KONSEP DASAR PROBABILITAS TI2131 TEORI PROBABILITAS MINGGU KE-3 & KE-4
1
Definisi 1
Probabilitas dari sebuah kejadian A adalah jumlah bobot dari tiap titik sampel yang termasuk dalam A. Selanjutnya: 0 < P(A) < 1, P(∅) = 0, dan P(S) = 1 Lebih lanjut, jika A1, A2, A3, … adalah suatu runtunan kejadian-kejadian yang saling bebas, maka: P(A1∩ A2∩ A3) = P(A1) + P(A2) + P(A3) 2
1
Definisi 2
Jika sebuah percobaan dapat menghasilkan N outcome dengan peluang masing-masing sama, dan jika n dari outcome ini berhubungan dengan kejadian A, maka probabilitas terjadinya kejadian A adalah: n P(A) = N Jika A adalah kejadian munculnya lima kartu dengan gambar yang sama pada permainan poker maka berapa probabilitas A? 3
Teorema Aditif
Jika A dan B adalah 2 buah kejadian, maka: P(A ∪B) = P(A) + P(B) - P(A ∩B) Jika A1,A2,…,An bersifat mutually exclusive, maka P(A1∪ A2 ∪ … ∪ An) = P(A1) + P(A2) +… +P(An) Jika A1, A2, … , An adalah partisi dari suatu semesta sampel, maka P(A1∪ A2 ∪ … ∪ An) = P(A1) + P(A2) +… +P(An) = P(S) =1 4
2
Teorema Aditif
Untuk tiga kejadian A, B, dan C, P(A ∪B ∪C) = P(A) + P(B) + P(B) - P(A ∩B) P(A ∩ C) - P(B ∩C) + - P(A ∩B∩C) Probabilitas Badu harus menjalani operasi katup jantung adalah 0,8 dan probabilitas Badu harus menjalani operasi pelebaran pembuluh darah 0,6 serta probabilitas Badu harus menjalani keduanya adalah 0,5. Berapa probabilitas Badu harus menjalani minimal salah satu operasi di atas? 5
Teorema Aditif
Jika A dan A* merupakan dua kejadian yang bersifat saling komplemen, maka: P(A) + P(A*) = 1
6
3
Definisi Probabilitas Bersyarat
Probabilitas terjadinya kejadian B ketika telah diketahui bahwa kejadian A terjadi disebut dengan probabilitas bersyarat kejadian B atas kejadian A, disimbolkan dengan P(B|A). P(B|A) ini didefinisikan sebagai:
P(B|A) =
P (A ∩ B ) ,jika P(A) > 0 P ( A) 7
Contoh: Probabilitas Bersyarat
Diberikan data sampel pemakaian merk shampo sebagai berikut:
Laki-laki Wanita Total
Sunsilk 150 400 550
Clear 250 200 450
Total 400 600 1000
Jika diketahui seseorang tersebut adalah lakilaki, maka berapa probabilitas ia memakai shampo sunsilk? 8
4
Definisi: Kejadian Independen
Dua kejadian A dan B adalah independen jika dan hanya jika P(B|A) = P(B) atau P(A|B) = P(A) Kejadian munculnya jenis gambar pada 2 pengambilan kartu adalah independen jika pada pengambilan pertama dilakukan pengembalian dan tidak indenpenden jika pada pengambilan pertama tidak dilakukan pengembalian.
9
Definisi: Kejadian Independen
Misal A adalah kejadian munculnya gambar spade pada pengambilan pertama dan B adalah kejadian munculnya gambar spade pada pengambilan kedua. P(A) = P(B) = 0,25. Jika dilakukan pengembalian, maka P(B|A) = P(B) = 0,25. Jika tidak dilakukan pengembalian maka P(B|A) = 12/51
10
5
Teorema: Aturan Multiplikatif
Jika dalam suatu percobaan kejadian A dan B keduanya dapat terjadi bersamaan, maka P(A∩B) = P(A) P(B|A) Contoh: Terdapat dua buah kantong berisikan bola biru dan merah. Kantong pertama terdiri atas 3 bola merah dan 3 bola biru. Pada kantong kedua terdapat 2 bola merah dan 1 bola biru. Jika diambil satu bola dari kantong pertama secara acak dan tanpa melihat warnanya lalu bola tersebut dimasukkan ke dalam kantong kedua, berapa probabilitas jika diambil satu bola acak dari kantong kedua, warna bola ini adalah biru? 11
Teorema
Dua kejadian A dan B adalah independen (saling bebas) jika dan hanya jika: P(A∩B) = P(A) P(B) Jika, dalam sebuah percobaan, kejadian A1, A2, …, Ak dapat terjadi, maka P(A1∩A2 ∩ … ∩ Ak) = P(A1) P(A2|A1) P(A3|A1∩ A2)… P(Ak| A1∩ A2∩ …∩ Ak-1) Jika kejadian A1, A2, A3, …, Ak saling bebas, maka. P(A1∩ A2 ∩ A3 ∩ … ∩ Ak) = P(A1) P(A2) P(A3)…P(Ak) 12
6
Contoh: Sebuah koin tidak seimbang sehingga probabilitas munculnya angka adalah dua kali lebih besar dari probabilitas munculnya gambar. Dari 3 kali pelemparan, berapa probabilitas munculnya 2 gambar?
13
Theorem of Total Probability
Jika kejadian-kejadian B1, B2, …, Bk membentuk partisi bagi semesta sampel S sedemikian hingga P(Bi) ≠ 0 untuk i = 1, 2, …, k, maka untuk tiap kejadian A dari S,
P(A) =
k
k
=1
=1
P (B i ∩ A) = ∑ P (B i )P ( A |B i ) ∑ i i
14
7
Aturan Bayes
Jika kejadian-kejadian B1, B2, …, Bk membentuk partisi bagi semesta sampel S sedemikian hingga P(Bi) ≠ 0 untuk i = 1, 2, …, k, maka untuk tiap kejadian A dalam S yang memenuhi P(A) ≠ 0, P (B r ∩ A)
P(Br|A) =
k
∑ P (B i ∩ A) i =1
=
P (B r )P ( A | B r ) k
P (B i )P ( A |B i ) ∑ i =1
untuk r = 1, 2, …, k 15
Contoh Pemakaian Aturan Bayes
Suatu perusahaan memiliki 3 buah pabrik B1, B2, dan B3 yang masing-masing memasok sebanyak 30%, 25%, dan 45% kebutuhan perusahaan. Dari data masa lalu diketahui tingkat cacat produk yang dihasilkan masing-masing pabrik berturut-turut adalah 2%, 3%, dan 2%. Jika diambil sebuah produk jadi di kantor perusahaan, berapa probabilitas produk tersebut adalah cacat? Jika produk yang diambil adalah cacat, berapa probabilitas produk tersebut berasal dari pabrik B2? 16
8
