket! x – 5  = x; 3 ⋅ x = 6; 3 ⋅ x + 1 = 10. 4 ⋅ (7 – x) = 48; 2 ⋅ x + 2 = 4; x – 2 = 4 – x;  2 Megoldás: 4 · (7 – x) = 48 7 – x = 12 –x = 5 x = –5 x – 5  = x 2 x – 5 = 2x –x – 5 = 0 –x = 5 x = –5

/:4 /–7

/·2 /–2x /+5

2·x+2=4 2·x=2 x=1

/–2 /:2

x – 2 = 4 – x 2 · x – 2 = 4 2 · x = 6 x=3

/+x /+2 /:2

3 · x = 6 x=2

/:3

3 · x + 1 = 10 3·x=9 x=3

/–1 /:3

Egyenértékű az első és a negyedik, valamint a harmadik és a hatodik egyenlet. 2 Oldd meg az egyenlőtlenségeket! 5 ⋅ x – 4 > 5 + x; 7 ⋅ x < 14 ⋅ x; 3 ⋅ x – 2 > 5 + 3 ⋅ x; 7 ⋅ x – 2 < 2 + 7 ⋅ x; 2 ⋅ (x – 5) + 1 > –3 ⋅ x – 5; 4 ⋅ (x – 1) + 3 > –8 ⋅ x + 7;

4 ⋅ x > 8 ⋅ x; 6 ⋅ x + 4 > 2 + 3 ⋅ x; –(x – 3) + 1 > –3 ⋅ (x – 5).

Megoldás: 5 ⋅ x – 4 > 5 + x 5 ⋅ x > 9 + x 4 ⋅ x > 9 9 x> 4

/+4 /–x /:4

7 ⋅ x < 14 ⋅ x 0<7·x x>0

/–7x :7

3 ⋅ x – 2 > 5 + 3 ⋅ x /–3x – 2 > 5 Ellentmondás, az egyenlőtlenségnek nincs megoldása.

7 ⋅ x – 2 < 2 + 7 ⋅ x /–7x – 2 < 2 Azonosság. Az egyenlőtlenség minden szám esetén teljesül.

2 ⋅ (x – 5) + 1 > –3 ⋅ x – 5 2 ⋅ x – 10 + 1 > –3 ⋅ x – 5 2 ⋅ x – 9 > –3 ⋅ x – 5 /+9 2 ⋅ x > –3 ⋅ x + 4 /+3x 5 ⋅ x > 4 /:5 4 x> 5

4 ⋅ (x – 1) + 3 > –8 ⋅ x + 7 4 ⋅ x – 4 + 3 > –8 ⋅ x + 7 4 ⋅ x – 1 > –8 ⋅ x + 7 /+8x 12 ⋅ x – 1 > 7 /+1 12 ⋅ x > 8 /:12 8 2 x> = 12 3

4 ⋅ x > 8 ⋅ x 0>4·x x<0

/–4x /:4

6 ⋅ x + 4 > 2 + 3 ⋅ x 3 ⋅ x + 4 > 2 3 ⋅ x > –2 2 x>– 3

/–3x /–4 /:3

–(x – 3) + 1 > –3 ⋅ (x – 5) –x + 3 + 1 > –3 ⋅ x + 15 /+3x 2 ⋅ x + 4 > 15 /–4 2 ⋅ x > 11 /:2 11 x> 2

͵ͳ

14.

EGYENLETEK GYAKORLÁSA

3 Végezd a zárójelek felbontását és az összevonásokat! A füzetedben dolgozz! 5 ⋅ (x – 7) – 2 ⋅ (x + 8) =; 2 ⋅ (5 ⋅ x + 1) – 7 ⋅ (2 ⋅ x – 6) =; 9 ⋅ (4 ⋅ x + 3) + 4 ⋅ (5 ⋅ x – 2) =. Megoldás: 5 ⋅ (x – 7) – 2 ⋅ (x + 8) = 5 ⋅ x – 35 – 2 ⋅ x – 16 = 3 ⋅ x – 51; 2 ⋅ (5 ⋅ x + 1) – 7 ⋅ (2 ⋅ x – 6) = 10 ⋅ x + 2 – 14 ⋅ x + 42 = –4 ⋅ x + 44; 9 ⋅ (4 ⋅ x + 3) + 4 ⋅ (5 ⋅ x – 2) = 36 ⋅ x + 27 + 20 ⋅ x – 8 = 56 ⋅ x + 19. 4

Írj egyenletet az a), b) és c) feladatokhoz, és oldd is meg azokat!

Írj az előzőekhez hasonló szöveges feladatot a d), e), f) és g) egyenletekhez is! Oldd is meg a feladatokat! a) Gondoltam egy számot. A 9-szereséhez hozzáadtam 9-et. Így ugyanakkora számot kaptam, mint amikor a szám feléhez adtam felet. Melyik számra gondoltam? b) Egy szám kétszereséből kivontam hatot. Ugyanakkora számot kaptam, mint a számnál hárommal kisebb szám duplája. Melyik ez a szám? c) Egy szám kétszereséből kivontam nyolcat. Ugyanakkora számot kaptam, mint a számnál hárommal kisebb szám duplája. Melyik ez a szám? 2x – 3 2 2x – 3 2 3 d) 4 ⋅ x – 6 = 2 ⋅ x + 1;  e) 4 ⋅ (x – 6) = 2 ⋅ (x + 1);  f)  = x – 3;  g)  = x –  5 5 5 5 5 Megoldás: a) Gondoltam egy számot. A 9-szereséhez hozzáadtam 9-et. Így ugyanakkora számot kaptam, mint amikor a szám feléhez adtam felet. Melyik számra gondoltam? Gondoltam egy számot: x. A 9-szereséhez hozzáadtam 9-et: 9 · x + 9. x 1 A szám feléhez adtam felet: + . 2 2 x 1 /·2 Ez a kettő egyenlő: 9 · x + 9 = + 2 2 18 · x + 18 = x + 1 /–18 18 · x = x – 17 /–x 17 · x = –17 /:17 x = –1 A (–1) 9-szereséhez 9-et adva: (–1) · 9 + 9 = 0. –1 1 A –1 feléhez felet adva: + = 0. 2 2 b) Egy szám kétszereséből kivontam hatot. Ugyanakkora számot kaptam, mint a számnál hárommal kisebb szám duplája. Melyik ez a szám? A szám: x. Kétszeresénél 6-tal kevesebb: 2 · x – 6. A számnál hárommal kisebb szám duplája: (x – 3) · 2. Ez a kettő egyenlő: 2 · x – 6 = (x – 3) · 2 2 · x – 6 = 2 · x – 6. Azonossághoz jutottunk. A feltételek minden szám esetén teljesülnek.

͵ʹ

EGYENLETEK GYAKORLÁSA

14.

c) Egy szám kétszereséből kivontam nyolcat. Ugyanakkora számot kaptam, mint a számnál hárommal kisebb szám duplája. Melyik ez a szám? Az x kétszereséből 8-at kivonunk: 2 · x – 8. A számnál hárommal kisebb szám duplája: (x – 3) · 2. 2 · x – 8 = (x – 3) · 2 2·x–8=2·x–6 Ellentmondásra jutottunk. Nincs a feltételeknek megfelelő szám. d) 4 · x – 6 = 2 · x + 1. Egy szám négyszeresénél 6-tal kisebb szám ugyanakkora, mint a duplájánál 1-gyel nagyobb szám. 4·x–6=2·x+1 /–2x 2·x–6=1 /+6 2·x=7 /:2 7 x= 2 7 A négyszerese 14. Ennél 6-tal kisebb szám: 8. 2 7 A kétszerese 7. Ennél 1-gyel nagyobb szám: 8. 2 e) 4 · (x – 6) = 2 · (x + 1). A gondolt számnál 6-tal kisebb szám 4-szerese ugyanakkora, mint amekkora a gondolt számnál 1-gyel nagyobb szám duplája. 4 · (x – 6) = 2 · (x + 1) /:2 2 · (x – 6) = x + 1 2 · x – 12 = x + 1 /+12 2 · x = x + 13 /–x x = 13 A gondolt szám a 13. A nála 6-tal kisebb szám négyszerese: (13 – 6) · 4 = 28. A 13-nál 1-gyel nagyobb szám duplája 14 · 2 = 28. 2x – 3 2 f) = x – 3. 5 5 A gondolt szám kétszeresénél hárommal kisebb szám ötöde ugyanakkora, mint a szám kétötödénél hárommal kisebb szám. 2x – 3 2 = x – 3 /·5 5 5 2x – 3 = 2x – 15 Ellentmondásra jutottunk. Nincs a feltételeknek megfelelő szám. 2x – 3 2 3 g) = x –  . 5 5 5 A gondolt szám kétszeresénél hárommal kisebb szám ötöde ugyanakkora, mint a szám kétötödénél háromötöddel kisebb szám. 2x – 3 2 3 = x –  /·5 5 5 5 2x – 3 = 2x – 3 Azonossághoz jutottunk. A feltételek minden szám esetén teljesülnek.

͵͵

14.

EGYENLETEK GYAKORLÁSA

5 Oldd meg az egyenleteket: a) x + 7 = 9 – 2; b) x + 7 = 9 · x – 2; c) x + 7 · x = 9 – 2 · x; d) 2 · (x + 7) = 2 · x + 7; 2 2 2 e) x + 7 = 2 · x + 14; f)  ⋅ x – 5 = 3 ⋅ x + 1; g)  ⋅ (x – 5) = 3 ⋅ x + 1; h)  ⋅ x – 5 = 3 ⋅ (x + 1)! 3 3 3 Megoldás: a)

x+7=9–2 x+7=7 x=0

d) 2 · (x + 7) = 2 · x + 7 2 · x + 14 = 2 · x + 7 14 = 7 Ellentmondás.

g)

b) /–7

e) /–2x

2  ⋅ (x – 5) = 3 ⋅ x + 1 3 2 10 10 ·x– = 3 · x + 1 /+ 3 3 3 2 13 ·x=3·x+ /–3x 3 3 7 13 7 /: – – ·x= 3 3 3 13 x=– 7

( )

ͭͬͬ

h)

x+7=9·x–2 –8x + 7 = –2 –8x = –9 9 x= 8

/–9x /–7 /:(–8)

x + 7 = 2 · x + 14 /–7 x = 2 · x + 14 /–2x –x = 14 x = –14

2  ⋅ x – 5 = 3 ⋅ (x + 1) 3 2 · x – 5 = 3 · x + 3 /+5 3 2 · x = 3 · x + 8 /–3x 3 7 7 /: – – ·x=8 3 3 24 x=– 7

( )

c)

f)

x+7·x=9–2·x 8·x=9–2·x 10 · x = 9 9 x= 10 2 ·x–5=3·x+1 3 2 ·x=3·x+6 3 7 – ·x=6 3 18 x=– 7

/+2x /:10

/+5 /–3x

( 73 )

/: –

14.

EGYENLETEK GYAKORLÁSA 6

Másold le a táblázatot a füzetedbe, és töltsd ki a hiányzó értékeket!

x

−4

−3

x+1

−3

−2

5–x

9

8

−27

−16

(x + 1)(5 – x)

−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

7

A táblázat segítségével oldd meg a következő egyenleteket és egyenlőtlenségeket a megadott alaphalmazokon! a) (x + 1)(5 – x) = 0 Az egész számok halmazán. b) (x + 1)(5 – x) = 0 A pozitív egészek halmazán. c) (x + 1)(5 – x) > 0 Az egész számok halmazán. d) (x + 1)(5 – x) > 0 A pozitív egészek halmazán. e) (x + 1)(5 – x) = 10 Az egész számok halmazán. f) (x + 1)(5 – x) > 10 Az egész számok halmazán. h) (x + 1)(5 – x) < 10 Az egész számok halmazán. i) (x + 1)(5 – x) ≥ 5 Az egész számok halmazán. Megoldás: x

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

7

x+1

−3

−2

–1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

5–x

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

–1

–2

−27

−16

–7

0

5

8

9

8

5

0

–7

–16

(x + 1)(5 – x) a) b) c) d) e) f) h) i)

(x + 1)(5 – x) = 0. Az egész számok halmazán x = –1 és x = 5. (x + 1)(5 – x) = 0. A pozitív egészek halmazán x = 5. (x + 1)(5 – x) > 0. Az egész számok halmazán x = 0, x = 1, x = 2, x = 3, x = 4. (x + 1)(5 – x) > 0. A pozitív egészek halmazán x = 1, x = 2, x = 3, x = 4. (x + 1)(5 – x) = 10. Az egész számok halmazán nincs megoldás. (x + 1)(5 – x) > 10. Az egész számok halmazán nincs megoldás. (x + 1)(5 – x) < 10. Az egész számok halmazán azonosság. (x + 1)(5 – x) ≥ 5. Az egész számok halmazán x = 0, x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

ͭͬͭ

15.

EGYENES ARÁNYOSSÁG

Feladatok 1 a) b) c) d) e)

Véleményed szerint az alábbi mennyiségek közül melyek állnak egyenes arányban egymással? egy ember életkora – tömege; év eleje óta eltelt napok – hetek száma; telefonbeszélgetés hossza – izetendő összeg; hátizsák tömege – benne lévő füzetek, könyvek száma; életkor – lábméret.

Megoldás: a) b) c) d) e)

Nem állnak egyenes arányban. Ez egyenes arányban van. Ezek állhatnak egyenes arányban. Nem állnak egyenes arányban. Nem állnak egyenes arányban.

2 Döntsd el, hogy az ábrán látható gra ikonok közül melyik mutat egyenes arányosságot a két mennyiség között!

y

Megoldás: A piros gra ikon igen, a többi nem mutat egyenes arányosságot.

1

3 Egy Túró Rudi tömege 31 gramm. Mennyi a tömege a hat és a tíz darabos kiszerelésnek?

0

Megoldás: A hat darabos kiszerelés tömege 186 g, a tíz darabosé pedig 310 g. 4 Egy befőzés alkalmával 30 kg szilvából 18 üveg szilvalekvár készült. a) Hány üveg lekvár készülne 5, 10, 15, 20, 60 kg szilvából? b) Hány kg szilva szükséges 6, 12, 24, 36, 72 üveg szilvalekvár készítéséhez? Megoldás: a) szilva tömege (kg)

5

10

15

20

60

üvegek száma (db)

3

 6

 9

12

36

szilva tömege (kg)

10

20

40

60

120

üvegek száma (db)

 6

12

24

36

 72

b)

ͭͬͮ

1

x

EGYENES ARÁNYOSSÁG

15.

5 Másfél üveg szilvalekvár egy tepsi lódni elkészítéséhez elegendő. Mennyit használ el anya két, illetve három tepsi süteményhez? Megoldás: Két tepsi lódnihoz három üveg szilvalekvár, három tepsi lódnihoz pedig négy és fél üveg szilvalekvár szükséges. 6 Az építkezésen keletkezett hulladék elszállítására teherautókat rendelnek. Nyolc teherautóval 14 tonnát lehet elszállítani. a) Hány teherautót rendeljenek 21 tonna hulladék elszállításra? b) Mennyi hulladék szállítására képes 30 teherautó? c) Ábrázold koordináta-rendszerben az összetartozó értékpárokat 8 teherautóig! Előtte készíts táblázatot! Megoldás: a) 12 teherautót. b) 52,5 tonna hulladék szállítására képes. c) teherautók száma (db) 1 2 elszállított hulladék (t)

1,75

3,5

3

4

5

5,25

7

8,75

6 10,5

7 12,25

 8 14

ͭͬͯ

15. 7

EGYENES ARÁNYOSSÁG

a) Az itt látható táblázatot készítsd el a füzetedben, és írd be a hiányzó értékeket!

a négyzet oldalának hossza (cm) a négyzet kerülete (cm)

1

1,5

2

3

4

b) A két mennyiség között egyenes arányosság van? c) Ábrázold koordináta-rendszerben az összetartozó értékpárokat! Megoldás: a)

a négyzet oldalának hossza (cm) a négyzet kerülete (cm)

b) Igen. c)

ͭͬͰ

1 4

1,5 6

2 8

 3 12

 4 16

EGYENES ARÁNYOSSÁG 8 a) b) c)

15.

Péternek és Pálnak összesen 14 darab 100 forintos pénzérméje van. Hány darab érméjük lehet külön-külön? Készíts táblázatot! Ábrázold koordináta-rendszerben az összetartozó értékpárokat! Egyenes arányosságról van szó ebben a feladatban? Véleményedet indokold!

Megoldás: a)

Péter érméinek száma  0

 1

 2

 3

 4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Pál érméinek száma

13

12

11

10

9

8

7

6

5

 4

 3

 2

 1

 0

14

b)

c) Nem, mert a pontok ugyan egy egyenesre esnek, viszont ez az egyenes nem halad át az origón. 9 A matematikatanár 10 tanulóval dolgozatot íratott. Délután 4-kor kezdte a dolgozatok javítását, és fél öt után hat perccel háromnak a javításával végzett. Azt feltételezzük, hogy mindegyiket ugyanannyi ideig javítja. Ezt igyelembe véve válaszolj a kérdésekre! a) Mennyi ideig javít 1 dolgozatot? b) Készíts táblázatot a dolgozatok számáról és a javításukra felhasznált percekről! c) Milyen összefüggés van ezen mennyiségek között? d) Ábrázold koordináta-rendszerben az összetartozó értékpárokat! e) Mikor fog végezni a matematikatanár a dolgozatok javításával? Megoldás: a) Ha három dolgozatot 36 perc alatt javított ki, akkor egy dolgozatot 12 percig javított a tanár. b) a dolgozatok száma (db)

 1

 2

 3

 4

 5

 6

 7

 8

  9

 10

a javítás ideje (perc)

12

24

36

48

60

72

84

96

108

120

c) Egyenes arányosság.

ͭͬͱ

15.

EGYENES ARÁNYOSSÁG

d)

e) Két óra múlva, azaz 6 órakor fog végezni. 10 Az iskola igazgatójának minden tanuló évvégi bizonyítványát alá kell írnia. Mivel egy-egy osztály bizonyítványát a megfelelő oldalon kinyitva teszik az osztályfőnökök az asztalára, ezért 1 perc alatt 12 bizonyítványt tud aláírni. Készíts egy olyan ábrát, amelyik jól szemlélteti egy 480 fős iskola esetén az aláírt bizonyítványok számát és az aláírásokra fordított időt! Megoldás:

ͭͬͲ

EGYENES ARÁNYOSSÁGGAL MEGOLDHATÓ FELADATOK

16.

Feladatok 1 100 forint 4 petákot, illetve 400 fabatkát ér. Hány fabatkát ér egy peták? Hány forintot ér a) 25 peták és 5 fabatka; b) 100 peták és 2 fabatka; c) 844 fabatka? Hány petákot (és ha kell, fabatkát) ér d) 1012 forint; e) 10 112 forint;

f) 537 forint?

Megoldás: Egy peták száz fabatkát ér. a) 625 Ft + 1,25 Ft = 626,25 Ft. b) 2500 Ft + 0,5 Ft = 2500,5 Ft. c) 211 Ft. d) 40 peták + 48 fabatka. e) 404 peták + 48 fabatka. f) 21 peták + 48 fabatka. 2 Egy cukrászdában 8 adag vaníliasodó elkészítéséhez 6 tojást használnak fel. Hány adag sodó készül a) 3; b) 18; c) 36; d) 60 tojásból? Hány tojást használnak e) 4; f) 16;

g) 24;

h) 56 adag sodó készítéséhez?

Megoldás: a)–d)

e)–h)

sodó (adag)

4

24

48

80

tojás (db)

3

18

36

60

sodó (adag)

4

16

24

56

tojás (db)

3

12

18

42

ͭͬͳ

16. 3 a) b) c)

EGYENES ARÁNYOSSÁGGAL MEGOLDHATÓ FELADATOK

Az óra nagymutatója egy óra alatt 360 fokot fordul. Ábrázold koordináta-rendszerben az eltelt percek és az elfordulás fokokban mért szögét! Hány fokot fordul a nagymutató 5, 25, 100 perc alatt? Mennyi idő telik el 90, 30, 10 fokos fordulat alatt?

Megoldás: a)

b)

idő (perc)

 5

 25

100

elfordulás (fok)

30

150

600

idő (perc)

15

 5

5 3

elfordulás (fok)

90

30

10

c)

4 Középkori kolostorokban az éjszaka múlását gyertyaórával mérték, kihasználva, hogy egy egyenletesen égő gyertyából azonos idő alatt azonos magasságú viaszoszlop éjfél olvad le. A gyertyaóra alkalmas időzítésre is, akár egy ébresztőóra. Mindössze egy szöget kell a gyertyába szúrni abban a magasságban, ahol a gyertya égni fog a kívánt időpontban, 3 óra és egy fémtálat aláhelyezni. Így amikor a gyertya a szögig leég, vagyis a „beállított” időpontban a szög kiolvad, nagy csattanással a tálkába esik, jelezve, hogy ideje felkelni. Mikor „ébreszt” a képen látható gyertyaóra? (PISA 2009. 36. feladata: gyertya) Megoldás: A gyertya 5:30-kor ébreszt. 5 Gondolkozz! Ha egy ló egy nap alatt egy kupac abrakot fogyaszt el, akkor hét ló hét nap alatt hány kupac abrakot eszik meg? Megoldás: Ha egy ló egy nap alatt egy kupac abrakot eszik meg, akkor egy ló hét nap alatt hét, hét ló hét nap alatt pedig 49 kupac abrakot eszik meg.

ͭͬʹ

GRAFIKONOK, DIAGRAMOK, ÖSSZEFÜGGÉSEK

17

Feladatok 1 Hat különböző helyen őrölt diót vásároltunk. A hat csomag árát és súlyát mutatja a gra ikon. Minden pont a koordináta-rendszerben egyegy konkrét csomagra vonatkozik. Válaszolj a következő kérdésekre, annak ellenére, hogy a tengelyeken nem látod az értékeket! Döntéseidhez használhatsz vonalzót! a) Melyik a legolcsóbb csomag? b) Melyik a legnehezebb? c) A hat között van-e azonos súlyú? d) Vannak-e olyanok, amelyekért ugyanannyit kellett izetni? e) Az A és D csomag közül melyiket gondolod jobb vételnek? f) A C és a D közül szerinted melyiket érdemes inkább megvenni? g) Vannak-e olyan csomagok, amelyek egyformán jó vételnek számítanak?

ár

A

E

B F C

D súly

Megoldás: a) d) f) g)

A C jelű. b) Az E jelű. c) Igen, a B és a D jelű. Igen, a B és az E jelű csomagért. e) A D jelűt, mert az nagyobb súlyú és alacsonyabb árú. A D jelűt, mert kétszer akkora súlyú és alig drágább, mint a C jelű. Igen, az A és az F, illetve a C és az E jelű csomag egyformán jó vétel.

2 A gra ikonon Magyarország korfája látható.

Férfiak

Nők

100+ 95 - 99 90 - 94 85 - 89 80 - 84 75 - 79 70 - 74 65 - 69 60 - 64 55 - 59 50 - 54 45 - 49 40 - 44 35 - 39 30 - 34 25 - 29 20 - 24 15 - 19 10 - 14 5-9 0-4

445

a) b) c) d)

Magyarország – 2013

356

267 178 Ezer fő

89

0 0 Korosztály

89

178 267 Ezer fő

355

445

Keresd meg a „fa” törzsén a te korosztályodat! Hány gyerek élt 2013-ban Magyarországon, aki veled azonos korosztályba tartozik? Melyik korosztály a legnépesebb? A fa nem szimmetrikus a törzsére. Ez mit jelent a lakosságra nézve?

Megoldás: a) b) c) d)

10–14. Körülbelül 250 ezer iú és 230 ezer lány, azaz 480 ezer. A 35–39 évesek korosztálya. Nem minden korosztályban azonos a nők és a fér iak száma. Például az idősek között több a nő.

ͭͬ͵

17.

GRAFIKONOK, DIAGRAMOK, ÖSSZEFÜGGÉSEK

3 A táblázat a leggyakoribb keresztneveket mutatja 2013-ban. Tudjuk, hogy 88 700 gyermek született ebben az évben Magyarországon. 2014. 01. 01-én

Fér i nevek

2013-ban születettek első keresztneve

Női nevek

2013-ban születettek első keresztneve

 1.

Bence

1667

Hanna

1818

 2.

Máté

1372

Anna

1169

 3.

Levente

1250

Jázmin

1046

 4.

Ádám

1150

Luca

 787

 5.

Dávid

1075

Emma

 783

 6.

Dominik

 998

Nóra

 763

 7.

Dániel

 986

Lili

 728

 8.

Balázs

 950

Zsó ia

 707

 9.

Milán

 894

Zoé

 672

10.

Gergő

 835

Csenge

 661

a) Az ebben az évben született gyerekek hányadrésze kapta a 10 leggyakoribb nevet? b) Készíts oszlopdiagramot a 4 leggyakoribb iú- és a 4 leggyakoribb lánynévről! Az adatokat kerekítsd százas pontosságra! Megoldás: a) A tíz leggyakoribb fiúnevet 11 177 gyerek, a tíz leggyakoribb lánynevet 9134 lány kapta, ez össze20 311 ≈ 0,23 része kapta a tíz leggyakoribb név sen 20 311 gyerek. Az ez évben született gyerekek 88 700 egyikét. b)

ͭͭͬ

GRAFIKONOK, DIAGRAMOK, ÖSSZEFÜGGÉSEK 4

A Balatonon a vitorlázók és a fürdőzők biztonsága érdekében 12,5

17.

m -s szélsebességtől elsőfokú vihars

m felett pedig másodfokú viharjelzés lép életbe. A következő gra ikon a tónál elhelyezett szélses bességmérő berendezésének adatait mutatja.

Idő

18,00

17,30

17,00

16,30

16,00

15,30

15,00

14,30

14,00

13,30

13,00

12,30

12,00

11,30

11,00

10,30

18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

10,00

Szélsebesség (m/s)

jelzés, 16,6

a) A vizsgált időszakban hány percig volt elsőfokú viharjelzés? b) A vizsgált időszakban hány percig volt másodfokú viharjelzés? c) Mikortól nem kölcsönözhetőek a vízibiciklik, ha egy rendelet szerint másodfokú viharjelzés esetén már nem tartózkodhatnak a tavon?

d) Mikor indul el a Vízi család vitorlással a part felé, ha reggel megbeszélték, hogy az elsőfokú viharjelzésig lesznek a vízen? Megoldás: a) 14 órától a vizsgált időszak végéig (azaz 18 óráig). Ez 240 perc. b) Egyszer lehetett másodfokú viharjelzés, 15 óra 45 perckor. Vagyis folyamatosan nem volt másodfokú viharjelzés. c) Pontosan 15:45-kor egy pillanatra elérte a szélsebesség a kritikus sebességet, de ez azonnal mérséklődött. Vagyis ez még nem befolyásolta a kölcsönzést. d) 14 órakor.

ͭͭͭ

17.

GRAFIKONOK, DIAGRAMOK, ÖSSZEFÜGGÉSEK

5 Értelmezd az ábrát! Rendezd táblázatba a leolvasható adatokat! Melyik az a három energiahordozó, amelyik együtt a világ energiafogyasztásának több mint háromnegyedét adta 2000-ben? % 34 32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

Kőolaj Szén Földgáz Nukleáris energia Biomassza Nap-, szél-, vízenergia

A világ energiafogyasztásának forrásai 2000-ben

Megoldás: energiahordozó energiaellátás aránya (%)

Kőolaj

Szén

Földgáz

Nukleáris energia

Biomassza

Nap-,szél-, vízenergia

34

24

20

6

6

10

A három energiahordozó a kőolaj, a szén és a földgáz.

ͭͭͮ

ÖSSZEFOGLALÁS

18.

Feladatok 1 Egy recept szerint a bodzavirágszörphöz 45 dkg bodzavirág, 3 liter víz, 6 dkg citromsav és 1 db szeletelt citrom kell. Néhány napig állni hagyjuk, majd leszűrjük. Hozzáadunk 3 kg cukrot, és ha szükséges, akkor annyi vizet, hogy összesen 6 liter legyen az elkészített szörp mennyisége. a) Hány darab citrom kell 24 liter szörp elkészítéséhez? b) Mennyi virágot rakjunk 9 liter vízbe? c) 180 dkg virágot szedtünk. Ehhez mennyi citromsav szükséges? d) Van otthon 6 darab citrom, 30 dkg citromsav. Hány dekagramm virágot szedjünk? Citromból vagy citromsavból lesz-e maradékunk? Megoldás: a) b) c) d)

4 darab citrom kell hozzá. 135 dkg bodzavirágot. 24 dkg citromsav szükséges. 30 dkg citromsavhoz 5 citromot tudunk felhasználni, egy citrom megmarad. Ehhez a mennyiséghez 225 dkg bodzavirágot kell szedni.

2 Egy lakás havi közös költsége 10 950 Ft. a) Mennyi közös költséget izet az ott lakó család egy év alatt? b) Egyszer egy összegben be izettek 54 750 Ft-ot. Ez hány havi költség ki izetését jelentette? Megoldás: a) 131 400 forintot. b) Ez öt havi közös költség be izetését jelentette. 3 A táblázatban szereplő adatok között egyenes arányosság van. Másold le a táblázatot a füzetedbe, és írd be a hiányzó értékeket! x

2

y

9

3

6

7 22,5

40,5

36

81

Megoldás: x

2

3

6

7

5

9

8

18

y

9

13,5

27

31,5

22,5

40,5

36

81

ͭͭͯ

18.

ÖSSZEFOGLALÁS

4 A gra ikon egy kerékpáros megtett útja és az ideje közötti kapcsolatot mutatja. a) Készíts a gra ikon alapján táblázatot! b) Ha a kerékpáros ezt a sebességet tartaná, akkor 18 óra alatt hány kilométert haladna? c) Ezzel a tempóval szeretne 60 km-t megtenni. Ez mennyi ideig tartana?

32 16 8 1

Megoldás: a)

km 40

eltelt idő(óra)

1

2

 3

 4

 5

megtett út (km)

8

16

24

32

40

2

3

4

óra

b) 144 kilométert haladna. c) 7,5 óráig tartana. 5 Testnevelésórán a gyerekek iskolakört futnak, vagyis az iskola kerítése mentén körbefutják az épületet. Az osztály öt legjobb eredménye a következő: 54 másodperc; 57 másodperc; 1 perc; 1 perc 6 másodperc; 1 perc 12 másodperc; 1 perc 21 másodperc. Ábrázold az eredményeket diagramon! Megoldás:

6 Ha a 2,4 kg cukoroldatban 96 gramm cukrot oldottunk fel, akkor 0,5 kg oldatban hány gramm cukor van? Megoldás: Ha 2,4 kg cukoroldatban 96 g cukor van, akkor 1 kg cukoroldatban 40 g, tehát 0,5 kg oldatban 20 g cukor van.

ͭͭͰ

ÖSSZEFOGLALÁS

18.

7 Öt ládában 90 darab alma található. Ugyanilyen méretű almák és ládák esetén a) hány darab alma van 13 ládában; b) hány ládába csomagolható 306 darab alma? Megoldás: a) Ha 5 ládában 90 alma van, akkor egy ládában 18, tehát 13 ládában 234 darab alma van. b) Mivel egy ládába 18 alma csomagolható, ezért 306 alma 17 ládába csomagolható be. 8 Az osztálykirándulásra 14-en már be izették a pénzt, összesen 224 000 Ft-ot. Ha 25 fős az osztály, akkor még hány forint hiányzik? Megoldás: Ha 14 gyerek 224 000 forintot izetett, akkor a költség fejenként 16 000 forint. A maradék 11 diáknak 11 · 16 000 = 176 000 forintot kell még be izetnie, ennyi hiányzik még.  9 Négy kilogramm kristálycukrot vásároltunk, és 876 forinttal lett kevesebb a bankkártyánkon. Menynyi lett volna ez az összeg, ha a) 3 kg;  b) 5 kg lett volna a vásárolt mennyiség? Megoldás: a) 876 : 4 · 3 = 657 forint; b) 876 : 4 · 5 = 1095 forint. 10 Másold át a táblázatot a füzetedbe, és a megadott ábra alapján írd be a hiányzó értékeket! db

0

0,5

1

2

2,5

3

8,25

9

dkg

dkg 27 24 21 18 15 12 9 6 3 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

db

Megoldás: db

0

0,5

1

2

2,5

3

 8,25

 9

dkg

0

1,5

3

6

7,5

9

24,75

27

ͭͭͱ

18. 11

ÖSSZEFOGLALÁS

Melyik ábra mutat egyenes arányosságot?

a) y

b) y

1

1

0

1

0

x

c) y

d) y

1

1

0

1

x

0

1

x

1

x

Megoldás: Az a), c) és d) ábra mutat egyenes arányosságot. 12 Egy kerék 18 fordulattal 32,4 métert tesz meg. a) Hány métert gurul a kerék 29 fordulattal? b) Hányszor fordult a kerék, miközben 45 métert haladt előre? Megoldás: a) 32,4 : 18 · 29 = 52,2 métert gurul a kerék. b) Egy fordulat alatt 1,8 métert tesz meg a kerék, ezért 45 méter alatt 45 : 1,8 = 25-öt fordul. 13 Egy távolsági autóbusz 12 perc alatt 12 km-t tesz meg. Ha átlagosan ezt a sebességet tartja, akkor a) 1 óra alatt mekkora utat fog megtenni; b) 72 km-t mennyi idő alatt tesz meg? Megoldás: a) 1 óra alatt 60 kilométert tesz meg a busz. b) 1 óra és 12 perc alatt tesz meg 72 kilométert.

ͭͭͲ

ÖSSZEFOGLALÁS

18.

14 Ha 3 m2-re 54 virágpalántát ültettek a kertészek, akkor egy 14 m2-es területre hány palántát fognak ültetni? Megoldás: Ha 3 m2-re 54 palántát ültetnek, akkor 1 m²-re 18 palántát, 14 m2-re pedig 252 palántát ültetnek. 15

Az ábra alapján írj egy szöveget!

dl 8 6 4 2 0

1

2

3

db

Megoldás: Egyforma dobozos üdítőink vannak, de már lehet közöttük bontott is, ezért a darabszámuk nem feltétlenül egész. Bontatlanul mindegyik doboz 2 dl-es. A tartalmukat 2 dl-es poharakba szeretnénk tölteni. Az ábra a dobozok száma és a felhasznált poharak űrmértéke közötti kapcsolatot mutatja. 16 Az előző feladat ábrájából annyit másolj le a füzetedbe, hogy az ábrád egyenes arányosságot mutasson! Ehhez is írj egy szöveget! Megoldás:

Ez a diagram például a dobozos üdítők darabszámát és a bennük lévő üdítőital mennyiségét mutatja. (Egy doboz 2 dl üdítőt tartalmaz).

ͭͭͳ

18.

ÖSSZEFOGLALÁS

17 Nézz utána, hogy mennyi a tengerek átlagos sótartalma! A Holt-tenger vize annyira sűrű, hogy az emberi test lebeg rajta. Ennek oka a magas, 30% körüli sótartalom. a) Keresd meg térképen a Holt-tengert! b) Hogyan állítanál elő otthon holt-tengeri vizet? c) Egy átlagos méretű 150 literes fürdőkádba mennyi sót kellene tölteni, hogy úgy lebegj benne, mint a Holt-tengerben? d) Mennyibe kerülne egy ilyen fürdés? Megoldás: a)

b) Víz és só 7 : 3 arányú összeöntésével. c) 150 · 0,3 = 45 dm3 térfogatú só szükséges. d) 1 dm³ só körülbelül 100 forint, úgyhogy kb. 45 000 forintba kerülne. (A víz ára most elhanyagolható.) 18 Számítsd ki a füzetedben, hogy ha egy 10 000 Ft-os termék árát kétszer egymás után 40%-kal csökkentik, akkor mekkora lesz a végső ár! Mekkora árengedménnyel lehet egy lépésben elérni a végső árat? Megoldás: Az első árengedmény utáni ár: 10 000 · 0,6 = 6000 forint. A második árengedmény utáni, végső ár: 6000 · 0,6 = 3600 forint. Egy lépésben a termék ára 36%-ára csökkent, azaz 64%-os árengedmény kell a végső ár eléréséhez. 19 Gondoltam egy számra, a nyolcszorosából kivontam 5-öt, végül elosztottam 3-mal. Eredményül 17-et kaptam. Melyik számra gondoltam? Írd fel a megfelelő egyenletet, oldd meg lebontogatással! Megoldás: A szöveg alapján az egyenlet: (8x – 5) : 3 = 17. Az egyenlet megoldása: x = 7.

ͭͭʹ

– Valami baj van? – kérdezte Panni Attilát, aki aggodalmas arccal nézte a monitort. – Nem baj, inkább csak számítanunk kell egy kis kellemetlenségre – fordult felé a iú. – A következő állomásunk a Varea-tér, és az eddigi tapasztalatok alapján történhetnek furcsaságok, amíg átjutunk a bolygó légkörén. Ne aggódjatok, ez csak egy látszólagos jelenség, és pár perc alatt el is fog múlni. – Hupsz! – hallatszott Zsombor felől, aki nagyon furcsa arcot vágott. Szó szerint egyre nagyobbra kerekedő szemmel nézték, ahogy Zsombor minden irányban növekedni kezdett. Mire kétszer akkorának látszott, addigra már nyolcszoros lett a térfogata, és a többiek elhűlve csodálkoztak rá igencsak megszélesedett vállaira. – Jujj, neee! – sikkantott Zsuzsi, aki lassan, de megállíthatatlanul szintén terebélyesedni kezdett. Attila már csak kuncogott, amikor látta saját magán, hogy virsli méretűre duzzadnak az ujjai. Panni járt a legrosszabbul, de mégis ő gyógyult leggyorsabban. Először majd háromszorosra puffadt a teste, majd szép lassan lelappadt, mire leszálltak a bolygó űrkikötőjében. Miközben kimasíroztak a hajóból, még egy ellenőrző pillantást vetett a panorámaablak tükröződő felületére, és elégedetten bólintott. Úgy érezte, egy nagyon picit mintha gömbölyűbb maradt volna, mint korábban volt.

1.

A SOKSZÖGEK KERÜLETE

Feladatok  1 Számítsd ki a négyzet kerületét, ha egyik oldalának hossza a) a = 325 mm; b) b = 12,5 cm; c) c = 34 dm;

d) d = 6,2 m!

Megoldás: a) k = 13 dm;

b) k = 5 dm;

c) k = 136 dm;

d) k = 24,8 m.

 2

Számítsd ki a téglalap kerületét, ha egyik oldala a, másik oldala b hosszúságú! 2 b) a = 9,8 dm, b = 770 mm; a) a = 23 cm, b = m; 5 4 3 c) a = dm, b = 3,4 cm; d) a = km, b = 35,5 m. 25 16 Megoldás: a) b) c) d)

k = 2 · (23 + 40) = 126 cm; k = 2 · (9,8 + 7,7) = 35 dm; k = 2 · (1,6 + 3,4) = 10 cm; k = 2 · (187,5 + 35,5) = 446 m.

 3 Egy négyzet alakú telek bekerítéséhez 122 m drótkerítést használtak fel, de kihagyták a 6 m széles kapu helyét. Határozd meg a telek oldalának hosszúságát! Megoldás: A telek oldalának hossza (122 + 6) : 4 = 32 m.  4 Egy deltoid két különböző hosszúságú oldalának összege 20,4 m. a) Mekkora a deltoid kerülete? b) Mekkora lesz a deltoid kerülete, ha a rövidebb oldalait 42 cm-rel növeljük, a hosszabb oldalait pedig 5,5 dm-rel csökkentjük? Megoldás: a) k = 2 · 20,4 = 40,8 m; b) k = 2 · (20,4 + 0,42 – 0,55) = 40,54 m.  5 Döntsd el, hogy igaz vagy hamis! Egy négyszög kerülete kisebb, mint a leghosszabb oldal hosszának négyszerese. Van olyan húrtrapéz, amelynek pontosan három oldala egyenlő hosszúságú. Van olyan rombusz, amely esetében a rövid átló hosszának négyszerese a rombusz kerületét adja. Megoldás: Hamis. (Lehet egyenlő is.) Igaz. Igaz.

ͭͮͬ

A SOKSZÖGEK KERÜLETE

1.

 6 Egy szabályos háromszög minden oldalának hosszát megnöveljük 30 cm-rel. Hogyan változik a kerülete? Megoldás: A háromszög kerülete 90 cm-rel növekszik.  7 Egy rombusz két szemközti oldalának hosszát 3,2 dm-rel, a másik két szemközti oldalának hosszát pedig 239 mm-rel növeljük meg. Hány centiméterrel lesz nagyobb az így kapott paralelogramma kerülete a rombusz kerületénél? Megoldás: 32 + 32 + 23,9 + 23,9 = 111,8 cm. Ennyivel lesz nagyobb az így kapott paralelogramma kerülete.  8 Egy 98 cm hosszú drótból olyan paralelogrammát szeretnénk hajtogatni, amelynek az egyik oldala 13 cm-rel rövidebb, mint a másik. Mekkorák lesznek a paralelogramma oldalai? Megoldás: A rövidebb oldal (90 – 26) : 4 = 16 cm, a hosszabb pedig 29 cm hosszú lesz.  9 Egy négyzet, egy paralelogramma és egy húrtrapéz kerületét számítottuk ki, majd a végeredményeket összekevertük: 52 cm, 51 cm, 50 cm. Mindegyik négyszög minden oldala centiméterben mérve egész szám volt. Mennyi az egyes négyszögek kerülete? Megoldás: Ha minden oldal egész szám, akkor a négyzet kerülete néggyel osztható, és ez csak az 52 cm-re igaz, tehát ez a négyzet kerülete. A paralelogramma területe viszont biztosan páros, és a maradék két szám közül csak az 50 cm páros, ezért ez a szám a paralelogramma kerülete. A húrtrapéz kerülete 51 cm. 10 Egy szabályos és egy egyenlő szárú háromszög kerületét számítottuk ki. Az egyik 2005 cm, a másik 2004 cm. Mindkét háromszög minden oldala centiméterben mérve egész szám volt. Melyik háromszög kerülete a nagyobb? Megoldás: A szabályos háromszög kerülete hárommal osztható, ezért csak 2004 cm lehet. Tehát az egyenlő szárú háromszög kerülete a nagyobb.

ͭͮͭ

2.

A SOKSZÖGEK TERÜLETE

Feladatok 1 Számítsd ki a téglalap területét, ha oldalainak hossza: a) 34 cm és 45 cm; b) 28 cm és 90 cm; c) 2 dm és 18 cm; d) 0,3 m és 74 cm! Megoldás: a) t = 1530 cm2; c) t = 360 cm2;

b) t = 2520 cm2; d) t = 2220 cm2.

2 Mekkora a négyzet területe, ha a) k = 164 cm; c) k = 16 km;

b) k = 640 m; d) k = 256 mm?

Megoldás: a) t = (164 : 4) · (164 : 4) = 1681 cm2; b) t = (640 : 4) · (640 : 4) = 25 600 m2. 3 Számítsd ki a derékszögű háromszög területét, ha két befogójának hossza a) 16,4 cm és 8,6 cm; b) 135 m és 42 m; c) 16 mm és 32 mm; d) 25 dm és 125 dm! Megoldás: a) t = 16,4 · 8,6 : 2 = 70,52 cm2; b) t = 135 · 42 : 2 = 2835 cm2. 4

Egy írólap mérete: 14,6 cm és 21 cm. Vágd ketté az átlója mentén! Mekkora területű darabokat kaptál?

Megoldás: t = 14,6 · 21 : 2 = 153,3 cm2. 5

Egy deltoidnak pontosan két derékszöge van. Az oldalainak hossza 8 cm és 5 cm. Mekkora a területe?

Megoldás: Ha pontosan két derékszöge van, akkor azok szemközti szögek, és a deltoid két egybevágó derékszögű háromszögre vágható: t = 8 · 5 = 40 cm2. 6 Egy téglalap oldalainak hossza 5 cm és 12 cm. Vágd szét az egyik 13 cm hosszú átlója mentén! Az így kapott két derékszögű háromszöget illeszd úgy össze, hogy deltoidot kapj! Mekkora a deltoid két átlója? Megoldás: Az egyik átló hossza 13 cm. A másiknak akkorának kell lennie, hogy a deltoid területe megegyezzen az x ⋅ 13 120 . Innen x = ≈ 9,2 cm. Tehát a két átló 13 cm és 9,2 cm eredeti téglalap területével, azaz 5 · 12 = 2 13 hosszú.

ͭͮͮ

A SOKSZÖGEK TERÜLETE 7

2.

Határozd meg a következő paralelogrammák területét!

a)

D

b)

C

D

C

2 cm A

3 cm

2 cm

B 1,2 cm

A 1,5 cm B

4 cm

Megoldás: a) t = 2 · (3 + 1,2) – 2 · 1,2 = 6 cm2; b) t = 2 · (1,5 + 4) – 2 · 4 = 3 cm2. 8

Határozd meg a következő trapézok területét!

a)

D 1 cm C

4 cm

b)

3 cm

D 1 cm C

1,5 cm

1,5 cm A

3 cm

B

2 cm

2 cm

A

6 cm

B

Megoldás: a) t = 1,5 · (3 + 2) – 2 · 1,5 : 2 – 4 · 1,5 : 2 = 3 cm2; b) t = 1,5 · 6 – 2 · 1,5 : 2 – 3 · 1,5 : 2 = 5,25 cm2. 9 Ábrázold a következő pontokat koordináta-rendszerben: A(–2; 2), B(1; –1), C(7; 2), D(4; 5), E(1; 5), F(–2; 5)! Legyen a koordináta-rendszer egysége 1 cm! a) Nevezd meg a következő sokszögeket: AEF, ABCE, ACDE! b) Mekkorák a fenti sokszögek területei? Megoldás:

a) A sokszögek: AEF derékszögű háromszög, ABCE deltoid, ACDE húrtrapéz. 3·3 = 4,5 cm2; b) tAEF = 2 9·6 = 27 cm2; tABCE = 2 tACDE = 3 · 9 – 2 · tAEF = 3 · 9 – 2 · 4,5 = 18 cm2.

ͭͮͯ

3.

ALAKZATOK A TÉRBEN

Feladatok 1 A kocka egy lapját beszíneztük zöldre. Hány olyan egyenes illeszkedik a kocka két csúcsára, amelyiknek nincs zöld pontja? Megoldás: Hat ilyen egyenes van. A négy nem zöld csúcsra összesen ennyi egyenes illeszkedik. 2

Milyen helyzetű lehet a téglatest két lapátlója?

Megoldás: Lehetnek metszők, ha egy csúcson mennek át, párhuzamosak, ha szemközti oldallapon azonos irányú átlók, illetve kitérők is. 3 Rajzolj a füzetedbe egy kockát, és színezd ki egy élét és egy testátlóját úgy, hogy a) metszők; b) kitérők legyenek! Megoldás: a)

4

b)

Lehet-e egy kocka éle és egy testátlója párhuzamos?

Megoldás: Nem lehet. 5 Mérd meg, hogy egy téglatest alakú doboz egyik csúcsa milyen messze van a többi csúcstól! Hány különböző hosszúságot fogsz kapni? Mindegyiket sikerült megmérned? Megoldás: Hét különböző értéket kapunk. A testátló hossza nem mérhető meg közvetlenül. 6 Egy téglatest alakú doboz három különböző élének hossza: 6 cm, 2 cm és 3 cm. Milyen messze van a doboz egy kiválasztott csúcsa azoktól az oldallapoktól, amelyekre nem illeszkedik ez a csúcs? Megoldás: A távolság 6 cm, 2 cm, illetve 3 cm.

ͭͮͰ

ALAKZATOK A TÉRBEN 7

3.

Rajzold le azt a testet, amelynek három nézetét megadtuk! Felülnézet

Oldalnézet

Elölnézet

Megoldás:

ͭͮͱ

4.

ALAKZATOK A TÉRBEN

Feladatok 1 Számítsd ki a téglatest felszínét, ha az élei a, b és c hosszúságúak! a) a = 48 cm, b = 25 cm, c = 16 cm; b) a = 4,8 dm, b = 2 dm, c = 3,4 dm; c) a = 3 m, b = 22 dm, c = 105 cm; d) a = 2 dm, b = 220 cm, c = 44 100 mm. Megoldás: a) b) c) d)

A = 2 · (48 · 25 + 48 · 16 + 25 · 16) = 4736 cm2; A = 2 · (4,8 · 2 + 4,8 · 3,4 + 2 · 3,4) = 65,44 dm2; A = 2 · (3 · 2,2 + 3 · 1,05 + 2,2 · 1,05) = 24,12 m2; A = 2 · (2 · 22 + 2 · 441 + 22 · 441) = 21 256 dm2.

2 Számítsd ki a téglatest hiányzó élének hosszát! a) b = 8 cm, c = 12 cm, A = 392 cm2; b) b = 6 cm, c = 17 cm, A = 555 cm2. Megoldás: a) a = (392 : 2 – 8 · 12) : 20 = 5 cm; b) a = (555 : 2 – 6 · 17) : 23 ≈ 7,6 cm. 3 Számítsd ki a kocka felszínét, ha az éleinek hossza a) a = 52,8 cm; b) a = 3,54 dm! Megoldás: a) A = 6 · 52,8 · 52,8 = 16 727,04 cm2; b) A = 6 · 3,54 · 3,54 = 75,1896 dm2. 4 Számítsd ki a kocka élének hosszát! a) A = 864 cm2;

b) A = 2646 cm2.

Megoldás: a) a2 = 864 : 6 = 144, b) a2 = 2646 : 6 = 441,

a = 12 cm; a = 21 cm.

5 Egy műanyag doboz alja és teteje egybevágó nyolcszög, amelynek adatait a vázlatrajz mutatja. Mekkora a doboz felszíne, ha a magassága 12 cm?

12 cm 3 cm

5 cm

5 cm 8 cm

3 cm

Megoldás:

4 cm

(

A = 2 · tnyolcszög + toldallapok = 2 · 12 · 8 – 4 ·

ͭͮͲ

5 cm

)

5 cm 4 cm

4 cm

3⋅4 + 12 · (2 + 5 + 4 + 5 + 2 + 5 + 4 + 5) = 144 + 384 = 528 cm2. 2

ALAKZATOK A TÉRBEN

4.

6 Kockát építünk 27 egybevágó, 2 cm élű kiskockából. Hogyan változhat az építmény felszíne, ha egy kiskockát elveszünk a) a sarkáról;  b) az élének a közepéről; c) a lap közepéről? Megoldás: a) A felszín nem változik. b) A felszín növekszik két négyzetlap területével, azaz 8 cm2-rel. c) A felszín növekszik négy négyzetlap területével, azaz 16 cm2-rel. 7 Hat egybevágó rombuszból állítottuk össze az ábrán látható dobozt. A rombuszok átlói 10 cm és 7 cm hosszúságúak. Mekkora a test felszíne? Megoldás: A = 6 ⋅ Trombusz = 6 ⋅

10 ⋅ 7 = 6 · 5 · 7 = 210 cm2. 2

ͭͮͳ

5.

FELSZÍNSZÁMÍTÁSSAL KAPCSOLATOS GYAKORLATI FELADATOK

Feladatok 1 a) b) c)

A 20 cm-szer 30 cm-es csempe három színnel színezett az ábrán látható módon. Az 1,6 méterszer 2,1 méteres felületet hány darab ilyen csempével lehetne burkolni? Megoldható-e vágás nélkül a burkolás? Hány m2-esek lesznek az egyes színek által fedett részek?

Megoldás: a) 160 : 20 = 8 és 210 : 30 = 7, azaz 8 · 7 = 56 darab csempével lehet burkolni. b) Igen, mert mindkét oldalban maradék nélkül megvan a csempe széle és hossza. c) A felület 3,36 m2, ennek a fele zöld, a negyede kék és a másik negyede piros lesz, azaz 1,68 m2 zöld, 0,84 m2 kék és 0,84 m2 piros. 2 A 80 cm széles és 210 cm magas ajtót 10 darab egybevágó, 25 cm oldalú négyzet díszíti. Az ajtó így vízszintesen és függőlegesen is szimmetrikus. a) Milyen széles sávok vannak a négyzetek között, ha azok mindenütt egyenlők, és az ajtó jobb és bal oldalán is ugyanolyan szélesek ezek a sávok? b) Mekkora a sáv a négyzetlapok mellett lent és fent? Megoldás: a) Az ajtó szélességéből a két négyzet 50 centimétert vesz el, a maradék 30 centimétert a 3 sáv között azonos mértékben osztjuk el, így a függőleges sávok 10 cm szélesek. b) Az ajtó magasságából az 5 négyzet 125, a köztük lévő 4 sáv 40 centimétert vesz el, a maradék 45 centimétert kétfelé osztva fent és lent is 22,5 cm magas sávot kapunk. 3 Egy terem oldalfalait halványsárgára, a tetejét fehérre szeretnék festeni. A terem 2,5 méter magas, a szélessége 6 méter, a hosszúsága 12 méter. A négy ablak és az ajtó felülete 18 m2. Egy festékesdoboz 16 m2-re elegendő festéket tartalmaz. Az új színt két rétegben kell felvinni a felületre, mert úgy lesz szép. Hány doboz festéket kell vásárolni? Megoldás: 2 · Asárga = 2 · (2,5 · (6 + 12 + 6 + 12) – 18) = 2 · 72 = 144 m2. A sárga festékből 144 : 16 = 9 doboz festék kell. 2 · Afehér = 2 · 6 · 12 = 144. A fehér festékből is 9 doboz kell. 4 Egy polcrendszer sarokelemét látod az ábrán. Mekkora a felső ötszöglap területe, ha a hozzákapcsolódó szekrények szélessége 60 cm, a hátsó élek pedig 80 cm hosszúak? Megoldás: Számoljunk deciméterben! A négyzet sarkából levágott egyenlőszárú derékszögű háromszög szárai 2 dm hosszúak. 2⋅2 = 62 dm2. tötszöglap = 8 · 8 – 2

ͭͮʹ

FELSZÍNSZÁMÍTÁSSAL KAPCSOLATOS GYAKORLATI FELADATOK

5.

5 A 16 dm2-es járólapokra az ábrán látható mintát tervezték. Egy 3,2 méter széles és 4 méter hosszú szobát ezzel burkolva hány m2 lesz a sötétebb árnyalatú rész területe? Megoldás: 2⋅4 = 4 dm2, a világos rész területe pedig 12 dm2. Tehát a 2 járólap negyedrésze sötétebb árnyalatú. A lefedett terület 3,2 ⋅ 4 = 12,8 m2, ennek a területnek is a negyedrésze, azaz 3,2 m2 lesz sötétebb árnyalatú.

A sötétebb árnyalatú rész deltoid alakú, területe

6 A 12 cm oldalú négyzetlap sarkaiból deltoidokat vágunk ki, majd összehajtva egy felül nyitott dobozt állítunk össze belőle. A doboz alja 4 cm oldalú négyzet, a kivágott deltoidok rövid oldala 2 cm hosszúságú. Mekkora a doboz felszíne? Megoldás: Egy deltoid területe a következő vázlatrajz segítségével kiszámítható:

2⋅4 = 8 cm2. 2 Adoboz = tnégyzet – 4 ⋅ tdeltoid = 12 ⋅ 12 – 4 ⋅ 8 = 112 cm2. tdeltoid = tkisnégyzet – 2 · tderékszögűháromszög = 4 ⋅ 4 – 2 ⋅

7 Egy doboz vázlatrajzát mutatja az ábra. a) Készítsd el a doboz hálózatát! b) Mekkora a test felszíne?

8 cm 10 cm

Megoldás:

8 cm

a) A hálózat:

10 cm 15 cm

20 cm

(

b) A = 15 ⋅ (10 + 20 + 10 + 8) + 2 ⋅ 20 ⋅ 8 – 2·

)

8⋅6 = 15 ⋅ 48 + 2 ⋅ 112 = 944 cm2. 2

ͭͮ͵

6.

ÁTDARABOLÁSSAL MEGADHATÓ TESTEK TÉRFOGATA

Feladatok 1 Számítsd ki a téglatest térfogatát, ha az élei a, b és c hosszúságúak! a) a = 2,8 cm, b = 32 mm, c = 0,2 dm; b) a = 45 mm, b = 8,2 cm, c = 0,05 m; c) a = 12 cm; b = 1,2 dm; c = 0,12 m; d) a = 3 cm; b = 9 cm; c = 27 cm. Megoldás: a) b) c) d)

V = a · b · c = 2,8 · 3,2 · 2 = 17,92 cm3; V = 45 · 82 · 50 = 184 500 mm3; V = 12 · 12 · 12 = 1728 cm3; V = 3 · 9 · 27 = 729 cm3.

2 Mekkora a téglatest hiányzó élének a hossza? b) V = 450 cm3, a = 8 cm, c = 9 cm; a) V = 2460 cm3, a = 10 cm, b = 6 cm; d) V = 343 m3; b = 7 m; c = 700 cm. c) V = 625 cm3; b = 5 cm; c = 25 cm; Megoldás: a) b) c) d)

c = V : a : b = 2460 : 10 : 6 = 41 cm; b = V : a : c = 450 : 8 : 9 = 6,25 cm; a = V : b : c = 625 : 5 : 25 = 5 cm; a = V : b : c = 343 : 7 : 7 = 7 m.

3 Számítsd ki a kocka térfogatát, ha az élei a hosszúságúak! a) a = 6,4 m; b) a = 2,1 mm; c) a = 25 cm; d) a = 9 dm. Megoldás: a) b) c) d)

V = 6,43 = 262,144 m3; V = 2,13 = 9,261 mm3; V = 253 = 15 625 cm3; V = 93 = 729 dm3.

4 Mekkora a kocka élhossza, ha az űrmértéke a) 125 l; b) 64 ml; c) 121,67 dl; d) 92,61 hl? Megoldás: a) b) c) d)

a3 = 125 dm3, a = 5 dm; a3 = 0,064 dm3, a = 0,4 dm; a3 = 12,167 dm3, a = 2,3 dm; a3 = 9261 dm3, a = 21 dm.

ͭͯͬ

ÁTDARABOLÁSSAL MEGADHATÓ TESTEK TÉRFOGATA

6.

5 Ha a téglatestet az 51,2 cm2-es lapjával tesszük az asztalra, akkor 12 cm magas. Milyen magas, ha a 76,8 cm2-es lapját rakjuk az asztalra? Megoldás: A téglatest térfogata 51,2 · 12 = 614,4 cm3. Ugyanennyit kapunk akkor is, ha a 76,8 cm-t szorozzuk az ismeretlen magassággal. Ezért az ismeretlen magasság: 614,4 : 76,8 = 8 cm. 6

A 2. példában szereplő két számjegy közül melyiknek nagyobb a térfogata és mennyivel?

Megoldás: A 4-es számjegy térfogata nagyobb, mert ott kevesebb a hulladék. A piros háromszög alapú falemez térfogata a különbség: Vpiros = 2 · 2 : 2 · 0,6 = 1,2 cm3. 7 Elhiszed-e, hogy az előző lecke 1. példájában szereplő fürdőkádban elfér 800 liter víz? Válaszodat számításokkal alátámasztva magyarázd el! Megoldás: Számoljunk deciméterben! Vkád = 16 · 8 · 6 = 768 dm3. Mivel a kád egy 768 dm3-es részt foglal el, ezért 768 liternél is kevesebb víz férhet bele. Vagyis nem fér el benne 800 liter víz. 8 Paralelogramma keresztmetszetű, 2,4 méter hosszú vasrudakat szállítanak teherautóval. A paralelogramma adatait az ábráról olvashatod le. a) Hány darab rudat rakhatnak fel a teherautóra, ha 2 m3-nél többet biztonsági okokból nem szállíthatnak? b) Ezeket a rudakat le kell festeni. Mekkora a felülete egy ilyen rúdnak?

8 cm 5 cm

3 cm

4 cm

5 cm 5 cm

Megoldás: a) Vrúd = tparalelogramma · 2,4 = 0,08 · 0,04 · 2,4 = 0,00768 m3, 2 : 0,00768 ≈ 260,4. Tehát legfeljebb 260 rudat tehetnek fel a teherautóra. b) Arúd = 2 · 8 · 4 + 240 · (5 + 8 + 5 + 8) = 6304 cm2.

ͭͯͭ

7.

ÖSSZEFOGLALÁS

A következő 12 kérdéssel átismételheted a legfontosabb fogalmakat, képleteket, amelyeket a kerület-, terület-, felszín- és térfogatszámítással kapcsolatban eddig tudnod kell. Minden kérdésre egy 0 és 999 közötti egész szám lesz a helyes válasz!  1. Egy egyenlő oldalú háromszög kerülete 264 m. Hány méter hosszú az oldala?  2. Egy paralelogramma két különböző oldalának hossza összesen 342 cm. Hány centiméter a kerülete?  3. Ha a deltoid 102 cm-es rövidebb oldala és a hosszabb oldala közötti eltérés 42 cm, akkor hány centiméter a kerülete?  4. Egy háromszög kerülete 2014 mm. Két oldalának hossza 777 mm és 999 mm. Hány milliméter a harmadik oldal hossza?  5. Egy négyszög minden oldala centiméterben mérve egész szám. Hány centiméter lehet maximálisan a leghosszabb oldala, ha a kerülete 1701 cm?  6. Olyan húrtrapézt rajzoltunk, amelynek három oldala is egyenlő. Van 630 cm-es és van 205 cm-es oldala is. Hány centiméter a kerülete?  7. Egy deltoid mindkét átlója 38 cm hosszú. Hány cm² a területe?  8. Hány m² a területe a 23 m-es és 42 m-es befogóval rendelkező derékszögű háromszögnek?  9. Egy testet négy egybevágó trapéz és két különböző négyzet határol. Mennyi a lapok, élek, csúcsok számának szorzata? 10. Nyolc darab 9 cm élű kockát úgy rakunk egymás mellé, hogy középen marad egy 9 cm élű, kocka alakú lyuk. Az így kapott test hány cm³-es? 11. Nyolc darab 3 cm élű kockát úgy rakunk egymás mellé, hogy középen marad egy 3 cm élű, kocka alakú lyuk. Az így kapott test felszíne hány cm2-es? 12. Egy 8 cm élű kockát két egyforma testre vágunk szét. Hány cm³-es lesz az így kapott egyik test térfogata? Megoldás:  1. 88;  2. 684;  3. 492;  4. 238;  5. 850;  6. 2095;  7. 722;  8. 483;  9. 576; 10. 5832; 11. 288; 12. 256.

ͭͯͮ

ÖSSZEFOGLALÁS

7.

Feladatok 1 Töhötöm meghatározta egy négyzet, egy háromszög, egy szabályos háromszög és egy paralelogramma kerületét. Ezeket az eredményeket kapta: 342 cm, 352 cm, 344 cm, 345 cm. Töhötöm sajnos összekeverte az eredményeket, és már nem tudja, hogy melyik szám melyik síkidomhoz tartozik. Arra emlékszik, hogy minden síkidom minden oldalának hossza centiméterben mérve egész szám volt. Segíts megtalálni a helyes párosítást! Megoldás: A négyzet kerülete 4-gyel osztható, tehát kerülete 352 és 344 cm lehet. A szabályos háromszög kerülete 3-mal osztható, tehát 342 és 345 lehet. A paralelogramma kerülete páros, tehát 342, 352 és 344 lehet. A háromszög kerülete bármelyik lehet. A lehetséges esetek táblázata: négyzet

352

344

344

352

352

344

háromszög

342

342

352

344

345

345

szabályos háromszög

345

345

345

345

342

342

paralelogramma

344

352

342

342

344

352

Mekkora az ábrán látható deltoidok és rombusz területe? 16 cm

27 cm

Mindhárom területe 216 cm2.

27 cm

Megoldás:

16 cm

27 cm

2

16 cm

3 A képen látható desszertes doboz alja és teteje egybevágó szabályos hatszög. A hatszög oldalai 8 cm hosszúak, a doboz magassága pedig 6 cm. Mekkora felületet kell körben a dobozra ragasztott címkével lefedni?

Megoldás: A = 6 · 8 · 6 = 288 cm2.

ͭͯͯ

7.

ÖSSZEFOGLALÁS

4 A lekváros papucs nevű sütemény készítésekor 5 cm oldalú négyzetekre vágjuk a kinyújtott tésztát. Ezeknek a közepébe egy kis lekvárt teszünk, és a négyzet két szemközti csúcsát középre hajtjuk. Mekkora területű az így elkészített lekváros papucsok alja? Megoldás:

5 cm

5 cm

A könyv első kiadásában „két-két szemközti csúcsát” szerepelt a feladat szövegében, tévesen. Most a téves szöveggel is megoldjuk!

A lekváros papucs területe az eredeti négyzet területének a fele lesz, azaz 5 · 5 : 2 = 12,5 cm2.

A lekváros papucs területe az eredeti négyzet területének a háromnegyede lesz, azaz 5 · 5 · 3 : 4 = 18,75 cm2.

5 Nagymama a kinyújtott tésztát 12 cm-es négyzetekre vágja. Mindegyik négyzet közepébe túrót tesz, majd a négyzet minden csúcsát behajtja középre. Az így elkészített túrós batyuknak mekkora területű az aljuk? Megoldás: A túrós batyuk alja a kinyújtott négyzetek területének a fele lesz, azaz 12 · 12 : 2 = 72 cm2 területűek. 6 Egy épület tetejének vázlatát mutatja a rajz. Az ábráról az adatok is leolvashatóak. Mekkora a tetőtér térfogata?

Megoldás: Vtetőtér = ttrapéz · 14 = (33 · 3 – 2 · 6,5 · 3 : 2) · 14 = 79,5 · 14 = 1113 m3.

ͭͯͰ

ÖSSZEFOGLALÁS 7 a) b) c) d)

7.

Határozd meg rövidebben! Olyan paralelogrammát rajzoltunk, amelynek van 90°-os szöge. Olyan paralelogrammát rajzoltunk, amelynek minden oldala egyenlő hosszúságú. Olyan trapézt rajzoltunk, amelynek minden szöge 90°-os, és két szomszédos oldala egyenlő hosszúságú. Olyan trapézt rajzoltunk, amelynek bármelyik két szomszédos oldala egyenlő hosszúságú.

Megoldás: a) Téglalapot rajzoltunk. b) Rombuszt rajzoltunk. c) Négyzetet rajzoltunk. d) Rombuszt rajzoltunk. 8

Hányféle téglatest építhető nyolc darab egyforma kockából?

Megoldás: Háromféle. Az élek hossza: (1, 1, 8), (1, 2, 4), (2, 2, 2). 9 Hogyan lehet egy kockát szétdarabolni a) 8; b) 27;

c) 20 kisebb kockára?

Megoldás: a) Minden lapjával párhuzamosan félbevágjuk. b) Minden lapjával párhuzamosan harmadoljuk. c) 27 kockára vágjuk, majd ebből 8 darabot összeragasztunk egy kockává. 10

Peti kirakta a nevét kockákból. Ez megtetszett Edének is, aki szintén kirakta a nevét.

a) Melyikük használt fel több kiskockát a nevéhez? b) Ha 1 cm élűek a kockák, akkor hány cm2 a két iú nevének a felszíne? c) Tervezd meg a KOCKA és GEOMETRIA szavakat kiskockákból összerakva! Színezd a szavak kiskockáit, hogy térbeli kockáknak látsszanak! Megoldás: a) Peti 8 + 10 + 7 + 5 = 30 kiskockát, Ede pedig 10 + 10 + 10 = 30 kiskockát használt fel. Vagyis ugyananynyit használtak. b) A nevek felszíne egyenként 30 cm2. c)

ͭͯͱ

11 A nyomtató tintapatronja tégla alakú, oldalai 6 cm, 2,5 cm és 1,2 cm hosszúak. Hány ml a térfogata? Ha ez a patron 3200 Ft, akkor mennyibe kerülne 1 liter ilyen tinta? Megoldás: Számoljunk deciméterben! V = 0,6 · 0,25 · 0,12 = 0,018 dm3 = 0,018 l = 18 ml. 1000 ml : 18 ml ≈ 55,6, tehát egy liter ilyen tinta 55,6 · 3200 = 177 920 forintba kerülne. 12 A gízai nagy piramis, más néven Kheopsz-piramis térfogata körülbelül 2 500 000 m3. a) Mekkora lenne egy ugyanekkora térfogatú 5 méter magas téglatestnek az alapja? b) Ha 700 méter lenne ennek az 5 méter magas téglának az egyik alapéle, akkor mekkora lenne a harmadik él? c) Hány futballpályát lehetne befedni 5 méter magasan a Kheopsz-piramis köveivel? Egy futballpálya mérete kb. 105 m ⋅ 70 m. Megoldás: a) 2 500 000 : 5 = 500 000 m2 lenne az alapja. b) 500 000 : 700 ≈ 714,3 m lenne a harmadik él. c) 500 000 : (105 · 70) ≈ 68,03. Tehát 68 futballpályát lehetne befedni. 13 Egy emésztőgödör 3 m × 3 m × 2 m nagyságú. Mekkora tartályú szippantóautót kell hívni, ha 80%-ig van tele a gödör? Megoldás: 3 · 3 · 2 · 0,8 = 14,4 m3 tartályú autót kell hívni. 14 Egy hócipőt tekinthetünk két egymáson fekvő téglatestnek, ahol az egyik téglatest oldalai 12 cm, 36 cm és 8 cm, míg a másik téglatest oldalai 12 cm, 12 cm és 15 cm hosszúak. Hány liter folyadékkal tölthetünk meg egy hócipőt? Megoldás: Számoljunk deciméterben! V = Valsó + Vfelső = 1,2 · 3,6 · 0,8 + 1,2 · 1,2 · 1,5 = 5,616 dm3 = 5,616 l.

15 A Habzsi család úszómedencéje 6 méter széles, 9 méter hosszú és 1,2 méter mély. Mennyibe kerül feltölteni, ha 1 m3 víz ára 460 Ft, és a víz 85%-a után köbméterenként kell még 488 Ft csatornadíjat is izetni. Megoldás: Vmedence = 6 · 9 · 1,2 = 64,8 m3. A csatornadíjas vízmennyiség 64,8 · 0,85 = 55,08 m3. A izetendő összeg: 64,8 · 460 + 55,08 · 488 = 56 687,04 forint.

ͭͯͲ

A gyerekek szomorkásan bámulták az ablak mögötti semmit. – Fel a fejjel. Négy bolygón jártunk 12 nap alatt, az annyi mint három naponta egy új hely. Érdemes volt a FérExszel jönni – szögezte le Gazsi. – Kár, hogy indulunk haza, amikor van még egy pár hely, amit nem láttunk – toldotta meg Panni. Jó lenne, ha még elmennénk valahová. – Pár hely? A csillagok 17%-ának van bolygója, az nagyjából minden hatodik. Lenne hová menni – egészítette ki Attila. Tudod hány katalógust böngésztünk át a hálón amíg ezeket kiválasztottuk? – Vigyázz! Ha véletlenszerűen ugrunk el valahová a térben, nagyon kicsi az esélye annak, hogy jó helyre jutunk. Nem számíthatunk arra, hogy egy csillagközi kíber űr lotta arra jár, és felvesz minket. Ennek nagyjából 0 az esélye, és ilyen csak a ilmekben fordul elő. – tette hozzá óvatosan Berta. – Pedig izgalmas lenne. Gondoljatok bele, egy óriási katonai anyahajón hazamenni nem lenne utolsó dolog. Az egész hajónk elférne a dokk egyik sarkában és mindenki velünk foglalkozna – ábrándozott Panni. Elindultak, és a véletlennek ikarcnyi szerepe sem volt abban, hogy gond nélkül álltak pályára a Hold körül.

1.

ͭͯʹ

JÁTÉK

ADATOK ÁBRÁZOLÁSA

2.

Feladatok 1

a) b) c) d)

A gra ikon alapján válaszolj a kérdésekre!

Melyik ország csapata szerezte a legtöbb pontot? Hányadik lett Magyarország? Hány pontot szerzett Andorra? Keresd meg a térképen a felsorolt országokat!

Megoldás: a) b) c) d)

Hollandia; 3; 0; –.

2 A gra ikon a tanulók által kötött biztosítások számát ábrázolja 2004-ben és 2014-ben. Döntsd el, hogy melyik állítás igaz! a) A biztosítások száma körülbelül kétszeresére nőtt. b) A biztosítások számának változását látjuk 10 év alatt. c) Az iskolába járó iúk és lányok számát láthatjuk. d) A biztosítások száma körülbelül 5%-kal nőtt. Beszéljétek meg a tanulságokat! Megoldás: a) b) c) d)

HAMIS; IGAZ; HAMIS; IGAZ.

ͭͯ͵

3.

KÖRDIAGRAM

Feladatok 1 Megkérdeztek 30 gyereket, hogy mik szeretnének lenni egy rockegyüttesben, és a válaszokat kördiagramon ábrázolták.

a) b) c) d)

A kör hányadrésze tartozik az énekesekhez? Használd a szögmérődet! Hányan akarnak énekesek lenni? A kör hányadrésze tartozik a basszusgitárosokhoz? Hányan akarnak basszusgitárosok lenni? Hány gyerekkel kevesebb akar dobolni, mint gitározni? Készíts az adatokból oszlopdiagramot!

Megoldás: Az egyes tartományokhoz tartozó szögeket, arányokat és számokat egy táblázatba rendeztük. mért fok hányad rész gyerekek száma a) A kör körülbelül

dobos

énekes

gitáros

basszusgitáros

60°

155°

120°

25°

60 1 = 360 6

155 31 = 360 72

120 1 = 360 3

25 5 = 360 72

30 ⋅

1 =5 6

30 ⋅

31 = 12,92 ≈ 13 72

1 30 ⋅ = 10 3

30 ⋅

25 = 2,083 ≈ 2 360

155 31 = -ed része tartozik az énekesekhez. Ez körülbelül 13 gyereknek felel meg. 360 72

13 ⋅ 360° = 156°-os szög tartozna, tehát egy kicsit pontatlanul mértünk. (Ha valaki pontosan 30 mér, akkor nincs szükség kerekítésre.) 25 5 = -ed része tartozik a basszusgitárosokhoz. Ez körülbelül 2 gyereknek felel b) A kör körülbelül 360 72 2 meg. Hozzájuk ⋅ 360° = 24°-os szög tartozna, tehát egy kicsit pontatlanul mértünk. (Ha valaki pon30 tosan mér, akkor nincs szükség kerekítésre.) c) 10 – 5 = 5 gyerekkel kevesebb akar dobolni, mint gitározni. d) Hozzájuk

ͭͰͬ

KÖRDIAGRAM

3.

2 Az osztályban félévkor 7 tanuló jeles, 4 jó, 8 közepes és 5 elégséges volt nyelvtanból. Szemléltesd ezeket az adatokat oszlop- és kördiagramon is! Megoldás:

3 Matyi az iskolában minden héten 100%-os teljesítményt nyújt. Ebből 35%-ot hétfőn, 25%-ot kedden, 15-15%-ot szerdán és csütörtökön. A maradék 10%-ot pénteken teljesíti. Ábrázold az adatokat kördiagramon! Megoldás: A feladat tréfás, de a kördiagram elkészíthető. hétfő

kedd

szerda

csütörtök

péntek

35%

25%

15%

15%

10%

360°∙0,35=126°

360°∙0,25=90°

360°∙0,15=54°

360°∙0,15=54°

360°∙0,10=36°

ͭͰͭ

3.

KÖRDIAGRAM

Tesztfeladatok 1 Hány százalékot szemléltet egy 36°-os középponti szögű körcikk? A: 36%; B: 129,6%; C: 10%; D: Nem lehet kiszámolni. Megoldás: C. 2 Egy 24 fős osztályban 9 iú van és 15 lány. Mekkora középponti szögű körcikk szemlélteti a iúkat egy kördiagramon? A: 135°; B: 24°; C: 225°; D: Nem lehet kiszámolni. Megoldás: A. 3 Egy 24 fős osztályban 9 iú van és 15 lány. Mekkora középponti szögű körcikk szemlélteti a lányokat egy kördiagramon? A: 135°; B: 24°; C: 225°; D: Nem lehet kiszámolni. Megoldás: C. 4 Az iskola tanulóinak 2%-a vörös, 29%-a szőke, 54%-a barna és 15%-a fekete hajú. Hányan járnak az iskolába? A: 100; B: 200; C: 248; D: Nem lehet kiszámolni. Megoldás: D.

ͭͰͮ

SORBARENDEZÉSEK

4.

Feladatok 1

Hányféle sorrendben lehet megenni a paradicsomlevest, a rántott húst és a túrógombócot?

Megoldás: 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6 féle sorrendben. 2 Berta meg akarja látogatni Szo it Kétegyházán, de közben be kell ugrania Gyulán a nagymamához. Békéscsabáról autóval, vonattal, busszal vagy biciklivel mehet Gyulára, de onnan Kétegyházára továbbmenni csak autóval, busszal vagy biciklivel érdemes. Hányféle módon teheti meg az utat Békéscsabáról Kétegyházára? Megoldás: Ha feltesszük, hogy minden jármű használata mindig lehetséges (mert például a biciklit a nagymamánál tudja hagyni), akkor 4 ∙ 3 = 12 féle járműpárt választhat.

ͭͰͯ

5.

ÖSSZEFOGLALÁS

Csoportmunka A táblázat a Toldi második énekében található betűk darabszámát tartalmazza. (A kettős betűket külön számoltuk, azaz például a táblázatban az sz egy darab s-et és egy darab z-t jelent.) a

á

b

c

d

e

é

324

121

84

37

93

333

137

f

g

h

i

í

j

k

42

153

69

143

16

75

159

l

m

n

o

ó

ö

ő

200

142

257

139

29

66

28

p

q

r

s

t

u

ú

33

0

154

235

257

29

26

ü

ű

v

w

x

y

z

17

8

70

0

0

123

125

a) Hány magán- és hány mássalhangzó van a második énekben? Megoldás: 1416 magánhangzó és 2308 mássalhangzó. b) A betűk hányadrésze magán-, illetve mássalhangzó? Írd fel százalékos alakban is! Megoldás: 1416 354 2308 577 = ≈ 0,3802; 38,02% a magánhangzók és = ≈ 0,6198; 61,98% a mássalhangzók 3724 931 3724 931 aránya. c) Ábrázold a magán- és mássalhangzók számát oszlopdiagramon és kördiagramon! Megoldás:

    

ͭͰͰ

ÖSSZEFOGLALÁS

5.

d) Hasonlítsd össze a kapott adatokat a második lecke első példájában kapott eredménnyel! magánhangzó

mássalhangzó

összesen

darabszám hányadrésze az összesnek

1

százalékban

100%

Megoldás: Egész számokra kerekítve a magánhangzók, illetve a mássalhangzók százalékos aránya megegyezik a Toldi első két énekében. Ezek az arányok kerekítve 38%, illetve 62%. A különbség a magánhangzók, illetve a mássalhangzók első és második énekben lévő aránya között mindössze 0,1–0,2%. magánhangzó

mássalhangzó

összesen

darabszám

1416

2308

3724

hányad része az összesnek

1416 354 = ≈ 0,3802 3724 931

2308 577 = ≈ 0,6198 3724 931

1

százalékban

38,02%

61,98%

100%

e) Mit gondolsz, milyen százalékos eloszlást kapnál a magánhangzók és mássalhangzók számára vonatkozóan a Toldi harmadik énekének adatai alapján? Megoldás: Nagyon valószínű, hogy a többi énekben is ez lesz a magánhangzók és a mássalhangzók aránya. f) Vajon ugyanilyen eloszlást kapnál-e, ha Quetzalcóatl (ejtsd: kezalkóatl), az azték mitológiában a tudás és a tanulás istene lenne a vizsgált szöveg főszereplője? Megoldás: Az eloszlás nem lenne tökéletesen hasonló, hiszen a Toldi első két énekében egyetlen Q betű sincsen, de egy Quetzalcóatl-ról szóló történetben nyilván sokszor előfordul. Ugyanakkor egy elegendően hoszszú szövegben a magánhangzók és a mássalhangzók százalékos előfordulása nem sokat változna.

ͭͰͱ

5.

ÖSSZEFOGLALÁS

Feladatok 1 Az oszlopdiagramról leolvasható betűkhöz tartozó értékeket írd be egy táblázatba, majd ábrázold ezeket kördiagramon! Megoldás: A

B

C

D

E

F

50

60

90

70

50

40

2 Négy gyerek, Gerzson, Jerri, Panni és Lulu indult a versmondó versenyen. a) Hányféle sorrendben végezhettek? b) Hányféle sorrendben végezhettek, ha Lulu lett a negyedik és Gerzson a második? Megoldás: a) 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24 a lehetséges sorrendek száma. b) 2 ∙ 1 = 2 a lehetséges sorrendek száma. 3 A büfében önkiszolgáló szendvicsösszerakó helyet létesítettek. Készítheted vajjal vagy margarinnal, sonkával, párizsival vagy szalámival, normál vagy füstölt sajttal, uborkával, paprikával vagy salátával. a) Ha mindegyik típusú összetevőből pont egyet használhatsz, akkor hányféle szendvicset készíthetsz? b) Ha az is lehetséges, hogy nem teszel rá sajtot vagy húsfélét, akkor hányféle szendvicset készíthetsz? c) Ha bevezetik a választási lehetőséget a fehér kenyér, rozskenyér és a korpás zsömle között, akkor hogyan változik az a) és a b) kérdésre adott válasz? Megoldás: a) 2 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 3 =36 lehetséges szendvicset készíthetsz. b) 2 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 3 = 72 lehetséges szendvicset készíthetsz, ha nem kell sajtot illetve húsfélét beletenni. c) a) 3 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 3 = 108 lehetséges szendvicset készíthetsz. A b) 3 ∙ 2 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 3 = 216 azaz háromféle kenyér háromszorosra növeli a lehetséges szendvicsek számát.

ͭͰͲ

ÖSSZEFOGLALÁS 4

5.

Rajzold le egy kartonpapírra az alábbi ábrát! Vágd ki, és ragassz belőle egy kockát!

A pettyeket is másold át az ábra szerint! A kettes melletti üres lapot hajtsd belülre, és erre ragaszd a 6 pettyes lapot! a) Mit gondolsz, ezt a kockát eldobva melyik lesz a leggyakrabban előforduló szám? b) Dobjatok 20-at a most készített papírkockátokkal! Melyik szám lett a leggyakoribb? c) Ábrázoljátok a saját adataitokat oszlopdiagramon! d) Összesítsétek a dobások eredményeit! Készítsetek táblázatot az eredményekből! Melyik lett a leggyakoribb dobott szám? e) Ábrázoljátok az összesített adatokat oszlopdiagramon! f) Hogyan tudnátok olyan kockát készíteni, amelyen a 6 lényegesen többször jön ki, mint a többi szám? g) Végezzétek el a kísérletet egy szabályos dobókockával is! Válaszoljátok meg a b), c), d), e) kérdéseket ebben az esetben is! Megoldás: a) Mivel a 6-os lap a legnehezebb, ezért az 1-est várjuk leggyakoribbnak. b) Nem biztos, hogy 20 kísérletből az 1-es lesz a leggyakoribb. c) Saját eredmények. d) Összesítve nagyon valószínű, hogy az 1-es lesz a leggyakoribb. e) Saját eredmények. f) Tegyünk egy nehezéket az 1-es lapra belülről! g) Szabályos dobókockával nagyjából egyforma gyakoriságokat várunk.

ͭͰͳ