INTEGRAL TERTENTU
Definisi: Partisi P pada interval [a,b] adalah suatu subset berhingga P = {x0, x1, x2, …, xn} dari [a,b] dengan a = x0 < x1 < x2 < … < xn = b. Jika P = {x0, x1, x2, …, xn} partisi pada [a,b] maka Norm P, ditulis P , didefinisikan sebagai P = max{xi – xi-1⏐1 = 1, 2, 3, …, n}.
x1
a = x0
x2
…
xn = b.
Contoh: Pada interval [–3, 3], suatu partisi P = {–3, – 1 12 , – 12 ,
1 3
, 2, 3}mempunyai norm:
P = max{– 1 12 – (–3), – 12 – (– 1 12 ), 13 – (– 12 ), 2 – 13 , 3 – 2}
= max{ 32 , 1, =
5 3
5 6
,
5 3
, 1}
.
Jika f fungsi yang didefinisikan pada [a,b], P = {x0, x1, x2, …, xn} suatu partisi pada [a,b], wi ∈ [xi-1, xi], dan Δxi = xi – xi-1, maka
n
∑ f ( w )Δx i =1
i
i
disebut Jumlah Riemann f pada
[a,b].
y = f(x)
w1 x0 = a
w2 x1
w3 x2
w4 x3
wi x4
xi-1
xi
wn xn-1
b = xn-1
18
Contoh:
Fungsi f pada [–3, 3] didefinisikan dengan f(x) = x2 – 1 dan P = {–3, – 1 12 , – 12 ,
1 3
, 2, 3}
partisi pada [–3, 3]. Dipilih titik-titik: w1 = –2, w2 = – 12 , w3 = 0, w4 = 1 12 , w5 = 2 23 . w1 = –2
⎯→
f(w1) = 3
Δx1 =
3 2
⎯→
f(w1).Δx1 =
w2 = – 12
⎯→
f(w2) = – 34
Δx2 = 1
⎯→
f(w2).Δx2 = – 34
w3 = 0
⎯→
f(w3) = –1
Δx3 =
5 6
⎯→
f(w3).Δx3 = – 56
w4 = 1 12
⎯→
f(w4) =
5 4
Δx4 =
5 3
⎯→
f(w4).Δx4 =
25 12
w5 = 2 23
⎯→
f(w5) =
55 9
Δx5 = 1
⎯→
f(w5).Δx5 =
55 9
9 2
Jumlah Riemann fungsi f tersebut pada interval [–3, 3] bersesuaian dengan partisi P di atas 5 100 adalah ∑ f ( wi )Δxi = . 9 i =1
Jika P = {–3, – 1 12 , –1, – 12 , 13 , 2, 2 12 , 3} partisi pada [–3, 3] dan w1 = –2, w2 = –1, w3 = – 12 , w4 = 0, w5 = 1 12 , w6 = 2 13 , serta w7 = 2 34 tentukan jumlah Riemann fungsi f pada [–3, 3] bersesuaian dengan partisi P ini.
Definisi: n
1. Jika f fungsi yang terdefinisi pada [a,b] maka: lim
P →0
∑ f (w )Δx i
i =1
i
= L jika dan hanya jika
untuk setiap bilangan positif ε terdapat bilangan positif δ sehingga untuk setiap partisi P = {x0, x1, x2, …, xn} pada [a,b] dengan P < δ, berlaku
n
∑ f (w )Δx i
i =1
i
− L < ε.
n
2. Jika f fungsi yang terdefinisi pada [a,b] dan lim
P →0
∑ f (w )Δx i =1
i
i
ini ada, maka limit tersebut
dinamakan integral tertentu (Integral Riemann) fungsi f pada [a,b]. Selanjutnya f b
dikatakan integrable pada [a,b] dan integralnya ditulis
∫ f ( x)dx . a
b
Jadi
∫ f ( x)dx a
n
= lim
P →0
∑ f (w )Δx i =1
i
i
19
a
b
b
a
3. Jika f integrable pada [a,b] maka: a. ∫ f ( x)dx = – ∫ f ( x)dx b
b. Jika a = b maka
∫ a
a
f ( x)dx =
∫ f ( x)dx
=0
a
Contoh 1: 3
Jika f(x) = x + 3, tentukan
∫ ( x + 3) dx .
−2
Penyelesaian:
Buat partisi pada [–2, 3] dengan menggunakan n interval bagian yang sama panjang. Jadi panjang 5 setiap interval bagian adalah Δx = . n Dalam setiap interval bagian [xi-1,xi] partisi tersebut diambil wi = xi.
3
n
Akan dicari nilai lim
P →0
∑ f (w )Δx i =1
i
i
.
-3 -2 -1 0
1
2
3
x0 = –2 x1 = –2 + Δx
= –2 +
5 n
5 x2 = –2 + 2Δx = –2 + 2( ) n 5 x3 = –2 + 3Δx = –2 + 3( ) n . : 5 xi = –2 + i.Δx = –2 + i( ) n . : 5 xn = –2 + n.Δx = –2 + n( ) = 3 n
5 5i Karena untuk setiap i = 1, 2, 3, …, n dipilih wi = xi maka wi = –2 + i( )= –2 + , n n sehingga
20
f(wi) = wi + 3 = (–2 +
5i )+3 n
5i n Jadi jumlah Riemann fungsi f pada [–2, 3] bersesuaian dengan partisi P tersebut adalah =1+
n
∑ i =1
n
⎛
5i ⎞ 5
f ( wi )Δxi =
∑ ⎜⎝1 + n ⎟⎠ n
=
5 n ⎛ 5i ⎞ ∑ ⎜1 + n ⎟⎠ n i =1 ⎝
i =1
5 n 5 n 5i = ∑1 + ∑ n i =1 n i =1 n =
5 n 25 n 1 + 2 ∑i ∑ n i =1 n i =1
=
5 25 (n) + 2 { 12 n(n + 1)} n n
=5+
25 ⎛ 1 ⎞ ⎜1 + ⎟ 2 ⎝ n⎠
Jika P → 0 maka n → ∞, sehingga: n
lim
P →0
∑ f (w )Δx i
i =1
i
⎛ 25 ⎛ 1 ⎞ ⎞ = lim⎜⎜ 5 + ⎜1 + ⎟ ⎟⎟ n→∞ 2 ⎝ n ⎠⎠ ⎝ 1 = 17 2
3
Jadi
∫ ( x + 3) dx = 17
1 2
.
−2
Contoh 2: b
Tentukan ∫ dx . a
Penyelesaian: Dalam hal ini f(x) = 1 untuk setiap x ∈ [a,b]. Ambil sembarang partisi P = {x0, x1, x2, …, xn} pada [a,b] dan sembarang titik wi ∈ [xi-1, xi], i = 1, 2, 3, …, n, maka n
∑ i =1
f ( wi )Δxi
n
=
∑1.Δx i =1
i
dan Δxi = xi – xi-1
21
n
∑ (x
=
i =1
− xi −1 )
i
= (x1 – x0) + (x2 – x1) + (x3 – x2) + … + (xn – xn-1) = x n – x0 =b–a n
Jadi lim
P →0
∑ f (w )Δx i
i =1
i
= lim (b − a) = b – a P →0
b
Dengan demikian ∫ dx = b – a. a
Teorema: b
Jika f integrable pada [a,b] dan c ∈ (a,b) maka
∫
c
f ( x)dx =
a
∫
b
f ( x)dx +
a
∫ f ( x)dx c
Teorema (Teorema Fundamental Kalkulus)
Jika f integrable pada [a,b] dan F suatu anti turunan dari f pada [a,b] b
(atau F’(x) = f(x) untuk setiap x ∈ [a,b]), maka :
∫ f ( x)dx
= F(b) – F(a)
a
F(b) – F(a) biasa ditulis [F ( x)]a b
Bukti: Ambil sembarang partisi P = {x0, x1, x2, …, xn} pada [a,b]. Karena F’(x) = f(x) untuk setiap x ∈ [a,b] maka F’(x) = f(x) untuk setiap x ∈ [xi-1, xi], i = 1, 2, 3, …, n. Berdasarkan teorema nilai rata-rata maka terdapat wi ∈ [xi-1, xi] sehingga F(xi) – F (xi-1) = F’(wi) (xi – xi-1) = f(wi) (xi – xi-1)
i = 1, 2, 3, …, n
Diperoleh: n
∑ i =1
f ( wi )Δxi
n
=
∑ f (w )( x i =1
i
i
− xi −1 )
n
=
∑ {F ( x ) − F ( x i =1
i
i −1
)}
= {F(x1) – F(x0)} + {F(x2) – F(x1)} + {F(x3) – F(x2)} + … + {F(xn) – F(xn-1)} = F(xn) – F(x0) 22
= F(b) – F(a) n
lim
P →0
∑ f (w )Δx i
i =1
= lim {F (b) − F (a)} = F(b) – F(a).
i
P →0
b
Jadi
∫ f ( x)dx
= F(b) – F(a)
a
Contoh:
∫ ( x + 3) dx = [ 3
1 2
x 2 + 3x
]
3 −2
= { 12 (3) 2 + 3(3)} − { 12 (−2) 2 + 3(−2)} = 17 12 .
−2
Soal:
Tentukan integral berikut. 1
1.
∫ x dx 3
−1
π
2.
∫ sin x dx
−π
Sifat-sifat: b
b
a
a
1. ∫ kf ( x) dx = k ∫ f ( x) dx
k konstanta
b
b
b
a
a
a
2. ∫ { f ( x) + g ( x)} dx = ∫ f ( x) dx + ∫ g ( x) dx b
3. Jika f(x) ≥ 0 untuk setiap x ∈ [a,b] maka
∫ f ( x)dx
≥ 0.
a
4. Jika f(x) ≤ g(x) untuk setiap x ∈ [a,b] maka
b
b
a
a
∫ f ( x)dx ≤ ∫ g ( x)dx
23
INTEGRAL TAK WAJAR (Ipmroper Integral) b
∫ f ( x)dx
dengan interval [a,b] tak terbatas atau f diskontinu di x ∈ [a,b] dan menjadi infinit
a
di titik itu.
Definisi:
Integral Tak Wajar (macam I) dimaksudkan sebagai: ∞
1.
∫ f ( x) dx
dengan f(x) terdefinisi untuk setiap x ≥ a dan integrable pada interval terbatas
a
∞
[a,t] didefinisikan dengan
t
∫ f ( x) dx = lim ∫ f ( x) dx jika limit ini ada. t →∞
a
a
dan b
2.
∫ f ( x) dx
dengan f(x) terdefinisi untuk setiap x ≤ b dan integrable pada interval terbatas
−∞
b
[t,b] didefinisikan dengan
∫
−∞
∞
Contoh: 1.
dx ∫1 x 2
t → −∞
t
∞
2. ∫ e − x dx
∞
3.
∫e
2
∞
0
5.
−x ∫ xe dx 0
1
−2
dx 4. ∫ 5 −∞ x
b
f ( x) dx = lim ∫ f ( x) dx jika limit ini ada.
3x
dx
6.
−∞
∫ 5
dx x
Definisi:
Integral Tak Wajar (macam II) dimaksudkan sebagai: b
1.
∫ f ( x) dx
dengan f(x) integrable pada [a,t] untk setiap t ∈ (a,b) tetapi tidak integrable
a
b
pada [a,b], didefinisikan dengan
t
∫ f ( x) dx = lim ∫ f ( x) dx jika limit ini ada. a
t →b −
a
dan
24
b
2.
∫ f ( x) dx
dengan f(x) integrable pada [t,b] untk setiap t ∈ (a,b) tetapi tidak integrable
a
b
pada [a,b], didefinisikan dengan
∫ a
b
f ( x) dx = lim+ ∫ f ( x) dx jika limit ini ada. t →a
t
Contoh: 1
1.
∫ 0
0
2.
∫
−1
dx 1− x2 dx 1− x2
t
dx
= lim− ∫ t →1
1− x2
0
0
= lim+ ∫ t → −1
t
dx 1− x2
tak wajar di batas atas 1.
tak wajar di batas bawah -1.
Dalam integral tak wajar, jika nilai integralnya ada maka dikatakan integral tersebut konvergen, dan jika tidak ada, maka dikatakan divergen.
25
