Masarykova univerzita Ekonomicko správní fakulta

Masarykova univerzita Ekonomicko–správn´ı fakulta

Finanˇ cn´ı matematika distanˇcn´ı studijn´ı opora

ˇ amský Frantiˇsek C´

Brno 2005

´ za finanˇcn´ı podpory Evropske´ unie v ramci ´ Tento projekt byl realizovan programu SOCRATES — Grundtvig. ´ Za obsah produktu odpov´ıda´ výluˇcneˇ autor, produkt nereprezentuje nazory Evropske´ komise a Evropska´ komise neodpov´ıda´ za pouˇzit´ı informac´ı, jeˇz jsou obsahem produktu. This project was realized with financial support of European Union in terms of program SOCRATES — Grundtvig. Author is exclusively responsible for content of product, product does not represent opinions of European Union and European Commission is not responsible for any uses of informations, which are content of product

´ DrSc. Recenzoval: prof. Ing. Jiˇr´ı Dvoˇrak, ˇ ı matematika Financn´ Vydala Masarykova univerzita ´ ı fakulta Ekonomicko–spravn´ ´ ı prvn´ı Vydan´ Brno, 2005 ˇ amsk´ c Frantiˇsek C ´

y, 2005 ISBN 80-210-3479-3

Identifikace modulu Znak

KFFIMA ´ Nazev

Finanˇcn´ı matematika ˇ ı Urcen´

Pro studenty 3. semestru kombinovaného studia oboru Penˇeˇznictv´ı, studijn´ıho smˇeru Pojiˇst’ovnictv´ı, Bankovnictv´ı, Bc., oboru Management ˇ kombinovaného studijn´ıho programu a programu CZV. Garant

Ing. Frantiˇsek Kalouda, CSc., M.B.A. Autor

ˇ amsk´ RNDr. Frantiˇsek C´ y

C´ıl Vymezen´ı c´ıle

Mil´ı studenti, c´ılem kurzu Finanˇcn´ı matematika“ je seznámit se s poˇcetn´ımi operacemi ve ” finanˇcn´ı matematice, kde pˇredpokládané pˇredcházej´ıc´ı znalosti nepˇrekraˇcuj´ı stˇredoˇskolskou u ´roveˇ n student˚ u. Struktura textu je ˇclenˇena do jednotliv´ ych kapitol, které vˇzdy konˇc´ı ukázkov´ ymi pˇr´ıklady pro lehˇc´ı pochopen´ı závˇereˇcn´ ych vztah˚ u odvozen´ ych v tˇechto kapitolách. Prvn´ı ˇcást pojednává o jednoduchém u ´roˇcen´ı at’ pˇredlh˚ utn´ım nebo polh˚ utn´ım, v´ ypoˇcty jednotliv´ ych hodnot, jako poˇcáteˇcn´ıho kapitálu, velikosti u ´rokové sazby, koneˇcného kapitálu pˇri známé u ´rokové sazbˇe a taktéˇz doby vkladu. V této ˇcásti si vysvˇetl´ıme i d˚ uleˇzit´ y pojem v ekonomice, diskontn´ı faktor, vyuˇz´ıvan´ y zvláˇstˇe u ˇreˇsen´ı problém˚ u dluhopis˚ u a derivát˚ u finanˇcn´ıch trh˚ u. Dalˇs´ı ˇcást je vymezena sloˇzenému u ´rokován´ı kde je postup v´ ykladu metodicky obdobn´ y jako u jednoduchého u ´roˇcen´ı. Tato ˇcást je zakonˇcena kombinac´ı jednoduchého a sloˇzeného u ´roˇcen´ı, v praxi velmi pouˇz´ıvané metody pˇri v´ ypoˇctech jednotliv´ ych hodnot. Jelikoˇz se v bˇeˇzné praxi i v ekonomick´ ych teori´ıch setkáváme s pojmy nomináln´ı, reálná a efektivn´ı u ´roková sazba, jsou tyto pojmy podrobnˇeji vysvˇetleny stejnˇe jako u ´roková intenzita pˇri u ´roˇcen´ı spojitém. Praxe, at’ jiˇz v bankovnictv´ı nebo pojiˇst’ovnictv´ı je zaloˇzena na spoˇren´ı klient˚ u, a z tˇechto d˚ uvod˚ u si v dalˇs´ı ˇcásti vysvˇetl´ıme problémy spoˇren´ı jak krátkodobého tak i dlouhodobého pˇri spoˇren´ı roˇcn´ım, pololetn´ım, ˇctvrtletn´ım a mˇes´ıˇcn´ım. Z odvozen´ ych v´ yraz˚ u m˚ uˇzeme vypoˇc´ıtat jednotlivé hodnoty, které jsou potˇrebné pro dosaˇzen´ı c´ılové ˇcástky spoˇren´ı pˇri známé u ´rokové sazbˇe finanˇcn´ıch u ´stav˚ u. V dalˇs´ım pokraˇcován´ı studijn´ı opory zamˇeˇr´ıme svoji pozornost na otázku d˚ uchod˚ u, dnes velmi diskutované problematiky. V návaznosti na to si vysvˇetl´ıme problematiku placen´ı i velikost v´ yplat d˚ uchod˚ u doˇzivotn´ıch a také doˇcasn´ ych. V této kapitole se téˇz seznám´ıme i s otázkou d˚ uchod˚ u vˇeˇcn´ ych. Navazuj´ıc´ım problémem d˚ uchod˚ u je pak otázka u ´vˇer˚ u a jednotlivé v´ ypoˇcty potˇrebn´ ych hodnot. Závˇerem se pak v krátkosti seznám´ıme s nˇekter´ ymi

pˇr´ıklady vyuˇzit´ı finanˇcn´ı matematiky v praxi za pouˇzit´ı r˚ uzn´ ych metod, hlavnˇe pˇri veden´ı bˇeˇzn´ ych u ´ˇct˚ u a taktéˇz veden´ı kontokorentn´ıch u ´vˇer˚ u. Velmi krátce se zm´ın´ıme o cenn´ ych pap´ırech s v´ ypoˇctem kurzu akci´ı. Otázka dluhopis˚ u je pak prob´ıraná v kurzu Anal´ yza dluhopis˚ u“ a nen´ı proto v tomto ” studijn´ım textu uvedena. Dovednosti a znalosti

Po prostudován´ı textu bychom mˇeli b´ yt schopni ˇreˇsit u ´lohy z jednoduchého a sloˇzeného u ´roˇcen´ı a tyto zp˚ usoby umˇet jednoduch´ ym zp˚ usobem vysvˇetlit. Zvláˇstˇe je tˇreba znát zp˚ usoby diskontován´ı a z toho dovést vypoˇc´ıtat poˇcáteˇcn´ı (souˇcasnou) hodnotu kapitálu. Stejnˇe je nutno porozumˇet a prakticky spoˇc´ıtat u ´lohy kapitoly spoˇren´ı, nebot’ klienty bude vˇzdy zaj´ımat u ´roková sazba, koneˇcn´ y kapitál, kter´ y naspoˇr´ı a doba spoˇren´ı. Vzhledem k reformˇe d˚ uchodového systému se budou klienti zaj´ımat o moˇznosti zabezpeˇcen´ı d˚ uchodu, nebo-li nav´ yˇsen´ı d˚ uchodu ze státn´ıho d˚ uchodového fondu vlastn´ım ˇ sen´ım praktick´ spoˇren´ım se státn´ım pˇr´ıspˇevkem. Reˇ ych u ´loh a jejich vysvˇetlen´ı klient˚ um je pˇredpokladem, ˇze je dokáˇzete na konkrétn´ıch pˇr´ıkladech pro tako´ cen´ı na bˇeˇzn´ vouto formu spoˇren´ı pˇresvˇedˇcit. Uroˇ ych u ´ˇctech a kontokorentn´ıch u ´vˇerech je pˇredpokladem dobrého pracovn´ıka finanˇcn´ıch u ´stav˚ u a zárukou, ˇze v praxi budete umˇet tyto problémy samostatnˇe ˇreˇsit a také je klient˚ um ˇ vysvˇetlit. Reˇsen´ım u ´loh, které jsou uvedeny vˇzdy na závˇer kaˇzdé kapitoly porozum´ıte studované problematice a pozdˇeji umoˇzn´ı i teorii spolehlivˇe in´ terpretovat. Ulohy pro samostatné zpracován´ı po vás poˇzadované, budou vˇzdy vybrány z u ´loh, které jsou uvedeny za kaˇzdou kapitolou této studijn´ı pom˚ ucky.

ˇ ´ Casov y´ plan Jelikoˇz se jedná o kurz, kde je nutno umˇet ˇreˇsit u ´lohy na základˇe studované problematiky a také závˇery z ˇreˇsen´ı vysvˇetlit, je studium znaˇcnˇe nároˇcné na ˇcas, nebot’ zahrnuje právˇe ono ˇreˇsen´ı u ´loh z jednotliv´ ych kapitol pˇredloˇzeného textu. Text této publikace je nutno studovat po ˇcástech a k nˇekter´ ym ka’ pitolám se i vracet, nebot následuj´ıc´ı kapitoly sv´ ym obsahem navazuj´ı na pˇredeˇslé. Vhodné je také pouˇz´ıvat i jiné prameny a zdroje pro pochopen´ı a doplnˇen´ı znalost´ı, které jsou potˇrebné pro bˇeˇznou praxi ve finanˇcn´ı sféˇre. Rozdˇelen´ı studia je konstruováno na ˇcást prezenˇcn´ı a samostatné studium takto: ˇ ´ cnost ˇ Casov a´ naro

prezenˇcn´ı ˇcást 6 hodin samostudium 78 hodin POT 6 hodin (2 POT vˇzdy na konci vˇetˇs´ıch celk˚ u) ˇ Celkovy´ sudijn´ı cas

90 hodin

Harmonogram

ˇ ıjen: R´ 1.–2. t´ yden samostudium (seznámen´ı se studijn´ı pom˚ uckou, jej´ım obsahem a jednotliv´ ymi kapitolami) 3. t´ yden tutori´ al (´ uvodn´ı konzultace k prvn´ım kapitolám kurzu Fi” nanˇcn´ı matematika“ a seznámen´ı s poˇzadavky, zadán´ı témat a zdroj˚ u pro samostudium, zadán´ı POT1) – 2 hodiny Listopad: 1. t´ yden samostudium (kapitola 1) – 9 hodin 2. t´ yden samostudium (kapitola 2) – 12 hodin 3. t´ yden samostudium (kapitola 3) – 6 hodin vypracován´ı POT1 – 3 hodiny 4. t´ yden tutori´ al (odevzdán´ı POT1, konzultace k problémov´ ym témat˚ um, u ´vod do dalˇs´ıch kapitol, zadán´ı POT2) – 2 hodiny Prosinec: 1. t´ yden samostudium (kapitola 4) – 12 hodin 2. t´ yden samostudium (kapitola 5) – 10 hodin 3. t´ yden samostudium (kapitola 6) – 9 hodin vypracován´ı POT2 – 3 hodiny 4. t´ yden tutori´ al (odevzdán´ı POT2, konzultace k problémov´ ym témat˚ um, poˇzadavky ke zkouˇsce) 2 hodiny Leden: 1. t´ yden samostudium (kapitola 7) – 8 hodin 2. t´ yden samostudium (kapitola 8) – 6 hodin 3. t´ yden samostudium (kapitola 9) – 6 hodin ´ Unor – bˇrezen: P´ısemná zkouˇska (kapesn´ı kalkulátor nebo na PC)

Zpusob ˚ studia Studium mus´ı b´ yt zamˇeˇreno nejen na pochopen´ı jednotliv´ ych kapitol studijn´ıho textu, ale téˇz na zvládnut´ı praktick´ ych u ´loh, které jsou uvedeny na konci kaˇzdé kapitoly této studijn´ı pom˚ ucky. Vyˇreˇsen´ı tˇechto u ´loh nám nav´ıc umoˇzn´ı pochopit pouˇzit´ı teorie v praxi a t´ım z´ıskat potˇrebné znalosti z jednotliv´ ych kapitol. U vˇsech u ´loh je vˇzdy uveden v´ ysledek pro snadnˇejˇs´ı kontrolu u ´spˇeˇsnosti jejich ˇreˇsen´ı. Je velmi vhodné aby jste propoˇc´ıtali i ukázkové pˇr´ıklady, na kter´ ych si uvˇedom´ıte pochopen´ı nebo nepochopen´ı studované problematiky. Je nav´ıc velmi vhodné se mezit´ım vracet k tˇem témat˚ um, které jsou nezbytnˇe nutné pro pochopen´ı dalˇs´ıch kapitol a t´ım si neustále upevˇ novat znalosti, které budou potˇrebné v závˇereˇcném testu a zhodnocen´ı studijn´ı u ´spˇeˇsnosti z finanˇcn´ı matematiky. U této studijn´ı pom˚ ucky nejde pouze o pochopen´ı teoretick´ ych základ˚ u, ale o jejich uˇzit´ı v bˇeˇzné praxi bankovn´ıho nebo pojiˇst’ovac´ıho pracovn´ıka ve svém zaˇrazen´ı a také pochopen´ı, ˇze bez dobré znalosti a ˇreˇsen´ı problém˚ u finanˇcn´ı matematiky se ztrác´ı na

d˚ uvˇeryhodnosti ze strany klient˚ u. V dalˇs´ım máte uvedenou povinnou a doporuˇcenou literaturu pro dalˇs´ı prohlouben´ı znalost´ı ze studované problematiky. Jedná se o rozˇs´ıˇren´ı a také i jiné pohledy na problémy finanˇcn´ı matematiky i jej´ı uˇzit´ı v praxi. POT1 bude individuálnˇe zadán v prvn´ım tutoriálu a POT2 ve druhém tutoriálu. Budou obsahovat nejen teoretické studie, ale i ˇreˇsen´ı vybran´ ych u ´loh z uveden´ ych otázek k zamyˇslen´ı. Studijn´ı pomucky ˚

Povinná literatura ˇa ´msky ´, F.: Finanˇcn´ı matematika. 1. vydán´ı, Brno, MU ESF C 1997, ISBN 80-210-1509-8 Cipra, T.: Finanˇcn´ı matematika v praxi . Edice HZ, Praha 1995 Cipra, T.: Praktický pr˚ uvodce finanˇcn´ı a pojistnou matematikou. Edice HZ, Praha 1995 ´, J., Dvor ˇa ´k, P.: Finanˇcn´ı matematika pro kaˇzdého. Radova Grada, Praha 1993 ´, D.: Finanˇcn´ı a pojistná matematika. Montanex, Sm´ ekalova Ostrava–V´ıtkovice 1996 Doporuˇcená literatura ´ Eichler, B.: Uvod do finanˇcn´ı matematiky. Septima, Praha 1993 ć ˇek, O.: Finanˇcn´ı a pojistná matematika. Prospektrum, Macha Praha 1995 ˇ Praha 1992 Walter, J.: Finanˇcn´ı a pojistná matematika. VSE, Vybaven´ı

PC pˇripojené k internetu vybavené programem MS EXCEL s finanˇcn´ımi, matematick´ ymi a statistick´ ymi funkcemi (ve verzi 97 a vyˇsˇs´ı) ´ ´ se studijn´ımi texty Navod prace

Text nestudujte jako beletrii. Je potˇrebné se nejdˇr´ıve seznámit s obsahem kapitoly jej´ım pˇreˇcten´ım a potom podrobnˇeji prostudovat. Doporuˇcoval bych studovat tento kurz s pap´ırem a tuˇzkou v ruce. Aˇz pochop´ıte teorii, pˇrepoˇc´ıtejte si nˇekter´ y z ukázkov´ ych pˇr´ıklad˚ u a potom si vyˇreˇste nˇekterou u ´lohu ˇ ım v´ıce u z ˇrady u ´kol˚ u k zamyˇslen´ı za kaˇzdou kapitolou. C´ ´loh vypoˇc´ıtáte, t´ım lépe pochop´ıte studovanou problematiku a budete znalosti z jednotliv´ ych kapitol umˇet pouˇz´ıt nejen na teoretické u ´rovni, ale i ˇreˇsit konkrétn´ı u ´lohy, s kter´ ymi se setkáte v bˇeˇzné finanˇcn´ı praxi. Vhodn´ ym prostˇredkem pro rychlejˇs´ı a spolehlivé ˇreˇsen´ı uveden´ ych pˇr´ıklad˚ u je softwarov´ y produkt (program MS Excel), kde jsou uvedeny nejen funkce matematické, statistické, ale i finanˇcn´ı. V uvedeném textu si dˇelejte vysvˇetluj´ıc´ı poznámky, pokud pochop´ıte jednotlivé vztahy, a také poznámky z jiné povinné nebo doporuˇcené literatury, ˇc´ımˇz si umoˇzn´ıte studovat nˇekteré problémy v´ıce podrobnˇeji a upevn´ıte tak svoje znalosti. V závˇeru tohoto studijn´ıho textu jsou v pˇr´ıloze uvedeny základn´ı a odvozené v´ yrazy z jednotliv´ ych kapitol a mohou slouˇzit k jejich vyuˇzit´ı v bˇeˇzné praxi. Tyto v´ yrazy je moˇzno doplˇ novat a vytváˇret si bázi pouˇziteln´ ych mo-

difikovan´ ych (upraven´ ych) vzorc˚ u pro vlastn´ı potˇrebu, i takov´ ych, které se v bˇeˇzné praxi nevyskytuj´ı ˇcasto. Kaˇzd´ y poznatek a pˇripom´ınka k tomuto studijn´ımu textu budou v´ıtány, nebot’ poslouˇz´ı k zdokonalen´ı v´ ykladu a metod pro chápán´ı obsahu dalˇs´ım student˚ um.

Obsah

Obsah

ˇ y´ obsah Strucn Kapitola 1

´ Potˇrebne´ zaklady z matematiky Jelikoˇz se objevuj´ı urˇcité nedostatky z matematiky, jsou v této u ´vodn´ı kapitole vysvˇetleny a uvedeny potˇrebné znalosti z matematiky pro studium dalˇs´ıch kapitol této studijn´ı opory. Pojednává hlavnˇe o procentovém poˇctu, vysvˇetluje základn´ı pojmy funkc´ı a uvád´ı pouze ty funkce, které jsou d˚ uleˇzité pro pochopen´ı jednoduchého a sloˇzeného u ´roˇcen´ı. Téˇz vysvˇetluje základn´ı pojmy z posloupnost´ı a ˇc´ıseln´ ych ˇrad, pomoc´ı kter´ ych se odvozuj´ı d˚ uleˇzité vztahy v kapitolách sloˇzeného u ´roˇcen´ı, spoˇren´ı a d˚ uchod˚ u. Kapitola 2

ˇ ı Jednoduche´ uro ´ cen´ Zde si vysvˇetl´ıme základn´ı pojmy jednotliv´ ych typ˚ uu ´roˇcen´ı, hlavnˇe jednoduchého u ´roˇcen´ı pˇredlh˚ utn´ıho a polh˚ utn´ıho, v´ ypoˇcet u ´rokového ˇc´ısla a u ´rokového dˇelitele, d˚ uleˇzit´ ych pojm˚ u pro u ´roˇcen´ı bˇeˇzn´ ych u ´ˇct˚ u a kontokorentn´ıch u ´vˇer˚ u, uvedeme si základn´ı rovnice pro jednoduché u ´roˇcen´ı, vysvˇetl´ıme si d˚ uleˇzit´ y pojem diskont a v´ ypoˇcty jednotliv´ ych hodnot ze základn´ıch vztah˚ u. Kapitola 3

ˇ ı Sloˇzene´ uro ´ cen´ V této kapitole se zamˇeˇr´ıme na odvozen´ı základn´ıch vztah˚ u pro sloˇzené u ´roˇcen´ı, kombinaci sloˇzeného a jednoduchého u ´roˇcen´ı i odvozen´ı v´ ypoˇct˚ u jednotliv´ ych hodnot ze základn´ıch vztah˚ u. Na závˇer si porovnáme jednoduché a sloˇzené u ´roˇcen´ı, pˇriˇcemˇz si uvedeme jejich jednotlivé v´ yhody a nev´ yhody. Kapitola 4

´ ı a realn ´ a´ urokov Nominaln´ ´ a´ sazba V bˇeˇzném ˇzivotˇe i praxi nelze poˇc´ıtat s nomináln´ımi u ´rokov´ ymi sazbami, nebot’ jsou ovlivˇ novány jak mikroekonomick´ ymi, tak i makroekonomick´ ymi podm´ınkami. Z tohoto d˚ uvodu si vysvˇetl´ıme vztahy mezi nomináln´ı a reálnou u ´rokovou sazbou. Dále si vysvˇetl´ıme pojem efektivn´ı u ´roková sazba a téˇz pojem u ´roková intenzita i jej´ı vztah s efektivn´ı u ´rokovou m´ırou. Stejnˇe si uvedeme i vztah mezi nomináln´ı a reálnou u ´rokovou sazbou a jejich pouˇzit´ı v praxi. Kapitola 5

Spoˇren´ı Nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı pro praxi pracovn´ık˚ u finanˇcn´ı sféry je pochopen´ı základ˚ u spoˇren´ı, nebot’ se jedná o produkt, kter´ y finanˇcn´ı u ´stavy nab´ız´ı klient˚ um. Zde si uvedeme základn´ı pojmy ze spoˇren´ı krátkodobého pˇredlh˚ utn´ıho a polh˚ utn´ıho. Odvod´ıme si v´ ypoˇcet hodnot z tˇechto základn´ıch vztah˚ u a také vysvˇetl´ıme v´ ypoˇcty koneˇcného kapitálu v závislosti na vkladu a dobˇe dlouhodobého spoˇren´ı. S tˇemito pojmy se urˇcitˇe setkáváte v bˇeˇzné praxi a ˇcasto mus´ıte odpov´ıdat jak´ ym zp˚ usobem spoˇrit, abychom v urˇcitém ˇcasovém horizontu pˇri dané u ´rokové sazbˇe, naspoˇrili námi poˇzadovanou ˇcástku. Kapitola 6

Duchody ˚ Tato kapitola nepostrádá aktuálnosti v souˇcasné dobˇe, a proto v´ ypoˇct˚ um spoˇren´ı si na d˚ uchod pravideln´ ymi mˇes´ıˇcn´ımi, ˇctvrtletn´ımi, pololetn´ımi a roˇcn´ımi splátkami pˇri poˇzadované v´ yplatˇe d˚ uchodu jako zlepˇsen´ı d˚ uchodu starobn´ıho se budeme vˇenovat podrobnˇeji. Je zˇrejmé, ˇze moˇznost´ı je daleko

v´ıce, ale o tuto problematiku se budeme zaj´ımat také u pojistné matematiky. Seznám´ıme se téˇz okrajovˇe s d˚ uchody vˇeˇcn´ ymi. Kapitola 7

´ ı dluhu˚ Umoˇrovan´ V této kapitole se seznám´ıme se základn´ımi pojmy a principy u ´vˇer˚ u, kde si ukáˇzeme jak vypoˇc´ıtat poˇcet anuit pˇri jejich konstantn´ım zvyˇsován´ım kaˇzd´ ym rokem, jak´ ym zp˚ usobem vypoˇc´ıtáme zbytek u ´vˇeru a také zp˚ usob konstrukce splátkového kalendáˇre jako nejv´ıce pouˇz´ıvaného zp˚ usobu pˇri splácen´ı u ´vˇeru. Kapitola 8

ˇ zne´ u´ cty ˇ Beˇ V této kapitole si vysvˇetl´ıme pouˇzit´ı u ´rokového ˇc´ısla a u ´rokového dˇelitele pˇri veden´ı bˇeˇzn´ ych u ´ˇct˚ u. K tomu budeme vyuˇz´ıvat metody, které pouˇz´ıvaj´ı jednotlivé finanˇcn´ı u ´stavy pˇri veden´ı tˇechto u ´ˇct˚ u. Kapitola 9

ˇ Kontokorentn´ı uv ´ ery Vysvˇetlen´ı pojmu Kontokorentn´ı u ´vˇer“, u ´roˇcen´ı kontokorentn´ıch u ´vˇer˚ u a ukázková ˇreˇsen´ı hypote” tick´ ych u ´loh. Kapitola 10

Aktiva Seznámen´ı se základn´ımi pojmy z problematiky aktiv jako: hmotná aktiva, finanˇcn´ı aktiva a jejich ˇclenˇen´ı. V´ ypoˇcet kurzu akcie, v´ ynosnost akcie, v´ yplata dividend, ˇreˇsen´ı hypotetické u ´lohy.

Obsah

´ Upln y´ obsah ´ 1. Potˇrebne´ zaklady z matematiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ˇ 1.1. Procentovy´ pocet

18

1.2. Funkce

19

Pojem funkce

19

´ ı funkce Linearn´

20

´ ı funkce Exponencialn´

20

Logaritmicka´ funkce

21

1.3. Posloupnosti a rˇady

23

Aritmeticka´ posloupnost

23

Geometricka´ posloupnost

25

ˇ 1.4. Prum ˚ ery

26

ˇ Aritmetický pru˚ mer

26

ˇ Geometrický pru˚ mer

27

ˇ Harmonický pru˚ mer

27

ˇ ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2. Jednoduche´ uro ´ cen´ ´ 2.1. Zakladn´ ı pojmy

30

ˇ ı 2.2. Typy uro ´ cen´

30

Jednoduche´ uroˇ ´ cen´ı polhu˚ tn´ı

31

´ Zakladn´ ı rovnice pro jednoduche´ uroˇ ´ cen´ı

33

Diskont

34

Jednoduche´ uroˇ ´ cen´ı pˇredlhu˚ tn´ı

36

ˇ ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3. Sloˇzene´ uro ´ cen´ ´ ˇ ı 3.1. Zakladn´ ı vztahy pro sloˇzene´ uro ´ cen´

42

´ ´ ˇ ı 3.2. Kombinace jednoducheho a sloˇzeneho uro ´ cen´

44

ˇ doby splatnosti pˇri sloˇzenem ´ uro ˇ ı 3.3. Vypo ´ cet ´ cen´

46

ˇ soucasn ˇ 3.4. Vypo ´ cet e´ hodnoty

48

ˇ urokov 3.5. Vypo ´ cet ´ e´ sazby

50

ˇ uroku ´ uro ˇ ı 3.6. Vypo ´ cet ´ pˇri sloˇzenem ´ cen´

52

´ ı jednoducheho ´ ´ ˇ ı 3.7. Srovnan´ a sloˇzeneho uro ´ cen´

54

´ ı a realn ´ a´ urokov 4. Nominaln´ ´ a´ sazba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.1. Efektivn´ı urokov ´ a´ sazba

58

´ 4.2. Urokov a´ intenzita

59

´ ı a realn ´ a´ urokov 4.3. Nominaln´ ´ a´ sazba

60

5. Spoˇren´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 ´ 5.1. Spoˇren´ı kratkodob e´

64

´ Spoˇren´ı kratkodob e´ pˇredlhu˚ tn´ı

64

´ Spoˇren´ı kratkodob e´ polhu˚ tn´ı

66

5.2. Spoˇren´ı dlouhodobe´

68

Spoˇren´ı dlouhodobe´ pˇredlhu˚ tn´ı

68

Spoˇren´ı dlouhodobe´ polhu˚ tn´ı

69

´ ´ ´ 5.3. Kombinace kratkodob eho a dlouhodobeho spoˇren´ı

70

Kombinovane´ spoˇren´ı pˇredlhu˚ tn´ı

71

Kombinovane´ spoˇren´ı polhu˚ tn´ı

72

6. Duchody ˚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 6.1. Problematika duchod ˚ u˚

76

6.2. Duchod ˚ bezprostˇredn´ı

77

Duchod ˚ bezprostˇredn´ı pˇredlhu˚ tn´ı

77

Duchod ˚ bezprostˇredn´ı polhu˚ tn´ı

78

´ ´ roˇcneˇ Duchody ˚ vyplacen e´ m-krat

79

6.3. Duchod ˚ odloˇzeny´

80

Duchod ˚ odloˇzený pˇredlhu˚ tn´ı

80

Duchod ˚ odloˇzený polhu˚ tn´ı

81

ˇ y´ 6.4. Duchod ˚ veˇ cn

82

ˇ cný pˇredlhu˚ tn´ı Duchod ˚ veˇ

82

ˇ cný polhu˚ tn´ı Duchod ˚ veˇ

83

´ ı dluhu˚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 7. Umoˇrovan´ ´ ı dluhu nestejnymi ´ 7.1. Umoˇrovan´ ´ splatkami

89

´ ı dluhu stejnymi 7.2. Umoˇrovan´ ´ anuitami

90

ˇ an´ ´ ı poctu ˇ anuit 7.3. Urcov

92

ˇ zne´ u´ cty ˇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 8. Beˇ ˇ urok 8.1. Metody vypo ´ ctu ´ u˚

96

Zustatkov ˚ a´ metoda

96

ˇ a´ metoda Zpetn

97

Postupna´ metoda

98

ˇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 9. Kontokorentn´ı uv ´ ery ´ cen´ ˇ ı kontokorentn´ıch uv ˇ u˚ 9.1. Uro ´ er

100

10. Aktiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 10.1. Hmotna´ aktiva

106

ˇ ı aktiva 10.2. Financn´

107

10.3. Akcie

110

Pˇr´ıloha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Obsah

´ Uvod

´ Uvod

Studijn´ı pom˚ ucka slouˇz´ı jako samostatná uˇcebnice poˇcetn´ıch operac´ı finanˇcn´ı matematiky. Obsahuje vedle v´ yklad˚ u v´ ypoˇcetn´ıch postup˚ u i ukázkové pˇr´ıklady pro pochopen´ı odvozen´ ych vztah˚ u v této publikaci. Pˇredpokládané znalosti z matematiky nepˇrekraˇcuj´ı stˇredoˇskolskou u ´roveˇ n. Kaˇzdodennˇe se setkáváme s otázkami, jakou v´ yˇsi u ´roku obdrˇz´ıme od banky za náˇs vklad, nebo jak dlouho mus´ıme spoˇrit, abychom naspoˇrili námi stanovenou finanˇcn´ı ˇcástku, nebo kolik zaplat´ıme na u ´roc´ıch pˇri splácen´ı u ´vˇeru a jak dlouho jej budeme splácet. S tˇemito a s ˇradou dalˇs´ıch podobn´ ych otázek se setkáváme kaˇzdodennˇe. Pro studenty kombinovaného a distanˇcn´ıho studia jsou znalosti z finanˇcn´ı matematiky o to d˚ uleˇzitˇejˇs´ı, nebot’ vztahy odvozené v tomto studijn´ım textu pouˇz´ıvaj´ı ve své kaˇzdodenn´ı praxi. Nejde pouze o pouˇz´ıván´ı vzorc˚ u, ale také porozumˇen´ı vzájemn´ ych vztah˚ u i vysvˇetlen´ı, nejen pro potˇreby koleg˚ u, ale i klient˚ u. Pˇredloˇzen´ y text obsahuje nejen odvozen´ı jednotliv´ ych vztah˚ u pro v´ ypoˇcet ˇzádan´ ych hodnot, ale i ˇradu ukázkov´ ych pˇr´ıklad˚ u, které je nutno také spoˇc´ıtat, abyste pochopili praktické v´ ypoˇcty nutné pro bˇeˇznou praxi. M˚ uˇze se stát, ˇze nˇekter´ ym v´ yraz˚ um, odvozen´ım a vztah˚ um neporozum´ıte. Proto je velmi vhodné si dˇelat pr˚ ubˇeˇzné poznámky a vaˇse pˇripom´ınky k zdokonalen´ı tˇechto text˚ u budou vˇzdy v´ıtané a zlepˇs´ı nejen metodiku, ale i obsah této studijn´ı pom˚ ucky. Na závˇer je uvedeno shrnut´ı jednotliv´ ych vzorc˚ u pro potˇreby student˚ u a také pro rychlou orientaci v dané problematice.

ˇ Procentovy´ pocet Funkce Posloupnosti a rˇady ˇ Prum ˚ ery

1

´ Potˇrebne´ zaklady z matematiky

´ 1. Potˇrebne´ zaklady z matematiky

C´ıl kapitoly C´ılem této kapitoly je seznámit se a zopakovat potˇrebné poˇcetn´ı operace a pojmy z matematiky pro lepˇs´ı pochopen´ı studovan´ ych problém˚ u. Tato kapitola je pro studenty, kteˇr´ı jsou jiˇz urˇcitou dobu v praxi a na ˇradu základn´ıch poznatk˚ u z matematiky jiˇz zˇcásti pozapomnˇeli. V této ˇcásti nebudou uvedeny pˇr´ıklady pro cviˇcen´ı, nebot’ bude slouˇzit pouze pro pochopen´ı vztah˚ u v pˇr´ıˇst´ıch kapitolách a vˇzdy se k n´ı m˚ uˇzete vracet a aplikovat tyto poznatky pˇri studiu finanˇcn´ı matematiky. Jsou vˇzdy za kaˇzdou kapitolou uvedené ukázkové pˇr´ıklady, které postaˇcuj´ı pro zopakován´ı jiˇz zapomenutého.

ˇ ´ eˇ ˇz Casov a´ zat ˇ Casov´ a zátˇeˇz nen´ı uvádˇená a ani nutná, nebot’ se k této kapitole budete vracet pokud neporozum´ıte studovan´ ym problém˚ um finanˇcn´ı matematiky. Nˇekdo se k této kapitole nebude muset vracet v˚ ubec, nebot’ má jeˇstˇe v dobré pamˇeti jednotlivé vztahy a pojmy ze stˇredn´ı ˇskoly.

1.1

ˇ Procentovy´ pocet

Procento – vyjadˇruje jednu setinu celku. Pro jedno procento plat´ı: 1 = 0,01 ze základu 100 100 % = jeden celek = cel´ y základ

1%=

V jednoduch´ ych u ´lohách s procenty se setkáváme s tˇemito veliˇcinami. a) z´ aklad – oznaˇcujeme jej z b) poˇ cet procent – oznaˇcujeme jej p c) procentov´ a ˇ ca ´st – oznaˇcujeme j´ı x Obecnˇe pˇri ˇreˇsen´ı jednoduch´ ych u ´loh vˇetˇsinou známe dvˇe hodnoty a chceme vypoˇc´ıtat tˇret´ı, kterou neznáme a podle toho rozliˇsujeme tˇri základn´ı typy u ´loh: z·p a) v´ ypoˇ cet procentov´ eˇ c´ asti: x = 100 x · 100 b) v´ ypoˇ cet z´ akladu: z= p x · 100 c) v´ ypoˇ cet poˇ ctu procent: p= z K v´ ypoˇct˚ um bez pouˇzit´ı uveden´ ych vzorc˚ u m˚ uˇzeme pouˇz´ıt u ´mˇeru nebo trojˇclenku. Pˇr´ıklad 1.1.

Prodejna mˇela sjednan´ y pod´ıl na zisku ve v´ yˇsi 10 % s prodejn´ı ceny v´ yrobku. Kolik je to procent z v´ yrobn´ı ceny v´ yrobku, jestliˇze prodejn´ı cena byla 115 % v´ yrobn´ı ceny?

18

ˇ sen´ ˇ ı. Re

Máme tedy zjistit, jak velkou ˇcást ˇcin´ı zisk ve v´ yˇsi 10 % z prodejn´ı ceny vzhledem k v´ yrobn´ı cenˇe. z = 115, p = 10 %, x =? 115 · 10 z·p = = 11,50 100 100 Zisk ˇcinil 11,50 % z v´ yrobn´ı ceny. x=

Pˇr´ıklad 1.2.

Daˇ n z pˇr´ıjmu ˇcinila pˇri daˇ nové sazbˇe 25,5 % ˇcástku 1250 Kˇc. Jak vysok´ y byl pˇr´ıjem? ˇ sen´ ˇ ı. Re

x = 1 250 Kˇc, p = 25,5 %, z =? z=

x · 100 1 250 · 100 = = 4 901,9608 Kˇc p 25,5

Tuto u ´lohu m˚ uˇzeme vypoˇc´ıtat téˇz pomoc´ı u ´mˇery: 25,5 % . . . odpov´ıdá . . . 1250 Kˇc 100 % . . . odpov´ıdá . . . z Zap´ıˇseme: z : 1 250 = 100 : 25,5

nebo

100 z = 1 250 25,5

Hrub´ y pˇr´ıjem ˇcinil 4 901,9608 Kˇc

1.2

Funkce

Pro pochopen´ı závislost´ı ve finanˇcn´ı matematice si zopakujeme nˇekteré funkce, na které se budeme pˇri vysvˇetlován´ı finanˇcn´ı matematiky odvolávat. 1.2.1 Pojem funkce Funkc´ı rozum´ıme pˇredpis, kter´ ym kaˇzdému ˇc´ıslu x z urˇcité mnoˇziny D pˇriˇrazujeme právˇe jedno ˇc´ıslo y z mnoˇziny M . Veliˇcinu x naz´ yváme nez´ avisle promˇ ennou. Veliˇcinu y naz´ yváme z´ avisle promˇ ennou (závis´ı na volbˇe hodnoty x). Mnoˇzinu D vˇsech ˇc´ısel x, pro nˇeˇz je funkce definovaná, naz´ yváme definiˇ cn´ım oborem funkce f . Mnoˇzinu M vˇsech ˇc´ısel y, kter´ ych daná funkce nab´ yvá pro x ∈ D, naz´ yváme oborem funkce (oborem funkˇcn´ıch hodnot nebo závisl´ ym oborem) dané funkce f . ˇ ıkáme, ˇze dvˇe veliˇciny jsou pˇr´ımo u ´ Poznamka. R´ ´mˇerné, jestliˇze pod´ıl kaˇzd´ ych dvou odpov´ıdaj´ıc´ıch si hodnot xi , yi je roven konstantˇe. Tedy: y1 y2 yn = = ··· = = k. x1 x2 xn

19


Zapisujeme: y = f (x) Pˇr´ıklad 1.3.

Cena za 1 kg pomeranˇc˚ u je 23 Kˇc. Jaká bude cena za 3 kg pomeranˇc˚ u? Cena za 3 kg pomeranˇc˚ u je závisle promˇenná, poˇcet kilogram˚ u závis´ı na naˇs´ı volbˇe – hodnota nezávisle promˇenná. Potom zap´ıˇseme: y = 23 · x = 23 · 3 = 69 Kˇc.

V matematice jste jistˇe prob´ırali ˇradu funkc´ı jak na základn´ı tak i na stˇredn´ı ˇskole. Pro naˇsi potˇrebu ve finanˇcn´ı matematice si vysvˇetl´ıme pouze ty funkce, které budeme potˇrebovat pro vysvˇetlen´ı nˇekter´ ych funkˇcn´ıch závislost´ı a vytvoˇrili si potˇrebné pˇredpoklady jejich pochopen´ı. ´ ı funkce 1.2.2 Linearn´ V ekonomick´ ych u ´vahách se ˇcasto setkáme se závislost´ı, kterou naz´ yváme pˇ r´ım´ a u ´mˇ ernost. Tato pˇr´ımá u ´mˇernost je znázornˇena právˇe line´ arn´ı funkc´ı. Lineárn´ı funkci zapisujeme: y = k · x + q,

x∈R

(1.1)

Tato lineárn´ı funkce pˇredstavuje pˇr´ımku v rovinˇe, kde jsou k, q konstanty – k udává smˇernici pˇr´ımky a m˚ uˇzeme j´ı vyjádˇrit jako tg ϕ = k, kde ϕ je u ´hel, kter´ y sv´ırá pˇr´ımka s osou x. x je nezávisle promˇenná, y je závisle promˇenná. y

y = kx + q

ϕ q 0

x

Obrázek 1.1: Graf lineárn´ı funkce ´ ı funkce 1.2.3 Exponencialn´ Pod pojmem exponenciáln´ı funkce rozum´ıme takovou funkci, která má nezávisle promˇennou exponentu. Exponenciáln´ı funkci zapisujeme: y = ax,

20

(1.2)

kde definiˇcn´ı obor funkce je: D(f ) = (−∞, ∞) H(f ) = (0, ∞)

Pro a > 1 je funkce rostouc´ı. Pro 0 < a < 1 je funkce klesaj´ıc´ı.

Pro x = 0 je y = 1 u kaˇ zd´ e exponenci´ aln´ı funkce necht’ je a (z´ aklad) jak´ ekoliv re´ aln´ eˇ c´ıslo. Funkˇcn´ı hodnoty exponenciáln´ı funkce jsou pro libovolné hodnoty nezávisle promˇenné x vˇzdy kladné. Speciáln´ım pˇr´ıpadem je exponenciáln´ı funkce: y = ex,

(1.3)

jej´ımˇz základem je Eulerovo ˇc´ıslo e = 2,71828, a je rostouc´ı pro vˇ sechna x ∈ (−∞, ∞). Exponenciáln´ı funkc´ı m˚ uˇzeme znázornit sloˇzené u ´roˇcen´ı, jestliˇze nezávisle promˇenou je ˇcas t a závisle promˇennou je velikost z´ uroˇceného kapitálu Kt , pˇri zvolené u ´rokové sazbˇe. y

y = ex

y = ax

1

0

x

Obrázek 1.2: Graf exponenciáln´ı funkce 1.2.4 Logaritmicka´ funkce Ze stˇredn´ı ˇskoly je známo, ˇze logaritmická funkce je inverzn´ı funkc´ı k funkci exponenciáln´ı. Definiˇcn´ı obor exponenciáln´ı funkce je oborem funkˇcn´ıch hodnot funkce logaritmické a obor funkˇcn´ıch hodnot exponenciáln´ı funkce je definiˇcn´ım oborem funkce logaritmické. Tedy: D(f ) = (0, ∞) H(f ) = (−∞, ∞)

Logaritmickou funkci zapisujeme: y = loga x,

kde x ∈ (0, ∞).

(1.4)

21


Plat´ı téˇz: ay = x ˇ ıslo x urˇc´ıme, jestliˇze umocn´ıme základ logaritmu na logaritmus ˇc´ısla x. C´ y

y = loga x

0

1

x

Obrázek 1.3: Graf logaritmické funkce Pˇr´ıklad 1.4.

Urˇcete ˇc´ıslo x jestliˇze plat´ı: log2 x = 3. ˇ sen´ ˇ ı. 23 = 8, x = 8 Re

Tedy: log2 8 = 3 Pro poˇcetn´ı u ´kony s logaritmy plat´ı tato pravidla: Jestliˇze x a y jsou libovolná ˇc´ısla pak plat´ı: a) loga (x · y) = loga x + loga y

b) loga

c) loga xn = n · loga x

d) loga

x y

= loga x − loga y

√ n xm =

m n

· loga x

Pˇr´ıklad 1.5.

log x = log (134,678 · 28,984) = log 134,678 + log 28,984 log x = 2,1292967 + 1,4621583 = 3,591455 x = 3 903,5075 Pˇr´ıklad 1.6.

log x = log (134,678/28,984) = log 134,678 − log 28,984 log x = 2,1292967 − 1,4621583 = 0,6671384 x = 4,646633 Pˇr´ıklad 1.7.

log x = log 1000,05 = 0,05 · log 100 = 0,05 · 2 = 0,1 log x = 0,1 x = 1,25893

22

Pˇr´ıklad 1.8.

√ 0,24 log x = log 453,4 = 3,4/0,24 · log 45 = 14,166667 · 1,6532125 = 23,420511 log x = 23,420511 x = 2,63336562 3

Hodnoty logaritm˚ u ˇc´ısel nalezneme v logaritmick´ ych tabulkách, nebo je urˇc´ıme pomoc´ı kapesn´ıho kalkulátoru.

1.3

Posloupnosti a rˇady

Ve finanˇcn´ı matematice, pojistné matematice a ekonomick´ ych v´ ypoˇctech se ˇcasto setkáváme s aplikacemi posloupnost´ı a ˇrad. ´ Zakladn´ ı pojmy:

Jestliˇze pˇriˇrad´ıme kaˇzdému pˇrirozenému ˇc´ıslu n urˇcité ˇc´ıslo an , potom ˇc´ısla: a1 , a2 , a3 , . . . , ak , . . . naz´ yváme posloupnost. V´ yraz (souˇcet ˇclen˚ u posloupnosti): a1 + a2 + a3 + · · · + ak + . . . naz´ yváme ˇ radou a ˇc´ısla a1 , a2 , a3 , . . . , ak , . . . ˇ cleny ˇ rady. Jestliˇze má ˇrada koneˇcn´ y poˇcet ˇclen˚ u, naz´ yvá se koneˇ cnou ˇ radou. Jestliˇze má ˇrada nekoneˇcn´ y poˇcet ˇclen˚ u, naz´ yvá se nekoneˇ cnou ˇ radou. 1.3.1 Aritmeticka´ posloupnost Posloupnost, u které rozd´ıl (diference) dvou po sobˇe jdouc´ıch ˇclen˚ u je konstantn´ı, se naz´ yvá aritmetick´ a posloupnost. ak+1 − ak = k = d,

kde k je konstanta.

Odvozen´ı: a1 = a1 a2 = a1 + d a3 = a2 + d = a1 + d +d = a1 + 2 · d | {z } a2

.. . an = a1 + (n − 1) · d Takˇze n-t´ y ˇclen vypoˇc´ıtáme:

an = a1 + (n − 1) · d a1 – je prvn´ı ˇ clen ˇ rady an – je posledn´ı ˇ clen ˇ rady

n – je poˇ cet ˇ clen˚ u d – je diference aritmetick´ e ˇ rady

23


Pro aritmetickou ˇradu plat´ı, ˇze kaˇzd´ y jej´ı ˇclen je aritmetick´ ym pr˚ umˇ erem sv´ ych sousedn´ıch ˇclen˚ u. 1 ak = (ak−1 + ak+1 ) 2 Pro souˇcet n ˇclen˚ u aritmetické ˇrady plat´ı: 1 Sn = (a1 + an ) 2 Dosad´ıme-li do naˇseho v´ yrazu za an = a1 + (n − 1) · d, m˚ uˇzeme souˇcet n ˇclen˚ u vyjádˇrit: n Sn = 2 · a + (n − 1) · d 2 Ze vzorce vypl´ yvá, ˇze m˚ uˇzeme zpárovat vˇzdy dva ˇcleny ˇrady – prvn´ı a posledn´ı, druh´ y a pˇ redposledn´ı atd., pˇriˇcemˇz souˇcty tˇechto dvojic jsou konstantn´ı. Takov´ ych dvojic m˚ uˇzeme sestavit polovinu z celkového poˇctu n ˇclen˚ u ˇrady – 2 . Pˇr´ıklad 1.9.

Aritmetická posloupnost má diferenci d = −12 a n-t´ y ˇclen an = 15. Kolik prvn´ıch ˇclen˚ u posloupnosti má souˇcet Sn = 456? Kterému ˇc´ıslu se rovnán prvn´ı ˇclen? Vycház´ıme ze souˇctu aritmetické ˇrady a v´ yrazu pro v´ ypoˇcet n-tého ˇclenu: n 2a1 + (n − 1)(−12) 456 = 2 15 = a1 + (n − 1)(−12) Po u ´pravˇe budeme ˇreˇsit jako soustavu dvou rovnic o dvou neznám´ ych. 912 = n(2a1 − 12n + 12) 15 = a1 − 12n + 12 =⇒ a1 = 12n + 3 Dosad´ıme do rovnice 912 = n 2(12n + 3) − 12n + 12 a obdrˇz´ıme:

912 = n(24n + 6 − 12n + 12) = n(12n + 18) = 12n2 + 18n 152 = 2n2 + 3n 2n2 + 3n − 152 = 0

ˇ s´ıme jako kvadratickou rovnici: Reˇ n1,2

 √ √ 8 −3 ± 9 + 4 · 2 · 152 −3 ± 1225  = = =  − 38 2·2 4 8

Poˇcet ˇclen˚ u aritmetické ˇrady je n = 8.

Nyn´ı dosad´ıme do v´ yrazu: a1 = 12n + 3 =⇒ a1 = 12 · 8 + 3 = 99 Prvn´ı ˇclen aritmetické ˇrady se rovná ˇc´ıslu 99.

24

Pˇr´ıklad 1.10.

Máme vypoˇc´ıtat n-t´ y ˇcásteˇcn´ y souˇcet, jestliˇze je a1 = 3, d = −1.

Pouˇzijeme v´ yraz pro v´ ypoˇcet souˇctu ˇrady: Sn = n2 2 · a1 + (n − 1) · d n n 2 · 3 + (n − 1)(−1) = (6 − n + 1) = Sn = 2 2 n = (7 − n) 2 n Sn = (7 − n) 2

1.3.2 Geometricka´ posloupnost Posloupnost, u n´ıˇz pod´ıl kter´ ychkoliv dvou po sobˇe jdouc´ıch ˇclen˚ u je konstantn´ı, se naz´ yvá geometrick´ a posloupnost. Pod´ıl tˇechto dvou ˇclen˚ u naz´ yváme kvocientem a znaˇc´ıme jej p´ısmenem q. Odvozen´ı: a1 = a1 a2 = a1 · q a3 = a2 · q = a1 · q · q = a1 · q 2 .. . an = a1 · q n−1 Takˇze n-t´ y ˇclen vypoˇc´ıtáme: an = a1 · q n−1 Je-li Je-li Je-li Je-li

q q q q

> 1, je ˇ rada rostouc´ı ∈ (0, 1), je ˇ rada klesaj´ıc´ı < 0, je ˇ rada alternuj´ıc´ı (stˇr´ıdavá) = 1, ˇ rada obsahuje stejn´ eˇ cleny

Pro souˇcet n ˇclen˚ u geometrické ˇrady pro q 6= 1 plat´ı: Sn = a1 ·

qn − 1 pro q > 1, q−1

Sn = a1 ·

1 − qn pro q ∈ (0, 1). 1−q

Kaˇzd´ y ˇclen geometrické ˇrady je geometrick´ ym pr˚ umˇ erem z jeho dvou sousedn´ıch ˇclen˚ u: √ ak = ak−1 · ak+1 Pˇr´ıklad 1.11.

V geometrické posloupnosti je souˇcet prvn´ıch dvou ˇclen˚ u 4 a souˇcet jejich druh´ ych mocnin 10. Máme urˇcit tuto posloupnost. a1 + a2 = 4 a21 + a22 = 10

25


ˇ sen´ ˇ ı. Re

Z prvn´ı rovnice si vyjádˇr´ıme a2 a dosad´ıme do druhé rovnice, z n´ıˇz vypoˇc´ıtáme kvocient a1 . a2 = 4 − a1 Tento v´ yraz dosad´ıme za a2 do druhé rovnice a vypoˇc´ıtáme prvn´ı ˇclen a1 .

a1,2

a21 + (4 − a1 )2 = 10 a21 + 16 − 8a1 + a21 = 10 2a21 − 8a1 + 6 = 0 a21 − 4a1 + 3 = 0 ( √ 3 4 ± 16 − 12 3 = = = 2 1 1

a1 = 3 nebo a1 = 1, a2 = 4 − 3 = 1, a2 = 4 − 1 = 3 =⇒ q = q = 13 = 3.

a2 a1

=

1 3

nebo

Pˇr´ıklad 1.12.

Máme vypoˇc´ıtat souˇcet geometrické ˇrady kde n = 5, q = 1 + r, r = 3 a a1 = 2 000. 45 − 1 1023 (1 + 3)5 − 1 = 2 000 = 2 000 = 682 000 (1 + 3) − 1 4−1 3 Sn = 682 000

Sn = 2 000

1.4

ˇ Prum ˚ ery

ˇ 1.4.1 Aritmeticky´ prum ˚ er Aritmetick´ y pr˚ umˇer xa je pro n ˇc´ısel a1, a2 , . . . , an definován jako souˇcet tˇechto ˇc´ısel dˇelen´ y jejich poˇctem. Tedy: n

xa =

a1 + a2 + · · · + an 1X = ai . n n i=1

Jestliˇze jsou mezi dan´ ymi ˇc´ısly ai stejná ˇc´ısla, potom m˚ uˇzeme v´ ypoˇcet aritmetického pr˚ umˇeru zjednoduˇsit. Mˇejme poˇcet n1 ˇc´ısel a1 , n2 ˇc´ısel a2 , . . . nr ˇc´ısel ar . Potom xav =

n1 · a1 + n2 · a2 + · · · + nr · ar , n1 + n2 + · · · + nr

kde n = n1 + n2 + · · · + nr .

V tomto pˇr´ıpadˇe mluv´ıme o v´ aˇ zen´ em aritmetick´ em pr˚ umˇ eru, kde ˇc´ısla n1 , n2 ,. . . , nr jsou váhy ˇc´ısel a1, a2 ,. . . , ar .

26

S aritmetick´ ym pr˚ umˇerem se setkáváme pˇri v´ ypoˇctu napˇr´ıklad stˇredn´ı doby splatnosti v´ıce pohledávek, oˇcekávané v´ ynosnosti cenn´ ych pap´ır˚ u atd. ˇ 1.4.2 Geometricky´ prum ˚ er Druh´ ym druhem pr˚ umˇeru je geometrick´ y pr˚ umˇ er xg . Mˇejme n kladn´ ych ˇc´ısel a1 , a2 ,..., an ; potom je geometrick´ y pr˚ umˇer definován jako n-tá odmocnina souˇcinu n ˇc´ısel. xg =

√ a1 · a2 · a3 . . . an

Jsou-li mezi dan´ ymi ˇc´ısly nˇekterá ˇc´ısla stejná, m˚ uˇzeme stejnˇe jako u aritmetického pr˚ umˇeru definovat v´ aˇ zen´ y geometrick´ y pr˚ umˇ er. q xgv = an1 1 · an2 2 · an3 3 . . . ank k ˇ 1.4.3 Harmonicky´ prum ˚ er y je opˇet pro n Tˇret´ım druhem pr˚ umˇeru je harmonick´ y pr˚ umˇ er xh , kter´ ˇc´ısel dán v´ yrazem: xh =

1 1 1 1 . · + + ··· + n a1 a2 an

Stejnˇe jako v pˇredchoz´ıch pˇr´ıpadech, jsou-li mezi dan´ ymi ˇc´ısly ai nˇekterá ˇc´ısla stejná, m˚ uˇzeme definovat váˇzen´ y harmonick´ y pr˚ umˇer vztahem: xhv =

1 n1 n2 nk . · + + ··· + n a1 a2 ak

ˇ Vztah mezi aritmetickym, ´ geometrickym ´ a harmonickym ´ prum ˚ erem

Mezi aritmetick´ ym, geometrick´ ym a harmonick´ ym pr˚ umˇerem existuje vzájemn´ y vztah. Pro vˇsechna ai 6= aj , kde i, j = 1, 2, . . . , n vˇzdy plat´ı: xa < xg < xh

27


28

´ Zakladn´ ı pojmy ˇ ı Typy uro ´ cen´

2

ˇ ı Jednoduche´ uro ´ cen´

ˇ ı 2. Jednoduche´ uro ´ cen´

C´ıl kapitoly C´ılem této prvn´ı kapitoly je pochopit problémy jednoduchého u ´roˇcen´ı pˇredlh˚ utn´ıho i polh˚ utn´ıho. Nauˇcit se na základˇe odvozen´ ych v´ yraz˚ u vypoˇc´ıtat jednotlivé hodnoty a umˇet je v bˇeˇzné praxi pouˇz´ıt.Velmi d˚ uleˇzitou ˇcást´ı je pojem u ´rokového ˇc´ısla a u ´rokového dˇelitele, která slouˇz´ı v praxi k v´ ypoˇctu u ´rok˚ u pˇri r˚ uzné hodnotˇe vkladu a v odliˇsném ˇcase. Dalˇs´ım d˚ uleˇzit´ ym pojmem je diskontn´ı faktor, kter´ y se v ekonomické praxi vyskytuje velmi ˇcasto v pojmech souˇcasná hodnota, cena dluhopisu do doby splatnosti, cena dluhopisu atd. Této ˇcásti je nutno vˇenovat patˇriˇcnou pozornost, spoˇc´ıtat ukázkové pˇr´ıklady a postup jejich ˇreˇsen´ı i spoˇc´ıtat pˇr´ıklady uvedené za touto kapitolou. Jedinˇe umˇen´ı prakticky pouˇz´ıvat odvozené v´ yrazy budou svˇedˇcit o pochopen´ı této kapitoly.

ˇ ´ eˇ ˇz Casov a´ zat Prostudován´ı a pochopen´ı vztah˚ u této kapitoly vyˇzaduje 9 hod.

2.1

´ Zakladn´ ı pojmy

´ Urok : je to odmˇena za doˇcasné uˇz´ıván´ı penˇeˇzité ˇcástky (kapitálu). Z pohledu

vkladatele (vˇeˇritele) je u ´rok odmˇ enou, kterou dostává za to, ˇze poskytl sv˚ uj kapitál doˇcasnˇe nˇekomu jinému. Naopak z pohledu dluˇzn´ıka je u ´rok cena, ´ kterou plat´ı dluˇzn´ık za z´ıskán´ı kapitálu (´ uvˇeru). Urok se ˇr´ıd´ı procentn´ım pomˇerem k uˇz´ıvané ˇcástce a dobou uˇz´ıván´ı této ˇcástky. Vyjádˇr´ıme-li u ´rok v procentech z hodnoty kapitálu, obdrˇz´ıme u ´rokovou sazbu (´ urokovou m´ıru). ´ ´ Urokov e´ obdob´ı: je to doba, za kterou se u ´roky pravidelnˇe pˇripisuj´ı. Urokov´ e obdob´ı b´ yvá zpravidla: roˇ cn´ı pololetn´ı ˇ ctvrtletn´ı mˇ es´ıˇ cn´ı t´ ydenn´ı denn´ı

a a a a a a

znaˇc´ı se znaˇc´ı se znaˇc´ı se znaˇc´ı se znaˇc´ı se znaˇc´ı se

p. a. p. s. p. q. p. m. p. sept. p. d.

(per (per (per (per (per (per

annum) semestre) quartalae) mensem) septimanam) diem)

Pro vyjádˇren´ı délky u ´rokového obdob´ı se vycház´ı z r˚ uzn´ ych zvyklost´ı, z nichˇz se nejˇcastˇeji uˇz´ıvá Anglick´ a metoda: je zaloˇzena na skuteˇcném poˇctu dn˚ uu ´rokového obdob´ı a délce roku 365 dn´ı, v pˇrestupném roce pak 366 dn´ı. Francouzsk´ a metoda: je zaloˇzena na skuteˇcném poˇctu dn˚ uu ´rokovac´ıho obdob´ı a délce roku 360 dn´ı, (mezin´ arodn´ı). Nˇ emeck´ a metoda: je zaloˇzena na kombinaci zapoˇc´ıtáván´ı cel´ ych mˇes´ıc˚ u jako 30 dn´ı a délky roku pak 360 dn´ı, (obchodn´ı). V bˇeˇzné praxi se m˚ uˇzeme setkat se vˇsemi metodami. V naˇsich u ´vahách a ˇreˇsen´ ych pˇr´ıkladech pro jednoduchost budeme nejˇcastˇeji pouˇz´ıvat nˇ emeckou metodu.

30

2.2

ˇ ı Typy uro ´ cen´

Rozliˇsujeme dva základn´ı typy u ´roˇcen´ı: a) Jednoduch´ e u ´roˇ cen´ı: u ´roky se poˇc´ıtaj´ı stále z p˚ uvodn´ıho kapitálu K0 . b) Sloˇ zen´ e u ´roˇ cen´ı: u ´roky se pˇripisuj´ı k p˚ uvodn´ımu kapitálu (penˇeˇzn´ı ˇcástce) a spolu s n´ım se dále u ´roˇc´ı. ´ cen´ı dˇel´ıme téˇz podle toho, kdy docház´ı k placen´ı u Uroˇ ´roku. Jestliˇze se u ´roky plat´ı na konci u ´rokov´ eho obdob´ı, mluv´ıme o u ´rokov´ an´ı polh˚ utn´ım – dekurzivn´ım. Jestliˇze docház´ı k placen´ı u ´rok˚ u na zaˇ c´ atku u ´rokovac´ıho obdob´ı, mluv´ıme ou ´rokov´ an´ı pˇ redlh˚ utn´ım – anticipativn´ım. ˇ ı polhutn´ 2.2.1 Jednoduche´ uro ´ cen´ ˚ ı U jednoduchého u ´roˇcen´ı, jak bylo ˇreˇceno dˇr´ıve, se u ´roˇc´ı stále pouze základn´ı kapitál (penˇeˇzn´ı ˇcástka). Vyplácené u ´roky se k n´ı nepˇriˇc´ıtaj´ı, nevzniká tedy u ´rok z u ´rok˚ u. Protoˇze uvaˇzujeme o u ´rokován´ı polh˚ utn´ım, u ´roky budou vypláceny vˇzdy po uplynut´ı u ´rokového obdob´ı, ke kterému se vztahuj´ı. Oznaˇcme si u K p d

– – – –

u ´rok v Kˇc, kapitál, penˇeˇzn´ı ˇcástka v Kˇc, u ´roková sazba v procentech, doba splatnosti kapitálu ve dnech.

Potom u ´rok vypoˇc´ıtáme ze vztahu u= Jestliˇze vyjádˇr´ıme

K ·p·d . 100 · 360

p d =i a = t, 100 360 potom obdrˇz´ıme u ´rokovou sazbu jako desetinné ˇc´ıslo a splatnost v letech a u ´rok vypoˇc´ıtáme u = K · i · t, kde:

i –u ´roková sazba vyjádˇrená v setinách. Je to u ´rok z 1 Kˇc za 1 rok. t – doba splatnosti vyjádˇrená v letech. Z grafu na obrázku 2.1 je vidˇet, ˇze koneˇ cn´ y kapit´ al pˇri stálé u ´rokové sazbˇe je line´ arn´ı funkc´ı ˇcasu (lineárn´ı funkce). Jestliˇze se bude mˇenit v´ yˇse ukládaného kapitálu pˇri stejné u ´rokové sazbˇe bˇehem u ´rokovac´ıho obdob´ı, potom pro v´ ypoˇcet u ´rok˚ u pouˇz´ıváme tzv. u ´rokov´ ych ˇ c´ısel a u ´rokov´ ych dˇ elitel˚ u. ´ ˇ ıslo U C a) Urokov e´ c´

UC =

K ·d , 100

31


kapitál u ´ rok i = 20 % i = 10 % u ´ rok poˇca´teˇcn´ı kapitál K

t

ˇcas

Obrázek 2.1: Graf závislosti v´ yˇse kapitálu na ˇcase a v´ yˇsce u ´rokové sazby kde d je splatnost ve dnech a K kapitál. ´ ˇ b) Urokov y´ delitel UD

´ Urokov´ y dˇelitel vyjadˇruje poˇcet dn´ı, za které z´ısk´ ame u ´rok 1 Kˇ c ze 100 Kˇ c UD =

360 , p

kde p je u ´roková sazba v %. Potom u ´rok vypoˇc´ıtáme u=

UC . UD

Pˇr´ıklad 2.1.

Jestliˇze ˇcástka K1 je uloˇzena a tedy u ´roˇcena d1 dn´ı, ˇcástka K2 je uloˇzena a u ´roˇcena d2 dn´ı, . . . , ˇcástka Kn , dn dn´ı a pˇritom vˇsechny pˇri stejné u ´rokové sazbˇe p, potom u ´roková ˇc´ısla budou K1 · d1 K2 · d2 Kn · dn , U C2 = , . . . , U Cn = . 100 100 100 Protoˇze se nemˇen´ı u ´rokov´ y dˇelitel, m˚ uˇzeme jej vytknout pˇred závorku a u ´rok vypoˇc´ıtat 1 u= · (U C1 + U C2 + · · · + U Cn ) UD nebo n P U Cj j=1 u= . UD Tohoto zp˚ usobu se nejv´ıce vyuˇz´ıvá pˇri v´ ypoˇctu u ´rok˚ u na bˇeˇzn´ ych u ´ˇctech. U C1 =

Pˇr´ıklad 2.2.

Podnikatel si postupnˇe vyp˚ ujˇcil: 16.1. ˇcástku 60 000 Kˇc, 21.2. ˇcástku 40 000 Kˇc, 8.3. ˇcástku 30 000 Kˇc.

32

Roˇcn´ı u ´roková sazba u vˇsech p˚ ujˇcek je 12 %. Chceme zjistit, kolik zaplat´ı koncem roku na u ´roc´ıch. ˇ sen´ ˇ ı. Re

K1 = 60 000 Kˇc, d1 = 16.1. − 30.12. K2 = 40 000 Kˇc, d2 = 21.2. − 30.12. K3 = 30 000 Kˇc, d3 = 8.3. − 30.12. d1 = (12 − 1) · 30 + (30 − 16) = 344 dn´ı, d2 = (12 − 2) · 30 + (30 − 12) = 309 dn´ı, d3 = (12 − 3) · 30 + (30 − 8) = 292 dn´ı. 1 K1 · d1 K2 · d2 K3 · d3 p = u= (U C1 + U C2 + U C3 ) = + + UD 360 100 100 100 12 60 000 · 344 40 000 · 309 30 000 · 292 = + + = 360 100 100 100 206 400 + 123 600 + 87 600 = 13 920. = 30 Podnikatel koncem roku zaplat´ı 13 920 Kˇc. ´ ˇ ı 2.2.2 Zakladn´ ı rovnice pro jednoduche´ uro ´ cen´ V pˇredcházej´ıc´ı kapitole jsme se seznámili, jak´ ym zp˚ usobem vypoˇc´ıtáme v´ yˇsi u ´roku za urˇcité obdob´ı. V praxi nás vˇsak zaj´ımá v´ yˇse z´ uroˇceného kapitálu (vˇcetnˇe u ´rok˚ u) po urˇcitém obdob´ı. Koneˇcnou v´ yˇsi kapitálu (Kt ) za obdob´ı t obdrˇz´ıme jako souˇ cet poˇ c´ ateˇ cn´ıho kapit´ alu a u ´rok˚ u za toto obdob´ı. Tedy Kt = K0 + u, dosad´ıme-li do tohoto v´ yrazu za u = K0 · i · t, obdrˇz´ıme Kt = K0 + K0 · i · t = K0 · (1 + i · t), kde K0 – poˇcáteˇcn´ı hodnota kapitálu (základn´ı penˇeˇzn´ı ˇcástka, základn´ı kapitál), y kapitál za dobu t (stav kapitálu po z´ uroˇcen´ı za dobu t), Kt – koneˇcn´ ´roková sazba v setinách, i – roˇcn´ı u t – doba splatnosti kapitálu v letech. Jestliˇze vyjádˇr´ıme v naˇsem v´ yrazu splatnost ve dnech a u ´rokovou sazbu v procentech, obdrˇz´ıme p·d Kt = K0 · 1 + . 100 · 360 Jestliˇze zvol´ıme K0 = 1 Kˇc a t = 1, bude Kt = 1 + i. V´ yraz 1 + i se naz´ yvá u ´rokovac´ı faktor (´ uroˇcitel). Udává, na kolik vzroste 1 Kˇc za 1 rok pˇri u ´rokové sazbˇe i.

33


Ze základn´ı rovnice m˚ uˇzeme vypoˇc´ıtat dalˇs´ı d˚ uleˇzité hodnoty: K0 , t, i. a) V´ ypoˇ cet poˇ c´ ateˇ cn´ı hodnoty K0 Kt u = . 1+i·t i·t

K0 =

Odvozen´ı: v´ıme, ˇze Kt = K0 · (1 + i · t). Tento v´ yraz roznásob´ıme a dostaneme K0 + K0 · i · t = Kt ⇒ K0 · i · t = Kt − K0 = u. Potom

u . i·t b) V´ ypoˇ cet doby splatnosti (doby u ´roˇ cen´ı) t K0 =

t=

u Kt − K0 = . K0 · i K0 · i

c) V´ ypoˇ cet u ´rokov´ e sazby i i=

u Kt − K0 = . K0 · t K0 · t

2.2.3 Diskont ˇ Casto ve finanˇcn´ı a ekonomické praxi se setkáváme s t´ım, ˇze potˇrebujeme porovnat hodnoty kapitálu v ˇcase. Kapitál v ˇcase má r˚ uznou hodnotu: ˇc´ım dˇr´ıve kapitál budeme m´ıt, t´ım dˇr´ıve jej m˚ uˇzeme investovat a za dobu t se nám z´ uroˇc´ı – ponese nám u ´rok. Abychom mohli porovnávat kapitál v ˇcase, potˇrebujeme znát pojem souˇ casn´ a hodnota. Souˇ casnou hodnotou kapit´ alu rozum´ıme kapitál, kter´ y po z´ uroˇcen´ı v ˇcasovém obdob´ı dosáhne budouc´ı hodnotu. Jestliˇze oznaˇc´ıme souˇcasnou hodnotu K0 a budouc´ı hodnotu Kt , potom souˇcasnou hodnotu vypoˇc´ıtáme K0 =

Kt . 1+i·t

V´ ypoˇcet souˇcasné hodnoty se naz´ yvá téˇz diskontov´ an´ı. Jestliˇze je Kt = 1 Kˇc a i u ´roková sazba v setinách a t = 1 rok, potom K0 udává souˇcasnou hodnotu 1 Kˇc splatné za rok pˇri u ´rokové sazbˇe i. 1 naz´ yváme diskontn´ım faktorem a udává souˇcasnou hodPotom v´ yraz 1+i notu 1 Kˇc splatné za 1 rok pˇri u ´rokové sazbˇe i.

Pˇr´ıklad 2.3.

Co je v´ yhodnˇejˇs´ı pˇri koupi daru? Zaplatit za nˇej nyn´ı v hotovosti 8 000 Kˇc nebo si na nˇej vyp˚ ujˇcit a zaplatit za rok s u ´rokem 8 300 Kˇc, kdyˇz banka nab´ız´ı u ´rokovou sazbu 7 % p. a.?

34

ˇ sen´ ˇ ı. Re

Kt , 1+i·t 8 300 8 300 = = 7 757,0094 ∼ = = 7 757. 1 + 0,07 · 1 1,07

K0 = K0

Porovnán´ı obou zp˚ usob˚ u: a) platba v hotovosti 8 000 Kˇc b) platba na p˚ ujˇcku 7 757 Kˇc c) 8 000 Kˇc > 7 757 Kˇc V tomto pˇr´ıpadˇe je v´ yhodnˇejˇs´ı zaˇzádat o p˚ ujˇcku, nebot’ souˇcasná hodnota 8 300 Kˇc, které máme zaplatit za rok, je právˇe dnes 7 757 Kˇc. Tedy, zaplat´ımeli za rok 8 300 Kˇc, je to, jako bychom dnes zaplatili 7 757 Kˇc. Hotovostn´ı zp˚ usob placen´ı je ménˇe v´ yhodn´ y. Diskont je tedy u ´rok ode dne v´ yplaty do dne splatnosti. Diskont m˚ uˇzeme poˇc´ıtat z budouc´ı hodnoty Kt nebo ze souˇ casn´ e hodnoty K0 . Podle zp˚ usobu v´ ypoˇctu rozeznáváme: a) Diskont obchodn´ı Dob – v´ ypoˇcet diskontu z budouc´ı hodnoty. b) Diskont matematick´ y Dmat – v´ ypoˇcet diskontu ze souˇcasné hodnoty. a) Diskont obchodn´ı

Dob = Kt · iD · t, kde iD je diskontn´ı sazba v setinách. Oznaˇcme Kob obchodn´ı kapit´ al (ˇcástka, kterou banka vyplat´ı), potom Kob = Kt − Dob = Kt − Kt · iD · t = Kt · (1 − iD · t). Pˇri zaplacen´ı pohledávky banka nevyplat´ı vˇeˇriteli (klientovi) celou nomináln´ı hodnotu (budouc´ı hodnotu), ale hodnotu kapitálu sn´ıˇzenou o obchodn´ı diskont Dob . Pˇr´ıklad 2.4.

Máme vypoˇc´ıtat, kolik dostane vyplaceno klient, jemuˇz banka eskontuje (zaplat´ı dˇr´ıve) smˇenku o nomináln´ı hodnotˇe 20 000 Kˇc 35 dn´ı pˇred dobou splatnosti pˇri diskontn´ı sazbˇe 0,09 p. a. Pˇredpokládáme, ˇze banka ne´ uˇctuje dalˇs´ı provize. ˇ sen´ ˇ ı. Re

Kob =?,

Kt = 20 000 Kˇc,

iD = 0,09,

t = 35 dn´ı = 0,0972 rok˚ u.

Tedy Kob = Kt ·(1−iD ·t) = 20 000·(1−0,09·0,0972) = 20 000·0,9913 = 19 826 Kˇc. Klient dostane pen´ıze od banky o 35 dn´ı dˇr´ıve, ale m´ısto 20 000 Kˇc pouze 19 826 Kˇc, nebot’ banka si zapoˇc´ıtala obchodn´ı diskont.

35


b) Diskont matematicky´

Matematick´ y diskont vypoˇc´ıtáme jako u ´rok ze souˇcasné hodnoty. Tedy Dmat = K0 · iD · t. Jestliˇze do daného v´ yrazu dosad´ıme za K0 = Dmat =

Kt , 1+iD ·t

obdrˇz´ıme

Kt · iD · t . 1 + iD · t

Z obchodn´ıho diskontu v´ıme, ˇze Dob = Kt · iD · t. Dosad´ıme-li tento vztah do ˇcitatele z pˇredcházej´ıc´ıho v´ yrazu, obdrˇz´ıme vztah mezi matematick´ ym a obchodn´ım diskontem. Dmat =

Dob ⇒ Dob > Dmat . 1 + iD · t

ˇ ı pˇredlhutn´ 2.2.4 Jednoduche´ uro ´ cen´ ˚ ı Nˇekdy se setkáváme s u ´roˇcen´ım pˇ redlh˚ utn´ım (anticipativn´ım), kdy je u ´rok placen na zaˇ c´ atku u ´rokovac´ıho obdob´ı. Pˇr´ıjemce kapitálu nedostává celou ˇcástku Kt , ale kapitál sn´ıˇzen´ y ou ´rok, coˇz je vlastnˇe obchodn´ı diskont. Pˇredpokládejme, ˇze doba splatnosti kapitálu bude jeden rok, a proto zaplat´ıme u ´rok za tento jeden rok. Jestliˇze oznaˇc´ıme y za jeden rok, K1 – kapitál splatn´ ´roková sazba v setinách p. a., I –u y kapitál (hodnota dluhu na poˇcátku), K0 – vyplacen´ potom

K0 . 1−I Jestliˇze chceme vyjádˇrit hodnotu kapitálu Kt v ˇcase t, kde t ∈ h0, 1i, tedy v libovolném ˇcase mezi dobou v´ yplaty a dobou splatnosti pˇri pˇredlh˚ utn´ım (anticipativn´ım) u ´roˇcen´ı, bude platit K0 = K1 − K1 · I = K1 · (1 − I) ⇒ K1 =

Kt = K0 + K1 · I · t. Jestliˇze do naˇs´ı rovnice dosad´ıme za K1 = jednoduché pˇredlh˚ utn´ı u ´roˇcen´ı ve tvaru

K0 , 1−I

z´ıskáme základn´ı rovnici pro

K0 I Kt = K0 + · I · t = K0 · 1 + ·t . 1−I 1−I Porovn´ an´ı jednoduch´ eho polh˚ utn´ıho a pˇ redlh˚ utn´ıho u ´roˇ cen´ı (dekurzivn´ıho a anticipativn´ıho): Rovnice pro z´ uroˇ cen´ y kapit´ al Jednoduch´ e polh˚ utn´ı Kt = K0 · (1 + i · t)

36

Jednoduch´ e pˇ redlh˚ utn´ ı I Kt = K0 · 1 + 1−I · t nebo Kt = K1 · [1 + I · (t − 1)]

Z uveden´ ych rovnic je vidˇet, ˇze závislost koneˇcného kapitálu resp. u ´roku je u obou rovnic lineárn´ı. K0 – kapitál, kter´ y obdrˇz´ı K0 – poˇcáteˇcn´ı kapitál, kter´ y je klient a kter´ y se s ˇcasem t s ˇcasem t u ´roˇcen u ´ roˇ c ´ ı a plat´ ı i–u ´roková sazba polh˚ utn´ı (dekurzivn´ı) K0 = K1 · (1 − I) I i= I –u ´roková sazba pˇredlh˚ ut1−I n´ı (anticipativn´ı) Plat´ı vztah i=

I 1−I

I=

nebo

i 1+i

Z´ avˇ er: Jestliˇze u ´roˇc´ıme tent´ yˇz kapitál K0 pˇredlh˚ utnˇe nebo polh˚ utnˇe (s od´ pov´ıdaj´ıc´ı u ´rokovou sazbou), v´ ysledn´ y z´ uroˇcen´ y kapitál je shodn´ y. Urokov´ an´ı se liˇs´ı pouze zp˚ usobem pˇripisován´ı u ´rok˚ u. Pˇr´ıklad 2.5.

Kt =?,

K0 = 100 Kˇc,

i = 0,08,

I=

i , 1+i

t = 9 mˇes´ıc˚ u.

ˇ sen´ ˇ ı. Re

Polh˚ utnˇe (dekurzivnˇe) Kt = K0 · (1 + i · t)

Kt = 100 · (1 + 0,08 · 0,75) = 106 Kt = 106 Kˇc

Pˇredlh˚ utnˇe (anticipativnˇ e) I Kt = K0 · 1 + 1−I · t

Kt = 100 · 1 + = 105,9999 Kt = 105,99 Kˇc

0,074074 1−0,074074

· 0,75 =

Pˇr´ıklad 2.6.

Pˇredpokládejme u ´vˇer ve v´ yˇsi 100 Kˇc, splatn´ y najednou za 1 rok pˇri u ´rokové sazbˇe 10 % p. a. Jak´ y je rozd´ıl mezi polh˚ utn´ım a pˇredlh˚ utn´ım u ´roˇcen´ım? ˇ sen´ ˇ ı. Re

Polh˚ utn´ı: K0 = 100, i = 0,1, t = 1, Kt =? K1 = K0 · (1 + i · t) = 100 · 1,1= = 110 Kˇc Na konci roku je nutno zaplatit celkem 110 Kˇc, to znamená 100 Kˇc u ´vˇeru plus 10 Kˇc u ´roku.

Pˇredlh˚ utn´ı: Kt = 100, I = 0,1, t = 1, K0 =? K0 = K1 · (1 − I) = 100 · 0,9 = = 90 Kˇc Pˇri pˇredlh˚ utn´ım u ´roˇcen´ı z u ´vˇeru ve v´ yˇsi 100 Kˇc obdrˇz´ıme pouze 90 Kˇc (100 Kˇc minus u ´rok) a po roce mus´ıme zaplatit cel´ ych 100 Kˇc.

Pˇr´ıklad 2.7.

Kolik dostane vyplaceno klient, kter´ y si vyp˚ ujˇcil od banky 120 000 Kˇc pˇri 15 % pˇredlh˚ utn´ı u ´rokové sazbˇe na dobu 1 roku? Kolik zaplat´ı bance, jestliˇze se rozhodne dluh vrátit jiˇz za 8 mˇes´ıc˚ u?

37


ˇ sen´ ˇ ı. Vyplacen´ Re a ˇcástka u ´vˇeru bankou bude ˇcinit

K0 = K1 · (1 − I) = 120 000 · (1 − 0,15) = 120 000 · 0,85 = 102 000 Kˇc. Hodnota u ´vˇeru po 8 mˇes´ıc´ıch bude Kt = K1 · [1 + (t − 1) · I] = 120 000 · [1 + (8/12 − 1) · 0,15] = = 120 000 · (1 − 1/3 · 0,15) = 114 000 Kˇc. Klient dostane vyplaceno 102 000 Kˇc a po 8 mˇes´ıc´ıch zaplat´ı 114 000 Kˇc. ´ Poznamka. Hodnota dluhu se dá také vypoˇc´ıtat tak, ˇze od nomináln´ı hodnoty

dluhu odeˇcteme obchodn´ı diskont za 4 mˇes´ıce. Dob = Kt · iD · t = 120 000 · 0,15 · 4/12 = 120 000 · 0,15 · 1/3 = 6 000 Kˇc. Klient zaplat´ı za 8 mˇes´ıc˚ u 120 000 − 6 000 = 114 000 Kˇc.

´ ˇ Otazky k zamyslen´ ı 1. Klient mˇ el od 8.3.2000 do 5.5.2000 uloˇzeno ve spoˇritelnˇe 15 000,00 Kˇc

na 8 % u ´rokovou sazbu p. a. Kolik Kˇc ˇcinil u ´rok za tuto dobu? [193,33 Kˇc] 2. Vypoˇ c´ıtejte u ´rokov´ y v´ ynos a koneˇcnou hodnotu pˇri vkladu K0 = 3 000 Kˇc pˇri 4 % p. a. za 2 roky. [u = 240 Kˇc, Kt = 3 240 Kˇc] 3. Na jakou dobu mus´ıme investovat 800 Kˇ c pˇri pˇri u ´rokové sazbˇe 5 % p. a., abychom z´ıskali na u ´roc´ıch 120 Kˇc? [t = 3 roky] 4. Jak´ a byla roˇcn´ı u ´roková m´ıra pˇri vkladu 700 Kˇc, abychom na u ´roku z´ıskali 42 Kˇc za 3 roky? [i = 3 %] 5. Vypoˇ c´ıtejte souˇcasnou hodnotu K0, jestliˇze za 2 roky pˇri 6 % p. a. byla hodnota vkladu 784 Kˇc. [K0 = 700 Kˇc] 6. Pan Voz´ ablo si vyp˚ ujˇcil 7 500 Kˇc pˇri u ´rokové sazbˇe 7 % p. a. dne 10.

dubna. 10. kvˇetna splatil polovinu dluhu a celou ˇcástku u ´roku dluˇznou k 10. kvˇetnu. Kolik celkem zaplatil bance? [3 794 Kˇc] 7. Vypoˇ c´ıtejte u ´rok pomoc´ı U C, U D, jestliˇze klient uloˇzil do banky 4.1.

ˇcástku 8 000 Kˇc, dne 18.2. ˇcástku 4 500 Kˇc a 14.4. ˇcástku 2 400 Kˇc. ´ Urokov´ a sazba byla 6 % p. a. Kolik Kˇc z´ıskal klient za tuto dobu na u ´roc´ıch? [u = 811,066 Kˇc] 8. Na jakou hodnotu se z´ uroˇcil vklad 120 000 Kˇc za 2 roky, 8 mˇes´ıc˚ u a 21

dn´ı, je-li u ´roˇcen v bance pˇri u ´rokové sazbˇe 6 % p. a.? [Kt = 140 697,20 Kˇc] 9. Podnikatel prod´ a bance smˇenku v nomináln´ı hodnotˇe 200 000 Kˇc, která

je splatná za 2 roky. Podle stavu nab´ıdky a poptávky po cenn´ ych pap´ırech na burze j´ı banka kupuje s diskontn´ı sazbou 15 % p. a. Kolik Kˇc obdrˇz´ı podnikatel za smˇenku? [140 000 Kˇc]

38

10. Dluˇ zn´ık vystavil dluˇzn´ı u ´pis na 20 000 Kˇc, splatn´ ych i s u ´rokem za 8

mˇes´ıc˚ u pˇri 8 % p. a. Za mˇes´ıc po vystaven´ı dluˇzn´ıho u ´pisu jej vˇeˇritel prodal jiné osobˇe, která diskontuje dluˇzn´ı u ´pisy 9 % p. a. Kolik dostane vˇeˇritel za dluˇzn´ı u ´pis? [20 015,84 Kˇc]

39


40

´ ˇ ı Zakladn´ ı vztahy pro sloˇzene´ uro ´ cen´ ´ ´ ˇ ı Kombinace jednoducheho a sloˇzeneho uro ´ cen´ ˇ doby splatnosti pˇri sloˇzenem ´ uro ˇ ı Vypo ´ cet ´ cen´ ˇ soucasn ˇ Vypo ´ cet e´ hodnoty ˇ urokov Vypo ´ cet ´ e´ sazby ˇ uroku ´ uro ˇ ı Vypo ´ cet ´ pˇri sloˇzenem ´ cen´ ´ ı jednoducheho ´ ´ ˇ ı Srovnan´ a sloˇzeneho uro ´ cen´

3

ˇ ı Sloˇzene´ uro ´ cen´

ˇ ı 3. Sloˇzene´ uro ´ cen´

C´ıl kapitoly V prvn´ı kapitole jsme mluvili o jednoduchém u ´roˇcen´ı, kde se u ´roky poˇc´ıtali vˇzdy z poˇcáteˇcn´ıho uloˇzeného kapitálu. V následuj´ıc´ı kapitole se seznám´ıme s v´ ypoˇctem u ´rok˚ u, kdy se tento u ´rok poˇc´ıtá jiˇz z u ´roˇceného kapitálu. To znamená, ˇze koncem u ´rokovac´ıho obdob´ı se k vloˇzenému kapitálu pˇripoˇc´ıtá u ´rok a z takto jiˇz z´ uroˇceného kapitálu na konci dalˇs´ıho u ´rokovac´ıho obdob´ı se vypoˇc´ıtá u ´rok nov´ y. C´ılem je tedy pochopit tento zp˚ usob u ´roˇcen´ı a uvˇedomˇen´ı si, ˇze lze roˇcn´ı u ´rokovac´ı obdob´ı rozdˇelit na obdob´ı kratˇs´ı neˇz jeden rok a dokonce zavést i spojité u ´rokovac´ı obdob´ı, v teorii nejen finanˇcn´ı matematiky, ale i pojistné matematiky pouˇz´ıvané. D˚ uleˇzitou ˇcást´ı této kapitoly je z uveden´ ych v´ yraz˚ u vypoˇc´ıtat pro nás potˇrebné hodnoty a v praxi je pouˇz´ıt. Dalˇs´ım d˚ uleˇzit´ ym pojmem je kombinace jednoduchého a sloˇzeného u ´roˇcen´ı a z odvozen´ ych v´ yraz˚ u v´ ypoˇcet jednotliv´ ych hodnot, které jsou pro bˇeˇznou praxi potˇrebné.

ˇ ´ eˇ ˇz Casov a´ zat Prostudován´ı a pochopen´ı vztah˚ u této kapitoly vyˇzaduje 12 hod. ´ Uvod

Doposud jsme vycházeli z toho, ˇze se u ´roky poˇc´ıtaj´ı stále ze stejného základu –u ´roky rostly line´ arnˇ e. Sloˇzené u ´roˇcen´ı vycház´ı z toho, ˇze se u ´roky pˇripoˇc´ıtávaj´ı k p˚ uvodn´ımu kapitálu a v následuj´ıc´ım obdob´ı se tento z´ uroˇcen´ y kapitál bere jako základ pro ´ c´ı se tedy z´ dalˇs´ı u ´roˇcen´ı. Uroˇ uroˇ cen´ y kapit´ al. Sloˇzené u ´roˇcen´ı je moˇzno rozdˇelit na u ´roˇ cen´ı pˇ redlh˚ utn´ı a polh˚ utn´ı.

3.1

´ ˇ ı Zakladn´ ı vztahy pro sloˇzene´ uro ´ cen´

Oznaˇcme uvodn´ı (poˇcáteˇcn´ı) kapitál, K0 – p˚ ´roková sazba v setinách, i –u t – doba splatnosti kapitálu v letech, yˇse kapitálu v dobˇe t = 1, 2, 3, . . . Kt – v´ Rok 1 2 3 .. . t

Stav kapitálu na konci roku K1 = K0 + K0 · i = K0 (1 + i) K2 = K1 + K1 · i = K1 (1 + i) = K0 (1 + i)(1 + i) K3 = K2 + K2 · i = K2 (1 + i) = K0 (1 + i)2 (1 + i) .. . Kt = Kt−1 + Kt−1 · i = K0(1 + i)t−1 (1 + i)

= K0.(1 + i) = K0(1 + i)2 = K0(1 + i)3 .. . = K0(1 + i)t

Z naˇs´ı tabulky vid´ıme, ˇze na konci jednotliv´ ych let stavy kapitálu tvoˇr´ı geometrickou posloupnost, kde se kvocient rovn´ a u ´rokovac´ımu faktoru 1 + i.

42

Tedy a1 = K0 a q = 1 + i. Pˇrirozené mocniny u ´rokovac´ıho faktoru se naz´ yvaj´ı u ´roˇ citel´ e a udávaj´ı, jak vzroste vklad 1 Kˇc za dobu t pˇ ri u ´rokov´ e sazbˇ e i za pˇredpokladu, ˇze K0 = 1 Kˇc. Celkov´ y u ´rokov´ y v´ ynos neroste jako u jednoduchého u ´roˇcen´ı lineárnˇe, ale exponenci´ alnˇ e. kapitál u ´ rok

i = 20 %

i = 10 % u ´ rok

K0

t

ˇcas

Obrázek 3.1: Závislost u ´roku a v´ yˇse kapitálu na dobˇe splatnosti Z´ akladn´ı rovnice pro sloˇ zen´ eu ´roˇ cen´ı tedy bude Kt = K0 · (1 + i)t . Tato rovnice plat´ı za pˇredpokladu, ˇze t je cel´ e kladn´ e ˇ c´ıslo a u ´roˇ cen´ı prob´ıh´ a koncem kaˇ zd´ eho roku. Pˇr´ıklad 3.1.

Uloˇzili jsme ˇcástku 12 000 Kˇc. Jaká bude v´ yˇse kapitálu za 3 roky pˇri sloˇzeném u ´roˇcen´ı, jestliˇze u ´roková sazba bude 5 % p. a.? ˇ sen´ ˇ ı. Re

Kt = K0 · (1 + i)t , Kt = 12 000 · (1 + 0,05)3 = 12 000 · 1,157625 = 13 891,50 Kˇc. Koneˇcná hodnota kapitálu bude 13 891,50 Kˇc. Pˇredpokládejme, ˇze t je cel´ e kladn´ eˇ c´ıslo, ale u ´rokovac´ı obdob´ı je kratˇ s´ı ´ neˇ z jeden rok. Urokov´ an´ı prob´ıhá m-kr´ at za rok. Oznaˇcme opˇet uvodn´ı (poˇcáteˇcn´ı) kapitál, K0 – p˚ – roˇ cn´ı u ´roková sazba v setinách, i i –u ´roková sazba za jednu m-tinu roku, m Km – stav kapitálu na konci m-té ˇcásti roku.

43


ˇ ast C´ roku 1 2 3 .. .

Stav kapit´ alu na konci m-té ˇcásti roku K1 = K0 + K0 · K2 = K1 + K1 · K3 = K2 + K2 · .. .

i m i m i m

= K0 (1 + = K1 (1 + = K2 (1 +

i m) i m) i m)

= K0 (1 + i i = K0 (1 + m )(1 + m ) = K0 (1 + = K0 (1 + mi )2 (1 + mi ) = K0 (1 + .. .

Km = Km−1 + Km−1 mi = Km−1 (1 +

m

i m−1 (1 m)

+

i m)

= K0 (1 +

i m) i 2 m) i 3 m)

i m m)

Stav kapitálu u ´roˇcen´ y m-krát za rok bude na konci roku m i Km = K0 · 1 + m a za t let bude m t m·t i i = K0 · 1 + . Kt = K0 · 1 + m m Pˇr´ıklad 3.2.

Jako v pˇredcházej´ıc´ım pˇr´ıkladu jsme si uloˇzili 12 000 Kˇc. Jaká bude v´ yˇse kapitálu za 3 roky pˇri sloˇzeném u ´roˇcen´ı polh˚ utn´ım, jestliˇze u ´rokovac´ı obdob´ı bude ˇctvrtletn´ı a u ´roková sazba ˇcin´ı 5 % p. a.? ˇ sen´ ˇ ı. Re

Kt Kt

m·t i = K0 · 1 + , m 4·3 0,05 = 12 000 · 1 + = 12 000 · 1,012512 = 12 000 · 1,1607545 = 4 = 13 929,054 Kˇc.

Koneˇcná hodnota kapitálu pˇri stanoven´ ych podm´ınkách bude 13 929,054 Kˇc.

3.2

´ ´ ˇ ı Kombinace jednoducheho a sloˇzeneho uro ´ cen´

Ke kombinaci jednoduchého a sloˇzeného u ´roˇcen´ı docház´ı tehdy, jestliˇze jsou u ´roky pˇripisovány po urˇcitou dobu k poˇcáteˇcn´ımu vkladu a s n´ım dále u ´roˇceny (sloˇzené u ´roˇcen´ı), ale na konci je nutno vypoˇc´ıtat u ´rok za dobu kratˇs´ı neˇz je u ´rokovac´ı obdob´ı (kratˇs´ı neˇz jeden rok – jednoduché u ´roˇcen´ı). Necht’ plat´ı podm´ınka t 6= kladné celé ˇc´ıslo, t = n + R, kde n je ˇc´ıslo, které udává poˇcet cel´ ych ukonˇcen´ ych let a R < 1 (je ˇc´ıslo menˇs´ı neˇz 1), je ˇc´ıslo, které udává neukonˇcené u ´rokovac´ı obdob´ı (ˇcást roku). Poˇcáteˇcn´ı kapitál K0 nejprve u ´roˇc´ıme sloˇzen´ ym u ´roˇcen´ım po celou dobu n let Kn = K0 · (1 + i)n .

44

Tento kapitál Kn pak u ´roˇc´ıme jednoduch´ ym u ´roˇcen´ım po dobu R, tedy po dobu posledn´ıho neukonˇceného roku (po zbytek splatnosti, ˇcást roku). Kt = Kn · (1 + R · i), Kt = K0 · (1 + i)n · (1 + R · i). Dosad´ıme-li za Kn pˇredcházej´ıc´ı v´ yraz, obdrˇz´ıme hodnotu kapitálu na konci u ´rokovac´ıho obdob´ı t = n + R. Jestliˇze se u ´roky pˇripisuj´ı m-krát do roka a doba t nen´ı celé ˇc´ıslo, potom m˚ uˇzeme dobu t opˇet zapsat t = n + R. Koneˇcnou hodnotu kapitálu za dobu t pak urˇc´ıme podobn´ ym zp˚ usobem jako v pˇredcházej´ıc´ım vztahu. n i Kn = K0 · 1 + . m Koneˇcnou hodnotu kapitálu Kt pak vypoˇc´ıtáme jednoduch´ ym u ´roˇcen´ım z´ uroˇcené v´ yˇse kapitálu Kn Kt = Kn · (1 + R · i). Jestliˇze dosad´ıme za Kn pˇredcházej´ıc´ı v´ yraz, dostaneme koneˇcn´ y vztah pro v´ ypoˇcet kapitálu Kt n i Kt = K0 · 1 + · (1 + R · i). m Jestliˇze u ´rokové obdob´ı nebude roˇcn´ı, bude ˇc´ıslo n vyjadˇrovat poˇcet ukonˇcen´ ych u ´rokov´ ych obdob´ı a ˇc´ıslo R pouze ˇcást u ´rokového obdob´ı. Potom je nutno dˇelit roˇcn´ı u ´rokovou sazbu poˇctem u ´rokov´ ych obdob´ı za rok. Pˇr´ıklad 3.3.

Na kolik vzroste vklad 15 000 Kˇc uloˇzen´ y na 3 roky a 2 mˇes´ıce pˇri u ´rokové sazbˇe 5 % p. a.? ˇ sen´ ˇ ı. Kt =?, K = 15 000, i = 0,05, t = 3 roky a 2 mˇ Re es´ıce = 3,16666 roku,

n = 3 roky, R = 0,1666 roku. Kt = K0 · (1 + i)n · (1 + R · i), Kt = 15 000 · (1 + 0,05)3 · (1 + 0,16666 · 0,05) = 15 000 · 1,053 · 1,008333 = 17 509,072, Kt = 17 509,072 Kˇc. ´ Poznamka. Pokud bychom ˇreˇsili tento pˇr´ıklad podle v´ yrazu Kt = K0 ·(1+i)t ,

byl by v´ ysledek následuj´ıc´ı

Kt = 15 000 · (1 + 0,05)3,16666 = 15 000 · 1,053,16666 = 17 506,147 Kˇc.

45


3.3

ˇ doby splatnosti pˇri sloˇzenem ´ uro ˇ ı Vypo ´ cet ´ cen´

V´ ypoˇcet doby splatnosti pˇri sloˇzeném u ´roˇcen´ı poˇc´ıtáme podle dan´ ych podm´ınek tˇremi zp˚ usoby: a) t je cel´ e kladn´ eˇ c´ıslo, u ´roˇcen´ı roˇcn´ı p. a. b) t nen´ı cel´ e kladn´ eˇ c´ıslo, u ´roˇcen´ı roˇcn´ı p. a. c) t nen´ı cel´ e kladn´ eˇ c´ıslo, u ´roˇcen´ı je m-krát do roka. ˇ ı rocn´ ˇ ı p. a. a) t ∈ N, uro ´ cen´

Pˇri této u ´loze vycház´ıme ze základn´ıho vzorce pro sloˇzené u ´roˇcen´ı Kt = K0 · (1 + i)t . Jelikoˇz chceme vypoˇc´ıtat t, celou rovnici zlogaritmujeme a z n´ı vypoˇc´ıtáme dobu t. Odvozen´ı: rovnici logaritmujeme ln Kt = ln K0 + t · ln(1 + i), ln Kt − ln K0 = t · ln(1 + i) ⇒ t =

ln Kt − ln K0 . ln(1 + i)

ˇ ı rocn´ ˇ ı p. a. b) t ∈ / N, uro ´ cen´

Jestliˇze t nen´ı cel´ ym kladn´ ym ˇc´ıslem, pouˇzijeme nejdˇr´ıve rovnici pˇredcházej´ıc´ı pro v´ ypoˇcet cel´ ych rok˚ u a R dopoˇc´ıtáme podle jednoduchého u ´roˇcen´ı. n vol´ıme jako nejbliˇ zˇ s´ı niˇ zˇ s´ı pˇ rirozen´ eˇ c´ıslo. Oznaˇcme n = n0 , potom Kt = K0 · (1 + i)n0 · (1 + R · i), Kt 1+R·i= K0 · (1 + i)n0 Kt −1 R·i= K0 · (1 + i)n0

1 Kt − K0 · (1 + i)n0 Kt − = = R= i · K0 · (1 + i)n0 i i · K0 · (1 + i)n0

Kt K0

− (1 + i)n0

i · (1 + i)n0

Takˇze zbytek u ´rokovac´ıho obdob´ı (ˇcást u ´rokovac´ıho obdob´ı) vypoˇc´ıtáme R=

Kt K0

− (1 + i)n0

i · (1 + i)n0

.

Jestliˇze je u ´rokovac´ı obdob´ ypoˇcet doby t ı kratˇs´ı neˇz 1 rok, vycház´ıme pro v´ i m·t . Rovnici uprav´ıme logaritmován´ım na tvar z v´ yrazu Kt = K0 · 1 + m i , ln Kt = ln K0 + m · t · ln 1 + m i , ln Kt − ln K0 = m · t · ln 1 + m ln Kt − ln K0 . t= m · ln 1 + mi

46

Jelikoˇz t ∈ / N, rozloˇz´ıme jej v souˇcet t = n0 + R.

Zbytek doby splatnosti R zpˇresn´ıme podle vztahu R=

Kt K0

i n0 ) m i n0 . ) m

− (1 +

i · (1 +

Pˇr´ıklad 3.4.

Jak dlouho byl uloˇzen kapitál 2 300 000 Kˇc, jestliˇze vzrostl pˇri 9 % u ´roku p. a. pˇri sloˇzeném u ´rokován´ı na hodnotu 4 995 347 Kˇc? ˇ sen´ ˇ ı. Re

ln Kt − ln K0 , ln(1 + i) ln 4 995 347 − ln 2 300 000 15,4240 − 14,6484 t = = = 9,00. ln(1 + 0,09) 0,0861 t =

Jednalo se o dlouhodobé uloˇzen´ı kapitálu na dobu 9 let. Pˇr´ıklad 3.5.

Máme zjistit, jak dlouho byl uloˇzen kapitál ve v´ yˇsi 15 000 Kˇc, jestliˇze pˇri sloˇzeném u ´roˇcen´ı a u ´rokové sazbˇe 4 % p. a. vzrostl na 21 000 Kˇc. ˇ sen´ ˇ ı. Re

t =

9,9522 − 9,6158 ln 21 000 − ln 15 000 = = 8,5816. ln(1 + 0,04) 0,0392

Zpˇresˇ nujeme: t = n0 + R, n0 = 8. R =

Kt K0

− (1 + i)n0

, i · (1 + i)n0 21 000 − (1 + 0,04)8 1,4 − 1,3685 = = 0,5754 let = 0,5754 · 360 dn´ı R = 15 000 8 0,04 · (1 + 0,04) 0,04 · 1,3685 = 207 dn´ı = 6 mˇes´ıc˚ u a 27 dn´ı. Za dan´ ych podm´ınek byl kapitál uloˇzen 8 let 6 mˇes´ıc˚ u a 27 dn´ı. Pˇr´ıklad 3.6.

Máme urˇcit dobu splatnosti kapitálu, kter´ y pˇri sloˇzeném pololetn´ım u ´roˇcen´ı vzrostl ze 150 000 Kˇc pˇri u ´rokové sazbˇe 4 % p. s. na 180 000 Kˇc. ˇ sen´ ˇ ı. Re

ln Kt − ln K0 , m · ln 1 + mi ln 180 000 − ln 150 000 0,1824 12,1007 − 11,9183 t = = = 4,606 let = = 0,04 2 · 0,0498 0,0396 2 · ln 1 + 2 = 4,606 · 12 mˇes´ıc˚ u = 55,2720 mˇes´ıc˚ u.

t =

47


1u ´rokovac´ı obdob´ı = 6 mˇes´ıc˚ u, tedy máme 55,2720/6 = 9,2120 u ´rokovac´ıch obdob´ı; n0 = 9. Zpˇresˇ nujeme: R =

Kt K0

i n0 ) m i n0 i · (1 + m ) 180 000 − (1 + 0,04 )9 150 000 2 )9 0,04 · (1 + 0,04 2

− (1 +

1,2 − 1,195 = 0,1046 let = 0,1046 · 360 dn´ı = 0,0478 = 37,656 dn´ı = 38 dn´ı = 1 mˇes´ıc a 8 dn´ı.

R =

=

t = n0 + R = 9 u ´rokovac´ıch obdob´ı + 1 mˇes´ıc a 8 dn´ı = 9· 6 mˇes´ıc˚ u + 1 mˇes´ıc + 8 dn´ı = 55 mˇes´ıc˚ u a 8 dn´ı = 4 roky 7 mˇes´ıc˚ u a 8 dn´ı. Aby za dan´ ych podm´ınek vzrostl poˇcáteˇcn´ı kapitál na 180 000 Kˇc, musel by b´ yt uloˇzen po dobu 4 let 7 mˇes´ıc˚ u a 8 dn´ı.

3.4

ˇ soucasn ˇ Vypo ´ cet e´ hodnoty

Znaˇcn´ y v´ yznam pro nás má souˇcasná hodnota, nebot’ nám umoˇzn ˇuje porovnat hodnotu kapitálu v ˇcase. V bˇeˇzné praxi stoj´ıme pˇred u ´kolem zjistit, jakou v´ yˇsi kapitálu mus´ıme uloˇzit, abychom dosáhli v urˇcitém ˇcase t budouc´ı ˇ ım dˇr´ıve máme potˇrebn´ hodnotu kapitálu. C´ y kapitál, t´ım dˇr´ıve jej m˚ uˇzeme uloˇzit nebo investovat a pˇrináˇs´ı nám u ´roky. Pˇri v´ ypoˇctu souˇcasné hodnoty kapitálu vycház´ıme ze základn´ıch v´ yraz˚ u pro sloˇzené u ´roˇcen´ı: ˇ ı rocn´ ˇ ı p. a. a) t ∈ N, uro ´ cen´

Kt = K0 · (1 + i)t . Z této rovnice vypoˇc´ıtáme K0 K0 =

Kt t . (1 + i)

Jestliˇze Kt = 1, Kˇc potom v´ yraz 1 (1 + i)t naz´ yváme od´ uroˇ citel a znaˇc´ı souˇcasnou hodnotu 1 Kˇc splatné za t let pˇri u ´rokové sazbˇe i. ˇ ı je m-krat ´ do roka b) t ∈ / N, uro ´ cen´

Potom vycház´ıme ze vztahu m·t i Kt Kt = K0 · 1 + ⇒ K0 = m·t . m 1 + mi

48

ˇ ı rocn´ ˇ ı p. a. c) t ∈ / N, uro ´ cen´

Jestliˇze chceme vypoˇc´ıtat souˇcasnou hodnotu pˇri znalosti budouc´ı hodnoty a nen´ı-li doba splatnosti t vyjádˇrena cel´ ym kladn´ ym ˇc´ıslem, vypoˇc´ıtáme ji K0 =

(1 +

i)n0

Kt , · (1 + R · i)

kde n0 je nejbliˇzˇs´ı pˇrirozené ˇc´ıslo k ˇc´ıslu t a R = t − n0 . ˇ ı m-krat ´ do roka d) t ∈ / N, uro ´ cen´

Potom

Kt , · (1 + R · i) (1 + kde n0 je nejbliˇzˇs´ı celé kladné ˇc´ıslo k ˇc´ıslu t a R = t − n0 . K0 =

i n0 ) m

Pˇr´ıklad 3.7.

Kolik mus´ıme uloˇzit, abychom za 5 let pˇri u ´rokové sazbˇe 5 % p. a. z´ıskali ´ kapitál ve v´ yˇsi 100 000 Kˇc? Uroˇcen´ı je sloˇzené. ˇ sen´ ˇ ı. Re

Kt , (1 + i)t 100 000 100 000 = = = 78 352,614 Kˇc. 5 (1 + 0,05) 1,055

K0 = K0

Abychom za 5 let mˇeli kapitál 100 000 Kˇc, mus´ıme dnes uloˇzit 78 352,614 Kˇc. Pˇr´ıklad 3.8.

Máme moˇznost koupit osobn´ı automobil. Je pro nás v´ yhodnˇejˇs´ı zaplatit hotovˇe 240 000 Kˇc nebo dát pˇrednost splátkovému zp˚ usobu platby a zaplatit zálohu hotovˇe ve v´ yˇsi 120 000 Kˇc a za 3 roky doplatit zbytek ve v´ yˇsi 160 000 Kˇc pˇri u ´rokové sazbˇe 8 % p. s. a pˇri sloˇzeném u ´roˇcen´ı? ˇ sen´ ˇ ı. Naˇs´ım u Re ´kolem je porovnat oba zp˚ usoby:

a) zaplacen´ı v hotovosti 240 000 Kˇc, b) splátkov´ y zp˚ usob placen´ı: zálohou 120 000 Kˇc a splátkou, jej´ıˇz souˇcasná hodnota je Kt , (1 + mi )m·t 160 000 160 000 = = 126 450,33 Kˇc. 0,08 2·3 = 1,265319 (1 + 2 )

K0 = K0

Splátkov´ y zp˚ usob platby = záloha + K0 = 120 000 Kˇc + 126 450,33 Kˇc = 246 450,33 Kˇc. 240 000 < 246 450,33 Z numerického hlediska je v´ yhodnˇejˇs´ı zaplatit ihned 240 000 Kˇc neˇz splátkov´ y zp˚ usob. Tento zp˚ usob platby je vˇsak v´ yhodnˇejˇs´ı pro kupuj´ıc´ıho, nebot’ vzhledem k cenˇe automobilu je cena vyˇsˇs´ı o 6 450,33 Kˇc, coˇz jsou pouze 2,68763 % z poˇrizovac´ı ceny automobilu.

49


Pˇr´ıklad 3.9.

Kolik mus´ıme dnes uloˇzit korun, abychom za 5 let 3 mˇes´ıce a 24 dn´ı mˇeli na kontˇe ˇcástku ve v´ yˇsi 500 000 Kˇc, jestliˇze banka nab´ıdla 5 % u ´rokovou sazbu p. a. a sloˇzené u ´roˇcen´ı? ˇ sen´ ˇ ı. n0 = 5 let, R = (3 · 30 + 24)/360 = 0,31666 Re

Kt , (1 + · (1 + R · i) 500 000 500 000 = = = 5 (1 + 0,05) · (1 + 0,31666 · 0,05) 1,27628 · 1,0158 = 385 668,56 Kˇc.

K0 = K0

i)n0

Pˇri dan´ ych podm´ınkách mus´ıme dnes uloˇzit 385 668,56 Kˇc. Pˇr´ıklad 3.10.

Pouˇzijme pˇrecházej´ıc´ıho pˇr´ıkladu se ˇctvrtletn´ım u ´roˇcen´ım, tedy m = 4. ˇ sen´ ˇ ı. t = 5·12+3+24/30 = 60+3+0,8 = 63,8 mˇ Re es´ıc˚ u. 63,8/3 = 21,266667,

tedy n0 = 21, R = 0,266667. Kt K0 = i n0 (1 + m ) · (1 + R · i) 500 000 500 000 K0 = = = 0,05 21 1,298063 · 1,0133334 (1 + 4 ) · (1 + 0,266667 · 0,05) 500 000 = 380 121,01 Kˇc. = 1,3153706 Abychom mˇeli pˇri dan´ ych podm´ınkách za 5 let 3 mˇes´ıce a 24 dn´ı 500 000 Kˇc, mus´ıme dnes uloˇzit 380 121,01 Kˇc.

3.5

ˇ urokov Vypo ´ cet ´ e´ sazby

Jestliˇze chceme zjistit, jaká je u ´roková sazba, vycház´ıme z podm´ınek, za kter´ ych jsme ukládali nebo si vyp˚ ujˇcovali kapitál. Pˇri ˇreˇsen´ı tˇechto u ´loh pouˇzijeme jiˇz dˇr´ıve odvozené vztahy. ˇ ı je rocn´ ˇ ı p. a. a) t ∈ N, uro ´ cen´

Kt Kt = K0 · (1 + i) ⇒ (1 + i) = ⇒1+i= K0 Tedy r Kt i= t − 1. K0 t

t

r t

Kt ⇒i= K0

r t

Kt − 1. K0

ˇ ı je m-krat ´ do roka b) t ∈ N, uro ´ cen´

i m·t ⇒ Kt = K0 · 1 + m

50

m·t i Kt 1+ = ⇒ m K0 r r i K Kt i t ⇒ 1+ = m·t ⇒ = m·t − 1. m K0 m K0

Z toho u ´roková sazba bude i=m·

r m·t

Kt −1 . K0

ˇ ı m-krat ´ za rok c) t ∈ / N, t = n0 + R, uro ´ cen´

i=m·

r m·t

r Kt m·(n0 +R) Kt −1 ⇒i= m· −1 . K0 K0

Pˇr´ıklad 3.11.

Jaká byla u ´roková sazba, jestliˇze kapitál 20 000 Kˇc vzrostl za 4 roky na ´ cen´ı bylo sloˇzené. 27 400 Kˇc? Uroˇ ˇ sen´ ˇ ı. Re

r

Kt − 1, K r 0 p 4 27 400 − 1 = 4 1,37 − 1 = 1,0818 − 1 = 0,0818, i = 20 000 p = 100 · i = 8,18 %. i =

t

Kapitál byl u ´roˇcen u ´rokovou sazbou 8,18 %. Pˇr´ıklad 3.12.

Kolika procenty byl u ´roˇcen vklad 20 000 Kˇc, jestliˇze vzrostl na 30 000 Kˇc pˇri sloˇzeném u ´roˇcen´ı dvakrát za rok (m = 2)? ˇ sen´ ˇ ı. Re

r

Kt i = m· −1 , K0 r p 2·4 30 000 − 1 = 2 · 8 1,5 − 1 = 2 · 0,0519 = 0,1038, i = 2· 20 000 p = 100 · i = 10,38 %. m·t

Vklad byl za dan´ ych podm´ınek u ´roˇcen sazbou 10,38 %. Pˇr´ıklad 3.13.

Jaká je u ´roková sazba, jestliˇze kapitál 20 000 Kˇc vzrostl za 4 roky 2 mˇes´ıce a ´ ceno sloˇzen´ 21 dn´ı na 30 000 Kˇc? Uroˇ ym kombinovan´ ym zp˚ usobem 4-krát do roka. ˇ sen´ ˇ ı. Re

i = m·

r

m·(n0 +R)

r

Kt −1 , K0

30 000 − 1 = 4 · 0,0242821 = 0,0971284, i = 4· 20 000 p = 100 · i = 9,7128 %.

4·(4+0,225)

51


3.6

ˇ uroku ´ uro ˇ ı Vypo ´ cet ´ pˇri sloˇzenem ´ cen´

Stejnˇe jako u jednoduchého u ´roˇcen´ı nás zaj´ımá v´ yˇse u ´roku, kterou nám pˇrip´ıˇse penˇeˇzn´ı u ´stav za urˇcitou dobu vkladu nebo kterou pˇripoˇc´ıtá dluˇzn´ıkovi k jeho u ´vˇeru. Podle dan´ ych podm´ınek potom vyb´ıráme rovnici pro z´ uroˇcen´ y kapitál, z n´ıˇz u ´rok odvozujeme. ˇ ı je rocn´ ˇ ı p. a. a) t ∈ N, uro ´ cen´

Kt = K0 + u ⇒ u = Kt − K0 ,

kde Kt = K0 · (1 + i)t .

Po dosazen´ı za Kt dostaneme u = K0 · (1 + i)t − K0 = K0 · (1 + i)t − 1 . ˇ ı je m-krat ´ do roka b) t ∈ N, uro ´ cen´

u = Kt − K0 ,

m·t i kde Kt = K0 · 1 + , m

takˇze " # m·t m·t i i u = K0 · 1 + 1+ − K0 = K0 · −1 . m m ˇ ı je rocn´ ˇ ı p. a. c) t ∈ / N, uro ´ cen´

u = Kt − K0 , kde Kt = K0 · (1 + i)n0 · (1 + R · i), u = K0 · (1 + i)n0 · (1 + R · i) − K0, u = K0 · [(1 + i)n0 · (1 + R · i) − 1] . ˇ ı je m-krat ´ do roka d) t ∈ / N, uro ´ cen´

n0 i · (1 + R · i), u = Kt − K0 , kde Kt = K0 · 1 + m n0 i u = K0 · 1 + · (1 + R · i) − K0 , m n0 i u = K0 · 1 + · (1 + R · i) − 1 . m

52

Pˇr´ıklad 3.14.

Jaká bude v´ yˇse u ´roku za 3 roky z kapitálu 200 000 Kˇc, pˇri u ´rokové sazbˇe ´ 10,5 % p. a.? Uroˇcen´ı je sloˇzené. ˇ sen´ ˇ ı. Re u = K0 · (1 + i)t − 1 , u = 200 000 · (1 + 0,105)3 − 1 = 200 000 · 0,3492 = 69 840 Kˇc.

´ Urok bude ˇcinit 69 840 Kˇc, takˇze klient bude m´ıt na kontˇe ˇcástku 269 840 Kˇc. Pˇr´ıklad 3.15.

Pouˇzijeme stejného zadán´ı jako v pˇr´ıkladu 3.14, ale u ´rokován´ı prob´ıhá ˇctvrtletnˇe, tedy p. q. ˇ sen´ ˇ ı. Re "

# i m·t u = K0 · 1+ −1 , m " # 0,105 4·3 u = 200 000 · 1+ − 1 = 200 000 · 0,3647 = 72 940 Kˇc. 4

Bude-li u ´rok pˇripisován ˇctvrtletnˇe, jeho v´ yˇse za 3 roky bude 72 940 Kˇc. Proti pˇredcházej´ıc´ımu pˇr´ıkladu bude rozd´ıl ˇcinit 72 940 − 69 840 = 3 100 Kˇc. Pˇr´ıklad 3.16.

Jaká bude v´ yˇse pˇripsaného u ´roku za 3 roky 7 mˇes´ıc˚ u a 24 dn´ı z vkladu 1 mil. Kˇc, jestliˇze se jedná o sloˇzené u ´roˇcen´ı pˇri 10 % u ´rokové sazbˇe? ˇ sen´ ˇ ı. t = 3 roky + 0,5833 roku + 0,0666 roku = 3,6499 roku. Tedy n0 = 3 Re roky, R = 0,6499 roku. u = K0 · [(1 + i)n0 · (1 + R · i) − 1] , u = 1 000 000 · (1 + 0,1)3 · (1 + 0,6499 · 0,1) − 1 =

= 1 000 000 · (1,331 · 1,06499 − 1) = 1 000 000 · 0,4175 = 417 500.

Za 3 roky 7 mˇes´ıc˚ u a 24 dn´ı bude k p˚ uvodn´ımu kapitálu pˇripsána ˇcástka 417 500 Kˇc. Pˇr´ıklad 3.17.

Jak velk´ y u ´rok je zapoˇc´ıtán klientovi k dluhu 250 000 Kˇc, kter´ y je splatn´ y ´ za 5 let 4 mˇes´ıce a 21 dn´ı? Urokován´ı prob´ıhá sloˇzen´ ym zp˚ usobem pololetnˇe p. s., pˇri 12 % u ´rokové sazbˇe p. a. ˇ sen´ ˇ ı. Re i n0 · (1 + R · i) − 1 , u = K0 · 1 + m " # 0,12 10 u = 250 000 · 1+ · (1 + 0,7833 · 0,12) − 1 = 2

= 250 000 · (1,7908 · 1,0939 − 1) = 250 000 · 0,9589 = 239 725 Kˇc.

53


3.7

´ ı jednoducheho ´ ´ ˇ ı Srovnan´ a sloˇzeneho uro ´ cen´

Jednoduché u ´roˇcen´ı je dáno vztahem Kt = K0 · (1 + i · t). Po roznásoben´ı obdrˇz´ıme Kt = K0 + K0 · i · t, kde K0 · i = k, K0 = q. Jedná se o lineárn´ı funkci, jej´ımˇz grafem je pˇr´ımka.

Sloˇzené u ´roˇcen´ı je dáno vztahem

Kt = K0 · (1 + i)t , kde K0 · (1 + i) je základ a t je exponent. Jedná se o exponenciáln´ı funkci, jej´ımˇz grafem je exponenciáln´ı kˇrivka. Z graf˚ u obou funkc´ı vid´ıme, ˇze pro t ∈ (0, 1) jsou funkˇcn´ı hodnoty exponenciáln´ı funkce menˇs´ı neˇz hodnoty lineárn´ı funkce. Pro t > 1 je tomu naopak. Pro t = 1 jsou obˇe funkˇcn´ı hodnoty stejné. Kt

exponenci´ aln´ı funkce lineárn´ı funkce

K0 · (1 + i)

K0

1 rok

ˇcas

Obrázek 3.2: Graf sloˇzeného a jednoduchého u ´roˇcen´ı Z grafu je zˇrejmé, ˇze pro t ∈ (0, 1) je v´ yhodnˇejˇs´ı pro klienta jednoduché u ´roˇcen´ı a pro dobu t > 1 rok budou u ´roky pˇri sloˇzeném u ´roˇcen´ı vyˇsˇs´ı neˇz pˇri u ´roˇcen´ı jednoduchém.

´ ˇ Otazky k zamyslen´ ı 1. Urˇ cete v´ yˇsi z´ uroˇceného kapitálu 12 000 Kˇc, je-li u ´roková sazba 12,5 %

p. a. pˇri sloˇzeném u ´roˇcen´ı, jestliˇze u ´roˇcen´ı je pololetn´ı a tato ˇcástka je uloˇzená 3 roky. [17 264,53 Kˇc] 2. Jak dlouho byl uloˇ zen´ y kapitál 2 300 000 Kˇc jestliˇze pˇri sloˇzeném u ´roˇcen´ı

vzrostl na hodnotu 4 995 347 Kˇc pˇri u ´rokové sazbˇe 9 % p. a.? [8 let, 11 mˇes´ıc˚ u, 29 dn´ı]

54

3. Kolik mus´ıme dnes uloˇ zit, abychom za 5 let, 3 mˇes´ıce a 24 dn´ı mˇeli na

´ kontˇe 1 mil. Kˇc? Urokov´ an´ı je sloˇzené pˇri u ´rokové sazbˇe 4 % p. a.

[811 646,25 Kˇc] 4. Jak dlouho bylo uloˇ zeno 15 000 Kˇc, jestliˇze tento vklad vzrostl na

21 000 Kˇc pˇri sloˇzeném u ´roˇcen´ı a 4 % u ´rokové sazbˇe p. a.? [8 let, 6 mˇes´ıc˚ u, 27 dn´ı] 5. Urˇ cete u ´rokovou m´ıru p. a., pˇri které se zv´ yˇs´ı:

a) 4 400 Kˇc na 8 500 Kˇc za 16 let pˇri ˇctvrtletn´ım sloˇzeném u ´roˇcen´ı, b) 4 000 Kˇc na 15 000 Kˇc za 20 let pˇri pololetn´ı sloˇzeném u ´roˇcen´ı, c) poˇcáteˇcn´ı hodnota kapitálu na sv˚ uj dvojnásobek za 16 let, pˇri mˇes´ıˇcn´ı u ´roˇcen´ı. [a) p = 4,1366 %, b) p = 6,7 %, c) p = 4,4 %] 6. Urˇ cete poˇcet let (se zaokrouhlen´ım na posledn´ı ˇctvrtlet´ı, mˇes´ıc, tam

kde je to potˇrebné) za jak´ y se zv´ yˇs´ı: a) 1 000 Kˇc na 1 500 Kˇc pˇri ˇctvrtletn´ım sloˇzeném u ´roˇcen´ı a u ´rokové sazbˇe 4 % p. a., b) 2 000 Kˇc na 4 000 Kˇc pˇri sloˇzeném mˇes´ıˇcn´ım u ´roˇcen´ı a roˇcn´ı u ´rokové sazbˇe 5 %, c) poˇcáteˇcn´ı hodnota kapitálu na sv˚ uj trojnásobek pˇri roˇcn´ım sloˇzeném u ´roˇcen´ı s u ´rokovou sazbou 4 %. [a) n ≈ 10 41 roku, b) n ≈ 13 43 roku, c) n = 28 let]

7. Pˇred osmi lety uloˇ zil otec synovi kapitál na 3 41 % p. a. pˇri ˇctvrtletn´ım

sloˇzeném u ´roˇcen´ı. Jestliˇze syn na konci osmého roku vybral 8 091,90 Kˇc jako koneˇcnou hodnotu vˇcetnˇe u ´rokového v´ ynosu, jaká byla poˇcáteˇcn´ı hodnota? [K0 = 6 245,831 Kˇc]

8. Kdyˇ z klient uloˇzil 1.1.1989 v bance 10 000 Kˇc, mˇela banka 2 43 % p. a.

u ´rokovou sazbu a u ´rokovac´ı obdob´ı bylo pololetn´ı. K 1.1.1994 banka oznámila, ˇze poˇc´ınaje t´ımto datem bude u ´roková sazba 3 % p. a. pˇri sloˇzeném ˇctvrtletn´ım u ´roˇcen´ı. Jakou hodnotu bude m´ıt uloˇzen´ y kapitál k 1.1.1999? [K0 = 13 310,97196 Kˇc]

9. Jestliˇ ze si vyp˚ ujˇc´ı klient 8 900 Kˇc pˇri 5 41 % p. a. u ´rokové sazbˇe pˇri sloˇzené

roˇcn´ım u ´roˇcen´ı a jestliˇze splat´ı na konci prvn´ıho roku 2 000 Kˇc a na konci druhého roku 3 000 Kˇc, kolik ˇcin´ı z˚ ustatek dluhu splatného za 3 roky? [I = 0,0525; 5 003,63 Kˇc]

10. Dva kapit´ aly, jejichˇz souˇcet je 12 000 p. j., jsou uloˇzené za tˇechto pod-

m´ınek: a) na jednoduch´ yu ´rok pˇri 12 % roˇcn´ı u ´rokové sazbˇe, b) na sloˇzen´ yu ´rok pˇri 8 % roˇcn´ı u ´rokové sazbˇe. Po deseti letech budou m´ıt stejnou hodnotu. Vypoˇc´ıtejte jejich velikost. [A = 5 943,5; B = 6 056,5] 11. Jan vloˇ zil do banky 3 000 Kˇc, po dvou letech vloˇzil dalˇs´ıch 5 000 Kˇc. Po

dalˇs´ıch dvou letech mˇel na kontˇe 12 088,05 Kˇc. Jaká byla roˇcn´ı u ´roková sazba pˇri pololetn´ım sloˇzeném u ´roˇcen´ı? [p = 10 %]

55


56

Efektivn´ı urokov ´ a´ sazba ´ Urokov a´ intenzita ´ ı a realn ´ a´ urokov Nominaln´ ´ a´ sazba

4

´ ı a realn ´ a´ urokov Nominaln´ ´ a´ sazba

´ ı a realn ´ a´ urokov 4. Nominaln´ ´ a´ sazba

C´ıl kapitoly V této ˇcásti studijn´ıho textu se seznám´ıme s vlivem inflace na nomináln´ı u ´rokovou sazbu a uvedeme si problematiku pojm˚ u reálná u ´roková sazba, efektivn´ı u ´roková sazba a u ´roková intenzita. Znalost tˇechto pojm˚ u nám usnadn´ı chápán´ı d˚ uleˇzit´ ych pojm˚ u v jin´ ych ekonomick´ ych kurzech na této fakultˇe.


Efektivn´ı urokov ´ a´ sazba

4.1

V pˇredcházej´ıc´ıch u ´lohách jsme vidˇeli, ˇze pˇri stejné roˇcn´ı nomináln´ı u ´rokové sazbˇe je pro vkladatele v´ yhodnˇejˇs´ı, jestliˇze se u ´roky pˇripisuj´ı v´ıcekrát roˇcnˇe neˇz jednou za rok, nebot’ se tento jiˇz z´ uroˇcen´ y kapitál opˇet u ´roˇc´ı. Pˇripisuj´ı-li se u ´roky na konci kaˇzdé 1/m roku, bude celkov´ yu ´rok pˇri stejné u ´rokové sazbˇe (za pˇredpokladu dalˇs´ıho u ´roˇcen´ı tˇechto u ´rok˚ u) vyˇsˇs´ı neˇz v pˇr´ıpadˇe, ˇze se u ´roky pˇripisuj´ı pouze jednou na konci roku. Jestliˇze má b´ yt dosaˇzeno pˇri obou zp˚ usobech pˇripisován´ı u ´rok˚ u stejného finanˇcn´ıho efektu, mus´ı b´ yt nomináln´ı u ´roková sazba pˇri roˇcn´ım u ´rokovac´ım obdob´ı vyˇsˇs´ı neˇz pˇri u ´rokovac´ım obdob´ı kratˇs´ım neˇz jeden rok. Takovou roˇcn´ı u ´rokovou sazbu budeme naz´ yvat efektivn´ı u ´rokovou sazbou. Jestliˇze má b´ yt v´ yˇse kapitálu na konci roku stejná pˇri obou zp˚ usobech u ´roˇcen´ı, mus´ı pro efektivn´ı u ´rokovou sazbu platit vztah m i 1 + iefekt. = 1 + , kde iefekt. je efektivn´ı u ´rokov´ a sazba. m Potom iefekt.

m i = 1+ − 1. m

Pˇr´ıklad 4.1.

Máme naj´ıt efektivn´ı u ´rokovou sazbu, která odpov´ıdá 10 % nomináln´ı u ´rokové sazbˇe, jestliˇze jsou u ´roky pˇripisovány: a) pololetnˇe, b) ˇctvrtletnˇe, c) mˇes´ıˇcnˇe. ˇ sen´ ˇ ı. Re

a) m = 2 iefekt. = 1,052 − 1 = 0,1025.

Efektivn´ı u ´roková sazba je 10,25 %. b) m = 4 iefekt. = 1,0254 − 1 = 0,1038.

Efektivn´ı u ´roková sazba je 10,38 %. c) m = 12 iefekt. = 1,008312 − 1 = 0,1047. Efektivn´ı u ´roková sazba je 10,47 %.

58

Z uvedeného pˇr´ıkladu je vidˇet, ˇze ˇc´ım ˇcastˇeji se bˇehem roku u ´roˇc´ı, t´ım je ’ pro klienta toto u ´roˇcen´ı v´ yhodnˇejˇs´ı, nebot efektivn´ı u ´roková sazba s poˇctem u ´rokovac´ıch obdob´ı roste.

4.2

´ Urokov a´ intenzita

Doposud jsme ˇcasové intervaly uvaˇzovali oddˇelenˇe (diskrétnˇe). Pˇredpokládejme, ˇze poˇcet u ´rokovac´ıch obdob´ı, v kter´ ych se pˇripisuj´ı u ´roky, poroste aˇz do nekoneˇ cna a jejich délka se zkracuje a teoreticky kles´ a k nule. V takovém ´ pˇr´ıpadˇe mluv´ıme o spojit´ em u ´roˇ cen´ı. Urokov´ a sazba, která odpov´ıdá tomuto pˇr´ıpadu, se naz´ yvá u ´rokov´ a intenzita. Pro u ´rokovac´ı intenzitu plat´ı 1 + iefekt.

m i = lim 1 + . m→∞ m

Z matematiky v´ıme, ˇze lim 1 + n→∞

1 n n

= e = 2,71828 – Eulerovo ˇ c´ıslo.

Z tohoto v´ yrazu je vidˇet, ˇze hodnota 1 Kˇc vzroste pˇri 100 % u ´rokové sazbˇe za 1 rok pˇri spojitém u ´roˇcen´ı na 2,71828 Kˇc. Pouˇzijme tohoto vztahu pro v´ ypoˇcet limity " m m #i 1 i i 1+ m = ei , = lim lim 1 + m→∞ m→∞ m i

respektive ef ,

kde f je u ´roková intenzita. Vztah mezi efektivn´ı u ´rokovou m´ırou a intenzitou: iefekt. = ef − 1 ⇒ f = ln(1 + iefekt. ). Pˇri spojitém u ´roˇcen´ı potom plat´ı Kt = K0 · ef ·t ⇒ K0 =

Kt . ef ·t

Pˇr´ıklad 4.2.

Jaká je u ´roková intenzita pˇri efektivn´ı u ´rokové sazbˇe 10 %? ˇ sen´ ˇ ı. Re

f = ln(1 + iefekt. ) = ln(1 + 0,10) = 0,0953. ´ Urokov´ a intenzita bude 9,53 %. Pˇr´ıklad 4.3.

Na kolik vzroste kapitál 10 000 Kˇc za 5 let pˇri spojitém u ´roˇcen´ı a u ´rokové sazbˇe 5 %?

59


ˇ sen´ ˇ ı. Re

Kt = K0 · ef ·t = 10 000 · e0,05·5 = 12 840,254.

Kapitál pˇri spojitém u ´roˇcen´ı vzroste na 12 840,254 Kˇc. Pˇr´ıklad 4.4.

Jaká je souˇcasná hodnota kapitálu, kter´ y za 3 roky vzroste na 25 000 Kˇc pˇri 12,5 % u ´rokové intenzitˇe? ˇ sen´ ˇ ı. Re

25 000 Kt = 0,125·3 = 17 182,123. f ·t e e Dnes mus´ıme uloˇzit 17 182,123 Kˇc, abychom za 3 roky pˇri spojitém u ´roˇcen´ı mˇeli 25 000 Kˇc. K0 =

4.3

´ ı a realn ´ a´ urokov Nominaln´ ´ a´ sazba

Doposud jsme mluvili o nomináln´ı u ´rokové sazbˇe, to znamená takové, u které jsme neuvaˇzovali inflaci. Kaˇzdá inflace znehodnocuje nejen kapitál, ale také u ´roky. Jestliˇze budeme do hodnoty u ´rokové sazby zahrnovat i inflaci, budeme hovoˇrit o re´ aln´ eu ´rokov´ e m´ıˇ re (reálném u ´roku). Oznaˇcme ´rokovac´ıho obdob´ı, K0 – kapitál na poˇcátku u yˇse kapitálu na konci u ´rokovac´ıho obdob´ı, Kr – reálná v´ ´roková sazba v setinách, i – nomináln´ı u ir – reálná u ´roková sazba v setinách, iinf. – m´ıra inflace. Pro jednoduchost budeme pˇredpokládat, ˇze u ´rokovac´ı obdob´ı je roˇcn´ı, poˇcáteˇcn´ı kapitál budeme u ´roˇcit na konci u ´rokovac´ıho obdob´ı nomináln´ı u ´rokovou sazbou a pak diskontovat m´ırou inflace. Kr = K0 ·

1+i . 1 + iinf.

Na základˇe reálného kapitálu si vypoˇc´ıtáme reálnou u ´rokovou sazbu ir jako pomˇer v´ yˇse u ´roku a poˇcáteˇcn´ıho kapitálu. i+r =

Kr − 1 ⇒ K0 · ir = Kr − K0 ⇒ K0 · (ir + 1) = Kr . K0

Dosad´ıme-li tento vztah do pˇrecházej´ıc´ıho v´ yrazu za Kr , obdrˇz´ıme 1+i 1+i ⇒ ir + 1 = ⇒ 1 + iinf. 1 + iinf. ⇒ ir + ir · iinf. + iinf. + 1 = 1 + i ⇒ i = ir + iinf. + ir · iinf. .

K0 · (ir + 1) = K0 ·

Tento vztah se naz´ yvá Fischerovou rovnic´ı. ´ Poznamka. Pˇri n´ızké m´ıˇre inflace a n´ızké reálné u ´rokové m´ıˇre zanedbáváme

nˇekdy souˇcin ir ·iinf. a vztah mezi reálnou a nomináln´ı u ´rokovou m´ırou vol´ıme i = ir + iinf. .

60

Pˇr´ıklad 4.5.

Jestliˇze zap˚ ujˇc´ıme kapitál s t´ım, ˇze nám bude vrácen za jeden rok a pˇredpokládáme-li nomináln´ı u ´rokovou m´ıru 10 % a m´ıru inflace nulovou, z´ıskáme za rok reálnˇe o 10 % v´ıce. Jestliˇze bude m´ıra inflace 15 %, máme za rok reálnˇe o 5 % ménˇe. Z´ıskali jsme sice kapitál zv´ yˇsen´ y o 10 %, ale za zboˇz´ı a sluˇzby vydáme o 15 % v´ıce neˇz dˇr´ıve.

´ ˇ Otazky k zamyslen´ ı 1. Obligace na 1 000 Kˇ c má nomináln´ı u ´rokovou m´ıru 0,04 p. a. Je-li u ´rok

vyplácen pololetnˇe, jaká je efektivn´ı u ´roková m´ıra? [1 040,40 Kˇc, iefekt. = 4,04 %] 2. Jak´ a je efektivn´ı u ´roková m´ıra vkladového certifikátu na p = 5 % p. a., jsou-li u ´roky vypláceny ˇctvrtletnˇe? [iefekt. = 5,095 %] 3. Klient, kter´ y chce uloˇzit 100 000 Kˇc, se m˚ uˇze rozhodnout mezi vkla-

dem na vkladn´ı kn´ıˇzku, která vynáˇs´ı 2 % p. a. pˇri sloˇzeném mˇes´ıˇcn´ım u ´roˇcen´ı a nákupem obligace (dluhopisu), která vynáˇs´ı 2 21 % p. a. ve dvou stejn´ ych pololetn´ıch splátkách. Která z tˇechto alternativ nab´ız´ı vyˇsˇs´ı v´ ynos? [vkladn´ı kn´ıˇzka 2,02 %, obligace 2,52 %] 4. Jak´ a roˇcn´ı efektivn´ı u ´roková m´ıra je ekvivalentn´ı 8 % p. a. pˇri mˇes´ıˇcn´ı frekvenci? [8,3 %] 5. Jak´ a je reálná hodnota kapitálu 35 560 Kˇc pˇri sloˇzeném pololetn´ım

u ´roˇcen´ı kde p = 2,5 % p. s. za dva roky, jestliˇze roˇcn´ı m´ıra inflace bude po tyto dva roky konstantn´ı a bude rovna iinf. = 0,03? Jaká by byla koneˇcná hodnota vkladu, bude-li m´ıra inflace rovná nule a kolik ztrác´ıme vlivem inflace na naˇsem vkladu? [hodnota s inflac´ı 36 954,38 Kˇc, bez inflace 39 204,52 Kˇc, rozd´ıl 2 250,52 Kˇc]

61


62

´ Spoˇren´ı kratkodob e´ Spoˇren´ı dlouhodobe´ ´ ´ ´ Kombinace kratkodob eho a dlouhodobeho spoˇren´ı

5

Spoˇren´ı

5. Spoˇren´ı

C´ıl kapitoly Tato kapitola je velmi d˚ uleˇzitá, nebot’ se v n´ı seznám´ıme s problémy opakovan´ ych plateb pˇri r˚ uzné roˇcn´ı frekvenci, hlavnˇe pak u spoˇren´ı klient˚ u a vysvˇetl´ıme si jednotlivé vztahy i v´ ypoˇcty hodnot z tˇechto vztah˚ u. Jedná se o nejpouˇz´ıvanˇejˇs´ı formu hromadˇen´ı vlastn´ıho kapitálu pˇri konstantn´ıch vkladech se stˇrednˇedob´ ym nebo dlouhodob´ ym horizontem jeho uˇzit´ı. Jedná se tedy o stejné ˇcástky ve stejném ˇcasovém intervalu. Tyto platby jsou nejjednoduˇsˇs´ım pˇr´ıpadem, kdy známe datum prvn´ı a posledn´ı u ´loˇzky (platby) a interval u ´loˇzky je vˇetˇsinou shodn´ y s periodicitou u ´roˇcen´ı. Platby nastávaj´ı bud’ na konci nebo na poˇcátku u ´rokovac´ıho obdob´ı a neb´ yvaj´ı spojeny s ˇzádnou podm´ınkou jako v pojiˇst’ovac´ıch u ´stavech (podm´ınka doˇzit´ı se urˇcitého vˇeku, pˇr´ıpad smrti atd.).


V pˇrecházej´ıc´ı ˇcásti jsme se seznámili, jak zjistit koneˇcnou nebo poˇcáteˇcn´ı hodnotu kapitálu, pˇriˇcemˇz se jeho hodnota v pr˚ ubˇehu ˇcasu t nezvyˇsovala ani nesniˇzovala. Pˇri v´ ykladu spoˇren´ı budeme pˇredpokládat, ˇze ukládáme kapitál (penˇeˇzn´ı ˇcástku) v pravideln´ ych intervalech a naˇs´ım u ´kolem bude zjistit, kolik uspoˇr´ıme i s u ´roky za urˇcitou dobu. Toto spoˇren´ı rozdˇel´ıme na: a) spoˇ ren´ı kr´ atkodob´ e b) spoˇ ren´ı dlouhodob´ e

5.1

´ Spoˇren´ı kratkodob e´

Pˇredpokládejme, ˇze a) u ´rokovac´ı obdob´ı je jeden rok – u ´roky jsou pˇripisovány najednou vˇzdy na konci roku, b) pravideln´ eˇ c´ astky budeme ukl´ adat m-kr´ at za rok (m = 2, m = 4, m = 12). Podle toho, zda budeme kapitál ukládat na poˇcátku kaˇzdé m-tiny roku nebo na konci kaˇzdé m-tiny roku, budeme rozliˇsovat: 1) spoˇ ren´ı pˇ redlh˚ utn´ı 2) spoˇ ren´ı polh˚ utn´ı ´ 5.1.1 Spoˇren´ı kratkodob e´ pˇredlhutn´ ˚ ı Pˇredpoklady a) v´ yˇse vkladu bude pˇ ri m u ´loˇ zk´ ach 1/m Kˇ c,

64

b) na poˇ c´ atku kaˇ zd´ e m-tiny roku budeme ukl´ adat 1/m Kˇ c pˇri u ´rokové sazbˇe i, c) celková roˇcn´ı naspoˇrená ˇcástka se bude rovnat 1 Kˇ c+u ´rok. ´ Uroky z jednotliv´ ych spl´ atek budou: Poˇrad´ı u ´loˇzky

´ Urokovac´ ı obdob´ı

´ Urok 1 m

1 m

1

m·

2

(m − 1) ·

1 m

1 m

3 .. .

(m − 2) · .. .

1 m

1 m

m

1·

m m

=

m m2

·i·

m−1 m

=

m−1 m2

·i

·i·

m−2 m

=

m−2 m2

·i

=

1 m2

1 m

1 m

·i·

·i·

.. . 1 m

·i

·i

Celkov´ yu ´rok poˇc´ıtáme jako souˇcet u ´rok˚ u z jednotliv´ ych vklad˚ u. Tedy u=

i i m · (m + 1) m+1 · [m + (m − 1) + (m − 2) + · · · + 1] = 2 · = · i, 2 m m 2 2·m

kde v´ yraz m + (m − 1) + (m − 2) + · · · + 1 je aritmetická posloupnost. Ze stˇredn´ı ˇskoly známe, ˇze souˇcet aritmetické posloupnosti je Sn = a1 + a2 + · · · + an , kde a1 je prvn´ı ˇclen aritmetické posloupnosti a an je n-t´ y ˇclen aritmetické posloupnosti. Tento souˇcet lze vypoˇc´ıtat vztahem Sn =

n (a1 + an ), 2

kde n je poˇcet ˇclen˚ u posloupnosti. Souˇcet dané aritmetické posloupnosti tedy bude m Sm = · (m + 1), 2 nebot’ a1 = m je prvn´ı ˇclen posloupnosti a an = 1 je posledn´ı ˇclen posloupnosti. Celková uspoˇrená ˇcástka S1 za 1 rok, jestliˇze spoˇr´ıme kaˇzdou 1/m roku 1/m z 1 Kˇ c, bude m+1 S1 = 1 + · i. 2·m Jestliˇze spoˇr´ıme x Kˇ c kaˇ zdou 1/m roku, potom m˚ uˇzeme celkovou ˇcástku naspoˇrenou za jeden rok vyjádˇrit m+1 ·i . Sx = m · x · 1 + 2·m V´ıme-li, kolik bude ˇcinit celková uspoˇrená ˇcástka z 1 Kˇc, potom z ˇcástky x·m bude celková naspoˇrená ˇcástka x·m-krát vˇetˇs´ı.

65

5. Spoˇren´ı

Pˇr´ıklad 5.1.

Kolik uspoˇr´ıme vˇcetnˇe u ´rok˚ u do konce roku, jestliˇze ukládáme poˇcátkem kaˇzdého mˇes´ıce 1 200 Kˇc pˇri u ´rokové sazbˇe 5 %? ˇ sen´ ˇ ı. Re Sx Sx

m+1 ·i = m·x· 1+ 2·m 13 = 12 · 1 200 · 1 + · 0,05 = 14 400 · 1,0270833 = 14 790. 24

Do konce roku uspoˇr´ıme 14 790 Kˇc. ´ 5.1.2 Spoˇren´ı kratkodob e´ polhutn´ ˚ ı Jestliˇze budeme ukládat penˇeˇzn´ı ˇcástky vˇ zdy na konci urˇ cit´ eho obdob´ı, ´ mluv´ıme o spoˇren´ı polh˚ utn´ım. Urokovac´ı obdob´ı je opˇet roˇcn´ı. Pˇredpoklady a) v´ yˇse vkladu bude pˇ ri m u ´loˇ zk´ ach 1/m Kˇ c, b) na konci kaˇ zd´ e m-tiny roku budeme ukl´ adat 1/m Kˇ c pˇri u ´rokové sazbˇe i, c) celková roˇcn´ı naspoˇrená ˇcástka se bude rovnat 1 Kˇ c+u ´rok. ´ Uroky z jednotliv´ ych spl´ atek budou: Poˇrad´ı u ´loˇzky

´ Urokovac´ ı obdob´ı

´ Urok

1

(m − 1) ·

1 m

1 m

·i·

m−1 m

=

m−1 m2

·i

2 .. .

(m − 2) · .. .

1 m

1 m

·i·

m−2 m

=

m−2 m2

·i

m−1

1·

1 m

=

1 m2

m

0·

1 m

1 m

.. .

·i· 1 m

m m

·i

·i·0

T´ım, ˇze ˇcástky jsou ukládány vˇzdy na konci pˇr´ısluˇsného obdob´ı (ˇcásti roku), je oproti pˇredlh˚ utn´ımu spoˇren´ı poˇcet tˇechto obdob´ı (po které je vklad u ´roˇcen) o jednotku niˇzˇs´ı. Z posledn´ı u ´loˇzky jiˇz nebudeme m´ıt ˇzádn´ yu ´rok, nebot’ bude uloˇzena na konci roku. Celkov´ yu ´rok vypoˇc´ıtáme stejnˇe jako u pˇredlh˚ utn´ıho spoˇren´ı u=

i i m · (m − 1) m−1 · [(m − 1) + (m − 2) + · · · + 1 + 0] = 2 · = · i, 2 m m 2 2·m

kde v´ yraz (m − 1) + (m − 2) + (m − 3) + · · · + 1 + 0 je aritmetická posloupnost a jej´ı souˇcet bude m Sm = · [(m − 1) + 0], 2 nebot’ a1 = m − 1 a an = 0.

66

Celková uspoˇrená ˇcástka za 1 rok S1′ , jestliˇze spoˇr´ıme koncem kaˇzdé 1/m roku 1/m z 1 Kˇc, bude: m−1 S1′ = 1 + · i. 2·m Jestliˇze spoˇr´ıme x Kˇc kaˇzdou 1/m roku, potom m˚ uˇzeme celkovou ˇcástku naspoˇrenou za jeden rok vyjádˇrit m−1 ′ ·i . Sx = m · x · 1 + 2·m V´ıme-li, kolik bude ˇcinit celková uspoˇrená ˇcástka z 1 Kˇc, potom z ˇcástky x·m bude celková naspoˇrená ˇcástka x·m-krát vˇetˇs´ı. Pˇr´ıklad 5.2.

Kolik uspoˇr´ıme do konce roku, jestliˇze ukládáme koncem kaˇzdého mˇes´ıce 1 200 Kˇc pˇri 5 % u ´rokové sazbˇe? ˇ sen´ ˇ ı. Re Sx′ Sx′

m−1 ·i , = m·x· 1+ 2·m 11 · 0,05 = 14 400 · 1,0229167 = 14 730. = 12 · 1 200 · 1 + 24

Do konce roku pˇri polh˚ utn´ım spoˇren´ı uspoˇr´ıme 14 730 Kˇc. Ze základn´ıch vzorc˚ u m˚ uˇzeme odvodit dalˇs´ı v´ yrazy, které pouˇz´ıváme podle potˇreby pro v´ ypoˇcet v´ yˇse vkladu a dosaˇzen´ı naspoˇrené ˇcástky na konci roku nebo pro v´ ypoˇcet u ´rokové sazby. ˇ vy´ sky ˇ a) Vypo ´ cet vkladu

pˇredlh˚ utn´ı: x =

Sx , m · 1 + m+1 · i 2·m

polh˚ utn´ı: x =

ˇ urokov b) Vypo ´ cet ´ e´ sazby

pˇredlh˚ utn´ı: i =

Sx − m · x 2 · m · , m·x m+1

polh˚ utn´ı: i =

Sx′ . m · 1 + m−1 · i 2·m Sx′ − m · x 2 · m · . m·x m−1

Pˇr´ıklad 5.3.

Kolik mus´ıme spoˇrit na poˇcátku kaˇzdého mˇes´ıce, abychom za rok naspoˇrili 10 000 Kˇc pˇri 5 % u ´rokové sazbˇe? ˇ sen´ ˇ ı. Re x = x =

Sx , m · 1 + m+1 2·m · i 10 000 10 000 = = 811,359. 13 12,325 12 · 1 + 24 · 0,05

Abychom za rok uspoˇrili 10 000 Kˇc, mus´ıme ukládat zaˇcátkem kaˇzdého mˇes´ıce 811,359 Kˇc.

67

5. Spoˇren´ı

Pˇr´ıklad 5.4.

Jaká je procentn´ı u ´roková sazba, jestliˇze za jeden rok uspoˇr´ıme 10 000 Kˇc a ukládáme kaˇzdé ˇctvrtlet´ı 2 400 Kˇc? ˇ sen´ ˇ ı. Re i = i =

Sx′ − m · x 2 · m · , m·x m−1 10 000 − 4 · 2 400 8 · = 0,0416666 · 2,6666 = 0,1111. 4 · 2 400 3

Poˇzadovanou ˇcástku uspoˇr´ıme za rok pˇri u ´rokové sazbˇe 11,11 %.

5.2

Spoˇren´ı dlouhodobe´

O dlouhodobém spoˇren´ı hovoˇr´ıme tehdy, jestliˇze trvá déle neˇ z jeden rok. Budeme pˇredpokládat, ˇze v rámci u ´rokovac´ıho obdob´ı ukládáme penˇeˇzn´ı ˇcástku vˇzdy na zaˇcátku nebo na konci u ´rokovac´ıho obdob´ı, tedy na zaˇcátku nebo na konci roku. Daná penˇeˇzn´ı ˇcástka bude vˇzdy stejná. 5.2.1 Spoˇren´ı dlouhodobe´ pˇredlhutn´ ˚ ı Na poˇcátku kaˇzdého u ´rokovac´ıho obdob´ı (v naˇsem pˇr´ıpadˇe na poˇcátku kaˇzdého roku) ukládejme ˇcástku a. Naˇs´ım u ´kolem bude zjistit, kolik ˇcin´ı u ´spory na konci n-t´ eho obdob´ı pˇri u ´rokové sazbˇe i. Pro urˇcen´ı celkové uspoˇrené ˇcástky vˇcetnˇe u ´rok˚ u na konci n-tého obdob´ı vypoˇc´ıtáme v´ yˇsi vklad˚ u za kaˇzd´ y rok, aˇz po n-t´ y rok, a tyto uspoˇrené ˇcástky seˇcteme. Odvozen´ı v´ ypoˇctu uspoˇrené ˇcástky: Poˇrad´ı u ´loˇzky

Poˇcet obdob´ı uloˇzen´ı penˇeˇzn´ı ˇcástky

Celková hodnota na konci n-tého obdob´ı

1

n

2 .. . n

n−1 .. . 1

a · (1 + i)n

a · (1 + i)n−1 .. . a · (1 + i)

Koneˇcn´ y stav u ´spor S vypoˇc´ıtáme jako souˇcet hodnot jednotliv´ ych u ´loˇzek na konci n-tého obdob´ı. S = a · (1 + i) · (1 + i)n−1 + (1 + i)n−2 + · · · + 1 .

V´ yraz v závorce je geometrická ˇrada, kde a1 = a · (1 + i) a kvocient pak q = 1 + i. Ze stˇredoˇskolské matematiky v´ıme, ˇze pro souˇcet geometrické ˇrady plat´ı Sn = a1 ·

68

qn − 1 q−1

pro q > 1, nebot’ jde o spoˇren´ı a vˇzdy q = 1 + i > 1. Potom S = a · (1 + i) ·

(1 + i)n − 1 (1 + i)n − 1 = a · (1 + i) · . (1 + i) − 1 i

Jestliˇze a = 1 Kˇc, potom v´ yraz (1 + i) ·

(1 + i)n − 1 = s′n i

naz´ yváme stˇ radatelem pˇ redlh˚ utn´ım a udává, kolik uˇsetˇr´ıme za n obdob´ı pˇri u ´rokové sazbˇe i, jestliˇze na poˇcátku kaˇzdého obdob´ı uloˇz´ıme 1 Kˇc. Potom pro v´ yˇsi koneˇcné hodnoty m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt zkráceného vzorce S = a · s′n . V´ ypoˇcet velikosti vkladu (splátky, u ´loˇzky): a=

S·i S = ′. n (1 + i) · [(1 + i) − 1] sn

Pˇr´ıklad 5.5.

Kolik uspoˇr´ıme za 8 let, jestliˇze budeme ukládat na poˇcátku kaˇzdého roku 5 000 Kˇc pˇri nemˇenné u ´rokové sazbˇe 5 % p. a.? ˇ sen´ ˇ ı. Re (1 + i)n − 1 , i 0,4774554 1,058 − 1 = 5 250 · = 50 132,817. S = 5 000 · 1,05 · 0,05 0,05 S = a · (1 + i) ·

Za 8 let uspoˇr´ıme 50 132,817 Kˇc. 5.2.2 Spoˇren´ı dlouhodobe´ polhutn´ ˚ ı Jestliˇze ukládáme penˇeˇzn´ı ˇcástky na konci u ´rokovac´ıho obdob´ı (v naˇsem pˇr´ıpadˇe na konci roku), hovoˇr´ıme o spoˇren´ı polh˚ utn´ım. Chceme vypoˇc´ıtat kolik uspoˇr´ıme za n obdob´ı, jestliˇze ukládáme na konci kaˇzdého obdob´ı penˇeˇzn´ı ˇcástku a. Odvozen´ı v´ ypoˇctu uspoˇrené ˇcástky: Poˇrad´ı u ´loˇzky

Poˇcet obdob´ı uloˇzen´ı penˇeˇzn´ı ˇcástky

Celková hodnota na konci n-tého obdob´ı

1

n−1

a · (1 + i)n−1

0

a

2 .. . n−1 n

n−2 .. . 1

a · (1 + i)n−2 .. . a · (1 + i)

69

5. Spoˇren´ı

Koneˇcn´ y stav vklad˚ u S ′ na konci n-tého obdob´ı je opˇet dán souˇctem geometrické ˇrady S ′ = a · (1 + i)n−1 + (1 + i)n−2 + · · · + 1 , kde q = 1 + i, a1 = a. Potom souˇcet geometrické ˇrady bude S′ = a ·

(1 + i)n − 1 (1 + i)n − 1 =a· . (1 + i) − 1 i

Jestliˇze a = 1 Kˇc, potom v´ yraz (1 + i)n − 1 = s′′n i naz´ yváme stˇ radatelem polh˚ utn´ım a udává, kolik uˇsetˇr´ıme za n obdob´ı pˇri u ´rokové sazbˇe i, jestliˇze na konci kaˇzdého obdob´ı uloˇz´ıme 1 Kˇc. Potom pro v´ yˇsi koneˇcné hodnoty m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt zkráceného vzorce S ′ = a · s′′n . V´ ypoˇcet v´ yˇse vkladu (splátky, u ´loˇzky): a=

S′ S′ · i . = (1 + i)n − 1 s′′n

V´ ypoˇcet doby spoˇren´ı n: S′ = a ·

(1 + i)n − 1 S′ · i ⇒ S ′ · i = a · [(1 + i)n − 1] ⇒ = (1 + i)n − 1 ⇒ i a S′ · i S′ · i n = n · ln(1 + i). + 1 = (1 + i) ⇒ ln 1 + ⇒ a a

Potom doba spoˇren´ı bude ′ ln 1 + Sa·i n= . ln(1 + i)

Pˇr´ıklad 5.6.

Za jak dlouho uspoˇr´ıme 50 000 Kˇc, jestliˇze koncem kaˇzdého roku ukládáme 7 000 Kˇc pˇri nemˇenné u ´rokové sazbˇe 5 % p. a.? ˇ sen´ ˇ ı. Re n = n =

ln 1 +

S ′ ·i a

, ln(1 + i) ln 1 + 50 000·0,05 7 000 ln(1 + 0,05)

=

0,3053816 = 6,2590894. 0,0487901

n = 6 let, 0,2590894 · 360 = 93,27218 = 3 mˇes´ıce a 3 dny.

Abychom uspoˇrili 50 000 Kˇc pˇri dan´ ych podm´ınkách, mus´ıme spoˇrit 6 rok˚ u, 3 mˇes´ıce a 3 dny.

70

5.3

´ ´ ´ Kombinace kratkodob eho a dlouhodobeho spoˇren´ı

Z praxe v´ıme, ˇze spoˇr´ıme v´ıce rok˚ u a penˇeˇzn´ı ˇcástky vˇetˇsinou ukládáme pravidelnˇe kaˇzd´ y mˇes´ıc – tedy m-krát za rok. Stejnˇe jako u pˇredcházej´ıc´ıch u ´loh rozdˇel´ıme toto spoˇren´ı na spoˇren´ı pˇredlh˚ utn´ı a polh˚ utn´ı podle toho, kdy budeme penˇeˇzn´ı ˇcástky ukládat. 5.3.1 Kombinovane´ spoˇren´ı pˇredlhutn´ ˚ ı Chceme zjistit kolik uspoˇr´ıme do konce n-tého roku, jestliˇze budeme ukládat penˇeˇzn´ı ˇcástku na poˇcátku kaˇzdé m-tiny roku x Kˇc. Nejdˇr´ıve vypoˇc´ıtáme, kolik uspoˇr´ıme vˇcetnˇe u ´rok˚ u na konci prvn´ıho roku, coˇz zjist´ıme ze vztahu pro krátkodobé pˇredlh˚ utn´ı spoˇren´ı. T´ım jsme pˇrevedli u ´lohu na pˇr´ıpad, kdy koncem kaˇzdého roku uloˇ z´ıme ˇ c´ astku a, kterou jsme uvaˇzovali u dlouhodobého spoˇren´ı. Tuto ˇcástku a nahrad´ıme uspoˇrenou ˇcástkou Sx . m+1 Sx = m · x · 1 + ·i 2·m

↓ (1 + i)

S =a· Tedy

n

i

−1

m+1 (1 + i)n − 1 =m·x· 1+ ·i · . 2·m i

m+1 (1 + i)n − 1 ·i · . S =m·x· 1+ 2·m i

Z daného v´ yrazu vid´ıme, ˇze jsme pro v´ ypoˇcet celkové uspoˇrené ˇcástky pouˇzili dlouhodobého polh˚ utn´ıho spoˇren´ı, i kdyˇz jsme jednotlivé ˇcástky ukládali na poˇcátku kaˇzdé m-tiny roku. Je to dáno t´ım, ˇze naspoˇrená ˇcástka Sx je vlastnˇe ukládána vˇzdy na konci kaˇzdého roku. V´ ypoˇcet v´ yˇse vkladu x: x= Pˇr´ıklad 5.7.

S m· 1+

m+1 2·m

·i ·

(1+i)n −1 i

.

Kolik uspoˇr´ıme za 10 let, jestliˇze spoˇr´ıme zaˇcátkem kaˇzdého ˇctvrtlet´ı 2 500 Kˇc pˇri nemˇenné u ´rokové sazbˇe 5 % p. a.? ˇ sen´ ˇ ı. Re m+1 (1 + i)n − 1 S = m·x· 1+ ·i · , 2·m i 1,0510 − 1 5 = 10 000 · 1,03125 · 12,577893 = S = 4 · 2 500 · 1 + · 0,05 · 8 0,05 = 129 709, 52.

Pˇri stanoven´ ych podm´ınkách uspoˇr´ıme za 10 let 129 709,52 Kˇc.

71

5. Spoˇren´ı

Pˇr´ıklad 5.8.

Kolik mus´ıme spoˇrit poˇcátkem kaˇzdého mˇes´ıce, abychom za 10 let uspoˇrili 1 mil. Kˇc pˇri nemˇenné u ´rokové sazbˇe 5 %? ˇ sen´ ˇ ı. Re x = x =

S

, n · i · (1+i)i −1 1 000 000 1 000 000 = 6 450,6753. 1,0510 −1 = 13 12,325 · 12,577893 12 · 1 + 24 · 0,05 · 0,05 m· 1+

m+1 2·m

Pˇri stanoven´ ych podm´ınkách mus´ıme mˇes´ıˇcnˇe spoˇrit 6 450,6753 Kˇc. 5.3.2 Kombinovane´ spoˇren´ı polhutn´ ˚ ı

Pˇri ˇreˇsen´ı této u ´lohy budeme postupovat obdobn´ ym zp˚ usobem jako pˇri spoˇren´ı pˇredlh˚ utn´ım. Opˇet nahrad´ıme ˇcástku a spoˇren´ım krátkodob´ ym polh˚ utn´ım ′ Sx . Sx′

′

m−1 =m·x· 1+ ·i 2·m

↓ (1 + i)

S =a·

i

n

−1

Tedy

m−1 (1 + i)n − 1 =m·x· 1+ ·i · . 2·m i

m−1 (1 + i)n − 1 S =m·x· 1+ ·i · . 2·m i V´ ypoˇcet v´ yˇse vkladu x: ′

x=

S′ m· 1+

m−1 2·m

·i ·

(1+i)n −1 i

.

V´ ypoˇcet doby spoˇren´ı n: (1 + i)n − 1 m−1 ′ ·i · ⇒ S =m·x· 1+ 2·m i m−1 ′ · i · [(1 + i)n − 1] ⇒ ⇒S ·i=m·x· 1+ 2·m S′ · i + 1 = (1 + i)n . ⇒ m−1 m · x · 1 + 2·m · i Tento v´ yraz zlogaritmujeme a obdrˇz´ıme # " S′ · i + 1 = n · ln(1 + i) ⇒ ln ·i m · x · 1 + m−1 2·m

⇒n=

72

ln

S ′ ·i m·x·(1+ m−1 ·i 2·m )

ln(1 + i)

+1

.

Stejn´ ym zp˚ usobem vypoˇc´ıtáme i dobu n spoˇren´ı pˇredlh˚ utn´ıho: S·i ln m·x· 1+ +1 ·i ( m+1 2·m ) n= . ln(1 + i) Pˇr´ıklad 5.9.

Kolik mus´ıme spoˇrit koncem kaˇzdého mˇes´ıce, abychom za 10 let uspoˇrili 1 mil. Kˇc pˇri nemˇenné u ´rokové sazbˇe 5 %? ˇ sen´ ˇ ı. Re x = x = =

S′ n · i · (1+i)i −1 1 000 000 1 00 000 = 1,0510 −1 = 11 12,275 · 12,577893 12 · 1 + 24 · 0,05 · 0,05 1 000 000 = 6 476, 9512. 154,39363 m· 1+

m−1 2·m

Pˇri uveden´ ych podm´ınkách je nutno mˇes´ıˇcnˇe ukládat 6 476,9512 Kˇc. Pˇr´ıklad 5.10.

Jak dlouho mus´ıme spoˇrit koncem kaˇzdého mˇes´ıce 500 Kˇc, aby uspoˇrená ˇcástka byla ve v´ yˇsi 100 000 Kˇc pˇri nemˇenné u ´rokové sazbˇe 5 % p. a.? ˇ sen´ ˇ ı. Re ln n = ln n =

S ′ ·i ·i m·x·(1+ m−1 2·m )

100 000·0,05 12·500·(1+ 11 ·0,05) 24

ln(1 + i)

+1

ln(1,05)

,

+1

=

ln 1,814664 0,5959003 = = 12,213549 let. ln 1,05 0,0487901

Uvedenou ˇcástku pˇri stanoven´ ych podm´ınkách uspoˇr´ıme za 12 rok˚ u, 2 mˇes´ıce a 16 dn´ı.

´ ˇ Otazky k zamyslen´ ı 1. Kolik uspoˇr´ıme do konce roku, jestliˇ ze ukládáme poˇca´tkem kaˇzdého mˇes´ıce 1 200 Kˇc, pˇri u ´rokové sazbˇe 9 % p. a.? [15 102 Kˇc] 2. Kolik mus´ıme ukl´ adat koncem kaˇzdého mˇes´ıce, abychom za rok naspoˇrili 21 000 Kˇc pˇri u ´rokové sazbˇe 6 % p. a.? [1 703,16 Kˇc] 3. Za jak dlouho naspoˇr´ıme 50 000 Kˇ c pˇri roˇcn´ıch polh˚ utn´ıch vkladech a nemˇenné u ´rokové sazbˇe 6 % p. a.? [7 let, 7 mˇes´ıc˚ u, 19 dn´ı] 4. Kolik mus´ıme spoˇrit poˇ cátkem kaˇzdého mˇes´ıce, abychom za 10 let pˇri nemˇenné u ´rokové sazbˇe 9 % p. a. obdrˇzeli 1 milion Kˇc? [5 230,04 Kˇc] 5. Jak dlouho mus´ıme spoˇrit koncem kaˇ zdého mˇes´ıce 500 Kˇc, abychom

uspoˇrili 50 000 Kˇc pˇri nemˇenné u ´rokové sazbˇe 8 % p. a.? [6 let, 5 mˇes´ıc˚ u, 1 den]

73

5. Spoˇren´ı

6. Pˇri mˇ es´ıˇcn´ı pˇredlh˚ utn´ım spoˇren´ı 10 Kˇc a u ´rokové sazbˇe 3 % p. a. urˇcete uspoˇrenou ˇcástku za 13 let. [1 905,05 Kˇc] 7. Pan Voc´ asek plánuje nákup nového auta za 3 roky a poˇc´ıtá s nákupn´ı

cenou 320 000 Kˇc. Svoje souˇcasné auto staré dva roky hodlá prodat na proti´ uˇcet a odhaduje jeho cenu na 80 000 Kˇc. Na zbytek ceny nového vozu chce pan Vocásek ukládat na zaˇcátku kaˇzdého ˇctvrtlet´ı stejnou potˇrebnou ˇcástku, na sv˚ uj u ´ˇcet v bance, pˇri u ´rokové sazbˇe 12 % p. a. Kolik bude ˇcinit tento vklad? [16 910,90 Kˇc] 8. Klient ukl´ adal po dobu deseti let koncem roku 10 000 Kˇc na vkladn´ı

kn´ıˇzku. V té dobˇe spoˇritelna u ´roˇcila vklady prvn´ı 4 roky 10 % p. a. a 9 21 % p. a. posledn´ıch 6 let. Jaká je hodnota naspoˇrené ˇcástky pˇet let po posledn´ım vkladu, jestliˇze u ´roková sazba 9 21 % p. a. trvá? [244 038,14 Kˇc] 9. Na sch˚ uzce 5 let po promoci se absolventi fakulty dohodli, ˇze pˇr´ıˇst´ı

sch˚ uzku 10 let po promoci uspoˇrádaj´ı jako jubilejn´ı a slavnostn´ı, v luxusn´ım podniku. Na kryt´ı pˇredpokládan´ ych náklad˚ u souhlasili s t´ım, ˇze kaˇzd´ y poˇsle pokladn´ıkovi roˇcn´ıku pololetnˇe 20 Kˇc. Jestliˇze vˇsech 100 absolvent˚ u fakulty tento závazek dodrˇz´ı pˇri doˇzit´ı vˇsech a pokladn´ı svˇeˇr´ı správu fondu bance pˇri u ´rokové sazbˇe 4 % p. a. u ´roˇceno pololetnˇe, jaké v´ yˇse dosáhne hodnota fondu na konci 10. roku po promoci? [21 899,44 Kˇc] 10. Otec od narozen´ı dcery ukl´ adal poˇcátkem kaˇzdého mˇes´ıce 150 Kˇc pˇri

nemˇenné u ´rokové sazbˇe 4,5 % p. a. s podm´ınkou, ˇze si dcera tento vklad vybere koncem roku, ve kterém dovrˇs´ı 18 let, Jaká byla hodnota naspoˇrené ˇcástky v této dobˇe? [49 517,42 Kˇc]

74

Problematika duchod ˚ u˚ Duchod ˚ bezprostˇredn´ı Duchod ˚ odloˇzeny´ ˇ y´ Duchod ˚ veˇ cn

6

Duchody ˚

6. Duchody ˚

C´ıl kapitoly V této kapitole budeme ˇreˇsit u ´lohy v podstatˇe spoˇren´ım na d˚ uchod, kdy jsou ˇcástky d˚ uchod˚ u vypláceny roˇcnˇe, pololetnˇe, ˇctvrtletnˇe nebo mˇes´ıˇcnˇe, coˇz je nejˇcastˇejˇs´ı pˇr´ıpad v´ yplaty d˚ uchod˚ u. Zde jde o pochopen´ı problému d˚ uchodového zabezpeˇcen´ı, kdy klient si k d˚ uchodu poskytované z d˚ uchodového fondu zvyˇsuje tento d˚ uchod o uspoˇrenou ˇcástku, kterou uspoˇril t´ım, ˇze si zaloˇzil toto spoˇren´ı v urˇcitém vˇeku. Je nutno pochopit, ˇze je daleko v´ıce moˇznost´ı jak´ ym zp˚ usobem se klient rozhodne zabezpeˇcit sv˚ uj d˚ uchodov´ y vˇek, nebot’ v souˇcasné dobˇe je ˇrada moˇznost´ı jak´ ym zp˚ usobem bude kaˇzd´ y myslet na d˚ uchodov´ y vˇek v souˇcasném vˇeku. Napˇr´ıklad je moˇzno uzavˇr´ıt pojistnou smlouvu u ˇzivotn´ıch pojiˇst’oven a odepisovat si pojistnou ˇcástku ze základu danˇe. Dalˇs´ı moˇznost´ı je zabezpeˇcen´ı u vznikl´ ych penzijn´ıch fond˚ u, coˇz je v souˇcasné dobˇe riziková investice, vzhledem k tomu, ˇze jiˇz mnoho penzijn´ıch fond˚ u zaniklo. Je nutno dobˇre zvaˇzovat svoje d˚ uchodové zabezpeˇcen´ı a sniˇzovat tak riziko ztráty uspoˇrené ˇcástky.


6.1

Problematika duchod ˚ u˚

D˚ uchodem rozum´ıme pravidelné v´ yplaty, které obvykle naz´ yváme anuity (v´ yplaty d˚ uchod˚ u) a budeme je znaˇcit a. Podle toho, kdy jsou anuity placeny, rozliˇsujeme d˚ uchod: pˇ redlh˚ utn´ı – anuity jsou placeny vˇzdy na poˇcátku urˇcitého ˇcasového intervalu polh˚ utn´ı – anuity jsou placeny vˇzdy na konci urˇcitého ˇcasového intervalu Pro zaˇcátek budeme pˇredpokládat, ˇze u ´rokovac´ı obdob´ı a ˇcasov´ y interval k v´ yplatˇe d˚ uchod˚ u jsou stejné. Podle toho, jak dlouho se bude d˚ uchod vyplácet, rozliˇsujeme d˚ uchod: vˇ eˇ cn´ y – je vyplácen neomezenˇe dlouho doˇ casn´ y – je vyplácen pouze po urˇcitou pevnˇe stanovenou dobu Podle toho, kdy se zaˇcne d˚ uchod vyplácet, rozliˇsujeme d˚ uchod: bezprostˇ redn´ı – s v´ yplatou d˚ uchodu se zaˇcne okamˇzitˇe po podepsán´ı smlouvy odloˇ zen´ y – s v´ yplatou se zaˇcne aˇz po uplynut´ı urˇcité doby (karenˇcn´ı doby) V souvislosti s d˚ uchody budeme poˇc´ıtat: a) poˇ c´ ateˇ cn´ı hodnotu d˚ uchodu D – je to souˇcet souˇcasn´ ych hodnot vˇsech v budoucnu z´ıskan´ ych v´ yplat d˚ uchodu. Poˇcáteˇcn´ı hodnota d˚ uchodu tedy udává, kolik si mus´ıme dnes uloˇzit, abychom si zajistili pˇri dané u ´rokové sazbˇe vyplácen´ı pˇr´ısluˇsného d˚ uchodu.

76

b) koneˇ cn´ a hodnota d˚ uchodu S – je to souˇcet vˇsech v´ yplat d˚ uchodu pˇrepoˇcten´ ych ke konci posledn´ıho roku, kdy se d˚ uchod vyplác´ı. Koneˇcná hodnota d˚ uchodu udává, kolik bychom celkem z´ıskali ke konci posledn´ıho roku, kdybychom vˇsechny v´ yplaty d˚ uchodu okamˇzitˇe po jejich vyplacen´ı pˇri dané u ´rokové sazbˇe uloˇzili. Mezi koneˇcnou a poˇcáteˇcn´ı hodnotou plat´ı vztah S = D · (1 + i)n .

6.2

Duchod ˚ bezprostˇredn´ı

U d˚ uchodu bezprostˇredn´ıho v´ yplata zaˇc´ıná ihned v daném obdob´ı. Podle toho, zda budou v´ yplaty prob´ıhat na poˇcátku nebo na konci tohoto obdob´ı, rozliˇsujeme d˚ uchod pˇredlh˚ utn´ı a d˚ uchod polh˚ utn´ı. 6.2.1 Duchod ˚ bezprostˇredn´ı pˇredlhutn´ ˚ ı Naˇs´ım u ´kolem bude vypoˇc´ıtat poˇcáteˇcn´ı hodnotu d˚ uchodu a vypláceného vˇzdy poˇcátkem u ´rokovac´ıho obdob´ı po n obdob´ı pˇri u ´rokové sazbˇe i. Potom poˇcáteˇcn´ı hodnota d˚ uchodu se rovná souˇctu vˇsech v´ yplat d˚ uchodu. Z pˇredcházej´ıc´ıch kapitol v´ıme, ˇze souˇcasnou hodnotu vypoˇc´ıtáme K0 =

Kt . (1 + i)t

Podle toho souˇcasnou hodnotu vypoˇc´ıtáme tak, ˇze kaˇzdou v´ yplatu d˚ uchodu 1 a diskontujeme diskontn´ım faktorem 1+i = v k v´ ychoz´ımu datu (k prvn´ı v´ yplatˇe d˚ uchodu). Poˇrad´ı v´ yplaty 1 2 3 .. .

Souˇcasná hodnota a a·v a · v2 .. .

n

a · v n−1

Souˇcet souˇcasn´ ych hodnot vˇsech v´ yplat d˚ uchodu tvoˇr´ı koneˇcnou geometrickou ˇradu a + a · v + a · v 2 + a · v 3 + · · · + a · v n−1 , kde a1 = a, q = v a v = geometrické ˇrady

1 1+i

diskont. Jelikoˇz 0 < q < 1, bude souˇcet koneˇcné Sn = a1 ·

1 − qn . 1−q

1 Nebot’ 1+i bude vˇzdy menˇs´ı neˇz 1, protoˇze u ´roková sazba nikdy nebude rovna nule. Potom tedy souˇcet souˇcasn´ ych hodnot vˇsech v´ yplat d˚ uchodu bude 1 n 1 − 1+i 1 − vn 1 − vn 1 − vn D =a· . = a · = a · = a · 1 1 1+i−1 v · i 1 − 1+i i · 1+i 1+i

77

6. Duchody ˚

T´ım jsme z´ıskali v´ yraz pro urˇcen´ı kapitálu D, kter´ y mus´ıme vloˇzit, abychom mohli zaˇcátkem kaˇzdého obdob´ı pob´ırat d˚ uchod a. Tuto penˇeˇzn´ı ˇcástku tedy vypoˇc´ıtáme 1 − vn D =a· . v·i Jestliˇze a = 1 Kˇc, potom v´ yraz 1 − vn = a′n v·i se naz´ yvá z´ asobitel pˇ redlh˚ utn´ı a udává poˇcáteˇcn´ı hodnotu d˚ uchodu 1 Kˇc vypláceného vˇzdy poˇcátkem u ´rokového obdob´ı po dobu n let pˇri u ´rokové sazbˇe i. Pˇr´ıklad 6.1.

Jaká ˇcástka nám zajist´ı roˇcn´ı bezprostˇredn´ı pˇredlh˚ utn´ı d˚ uchod ve v´ yˇsi 16 000 Kˇc po dobu 20 let pˇri nemˇenné u ´rokové sazbˇe 4 % p. a.? ˇ sen´ ˇ ı. Re D = a·

1 − vn , v·i

D = 16 000 ·

1−

1 1,04 0,04 1,04

20

= 226 143,03.

Jestliˇze dnes uloˇz´ıme 226 143,03 Kˇc, zajist´ı nám pˇredlh˚ utn´ı roˇcn´ı d˚ uchod ve v´ yˇsi 16 000 Kˇc po dobu 20 let. 6.2.2 Duchod ˚ bezprostˇredn´ı polhutn´ ˚ ı Stejnˇe jako u d˚ uchodu pˇredlh˚ utn´ıho nám jde o to vypoˇc´ıtat hodnotu d˚ uchodu ve v´ yˇsi a vypláceného vˇzdy koncem u ´rokového obdob´ı po n obdob´ı pˇri u ´rokové sazbˇe i. Budeme postupovat obdobn´ ym zp˚ usobem jako u d˚ uchodu pˇredlh˚ utn´ıho. Poˇrad´ı v´ yplaty 1 2 3 .. .

Souˇcasná hodnota a·v a · v2 a · v3 .. .

n

a · vn

Souˇcet vˇsech souˇcasn´ ych hodnot v´ yplat d˚ uchodu je opˇet dán koneˇcnou geometrickou ˇradou a · v + a · v2 + a · v3 + · · · + a · vn, kde a1 = a · v a q = v. Potom pro dan´ y souˇcet plat´ı 1 n 1 − 1+i 1 1 − vn 1 − vn 1 1 − vn ′ D =a· · · = a · . = a · = a · v · 1 1+i 1 + i 1+i−1 i · v i 1 − 1+i 1+i

78

T´ım jsme z´ıskali v´ yraz pro urˇcen´ı kapitálu, kter´ y mus´ıme vloˇzit, abychom mohli koncem kaˇzdého roku pob´ırat d˚ uchod a. Tuto penˇeˇzn´ı ˇcástku vypoˇc´ıtáme D′ = a ·

1 − vn . i

V´ yraz

1 − vn i se naz´ yvá z´ asobitel polh˚ utn´ı a udává poˇcáteˇcn´ı hodnotu d˚ uchodu 1 Kˇc vypláceného vˇzdy koncem u ´rokového obdob´ı po n let pˇri u ´rokové sazbˇe i. a′′n =

Pˇr´ıklad 6.2.

Jaká ˇcástka nám zajist´ı roˇcn´ı bezprostˇredn´ı polh˚ utn´ı d˚ uchod ve v´ yˇsi 16 000 Kˇc po dobu 20 let pˇri nemˇenné u ´rokové sazbˇe 4 % p. a.? ˇ sen´ ˇ ı. Re D′ = a ·

1 − vn , i

D′ = 16 000 ·

1−

1 1,04

0,04

20

= 217 445,28.

Jestliˇze dnes uloˇz´ıme 217 k445,28 Kˇc, zajist´ı nám tato ˇcástka v´ yplaty d˚ uchodu podle zadan´ ych podm´ınek. ´ ´ rocn ˇ eˇ 6.2.3 Duchody ˚ vyplacen e´ m-krat Stejnˇe jako u spoˇren´ı m˚ uˇze docházet k tomu, ˇze v´ yplaty d˚ uchodu jsou ˇcastˇeji neˇz jednou za rok. Budeme pˇredpokládat, ˇze na poˇcátku (konci) m-tiny roku jsou vypláceny splátky d˚ uchodu ve v´ yˇsi x Kˇc. Pro v´ ypoˇcet poˇcáteˇcn´ı hodnoty takového d˚ uchodu pouˇzijeme v´ yraz pro pˇredlh˚ utn´ı (polh˚ utn´ı) d˚ uchod s t´ım, ˇze mus´ıme nejdˇr´ıve vypoˇc´ıtat, jaká bude celková hodnota d˚ uchodu na konci roku. Celkovou hodnotu v´ yplat d˚ uchodu na konci roku vypoˇc´ıtáme pomoc´ı krátkodobého pˇredlh˚ utn´ıho nebo polh˚ utn´ıho spoˇren´ı. Nyn´ı jsme nahradili m v´ yplat d˚ uchodu ve v´ yˇsi x jednou v´ yplatou d˚ uchodu ve v´ yˇsi Sx (Sx′ ). Poˇcáteˇcn´ı hodnota d˚ uchodu se pak vypoˇc´ıtá a) pˇ redlh˚ utn´ı m+1 1 − vn D =m·x· 1+ ·i · , 2·m i b) polh˚ utn´ı

m−1 1 − vn D =m·x· 1+ ·i · . 2·m i ′

U pˇredlh˚ utn´ıho d˚ uchodu vid´ıme, ˇze pouˇz´ıváme zásobitel polh˚ utn´ı a nikoliv pˇredlh˚ utn´ı, i kdyˇz jednotlivé v´ yplaty d˚ uchodu jsou uskuteˇcnˇeny na poˇcátku kaˇzdé m-tiny roku. Je to z toho d˚ uvodu, ˇze pˇri pˇredlh˚ utn´ım spoˇren´ı vypoˇc´ıtáme vlastnˇe v´ yplatu d˚ uchodu, kterou bychom z´ıskali na konci roku.

79

6. Duchody ˚

Pˇr´ıklad 6.3.

Jaká je poˇcáteˇcn´ı hodnota d˚ uchodu 6 000 Kˇc, kter´ y se vyplác´ı na poˇcátku kaˇzdého ˇctvrtlet´ı po dobu 10 let pˇri nemˇenné u ´rokové sazbˇe 5 % p. a.? ˇ sen´ ˇ ı. Re 1 − vn m+1 ·i · , D = m·x· 1+ 2·m i

1 − 1 10 1,05 5 D = 4 · 6 000 · 1 + · 0,05 · = 191 112,94. 2·4 0,05

Poˇcáteˇcn´ı hodnota d˚ uchodu pˇri zadan´ ych podm´ınkách bude 191 112,94 Kˇc. Pˇr´ıklad 6.4.

Jaká je poˇcáteˇcn´ı hodnota d˚ uchodu 6 000 Kˇc, jestliˇze se d˚ uchod vyplác´ı na konci kaˇzdého ˇctvrtlet´ı po dobu 10 let pˇri nemˇenné u ´rokové sazbˇe 5 % p. a.? ˇ sen´ ˇ ı. Re 1 − vn m−1 ·i · , D′ = m · x · 1 + 2·m i D′

1 − 1 10 1,05 3 = 4 · 6 000 · 1 + · 0,05 · = 188 796,42. 2·4 0,05

Poˇcáteˇcn´ı hodnota d˚ uchodu pˇri zadan´ ych podm´ınkách bude 188 796,42 Kˇc.

6.3

Duchod ˚ odloˇzeny´

V pˇredcházej´ıc´ı ˇcásti jsme mluvili o bezprostˇredn´ım d˚ uchodu. To znamená, ˇze se d˚ uchod zaˇcal vyplácet bezprostˇrednˇe po zaplacen´ı potˇrebné penˇeˇzn´ı ˇcástky ve sjednané dobˇe. Odloˇzen´ y d˚ uchod se zaˇc´ıná vyplácet aˇz po urˇcité dohodnuté dobˇe, kterou naz´ yváme téˇz karenˇcn´ı dobou k. Stejnˇe jako u d˚ uchodu bezprostˇredn´ıho rozdˇelujeme odloˇzen´ y d˚ uchod na d˚ uchod pˇredlh˚ utn´ı a polh˚ utn´ı. 6.3.1 Duchod ˚ odloˇzeny´ pˇredlhutn´ ˚ ı D˚ uchod odloˇzen´ y pˇredlh˚ utn´ı je vyplácen vˇzdy na zaˇcátku urˇcitého ˇcasového ´ intervalu a jeho vyplácen´ı je odloˇzeno o k let. Ukolem bude vypoˇc´ıtat poˇcáteˇcn´ı hodnotu takovéhoto d˚ uchodu, kter´ y je vyplácen po n let pˇri u ´rokové sazbˇe i. Pˇri v´ ypoˇctu budeme vycházet z bezprostˇredn´ıho pˇredlh˚ utn´ıho d˚ uchodu. V´ıme, ˇze poˇcáteˇcn´ı hodnota D bezprostˇredn´ıho pˇredlh˚ utn´ıho d˚ uchodu ve v´ yˇsi a se vypoˇc´ıtá jako souˇcet souˇcasn´ ych hodnot budouc´ıch anuit (v´ yplat). U odloˇzeného pˇredlh˚ utn´ıho d˚ uchodu jde o to, ˇze souˇcasnou hodnotu v´ yplaty d˚ uchodu, která má b´ yt vyplacena v k-tém roce splatnosti d˚ uchodu, vypoˇc´ıtáme tak, ˇze hodnotu této v´ yplaty diskontujeme k v´ ychoz´ımu datu. To znamená, ˇze diskontn´ı faktor umocn´ıme na k. Potom poˇcáteˇcn´ı hodnota odloˇzeného pˇredlh˚ utn´ıho d˚ uchodu K se vypoˇc´ıtá K = vk · a ·

80

1 − vn 1 − v n k−1 =a· ·v . v·i i

Poˇcáteˇcn´ı hodnota K odloˇzeného d˚ uchodu je vlastnˇe diskontovaná poˇcáteˇcn´ı hodnota bezprostˇredn´ıho d˚ uchodu D k v´ ychoz´ımu datu. Jde v podstatˇe o pˇr´ıpad, jako bychom uloˇzili ˇcástku D na k let a po této dobˇe jsme si zaplatili bezprostˇredn´ı d˚ uchod. Jestliˇze docház´ı k v´ yplatám d˚ uchodu na zaˇcátku kaˇzdé m-tiny roku, vypoˇc´ıtáme stejnˇe jako v pˇr´ıpadˇe bezprostˇredn´ıho pˇredlh˚ utn´ıho d˚ uchodu. Vyuˇzijeme tedy vztah pro krátkodobé spoˇren´ı pˇredlh˚ utn´ı. Potom poˇcáteˇcn´ı hodnota tohoto d˚ uchodu bude m+1 1 − vn k K =m·x· 1+ ·i · ·v . 2·m i Pˇr´ıklad 6.5.

Máme v hotovosti 30 000 Kˇc. Touto ˇcástkou si chceme zajistit roˇcn´ı pˇredlh˚ utn´ı d˚ uchod na 5 let s t´ım, ˇze s jeho v´ yplatou zaˇcneme za dva roky. V jaké v´ yˇsi budou v´ yplaty tohoto d˚ uchodu pˇri nemˇenné roˇcn´ı u ´rokové sazbˇe 5 %? ˇ sen´ ˇ ı. Re a = a =

k·i , v k−1 · (1 − v n ) 30 000 · 0,05 1 500 = = 7 275,7064. 1 1 0,2061656 ) · (1 − 0,05 0,055

Vyplacená ˇcástka bude ˇcinit 7 275,7046 Kˇc. Pˇr´ıklad 6.6.

Jak velkou ˇcástku mus´ıme dnes pˇri nemˇenné u ´rokové sazbˇe 10 % p. a. uloˇzit novorozenému d´ıtˇeti, aby v 18 letech mˇelo takov´ y kapitál, kter´ y by mu zabezpeˇcil po dobu 10 let ˇctvrtletn´ı pˇredlh˚ utn´ı d˚ uchod ve v´ yˇsi 2 000 Kˇc? ˇ sen´ ˇ ı. Re m+1 1 − vn k K = m·x· 1+ ·i · ·v , 2·m i 18 1 − 1,1110 1 5 · = K = 4 · 2 000 · 1 + · 0,1 · 8 0,1 1,1 = 8 500 · 6,144568 · 0,1798587 = 9 393,81.

K zabezpeˇcen´ı uvedeného d˚ uchodu mus´ıme uloˇzit 9 393,81 Kˇc. 6.3.2 Duchod ˚ odloˇzeny´ polhutn´ ˚ ı Vzhledem k tomu, ˇze vˇsechny u ´vahy jsou stejné jako u d˚ uchodu odloˇzeného pˇredlh˚ utn´ıho, uvedeme si pouze základn´ı vzorce. Poˇcáteˇcn´ı hodnota odloˇzeného polh˚ utn´ıho d˚ uchodu K ′ se vypoˇc´ıtá K ′ = vk · a ·

1 − vn . i

81

6. Duchody ˚

Je to vlastnˇe diskontovaná poˇcáteˇcn´ı hodnota D ′ bezprostˇredn´ıho polh˚ utn´ıho d˚ uchodu diskontovaného k v´ ychoz´ımu datu a zásobitel polh˚ utn´ı je vynásoben diskontn´ım faktorem umocnˇen´ ym na dobu odloˇzen´ı k. V pˇr´ıpadˇe, ˇze se d˚ uchod vyplác´ı m-krát za rok, bude poˇcáteˇcn´ı hodnota takovéhoto d˚ uchodu vypoˇc´ıtána na základˇe krátkodobého polh˚ utn´ıho spoˇren´ı a zásobitele polh˚ utn´ıho. Souˇcin tˇechto v´ yraz˚ u násob´ıme diskontn´ım faktorem umocnˇen´ ym na dobu odloˇzen´ı k. m−1 1 − vn k ′ K =m·x· 1+ ·i · ·v . 2·m i

6.4

ˇ y´ Duchod ˚ veˇ cn

Je to d˚ uchod, jehoˇz v´ yplata nen´ı ˇcasovˇe omezena (n → ∞). S t´ımto d˚ uchodem se m˚ uˇzeme setkat u nˇekter´ ych cenn´ ych pap´ır˚ u, které nemaj´ı splatnost, ale majitel má nárok na v´ yplatu d˚ uchodu po neomezenou dobu. Stejnˇe jako u pˇredcházej´ıc´ıch d˚ uchod˚ u hovoˇr´ıme téˇz o d˚ uchodu vˇeˇcném polh˚ utn´ım a vˇeˇcném pˇredlh˚ utn´ım. I d˚ uchod vˇeˇcn´ y m˚ uˇze b´ yt bezprostˇredn´ı nebo odloˇzen´ y. ˇ y´ pˇredlhutn´ 6.4.1 Duchod ˚ veˇ cn ˚ ı Poˇcáteˇcn´ı hodnotu D vˇeˇcného pˇredlh˚ utn´ıho d˚ uchodu vypoˇc´ıtáme jako limitu poˇcáteˇcn´ı hodnoty bezprostˇredn´ıho pˇredlh˚ utn´ıho d˚ uchodu. Protoˇze D = a ·

1−vn , i·v

bude pro n → ∞ D = lim a · n→∞

Uprav´ıme-li tento v´ yraz

a 1 − vn = . i·v i·v

a 1 a 1+i , = 1 =a· =a· 1+ i·v 1 i 1+i obdrˇz´ıme v´ ypoˇcet hodnoty bezprostˇredn´ıho pˇredlh˚ utn´ıho vˇeˇcného d˚ uchodu 1 D =a· 1+ . i Jestliˇze vyplácen´ı tohoto d˚ uchodu odloˇz´ıme o k let, potom tento vztah mus´ıme opˇet vynásobit diskontn´ım faktorem umocnˇen´ ym na hodnotu doby odloˇzen´ı. 1 K =a· 1+ · vk . i

Je-li vˇeˇcn´ y d˚ uchod vyplácen m-krát za rok, postupujeme stejnˇe jako u pˇredcházej´ıc´ıch d˚ uchod˚ u. Jde-li o d˚ uchod odloˇzen´ y vyplácen´ y m-krát za rok, mus´ıme tento v´ yraz 1 m+1 ·i · 1+ D =m·x· 1+ 2·m i

82

násobit diskontem umocnˇen´ ym na dobu odloˇzen´ı k. 1 m+1 · vk . ·i · 1+ K =m·x· 1+ 2·m i Pˇr´ıklad 6.7.

Jak vysoká ˇcástka nám zajist´ı v´ yplatu vˇeˇcného pˇredlh˚ utn´ıho roˇcn´ıho d˚ uchodu ve v´ yˇsi 10 000 Kˇc od naˇseho 60. roku, je-li nám dnes 30 let a u ´roková sazba je 5 % p. a.? ˇ sen´ ˇ ı. Re 1 · vk K = a· 1+ i 1 1 30 = 210 000 · 0,2313774 = 48 589, 254. K = 10 000 · 1 + · 0,05 1,05

Abychom si zajistili tuto v´ yplatu d˚ uchodu, mus´ıme dnes sloˇzit ˇcástku ve v´ yˇsi 48 589,254 Kˇc. ˇ y´ polhutn´ 6.4.2 Duchod ˚ veˇ cn ˚ ı Stejnˇe jako u d˚ uchodu vˇeˇcného pˇredlh˚ utn´ıho odvod´ıme pomoc´ı limity d˚ uchod vˇeˇcn´ y polh˚ utn´ı z d˚ uchodu bezprostˇredn´ıho polh˚ utn´ıho. a 1 − vn = . n→∞ i i Bude-li vˇeˇcn´ y polh˚ utn´ı d˚ uchod odloˇzen´ y o k let, mus´ıme tento v´ ysledn´ y vztah vynásobit diskontn´ım faktorem umocnˇen´ ym na dobu odloˇzen´ı k. a K ′ = · vk . i Je-li vˇeˇcn´ y d˚ uchod vyplácen m-krát za rok, potom poˇcáteˇcn´ı hodnota polh˚ utn´ıho d˚ uchodu bude 1 m−1 ′ ·i · . D =m·x· 1+ 2·m i D ′ = lim a ·

Je-li d˚ uchod vˇeˇcn´ y, odloˇzen´ y, vyplácen´ y m-krát za rok, potom poˇcáteˇcn´ı hodnota tohoto d˚ uchodu bude k m−1 v ′ K =m·x· 1+ ·i · . 2·m i Pˇr´ıklad 6.8.

Jaká ˇcástka nám a naˇsim poz˚ ustal´ ym zajist´ı ˇctvrtletn´ı polh˚ utn´ı d˚ uchod ve v´ yˇsi 5 000 Kˇc pˇri nemˇenné u ´rokové sazbˇe 7 % p. a.? ˇ sen´ ˇ ı. Re D

′

D′

1 m−1 ·i · , = m·x· 1+ 2·m i 3 1 = 4 · 5 000 · 1 + · 0,07 · = 293 214,29. 8 0,07

83

6. Duchody ˚

Pˇri zadan´ ych podm´ınkách je nutno sloˇzit ˇcástku 293 214,29 Kˇc. Pˇr´ıklad 6.9.

Kolik mus´ıme koncem kaˇzdého mˇes´ıce ukládat po dobu 10 let, abychom si zajistili po dobu dalˇs´ıch 15 let ˇctvrtletn´ı polh˚ utn´ı d˚ uchod 5 000 Kˇc pˇri u ´rokové sazbˇe 7 % p. a.? ˇ sen´ ˇ ı. Mus´ıme porovnat hodnotu u Re ´spor, které z´ıskáme za 10 let, s poˇcáteˇcn´ı

hodnotou d˚ uchodu vypláceného po dobu pˇr´ıˇst´ıch 15 let. Nejdˇr´ıve mus´ıme 10 let spoˇrit kaˇzd´ y mˇes´ıc. Potom ˇctvrtletnˇe vyplácet d˚ uchod po dobu 15 let. Spoˇren´ı: m1 = 12 n1 = 10 i1 = 0,07 x1 = ?

D˚ uchod: m2 = 4 n2 = 15 i2 = 0,07 x2 = 5 000 Kˇc

(1 + i)n1 − 1 m1 − 1 1 − v n2 m2 − 1 m1 · x1 · · 1+ ·i = · m2 · x2 · 1 + ·i i 2 · m1 i 2 · m2 1 1 − 1,07 15 1,0710 − 1 11 3 12 · x1 · · 1+ · 0,07 = · 4 · 5 000 · 1 + · 0,07 0,07 24 0,07 8

Z dané rovnice vypoˇc´ıtáme x1

x1 = 1 092,47 Kˇc. Abychom dostávali ˇctvrtletnˇe d˚ uchod po dobu 15 let, mus´ıme spoˇrit kaˇzd´ y mˇes´ıc po dobu 10 let 1 092,47 Kˇc.

´ ˇ Otazky k zamyslen´ ı 1. Jak´ a ˇcástka nám zajist´ı roˇcn´ı bezprostˇredn´ı polh˚ utn´ı d˚ uchod ve v´ yˇsi

16 000 Kˇc po dobu 20. let pˇri nemˇenné u ´rokové sazbˇe 5 % p. a.? [199 395,36 Kˇc] 2. Jak´ a je poˇcáteˇcn´ı hodnota d˚ uchodu 6 000 Kˇc, kter´ y se vyplác´ı na konci

kaˇzdého ˇctvrtlet´ı po dobu 10. let pˇri nemˇenné u ´rokové sazbˇe 5 % p. a.? [188 796 Kˇc] 3. Jakou ˇ cástku mus´ıme uloˇzit synovi ve stáˇr´ı 10 let, aby od 20. let dostával

mˇes´ıˇcnˇe pˇredlh˚ utnˇe po dobu 5 let ˇcástku 2 500 Kˇc pˇri nemˇenné u ´rokové sazbˇe 8 % p. a.? [142 939,85] 4. Jak´ a ˇcástka nám, nebo naˇsim poz˚ ustal´ ym zajist´ı ˇctvrtletn´ı pˇredlh˚ utn´ı vˇeˇcn´ y d˚ uchod pˇri nemˇenné u ´rokové sazbˇe 8 % p. a.? [283 500 Kˇc] 5. Urˇ cete celkov´ y objem plateb za 10 let, je-li roˇcn´ı nomináln´ı d˚ uchod

3 200 Kˇc vyplácen´ y ˇctvrtletnˇe, pˇri 4 % p. a. a ˇctvrtletn´ım sloˇzen´ ym u ´roˇcen´ım. [39 109,10 Kˇc] 6. Pojistn´ık (pojiˇstˇ enec) má pojistnou smlouvu na doˇzit´ı, jej´ıˇz hodnota

v dobˇe, kdy dosáhne vˇeku 65 let, mu zabezpeˇc´ı roˇcn´ı d˚ uchod 15 000 Kˇc

84

po dobu 15. let. Prvn´ı v´ yplata d˚ uchodu bude na 66. narozeniny. Jestliˇze ’ pojiˇst ovna garantuje u ´rokovou sazbu ve v´ yˇsi 6 % p. a. roˇcnˇe, jaká bude hodnota d˚ uchodu klienta ve vˇeku 65 let? [145 683,73 Kˇc] 7. Dˇ edic bude pob´ırat d˚ uchod (rentu) 7 000 Kˇc pololetnˇe po dobu 15 let.

Prvn´ı v´ yplata bude za 6 mˇes´ıc˚ u. Jaká je nomináln´ı hodnota dˇedictv´ı pˇri u ´rokové sazbˇe 10 % p. a. pololetnˇe u ´roˇceného? [107 607,16 Kˇc] 8. Pojistn´ a smlouva na doˇzit´ı 65 let zn´ı na 100 000 Kˇc. Jaká bude vyplá-

cená hodnota d˚ uchodu (renty) po dobu 15. let, jestliˇze u ´roková sazba je 6 % p. a. s mˇes´ıˇcn´ım u ´roˇcen´ım? [843,86 Kˇc] 9. Klient se rozhodl ve vˇ eku 30 let vytvoˇrit penzijn´ı fond pravideln´ ymi

vklady na konci kaˇzdého roku ve v´ yˇsi 10 000 Kˇc po dobu 35 let. Poˇc´ınaje 66 rokem sv´ ych narozenin chce vyb´ırat z tohoto fondu koncem kaˇzdého ˇ ste: roku po dobu 15 let. Reˇ a) Jestliˇze plat´ı po dobu cel´ ych 50. let existence fondu u ´roková sazba 8 % p. a. roˇcnˇe, kolik bude moci klient ze svého fondu roˇcnˇe vyb´ırat, mezi 66. a 80. rokem svého vˇeku? b) Jak se zmˇen´ı ˇcástka roˇcn´ıho d˚ uchodu, jestliˇze sn´ıˇz´ı penˇeˇzn´ı u ´stav po 10. letech od zahájen´ı v´ yplat z fondu, u ´rokovou sazbu z 8 na 6 % p. a. roˇcnˇe, jestliˇze má b´ yt dodrˇzená lh˚ uta v´ yplat 15 let? [a) 201 316,94 Kˇc, b) 157 763,95] 10. Zemˇrel´ y zanechal kapitál ve v´ yˇsi 50 000 Kˇc, kter´ y je investován pˇri 12 %

p. a. u ´rokové sazbˇe u ´roˇceného mˇes´ıˇcnˇe. Kolik mˇes´ıˇcn´ıch v´ yplat o v´ yˇsi 750 Kˇc obdrˇz´ı dˇedici a kolik bude ˇcinit závˇereˇcná v´ yplata? [poˇcet v´ yplat 110, z˚ ustatek ˇcin´ı 308,12 Kˇc] 11. Jakou ˇ cástku mus´ıme uloˇzit pˇri narozen´ı d´ıtˇete, aby poskytla 8 polo-

letn´ıch v´ yplat 15 000 Kˇc ke kryt´ı náklad˚ u na studium, pˇriˇcemˇz prvn´ı v´ yplata se pˇredpokládá na 19. narozeniny budouc´ıho studenta? Finanˇcn´ı u ´stav jako správce fondu zhodnocuje tento vklad u ´rokovou sazbou 9 % p. a. pololetnˇe. [19 411,61 Kˇc] 12. Klient vyhr´ al ve sportce 100 000 Kˇc. Vybral z v´ yhry pouze 20 000 Kˇc a

zbytek 80 000 Kˇc investoval v bance pˇri u ´rokové m´ıˇre 0,08 p. a. mˇes´ıˇcnˇe s t´ım, ˇze mu bude banka vyplácet mˇes´ıˇcn´ı rentu po dobu 15 let. Prvn´ı v´ yplat bude za 4 roky od dneˇsn´ıho dne. Urˇcete, kolik bude ˇcinit ˇcástka jedné v´ yplaty. [1 044,76 Kˇc]

85

6. Duchody ˚

86

´ ı dluhu nestejnymi ´ Umoˇrovan´ ´ splatkami ´ ı dluhu stejnymi Umoˇrovan´ ´ anuitami ˇ an´ ´ ı poctu ˇ anuit Urcov

7

´ ı dluhu˚ Umoˇrovan´

´ ı dluhu˚ 7. Umoˇrovan´

C´ıl kapitoly V této kapitole se seznám´ıme s metodikou umoˇrován´ı dluh˚ u (´ uvˇer˚ u) a s v´ ypoˇcty jednotliv´ ych hodnot jako anuity, u ´mor dluhu, u ´rok z u ´vˇeru a v´ ypoˇctem z˚ ustatkové ˇcásti. Ukáˇzeme si na podobn´ y zp˚ usob jejich v´ ypoˇct˚ u, stejn´ ych jako u v´ ypoˇctu d˚ uchodu. Je-li u ´vˇer umoˇrován stejn´ ymi ˇcástkami ve stejn´ ych intervalech, je moˇzno jej chápat jako diskontovanou hodnotu objemu opakovan´ ych plateb, a k v´ ypoˇctu hodnoty plateb (splátek) pouˇz´ıt dosud vysvˇetlené postupy. Nav´ıc z˚ ustatek u ´vˇeru pˇri pravideln´ ych splátkách se neustále zmenˇsuje, ˇc´ımˇz klesá i v´ yˇse u ´roku tohoto u ´vˇeru a t´ım se v urˇcité m´ıˇre odliˇsuje od vyplácen´ı d˚ uchod˚ u.


´ er (dluh, p˚ ´ erem rozum´ıme poskytUvˇ ujˇcka) je d˚ uleˇzit´ y finanˇcn´ı nástroj. Uvˇ nut´ı kapitálu na urˇcitou dobu za odmˇenu – u ´rok. Aˇckoliv je moˇzné umoˇrován´ı dluhu z pohledu vˇeˇritele povaˇzovat za pˇr´ıjem d˚ uchodu, ukáˇzeme si nˇekteré odliˇsnosti, které postup pˇri splácen´ı dluhu má. Podle doby splatnosti rozdˇelujeme u ´vˇery: kr´ atkodob´ e – doba splatnosti nepˇresahuje jeden rok stˇ rednˇ edob´ e – doba splatnosti je od jednoho roku do pˇeti let dlouhodob´ e – doba splatnosti je delˇs´ı neˇz pˇet let Hlavn´ı zp˚ usoby umoˇrován´ı (splácen´ı) dluhu m˚ uˇzeme rozdˇelit následovnˇe: P˚ ujˇcka je uzavˇrena na neurˇcitou dobu. Mus´ı b´ yt splacena najednou po ´ v´ ypovˇedi pˇri zachován´ı v´ ypovˇedn´ı lh˚ uty. Uroky se plat´ı ve sjednan´ ych lh˚ utách jejich splatnosti. Umoˇrován´ı dluhu se provád´ı od zaˇcátku pravideln´ ymi platbami. Tyto platby (anuity) mohou b´ yt stále stejné (ˇcást´ı platby se umoˇruje dluh a ˇcást´ı platby se plat´ı u ´rok), nebo se mohou zvyˇsovat. V tom pˇr´ıpadˇe je moˇzno ˇcást anuity (splátky), která pˇripadne na umoˇren´ı dluhu, urˇcit kvótami nebo procenty a k nim pˇripojit splátky na u ´rok. Je zˇrejmé, ˇze rychlejˇs´ı umoˇrován´ı dluhu bude zvyˇsován´ım tˇechto kvót kaˇzd´ ym rokem. Toto umoˇrován´ı dluhu m˚ uˇzeme zvyˇsovat konstantn´ımi ˇcástkami, nebo ve smlouvˇe zakotvit i jiné splácen´ı dluhu po vzájemné dohodˇe se souhlasem vˇeˇritele. Pˇrehled v´ yˇsky anuit (splátek dluhu) vˇcetnˇe u ´rok˚ u z hlediska jejich ˇcasového rozloˇzen´ı sestavuj´ı banky pro své klienty do tzv. umoˇ rovac´ıch pl´ an˚ u. Umoˇrovac´ı plány se mohou liˇsit: typem spl´ atek (polh˚ utn´ı, pˇredlh˚ utn´ı) zp˚ usobem u ´roˇ cen´ı (polh˚ utn´ı, pˇredlh˚ utn´ı) obdob´ımi spl´ atek (stejná nebo odliˇsná od u ´rokového obdob´ı)

88

V dalˇs´ıch u ´vahách se budeme zab´ yvat umoˇrován´ım dlouhodob´ ych u ´vˇer˚ u pˇri polh˚ utn´ım u ´roˇcen´ı. Umoˇrovac´ı plán obsahuje pro kaˇzdé obdob´ı, pro které se sestavuje a v nˇemˇz je dluh splácen: v´ yˇ si v´ yˇ si v´ yˇ si stav

anuity (spl´ atky) u ´roku z dluhu u ´moru dluhu po odeˇ cten´ı u ´moru

Vˇ zdy plat´ı: anuita = u ´mor + u ´rok

7.1

´ ı dluhu nestejnymi ´ Umoˇrovan´ ´ splatkami

Umoˇrován´ı dluhu nestejn´ ymi splátkami si vysvˇetl´ıme na pˇr´ıkladu a nˇekteré závˇery zobecn´ıme. Pˇr´ıklad 7.1.

´ er ve v´ Uvˇ yˇsi 280 000 Kˇc má b´ yt splacen polh˚ utn´ımi splátkami. Prvn´ı u ´mor má b´ yt ve v´ yˇsi 10 000 Kˇc a kaˇzd´ y následuj´ıc´ı je o 10 000 Kˇc vyˇsˇs´ı. Kromˇe toho je nutno platit bˇeˇzn´ yu ´rok. Sestavme umoˇrovac´ı plán pˇri u ´rokové sazbˇe 10 % p. a. ˇ sen´ ˇ ı. Pˇri sestavov´ Re an´ı umoˇrovac´ıho plánu budeme pˇredpokládat, ˇze uvedené

hodnoty se budou vztahovat vˇzdy na konec u ´rokovac´ıho obdob´ı. ˇ Í PLAN ´ UMOROVAC obdob´ı anuita 0 1 2 3 4 5 6 7

38 000 47 000 55 000 62 000 68 000 73 000 77 000

u ´rok 28 000 27 000 25 000 22 000 18 000 13 000 7 000

u ´mor

stav dluhu

10 000 20 000 30 000 40 000 50 000 60 000 70 000

280 000 270 000 250 000 220 000 180 000 130 000 70 000 0

Postup pˇ ri sestavov´ an´ı umoˇ rovac´ıho pl´ anu: Nejprve vypln´ıme sloupec nazvan´ yu ´mor, a to tak, ˇze v prvn´ım obdob´ı bude u ´mor 10 000 Kˇc, v druhém obdob´ı o 10 000 Kˇc vyˇsˇs´ı, tedy 20 000 Kˇc atd. Jak je vidˇet za 7 obdob´ı splat´ıme cel´ yu ´vˇer. Do sloupce u ´rok vˇzdy zap´ıˇseme ´ u ´rok ze stavu dluhu. Urok +u ´mor udává anuitu (splátku). Od stavu dluhu odeˇcteme vˇzdy u ´mor a z této ˇcástky vypoˇc´ıtáme u ´rok. Z naˇseho pˇr´ıkladu, kde se u ´mor pravidelnˇe zvyˇsuje o pevnou ˇcástku, m˚ uˇzeme poˇcet anuit vypoˇc´ıtat pomoc´ı aritmetické posloupnosti, nebot’ v´ıme, ˇze a1 = 10 000 a d = 10 000, Sn = 280 000. V´ıme, ˇze plat´ı a1 = a1 ,

89


a2 = a1 + d, a3 = a2 + d = a1 + d + d = a1 + 2d, .. . an = a1 + (n − 1) · d, kde d = ak − ak−1 je diference (rozd´ıl dvou po sobˇe jdouc´ıch ˇclen˚ u, kter´ y je konstantn´ı). Z kapitoly o spoˇren´ı v´ıme, ˇze pro souˇcet aritmetické posloupnosti plat´ı n Sn = (a1 + an ). 2 Jestliˇze nahrad´ıme ˇclen an = a1 + (n − 1) · d, obdrˇz´ıme pro souˇcet Sn =

n · [2 · a1 + (n − 1) · d]. 2

´ Upravou této rovnice obdrˇz´ıme kvadratickou rovnici, z které vypoˇc´ıtáme n n2 · d + (2 · a1 − d) · n − 2 · Sn = 0. Jestliˇze dosad´ıme za a1 , d, Sn konkrétn´ı hodnoty a vyˇreˇs´ıme kvadratickou rovnici, dostaneme dobu splatnosti u ´vˇeru. Poˇc´ıtáme pouze kladn´ y koˇren této rovnice.

7.2

´ ı dluhu stejnymi Umoˇrovan´ ´ anuitami

Pˇredpokládejme, ˇze dluh D má b´ yt splacen i s u ´roky n stejn´ ymi splátkami a splatn´ ymi vˇzdy na konci u ´rokovac´ıho obdob´ı pˇri nemˇenné roˇcn´ı u ´rokové sazbˇe i. Jak známe z d˚ uchodu, poˇcáteˇcn´ı hodnotu dluhu m˚ uˇzeme pokládat za poˇcáteˇcn´ı hodnotu d˚ uchodu a jednotlivé anuity za v´ yplaty d˚ uchodu, kter´ y si vˇeˇritel zajistil poskytnut´ım u ´vˇeru. Abychom urˇcili v´ yˇsi anuity, je nutno si uvˇedomit, ˇze poˇcáteˇcn´ı hodnota dluhu se mus´ı rovnat souˇcasné (diskontované) hodnotˇe vˇsech anuit. Plat´ı tedy jako u d˚ uchodu rovnice D = a · v + a · v2 + a · v3 + · · · + a · vn , kde v =

1 1+i

– diskontn´ı faktor, D – poˇcáteˇcn´ı v´ yˇse dluhu, a – anuita.

V´ıme, ˇze pro v´ ypoˇcet poˇcáteˇcn´ı hodnoty d˚ uchodu plat´ı D =a·

1 − vn = a · a′′n , i

kde a′′n je zásobitel polh˚ utn´ı. Z dané rovnice vypoˇc´ıtáme anuitu a=

D·i . 1 − vn

i revrácená hodnota zásobitele a naz´ yvá se umoˇ rovatel a V´ yraz 1−v n je pˇ udává v´ yˇsi polh˚ utn´ı anuity nutnou k tomu, aby se zaplatil dluh 1 Kˇc za

90

n obdob´ı pˇri u ´rokové sazbˇe i. Pro umoˇrován´ı dluhu potˇrebujeme sestavit umoˇrovac´ı plán. K jeho sestaven´ı potˇrebujeme znát kromˇe hodnoty anuity téˇz hodnotu u ´moru a u ´roku. Nyn´ı si uvedeme v´ ypoˇcet tˇechto hodnot. P˚ uvodn´ı stav dluhu D0 je souˇcasná hodnota vˇsech anuit, tedy D0 = a ·

1 − vn = a · a′′n . i

Z prvn´ı anuity pˇripadá na u ´rok U1 ˇcástka D0 · i, kterou m˚ uˇzeme vyjádˇrit vztahem U1 = D0 · i = a · (1 − v n ). Na u ´mor dluhu M1 pak zb´ yvá ˇcástka M1 = a − U1 = a − a · (1 − v n ) = a · v n . Pˇredpokládejme nyn´ı, ˇze po zaplacen´ı r splátek má zbytek dluhu v´ yˇs´ı Dr . Protoˇze Dr je rovn´ y souˇcasné hodnotˇe zb´ yvaj´ıc´ıch n − r splátek, m˚ uˇzeme odvodit pro v´ yˇsi u ´roku Ur+1 v obdob´ı r + 1 a v´ yˇsi u ´moru Mr+1 ve stejném obdob´ı analogické vztahy jako pro v´ yˇsi u ´roku U1 a u ´moru M1 v prvn´ım obdob´ı splácen´ı dluhu. Pro v´ yˇsi u ´roku v (r+1)-n´ım obdob´ı plat´ı Ur+1 = a · (1 − v n−r ) = Dr · i. Je to v podstatˇe u ´rok ze stavu dluhu na konci pˇredcházej´ıc´ıho obdob´ı. Pro v´ yˇsi u ´moru v (r+1)-n´ım obdob´ı plat´ı Mr+1 = a · v n−r = a − Dr · i. Je to anuita minus u ´rok. Z uvedeného je vidˇet, ˇze umoˇrovac´ı splátky tvoˇr´ı geometrickou posloupnost 1 s kvocientem v = 1+i . Sestavme umoˇrovac´ı plán na základˇe pˇredcházej´ıc´ıch vztah˚ u. Postup: V umoˇrovac´ım plánu vypln´ıme nejprve poˇcáteˇcn´ı stav dluhu a potom cel´ y sloupec s anuitami. Pak v kaˇzdém ˇrádku vypoˇc´ıtáme v´ yˇsi u ´roku a v´ yˇsi u ´moru. Tento v´ ypoˇcet je moˇzno provést dvˇema zp˚ usoby: ´ Urok: – z pˇredcházej´ıc´ıho stavu vkladu – z v´ yˇse anuity

´ Umor: – rozd´ılem anuita minus u ´rok –u ´roˇcen´ım u ´moru z pˇredcházej´ıc´ıho obdob´ı, coˇz je vlastnˇe diskontován´ı anuity

91


Provedeme kontroln´ı v´ ypoˇcet pro r = 3, n = 6 U3 = D2 · i = 3 546, U3 = a · (1 − v

n−2

"

) = 9 729 · 1 −

1 1,12

4 #

= 3 546,

M3 = a − U3 = 9 729 − 3 546 = 6 183, 4 1 n−2 M3 = a · v = 9 729 · = 6 183, 1,12 3 1 1 − n−3 1,12 1−v = 9 729 · = 23 368. D3 = a · i 0,12 V´ ysledné hodnoty jsou zaokrouhlené.

7.3

ˇ an´ ´ ı poctu ˇ anuit Urcov

Máme vyˇreˇsit u ´lohu, kdy dluh (´ uvˇer) D je splácen pevnou anuitou pˇri u ´rokové sazbˇe i. Máme urˇcit, jak dlouho se bude splácet tento dluh a jak vysoká bude posledn´ı splátka. Vyjdeme ze vztahu pro v´ yˇsi poˇcáteˇcn´ıho dluhu D =a·

1 − vn . i

Tento v´ yraz zlogaritmujeme a obdrˇz´ıme ln 1 − D·i a n= . ln v Z tohoto v´ yrazu vypoˇc´ıtáme obdob´ı n, coˇz nemus´ı b´ yt celé ˇc´ıslo. Urˇc´ıme tedy nejbliˇzˇs´ı niˇzˇs´ı celé ˇc´ıslo n0 . Z uvedeného vypl´ yvá, ˇze budeme dluh splácet n0 cel´ ych obdob´ı a potom jeˇstˇe posledn´ı splátku b, která bude niˇzˇs´ı neˇz vypoˇc´ıtaná anuita a. Potom pro poˇcáteˇcn´ı hodnotu dluhu obdrˇz´ıme vztah D =a·

1 − v n0 + b · v n0 +1 . i

Posledn´ı splátku dluhu b pak vyjádˇr´ıme vztahem 1 − v n0 · (1 + i)n0 +1 . b= D−a· i Posledn´ı splátka se také skládá z u ´moru a u ´roku. Stav dluhu po n0 -té splátce má hodnotu b · v. Posledn´ı v´ yˇse u ´moru má také hodnotu b · v. Mn0 +1 = b · v. Posledn´ı v´ yˇse u ´roku je u ´rokem z dluhu Dn0 , tedy také z hodnoty u ´moru Mn0 +1 . Tento u ´rok m˚ uˇzeme vyjádˇrit Un0 +1 = b · v · i.

92

Pˇr´ıklad 7.2.

Dluh 45 000 Kˇc se má splácet roˇcn´ımi anuitami ve v´ yˇsi 8 000 Kˇc pˇri roˇcn´ı u ´rokové sazbˇe 14 %. Máme urˇcit poˇcet anuit, v´ yˇsi posledn´ı splátky a sestavit umoˇrovac´ı plán. ˇ sen´ ˇ ı. Re n = n =

ln 1 − D·i a , ln v

45 000·0,14 8 000 1 ln 1,14

ln 1 −

.

Poˇcet splátek je 12; n0 = 11. Posledn´ı splátka obecnˇe bude

1 − v n0 D−a· i

· (1 + i)n0 +1 ,  11  1 1 − 1,14   b = 45 000 − 8 000 ·  · 1,1412 = 6 639,73. 0,14

b =

Posledn´ı splátka bude ve v´ yˇsi 6 639,73 Kˇc. Urˇceme hodnoty za 11 obdob´ı:

M11 = M1 · 1,1410 = 6 302,

U11 = 8 000 − 6 302 = 1 698, 1 = 12 129, D10 = 1 698 · 1,14 D11 = D10 − M11 = 12 129 − 6 302 = 5 827.

Posledn´ı ˇrádek dopln´ıme jiˇz znám´ ym postupem. Pˇresvˇedˇc´ıme se, ˇze plat´ı vztahy 1 · 0,14 = 815,4, 1,14 1 = 5 825. = b · v = 6 640 · 1,14

Un0 +1 = b · v · i = 6 640 · Mn0 +1

ˇ Í PLAN ´ UMOROVAC obdob´ı anuita u ´rok u ´mor stav dluhu 0 0 45 000 1 8 000 6 300 1 700 43 300 .. .. .. .. .. . . . . . 11 8 000 1 698 6 302 5 827 12 6 640 816 5 827 0 Z pˇr´ıkladu je vidˇet postup pˇri tvorbˇe umoˇrovac´ıho plánu v pˇr´ıpadˇe dané anuity. Dosud jsme ˇreˇsili pˇr´ıpady, kdy jsme spláceli dluh na konci kaˇzdého u ´rokovac´ıho obdob´ı. Jestliˇze docház´ı ke splácen´ı dluhu v´ıcekrát za u ´rokovac´ı obdob´ı, vypoˇc´ıtáme nejdˇr´ıve hodnotu splátek do konce roku podle vztahu

93


Sx = m·x· 1 + plán.

m+1 2·m

· i a na základˇe tohoto v´ ypoˇctu pak sestav´ıme umoˇrovac´ı

´ ˇ Otazky k zamyslen´ ı 1. Klient m´ a splatit hypotéku 4 000 000 Kˇc mˇes´ıˇcn´ımi splátkami ve stálé

v´ yˇsi a ve lh˚ utˇe 25 let, pˇri 10 % u ´rokové sazbˇe p. a. s pololetn´ı frekvenc´ı. Urˇcete ˇcástku mˇes´ıˇcn´ı splátky a sestavte d´ılˇc´ı umoˇrovac´ı plán pro prvn´ıch dvanáct (12) splátek. Jaká ˇcást dluhu bude prvn´ımi dvanácti splátkami umoˇrená? [´ umor = 39 169,23 Kˇc, u ´rok = 390 184,63 Kˇc] 2. Klient za objekt v cenˇ e 560 000 Kˇc mohl zaplatit 60 000 Kˇc v hotovosti

a na zbytek ceny si vyp˚ ujˇcil na hypotéku pˇri 10 % p. a. s pololetn´ı ´ er bude splácet po dobu 25 let frekvenc´ı (s pololetn´ım u ´roˇcen´ım). Uvˇ mˇes´ıˇcn´ımi splátkami ve stálé v´ yˇsi. Urˇcete v´ yˇsi mˇes´ıˇcn´ı splátky a sestavte d´ılˇc´ı umoˇrovac´ı plán pro prvn´ıch ˇsest mˇes´ıc˚ u. Jaká ˇcást u ´vˇeru bude za prvn´ıch 6 mˇes´ıc˚ u splacena jak vysoká je hodnota u ´roku? [spl´ atka = 4 472,44 Kˇc, u ´mor = 2 388,39 Kˇc, u ´rok = 24 446,25 Kˇc]

´ er ve v´ 3. Uvˇ yˇsi 500 000 Kˇc má b´ yt splacen´ y polh˚ utn´ımi anuitami. Prvn´ı umoˇren´ı u ´vˇeru bude 20 000 Kˇc a dalˇs´ı následuj´ıc´ı vˇzdy o 10 000 Kˇc ´ vyˇsˇs´ı. Uroková sazba bude 15 % p. a. Jak´ y je poˇcet anuit – sestavte umoˇrovac´ı plán. [8,61 = 9 splátek] 4. P˚ ujˇcka 20 000 Kˇc pˇri 12 % p. a. s mˇes´ıˇcn´ım u ´roˇcen´ım se má splatit

mˇes´ıˇcn´ımi splátkami ve stálé v´ yˇsi polh˚ utnˇe po dobu jednoho a p˚ ul roku. Urˇcete z˚ ustatek dluhu koncem 8. mˇes´ıce od jeho vzniku. [11 551,59 Kˇc] 5. 15. ˇ cervence si klient vyp˚ ujˇcil 1 milion Kˇc pˇri 15 % p. a. s mˇes´ıˇcn´ım

u ´roˇcen´ım (s mˇes´ıˇcn´ı frekvenc´ı). Klient zam´ yˇsl´ı splácet dluh mˇes´ıˇcn´ımi splátkami ve stálé v´ yˇsi polh˚ utnˇe po dobu 8 let. Prvn´ı splátka byla 15. srpna 2002. Urˇcete: a) Jakou ˇcást dluhu splatil klient do konce roku 2002?, b) kolik zaplatil do konce roku na u ´roc´ıch? [a) 27 916,26 Kˇc, b) 61 810,79 Kˇc] 6. Dluh 100 000 Kˇ c se splác´ı ˇctvrtletn´ımi platbami ve stálé v´ yˇsi po dobu

10 let pˇri 10 % p. a. ˇctvrtletnˇe. Jak´ y je z˚ ustatek dluhu na konci 6. roku? [52 006,21 Kˇc] 7. Klient koupil chladniˇ cku v cenˇe 12 000 Kˇc na splátky a zavázal se splatit

dluh mˇes´ıˇcn´ımi splátkami ve stálé v´ yˇsi bˇehem 3 let, pˇri u ´rokové sazbˇe 18 % p. a. s mˇes´ıˇcn´ım u ´roˇcen´ım. Kdyby chtˇel splatit dluh v kratˇs´ı lh˚ utˇe, musel by zaplatit pˇriráˇzku ve v´ yˇsi trojnásobku ˇcástky mˇes´ıˇcn´ıho u ´roku ze z˚ ustatku dluhu ke dni pˇredˇcasného splacen´ı. Po zaplacen´ı 12 splátek zjiˇst’uje klient, ˇze m´ıstn´ı poboˇcka banky nab´ız´ı p˚ ujˇcky se splatnost´ı za 2 roky pˇri u ´rokové sazbˇe 12 % p. a. s mˇes´ıˇcn´ım u ´roˇcen´ım. Bylo by v´ yhodné pro klienta vyp˚ ujˇcit si na zbytek dluhu v bance a splatit dluh na zaˇcátku druhého roku najednou? [ano, 5 358,68 Kˇc m˚ uˇze klient uˇsetˇrit]

94

ˇ urok Metody vypo ´ ctu ´ u˚

8

ˇ zne´ u´ cty ˇ Beˇ

ˇ zne´ u´ cty ˇ 8. Beˇ

C´ıl kapitoly V minul´ ych kapitolách jsme se seznámili s jednoduch´ ym i sloˇzen´ ym u ´roˇcen´ım, coˇz budeme aplikovat pˇri u ´roˇcen´ı bˇeˇzn´ ych u ´ˇct˚ u pˇri nepravidelném vkladu v daném ˇcasovém obdob´ı. Jedná se o zp˚ usob pouˇzit´ı u ´rokového ˇc´ısla a u ´rokového dˇelitele v praxi pˇri veden´ı bˇeˇzn´ ych u ´ˇct˚ u klient˚ u kdy vycház´ıme ze znalosti r˚ uzn´ ych metod v´ ypoˇctu u ´rok˚ u na tˇechto u ´ˇctech.


V dalˇs´ıch kapitolách si vysvˇetl´ıme nˇekterá pouˇzit´ı finanˇcn´ı matematiky v bˇeˇzné praxi ve finanˇcn´ı sféˇre. V prvn´ım pˇr´ıpadˇe si uvedeme uˇzit´ı finanˇcn´ı matematiky pˇri veden´ı bˇeˇzn´ ych u ´ˇctu a jejich u ´roˇcen´ı. Bˇeˇzn´ yu ´ˇcet je v souˇcasné dobˇe základn´ım bankovn´ım produktem, kter´ y slouˇz´ı k provádˇen´ı bankovn´ıch operac´ı na u ´ˇctech klient˚ u bankou. Bˇeˇzn´ yu ´ˇcet m˚ uˇzeme povaˇzovat za u ´ˇcet, kter´ y vede banka svému klientovi, pˇriˇcemˇz jeho hlavn´ı funkc´ı je uskuteˇcn ˇovat platebn´ı styk s ostatn´ımi finanˇcn´ımi u ´stavy a jeho klienty. Pokud stav na po dohodˇe s finanˇcn´ım u ´stavem m˚ uˇze vykazovat i záporn´ y (debetn´ı) z˚ ustatek, naz´ yváme takov´ yto u ´ˇcet kontokorentn´ı a ˇcerpan´ yu ´vˇer jako kontokorentn´ı u ´vˇer.

8.1

ˇ urok Metody vypo ´ ctu ´ u˚

Na bˇeˇzn´ ych u ´ˇctech se velmi ˇcasto mˇen´ı v´ yˇse vkladu a z˚ ustatku podle toho, zda drˇzitel tohoto u ´ˇctu zvyˇsuje kapitál sv´ ymi vklady nebo provádˇen´ ymi u ´hradami jeho pohledávek a nebo se v´ yˇse kapitálu sniˇzuje proveden´ım platebn´ıch pˇr´ıkaz˚ uku ´hradˇe. Na konci u ´rokovac´ıho obdob´ı klientovi banka pˇrip´ıˇse u ´roky z ˇcástek, které na tomto bˇeˇzném u ´ˇctu byly uloˇzeny. K tomuto u ´ˇcelu pouˇz´ıváme u ´rokové ˇc´ıslo a u ´rokov´ y dˇelitel. Pro v´ ypoˇcet tˇechto u ´rok˚ u se bˇeˇznˇe pouˇz´ıvaj´ı tyto metody: z˚ ustatkov´ a (anglická) zpˇ etn´ a (francouzská) postupn´ a (nˇemecká) 8.1.1 Zustatkov ˚ a´ metoda U tohoto zp˚ usobu veden´ı bˇeˇzného u ´ˇctu se u ´roky poˇc´ıtaj´ı vˇzdy za dobu, kdy ´ se stav u ´ˇctu nezmˇenil. Urokov´ e ˇc´ıslo se vˇzdy urˇc´ı z hodnoty z˚ ustatku na u ´ˇctu a z poˇctu dn´ı, kdy tato hodnota z˚ ustala nezmˇenˇená. Z´ıskaná u ´roková ˇc´ısla se na konci u ´rokovac´ıho obdob´ı seˇctou a tento souˇcet vydˇel´ıme u ´rokovac´ım dˇelitelem. Z´ıskáme tak u ´rok, kter´ y pˇripoˇc´ıtáme klientovi k z˚ ustatku na bˇeˇzném u ´ˇctu. Nejlépe si tuto metodu vysvˇetl´ıme na názorném pˇr´ıkladu.

96

Pˇr´ıklad 8.1.

Pˇredpokládejme, ˇze u ´rokovac´ı obdob´ı je jeden rok a u ´roková sazba je 2,5 %, která se bˇehem roku nemˇen´ı. Máme urˇcit, jak´ y bude stav na bˇeˇzném u ´ˇctu na konci roku, jestliˇze na nˇem byl následuj´ıc´ı pohyb: 1.1.

stav u ´ˇctu byl

5 000 Kˇc

12.4.

vklad

2 000 Kˇc

15.7.

v´ ybˇer

1 500 Kˇc

14.10.

vklad

4 000 Kˇc

ˇ sen´ ˇ ı. Budeme vych´ Re azet z nˇemecké metody: rok 360 dn´ı a mˇes´ıc 30 dn´ı.

Nebudeme uvaˇzovat zdanˇen´ı u ´rok˚ u. Den

Pohyb na u ´ˇ ctu

1.1.

Z˚ ustatek

12.4.

Vklad

15.7.

V´ ybˇer

14.10.

Vklad

31.12. 31.12.

Z˚ ustatek ´ Urok

1.1.

Z˚ ustatek

M´ a d´ ati

Dal

2 000 1 500 4 000

Z˚ ustatek

Poˇ cet dn´ı

´ Urokov´ e ˇ c´ıslo

5 000

102

5 100

7 000

93

6 510

5 500

89

4 895

9 500

76

7 220

9 500

23 725

164,7569 9 664,7569

, Pˇripomeneme si, ˇze pro v´ ypoˇcet u ´rokového ˇc´ısla jsme pouˇzili vztah U C = K·d 100 ´ pˇriˇcemˇz za K dosazujeme z˚ ustatek na u ´ˇctu. Urokov´ y dˇelitel pak ze P vztahu 1 a v´ y poˇ c et u ´ roku za u ´ rokovac´ ı obdob´ ı pak ze vztahu u = U C. U D = 360 p UD ˇ a´ metoda 8.1.2 Zpetn

Jestliˇze jsou vedeny bˇeˇzné u ´ˇcty zpˇetnou metodou, mus´ıme si nejprve zvolit ´ v´ ychoz´ı datum (poˇcáteˇcn´ı datum). Urokov´ a ˇc´ısla se pak poˇc´ıtaj´ı z kaˇzdé zmˇeny (z hodnoty vkladu nebo v´ ybˇeru) a to od v´ ychoz´ıho data do doby ´ zmˇeny. Uroková ˇc´ısla pˇri zv´ yˇsen´ı stavu kapitálu (vkladu) na bˇeˇzném u ´ˇctu budeme oznaˇcovat záporn´ ymi znaménky a u ´roková ˇc´ısla pˇri sn´ıˇzen´ı kapitálu (v´ ybˇeru) pak znaménky kladn´ ymi. Na závˇer vypoˇc´ıtáme u ´rokové ˇc´ıslo z koneˇcného z˚ ustatku od v´ ychoz´ıho dat do konce u ´rokovac´ıho obdob´ı (v u ´vahu bereme u ´roková ˇc´ısla jak se záporn´ ymi tak i kladn´ ymi znaménky). Stejnˇe jako u z˚ ustatkové metody souˇcet u ´rokov´ ych ˇc´ısel na konci u ´rokovac´ıho obdob´ı vydˇel´ıme u ´rokovac´ım dˇelitelem a vypoˇc´ıtan´ y u ´rok pˇripoˇc´ıtáme k z˚ ustatku bˇeˇzného u ´ˇctu. Pro ilustraci pouˇzijeme pˇr´ıkladu 8.1 jako v pˇredcházej´ıc´ı metodˇe.

97

ˇ zne´ u´ cty ˇ 8. Beˇ

Den

Pohyb na u ´ˇ ctu

1.1.

Z˚ ustatek

12.4.

Vklad

15.7.

V´ ybˇer

14.10.

Vklad

31.12.

Z˚ ustatek

M´ a d´ ati

Dal

2 000 1 500 4 000

Z˚ ustatek

Poˇ cet dn´ı

5 000

0

7 000

102

5 500

195

9 500

284

9 500

360

´ Urokov´ e ˇ c´ıslo −2 040 2 925

−11 360 34 200 23 725

31.12.

´ Urok

164,7569

1.1.

Z˚ ustatek

9 664,7569

8.1.3 Postupna´ metoda Postupn´ y zp˚ usob v´ ypoˇctu u ´roku pˇri bˇeˇzném u ´ˇctu spoˇc´ıvá v tom, ˇze u ´rokové ´ ˇc´ıslo vypoˇc´ıtáme od data kaˇzdé zmˇeny aˇz do konce roku. Urokové ˇc´ıslo pˇri vkladu oznaˇc´ıme nyn´ı kladn´ ym znaménkem a u ´rokové ˇc´ıslo pˇri v´ ybˇeru pak záporn´ ym znaménkem. Stejnˇe jako v pˇredcházej´ıc´ıch metodách takto vzniklá u ´roková ˇc´ısla za celé u ´rokovac´ı obdob´ı seˇcteme a vydˇel´ıme u ´rokov´ ym dˇelitelem. T´ım opˇet z´ıskáme u ´rok, kter´ y pˇripoˇc´ıtáme ke koneˇcnému stavu bˇeˇzného u ´ˇctu. Pro ilustraci opˇet pouˇzijeme stejn´ y pˇr´ıklad. Dal

Z˚ ustatek

Poˇ cet dn´ı

´ Urokov´ e ˇ c´ıslo

Z˚ ustatek

5 000

5 000

360

18 000

12.4.

Vklad

2 000

7 000

258

5 160

15.7.

V´ ybˇer

5 500

165

14.10.

Vklad

9 500

76

−2 475

Den

Pohyb na u ´ˇ ctu

1.1.

M´ a d´ ati

1 500 4 000

3 040

23 725 31.12.

´ Urok

164,7569

1.1.

Z˚ ustatek

9 664,7569

Z uveden´ ych metod vid´ıme, ˇze pˇri v´ ypoˇctu u ´roku u bˇeˇzn´ ych u ´ˇct˚ u obdrˇz´ıme stejné v´ ysledky. Je tedy naprosto jedno, kterou metodu pˇri v´ ypoˇctu pouˇzijeme.

´ ˇ Otazky k zamyslen´ ı 1. Kaˇ zd´ y student si pˇriprav´ı ukázkové ˇreˇsen´ı vˇsemi metodami hypotetické

u ´lohy s nejménˇe 10 od sebe r˚ uzn´ ymi u ´ˇctovan´ ymi poloˇzkami (vklady) klient˚ u a s r˚ uzn´ ymi intervaly jednotliv´ ych vklad˚ u.

98

´ cen´ ˇ ı kontokorentn´ıch uv ˇ u˚ Uro ´ er

9

ˇ Kontokorentn´ı uv ´ ery

ˇ 9. Kontokorentn´ı uv ´ ery

C´ıl kapitoly Zde si vysvˇetl´ıme smysl dnes nejuˇz´ıvanˇejˇs´ıho zp˚ usobu krátkodob´ ych bankovn´ıch u ´vˇer˚ u a pochopen´ı jejich u ´roˇcen´ı na základˇe ˇreˇsen´ı hypotetick´ ych pˇr´ıklad˚ u.


Kontokorentn´ı u ´vˇery dnes pˇredstavuj´ı jeden z nejv´ yznamnˇejˇs´ıch krátkodob´ ych bankovn´ıch u ´vˇer˚ u, které maj´ı velmi ˇsiroké pouˇzit´ı nejen u podnikatel˚ u, ale zvláˇstˇe u klient˚ u, kteˇr´ı potˇrebuj´ı finanˇcn´ı prostˇredky v krátkodobém ˇcasovém horizontu. Smysl kontokorentn´ıho u ´vˇeru spoˇc´ıvá v tom, ˇze umoˇzn ˇuje klientovi pˇrecházet na svém bˇeˇzném (kontokorentn´ım) u ´ˇctu do debetu (do záporn´ ych hodnot). Z toho vypl´ yvá, ˇze klient m˚ uˇze ˇcerpat u ´vˇer pokud jej bude potˇrebovat ze svého bˇeˇzného u ´ˇctu kdy na nˇem nemá dostateˇcné finanˇcn´ı prostˇredky. Maximáln´ı v´ yˇse tohoto u ´vˇeru je daná dohodnut´ ym rámcem, kter´ y udává maximáln´ı v´ yˇsi záporného z˚ ustatku na tomto u ´ˇctu. Finanˇcn´ı u ´stav umoˇzn ˇuje klient˚ um krátkodobˇe i pˇrekroˇcen´ı této maximáln´ı v´ yˇse, coˇz b´ yvá spojeno s dodateˇcn´ ymi u ´rokov´ ymi náklady (tzv. sankˇcn´ımi). Finanˇcn´ı u ´stav poskytuje kontokorentn´ı u ´vˇer na základˇe smlouvy uzavˇrené s klientem. Tato smlouva vycház´ı z platného obchodn´ıho zákona a souˇca´st´ı v této smlouvˇe jsou i obecné podm´ınky pro poskytován´ı u ´vˇeru. Náleˇzitosti této smlouvy jsou zejména obecnˇ e platn´ e podm´ınky, dohodnut´ y u ´vˇ erov´ y r´ amec, splatnost u ´vˇ eru, podm´ınky pˇ ri pˇ rekroˇ cen´ı u ´vˇ erov´ eho r´ amce, v´ yˇ se a zp˚ usob urˇ cen´ı u ´rokov´ e sazby, zajiˇ stˇ en´ı.

9.1

´ cen´ ˇ ı kontokorentn´ıch uv ˇ u˚ Uro ´ er

S kontokorentn´ım u ´vˇerem jsou spojeny urˇcité náklady klienta, které se skládaj´ı zu ´rok˚ u za ˇ cerp´ an´ı u ´vˇ eru, z n´ aklad˚ u, kter´ e souvisej´ı s veden´ım u ´ˇ ctu, z n´ aklad˚ u na prov´ adˇ en´ e platby atd. Tyto náklady mohou v sobˇe zahrnovat pˇr´ımo ˇci nepˇr´ımo poloˇzky, které ovlivˇ nuj´ı náklady klienta u kontokorentn´ıho u ´ˇctu podle dohodnuté smlouvy mezi n´ım a finanˇcn´ım u ´stavem. Jestliˇze podrobnˇeji rozebereme klientovy náklady lze je rozˇclenit na tyto poloˇzky: a) Debetn´ı u ´roky – tyto u ´roky plat´ı klient ze skuteˇcné v´ yˇse ˇcerpán´ı u ´vˇeru v rozsahu sjednaného u ´vˇerového rámce. Jejich v´ ypoˇcet je shodn´ y s v´ ypoˇctem, kter´ y byl naznaˇcen´ y u bˇeˇzn´ ych u ´ˇct˚ u.

100

stav u ´ˇ ctu

kreditn´ı

8 000 6 000 4 000 2 000 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

debetn´ı

−2 000 −4 000 −6 000 −8 000

Doba v mˇes´ıc´ıch

Obrázek 9.1: Graf kontokorentn´ıho u ´vˇeru b) Pohotovostn´ı provize – pokr´ yvá náklady finanˇcn´ıho u ´stavu, které mu vzniknou v d˚ usledku pˇriznaného, ale neˇcerpaného u ´vˇeru. Tyto náklady vznikaj´ı proto, ˇze tyto finanˇcn´ı prostˇredky mus´ı banka (finanˇcn´ı u ´stav) drˇzet, nebot’ klient má právo tento smluvnˇe dohodnut´ yu ´vˇer kdykoliv ˇcerpat. Je to z toho d˚ uvodu, ˇze z této finanˇcn´ı hotovosti má finanˇcn´ı u ´stav niˇzˇs´ı v´ ynos, nebot’ klient plat´ı u ´roky pouze ze skuteˇcnˇe ˇcerpaného u ´vˇeru. Tato pohotovostn´ı provize m˚ uˇze m´ıt r˚ uzné podoby: • provize z u ´vˇ erov´ eho r´ amce – tato provize je urˇcována v procentech p. a. z celkového vyuˇzitého sjednaného u ´vˇerového rámce. V´ yˇse této provize za dané obdob´ı je vˇsak nezávislá na skuteˇcné v´ yˇsi ˇcerpaného u ´vˇeru. Potom U C U rd =

Ur · d , 100

kde U C U rd – u ´rokové ˇc´ıslo z celkového sjednaného u ´rokového rámce, U r – sjednan´ yu ´rokov´ y rámec, d – poˇcet dn´ı. V´ yˇsi provize (´ uroku) pak obdrˇz´ıme, jestliˇze dˇel´ıme toto u ´rokové ˇc´ıslo u ´rokov´ ym dˇelitelem. • provize z neˇ cerpan´ eho u ´vˇ erov´ eho r´ amce – je vˇetˇsinou urˇcována v procentech p. a. z té ˇcásti u ´vˇerového rámce, která nen´ı skuteˇcnˇe ˇcerpána klientem. Tento neˇcerpan´ y u ´vˇerov´ y rámec je dán rozd´ılem mezi pˇriznan´ ym (smluvnˇe dohodnut´ ym) a skuteˇcnˇe ˇcerpan´ ym u ´vˇerem v daném obdob´ı . Neˇcerpan´ yu ´vˇerov´ y rámec lze

101


vypoˇc´ıtat N Ur =

d X

N Uk =

d X k=1

k=1

(U rk − Uk ) = d · Ur −

d X

Uk .

k=1

Potom u ´rokové ˇc´ıslo z neˇcerpaného u ´vˇerového rámce, pokud tento u ´vˇerov´ y rámec nepˇrekroˇc´ıme, m˚ uˇzeme vypoˇc´ıtat

U CN Ur =

d P

N Uk

k=1

100

=

d P

(U rk − Uk )

k=1

100

=

d · Ur −

d P

k=1

100

Uk ,

kde N U rk – neˇcerpan´ yu ´vˇerov´ y rámec, U rk – pˇriznan´ yu ´vˇerov´ y rámec, Uk – skuteˇcnˇe ˇcerpan´ yu ´vˇer, U CN U r – u ´rokové ˇc´ıslo neˇcerpaného u ´vˇerového rámce. ´ Urok pak vypoˇc´ıtáme pokud hodnotu U CN U r vydˇel´ıme u ´rokov´ ym dˇelitelem. Jestliˇze bude pˇrekroˇcen u ´vˇerov´ y rámec, potom od souˇctu u ´rokov´ ych ˇc´ısel z debetn´ıch z˚ ustatk˚ u mus´ıme odeˇc´ıst souˇcet u ´rokov´ ych ˇc´ısel, které vypoˇc´ıtáme z poˇctu dn´ı ve kter´ ych byl tento u ´vˇerov´ y rámec pˇrekroˇcen. Absolutn´ı v´ yˇsi pohotovostn´ı provize z´ıskáme, jestliˇze souˇcet u ´rokov´ ych ˇc´ısel vydˇel´ıme pˇr´ısluˇsn´ ym u ´rokov´ ym dˇelitelem. • provize za pˇ rekroˇ cen´ı u ´vˇ erov´ eho r´ amce – je urˇcována jako pˇriráˇzka k debetn´ı u ´rokové sazbˇe, kterou je u ´roˇcená ˇcást u ´vˇeru pˇri pˇrekroˇcen´ı u ´vˇerového rámce, a to po dobu (poˇcet dn´ı) jeho pˇrekroˇcen´ı. Provize je stanovena v procentech roˇcn´ı u ´rokové sazby nebo i denn´ı u ´rokové sazby. Jde vˇzdy o smluvn´ı vztah mezi penˇeˇzn´ım u ´stavem a klientem. Souˇcet u ´rokov´ ych ˇc´ısel z ˇcástky, která pˇresahuje u ´vˇerov´ y rámec, m˚ uˇzeme vyjádˇrit následuj´ıc´ım vztahem

U Cpr =

d P

(Uk − Ur )

k=1

100

pro vˇsechny hodnoty Uk > Ur . V´ yˇsi provize vypoˇc´ıtáme stejnˇe jako u pˇredcházej´ıc´ıch t´ım, ˇze v´ yslednou hodnotu dˇel´ıme u ´rokov´ ym dˇelitelem. Pˇr´ıklad 9.1.

U kontokorentn´ıho u ´vˇeru by smluvnˇe dohodnut u ´vˇerov´ y rámec ve v´ yˇsi 40 000 Kˇc. Kreditn´ı z˚ ustatky jsou u ´roˇceny 3 % p. a. a debetn´ı z˚ ustatky pak 16 % p. a. Banka na základˇe dohody dovoluje krátkodobé pˇrekroˇcen´ı tohoto u ´vˇerového rámce a u ´ˇctuje si u ´rokovou pˇriráˇzku 5 % p. a. k debetn´ımu u ´roku. Banka si dále u ´ˇctuje provizi z nevyuˇzitého u ´vˇerového rámce 0,4 % p. a. Udˇelejme

102

uzávˇerku tohoto u ´ˇctu na základˇe uvedené tabulky (ostatn´ı provize a zdanˇen´ı u ´roku nebudeme uvaˇzovat). Den

Pˇ r´ıjmy na u ´ˇ cet

30.6. 16.7. 1.9. 15.10. 20.11. 10.12.

V´ ydaje z u ´ˇ ctu

Z˚ ustatek

15 000 9 000

−15 000 −24 000 −19 000 −44 000 −14 000 6 000

5 000 25 000 30 000 20 000

31.12.

6 000

ˇ sen´ ˇ ı. K ˇreˇsen´ı t´ Re eto u ´lohy sestav´ıme pˇrehledné tabulky a pozdˇeji provedeme

v´ ypoˇcet pomoc´ı u ´rokov´ ych ˇc´ısel a u ´rokového dˇelitele. Poˇ cet dn´ı

Z˚ ustatek Nevyuˇ zit´ y r´ amec kreditn´ı debetn´ı

16 47 44 36 20 21 Poˇ cet dn´ı 16 47 44 36 20 11 P

5 000

15 000 24 000 19 000 44 000 14 000

6 000

25 000 16 000 21 000 4 000 26 000 40 000

´ Urokov´ aˇ c´ısla kreditn´ı debetn´ı z pˇrekroˇceného r´ amce 2 400 11 280 8 360 15 840 2 800 40 680

z nevyuˇzitého r´ amce 4 000 7 520 9 240

1 440 5 200 4 400

1 260 1 260

Pˇ rekroˇ cen´ y r´ amec

1 440

30 360

Debetn´ı v´ yˇ se u ´roku ud =

40 680 · 16 = 1 808 Kˇc. 360

Kreditn´ı u ´rok ukr =

1 260 · 3 = 10,50 Kˇc. 360

´ Urok za pˇ rekroˇ cen´ı r´ amce upr =

1 440 · 5 = 20,00 Kˇc. 360

´ Urok za nevyuˇ zit´ y r´ amec 30 360 · 0,4 = 33,733 Kˇc. unr = 360

103


Banka bude za dané obdob´ı klientovi u ´ˇctovat u ´rokov´ e n´ aklady a provize: 1 808,00 + 20,00 + 33,733 = 1 861,733 Kˇc, u ´rokov´ e v´ ynosy: 10,50 Kˇc, ˇ cist´ e n´ aklady na klienta budou: 1 861,733 − 10,50 = 1 851,233 Kˇc. Koneˇ cn´ y z˚ ustatek na u ´ˇ ctu bude: 6 000 − 1 851,233 = 4 148,767 Kˇc

´ ˇ Otazky k zamyslen´ ı 1. Vypracovat uk´ azkové ˇreˇsen´ı vˇsemi metodami hypotetické u ´lohy s nej-

ménˇe 10 od sebe r˚ uzn´ ymi u ´ˇctovan´ ymi poloˇzkami (vklady a v´ ybˇery) klient˚ u a s r˚ uzn´ ymi intervaly jednotliv´ ych vklad˚ u a v´ ybˇer˚ u. Vypoˇc´ıtat vˇsechny hodnoty uvedené v této kapitole (provize z u ´vˇerového rámce, provize z neˇcerpaného u ´vˇerového rámce, provize za pˇrekroˇcen´ı u ´vˇerového rámce).

104

Hmotna´ aktiva ˇ ı aktiva Financn´ Akcie

10

Aktiva

10. Aktiva

C´ıl kapitoly Vzhledem k tomu, ˇze se tˇemito základn´ımi pojmy bude zaob´ırat kurz Fi” nanˇcn´ı trhy“ je v této ˇcásti vˇenována pouze okrajová pozornost s t´ım, aby studenti pochopili v´ yznam aktiv pro jejich obchodován´ı na r˚ uzn´ ych aukc´ıch a dovedli je zaˇclenit do forem z´ıskáván´ı kapitálu a jeho dalˇs´ıho zhodnocován´ı. Cviˇcen´ı k této kapitole nen´ı bezprostˇrednˇe nutné. Podrobnˇeji se touto problematiku zab´ yvá také kurz Teorie portfolia“. ” Jelikoˇz o této problematice pojednává kurz Finanˇcn´ı trhy“ daleko podrob” nˇeji, jsou v této kapitole uvedeny pouze ty nejzákladnˇejˇs´ı pojmy potˇrebné pro pochopen´ı navazuj´ıc´ıch kurz˚ u v kombinovaném studiu a celoˇzivotn´ım vzdˇeláván´ı. Nejsou zde uvedeny pojmy jako odhady v´ ynosnost´ı akci´ı, riziko zmˇeny v´ ynosnosti akci´ı v ˇcase atd. Proto c´ılem této kapitoly je seznámit se velmi struˇcnˇe pouze se stanoven´ım kurzu akcie nebot’ dalˇs´ı podrobnosti budou probrány v jin´ ych budouc´ıch kurzech na této fakultˇe.

ˇ ´ eˇ ˇz Casov a´ zat Prostudován´ı a pochopen´ı vztah˚ u této kapitoly vyˇzaduje 6 hod. Jelikoˇz pˇredmˇetem finanˇcn´ı matematiky jsou i aktiva, udˇeláme si struˇcn´ y pˇrehled základn´ıch typ˚ u aktiv a ukáˇzeme si, jak´ ym zp˚ usobem m˚ uˇzeme vypoˇc´ıtat jejich souˇcasné hodnoty a z nich v budoucnu plynouc´ı pˇr´ıjmy. Aktivum je cokoliv, co je pˇredmˇetem vlastnictv´ı, napˇr´ıklad cenn´ e pap´ıry (akcie, obligace, pod´ılové listy), nemovitosti (obytné a kanceláˇrské budovy, v´ yrobn´ı objekty, pozemky), movit´ y majetek (automobily, zásoby materiálu a surovin). Investice je aktivum, které pˇrináˇs´ı svému majiteli tok d˚ uchod˚ u. Tento tok d˚ uchod˚ u m˚ uˇze b´ yt i záporn´ y. ˇ Clenˇ en´ı aktiv: hmotn´ a – movitosti (zboˇz´ı na skladˇe, automobil, zásoby surovin a polotovar˚ u, stroje a zaˇr´ızen´ı atd.) nehmotn´ a – know-how, software atd. finanˇ cn´ı – pen´ıze v hotovosti a na u ´ˇctech, nakoupené cenné pap´ıry smˇenky, dluhopisy atd. Nyn´ı si podrobnˇeji probereme jednotlivé druhy aktiv a s nˇekter´ ymi se podrobnˇeji seznám´ıme z pohledu finanˇcn´ı matematiky.

10.1

Hmotna´ aktiva

Hmotn´ ymi aktivy se nebudeme zaob´ırat. Tento typ majetku se vˇsak ˇcasto pouˇz´ıvá za spekulaˇcn´ımi u ´ˇcely (oˇcekávan´ y r˚ ust jeho ceny v budoucnu, v´ ynosy z´ıskané jeho pronájmem, oˇcekávané zv´ yˇsen´ı cen staroˇzitnost´ı atd.) a také za u ´ˇcelem zajiˇstˇen´ı (ochrana pˇred inflac´ı, zástava za u ´vˇer).

106

a) Movity´ majetek

sb´ırkov´ e pˇ redmˇ ety – vˇetˇsinou jde o historické pˇredmˇety se znaˇcnou historickou nebo umˇeleckou cenou, r˚ uzné sb´ırky (známky, mince, ˇsperky, knihy atd.) zv´ıˇ rata – dr˚ ubeˇz, dobytek, dostihov´ı konˇe a chrti, chov exotick´ ych zv´ıˇrat atd. stroje a zaˇ r´ızen´ı budov – soustruhy, frézy, zaˇr´ızen´ı pro truhláˇrskou v´ yrobu, zaˇr´ızen´ı obchodu nebo v´ yrobny atd. b) Nemovity´ majetek

obytn´ e budovy – hlavn´ım zdrojem zisku je pˇr´ıjem z prodeje nemovitosti. Dalˇs´ım zdrojem d˚ uchod˚ u jsou nájmy, které jsou vˇsak nev´ yhodné, nebot’ legislativou je omezená moˇznost volnˇe s touto nemovitost´ı disponovat (vystˇehovat nájemn´ıky) a libovolnˇe zvyˇsovat nájem. Obecnˇe plat´ı, ˇze nákup obytn´ ych budov pˇrináˇs´ı mal´ y v´ ynos. kancel´ aˇ rsk´ e budovy – nejv´ ynosnˇejˇs´ı typ podnikán´ı (pronájem kanceláˇrsk´ ych budov nebo m´ıstnost´ı) v oblasti nemovitost´ı. v´ yrobn´ı budovy – pronájem nemovitost´ı je typick´ ym pˇr´ıkladem hlavnˇe pro skladovac´ı prostory. pozemky – vlastnictv´ı lesn´ı a zemˇedˇelské p˚ udy je obvykle velmi málo v´ ynosné. V´ yjimku tvoˇr´ı ta p˚ uda, která byla vyjmuta z p˚ udn´ıho fondu a má slouˇzit pro v´ ystavbu nemovitost´ı. S vlastnictv´ı takovéto p˚ udy se velmi ˇcasto spekuluje pro z´ıskán´ı znaˇcného zisku z prodeje, zvláˇstˇe ve velmi lukrativn´ıch oblastech nebo m´ıstech.

10.2

ˇ ı aktiva Financn´

Finanˇcn´ı aktiva maj´ı v praxi nezastupitelné m´ısto a dominantn´ı postaven´ı. Tato finanˇcn´ı aktiva jeˇstˇe dˇel´ıme na: a) Hotovost a depozita

hotovost – udrˇzovat vˇetˇs´ı objem hotovostn´ıch prostˇredk˚ u v portfoliu nen´ı ekonomické a ani obvyklé depozita – nˇekteré fondy kolektivn´ıho investován´ı mus´ı m´ yt dostatek dostupn´ ych prostˇredk˚ u na bˇeˇzn´ ych nebo term´ınov´ ych u ´ˇctech pro zajiˇstˇen´ı likvidity aktiv ve svém portfoliu (pˇr´ıklad: otevˇrené pod´ılové fondy). b) Cenne´ pap´ıry

a) majetkov´ e – majiteli cenného pap´ıru dávaj´ı právo na pod´ıl z majetku a na jeho správˇe. akcie – je cenn´ y pap´ır, kter´ ym emitent (firma, spoleˇcnost, finanˇcn´ı u ´stav atd.) umoˇzn ˇuje (osvˇedˇcuje) akcionáˇri: • právo spolupod´ılet se na ˇr´ızen´ı spoleˇcnosti • právo pod´ılet se na zisku spoleˇcnosti vˇetˇsinou formou dividend • právo pod´ılet se na likvidaˇcn´ı kvótˇe z majetku spoleˇcnosti

107

10. Aktiva

druhy akci´ı • kmenové – jedná se o standardn´ı akcie emitované pro z´ıskán´ı nebo zv´ yˇsen´ı základn´ıho kapitálu • prioritn´ı – zajiˇst’uj´ı v´ yplatu drˇziteli akci´ı v podobˇe pevnˇe dan´ ych dividend • u ´rokové – vynáˇsej´ı majiteli pevn´ yu ´rok nebo i pod´ıl na zisku u ´ˇ cast – jde o cenn´ y pap´ır, kter´ y majiteli potvrzuje právo pod´ılet se na vytvoˇreném zisku a na likvidaˇcn´ım z˚ ustatku spoleˇcnosti nebo firmy. Proti akcii zde chyb´ı právo pod´ılet se na rozhodován´ı spoleˇcnosti. Tyto akci emituj´ı vˇetˇsinou firmy nebo spoleˇcnosti, kter´ ym zákon neumoˇzn ˇuje emitovat akcie. pod´ılov´ e listy – jde o cenn´ y pap´ır, kter´ y zajiˇst’uje majiteli pod´ıl v instituci kolektivn´ıho investován´ı. Tento typ cenného pap´ıru je sv´ ym chaˇ jednotlivé investiˇcn´ı spoleˇcnosti rakterem velmi bl´ızk´ y u ´ˇcasti. V CR vytváˇrej´ı pod´ılové fondy a pod´ılové listy tˇechto fond˚ u pak opravˇ nuj´ı majitele pob´ırat pod´ıl na majetku v tomto fondu. b) Dluhov´ e cenn´ e pap´ıry smˇ enka – je listina, která obsahuje zákonem vymezené náleˇzitosti a jej´ımu majiteli z n´ı vypl´ yvá právo na zaplacen´ı penˇeˇzn´ı pohledávky, která je na smˇence uvedena. Tuto ˇcástku mus´ı vystavovatel této smˇenky zaplatit tomu, kdo na tuto listinu napsal sv˚ uj závazek a podepsal jej. splatn´ e cenn´ e pap´ıry a kup´ ony – jedná se o splatné kupóny akci´ı a dluhopis˚ u, nebot’ se obchoduje i s dluhopisy, které dosp´ıvaj´ı bˇehem jednoho roku. obligace (dluhopis, bond) – je cenn´ y pap´ır, na nˇemˇz se vystavovatel zavazuje jeho majiteli vyplatit dluˇznou nomináln´ı ˇcástku a vyplácet v´ ynosy tohoto cenného pap´ıru k urˇcitému, na daném CP uvedenému, datu. Obligace emituj´ı: • st´ at – státn´ı obligace (dluhopisy) • pr˚ umyslov´ e podniky – pr˚ umyslové (podnikové) obligace • banky – bankovn´ı obligace • org´ any st´ atn´ı spr´ avy – regionáln´ı, m´ıstn´ı nebo mˇestské obligace Druhy obligac´ı: • ziskov´ e – majitel obligace má právo pob´ırat i ˇcást zisku z emitentovy firmy. • diskontovan´ e – z tˇechto obligac´ı se nevyplác´ı u ´rok, ale prodávaj´ı se za menˇs´ı hodnotu nˇeˇz nomináln´ı (face value) • pr´ emiov´ e – tyto obligace vˇetˇsinou maj´ı menˇs´ı u ´rokovou sazbu, ale za urˇcit´ y poˇcet let, pevnˇe dan´ y, se vyplác´ı prémie • indexovan´ e – velikost u ´roku tˇechto obligac´ı závis´ı na velikosti inflace (velikost inflace je vˇetˇsinou mˇeˇrena indexem spotˇrebitelsk´ ych cen) • prioritn´ı – pˇri likvidaci firmy dávaj´ı majiteli pˇrednostn´ı právo na vyplacen´ı této obligace (pˇrednostn´ı vypoˇrádán´ı).

108

z´ astavn´ı listy (hypoteˇ cn´ı listy) – je to obligace, u které je splacen´ı závazk˚ u emitenta zabezpeˇceno hypotekárnˇe jiˇstˇen´ ymi pohledávkami. Pˇr´ıpadn´ y emitent˚ uv vˇeˇritel má pˇri nesolventnosti emitenta moˇznost z´ıskat pohledávky prodejem nemovitosti emitenta. st´ atn´ı dluhopisy – dlouhodobˇejˇs´ı cenn´ y pap´ır, jejichˇz emitován´ım si organizace (firma, banka, stát) m˚ uˇze opatˇrit potˇrebn´ y kapitál. Základn´ı dˇelen´ı obligac´ı je na obligace s nulov´ ym kupónem (zero-coupon bonds, pure-discount bonds) a kupónové obligace (coupon bonds). Kupónové obligace nepˇrináˇsej´ı u ´rok a jsou emitovány s diskontem. Této diskont je souˇcást´ı nomináln´ı hodnoty obligace, která mus´ı b´ yt proplacena majiteli obligace k pˇredem stanovenému datu. Obvyklejˇs´ı jsou vˇsak ´ kupónové obligace, které pˇrináˇsej´ı u ´rok. Urok je vyplácen ve formˇe pravideln´ ych kupónov´ ych plateb, jejichˇz v´ yplata je pˇredem stanovena a je udávaná ve formˇe procent z nomináln´ı hodnoty obligace, tak zvaná kupónová sazba. vkladov´ e listy (depozitn´ı certifik´ aty) – je krátkodob´ y obchodovateln´ y z´ uroˇciteln´ y cenn´ y pap´ır, kter´ y vydávaj´ı banky v´ ymˇenou za term´ınované vklady. Doba splatnosti se pohybuje od jednoho do nˇekolika mˇes´ıc˚ u, i kdyˇz nˇekdy se také emituj´ı stˇrednˇedobé depozitn´ı certifikáty s dobou splatnosti vˇetˇs´ı neˇz jeden rok. Prodej depozitn´ıch certifikát˚ u je vˇetˇsinou zaloˇzen na diskontn´ım principu. ˇ pokladniˇ cn´ı pouk´ azky CNB – je cenn´ y pap´ır, kter´ y slouˇz´ı ke kryt´ı deficitu státn´ıho rozpoˇctu. Dávaj´ı jej do obˇehu ministerstva financ´ı. Ve srovnán´ı s jin´ ymi cenn´ ymi pap´ıry maj´ı nejvˇetˇs´ı likviditu. Kalkulace zisku spojeného s koup´ı poukázky je témˇeˇr bez rizika, nebot’ je zde státn´ı garance a vzhledem ke krátké dobˇe splatnosti se redukuje i vliv inflace a zmˇen u ´rokov´ ych sazeb. c) N´ arokov´ e cenn´ e pap´ıry pojistn´ a smlouva – je smlouva uzavˇrená mezi subjekty, kdy jeden subjekt je oprávnˇen poˇzadovat plnˇen´ı od jiného subjektu, jestliˇze nastane smlouvou konkrétnˇe specifikovaná událost (napˇr. smlouva na sm´ıˇsené pojiˇstˇen´ı, dovrˇsen´ı urˇcitého vˇeku atd.). term´ınov´ e kontrakty – (nˇekteˇr´ı autoˇri povaˇzuj´ı tyto smlouvy za cenné pap´ıry, kdeˇzto jin´ı je chápou jako typ uzavˇreného obchodu). Jedná se pˇredevˇs´ım o term´ınové kontrakty typu: • forward – vzniká na základˇe domluvy mezi u ´ˇcastn´ıky obchodu o mnoˇzstv´ı, cenˇe, druhu zboˇz´ı a na term´ınu dodán´ı tohoto zboˇz´ı. Tento druh je uvádˇen proto, ˇze mnoho portfoli´ı je svázáno term´ınov´ ymi smlouvami, které chrán´ı portfolio pˇred nepˇredv´ıdan´ ymi událostmi (napˇr. zmˇena mˇenového kurzu). • futures – vysoce standardizovan´ y forward, coˇz umoˇzn ˇuje jeho obˇ chodován´ı na specializovan´ ych burzách. Casto se ˇr´ıká, ˇze futurem je forward obchodovan´ y na burze. • Option (ˇcesky: opce) – term´ınová transakce, pˇri n´ıˇz z´ıskává drˇzitel (majitel) opce právo koupit urˇcité zboˇz´ı ve vymezeném term´ınu od emitenta opce (kupn´ı opce-call options). Emitent opce má po-

109

10. Aktiva

vinnost dodat zboˇz´ı, pokud drˇzitel kupn´ı opce má o toto zboˇz´ı zájem, nebo prodat urˇcité zboˇz´ı ve vymezeném term´ınu emitentovi opce (prodejn´ı opce-put options). Znamená to, ˇze emitent opce má povinnost odkoupit toto zboˇz´ı, pokud drˇzitel opce bude m´ıt o tento prodej zájem. Opce m˚ uˇzeme jeˇstˇe rozdˇelit podle ˇcasu plnˇen´ı a to na: americkou opci, kdy majitel sm´ı poˇzadovat plnˇen´ı kdykoliv pˇred vyprˇsen´ım term´ınu opce, nebo evropská opce, kdy majitel sm´ı poˇzadovat plnˇen´ı po vyprˇsen´ı term´ınu opce.

10.3

Akcie

Bˇeˇznˇe pˇri zkoumán´ı akci´ı pˇristupujeme dvˇema zp˚ usoby. Bud’ pomoc´ı fundamentáln´ı anal´ yzy, nebo technické anal´ yzy. Budeme se zab´ yvat pouze fundamentáln´ı anal´ yzou (fundamentáln´ım analytick´ ym modelem). Tato anal´ yza je zaloˇzena na rozboru budouc´ıch v´ ysledk˚ u spoleˇcnost´ı (napˇr. trˇzeb, v´ ynos˚ u, náklad˚ u, dividend atd.). Tyto anal´ yzy jsou podkladem pro hodnocen´ı akci´ı, jako je zjiˇst’ován´ı ceny a v´ ynosnosti akcie. Akcie jsou vedle své funkce dokladu o kapitálovém pod´ılu také pˇredmˇetem burzovn´ıch obchod˚ u. Jejich obchodn´ı hodnota závis´ı na nab´ıdce a poptávce a je vyjadˇrována jako kurz akcie. Proti stálé nomináln´ı hodnotˇe je kurzovn´ı hodnota akcie promˇ enliv´ a. Nab´ıdka i poptávka po akci´ıch jsou ovlivˇ novány nejen faktory, které souvisej´ı s jejich v´ ynosnost´ı a v´ ykonnost´ı akciové spoleˇcnosti, ale také nejr˚ uznˇejˇs´ımi událostmi v národn´ı a mezinárodn´ı ekonomice i politice. Ke stanoven´ı teoretické ceny akcie pouˇz´ıváme nám jiˇz znám´ y v´ yraz v´ ypoˇctu poˇcáteˇcn´ı hodnoty kapitálu. T X pˇr´ıjem PV = . (1 + i)t t=1

Jestliˇze m´ısto pˇr´ıjmu dosad´ıme v´ yˇsi dividendy na akcii d a za pˇredpokladu, ˇze dividenda bude vyplácená kaˇzd´ y rok (m˚ uˇzeme poˇc´ıtat i pro t → ∞), obdrˇz´ıme tak zvan´ y dividendov´ y model (dividend model, dividend discount model), kter´ y nám bude urˇcitˇe pˇripom´ınat v´ yraz pro v´ ypoˇcet vˇeˇcného d˚ uchodu, nebot’ dividenda nám pˇredstavuje v´ yplatu d˚ uchodu (dividendy o stejné v´ yˇsi) v kaˇzdém roce. Teoretická cena akcie pak bude P =

∞ X t=1

d1 d3 d∞ d2 dt = + + ··· + . + t 2 3 (1 + i) 1 + i (1 + i) (1 + i) (1 + i)∞

V tomto pˇr´ıpadˇe budou v´ yplaty jednotliv´ ych dividend r˚ uzné podle hospodáˇrsk´ ych v´ ysledk˚ u spoleˇcnosti. Pokud budou dividendy v jednotliv´ ych létech stejné, coˇz znamená, ˇze d0 = d1 = d2 = · · · = d∞ , potom se dan´ y v´ yraz redukuje na tvar d0 P = . i

110

a Opˇet si vzpomeˇ nme na vˇeˇcn´ y d˚ uchod, kde D = , a byla v´ yˇse vypláceného i d˚ uchodu a v naˇsem pˇr´ıpadˇe je t´ımto d˚ uchodem vyplácená dividenda d0 . Jestliˇze bude dividenda vyplácená v´ıcekrát za rok, potom uveden´ y v´ yraz p i d0 = , kde m (kurz akcie) bude vyjádˇren ve tvaru P = , kde r = r 100 · m m je poˇcet (frekvence) v´ yplat dividend za rok a m > 1. Pokud se bude pravidelnˇe zvyˇsovat hodnota dividendy o konstantn´ı hodnotu k (rychlost nebo tempo r˚ ustu vyplácen´ ych dividend), potom dan´ y v´ yraz bude udávat cenu akcie ve tvaru: P =

d0 · k , r−k+1

k=

dt+1 , dt

0 ≤ k ≤ 1,

t = 1, 2, 3, . . . ,

p i = . 110 · m m V naˇsich pˇr´ıpadech jsme pˇredpokládali, ˇze akcie bude poskytovat nekoneˇcn´ y poˇcet dividendov´ ych pˇr´ıjm˚ u. Vˇetˇsina investor˚ u vˇsak posuzuje investici–akcii z kratˇs´ıho ˇcasového horizontu, kter´ y oznaˇc´ıme p´ısmenem T . Zároveˇ n kromˇe dividendového pˇr´ıjmu oˇcekává i kapitálov´ y zisk z prodeje této akcie za cenu PT . Tuto cenu akcie naz´ yváme téˇz trˇzn´ı cenou, která je dána nab´ıdkou a poptávkou po této akcii. Proto pro v´ ypoˇcet vol´ıme vhodnˇejˇs´ı v´ yraz z ˇcasovˇe omezené doby kde r =

P =

T X t=1

dt PT d1 d3 dt + PT d2 + = + + ··· + . + t T 2 3 (1 + i) (1 + i) 1 + i (1 + i) (1 + i) (1 + i)T

Pˇr´ıklad 10.1.

Jak´ y kurz má akcie se ˇctvrtletn´ı dividendou 45 Kˇc pˇri u ´rokové m´ıˇre 5 % p. a.? ˇ sen´ ˇ ı. d = 45 Kˇ Re c, p = 5 % = 0,05, r = P

=

P

=

0,05 4

= 0,0125,

d , r 45 = 3 600. 0,0125

Kurz akcie bude 3 600 Kˇc Pˇr´ıklad 10.2.

Jak´ y kurz má akcie, na kterou byla za loˇ nsk´ y rok vyplácená dividenda ve v´ yˇsi 80 Kˇc, pˇri ˇcemˇz v prvn´ım pˇr´ıpadˇe bude rychlost r˚ ustu dividend k = 0 a v druhém pˇr´ıpadˇe bude k = 5 % p. a.? Poˇzadovaná u ´roková sazba je 7 % p. a. Doba v´ yplat nen´ı ˇcasovˇe omezena. ˇ sen´ ˇ ı. Re 1. 2.

80 d0 = = 1 142,857 Kˇc, i 0,07 d0 · (1 + k) 80 · (1 + 0,05) P = = = 4 200 Kˇc. i−k 0,07 − 0,05

P =

111

10. Aktiva

Pˇr´ıklad 10.3.

Jak´ y kurz má akcie, na kterou byla za loˇ nsk´ y rok vyplácená ˇctvrtletn´ı dividenda v posledn´ı v´ yˇsi 42 Kˇc, pˇri ˇcemˇz dividenda bˇehem ˇctyˇr ˇctvrtlet´ı rostla ´ pˇribliˇznˇe o 0,5 % ˇctvrtletnˇe. Urokov´ a m´ıra je 0,06 p. a. ˇ sen´ ˇ ı. Re P

=

k = P

=

d0 · k r−k+1 dt+1 42 + 42 · 0,005 = = 1,005, dt 42 42 · 1,005 = 4 221 Kˇc, 0, 06 − 1,005 + 1 4

Pˇr´ıklad 10.4.

Máme vypoˇc´ıtat cenu akcie, kterou chceme po tˇrech letech prodat. Trˇzn´ı cena akcie bude po tˇechto letech 450,00 Kˇc. Dividenda je kaˇzd´ ym rokem ´ konstantn´ı ve v´ yˇsi 25,00 Kˇc. Urokov´ a sazba u této akci necht’ je 6 % p. a. ˇ sen´ ˇ ı. Re P

=

3 X t=1

450 + 25 25t + = t (1 + 0,06) (1 + 0,06)3

25 25 25 450 + 25 + + + = 1 + 0,06 (1 + 0,06)2 (1 + 0,06)3 (1 + 0,06)3 = 23,5849 + 22,2499 + 21,59594 + 398,8192 = 466,2499 Kˇc. =

´ ˇ Otazky k zamyslen´ ı 1. Jak´ y kurz má akcie se ˇctvrtletn´ı dividendou 35 Kˇc a u ´rokové m´ıˇre 5 % p. a.? [2 800 Kˇc] 2. Urˇ cete kurz akcie, na kterou se vyplác´ı roˇcn´ı dividenda 50 Kˇc pˇri u ´rokové sazbˇe 5 % p. a. [1 000 Kˇc] 3. Jak´ y kurz má akcie, na kterou byla za loˇ nsk´ y rok vyplácená ˇctvrtletn´ı

dividenda v posledn´ı v´ yˇsi 20 Kˇc, pˇriˇcemˇz ˇcástka dividendy bˇehem ˇctyˇr ´ ˇctvrtlet´ı rostla pˇribliˇznˇe o 1 % ˇctvrtletnˇe? Urokov´ a sazba je 7 % p. a. [2 693,33 Kˇc]

112

Shrnut´ı

Shrnut´ı

Prostudován´ım tohoto textu z´ıskáte znalosti z v´ ypoˇcetn´ıch postup˚ u, s kter´ ymi se setkáváte pˇri bˇeˇzné praxi. Vˇsechny kapitoly jsou ilustrovány názorn´ ymi ukázkov´ ymi pˇr´ıklady a proto je nutné tento text studovat s tuˇzkou a pap´ırem, aby jste si vˇzdy ovˇeˇrili, zda dané problematice dokonale rozum´ıte. Jde také o to, nejen porozumˇet problém˚ um, které jsou uvedeny v textu, ale také umˇet teoreticky i prakticky tyto problémy ˇreˇsit. Znalost stˇredoˇskolské matematiky dostaˇcuje pro pochopen´ı a odvozen´ı jednotliv´ ych vztah˚ u uveden´ ych v tomto textu, jak jste si mohli po pˇreˇcten´ı textu uvˇedomit, a proto je nutno vyuˇz´ıt volného ˇcasu pro ˇreˇsen´ı u ´loh uveden´ ych vˇzdy na konci kaˇzdé kapitoly. Ne kaˇzdého budou zaj´ımat vˇsechny kapitoly, nebot’ se dostává v praxi do styku pouze s nˇekter´ ymi, ale pro vysokoˇskolsky vzdˇelaného jedince je velmi d˚ uleˇzité, aby jeho obzor sahal dále neˇz odpov´ıdá jeho praxi. V ˇradˇe funkc´ıch je také nutno teoreticky vysvˇetlit jednotlivé vztahy a moˇznosti jejich vyuˇzit´ı at’ jiˇz s klienty nebo podˇr´ızenou skupinou koleg˚ u. D˚ uraz je nutno poloˇzit na otázky zp˚ usob˚ uu ´roˇcen´ı a jeho vyuˇzit´ı pˇri mˇen´ıc´ıch se u ´rokov´ ych sazbách. Také d˚ uleˇzité je pochopit a prakticky provádˇet u ´roˇcen´ı bˇeˇzn´ ych u ´ˇct˚ u a kontokorentn´ıch u ´vˇer˚ u, v souˇcasné dobˇe, jako velmi uˇz´ıvaného zp˚ usobu z´ıskáván´ı finanˇcn´ıch zdroj˚ u, a vˇedˇet proˇc se u ´roˇcen´ı provád´ı t´ımto zp˚ usobem a umˇet tyto operace zd˚ uvodnit. Dalˇs´ım d˚ uleˇzit´ ym u ´kolem je dovést vysvˇetlit otázku spoˇren´ı a umˇet poradit zp˚ usoby spoˇren´ı pro klienta nejv´ yhodnˇejˇs´ı, i kdyˇz samozˇrejmˇe pro nˇej je velmi d˚ uleˇzitá stávaj´ıc´ı u ´roková sazba. I kdyˇz otázka d˚ uchod˚ u je v souˇcasné dobˇe preferována ve sdˇelovac´ıch prostˇredc´ıch a v´ yhodnˇejˇs´ı je pojiˇstˇen´ı d˚ uchodu v nˇekteré komerˇcn´ı pojiˇst’ovnˇe, nebo d˚ uchodové pˇripojiˇstˇen´ı s pˇr´ıspˇevkem státu, je vhodné znát konstrukci vztah˚ u pˇri v´ ypoˇctu d˚ uchod˚ u i z pohledu finanˇcn´ı matematiky. Tento text nezaruˇcuje dokonalé znalosti z finanˇcn´ı matematiky a je proto nezbytnˇe nutné dalˇs´ı sebevzdˇelán´ı z uvedené literatury, která prohloub´ı znalosti z´ıskané po prostudován´ı této studijn´ı opory. Otázce dluhopis˚ u a derivát˚ um, dnes jiˇz pouˇz´ıvan´ ych, budou vˇenovány samostatné kurzy a to: Anal´ yza dluhopis˚ u a Deriváty finanˇcn´ıho trhu. Kaˇzdé studium, nejen distanˇcn´ı, sebou pˇrináˇs´ı ˇradu odˇr´ıkán´ı a mnoho ˇcasu pro studium. Prohlouben´ı a rozˇs´ıˇren´ı vaˇsich znalost´ı o problémy finanˇcn´ı matematiky vám umoˇzn´ı orientovat se v této problematice a zkvalitnit plnˇen´ı u ´loh ve vaˇs´ı praxi.

Pˇr´ıloha

Pˇr´ıloha

ˇ ı matematiky Souhrn vzorcu˚ z financn´ Jednoduch´ e u ´roˇ cen´ı polh˚ utn´ı a pˇ redlh˚ utn´ı Slovn´ı vyj´ adˇ ren´ı v´ ypoˇcet u ´roku

v´ ypoˇcet u ´roku pomoc´ı u ´rokové sazby

v´ ypoˇcet u ´roku pomoc´ı u ´rokov´ ych ˇc´ısel au ´rokov´ ych dˇelitel˚ u

v´ ypoˇcet u ´roku souˇctov´ ym vzorcem

koneˇcn´ y kapit´ al pˇri jednoduchém polh˚ utn´ım u ´roˇcen´ı koneˇcn´ y kapit´ al – modifikovaná rovnice

u=

K ·p·d 100 · 360

u=K ·i·t u=

UC = UD

u=

n P

K·d 100 360 p

U Cj

j=1

UD

Kt = K0 · (1 + i · t) Kt = K0 · 1 +

poˇcáteˇcn´ı kapit´ al pˇri jednoduchém polh˚ utn´ım u ´roˇcen´ı

K0 =

doba splatnosti pˇri jednoduchém polh˚ utn´ım u ´roˇcen´ı

t=

p·d 100 · 360

Kt 1+i·t

Kt − K0 K0 · i

obchodn´ı diskont pˇri jednoduchém polh˚ utn´ım u ´roˇcen´ı

Dob = Kt · iD · t

obchodn´ı kapit´ al pˇri jednoduchém polh˚ utn´ım u ´roˇcen´ı

Kob = Kt · (1 − iD · t)

souˇcasn´ a hodnota pˇri jednoduchém polh˚ utn´ım u ´roˇcen´ı matematick´ y diskont matematick´ y diskont pˇri jednoduchém polh˚ utn´ım u ´roˇcen´ı

116

Vzorec

K0 =

Kt 1 + iD · t

Dmat = K0 · iD · t Dmat =

Kt · iD · t 1 + iD · t

matematick´ y diskont pomoc´ı obchodn´ıho diskontu koneˇcn´ y kapit´ al pˇri jednoduchém pˇredlh˚ utn´ım u ´roˇcen´ı

Dob 1 + iD · t

Dmat =

Kt = K0 · 1 +

I ·t 1−I

vztah mezi pˇredlh˚ utn´ı a polh˚ utn´ı u ´rokovou sazbou

I=

i 1+i

vztah mezi polh˚ utn´ı a pˇredlh˚ utn´ı u ´rokovou sazbou

i=

I 1−I

doba splatnosti pˇri jednoduchém pˇredlh˚ utn´ım u ´roˇcen´ı

t=

Kt − K0 1 − I · K0 I

Sloˇ zen´ e u ´roˇ cen´ı polh˚ utn´ı a pˇ redlh˚ utn´ı Slovn´ı vyj´ adˇ ren´ı

Vzorec

základn´ı rovnice pˇri sloˇzeném u ´roˇcen´ı, v´ ypoˇcet koneˇcné hodnoty kapit´ alu, t ∈ N, u ´roˇcen´ı je polh˚ utn´ı p. a.

Kt = K0 · (1 + i)t

koneˇcn´ y kapit´ al pro t ∈ N, u ´roˇcen´ı je m-kr´ at za rok

i Kt = K0 · 1 + m

m·t

koneˇcn´ y kapit´ al pro t ∈ / N, u ´roˇcen´ı je polh˚ utn´ı p. a.

Kt = K0 · (1 + i)n · (1 + R · i)

koneˇcn´ y kapit´ al pro t ∈ / N, u ´roˇcen´ı je m-kr´ at do roka polh˚ utn´ı p. a.

i n Kt = K0 · 1 + · (1 + R · i) m

v´ ypoˇcet doby splatnosti pro t ∈ N, u ´roˇcen´ı je polh˚ utn´ı p. a.

v´ ypoˇcet zbytku doby splatnosti, kdyˇz t∈ /Nau ´roˇcen´ı je polh˚ utn´ı p. a.

t=

ln Kt − ln K0 ln(1 + i)

Kt − (1 + i)n0 K0 R= i · (1 + i)n0

117

Pˇr´ıloha

v´ ypoˇcet zbytku doby splatnosti, kdyˇz t∈ /Nau ´roˇcen´ı je m-kr´ at za rok

Kt i n0 − 1+ K0 m R= i n0 i· 1+ m

v´ ypoˇcet souˇcasné hodnoty pro t ∈ N, kdy u ´roˇcen´ı je polh˚ utn´ı p. a.

K0 =

v´ ypoˇcet souˇcasné hodnoty pro t ∈ N, kdy u ´roˇcen´ı je m-kr´ at do roka

v´ ypoˇcet souˇcasné hodnoty pro t ∈ / N, kdy u ´roˇcen´ı je polh˚ utn´ı p. a.

v´ ypoˇcet souˇcasné hodnoty pro t ∈ / N, kdy u ´roˇcen´ı je m-kr´ at do roka

K0 =

v´ ypoˇcet u ´rokové sazby pro t ∈ / N, kdy u ´roˇcen´ı je m-kr´ at za rok

K n 0 t i · (1 + R · i) 1+ m i=

r t

i=m·

Kt −1 K0 r

m·t

i=m·

! Kt −1 K0 r

m·(n0 +R)

! Kt −1 K0

v´ ypoˇcet u ´roku pro t ∈ N, kdy u ´roˇcen´ı je polh˚ utn´ı p. a.

u = K0 · [(1 + i)t − 1]

v´ ypoˇcet u ´roku pro t ∈ / N, kdy u ´roˇcen´ı je polh˚ utn´ı p. a.

u = K0 · [(1 + i)n0 · (1 + R · i) − 1]

v´ ypoˇcet u ´roku pro t ∈ / N, kdy u ´roˇcen´ı u = K0 · je m-kr´ at za rok

efektivn´ı u ´rokov´ a sazba

118

Kt i m·t 1+ m

Kt (1 + i)n0 · (1 + R · i)

K0 =

v´ ypoˇcet u ´rokové sazby pro t ∈ N, kdy u ´roˇcen´ı je polh˚ utn´ı p. a.

v´ ypoˇcet u ´rokové sazby pro t ∈ N, kdy u ´roˇcen´ı je m-kr´ at do roka

Kt (1 + i)t

K0 =

i 1+ m

iefekt. =

n 0

· (1 + R · i) − 1

i 1+ m

m

−1

u ´rokov´ a intenzita

f = ln(1 + iefekt. )

reáln´ a v´ yˇse kapit´ alu na konci u ´rokovac´ıho obdob´ı

Kr = K0 ·

ir =

reáln´ au ´rokov´ a sazba

Kr −1 K0

1+i 1 + iinf.

nebo

ir =

i − iinf. 1 + iinf.

Spoˇ ren´ı Slovn´ı vyj´ adˇ ren´ı

Vzorec

spoˇren´ı kr´ atkodobé pˇredlh˚ utn´ı

m+1 ·i Sx = m · x · 1 + 2·m

spoˇren´ı kr´ atkodobé polh˚ utn´ı

Sx′

v´ ypoˇcet v´ yˇsky vkladu – pˇredlh˚ utn´ı

v´ ypoˇcet v´ yˇsky vkladu – polh˚ utn´ı

spoˇren´ı dlouhodobé pˇredlh˚ utn´ı

spoˇren´ı dlouhodobé polh˚ utn´ı



m−1 ·i =m·x· 1+ 2·m

x=

x=

Sx m+1 m· 1+ ·i 2·m

Sx′ m−1 m· 1+ ·i 2·m

S = a · (1 + i) · S′ = a · a=

(1 + i)n − 1 i

(1 + i)n − 1 i

S·i (1 + i) · [(1 + i)n − 1] a=

S′ · i (1 + i)n − 1

119

Pˇr´ıloha

v´ ypoˇcet doby spoˇren´ı – pˇredlh˚ utn´ı

n=

ln 1 +

S·i a · (1 + i) ln(1 + i)

v´ ypoˇcet doby spoˇren´ı – polh˚ utn´ı

S′ · i ln 1 + a n= ln(1 + i)

kombinované spoˇren´ı pˇredlh˚ utn´ı

(1 + i)n − 1 m+1 ·i · S = m·x· 1 + 2·m i

kombinované spoˇren´ı polh˚ utn´ı

m−1 (1 + i)n − 1 S = m·x· 1 + ·i · 2·m i ′


x=

x=


S m+1 (1 + i)n − 1 m· 1+ ·i · 2·m i

S′

m−1 (1 + i)n − 1 m· 1+ ·i · 2·m i

v´ ypoˇcet doby spoˇren´ı – pˇredlh˚ utn´ı n=

v´ ypoˇcet doby spoˇren´ı – polh˚ utn´ı n=

# S·i +1 ln m · x · 1 + m+1 · i 2·m "

ln(1 + i)

# S′ · i +1 ln m · x · 1 + m−1 2·m · i "

ln(1 + i)

D˚ uchody Slovn´ı vyj´ adˇ ren´ı

120

Vzorec

d˚ uchod bezprostˇredn´ı pˇredlh˚ utn´ı

D =a·

1 − vn v·i

d˚ uchod bezprostˇredn´ı polh˚ utn´ı

D′ = a ·

1 − vn i

d˚ uchod vypl´ acen´ y m-kr´ at roˇcnˇe pˇredlh˚ utn´ı

m+1 1 − vn D =m·x· 1+ ·i · 2·m i

d˚ uchod vypl´ acen´ y m-kr´ at roˇcnˇe polh˚ utn´ı

m−1 1 − vn D = m·x· 1+ ·i · 2·m i

′

d˚ uchod odloˇzen´ y pˇredlh˚ utn´ı

K =a·

d˚ uchod odloˇzen´ y polh˚ utn´ı

1 − v n k−1 ·v i

K′ = a ·

1 − vn k ·v i

d˚ uchod odloˇzen´ y pˇredlh˚ utn´ı vypl´ acen´ y m-kr´ at za rok

m+1 1 − vn k K = m·x· 1 + ·i · ·v 2·m i

d˚ uchod odloˇzen´ y polh˚ utn´ı vypl´ acen´ y m-kr´ at za rok

m−1 1 − vn k K = m·x· 1 + ·i · ·v 2·m i

′

d˚ uchod bezprostˇredn´ı vˇeˇcn´ y pˇredlh˚ utn´ı

D=

a i·v

D′ =

d˚ uchod bezprostˇredn´ı vˇeˇcn´ y polh˚ utn´ı

a i

d˚ uchod vˇeˇcn´ y bezprostˇredn´ı pˇredlh˚ utn´ı vypl´ acen´ y m-kr´ at za rok

m+1 1 D = m·x· 1+ ·i · 1+ 2·m i

d˚ uchod vˇeˇcn´ y bezprostˇredn´ı polh˚ utn´ı vypl´ acen´ y m-kr´ at za rok

m−1 1 D =m·x· 1+ ·i · 2·m i ′

1 K =a· 1+ i

d˚ uchod odloˇzen´ y vˇeˇcn´ y pˇredlh˚ utn´ı

K′ =

d˚ uchod odloˇzen´ y vˇeˇcn´ y polh˚ utn´ı

vk

a k ·v i

d˚ uchod odloˇzen´ y vˇeˇcn´ y pˇredlh˚ utn´ı vyplácen´ y m-kr´ at za rok

m+1 1 K = m·x· 1 + ·i · 1+ ·v k 2·m i

d˚ uchod odloˇzen´ y vˇeˇcn´ y polh˚ utn´ı vyplácen´ y m-kr´ at za rok

k m−1 v K =m·x· 1+ ·i · 2·m i ′

121

Pˇr´ıloha

Umoˇ rov´ an´ı dluhu Slovn´ı vyj´ adˇ ren´ı v´ ypoˇcet v´ yˇse anuity

a=

D·i 1 − vn

v´ ypoˇcet u ´roku v (r+1)-n´ım obdob´ı

Ur+1 = a · (1 − v n−r ) = Dr · i

v´ ypoˇcet u ´moru v (r+1)-n´ım obdob´ı

Mr+1 = a·v n−r = a−Dr ·i = Mr ·(1+i)

v´ ypoˇcet poˇctu anuit

v´ ypoˇcet posledn´ı splátky dluhu

v´ ypoˇcet zbytku u ´moru

v´ ypoˇcet posledn´ıho u ´roku

122

Vzorec

D·i ln 1 − a n= ln v 1 − v n0 b= D−a· · (1 + i)n0 +1 i Mn0+1 = b · v Un0 +1 = b · v · i

´ ´ Ukazka pˇredpokladan ych ´ uloh ´ POT1 – POT2

1) Jaká bude naspoˇrená ˇcástka za 5 let, jestliˇze klient kaˇzd´ y mˇes´ıc spoˇr´ı 500,- Kˇc s u ´rokovou sazbou 4 % p. a. M´ıra inflace v jednotliv´ ych létech bude: 1. rok 1,25; 2. rok 0,57; 3. rok 2,03; 3. rok 1,765; 4. rok 1,037 a 5. rok 0,953. 2) Na jakou hodnotu se z´ uroˇcil vklad 120 000 Kˇc za 2 roky, 8 mˇes´ıc˚ u a 21 dn´ı, je-li u ´roˇcen v bance pˇri u ´rokové sazbˇe 6 % p. a. 3) Pˇred osmi lety uloˇzil otec synovi kapitál na 3 41 % p. a. pˇri ˇctvrtletn´ım sloˇzeném u ´roˇcen´ı. Jestliˇze syn na konci osmého roku vybral 8 091,90 Kˇc jako koneˇcnou hodnotu vˇcetnˇe u ´rokového v´ ynosu, jaká byla poˇcáteˇcn´ı hodnota? 4) Klient, kter´ y chce uloˇzit 100 000 Kˇc, se m˚ uˇze rozhodnout mezi vkladem na vkladn´ı kn´ıˇzku, která vynáˇs´ı 2 % p. a. pˇri sloˇzeném mˇes´ıˇcn´ım u ´roˇcen´ı a nákupem obligace (dluhopisu), která vynáˇs´ı 2 12 % p. a. ve dvou stejn´ ych pololetn´ıch splátkách. Která z tˇechto alternativ nab´ız´ı vyˇsˇs´ı v´ ynos? 5) Pan Vocásek plánuje nákup nového auta za 3 roky a poˇc´ıtá s nákupn´ı cenou 320 000 Kˇc. Svoje souˇcasné auto staré dva roky hodlá prodat na proti´ uˇcet a odhaduje jeho cenu na 80 000 Kˇc. Na zbytek ceny nového vozu chce pan Vocásek ukládat na zaˇcátku kaˇzdého ˇctvrtlet´ı stejnou potˇrebnou ˇcástku, na sv˚ uj u ´ˇcet v bance, pˇri u ´rokové sazbˇe 12 % p. a. Kolik bude ˇcinit tento vklad? 6) Klient se rozhodl ve vˇeku 30 let vytvoˇrit penzijn´ı fond pravideln´ ymi vklady na konci kaˇzdého roku ve v´ yˇsi 10 000 Kˇc po dobu 35 let. Poˇc´ınaje 66 rokem sv´ ych narozenin chce vyb´ırat z tohoto fondu koncem kaˇzdého ˇ ste: roku po dobu 15 let. Reˇ a) Jestliˇze plat´ı po dobu cel´ ych 50. let existence fondu u ´roková sazba 8 % p. a. roˇcnˇe, kolik bude moci klient ze svého fondu roˇcnˇe vyb´ırat, mezi 66. a 80. rokem svého vˇeku? b) Jak se zmˇen´ı ˇcástka roˇcn´ıho d˚ uchodu, jestliˇze sn´ıˇz´ı penˇeˇzn´ı u ´stav po 10. letech od zahájen´ı v´ yplat z fondu, u ´rokovou sazbu z 8 na 6 % p. a. roˇcnˇe, jestliˇze má b´ yt dodrˇzená lh˚ uta v´ yplat 15 let? 7) Jaká je reálná hodnota kapitálu 35 560 Kˇc pˇri sloˇzeném pololetn´ım u ´roˇcen´ı kde p = 2,5 % p. s. za dva roky, jestliˇze roˇcn´ı m´ıra inflace bude po tyto dva roky konstantn´ı a bude rovna iinf = 0,03? Jaká by byla koneˇcná hodnota vkladu, bude-li m´ıra inflace rovná nule a kolik ztrác´ıme vlivem inflace na naˇsem vkladu? 8) Jaká je reálná hodnota kapitálu 35 560 Kˇc pˇri sloˇzeném pololetn´ım u ´roˇcen´ı kde p = 2,5 % p. s. za dva roky, jestliˇze roˇcn´ı m´ıra inflace bude po tyto dva roky konstantn´ı a bude rovna iinf = 0,03? Jaká by byla koneˇcná hodnota vkladu, bude-li m´ıra inflace rovná nule a kolik ztrác´ıme vlivem inflace na naˇsem vkladu? 9) Na sch˚ uzce 5 let po promoci se absolventi fakulty dohodli, ˇze pˇr´ıˇst´ı sch˚ uzku 10 let po promoci uspoˇrádaj´ı jako jubilejn´ı a slavnostn´ı, v luxusn´ım podniku. Na kryt´ı pˇredpokládan´ ych náklad˚ u souhlasili s t´ım, ˇze kaˇzd´ y poˇsle pokladn´ıkovi roˇcn´ıku pololetnˇe 20 Kˇc. Jestliˇze vˇsech 100 absolvent˚ u fakulty tento závazek dodrˇz´ı pˇri doˇzit´ı vˇsech a pokladn´ı

123

Pˇr´ıloha

svˇeˇr´ı správu fondu bance pˇri u ´rokové sazbˇe 4 % p. a. u ´roˇceno pololetnˇe, jaké v´ yˇse dosáhne hodnota fondu na konci 10. roku po promoci? 10) Zemˇrel´ y zanechal kapitál ve v´ yˇsi 50 000 Kˇc, kter´ y je investován pˇri 12 % p. a. u ´rokové sazbˇe u ´roˇceného mˇes´ıˇcnˇe. Kolik mˇes´ıˇcn´ıch v´ yplat o v´ yˇsi 750 Kˇc obdrˇz´ı dˇedici a kolik bude ˇcinit závˇereˇcná v´ yplata?

124

´r Glosaˇ

´r Glosaˇ

A ´ ˇ ´ a´ z umoru Anuita – výsˇ e splatky uv ´ eru. Anuita se sklad ´ a uroku. ´ Vˇzdy plat´ı: anuita = umor ´ + urok. ´ i Anuita: a = D · 1−v n ´ nedostav ´ a´ celou cˇ astku, ´ ´ sn´ızˇ ený Anticipativn´ı – uroˇ ´ cen´ı pˇredlhutn´ ˚ ı. Pˇr´ıjemce kapitalu ale kapital ´ o urok, ´ který zaplat´ı po obdrˇzen´ı tohoto kapitalu.

D ´ ´ ıho obdob´ı. Dekurzivn´ı – uroˇ ´ cen´ı polhutn´ ˚ ı. Urok se pˇripisuje na konci urokovac´ Diskont – urok ´ ode dne výplaty do dne splatnosti ´ (koneˇcneho ´ kapitalu) ´ – obchodn´ı (bankovn´ı) – výpoˇcet diskontu z budouc´ı hodnoty kapitalu ´ cn´ı hodnoty kapitalu ´ (souˇcasne´ hodnoty) – matematicky´ (jednoduchý) – výpoˇcet diskontu z poˇcateˇ ´ a´ souˇcasnou hodnotu 1 Kˇc splatne´ za jeden rok pˇri urokov Diskontn´ı faktor – udav ´ e´ m´ıˇre i ´ ´ ´ ´ Duchod ˚ – pravidelne´ výplaty (anuity) vyplacen e´ vˇzdy na poˇcatku nebo na konci urˇciteho cˇ asoveho intervalu ´ ´ ´ intervalu – pˇredlhutn´ ˚ ı – výplaty jsou vˇzdy na poˇcatku urˇciteho cˇ asoveho ´ ´ – polhutn´ ˚ ı – výplaty jsou vˇzdy na konci urˇciteho cˇ asoveho intervalu ´ ´ ı smlouvy – bezprostˇredn´ı – duchod ˚ je vyplacen okamˇziteˇ po podepsan´ ´ cˇ asovem ´ obdob´ı (karenˇcn´ı doba, doba odloˇzen´ı) – odloˇzeny´ – výplata duchodu ˚ zaˇcne aˇz po urˇcitem ˇ y´ – duchod ´ – veˇ cn ˚ je vyplacen neomezeneˇ dlouho

E ´ Efektivn´ı urokov ´ a´ sazba – dosaˇzen´ı stejneho finanˇcn´ıho efektu mus´ı být roˇcn´ı urokov ´ a´ sazba vyˇssˇ ´ı neˇz pˇri urokovac´ ´ ım obdob´ı kratˇs´ım neˇz jeden rok

J ˇ ı – urok ´ Jednoduche´ uro ´ cen´ ´ se pˇripisuje na zaˇcatku nebo na konci urokovac´ ´ ıho obdob´ı

K ´ – peneˇ ˇ zn´ı cˇ astka ´ Kapital ˇ ´ (poˇcateˇ ´ cn´ı hodnota) – rozum´ıme peneˇ ˇ zn´ı cˇ astku, ´ – soucasn a´ hodnota kapitalu ktera´ uroˇ ´ cena ´ obdob´ı pˇrinese hodnotu budouc´ı v cˇ asovem ´ (koneˇcna´ hodnota) – zuroˇ ´ urokovou – budouc´ı hodnota kapitalu ´ cený kapital ´ sazbou na konci urokovac´ ´ ıho obdob´ı

L ´ ı – vychaz´ ´ ı z logaritmicke´ funkce. Poˇcetn´ı operace, ktere´ zjednoduˇsuj´ı poˇcetn´ı operace Logaritmovan´ ´ ˇ ı, umocnov ˇ an´ ´ ı a odmocnov ˇ an´ ´ ı. Pouˇzito u sloˇzeneho ´ nasoben´ ı, delen´ uroˇ ´ cen´ı pˇri výpoˇctu doby uloˇzen´ı a doby spoˇren´ı.

M ˇ cenove´ hladiny vyjadˇ ´ rena´ v relativn´ım cˇ ´ısle (take´ v procentech) M´ıra inflace – uhrnn ´ a´ zmena

O Odloˇzeny´ duchod ˚ – výplata duchodu ˚ nenastane ihned, ale aˇz po urˇcite´ dobeˇ k, coˇz se nazýva´ ka´ veku ˇ renˇcn´ı doba (doba odloˇzen´ı). Zaplatit tento duchod ˚ muˇ ˚ zeme v urˇcitem x, ale výplatu duchodu ˚ ´ ˇ x+k chceme dostavat aˇz od veku ´ obdob´ı – polhutn´ ˚ ı – výplata duchodu ˚ vˇzdy na konci dohodnuteho ´ ´ obdob´ı – pˇredlhutn´ ˚ ı – výplata duchodu ˚ vˇzdy na poˇcatku dohodnuteho ˇ ˚ eˇ do smluvneˇ omezene´ doby – docasn y´ – výplata duchodu ˚ polhutn ˚ eˇ nebo pˇredlhutn – doˇzivotn´ı – výplata duchodu ˚ polhutn ˚ eˇ nebo pˇredlhutn ˚ eˇ aˇz do konce zˇ ivota

P Posloupnost – rozum´ıme kaˇzdou funkci definovanou na mnoˇzineˇ vˇsech pˇrirozených cˇ ´ısel. Posloupnost ´ ´ ´ ´ e´ cˇ ´ıslo un . z´ıskame, jestliˇze kaˇzdemu pˇrirozenemu cˇ ´ıslu n pˇriˇrad´ıme realn – aritmeticka´ – u n´ızˇ rozd´ıl (diference) kterýchkoliv dvou po sobeˇ jdouc´ıch cˇ lenu˚ je konstantn´ı ´ ´ výpoˇcet poˇctu stejných anuit, uroˇ (spoˇren´ı kratkodob e, ´ cen´ı polh˚utn´ı a pˇredlhutn´ ˚ ı) ´ – geometricka´ – u n´ızˇ pod´ıl dvou po sobeˇ jdouc´ı cˇ lenu˚ je konstantn´ı (výsledek pod´ılu nazývame ˇ s´ı neˇz jedna, a duchody, kvocient). Uˇzit´ı: Sloˇzene´ uroˇ ´ cen´ı, kde kvocient je vetˇ ˚ kde kvocient je menˇs´ı neˇz jedna.

126

S Stˇradatel – rozliˇsujeme stˇradatel pˇredlhutn´ ˚ ı a polhutn´ ˚ ı n ´ jako s′n = (1 + i) · (1+i)i −1 a udav ´ a, ´ kolik uˇsetˇr´ıme za n – stˇradatel pˇredlhutn´ ˚ ı – je definovan ´ ´ obdob´ı pˇri urokov ´ e´ sazbeˇ i, jestliˇze na poˇcatku kaˇzdeho obdob´ı uloˇz´ıme 1 Kˇc n ´ a, ´ kolik uˇsetˇr´ıme za n obdob´ı pˇri ´ jako sn = (1+i)i −1 a udav – stˇradatel polhutn´ ˚ ı – je definovan ´ urokov ´ e´ sazbeˇ i, jestliˇze na konci kaˇzdeho obdob´ı uloˇz´ıme 1 Kˇc

U ´ a´ výsˇ i polhutn´ Umoˇrovatel – udav ˚ ı anuity nutnou k tomu, aby se zaplatil dluh 1 Kˇc za n obdob´ı pˇri i urokov ´ e´ sazbeˇ i. a′n = 1−v n ´ ˇ (z pohledu veˇ ˇ ritele) za poskytnut´ı peneˇ ˇ zn´ı cˇ astky ´ Urok – je odmena a z pohledu dluˇzn´ıka za poskytnut´ı ˇ uv ´ eru ´ ˇ ıslo – je definovano ´ ´ uloˇzeneho ´ ˇ eho ´ Urokov e´ c´ jako souˇcin kapitalu po dobu d dn´ı delen stem. U C = K·d ´ ˇ podle doby vkladu a jeho delky. ´ . Urokove´ cˇ ´ıslo se bude menit 100 ´ ˇ ´ a, ´ za kolik dn´ı cˇ in´ı urok Urokov y´ delitel – udav ´ ze 100 Kˇc 1 Kˇc. U D = 360 . Pokud se v urokovac´ ´ ım p ˇ ı urokov ˇ obdob´ı nezmen´ ´ a´ sazba, potom urokov´ ´ y delitel je konstantou.

127

´r Glosaˇ

128

Rejstˇr´ık

Rejstˇr´ık

,A, akcie, 107, 110 aktiva, 106 finanˇcn´ı, 107 ´ 106 hmotna, anuita, 76, 88, 92 ,D, diskont, 34, 35 matematický, 36 obchodn´ı, 35 diskontn´ı faktor, 34 dluhopis, 108 duchod ˚ bezprostˇredn´ı, 76, 77 odloˇzený, 76, 80 polhutn´ ˚ ı, 76, 78 pˇredlhutn´ ˚ ı, 76, 77 ˇ cný, 82 veˇ ,E, efektivn´ı urokov ´ a´ sazba, 58 Eulerovo cˇ ´ıslo, 59 , , H hodnota budouc´ı, 34 ´ cn´ı, 33 poˇcateˇ ´ 34, 48 souˇcasna, , , K ´ kapital koneˇcný, 31 ´ cn´ı, 33 poˇcateˇ kurz akcie, 110 kvocient, 68 , , L limita, 59 ´ ı, 46 logaritmovan´ , , M m´ıra inflace, 60 ,O, obligace, 108 odloˇzený duchod, ˚ 80 odloˇzený pˇredlhutn´ ˚ ı duchod, ˚ 80 odloˇzený polhutn´ ˚ ı duchod, ˚ 81 ,P, pokus, 30 posloupnost ´ 126 aritmeticka, ´ 126 geometricka, ,S, spoˇren´ı ´ 68 dlouhodobe, ´ 71 kombinovane, ´ ´ 64 kratkodob e, stˇradatel polhutn´ ˚ ı, 70 pˇredlhutn´ ˚ ı, 69

130

, , U uˇ ´ cet ˇ zný, 96 beˇ uloˇ ´ zka, 64 ´ ı dluhu, 89 umoˇrovan´ umoˇrovatel, 90 uroˇ ´ cen´ı anticipativn´ı, 31 dekurzivn´ı, 31 ´ 33 jednoduche, ´ 44 kombinovane, polh˚utn´ı, 31 ˚ ı, 31, 36 pˇredlhutn´ ´ 42 sloˇzene, uroˇ ´ citel, 33 urok, ´ 30 urokovac´ ´ ı faktor, 33 urokov ´ a´ intenzita, 59 urokov ´ a´ m´ıra efektivn´ı, 58 ´ ı, 60 nominaln´ ´ a, ´ 60 realn urokov ´ a´ sazba, 30, 50 urokov ´ e´ cˇ ´ıslo, 31 ˇ urokov´ ´ y delitel, 32 ˇ 88 uv ´ er, kontokorentn´ı, 100 , , Z ´ zasobitel polh˚utn´ı, 79 pˇredlhutn´ ˚ ı, 78

Literatura

Literatura

[1] Cipra, T.: Finanˇcn´ı matematika v praxi . Edice HZ, Praha 1995 [2] Cipra, T.: Praktický pr˚ uvodce finanˇcn´ı a pojistnou matematikou. Edice HZ, Praha 1995 ´ [3] Eichler, B.: Uvod do finanˇcn´ı matematiky. Septima, Praha 1993 ć ˇek, O.: Finanˇcn´ı a pojistná matematika. Prospektrum, Praha [4] Macha 1995 ´, J., Dvor ˇa ´k, P.: Finanˇcn´ı matematika pro kaˇzdého. Grada, [5] Radova Praha 1993 ´kalova ´, D.: Finanˇcn´ı a pojistná matematika. Montanex, Ostrava– [6] Sme V´ıtkovice 1996 ˇ Praha 1992 [7] Walter, J.: Finanˇcn´ı a pojistná matematika. VSE,

132

Masarykova univerzita Ekonomicko správní fakulta

Recommend Documents