Masarykova univerzita Ekonomicko–spr´avn´ı fakulta
Finanˇ cn´ı matematika distanˇcn´ı studijn´ı opora
ˇ amsk´y Frantiˇsek C´
Brno 2005
´ za finanˇcn´ı podpory Evropske´ unie v ramci ´ Tento projekt byl realizovan programu SOCRATES — Grundtvig. ´ Za obsah produktu odpov´ıda´ v´yluˇcneˇ autor, produkt nereprezentuje nazory Evropske´ komise a Evropska´ komise neodpov´ıda´ za pouˇzit´ı informac´ı, jeˇz jsou obsahem produktu. This project was realized with financial support of European Union in terms of program SOCRATES — Grundtvig. Author is exclusively responsible for content of product, product does not represent opinions of European Union and European Commission is not responsible for any uses of informations, which are content of product
´ DrSc. Recenzoval: prof. Ing. Jiˇr´ı Dvoˇrak, ˇ ı matematika Financn´ Vydala Masarykova univerzita ´ ı fakulta Ekonomicko–spravn´ ´ ı prvn´ı Vydan´ Brno, 2005 ˇ amsk´ c Frantiˇsek C ´
y, 2005 ISBN 80-210-3479-3
Identifikace modulu Znak
KFFIMA ´ Nazev
Finanˇcn´ı matematika ˇ ı Urcen´
Pro studenty 3. semestru kombinovan´eho studia oboru Penˇeˇznictv´ı, studijn´ıho smˇeru Pojiˇst’ovnictv´ı, Bankovnictv´ı, Bc., oboru Management ˇ kombinovan´eho studijn´ıho programu a programu CZV. Garant
Ing. Frantiˇsek Kalouda, CSc., M.B.A. Autor
ˇ amsk´ RNDr. Frantiˇsek C´ y
C´ıl Vymezen´ı c´ıle
Mil´ı studenti, c´ılem kurzu Finanˇcn´ı matematika“ je sezn´amit se s poˇcetn´ımi operacemi ve ” finanˇcn´ı matematice, kde pˇredpokl´adan´e pˇredch´azej´ıc´ı znalosti nepˇrekraˇcuj´ı stˇredoˇskolskou u ´roveˇ n student˚ u. Struktura textu je ˇclenˇena do jednotliv´ ych kapitol, kter´e vˇzdy konˇc´ı uk´azkov´ ymi pˇr´ıklady pro lehˇc´ı pochopen´ı z´avˇereˇcn´ ych vztah˚ u odvozen´ ych v tˇechto kapitol´ach. Prvn´ı ˇc´ast pojedn´av´a o jednoduch´em u ´roˇcen´ı at’ pˇredlh˚ utn´ım nebo polh˚ utn´ım, v´ ypoˇcty jednotliv´ ych hodnot, jako poˇc´ateˇcn´ıho kapit´alu, velikosti u ´rokov´e sazby, koneˇcn´eho kapit´alu pˇri zn´am´e u ´rokov´e sazbˇe a takt´eˇz doby vkladu. V t´eto ˇc´asti si vysvˇetl´ıme i d˚ uleˇzit´ y pojem v ekonomice, diskontn´ı faktor, vyuˇz´ıvan´ y zvl´aˇstˇe u ˇreˇsen´ı probl´em˚ u dluhopis˚ u a deriv´at˚ u finanˇcn´ıch trh˚ u. Dalˇs´ı ˇc´ast je vymezena sloˇzen´emu u ´rokov´an´ı kde je postup v´ ykladu metodicky obdobn´ y jako u jednoduch´eho u ´roˇcen´ı. Tato ˇc´ast je zakonˇcena kombinac´ı jednoduch´eho a sloˇzen´eho u ´roˇcen´ı, v praxi velmi pouˇz´ıvan´e metody pˇri v´ ypoˇctech jednotliv´ ych hodnot. Jelikoˇz se v bˇeˇzn´e praxi i v ekonomick´ ych teori´ıch setk´av´ame s pojmy nomin´aln´ı, re´aln´a a efektivn´ı u ´rokov´a sazba, jsou tyto pojmy podrobnˇeji vysvˇetleny stejnˇe jako u ´rokov´a intenzita pˇri u ´roˇcen´ı spojit´em. Praxe, at’ jiˇz v bankovnictv´ı nebo pojiˇst’ovnictv´ı je zaloˇzena na spoˇren´ı klient˚ u, a z tˇechto d˚ uvod˚ u si v dalˇs´ı ˇc´asti vysvˇetl´ıme probl´emy spoˇren´ı jak kr´atkodob´eho tak i dlouhodob´eho pˇri spoˇren´ı roˇcn´ım, pololetn´ım, ˇctvrtletn´ım a mˇes´ıˇcn´ım. Z odvozen´ ych v´ yraz˚ u m˚ uˇzeme vypoˇc´ıtat jednotliv´e hodnoty, kter´e jsou potˇrebn´e pro dosaˇzen´ı c´ılov´e ˇc´astky spoˇren´ı pˇri zn´am´e u ´rokov´e sazbˇe finanˇcn´ıch u ´stav˚ u. V dalˇs´ım pokraˇcov´an´ı studijn´ı opory zamˇeˇr´ıme svoji pozornost na ot´azku d˚ uchod˚ u, dnes velmi diskutovan´e problematiky. V n´avaznosti na to si vysvˇetl´ıme problematiku placen´ı i velikost v´ yplat d˚ uchod˚ u doˇzivotn´ıch a tak´e doˇcasn´ ych. V t´eto kapitole se t´eˇz sezn´am´ıme i s ot´azkou d˚ uchod˚ u vˇeˇcn´ ych. Navazuj´ıc´ım probl´emem d˚ uchod˚ u je pak ot´azka u ´vˇer˚ u a jednotliv´e v´ ypoˇcty potˇrebn´ ych hodnot. Z´avˇerem se pak v kr´atkosti sezn´am´ıme s nˇekter´ ymi
pˇr´ıklady vyuˇzit´ı finanˇcn´ı matematiky v praxi za pouˇzit´ı r˚ uzn´ ych metod, hlavnˇe pˇri veden´ı bˇeˇzn´ ych u ´ˇct˚ u a takt´eˇz veden´ı kontokorentn´ıch u ´vˇer˚ u. Velmi kr´atce se zm´ın´ıme o cenn´ ych pap´ırech s v´ ypoˇctem kurzu akci´ı. Ot´azka dluhopis˚ u je pak prob´ıran´a v kurzu Anal´ yza dluhopis˚ u“ a nen´ı proto v tomto ” studijn´ım textu uvedena. Dovednosti a znalosti
Po prostudov´an´ı textu bychom mˇeli b´ yt schopni ˇreˇsit u ´lohy z jednoduch´eho a sloˇzen´eho u ´roˇcen´ı a tyto zp˚ usoby umˇet jednoduch´ ym zp˚ usobem vysvˇetlit. Zvl´aˇstˇe je tˇreba zn´at zp˚ usoby diskontov´an´ı a z toho dov´est vypoˇc´ıtat poˇc´ateˇcn´ı (souˇcasnou) hodnotu kapit´alu. Stejnˇe je nutno porozumˇet a prakticky spoˇc´ıtat u ´lohy kapitoly spoˇren´ı, nebot’ klienty bude vˇzdy zaj´ımat u ´rokov´a sazba, koneˇcn´ y kapit´al, kter´ y naspoˇr´ı a doba spoˇren´ı. Vzhledem k reformˇe d˚ uchodov´eho syst´emu se budou klienti zaj´ımat o moˇznosti zabezpeˇcen´ı d˚ uchodu, nebo-li nav´ yˇsen´ı d˚ uchodu ze st´atn´ıho d˚ uchodov´eho fondu vlastn´ım ˇ sen´ım praktick´ spoˇren´ım se st´atn´ım pˇr´ıspˇevkem. Reˇ ych u ´loh a jejich vysvˇetlen´ı klient˚ um je pˇredpokladem, ˇze je dok´aˇzete na konkr´etn´ıch pˇr´ıkladech pro tako´ cen´ı na bˇeˇzn´ vouto formu spoˇren´ı pˇresvˇedˇcit. Uroˇ ych u ´ˇctech a kontokorentn´ıch u ´vˇerech je pˇredpokladem dobr´eho pracovn´ıka finanˇcn´ıch u ´stav˚ u a z´arukou, ˇze v praxi budete umˇet tyto probl´emy samostatnˇe ˇreˇsit a tak´e je klient˚ um ˇ vysvˇetlit. Reˇsen´ım u ´loh, kter´e jsou uvedeny vˇzdy na z´avˇer kaˇzd´e kapitoly porozum´ıte studovan´e problematice a pozdˇeji umoˇzn´ı i teorii spolehlivˇe in´ terpretovat. Ulohy pro samostatn´e zpracov´an´ı po v´as poˇzadovan´e, budou vˇzdy vybr´any z u ´loh, kter´e jsou uvedeny za kaˇzdou kapitolou t´eto studijn´ı pom˚ ucky.
ˇ ´ Casov y´ plan Jelikoˇz se jedn´a o kurz, kde je nutno umˇet ˇreˇsit u ´lohy na z´akladˇe studovan´e problematiky a tak´e z´avˇery z ˇreˇsen´ı vysvˇetlit, je studium znaˇcnˇe n´aroˇcn´e na ˇcas, nebot’ zahrnuje pr´avˇe ono ˇreˇsen´ı u ´loh z jednotliv´ ych kapitol pˇredloˇzen´eho textu. Text t´eto publikace je nutno studovat po ˇc´astech a k nˇekter´ ym ka’ pitol´am se i vracet, nebot n´asleduj´ıc´ı kapitoly sv´ ym obsahem navazuj´ı na pˇredeˇsl´e. Vhodn´e je tak´e pouˇz´ıvat i jin´e prameny a zdroje pro pochopen´ı a doplnˇen´ı znalost´ı, kter´e jsou potˇrebn´e pro bˇeˇznou praxi ve finanˇcn´ı sf´eˇre. Rozdˇelen´ı studia je konstruov´ano na ˇc´ast prezenˇcn´ı a samostatn´e studium takto: ˇ ´ cnost ˇ Casov a´ naro
prezenˇcn´ı ˇc´ast 6 hodin samostudium 78 hodin POT 6 hodin (2 POT vˇzdy na konci vˇetˇs´ıch celk˚ u) ˇ Celkovy´ sudijn´ı cas
90 hodin
Harmonogram
ˇ ıjen: R´ 1.–2. t´ yden samostudium (sezn´amen´ı se studijn´ı pom˚ uckou, jej´ım obsahem a jednotliv´ ymi kapitolami) 3. t´ yden tutori´ al (´ uvodn´ı konzultace k prvn´ım kapitol´am kurzu Fi” nanˇcn´ı matematika“ a sezn´amen´ı s poˇzadavky, zad´an´ı t´emat a zdroj˚ u pro samostudium, zad´an´ı POT1) – 2 hodiny Listopad: 1. t´ yden samostudium (kapitola 1) – 9 hodin 2. t´ yden samostudium (kapitola 2) – 12 hodin 3. t´ yden samostudium (kapitola 3) – 6 hodin vypracov´an´ı POT1 – 3 hodiny 4. t´ yden tutori´ al (odevzd´an´ı POT1, konzultace k probl´emov´ ym t´emat˚ um, u ´vod do dalˇs´ıch kapitol, zad´an´ı POT2) – 2 hodiny Prosinec: 1. t´ yden samostudium (kapitola 4) – 12 hodin 2. t´ yden samostudium (kapitola 5) – 10 hodin 3. t´ yden samostudium (kapitola 6) – 9 hodin vypracov´an´ı POT2 – 3 hodiny 4. t´ yden tutori´ al (odevzd´an´ı POT2, konzultace k probl´emov´ ym t´emat˚ um, poˇzadavky ke zkouˇsce) 2 hodiny Leden: 1. t´ yden samostudium (kapitola 7) – 8 hodin 2. t´ yden samostudium (kapitola 8) – 6 hodin 3. t´ yden samostudium (kapitola 9) – 6 hodin ´ Unor – bˇrezen: P´ısemn´a zkouˇska (kapesn´ı kalkul´ator nebo na PC)
Zpusob ˚ studia Studium mus´ı b´ yt zamˇeˇreno nejen na pochopen´ı jednotliv´ ych kapitol studijn´ıho textu, ale t´eˇz na zvl´adnut´ı praktick´ ych u ´loh, kter´e jsou uvedeny na konci kaˇzd´e kapitoly t´eto studijn´ı pom˚ ucky. Vyˇreˇsen´ı tˇechto u ´loh n´am nav´ıc umoˇzn´ı pochopit pouˇzit´ı teorie v praxi a t´ım z´ıskat potˇrebn´e znalosti z jednotliv´ ych kapitol. U vˇsech u ´loh je vˇzdy uveden v´ ysledek pro snadnˇejˇs´ı kontrolu u ´spˇeˇsnosti jejich ˇreˇsen´ı. Je velmi vhodn´e aby jste propoˇc´ıtali i uk´azkov´e pˇr´ıklady, na kter´ ych si uvˇedom´ıte pochopen´ı nebo nepochopen´ı studovan´e problematiky. Je nav´ıc velmi vhodn´e se mezit´ım vracet k tˇem t´emat˚ um, kter´e jsou nezbytnˇe nutn´e pro pochopen´ı dalˇs´ıch kapitol a t´ım si neust´ale upevˇ novat znalosti, kter´e budou potˇrebn´e v z´avˇereˇcn´em testu a zhodnocen´ı studijn´ı u ´spˇeˇsnosti z finanˇcn´ı matematiky. U t´eto studijn´ı pom˚ ucky nejde pouze o pochopen´ı teoretick´ ych z´aklad˚ u, ale o jejich uˇzit´ı v bˇeˇzn´e praxi bankovn´ıho nebo pojiˇst’ovac´ıho pracovn´ıka ve sv´em zaˇrazen´ı a tak´e pochopen´ı, ˇze bez dobr´e znalosti a ˇreˇsen´ı probl´em˚ u finanˇcn´ı matematiky se ztr´ac´ı na
d˚ uvˇeryhodnosti ze strany klient˚ u. V dalˇs´ım m´ate uvedenou povinnou a doporuˇcenou literaturu pro dalˇs´ı prohlouben´ı znalost´ı ze studovan´e problematiky. Jedn´a se o rozˇs´ıˇren´ı a tak´e i jin´e pohledy na probl´emy finanˇcn´ı matematiky i jej´ı uˇzit´ı v praxi. POT1 bude individu´alnˇe zad´an v prvn´ım tutori´alu a POT2 ve druh´em tutori´alu. Budou obsahovat nejen teoretick´e studie, ale i ˇreˇsen´ı vybran´ ych u ´loh z uveden´ ych ot´azek k zamyˇslen´ı. Studijn´ı pomucky ˚
Povinn´a literatura ˇa ´msky ´, F.: Finanˇcn´ı matematika. 1. vyd´an´ı, Brno, MU ESF C 1997, ISBN 80-210-1509-8 Cipra, T.: Finanˇcn´ı matematika v praxi . Edice HZ, Praha 1995 Cipra, T.: Praktick´y pr˚ uvodce finanˇcn´ı a pojistnou matematikou. Edice HZ, Praha 1995 ´, J., Dvor ˇa ´k, P.: Finanˇcn´ı matematika pro kaˇzd´eho. Radova Grada, Praha 1993 ´, D.: Finanˇcn´ı a pojistn´a matematika. Montanex, Sm´ ekalova Ostrava–V´ıtkovice 1996 Doporuˇcen´a literatura ´ Eichler, B.: Uvod do finanˇcn´ı matematiky. Septima, Praha 1993 ´c ˇek, O.: Finanˇcn´ı a pojistn´a matematika. Prospektrum, Macha Praha 1995 ˇ Praha 1992 Walter, J.: Finanˇcn´ı a pojistn´a matematika. VSE, Vybaven´ı
PC pˇripojen´e k internetu vybaven´e programem MS EXCEL s finanˇcn´ımi, matematick´ ymi a statistick´ ymi funkcemi (ve verzi 97 a vyˇsˇs´ı) ´ ´ se studijn´ımi texty Navod prace
Text nestudujte jako beletrii. Je potˇrebn´e se nejdˇr´ıve sezn´amit s obsahem kapitoly jej´ım pˇreˇcten´ım a potom podrobnˇeji prostudovat. Doporuˇcoval bych studovat tento kurz s pap´ırem a tuˇzkou v ruce. Aˇz pochop´ıte teorii, pˇrepoˇc´ıtejte si nˇekter´ y z uk´azkov´ ych pˇr´ıklad˚ u a potom si vyˇreˇste nˇekterou u ´lohu ˇ ım v´ıce u z ˇrady u ´kol˚ u k zamyˇslen´ı za kaˇzdou kapitolou. C´ ´loh vypoˇc´ıt´ate, t´ım l´epe pochop´ıte studovanou problematiku a budete znalosti z jednotliv´ ych kapitol umˇet pouˇz´ıt nejen na teoretick´e u ´rovni, ale i ˇreˇsit konkr´etn´ı u ´lohy, s kter´ ymi se setk´ate v bˇeˇzn´e finanˇcn´ı praxi. Vhodn´ ym prostˇredkem pro rychlejˇs´ı a spolehliv´e ˇreˇsen´ı uveden´ ych pˇr´ıklad˚ u je softwarov´ y produkt (program MS Excel), kde jsou uvedeny nejen funkce matematick´e, statistick´e, ale i finanˇcn´ı. V uveden´em textu si dˇelejte vysvˇetluj´ıc´ı pozn´amky, pokud pochop´ıte jednotliv´e vztahy, a tak´e pozn´amky z jin´e povinn´e nebo doporuˇcen´e literatury, ˇc´ımˇz si umoˇzn´ıte studovat nˇekter´e probl´emy v´ıce podrobnˇeji a upevn´ıte tak svoje znalosti. V z´avˇeru tohoto studijn´ıho textu jsou v pˇr´ıloze uvedeny z´akladn´ı a odvozen´e v´ yrazy z jednotliv´ ych kapitol a mohou slouˇzit k jejich vyuˇzit´ı v bˇeˇzn´e praxi. Tyto v´ yrazy je moˇzno doplˇ novat a vytv´aˇret si b´azi pouˇziteln´ ych mo-
difikovan´ ych (upraven´ ych) vzorc˚ u pro vlastn´ı potˇrebu, i takov´ ych, kter´e se v bˇeˇzn´e praxi nevyskytuj´ı ˇcasto. Kaˇzd´ y poznatek a pˇripom´ınka k tomuto studijn´ımu textu budou v´ıt´any, nebot’ poslouˇz´ı k zdokonalen´ı v´ ykladu a metod pro ch´ap´an´ı obsahu dalˇs´ım student˚ um.
Obsah
Obsah
ˇ y´ obsah Strucn Kapitola 1
´ Potˇrebne´ zaklady z matematiky Jelikoˇz se objevuj´ı urˇcit´e nedostatky z matematiky, jsou v t´eto u ´vodn´ı kapitole vysvˇetleny a uvedeny potˇrebn´e znalosti z matematiky pro studium dalˇs´ıch kapitol t´eto studijn´ı opory. Pojedn´av´a hlavnˇe o procentov´em poˇctu, vysvˇetluje z´akladn´ı pojmy funkc´ı a uv´ad´ı pouze ty funkce, kter´e jsou d˚ uleˇzit´e pro pochopen´ı jednoduch´eho a sloˇzen´eho u ´roˇcen´ı. T´eˇz vysvˇetluje z´akladn´ı pojmy z posloupnost´ı a ˇc´ıseln´ ych ˇrad, pomoc´ı kter´ ych se odvozuj´ı d˚ uleˇzit´e vztahy v kapitol´ach sloˇzen´eho u ´roˇcen´ı, spoˇren´ı a d˚ uchod˚ u. Kapitola 2
ˇ ı Jednoduche´ uro ´ cen´ Zde si vysvˇetl´ıme z´akladn´ı pojmy jednotliv´ ych typ˚ uu ´roˇcen´ı, hlavnˇe jednoduch´eho u ´roˇcen´ı pˇredlh˚ utn´ıho a polh˚ utn´ıho, v´ ypoˇcet u ´rokov´eho ˇc´ısla a u ´rokov´eho dˇelitele, d˚ uleˇzit´ ych pojm˚ u pro u ´roˇcen´ı bˇeˇzn´ ych u ´ˇct˚ u a kontokorentn´ıch u ´vˇer˚ u, uvedeme si z´akladn´ı rovnice pro jednoduch´e u ´roˇcen´ı, vysvˇetl´ıme si d˚ uleˇzit´ y pojem diskont a v´ ypoˇcty jednotliv´ ych hodnot ze z´akladn´ıch vztah˚ u. Kapitola 3
ˇ ı Sloˇzene´ uro ´ cen´ V t´eto kapitole se zamˇeˇr´ıme na odvozen´ı z´akladn´ıch vztah˚ u pro sloˇzen´e u ´roˇcen´ı, kombinaci sloˇzen´eho a jednoduch´eho u ´roˇcen´ı i odvozen´ı v´ ypoˇct˚ u jednotliv´ ych hodnot ze z´akladn´ıch vztah˚ u. Na z´avˇer si porovn´ame jednoduch´e a sloˇzen´e u ´roˇcen´ı, pˇriˇcemˇz si uvedeme jejich jednotliv´e v´ yhody a nev´ yhody. Kapitola 4
´ ı a realn ´ a´ urokov Nominaln´ ´ a´ sazba V bˇeˇzn´em ˇzivotˇe i praxi nelze poˇc´ıtat s nomin´aln´ımi u ´rokov´ ymi sazbami, nebot’ jsou ovlivˇ nov´any jak mikroekonomick´ ymi, tak i makroekonomick´ ymi podm´ınkami. Z tohoto d˚ uvodu si vysvˇetl´ıme vztahy mezi nomin´aln´ı a re´alnou u ´rokovou sazbou. D´ale si vysvˇetl´ıme pojem efektivn´ı u ´rokov´a sazba a t´eˇz pojem u ´rokov´a intenzita i jej´ı vztah s efektivn´ı u ´rokovou m´ırou. Stejnˇe si uvedeme i vztah mezi nomin´aln´ı a re´alnou u ´rokovou sazbou a jejich pouˇzit´ı v praxi. Kapitola 5
Spoˇren´ı Nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı pro praxi pracovn´ık˚ u finanˇcn´ı sf´ery je pochopen´ı z´aklad˚ u spoˇren´ı, nebot’ se jedn´a o produkt, kter´ y finanˇcn´ı u ´stavy nab´ız´ı klient˚ um. Zde si uvedeme z´akladn´ı pojmy ze spoˇren´ı kr´atkodob´eho pˇredlh˚ utn´ıho a polh˚ utn´ıho. Odvod´ıme si v´ ypoˇcet hodnot z tˇechto z´akladn´ıch vztah˚ u a tak´e vysvˇetl´ıme v´ ypoˇcty koneˇcn´eho kapit´alu v z´avislosti na vkladu a dobˇe dlouhodob´eho spoˇren´ı. S tˇemito pojmy se urˇcitˇe setk´av´ate v bˇeˇzn´e praxi a ˇcasto mus´ıte odpov´ıdat jak´ ym zp˚ usobem spoˇrit, abychom v urˇcit´em ˇcasov´em horizontu pˇri dan´e u ´rokov´e sazbˇe, naspoˇrili n´ami poˇzadovanou ˇc´astku. Kapitola 6
Duchody ˚ Tato kapitola nepostr´ad´a aktu´alnosti v souˇcasn´e dobˇe, a proto v´ ypoˇct˚ um spoˇren´ı si na d˚ uchod pravideln´ ymi mˇes´ıˇcn´ımi, ˇctvrtletn´ımi, pololetn´ımi a roˇcn´ımi spl´atkami pˇri poˇzadovan´e v´ yplatˇe d˚ uchodu jako zlepˇsen´ı d˚ uchodu starobn´ıho se budeme vˇenovat podrobnˇeji. Je zˇrejm´e, ˇze moˇznost´ı je daleko
v´ıce, ale o tuto problematiku se budeme zaj´ımat tak´e u pojistn´e matematiky. Sezn´am´ıme se t´eˇz okrajovˇe s d˚ uchody vˇeˇcn´ ymi. Kapitola 7
´ ı dluhu˚ Umoˇrovan´ V t´eto kapitole se sezn´am´ıme se z´akladn´ımi pojmy a principy u ´vˇer˚ u, kde si uk´aˇzeme jak vypoˇc´ıtat poˇcet anuit pˇri jejich konstantn´ım zvyˇsov´an´ım kaˇzd´ ym rokem, jak´ ym zp˚ usobem vypoˇc´ıt´ame zbytek u ´vˇeru a tak´e zp˚ usob konstrukce spl´atkov´eho kalend´aˇre jako nejv´ıce pouˇz´ıvan´eho zp˚ usobu pˇri spl´acen´ı u ´vˇeru. Kapitola 8
ˇ zne´ u´ cty ˇ Beˇ V t´eto kapitole si vysvˇetl´ıme pouˇzit´ı u ´rokov´eho ˇc´ısla a u ´rokov´eho dˇelitele pˇri veden´ı bˇeˇzn´ ych u ´ˇct˚ u. K tomu budeme vyuˇz´ıvat metody, kter´e pouˇz´ıvaj´ı jednotliv´e finanˇcn´ı u ´stavy pˇri veden´ı tˇechto u ´ˇct˚ u. Kapitola 9
ˇ Kontokorentn´ı uv ´ ery Vysvˇetlen´ı pojmu Kontokorentn´ı u ´vˇer“, u ´roˇcen´ı kontokorentn´ıch u ´vˇer˚ u a uk´azkov´a ˇreˇsen´ı hypote” tick´ ych u ´loh. Kapitola 10
Aktiva Sezn´amen´ı se z´akladn´ımi pojmy z problematiky aktiv jako: hmotn´a aktiva, finanˇcn´ı aktiva a jejich ˇclenˇen´ı. V´ ypoˇcet kurzu akcie, v´ ynosnost akcie, v´ yplata dividend, ˇreˇsen´ı hypotetick´e u ´lohy.
Obsah
´ Upln y´ obsah ´ 1. Potˇrebne´ zaklady z matematiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ˇ 1.1. Procentovy´ pocet
18
1.2. Funkce
19
Pojem funkce
19
´ ı funkce Linearn´
20
´ ı funkce Exponencialn´
20
Logaritmicka´ funkce
21
1.3. Posloupnosti a rˇady
23
Aritmeticka´ posloupnost
23
Geometricka´ posloupnost
25
ˇ 1.4. Prum ˚ ery
26
ˇ Aritmetick´y pru˚ mer
26
ˇ Geometrick´y pru˚ mer
27
ˇ Harmonick´y pru˚ mer
27
ˇ ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2. Jednoduche´ uro ´ cen´ ´ 2.1. Zakladn´ ı pojmy
30
ˇ ı 2.2. Typy uro ´ cen´
30
Jednoduche´ uroˇ ´ cen´ı polhu˚ tn´ı
31
´ Zakladn´ ı rovnice pro jednoduche´ uroˇ ´ cen´ı
33
Diskont
34
Jednoduche´ uroˇ ´ cen´ı pˇredlhu˚ tn´ı
36
ˇ ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3. Sloˇzene´ uro ´ cen´ ´ ˇ ı 3.1. Zakladn´ ı vztahy pro sloˇzene´ uro ´ cen´
42
´ ´ ˇ ı 3.2. Kombinace jednoducheho a sloˇzeneho uro ´ cen´
44
ˇ doby splatnosti pˇri sloˇzenem ´ uro ˇ ı 3.3. Vypo ´ cet ´ cen´
46
ˇ soucasn ˇ 3.4. Vypo ´ cet e´ hodnoty
48
ˇ urokov 3.5. Vypo ´ cet ´ e´ sazby
50
ˇ uroku ´ uro ˇ ı 3.6. Vypo ´ cet ´ pˇri sloˇzenem ´ cen´
52
´ ı jednoducheho ´ ´ ˇ ı 3.7. Srovnan´ a sloˇzeneho uro ´ cen´
54
´ ı a realn ´ a´ urokov 4. Nominaln´ ´ a´ sazba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.1. Efektivn´ı urokov ´ a´ sazba
58
´ 4.2. Urokov a´ intenzita
59
´ ı a realn ´ a´ urokov 4.3. Nominaln´ ´ a´ sazba
60
5. Spoˇren´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 ´ 5.1. Spoˇren´ı kratkodob e´
64
´ Spoˇren´ı kratkodob e´ pˇredlhu˚ tn´ı
64
´ Spoˇren´ı kratkodob e´ polhu˚ tn´ı
66
5.2. Spoˇren´ı dlouhodobe´
68
Spoˇren´ı dlouhodobe´ pˇredlhu˚ tn´ı
68
Spoˇren´ı dlouhodobe´ polhu˚ tn´ı
69
´ ´ ´ 5.3. Kombinace kratkodob eho a dlouhodobeho spoˇren´ı
70
Kombinovane´ spoˇren´ı pˇredlhu˚ tn´ı
71
Kombinovane´ spoˇren´ı polhu˚ tn´ı
72
6. Duchody ˚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 6.1. Problematika duchod ˚ u˚
76
6.2. Duchod ˚ bezprostˇredn´ı
77
Duchod ˚ bezprostˇredn´ı pˇredlhu˚ tn´ı
77
Duchod ˚ bezprostˇredn´ı polhu˚ tn´ı
78
´ ´ roˇcneˇ Duchody ˚ vyplacen e´ m-krat
79
6.3. Duchod ˚ odloˇzeny´
80
Duchod ˚ odloˇzen´y pˇredlhu˚ tn´ı
80
Duchod ˚ odloˇzen´y polhu˚ tn´ı
81
ˇ y´ 6.4. Duchod ˚ veˇ cn
82
ˇ cn´y pˇredlhu˚ tn´ı Duchod ˚ veˇ
82
ˇ cn´y polhu˚ tn´ı Duchod ˚ veˇ
83
´ ı dluhu˚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 7. Umoˇrovan´ ´ ı dluhu nestejnymi ´ 7.1. Umoˇrovan´ ´ splatkami
89
´ ı dluhu stejnymi 7.2. Umoˇrovan´ ´ anuitami
90
ˇ an´ ´ ı poctu ˇ anuit 7.3. Urcov
92
ˇ zne´ u´ cty ˇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 8. Beˇ ˇ urok 8.1. Metody vypo ´ ctu ´ u˚
96
Zustatkov ˚ a´ metoda
96
ˇ a´ metoda Zpetn
97
Postupna´ metoda
98
ˇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 9. Kontokorentn´ı uv ´ ery ´ cen´ ˇ ı kontokorentn´ıch uv ˇ u˚ 9.1. Uro ´ er
100
10. Aktiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 10.1. Hmotna´ aktiva
106
ˇ ı aktiva 10.2. Financn´
107
10.3. Akcie
110
Pˇr´ıloha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Obsah
´ Uvod
´ Uvod
Studijn´ı pom˚ ucka slouˇz´ı jako samostatn´a uˇcebnice poˇcetn´ıch operac´ı finanˇcn´ı matematiky. Obsahuje vedle v´ yklad˚ u v´ ypoˇcetn´ıch postup˚ u i uk´azkov´e pˇr´ıklady pro pochopen´ı odvozen´ ych vztah˚ u v t´eto publikaci. Pˇredpokl´adan´e znalosti z matematiky nepˇrekraˇcuj´ı stˇredoˇskolskou u ´roveˇ n. Kaˇzdodennˇe se setk´av´ame s ot´azkami, jakou v´ yˇsi u ´roku obdrˇz´ıme od banky za n´aˇs vklad, nebo jak dlouho mus´ıme spoˇrit, abychom naspoˇrili n´ami stanovenou finanˇcn´ı ˇc´astku, nebo kolik zaplat´ıme na u ´roc´ıch pˇri spl´acen´ı u ´vˇeru a jak dlouho jej budeme spl´acet. S tˇemito a s ˇradou dalˇs´ıch podobn´ ych ot´azek se setk´av´ame kaˇzdodennˇe. Pro studenty kombinovan´eho a distanˇcn´ıho studia jsou znalosti z finanˇcn´ı matematiky o to d˚ uleˇzitˇejˇs´ı, nebot’ vztahy odvozen´e v tomto studijn´ım textu pouˇz´ıvaj´ı ve sv´e kaˇzdodenn´ı praxi. Nejde pouze o pouˇz´ıv´an´ı vzorc˚ u, ale tak´e porozumˇen´ı vz´ajemn´ ych vztah˚ u i vysvˇetlen´ı, nejen pro potˇreby koleg˚ u, ale i klient˚ u. Pˇredloˇzen´ y text obsahuje nejen odvozen´ı jednotliv´ ych vztah˚ u pro v´ ypoˇcet ˇz´adan´ ych hodnot, ale i ˇradu uk´azkov´ ych pˇr´ıklad˚ u, kter´e je nutno tak´e spoˇc´ıtat, abyste pochopili praktick´e v´ ypoˇcty nutn´e pro bˇeˇznou praxi. M˚ uˇze se st´at, ˇze nˇekter´ ym v´ yraz˚ um, odvozen´ım a vztah˚ um neporozum´ıte. Proto je velmi vhodn´e si dˇelat pr˚ ubˇeˇzn´e pozn´amky a vaˇse pˇripom´ınky k zdokonalen´ı tˇechto text˚ u budou vˇzdy v´ıtan´e a zlepˇs´ı nejen metodiku, ale i obsah t´eto studijn´ı pom˚ ucky. Na z´avˇer je uvedeno shrnut´ı jednotliv´ ych vzorc˚ u pro potˇreby student˚ u a tak´e pro rychlou orientaci v dan´e problematice.
ˇ Procentovy´ pocet Funkce Posloupnosti a rˇady ˇ Prum ˚ ery
1
´ Potˇrebne´ zaklady z matematiky
´ 1. Potˇrebne´ zaklady z matematiky
C´ıl kapitoly C´ılem t´eto kapitoly je sezn´amit se a zopakovat potˇrebn´e poˇcetn´ı operace a pojmy z matematiky pro lepˇs´ı pochopen´ı studovan´ ych probl´em˚ u. Tato kapitola je pro studenty, kteˇr´ı jsou jiˇz urˇcitou dobu v praxi a na ˇradu z´akladn´ıch poznatk˚ u z matematiky jiˇz zˇc´asti pozapomnˇeli. V t´eto ˇc´asti nebudou uvedeny pˇr´ıklady pro cviˇcen´ı, nebot’ bude slouˇzit pouze pro pochopen´ı vztah˚ u v pˇr´ıˇst´ıch kapitol´ach a vˇzdy se k n´ı m˚ uˇzete vracet a aplikovat tyto poznatky pˇri studiu finanˇcn´ı matematiky. Jsou vˇzdy za kaˇzdou kapitolou uveden´e uk´azkov´e pˇr´ıklady, kter´e postaˇcuj´ı pro zopakov´an´ı jiˇz zapomenut´eho.
ˇ ´ eˇ ˇz Casov a´ zat ˇ Casov´ a z´atˇeˇz nen´ı uv´adˇen´a a ani nutn´a, nebot’ se k t´eto kapitole budete vracet pokud neporozum´ıte studovan´ ym probl´em˚ um finanˇcn´ı matematiky. Nˇekdo se k t´eto kapitole nebude muset vracet v˚ ubec, nebot’ m´a jeˇstˇe v dobr´e pamˇeti jednotliv´e vztahy a pojmy ze stˇredn´ı ˇskoly.
1.1
ˇ Procentovy´ pocet
Procento – vyjadˇruje jednu setinu celku. Pro jedno procento plat´ı: 1 = 0,01 ze z´akladu 100 100 % = jeden celek = cel´ y z´aklad
1%=
V jednoduch´ ych u ´loh´ach s procenty se setk´av´ame s tˇemito veliˇcinami. a) z´ aklad – oznaˇcujeme jej z b) poˇ cet procent – oznaˇcujeme jej p c) procentov´ a ˇ ca ´st – oznaˇcujeme j´ı x Obecnˇe pˇri ˇreˇsen´ı jednoduch´ ych u ´loh vˇetˇsinou zn´ame dvˇe hodnoty a chceme vypoˇc´ıtat tˇret´ı, kterou nezn´ame a podle toho rozliˇsujeme tˇri z´akladn´ı typy u ´loh: z·p a) v´ ypoˇ cet procentov´ eˇ c´ asti: x = 100 x · 100 b) v´ ypoˇ cet z´ akladu: z= p x · 100 c) v´ ypoˇ cet poˇ ctu procent: p= z K v´ ypoˇct˚ um bez pouˇzit´ı uveden´ ych vzorc˚ u m˚ uˇzeme pouˇz´ıt u ´mˇeru nebo trojˇclenku. Pˇr´ıklad 1.1.
Prodejna mˇela sjednan´ y pod´ıl na zisku ve v´ yˇsi 10 % s prodejn´ı ceny v´ yrobku. Kolik je to procent z v´ yrobn´ı ceny v´ yrobku, jestliˇze prodejn´ı cena byla 115 % v´ yrobn´ı ceny?
18
ˇ sen´ ˇ ı. Re
M´ame tedy zjistit, jak velkou ˇc´ast ˇcin´ı zisk ve v´ yˇsi 10 % z prodejn´ı ceny vzhledem k v´ yrobn´ı cenˇe. z = 115, p = 10 %, x =? 115 · 10 z·p = = 11,50 100 100 Zisk ˇcinil 11,50 % z v´ yrobn´ı ceny. x=
Pˇr´ıklad 1.2.
Daˇ n z pˇr´ıjmu ˇcinila pˇri daˇ nov´e sazbˇe 25,5 % ˇc´astku 1250 Kˇc. Jak vysok´ y byl pˇr´ıjem? ˇ sen´ ˇ ı. Re
x = 1 250 Kˇc, p = 25,5 %, z =? z=
x · 100 1 250 · 100 = = 4 901,9608 Kˇc p 25,5
Tuto u ´lohu m˚ uˇzeme vypoˇc´ıtat t´eˇz pomoc´ı u ´mˇery: 25,5 % . . . odpov´ıd´a . . . 1250 Kˇc 100 % . . . odpov´ıd´a . . . z Zap´ıˇseme: z : 1 250 = 100 : 25,5
nebo
100 z = 1 250 25,5
Hrub´ y pˇr´ıjem ˇcinil 4 901,9608 Kˇc
1.2
Funkce
Pro pochopen´ı z´avislost´ı ve finanˇcn´ı matematice si zopakujeme nˇekter´e funkce, na kter´e se budeme pˇri vysvˇetlov´an´ı finanˇcn´ı matematiky odvol´avat. 1.2.1 Pojem funkce Funkc´ı rozum´ıme pˇredpis, kter´ ym kaˇzd´emu ˇc´ıslu x z urˇcit´e mnoˇziny D pˇriˇrazujeme pr´avˇe jedno ˇc´ıslo y z mnoˇziny M . Veliˇcinu x naz´ yv´ame nez´ avisle promˇ ennou. Veliˇcinu y naz´ yv´ame z´ avisle promˇ ennou (z´avis´ı na volbˇe hodnoty x). Mnoˇzinu D vˇsech ˇc´ısel x, pro nˇeˇz je funkce definovan´a, naz´ yv´ame definiˇ cn´ım oborem funkce f . Mnoˇzinu M vˇsech ˇc´ısel y, kter´ ych dan´a funkce nab´ yv´a pro x ∈ D, naz´ yv´ame oborem funkce (oborem funkˇcn´ıch hodnot nebo z´avisl´ ym oborem) dan´e funkce f . ˇ ık´ame, ˇze dvˇe veliˇciny jsou pˇr´ımo u ´ Poznamka. R´ ´mˇern´e, jestliˇze pod´ıl kaˇzd´ ych dvou odpov´ıdaj´ıc´ıch si hodnot xi , yi je roven konstantˇe. Tedy: y1 y2 yn = = ··· = = k. x1 x2 xn
19
´ 1. Potˇrebne´ zaklady z matematiky
Zapisujeme: y = f (x) Pˇr´ıklad 1.3.
Cena za 1 kg pomeranˇc˚ u je 23 Kˇc. Jak´a bude cena za 3 kg pomeranˇc˚ u? Cena za 3 kg pomeranˇc˚ u je z´avisle promˇenn´a, poˇcet kilogram˚ u z´avis´ı na naˇs´ı volbˇe – hodnota nez´avisle promˇenn´a. Potom zap´ıˇseme: y = 23 · x = 23 · 3 = 69 Kˇc.
V matematice jste jistˇe prob´ırali ˇradu funkc´ı jak na z´akladn´ı tak i na stˇredn´ı ˇskole. Pro naˇsi potˇrebu ve finanˇcn´ı matematice si vysvˇetl´ıme pouze ty funkce, kter´e budeme potˇrebovat pro vysvˇetlen´ı nˇekter´ ych funkˇcn´ıch z´avislost´ı a vytvoˇrili si potˇrebn´e pˇredpoklady jejich pochopen´ı. ´ ı funkce 1.2.2 Linearn´ V ekonomick´ ych u ´vah´ach se ˇcasto setk´ame se z´avislost´ı, kterou naz´ yv´ame pˇ r´ım´ a u ´mˇ ernost. Tato pˇr´ım´a u ´mˇernost je zn´azornˇena pr´avˇe line´ arn´ı funkc´ı. Line´arn´ı funkci zapisujeme: y = k · x + q,
x∈R
(1.1)
Tato line´arn´ı funkce pˇredstavuje pˇr´ımku v rovinˇe, kde jsou k, q konstanty – k ud´av´a smˇernici pˇr´ımky a m˚ uˇzeme j´ı vyj´adˇrit jako tg ϕ = k, kde ϕ je u ´hel, kter´ y sv´ır´a pˇr´ımka s osou x. x je nez´avisle promˇenn´a, y je z´avisle promˇenn´a. y
y = kx + q
ϕ q 0
x
Obr´azek 1.1: Graf line´arn´ı funkce ´ ı funkce 1.2.3 Exponencialn´ Pod pojmem exponenci´aln´ı funkce rozum´ıme takovou funkci, kter´a m´a nez´avisle promˇennou exponentu. Exponenci´aln´ı funkci zapisujeme: y = ax,
20
(1.2)
kde definiˇcn´ı obor funkce je: D(f ) = (−∞, ∞) H(f ) = (0, ∞)
Pro a > 1 je funkce rostouc´ı. Pro 0 < a < 1 je funkce klesaj´ıc´ı.
Pro x = 0 je y = 1 u kaˇ zd´ e exponenci´ aln´ı funkce necht’ je a (z´ aklad) jak´ ekoliv re´ aln´ eˇ c´ıslo. Funkˇcn´ı hodnoty exponenci´aln´ı funkce jsou pro libovoln´e hodnoty nez´avisle promˇenn´e x vˇzdy kladn´e. Speci´aln´ım pˇr´ıpadem je exponenci´aln´ı funkce: y = ex,
(1.3)
jej´ımˇz z´akladem je Eulerovo ˇc´ıslo e = 2,71828, a je rostouc´ı pro vˇ sechna x ∈ (−∞, ∞). Exponenci´aln´ı funkc´ı m˚ uˇzeme zn´azornit sloˇzen´e u ´roˇcen´ı, jestliˇze nez´avisle promˇenou je ˇcas t a z´avisle promˇennou je velikost z´ uroˇcen´eho kapit´alu Kt , pˇri zvolen´e u ´rokov´e sazbˇe. y
y = ex
y = ax
1
0
x
Obr´azek 1.2: Graf exponenci´aln´ı funkce 1.2.4 Logaritmicka´ funkce Ze stˇredn´ı ˇskoly je zn´amo, ˇze logaritmick´a funkce je inverzn´ı funkc´ı k funkci exponenci´aln´ı. Definiˇcn´ı obor exponenci´aln´ı funkce je oborem funkˇcn´ıch hodnot funkce logaritmick´e a obor funkˇcn´ıch hodnot exponenci´aln´ı funkce je definiˇcn´ım oborem funkce logaritmick´e. Tedy: D(f ) = (0, ∞) H(f ) = (−∞, ∞)
Logaritmickou funkci zapisujeme: y = loga x,
kde x ∈ (0, ∞).
(1.4)
21
´ 1. Potˇrebne´ zaklady z matematiky
Plat´ı t´eˇz: ay = x ˇ ıslo x urˇc´ıme, jestliˇze umocn´ıme z´aklad logaritmu na logaritmus ˇc´ısla x. C´ y
y = loga x
0
1
x
Obr´azek 1.3: Graf logaritmick´e funkce Pˇr´ıklad 1.4.
Urˇcete ˇc´ıslo x jestliˇze plat´ı: log2 x = 3. ˇ sen´ ˇ ı. 23 = 8, x = 8 Re
Tedy: log2 8 = 3 Pro poˇcetn´ı u ´kony s logaritmy plat´ı tato pravidla: Jestliˇze x a y jsou libovoln´a ˇc´ısla pak plat´ı: a) loga (x · y) = loga x + loga y
b) loga
c) loga xn = n · loga x
d) loga
x y
= loga x − loga y
√ n xm =
m n
· loga x
Pˇr´ıklad 1.5.
log x = log (134,678 · 28,984) = log 134,678 + log 28,984 log x = 2,1292967 + 1,4621583 = 3,591455 x = 3 903,5075 Pˇr´ıklad 1.6.
log x = log (134,678/28,984) = log 134,678 − log 28,984 log x = 2,1292967 − 1,4621583 = 0,6671384 x = 4,646633 Pˇr´ıklad 1.7.
log x = log 1000,05 = 0,05 · log 100 = 0,05 · 2 = 0,1 log x = 0,1 x = 1,25893
22
Pˇr´ıklad 1.8.
√ 0,24 log x = log 453,4 = 3,4/0,24 · log 45 = 14,166667 · 1,6532125 = 23,420511 log x = 23,420511 x = 2,63336562 3
Hodnoty logaritm˚ u ˇc´ısel nalezneme v logaritmick´ ych tabulk´ach, nebo je urˇc´ıme pomoc´ı kapesn´ıho kalkul´atoru.
1.3
Posloupnosti a rˇady
Ve finanˇcn´ı matematice, pojistn´e matematice a ekonomick´ ych v´ ypoˇctech se ˇcasto setk´av´ame s aplikacemi posloupnost´ı a ˇrad. ´ Zakladn´ ı pojmy:
Jestliˇze pˇriˇrad´ıme kaˇzd´emu pˇrirozen´emu ˇc´ıslu n urˇcit´e ˇc´ıslo an , potom ˇc´ısla: a1 , a2 , a3 , . . . , ak , . . . naz´ yv´ame posloupnost. V´ yraz (souˇcet ˇclen˚ u posloupnosti): a1 + a2 + a3 + · · · + ak + . . . naz´ yv´ame ˇ radou a ˇc´ısla a1 , a2 , a3 , . . . , ak , . . . ˇ cleny ˇ rady. Jestliˇze m´a ˇrada koneˇcn´ y poˇcet ˇclen˚ u, naz´ yv´a se koneˇ cnou ˇ radou. Jestliˇze m´a ˇrada nekoneˇcn´ y poˇcet ˇclen˚ u, naz´ yv´a se nekoneˇ cnou ˇ radou. 1.3.1 Aritmeticka´ posloupnost Posloupnost, u kter´e rozd´ıl (diference) dvou po sobˇe jdouc´ıch ˇclen˚ u je konstantn´ı, se naz´ yv´a aritmetick´ a posloupnost. ak+1 − ak = k = d,
kde k je konstanta.
Odvozen´ı: a1 = a1 a2 = a1 + d a3 = a2 + d = a1 + d +d = a1 + 2 · d | {z } a2
.. . an = a1 + (n − 1) · d Takˇze n-t´ y ˇclen vypoˇc´ıt´ame:
an = a1 + (n − 1) · d a1 – je prvn´ı ˇ clen ˇ rady an – je posledn´ı ˇ clen ˇ rady
n – je poˇ cet ˇ clen˚ u d – je diference aritmetick´ e ˇ rady
23
´ 1. Potˇrebne´ zaklady z matematiky
Pro aritmetickou ˇradu plat´ı, ˇze kaˇzd´ y jej´ı ˇclen je aritmetick´ ym pr˚ umˇ erem sv´ ych sousedn´ıch ˇclen˚ u. 1 ak = (ak−1 + ak+1 ) 2 Pro souˇcet n ˇclen˚ u aritmetick´e ˇrady plat´ı: 1 Sn = (a1 + an ) 2 Dosad´ıme-li do naˇseho v´ yrazu za an = a1 + (n − 1) · d, m˚ uˇzeme souˇcet n ˇclen˚ u vyj´adˇrit: n Sn = 2 · a + (n − 1) · d 2 Ze vzorce vypl´ yv´a, ˇze m˚ uˇzeme zp´arovat vˇzdy dva ˇcleny ˇrady – prvn´ı a posledn´ı, druh´ y a pˇ redposledn´ı atd., pˇriˇcemˇz souˇcty tˇechto dvojic jsou konstantn´ı. Takov´ ych dvojic m˚ uˇzeme sestavit polovinu z celkov´eho poˇctu n ˇclen˚ u ˇrady – 2 . Pˇr´ıklad 1.9.
Aritmetick´a posloupnost m´a diferenci d = −12 a n-t´ y ˇclen an = 15. Kolik prvn´ıch ˇclen˚ u posloupnosti m´a souˇcet Sn = 456? Kter´emu ˇc´ıslu se rovn´an prvn´ı ˇclen? Vych´az´ıme ze souˇctu aritmetick´e ˇrady a v´ yrazu pro v´ ypoˇcet n-t´eho ˇclenu: n 2a1 + (n − 1)(−12) 456 = 2 15 = a1 + (n − 1)(−12) Po u ´pravˇe budeme ˇreˇsit jako soustavu dvou rovnic o dvou nezn´am´ ych. 912 = n(2a1 − 12n + 12) 15 = a1 − 12n + 12 =⇒ a1 = 12n + 3 Dosad´ıme do rovnice 912 = n 2(12n + 3) − 12n + 12 a obdrˇz´ıme:
912 = n(24n + 6 − 12n + 12) = n(12n + 18) = 12n2 + 18n 152 = 2n2 + 3n 2n2 + 3n − 152 = 0
ˇ s´ıme jako kvadratickou rovnici: Reˇ n1,2
√ √ 8 −3 ± 9 + 4 · 2 · 152 −3 ± 1225 = = = − 38 2·2 4 8
Poˇcet ˇclen˚ u aritmetick´e ˇrady je n = 8.
Nyn´ı dosad´ıme do v´ yrazu: a1 = 12n + 3 =⇒ a1 = 12 · 8 + 3 = 99 Prvn´ı ˇclen aritmetick´e ˇrady se rovn´a ˇc´ıslu 99.
24
Pˇr´ıklad 1.10.
M´ame vypoˇc´ıtat n-t´ y ˇc´asteˇcn´ y souˇcet, jestliˇze je a1 = 3, d = −1.
Pouˇzijeme v´ yraz pro v´ ypoˇcet souˇctu ˇrady: Sn = n2 2 · a1 + (n − 1) · d n n 2 · 3 + (n − 1)(−1) = (6 − n + 1) = Sn = 2 2 n = (7 − n) 2 n Sn = (7 − n) 2
1.3.2 Geometricka´ posloupnost Posloupnost, u n´ıˇz pod´ıl kter´ ychkoliv dvou po sobˇe jdouc´ıch ˇclen˚ u je konstantn´ı, se naz´ yv´a geometrick´ a posloupnost. Pod´ıl tˇechto dvou ˇclen˚ u naz´ yv´ame kvocientem a znaˇc´ıme jej p´ısmenem q. Odvozen´ı: a1 = a1 a2 = a1 · q a3 = a2 · q = a1 · q · q = a1 · q 2 .. . an = a1 · q n−1 Takˇze n-t´ y ˇclen vypoˇc´ıt´ame: an = a1 · q n−1 Je-li Je-li Je-li Je-li
q q q q
> 1, je ˇ rada rostouc´ı ∈ (0, 1), je ˇ rada klesaj´ıc´ı < 0, je ˇ rada alternuj´ıc´ı (stˇr´ıdav´a) = 1, ˇ rada obsahuje stejn´ eˇ cleny
Pro souˇcet n ˇclen˚ u geometrick´e ˇrady pro q 6= 1 plat´ı: Sn = a1 ·
qn − 1 pro q > 1, q−1
Sn = a1 ·
1 − qn pro q ∈ (0, 1). 1−q
Kaˇzd´ y ˇclen geometrick´e ˇrady je geometrick´ ym pr˚ umˇ erem z jeho dvou sousedn´ıch ˇclen˚ u: √ ak = ak−1 · ak+1 Pˇr´ıklad 1.11.
V geometrick´e posloupnosti je souˇcet prvn´ıch dvou ˇclen˚ u 4 a souˇcet jejich druh´ ych mocnin 10. M´ame urˇcit tuto posloupnost. a1 + a2 = 4 a21 + a22 = 10
25
´ 1. Potˇrebne´ zaklady z matematiky
ˇ sen´ ˇ ı. Re
Z prvn´ı rovnice si vyj´adˇr´ıme a2 a dosad´ıme do druh´e rovnice, z n´ıˇz vypoˇc´ıt´ame kvocient a1 . a2 = 4 − a1 Tento v´ yraz dosad´ıme za a2 do druh´e rovnice a vypoˇc´ıt´ame prvn´ı ˇclen a1 .
a1,2
a21 + (4 − a1 )2 = 10 a21 + 16 − 8a1 + a21 = 10 2a21 − 8a1 + 6 = 0 a21 − 4a1 + 3 = 0 ( √ 3 4 ± 16 − 12 3 = = = 2 1 1
a1 = 3 nebo a1 = 1, a2 = 4 − 3 = 1, a2 = 4 − 1 = 3 =⇒ q = q = 13 = 3.
a2 a1
=
1 3
nebo
Pˇr´ıklad 1.12.
M´ame vypoˇc´ıtat souˇcet geometrick´e ˇrady kde n = 5, q = 1 + r, r = 3 a a1 = 2 000. 45 − 1 1023 (1 + 3)5 − 1 = 2 000 = 2 000 = 682 000 (1 + 3) − 1 4−1 3 Sn = 682 000
Sn = 2 000
1.4
ˇ Prum ˚ ery
ˇ 1.4.1 Aritmeticky´ prum ˚ er Aritmetick´ y pr˚ umˇer xa je pro n ˇc´ısel a1, a2 , . . . , an definov´an jako souˇcet tˇechto ˇc´ısel dˇelen´ y jejich poˇctem. Tedy: n
xa =
a1 + a2 + · · · + an 1X = ai . n n i=1
Jestliˇze jsou mezi dan´ ymi ˇc´ısly ai stejn´a ˇc´ısla, potom m˚ uˇzeme v´ ypoˇcet aritmetick´eho pr˚ umˇeru zjednoduˇsit. Mˇejme poˇcet n1 ˇc´ısel a1 , n2 ˇc´ısel a2 , . . . nr ˇc´ısel ar . Potom xav =
n1 · a1 + n2 · a2 + · · · + nr · ar , n1 + n2 + · · · + nr
kde n = n1 + n2 + · · · + nr .
V tomto pˇr´ıpadˇe mluv´ıme o v´ aˇ zen´ em aritmetick´ em pr˚ umˇ eru, kde ˇc´ısla n1 , n2 ,. . . , nr jsou v´ahy ˇc´ısel a1, a2 ,. . . , ar .
26
S aritmetick´ ym pr˚ umˇerem se setk´av´ame pˇri v´ ypoˇctu napˇr´ıklad stˇredn´ı doby splatnosti v´ıce pohled´avek, oˇcek´avan´e v´ ynosnosti cenn´ ych pap´ır˚ u atd. ˇ 1.4.2 Geometricky´ prum ˚ er Druh´ ym druhem pr˚ umˇeru je geometrick´ y pr˚ umˇ er xg . Mˇejme n kladn´ ych ˇc´ısel a1 , a2 ,..., an ; potom je geometrick´ y pr˚ umˇer definov´an jako n-t´a odmocnina souˇcinu n ˇc´ısel. xg =
√ a1 · a2 · a3 . . . an
Jsou-li mezi dan´ ymi ˇc´ısly nˇekter´a ˇc´ısla stejn´a, m˚ uˇzeme stejnˇe jako u aritmetick´eho pr˚ umˇeru definovat v´ aˇ zen´ y geometrick´ y pr˚ umˇ er. q xgv = an1 1 · an2 2 · an3 3 . . . ank k ˇ 1.4.3 Harmonicky´ prum ˚ er y je opˇet pro n Tˇret´ım druhem pr˚ umˇeru je harmonick´ y pr˚ umˇ er xh , kter´ ˇc´ısel d´an v´ yrazem: xh =
1 1 1 1 . · + + ··· + n a1 a2 an
Stejnˇe jako v pˇredchoz´ıch pˇr´ıpadech, jsou-li mezi dan´ ymi ˇc´ısly ai nˇekter´a ˇc´ısla stejn´a, m˚ uˇzeme definovat v´aˇzen´ y harmonick´ y pr˚ umˇer vztahem: xhv =
1 n1 n2 nk . · + + ··· + n a1 a2 ak
ˇ Vztah mezi aritmetickym, ´ geometrickym ´ a harmonickym ´ prum ˚ erem
Mezi aritmetick´ ym, geometrick´ ym a harmonick´ ym pr˚ umˇerem existuje vz´ajemn´ y vztah. Pro vˇsechna ai 6= aj , kde i, j = 1, 2, . . . , n vˇzdy plat´ı: xa < xg < xh
27
´ 1. Potˇrebne´ zaklady z matematiky
28
´ Zakladn´ ı pojmy ˇ ı Typy uro ´ cen´
2
ˇ ı Jednoduche´ uro ´ cen´
ˇ ı 2. Jednoduche´ uro ´ cen´
C´ıl kapitoly C´ılem t´eto prvn´ı kapitoly je pochopit probl´emy jednoduch´eho u ´roˇcen´ı pˇredlh˚ utn´ıho i polh˚ utn´ıho. Nauˇcit se na z´akladˇe odvozen´ ych v´ yraz˚ u vypoˇc´ıtat jednotliv´e hodnoty a umˇet je v bˇeˇzn´e praxi pouˇz´ıt.Velmi d˚ uleˇzitou ˇc´ast´ı je pojem u ´rokov´eho ˇc´ısla a u ´rokov´eho dˇelitele, kter´a slouˇz´ı v praxi k v´ ypoˇctu u ´rok˚ u pˇri r˚ uzn´e hodnotˇe vkladu a v odliˇsn´em ˇcase. Dalˇs´ım d˚ uleˇzit´ ym pojmem je diskontn´ı faktor, kter´ y se v ekonomick´e praxi vyskytuje velmi ˇcasto v pojmech souˇcasn´a hodnota, cena dluhopisu do doby splatnosti, cena dluhopisu atd. T´eto ˇc´asti je nutno vˇenovat patˇriˇcnou pozornost, spoˇc´ıtat uk´azkov´e pˇr´ıklady a postup jejich ˇreˇsen´ı i spoˇc´ıtat pˇr´ıklady uveden´e za touto kapitolou. Jedinˇe umˇen´ı prakticky pouˇz´ıvat odvozen´e v´ yrazy budou svˇedˇcit o pochopen´ı t´eto kapitoly.
ˇ ´ eˇ ˇz Casov a´ zat Prostudov´an´ı a pochopen´ı vztah˚ u t´eto kapitoly vyˇzaduje 9 hod.
2.1
´ Zakladn´ ı pojmy
´ Urok : je to odmˇena za doˇcasn´e uˇz´ıv´an´ı penˇeˇzit´e ˇc´astky (kapit´alu). Z pohledu
vkladatele (vˇeˇritele) je u ´rok odmˇ enou, kterou dost´av´a za to, ˇze poskytl sv˚ uj kapit´al doˇcasnˇe nˇekomu jin´emu. Naopak z pohledu dluˇzn´ıka je u ´rok cena, ´ kterou plat´ı dluˇzn´ık za z´ısk´an´ı kapit´alu (´ uvˇeru). Urok se ˇr´ıd´ı procentn´ım pomˇerem k uˇz´ıvan´e ˇc´astce a dobou uˇz´ıv´an´ı t´eto ˇc´astky. Vyj´adˇr´ıme-li u ´rok v procentech z hodnoty kapit´alu, obdrˇz´ıme u ´rokovou sazbu (´ urokovou m´ıru). ´ ´ Urokov e´ obdob´ı: je to doba, za kterou se u ´roky pravidelnˇe pˇripisuj´ı. Urokov´ e obdob´ı b´ yv´a zpravidla: roˇ cn´ı pololetn´ı ˇ ctvrtletn´ı mˇ es´ıˇ cn´ı t´ ydenn´ı denn´ı
a a a a a a
znaˇc´ı se znaˇc´ı se znaˇc´ı se znaˇc´ı se znaˇc´ı se znaˇc´ı se
p. a. p. s. p. q. p. m. p. sept. p. d.
(per (per (per (per (per (per
annum) semestre) quartalae) mensem) septimanam) diem)
Pro vyj´adˇren´ı d´elky u ´rokov´eho obdob´ı se vych´az´ı z r˚ uzn´ ych zvyklost´ı, z nichˇz se nejˇcastˇeji uˇz´ıv´a Anglick´ a metoda: je zaloˇzena na skuteˇcn´em poˇctu dn˚ uu ´rokov´eho obdob´ı a d´elce roku 365 dn´ı, v pˇrestupn´em roce pak 366 dn´ı. Francouzsk´ a metoda: je zaloˇzena na skuteˇcn´em poˇctu dn˚ uu ´rokovac´ıho obdob´ı a d´elce roku 360 dn´ı, (mezin´ arodn´ı). Nˇ emeck´ a metoda: je zaloˇzena na kombinaci zapoˇc´ıt´av´an´ı cel´ ych mˇes´ıc˚ u jako 30 dn´ı a d´elky roku pak 360 dn´ı, (obchodn´ı). V bˇeˇzn´e praxi se m˚ uˇzeme setkat se vˇsemi metodami. V naˇsich u ´vah´ach a ˇreˇsen´ ych pˇr´ıkladech pro jednoduchost budeme nejˇcastˇeji pouˇz´ıvat nˇ emeckou metodu.
30
2.2
ˇ ı Typy uro ´ cen´
Rozliˇsujeme dva z´akladn´ı typy u ´roˇcen´ı: a) Jednoduch´ e u ´roˇ cen´ı: u ´roky se poˇc´ıtaj´ı st´ale z p˚ uvodn´ıho kapit´alu K0 . b) Sloˇ zen´ e u ´roˇ cen´ı: u ´roky se pˇripisuj´ı k p˚ uvodn´ımu kapit´alu (penˇeˇzn´ı ˇc´astce) a spolu s n´ım se d´ale u ´roˇc´ı. ´ cen´ı dˇel´ıme t´eˇz podle toho, kdy doch´az´ı k placen´ı u Uroˇ ´roku. Jestliˇze se u ´roky plat´ı na konci u ´rokov´ eho obdob´ı, mluv´ıme o u ´rokov´ an´ı polh˚ utn´ım – dekurzivn´ım. Jestliˇze doch´az´ı k placen´ı u ´rok˚ u na zaˇ c´ atku u ´rokovac´ıho obdob´ı, mluv´ıme ou ´rokov´ an´ı pˇ redlh˚ utn´ım – anticipativn´ım. ˇ ı polhutn´ 2.2.1 Jednoduche´ uro ´ cen´ ˚ ı U jednoduch´eho u ´roˇcen´ı, jak bylo ˇreˇceno dˇr´ıve, se u ´roˇc´ı st´ale pouze z´akladn´ı kapit´al (penˇeˇzn´ı ˇc´astka). Vypl´acen´e u ´roky se k n´ı nepˇriˇc´ıtaj´ı, nevznik´a tedy u ´rok z u ´rok˚ u. Protoˇze uvaˇzujeme o u ´rokov´an´ı polh˚ utn´ım, u ´roky budou vypl´aceny vˇzdy po uplynut´ı u ´rokov´eho obdob´ı, ke kter´emu se vztahuj´ı. Oznaˇcme si u K p d
– – – –
u ´rok v Kˇc, kapit´al, penˇeˇzn´ı ˇc´astka v Kˇc, u ´rokov´a sazba v procentech, doba splatnosti kapit´alu ve dnech.
Potom u ´rok vypoˇc´ıt´ame ze vztahu u= Jestliˇze vyj´adˇr´ıme
K ·p·d . 100 · 360
p d =i a = t, 100 360 potom obdrˇz´ıme u ´rokovou sazbu jako desetinn´e ˇc´ıslo a splatnost v letech a u ´rok vypoˇc´ıt´ame u = K · i · t, kde:
i –u ´rokov´a sazba vyj´adˇren´a v setin´ach. Je to u ´rok z 1 Kˇc za 1 rok. t – doba splatnosti vyj´adˇren´a v letech. Z grafu na obr´azku 2.1 je vidˇet, ˇze koneˇ cn´ y kapit´ al pˇri st´al´e u ´rokov´e sazbˇe je line´ arn´ı funkc´ı ˇcasu (line´arn´ı funkce). Jestliˇze se bude mˇenit v´ yˇse ukl´adan´eho kapit´alu pˇri stejn´e u ´rokov´e sazbˇe bˇehem u ´rokovac´ıho obdob´ı, potom pro v´ ypoˇcet u ´rok˚ u pouˇz´ıv´ame tzv. u ´rokov´ ych ˇ c´ısel a u ´rokov´ ych dˇ elitel˚ u. ´ ˇ ıslo U C a) Urokov e´ c´
UC =
K ·d , 100
31
ˇ ı 2. Jednoduche´ uro ´ cen´
kapit´al u ´ rok i = 20 % i = 10 % u ´ rok poˇca´teˇcn´ı kapit´al K
t
ˇcas
Obr´azek 2.1: Graf z´avislosti v´ yˇse kapit´alu na ˇcase a v´ yˇsce u ´rokov´e sazby kde d je splatnost ve dnech a K kapit´al. ´ ˇ b) Urokov y´ delitel UD
´ Urokov´ y dˇelitel vyjadˇruje poˇcet dn´ı, za kter´e z´ısk´ ame u ´rok 1 Kˇ c ze 100 Kˇ c UD =
360 , p
kde p je u ´rokov´a sazba v %. Potom u ´rok vypoˇc´ıt´ame u=
UC . UD
Pˇr´ıklad 2.1.
Jestliˇze ˇc´astka K1 je uloˇzena a tedy u ´roˇcena d1 dn´ı, ˇc´astka K2 je uloˇzena a u ´roˇcena d2 dn´ı, . . . , ˇc´astka Kn , dn dn´ı a pˇritom vˇsechny pˇri stejn´e u ´rokov´e sazbˇe p, potom u ´rokov´a ˇc´ısla budou K1 · d1 K2 · d2 Kn · dn , U C2 = , . . . , U Cn = . 100 100 100 Protoˇze se nemˇen´ı u ´rokov´ y dˇelitel, m˚ uˇzeme jej vytknout pˇred z´avorku a u ´rok vypoˇc´ıtat 1 u= · (U C1 + U C2 + · · · + U Cn ) UD nebo n P U Cj j=1 u= . UD Tohoto zp˚ usobu se nejv´ıce vyuˇz´ıv´a pˇri v´ ypoˇctu u ´rok˚ u na bˇeˇzn´ ych u ´ˇctech. U C1 =
Pˇr´ıklad 2.2.
Podnikatel si postupnˇe vyp˚ ujˇcil: 16.1. ˇc´astku 60 000 Kˇc, 21.2. ˇc´astku 40 000 Kˇc, 8.3. ˇc´astku 30 000 Kˇc.
32
Roˇcn´ı u ´rokov´a sazba u vˇsech p˚ ujˇcek je 12 %. Chceme zjistit, kolik zaplat´ı koncem roku na u ´roc´ıch. ˇ sen´ ˇ ı. Re
K1 = 60 000 Kˇc, d1 = 16.1. − 30.12. K2 = 40 000 Kˇc, d2 = 21.2. − 30.12. K3 = 30 000 Kˇc, d3 = 8.3. − 30.12. d1 = (12 − 1) · 30 + (30 − 16) = 344 dn´ı, d2 = (12 − 2) · 30 + (30 − 12) = 309 dn´ı, d3 = (12 − 3) · 30 + (30 − 8) = 292 dn´ı. 1 K1 · d1 K2 · d2 K3 · d3 p = u= (U C1 + U C2 + U C3 ) = + + UD 360 100 100 100 12 60 000 · 344 40 000 · 309 30 000 · 292 = + + = 360 100 100 100 206 400 + 123 600 + 87 600 = 13 920. = 30 Podnikatel koncem roku zaplat´ı 13 920 Kˇc. ´ ˇ ı 2.2.2 Zakladn´ ı rovnice pro jednoduche´ uro ´ cen´ V pˇredch´azej´ıc´ı kapitole jsme se sezn´amili, jak´ ym zp˚ usobem vypoˇc´ıt´ame v´ yˇsi u ´roku za urˇcit´e obdob´ı. V praxi n´as vˇsak zaj´ım´a v´ yˇse z´ uroˇcen´eho kapit´alu (vˇcetnˇe u ´rok˚ u) po urˇcit´em obdob´ı. Koneˇcnou v´ yˇsi kapit´alu (Kt ) za obdob´ı t obdrˇz´ıme jako souˇ cet poˇ c´ ateˇ cn´ıho kapit´ alu a u ´rok˚ u za toto obdob´ı. Tedy Kt = K0 + u, dosad´ıme-li do tohoto v´ yrazu za u = K0 · i · t, obdrˇz´ıme Kt = K0 + K0 · i · t = K0 · (1 + i · t), kde K0 – poˇc´ateˇcn´ı hodnota kapit´alu (z´akladn´ı penˇeˇzn´ı ˇc´astka, z´akladn´ı kapit´al), y kapit´al za dobu t (stav kapit´alu po z´ uroˇcen´ı za dobu t), Kt – koneˇcn´ ´rokov´a sazba v setin´ach, i – roˇcn´ı u t – doba splatnosti kapit´alu v letech. Jestliˇze vyj´adˇr´ıme v naˇsem v´ yrazu splatnost ve dnech a u ´rokovou sazbu v procentech, obdrˇz´ıme p·d Kt = K0 · 1 + . 100 · 360 Jestliˇze zvol´ıme K0 = 1 Kˇc a t = 1, bude Kt = 1 + i. V´ yraz 1 + i se naz´ yv´a u ´rokovac´ı faktor (´ uroˇcitel). Ud´av´a, na kolik vzroste 1 Kˇc za 1 rok pˇri u ´rokov´e sazbˇe i.
33
ˇ ı 2. Jednoduche´ uro ´ cen´
Ze z´akladn´ı rovnice m˚ uˇzeme vypoˇc´ıtat dalˇs´ı d˚ uleˇzit´e hodnoty: K0 , t, i. a) V´ ypoˇ cet poˇ c´ ateˇ cn´ı hodnoty K0 Kt u = . 1+i·t i·t
K0 =
Odvozen´ı: v´ıme, ˇze Kt = K0 · (1 + i · t). Tento v´ yraz rozn´asob´ıme a dostaneme K0 + K0 · i · t = Kt ⇒ K0 · i · t = Kt − K0 = u. Potom
u . i·t b) V´ ypoˇ cet doby splatnosti (doby u ´roˇ cen´ı) t K0 =
t=
u Kt − K0 = . K0 · i K0 · i
c) V´ ypoˇ cet u ´rokov´ e sazby i i=
u Kt − K0 = . K0 · t K0 · t
2.2.3 Diskont ˇ Casto ve finanˇcn´ı a ekonomick´e praxi se setk´av´ame s t´ım, ˇze potˇrebujeme porovnat hodnoty kapit´alu v ˇcase. Kapit´al v ˇcase m´a r˚ uznou hodnotu: ˇc´ım dˇr´ıve kapit´al budeme m´ıt, t´ım dˇr´ıve jej m˚ uˇzeme investovat a za dobu t se n´am z´ uroˇc´ı – ponese n´am u ´rok. Abychom mohli porovn´avat kapit´al v ˇcase, potˇrebujeme zn´at pojem souˇ casn´ a hodnota. Souˇ casnou hodnotou kapit´ alu rozum´ıme kapit´al, kter´ y po z´ uroˇcen´ı v ˇcasov´em obdob´ı dos´ahne budouc´ı hodnotu. Jestliˇze oznaˇc´ıme souˇcasnou hodnotu K0 a budouc´ı hodnotu Kt , potom souˇcasnou hodnotu vypoˇc´ıt´ame K0 =
Kt . 1+i·t
V´ ypoˇcet souˇcasn´e hodnoty se naz´ yv´a t´eˇz diskontov´ an´ı. Jestliˇze je Kt = 1 Kˇc a i u ´rokov´a sazba v setin´ach a t = 1 rok, potom K0 ud´av´a souˇcasnou hodnotu 1 Kˇc splatn´e za rok pˇri u ´rokov´e sazbˇe i. 1 naz´ yv´ame diskontn´ım faktorem a ud´av´a souˇcasnou hodPotom v´ yraz 1+i notu 1 Kˇc splatn´e za 1 rok pˇri u ´rokov´e sazbˇe i.
Pˇr´ıklad 2.3.
Co je v´ yhodnˇejˇs´ı pˇri koupi daru? Zaplatit za nˇej nyn´ı v hotovosti 8 000 Kˇc nebo si na nˇej vyp˚ ujˇcit a zaplatit za rok s u ´rokem 8 300 Kˇc, kdyˇz banka nab´ız´ı u ´rokovou sazbu 7 % p. a.?
34
ˇ sen´ ˇ ı. Re
Kt , 1+i·t 8 300 8 300 = = 7 757,0094 ∼ = = 7 757. 1 + 0,07 · 1 1,07
K0 = K0
Porovn´an´ı obou zp˚ usob˚ u: a) platba v hotovosti 8 000 Kˇc b) platba na p˚ ujˇcku 7 757 Kˇc c) 8 000 Kˇc > 7 757 Kˇc V tomto pˇr´ıpadˇe je v´ yhodnˇejˇs´ı zaˇz´adat o p˚ ujˇcku, nebot’ souˇcasn´a hodnota 8 300 Kˇc, kter´e m´ame zaplatit za rok, je pr´avˇe dnes 7 757 Kˇc. Tedy, zaplat´ımeli za rok 8 300 Kˇc, je to, jako bychom dnes zaplatili 7 757 Kˇc. Hotovostn´ı zp˚ usob placen´ı je m´enˇe v´ yhodn´ y. Diskont je tedy u ´rok ode dne v´ yplaty do dne splatnosti. Diskont m˚ uˇzeme poˇc´ıtat z budouc´ı hodnoty Kt nebo ze souˇ casn´ e hodnoty K0 . Podle zp˚ usobu v´ ypoˇctu rozezn´av´ame: a) Diskont obchodn´ı Dob – v´ ypoˇcet diskontu z budouc´ı hodnoty. b) Diskont matematick´ y Dmat – v´ ypoˇcet diskontu ze souˇcasn´e hodnoty. a) Diskont obchodn´ı
Dob = Kt · iD · t, kde iD je diskontn´ı sazba v setin´ach. Oznaˇcme Kob obchodn´ı kapit´ al (ˇc´astka, kterou banka vyplat´ı), potom Kob = Kt − Dob = Kt − Kt · iD · t = Kt · (1 − iD · t). Pˇri zaplacen´ı pohled´avky banka nevyplat´ı vˇeˇriteli (klientovi) celou nomin´aln´ı hodnotu (budouc´ı hodnotu), ale hodnotu kapit´alu sn´ıˇzenou o obchodn´ı diskont Dob . Pˇr´ıklad 2.4.
M´ame vypoˇc´ıtat, kolik dostane vyplaceno klient, jemuˇz banka eskontuje (zaplat´ı dˇr´ıve) smˇenku o nomin´aln´ı hodnotˇe 20 000 Kˇc 35 dn´ı pˇred dobou splatnosti pˇri diskontn´ı sazbˇe 0,09 p. a. Pˇredpokl´ad´ame, ˇze banka ne´ uˇctuje dalˇs´ı provize. ˇ sen´ ˇ ı. Re
Kob =?,
Kt = 20 000 Kˇc,
iD = 0,09,
t = 35 dn´ı = 0,0972 rok˚ u.
Tedy Kob = Kt ·(1−iD ·t) = 20 000·(1−0,09·0,0972) = 20 000·0,9913 = 19 826 Kˇc. Klient dostane pen´ıze od banky o 35 dn´ı dˇr´ıve, ale m´ısto 20 000 Kˇc pouze 19 826 Kˇc, nebot’ banka si zapoˇc´ıtala obchodn´ı diskont.
35
ˇ ı 2. Jednoduche´ uro ´ cen´
b) Diskont matematicky´
Matematick´ y diskont vypoˇc´ıt´ame jako u ´rok ze souˇcasn´e hodnoty. Tedy Dmat = K0 · iD · t. Jestliˇze do dan´eho v´ yrazu dosad´ıme za K0 = Dmat =
Kt , 1+iD ·t
obdrˇz´ıme
Kt · iD · t . 1 + iD · t
Z obchodn´ıho diskontu v´ıme, ˇze Dob = Kt · iD · t. Dosad´ıme-li tento vztah do ˇcitatele z pˇredch´azej´ıc´ıho v´ yrazu, obdrˇz´ıme vztah mezi matematick´ ym a obchodn´ım diskontem. Dmat =
Dob ⇒ Dob > Dmat . 1 + iD · t
ˇ ı pˇredlhutn´ 2.2.4 Jednoduche´ uro ´ cen´ ˚ ı Nˇekdy se setk´av´ame s u ´roˇcen´ım pˇ redlh˚ utn´ım (anticipativn´ım), kdy je u ´rok placen na zaˇ c´ atku u ´rokovac´ıho obdob´ı. Pˇr´ıjemce kapit´alu nedost´av´a celou ˇc´astku Kt , ale kapit´al sn´ıˇzen´ y ou ´rok, coˇz je vlastnˇe obchodn´ı diskont. Pˇredpokl´adejme, ˇze doba splatnosti kapit´alu bude jeden rok, a proto zaplat´ıme u ´rok za tento jeden rok. Jestliˇze oznaˇc´ıme y za jeden rok, K1 – kapit´al splatn´ ´rokov´a sazba v setin´ach p. a., I –u y kapit´al (hodnota dluhu na poˇc´atku), K0 – vyplacen´ potom
K0 . 1−I Jestliˇze chceme vyj´adˇrit hodnotu kapit´alu Kt v ˇcase t, kde t ∈ h0, 1i, tedy v libovoln´em ˇcase mezi dobou v´ yplaty a dobou splatnosti pˇri pˇredlh˚ utn´ım (anticipativn´ım) u ´roˇcen´ı, bude platit K0 = K1 − K1 · I = K1 · (1 − I) ⇒ K1 =
Kt = K0 + K1 · I · t. Jestliˇze do naˇs´ı rovnice dosad´ıme za K1 = jednoduch´e pˇredlh˚ utn´ı u ´roˇcen´ı ve tvaru
K0 , 1−I
z´ısk´ame z´akladn´ı rovnici pro
K0 I Kt = K0 + · I · t = K0 · 1 + ·t . 1−I 1−I Porovn´ an´ı jednoduch´ eho polh˚ utn´ıho a pˇ redlh˚ utn´ıho u ´roˇ cen´ı (dekurzivn´ıho a anticipativn´ıho): Rovnice pro z´ uroˇ cen´ y kapit´ al Jednoduch´ e polh˚ utn´ı Kt = K0 · (1 + i · t)
36
Jednoduch´ e pˇ redlh˚ utn´ ı I Kt = K0 · 1 + 1−I · t nebo Kt = K1 · [1 + I · (t − 1)]
Z uveden´ ych rovnic je vidˇet, ˇze z´avislost koneˇcn´eho kapit´alu resp. u ´roku je u obou rovnic line´arn´ı. K0 – kapit´al, kter´ y obdrˇz´ı K0 – poˇc´ateˇcn´ı kapit´al, kter´ y je klient a kter´ y se s ˇcasem t s ˇcasem t u ´roˇcen u ´ roˇ c ´ ı a plat´ ı i–u ´rokov´a sazba polh˚ utn´ı (dekurzivn´ı) K0 = K1 · (1 − I) I i= I –u ´rokov´a sazba pˇredlh˚ ut1−I n´ı (anticipativn´ı) Plat´ı vztah i=
I 1−I
I=
nebo
i 1+i
Z´ avˇ er: Jestliˇze u ´roˇc´ıme tent´ yˇz kapit´al K0 pˇredlh˚ utnˇe nebo polh˚ utnˇe (s od´ pov´ıdaj´ıc´ı u ´rokovou sazbou), v´ ysledn´ y z´ uroˇcen´ y kapit´al je shodn´ y. Urokov´ an´ı se liˇs´ı pouze zp˚ usobem pˇripisov´an´ı u ´rok˚ u. Pˇr´ıklad 2.5.
Kt =?,
K0 = 100 Kˇc,
i = 0,08,
I=
i , 1+i
t = 9 mˇes´ıc˚ u.
ˇ sen´ ˇ ı. Re
Polh˚ utnˇe (dekurzivnˇe) Kt = K0 · (1 + i · t)
Kt = 100 · (1 + 0,08 · 0,75) = 106 Kt = 106 Kˇc
Pˇredlh˚ utnˇe (anticipativnˇ e) I Kt = K0 · 1 + 1−I · t
Kt = 100 · 1 + = 105,9999 Kt = 105,99 Kˇc
0,074074 1−0,074074
· 0,75 =
Pˇr´ıklad 2.6.
Pˇredpokl´adejme u ´vˇer ve v´ yˇsi 100 Kˇc, splatn´ y najednou za 1 rok pˇri u ´rokov´e sazbˇe 10 % p. a. Jak´ y je rozd´ıl mezi polh˚ utn´ım a pˇredlh˚ utn´ım u ´roˇcen´ım? ˇ sen´ ˇ ı. Re
Polh˚ utn´ı: K0 = 100, i = 0,1, t = 1, Kt =? K1 = K0 · (1 + i · t) = 100 · 1,1= = 110 Kˇc Na konci roku je nutno zaplatit celkem 110 Kˇc, to znamen´a 100 Kˇc u ´vˇeru plus 10 Kˇc u ´roku.
Pˇredlh˚ utn´ı: Kt = 100, I = 0,1, t = 1, K0 =? K0 = K1 · (1 − I) = 100 · 0,9 = = 90 Kˇc Pˇri pˇredlh˚ utn´ım u ´roˇcen´ı z u ´vˇeru ve v´ yˇsi 100 Kˇc obdrˇz´ıme pouze 90 Kˇc (100 Kˇc minus u ´rok) a po roce mus´ıme zaplatit cel´ ych 100 Kˇc.
Pˇr´ıklad 2.7.
Kolik dostane vyplaceno klient, kter´ y si vyp˚ ujˇcil od banky 120 000 Kˇc pˇri 15 % pˇredlh˚ utn´ı u ´rokov´e sazbˇe na dobu 1 roku? Kolik zaplat´ı bance, jestliˇze se rozhodne dluh vr´atit jiˇz za 8 mˇes´ıc˚ u?
37
ˇ ı 2. Jednoduche´ uro ´ cen´
ˇ sen´ ˇ ı. Vyplacen´ Re a ˇc´astka u ´vˇeru bankou bude ˇcinit
K0 = K1 · (1 − I) = 120 000 · (1 − 0,15) = 120 000 · 0,85 = 102 000 Kˇc. Hodnota u ´vˇeru po 8 mˇes´ıc´ıch bude Kt = K1 · [1 + (t − 1) · I] = 120 000 · [1 + (8/12 − 1) · 0,15] = = 120 000 · (1 − 1/3 · 0,15) = 114 000 Kˇc. Klient dostane vyplaceno 102 000 Kˇc a po 8 mˇes´ıc´ıch zaplat´ı 114 000 Kˇc. ´ Poznamka. Hodnota dluhu se d´a tak´e vypoˇc´ıtat tak, ˇze od nomin´aln´ı hodnoty
dluhu odeˇcteme obchodn´ı diskont za 4 mˇes´ıce. Dob = Kt · iD · t = 120 000 · 0,15 · 4/12 = 120 000 · 0,15 · 1/3 = 6 000 Kˇc. Klient zaplat´ı za 8 mˇes´ıc˚ u 120 000 − 6 000 = 114 000 Kˇc.
´ ˇ Otazky k zamyslen´ ı 1. Klient mˇ el od 8.3.2000 do 5.5.2000 uloˇzeno ve spoˇritelnˇe 15 000,00 Kˇc
na 8 % u ´rokovou sazbu p. a. Kolik Kˇc ˇcinil u ´rok za tuto dobu? [193,33 Kˇc] 2. Vypoˇ c´ıtejte u ´rokov´ y v´ ynos a koneˇcnou hodnotu pˇri vkladu K0 = 3 000 Kˇc pˇri 4 % p. a. za 2 roky. [u = 240 Kˇc, Kt = 3 240 Kˇc] 3. Na jakou dobu mus´ıme investovat 800 Kˇ c pˇri pˇri u ´rokov´e sazbˇe 5 % p. a., abychom z´ıskali na u ´roc´ıch 120 Kˇc? [t = 3 roky] 4. Jak´ a byla roˇcn´ı u ´rokov´a m´ıra pˇri vkladu 700 Kˇc, abychom na u ´roku z´ıskali 42 Kˇc za 3 roky? [i = 3 %] 5. Vypoˇ c´ıtejte souˇcasnou hodnotu K0, jestliˇze za 2 roky pˇri 6 % p. a. byla hodnota vkladu 784 Kˇc. [K0 = 700 Kˇc] 6. Pan Voz´ ablo si vyp˚ ujˇcil 7 500 Kˇc pˇri u ´rokov´e sazbˇe 7 % p. a. dne 10.
dubna. 10. kvˇetna splatil polovinu dluhu a celou ˇc´astku u ´roku dluˇznou k 10. kvˇetnu. Kolik celkem zaplatil bance? [3 794 Kˇc] 7. Vypoˇ c´ıtejte u ´rok pomoc´ı U C, U D, jestliˇze klient uloˇzil do banky 4.1.
ˇc´astku 8 000 Kˇc, dne 18.2. ˇc´astku 4 500 Kˇc a 14.4. ˇc´astku 2 400 Kˇc. ´ Urokov´ a sazba byla 6 % p. a. Kolik Kˇc z´ıskal klient za tuto dobu na u ´roc´ıch? [u = 811,066 Kˇc] 8. Na jakou hodnotu se z´ uroˇcil vklad 120 000 Kˇc za 2 roky, 8 mˇes´ıc˚ u a 21
dn´ı, je-li u ´roˇcen v bance pˇri u ´rokov´e sazbˇe 6 % p. a.? [Kt = 140 697,20 Kˇc] 9. Podnikatel prod´ a bance smˇenku v nomin´aln´ı hodnotˇe 200 000 Kˇc, kter´a
je splatn´a za 2 roky. Podle stavu nab´ıdky a popt´avky po cenn´ ych pap´ırech na burze j´ı banka kupuje s diskontn´ı sazbou 15 % p. a. Kolik Kˇc obdrˇz´ı podnikatel za smˇenku? [140 000 Kˇc]
38
10. Dluˇ zn´ık vystavil dluˇzn´ı u ´pis na 20 000 Kˇc, splatn´ ych i s u ´rokem za 8
mˇes´ıc˚ u pˇri 8 % p. a. Za mˇes´ıc po vystaven´ı dluˇzn´ıho u ´pisu jej vˇeˇritel prodal jin´e osobˇe, kter´a diskontuje dluˇzn´ı u ´pisy 9 % p. a. Kolik dostane vˇeˇritel za dluˇzn´ı u ´pis? [20 015,84 Kˇc]
39
ˇ ı 2. Jednoduche´ uro ´ cen´
40
´ ˇ ı Zakladn´ ı vztahy pro sloˇzene´ uro ´ cen´ ´ ´ ˇ ı Kombinace jednoducheho a sloˇzeneho uro ´ cen´ ˇ doby splatnosti pˇri sloˇzenem ´ uro ˇ ı Vypo ´ cet ´ cen´ ˇ soucasn ˇ Vypo ´ cet e´ hodnoty ˇ urokov Vypo ´ cet ´ e´ sazby ˇ uroku ´ uro ˇ ı Vypo ´ cet ´ pˇri sloˇzenem ´ cen´ ´ ı jednoducheho ´ ´ ˇ ı Srovnan´ a sloˇzeneho uro ´ cen´
3
ˇ ı Sloˇzene´ uro ´ cen´
ˇ ı 3. Sloˇzene´ uro ´ cen´
C´ıl kapitoly V prvn´ı kapitole jsme mluvili o jednoduch´em u ´roˇcen´ı, kde se u ´roky poˇc´ıtali vˇzdy z poˇc´ateˇcn´ıho uloˇzen´eho kapit´alu. V n´asleduj´ıc´ı kapitole se sezn´am´ıme s v´ ypoˇctem u ´rok˚ u, kdy se tento u ´rok poˇc´ıt´a jiˇz z u ´roˇcen´eho kapit´alu. To znamen´a, ˇze koncem u ´rokovac´ıho obdob´ı se k vloˇzen´emu kapit´alu pˇripoˇc´ıt´a u ´rok a z takto jiˇz z´ uroˇcen´eho kapit´alu na konci dalˇs´ıho u ´rokovac´ıho obdob´ı se vypoˇc´ıt´a u ´rok nov´ y. C´ılem je tedy pochopit tento zp˚ usob u ´roˇcen´ı a uvˇedomˇen´ı si, ˇze lze roˇcn´ı u ´rokovac´ı obdob´ı rozdˇelit na obdob´ı kratˇs´ı neˇz jeden rok a dokonce zav´est i spojit´e u ´rokovac´ı obdob´ı, v teorii nejen finanˇcn´ı matematiky, ale i pojistn´e matematiky pouˇz´ıvan´e. D˚ uleˇzitou ˇc´ast´ı t´eto kapitoly je z uveden´ ych v´ yraz˚ u vypoˇc´ıtat pro n´as potˇrebn´e hodnoty a v praxi je pouˇz´ıt. Dalˇs´ım d˚ uleˇzit´ ym pojmem je kombinace jednoduch´eho a sloˇzen´eho u ´roˇcen´ı a z odvozen´ ych v´ yraz˚ u v´ ypoˇcet jednotliv´ ych hodnot, kter´e jsou pro bˇeˇznou praxi potˇrebn´e.
ˇ ´ eˇ ˇz Casov a´ zat Prostudov´an´ı a pochopen´ı vztah˚ u t´eto kapitoly vyˇzaduje 12 hod. ´ Uvod
Doposud jsme vych´azeli z toho, ˇze se u ´roky poˇc´ıtaj´ı st´ale ze stejn´eho z´akladu –u ´roky rostly line´ arnˇ e. Sloˇzen´e u ´roˇcen´ı vych´az´ı z toho, ˇze se u ´roky pˇripoˇc´ıt´avaj´ı k p˚ uvodn´ımu kapit´alu a v n´asleduj´ıc´ım obdob´ı se tento z´ uroˇcen´ y kapit´al bere jako z´aklad pro ´ c´ı se tedy z´ dalˇs´ı u ´roˇcen´ı. Uroˇ uroˇ cen´ y kapit´ al. Sloˇzen´e u ´roˇcen´ı je moˇzno rozdˇelit na u ´roˇ cen´ı pˇ redlh˚ utn´ı a polh˚ utn´ı.
3.1
´ ˇ ı Zakladn´ ı vztahy pro sloˇzene´ uro ´ cen´
Oznaˇcme uvodn´ı (poˇc´ateˇcn´ı) kapit´al, K0 – p˚ ´rokov´a sazba v setin´ach, i –u t – doba splatnosti kapit´alu v letech, yˇse kapit´alu v dobˇe t = 1, 2, 3, . . . Kt – v´ Rok 1 2 3 .. . t
Stav kapit´alu na konci roku K1 = K0 + K0 · i = K0 (1 + i) K2 = K1 + K1 · i = K1 (1 + i) = K0 (1 + i)(1 + i) K3 = K2 + K2 · i = K2 (1 + i) = K0 (1 + i)2 (1 + i) .. . Kt = Kt−1 + Kt−1 · i = K0(1 + i)t−1 (1 + i)
= K0.(1 + i) = K0(1 + i)2 = K0(1 + i)3 .. . = K0(1 + i)t
Z naˇs´ı tabulky vid´ıme, ˇze na konci jednotliv´ ych let stavy kapit´alu tvoˇr´ı geometrickou posloupnost, kde se kvocient rovn´ a u ´rokovac´ımu faktoru 1 + i.
42
Tedy a1 = K0 a q = 1 + i. Pˇrirozen´e mocniny u ´rokovac´ıho faktoru se naz´ yvaj´ı u ´roˇ citel´ e a ud´avaj´ı, jak vzroste vklad 1 Kˇc za dobu t pˇ ri u ´rokov´ e sazbˇ e i za pˇredpokladu, ˇze K0 = 1 Kˇc. Celkov´ y u ´rokov´ y v´ ynos neroste jako u jednoduch´eho u ´roˇcen´ı line´arnˇe, ale exponenci´ alnˇ e. kapit´al u ´ rok
i = 20 %
i = 10 % u ´ rok
K0
t
ˇcas
Obr´azek 3.1: Z´avislost u ´roku a v´ yˇse kapit´alu na dobˇe splatnosti Z´ akladn´ı rovnice pro sloˇ zen´ eu ´roˇ cen´ı tedy bude Kt = K0 · (1 + i)t . Tato rovnice plat´ı za pˇredpokladu, ˇze t je cel´ e kladn´ e ˇ c´ıslo a u ´roˇ cen´ı prob´ıh´ a koncem kaˇ zd´ eho roku. Pˇr´ıklad 3.1.
Uloˇzili jsme ˇc´astku 12 000 Kˇc. Jak´a bude v´ yˇse kapit´alu za 3 roky pˇri sloˇzen´em u ´roˇcen´ı, jestliˇze u ´rokov´a sazba bude 5 % p. a.? ˇ sen´ ˇ ı. Re
Kt = K0 · (1 + i)t , Kt = 12 000 · (1 + 0,05)3 = 12 000 · 1,157625 = 13 891,50 Kˇc. Koneˇcn´a hodnota kapit´alu bude 13 891,50 Kˇc. Pˇredpokl´adejme, ˇze t je cel´ e kladn´ eˇ c´ıslo, ale u ´rokovac´ı obdob´ı je kratˇ s´ı ´ neˇ z jeden rok. Urokov´ an´ı prob´ıh´a m-kr´ at za rok. Oznaˇcme opˇet uvodn´ı (poˇc´ateˇcn´ı) kapit´al, K0 – p˚ – roˇ cn´ı u ´rokov´a sazba v setin´ach, i i –u ´rokov´a sazba za jednu m-tinu roku, m Km – stav kapit´alu na konci m-t´e ˇc´asti roku.
43
ˇ ı 3. Sloˇzene´ uro ´ cen´
ˇ ast C´ roku 1 2 3 .. .
Stav kapit´ alu na konci m-t´e ˇc´asti roku K1 = K0 + K0 · K2 = K1 + K1 · K3 = K2 + K2 · .. .
i m i m i m
= K0 (1 + = K1 (1 + = K2 (1 +
i m) i m) i m)
= K0 (1 + i i = K0 (1 + m )(1 + m ) = K0 (1 + = K0 (1 + mi )2 (1 + mi ) = K0 (1 + .. .
Km = Km−1 + Km−1 mi = Km−1 (1 +
m
i m−1 (1 m)
+
i m)
= K0 (1 +
i m) i 2 m) i 3 m)
i m m)
Stav kapit´alu u ´roˇcen´ y m-kr´at za rok bude na konci roku m i Km = K0 · 1 + m a za t let bude m t m·t i i = K0 · 1 + . Kt = K0 · 1 + m m Pˇr´ıklad 3.2.
Jako v pˇredch´azej´ıc´ım pˇr´ıkladu jsme si uloˇzili 12 000 Kˇc. Jak´a bude v´ yˇse kapit´alu za 3 roky pˇri sloˇzen´em u ´roˇcen´ı polh˚ utn´ım, jestliˇze u ´rokovac´ı obdob´ı bude ˇctvrtletn´ı a u ´rokov´a sazba ˇcin´ı 5 % p. a.? ˇ sen´ ˇ ı. Re
Kt Kt
m·t i = K0 · 1 + , m 4·3 0,05 = 12 000 · 1 + = 12 000 · 1,012512 = 12 000 · 1,1607545 = 4 = 13 929,054 Kˇc.
Koneˇcn´a hodnota kapit´alu pˇri stanoven´ ych podm´ınk´ach bude 13 929,054 Kˇc.
3.2
´ ´ ˇ ı Kombinace jednoducheho a sloˇzeneho uro ´ cen´
Ke kombinaci jednoduch´eho a sloˇzen´eho u ´roˇcen´ı doch´az´ı tehdy, jestliˇze jsou u ´roky pˇripisov´any po urˇcitou dobu k poˇc´ateˇcn´ımu vkladu a s n´ım d´ale u ´roˇceny (sloˇzen´e u ´roˇcen´ı), ale na konci je nutno vypoˇc´ıtat u ´rok za dobu kratˇs´ı neˇz je u ´rokovac´ı obdob´ı (kratˇs´ı neˇz jeden rok – jednoduch´e u ´roˇcen´ı). Necht’ plat´ı podm´ınka t 6= kladn´e cel´e ˇc´ıslo, t = n + R, kde n je ˇc´ıslo, kter´e ud´av´a poˇcet cel´ ych ukonˇcen´ ych let a R < 1 (je ˇc´ıslo menˇs´ı neˇz 1), je ˇc´ıslo, kter´e ud´av´a neukonˇcen´e u ´rokovac´ı obdob´ı (ˇc´ast roku). Poˇc´ateˇcn´ı kapit´al K0 nejprve u ´roˇc´ıme sloˇzen´ ym u ´roˇcen´ım po celou dobu n let Kn = K0 · (1 + i)n .
44
Tento kapit´al Kn pak u ´roˇc´ıme jednoduch´ ym u ´roˇcen´ım po dobu R, tedy po dobu posledn´ıho neukonˇcen´eho roku (po zbytek splatnosti, ˇc´ast roku). Kt = Kn · (1 + R · i), Kt = K0 · (1 + i)n · (1 + R · i). Dosad´ıme-li za Kn pˇredch´azej´ıc´ı v´ yraz, obdrˇz´ıme hodnotu kapit´alu na konci u ´rokovac´ıho obdob´ı t = n + R. Jestliˇze se u ´roky pˇripisuj´ı m-kr´at do roka a doba t nen´ı cel´e ˇc´ıslo, potom m˚ uˇzeme dobu t opˇet zapsat t = n + R. Koneˇcnou hodnotu kapit´alu za dobu t pak urˇc´ıme podobn´ ym zp˚ usobem jako v pˇredch´azej´ıc´ım vztahu. n i Kn = K0 · 1 + . m Koneˇcnou hodnotu kapit´alu Kt pak vypoˇc´ıt´ame jednoduch´ ym u ´roˇcen´ım z´ uroˇcen´e v´ yˇse kapit´alu Kn Kt = Kn · (1 + R · i). Jestliˇze dosad´ıme za Kn pˇredch´azej´ıc´ı v´ yraz, dostaneme koneˇcn´ y vztah pro v´ ypoˇcet kapit´alu Kt n i Kt = K0 · 1 + · (1 + R · i). m Jestliˇze u ´rokov´e obdob´ı nebude roˇcn´ı, bude ˇc´ıslo n vyjadˇrovat poˇcet ukonˇcen´ ych u ´rokov´ ych obdob´ı a ˇc´ıslo R pouze ˇc´ast u ´rokov´eho obdob´ı. Potom je nutno dˇelit roˇcn´ı u ´rokovou sazbu poˇctem u ´rokov´ ych obdob´ı za rok. Pˇr´ıklad 3.3.
Na kolik vzroste vklad 15 000 Kˇc uloˇzen´ y na 3 roky a 2 mˇes´ıce pˇri u ´rokov´e sazbˇe 5 % p. a.? ˇ sen´ ˇ ı. Kt =?, K = 15 000, i = 0,05, t = 3 roky a 2 mˇ Re es´ıce = 3,16666 roku,
n = 3 roky, R = 0,1666 roku. Kt = K0 · (1 + i)n · (1 + R · i), Kt = 15 000 · (1 + 0,05)3 · (1 + 0,16666 · 0,05) = 15 000 · 1,053 · 1,008333 = 17 509,072, Kt = 17 509,072 Kˇc. ´ Poznamka. Pokud bychom ˇreˇsili tento pˇr´ıklad podle v´ yrazu Kt = K0 ·(1+i)t ,
byl by v´ ysledek n´asleduj´ıc´ı
Kt = 15 000 · (1 + 0,05)3,16666 = 15 000 · 1,053,16666 = 17 506,147 Kˇc.
45
ˇ ı 3. Sloˇzene´ uro ´ cen´
3.3
ˇ doby splatnosti pˇri sloˇzenem ´ uro ˇ ı Vypo ´ cet ´ cen´
V´ ypoˇcet doby splatnosti pˇri sloˇzen´em u ´roˇcen´ı poˇc´ıt´ame podle dan´ ych podm´ınek tˇremi zp˚ usoby: a) t je cel´ e kladn´ eˇ c´ıslo, u ´roˇcen´ı roˇcn´ı p. a. b) t nen´ı cel´ e kladn´ eˇ c´ıslo, u ´roˇcen´ı roˇcn´ı p. a. c) t nen´ı cel´ e kladn´ eˇ c´ıslo, u ´roˇcen´ı je m-kr´at do roka. ˇ ı rocn´ ˇ ı p. a. a) t ∈ N, uro ´ cen´
Pˇri t´eto u ´loze vych´az´ıme ze z´akladn´ıho vzorce pro sloˇzen´e u ´roˇcen´ı Kt = K0 · (1 + i)t . Jelikoˇz chceme vypoˇc´ıtat t, celou rovnici zlogaritmujeme a z n´ı vypoˇc´ıt´ame dobu t. Odvozen´ı: rovnici logaritmujeme ln Kt = ln K0 + t · ln(1 + i), ln Kt − ln K0 = t · ln(1 + i) ⇒ t =
ln Kt − ln K0 . ln(1 + i)
ˇ ı rocn´ ˇ ı p. a. b) t ∈ / N, uro ´ cen´
Jestliˇze t nen´ı cel´ ym kladn´ ym ˇc´ıslem, pouˇzijeme nejdˇr´ıve rovnici pˇredch´azej´ıc´ı pro v´ ypoˇcet cel´ ych rok˚ u a R dopoˇc´ıt´ame podle jednoduch´eho u ´roˇcen´ı. n vol´ıme jako nejbliˇ zˇ s´ı niˇ zˇ s´ı pˇ rirozen´ eˇ c´ıslo. Oznaˇcme n = n0 , potom Kt = K0 · (1 + i)n0 · (1 + R · i), Kt 1+R·i= K0 · (1 + i)n0 Kt −1 R·i= K0 · (1 + i)n0
1 Kt − K0 · (1 + i)n0 Kt − = = R= i · K0 · (1 + i)n0 i i · K0 · (1 + i)n0
Kt K0
− (1 + i)n0
i · (1 + i)n0
Takˇze zbytek u ´rokovac´ıho obdob´ı (ˇc´ast u ´rokovac´ıho obdob´ı) vypoˇc´ıt´ame R=
Kt K0
− (1 + i)n0
i · (1 + i)n0
.
Jestliˇze je u ´rokovac´ı obdob´ ypoˇcet doby t ı kratˇs´ı neˇz 1 rok, vych´az´ıme pro v´ i m·t . Rovnici uprav´ıme logaritmov´an´ım na tvar z v´ yrazu Kt = K0 · 1 + m i , ln Kt = ln K0 + m · t · ln 1 + m i , ln Kt − ln K0 = m · t · ln 1 + m ln Kt − ln K0 . t= m · ln 1 + mi
46
Jelikoˇz t ∈ / N, rozloˇz´ıme jej v souˇcet t = n0 + R.
Zbytek doby splatnosti R zpˇresn´ıme podle vztahu R=
Kt K0
i n0 ) m i n0 . ) m
− (1 +
i · (1 +
Pˇr´ıklad 3.4.
Jak dlouho byl uloˇzen kapit´al 2 300 000 Kˇc, jestliˇze vzrostl pˇri 9 % u ´roku p. a. pˇri sloˇzen´em u ´rokov´an´ı na hodnotu 4 995 347 Kˇc? ˇ sen´ ˇ ı. Re
ln Kt − ln K0 , ln(1 + i) ln 4 995 347 − ln 2 300 000 15,4240 − 14,6484 t = = = 9,00. ln(1 + 0,09) 0,0861 t =
Jednalo se o dlouhodob´e uloˇzen´ı kapit´alu na dobu 9 let. Pˇr´ıklad 3.5.
M´ame zjistit, jak dlouho byl uloˇzen kapit´al ve v´ yˇsi 15 000 Kˇc, jestliˇze pˇri sloˇzen´em u ´roˇcen´ı a u ´rokov´e sazbˇe 4 % p. a. vzrostl na 21 000 Kˇc. ˇ sen´ ˇ ı. Re
t =
9,9522 − 9,6158 ln 21 000 − ln 15 000 = = 8,5816. ln(1 + 0,04) 0,0392
Zpˇresˇ nujeme: t = n0 + R, n0 = 8. R =
Kt K0
− (1 + i)n0
, i · (1 + i)n0 21 000 − (1 + 0,04)8 1,4 − 1,3685 = = 0,5754 let = 0,5754 · 360 dn´ı R = 15 000 8 0,04 · (1 + 0,04) 0,04 · 1,3685 = 207 dn´ı = 6 mˇes´ıc˚ u a 27 dn´ı. Za dan´ ych podm´ınek byl kapit´al uloˇzen 8 let 6 mˇes´ıc˚ u a 27 dn´ı. Pˇr´ıklad 3.6.
M´ame urˇcit dobu splatnosti kapit´alu, kter´ y pˇri sloˇzen´em pololetn´ım u ´roˇcen´ı vzrostl ze 150 000 Kˇc pˇri u ´rokov´e sazbˇe 4 % p. s. na 180 000 Kˇc. ˇ sen´ ˇ ı. Re
ln Kt − ln K0 , m · ln 1 + mi ln 180 000 − ln 150 000 0,1824 12,1007 − 11,9183 t = = = 4,606 let = = 0,04 2 · 0,0498 0,0396 2 · ln 1 + 2 = 4,606 · 12 mˇes´ıc˚ u = 55,2720 mˇes´ıc˚ u.
t =
47
ˇ ı 3. Sloˇzene´ uro ´ cen´
1u ´rokovac´ı obdob´ı = 6 mˇes´ıc˚ u, tedy m´ame 55,2720/6 = 9,2120 u ´rokovac´ıch obdob´ı; n0 = 9. Zpˇresˇ nujeme: R =
Kt K0
i n0 ) m i n0 i · (1 + m ) 180 000 − (1 + 0,04 )9 150 000 2 )9 0,04 · (1 + 0,04 2
− (1 +
1,2 − 1,195 = 0,1046 let = 0,1046 · 360 dn´ı = 0,0478 = 37,656 dn´ı = 38 dn´ı = 1 mˇes´ıc a 8 dn´ı.
R =
=
t = n0 + R = 9 u ´rokovac´ıch obdob´ı + 1 mˇes´ıc a 8 dn´ı = 9· 6 mˇes´ıc˚ u + 1 mˇes´ıc + 8 dn´ı = 55 mˇes´ıc˚ u a 8 dn´ı = 4 roky 7 mˇes´ıc˚ u a 8 dn´ı. Aby za dan´ ych podm´ınek vzrostl poˇc´ateˇcn´ı kapit´al na 180 000 Kˇc, musel by b´ yt uloˇzen po dobu 4 let 7 mˇes´ıc˚ u a 8 dn´ı.
3.4
ˇ soucasn ˇ Vypo ´ cet e´ hodnoty
Znaˇcn´ y v´ yznam pro n´as m´a souˇcasn´a hodnota, nebot’ n´am umoˇzn ˇuje porovnat hodnotu kapit´alu v ˇcase. V bˇeˇzn´e praxi stoj´ıme pˇred u ´kolem zjistit, jakou v´ yˇsi kapit´alu mus´ıme uloˇzit, abychom dos´ahli v urˇcit´em ˇcase t budouc´ı ˇ ım dˇr´ıve m´ame potˇrebn´ hodnotu kapit´alu. C´ y kapit´al, t´ım dˇr´ıve jej m˚ uˇzeme uloˇzit nebo investovat a pˇrin´aˇs´ı n´am u ´roky. Pˇri v´ ypoˇctu souˇcasn´e hodnoty kapit´alu vych´az´ıme ze z´akladn´ıch v´ yraz˚ u pro sloˇzen´e u ´roˇcen´ı: ˇ ı rocn´ ˇ ı p. a. a) t ∈ N, uro ´ cen´
Kt = K0 · (1 + i)t . Z t´eto rovnice vypoˇc´ıt´ame K0 K0 =
Kt t . (1 + i)
Jestliˇze Kt = 1, Kˇc potom v´ yraz 1 (1 + i)t naz´ yv´ame od´ uroˇ citel a znaˇc´ı souˇcasnou hodnotu 1 Kˇc splatn´e za t let pˇri u ´rokov´e sazbˇe i. ˇ ı je m-krat ´ do roka b) t ∈ / N, uro ´ cen´
Potom vych´az´ıme ze vztahu m·t i Kt Kt = K0 · 1 + ⇒ K0 = m·t . m 1 + mi
48
ˇ ı rocn´ ˇ ı p. a. c) t ∈ / N, uro ´ cen´
Jestliˇze chceme vypoˇc´ıtat souˇcasnou hodnotu pˇri znalosti budouc´ı hodnoty a nen´ı-li doba splatnosti t vyj´adˇrena cel´ ym kladn´ ym ˇc´ıslem, vypoˇc´ıt´ame ji K0 =
(1 +
i)n0
Kt , · (1 + R · i)
kde n0 je nejbliˇzˇs´ı pˇrirozen´e ˇc´ıslo k ˇc´ıslu t a R = t − n0 . ˇ ı m-krat ´ do roka d) t ∈ / N, uro ´ cen´
Potom
Kt , · (1 + R · i) (1 + kde n0 je nejbliˇzˇs´ı cel´e kladn´e ˇc´ıslo k ˇc´ıslu t a R = t − n0 . K0 =
i n0 ) m
Pˇr´ıklad 3.7.
Kolik mus´ıme uloˇzit, abychom za 5 let pˇri u ´rokov´e sazbˇe 5 % p. a. z´ıskali ´ kapit´al ve v´ yˇsi 100 000 Kˇc? Uroˇcen´ı je sloˇzen´e. ˇ sen´ ˇ ı. Re
Kt , (1 + i)t 100 000 100 000 = = = 78 352,614 Kˇc. 5 (1 + 0,05) 1,055
K0 = K0
Abychom za 5 let mˇeli kapit´al 100 000 Kˇc, mus´ıme dnes uloˇzit 78 352,614 Kˇc. Pˇr´ıklad 3.8.
M´ame moˇznost koupit osobn´ı automobil. Je pro n´as v´ yhodnˇejˇs´ı zaplatit hotovˇe 240 000 Kˇc nebo d´at pˇrednost spl´atkov´emu zp˚ usobu platby a zaplatit z´alohu hotovˇe ve v´ yˇsi 120 000 Kˇc a za 3 roky doplatit zbytek ve v´ yˇsi 160 000 Kˇc pˇri u ´rokov´e sazbˇe 8 % p. s. a pˇri sloˇzen´em u ´roˇcen´ı? ˇ sen´ ˇ ı. Naˇs´ım u Re ´kolem je porovnat oba zp˚ usoby:
a) zaplacen´ı v hotovosti 240 000 Kˇc, b) spl´atkov´ y zp˚ usob placen´ı: z´alohou 120 000 Kˇc a spl´atkou, jej´ıˇz souˇcasn´a hodnota je Kt , (1 + mi )m·t 160 000 160 000 = = 126 450,33 Kˇc. 0,08 2·3 = 1,265319 (1 + 2 )
K0 = K0
Spl´atkov´ y zp˚ usob platby = z´aloha + K0 = 120 000 Kˇc + 126 450,33 Kˇc = 246 450,33 Kˇc. 240 000 < 246 450,33 Z numerick´eho hlediska je v´ yhodnˇejˇs´ı zaplatit ihned 240 000 Kˇc neˇz spl´atkov´ y zp˚ usob. Tento zp˚ usob platby je vˇsak v´ yhodnˇejˇs´ı pro kupuj´ıc´ıho, nebot’ vzhledem k cenˇe automobilu je cena vyˇsˇs´ı o 6 450,33 Kˇc, coˇz jsou pouze 2,68763 % z poˇrizovac´ı ceny automobilu.
49
ˇ ı 3. Sloˇzene´ uro ´ cen´
Pˇr´ıklad 3.9.
Kolik mus´ıme dnes uloˇzit korun, abychom za 5 let 3 mˇes´ıce a 24 dn´ı mˇeli na kontˇe ˇc´astku ve v´ yˇsi 500 000 Kˇc, jestliˇze banka nab´ıdla 5 % u ´rokovou sazbu p. a. a sloˇzen´e u ´roˇcen´ı? ˇ sen´ ˇ ı. n0 = 5 let, R = (3 · 30 + 24)/360 = 0,31666 Re
Kt , (1 + · (1 + R · i) 500 000 500 000 = = = 5 (1 + 0,05) · (1 + 0,31666 · 0,05) 1,27628 · 1,0158 = 385 668,56 Kˇc.
K0 = K0
i)n0
Pˇri dan´ ych podm´ınk´ach mus´ıme dnes uloˇzit 385 668,56 Kˇc. Pˇr´ıklad 3.10.
Pouˇzijme pˇrech´azej´ıc´ıho pˇr´ıkladu se ˇctvrtletn´ım u ´roˇcen´ım, tedy m = 4. ˇ sen´ ˇ ı. t = 5·12+3+24/30 = 60+3+0,8 = 63,8 mˇ Re es´ıc˚ u. 63,8/3 = 21,266667,
tedy n0 = 21, R = 0,266667. Kt K0 = i n0 (1 + m ) · (1 + R · i) 500 000 500 000 K0 = = = 0,05 21 1,298063 · 1,0133334 (1 + 4 ) · (1 + 0,266667 · 0,05) 500 000 = 380 121,01 Kˇc. = 1,3153706 Abychom mˇeli pˇri dan´ ych podm´ınk´ach za 5 let 3 mˇes´ıce a 24 dn´ı 500 000 Kˇc, mus´ıme dnes uloˇzit 380 121,01 Kˇc.
3.5
ˇ urokov Vypo ´ cet ´ e´ sazby
Jestliˇze chceme zjistit, jak´a je u ´rokov´a sazba, vych´az´ıme z podm´ınek, za kter´ ych jsme ukl´adali nebo si vyp˚ ujˇcovali kapit´al. Pˇri ˇreˇsen´ı tˇechto u ´loh pouˇzijeme jiˇz dˇr´ıve odvozen´e vztahy. ˇ ı je rocn´ ˇ ı p. a. a) t ∈ N, uro ´ cen´
Kt Kt = K0 · (1 + i) ⇒ (1 + i) = ⇒1+i= K0 Tedy r Kt i= t − 1. K0 t
t
r t
Kt ⇒i= K0
r t
Kt − 1. K0
ˇ ı je m-krat ´ do roka b) t ∈ N, uro ´ cen´
i m·t ⇒ Kt = K0 · 1 + m
50
m·t i Kt 1+ = ⇒ m K0 r r i K Kt i t ⇒ 1+ = m·t ⇒ = m·t − 1. m K0 m K0
Z toho u ´rokov´a sazba bude i=m·
r m·t
Kt −1 . K0
ˇ ı m-krat ´ za rok c) t ∈ / N, t = n0 + R, uro ´ cen´
i=m·
r m·t
r Kt m·(n0 +R) Kt −1 ⇒i= m· −1 . K0 K0
Pˇr´ıklad 3.11.
Jak´a byla u ´rokov´a sazba, jestliˇze kapit´al 20 000 Kˇc vzrostl za 4 roky na ´ cen´ı bylo sloˇzen´e. 27 400 Kˇc? Uroˇ ˇ sen´ ˇ ı. Re
r
Kt − 1, K r 0 p 4 27 400 − 1 = 4 1,37 − 1 = 1,0818 − 1 = 0,0818, i = 20 000 p = 100 · i = 8,18 %. i =
t
Kapit´al byl u ´roˇcen u ´rokovou sazbou 8,18 %. Pˇr´ıklad 3.12.
Kolika procenty byl u ´roˇcen vklad 20 000 Kˇc, jestliˇze vzrostl na 30 000 Kˇc pˇri sloˇzen´em u ´roˇcen´ı dvakr´at za rok (m = 2)? ˇ sen´ ˇ ı. Re
r
Kt i = m· −1 , K0 r p 2·4 30 000 − 1 = 2 · 8 1,5 − 1 = 2 · 0,0519 = 0,1038, i = 2· 20 000 p = 100 · i = 10,38 %. m·t
Vklad byl za dan´ ych podm´ınek u ´roˇcen sazbou 10,38 %. Pˇr´ıklad 3.13.
Jak´a je u ´rokov´a sazba, jestliˇze kapit´al 20 000 Kˇc vzrostl za 4 roky 2 mˇes´ıce a ´ ceno sloˇzen´ 21 dn´ı na 30 000 Kˇc? Uroˇ ym kombinovan´ ym zp˚ usobem 4-kr´at do roka. ˇ sen´ ˇ ı. Re
i = m·
r
m·(n0 +R)
r
Kt −1 , K0
30 000 − 1 = 4 · 0,0242821 = 0,0971284, i = 4· 20 000 p = 100 · i = 9,7128 %.
4·(4+0,225)
51
ˇ ı 3. Sloˇzene´ uro ´ cen´
3.6
ˇ uroku ´ uro ˇ ı Vypo ´ cet ´ pˇri sloˇzenem ´ cen´
Stejnˇe jako u jednoduch´eho u ´roˇcen´ı n´as zaj´ım´a v´ yˇse u ´roku, kterou n´am pˇrip´ıˇse penˇeˇzn´ı u ´stav za urˇcitou dobu vkladu nebo kterou pˇripoˇc´ıt´a dluˇzn´ıkovi k jeho u ´vˇeru. Podle dan´ ych podm´ınek potom vyb´ır´ame rovnici pro z´ uroˇcen´ y kapit´al, z n´ıˇz u ´rok odvozujeme. ˇ ı je rocn´ ˇ ı p. a. a) t ∈ N, uro ´ cen´
Kt = K0 + u ⇒ u = Kt − K0 ,
kde Kt = K0 · (1 + i)t .
Po dosazen´ı za Kt dostaneme u = K0 · (1 + i)t − K0 = K0 · (1 + i)t − 1 . ˇ ı je m-krat ´ do roka b) t ∈ N, uro ´ cen´
u = Kt − K0 ,
m·t i kde Kt = K0 · 1 + , m
takˇze " # m·t m·t i i u = K0 · 1 + 1+ − K0 = K0 · −1 . m m ˇ ı je rocn´ ˇ ı p. a. c) t ∈ / N, uro ´ cen´
u = Kt − K0 , kde Kt = K0 · (1 + i)n0 · (1 + R · i), u = K0 · (1 + i)n0 · (1 + R · i) − K0, u = K0 · [(1 + i)n0 · (1 + R · i) − 1] . ˇ ı je m-krat ´ do roka d) t ∈ / N, uro ´ cen´
n0 i · (1 + R · i), u = Kt − K0 , kde Kt = K0 · 1 + m n0 i u = K0 · 1 + · (1 + R · i) − K0 , m n0 i u = K0 · 1 + · (1 + R · i) − 1 . m
52
Pˇr´ıklad 3.14.
Jak´a bude v´ yˇse u ´roku za 3 roky z kapit´alu 200 000 Kˇc, pˇri u ´rokov´e sazbˇe ´ 10,5 % p. a.? Uroˇcen´ı je sloˇzen´e. ˇ sen´ ˇ ı. Re u = K0 · (1 + i)t − 1 , u = 200 000 · (1 + 0,105)3 − 1 = 200 000 · 0,3492 = 69 840 Kˇc.
´ Urok bude ˇcinit 69 840 Kˇc, takˇze klient bude m´ıt na kontˇe ˇc´astku 269 840 Kˇc. Pˇr´ıklad 3.15.
Pouˇzijeme stejn´eho zad´an´ı jako v pˇr´ıkladu 3.14, ale u ´rokov´an´ı prob´ıh´a ˇctvrtletnˇe, tedy p. q. ˇ sen´ ˇ ı. Re "
# i m·t u = K0 · 1+ −1 , m " # 0,105 4·3 u = 200 000 · 1+ − 1 = 200 000 · 0,3647 = 72 940 Kˇc. 4
Bude-li u ´rok pˇripisov´an ˇctvrtletnˇe, jeho v´ yˇse za 3 roky bude 72 940 Kˇc. Proti pˇredch´azej´ıc´ımu pˇr´ıkladu bude rozd´ıl ˇcinit 72 940 − 69 840 = 3 100 Kˇc. Pˇr´ıklad 3.16.
Jak´a bude v´ yˇse pˇripsan´eho u ´roku za 3 roky 7 mˇes´ıc˚ u a 24 dn´ı z vkladu 1 mil. Kˇc, jestliˇze se jedn´a o sloˇzen´e u ´roˇcen´ı pˇri 10 % u ´rokov´e sazbˇe? ˇ sen´ ˇ ı. t = 3 roky + 0,5833 roku + 0,0666 roku = 3,6499 roku. Tedy n0 = 3 Re roky, R = 0,6499 roku. u = K0 · [(1 + i)n0 · (1 + R · i) − 1] , u = 1 000 000 · (1 + 0,1)3 · (1 + 0,6499 · 0,1) − 1 =
= 1 000 000 · (1,331 · 1,06499 − 1) = 1 000 000 · 0,4175 = 417 500.
Za 3 roky 7 mˇes´ıc˚ u a 24 dn´ı bude k p˚ uvodn´ımu kapit´alu pˇrips´ana ˇc´astka 417 500 Kˇc. Pˇr´ıklad 3.17.
Jak velk´ y u ´rok je zapoˇc´ıt´an klientovi k dluhu 250 000 Kˇc, kter´ y je splatn´ y ´ za 5 let 4 mˇes´ıce a 21 dn´ı? Urokov´an´ı prob´ıh´a sloˇzen´ ym zp˚ usobem pololetnˇe p. s., pˇri 12 % u ´rokov´e sazbˇe p. a. ˇ sen´ ˇ ı. Re i n0 · (1 + R · i) − 1 , u = K0 · 1 + m " # 0,12 10 u = 250 000 · 1+ · (1 + 0,7833 · 0,12) − 1 = 2
= 250 000 · (1,7908 · 1,0939 − 1) = 250 000 · 0,9589 = 239 725 Kˇc.
53
ˇ ı 3. Sloˇzene´ uro ´ cen´
3.7
´ ı jednoducheho ´ ´ ˇ ı Srovnan´ a sloˇzeneho uro ´ cen´
Jednoduch´e u ´roˇcen´ı je d´ano vztahem Kt = K0 · (1 + i · t). Po rozn´asoben´ı obdrˇz´ıme Kt = K0 + K0 · i · t, kde K0 · i = k, K0 = q. Jedn´a se o line´arn´ı funkci, jej´ımˇz grafem je pˇr´ımka.
Sloˇzen´e u ´roˇcen´ı je d´ano vztahem
Kt = K0 · (1 + i)t , kde K0 · (1 + i) je z´aklad a t je exponent. Jedn´a se o exponenci´aln´ı funkci, jej´ımˇz grafem je exponenci´aln´ı kˇrivka. Z graf˚ u obou funkc´ı vid´ıme, ˇze pro t ∈ (0, 1) jsou funkˇcn´ı hodnoty exponenci´aln´ı funkce menˇs´ı neˇz hodnoty line´arn´ı funkce. Pro t > 1 je tomu naopak. Pro t = 1 jsou obˇe funkˇcn´ı hodnoty stejn´e. Kt
exponenci´ aln´ı funkce line´arn´ı funkce
K0 · (1 + i)
K0
1 rok
ˇcas
Obr´azek 3.2: Graf sloˇzen´eho a jednoduch´eho u ´roˇcen´ı Z grafu je zˇrejm´e, ˇze pro t ∈ (0, 1) je v´ yhodnˇejˇs´ı pro klienta jednoduch´e u ´roˇcen´ı a pro dobu t > 1 rok budou u ´roky pˇri sloˇzen´em u ´roˇcen´ı vyˇsˇs´ı neˇz pˇri u ´roˇcen´ı jednoduch´em.
´ ˇ Otazky k zamyslen´ ı 1. Urˇ cete v´ yˇsi z´ uroˇcen´eho kapit´alu 12 000 Kˇc, je-li u ´rokov´a sazba 12,5 %
p. a. pˇri sloˇzen´em u ´roˇcen´ı, jestliˇze u ´roˇcen´ı je pololetn´ı a tato ˇc´astka je uloˇzen´a 3 roky. [17 264,53 Kˇc] 2. Jak dlouho byl uloˇ zen´ y kapit´al 2 300 000 Kˇc jestliˇze pˇri sloˇzen´em u ´roˇcen´ı
vzrostl na hodnotu 4 995 347 Kˇc pˇri u ´rokov´e sazbˇe 9 % p. a.? [8 let, 11 mˇes´ıc˚ u, 29 dn´ı]
54
3. Kolik mus´ıme dnes uloˇ zit, abychom za 5 let, 3 mˇes´ıce a 24 dn´ı mˇeli na
´ kontˇe 1 mil. Kˇc? Urokov´ an´ı je sloˇzen´e pˇri u ´rokov´e sazbˇe 4 % p. a.
[811 646,25 Kˇc] 4. Jak dlouho bylo uloˇ zeno 15 000 Kˇc, jestliˇze tento vklad vzrostl na
21 000 Kˇc pˇri sloˇzen´em u ´roˇcen´ı a 4 % u ´rokov´e sazbˇe p. a.? [8 let, 6 mˇes´ıc˚ u, 27 dn´ı] 5. Urˇ cete u ´rokovou m´ıru p. a., pˇri kter´e se zv´ yˇs´ı:
a) 4 400 Kˇc na 8 500 Kˇc za 16 let pˇri ˇctvrtletn´ım sloˇzen´em u ´roˇcen´ı, b) 4 000 Kˇc na 15 000 Kˇc za 20 let pˇri pololetn´ı sloˇzen´em u ´roˇcen´ı, c) poˇc´ateˇcn´ı hodnota kapit´alu na sv˚ uj dvojn´asobek za 16 let, pˇri mˇes´ıˇcn´ı u ´roˇcen´ı. [a) p = 4,1366 %, b) p = 6,7 %, c) p = 4,4 %] 6. Urˇ cete poˇcet let (se zaokrouhlen´ım na posledn´ı ˇctvrtlet´ı, mˇes´ıc, tam
kde je to potˇrebn´e) za jak´ y se zv´ yˇs´ı: a) 1 000 Kˇc na 1 500 Kˇc pˇri ˇctvrtletn´ım sloˇzen´em u ´roˇcen´ı a u ´rokov´e sazbˇe 4 % p. a., b) 2 000 Kˇc na 4 000 Kˇc pˇri sloˇzen´em mˇes´ıˇcn´ım u ´roˇcen´ı a roˇcn´ı u ´rokov´e sazbˇe 5 %, c) poˇc´ateˇcn´ı hodnota kapit´alu na sv˚ uj trojn´asobek pˇri roˇcn´ım sloˇzen´em u ´roˇcen´ı s u ´rokovou sazbou 4 %. [a) n ≈ 10 41 roku, b) n ≈ 13 43 roku, c) n = 28 let]
7. Pˇred osmi lety uloˇ zil otec synovi kapit´al na 3 41 % p. a. pˇri ˇctvrtletn´ım
sloˇzen´em u ´roˇcen´ı. Jestliˇze syn na konci osm´eho roku vybral 8 091,90 Kˇc jako koneˇcnou hodnotu vˇcetnˇe u ´rokov´eho v´ ynosu, jak´a byla poˇc´ateˇcn´ı hodnota? [K0 = 6 245,831 Kˇc]
8. Kdyˇ z klient uloˇzil 1.1.1989 v bance 10 000 Kˇc, mˇela banka 2 43 % p. a.
u ´rokovou sazbu a u ´rokovac´ı obdob´ı bylo pololetn´ı. K 1.1.1994 banka ozn´amila, ˇze poˇc´ınaje t´ımto datem bude u ´rokov´a sazba 3 % p. a. pˇri sloˇzen´em ˇctvrtletn´ım u ´roˇcen´ı. Jakou hodnotu bude m´ıt uloˇzen´ y kapit´al k 1.1.1999? [K0 = 13 310,97196 Kˇc]
9. Jestliˇ ze si vyp˚ ujˇc´ı klient 8 900 Kˇc pˇri 5 41 % p. a. u ´rokov´e sazbˇe pˇri sloˇzen´e
roˇcn´ım u ´roˇcen´ı a jestliˇze splat´ı na konci prvn´ıho roku 2 000 Kˇc a na konci druh´eho roku 3 000 Kˇc, kolik ˇcin´ı z˚ ustatek dluhu splatn´eho za 3 roky? [I = 0,0525; 5 003,63 Kˇc]
10. Dva kapit´ aly, jejichˇz souˇcet je 12 000 p. j., jsou uloˇzen´e za tˇechto pod-
m´ınek: a) na jednoduch´ yu ´rok pˇri 12 % roˇcn´ı u ´rokov´e sazbˇe, b) na sloˇzen´ yu ´rok pˇri 8 % roˇcn´ı u ´rokov´e sazbˇe. Po deseti letech budou m´ıt stejnou hodnotu. Vypoˇc´ıtejte jejich velikost. [A = 5 943,5; B = 6 056,5] 11. Jan vloˇ zil do banky 3 000 Kˇc, po dvou letech vloˇzil dalˇs´ıch 5 000 Kˇc. Po
dalˇs´ıch dvou letech mˇel na kontˇe 12 088,05 Kˇc. Jak´a byla roˇcn´ı u ´rokov´a sazba pˇri pololetn´ım sloˇzen´em u ´roˇcen´ı? [p = 10 %]
55
ˇ ı 3. Sloˇzene´ uro ´ cen´
56
Efektivn´ı urokov ´ a´ sazba ´ Urokov a´ intenzita ´ ı a realn ´ a´ urokov Nominaln´ ´ a´ sazba
4
´ ı a realn ´ a´ urokov Nominaln´ ´ a´ sazba
´ ı a realn ´ a´ urokov 4. Nominaln´ ´ a´ sazba
C´ıl kapitoly V t´eto ˇc´asti studijn´ıho textu se sezn´am´ıme s vlivem inflace na nomin´aln´ı u ´rokovou sazbu a uvedeme si problematiku pojm˚ u re´aln´a u ´rokov´a sazba, efektivn´ı u ´rokov´a sazba a u ´rokov´a intenzita. Znalost tˇechto pojm˚ u n´am usnadn´ı ch´ap´an´ı d˚ uleˇzit´ ych pojm˚ u v jin´ ych ekonomick´ ych kurzech na t´eto fakultˇe.
ˇ ´ eˇ ˇz Casov a´ zat Prostudov´an´ı a pochopen´ı vztah˚ u t´eto kapitoly vyˇzaduje 6 hod.
Efektivn´ı urokov ´ a´ sazba
4.1
V pˇredch´azej´ıc´ıch u ´loh´ach jsme vidˇeli, ˇze pˇri stejn´e roˇcn´ı nomin´aln´ı u ´rokov´e sazbˇe je pro vkladatele v´ yhodnˇejˇs´ı, jestliˇze se u ´roky pˇripisuj´ı v´ıcekr´at roˇcnˇe neˇz jednou za rok, nebot’ se tento jiˇz z´ uroˇcen´ y kapit´al opˇet u ´roˇc´ı. Pˇripisuj´ı-li se u ´roky na konci kaˇzd´e 1/m roku, bude celkov´ yu ´rok pˇri stejn´e u ´rokov´e sazbˇe (za pˇredpokladu dalˇs´ıho u ´roˇcen´ı tˇechto u ´rok˚ u) vyˇsˇs´ı neˇz v pˇr´ıpadˇe, ˇze se u ´roky pˇripisuj´ı pouze jednou na konci roku. Jestliˇze m´a b´ yt dosaˇzeno pˇri obou zp˚ usobech pˇripisov´an´ı u ´rok˚ u stejn´eho finanˇcn´ıho efektu, mus´ı b´ yt nomin´aln´ı u ´rokov´a sazba pˇri roˇcn´ım u ´rokovac´ım obdob´ı vyˇsˇs´ı neˇz pˇri u ´rokovac´ım obdob´ı kratˇs´ım neˇz jeden rok. Takovou roˇcn´ı u ´rokovou sazbu budeme naz´ yvat efektivn´ı u ´rokovou sazbou. Jestliˇze m´a b´ yt v´ yˇse kapit´alu na konci roku stejn´a pˇri obou zp˚ usobech u ´roˇcen´ı, mus´ı pro efektivn´ı u ´rokovou sazbu platit vztah m i 1 + iefekt. = 1 + , kde iefekt. je efektivn´ı u ´rokov´ a sazba. m Potom iefekt.
m i = 1+ − 1. m
Pˇr´ıklad 4.1.
M´ame naj´ıt efektivn´ı u ´rokovou sazbu, kter´a odpov´ıd´a 10 % nomin´aln´ı u ´rokov´e sazbˇe, jestliˇze jsou u ´roky pˇripisov´any: a) pololetnˇe, b) ˇctvrtletnˇe, c) mˇes´ıˇcnˇe. ˇ sen´ ˇ ı. Re
a) m = 2 iefekt. = 1,052 − 1 = 0,1025.
Efektivn´ı u ´rokov´a sazba je 10,25 %. b) m = 4 iefekt. = 1,0254 − 1 = 0,1038.
Efektivn´ı u ´rokov´a sazba je 10,38 %. c) m = 12 iefekt. = 1,008312 − 1 = 0,1047. Efektivn´ı u ´rokov´a sazba je 10,47 %.
58
Z uveden´eho pˇr´ıkladu je vidˇet, ˇze ˇc´ım ˇcastˇeji se bˇehem roku u ´roˇc´ı, t´ım je ’ pro klienta toto u ´roˇcen´ı v´ yhodnˇejˇs´ı, nebot efektivn´ı u ´rokov´a sazba s poˇctem u ´rokovac´ıch obdob´ı roste.
4.2
´ Urokov a´ intenzita
Doposud jsme ˇcasov´e intervaly uvaˇzovali oddˇelenˇe (diskr´etnˇe). Pˇredpokl´adejme, ˇze poˇcet u ´rokovac´ıch obdob´ı, v kter´ ych se pˇripisuj´ı u ´roky, poroste aˇz do nekoneˇ cna a jejich d´elka se zkracuje a teoreticky kles´ a k nule. V takov´em ´ pˇr´ıpadˇe mluv´ıme o spojit´ em u ´roˇ cen´ı. Urokov´ a sazba, kter´a odpov´ıd´a tomuto pˇr´ıpadu, se naz´ yv´a u ´rokov´ a intenzita. Pro u ´rokovac´ı intenzitu plat´ı 1 + iefekt.
m i = lim 1 + . m→∞ m
Z matematiky v´ıme, ˇze lim 1 + n→∞
1 n n
= e = 2,71828 – Eulerovo ˇ c´ıslo.
Z tohoto v´ yrazu je vidˇet, ˇze hodnota 1 Kˇc vzroste pˇri 100 % u ´rokov´e sazbˇe za 1 rok pˇri spojit´em u ´roˇcen´ı na 2,71828 Kˇc. Pouˇzijme tohoto vztahu pro v´ ypoˇcet limity " m m #i 1 i i 1+ m = ei , = lim lim 1 + m→∞ m→∞ m i
respektive ef ,
kde f je u ´rokov´a intenzita. Vztah mezi efektivn´ı u ´rokovou m´ırou a intenzitou: iefekt. = ef − 1 ⇒ f = ln(1 + iefekt. ). Pˇri spojit´em u ´roˇcen´ı potom plat´ı Kt = K0 · ef ·t ⇒ K0 =
Kt . ef ·t
Pˇr´ıklad 4.2.
Jak´a je u ´rokov´a intenzita pˇri efektivn´ı u ´rokov´e sazbˇe 10 %? ˇ sen´ ˇ ı. Re
f = ln(1 + iefekt. ) = ln(1 + 0,10) = 0,0953. ´ Urokov´ a intenzita bude 9,53 %. Pˇr´ıklad 4.3.
Na kolik vzroste kapit´al 10 000 Kˇc za 5 let pˇri spojit´em u ´roˇcen´ı a u ´rokov´e sazbˇe 5 %?
59
´ ı a realn ´ a´ urokov 4. Nominaln´ ´ a´ sazba
ˇ sen´ ˇ ı. Re
Kt = K0 · ef ·t = 10 000 · e0,05·5 = 12 840,254.
Kapit´al pˇri spojit´em u ´roˇcen´ı vzroste na 12 840,254 Kˇc. Pˇr´ıklad 4.4.
Jak´a je souˇcasn´a hodnota kapit´alu, kter´ y za 3 roky vzroste na 25 000 Kˇc pˇri 12,5 % u ´rokov´e intenzitˇe? ˇ sen´ ˇ ı. Re
25 000 Kt = 0,125·3 = 17 182,123. f ·t e e Dnes mus´ıme uloˇzit 17 182,123 Kˇc, abychom za 3 roky pˇri spojit´em u ´roˇcen´ı mˇeli 25 000 Kˇc. K0 =
4.3
´ ı a realn ´ a´ urokov Nominaln´ ´ a´ sazba
Doposud jsme mluvili o nomin´aln´ı u ´rokov´e sazbˇe, to znamen´a takov´e, u kter´e jsme neuvaˇzovali inflaci. Kaˇzd´a inflace znehodnocuje nejen kapit´al, ale tak´e u ´roky. Jestliˇze budeme do hodnoty u ´rokov´e sazby zahrnovat i inflaci, budeme hovoˇrit o re´ aln´ eu ´rokov´ e m´ıˇ re (re´aln´em u ´roku). Oznaˇcme ´rokovac´ıho obdob´ı, K0 – kapit´al na poˇc´atku u yˇse kapit´alu na konci u ´rokovac´ıho obdob´ı, Kr – re´aln´a v´ ´rokov´a sazba v setin´ach, i – nomin´aln´ı u ir – re´aln´a u ´rokov´a sazba v setin´ach, iinf. – m´ıra inflace. Pro jednoduchost budeme pˇredpokl´adat, ˇze u ´rokovac´ı obdob´ı je roˇcn´ı, poˇc´ateˇcn´ı kapit´al budeme u ´roˇcit na konci u ´rokovac´ıho obdob´ı nomin´aln´ı u ´rokovou sazbou a pak diskontovat m´ırou inflace. Kr = K0 ·
1+i . 1 + iinf.
Na z´akladˇe re´aln´eho kapit´alu si vypoˇc´ıt´ame re´alnou u ´rokovou sazbu ir jako pomˇer v´ yˇse u ´roku a poˇc´ateˇcn´ıho kapit´alu. i+r =
Kr − 1 ⇒ K0 · ir = Kr − K0 ⇒ K0 · (ir + 1) = Kr . K0
Dosad´ıme-li tento vztah do pˇrech´azej´ıc´ıho v´ yrazu za Kr , obdrˇz´ıme 1+i 1+i ⇒ ir + 1 = ⇒ 1 + iinf. 1 + iinf. ⇒ ir + ir · iinf. + iinf. + 1 = 1 + i ⇒ i = ir + iinf. + ir · iinf. .
K0 · (ir + 1) = K0 ·
Tento vztah se naz´ yv´a Fischerovou rovnic´ı. ´ Poznamka. Pˇri n´ızk´e m´ıˇre inflace a n´ızk´e re´aln´e u ´rokov´e m´ıˇre zanedb´av´ame
nˇekdy souˇcin ir ·iinf. a vztah mezi re´alnou a nomin´aln´ı u ´rokovou m´ırou vol´ıme i = ir + iinf. .
60
Pˇr´ıklad 4.5.
Jestliˇze zap˚ ujˇc´ıme kapit´al s t´ım, ˇze n´am bude vr´acen za jeden rok a pˇredpokl´ad´ame-li nomin´aln´ı u ´rokovou m´ıru 10 % a m´ıru inflace nulovou, z´ısk´ame za rok re´alnˇe o 10 % v´ıce. Jestliˇze bude m´ıra inflace 15 %, m´ame za rok re´alnˇe o 5 % m´enˇe. Z´ıskali jsme sice kapit´al zv´ yˇsen´ y o 10 %, ale za zboˇz´ı a sluˇzby vyd´ame o 15 % v´ıce neˇz dˇr´ıve.
´ ˇ Otazky k zamyslen´ ı 1. Obligace na 1 000 Kˇ c m´a nomin´aln´ı u ´rokovou m´ıru 0,04 p. a. Je-li u ´rok
vypl´acen pololetnˇe, jak´a je efektivn´ı u ´rokov´a m´ıra? [1 040,40 Kˇc, iefekt. = 4,04 %] 2. Jak´ a je efektivn´ı u ´rokov´a m´ıra vkladov´eho certifik´atu na p = 5 % p. a., jsou-li u ´roky vypl´aceny ˇctvrtletnˇe? [iefekt. = 5,095 %] 3. Klient, kter´ y chce uloˇzit 100 000 Kˇc, se m˚ uˇze rozhodnout mezi vkla-
dem na vkladn´ı kn´ıˇzku, kter´a vyn´aˇs´ı 2 % p. a. pˇri sloˇzen´em mˇes´ıˇcn´ım u ´roˇcen´ı a n´akupem obligace (dluhopisu), kter´a vyn´aˇs´ı 2 21 % p. a. ve dvou stejn´ ych pololetn´ıch spl´atk´ach. Kter´a z tˇechto alternativ nab´ız´ı vyˇsˇs´ı v´ ynos? [vkladn´ı kn´ıˇzka 2,02 %, obligace 2,52 %] 4. Jak´ a roˇcn´ı efektivn´ı u ´rokov´a m´ıra je ekvivalentn´ı 8 % p. a. pˇri mˇes´ıˇcn´ı frekvenci? [8,3 %] 5. Jak´ a je re´aln´a hodnota kapit´alu 35 560 Kˇc pˇri sloˇzen´em pololetn´ım
u ´roˇcen´ı kde p = 2,5 % p. s. za dva roky, jestliˇze roˇcn´ı m´ıra inflace bude po tyto dva roky konstantn´ı a bude rovna iinf. = 0,03? Jak´a by byla koneˇcn´a hodnota vkladu, bude-li m´ıra inflace rovn´a nule a kolik ztr´ac´ıme vlivem inflace na naˇsem vkladu? [hodnota s inflac´ı 36 954,38 Kˇc, bez inflace 39 204,52 Kˇc, rozd´ıl 2 250,52 Kˇc]
61
´ ı a realn ´ a´ urokov 4. Nominaln´ ´ a´ sazba
62
´ Spoˇren´ı kratkodob e´ Spoˇren´ı dlouhodobe´ ´ ´ ´ Kombinace kratkodob eho a dlouhodobeho spoˇren´ı
5
Spoˇren´ı
5. Spoˇren´ı
C´ıl kapitoly Tato kapitola je velmi d˚ uleˇzit´a, nebot’ se v n´ı sezn´am´ıme s probl´emy opakovan´ ych plateb pˇri r˚ uzn´e roˇcn´ı frekvenci, hlavnˇe pak u spoˇren´ı klient˚ u a vysvˇetl´ıme si jednotliv´e vztahy i v´ ypoˇcty hodnot z tˇechto vztah˚ u. Jedn´a se o nejpouˇz´ıvanˇejˇs´ı formu hromadˇen´ı vlastn´ıho kapit´alu pˇri konstantn´ıch vkladech se stˇrednˇedob´ ym nebo dlouhodob´ ym horizontem jeho uˇzit´ı. Jedn´a se tedy o stejn´e ˇc´astky ve stejn´em ˇcasov´em intervalu. Tyto platby jsou nejjednoduˇsˇs´ım pˇr´ıpadem, kdy zn´ame datum prvn´ı a posledn´ı u ´loˇzky (platby) a interval u ´loˇzky je vˇetˇsinou shodn´ y s periodicitou u ´roˇcen´ı. Platby nast´avaj´ı bud’ na konci nebo na poˇc´atku u ´rokovac´ıho obdob´ı a neb´ yvaj´ı spojeny s ˇz´adnou podm´ınkou jako v pojiˇst’ovac´ıch u ´stavech (podm´ınka doˇzit´ı se urˇcit´eho vˇeku, pˇr´ıpad smrti atd.).
ˇ ´ eˇ ˇz Casov a´ zat Prostudov´an´ı a pochopen´ı vztah˚ u t´eto kapitoly vyˇzaduje 12 hod. ´ Uvod
V pˇrech´azej´ıc´ı ˇc´asti jsme se sezn´amili, jak zjistit koneˇcnou nebo poˇc´ateˇcn´ı hodnotu kapit´alu, pˇriˇcemˇz se jeho hodnota v pr˚ ubˇehu ˇcasu t nezvyˇsovala ani nesniˇzovala. Pˇri v´ ykladu spoˇren´ı budeme pˇredpokl´adat, ˇze ukl´ad´ame kapit´al (penˇeˇzn´ı ˇc´astku) v pravideln´ ych intervalech a naˇs´ım u ´kolem bude zjistit, kolik uspoˇr´ıme i s u ´roky za urˇcitou dobu. Toto spoˇren´ı rozdˇel´ıme na: a) spoˇ ren´ı kr´ atkodob´ e b) spoˇ ren´ı dlouhodob´ e
5.1
´ Spoˇren´ı kratkodob e´
Pˇredpokl´adejme, ˇze a) u ´rokovac´ı obdob´ı je jeden rok – u ´roky jsou pˇripisov´any najednou vˇzdy na konci roku, b) pravideln´ eˇ c´ astky budeme ukl´ adat m-kr´ at za rok (m = 2, m = 4, m = 12). Podle toho, zda budeme kapit´al ukl´adat na poˇc´atku kaˇzd´e m-tiny roku nebo na konci kaˇzd´e m-tiny roku, budeme rozliˇsovat: 1) spoˇ ren´ı pˇ redlh˚ utn´ı 2) spoˇ ren´ı polh˚ utn´ı ´ 5.1.1 Spoˇren´ı kratkodob e´ pˇredlhutn´ ˚ ı Pˇredpoklady a) v´ yˇse vkladu bude pˇ ri m u ´loˇ zk´ ach 1/m Kˇ c,
64
b) na poˇ c´ atku kaˇ zd´ e m-tiny roku budeme ukl´ adat 1/m Kˇ c pˇri u ´rokov´e sazbˇe i, c) celkov´a roˇcn´ı naspoˇren´a ˇc´astka se bude rovnat 1 Kˇ c+u ´rok. ´ Uroky z jednotliv´ ych spl´ atek budou: Poˇrad´ı u ´loˇzky
´ Urokovac´ ı obdob´ı
´ Urok 1 m
1 m
1
m·
2
(m − 1) ·
1 m
1 m
3 .. .
(m − 2) · .. .
1 m
1 m
m
1·
m m
=
m m2
·i·
m−1 m
=
m−1 m2
·i
·i·
m−2 m
=
m−2 m2
·i
=
1 m2
1 m
1 m
·i·
·i·
.. . 1 m
·i
·i
Celkov´ yu ´rok poˇc´ıt´ame jako souˇcet u ´rok˚ u z jednotliv´ ych vklad˚ u. Tedy u=
i i m · (m + 1) m+1 · [m + (m − 1) + (m − 2) + · · · + 1] = 2 · = · i, 2 m m 2 2·m
kde v´ yraz m + (m − 1) + (m − 2) + · · · + 1 je aritmetick´a posloupnost. Ze stˇredn´ı ˇskoly zn´ame, ˇze souˇcet aritmetick´e posloupnosti je Sn = a1 + a2 + · · · + an , kde a1 je prvn´ı ˇclen aritmetick´e posloupnosti a an je n-t´ y ˇclen aritmetick´e posloupnosti. Tento souˇcet lze vypoˇc´ıtat vztahem Sn =
n (a1 + an ), 2
kde n je poˇcet ˇclen˚ u posloupnosti. Souˇcet dan´e aritmetick´e posloupnosti tedy bude m Sm = · (m + 1), 2 nebot’ a1 = m je prvn´ı ˇclen posloupnosti a an = 1 je posledn´ı ˇclen posloupnosti. Celkov´a uspoˇren´a ˇc´astka S1 za 1 rok, jestliˇze spoˇr´ıme kaˇzdou 1/m roku 1/m z 1 Kˇ c, bude m+1 S1 = 1 + · i. 2·m Jestliˇze spoˇr´ıme x Kˇ c kaˇ zdou 1/m roku, potom m˚ uˇzeme celkovou ˇc´astku naspoˇrenou za jeden rok vyj´adˇrit m+1 ·i . Sx = m · x · 1 + 2·m V´ıme-li, kolik bude ˇcinit celkov´a uspoˇren´a ˇc´astka z 1 Kˇc, potom z ˇc´astky x·m bude celkov´a naspoˇren´a ˇc´astka x·m-kr´at vˇetˇs´ı.
65
5. Spoˇren´ı
Pˇr´ıklad 5.1.
Kolik uspoˇr´ıme vˇcetnˇe u ´rok˚ u do konce roku, jestliˇze ukl´ad´ame poˇc´atkem kaˇzd´eho mˇes´ıce 1 200 Kˇc pˇri u ´rokov´e sazbˇe 5 %? ˇ sen´ ˇ ı. Re Sx Sx
m+1 ·i = m·x· 1+ 2·m 13 = 12 · 1 200 · 1 + · 0,05 = 14 400 · 1,0270833 = 14 790. 24
Do konce roku uspoˇr´ıme 14 790 Kˇc. ´ 5.1.2 Spoˇren´ı kratkodob e´ polhutn´ ˚ ı Jestliˇze budeme ukl´adat penˇeˇzn´ı ˇc´astky vˇ zdy na konci urˇ cit´ eho obdob´ı, ´ mluv´ıme o spoˇren´ı polh˚ utn´ım. Urokovac´ı obdob´ı je opˇet roˇcn´ı. Pˇredpoklady a) v´ yˇse vkladu bude pˇ ri m u ´loˇ zk´ ach 1/m Kˇ c, b) na konci kaˇ zd´ e m-tiny roku budeme ukl´ adat 1/m Kˇ c pˇri u ´rokov´e sazbˇe i, c) celkov´a roˇcn´ı naspoˇren´a ˇc´astka se bude rovnat 1 Kˇ c+u ´rok. ´ Uroky z jednotliv´ ych spl´ atek budou: Poˇrad´ı u ´loˇzky
´ Urokovac´ ı obdob´ı
´ Urok
1
(m − 1) ·
1 m
1 m
·i·
m−1 m
=
m−1 m2
·i
2 .. .
(m − 2) · .. .
1 m
1 m
·i·
m−2 m
=
m−2 m2
·i
m−1
1·
1 m
=
1 m2
m
0·
1 m
1 m
.. .
·i· 1 m
m m
·i
·i·0
T´ım, ˇze ˇc´astky jsou ukl´ad´any vˇzdy na konci pˇr´ısluˇsn´eho obdob´ı (ˇc´asti roku), je oproti pˇredlh˚ utn´ımu spoˇren´ı poˇcet tˇechto obdob´ı (po kter´e je vklad u ´roˇcen) o jednotku niˇzˇs´ı. Z posledn´ı u ´loˇzky jiˇz nebudeme m´ıt ˇz´adn´ yu ´rok, nebot’ bude uloˇzena na konci roku. Celkov´ yu ´rok vypoˇc´ıt´ame stejnˇe jako u pˇredlh˚ utn´ıho spoˇren´ı u=
i i m · (m − 1) m−1 · [(m − 1) + (m − 2) + · · · + 1 + 0] = 2 · = · i, 2 m m 2 2·m
kde v´ yraz (m − 1) + (m − 2) + (m − 3) + · · · + 1 + 0 je aritmetick´a posloupnost a jej´ı souˇcet bude m Sm = · [(m − 1) + 0], 2 nebot’ a1 = m − 1 a an = 0.
66
Celkov´a uspoˇren´a ˇc´astka za 1 rok S1′ , jestliˇze spoˇr´ıme koncem kaˇzd´e 1/m roku 1/m z 1 Kˇc, bude: m−1 S1′ = 1 + · i. 2·m Jestliˇze spoˇr´ıme x Kˇc kaˇzdou 1/m roku, potom m˚ uˇzeme celkovou ˇc´astku naspoˇrenou za jeden rok vyj´adˇrit m−1 ′ ·i . Sx = m · x · 1 + 2·m V´ıme-li, kolik bude ˇcinit celkov´a uspoˇren´a ˇc´astka z 1 Kˇc, potom z ˇc´astky x·m bude celkov´a naspoˇren´a ˇc´astka x·m-kr´at vˇetˇs´ı. Pˇr´ıklad 5.2.
Kolik uspoˇr´ıme do konce roku, jestliˇze ukl´ad´ame koncem kaˇzd´eho mˇes´ıce 1 200 Kˇc pˇri 5 % u ´rokov´e sazbˇe? ˇ sen´ ˇ ı. Re Sx′ Sx′
m−1 ·i , = m·x· 1+ 2·m 11 · 0,05 = 14 400 · 1,0229167 = 14 730. = 12 · 1 200 · 1 + 24
Do konce roku pˇri polh˚ utn´ım spoˇren´ı uspoˇr´ıme 14 730 Kˇc. Ze z´akladn´ıch vzorc˚ u m˚ uˇzeme odvodit dalˇs´ı v´ yrazy, kter´e pouˇz´ıv´ame podle potˇreby pro v´ ypoˇcet v´ yˇse vkladu a dosaˇzen´ı naspoˇren´e ˇc´astky na konci roku nebo pro v´ ypoˇcet u ´rokov´e sazby. ˇ vy´ sky ˇ a) Vypo ´ cet vkladu
pˇredlh˚ utn´ı: x =
Sx , m · 1 + m+1 · i 2·m
polh˚ utn´ı: x =
ˇ urokov b) Vypo ´ cet ´ e´ sazby
pˇredlh˚ utn´ı: i =
Sx − m · x 2 · m · , m·x m+1
polh˚ utn´ı: i =
Sx′ . m · 1 + m−1 · i 2·m Sx′ − m · x 2 · m · . m·x m−1
Pˇr´ıklad 5.3.
Kolik mus´ıme spoˇrit na poˇc´atku kaˇzd´eho mˇes´ıce, abychom za rok naspoˇrili 10 000 Kˇc pˇri 5 % u ´rokov´e sazbˇe? ˇ sen´ ˇ ı. Re x = x =
Sx , m · 1 + m+1 2·m · i 10 000 10 000 = = 811,359. 13 12,325 12 · 1 + 24 · 0,05
Abychom za rok uspoˇrili 10 000 Kˇc, mus´ıme ukl´adat zaˇc´atkem kaˇzd´eho mˇes´ıce 811,359 Kˇc.
67
5. Spoˇren´ı
Pˇr´ıklad 5.4.
Jak´a je procentn´ı u ´rokov´a sazba, jestliˇze za jeden rok uspoˇr´ıme 10 000 Kˇc a ukl´ad´ame kaˇzd´e ˇctvrtlet´ı 2 400 Kˇc? ˇ sen´ ˇ ı. Re i = i =
Sx′ − m · x 2 · m · , m·x m−1 10 000 − 4 · 2 400 8 · = 0,0416666 · 2,6666 = 0,1111. 4 · 2 400 3
Poˇzadovanou ˇc´astku uspoˇr´ıme za rok pˇri u ´rokov´e sazbˇe 11,11 %.
5.2
Spoˇren´ı dlouhodobe´
O dlouhodob´em spoˇren´ı hovoˇr´ıme tehdy, jestliˇze trv´a d´ele neˇ z jeden rok. Budeme pˇredpokl´adat, ˇze v r´amci u ´rokovac´ıho obdob´ı ukl´ad´ame penˇeˇzn´ı ˇc´astku vˇzdy na zaˇc´atku nebo na konci u ´rokovac´ıho obdob´ı, tedy na zaˇc´atku nebo na konci roku. Dan´a penˇeˇzn´ı ˇc´astka bude vˇzdy stejn´a. 5.2.1 Spoˇren´ı dlouhodobe´ pˇredlhutn´ ˚ ı Na poˇc´atku kaˇzd´eho u ´rokovac´ıho obdob´ı (v naˇsem pˇr´ıpadˇe na poˇc´atku kaˇzd´eho roku) ukl´adejme ˇc´astku a. Naˇs´ım u ´kolem bude zjistit, kolik ˇcin´ı u ´spory na konci n-t´ eho obdob´ı pˇri u ´rokov´e sazbˇe i. Pro urˇcen´ı celkov´e uspoˇren´e ˇc´astky vˇcetnˇe u ´rok˚ u na konci n-t´eho obdob´ı vypoˇc´ıt´ame v´ yˇsi vklad˚ u za kaˇzd´ y rok, aˇz po n-t´ y rok, a tyto uspoˇren´e ˇc´astky seˇcteme. Odvozen´ı v´ ypoˇctu uspoˇren´e ˇc´astky: Poˇrad´ı u ´loˇzky
Poˇcet obdob´ı uloˇzen´ı penˇeˇzn´ı ˇc´astky
Celkov´a hodnota na konci n-t´eho obdob´ı
1
n
2 .. . n
n−1 .. . 1
a · (1 + i)n
a · (1 + i)n−1 .. . a · (1 + i)
Koneˇcn´ y stav u ´spor S vypoˇc´ıt´ame jako souˇcet hodnot jednotliv´ ych u ´loˇzek na konci n-t´eho obdob´ı. S = a · (1 + i) · (1 + i)n−1 + (1 + i)n−2 + · · · + 1 .
V´ yraz v z´avorce je geometrick´a ˇrada, kde a1 = a · (1 + i) a kvocient pak q = 1 + i. Ze stˇredoˇskolsk´e matematiky v´ıme, ˇze pro souˇcet geometrick´e ˇrady plat´ı Sn = a1 ·
68
qn − 1 q−1
pro q > 1, nebot’ jde o spoˇren´ı a vˇzdy q = 1 + i > 1. Potom S = a · (1 + i) ·
(1 + i)n − 1 (1 + i)n − 1 = a · (1 + i) · . (1 + i) − 1 i
Jestliˇze a = 1 Kˇc, potom v´ yraz (1 + i) ·
(1 + i)n − 1 = s′n i
naz´ yv´ame stˇ radatelem pˇ redlh˚ utn´ım a ud´av´a, kolik uˇsetˇr´ıme za n obdob´ı pˇri u ´rokov´e sazbˇe i, jestliˇze na poˇc´atku kaˇzd´eho obdob´ı uloˇz´ıme 1 Kˇc. Potom pro v´ yˇsi koneˇcn´e hodnoty m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt zkr´acen´eho vzorce S = a · s′n . V´ ypoˇcet velikosti vkladu (spl´atky, u ´loˇzky): a=
S·i S = ′. n (1 + i) · [(1 + i) − 1] sn
Pˇr´ıklad 5.5.
Kolik uspoˇr´ıme za 8 let, jestliˇze budeme ukl´adat na poˇc´atku kaˇzd´eho roku 5 000 Kˇc pˇri nemˇenn´e u ´rokov´e sazbˇe 5 % p. a.? ˇ sen´ ˇ ı. Re (1 + i)n − 1 , i 0,4774554 1,058 − 1 = 5 250 · = 50 132,817. S = 5 000 · 1,05 · 0,05 0,05 S = a · (1 + i) ·
Za 8 let uspoˇr´ıme 50 132,817 Kˇc. 5.2.2 Spoˇren´ı dlouhodobe´ polhutn´ ˚ ı Jestliˇze ukl´ad´ame penˇeˇzn´ı ˇc´astky na konci u ´rokovac´ıho obdob´ı (v naˇsem pˇr´ıpadˇe na konci roku), hovoˇr´ıme o spoˇren´ı polh˚ utn´ım. Chceme vypoˇc´ıtat kolik uspoˇr´ıme za n obdob´ı, jestliˇze ukl´ad´ame na konci kaˇzd´eho obdob´ı penˇeˇzn´ı ˇc´astku a. Odvozen´ı v´ ypoˇctu uspoˇren´e ˇc´astky: Poˇrad´ı u ´loˇzky
Poˇcet obdob´ı uloˇzen´ı penˇeˇzn´ı ˇc´astky
Celkov´a hodnota na konci n-t´eho obdob´ı
1
n−1
a · (1 + i)n−1
0
a
2 .. . n−1 n
n−2 .. . 1
a · (1 + i)n−2 .. . a · (1 + i)
69
5. Spoˇren´ı
Koneˇcn´ y stav vklad˚ u S ′ na konci n-t´eho obdob´ı je opˇet d´an souˇctem geometrick´e ˇrady S ′ = a · (1 + i)n−1 + (1 + i)n−2 + · · · + 1 , kde q = 1 + i, a1 = a. Potom souˇcet geometrick´e ˇrady bude S′ = a ·
(1 + i)n − 1 (1 + i)n − 1 =a· . (1 + i) − 1 i
Jestliˇze a = 1 Kˇc, potom v´ yraz (1 + i)n − 1 = s′′n i naz´ yv´ame stˇ radatelem polh˚ utn´ım a ud´av´a, kolik uˇsetˇr´ıme za n obdob´ı pˇri u ´rokov´e sazbˇe i, jestliˇze na konci kaˇzd´eho obdob´ı uloˇz´ıme 1 Kˇc. Potom pro v´ yˇsi koneˇcn´e hodnoty m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt zkr´acen´eho vzorce S ′ = a · s′′n . V´ ypoˇcet v´ yˇse vkladu (spl´atky, u ´loˇzky): a=
S′ S′ · i . = (1 + i)n − 1 s′′n
V´ ypoˇcet doby spoˇren´ı n: S′ = a ·
(1 + i)n − 1 S′ · i ⇒ S ′ · i = a · [(1 + i)n − 1] ⇒ = (1 + i)n − 1 ⇒ i a S′ · i S′ · i n = n · ln(1 + i). + 1 = (1 + i) ⇒ ln 1 + ⇒ a a
Potom doba spoˇren´ı bude ′ ln 1 + Sa·i n= . ln(1 + i)
Pˇr´ıklad 5.6.
Za jak dlouho uspoˇr´ıme 50 000 Kˇc, jestliˇze koncem kaˇzd´eho roku ukl´ad´ame 7 000 Kˇc pˇri nemˇenn´e u ´rokov´e sazbˇe 5 % p. a.? ˇ sen´ ˇ ı. Re n = n =
ln 1 +
S ′ ·i a
, ln(1 + i) ln 1 + 50 000·0,05 7 000 ln(1 + 0,05)
=
0,3053816 = 6,2590894. 0,0487901
n = 6 let, 0,2590894 · 360 = 93,27218 = 3 mˇes´ıce a 3 dny.
Abychom uspoˇrili 50 000 Kˇc pˇri dan´ ych podm´ınk´ach, mus´ıme spoˇrit 6 rok˚ u, 3 mˇes´ıce a 3 dny.
70
5.3
´ ´ ´ Kombinace kratkodob eho a dlouhodobeho spoˇren´ı
Z praxe v´ıme, ˇze spoˇr´ıme v´ıce rok˚ u a penˇeˇzn´ı ˇc´astky vˇetˇsinou ukl´ad´ame pravidelnˇe kaˇzd´ y mˇes´ıc – tedy m-kr´at za rok. Stejnˇe jako u pˇredch´azej´ıc´ıch u ´loh rozdˇel´ıme toto spoˇren´ı na spoˇren´ı pˇredlh˚ utn´ı a polh˚ utn´ı podle toho, kdy budeme penˇeˇzn´ı ˇc´astky ukl´adat. 5.3.1 Kombinovane´ spoˇren´ı pˇredlhutn´ ˚ ı Chceme zjistit kolik uspoˇr´ıme do konce n-t´eho roku, jestliˇze budeme ukl´adat penˇeˇzn´ı ˇc´astku na poˇc´atku kaˇzd´e m-tiny roku x Kˇc. Nejdˇr´ıve vypoˇc´ıt´ame, kolik uspoˇr´ıme vˇcetnˇe u ´rok˚ u na konci prvn´ıho roku, coˇz zjist´ıme ze vztahu pro kr´atkodob´e pˇredlh˚ utn´ı spoˇren´ı. T´ım jsme pˇrevedli u ´lohu na pˇr´ıpad, kdy koncem kaˇzd´eho roku uloˇ z´ıme ˇ c´ astku a, kterou jsme uvaˇzovali u dlouhodob´eho spoˇren´ı. Tuto ˇc´astku a nahrad´ıme uspoˇrenou ˇc´astkou Sx . m+1 Sx = m · x · 1 + ·i 2·m
↓ (1 + i)
S =a· Tedy
n
i
−1
m+1 (1 + i)n − 1 =m·x· 1+ ·i · . 2·m i
m+1 (1 + i)n − 1 ·i · . S =m·x· 1+ 2·m i
Z dan´eho v´ yrazu vid´ıme, ˇze jsme pro v´ ypoˇcet celkov´e uspoˇren´e ˇc´astky pouˇzili dlouhodob´eho polh˚ utn´ıho spoˇren´ı, i kdyˇz jsme jednotliv´e ˇc´astky ukl´adali na poˇc´atku kaˇzd´e m-tiny roku. Je to d´ano t´ım, ˇze naspoˇren´a ˇc´astka Sx je vlastnˇe ukl´ad´ana vˇzdy na konci kaˇzd´eho roku. V´ ypoˇcet v´ yˇse vkladu x: x= Pˇr´ıklad 5.7.
S m· 1+
m+1 2·m
·i ·
(1+i)n −1 i
.
Kolik uspoˇr´ıme za 10 let, jestliˇze spoˇr´ıme zaˇc´atkem kaˇzd´eho ˇctvrtlet´ı 2 500 Kˇc pˇri nemˇenn´e u ´rokov´e sazbˇe 5 % p. a.? ˇ sen´ ˇ ı. Re m+1 (1 + i)n − 1 S = m·x· 1+ ·i · , 2·m i 1,0510 − 1 5 = 10 000 · 1,03125 · 12,577893 = S = 4 · 2 500 · 1 + · 0,05 · 8 0,05 = 129 709, 52.
Pˇri stanoven´ ych podm´ınk´ach uspoˇr´ıme za 10 let 129 709,52 Kˇc.
71
5. Spoˇren´ı
Pˇr´ıklad 5.8.
Kolik mus´ıme spoˇrit poˇc´atkem kaˇzd´eho mˇes´ıce, abychom za 10 let uspoˇrili 1 mil. Kˇc pˇri nemˇenn´e u ´rokov´e sazbˇe 5 %? ˇ sen´ ˇ ı. Re x = x =
S
, n · i · (1+i)i −1 1 000 000 1 000 000 = 6 450,6753. 1,0510 −1 = 13 12,325 · 12,577893 12 · 1 + 24 · 0,05 · 0,05 m· 1+
m+1 2·m
Pˇri stanoven´ ych podm´ınk´ach mus´ıme mˇes´ıˇcnˇe spoˇrit 6 450,6753 Kˇc. 5.3.2 Kombinovane´ spoˇren´ı polhutn´ ˚ ı
Pˇri ˇreˇsen´ı t´eto u ´lohy budeme postupovat obdobn´ ym zp˚ usobem jako pˇri spoˇren´ı pˇredlh˚ utn´ım. Opˇet nahrad´ıme ˇc´astku a spoˇren´ım kr´atkodob´ ym polh˚ utn´ım ′ Sx . Sx′
′
m−1 =m·x· 1+ ·i 2·m
↓ (1 + i)
S =a·
i
n
−1
Tedy
m−1 (1 + i)n − 1 =m·x· 1+ ·i · . 2·m i
m−1 (1 + i)n − 1 S =m·x· 1+ ·i · . 2·m i V´ ypoˇcet v´ yˇse vkladu x: ′
x=
S′ m· 1+
m−1 2·m
·i ·
(1+i)n −1 i
.
V´ ypoˇcet doby spoˇren´ı n: (1 + i)n − 1 m−1 ′ ·i · ⇒ S =m·x· 1+ 2·m i m−1 ′ · i · [(1 + i)n − 1] ⇒ ⇒S ·i=m·x· 1+ 2·m S′ · i + 1 = (1 + i)n . ⇒ m−1 m · x · 1 + 2·m · i Tento v´ yraz zlogaritmujeme a obdrˇz´ıme # " S′ · i + 1 = n · ln(1 + i) ⇒ ln ·i m · x · 1 + m−1 2·m
⇒n=
72
ln
S ′ ·i m·x·(1+ m−1 ·i 2·m )
ln(1 + i)
+1
.
Stejn´ ym zp˚ usobem vypoˇc´ıt´ame i dobu n spoˇren´ı pˇredlh˚ utn´ıho: S·i ln m·x· 1+ +1 ·i ( m+1 2·m ) n= . ln(1 + i) Pˇr´ıklad 5.9.
Kolik mus´ıme spoˇrit koncem kaˇzd´eho mˇes´ıce, abychom za 10 let uspoˇrili 1 mil. Kˇc pˇri nemˇenn´e u ´rokov´e sazbˇe 5 %? ˇ sen´ ˇ ı. Re x = x = =
S′ n · i · (1+i)i −1 1 000 000 1 00 000 = 1,0510 −1 = 11 12,275 · 12,577893 12 · 1 + 24 · 0,05 · 0,05 1 000 000 = 6 476, 9512. 154,39363 m· 1+
m−1 2·m
Pˇri uveden´ ych podm´ınk´ach je nutno mˇes´ıˇcnˇe ukl´adat 6 476,9512 Kˇc. Pˇr´ıklad 5.10.
Jak dlouho mus´ıme spoˇrit koncem kaˇzd´eho mˇes´ıce 500 Kˇc, aby uspoˇren´a ˇc´astka byla ve v´ yˇsi 100 000 Kˇc pˇri nemˇenn´e u ´rokov´e sazbˇe 5 % p. a.? ˇ sen´ ˇ ı. Re ln n = ln n =
S ′ ·i ·i m·x·(1+ m−1 2·m )
100 000·0,05 12·500·(1+ 11 ·0,05) 24
ln(1 + i)
+1
ln(1,05)
,
+1
=
ln 1,814664 0,5959003 = = 12,213549 let. ln 1,05 0,0487901
Uvedenou ˇc´astku pˇri stanoven´ ych podm´ınk´ach uspoˇr´ıme za 12 rok˚ u, 2 mˇes´ıce a 16 dn´ı.
´ ˇ Otazky k zamyslen´ ı 1. Kolik uspoˇr´ıme do konce roku, jestliˇ ze ukl´ad´ame poˇca´tkem kaˇzd´eho mˇes´ıce 1 200 Kˇc, pˇri u ´rokov´e sazbˇe 9 % p. a.? [15 102 Kˇc] 2. Kolik mus´ıme ukl´ adat koncem kaˇzd´eho mˇes´ıce, abychom za rok naspoˇrili 21 000 Kˇc pˇri u ´rokov´e sazbˇe 6 % p. a.? [1 703,16 Kˇc] 3. Za jak dlouho naspoˇr´ıme 50 000 Kˇ c pˇri roˇcn´ıch polh˚ utn´ıch vkladech a nemˇenn´e u ´rokov´e sazbˇe 6 % p. a.? [7 let, 7 mˇes´ıc˚ u, 19 dn´ı] 4. Kolik mus´ıme spoˇrit poˇ c´atkem kaˇzd´eho mˇes´ıce, abychom za 10 let pˇri nemˇenn´e u ´rokov´e sazbˇe 9 % p. a. obdrˇzeli 1 milion Kˇc? [5 230,04 Kˇc] 5. Jak dlouho mus´ıme spoˇrit koncem kaˇ zd´eho mˇes´ıce 500 Kˇc, abychom
uspoˇrili 50 000 Kˇc pˇri nemˇenn´e u ´rokov´e sazbˇe 8 % p. a.? [6 let, 5 mˇes´ıc˚ u, 1 den]
73
5. Spoˇren´ı
6. Pˇri mˇ es´ıˇcn´ı pˇredlh˚ utn´ım spoˇren´ı 10 Kˇc a u ´rokov´e sazbˇe 3 % p. a. urˇcete uspoˇrenou ˇc´astku za 13 let. [1 905,05 Kˇc] 7. Pan Voc´ asek pl´anuje n´akup nov´eho auta za 3 roky a poˇc´ıt´a s n´akupn´ı
cenou 320 000 Kˇc. Svoje souˇcasn´e auto star´e dva roky hodl´a prodat na proti´ uˇcet a odhaduje jeho cenu na 80 000 Kˇc. Na zbytek ceny nov´eho vozu chce pan Voc´asek ukl´adat na zaˇc´atku kaˇzd´eho ˇctvrtlet´ı stejnou potˇrebnou ˇc´astku, na sv˚ uj u ´ˇcet v bance, pˇri u ´rokov´e sazbˇe 12 % p. a. Kolik bude ˇcinit tento vklad? [16 910,90 Kˇc] 8. Klient ukl´ adal po dobu deseti let koncem roku 10 000 Kˇc na vkladn´ı
kn´ıˇzku. V t´e dobˇe spoˇritelna u ´roˇcila vklady prvn´ı 4 roky 10 % p. a. a 9 21 % p. a. posledn´ıch 6 let. Jak´a je hodnota naspoˇren´e ˇc´astky pˇet let po posledn´ım vkladu, jestliˇze u ´rokov´a sazba 9 21 % p. a. trv´a? [244 038,14 Kˇc] 9. Na sch˚ uzce 5 let po promoci se absolventi fakulty dohodli, ˇze pˇr´ıˇst´ı
sch˚ uzku 10 let po promoci uspoˇr´adaj´ı jako jubilejn´ı a slavnostn´ı, v luxusn´ım podniku. Na kryt´ı pˇredpokl´adan´ ych n´aklad˚ u souhlasili s t´ım, ˇze kaˇzd´ y poˇsle pokladn´ıkovi roˇcn´ıku pololetnˇe 20 Kˇc. Jestliˇze vˇsech 100 absolvent˚ u fakulty tento z´avazek dodrˇz´ı pˇri doˇzit´ı vˇsech a pokladn´ı svˇeˇr´ı spr´avu fondu bance pˇri u ´rokov´e sazbˇe 4 % p. a. u ´roˇceno pololetnˇe, jak´e v´ yˇse dos´ahne hodnota fondu na konci 10. roku po promoci? [21 899,44 Kˇc] 10. Otec od narozen´ı dcery ukl´ adal poˇc´atkem kaˇzd´eho mˇes´ıce 150 Kˇc pˇri
nemˇenn´e u ´rokov´e sazbˇe 4,5 % p. a. s podm´ınkou, ˇze si dcera tento vklad vybere koncem roku, ve kter´em dovrˇs´ı 18 let, Jak´a byla hodnota naspoˇren´e ˇc´astky v t´eto dobˇe? [49 517,42 Kˇc]
74
Problematika duchod ˚ u˚ Duchod ˚ bezprostˇredn´ı Duchod ˚ odloˇzeny´ ˇ y´ Duchod ˚ veˇ cn
6
Duchody ˚
6. Duchody ˚
C´ıl kapitoly V t´eto kapitole budeme ˇreˇsit u ´lohy v podstatˇe spoˇren´ım na d˚ uchod, kdy jsou ˇc´astky d˚ uchod˚ u vypl´aceny roˇcnˇe, pololetnˇe, ˇctvrtletnˇe nebo mˇes´ıˇcnˇe, coˇz je nejˇcastˇejˇs´ı pˇr´ıpad v´ yplaty d˚ uchod˚ u. Zde jde o pochopen´ı probl´emu d˚ uchodov´eho zabezpeˇcen´ı, kdy klient si k d˚ uchodu poskytovan´e z d˚ uchodov´eho fondu zvyˇsuje tento d˚ uchod o uspoˇrenou ˇc´astku, kterou uspoˇril t´ım, ˇze si zaloˇzil toto spoˇren´ı v urˇcit´em vˇeku. Je nutno pochopit, ˇze je daleko v´ıce moˇznost´ı jak´ ym zp˚ usobem se klient rozhodne zabezpeˇcit sv˚ uj d˚ uchodov´ y vˇek, nebot’ v souˇcasn´e dobˇe je ˇrada moˇznost´ı jak´ ym zp˚ usobem bude kaˇzd´ y myslet na d˚ uchodov´ y vˇek v souˇcasn´em vˇeku. Napˇr´ıklad je moˇzno uzavˇr´ıt pojistnou smlouvu u ˇzivotn´ıch pojiˇst’oven a odepisovat si pojistnou ˇc´astku ze z´akladu danˇe. Dalˇs´ı moˇznost´ı je zabezpeˇcen´ı u vznikl´ ych penzijn´ıch fond˚ u, coˇz je v souˇcasn´e dobˇe rizikov´a investice, vzhledem k tomu, ˇze jiˇz mnoho penzijn´ıch fond˚ u zaniklo. Je nutno dobˇre zvaˇzovat svoje d˚ uchodov´e zabezpeˇcen´ı a sniˇzovat tak riziko ztr´aty uspoˇren´e ˇc´astky.
ˇ ´ eˇ ˇz Casov a´ zat Prostudov´an´ı a pochopen´ı vztah˚ u t´eto kapitoly vyˇzaduje 10 hod.
6.1
Problematika duchod ˚ u˚
D˚ uchodem rozum´ıme pravideln´e v´ yplaty, kter´e obvykle naz´ yv´ame anuity (v´ yplaty d˚ uchod˚ u) a budeme je znaˇcit a. Podle toho, kdy jsou anuity placeny, rozliˇsujeme d˚ uchod: pˇ redlh˚ utn´ı – anuity jsou placeny vˇzdy na poˇc´atku urˇcit´eho ˇcasov´eho intervalu polh˚ utn´ı – anuity jsou placeny vˇzdy na konci urˇcit´eho ˇcasov´eho intervalu Pro zaˇc´atek budeme pˇredpokl´adat, ˇze u ´rokovac´ı obdob´ı a ˇcasov´ y interval k v´ yplatˇe d˚ uchod˚ u jsou stejn´e. Podle toho, jak dlouho se bude d˚ uchod vypl´acet, rozliˇsujeme d˚ uchod: vˇ eˇ cn´ y – je vypl´acen neomezenˇe dlouho doˇ casn´ y – je vypl´acen pouze po urˇcitou pevnˇe stanovenou dobu Podle toho, kdy se zaˇcne d˚ uchod vypl´acet, rozliˇsujeme d˚ uchod: bezprostˇ redn´ı – s v´ yplatou d˚ uchodu se zaˇcne okamˇzitˇe po podeps´an´ı smlouvy odloˇ zen´ y – s v´ yplatou se zaˇcne aˇz po uplynut´ı urˇcit´e doby (karenˇcn´ı doby) V souvislosti s d˚ uchody budeme poˇc´ıtat: a) poˇ c´ ateˇ cn´ı hodnotu d˚ uchodu D – je to souˇcet souˇcasn´ ych hodnot vˇsech v budoucnu z´ıskan´ ych v´ yplat d˚ uchodu. Poˇc´ateˇcn´ı hodnota d˚ uchodu tedy ud´av´a, kolik si mus´ıme dnes uloˇzit, abychom si zajistili pˇri dan´e u ´rokov´e sazbˇe vypl´acen´ı pˇr´ısluˇsn´eho d˚ uchodu.
76
b) koneˇ cn´ a hodnota d˚ uchodu S – je to souˇcet vˇsech v´ yplat d˚ uchodu pˇrepoˇcten´ ych ke konci posledn´ıho roku, kdy se d˚ uchod vypl´ac´ı. Koneˇcn´a hodnota d˚ uchodu ud´av´a, kolik bychom celkem z´ıskali ke konci posledn´ıho roku, kdybychom vˇsechny v´ yplaty d˚ uchodu okamˇzitˇe po jejich vyplacen´ı pˇri dan´e u ´rokov´e sazbˇe uloˇzili. Mezi koneˇcnou a poˇc´ateˇcn´ı hodnotou plat´ı vztah S = D · (1 + i)n .
6.2
Duchod ˚ bezprostˇredn´ı
U d˚ uchodu bezprostˇredn´ıho v´ yplata zaˇc´ın´a ihned v dan´em obdob´ı. Podle toho, zda budou v´ yplaty prob´ıhat na poˇc´atku nebo na konci tohoto obdob´ı, rozliˇsujeme d˚ uchod pˇredlh˚ utn´ı a d˚ uchod polh˚ utn´ı. 6.2.1 Duchod ˚ bezprostˇredn´ı pˇredlhutn´ ˚ ı Naˇs´ım u ´kolem bude vypoˇc´ıtat poˇc´ateˇcn´ı hodnotu d˚ uchodu a vypl´acen´eho vˇzdy poˇc´atkem u ´rokovac´ıho obdob´ı po n obdob´ı pˇri u ´rokov´e sazbˇe i. Potom poˇc´ateˇcn´ı hodnota d˚ uchodu se rovn´a souˇctu vˇsech v´ yplat d˚ uchodu. Z pˇredch´azej´ıc´ıch kapitol v´ıme, ˇze souˇcasnou hodnotu vypoˇc´ıt´ame K0 =
Kt . (1 + i)t
Podle toho souˇcasnou hodnotu vypoˇc´ıt´ame tak, ˇze kaˇzdou v´ yplatu d˚ uchodu 1 a diskontujeme diskontn´ım faktorem 1+i = v k v´ ychoz´ımu datu (k prvn´ı v´ yplatˇe d˚ uchodu). Poˇrad´ı v´ yplaty 1 2 3 .. .
Souˇcasn´a hodnota a a·v a · v2 .. .
n
a · v n−1
Souˇcet souˇcasn´ ych hodnot vˇsech v´ yplat d˚ uchodu tvoˇr´ı koneˇcnou geometrickou ˇradu a + a · v + a · v 2 + a · v 3 + · · · + a · v n−1 , kde a1 = a, q = v a v = geometrick´e ˇrady
1 1+i
diskont. Jelikoˇz 0 < q < 1, bude souˇcet koneˇcn´e Sn = a1 ·
1 − qn . 1−q
1 Nebot’ 1+i bude vˇzdy menˇs´ı neˇz 1, protoˇze u ´rokov´a sazba nikdy nebude rovna nule. Potom tedy souˇcet souˇcasn´ ych hodnot vˇsech v´ yplat d˚ uchodu bude 1 n 1 − 1+i 1 − vn 1 − vn 1 − vn D =a· . = a · = a · = a · 1 1 1+i−1 v · i 1 − 1+i i · 1+i 1+i
77
6. Duchody ˚
T´ım jsme z´ıskali v´ yraz pro urˇcen´ı kapit´alu D, kter´ y mus´ıme vloˇzit, abychom mohli zaˇc´atkem kaˇzd´eho obdob´ı pob´ırat d˚ uchod a. Tuto penˇeˇzn´ı ˇc´astku tedy vypoˇc´ıt´ame 1 − vn D =a· . v·i Jestliˇze a = 1 Kˇc, potom v´ yraz 1 − vn = a′n v·i se naz´ yv´a z´ asobitel pˇ redlh˚ utn´ı a ud´av´a poˇc´ateˇcn´ı hodnotu d˚ uchodu 1 Kˇc vypl´acen´eho vˇzdy poˇc´atkem u ´rokov´eho obdob´ı po dobu n let pˇri u ´rokov´e sazbˇe i. Pˇr´ıklad 6.1.
Jak´a ˇc´astka n´am zajist´ı roˇcn´ı bezprostˇredn´ı pˇredlh˚ utn´ı d˚ uchod ve v´ yˇsi 16 000 Kˇc po dobu 20 let pˇri nemˇenn´e u ´rokov´e sazbˇe 4 % p. a.? ˇ sen´ ˇ ı. Re D = a·
1 − vn , v·i
D = 16 000 ·
1−
1 1,04 0,04 1,04
20
= 226 143,03.
Jestliˇze dnes uloˇz´ıme 226 143,03 Kˇc, zajist´ı n´am pˇredlh˚ utn´ı roˇcn´ı d˚ uchod ve v´ yˇsi 16 000 Kˇc po dobu 20 let. 6.2.2 Duchod ˚ bezprostˇredn´ı polhutn´ ˚ ı Stejnˇe jako u d˚ uchodu pˇredlh˚ utn´ıho n´am jde o to vypoˇc´ıtat hodnotu d˚ uchodu ve v´ yˇsi a vypl´acen´eho vˇzdy koncem u ´rokov´eho obdob´ı po n obdob´ı pˇri u ´rokov´e sazbˇe i. Budeme postupovat obdobn´ ym zp˚ usobem jako u d˚ uchodu pˇredlh˚ utn´ıho. Poˇrad´ı v´ yplaty 1 2 3 .. .
Souˇcasn´a hodnota a·v a · v2 a · v3 .. .
n
a · vn
Souˇcet vˇsech souˇcasn´ ych hodnot v´ yplat d˚ uchodu je opˇet d´an koneˇcnou geometrickou ˇradou a · v + a · v2 + a · v3 + · · · + a · vn, kde a1 = a · v a q = v. Potom pro dan´ y souˇcet plat´ı 1 n 1 − 1+i 1 1 − vn 1 − vn 1 1 − vn ′ D =a· · · = a · . = a · = a · v · 1 1+i 1 + i 1+i−1 i · v i 1 − 1+i 1+i
78
T´ım jsme z´ıskali v´ yraz pro urˇcen´ı kapit´alu, kter´ y mus´ıme vloˇzit, abychom mohli koncem kaˇzd´eho roku pob´ırat d˚ uchod a. Tuto penˇeˇzn´ı ˇc´astku vypoˇc´ıt´ame D′ = a ·
1 − vn . i
V´ yraz
1 − vn i se naz´ yv´a z´ asobitel polh˚ utn´ı a ud´av´a poˇc´ateˇcn´ı hodnotu d˚ uchodu 1 Kˇc vypl´acen´eho vˇzdy koncem u ´rokov´eho obdob´ı po n let pˇri u ´rokov´e sazbˇe i. a′′n =
Pˇr´ıklad 6.2.
Jak´a ˇc´astka n´am zajist´ı roˇcn´ı bezprostˇredn´ı polh˚ utn´ı d˚ uchod ve v´ yˇsi 16 000 Kˇc po dobu 20 let pˇri nemˇenn´e u ´rokov´e sazbˇe 4 % p. a.? ˇ sen´ ˇ ı. Re D′ = a ·
1 − vn , i
D′ = 16 000 ·
1−
1 1,04
0,04
20
= 217 445,28.
Jestliˇze dnes uloˇz´ıme 217 k445,28 Kˇc, zajist´ı n´am tato ˇc´astka v´ yplaty d˚ uchodu podle zadan´ ych podm´ınek. ´ ´ rocn ˇ eˇ 6.2.3 Duchody ˚ vyplacen e´ m-krat Stejnˇe jako u spoˇren´ı m˚ uˇze doch´azet k tomu, ˇze v´ yplaty d˚ uchodu jsou ˇcastˇeji neˇz jednou za rok. Budeme pˇredpokl´adat, ˇze na poˇc´atku (konci) m-tiny roku jsou vypl´aceny spl´atky d˚ uchodu ve v´ yˇsi x Kˇc. Pro v´ ypoˇcet poˇc´ateˇcn´ı hodnoty takov´eho d˚ uchodu pouˇzijeme v´ yraz pro pˇredlh˚ utn´ı (polh˚ utn´ı) d˚ uchod s t´ım, ˇze mus´ıme nejdˇr´ıve vypoˇc´ıtat, jak´a bude celkov´a hodnota d˚ uchodu na konci roku. Celkovou hodnotu v´ yplat d˚ uchodu na konci roku vypoˇc´ıt´ame pomoc´ı kr´atkodob´eho pˇredlh˚ utn´ıho nebo polh˚ utn´ıho spoˇren´ı. Nyn´ı jsme nahradili m v´ yplat d˚ uchodu ve v´ yˇsi x jednou v´ yplatou d˚ uchodu ve v´ yˇsi Sx (Sx′ ). Poˇc´ateˇcn´ı hodnota d˚ uchodu se pak vypoˇc´ıt´a a) pˇ redlh˚ utn´ı m+1 1 − vn D =m·x· 1+ ·i · , 2·m i b) polh˚ utn´ı
m−1 1 − vn D =m·x· 1+ ·i · . 2·m i ′
U pˇredlh˚ utn´ıho d˚ uchodu vid´ıme, ˇze pouˇz´ıv´ame z´asobitel polh˚ utn´ı a nikoliv pˇredlh˚ utn´ı, i kdyˇz jednotliv´e v´ yplaty d˚ uchodu jsou uskuteˇcnˇeny na poˇc´atku kaˇzd´e m-tiny roku. Je to z toho d˚ uvodu, ˇze pˇri pˇredlh˚ utn´ım spoˇren´ı vypoˇc´ıt´ame vlastnˇe v´ yplatu d˚ uchodu, kterou bychom z´ıskali na konci roku.
79
6. Duchody ˚
Pˇr´ıklad 6.3.
Jak´a je poˇc´ateˇcn´ı hodnota d˚ uchodu 6 000 Kˇc, kter´ y se vypl´ac´ı na poˇc´atku kaˇzd´eho ˇctvrtlet´ı po dobu 10 let pˇri nemˇenn´e u ´rokov´e sazbˇe 5 % p. a.? ˇ sen´ ˇ ı. Re 1 − vn m+1 ·i · , D = m·x· 1+ 2·m i
1 − 1 10 1,05 5 D = 4 · 6 000 · 1 + · 0,05 · = 191 112,94. 2·4 0,05
Poˇc´ateˇcn´ı hodnota d˚ uchodu pˇri zadan´ ych podm´ınk´ach bude 191 112,94 Kˇc. Pˇr´ıklad 6.4.
Jak´a je poˇc´ateˇcn´ı hodnota d˚ uchodu 6 000 Kˇc, jestliˇze se d˚ uchod vypl´ac´ı na konci kaˇzd´eho ˇctvrtlet´ı po dobu 10 let pˇri nemˇenn´e u ´rokov´e sazbˇe 5 % p. a.? ˇ sen´ ˇ ı. Re 1 − vn m−1 ·i · , D′ = m · x · 1 + 2·m i D′
1 − 1 10 1,05 3 = 4 · 6 000 · 1 + · 0,05 · = 188 796,42. 2·4 0,05
Poˇc´ateˇcn´ı hodnota d˚ uchodu pˇri zadan´ ych podm´ınk´ach bude 188 796,42 Kˇc.
6.3
Duchod ˚ odloˇzeny´
V pˇredch´azej´ıc´ı ˇc´asti jsme mluvili o bezprostˇredn´ım d˚ uchodu. To znamen´a, ˇze se d˚ uchod zaˇcal vypl´acet bezprostˇrednˇe po zaplacen´ı potˇrebn´e penˇeˇzn´ı ˇc´astky ve sjednan´e dobˇe. Odloˇzen´ y d˚ uchod se zaˇc´ın´a vypl´acet aˇz po urˇcit´e dohodnut´e dobˇe, kterou naz´ yv´ame t´eˇz karenˇcn´ı dobou k. Stejnˇe jako u d˚ uchodu bezprostˇredn´ıho rozdˇelujeme odloˇzen´ y d˚ uchod na d˚ uchod pˇredlh˚ utn´ı a polh˚ utn´ı. 6.3.1 Duchod ˚ odloˇzeny´ pˇredlhutn´ ˚ ı D˚ uchod odloˇzen´ y pˇredlh˚ utn´ı je vypl´acen vˇzdy na zaˇc´atku urˇcit´eho ˇcasov´eho ´ intervalu a jeho vypl´acen´ı je odloˇzeno o k let. Ukolem bude vypoˇc´ıtat poˇc´ateˇcn´ı hodnotu takov´ehoto d˚ uchodu, kter´ y je vypl´acen po n let pˇri u ´rokov´e sazbˇe i. Pˇri v´ ypoˇctu budeme vych´azet z bezprostˇredn´ıho pˇredlh˚ utn´ıho d˚ uchodu. V´ıme, ˇze poˇc´ateˇcn´ı hodnota D bezprostˇredn´ıho pˇredlh˚ utn´ıho d˚ uchodu ve v´ yˇsi a se vypoˇc´ıt´a jako souˇcet souˇcasn´ ych hodnot budouc´ıch anuit (v´ yplat). U odloˇzen´eho pˇredlh˚ utn´ıho d˚ uchodu jde o to, ˇze souˇcasnou hodnotu v´ yplaty d˚ uchodu, kter´a m´a b´ yt vyplacena v k-t´em roce splatnosti d˚ uchodu, vypoˇc´ıt´ame tak, ˇze hodnotu t´eto v´ yplaty diskontujeme k v´ ychoz´ımu datu. To znamen´a, ˇze diskontn´ı faktor umocn´ıme na k. Potom poˇc´ateˇcn´ı hodnota odloˇzen´eho pˇredlh˚ utn´ıho d˚ uchodu K se vypoˇc´ıt´a K = vk · a ·
80
1 − vn 1 − v n k−1 =a· ·v . v·i i
Poˇc´ateˇcn´ı hodnota K odloˇzen´eho d˚ uchodu je vlastnˇe diskontovan´a poˇc´ateˇcn´ı hodnota bezprostˇredn´ıho d˚ uchodu D k v´ ychoz´ımu datu. Jde v podstatˇe o pˇr´ıpad, jako bychom uloˇzili ˇc´astku D na k let a po t´eto dobˇe jsme si zaplatili bezprostˇredn´ı d˚ uchod. Jestliˇze doch´az´ı k v´ yplat´am d˚ uchodu na zaˇc´atku kaˇzd´e m-tiny roku, vypoˇc´ıt´ame stejnˇe jako v pˇr´ıpadˇe bezprostˇredn´ıho pˇredlh˚ utn´ıho d˚ uchodu. Vyuˇzijeme tedy vztah pro kr´atkodob´e spoˇren´ı pˇredlh˚ utn´ı. Potom poˇc´ateˇcn´ı hodnota tohoto d˚ uchodu bude m+1 1 − vn k K =m·x· 1+ ·i · ·v . 2·m i Pˇr´ıklad 6.5.
M´ame v hotovosti 30 000 Kˇc. Touto ˇc´astkou si chceme zajistit roˇcn´ı pˇredlh˚ utn´ı d˚ uchod na 5 let s t´ım, ˇze s jeho v´ yplatou zaˇcneme za dva roky. V jak´e v´ yˇsi budou v´ yplaty tohoto d˚ uchodu pˇri nemˇenn´e roˇcn´ı u ´rokov´e sazbˇe 5 %? ˇ sen´ ˇ ı. Re a = a =
k·i , v k−1 · (1 − v n ) 30 000 · 0,05 1 500 = = 7 275,7064. 1 1 0,2061656 ) · (1 − 0,05 0,055
Vyplacen´a ˇc´astka bude ˇcinit 7 275,7046 Kˇc. Pˇr´ıklad 6.6.
Jak velkou ˇc´astku mus´ıme dnes pˇri nemˇenn´e u ´rokov´e sazbˇe 10 % p. a. uloˇzit novorozen´emu d´ıtˇeti, aby v 18 letech mˇelo takov´ y kapit´al, kter´ y by mu zabezpeˇcil po dobu 10 let ˇctvrtletn´ı pˇredlh˚ utn´ı d˚ uchod ve v´ yˇsi 2 000 Kˇc? ˇ sen´ ˇ ı. Re m+1 1 − vn k K = m·x· 1+ ·i · ·v , 2·m i 18 1 − 1,1110 1 5 · = K = 4 · 2 000 · 1 + · 0,1 · 8 0,1 1,1 = 8 500 · 6,144568 · 0,1798587 = 9 393,81.
K zabezpeˇcen´ı uveden´eho d˚ uchodu mus´ıme uloˇzit 9 393,81 Kˇc. 6.3.2 Duchod ˚ odloˇzeny´ polhutn´ ˚ ı Vzhledem k tomu, ˇze vˇsechny u ´vahy jsou stejn´e jako u d˚ uchodu odloˇzen´eho pˇredlh˚ utn´ıho, uvedeme si pouze z´akladn´ı vzorce. Poˇc´ateˇcn´ı hodnota odloˇzen´eho polh˚ utn´ıho d˚ uchodu K ′ se vypoˇc´ıt´a K ′ = vk · a ·
1 − vn . i
81
6. Duchody ˚
Je to vlastnˇe diskontovan´a poˇc´ateˇcn´ı hodnota D ′ bezprostˇredn´ıho polh˚ utn´ıho d˚ uchodu diskontovan´eho k v´ ychoz´ımu datu a z´asobitel polh˚ utn´ı je vyn´asoben diskontn´ım faktorem umocnˇen´ ym na dobu odloˇzen´ı k. V pˇr´ıpadˇe, ˇze se d˚ uchod vypl´ac´ı m-kr´at za rok, bude poˇc´ateˇcn´ı hodnota takov´ehoto d˚ uchodu vypoˇc´ıt´ana na z´akladˇe kr´atkodob´eho polh˚ utn´ıho spoˇren´ı a z´asobitele polh˚ utn´ıho. Souˇcin tˇechto v´ yraz˚ u n´asob´ıme diskontn´ım faktorem umocnˇen´ ym na dobu odloˇzen´ı k. m−1 1 − vn k ′ K =m·x· 1+ ·i · ·v . 2·m i
6.4
ˇ y´ Duchod ˚ veˇ cn
Je to d˚ uchod, jehoˇz v´ yplata nen´ı ˇcasovˇe omezena (n → ∞). S t´ımto d˚ uchodem se m˚ uˇzeme setkat u nˇekter´ ych cenn´ ych pap´ır˚ u, kter´e nemaj´ı splatnost, ale majitel m´a n´arok na v´ yplatu d˚ uchodu po neomezenou dobu. Stejnˇe jako u pˇredch´azej´ıc´ıch d˚ uchod˚ u hovoˇr´ıme t´eˇz o d˚ uchodu vˇeˇcn´em polh˚ utn´ım a vˇeˇcn´em pˇredlh˚ utn´ım. I d˚ uchod vˇeˇcn´ y m˚ uˇze b´ yt bezprostˇredn´ı nebo odloˇzen´ y. ˇ y´ pˇredlhutn´ 6.4.1 Duchod ˚ veˇ cn ˚ ı Poˇc´ateˇcn´ı hodnotu D vˇeˇcn´eho pˇredlh˚ utn´ıho d˚ uchodu vypoˇc´ıt´ame jako limitu poˇc´ateˇcn´ı hodnoty bezprostˇredn´ıho pˇredlh˚ utn´ıho d˚ uchodu. Protoˇze D = a ·
1−vn , i·v
bude pro n → ∞ D = lim a · n→∞
Uprav´ıme-li tento v´ yraz
a 1 − vn = . i·v i·v
a 1 a 1+i , = 1 =a· =a· 1+ i·v 1 i 1+i obdrˇz´ıme v´ ypoˇcet hodnoty bezprostˇredn´ıho pˇredlh˚ utn´ıho vˇeˇcn´eho d˚ uchodu 1 D =a· 1+ . i Jestliˇze vypl´acen´ı tohoto d˚ uchodu odloˇz´ıme o k let, potom tento vztah mus´ıme opˇet vyn´asobit diskontn´ım faktorem umocnˇen´ ym na hodnotu doby odloˇzen´ı. 1 K =a· 1+ · vk . i
Je-li vˇeˇcn´ y d˚ uchod vypl´acen m-kr´at za rok, postupujeme stejnˇe jako u pˇredch´azej´ıc´ıch d˚ uchod˚ u. Jde-li o d˚ uchod odloˇzen´ y vypl´acen´ y m-kr´at za rok, mus´ıme tento v´ yraz 1 m+1 ·i · 1+ D =m·x· 1+ 2·m i
82
n´asobit diskontem umocnˇen´ ym na dobu odloˇzen´ı k. 1 m+1 · vk . ·i · 1+ K =m·x· 1+ 2·m i Pˇr´ıklad 6.7.
Jak vysok´a ˇc´astka n´am zajist´ı v´ yplatu vˇeˇcn´eho pˇredlh˚ utn´ıho roˇcn´ıho d˚ uchodu ve v´ yˇsi 10 000 Kˇc od naˇseho 60. roku, je-li n´am dnes 30 let a u ´rokov´a sazba je 5 % p. a.? ˇ sen´ ˇ ı. Re 1 · vk K = a· 1+ i 1 1 30 = 210 000 · 0,2313774 = 48 589, 254. K = 10 000 · 1 + · 0,05 1,05
Abychom si zajistili tuto v´ yplatu d˚ uchodu, mus´ıme dnes sloˇzit ˇc´astku ve v´ yˇsi 48 589,254 Kˇc. ˇ y´ polhutn´ 6.4.2 Duchod ˚ veˇ cn ˚ ı Stejnˇe jako u d˚ uchodu vˇeˇcn´eho pˇredlh˚ utn´ıho odvod´ıme pomoc´ı limity d˚ uchod vˇeˇcn´ y polh˚ utn´ı z d˚ uchodu bezprostˇredn´ıho polh˚ utn´ıho. a 1 − vn = . n→∞ i i Bude-li vˇeˇcn´ y polh˚ utn´ı d˚ uchod odloˇzen´ y o k let, mus´ıme tento v´ ysledn´ y vztah vyn´asobit diskontn´ım faktorem umocnˇen´ ym na dobu odloˇzen´ı k. a K ′ = · vk . i Je-li vˇeˇcn´ y d˚ uchod vypl´acen m-kr´at za rok, potom poˇc´ateˇcn´ı hodnota polh˚ utn´ıho d˚ uchodu bude 1 m−1 ′ ·i · . D =m·x· 1+ 2·m i D ′ = lim a ·
Je-li d˚ uchod vˇeˇcn´ y, odloˇzen´ y, vypl´acen´ y m-kr´at za rok, potom poˇc´ateˇcn´ı hodnota tohoto d˚ uchodu bude k m−1 v ′ K =m·x· 1+ ·i · . 2·m i Pˇr´ıklad 6.8.
Jak´a ˇc´astka n´am a naˇsim poz˚ ustal´ ym zajist´ı ˇctvrtletn´ı polh˚ utn´ı d˚ uchod ve v´ yˇsi 5 000 Kˇc pˇri nemˇenn´e u ´rokov´e sazbˇe 7 % p. a.? ˇ sen´ ˇ ı. Re D
′
D′
1 m−1 ·i · , = m·x· 1+ 2·m i 3 1 = 4 · 5 000 · 1 + · 0,07 · = 293 214,29. 8 0,07
83
6. Duchody ˚
Pˇri zadan´ ych podm´ınk´ach je nutno sloˇzit ˇc´astku 293 214,29 Kˇc. Pˇr´ıklad 6.9.
Kolik mus´ıme koncem kaˇzd´eho mˇes´ıce ukl´adat po dobu 10 let, abychom si zajistili po dobu dalˇs´ıch 15 let ˇctvrtletn´ı polh˚ utn´ı d˚ uchod 5 000 Kˇc pˇri u ´rokov´e sazbˇe 7 % p. a.? ˇ sen´ ˇ ı. Mus´ıme porovnat hodnotu u Re ´spor, kter´e z´ısk´ame za 10 let, s poˇc´ateˇcn´ı
hodnotou d˚ uchodu vypl´acen´eho po dobu pˇr´ıˇst´ıch 15 let. Nejdˇr´ıve mus´ıme 10 let spoˇrit kaˇzd´ y mˇes´ıc. Potom ˇctvrtletnˇe vypl´acet d˚ uchod po dobu 15 let. Spoˇren´ı: m1 = 12 n1 = 10 i1 = 0,07 x1 = ?
D˚ uchod: m2 = 4 n2 = 15 i2 = 0,07 x2 = 5 000 Kˇc
(1 + i)n1 − 1 m1 − 1 1 − v n2 m2 − 1 m1 · x1 · · 1+ ·i = · m2 · x2 · 1 + ·i i 2 · m1 i 2 · m2 1 1 − 1,07 15 1,0710 − 1 11 3 12 · x1 · · 1+ · 0,07 = · 4 · 5 000 · 1 + · 0,07 0,07 24 0,07 8
Z dan´e rovnice vypoˇc´ıt´ame x1
x1 = 1 092,47 Kˇc. Abychom dost´avali ˇctvrtletnˇe d˚ uchod po dobu 15 let, mus´ıme spoˇrit kaˇzd´ y mˇes´ıc po dobu 10 let 1 092,47 Kˇc.
´ ˇ Otazky k zamyslen´ ı 1. Jak´ a ˇc´astka n´am zajist´ı roˇcn´ı bezprostˇredn´ı polh˚ utn´ı d˚ uchod ve v´ yˇsi
16 000 Kˇc po dobu 20. let pˇri nemˇenn´e u ´rokov´e sazbˇe 5 % p. a.? [199 395,36 Kˇc] 2. Jak´ a je poˇc´ateˇcn´ı hodnota d˚ uchodu 6 000 Kˇc, kter´ y se vypl´ac´ı na konci
kaˇzd´eho ˇctvrtlet´ı po dobu 10. let pˇri nemˇenn´e u ´rokov´e sazbˇe 5 % p. a.? [188 796 Kˇc] 3. Jakou ˇ c´astku mus´ıme uloˇzit synovi ve st´aˇr´ı 10 let, aby od 20. let dost´aval
mˇes´ıˇcnˇe pˇredlh˚ utnˇe po dobu 5 let ˇc´astku 2 500 Kˇc pˇri nemˇenn´e u ´rokov´e sazbˇe 8 % p. a.? [142 939,85] 4. Jak´ a ˇc´astka n´am, nebo naˇsim poz˚ ustal´ ym zajist´ı ˇctvrtletn´ı pˇredlh˚ utn´ı vˇeˇcn´ y d˚ uchod pˇri nemˇenn´e u ´rokov´e sazbˇe 8 % p. a.? [283 500 Kˇc] 5. Urˇ cete celkov´ y objem plateb za 10 let, je-li roˇcn´ı nomin´aln´ı d˚ uchod
3 200 Kˇc vypl´acen´ y ˇctvrtletnˇe, pˇri 4 % p. a. a ˇctvrtletn´ım sloˇzen´ ym u ´roˇcen´ım. [39 109,10 Kˇc] 6. Pojistn´ık (pojiˇstˇ enec) m´a pojistnou smlouvu na doˇzit´ı, jej´ıˇz hodnota
v dobˇe, kdy dos´ahne vˇeku 65 let, mu zabezpeˇc´ı roˇcn´ı d˚ uchod 15 000 Kˇc
84
po dobu 15. let. Prvn´ı v´ yplata d˚ uchodu bude na 66. narozeniny. Jestliˇze ’ pojiˇst ovna garantuje u ´rokovou sazbu ve v´ yˇsi 6 % p. a. roˇcnˇe, jak´a bude hodnota d˚ uchodu klienta ve vˇeku 65 let? [145 683,73 Kˇc] 7. Dˇ edic bude pob´ırat d˚ uchod (rentu) 7 000 Kˇc pololetnˇe po dobu 15 let.
Prvn´ı v´ yplata bude za 6 mˇes´ıc˚ u. Jak´a je nomin´aln´ı hodnota dˇedictv´ı pˇri u ´rokov´e sazbˇe 10 % p. a. pololetnˇe u ´roˇcen´eho? [107 607,16 Kˇc] 8. Pojistn´ a smlouva na doˇzit´ı 65 let zn´ı na 100 000 Kˇc. Jak´a bude vypl´a-
cen´a hodnota d˚ uchodu (renty) po dobu 15. let, jestliˇze u ´rokov´a sazba je 6 % p. a. s mˇes´ıˇcn´ım u ´roˇcen´ım? [843,86 Kˇc] 9. Klient se rozhodl ve vˇ eku 30 let vytvoˇrit penzijn´ı fond pravideln´ ymi
vklady na konci kaˇzd´eho roku ve v´ yˇsi 10 000 Kˇc po dobu 35 let. Poˇc´ınaje 66 rokem sv´ ych narozenin chce vyb´ırat z tohoto fondu koncem kaˇzd´eho ˇ ste: roku po dobu 15 let. Reˇ a) Jestliˇze plat´ı po dobu cel´ ych 50. let existence fondu u ´rokov´a sazba 8 % p. a. roˇcnˇe, kolik bude moci klient ze sv´eho fondu roˇcnˇe vyb´ırat, mezi 66. a 80. rokem sv´eho vˇeku? b) Jak se zmˇen´ı ˇc´astka roˇcn´ıho d˚ uchodu, jestliˇze sn´ıˇz´ı penˇeˇzn´ı u ´stav po 10. letech od zah´ajen´ı v´ yplat z fondu, u ´rokovou sazbu z 8 na 6 % p. a. roˇcnˇe, jestliˇze m´a b´ yt dodrˇzen´a lh˚ uta v´ yplat 15 let? [a) 201 316,94 Kˇc, b) 157 763,95] 10. Zemˇrel´ y zanechal kapit´al ve v´ yˇsi 50 000 Kˇc, kter´ y je investov´an pˇri 12 %
p. a. u ´rokov´e sazbˇe u ´roˇcen´eho mˇes´ıˇcnˇe. Kolik mˇes´ıˇcn´ıch v´ yplat o v´ yˇsi 750 Kˇc obdrˇz´ı dˇedici a kolik bude ˇcinit z´avˇereˇcn´a v´ yplata? [poˇcet v´ yplat 110, z˚ ustatek ˇcin´ı 308,12 Kˇc] 11. Jakou ˇ c´astku mus´ıme uloˇzit pˇri narozen´ı d´ıtˇete, aby poskytla 8 polo-
letn´ıch v´ yplat 15 000 Kˇc ke kryt´ı n´aklad˚ u na studium, pˇriˇcemˇz prvn´ı v´ yplata se pˇredpokl´ad´a na 19. narozeniny budouc´ıho studenta? Finanˇcn´ı u ´stav jako spr´avce fondu zhodnocuje tento vklad u ´rokovou sazbou 9 % p. a. pololetnˇe. [19 411,61 Kˇc] 12. Klient vyhr´ al ve sportce 100 000 Kˇc. Vybral z v´ yhry pouze 20 000 Kˇc a
zbytek 80 000 Kˇc investoval v bance pˇri u ´rokov´e m´ıˇre 0,08 p. a. mˇes´ıˇcnˇe s t´ım, ˇze mu bude banka vypl´acet mˇes´ıˇcn´ı rentu po dobu 15 let. Prvn´ı v´ yplat bude za 4 roky od dneˇsn´ıho dne. Urˇcete, kolik bude ˇcinit ˇc´astka jedn´e v´ yplaty. [1 044,76 Kˇc]
85
6. Duchody ˚
86
´ ı dluhu nestejnymi ´ Umoˇrovan´ ´ splatkami ´ ı dluhu stejnymi Umoˇrovan´ ´ anuitami ˇ an´ ´ ı poctu ˇ anuit Urcov
7
´ ı dluhu˚ Umoˇrovan´
´ ı dluhu˚ 7. Umoˇrovan´
C´ıl kapitoly V t´eto kapitole se sezn´am´ıme s metodikou umoˇrov´an´ı dluh˚ u (´ uvˇer˚ u) a s v´ ypoˇcty jednotliv´ ych hodnot jako anuity, u ´mor dluhu, u ´rok z u ´vˇeru a v´ ypoˇctem z˚ ustatkov´e ˇc´asti. Uk´aˇzeme si na podobn´ y zp˚ usob jejich v´ ypoˇct˚ u, stejn´ ych jako u v´ ypoˇctu d˚ uchodu. Je-li u ´vˇer umoˇrov´an stejn´ ymi ˇc´astkami ve stejn´ ych intervalech, je moˇzno jej ch´apat jako diskontovanou hodnotu objemu opakovan´ ych plateb, a k v´ ypoˇctu hodnoty plateb (spl´atek) pouˇz´ıt dosud vysvˇetlen´e postupy. Nav´ıc z˚ ustatek u ´vˇeru pˇri pravideln´ ych spl´atk´ach se neust´ale zmenˇsuje, ˇc´ımˇz kles´a i v´ yˇse u ´roku tohoto u ´vˇeru a t´ım se v urˇcit´e m´ıˇre odliˇsuje od vypl´acen´ı d˚ uchod˚ u.
ˇ ´ eˇ ˇz Casov a´ zat Prostudov´an´ı a pochopen´ı vztah˚ u t´eto kapitoly vyˇzaduje 9 hod. ´ Uvod
´ er (dluh, p˚ ´ erem rozum´ıme poskytUvˇ ujˇcka) je d˚ uleˇzit´ y finanˇcn´ı n´astroj. Uvˇ nut´ı kapit´alu na urˇcitou dobu za odmˇenu – u ´rok. Aˇckoliv je moˇzn´e umoˇrov´an´ı dluhu z pohledu vˇeˇritele povaˇzovat za pˇr´ıjem d˚ uchodu, uk´aˇzeme si nˇekter´e odliˇsnosti, kter´e postup pˇri spl´acen´ı dluhu m´a. Podle doby splatnosti rozdˇelujeme u ´vˇery: kr´ atkodob´ e – doba splatnosti nepˇresahuje jeden rok stˇ rednˇ edob´ e – doba splatnosti je od jednoho roku do pˇeti let dlouhodob´ e – doba splatnosti je delˇs´ı neˇz pˇet let Hlavn´ı zp˚ usoby umoˇrov´an´ı (spl´acen´ı) dluhu m˚ uˇzeme rozdˇelit n´asledovnˇe: P˚ ujˇcka je uzavˇrena na neurˇcitou dobu. Mus´ı b´ yt splacena najednou po ´ v´ ypovˇedi pˇri zachov´an´ı v´ ypovˇedn´ı lh˚ uty. Uroky se plat´ı ve sjednan´ ych lh˚ ut´ach jejich splatnosti. Umoˇrov´an´ı dluhu se prov´ad´ı od zaˇc´atku pravideln´ ymi platbami. Tyto platby (anuity) mohou b´ yt st´ale stejn´e (ˇc´ast´ı platby se umoˇruje dluh a ˇc´ast´ı platby se plat´ı u ´rok), nebo se mohou zvyˇsovat. V tom pˇr´ıpadˇe je moˇzno ˇc´ast anuity (spl´atky), kter´a pˇripadne na umoˇren´ı dluhu, urˇcit kv´otami nebo procenty a k nim pˇripojit spl´atky na u ´rok. Je zˇrejm´e, ˇze rychlejˇs´ı umoˇrov´an´ı dluhu bude zvyˇsov´an´ım tˇechto kv´ot kaˇzd´ ym rokem. Toto umoˇrov´an´ı dluhu m˚ uˇzeme zvyˇsovat konstantn´ımi ˇc´astkami, nebo ve smlouvˇe zakotvit i jin´e spl´acen´ı dluhu po vz´ajemn´e dohodˇe se souhlasem vˇeˇritele. Pˇrehled v´ yˇsky anuit (spl´atek dluhu) vˇcetnˇe u ´rok˚ u z hlediska jejich ˇcasov´eho rozloˇzen´ı sestavuj´ı banky pro sv´e klienty do tzv. umoˇ rovac´ıch pl´ an˚ u. Umoˇrovac´ı pl´any se mohou liˇsit: typem spl´ atek (polh˚ utn´ı, pˇredlh˚ utn´ı) zp˚ usobem u ´roˇ cen´ı (polh˚ utn´ı, pˇredlh˚ utn´ı) obdob´ımi spl´ atek (stejn´a nebo odliˇsn´a od u ´rokov´eho obdob´ı)
88
V dalˇs´ıch u ´vah´ach se budeme zab´ yvat umoˇrov´an´ım dlouhodob´ ych u ´vˇer˚ u pˇri polh˚ utn´ım u ´roˇcen´ı. Umoˇrovac´ı pl´an obsahuje pro kaˇzd´e obdob´ı, pro kter´e se sestavuje a v nˇemˇz je dluh spl´acen: v´ yˇ si v´ yˇ si v´ yˇ si stav
anuity (spl´ atky) u ´roku z dluhu u ´moru dluhu po odeˇ cten´ı u ´moru
Vˇ zdy plat´ı: anuita = u ´mor + u ´rok
7.1
´ ı dluhu nestejnymi ´ Umoˇrovan´ ´ splatkami
Umoˇrov´an´ı dluhu nestejn´ ymi spl´atkami si vysvˇetl´ıme na pˇr´ıkladu a nˇekter´e z´avˇery zobecn´ıme. Pˇr´ıklad 7.1.
´ er ve v´ Uvˇ yˇsi 280 000 Kˇc m´a b´ yt splacen polh˚ utn´ımi spl´atkami. Prvn´ı u ´mor m´a b´ yt ve v´ yˇsi 10 000 Kˇc a kaˇzd´ y n´asleduj´ıc´ı je o 10 000 Kˇc vyˇsˇs´ı. Kromˇe toho je nutno platit bˇeˇzn´ yu ´rok. Sestavme umoˇrovac´ı pl´an pˇri u ´rokov´e sazbˇe 10 % p. a. ˇ sen´ ˇ ı. Pˇri sestavov´ Re an´ı umoˇrovac´ıho pl´anu budeme pˇredpokl´adat, ˇze uveden´e
hodnoty se budou vztahovat vˇzdy na konec u ´rokovac´ıho obdob´ı. ˇ ´I PLAN ´ UMOROVAC obdob´ı anuita 0 1 2 3 4 5 6 7
38 000 47 000 55 000 62 000 68 000 73 000 77 000
u ´rok 28 000 27 000 25 000 22 000 18 000 13 000 7 000
u ´mor
stav dluhu
10 000 20 000 30 000 40 000 50 000 60 000 70 000
280 000 270 000 250 000 220 000 180 000 130 000 70 000 0
Postup pˇ ri sestavov´ an´ı umoˇ rovac´ıho pl´ anu: Nejprve vypln´ıme sloupec nazvan´ yu ´mor, a to tak, ˇze v prvn´ım obdob´ı bude u ´mor 10 000 Kˇc, v druh´em obdob´ı o 10 000 Kˇc vyˇsˇs´ı, tedy 20 000 Kˇc atd. Jak je vidˇet za 7 obdob´ı splat´ıme cel´ yu ´vˇer. Do sloupce u ´rok vˇzdy zap´ıˇseme ´ u ´rok ze stavu dluhu. Urok +u ´mor ud´av´a anuitu (spl´atku). Od stavu dluhu odeˇcteme vˇzdy u ´mor a z t´eto ˇc´astky vypoˇc´ıt´ame u ´rok. Z naˇseho pˇr´ıkladu, kde se u ´mor pravidelnˇe zvyˇsuje o pevnou ˇc´astku, m˚ uˇzeme poˇcet anuit vypoˇc´ıtat pomoc´ı aritmetick´e posloupnosti, nebot’ v´ıme, ˇze a1 = 10 000 a d = 10 000, Sn = 280 000. V´ıme, ˇze plat´ı a1 = a1 ,
89
´ ı dluhu˚ 7. Umoˇrovan´
a2 = a1 + d, a3 = a2 + d = a1 + d + d = a1 + 2d, .. . an = a1 + (n − 1) · d, kde d = ak − ak−1 je diference (rozd´ıl dvou po sobˇe jdouc´ıch ˇclen˚ u, kter´ y je konstantn´ı). Z kapitoly o spoˇren´ı v´ıme, ˇze pro souˇcet aritmetick´e posloupnosti plat´ı n Sn = (a1 + an ). 2 Jestliˇze nahrad´ıme ˇclen an = a1 + (n − 1) · d, obdrˇz´ıme pro souˇcet Sn =
n · [2 · a1 + (n − 1) · d]. 2
´ Upravou t´eto rovnice obdrˇz´ıme kvadratickou rovnici, z kter´e vypoˇc´ıt´ame n n2 · d + (2 · a1 − d) · n − 2 · Sn = 0. Jestliˇze dosad´ıme za a1 , d, Sn konkr´etn´ı hodnoty a vyˇreˇs´ıme kvadratickou rovnici, dostaneme dobu splatnosti u ´vˇeru. Poˇc´ıt´ame pouze kladn´ y koˇren t´eto rovnice.
7.2
´ ı dluhu stejnymi Umoˇrovan´ ´ anuitami
Pˇredpokl´adejme, ˇze dluh D m´a b´ yt splacen i s u ´roky n stejn´ ymi spl´atkami a splatn´ ymi vˇzdy na konci u ´rokovac´ıho obdob´ı pˇri nemˇenn´e roˇcn´ı u ´rokov´e sazbˇe i. Jak zn´ame z d˚ uchodu, poˇc´ateˇcn´ı hodnotu dluhu m˚ uˇzeme pokl´adat za poˇc´ateˇcn´ı hodnotu d˚ uchodu a jednotliv´e anuity za v´ yplaty d˚ uchodu, kter´ y si vˇeˇritel zajistil poskytnut´ım u ´vˇeru. Abychom urˇcili v´ yˇsi anuity, je nutno si uvˇedomit, ˇze poˇc´ateˇcn´ı hodnota dluhu se mus´ı rovnat souˇcasn´e (diskontovan´e) hodnotˇe vˇsech anuit. Plat´ı tedy jako u d˚ uchodu rovnice D = a · v + a · v2 + a · v3 + · · · + a · vn , kde v =
1 1+i
– diskontn´ı faktor, D – poˇc´ateˇcn´ı v´ yˇse dluhu, a – anuita.
V´ıme, ˇze pro v´ ypoˇcet poˇc´ateˇcn´ı hodnoty d˚ uchodu plat´ı D =a·
1 − vn = a · a′′n , i
kde a′′n je z´asobitel polh˚ utn´ı. Z dan´e rovnice vypoˇc´ıt´ame anuitu a=
D·i . 1 − vn
i revr´acen´a hodnota z´asobitele a naz´ yv´a se umoˇ rovatel a V´ yraz 1−v n je pˇ ud´av´a v´ yˇsi polh˚ utn´ı anuity nutnou k tomu, aby se zaplatil dluh 1 Kˇc za
90
n obdob´ı pˇri u ´rokov´e sazbˇe i. Pro umoˇrov´an´ı dluhu potˇrebujeme sestavit umoˇrovac´ı pl´an. K jeho sestaven´ı potˇrebujeme zn´at kromˇe hodnoty anuity t´eˇz hodnotu u ´moru a u ´roku. Nyn´ı si uvedeme v´ ypoˇcet tˇechto hodnot. P˚ uvodn´ı stav dluhu D0 je souˇcasn´a hodnota vˇsech anuit, tedy D0 = a ·
1 − vn = a · a′′n . i
Z prvn´ı anuity pˇripad´a na u ´rok U1 ˇc´astka D0 · i, kterou m˚ uˇzeme vyj´adˇrit vztahem U1 = D0 · i = a · (1 − v n ). Na u ´mor dluhu M1 pak zb´ yv´a ˇc´astka M1 = a − U1 = a − a · (1 − v n ) = a · v n . Pˇredpokl´adejme nyn´ı, ˇze po zaplacen´ı r spl´atek m´a zbytek dluhu v´ yˇs´ı Dr . Protoˇze Dr je rovn´ y souˇcasn´e hodnotˇe zb´ yvaj´ıc´ıch n − r spl´atek, m˚ uˇzeme odvodit pro v´ yˇsi u ´roku Ur+1 v obdob´ı r + 1 a v´ yˇsi u ´moru Mr+1 ve stejn´em obdob´ı analogick´e vztahy jako pro v´ yˇsi u ´roku U1 a u ´moru M1 v prvn´ım obdob´ı spl´acen´ı dluhu. Pro v´ yˇsi u ´roku v (r+1)-n´ım obdob´ı plat´ı Ur+1 = a · (1 − v n−r ) = Dr · i. Je to v podstatˇe u ´rok ze stavu dluhu na konci pˇredch´azej´ıc´ıho obdob´ı. Pro v´ yˇsi u ´moru v (r+1)-n´ım obdob´ı plat´ı Mr+1 = a · v n−r = a − Dr · i. Je to anuita minus u ´rok. Z uveden´eho je vidˇet, ˇze umoˇrovac´ı spl´atky tvoˇr´ı geometrickou posloupnost 1 s kvocientem v = 1+i . Sestavme umoˇrovac´ı pl´an na z´akladˇe pˇredch´azej´ıc´ıch vztah˚ u. Postup: V umoˇrovac´ım pl´anu vypln´ıme nejprve poˇc´ateˇcn´ı stav dluhu a potom cel´ y sloupec s anuitami. Pak v kaˇzd´em ˇr´adku vypoˇc´ıt´ame v´ yˇsi u ´roku a v´ yˇsi u ´moru. Tento v´ ypoˇcet je moˇzno prov´est dvˇema zp˚ usoby: ´ Urok: – z pˇredch´azej´ıc´ıho stavu vkladu – z v´ yˇse anuity
´ Umor: – rozd´ılem anuita minus u ´rok –u ´roˇcen´ım u ´moru z pˇredch´azej´ıc´ıho obdob´ı, coˇz je vlastnˇe diskontov´an´ı anuity
91
´ ı dluhu˚ 7. Umoˇrovan´
Provedeme kontroln´ı v´ ypoˇcet pro r = 3, n = 6 U3 = D2 · i = 3 546, U3 = a · (1 − v
n−2
"
) = 9 729 · 1 −
1 1,12
4 #
= 3 546,
M3 = a − U3 = 9 729 − 3 546 = 6 183, 4 1 n−2 M3 = a · v = 9 729 · = 6 183, 1,12 3 1 1 − n−3 1,12 1−v = 9 729 · = 23 368. D3 = a · i 0,12 V´ ysledn´e hodnoty jsou zaokrouhlen´e.
7.3
ˇ an´ ´ ı poctu ˇ anuit Urcov
M´ame vyˇreˇsit u ´lohu, kdy dluh (´ uvˇer) D je spl´acen pevnou anuitou pˇri u ´rokov´e sazbˇe i. M´ame urˇcit, jak dlouho se bude spl´acet tento dluh a jak vysok´a bude posledn´ı spl´atka. Vyjdeme ze vztahu pro v´ yˇsi poˇc´ateˇcn´ıho dluhu D =a·
1 − vn . i
Tento v´ yraz zlogaritmujeme a obdrˇz´ıme ln 1 − D·i a n= . ln v Z tohoto v´ yrazu vypoˇc´ıt´ame obdob´ı n, coˇz nemus´ı b´ yt cel´e ˇc´ıslo. Urˇc´ıme tedy nejbliˇzˇs´ı niˇzˇs´ı cel´e ˇc´ıslo n0 . Z uveden´eho vypl´ yv´a, ˇze budeme dluh spl´acet n0 cel´ ych obdob´ı a potom jeˇstˇe posledn´ı spl´atku b, kter´a bude niˇzˇs´ı neˇz vypoˇc´ıtan´a anuita a. Potom pro poˇc´ateˇcn´ı hodnotu dluhu obdrˇz´ıme vztah D =a·
1 − v n0 + b · v n0 +1 . i
Posledn´ı spl´atku dluhu b pak vyj´adˇr´ıme vztahem 1 − v n0 · (1 + i)n0 +1 . b= D−a· i Posledn´ı spl´atka se tak´e skl´ad´a z u ´moru a u ´roku. Stav dluhu po n0 -t´e spl´atce m´a hodnotu b · v. Posledn´ı v´ yˇse u ´moru m´a tak´e hodnotu b · v. Mn0 +1 = b · v. Posledn´ı v´ yˇse u ´roku je u ´rokem z dluhu Dn0 , tedy tak´e z hodnoty u ´moru Mn0 +1 . Tento u ´rok m˚ uˇzeme vyj´adˇrit Un0 +1 = b · v · i.
92
Pˇr´ıklad 7.2.
Dluh 45 000 Kˇc se m´a spl´acet roˇcn´ımi anuitami ve v´ yˇsi 8 000 Kˇc pˇri roˇcn´ı u ´rokov´e sazbˇe 14 %. M´ame urˇcit poˇcet anuit, v´ yˇsi posledn´ı spl´atky a sestavit umoˇrovac´ı pl´an. ˇ sen´ ˇ ı. Re n = n =
ln 1 − D·i a , ln v
45 000·0,14 8 000 1 ln 1,14
ln 1 −
.
Poˇcet spl´atek je 12; n0 = 11. Posledn´ı spl´atka obecnˇe bude
1 − v n0 D−a· i
· (1 + i)n0 +1 , 11 1 1 − 1,14 b = 45 000 − 8 000 · · 1,1412 = 6 639,73. 0,14
b =
Posledn´ı spl´atka bude ve v´ yˇsi 6 639,73 Kˇc. Urˇceme hodnoty za 11 obdob´ı:
M11 = M1 · 1,1410 = 6 302,
U11 = 8 000 − 6 302 = 1 698, 1 = 12 129, D10 = 1 698 · 1,14 D11 = D10 − M11 = 12 129 − 6 302 = 5 827.
Posledn´ı ˇr´adek dopln´ıme jiˇz zn´am´ ym postupem. Pˇresvˇedˇc´ıme se, ˇze plat´ı vztahy 1 · 0,14 = 815,4, 1,14 1 = 5 825. = b · v = 6 640 · 1,14
Un0 +1 = b · v · i = 6 640 · Mn0 +1
ˇ ´I PLAN ´ UMOROVAC obdob´ı anuita u ´rok u ´mor stav dluhu 0 0 45 000 1 8 000 6 300 1 700 43 300 .. .. .. .. .. . . . . . 11 8 000 1 698 6 302 5 827 12 6 640 816 5 827 0 Z pˇr´ıkladu je vidˇet postup pˇri tvorbˇe umoˇrovac´ıho pl´anu v pˇr´ıpadˇe dan´e anuity. Dosud jsme ˇreˇsili pˇr´ıpady, kdy jsme spl´aceli dluh na konci kaˇzd´eho u ´rokovac´ıho obdob´ı. Jestliˇze doch´az´ı ke spl´acen´ı dluhu v´ıcekr´at za u ´rokovac´ı obdob´ı, vypoˇc´ıt´ame nejdˇr´ıve hodnotu spl´atek do konce roku podle vztahu
93
´ ı dluhu˚ 7. Umoˇrovan´
Sx = m·x· 1 + pl´an.
m+1 2·m
· i a na z´akladˇe tohoto v´ ypoˇctu pak sestav´ıme umoˇrovac´ı
´ ˇ Otazky k zamyslen´ ı 1. Klient m´ a splatit hypot´eku 4 000 000 Kˇc mˇes´ıˇcn´ımi spl´atkami ve st´al´e
v´ yˇsi a ve lh˚ utˇe 25 let, pˇri 10 % u ´rokov´e sazbˇe p. a. s pololetn´ı frekvenc´ı. Urˇcete ˇc´astku mˇes´ıˇcn´ı spl´atky a sestavte d´ılˇc´ı umoˇrovac´ı pl´an pro prvn´ıch dvan´act (12) spl´atek. Jak´a ˇc´ast dluhu bude prvn´ımi dvan´acti spl´atkami umoˇren´a? [´ umor = 39 169,23 Kˇc, u ´rok = 390 184,63 Kˇc] 2. Klient za objekt v cenˇ e 560 000 Kˇc mohl zaplatit 60 000 Kˇc v hotovosti
a na zbytek ceny si vyp˚ ujˇcil na hypot´eku pˇri 10 % p. a. s pololetn´ı ´ er bude spl´acet po dobu 25 let frekvenc´ı (s pololetn´ım u ´roˇcen´ım). Uvˇ mˇes´ıˇcn´ımi spl´atkami ve st´al´e v´ yˇsi. Urˇcete v´ yˇsi mˇes´ıˇcn´ı spl´atky a sestavte d´ılˇc´ı umoˇrovac´ı pl´an pro prvn´ıch ˇsest mˇes´ıc˚ u. Jak´a ˇc´ast u ´vˇeru bude za prvn´ıch 6 mˇes´ıc˚ u splacena jak vysok´a je hodnota u ´roku? [spl´ atka = 4 472,44 Kˇc, u ´mor = 2 388,39 Kˇc, u ´rok = 24 446,25 Kˇc]
´ er ve v´ 3. Uvˇ yˇsi 500 000 Kˇc m´a b´ yt splacen´ y polh˚ utn´ımi anuitami. Prvn´ı umoˇren´ı u ´vˇeru bude 20 000 Kˇc a dalˇs´ı n´asleduj´ıc´ı vˇzdy o 10 000 Kˇc ´ vyˇsˇs´ı. Urokov´a sazba bude 15 % p. a. Jak´ y je poˇcet anuit – sestavte umoˇrovac´ı pl´an. [8,61 = 9 spl´atek] 4. P˚ ujˇcka 20 000 Kˇc pˇri 12 % p. a. s mˇes´ıˇcn´ım u ´roˇcen´ım se m´a splatit
mˇes´ıˇcn´ımi spl´atkami ve st´al´e v´ yˇsi polh˚ utnˇe po dobu jednoho a p˚ ul roku. Urˇcete z˚ ustatek dluhu koncem 8. mˇes´ıce od jeho vzniku. [11 551,59 Kˇc] 5. 15. ˇ cervence si klient vyp˚ ujˇcil 1 milion Kˇc pˇri 15 % p. a. s mˇes´ıˇcn´ım
u ´roˇcen´ım (s mˇes´ıˇcn´ı frekvenc´ı). Klient zam´ yˇsl´ı spl´acet dluh mˇes´ıˇcn´ımi spl´atkami ve st´al´e v´ yˇsi polh˚ utnˇe po dobu 8 let. Prvn´ı spl´atka byla 15. srpna 2002. Urˇcete: a) Jakou ˇc´ast dluhu splatil klient do konce roku 2002?, b) kolik zaplatil do konce roku na u ´roc´ıch? [a) 27 916,26 Kˇc, b) 61 810,79 Kˇc] 6. Dluh 100 000 Kˇ c se spl´ac´ı ˇctvrtletn´ımi platbami ve st´al´e v´ yˇsi po dobu
10 let pˇri 10 % p. a. ˇctvrtletnˇe. Jak´ y je z˚ ustatek dluhu na konci 6. roku? [52 006,21 Kˇc] 7. Klient koupil chladniˇ cku v cenˇe 12 000 Kˇc na spl´atky a zav´azal se splatit
dluh mˇes´ıˇcn´ımi spl´atkami ve st´al´e v´ yˇsi bˇehem 3 let, pˇri u ´rokov´e sazbˇe 18 % p. a. s mˇes´ıˇcn´ım u ´roˇcen´ım. Kdyby chtˇel splatit dluh v kratˇs´ı lh˚ utˇe, musel by zaplatit pˇrir´aˇzku ve v´ yˇsi trojn´asobku ˇc´astky mˇes´ıˇcn´ıho u ´roku ze z˚ ustatku dluhu ke dni pˇredˇcasn´eho splacen´ı. Po zaplacen´ı 12 spl´atek zjiˇst’uje klient, ˇze m´ıstn´ı poboˇcka banky nab´ız´ı p˚ ujˇcky se splatnost´ı za 2 roky pˇri u ´rokov´e sazbˇe 12 % p. a. s mˇes´ıˇcn´ım u ´roˇcen´ım. Bylo by v´ yhodn´e pro klienta vyp˚ ujˇcit si na zbytek dluhu v bance a splatit dluh na zaˇc´atku druh´eho roku najednou? [ano, 5 358,68 Kˇc m˚ uˇze klient uˇsetˇrit]
94
ˇ urok Metody vypo ´ ctu ´ u˚
8
ˇ zne´ u´ cty ˇ Beˇ
ˇ zne´ u´ cty ˇ 8. Beˇ
C´ıl kapitoly V minul´ ych kapitol´ach jsme se sezn´amili s jednoduch´ ym i sloˇzen´ ym u ´roˇcen´ım, coˇz budeme aplikovat pˇri u ´roˇcen´ı bˇeˇzn´ ych u ´ˇct˚ u pˇri nepravideln´em vkladu v dan´em ˇcasov´em obdob´ı. Jedn´a se o zp˚ usob pouˇzit´ı u ´rokov´eho ˇc´ısla a u ´rokov´eho dˇelitele v praxi pˇri veden´ı bˇeˇzn´ ych u ´ˇct˚ u klient˚ u kdy vych´az´ıme ze znalosti r˚ uzn´ ych metod v´ ypoˇctu u ´rok˚ u na tˇechto u ´ˇctech.
ˇ ´ eˇ ˇz Casov a´ zat Prostudov´an´ı a pochopen´ı vztah˚ u t´eto kapitoly vyˇzaduje 8 hod. ´ Uvod
V dalˇs´ıch kapitol´ach si vysvˇetl´ıme nˇekter´a pouˇzit´ı finanˇcn´ı matematiky v bˇeˇzn´e praxi ve finanˇcn´ı sf´eˇre. V prvn´ım pˇr´ıpadˇe si uvedeme uˇzit´ı finanˇcn´ı matematiky pˇri veden´ı bˇeˇzn´ ych u ´ˇctu a jejich u ´roˇcen´ı. Bˇeˇzn´ yu ´ˇcet je v souˇcasn´e dobˇe z´akladn´ım bankovn´ım produktem, kter´ y slouˇz´ı k prov´adˇen´ı bankovn´ıch operac´ı na u ´ˇctech klient˚ u bankou. Bˇeˇzn´ yu ´ˇcet m˚ uˇzeme povaˇzovat za u ´ˇcet, kter´ y vede banka sv´emu klientovi, pˇriˇcemˇz jeho hlavn´ı funkc´ı je uskuteˇcn ˇovat platebn´ı styk s ostatn´ımi finanˇcn´ımi u ´stavy a jeho klienty. Pokud stav na po dohodˇe s finanˇcn´ım u ´stavem m˚ uˇze vykazovat i z´aporn´ y (debetn´ı) z˚ ustatek, naz´ yv´ame takov´ yto u ´ˇcet kontokorentn´ı a ˇcerpan´ yu ´vˇer jako kontokorentn´ı u ´vˇer.
8.1
ˇ urok Metody vypo ´ ctu ´ u˚
Na bˇeˇzn´ ych u ´ˇctech se velmi ˇcasto mˇen´ı v´ yˇse vkladu a z˚ ustatku podle toho, zda drˇzitel tohoto u ´ˇctu zvyˇsuje kapit´al sv´ ymi vklady nebo prov´adˇen´ ymi u ´hradami jeho pohled´avek a nebo se v´ yˇse kapit´alu sniˇzuje proveden´ım platebn´ıch pˇr´ıkaz˚ uku ´hradˇe. Na konci u ´rokovac´ıho obdob´ı klientovi banka pˇrip´ıˇse u ´roky z ˇc´astek, kter´e na tomto bˇeˇzn´em u ´ˇctu byly uloˇzeny. K tomuto u ´ˇcelu pouˇz´ıv´ame u ´rokov´e ˇc´ıslo a u ´rokov´ y dˇelitel. Pro v´ ypoˇcet tˇechto u ´rok˚ u se bˇeˇznˇe pouˇz´ıvaj´ı tyto metody: z˚ ustatkov´ a (anglick´a) zpˇ etn´ a (francouzsk´a) postupn´ a (nˇemeck´a) 8.1.1 Zustatkov ˚ a´ metoda U tohoto zp˚ usobu veden´ı bˇeˇzn´eho u ´ˇctu se u ´roky poˇc´ıtaj´ı vˇzdy za dobu, kdy ´ se stav u ´ˇctu nezmˇenil. Urokov´ e ˇc´ıslo se vˇzdy urˇc´ı z hodnoty z˚ ustatku na u ´ˇctu a z poˇctu dn´ı, kdy tato hodnota z˚ ustala nezmˇenˇen´a. Z´ıskan´a u ´rokov´a ˇc´ısla se na konci u ´rokovac´ıho obdob´ı seˇctou a tento souˇcet vydˇel´ıme u ´rokovac´ım dˇelitelem. Z´ısk´ame tak u ´rok, kter´ y pˇripoˇc´ıt´ame klientovi k z˚ ustatku na bˇeˇzn´em u ´ˇctu. Nejl´epe si tuto metodu vysvˇetl´ıme na n´azorn´em pˇr´ıkladu.
96
Pˇr´ıklad 8.1.
Pˇredpokl´adejme, ˇze u ´rokovac´ı obdob´ı je jeden rok a u ´rokov´a sazba je 2,5 %, kter´a se bˇehem roku nemˇen´ı. M´ame urˇcit, jak´ y bude stav na bˇeˇzn´em u ´ˇctu na konci roku, jestliˇze na nˇem byl n´asleduj´ıc´ı pohyb: 1.1.
stav u ´ˇctu byl
5 000 Kˇc
12.4.
vklad
2 000 Kˇc
15.7.
v´ ybˇer
1 500 Kˇc
14.10.
vklad
4 000 Kˇc
ˇ sen´ ˇ ı. Budeme vych´ Re azet z nˇemeck´e metody: rok 360 dn´ı a mˇes´ıc 30 dn´ı.
Nebudeme uvaˇzovat zdanˇen´ı u ´rok˚ u. Den
Pohyb na u ´ˇ ctu
1.1.
Z˚ ustatek
12.4.
Vklad
15.7.
V´ ybˇer
14.10.
Vklad
31.12. 31.12.
Z˚ ustatek ´ Urok
1.1.
Z˚ ustatek
M´ a d´ ati
Dal
2 000 1 500 4 000
Z˚ ustatek
Poˇ cet dn´ı
´ Urokov´ e ˇ c´ıslo
5 000
102
5 100
7 000
93
6 510
5 500
89
4 895
9 500
76
7 220
9 500
23 725
164,7569 9 664,7569
, Pˇripomeneme si, ˇze pro v´ ypoˇcet u ´rokov´eho ˇc´ısla jsme pouˇzili vztah U C = K·d 100 ´ pˇriˇcemˇz za K dosazujeme z˚ ustatek na u ´ˇctu. Urokov´ y dˇelitel pak ze P vztahu 1 a v´ y poˇ c et u ´ roku za u ´ rokovac´ ı obdob´ ı pak ze vztahu u = U C. U D = 360 p UD ˇ a´ metoda 8.1.2 Zpetn
Jestliˇze jsou vedeny bˇeˇzn´e u ´ˇcty zpˇetnou metodou, mus´ıme si nejprve zvolit ´ v´ ychoz´ı datum (poˇc´ateˇcn´ı datum). Urokov´ a ˇc´ısla se pak poˇc´ıtaj´ı z kaˇzd´e zmˇeny (z hodnoty vkladu nebo v´ ybˇeru) a to od v´ ychoz´ıho data do doby ´ zmˇeny. Urokov´a ˇc´ısla pˇri zv´ yˇsen´ı stavu kapit´alu (vkladu) na bˇeˇzn´em u ´ˇctu budeme oznaˇcovat z´aporn´ ymi znam´enky a u ´rokov´a ˇc´ısla pˇri sn´ıˇzen´ı kapit´alu (v´ ybˇeru) pak znam´enky kladn´ ymi. Na z´avˇer vypoˇc´ıt´ame u ´rokov´e ˇc´ıslo z koneˇcn´eho z˚ ustatku od v´ ychoz´ıho dat do konce u ´rokovac´ıho obdob´ı (v u ´vahu bereme u ´rokov´a ˇc´ısla jak se z´aporn´ ymi tak i kladn´ ymi znam´enky). Stejnˇe jako u z˚ ustatkov´e metody souˇcet u ´rokov´ ych ˇc´ısel na konci u ´rokovac´ıho obdob´ı vydˇel´ıme u ´rokovac´ım dˇelitelem a vypoˇc´ıtan´ y u ´rok pˇripoˇc´ıt´ame k z˚ ustatku bˇeˇzn´eho u ´ˇctu. Pro ilustraci pouˇzijeme pˇr´ıkladu 8.1 jako v pˇredch´azej´ıc´ı metodˇe.
97
ˇ zne´ u´ cty ˇ 8. Beˇ
Den
Pohyb na u ´ˇ ctu
1.1.
Z˚ ustatek
12.4.
Vklad
15.7.
V´ ybˇer
14.10.
Vklad
31.12.
Z˚ ustatek
M´ a d´ ati
Dal
2 000 1 500 4 000
Z˚ ustatek
Poˇ cet dn´ı
5 000
0
7 000
102
5 500
195
9 500
284
9 500
360
´ Urokov´ e ˇ c´ıslo −2 040 2 925
−11 360 34 200 23 725
31.12.
´ Urok
164,7569
1.1.
Z˚ ustatek
9 664,7569
8.1.3 Postupna´ metoda Postupn´ y zp˚ usob v´ ypoˇctu u ´roku pˇri bˇeˇzn´em u ´ˇctu spoˇc´ıv´a v tom, ˇze u ´rokov´e ´ ˇc´ıslo vypoˇc´ıt´ame od data kaˇzd´e zmˇeny aˇz do konce roku. Urokov´e ˇc´ıslo pˇri vkladu oznaˇc´ıme nyn´ı kladn´ ym znam´enkem a u ´rokov´e ˇc´ıslo pˇri v´ ybˇeru pak z´aporn´ ym znam´enkem. Stejnˇe jako v pˇredch´azej´ıc´ıch metod´ach takto vznikl´a u ´rokov´a ˇc´ısla za cel´e u ´rokovac´ı obdob´ı seˇcteme a vydˇel´ıme u ´rokov´ ym dˇelitelem. T´ım opˇet z´ısk´ame u ´rok, kter´ y pˇripoˇc´ıt´ame ke koneˇcn´emu stavu bˇeˇzn´eho u ´ˇctu. Pro ilustraci opˇet pouˇzijeme stejn´ y pˇr´ıklad. Dal
Z˚ ustatek
Poˇ cet dn´ı
´ Urokov´ e ˇ c´ıslo
Z˚ ustatek
5 000
5 000
360
18 000
12.4.
Vklad
2 000
7 000
258
5 160
15.7.
V´ ybˇer
5 500
165
14.10.
Vklad
9 500
76
−2 475
Den
Pohyb na u ´ˇ ctu
1.1.
M´ a d´ ati
1 500 4 000
3 040
23 725 31.12.
´ Urok
164,7569
1.1.
Z˚ ustatek
9 664,7569
Z uveden´ ych metod vid´ıme, ˇze pˇri v´ ypoˇctu u ´roku u bˇeˇzn´ ych u ´ˇct˚ u obdrˇz´ıme stejn´e v´ ysledky. Je tedy naprosto jedno, kterou metodu pˇri v´ ypoˇctu pouˇzijeme.
´ ˇ Otazky k zamyslen´ ı 1. Kaˇ zd´ y student si pˇriprav´ı uk´azkov´e ˇreˇsen´ı vˇsemi metodami hypotetick´e
u ´lohy s nejm´enˇe 10 od sebe r˚ uzn´ ymi u ´ˇctovan´ ymi poloˇzkami (vklady) klient˚ u a s r˚ uzn´ ymi intervaly jednotliv´ ych vklad˚ u.
98
´ cen´ ˇ ı kontokorentn´ıch uv ˇ u˚ Uro ´ er
9
ˇ Kontokorentn´ı uv ´ ery
ˇ 9. Kontokorentn´ı uv ´ ery
C´ıl kapitoly Zde si vysvˇetl´ıme smysl dnes nejuˇz´ıvanˇejˇs´ıho zp˚ usobu kr´atkodob´ ych bankovn´ıch u ´vˇer˚ u a pochopen´ı jejich u ´roˇcen´ı na z´akladˇe ˇreˇsen´ı hypotetick´ ych pˇr´ıklad˚ u.
ˇ ´ eˇ ˇz Casov a´ zat Prostudov´an´ı a pochopen´ı vztah˚ u t´eto kapitoly vyˇzaduje 6 hod. ´ Uvod
Kontokorentn´ı u ´vˇery dnes pˇredstavuj´ı jeden z nejv´ yznamnˇejˇs´ıch kr´atkodob´ ych bankovn´ıch u ´vˇer˚ u, kter´e maj´ı velmi ˇsirok´e pouˇzit´ı nejen u podnikatel˚ u, ale zvl´aˇstˇe u klient˚ u, kteˇr´ı potˇrebuj´ı finanˇcn´ı prostˇredky v kr´atkodob´em ˇcasov´em horizontu. Smysl kontokorentn´ıho u ´vˇeru spoˇc´ıv´a v tom, ˇze umoˇzn ˇuje klientovi pˇrech´azet na sv´em bˇeˇzn´em (kontokorentn´ım) u ´ˇctu do debetu (do z´aporn´ ych hodnot). Z toho vypl´ yv´a, ˇze klient m˚ uˇze ˇcerpat u ´vˇer pokud jej bude potˇrebovat ze sv´eho bˇeˇzn´eho u ´ˇctu kdy na nˇem nem´a dostateˇcn´e finanˇcn´ı prostˇredky. Maxim´aln´ı v´ yˇse tohoto u ´vˇeru je dan´a dohodnut´ ym r´amcem, kter´ y ud´av´a maxim´aln´ı v´ yˇsi z´aporn´eho z˚ ustatku na tomto u ´ˇctu. Finanˇcn´ı u ´stav umoˇzn ˇuje klient˚ um kr´atkodobˇe i pˇrekroˇcen´ı t´eto maxim´aln´ı v´ yˇse, coˇz b´ yv´a spojeno s dodateˇcn´ ymi u ´rokov´ ymi n´aklady (tzv. sankˇcn´ımi). Finanˇcn´ı u ´stav poskytuje kontokorentn´ı u ´vˇer na z´akladˇe smlouvy uzavˇren´e s klientem. Tato smlouva vych´az´ı z platn´eho obchodn´ıho z´akona a souˇca´st´ı v t´eto smlouvˇe jsou i obecn´e podm´ınky pro poskytov´an´ı u ´vˇeru. N´aleˇzitosti t´eto smlouvy jsou zejm´ena obecnˇ e platn´ e podm´ınky, dohodnut´ y u ´vˇ erov´ y r´ amec, splatnost u ´vˇ eru, podm´ınky pˇ ri pˇ rekroˇ cen´ı u ´vˇ erov´ eho r´ amce, v´ yˇ se a zp˚ usob urˇ cen´ı u ´rokov´ e sazby, zajiˇ stˇ en´ı.
9.1
´ cen´ ˇ ı kontokorentn´ıch uv ˇ u˚ Uro ´ er
S kontokorentn´ım u ´vˇerem jsou spojeny urˇcit´e n´aklady klienta, kter´e se skl´adaj´ı zu ´rok˚ u za ˇ cerp´ an´ı u ´vˇ eru, z n´ aklad˚ u, kter´ e souvisej´ı s veden´ım u ´ˇ ctu, z n´ aklad˚ u na prov´ adˇ en´ e platby atd. Tyto n´aklady mohou v sobˇe zahrnovat pˇr´ımo ˇci nepˇr´ımo poloˇzky, kter´e ovlivˇ nuj´ı n´aklady klienta u kontokorentn´ıho u ´ˇctu podle dohodnut´e smlouvy mezi n´ım a finanˇcn´ım u ´stavem. Jestliˇze podrobnˇeji rozebereme klientovy n´aklady lze je rozˇclenit na tyto poloˇzky: a) Debetn´ı u ´roky – tyto u ´roky plat´ı klient ze skuteˇcn´e v´ yˇse ˇcerp´an´ı u ´vˇeru v rozsahu sjednan´eho u ´vˇerov´eho r´amce. Jejich v´ ypoˇcet je shodn´ y s v´ ypoˇctem, kter´ y byl naznaˇcen´ y u bˇeˇzn´ ych u ´ˇct˚ u.
100
stav u ´ˇ ctu
kreditn´ı
8 000 6 000 4 000 2 000 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
debetn´ı
−2 000 −4 000 −6 000 −8 000
Doba v mˇes´ıc´ıch
Obr´azek 9.1: Graf kontokorentn´ıho u ´vˇeru b) Pohotovostn´ı provize – pokr´ yv´a n´aklady finanˇcn´ıho u ´stavu, kter´e mu vzniknou v d˚ usledku pˇriznan´eho, ale neˇcerpan´eho u ´vˇeru. Tyto n´aklady vznikaj´ı proto, ˇze tyto finanˇcn´ı prostˇredky mus´ı banka (finanˇcn´ı u ´stav) drˇzet, nebot’ klient m´a pr´avo tento smluvnˇe dohodnut´ yu ´vˇer kdykoliv ˇcerpat. Je to z toho d˚ uvodu, ˇze z t´eto finanˇcn´ı hotovosti m´a finanˇcn´ı u ´stav niˇzˇs´ı v´ ynos, nebot’ klient plat´ı u ´roky pouze ze skuteˇcnˇe ˇcerpan´eho u ´vˇeru. Tato pohotovostn´ı provize m˚ uˇze m´ıt r˚ uzn´e podoby: • provize z u ´vˇ erov´ eho r´ amce – tato provize je urˇcov´ana v procentech p. a. z celkov´eho vyuˇzit´eho sjednan´eho u ´vˇerov´eho r´amce. V´ yˇse t´eto provize za dan´e obdob´ı je vˇsak nez´avisl´a na skuteˇcn´e v´ yˇsi ˇcerpan´eho u ´vˇeru. Potom U C U rd =
Ur · d , 100
kde U C U rd – u ´rokov´e ˇc´ıslo z celkov´eho sjednan´eho u ´rokov´eho r´amce, U r – sjednan´ yu ´rokov´ y r´amec, d – poˇcet dn´ı. V´ yˇsi provize (´ uroku) pak obdrˇz´ıme, jestliˇze dˇel´ıme toto u ´rokov´e ˇc´ıslo u ´rokov´ ym dˇelitelem. • provize z neˇ cerpan´ eho u ´vˇ erov´ eho r´ amce – je vˇetˇsinou urˇcov´ana v procentech p. a. z t´e ˇc´asti u ´vˇerov´eho r´amce, kter´a nen´ı skuteˇcnˇe ˇcerp´ana klientem. Tento neˇcerpan´ y u ´vˇerov´ y r´amec je d´an rozd´ılem mezi pˇriznan´ ym (smluvnˇe dohodnut´ ym) a skuteˇcnˇe ˇcerpan´ ym u ´vˇerem v dan´em obdob´ı . Neˇcerpan´ yu ´vˇerov´ y r´amec lze
101
ˇ 9. Kontokorentn´ı uv ´ ery
vypoˇc´ıtat N Ur =
d X
N Uk =
d X k=1
k=1
(U rk − Uk ) = d · Ur −
d X
Uk .
k=1
Potom u ´rokov´e ˇc´ıslo z neˇcerpan´eho u ´vˇerov´eho r´amce, pokud tento u ´vˇerov´ y r´amec nepˇrekroˇc´ıme, m˚ uˇzeme vypoˇc´ıtat
U CN Ur =
d P
N Uk
k=1
100
=
d P
(U rk − Uk )
k=1
100
=
d · Ur −
d P
k=1
100
Uk ,
kde N U rk – neˇcerpan´ yu ´vˇerov´ y r´amec, U rk – pˇriznan´ yu ´vˇerov´ y r´amec, Uk – skuteˇcnˇe ˇcerpan´ yu ´vˇer, U CN U r – u ´rokov´e ˇc´ıslo neˇcerpan´eho u ´vˇerov´eho r´amce. ´ Urok pak vypoˇc´ıt´ame pokud hodnotu U CN U r vydˇel´ıme u ´rokov´ ym dˇelitelem. Jestliˇze bude pˇrekroˇcen u ´vˇerov´ y r´amec, potom od souˇctu u ´rokov´ ych ˇc´ısel z debetn´ıch z˚ ustatk˚ u mus´ıme odeˇc´ıst souˇcet u ´rokov´ ych ˇc´ısel, kter´e vypoˇc´ıt´ame z poˇctu dn´ı ve kter´ ych byl tento u ´vˇerov´ y r´amec pˇrekroˇcen. Absolutn´ı v´ yˇsi pohotovostn´ı provize z´ısk´ame, jestliˇze souˇcet u ´rokov´ ych ˇc´ısel vydˇel´ıme pˇr´ısluˇsn´ ym u ´rokov´ ym dˇelitelem. • provize za pˇ rekroˇ cen´ı u ´vˇ erov´ eho r´ amce – je urˇcov´ana jako pˇrir´aˇzka k debetn´ı u ´rokov´e sazbˇe, kterou je u ´roˇcen´a ˇc´ast u ´vˇeru pˇri pˇrekroˇcen´ı u ´vˇerov´eho r´amce, a to po dobu (poˇcet dn´ı) jeho pˇrekroˇcen´ı. Provize je stanovena v procentech roˇcn´ı u ´rokov´e sazby nebo i denn´ı u ´rokov´e sazby. Jde vˇzdy o smluvn´ı vztah mezi penˇeˇzn´ım u ´stavem a klientem. Souˇcet u ´rokov´ ych ˇc´ısel z ˇc´astky, kter´a pˇresahuje u ´vˇerov´ y r´amec, m˚ uˇzeme vyj´adˇrit n´asleduj´ıc´ım vztahem
U Cpr =
d P
(Uk − Ur )
k=1
100
pro vˇsechny hodnoty Uk > Ur . V´ yˇsi provize vypoˇc´ıt´ame stejnˇe jako u pˇredch´azej´ıc´ıch t´ım, ˇze v´ yslednou hodnotu dˇel´ıme u ´rokov´ ym dˇelitelem. Pˇr´ıklad 9.1.
U kontokorentn´ıho u ´vˇeru by smluvnˇe dohodnut u ´vˇerov´ y r´amec ve v´ yˇsi 40 000 Kˇc. Kreditn´ı z˚ ustatky jsou u ´roˇceny 3 % p. a. a debetn´ı z˚ ustatky pak 16 % p. a. Banka na z´akladˇe dohody dovoluje kr´atkodob´e pˇrekroˇcen´ı tohoto u ´vˇerov´eho r´amce a u ´ˇctuje si u ´rokovou pˇrir´aˇzku 5 % p. a. k debetn´ımu u ´roku. Banka si d´ale u ´ˇctuje provizi z nevyuˇzit´eho u ´vˇerov´eho r´amce 0,4 % p. a. Udˇelejme
102
uz´avˇerku tohoto u ´ˇctu na z´akladˇe uveden´e tabulky (ostatn´ı provize a zdanˇen´ı u ´roku nebudeme uvaˇzovat). Den
Pˇ r´ıjmy na u ´ˇ cet
30.6. 16.7. 1.9. 15.10. 20.11. 10.12.
V´ ydaje z u ´ˇ ctu
Z˚ ustatek
15 000 9 000
−15 000 −24 000 −19 000 −44 000 −14 000 6 000
5 000 25 000 30 000 20 000
31.12.
6 000
ˇ sen´ ˇ ı. K ˇreˇsen´ı t´ Re eto u ´lohy sestav´ıme pˇrehledn´e tabulky a pozdˇeji provedeme
v´ ypoˇcet pomoc´ı u ´rokov´ ych ˇc´ısel a u ´rokov´eho dˇelitele. Poˇ cet dn´ı
Z˚ ustatek Nevyuˇ zit´ y r´ amec kreditn´ı debetn´ı
16 47 44 36 20 21 Poˇ cet dn´ı 16 47 44 36 20 11 P
5 000
15 000 24 000 19 000 44 000 14 000
6 000
25 000 16 000 21 000 4 000 26 000 40 000
´ Urokov´ aˇ c´ısla kreditn´ı debetn´ı z pˇrekroˇcen´eho r´ amce 2 400 11 280 8 360 15 840 2 800 40 680
z nevyuˇzit´eho r´ amce 4 000 7 520 9 240
1 440 5 200 4 400
1 260 1 260
Pˇ rekroˇ cen´ y r´ amec
1 440
30 360
Debetn´ı v´ yˇ se u ´roku ud =
40 680 · 16 = 1 808 Kˇc. 360
Kreditn´ı u ´rok ukr =
1 260 · 3 = 10,50 Kˇc. 360
´ Urok za pˇ rekroˇ cen´ı r´ amce upr =
1 440 · 5 = 20,00 Kˇc. 360
´ Urok za nevyuˇ zit´ y r´ amec 30 360 · 0,4 = 33,733 Kˇc. unr = 360
103
ˇ 9. Kontokorentn´ı uv ´ ery
Banka bude za dan´e obdob´ı klientovi u ´ˇctovat u ´rokov´ e n´ aklady a provize: 1 808,00 + 20,00 + 33,733 = 1 861,733 Kˇc, u ´rokov´ e v´ ynosy: 10,50 Kˇc, ˇ cist´ e n´ aklady na klienta budou: 1 861,733 − 10,50 = 1 851,233 Kˇc. Koneˇ cn´ y z˚ ustatek na u ´ˇ ctu bude: 6 000 − 1 851,233 = 4 148,767 Kˇc
´ ˇ Otazky k zamyslen´ ı 1. Vypracovat uk´ azkov´e ˇreˇsen´ı vˇsemi metodami hypotetick´e u ´lohy s nej-
m´enˇe 10 od sebe r˚ uzn´ ymi u ´ˇctovan´ ymi poloˇzkami (vklady a v´ ybˇery) klient˚ u a s r˚ uzn´ ymi intervaly jednotliv´ ych vklad˚ u a v´ ybˇer˚ u. Vypoˇc´ıtat vˇsechny hodnoty uveden´e v t´eto kapitole (provize z u ´vˇerov´eho r´amce, provize z neˇcerpan´eho u ´vˇerov´eho r´amce, provize za pˇrekroˇcen´ı u ´vˇerov´eho r´amce).
104
Hmotna´ aktiva ˇ ı aktiva Financn´ Akcie
10
Aktiva
10. Aktiva
C´ıl kapitoly Vzhledem k tomu, ˇze se tˇemito z´akladn´ımi pojmy bude zaob´ırat kurz Fi” nanˇcn´ı trhy“ je v t´eto ˇc´asti vˇenov´ana pouze okrajov´a pozornost s t´ım, aby studenti pochopili v´ yznam aktiv pro jejich obchodov´an´ı na r˚ uzn´ ych aukc´ıch a dovedli je zaˇclenit do forem z´ısk´av´an´ı kapit´alu a jeho dalˇs´ıho zhodnocov´an´ı. Cviˇcen´ı k t´eto kapitole nen´ı bezprostˇrednˇe nutn´e. Podrobnˇeji se touto problematiku zab´ yv´a tak´e kurz Teorie portfolia“. ” Jelikoˇz o t´eto problematice pojedn´av´a kurz Finanˇcn´ı trhy“ daleko podrob” nˇeji, jsou v t´eto kapitole uvedeny pouze ty nejz´akladnˇejˇs´ı pojmy potˇrebn´e pro pochopen´ı navazuj´ıc´ıch kurz˚ u v kombinovan´em studiu a celoˇzivotn´ım vzdˇel´av´an´ı. Nejsou zde uvedeny pojmy jako odhady v´ ynosnost´ı akci´ı, riziko zmˇeny v´ ynosnosti akci´ı v ˇcase atd. Proto c´ılem t´eto kapitoly je sezn´amit se velmi struˇcnˇe pouze se stanoven´ım kurzu akcie nebot’ dalˇs´ı podrobnosti budou probr´any v jin´ ych budouc´ıch kurzech na t´eto fakultˇe.
ˇ ´ eˇ ˇz Casov a´ zat Prostudov´an´ı a pochopen´ı vztah˚ u t´eto kapitoly vyˇzaduje 6 hod. Jelikoˇz pˇredmˇetem finanˇcn´ı matematiky jsou i aktiva, udˇel´ame si struˇcn´ y pˇrehled z´akladn´ıch typ˚ u aktiv a uk´aˇzeme si, jak´ ym zp˚ usobem m˚ uˇzeme vypoˇc´ıtat jejich souˇcasn´e hodnoty a z nich v budoucnu plynouc´ı pˇr´ıjmy. Aktivum je cokoliv, co je pˇredmˇetem vlastnictv´ı, napˇr´ıklad cenn´ e pap´ıry (akcie, obligace, pod´ılov´e listy), nemovitosti (obytn´e a kancel´aˇrsk´e budovy, v´ yrobn´ı objekty, pozemky), movit´ y majetek (automobily, z´asoby materi´alu a surovin). Investice je aktivum, kter´e pˇrin´aˇs´ı sv´emu majiteli tok d˚ uchod˚ u. Tento tok d˚ uchod˚ u m˚ uˇze b´ yt i z´aporn´ y. ˇ Clenˇ en´ı aktiv: hmotn´ a – movitosti (zboˇz´ı na skladˇe, automobil, z´asoby surovin a polotovar˚ u, stroje a zaˇr´ızen´ı atd.) nehmotn´ a – know-how, software atd. finanˇ cn´ı – pen´ıze v hotovosti a na u ´ˇctech, nakoupen´e cenn´e pap´ıry smˇenky, dluhopisy atd. Nyn´ı si podrobnˇeji probereme jednotliv´e druhy aktiv a s nˇekter´ ymi se podrobnˇeji sezn´am´ıme z pohledu finanˇcn´ı matematiky.
10.1
Hmotna´ aktiva
Hmotn´ ymi aktivy se nebudeme zaob´ırat. Tento typ majetku se vˇsak ˇcasto pouˇz´ıv´a za spekulaˇcn´ımi u ´ˇcely (oˇcek´avan´ y r˚ ust jeho ceny v budoucnu, v´ ynosy z´ıskan´e jeho pron´ajmem, oˇcek´avan´e zv´ yˇsen´ı cen staroˇzitnost´ı atd.) a tak´e za u ´ˇcelem zajiˇstˇen´ı (ochrana pˇred inflac´ı, z´astava za u ´vˇer).
106
a) Movity´ majetek
sb´ırkov´ e pˇ redmˇ ety – vˇetˇsinou jde o historick´e pˇredmˇety se znaˇcnou historickou nebo umˇeleckou cenou, r˚ uzn´e sb´ırky (zn´amky, mince, ˇsperky, knihy atd.) zv´ıˇ rata – dr˚ ubeˇz, dobytek, dostihov´ı konˇe a chrti, chov exotick´ ych zv´ıˇrat atd. stroje a zaˇ r´ızen´ı budov – soustruhy, fr´ezy, zaˇr´ızen´ı pro truhl´aˇrskou v´ yrobu, zaˇr´ızen´ı obchodu nebo v´ yrobny atd. b) Nemovity´ majetek
obytn´ e budovy – hlavn´ım zdrojem zisku je pˇr´ıjem z prodeje nemovitosti. Dalˇs´ım zdrojem d˚ uchod˚ u jsou n´ajmy, kter´e jsou vˇsak nev´ yhodn´e, nebot’ legislativou je omezen´a moˇznost volnˇe s touto nemovitost´ı disponovat (vystˇehovat n´ajemn´ıky) a libovolnˇe zvyˇsovat n´ajem. Obecnˇe plat´ı, ˇze n´akup obytn´ ych budov pˇrin´aˇs´ı mal´ y v´ ynos. kancel´ aˇ rsk´ e budovy – nejv´ ynosnˇejˇs´ı typ podnik´an´ı (pron´ajem kancel´aˇrsk´ ych budov nebo m´ıstnost´ı) v oblasti nemovitost´ı. v´ yrobn´ı budovy – pron´ajem nemovitost´ı je typick´ ym pˇr´ıkladem hlavnˇe pro skladovac´ı prostory. pozemky – vlastnictv´ı lesn´ı a zemˇedˇelsk´e p˚ udy je obvykle velmi m´alo v´ ynosn´e. V´ yjimku tvoˇr´ı ta p˚ uda, kter´a byla vyjmuta z p˚ udn´ıho fondu a m´a slouˇzit pro v´ ystavbu nemovitost´ı. S vlastnictv´ı takov´eto p˚ udy se velmi ˇcasto spekuluje pro z´ısk´an´ı znaˇcn´eho zisku z prodeje, zvl´aˇstˇe ve velmi lukrativn´ıch oblastech nebo m´ıstech.
10.2
ˇ ı aktiva Financn´
Finanˇcn´ı aktiva maj´ı v praxi nezastupiteln´e m´ısto a dominantn´ı postaven´ı. Tato finanˇcn´ı aktiva jeˇstˇe dˇel´ıme na: a) Hotovost a depozita
hotovost – udrˇzovat vˇetˇs´ı objem hotovostn´ıch prostˇredk˚ u v portfoliu nen´ı ekonomick´e a ani obvykl´e depozita – nˇekter´e fondy kolektivn´ıho investov´an´ı mus´ı m´ yt dostatek dostupn´ ych prostˇredk˚ u na bˇeˇzn´ ych nebo term´ınov´ ych u ´ˇctech pro zajiˇstˇen´ı likvidity aktiv ve sv´em portfoliu (pˇr´ıklad: otevˇren´e pod´ılov´e fondy). b) Cenne´ pap´ıry
a) majetkov´ e – majiteli cenn´eho pap´ıru d´avaj´ı pr´avo na pod´ıl z majetku a na jeho spr´avˇe. akcie – je cenn´ y pap´ır, kter´ ym emitent (firma, spoleˇcnost, finanˇcn´ı u ´stav atd.) umoˇzn ˇuje (osvˇedˇcuje) akcion´aˇri: • pr´avo spolupod´ılet se na ˇr´ızen´ı spoleˇcnosti • pr´avo pod´ılet se na zisku spoleˇcnosti vˇetˇsinou formou dividend • pr´avo pod´ılet se na likvidaˇcn´ı kv´otˇe z majetku spoleˇcnosti
107
10. Aktiva
druhy akci´ı • kmenov´e – jedn´a se o standardn´ı akcie emitovan´e pro z´ısk´an´ı nebo zv´ yˇsen´ı z´akladn´ıho kapit´alu • prioritn´ı – zajiˇst’uj´ı v´ yplatu drˇziteli akci´ı v podobˇe pevnˇe dan´ ych dividend • u ´rokov´e – vyn´aˇsej´ı majiteli pevn´ yu ´rok nebo i pod´ıl na zisku u ´ˇ cast – jde o cenn´ y pap´ır, kter´ y majiteli potvrzuje pr´avo pod´ılet se na vytvoˇren´em zisku a na likvidaˇcn´ım z˚ ustatku spoleˇcnosti nebo firmy. Proti akcii zde chyb´ı pr´avo pod´ılet se na rozhodov´an´ı spoleˇcnosti. Tyto akci emituj´ı vˇetˇsinou firmy nebo spoleˇcnosti, kter´ ym z´akon neumoˇzn ˇuje emitovat akcie. pod´ılov´ e listy – jde o cenn´ y pap´ır, kter´ y zajiˇst’uje majiteli pod´ıl v instituci kolektivn´ıho investov´an´ı. Tento typ cenn´eho pap´ıru je sv´ ym chaˇ jednotliv´e investiˇcn´ı spoleˇcnosti rakterem velmi bl´ızk´ y u ´ˇcasti. V CR vytv´aˇrej´ı pod´ılov´e fondy a pod´ılov´e listy tˇechto fond˚ u pak opravˇ nuj´ı majitele pob´ırat pod´ıl na majetku v tomto fondu. b) Dluhov´ e cenn´ e pap´ıry smˇ enka – je listina, kter´a obsahuje z´akonem vymezen´e n´aleˇzitosti a jej´ımu majiteli z n´ı vypl´ yv´a pr´avo na zaplacen´ı penˇeˇzn´ı pohled´avky, kter´a je na smˇence uvedena. Tuto ˇc´astku mus´ı vystavovatel t´eto smˇenky zaplatit tomu, kdo na tuto listinu napsal sv˚ uj z´avazek a podepsal jej. splatn´ e cenn´ e pap´ıry a kup´ ony – jedn´a se o splatn´e kup´ony akci´ı a dluhopis˚ u, nebot’ se obchoduje i s dluhopisy, kter´e dosp´ıvaj´ı bˇehem jednoho roku. obligace (dluhopis, bond) – je cenn´ y pap´ır, na nˇemˇz se vystavovatel zavazuje jeho majiteli vyplatit dluˇznou nomin´aln´ı ˇc´astku a vypl´acet v´ ynosy tohoto cenn´eho pap´ıru k urˇcit´emu, na dan´em CP uveden´emu, datu. Obligace emituj´ı: • st´ at – st´atn´ı obligace (dluhopisy) • pr˚ umyslov´ e podniky – pr˚ umyslov´e (podnikov´e) obligace • banky – bankovn´ı obligace • org´ any st´ atn´ı spr´ avy – region´aln´ı, m´ıstn´ı nebo mˇestsk´e obligace Druhy obligac´ı: • ziskov´ e – majitel obligace m´a pr´avo pob´ırat i ˇc´ast zisku z emitentovy firmy. • diskontovan´ e – z tˇechto obligac´ı se nevypl´ac´ı u ´rok, ale prod´avaj´ı se za menˇs´ı hodnotu nˇeˇz nomin´aln´ı (face value) • pr´ emiov´ e – tyto obligace vˇetˇsinou maj´ı menˇs´ı u ´rokovou sazbu, ale za urˇcit´ y poˇcet let, pevnˇe dan´ y, se vypl´ac´ı pr´emie • indexovan´ e – velikost u ´roku tˇechto obligac´ı z´avis´ı na velikosti inflace (velikost inflace je vˇetˇsinou mˇeˇrena indexem spotˇrebitelsk´ ych cen) • prioritn´ı – pˇri likvidaci firmy d´avaj´ı majiteli pˇrednostn´ı pr´avo na vyplacen´ı t´eto obligace (pˇrednostn´ı vypoˇr´ad´an´ı).
108
z´ astavn´ı listy (hypoteˇ cn´ı listy) – je to obligace, u kter´e je splacen´ı z´avazk˚ u emitenta zabezpeˇceno hypotek´arnˇe jiˇstˇen´ ymi pohled´avkami. Pˇr´ıpadn´ y emitent˚ uv vˇeˇritel m´a pˇri nesolventnosti emitenta moˇznost z´ıskat pohled´avky prodejem nemovitosti emitenta. st´ atn´ı dluhopisy – dlouhodobˇejˇs´ı cenn´ y pap´ır, jejichˇz emitov´an´ım si organizace (firma, banka, st´at) m˚ uˇze opatˇrit potˇrebn´ y kapit´al. Z´akladn´ı dˇelen´ı obligac´ı je na obligace s nulov´ ym kup´onem (zero-coupon bonds, pure-discount bonds) a kup´onov´e obligace (coupon bonds). Kup´onov´e obligace nepˇrin´aˇsej´ı u ´rok a jsou emitov´any s diskontem. T´eto diskont je souˇc´ast´ı nomin´aln´ı hodnoty obligace, kter´a mus´ı b´ yt proplacena majiteli obligace k pˇredem stanoven´emu datu. Obvyklejˇs´ı jsou vˇsak ´ kup´onov´e obligace, kter´e pˇrin´aˇsej´ı u ´rok. Urok je vypl´acen ve formˇe pravideln´ ych kup´onov´ ych plateb, jejichˇz v´ yplata je pˇredem stanovena a je ud´avan´a ve formˇe procent z nomin´aln´ı hodnoty obligace, tak zvan´a kup´onov´a sazba. vkladov´ e listy (depozitn´ı certifik´ aty) – je kr´atkodob´ y obchodovateln´ y z´ uroˇciteln´ y cenn´ y pap´ır, kter´ y vyd´avaj´ı banky v´ ymˇenou za term´ınovan´e vklady. Doba splatnosti se pohybuje od jednoho do nˇekolika mˇes´ıc˚ u, i kdyˇz nˇekdy se tak´e emituj´ı stˇrednˇedob´e depozitn´ı certifik´aty s dobou splatnosti vˇetˇs´ı neˇz jeden rok. Prodej depozitn´ıch certifik´at˚ u je vˇetˇsinou zaloˇzen na diskontn´ım principu. ˇ pokladniˇ cn´ı pouk´ azky CNB – je cenn´ y pap´ır, kter´ y slouˇz´ı ke kryt´ı deficitu st´atn´ıho rozpoˇctu. D´avaj´ı jej do obˇehu ministerstva financ´ı. Ve srovn´an´ı s jin´ ymi cenn´ ymi pap´ıry maj´ı nejvˇetˇs´ı likviditu. Kalkulace zisku spojen´eho s koup´ı pouk´azky je t´emˇeˇr bez rizika, nebot’ je zde st´atn´ı garance a vzhledem ke kr´atk´e dobˇe splatnosti se redukuje i vliv inflace a zmˇen u ´rokov´ ych sazeb. c) N´ arokov´ e cenn´ e pap´ıry pojistn´ a smlouva – je smlouva uzavˇren´a mezi subjekty, kdy jeden subjekt je opr´avnˇen poˇzadovat plnˇen´ı od jin´eho subjektu, jestliˇze nastane smlouvou konkr´etnˇe specifikovan´a ud´alost (napˇr. smlouva na sm´ıˇsen´e pojiˇstˇen´ı, dovrˇsen´ı urˇcit´eho vˇeku atd.). term´ınov´ e kontrakty – (nˇekteˇr´ı autoˇri povaˇzuj´ı tyto smlouvy za cenn´e pap´ıry, kdeˇzto jin´ı je ch´apou jako typ uzavˇren´eho obchodu). Jedn´a se pˇredevˇs´ım o term´ınov´e kontrakty typu: • forward – vznik´a na z´akladˇe domluvy mezi u ´ˇcastn´ıky obchodu o mnoˇzstv´ı, cenˇe, druhu zboˇz´ı a na term´ınu dod´an´ı tohoto zboˇz´ı. Tento druh je uv´adˇen proto, ˇze mnoho portfoli´ı je sv´az´ano term´ınov´ ymi smlouvami, kter´e chr´an´ı portfolio pˇred nepˇredv´ıdan´ ymi ud´alostmi (napˇr. zmˇena mˇenov´eho kurzu). • futures – vysoce standardizovan´ y forward, coˇz umoˇzn ˇuje jeho obˇ chodov´an´ı na specializovan´ ych burz´ach. Casto se ˇr´ık´a, ˇze futurem je forward obchodovan´ y na burze. • Option (ˇcesky: opce) – term´ınov´a transakce, pˇri n´ıˇz z´ısk´av´a drˇzitel (majitel) opce pr´avo koupit urˇcit´e zboˇz´ı ve vymezen´em term´ınu od emitenta opce (kupn´ı opce-call options). Emitent opce m´a po-
109
10. Aktiva
vinnost dodat zboˇz´ı, pokud drˇzitel kupn´ı opce m´a o toto zboˇz´ı z´ajem, nebo prodat urˇcit´e zboˇz´ı ve vymezen´em term´ınu emitentovi opce (prodejn´ı opce-put options). Znamen´a to, ˇze emitent opce m´a povinnost odkoupit toto zboˇz´ı, pokud drˇzitel opce bude m´ıt o tento prodej z´ajem. Opce m˚ uˇzeme jeˇstˇe rozdˇelit podle ˇcasu plnˇen´ı a to na: americkou opci, kdy majitel sm´ı poˇzadovat plnˇen´ı kdykoliv pˇred vyprˇsen´ım term´ınu opce, nebo evropsk´a opce, kdy majitel sm´ı poˇzadovat plnˇen´ı po vyprˇsen´ı term´ınu opce.
10.3
Akcie
Bˇeˇznˇe pˇri zkoum´an´ı akci´ı pˇristupujeme dvˇema zp˚ usoby. Bud’ pomoc´ı fundament´aln´ı anal´ yzy, nebo technick´e anal´ yzy. Budeme se zab´ yvat pouze fundament´aln´ı anal´ yzou (fundament´aln´ım analytick´ ym modelem). Tato anal´ yza je zaloˇzena na rozboru budouc´ıch v´ ysledk˚ u spoleˇcnost´ı (napˇr. trˇzeb, v´ ynos˚ u, n´aklad˚ u, dividend atd.). Tyto anal´ yzy jsou podkladem pro hodnocen´ı akci´ı, jako je zjiˇst’ov´an´ı ceny a v´ ynosnosti akcie. Akcie jsou vedle sv´e funkce dokladu o kapit´alov´em pod´ılu tak´e pˇredmˇetem burzovn´ıch obchod˚ u. Jejich obchodn´ı hodnota z´avis´ı na nab´ıdce a popt´avce a je vyjadˇrov´ana jako kurz akcie. Proti st´al´e nomin´aln´ı hodnotˇe je kurzovn´ı hodnota akcie promˇ enliv´ a. Nab´ıdka i popt´avka po akci´ıch jsou ovlivˇ nov´any nejen faktory, kter´e souvisej´ı s jejich v´ ynosnost´ı a v´ ykonnost´ı akciov´e spoleˇcnosti, ale tak´e nejr˚ uznˇejˇs´ımi ud´alostmi v n´arodn´ı a mezin´arodn´ı ekonomice i politice. Ke stanoven´ı teoretick´e ceny akcie pouˇz´ıv´ame n´am jiˇz zn´am´ y v´ yraz v´ ypoˇctu poˇc´ateˇcn´ı hodnoty kapit´alu. T X pˇr´ıjem PV = . (1 + i)t t=1
Jestliˇze m´ısto pˇr´ıjmu dosad´ıme v´ yˇsi dividendy na akcii d a za pˇredpokladu, ˇze dividenda bude vypl´acen´a kaˇzd´ y rok (m˚ uˇzeme poˇc´ıtat i pro t → ∞), obdrˇz´ıme tak zvan´ y dividendov´ y model (dividend model, dividend discount model), kter´ y n´am bude urˇcitˇe pˇripom´ınat v´ yraz pro v´ ypoˇcet vˇeˇcn´eho d˚ uchodu, nebot’ dividenda n´am pˇredstavuje v´ yplatu d˚ uchodu (dividendy o stejn´e v´ yˇsi) v kaˇzd´em roce. Teoretick´a cena akcie pak bude P =
∞ X t=1
d1 d3 d∞ d2 dt = + + ··· + . + t 2 3 (1 + i) 1 + i (1 + i) (1 + i) (1 + i)∞
V tomto pˇr´ıpadˇe budou v´ yplaty jednotliv´ ych dividend r˚ uzn´e podle hospod´aˇrsk´ ych v´ ysledk˚ u spoleˇcnosti. Pokud budou dividendy v jednotliv´ ych l´etech stejn´e, coˇz znamen´a, ˇze d0 = d1 = d2 = · · · = d∞ , potom se dan´ y v´ yraz redukuje na tvar d0 P = . i
110
a Opˇet si vzpomeˇ nme na vˇeˇcn´ y d˚ uchod, kde D = , a byla v´ yˇse vypl´acen´eho i d˚ uchodu a v naˇsem pˇr´ıpadˇe je t´ımto d˚ uchodem vypl´acen´a dividenda d0 . Jestliˇze bude dividenda vypl´acen´a v´ıcekr´at za rok, potom uveden´ y v´ yraz p i d0 = , kde m (kurz akcie) bude vyj´adˇren ve tvaru P = , kde r = r 100 · m m je poˇcet (frekvence) v´ yplat dividend za rok a m > 1. Pokud se bude pravidelnˇe zvyˇsovat hodnota dividendy o konstantn´ı hodnotu k (rychlost nebo tempo r˚ ustu vypl´acen´ ych dividend), potom dan´ y v´ yraz bude ud´avat cenu akcie ve tvaru: P =
d0 · k , r−k+1
k=
dt+1 , dt
0 ≤ k ≤ 1,
t = 1, 2, 3, . . . ,
p i = . 110 · m m V naˇsich pˇr´ıpadech jsme pˇredpokl´adali, ˇze akcie bude poskytovat nekoneˇcn´ y poˇcet dividendov´ ych pˇr´ıjm˚ u. Vˇetˇsina investor˚ u vˇsak posuzuje investici–akcii z kratˇs´ıho ˇcasov´eho horizontu, kter´ y oznaˇc´ıme p´ısmenem T . Z´aroveˇ n kromˇe dividendov´eho pˇr´ıjmu oˇcek´av´a i kapit´alov´ y zisk z prodeje t´eto akcie za cenu PT . Tuto cenu akcie naz´ yv´ame t´eˇz trˇzn´ı cenou, kter´a je d´ana nab´ıdkou a popt´avkou po t´eto akcii. Proto pro v´ ypoˇcet vol´ıme vhodnˇejˇs´ı v´ yraz z ˇcasovˇe omezen´e doby kde r =
P =
T X t=1
dt PT d1 d3 dt + PT d2 + = + + ··· + . + t T 2 3 (1 + i) (1 + i) 1 + i (1 + i) (1 + i) (1 + i)T
Pˇr´ıklad 10.1.
Jak´ y kurz m´a akcie se ˇctvrtletn´ı dividendou 45 Kˇc pˇri u ´rokov´e m´ıˇre 5 % p. a.? ˇ sen´ ˇ ı. d = 45 Kˇ Re c, p = 5 % = 0,05, r = P
=
P
=
0,05 4
= 0,0125,
d , r 45 = 3 600. 0,0125
Kurz akcie bude 3 600 Kˇc Pˇr´ıklad 10.2.
Jak´ y kurz m´a akcie, na kterou byla za loˇ nsk´ y rok vypl´acen´a dividenda ve v´ yˇsi 80 Kˇc, pˇri ˇcemˇz v prvn´ım pˇr´ıpadˇe bude rychlost r˚ ustu dividend k = 0 a v druh´em pˇr´ıpadˇe bude k = 5 % p. a.? Poˇzadovan´a u ´rokov´a sazba je 7 % p. a. Doba v´ yplat nen´ı ˇcasovˇe omezena. ˇ sen´ ˇ ı. Re 1. 2.
80 d0 = = 1 142,857 Kˇc, i 0,07 d0 · (1 + k) 80 · (1 + 0,05) P = = = 4 200 Kˇc. i−k 0,07 − 0,05
P =
111
10. Aktiva
Pˇr´ıklad 10.3.
Jak´ y kurz m´a akcie, na kterou byla za loˇ nsk´ y rok vypl´acen´a ˇctvrtletn´ı dividenda v posledn´ı v´ yˇsi 42 Kˇc, pˇri ˇcemˇz dividenda bˇehem ˇctyˇr ˇctvrtlet´ı rostla ´ pˇribliˇznˇe o 0,5 % ˇctvrtletnˇe. Urokov´ a m´ıra je 0,06 p. a. ˇ sen´ ˇ ı. Re P
=
k = P
=
d0 · k r−k+1 dt+1 42 + 42 · 0,005 = = 1,005, dt 42 42 · 1,005 = 4 221 Kˇc, 0, 06 − 1,005 + 1 4
Pˇr´ıklad 10.4.
M´ame vypoˇc´ıtat cenu akcie, kterou chceme po tˇrech letech prodat. Trˇzn´ı cena akcie bude po tˇechto letech 450,00 Kˇc. Dividenda je kaˇzd´ ym rokem ´ konstantn´ı ve v´ yˇsi 25,00 Kˇc. Urokov´ a sazba u t´eto akci necht’ je 6 % p. a. ˇ sen´ ˇ ı. Re P
=
3 X t=1
450 + 25 25t + = t (1 + 0,06) (1 + 0,06)3
25 25 25 450 + 25 + + + = 1 + 0,06 (1 + 0,06)2 (1 + 0,06)3 (1 + 0,06)3 = 23,5849 + 22,2499 + 21,59594 + 398,8192 = 466,2499 Kˇc. =
´ ˇ Otazky k zamyslen´ ı 1. Jak´ y kurz m´a akcie se ˇctvrtletn´ı dividendou 35 Kˇc a u ´rokov´e m´ıˇre 5 % p. a.? [2 800 Kˇc] 2. Urˇ cete kurz akcie, na kterou se vypl´ac´ı roˇcn´ı dividenda 50 Kˇc pˇri u ´rokov´e sazbˇe 5 % p. a. [1 000 Kˇc] 3. Jak´ y kurz m´a akcie, na kterou byla za loˇ nsk´ y rok vypl´acen´a ˇctvrtletn´ı
dividenda v posledn´ı v´ yˇsi 20 Kˇc, pˇriˇcemˇz ˇc´astka dividendy bˇehem ˇctyˇr ´ ˇctvrtlet´ı rostla pˇribliˇznˇe o 1 % ˇctvrtletnˇe? Urokov´ a sazba je 7 % p. a. [2 693,33 Kˇc]
112
Shrnut´ı
Shrnut´ı
Prostudov´an´ım tohoto textu z´ısk´ate znalosti z v´ ypoˇcetn´ıch postup˚ u, s kter´ ymi se setk´av´ate pˇri bˇeˇzn´e praxi. Vˇsechny kapitoly jsou ilustrov´any n´azorn´ ymi uk´azkov´ ymi pˇr´ıklady a proto je nutn´e tento text studovat s tuˇzkou a pap´ırem, aby jste si vˇzdy ovˇeˇrili, zda dan´e problematice dokonale rozum´ıte. Jde tak´e o to, nejen porozumˇet probl´em˚ um, kter´e jsou uvedeny v textu, ale tak´e umˇet teoreticky i prakticky tyto probl´emy ˇreˇsit. Znalost stˇredoˇskolsk´e matematiky dostaˇcuje pro pochopen´ı a odvozen´ı jednotliv´ ych vztah˚ u uveden´ ych v tomto textu, jak jste si mohli po pˇreˇcten´ı textu uvˇedomit, a proto je nutno vyuˇz´ıt voln´eho ˇcasu pro ˇreˇsen´ı u ´loh uveden´ ych vˇzdy na konci kaˇzd´e kapitoly. Ne kaˇzd´eho budou zaj´ımat vˇsechny kapitoly, nebot’ se dost´av´a v praxi do styku pouze s nˇekter´ ymi, ale pro vysokoˇskolsky vzdˇelan´eho jedince je velmi d˚ uleˇzit´e, aby jeho obzor sahal d´ale neˇz odpov´ıd´a jeho praxi. V ˇradˇe funkc´ıch je tak´e nutno teoreticky vysvˇetlit jednotliv´e vztahy a moˇznosti jejich vyuˇzit´ı at’ jiˇz s klienty nebo podˇr´ızenou skupinou koleg˚ u. D˚ uraz je nutno poloˇzit na ot´azky zp˚ usob˚ uu ´roˇcen´ı a jeho vyuˇzit´ı pˇri mˇen´ıc´ıch se u ´rokov´ ych sazb´ach. Tak´e d˚ uleˇzit´e je pochopit a prakticky prov´adˇet u ´roˇcen´ı bˇeˇzn´ ych u ´ˇct˚ u a kontokorentn´ıch u ´vˇer˚ u, v souˇcasn´e dobˇe, jako velmi uˇz´ıvan´eho zp˚ usobu z´ısk´av´an´ı finanˇcn´ıch zdroj˚ u, a vˇedˇet proˇc se u ´roˇcen´ı prov´ad´ı t´ımto zp˚ usobem a umˇet tyto operace zd˚ uvodnit. Dalˇs´ım d˚ uleˇzit´ ym u ´kolem je dov´est vysvˇetlit ot´azku spoˇren´ı a umˇet poradit zp˚ usoby spoˇren´ı pro klienta nejv´ yhodnˇejˇs´ı, i kdyˇz samozˇrejmˇe pro nˇej je velmi d˚ uleˇzit´a st´avaj´ıc´ı u ´rokov´a sazba. I kdyˇz ot´azka d˚ uchod˚ u je v souˇcasn´e dobˇe preferov´ana ve sdˇelovac´ıch prostˇredc´ıch a v´ yhodnˇejˇs´ı je pojiˇstˇen´ı d˚ uchodu v nˇekter´e komerˇcn´ı pojiˇst’ovnˇe, nebo d˚ uchodov´e pˇripojiˇstˇen´ı s pˇr´ıspˇevkem st´atu, je vhodn´e zn´at konstrukci vztah˚ u pˇri v´ ypoˇctu d˚ uchod˚ u i z pohledu finanˇcn´ı matematiky. Tento text nezaruˇcuje dokonal´e znalosti z finanˇcn´ı matematiky a je proto nezbytnˇe nutn´e dalˇs´ı sebevzdˇel´an´ı z uveden´e literatury, kter´a prohloub´ı znalosti z´ıskan´e po prostudov´an´ı t´eto studijn´ı opory. Ot´azce dluhopis˚ u a deriv´at˚ um, dnes jiˇz pouˇz´ıvan´ ych, budou vˇenov´any samostatn´e kurzy a to: Anal´ yza dluhopis˚ u a Deriv´aty finanˇcn´ıho trhu. Kaˇzd´e studium, nejen distanˇcn´ı, sebou pˇrin´aˇs´ı ˇradu odˇr´ık´an´ı a mnoho ˇcasu pro studium. Prohlouben´ı a rozˇs´ıˇren´ı vaˇsich znalost´ı o probl´emy finanˇcn´ı matematiky v´am umoˇzn´ı orientovat se v t´eto problematice a zkvalitnit plnˇen´ı u ´loh ve vaˇs´ı praxi.
Pˇr´ıloha
Pˇr´ıloha
ˇ ı matematiky Souhrn vzorcu˚ z financn´ Jednoduch´ e u ´roˇ cen´ı polh˚ utn´ı a pˇ redlh˚ utn´ı Slovn´ı vyj´ adˇ ren´ı v´ ypoˇcet u ´roku
v´ ypoˇcet u ´roku pomoc´ı u ´rokov´e sazby
v´ ypoˇcet u ´roku pomoc´ı u ´rokov´ ych ˇc´ısel au ´rokov´ ych dˇelitel˚ u
v´ ypoˇcet u ´roku souˇctov´ ym vzorcem
koneˇcn´ y kapit´ al pˇri jednoduch´em polh˚ utn´ım u ´roˇcen´ı koneˇcn´ y kapit´ al – modifikovan´a rovnice
u=
K ·p·d 100 · 360
u=K ·i·t u=
UC = UD
u=
n P
K·d 100 360 p
U Cj
j=1
UD
Kt = K0 · (1 + i · t) Kt = K0 · 1 +
poˇc´ateˇcn´ı kapit´ al pˇri jednoduch´em polh˚ utn´ım u ´roˇcen´ı
K0 =
doba splatnosti pˇri jednoduch´em polh˚ utn´ım u ´roˇcen´ı
t=
p·d 100 · 360
Kt 1+i·t
Kt − K0 K0 · i
obchodn´ı diskont pˇri jednoduch´em polh˚ utn´ım u ´roˇcen´ı
Dob = Kt · iD · t
obchodn´ı kapit´ al pˇri jednoduch´em polh˚ utn´ım u ´roˇcen´ı
Kob = Kt · (1 − iD · t)
souˇcasn´ a hodnota pˇri jednoduch´em polh˚ utn´ım u ´roˇcen´ı matematick´ y diskont matematick´ y diskont pˇri jednoduch´em polh˚ utn´ım u ´roˇcen´ı
116
Vzorec
K0 =
Kt 1 + iD · t
Dmat = K0 · iD · t Dmat =
Kt · iD · t 1 + iD · t
matematick´ y diskont pomoc´ı obchodn´ıho diskontu koneˇcn´ y kapit´ al pˇri jednoduch´em pˇredlh˚ utn´ım u ´roˇcen´ı
Dob 1 + iD · t
Dmat =
Kt = K0 · 1 +
I ·t 1−I
vztah mezi pˇredlh˚ utn´ı a polh˚ utn´ı u ´rokovou sazbou
I=
i 1+i
vztah mezi polh˚ utn´ı a pˇredlh˚ utn´ı u ´rokovou sazbou
i=
I 1−I
doba splatnosti pˇri jednoduch´em pˇredlh˚ utn´ım u ´roˇcen´ı
t=
Kt − K0 1 − I · K0 I
Sloˇ zen´ e u ´roˇ cen´ı polh˚ utn´ı a pˇ redlh˚ utn´ı Slovn´ı vyj´ adˇ ren´ı
Vzorec
z´akladn´ı rovnice pˇri sloˇzen´em u ´roˇcen´ı, v´ ypoˇcet koneˇcn´e hodnoty kapit´ alu, t ∈ N, u ´roˇcen´ı je polh˚ utn´ı p. a.
Kt = K0 · (1 + i)t
koneˇcn´ y kapit´ al pro t ∈ N, u ´roˇcen´ı je m-kr´ at za rok
i Kt = K0 · 1 + m
m·t
koneˇcn´ y kapit´ al pro t ∈ / N, u ´roˇcen´ı je polh˚ utn´ı p. a.
Kt = K0 · (1 + i)n · (1 + R · i)
koneˇcn´ y kapit´ al pro t ∈ / N, u ´roˇcen´ı je m-kr´ at do roka polh˚ utn´ı p. a.
i n Kt = K0 · 1 + · (1 + R · i) m
v´ ypoˇcet doby splatnosti pro t ∈ N, u ´roˇcen´ı je polh˚ utn´ı p. a.
v´ ypoˇcet zbytku doby splatnosti, kdyˇz t∈ /Nau ´roˇcen´ı je polh˚ utn´ı p. a.
t=
ln Kt − ln K0 ln(1 + i)
Kt − (1 + i)n0 K0 R= i · (1 + i)n0
117
Pˇr´ıloha
v´ ypoˇcet zbytku doby splatnosti, kdyˇz t∈ /Nau ´roˇcen´ı je m-kr´ at za rok
Kt i n0 − 1+ K0 m R= i n0 i· 1+ m
v´ ypoˇcet souˇcasn´e hodnoty pro t ∈ N, kdy u ´roˇcen´ı je polh˚ utn´ı p. a.
K0 =
v´ ypoˇcet souˇcasn´e hodnoty pro t ∈ N, kdy u ´roˇcen´ı je m-kr´ at do roka
v´ ypoˇcet souˇcasn´e hodnoty pro t ∈ / N, kdy u ´roˇcen´ı je polh˚ utn´ı p. a.
v´ ypoˇcet souˇcasn´e hodnoty pro t ∈ / N, kdy u ´roˇcen´ı je m-kr´ at do roka
K0 =
v´ ypoˇcet u ´rokov´e sazby pro t ∈ / N, kdy u ´roˇcen´ı je m-kr´ at za rok
K n 0 t i · (1 + R · i) 1+ m i=
r t
i=m·
Kt −1 K0 r
m·t
i=m·
! Kt −1 K0 r
m·(n0 +R)
! Kt −1 K0
v´ ypoˇcet u ´roku pro t ∈ N, kdy u ´roˇcen´ı je polh˚ utn´ı p. a.
u = K0 · [(1 + i)t − 1]
v´ ypoˇcet u ´roku pro t ∈ / N, kdy u ´roˇcen´ı je polh˚ utn´ı p. a.
u = K0 · [(1 + i)n0 · (1 + R · i) − 1]
v´ ypoˇcet u ´roku pro t ∈ / N, kdy u ´roˇcen´ı u = K0 · je m-kr´ at za rok
efektivn´ı u ´rokov´ a sazba
118
Kt i m·t 1+ m
Kt (1 + i)n0 · (1 + R · i)
K0 =
v´ ypoˇcet u ´rokov´e sazby pro t ∈ N, kdy u ´roˇcen´ı je polh˚ utn´ı p. a.
v´ ypoˇcet u ´rokov´e sazby pro t ∈ N, kdy u ´roˇcen´ı je m-kr´ at do roka
Kt (1 + i)t
K0 =
i 1+ m
iefekt. =
n 0
· (1 + R · i) − 1
i 1+ m
m
−1
u ´rokov´ a intenzita
f = ln(1 + iefekt. )
re´aln´ a v´ yˇse kapit´ alu na konci u ´rokovac´ıho obdob´ı
Kr = K0 ·
ir =
re´aln´ au ´rokov´ a sazba
Kr −1 K0
1+i 1 + iinf.
nebo
ir =
i − iinf. 1 + iinf.
Spoˇ ren´ı Slovn´ı vyj´ adˇ ren´ı
Vzorec
spoˇren´ı kr´ atkodob´e pˇredlh˚ utn´ı
m+1 ·i Sx = m · x · 1 + 2·m
spoˇren´ı kr´ atkodob´e polh˚ utn´ı
Sx′
v´ ypoˇcet v´ yˇsky vkladu – pˇredlh˚ utn´ı
v´ ypoˇcet v´ yˇsky vkladu – polh˚ utn´ı
spoˇren´ı dlouhodob´e pˇredlh˚ utn´ı
spoˇren´ı dlouhodob´e polh˚ utn´ı
v´ ypoˇcet v´ yˇsky vkladu – pˇredlh˚ utn´ı
v´ ypoˇcet v´ yˇsky vkladu – polh˚ utn´ı
m−1 ·i =m·x· 1+ 2·m
x=
x=
Sx m+1 m· 1+ ·i 2·m
Sx′ m−1 m· 1+ ·i 2·m
S = a · (1 + i) · S′ = a · a=
(1 + i)n − 1 i
(1 + i)n − 1 i
S·i (1 + i) · [(1 + i)n − 1] a=
S′ · i (1 + i)n − 1
119
Pˇr´ıloha
v´ ypoˇcet doby spoˇren´ı – pˇredlh˚ utn´ı
n=
ln 1 +
S·i a · (1 + i) ln(1 + i)
v´ ypoˇcet doby spoˇren´ı – polh˚ utn´ı
S′ · i ln 1 + a n= ln(1 + i)
kombinovan´e spoˇren´ı pˇredlh˚ utn´ı
(1 + i)n − 1 m+1 ·i · S = m·x· 1 + 2·m i
kombinovan´e spoˇren´ı polh˚ utn´ı
m−1 (1 + i)n − 1 S = m·x· 1 + ·i · 2·m i ′
v´ ypoˇcet v´ yˇsky vkladu – pˇredlh˚ utn´ı
x=
x=
v´ ypoˇcet v´ yˇsky vkladu – polh˚ utn´ı
S m+1 (1 + i)n − 1 m· 1+ ·i · 2·m i
S′
m−1 (1 + i)n − 1 m· 1+ ·i · 2·m i
v´ ypoˇcet doby spoˇren´ı – pˇredlh˚ utn´ı n=
v´ ypoˇcet doby spoˇren´ı – polh˚ utn´ı n=
# S·i +1 ln m · x · 1 + m+1 · i 2·m "
ln(1 + i)
# S′ · i +1 ln m · x · 1 + m−1 2·m · i "
ln(1 + i)
D˚ uchody Slovn´ı vyj´ adˇ ren´ı
120
Vzorec
d˚ uchod bezprostˇredn´ı pˇredlh˚ utn´ı
D =a·
1 − vn v·i
d˚ uchod bezprostˇredn´ı polh˚ utn´ı
D′ = a ·
1 − vn i
d˚ uchod vypl´ acen´ y m-kr´ at roˇcnˇe pˇredlh˚ utn´ı
m+1 1 − vn D =m·x· 1+ ·i · 2·m i
d˚ uchod vypl´ acen´ y m-kr´ at roˇcnˇe polh˚ utn´ı
m−1 1 − vn D = m·x· 1+ ·i · 2·m i
′
d˚ uchod odloˇzen´ y pˇredlh˚ utn´ı
K =a·
d˚ uchod odloˇzen´ y polh˚ utn´ı
1 − v n k−1 ·v i
K′ = a ·
1 − vn k ·v i
d˚ uchod odloˇzen´ y pˇredlh˚ utn´ı vypl´ acen´ y m-kr´ at za rok
m+1 1 − vn k K = m·x· 1 + ·i · ·v 2·m i
d˚ uchod odloˇzen´ y polh˚ utn´ı vypl´ acen´ y m-kr´ at za rok
m−1 1 − vn k K = m·x· 1 + ·i · ·v 2·m i
′
d˚ uchod bezprostˇredn´ı vˇeˇcn´ y pˇredlh˚ utn´ı
D=
a i·v
D′ =
d˚ uchod bezprostˇredn´ı vˇeˇcn´ y polh˚ utn´ı
a i
d˚ uchod vˇeˇcn´ y bezprostˇredn´ı pˇredlh˚ utn´ı vypl´ acen´ y m-kr´ at za rok
m+1 1 D = m·x· 1+ ·i · 1+ 2·m i
d˚ uchod vˇeˇcn´ y bezprostˇredn´ı polh˚ utn´ı vypl´ acen´ y m-kr´ at za rok
m−1 1 D =m·x· 1+ ·i · 2·m i ′
1 K =a· 1+ i
d˚ uchod odloˇzen´ y vˇeˇcn´ y pˇredlh˚ utn´ı
K′ =
d˚ uchod odloˇzen´ y vˇeˇcn´ y polh˚ utn´ı
vk
a k ·v i
d˚ uchod odloˇzen´ y vˇeˇcn´ y pˇredlh˚ utn´ı vypl´acen´ y m-kr´ at za rok
m+1 1 K = m·x· 1 + ·i · 1+ ·v k 2·m i
d˚ uchod odloˇzen´ y vˇeˇcn´ y polh˚ utn´ı vypl´acen´ y m-kr´ at za rok
k m−1 v K =m·x· 1+ ·i · 2·m i ′
121
Pˇr´ıloha
Umoˇ rov´ an´ı dluhu Slovn´ı vyj´ adˇ ren´ı v´ ypoˇcet v´ yˇse anuity
a=
D·i 1 − vn
v´ ypoˇcet u ´roku v (r+1)-n´ım obdob´ı
Ur+1 = a · (1 − v n−r ) = Dr · i
v´ ypoˇcet u ´moru v (r+1)-n´ım obdob´ı
Mr+1 = a·v n−r = a−Dr ·i = Mr ·(1+i)
v´ ypoˇcet poˇctu anuit
v´ ypoˇcet posledn´ı spl´atky dluhu
v´ ypoˇcet zbytku u ´moru
v´ ypoˇcet posledn´ıho u ´roku
122
Vzorec
D·i ln 1 − a n= ln v 1 − v n0 b= D−a· · (1 + i)n0 +1 i Mn0+1 = b · v Un0 +1 = b · v · i
´ ´ Ukazka pˇredpokladan ych ´ uloh ´ POT1 – POT2
1) Jak´a bude naspoˇren´a ˇc´astka za 5 let, jestliˇze klient kaˇzd´ y mˇes´ıc spoˇr´ı 500,- Kˇc s u ´rokovou sazbou 4 % p. a. M´ıra inflace v jednotliv´ ych l´etech bude: 1. rok 1,25; 2. rok 0,57; 3. rok 2,03; 3. rok 1,765; 4. rok 1,037 a 5. rok 0,953. 2) Na jakou hodnotu se z´ uroˇcil vklad 120 000 Kˇc za 2 roky, 8 mˇes´ıc˚ u a 21 dn´ı, je-li u ´roˇcen v bance pˇri u ´rokov´e sazbˇe 6 % p. a. 3) Pˇred osmi lety uloˇzil otec synovi kapit´al na 3 41 % p. a. pˇri ˇctvrtletn´ım sloˇzen´em u ´roˇcen´ı. Jestliˇze syn na konci osm´eho roku vybral 8 091,90 Kˇc jako koneˇcnou hodnotu vˇcetnˇe u ´rokov´eho v´ ynosu, jak´a byla poˇc´ateˇcn´ı hodnota? 4) Klient, kter´ y chce uloˇzit 100 000 Kˇc, se m˚ uˇze rozhodnout mezi vkladem na vkladn´ı kn´ıˇzku, kter´a vyn´aˇs´ı 2 % p. a. pˇri sloˇzen´em mˇes´ıˇcn´ım u ´roˇcen´ı a n´akupem obligace (dluhopisu), kter´a vyn´aˇs´ı 2 12 % p. a. ve dvou stejn´ ych pololetn´ıch spl´atk´ach. Kter´a z tˇechto alternativ nab´ız´ı vyˇsˇs´ı v´ ynos? 5) Pan Voc´asek pl´anuje n´akup nov´eho auta za 3 roky a poˇc´ıt´a s n´akupn´ı cenou 320 000 Kˇc. Svoje souˇcasn´e auto star´e dva roky hodl´a prodat na proti´ uˇcet a odhaduje jeho cenu na 80 000 Kˇc. Na zbytek ceny nov´eho vozu chce pan Voc´asek ukl´adat na zaˇc´atku kaˇzd´eho ˇctvrtlet´ı stejnou potˇrebnou ˇc´astku, na sv˚ uj u ´ˇcet v bance, pˇri u ´rokov´e sazbˇe 12 % p. a. Kolik bude ˇcinit tento vklad? 6) Klient se rozhodl ve vˇeku 30 let vytvoˇrit penzijn´ı fond pravideln´ ymi vklady na konci kaˇzd´eho roku ve v´ yˇsi 10 000 Kˇc po dobu 35 let. Poˇc´ınaje 66 rokem sv´ ych narozenin chce vyb´ırat z tohoto fondu koncem kaˇzd´eho ˇ ste: roku po dobu 15 let. Reˇ a) Jestliˇze plat´ı po dobu cel´ ych 50. let existence fondu u ´rokov´a sazba 8 % p. a. roˇcnˇe, kolik bude moci klient ze sv´eho fondu roˇcnˇe vyb´ırat, mezi 66. a 80. rokem sv´eho vˇeku? b) Jak se zmˇen´ı ˇc´astka roˇcn´ıho d˚ uchodu, jestliˇze sn´ıˇz´ı penˇeˇzn´ı u ´stav po 10. letech od zah´ajen´ı v´ yplat z fondu, u ´rokovou sazbu z 8 na 6 % p. a. roˇcnˇe, jestliˇze m´a b´ yt dodrˇzen´a lh˚ uta v´ yplat 15 let? 7) Jak´a je re´aln´a hodnota kapit´alu 35 560 Kˇc pˇri sloˇzen´em pololetn´ım u ´roˇcen´ı kde p = 2,5 % p. s. za dva roky, jestliˇze roˇcn´ı m´ıra inflace bude po tyto dva roky konstantn´ı a bude rovna iinf = 0,03? Jak´a by byla koneˇcn´a hodnota vkladu, bude-li m´ıra inflace rovn´a nule a kolik ztr´ac´ıme vlivem inflace na naˇsem vkladu? 8) Jak´a je re´aln´a hodnota kapit´alu 35 560 Kˇc pˇri sloˇzen´em pololetn´ım u ´roˇcen´ı kde p = 2,5 % p. s. za dva roky, jestliˇze roˇcn´ı m´ıra inflace bude po tyto dva roky konstantn´ı a bude rovna iinf = 0,03? Jak´a by byla koneˇcn´a hodnota vkladu, bude-li m´ıra inflace rovn´a nule a kolik ztr´ac´ıme vlivem inflace na naˇsem vkladu? 9) Na sch˚ uzce 5 let po promoci se absolventi fakulty dohodli, ˇze pˇr´ıˇst´ı sch˚ uzku 10 let po promoci uspoˇr´adaj´ı jako jubilejn´ı a slavnostn´ı, v luxusn´ım podniku. Na kryt´ı pˇredpokl´adan´ ych n´aklad˚ u souhlasili s t´ım, ˇze kaˇzd´ y poˇsle pokladn´ıkovi roˇcn´ıku pololetnˇe 20 Kˇc. Jestliˇze vˇsech 100 absolvent˚ u fakulty tento z´avazek dodrˇz´ı pˇri doˇzit´ı vˇsech a pokladn´ı
123
Pˇr´ıloha
svˇeˇr´ı spr´avu fondu bance pˇri u ´rokov´e sazbˇe 4 % p. a. u ´roˇceno pololetnˇe, jak´e v´ yˇse dos´ahne hodnota fondu na konci 10. roku po promoci? 10) Zemˇrel´ y zanechal kapit´al ve v´ yˇsi 50 000 Kˇc, kter´ y je investov´an pˇri 12 % p. a. u ´rokov´e sazbˇe u ´roˇcen´eho mˇes´ıˇcnˇe. Kolik mˇes´ıˇcn´ıch v´ yplat o v´ yˇsi 750 Kˇc obdrˇz´ı dˇedici a kolik bude ˇcinit z´avˇereˇcn´a v´ yplata?
124
´r Glosaˇ
´r Glosaˇ
A ´ ˇ ´ a´ z umoru Anuita – v´ysˇ e splatky uv ´ eru. Anuita se sklad ´ a uroku. ´ Vˇzdy plat´ı: anuita = umor ´ + urok. ´ i Anuita: a = D · 1−v n ´ nedostav ´ a´ celou cˇ astku, ´ ´ sn´ızˇ en´y Anticipativn´ı – uroˇ ´ cen´ı pˇredlhutn´ ˚ ı. Pˇr´ıjemce kapitalu ale kapital ´ o urok, ´ kter´y zaplat´ı po obdrˇzen´ı tohoto kapitalu.
D ´ ´ ıho obdob´ı. Dekurzivn´ı – uroˇ ´ cen´ı polhutn´ ˚ ı. Urok se pˇripisuje na konci urokovac´ Diskont – urok ´ ode dne v´yplaty do dne splatnosti ´ (koneˇcneho ´ kapitalu) ´ – obchodn´ı (bankovn´ı) – v´ypoˇcet diskontu z budouc´ı hodnoty kapitalu ´ cn´ı hodnoty kapitalu ´ (souˇcasne´ hodnoty) – matematicky´ (jednoduch´y) – v´ypoˇcet diskontu z poˇcateˇ ´ a´ souˇcasnou hodnotu 1 Kˇc splatne´ za jeden rok pˇri urokov Diskontn´ı faktor – udav ´ e´ m´ıˇre i ´ ´ ´ ´ Duchod ˚ – pravidelne´ v´yplaty (anuity) vyplacen e´ vˇzdy na poˇcatku nebo na konci urˇciteho cˇ asoveho intervalu ´ ´ ´ intervalu – pˇredlhutn´ ˚ ı – v´yplaty jsou vˇzdy na poˇcatku urˇciteho cˇ asoveho ´ ´ – polhutn´ ˚ ı – v´yplaty jsou vˇzdy na konci urˇciteho cˇ asoveho intervalu ´ ´ ı smlouvy – bezprostˇredn´ı – duchod ˚ je vyplacen okamˇziteˇ po podepsan´ ´ cˇ asovem ´ obdob´ı (karenˇcn´ı doba, doba odloˇzen´ı) – odloˇzeny´ – v´yplata duchodu ˚ zaˇcne aˇz po urˇcitem ˇ y´ – duchod ´ – veˇ cn ˚ je vyplacen neomezeneˇ dlouho
E ´ Efektivn´ı urokov ´ a´ sazba – dosaˇzen´ı stejneho finanˇcn´ıho efektu mus´ı b´yt roˇcn´ı urokov ´ a´ sazba vyˇssˇ ´ı neˇz pˇri urokovac´ ´ ım obdob´ı kratˇs´ım neˇz jeden rok
J ˇ ı – urok ´ Jednoduche´ uro ´ cen´ ´ se pˇripisuje na zaˇcatku nebo na konci urokovac´ ´ ıho obdob´ı
K ´ – peneˇ ˇ zn´ı cˇ astka ´ Kapital ˇ ´ (poˇcateˇ ´ cn´ı hodnota) – rozum´ıme peneˇ ˇ zn´ı cˇ astku, ´ – soucasn a´ hodnota kapitalu ktera´ uroˇ ´ cena ´ obdob´ı pˇrinese hodnotu budouc´ı v cˇ asovem ´ (koneˇcna´ hodnota) – zuroˇ ´ urokovou – budouc´ı hodnota kapitalu ´ cen´y kapital ´ sazbou na konci urokovac´ ´ ıho obdob´ı
L ´ ı – vychaz´ ´ ı z logaritmicke´ funkce. Poˇcetn´ı operace, ktere´ zjednoduˇsuj´ı poˇcetn´ı operace Logaritmovan´ ´ ˇ ı, umocnov ˇ an´ ´ ı a odmocnov ˇ an´ ´ ı. Pouˇzito u sloˇzeneho ´ nasoben´ ı, delen´ uroˇ ´ cen´ı pˇri v´ypoˇctu doby uloˇzen´ı a doby spoˇren´ı.
M ˇ cenove´ hladiny vyjadˇ ´ rena´ v relativn´ım cˇ ´ısle (take´ v procentech) M´ıra inflace – uhrnn ´ a´ zmena
O Odloˇzeny´ duchod ˚ – v´yplata duchodu ˚ nenastane ihned, ale aˇz po urˇcite´ dobeˇ k, coˇz se naz´yva´ ka´ veku ˇ renˇcn´ı doba (doba odloˇzen´ı). Zaplatit tento duchod ˚ muˇ ˚ zeme v urˇcitem x, ale v´yplatu duchodu ˚ ´ ˇ x+k chceme dostavat aˇz od veku ´ obdob´ı – polhutn´ ˚ ı – v´yplata duchodu ˚ vˇzdy na konci dohodnuteho ´ ´ obdob´ı – pˇredlhutn´ ˚ ı – v´yplata duchodu ˚ vˇzdy na poˇcatku dohodnuteho ˇ ˚ eˇ do smluvneˇ omezene´ doby – docasn y´ – v´yplata duchodu ˚ polhutn ˚ eˇ nebo pˇredlhutn – doˇzivotn´ı – v´yplata duchodu ˚ polhutn ˚ eˇ nebo pˇredlhutn ˚ eˇ aˇz do konce zˇ ivota
P Posloupnost – rozum´ıme kaˇzdou funkci definovanou na mnoˇzineˇ vˇsech pˇrirozen´ych cˇ ´ısel. Posloupnost ´ ´ ´ ´ e´ cˇ ´ıslo un . z´ıskame, jestliˇze kaˇzdemu pˇrirozenemu cˇ ´ıslu n pˇriˇrad´ıme realn – aritmeticka´ – u n´ızˇ rozd´ıl (diference) kter´ychkoliv dvou po sobeˇ jdouc´ıch cˇ lenu˚ je konstantn´ı ´ ´ v´ypoˇcet poˇctu stejn´ych anuit, uroˇ (spoˇren´ı kratkodob e, ´ cen´ı polh˚utn´ı a pˇredlhutn´ ˚ ı) ´ – geometricka´ – u n´ızˇ pod´ıl dvou po sobeˇ jdouc´ı cˇ lenu˚ je konstantn´ı (v´ysledek pod´ılu naz´yvame ˇ s´ı neˇz jedna, a duchody, kvocient). Uˇzit´ı: Sloˇzene´ uroˇ ´ cen´ı, kde kvocient je vetˇ ˚ kde kvocient je menˇs´ı neˇz jedna.
126
S Stˇradatel – rozliˇsujeme stˇradatel pˇredlhutn´ ˚ ı a polhutn´ ˚ ı n ´ jako s′n = (1 + i) · (1+i)i −1 a udav ´ a, ´ kolik uˇsetˇr´ıme za n – stˇradatel pˇredlhutn´ ˚ ı – je definovan ´ ´ obdob´ı pˇri urokov ´ e´ sazbeˇ i, jestliˇze na poˇcatku kaˇzdeho obdob´ı uloˇz´ıme 1 Kˇc n ´ a, ´ kolik uˇsetˇr´ıme za n obdob´ı pˇri ´ jako sn = (1+i)i −1 a udav – stˇradatel polhutn´ ˚ ı – je definovan ´ urokov ´ e´ sazbeˇ i, jestliˇze na konci kaˇzdeho obdob´ı uloˇz´ıme 1 Kˇc
U ´ a´ v´ysˇ i polhutn´ Umoˇrovatel – udav ˚ ı anuity nutnou k tomu, aby se zaplatil dluh 1 Kˇc za n obdob´ı pˇri i urokov ´ e´ sazbeˇ i. a′n = 1−v n ´ ˇ (z pohledu veˇ ˇ ritele) za poskytnut´ı peneˇ ˇ zn´ı cˇ astky ´ Urok – je odmena a z pohledu dluˇzn´ıka za poskytnut´ı ˇ uv ´ eru ´ ˇ ıslo – je definovano ´ ´ uloˇzeneho ´ ˇ eho ´ Urokov e´ c´ jako souˇcin kapitalu po dobu d dn´ı delen stem. U C = K·d ´ ˇ podle doby vkladu a jeho delky. ´ . Urokove´ cˇ ´ıslo se bude menit 100 ´ ˇ ´ a, ´ za kolik dn´ı cˇ in´ı urok Urokov y´ delitel – udav ´ ze 100 Kˇc 1 Kˇc. U D = 360 . Pokud se v urokovac´ ´ ım p ˇ ı urokov ˇ obdob´ı nezmen´ ´ a´ sazba, potom urokov´ ´ y delitel je konstantou.
127
´r Glosaˇ
128
Rejstˇr´ık
Rejstˇr´ık
,A, akcie, 107, 110 aktiva, 106 finanˇcn´ı, 107 ´ 106 hmotna, anuita, 76, 88, 92 ,D, diskont, 34, 35 matematick´y, 36 obchodn´ı, 35 diskontn´ı faktor, 34 dluhopis, 108 duchod ˚ bezprostˇredn´ı, 76, 77 odloˇzen´y, 76, 80 polhutn´ ˚ ı, 76, 78 pˇredlhutn´ ˚ ı, 76, 77 ˇ cn´y, 82 veˇ ,E, efektivn´ı urokov ´ a´ sazba, 58 Eulerovo cˇ ´ıslo, 59 , , H hodnota budouc´ı, 34 ´ cn´ı, 33 poˇcateˇ ´ 34, 48 souˇcasna, , , K ´ kapital koneˇcn´y, 31 ´ cn´ı, 33 poˇcateˇ kurz akcie, 110 kvocient, 68 , , L limita, 59 ´ ı, 46 logaritmovan´ , , M m´ıra inflace, 60 ,O, obligace, 108 odloˇzen´y duchod, ˚ 80 odloˇzen´y pˇredlhutn´ ˚ ı duchod, ˚ 80 odloˇzen´y polhutn´ ˚ ı duchod, ˚ 81 ,P, pokus, 30 posloupnost ´ 126 aritmeticka, ´ 126 geometricka, ,S, spoˇren´ı ´ 68 dlouhodobe, ´ 71 kombinovane, ´ ´ 64 kratkodob e, stˇradatel polhutn´ ˚ ı, 70 pˇredlhutn´ ˚ ı, 69
130
, , U uˇ ´ cet ˇ zn´y, 96 beˇ uloˇ ´ zka, 64 ´ ı dluhu, 89 umoˇrovan´ umoˇrovatel, 90 uroˇ ´ cen´ı anticipativn´ı, 31 dekurzivn´ı, 31 ´ 33 jednoduche, ´ 44 kombinovane, polh˚utn´ı, 31 ˚ ı, 31, 36 pˇredlhutn´ ´ 42 sloˇzene, uroˇ ´ citel, 33 urok, ´ 30 urokovac´ ´ ı faktor, 33 urokov ´ a´ intenzita, 59 urokov ´ a´ m´ıra efektivn´ı, 58 ´ ı, 60 nominaln´ ´ a, ´ 60 realn urokov ´ a´ sazba, 30, 50 urokov ´ e´ cˇ ´ıslo, 31 ˇ urokov´ ´ y delitel, 32 ˇ 88 uv ´ er, kontokorentn´ı, 100 , , Z ´ zasobitel polh˚utn´ı, 79 pˇredlhutn´ ˚ ı, 78
Literatura
Literatura
[1] Cipra, T.: Finanˇcn´ı matematika v praxi . Edice HZ, Praha 1995 [2] Cipra, T.: Praktick´y pr˚ uvodce finanˇcn´ı a pojistnou matematikou. Edice HZ, Praha 1995 ´ [3] Eichler, B.: Uvod do finanˇcn´ı matematiky. Septima, Praha 1993 ´c ˇek, O.: Finanˇcn´ı a pojistn´a matematika. Prospektrum, Praha [4] Macha 1995 ´, J., Dvor ˇa ´k, P.: Finanˇcn´ı matematika pro kaˇzd´eho. Grada, [5] Radova Praha 1993 ´kalova ´, D.: Finanˇcn´ı a pojistn´a matematika. Montanex, Ostrava– [6] Sme V´ıtkovice 1996 ˇ Praha 1992 [7] Walter, J.: Finanˇcn´ı a pojistn´a matematika. VSE,
132