Inhoud 2 Inleiding 6 Hoofdstuk 1 Wiskundeonderwijs: ontwikkelingsdoelen en eindtermen 7. Hoofdstuk 3 Rekenmethoden in Vlaanderen 30

Versie 06/2007

Inhoud Inhoud 2 Inleiding 6 Hoofdstuk 1 Wiskundeonderwijs: ontwikkelingsdoelen en eindtermen 7 1. Inleidend................................................................................................................................. 7 2. Ontwikkelingsdoelen en eindtermen ‘wiskunde’................................................................... 8 2.1 Ontwikkelingsdoelen: ‘Wiskundige initiatie’ ............................................................. 8 2.2 Eindtermen ‘wiskunde’ in de lagere school .............................................................. 11 3. Als de eindtermen geen haalbare kaart zijn… ..................................................................... 18 3.1 Overzicht van de noodzakelijk te behalen eindtermen.............................................. 18 4. Besluit................................................................................................................................... 23 5. Bibliografie........................................................................................................................... 24

Hoofdstuk 2

Wiskundeonderwijs: visies

25

1. Inleidend............................................................................................................................... 25 2. Vergelijking visies................................................................................................................ 25 2.1 Mechanistische visie ................................................................................................. 25 2.2 Structuralistische visie............................................................................................... 26 2.3 Realistische visie ....................................................................................................... 26 3. Kritiek op realistisch wiskundeonderwijs ............................................................................ 27 4. Het functioneel wiskundeonderwijs ..................................................................................... 27 5. Besluit................................................................................................................................... 28 6. Bibliografie........................................................................................................................... 29

Hoofdstuk 3

Rekenmethoden in Vlaanderen

30

1. Inleidend............................................................................................................................... 30 2. Overzicht rekenmethoden .................................................................................................... 31 2.1 Algemene indeling .................................................................................................... 31 2.2 Vergelijking van de methoden .................................................................................. 31 2.2.1 Algemene criteria ................................................................................................ 31 2.2.2 Onderdelen van de leerstof.................................................................................. 35 3. Besluit................................................................................................................................... 38

Syllabus Rekenen (2007) -p.2-

Hoofdstuk 4

Omgaan met rekenproblemen

39

1. Inleidend............................................................................................................................... 39

Luik 1

Eerstelijnszorg: aanpassen onderwijsleersituatie door leerkracht / schoolteam 40

1. Inleidend............................................................................................................................... 40 2. De rekenontwikkeling .......................................................................................................... 40 2.1 Het belang van voorbereidende vaardigheden .......................................................... 40 2.2 Fasen in opbouw van rekenkennis ............................................................................ 40 2.2.1 Inzicht................................................................................................................. 41 2.2.2 Memoriseren en automatiseren ........................................................................... 41 2.2.3 Functioneel rekenen en toepassingen.................................................................. 43 2.3 Aandachtspunten bij het onderwijzen ....................................................................... 44 2.3.1 Effectieve instructie............................................................................................. 45 2.3.2 De doorgaande lijn (cumulatieve opbouw) ......................................................... 46 2.3.3 Minimale belasting van het werkgeheugen ......................................................... 47 2.3.4 Sober materiaal.................................................................................................... 48 2.3.4 Ruime toepasbaarheid van de aangeleerde kennis en vaardigheden................... 50 2.4 Hoe komen leerlingen tot automatisering van de basisvaardigheden? ..................... 52 2.4.1 Isoleren ................................................................................................................ 52 2.4.2 Integreren ............................................................................................................ 57 2.4.3 Generaliseren....................................................................................................... 58 3. Enkelvoudig handelingsplan .................................................................................... 58 4. Besluit................................................................................................................................... 60 5. Bibliografie........................................................................................................................... 60

Luik 2

Eerstelijnszorg: consultatieve leerlingbegeleiding

61

1. Inleidend............................................................................................................................... 61 2. Het begeleidingstraject......................................................................................................... 62 2.1 Introductiefase........................................................................................................... 63 2.2 Probleemidentificatiefase .......................................................................................... 63 2.3 Probleemanalysefase ................................................................................................. 64 2.4 Opstellen en uitvoeren van interventies .................................................................... 64 2.5 Evaluatiefase ............................................................................................................. 64 3. Gespreksfiches en vragenlijst............................................................................................... 64 3.1 INTRODUCTIE ........................................................................................................ 65 3.2 PROBLEEMIDENTIFICATIE................................................................................. 66 3.2.1 Gespreksfiche ...................................................................................................... 66 3.2.2 Vragenlijst ‘Leerkrachtenbevraging bij aanmelding van rekenproblemen’........ 69 3.2.3 Diagnostisch gesprek........................................................................................... 81 Syllabus Rekenen (2007) -p.3-

3.3 PROBLEEMANALYSE........................................................................................... 87 3.3.1 Gespreksfiche ...................................................................................................... 87 3.4 KIEZEN INTERVENTIE EN OPSTELLEN EVALUATIECRITERIA ................. 92 3.4.1 Gespreksfiche ...................................................................................................... 92 3.4.2 Meervoudig handelingsplan .............................................................................. 966 3.4.3 Differentiëren en remediëren .......................................................................... 1011 3.4.4. Aandachtspunten ............................................................................................ 1066 3.5 EVALUATIE ........................................................................................................ 1100 3.5.1 Gespreksfiche .................................................................................................. 1100

Luik 3

Tweedelijnszorg: Diagnostisch onderzoek 1122

1. Inleidend........................................................................................................................... 1122 2. Het CLB-onderzoek ......................................................................................................... 1122 2.1 Mathematische competenties die nodig zijn voor het rekenen ............................. 1133 2.2 Basisvaardigheden bij het hoofdrekenen en de mate van automatisatie .............. 1155 2.3 Verder onderzoek i.v.m. de onderdelen die uitvallen op LVS of toetsen ............. 1177 3. De diagnose ‘Dyscalculie’ ............................................................................................... 1188 3.1 Wat is dyscalculie?.............................................................................................. 11919 3.1.1 Definitie......................................................................................................... 11919 3.1.2 Aanwijzingen dat dyscalculie een leerstoornis is.......................................... 11919 3.1.3 Dyscalculie wordt internationaal als een stoornis erkend ............................... 1200 3.1.4 Prevalentie en comorbiditeit............................................................................ 1200 3.2 Welke problemen ondervinden leerlingen met dyscalculie?................................. 1211 3.3. Verschillende soorten van diagnostiek................................................................. 1222 3.3.1 Onderkennende diagnose ................................................................................ 1233 3.3.2 Verklarende diagnose ...................................................................................... 1277 3.3.3 Indicerende, handelingsgerichte diagnose..................................................... 12727 3.3.4 Attestering ..................................................................................................... 12828 3.3.5 Gemotiveerd verslag ..................................................................................... 13030 4. Bespreking van de resultaten en afspraken i.f.v. het verder handelen op school............. 1322 5. Onderwijs aan leerlingen met dyscalculie........................................................................ 1322 5.1 Stimulerende maatregelen ....................................................................................... 133 5.1.1 Voorbeelden van stimulerende maatregelen ..................................................... 133 5.2 Remediërende maatregelen ..................................................................................... 134 5.2.1 Voorbeelden van remediërende maatregelen .................................................... 134 5.3 Compenserende maatregelen................................................................................... 135 5.3.1 Voorbeelden van compenserende maatregelen (tijdens de rekenles)................ 135 5.3.2 Voorbeelden van compenserende maatregelen (tijdens toesen/examens) ........ 136 Syllabus Rekenen (2007) -p.4-

5.4 Dispenserende maatregelen..................................................................................... 137 5.4.1 Voorbeelden van dispenserende maatregelen ................................................... 138 5.5 Belangrijke opmerkingen ........................................................................................ 138 5.6 Afsprakencontract ................................................................................................... 139 6.Besluit................................................................................................................................ 1400 7. Bibliografie..................................................................................................................... 14141

Bijlage 1: Een stappenplan bij het inoefenen van de tafels: 14743 1. Stappen bij het inoefenen van de tafels ............................................................................ 1433 1.1 Niet enkel de tafelgetallen..................................................................................... 1433 1.2 De 9 stappen bij het inoefenen van de tafels ......................................................... 1433 1.3 Herhalen van de tafels, die reeds aangeleerd zijn ................................................. 1466 2. Besluit .......................................................................................................................... 1466

Bijlage 2: Leerlingvolgsystemen in Vlaanderen: een vergelijking 1477 1. Algemeen ......................................................................................................................... 1477 2. Bepaalde leerlingvolgsystemen........................................................................................ 1477 2.1 Kinderstappen (Wolters-Plantyn).......................................................................... 1477 2.2 Leerlingvolgsysteem Rekenen-Wiskunde (Cito) ................................................ 14949 2.3 LVS-VCLB (Garant)............................................................................................. 1511 3. Bibliografie..................................................................................................................... 15454


Inleiding De interesse voor leerstoornissen is de laatste jaren duidelijk toegenomen. Er verschijnt heel wat literatuur over dit onderwerp en in het onderwijs, zowel in het lager als in het secundair, wordt er veel aandacht aan besteed. Deze aandacht voor leerstoornissen is zeker niet overbodig. Leerstoornissen hebben immers niet alleen een invloed op het schoolse leren, maar ook op de sociaal-emotionele ontwikkeling van de leerling. Wanneer er over leerstoornissen gesproken wordt, denkt men vaak spontaan aan ‘dyslexie’. Echter, ook op vlak van rekenen kunnen leerlingen een leerstoornis ontwikkelen. Desgevallend spreekt men van ‘dyscalculie’. Wat houdt dit fenomeen precies in? Hoe komen we tot de diagnose ´dyscalculie´ en op welke wijze dienen scholen/leerkrachten ermee om te gaan? Deze syllabus omvat een literatuurstudie en biedt concrete antwoorden op bovenvernoemde vragen. Het accent ligt hierbij echter niet op de diagnostiek van dyscalculie. Vanuit het Zorgproject Limburg wensen we de nadruk te leggen op de onderwijskundige aspecten. We kiezen er dan ook voor, in de opbouw van syllabus, te vertrekken vanuit het onderwijs. Zo omvat het eerste hoofdstuk een korte uiteenzetting over de ontwikkelingsdoelen en eindtermen ‘wiskunde’. Het tweede hoofdstuk biedt een informatief overzicht van de verschillende visies op het wiskundeonderwijs en geeft aan welke leerrijke lessen we hieruit kunnen trekken voor de invulling van onze rekenlessen. In het derde hoofdstuk komen de meest gebruikte rekenmethoden, in Vlaanderen, aan bod. Tot slot beschrijft het laatste en vierde hoofdstuk heel uitgebreid hoe we met rekenproblemen dienen om te gaan. Hierbij wordt uitvoerig aandacht besteed aan de inbreng van de leerkracht bij de aanpak van rekenproblemen: Hoe kan het rekenprobleem geanalyseerd worden? Welke didactische aanpassingen kan men doorvoeren? Welke ondersteuning kan het CLB hierbij bieden? Hoe dient een begeleidingstraject, vanuit het CLB en in samenwerking met de school, eruit te zien? … In de syllabus worden ook hulpmiddelen aangeboden ter ondersteuning van het begeleidingsproces, vanuit het CLB. Zo zijn er gespreksfiches en een vragenlijst opgemaakt, die aangewend kunnen worden bij het verzamelen van de nodige informatie omtrent een vastgesteld rekenprobleem.


Hoofdstuk 1

Wiskundeonderwijs:

ontwikkelingsdoelen

en

eindtermen

1. Inleidend De Vlaamse overheid legt, m.b.t. de verschillende schoolse vakgebieden, minimumdoelen vast

voor

zowel

het

basis-

als

het

secundair

onderwijs.

Men

spreekt

over

‘ontwikkelingsdoelen’ in de kleuterschool en over ‘eindtermen’ in de lagere en secundaire school. De minimumdoelen worden eenvormig voor alle scholen van alle inrichtende machten geformuleerd en hebben betrekking op kennis, inzicht, vaardigheden en attitudes, die

noodzakelijk

worden

geacht

binnen

het

huidig

onderwijs

(http://www.onderwijs.vlaanderen.be/dvo/publicaties/zoveel_ga_ik_leren/inhoud.htm). Ontwikkelingsdoelen en eindtermen zijn een initiatief om een minimumkwaliteit te bieden. Ze geven een waarborg dat leerlingen op school de nodige vorming krijgen. Met deze minimumdoelen als maatstaf kan de overheid, via de onderwijsinspectie, nagaan of een school de nodige inspanningen levert om aan deze doelen tegemoet te komen. De doelen hebben m.a.w. betrekking op de inhoud van het onderwijs. Ze zullen duidelijk aanwezig zijn in de leerplannen en -boeken, die scholen gebruiken. Ze geven aan wat leerlingen minimaal moeten kennen en kunnen op het einde van respectievelijk het kleuter-, lager en secundair onderwijs, maar geven niet aan hoe dit dient te gebeuren. De scholen zijn hierin volledig vrij. Op

deze

manier

ontstaat

er

ruimte

voor

verscheidenheid

in

aanpak

(http://www.onderwijs.vlaanderen.be/dvo/publicaties/zoveel_ga_ik_leren/inhoud.htm). In wat volgt, worden vooreerst de ontwikkelingsdoelen en eindtermen voor het wiskundeonderwijs, in de basisschool, nader bekeken: ‘Wat moeten leerlingen minimaal beheersen bij het verlaten van de basisschool?’. Vervolgens wordt aangegeven wat we, bij de overgang naar het secundair onderwijs, mogen verwachten van leerlingen, die de eindtermen van het basisonderwijs niet behaald hebben.


2. Ontwikkelingsdoelen en eindtermen ‘wiskunde’ “Wiskunde kennen, is wiskunde doen”. Volgens dit basisprincipe zijn de ontwikkelingsdoelen en eindtermen voor wiskunde geformuleerd. Het basisprincipe is gebaseerd op de bevinding dat kinderen dagdagelijks wiskundig bezig zijn: ze spelen winkeltje, tellen de dagen af vóór Sinterklaas, verdelen snoepjes, enz.. Deze levensechte situaties zetten kinderen aan actief en zelfontdekkend wiskundige basisvaardigheden te verwerven. Deze situaties vormen zodoende

belangrijke

uitgangspunten

binnen

het

wiskundeonderwijs

om

kinderen

wiskundige ervaringen te laten opdoen.

2.1 Ontwikkelingsdoelen: ‘Wiskundige initiatie’

Het “wiskundeonderwijs” in de kleuterschool omvat een eerste speelse kennismaking, een "wiskundige initiatie” (http://www.onderwijs.vlaanderen.be/dvo/basisonderwijs/kleuter/ontwikkelingsdoelen/wiskun de.htm). In de kleuterschool wordt de wiskundige ontwikkeling gestimuleerd. Dit wordt, in eerste instantie, bekomen door kleuters de kans te geven binnen een 'stimulerende' omgeving wiskundig actief te zijn. Dit betekent dat ze met verscheidene materialen en in verschillende situaties ervaringen kunnen opdoen met tellen, ordenen, vergelijken, meten, ruimte en tijd, construeren van dingen, enz.. Denk bijvoorbeeld aan kleuters, die in een zandbak een kasteel maken. Met het zand gaan ze exploreren: grachten graven, hopen maken, grote en kleine torens bouwen, enz.. Kortom, de kinderen handelen, voeren uit, proberen en krijgen besef van materialen, stoffen, gewicht, hoogte, grootte, aantallen.... Tijdens dergelijke activiteiten zijn kleuters vaak verbaal georiënteerd: ze verwoorden de eigen activiteiten en handelingen. Zo wordt niet alleen de begripsvorming gestimuleerd, maar bouwen ze ook kleine redeneringen op, die in de wiskundige ontwikkeling van groot belang zijn. Soms is het voor een aantal kinderen nodig deze 'commentaarmomenten' uit te lokken door vragen te stellen of hen hun activiteit te laten verklaren, omdat zij daar uit zichzelf niet toe komen. Zo bouwen kleuters stilaan 'wiskundige ervaringen' op.


Hieronder volgt een opsomming van de ontwikkelingsdoelen ‘wiskunde’ in de kleuterschool:

Wiskundige initiatie - getallen De kleuters kunnen 1. handelend en verwoordend de ene concrete hoeveelheid dingen vergelijken met een andere hoeveelheid dingen. Bij het verwoorden gebruiken zij daarbij de passende hoeveelheidbegrippen (evenveel/niet evenveel dingen, veel/weinig dingen, te veel/te weinig dingen, dingen over/dingen te kort, meer/minder dingen, meest/minst dingen). 2. met aanwijzing vijf dingen correct (simultaan) tellen en daarna zeggen hoeveel dingen er geteld zijn (resultatief). 3. een rangorde (tot vijfde) aanduiden en verwoorden (ordinaal tellen) als begin en richting zijn afgesproken. 4. in concrete situaties rekenhandelingen uitvoeren met betrekking tot aantal en hoeveelheid. Zij kunnen deze handelingen verwoorden door de gepaste begrippen te hanteren

(evenveel

maken,

bijdoen,

wegdoen,

samentellen,

vermeerderen,

verminderen, verdelen). 5. door handelend en verwoordend te vergelijken, aangeven dat er een bepaalde hoeveelheid dingen dezelfde blijft, hoe ze ook geplaatst of geordend zijn in de ruimte.

Wiskundige initiatie – meten De kleuters kunnen 1. handelend en verwoordend twee dingen op hun kwalitatieve eigenschap vergelijken. 2. dingen kwalitatief vergelijken en samenbrengen op basis van één of twee gemeenschappelijke kenmerken. 3. dingen rangschikken volgens de toenemende of afnemende mate van een welbepaald kwalitatief kenmerk. 4. in concrete situaties handelingen uitvoeren met vormen, grootheden en figuren, in functie van een kwalitatief kenmerk. Syllabus Rekenen (2007) -p.9-

5. handelend en verwoordend, aangeven dat een bepaalde grootheid (lengte, inhoud, volume, gewicht, oppervlakte) van een ding dezelfde blijft, hoe dit ook geplaatst of geordend is in de ruimte. 6. bij benadering een voorwerp "meten" met een zelfgekozen maateenheid. 7. verandering, beweging, (snelheid) die ze met hun eigen lichaam ervaren of die ze bij voorwerpen, verschijnselen of bij andere mensen waarnemen, verwoorden. 8. bij vergelijking van twee voor hen bekende activiteiten en bij voldoende duidelijke verschillen, verwoorden welke activiteit het langst en welke het kortst duurt. 9. Aan de hand van een kalender de dagen aftellen tussen het nu en een speciale gebeurtenis waarvan de dag is aangegeven binnen de periode van een week.

Wiskundige initiatie ruimte (initiatie op meetkunde) De kleuters kunnen 1. handelend, in concrete situaties de begrippen "in, op, boven, onder, naast, voor, achter, eerste, laatste, tussen, schuin, op elkaar, ver weg, dicht bij, binnen, buiten, omhoog en omlaag" in hun juiste betekenis gebruiken. Zij kunnen pictogrammen in verband met "richtingen" als symbolen hanteren. 2. vanuit verschillende gezichtspunten die ze zelf concreet innemen, verwoorden hoe eenzelfde voorwerp, gebouw of persoon er telkens anders uitziet. 3. in een concrete situatie oplossingen vinden voor een ruimtelijk probleem. 4. vanuit een patroon een rij of een reeks dingen verder zetten. In het patroon kunnen aantallen

(beperkt

tot

5)

en/of kwalitatieve

gemeenschappelijke) voorkomen.


kenmerken

(beperkt

tot

twee

2.2 Eindtermen ‘wiskunde’ in de lagere school Het wiskundeonderwijs, in de lagere school, is erop gericht leerlingen kennis, inzicht, vaardigheden en attitudes bij te brengen. Deze doelstellingen kunnen als volgt kort samengevat worden (http://www.onderwijs.vlaanderen.be/dvo/basisonderwijs/lager/eindtermen/wiskunde.htm) : De leerlingen kunnen: -

fundamentele wiskundige inzichten, kenniselementen en vaardigheden (symbolen, termen, begrippen, procedures, ...) verwerven, die nodig zijn om adequaat te functioneren in het maatschappelijk leven en/of die een noodzakelijke basis vormen voor de verdere studieloopbaan;

-

wiskundige kennis, inzichten en vaardigheden toepassen in zinvolle concrete situaties, maar ook in andere leergebieden en buiten de school;

-

wiskundetaal begrijpen, zowel in de wiskundelessen als daarbuiten;

-

een onderzoeksgerichte houding ontwikkelen, die kan helpen bij het opsporen en het onderzoeken van allerlei wiskundige verbanden, patronen en structuren;

-

waardevolle zoekstrategieën hanteren om wiskundige problemen op te lossen;

-

eigen

wiskundige

denk-

en

leerprocessen

sturen

en

hierover

reflecteren

(metacognitie); -

een adequate, constructief, kritische houding ontwikkelen tegenover wiskunde in het algemeen;

-

een positieve houding ontwikkelen tegenover wiskunde, als leergebied, op school.

Hieronder volgt een opsomming van de eindtermen ‘wiskunde’ in de lagere school:

Wiskunde – Getallen

Begripsvorming-wiskundetaal-feitenkennis De leerlingen 1. kunnen tellen en terugtellen met eenheden, tweetallen, vijftallen en machten van tien. 2. kunnen de verschillende functies van natuurlijke getallen herkennen en verwoorden.


3. kennen de betekenis van: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen, veelvoud, deler, gemeenschappelijke deler, grootste gemeenschappelijke deler, kleinste gemeenschappelijk veelvoud, procent, som, verschil, product, quotiënt en rest. Zij kunnen correcte voorbeelden geven en kunnen verwoorden in welke situatie ze dit handig kunnen gebruiken. 4. in voorbeelden herkennen dat breuken kunnen uitgelegd worden als: een stuk (deel) van, een verhouding, een verdeling,een deling, een vermenigvuldigingsfactor (operator), een getal (met een plaats op een getallenlijn), weergave van een kans. De leerlingen kunnen volgende terminologie hanteren: stambreuk, teller, noemer, breukstreep, gelijknamig, gelijkwaardig. 5. kunnen natuurlijke getallen van maximaal 10 cijfers en kommagetallen (met 3 decimalen), eenvoudige breuken, eenvoudige procenten lezen, noteren, ordenen en op een getallenlijn plaatsen. 6. kunnen volgende symbolen benoemen, noteren en hanteren: = ¹ < >+ - x . : / ÷ % en ( ) in bewerkingen. 7. kunnen door het geven van een paar voorbeelden uit hun eigen leefwereld en in hun leermateriaal aantonen dat doorheen de geschiedenis en ook in niet-westerse culturen andere wiskundige systemen met betrekking tot getallen werden en worden beoefend. 8. kunnen gevarieerde hoeveelheidaanduidingen lezen en interpreteren. 9. kunnen in gesprekken de geleerde symbolen, terminologie, notatiewijzen en conventies gebruiken. 10. zijn in staat tot een onmiddellijk geven van correcte resultaten bij optellen en aftrekken tot 10, bij tafels van vermenigvuldiging tot en met de tafels van 10 en de bijhorende deeltafels. 11. hebben inzicht in de relaties tussen de bewerkingen.


Procedures De leerlingen 12. kunnen orde en regelmaat ontdekken in getallenpatronen onder meer om te komen tot de kenmerken van deelbaarheid door 2, 3, 5, 9, 10 en die te kunnen toepassen. 13. voeren opgaven uit het hoofd uit waarbij ze een doelmatige oplossingsweg kiezen op basis van inzicht in de eigenschappen van bewerkingen en in de structuur van getallen: optellen en aftrekken tot honderd optellen en aftrekken met grote getallen met eindnullen vermenigvuldigen met en delen naar analogie met de tafels 14. kunnen op concrete wijze de volgende eigenschappen van bewerkingen verwoorden en toepassen: van plaats wisselen, schakelen, splitsen en verdelen. 15. zijn in staat getallen af te ronden. De graad van nauwkeurigheid wordt bepaald door het doel van het afronden en door de context. 16. kunnen de uitkomst van een berekening bij benadering bepalen. 17. kunnen schatprocedures vinden bij niet exact bepaalde of niet exact te bepalen gegevens. 18. kunnen in eenvoudige gevallen de gelijkwaardigheid tussen kommagetallen, breuken en procenten vaststellen en verduidelijken door omzettingen. 19. kunnen de delers van een natuurlijk getal (≤100) vinden; zij kunnen van twee dergelijke getallen de (grootste) gemeenschappelijke deler(s) vinden. 20. kunnen de veelvouden van een natuurlijk getal (≤20) vinden, zij kunnen van twee dergelijke getallen het (kleinste) gemeenschappelijk veelvoud vinden. 21. zijn in staat in concrete situaties (onder meer tussen grootheden) eenvoudige verhoudingen vast te stellen, te vergelijken, hun gelijkwaardigheid te beoordelen en het ontbrekend verhoudingsgetal te berekenen.


22. kunnen eenvoudige breuken gelijknamig maken in functie van het optellen en aftrekken van breuken of in functie van het ordenen en het vergelijken van breuken. 23. kunnen in een zinvolle context eenvoudige breuken en kommagetallen optellen en aftrekken. In een zinvolle context kunnen zij eveneens een eenvoudige breuk vermenigvuldigen met een natuurlijk getal. 24. kennen de cijferalgoritmen. Zij kunnen cijferend vier hoofdbewerkingen uitvoeren met natuurlijke en met kommagetallen: optellen met max. 5 getallen: de som < 10 000 000 aftrekken: aftrektal < 10 000 000 en max. 8 cijfers vermenigvuldigen: vermenigvuldiger bestaat uit max. 3 cijfers; het product = max. 8 cijfers (2 cijfers na de komma); delen: deler bestaat uit max. 3 cijfers; quotiënt max. 2 cijfers na de komma 25. kunnen eenvoudige procentberekeningen maken met betrekking tot praktische situaties. 26. kunnen de zakrekenmachine doelmatig gebruiken voor de hoofdbewerkingen. 27. zijn in staat uitgevoerde bewerkingen te controleren, onder meer met de zakrekenmachine. 28. kunnen in contexten vaststellen welke wiskundige bewerkingen met betrekking tot getallen toepasselijk zijn en welke het meest aangewezen en economisch zijn. 29. zijn bereid verstandige zoekstrategieën aan te wenden die helpen bij het aanpakken van wiskundige problemen met betrekking tot getallen, meten, ruimtelijke oriëntatie en meetkunde.


Wiskunde – Meten Begripsvorming-wiskundetaal-feitenkennis De leerlingen 1. kennen de belangrijkste grootheden en maateenheden met betrekking tot lengte, oppervlakte, inhoud, gewicht (massa), tijd, snelheid, temperatuur en hoekgrootte en ze kunnen daarbij de relatie leggen tussen de grootheid en de maateenheid. 2. kennen de symbolen, notatiewijzen en conventies bij de gebruikelijke maateenheden en kunnen meetresultaten op veelzijdige wijze noteren en op verschillende wijze groeperen. 3. kunnen veel voorkomende maten in verband brengen met betekenisvolle situaties. 4. kunnen de functie van de begrippen "schaal" en "gemiddelde" aan de hand van concrete voorbeelden verwoorden. 5. weten dat bij temperatuurmeting 0 °C het vriespunt is en weten dat de temperaturen beneden het vriespunt met een negatief getal worden aangeduid.

Procedures De leerlingen kunnen 6. allerlei verbanden, patronen en structuren tussen en met grootheden en maatgetallen inzien en ze kunnen betekenisvolle herleidingen uitvoeren. 7. met de gebruikelijke maateenheden betekenisvolle herleidingen uitvoeren. 8. schatten met behulp van referentiepunten. 9. op een concrete wijze aangeven hoe ze de oppervlakte en de omtrek van een willekeurige, vlakke figuur en van een veelhoek kunnen bepalen. 10. concreet aangeven hoe de inhoud van een balk wordt bepaald. 11. in reële situaties rekenen met geld en geldwaarden.


12. kloklezen (analoge en digitale klokken). Zij kunnen tijdsintervallen berekenen en zij kennen de samenhang tussen seconden, minuten en uren.

Wiskunde – Meetkunde Begripsvorming-wiskundetaal-feitenkennis De leerlingen kunnen 1. begrippen en notaties waarmee de ruimte meetkundig wordt bepaald aan de hand van concrete voorbeelden verklaren. 2. op basis van volgende eigenschappen de volgende meetkundige objecten herkennen en benoemen: In het vlak: punten, lijnen, hoeken en vlakke figuren (driehoeken, vierhoeken, cirkels) In de ruimte: veelvlakken (kubus, balk, piramide) en bol en cilinder 3. de symbolen van de loodrechte stand en van de evenwijdigheid lezen en noteren.

Procedures De leerlingen 4. kunnen de verschillende soorten hoeken classificeren en de verschillende soorten vierhoeken classificeren op grond van zijden en hoeken. Zij kunnen deze ook concreet vormgeven. 5. kunnen met een passer een cirkel tekenen. 6. kunnen de begrippen symmetrie, gelijkvormigheid en gelijkheid ontdekken in de realiteit. Ze kunnen zelf eenvoudige geometrische figuren maken. 7. zijn in staat: zich ruimtelijk te oriënteren op basis van plattegronden, kaarten, foto's en gegevens over afstand en richting en zich in de ruimte mentaal te verplaatsen en te verwoorden wat ze dan zien.


Wiskunde - Strategieën en probleemoplossende vaardigheden De leerlingen 1. kunnen met concrete voorbeelden aantonen dat er voor hetzelfde wiskundig probleem met betrekking tot getallen, meten, meetkunde en ruimtelijke oriëntatie, soms meerdere oplossingswegen zijn en soms zelfs meerdere oplossingen mogelijk zijn afhankelijk van de wijze waarop het probleem wordt opgevat. 2. zijn in staat om de geleerde begrippen, inzichten, procedures, met betrekking tot getallen, meten en meetkunde, zoals in de respectievelijke eindtermen vermeld, efficiënt te hanteren in betekenisvolle toepassingssituaties, zowel binnen als buiten de klas. 3. kunnen met concrete voorbeelden uit hun leefwereld aangeven welke de rol en het praktisch nut van wiskunde is in de maatschappij.

Wiskunde – Attitudes De leerlingen 1. brengen waardering op voor wiskunde als dimensie van menselijke inventiviteit. 2. ontwikkelen een kritische houding ten aanzien van allerlei cijfermateriaal, tabellen, berekeningen waarvan in hun omgeving bewust of onbewust, gebruik (misbruik) gemaakt wordt om mensen te informeren, te overtuigen, te misleiden ... 3. ervaren dat bezig zijn met wiskunde een actief en een constructief proces is dat kan groeien en uitbreiden als gevolg van eigen denken leeractiviteiten; ze ontwikkelen bijgevolg de opvatting dat alle leerlingen wiskundige bekwaamheid kunnen verwerven die kan leiden naar studies en beroepen waarin wiskunde aan bod komt. 4. zijn bereid zichzelf vragen te stellen over hun aanpak voor, tijdens en na het oplossen van een wiskundig probleem en willen op basis hiervan hun aanpak bijsturen.


3. Als de eindtermen geen haalbare kaart zijn… Elk jaar zijn er een aantal leerlingen die de eindtermen van het zesde leerjaar niet bereiken. Bij sommigen wordt reeds voor het einde van het zesde leerjaar beslist dat het halen van een getuigschrift lager onderwijs niet reëel is. Zij zullen in het secundair onderwijs starten in de B-klas. Voor leerlingen, die de eindtermen niet kunnen behalen, is het belangrijk dat zij de leerstof van de eerste twee graden van de basisschool voldoende beheersen. Dit houdt in dat bepaalde

items

zoals

procenten,

berekeningen

met

ongelijknamige

breuken,

oppervlakteberekening van andere figuren dan een rechthoek, enz. voor hen geen noodzakelijke leerstof is. Het is dan beter de basisvaardigheden verder in te oefenen zodat ze die volledig onder de knie hebben. Onderstaand volgt een overzicht van de leerstof wiskunde, die de leerlingen volgens de doelstellingen van het Gemeenschapsonderwijs moeten kennen op het einde van het vierde leerjaar. Hierbij moet wel worden opgemerkt dat de leerstof, die in de rekenmethoden aan bod komt, ruimer is dan de doelstellingen die in dit leerplan uiteengezet worden. Het is dan ook belangrijk om dit voor deze leerlingen even na te gaan.

3.1 Overzicht van de noodzakelijk te behalen eindtermen Bron: doelstellingen van het gemeenschapsonderwijs voor het leergebied wiskunde. 3.1.1. Gehele getallen

•

Getallen tot 100 000

Lezen Noteren Op getallenas plaatsen Waarde uit plaats op getallenas kunnen afleiden


•

Begrippen

Eén Tien Honderd Duizend Tienduizend Honderdduizend •

Onderzoeken of een getal kleiner dan 100 een priemgetal is.

•

Grootste gemene deler van 2 natuurlijke getallen kleiner dan 100.

•

Kleinste gemeen veelvoud van 2 natuurlijke getallen.

•

Deelbaarheid door 2, 5 en 10.

3.1.2 Decimale getallen en breuken •

Geheel bepalen als de gematerialiseerde breuk gegeven is.

•

Breuken en decimale getallen op een getallenas kunnen plaatsen en de waarde uit de plaats op de getallenas kunnen afleiden.

•

Begrippen: Decimaal, Tiende, Honderdste, Duizendste

•

Breuken waarvan de noemer een macht is van 10 als decimaal getal kunnen noteren.

•

Eenvoudige decimale getallen als breuk kunnen noteren.

Opmerking: procenten moeten nog niet gekend zijn. 3.1.3 Bewerkingen •

Optellingen en aftrekkingen met natuurlijke en decimale getallen (maximaal 2 cijfers na de komma).

•

Vermenigvuldigingen van natuurlijke getallen en decimale getallen (maximaal 2 cijfers na de komma) met een natuurlijk getal kleiner dan 100.

•

Delingen van natuurlijke getallen en decimale getallen (maximaal 2 cijfers na de komma) door een natuurlijk getal kleiner dan 10.

•

Gelijknamige breuken kunnen optellen en aftrekken.

•

Een breuk bij een natuurlijk getal kunnen optellen of van een natuurlijk getal kunnen aftrekken.

Opmerking: De leerlingen moeten breuken nog niet kunnen gelijknamig maken of kunnen vereenvoudigen. Syllabus Rekenen (2007) -p.19-

•

Termen/begrippen:

Optelling: termen en som Aftrekking: aftrektal, aftrekker, verschil Vermenigvuldiging: factoren, vermenigvuldiger, vermenigvuldigtal, product Deling: deeltal, deler, quotiënt, rest, opgaande deling, niet-opgaande deling •

Volgorde van de bewerkingen (haakjes, x of :, + of -, van links naar rechts)

•

Problemen met ongelijke verdelingen kunnen oplossen

•

Inzichten:

Herhaalde optelling van gelijke termen is te herleiden tot een vermenigvuldiging en omgekeerd. Optelling en aftrekking zijn inverse bewerkingen. Vermenigvuldiging en opgaande deling zijn inverse bewerkingen. Product van 2 factoren verandert niet als men de ene factor met een getal vermenigvuldigt en de andere factor door datzelfde getal deelt. Een quotiënt verandert niet als men deeltal en deler door eenzelfde getal deelt of met eenzelfde getal vermenigvuldigt. 3.1.4 Meten •

Kunnen meten met aangepast meetinstrument en het resultaat kunnen aangeven met de meest aangewezen maat:

Lengte → km, hm, dam, m, dm, cm, mm Inhoud → l, dl, cl Gewicht → kg, g •

Koppeling van conventionele maten kunnen gebruiken bij schattingen.

•

Verhoudingen tussen gebruikte maten kunnen toepassen.

•

Omtrek van een vlakke figuur kunnen berekenen (weten welke afmetingen gemeten moeten worden).

•

Inzicht: de oppervlakte van een figuur wordt niet bepaald door: vorm, omtrek, stand in de ruimte.

•

Rechthoek: Syllabus Rekenen (2007) -p.20-

Begrippen lengte en breedte kunnen gebruiken Oppervlakte kunnen berekenen en resultaat in cm², dm², m² kunnen uitdrukken Opmerking: Bij de overige figuren mogen de leerlingen roosters (met als eenheid cm², dm²) gebruiken om regelmatige oppervlakten te meten en grillige oppervlakten bij benadering te meten . Leerlingen moeten ook op ruitjespapier verschillende figuren met een gegeven oppervlakte kunnen tekenen •

Geld:

Wisselen, betalen, teruggeven Begrippen en onderlinge relaties: inkoopprijs, verkoopprijs, winst/verlies •

Tijd:

Uur, kwartier, minuut, seconde Dag, week, jaar •

Hoekgrootte:

Onafhankelijk van de lengte van het getekende deel van de benen Vergelijken door: gepast bedekken, hoek overtekenen Hoek kunnen tekenen die gelijk, groter of kleiner is Opmerking: De leerlingen moeten nog geen hoeken kunnen meten


3.1.5 Meetkunde •

Driedimensionale situaties vanuit verschillende gezichtspunten kunnen interpreteren.

•

Aanwijzingen op tweedimensionale afbeeldingen (tekening, foto, plattegrond) kunnen gebruiken om de driedimensionale situatie te beschrijven en weer te geven.

•

Blokkenconstructies kunnen naleggen die vanuit verschillende standpunten (aangezichten) tweedimensionaal afgebeeld zijn.

•

Coördinatenrooster voor plaatsbepaling op een plattegrond kunnen gebruiken.

3.1.6 Vormleer •

Kunnen onderzoeken of 2 figuren gelijkvormig zijn:

Gelijkheid van overeenkomstige hoeken Gelijkheid van de verhoudingen van overeenkomstige afmetingen Opmerking: De leerlingen moeten nog niet met schaal kunnen werken. •

Begrippen:

rechte, halfrechte en lijnstuk snijdende, evenwijdige, samenvallende en strikt evenwijdige en kruisende rechten overstaande hoekpunten, gelijke hoeken overstaande zijden gelijke zijden •

Evenwijdigheid en loodrechte stand:

aangepaste hulpmiddelen gebruiken om evenwijdigheid en loodrechte te kunnen controleren en construeren symbolen //, ⊥


•

Kunnen benoemen, herkennen en construeren van

vierhoeken trapezia parallellogrammen (2 paar evenwijdige zijden) (overstaande zijden gelijk) ruiten (alle zijden gelijk) → niet construeren rechthoeken (gelijke hoeken) vierkanten (ruiten met alle hoeken gelijk, rechthoeken met alle zijden gelijk, vierhoeken met alle hoeken en zijden gelijk) driehoeken: ongelijkzijdige driehoeken (geen gelijke zijden) gelijkbenige driehoeken (ten minste twee gelijke zijden) benen, top, basis, basishoeken: aanduiden en benoemen gelijkzijdige driehoeken niet-gelijkzijdige driehoek ≠ ongelijkzijdige driehoek rechte, scherpe en stompe hoeken driehoeken rubriceren: scherphoekig, rechthoekig, stomphoekig ↓ rechthoekszijden en schuine zijden kunnen aanduiden Opmerking: leerlingen moeten symmetrieassen en spiegelingen nog niet kennen

4. Besluit De ontwikkelingsdoelen en eindtermen voor ‘wiskunde’ zeggen wat leerlingen minimaal moeten kennen en kunnen op het einde van het kleuter-, lager en secundair onderwijs, maar geven niet aan hoe dit dient te gebeuren. De scholen zijn vrij in het bepalen van hun rekenmethode. Voor een aantal leerlingen zijn, ondanks vele inspanningen, de eindtermen van de basisschool geen haalbare kaart. Voor deze leerlingen is het belangrijk dat ze in het lager onderwijs

alsnog

de

kans

krijgen

een

goed

beheersingsniveau

van

wiskundige

basisvaardigheden te ontwikkelen. Deze kans kan geboden worden door de, binnen dit hoofdstuk, vooropgestelde curriculumdifferentiatie door te voeren. Ook zij verdienen immers een volwaardige start binnen het secundair onderwijs. Syllabus Rekenen (2007) -p.23-

5. Bibliografie Doelstellingen van het gemeenschapsonderwijs voor het leergebied wiskunde. Internetbronnen: http://www.onderwijs.vlaanderen.be/dvo/publicaties/zoveel_ga_ik_leren/inhoud.htm), geraadpleegd in april 2006. http://www.onderwijs.vlaanderen.be/dvo/basisonderwijs/kleuter/ontwikkelingsdoelen/wiskund e.htm , geraadpleegd in april 2006. http://www.onderwijs.vlaanderen.be/dvo/basisonderwijs/lager/eindtermen/wiskunde.htm, geraadpleegd in april 2006.


Hoofdstuk 2

Wiskundeonderwijs: visies

1. Inleidend In dit hoofdstuk worden een aantal visies op het wiskundeonderwijs vergeleken. Achtereenvolgens komen de mechanistische, de structuralistische en de realistische visie aan bod. Hierbij dient te worden opgemerkt, dat hoewel de visies in dit hoofdstuk tegenover elkaar geplaatst worden, we in de realiteit allerlei mengvormen aantreffen.

2. Vergelijking visies Onderstaande gegevens zijn ontleend uit de tekst ‘Visies op wiskundeonderwijs’ (Verschaffel & Corte, 1999).

2.1 Mechanistische visie Binnen de mechanistische visie wordt wiskunde opgevat als een geheel van losstaande elementen (weetjes, regels, technieken), die door de leerlingen beheerst moeten worden. Binnen deze visie wordt weinig aandacht geschonken aan ‘inzicht in begrippen’ en aan begripsmatige verbanden. De leerkracht heeft hierbij een sterk sturende rol en hanteert het directief informatie-transmissie model: de leerweg wordt door de leerkracht vooraf uitgestippeld en opgedeeld in kleine leerstappen. De training wordt door de leerkracht op zich genomen. De leerlingen dienen de aangereikte leerstof te memoriseren en de standaardprocedures zo goed mogelijk toe te passen. Deze visie treffen we aan in de oude rekenmethodes en bij softwareprogramma’s.


2.2 Structuralistische visie De structuralistische visie staat beter bekend als ‘Moderne Wiskunde’. In vergelijking met de mechanistische visie is de structuralistische visie meer gericht op het begrijpen van wiskunde en minder op het inslijpen van kennis. Binnen deze visie wordt getracht wiskunde inzichtelijker te maken door het gebruik van abstracte begrippen, die geleidelijk aan een meer concrete invulling kregen. Binnen de structuralistische visie wordt eerst uitvoerig aandacht besteed aan de regels van de logica en de relatie- en verzamelingenleer. Vanuit deze basisprincipes wordt er inzicht gegeven in het getal. Hierbij wordt er weinig gebruik gemaakt van realistische probleemsituaties en vraagstukken. De rol van de leerkracht is opnieuw sturend. Deze dient de abstracte leerstof op een inzichtelijke en speelse manier over te dragen op de leerlingen.

2.3 Realistische visie Binnen de realistische visie wordt wiskunde opgevat als een zinvolle activiteit gericht op het oplossen van problemen. Het realistisch wiskundeonderwijs tracht kinderen te stimuleren wiskundige begrippen en procedures zelf te ontdekken. Een realistisch probleem dat om een wiskundige denkactiviteit vraagt, vormt hierbij de ideale leersituatie. Leerlingen construeren zelf oplossingen voor problemen, passen hun oplossingswijzen aan en bouwen zo hun wiskundige kennis en vaardigheden op. Volgens de realistische visie leren kinderen het best in een sociale context, op basis van interactie met elkaar en de leerkracht. Ze moeten de gelegenheid krijgen om oplossingen te vergelijken, te becommentariëren en te verdedigen. Hierbij speelt de ondersteuning van de leerkracht een belangrijke rol. Binnen het realisme wordt meer en meer belang gehecht aan de constructivistische stroming: kinderen moeten de vrijheid krijgen om hun eigen berekeningswijzen te ontwikkelen of een eigen keuze te maken tussen een grote variëteit aan berekeningswijzen. Het realisme en het constructivisme hebben een grote invloed op het huidig wiskundeonderwijs. De ontwikkelingsdoelen en eindtermen, geschetst in hoofdstuk 1, en de Syllabus Rekenen (2007) -p.26-

methodiek van de, in Vlaanderen meest aangewende, rekenmethoden (cfr. Hoofdstuk 3) getuigen hiervan.

3. Kritiek op realistisch wiskundeonderwijs Een kritiek op het realistisch rekenonderwijs is dat het ‘rekenen in contexten’ te sterk benadrukt wordt. Door het speels, ervaringsgericht accent wordt het decontextualiseren te lang uitgesteld, wat automatisatie en de verwerving van parate kennis belemmert. Het belang van automatisatie wordt binnen de realistische visie onderschat. Het te veel aanwenden van visuele voorstellingswijzen wordt eveneens aangehaald als een punt van kritiek. Kinderen komen hierdoor moeilijker los van visuele ondersteuning bij het rekenen. Dit heeft eveneens een negatieve invloed op de automatisatie van mentale handelingen. Bovendien zijn de visuele voorstellingen niet steeds duidelijk, weinig functioneel of betekenisvol voor kinderen. Een laatste algemene, maar zeer voorname, kritiek op het constructivisme/realisme is dat er weinig oog is voor het aanleren van gestandaardiseerde werkwijzen. Niet elk kind is inventief genoeg om een eigen wiskunde te maken. Het is niet steeds zinvol kinderen het warm water opnieuw te laten uitvinden. Velen onder hen hebben problemen bij het zich eigen maken van de algemene rekenkennis en kunnen een didactisch gestructureerde aanpak goed gebruiken. Vooral zwakke en moeilijklerende kinderen ervaren problemen met een realistische rekenaanpak. Deze kritieken geven het volgende aan: indien er gewerkt wordt met een realistische methode en indien zwakke rekenaars deel uitmaken van de klasgroep, dienen er een aantal didactische aanpassingen doorgevoerd te worden. Het hanteren van een gematigde visie, waarbij facetten uit de verschillende visies geïntegreerd worden, wordt geadviseerd. We spreken desgevallend van ‘functioneel onderwijs’ (Nascholing, 2002-2003). Deze gematigde visie wordt in een volgend deel kort omschreven.

4. Het functioneel wiskundeonderwijs Binnen

het

functioneel

wiskundeonderwijs

wordt

het

standpunt

van

zelfontdekkend/opbouwend leren, waarbij alles zoveel mogelijk van de leerling zelf komt, slechts gedeeltelijk aanvaard. Men pleit eerder voor een geleid-ontdekkende benadering. De kennis wordt voor een groot deel aangereikt, maar toch wordt er ook veel denkactiviteit van Syllabus Rekenen (2007) -p.27-

de kinderen verondersteld. Vanuit aangereikte perspectieven leren de kinderen "verder denken". Het "zelf ontdekken" is niet weggelegd voor de zwakke, moeilijklerende kinderen. Daarom wordt tegelijk gepleit voor meer structurering. Vooral voor de moeilijker lerende kinderen wordt het inoefenen en automatiseren van actief verworven kennis en vaardigheden beklemtoond. (http://www.onderwijs.vlaanderen.be/dvo/basisonderwijs/lager/uitgangspunten/wiskunde.htm) De gematigde visie pleit, in het algemeen, voor duidelijke leerlijnen waarbij een stapsgewijze opbouw en een opbouwende moeilijkheidsgraad centraal staat. Kinderen dienen eerst gestandaardiseerde en handige berekeningswijzen aan te leren, alvorens te kunnen overgaan tot flexibel en schattend rekenen (Nascholing 2002-2003). Het functioneel onderwijs herwaardeert vele oude waarden, maar ook het constructivisme komt aan bod. Het constructivisme komt vooral aan bod binnen de onderdelen ‘vraagstukken’ en ‘meetkunde’. Bij de overige onderdelen is dit minder het geval (Nascholing, 2002-2003). De didactiek gehanteerd binnen het functioneel onderwijs komt in hoofdstuk 4, Luik 1 (p.43), uitgebreid aan bod.

5. Besluit De realistische visie oefent, tot op heden, een grote invloed uit op het Vlaamse rekenonderwijs. De rekenmethodes, gebruikt in de meeste Vlaamse scholen (cfr. Hoofdstuk 3) zijn dan ook realistisch getint, de ene meer (bv. de rekenmethode ‘Zo gezegd, zo gerekend’) dan de andere (bv. de rekenmethoden ‘Nieuwe Reken raak’ en ‘Pluspunt’). Ongeacht de aangewende rekenmethode, dienen we er echter steeds over te waken dat er voldoende belang wordt gehecht en tijd wordt besteed aan automatisatie (cfr. Hoofdstuk 4) van basisvaardigheden. Dit is voor alle kinderen van belang, en is zeker noodzakelijk voor zwakke en moeilijklerende kinderen. Voor deze kinderen is het eveneens aangewezen om op een gestructureerde wijze gestandaardiseerde berekeningswijzen aan te leren (en geen productie van diverse oplossingsstrategieën te stimuleren). Zich beroepen op bruikbare oudere

rekendidactische

werkwijzen,

het

hanteren

van

een

gematigde,

functionele/eclectische aanpak bij het uitwerken van rekenlessen wordt dan ook ten stelligste geadviseerd. Syllabus Rekenen (2007) -p.28-

6. Bibliografie Verschaffel, L., en Corte, E., (1999). ‘Visies op wiskundeonderwijs’ in L.Verschaffel & E. Corte (Red.), Naar een nieuwe reken-/wiskundedidactiek voor de basisschool en basiseducatie (pg. 95-128). Leuven/Brussel ACCO, Studiecentrum voor open afstandsonderwijs (StoHo). Centrum voor nascholing (2002-2003). Het leerbedreigde kind in de basisschool. Internetbronnen: http://www.onderwijs.vlaanderen.be/dvo/basisonderwijs/lager/uitgangspunten/wiskunde.htm, geraadpleegd in april 2006.


Hoofdstuk 3

Rekenmethoden in Vlaanderen

1. Inleidend Zoals in het vorig hoofdstuk omschreven, zijn de rekenmethodes –gebruikt in de meeste Vlaamse scholen– in meer of mindere mate realistisch getint. De geformuleerde kritieken op het realistisch wiskundeonderwijs (cfr. Hoofdstuk 2) impliceren echter niet dat we deze rekenmethoden over boord moeten gooien! Hiertoe achten we drie redenen belangrijk: (1) De rekenmethoden sluiten aan bij de realistische geformuleerde eindtermen en bieden ons een vrijblijvend hulpmiddel om deze vooropgestelde doelstellingen te bereiken. (2) Verstandige leerlingen ervaren geen tot weinig problemen bij het ervaringsgericht leren. (3) Het gebruik van een vaste rekenmethode in een school, over alle leerjaren heen, werkt een consequente aanpak in de hand; een must om leerlijnen op een niet-misleidende, éénduidige manier door te trekken. Volledig afstand nemen van de realistisch getinte methodes is zodoende geen optie. We kunnen echter wel didactische aanpassingen doorvoeren, ten behoeve van alle leerlingen en specifiek voor de zwakkere leerlingen. Een algemene didactische aanpassing, die in de meeste gevallen aangewezen is, is het belang van automatisatie op de voorgrond brengen. Op welke manier we de automatisatie van basisvaardigheden kunnen bewerkstellingen, wordt in een volgend hoofdstuk besproken. In welke mate er nog andere, specifieke didactische aanpassingen noodzakelijk zijn, is afhankelijk van de school- en klaspopulatie. Hiertoe kan differentiatie- en remediëringmateriaal aangewend worden. Vele rekenmethodes beschikken

zelf

al

over

differentiatie-

en

remediëringsmateriaal.

Indien

het

methodegebonden materiaal weinig effect geeft, dienen leerkrachten zich te beroepen op eigen creativiteit of op oefengangen uit andere of vroegere visies om rekenproblemen te verhelpen. Hierbij dient één gulden regel in acht genomen te worden: “Indien didactische aanpassingen nodig zijn, dienen deze op een consequente manier, over alle leerjaren heen, doorgevoerd te worden.” Intern overleg m.b.t. de te hanteren rekendidactiek is zodoende aangewezen. In wat volgt, wordt een overzicht gegeven van de in Vlaanderen meest gehanteerde rekenmethoden. Een aantal aspecten van de methoden worden belicht en vergeleken. Het is echter geenszins de bedoeling om een waardeoordeel uit te spreken. Dit is bijzonder moeilijk omdat niet elke methode geschikt is voor elk kind (wat voor het ene kind een goede methode is, kan voor het andere kind een minder goede of zelfs een slechte methode zijn) en omdat


geen enkele methode zaligmakend is. Ongeacht de methode, is de rol van de leerkracht binnen het leerproces uitermate belangrijk bij het leerproces! Binnen het overzicht wordt niet aangegeven wanneer welke leereenheid aan bod komt. Dit is terug te vinden in de handleidingen van de rekenmethode,.

2. Overzicht rekenmethoden 2.1 Algemene indeling Volgende punten worden besproken: −

−

Algemene criteria: −

Materiaal en getalbeelden

−

Toetsen

−

Differentiatiemateriaal

Onderdelen van de leerstof: −

Splitsingen

−

Vergelijkingstekens >,<

−

Brug over de 10

2.2 Vergelijking van de methoden 2.2.1 Algemene criteria

2.2.1.1 Materiaal en getalbeelden Eurobasis Nieuwe

Kwadraat-

Nieuwe

Tal- Pluspunt

Rekenboog

Zo gezegd, zo

Reken Raak

Rijk

gerekend!

x

X

X

x

x

X

X

x

x

x

x

X

x

beelden MAB-materiaal Rekenrek

Domino/

X

x

Dobbel-steen x

Cuisenaire

Opmerking: Bij de methode ‘Pluspunt’ worden de getallen niet echt aangebracht. Dadelijk wordt er tot 6 gewerkt, gekoppeld aan het dominobeeld. Syllabus Rekenen (2007) -p.31-

2.2.1.2 Toetsen Eurobasis Per leerstofonderdeel is er een toets met daarbij een scorelijst en een foutenanalyse.

Nieuwe Reken Raak De controletoetsen bevatten enkel de kernleerstof. Uit de foutenanalyse kunnen we afleiden wat individueel en wat klassikaal geremedieerd dient te worden. Bij elke toets wordt ook de werkhouding beoordeeld (zowel klassikaal als individueel).

Nieuwe Tal-Rijk Na elk lesgeheel vinden we toetsbladen met analysebladen waarop we de resultaten per opdracht kunnen noteren. Op elke toets staat ook een waarderingspictogram waarop de leerkracht kan aanduiden hoe hij/zij vindt dat de leerling gepresteerd heeft. Na elke toets is er een remediëringsles voorzien.

Pluspunt Per ‘blok’ is er een signaleringstoets. Die toetsen vormen samen een methodegebonden leerlingvolgsysteem

waarvan

de

resultaten

kunnen

samengebracht

worden

op

registratieformulieren. Voor de leerlingen die onder de norm scoren, is er een procesevaluatie waarmee nagegaan kan worden hoe de leerling tot die oplossing gekomen is.

Rekenboog In deze methode werden geen toetsen opgenomen.

Zo gezegd, zo gerekend! De toetsen bevatten voor 65% kernleerstof en voor 35% uitbreidingsleerstof. Die uitbreidingsleerstof is niet voor alle leerlingen haalbaar. Indien de leerlingen voldoende scoren op de kernleerstof, kunnen zij met de verdere leerstof aanvatten. Bij die toetsen is er een foutenanalyse waaraan remediëringsmateriaal gekoppeld is. Het betreft een beperkt aantal (voor het eerste leerjaar zijn er 4).


2.2.1.3. Differentiatie Eurobasis Bij deze methode werd een afzonderlijke map met differentiatiefiches uitgewerkt (het differentiatiemateriaal staat dus niet gewoon in het werkboek). Er werd differentiatiemateriaal voorzien op 3 niveaus: Extra aandacht voor de leerstof in de les Creatief verwerken van de leerstof (dit is een denktrapje hoger dan de gewone leerstof) Remediëren van de leerstof (voor tragere leerlingen) In de handleiding wordt naar het werkboek verwezen (hierin staan de oefeningen over de basisleerstof) en naar de differentiatiefiches. Er

is

reeds

differentiatiemateriaal

van

bij

het

begin

van

het

eerste

leerjaar.

Nieuwe Reken Raak Het differentiatiemateriaal is reeds in het werkboek van de leerlingen opgenomen. In het werkboek staan oefeningen op drie niveaus: De basisleerstof Extra oefeningen over de kernleerstof (een gewichtheffertje) Uitbreidingsleerstof (twee gewichtheffertjes) Differentiatiemateriaal is beschikbaar vanaf het tweede semester van het eerste leerjaar. In het werkboek staat er per les een oriënterende toets. De leerlingen die hierop zwak scoren krijgen individueel of in kleine groep herinstructie over de leerstof. De overige leerlingen maken dan extra oefeningen over de kernleerstof. Na de herinstructie maken deze leerlingen de extra oefeningen over de kernleerstof, de anderen maken de uitbreiding. Remediëringsmateriaal moet de leerkracht zelf samenstellen op basis van knip- en plakwerk van de werkbladen en met oefeningen die op het bord genoteerd worden.


Nieuwe Tal-Rijk Differentiatie is voorzien volgens: -

Oplossingsniveau: mate van verkorting

-

Oplossingswijze

-

Tempo en moeilijkheidsgraad: o

Oefeningen met een zonnetje: voor alle leerlingen

o

Oefeningen

met

een

maantje:

voor

leerlingen

die

sneller

werken

(moeilijkheidsgraad is vergelijkbaar met die van de oefeningen met een zonnetje) o

Oefeningen met een sterretje: verdieping of verrijking

De opdrachtkaarten kan je gebruiken voor differentiatie, huistaken en hoekenwerk.

Pluspunt Op inhoudelijk gebied wordt er leerstof op 3 niveaus aangeboden: 1. Basisstof 2. Herhalingsstof 3. Verrijkingsstof Er is ook differentiatiemateriaal op het gebied van tempo (de ‘Ga maar door’-opgaven) Pluspunt werkt tevens met methodische differentiatie, in die zin dat de leerlingen zelf een oplossingswijze kunnen kiezen. Daarnaast zijn er bij elke les ook ‘zorg op maat’-tips. Het zelfstandig werken neemt een belangrijke plaats in, waardoor de leerkracht ook de mogelijkheid heeft om meer aandacht te besteden aan leerlingen met problemen.

Rekenboog Bij de methode hoort een differentiatiemap. Daarin zitten oefeningen die de leerlingen zelfstandig kunnen oplossen (er zijn ook correctiefiches voorzien). Op elke fiche is het lesonderwerp aangegeven evenals de bladzijde in het handboek en in het leerlingenboek waarop deze oefeningen terug te vinden zijn.


Zo gezegd, zo gerekend! Het differentiatiemateriaal is reeds in het werkboek van de leerlingen opgenomen. Hierin staan oefeningen op 3 niveaus: 1. Basis (A-opdrachten) 2. Extra inoefening (B-opdrachten) →

deze

oefeningen

bevatten

meer

gevarieerde

oefenstof

met

dezelfde

moeilijkheidsgraad als de basisleerstof → deze oefeningen kunnen onder leiding van de leerkracht gemaakt worden 3. Verbreding en verdieping (C-opdrachten) → deze oefeningen hebben een hogere moeilijkheidsgraad dan de basisleerstof → deze oefeningen kunnen door de leerlingen die de basisleerstof beheersen zelfstandig opgelost worden Er is differentiatiemateriaal beschikbaar vanaf het moment dat het getal ‘6’ wordt aangebracht.

2.2.2 Onderdelen van de leerstof

2.2.2.1. Splitsingen

Eurobasis

Nieuwe Reken Nieuwe

Pluspunt

Rekenboog

Zo gezegd, zo

Raak

Tal-Rijk

Moment van aan-

Na introductie

Na introductie

Na introductie

Na introductie

Na introductie

gerekend! Na introductie

Brengen

van het getal 5

van het getal 3

van het getal 5

van het getal 8

van het getal 6

van het getal 3

wordt de splitsing vermeld, vanaf 7 wordt ze ingeoefend Splitsingen tot 20

x

x

x


x

2.2.2.2 De brug over 10 Eurobasis In deze methode wordt er eerst een volledige les besteed aan het aanvullen en het verminderen tot 10. Daarna wordt de brug over de 10 aangebracht die de leerlingen met een splitsing moeten uitvoeren.

Nieuwe Reken Raak De brug over de 10 wordt uitgevoerd met splitsingen. Maar in deze methode wordt met een heel gamma van oefeningen gewerkt: −

Dubbelsommen en bijna dubbelsommen

−

Oefeningen waarbij een splitsing moet toegepast worden

−

Oefeningen waarbij een term 10 is

Er wordt van de leerlingen verwacht dat zij alle optellingen en aftrekkingen in die categorieën kunnen indelen.

Nieuwe Tal-Rijk De brug over de 10 wordt uitgevoerd met splitsingen. Als visuele voorstelling worden ingekleurde staafjes gebruikt. Er wordt ook met tweelinggetallen (dubbels) gewerkt.

Pluspunt Brugoefeningen komen pas helemaal op het einde van het eerste leerjaar aan bod.

Rekenboog De brug over de 10 wordt uitgevoerd met splitsingen.

Zo gezegd, zo gerekend! Voor de brug over de 10 moeten de leerlingen een splitsing gebruiken.


2.2.2.3 Symbolen <,>

Eurobasis ≠ en = vroeger aangebracht dan < en > Introductie aan de hand van concreet materiaal en getalbeelden. Als geheugensteuntje wordt een monster met een open snuit voorgesteld. Na de introductie van getallen tot 5 (week 5, les 1)

Nieuwe Reken Raak ≠ en = worden 1 les vroeger aangebracht dan < en > (resp. les 12 en les 13). Na getal 3 worden ≠ en = geïntroduceerd. (Met de rekenbalans wordt hier ook reeds > en < gevisualiseerd.) < en > worden aangebracht na het getal 3 aan de hand van de ‘Hongervos’

Nieuwe Tal-Rijk <, >: aangebracht voor de introductie van getallen (in Les 4). De leerlingen werken met ‘tekenkaartjes’, dit wil zeggen dat ze het symbool slechts sporadisch zelf dienen te schrijven. Torens van verschillende grootte worden tussen twee stokken gelegd:

3 1

2 1

Introductie van ‘=’ in Les 14 aan de hand van torentjes en stokken:

3

3

2

2

1

1

In Les 17 wordt het principe van turven aangeleerd om de symbolen <, > en = te leggen. Soms dienen de leerlingen de symbolen bij te tekenen. Syllabus Rekenen (2007) -p.37-

Pluspunt < en >: Introductie aan de hand van frietzak (puntzak in papier met papieren frietjes). Na de introductie van alle getallen tot 20 (blok 7, les 4) = : ==== (ladder, waarvan alle sporten even lang zijn) ≠ : ‘niet evenveel als’ wordt later aangebracht (blok 8, les 10)

Rekenboog ≠ en = vroeger aangebracht dan < en > Na introductie van getallen tot 5 . Introductie:

4 3 2

2

1

1

Zo gezegd, zo gerekend! In dezelfde les komen de symbolen <, > en ≠ aan bod. Na de introductie van getallen tot 5. Zowel de rekenbalans als ‘Draakje Honger’ worden gehanteerd.

3. Besluit Elke rekenmethode heeft voor- en nadelen. Een methode die voor de ene leerling ‘perfect’ bruikbaar is, kan bijvoorbeeld voor een andere leerling op bepaalde gebieden problemen opleveren. Daarom is het belangrijk om in de eigen rekenmethode de verschillende mogelijkheden te benutten, die aanwezig zijn (differentiatie- en remediëringsmateriaal), en didactische aanpassingen door te voeren, gebaseerd op andere methoden en/of eigen creativiteit. Hierbij dient de aandacht vooral gericht te zijn op het bewerkstelligen van de automatisatie van de basisvaardigheden. Dit komt in de huidige methodes vaak te weinig aan bod. Een gulden regel bij het doorvoeren van didactische aanpassingen is dat het op een consequente manier gebeurt. Syllabus Rekenen (2006) -p.38-

Hoofdstuk 4

Omgaan met rekenproblemen

1. Inleidend Wanneer leerlingen moeilijkheden ondervinden met een gehanteerde rekenmethode, kan het schoolteam op zoek gaan naar andere werkwijzen om het probleem te verhelpen (eerstelijnszorg). Wanneer het schoolteam echter vastloopt in het bieden van aangepaste hulp, dienen we verder te kijken: ‘Wat kunnen we nog meer doen voor leerlingen, waarbij het rekenleerproces vertraagd verloopt of stagneert?’. Aanknopingspunten voor een passend antwoord

vinden

we

terug

binnen

de

consultatieve

leerlingbegeleiding,

een

probleemoplossende aanpak waarbij leerkrachten en CLB-medewerkers samen deskundig met stagnaties van leerlingen omgaan (eerstelijnszorg) (Meijer, 2000). Consultatieve leerlingbegeleiding gaat uit van het CLB en omvat de ondersteuning van leerkrachten bij het analyseren van geconstateerde problemen en bij het zoeken naar oplossingen (binnen de onderwijsleersituatie) voor die problemen. Deze omschrijving geeft aan dat de begeleiding afwijkt van de gangbare vorm van begeleiding. Bij de consultatieve begeleiding ligt het accent van het CLB-werk niet op het aandragen van diagnostische informatie, maar op het helpen transparant maken van de onderwijsleersituatie en op het samen met de leerkracht zoeken naar effectieve aanpakken. Verder diagnostisch onderzoek door o.a. het CLB wordt niet uitgesloten, maar wordt pas in overweging genomen wanneer didactische

interventies

niet

tot

verbetering

hebben

geleid

(Meijer,

2000).

Het

begeleidingstraject van consultatieve leerlingbegeleiding omvat een aantal stadia. Deze worden binnen dit hoofdstuk nader besproken. Het hoofdstuk omvat drie luiken. In een eerste luik wordt stilgestaan bij de input van de leerkracht bij het zelf aanpassen van de onderwijsleersituatie. In het tweede luik wordt de samenwerking

tussen

leerkracht

en

CLB-medewerker

uitvoerig

besproken.

De

samenwerking kadert binnen de consultatieve leerlingbegeleiding en komt tot stand wanneer er grotere didactische aanpassingen nodig zijn om de leerling in kwestie te helpen. In het derde en laatste luik bespreken we de rol van de CLB-medewerker binnen het diagnostisch proces. Deze fase wordt enkel ingezet wanneer alle mogelijke interventies binnen de onderwijsleersituatie geen soelaas hebben kunnen bieden en er aldus een vermoeden van een rekenstoornis, dyscalculie, ontstaat.


Luik 1

Eerstelijnszorg: aanpassen onderwijsleersituatie door

leerkracht / schoolteam 1. Inleidend Bij het opmerken van een rekenprobleem binnen de klaspraktijk, dienen de ouders van de leerling en het schoolteam ingelicht te worden. In overleg wordt het probleem gedefinieerd, worden de specifieke onderwijsbehoeften ingeschat, wordt bepaald met welke strategie getracht zal worden het kind te helpen en worden er afspraken gemaakt omtrent de opvolging. Het bepalen van de strategie vergt enige kennis van het leren rekenen en rekenproblemen. Om didactische aanpassingen op een gefundeerde wijze door te voeren, dient men notie te hebben van hoe de rekenvaardigheid bij kinderen zich ontwikkelt en op welke manier rekendidactiek dit ontwikkelingsproces zo optimaal mogelijk kan ondersteunen en stimuleren. Dit hoofdstuk schetst een beeld van het ‘leren rekenen’ als cognitief proces. Hierbij worden er didactische wenken geformuleerd, algemeen, en specifiek i.f.v. de automatisatie van basisvaardigheden.

2. De rekenontwikkeling 2.1 Het belang van voorbereidende vaardigheden Vanaf het eerste leerjaar krijgen leerlingen ‘rekenles’. Maar het is niet zo dat kinderen moeten wachten tot dit eerste leerjaar vooraleer er, op school, aandacht besteed wordt aan tellen, getallen, rekenbegrippen, enz. (zie tekst ‘Voorbereidend rekenen in de kleuterklas’, intranet, www.go-clb.be). De wetenschappelijke notie ‘rekenvoorwaarden’, m.n. ‘conservatie’, ‘correspondentie’, ‘classificatie’, ‘seriëren’ en ‘tellen’, aangevuld met de noties ‘rekentaal’, ‘translatie’ en ‘maatbegrip’, neemt een belangrijke plaats in binnen het rekenonderwijs. Een duidelijke uiteenzetting over de concrete inhoud van deze voorwaarden, hoe ze tot ontwikkeling komen en in welke mate deze ontwikkeling cruciaal is voor het ‘leren rekenen’ bij de aanvang van het eerste leerjaar, vindt men eveneens terug in de bovenvernoemde tekst ‘Voorbereidend rekenen in de kleuterklas’.

2.2 Fasen in opbouw van rekenkennis Syllabus Rekenen (2007) - 40 -

Wanneer leerlingen nieuwe vaardigheden verwerven, gebeurt dit in verschillende fasen: -

inzicht

-

memoriseren en automatiseren

-

functioneel rekenen

2.2.1 Inzicht Leerlingen bezitten, bij de aanvang van het lager onderwijs, reeds heel wat voorkennis, zowel in verband met het aanvankelijk als met het voortgezet rekenen. Ze worden in het dagelijkse leven immers geregeld met rekenkundige begrippen geconfronteerd. Niet alleen basisbegrippen, maar ook aspecten uit het voortgezet rekenen zien ze rond zich. Wanneer je bijvoorbeeld een winkel binnenstapt en 200g kaas bestelt, krijg je meer dan eens de vraag: ‘mag het wat meer zijn?’ Ook procenten duiken daar geregeld op: kortingen, 20% gratis op een chocopot … Met de invoering van de euro maken kinderen ook al snel kennis met decimale getallen. Nieuwe leerstof wordt beter onthouden en kan later vlotter opgeroepen worden, wanneer ze ‘geordend’ in het geheugen is opgeslagen. Met andere woorden, als ze gekoppeld is aan de reeds aanwezige kennis. Hierbij is het belangrijk dat de leerlingen deze relatie zien (bijvoorbeeld weten dat de procenten van in de klas niet verschillen van die op de pot choco). Voor een aantal leerlingen staat de school immers nog wat buiten de dagdagelijkse werkelijkheid. Ze zien zelf vaak spontaan niet het verband tussen de schoolse leerstof en datgene wat ze al weten en kennen. Daarom moet, zeker bij zwakkere leerlingen en leerlingen met leerproblemen, dit verband expliciet benadrukt worden. Als de leerlingen van in het begin de leerstof kunnen koppelen aan wat ze al kennen, hebben ze ook veel minder problemen met het toepassen van het geleerde op realistische problemen. Het is heel belangrijk dat leerlingen inzicht hebben in de leerstof, maar van zodra het inzicht er is, moet men overschakelen naar de formele wiskunde. Zodra de nieuwe kennis gekoppeld is aan wat de leerlingen al kennen en weten, moeten ze zich kunnen concentreren op het formeel rekenkundige. Dit is immers nieuw en hiermee moeten de leerlingen leren werken.

2.2.2 Memoriseren en automatiseren

Syllabus Rekenen (2007) - 41 -

Inzicht is heel belangrijk, maar bepaalde aspecten van rekenen, zoals de splitsingen, de tafels… dient de leerling als parate kennis ter beschikking te hebben. Een rekenopgave kan immers veel vlotter opgelost worden als de splitsing niet steeds opnieuw uitgerekend moet worden en de tafels niet steeds van voor af aan moeten worden opgezegd. Hiervoor moet voldoende tijd voorzien worden, want het automatiseren vloeit niet vanzelfsprekend voort uit het inzicht. In de jaren 60 was het enige doel van het rekenonderricht de leerlingen parate kennis en automatismen bij te brengen (mechanistische visie). Daarna werd er enkel nog aandacht besteed aan het inzicht, waarbij men er van uit ging dat de automatismen wel vanzelf zouden ontstaan (structuralistische visie). In de huidige rekenmethoden (realistisch getint) wordt soms te weinig inoefentijd voorzien, ten nadele van het memoriseren en automatiseren (cfr. Hoofdstuk 2). Daarom worden er momenteel heel wat remediëringsprogramma’s ontwikkeld, die enkel gericht zijn op het automatiseren van basiskennis en daarvoor teruggrijpen naar de inzichten van de jaren 60. Over ‘de tafels’ wordt in het onderwijs veel gesproken. Het is immers leerstof die de leerlingen veel nodig hebben, maar voor heel wat leerlingen vormen deze tafels een enorm struikelblok. Een deel van deze problemen kan echter verholpen worden wanneer de tafels op een goede manier worden aangebracht. In bijlage 1 wordt een handig stappenplan aangeboden om de tafels aan te leren. Ook hierbij blijft, i.f.v. het automatiseren van de tafels, veelvuldig herhalen en inoefenen een must! Sommige leerlingen kunnen bij het oplossen van brugoefeningen niet met splitsingen werken. Vaak kan echter worden opgemerkt dat het principe en de betekenis van de splitsing desondanks wel gekend is: als ze materiaal mogen gebruiken, komen ze immers vaak tot de juiste oplossing. De splitsing wordt correct uitgevoerd en de oplossingsweg wordt op een juiste manier gematerialiseerd. Ze hebben dus wel het nodige inzicht, maar ze kunnen die kennis niet vlot oproepen als ze die nodig hebben. Deze leerlingen zijn er dus niet mee geholpen als ze langer met materiaal mogen werken. Wel moeten de splitsingen geregeld herhaald worden, zodat ze als parate kennis in het geheugen opgeslagen kunnen worden. I.f.v. automatisering van rekenkennis is het zodoende aangewezen leerlingen niet te lang met materiaal te laten werken. Op een bepaald moment kan beslist worden om de leerlingen vrij te laten al dan niet materiaal te gebruiken. Het is belangrijk dat de leerkracht de leerlingen hierin begeleidt, omdat niet alle leerlingen zelf correct kunnen inschatten in hoeverre ze het materiaal nog nodig hebben. Een faalangstige leerling zal immers langer Syllabus Rekenen (2007) - 42 -

met materiaal blijven werken dan echt nodig is, terwijl andere leerlingen te snel zonder materiaal willen werken, zelfs nog voor ze echt zicht hebben op de precieze oplossingsprocedure. Voor leerlingen die problemen hebben met het verwerken van visueel-ruimtelijke informatie, zoals leerlingen met NLD (Niet-Verbale-Leerstoornis), zorgt het werken met materiaal niet voor verduidelijking. Daarom is het belangrijk reeds van in het begin de materiële handelingen verbaal te ondersteunen, en sommige leerlingen zichzelf eventueel enkel verbaal te laten sturen. Het ‘trainen’ van deze vaardigheden is vaak saai, maar toch is het belangrijk dat er automatismen ontstaan om ingewikkeldere problemen te kunnen oplossen. De leerlingen moeten de voordelen inzien van een efficiënte wiskundige aanpak (de tijdsbesparing). Ze moeten bijvoorbeeld ondervinden dat met sprongen tellen veel economischer is dan tellen per één.

2.2.3 Functioneel rekenen en toepassingen Het uiteindelijke doel van het leren rekenen is het kunnen toepassen van die kennis in de realiteit. Op school wordt dit geoefend aan de hand van toepassingen. Bij het oplossen van toepassingen moeten de leerlingen hun aandacht kunnen richten op het structureren van het probleem en is het niet de bedoeling dat het uitrekenen zelf nog veel energie opslorpt. Hiervoor moeten de leerlingen de kennis vlot uit hun geheugen kunnen oproepen en toepassen. Het verdient de voorkeur om toepassingen reeds snel te integreren in het leerproces. Op deze manier zien de leerlingen het nut in van het formeel rekenen, en zo leren ze de formele kennis ook flexibeler gebruiken. Deze drie fasen steunen op elkaar, maar vloeien niet automatisch uit elkaar voort. Ook kan er steeds teruggegrepen worden naar een vorige fase. Wanneer de leerling een bepaalde oplossing bijvoorbeeld niet (meer) als parate kennis beschikbaar heeft (de kennis die op dat moment nodig is, is niet geautomatiseerd), kan de leerling via inzicht tot de juiste oplossing proberen te komen. Voorbeeld: Syllabus Rekenen (2007) - 43 -

Kim weet niet meer uit het hoofd hoeveel ‘7 x 8’ is (parate kennis is niet onmiddellijk beschikbaar). Zij kan echter wel de juiste oplossing vinden op basis van het inzicht dat de vermenigvuldiging eigenlijk een herhaalde optelling is. Wanneer reeds een aantal tafels geautomatiseerd zijn, kan ze zowel parate kennis als inzicht gebruiken om tot de juiste oplossing te komen. Ze weet ‘5 x 8 = 40’ en ze weet ook dat de vermenigvuldiging een herhaalde optelling is, en telt dus verder 40, 48, 56.

2.3 Aandachtspunten bij het onderwijzen Een aantal principes mogen niet uit het oog verloren worden bij het onderwijzen van rekenstrategieën:

-

Effectieve instructie

-

De doorgaande lijn (cumulatieve opbouw van de leerstof)

-

De minimale belasting van het werkgeheugen

-

Sober materiaal

-

Ruime toepasbaarheid van aangeleerde kennis en vaardigheden


2.3.1 Effectieve instructie De effectiviteit van een leerkracht wordt bepaald door de mate waarin deze aandacht en tijd spendeert aan expliciete instructie. Minder effectieve leerkrachten spenderen minder tijd aan het uitleggen van nieuwe lesstof en laten kinderen sneller overgaan tot zelfstandig werk (Leenders, Naafs en van den Oord, 2002). Dit is echter nefast voor moeilijklerende kinderen. Aandachtspunten bij het geven van effectieve instructie zijn:

-

Onderwijs in kleine stappen (ga pas verder naar een volgende leerstap wanneer de leerlingen de voorgaande stap volledig beheersen, vermijd verwarring, vergroot stapsgewijs de moeilijkheidsgraad (zie verder paragraaf 2.3.2, pg 46)).

-

Gebruik heldere taal (gebruik woorden, die leerlingen kennen, leg onbekende woorden voldoende uit, weer direct en zeer specifiek).

-

Gebruik concrete voorbeelden (verhoog het inzicht met illustraties, die gekend zijn door de leerlingen).

-

Gebruik materialen en stappenplannen (concretiseer een oplossings- of leerstrategie, ondersteun het aanpakgedrag van de leerlingen, gebruik sober materiaal (zie verder paragraaf 2.3.4, pg.48)).

-

Doe voor hoe een strategie werkt (doe de vaardigheid luidop denkend voormodelleren).

-

Geef korte en duidelijke opdrachten.

-

Geef vaak en regelmatig feedback zodat leerlingen zichzelf kunnen bijsturen, corrigeer fouten onmiddellijk op een constructieve manier (zeg waarom iets fout is en leg het bijhorende denkproces uit).

-

Vermijd negatieve opmerkingen.

-

Controleer of leerlingen de leerstof begrijpen (evalueer door leerstofgerichte vragen te stellen. Geef hierbij elke leerling de kans eerst na te denken, alvorens één van hen aan te duiden).


2.3.2 De doorgaande lijn (cumulatieve opbouw) Het is belangrijk dat de (hoofd)rekenprocedures die de leerlingen leren een geheel vormen. De leerlingen werken steeds met grotere of moeilijkere (bijvoorbeeld decimale) getallen, maar de principes blijven steeds hetzelfde. Op die manier zien de leerlingen verbanden tussen de verschillende onderdelen, waardoor de kennis beter gestructureerd in hun geheugen wordt opgeslagen en ze dus ook beter kan opgeroepen worden. Dit is een belangrijk uitgangspunt om een keuze te maken uit de verschillende rekenprocedures. Voor het hoofdrekenen zijn de meest gebruikte rekenprocedures de ‘doorrekenprocedure’ en de ‘splitsprocedure’ (zie onderstaande tabel) . Doorrekenprocedure

Splitsprocedure

Vermijden van opsplitsen van de eerste term

Beide

termen

worden

gesplitst

in

T

Splitsen van de tweede term minimaal (tientallen) en E (eenheden). houden. Vb: 38 + 25 = (30 + 20) + (8 + 5) = 50 + 13 = Vb: 38 + 25 = 58 + 5 = 63

63

De doorrekenprocedure heeft als belangrijk voordeel dat ze voor alle optellingen en aftrekkingen kan gebruikt worden. Zowel voor gehele als voor decimale getallen, en zowel voor brugoefeningen als voor oefeningen waarbij geen brug moet verrekend worden. Dit is met de splitsprocedure niet het geval. Voorbeeld: De leerlingen moeten de volgende oefeningen oplossen: 65 – 23 = 73 – 48 = •

De eerste oefening kan met de splitsprocedure opgelost worden. 65 – 23 = (60 – 20) + (5 – 3) = 40 + 2 = 42 ↓ Het feit dat de uitkomsten van de twee deeloefeningen van de aftrekking moeten opgeteld worden, kan wel voor verwarring zorgen.

•

De tweede oefening levert echter problemen op 73 – 48 → 70 – 40 = 30, maar 3 – 8 gaat niet, daarom zullen kinderen bij deze oplossingsmethode de getallen van plaats verwisselen en het kleinste getal Syllabus Rekenen (2007) - 46 -

van het grootste aftrekken. De uitkomst wordt dan 35 [= (70 – 40) + (8 – 3)] i.p.v. 25.

2.3.3 Minimale belasting van het werkgeheugen Zeker voor leerlingen met leerstoornissen, dienen we te zoeken naar oplossingsmethoden, die het werkgeheugen zo weinig mogelijk belasten. Als de leerlingen verschillende tussenuitkomsten gelijktijdig moeten onthouden, hebben ze meer kans om fouten te maken. Dit is zo omdat ze getallen verkeerd kunnen onthouden of gewoon vergeten. Bij de doorrekenprocedure rekenen we steeds verder met de tussenuitkomst die net bekomen werd. Ze moet dus niet lang onthouden worden. Enkel het tweede getal wordt opgesplitst, zodat er geen deel van het eerste getal kan vergeten worden. Bovendien wordt er bij het optellen steeds opgeteld en bij het aftrekken steeds afgetrokken (geen combinatie zoals bij de splitsprocedure). Zeker voor leerlingen met een leerstoornis is het belangrijk dat zij hun oplossingsprocedure mogen noteren, omdat ze vaak de tussenuitkomsten vergeten. Voorbeeld: 64 – 48 = Doorrekenmethode: 64 – 43 = (64 – 40) – 3 = 24 – 3 = 21 40

3

De tussenuitkomst ’24’ moet eigenlijk niet onthouden worden, omdat er dadelijk mee verder gerekend wordt.

Splitsmethode: 64 – 43 = (60 – 40) + ( 4 – 3) = 20 + 1 = 21 Deze

tussenuitkomst

onthouden

worden

uitgerekend wordt. Syllabus Rekenen (2007) - 47 -

moet

terwijl

‘4

even –

3’

De leerling moet weten dat de tussenuitkomsten moeten opgeteld worden, hoewel het eigenlijk om een aftrekking gaat.

2.3.4 Sober materiaal Wanneer de leerlingen met sober materiaal werken, is het veel makkelijker om de overgang naar verkort en mentaal rekenen te maken. De kwadraatbeelden, die in de meeste huidige Vlaamse rekenmethoden (cfr. Hoofdstuk 3) gebruikt worden, ondersteunen het aanvullen tot 10 en zijn bovendien sobere, makkelijk te herkennen voorstellingen van getallen. Ze vormen dus een goede perceptuele basis voor het vlot splitsen en berekenen. Bij het kwadraatbeeld worden de getallen gelegd in de volgende structuur van 10:

De vakjes worden verticaal opgevuld: Voorbeeld: 2+5=

gg gg gg g

4+5=

gg ggg gg gg

Soms wordt er met de vijfstructuur gewerkt. Het voordeel hiervan is dat de kinderen dit kennen (ze hebben immers vijf vingers aan elke hand). Toch zijn er ook nadelen aan verbonden. Eenzelfde getal heeft dan immers vaak een verschillend uitzicht. Dit kan, zeker aan het begin van het rekenproces, voor bepaalde leerlingen heel verwarrend zijn. Voorbeeld: 2+5=

nn/nnnnn → 5 = 3 (grijze) + 2 (witte) Syllabus Rekenen (2007) - 48 -

4+5=

nnnn/nnnnn

→ 5 = 1 (grijze) + 4 (witte) M.A.B.-materiaal wordt veel gebruikt voor grotere getallen. Met dit materiaal worden de eenheden, de tientallen, de honderdtallen en de duizendtallen visueel voorgesteld. Het materiaal dat hiervoor gebruikt wordt, toont duidelijk de onderlinge verhouding: •

Eenheid (E) = 1 cm³ (een blokje van 1cm x 1cm x 1cm)

•

Tiental (T) = 10 cm³ (een staafje van 10cm x 1cm x 1cm), dus als er 10 eenheden op een rij gezet worden, komt dit overeen met een staafje van 10.

•

Honderdtal (H) = 100 cm³ (een plak van 10cm x 10cm x 1cm), dus als 10 staafjes tegen elkaar gelegd worden, komt dit overeen met een plak van 100.

•

Duizendtal (D) = 1000 cm³ (een kubus van 10cm x 10cm x 10cm), dus als 10 plakken op elkaar gelegd worden, komt dit overeen met een kubus van 1000.

Volgens R. Feys werkt rekenen met MAB-materiaal het splitsen in de hand. De leerlingen gaan eerst de tientallen bij de tientallen voegen en de eenheden bij de eenheden en die deeluitkomsten bij elkaar optellen.

Voorbeeld: 32 + 46 =

Het honderdveld kan het doorrekenen aanschouwelijk ondersteunen. Op deze manier gebruikt, beschouwen we het honderdveld als een ‘routeplan’ waarop aangegeven wordt Syllabus Rekenen (2007) - 49 -

welke weg men aflegt bij het oplossen van een oefening. Het gaat dan niet om een materieel uitrekenmiddel dat de leerlingen steeds kunnen gebruiken om een oefening op te lossen. Het gebruik van een honderdveld is immers niet bruikbaar bij grotere getallen. Voorbeeld:

32

72

78

(1)

(2)

(1)

eerst worden de tientallen bij het getal opgeteld

(2)

dan worden de eenheden erbij geteld

Hierbij moet men steeds voor ogen houden dat het materiaal geen doel op zich is, maar een manier om de leerstof duidelijker en inzichtelijker voor te stellen. Wanneer de leerling het werken met een bepaald soort materiaal, zoals bijvoorbeeld een honderdveld, niet onder de knie krijgt, is dit geen probleem als de leerling op een andere manier de juiste oplossingsweg wel verwerft.

2.3.4 Ruime toepasbaarheid van de aangeleerde kennis en vaardigheden De kennis, die leerlingen verwerven, moet zo ruim mogelijk toepasbaar zijn. Zeker zwakkere leerlingen en leerlingen met een leerstoornis hebben nood aan houvast. De ‘rekenvoordelen’ kunnen een tijdswinst betekenen, maar zijn niet altijd toepasbaar. Het onder de knie hebben van die rekenvoordelen is een pluspunt, maar niet absoluut


noodzakelijk. Daarom kan de keuze gemaakt worden om zwakke rekenaars alleen de algemene strategie aan te leren. Voorbeeld: 36 x 9 kan opgelost worden volgens de algemene strategie: 36 x 9 = (30 x 9) + (6 x 9) = 270 + 54 = 324 Deze strategie kan toegepast worden bij elke opgave van de vorm ‘TE x E’ Maar het rekenvoordeel (9 = 10 – 1) kan hier ook toegepast worden: 36 x 9 = (36 x 10) – (36 x 1) = 360 – 36 = 324 Deze strategie kan echter enkel toegepast worden bij de vermenigvuldiging met 9.


2.4 Hoe komen leerlingen tot automatisering van de basisvaardigheden? Het is reeds aangehaald dat het automatiseren niet vanzelfsprekend voortvloeit uit het inzicht. Het is immers niet zo dat de leerlingen alles wat ze begrijpen ook vlot zelfstandig kunnen toepassen. Aan het automatiseren moet dus expliciet aandacht besteed worden. Het inoefenen van een (deel)vaardigheid, het komen tot automatisatie van een vaardigheid, verloopt in verschillende fasen: Isoleren, Integreren, Generaliseren.

2.4.1 Isoleren Wanneer er een tekort is, moet die (deel)vaardigheid tijdelijk apart geoefend worden. De leerling moet zich immers op dit onderdeel kunnen concentreren om het onder de knie te krijgen. Het is belangrijk dat wordt voortgebouwd op de kennis die de leerling al heeft. Het verband met de reeds aanwezige kennis moet ook heel duidelijk aangegeven worden. Dit principe passen we ook best toe wanneer er nieuwe leerstof aangeboden wordt. Dit betekent concreet dat er per les één rekendomein aan bod komt, dat we aanvankelijk slechts één oplossingmethode aanbieden en dat we met één soort materiaal werken. Leerlingen hebben niet allemaal dezelfde sterke en zwakke kanten. Daarom is het belangrijk om zoveel mogelijk verschillende verwerkingskanalen aan te spreken: •

talig/auditief

•

visueel

•

motorisch

Rekenoefeningen, zeker die waarbij nieuwe vaardigheden worden toegepast, moeten verwoord worden, zowel door de leerkracht, die als model optreedt, als door de leerlingen. Op die manier wordt het talig/auditieve kanaal aangesproken. Wanneer we bijvoorbeeld tussenuitkomsten noteren of met een schema werken, gaan we eerder visueel te werk. Het manipuleren van materiaal ten slotte doet een beroep op motorische activiteiten. Syllabus Rekenen (2007) - 52 -

Sommige leerlingen hebben een uitgesproken voorkeur voor een bepaald kanaal. Bij anderen versterken de verschillende kanalen elkaar en doet het werken op verschillende vlakken het leerproces vlotter verlopen. Het oefenen van geïsoleerde vaardigheden verloopt in verschillende stappen: •

Oriënteren

•

Herhalen

•

Verkorten en verinnerlijken

•

Versnellen

•

Identificeren

2.4.1.1 Oriënteren Het is belangrijk dat de leerlingen kunnen verwoorden waarmee ze bezig zijn. Zo stuurt de leerling zichzelf en kan de leerkracht ook ingrijpen wanneer de redenering op een verkeerde manier verloopt. Het is echter niet voor alle kinderen even makkelijk om goed te verwoorden waarmee ze bezig zijn. Bij het oplossen van een rekenprobleem is het oriënteren zowel vooraf (voor we met het uitrekenen starten) als nadien (wanneer de oplossing gevonden is) belangrijk. Vooraf: -

Rekenprobleem verkennen: Wat moet ik doen? Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen?

-

Oplossingsweg verkennen: Hoe moet ik het doen? Moet ik een splitsing noteren, mag/moet ik met tussenuitkomsten werken, mag ik kiezen welke oplossingsstrategie ik gebruik? Wanneer de leerlingen reeds een aantal oplossingsstrategieën geleerd hebben, speelt het identificeren (zie verder) hier ook een rol: welke oplossingsweg is hier van toepassing? (bijvoorbeeld: Is het een brugoefening of niet?)

Nadien: Syllabus Rekenen (2007) - 53 -

-

Handelingsresultaat grondig analyseren: Is mijn uitkomst mogelijk? Bij een optelling bijvoorbeeld is het resultaat het grootste getal. +

= ↓

dit getal is steeds het grootste van de drie Deze stappen moeten niet altijd even uitgebreid overlopen worden. Bij oefeningen, die onmiddellijk duidelijk zijn, is het zinloos de leerlingen uitgebreid het rekenprobleem en de oplossingsweg te doen verkennen. Voor sommige leerlingen is het heel moeilijk om te verwoorden op welke manier ze te werk gaan. Wanneer een leerling bepaalde fouten blijft maken, kan het nuttig zijn om de leerling de oefening met materiaal te laten uitvoeren om na te gaan waar het probleem zit (cfr. Luik 2, punt 3.2.3. ‘Diagnostisch gesprek’ pg.81 ).

2.4.1.2 Herhalen Leerlingen moeten de verworven kennis snel uit hun geheugen kunnen oproepen. Dit betekent dat ze snel moeten terugvinden waar die kennis opgeslagen ligt. Wanneer je bijvoorbeeld ergens naartoe rijdt, moet je niet meer nadenken waar je precies moet afslaan als je reeds een aantal keer dezelfde weg gevolgd hebt om je bestemming te bereiken. Zo ook kan je sneller kennis oproepen uit je geheugen als je die kennis reeds een aantal keer hebt opgeroepen. Als de leerlingen de nieuwe kennis vaak hebben gebruikt, is die ook vlotter beschikbaar. Herhaling is dus heel belangrijk wanneer men iets wil automatiseren. Hiervoor zijn de ‘rechtdoor-oefeningen’ (kolommen met gelijksoortige opgaven), waarbij een bepaalde vaardigheid getraind wordt, een goed hulpmiddel. Het nadeel hiervan is, dat deze oefeningen soms als ‘saai’ worden ervaren, hoewel ze erg efficiënt zijn met het oog op automatisering. Een handig alternatief om dadelijk een beeld te krijgen in hoeverre de leerlingen bepaalde leerstof onder de knie hebben om zo snel feedback te kunnen geven, is het werken met een droog-uitwisbaar-bordje. De leerkracht geeft hierbij de opgave, waarna de leerlingen de oplossing op hun bordje noteren en dit omhoog steken. Op deze manier kan de leerkracht de gegeven oplossing controleren en heeft hij/zij dadelijk een zicht op de kennis en de Syllabus Rekenen (2007) - 54 -

vaardigheden van alle leerlingen van de hele klas. (Voor meer informatie: zie ‘Werkmap leerstoornissen’ p. 73.)

2.4.1.3 Verkorten en verinnerlijken Wanneer de leerlingen een oplossingsstrategie goed onder de knie hebben, kunnen ze bepaalde stappen overslaan in het oplossingsproces (verkorten). Het is dan ook niet meer nodig elke stap met materiaal uit te voeren of luidop te verwoorden (verinnerlijken). De leerlingen doorlopen doorgaans vier stappen vooraleer ze de leerstof verinnerlijkt hebben: •

De materiële handeling: De leerling manipuleert het materiaal om op die manier tot de juiste oplossing te komen.

•

De perceptieve handeling: De leerling kijkt naar het materiaal en voert in gedachten de materiële handeling uit.

•

De verbale handeling: De leerling geeft zonder materiaal, maar met taal de concrete stappen aan die nodig zijn om de oefening op te lossen.

•

De mentale handeling De leerling denkt enkel nog aan de handelingen en voert die in zijn hoofd uit zonder concreet materiaal en zonder ze luidop te verwoorden.

De taal speelt natuurlijk niet alleen bij de derde stap een belangrijke rol. De materiële handeling bijvoorbeeld wordt immers best ook verwoord terwijl ze wordt uitgevoerd. Wanneer de leerlingen de handeling verkorten, slaan ze bepaalde stappen over. Voorbeeld: 8+5=. Syllabus Rekenen (2007) - 55 -

Wanneer de leerlingen in het begin brugoefeningen moeten oplossen, gaan ze hiervoor uitgebreid met een splitsing te werk: 8 + 5 = (8 + 2) + 3 = 10 + 3 = 13. Na verloop van tijd kennen de leerlingen deze oefening uit het hoofd, en weten ze dadelijk: 8 + 5 = 13. Wanneer de leerling een bepaalde oefening moet oplossen waarvan hij/zij de oplossing niet als parate kennis beschikbaar heeft, kan hij/zij de volledige redenering wel opnieuw opbouwen om zo tot de juiste oplossing te komen.

2.4.1.4 Versnellen Zodra de leerling de (deel)vaardigheid voldoende onder de knie heeft, verhoogt men het tempo. Zeker bij zwakke rekenaars is het belangrijk om met een lichte tijdsdruk te werken (bijvoorbeeld met flitskaartjes). We moeten immers de basiskennis, die paraat aanwezig dient te zijn (zoals de optellingen en aftrekkingen tot 10 en de tafels), snel en accuraat uit het geheugen kunnen oproepen. Hiervoor is veel oefening nodig.

2.4.1.5 Identificeren Wanneer de leerling bepaalde (deel)vaardigheden onder de knie heeft, moet hij/zij kunnen onderkennen wanneer die vaardigheden moeten toegepast worden. Bij ‘identificeren’ wordt hen dit geleerd. Een voordeel is dat deze stap ook afzonderlijk geoefend kan worden.

Voorbeelden: •

De leerlingen krijgen een reeks optellingen van de vorm E + E en omcirkelen de brugoefeningen. (De oefeningen moeten niet opgelost worden.)

•

De leerlingen krijgen een aantal oefeningen en duiden aan bij welke het werken met rekenvoordelen een tijdswinst oplevert.

Via oriënteren, herhalen, verkorten, verinnerlijken, versnellen en identificeren komen de meeste leerlingen tot de automatisering van de aangeleerde vaardigheid. Deze stappen hoeven niet steeds even uitgebreid aan bod te komen, maar zeker bij moeilijkere onderdelen dienen we er wel de nodige aandacht aan te besteden.


Wanneer de leerlingen, ondanks een goede opbouw van het leerproces, niet tot automatiseren komen, kan dit erop wijzen dat de leerling te kampen heeft met andere problemen, zoals een leerstoornis.

2.4.2 Integreren Na het geïsoleerd oefenen van verschillende (deel)vaardigheden, dienen deze samen (geïntegreerd) geoefend te worden. De leerlingen moeten de verschillende vaardigheden immers kunnen gebruiken in complexere oefeningen. Voorbeeld: Een opgave van de vorm TE x E 46 x 7 = (40 x 7) + (6 x 7) = 280 + 42 = 322 De leerlingen moeten hiervoor (onder andere) de volgende deelvaardigheden kunnen toepassen: •

Tafels en tienvoud van de tafels

•

Optellingen met brug over het honderdtal


2.4.3 Generaliseren Als laatste stap moet de leerling het geleerde kunnen toepassen in alle situaties waar het nodig is. Dit wil zeggen dat de leerling niet enkel in de klas, maar ook in situaties daarbuiten zijn/haar rekenkundige kennis moet kunnen gebruiken. Voorbeeld: De leerling kan het oplossen van aftrekkingen toepassen in de rekenles, maar ook bij het berekenen van een hoogteverschil bij W.O. (aardrijkskunde) en bij het berekenen van de hoeveelheid wisselgeld dat hij/zij moet terugkrijgen in de winkel.

3. Enkelvoudig handelingsplan Het enkelvoudig handelingsplan dient aan te sluiten bij de dagelijkse onderwijsleersituatie en wordt opgemaakt door de leerkracht. De vooropgestelde didactische veranderingen en de organisatievorm zijn relatief miniem. De hulp is ingebed in natuurlijke procedures (zorgproject Limburg ‘Uitbouw van een dyslexiebeleid op school, basisonderwijs – eerste graad, 2006). Volgend model kan gebruikt worden bij het opstellen van een handelingsplan:


ENKELVOUDIG HANDELINGSPLAN Leerling: Klas: Leerkracht: Ingangsdatum: Aanmeldingsreden:

Objectieve

o

Leerprobleem

probleem:

o

Werkhoudingprobleem

o

gedragsprobleem

omschrijving

Doelstelling:

Geplande activiteiten:

Materiaal:

Organisatie (Wie?, Wat?):

Evaluatiemoment:

Evaluatiecriteria/-toets(en):

Algemeen besluit:


van

het

4. Besluit De meeste leerlingen komen, dankzij goed onderwijs, tot een voldoende niveau van rekenkundige kennis. Een aantal leerlingen krijgen, ondanks een goede rekendidactiek en vele inspanningen, het rekenen toch niet onder de knie. De draagkracht van het schoolteam blijkt dan overschreden. Op dit moment is het tijd het CLB actief te betrekken bij de leerlingbegeleiding. Het is tijd voor consultatieve leerlingbegeleiding.

5. Bibliografie Billiaert E. & Grysolle R. (2003). LVS-VCLB Leerlingvolgsysteem wiskunde: analyse en handelen. Garant: Antwerpen/Apeldoorn. Borghouts-van Erp J.W.M. (1979). Rekenproblemen opsporen en oplossen. (orthovisies) Wolters-Noordhoff: Groningen. Cooreman A. & Bringmans M. (2003), Rekenen Remediëren: droom of haalbare kaart? De Boeck: Antwerpen. Cuyvers, L. (2004). Inleiding tot de dyscalculie. Acco: Leuven/Antwerpen. Die-’s-Lekti-kus (2004). Werkmap leerzorg: Eerst hulp bij leerstoorsnissen en problemen bij het leren bij normaal begaafde kinderen. Vzw Die-’s-Lekti-kus: Kessel-Lo. Feys R. (1998), Rekenen tot 100. Praktijkgids voor de basisschool. Wolters-Plantyn: Mechelen. Heuninck H. (2002). Nog lang niet uitgeteld. Acco: Leuven/Leusden. Meyer W. (2000). Consultatieve leerlingbegeleiding : van theorie naar praktijk. CPS, Amersfoort. Torbeyns

J.

e.a.

(2005),

Ontwikkeling

van

geheugenkennis

bij

kinderen

met

rekenmoeilijkheden. Signaal, 50, 34-50. Van Keymeulen G. (2004), Rekenvensters voor klas 1, steunpunten bij het automatiseren van de bewerkingen tot 10. Verslagboek 20 maart 2004: Hoe ver gaat onze zorg? Vozo: Mechelen, 277-283.


Luik 2

Eerstelijnszorg: consultatieve leerlingbegeleiding

1. Inleidend Consultatieve leerlingbegeleiding omvat de samenwerking tussen CLB-medewerker en leerkracht, waarbij gedurende een langere periode samen een, voor de leerkracht haalbare en aanvaardbare, oplossing uitgewerkt wordt voor een vastgesteld probleem bij een kind. De motivatie van de CLB-medewerker en de leerkracht om het kind te helpen, vormt de spil binnen deze methodiek. De methodiek is toe te passen bij kinderen met leer-, gedrags- en/of socio-emotionele problemen en raakt steeds aan de didactiek en de manier waarop met kinderen omgegaan wordt. In wat volgt, wordt omschreven hoe de consultatieve leerlingbegeleiding er concreet dient uit te zien. Een volledige uiteenzetting wordt hierbij niet gegeven. Hiervoor verwijzen we naar het boek ‘Consultatieve leerlingbegeleiding: van theorie naar praktijk’ van W. Meijer (2000). Dit boek is bedoeld voor ieder die aan onderwijsbegeleiding doet. De concrete inhoudelijke uitwerking van deze methodiek is zodoende een taak van o.a. de CLB-medewerker. Het is voor elke CLB-medewerker raadzaam het boek grondig door te nemen alvorens van start te gaan met consultatieve leerlingbegeleiding. Binnen dit luik bieden we gespreksfiches aan. De fiches bieden een leidraad, die gehanteerd kunnen worden door de CLB-medewerker bij het voeren van gesprekken met leerkrachten. Op elke fiche is plaats voorzien voor het neerschrijven van de antwoorden van de leerkracht. Bovendien

bieden

we

de

vragenlijst

‘Leerkrachtenbevraging

bij

aanmelding

van

rekenproblemen’ aan. De vragenlijst kan gehanteerd worden om het rekenprobleem nader te analyseren. Concrete voorbeelden van hoe begeleidingsgesprekken kunnen verlopen, vindt men terug in het bovenvernoemde boek.


2. Het begeleidingstraject Het verloop van het begeleidingstraject bij consultatieve leerlingbegeleiding ziet er als volgt uit:


2.1 Introductiefase Doel:

Duiden van de verschillen tussen de consultatieve en gangbare methodiek (accent op begeleiding >< diagnostiek) en bespreken van de consequenties van de nieuwe methodiek voor de samenwerking tussen de leerkracht en de CLB-medewerker.

Proces:

Algemene en specifieke introductie, respectievelijk op school- en leerkrachtniveau

(uitleg

omtrent

verloop

begeleidingstraject,

de

doelstellingen, enz.). Beoogde uitkomst:

Komen tot concrete afspraken om de nieuwe begeleidingsactiviteiten te laten aansluiten bij de bestaande zorgstructuur van de school.

2.2 Probleemidentificatiefase

Doel:

Bekomen van een duidelijke omschrijving van de problematiek zoals die ervaren wordt door de leerkracht bij een individuele leerling in de klas.

Proces:

Problemen benoemen, globaal verkennen, bepalen aan welk probleem prioriteit zal worden verleend en dit probleem verder specificeren.

Beoogde uitkomst:

Bekomen van een zo concreet mogelijke (waarneembaar gedrag) probleemomschrijving als basis voor de probleemanalyse in de volgende fase.


2.3 Probleemanalysefase Doel:

Prioritair probleem analyseren.

Proces:

Onderwijsleersituatie analyseren, directe factoren nagaan (misinteractie tussen leerlingen onderwijscomponent), ontdekken van patronen in directe factoren (hypothesevorming), de invloed van indirecte

factoren

vaststellen

(school-,

leerling-

en/

of

gezinskenmerken), gewenst gedrag omschrijven. Beoogde uitkomst

Bekomen van voldoende informatie om een interventie op te starten en het probleem te verhelpen.

2.4 Opstellen en uitvoeren van interventies Doel:

Bepalen welke doelstelling men wenst te bereiken bij de leerling en bepalen op welke wijze men dit gaat realiseren. Ook de evaluatiewijze van de gekozen aanpak wordt bepaald.

Proces:

Opstellen concreet handelingsplan.

Beoogde uitkomst:

Effectieve aanpak van het probleem.

2.5 Evaluatiefase Doel:

Evaluatie van het effect, procesevaluatie, bijsturen van het handelingsplan.

Proces:

Tussentijdse evaluatiegesprekken ter bespreking van inhoudelijke en organisatorische knelpunten i.f.v bijsturing van het handelingsplan. Eindevaluatie ter beoordeling van het gehele begeleidingstraject.

Beoogde uitkomst:

Afsluiten van het begeleidingstraject of verder diagnostisch onderzoek (cfr. Luik 3).

3. Gespreksfiches en vragenlijst Syllabus Rekenen (2007) - 64 -

Voor de algemene en specifieke introductiefase is geen gespreksfiche opgemaakt. M.b.t. deze fase wordt enkel een overzicht geboden van de gespreksonderdelen, die aan bod moeten komen. Tijdens de introductiefase wordt informatie verstrekt en is voornamelijk de CLB-medewerker aan het woord. In de volgende fasen is er sprake van dialoog en is de leerkracht voor het grootste deel aan het woord.

3.1 INTRODUCTIE Algemene introductie: uitgebreide introductie van de methodiek in een schoolteam De inhoud, die besproken dient te worden: -

Wat is de meerwaarde van consultatieve leerlingbegeleiding?

-

Hoe verloopt de begeleidingscyclus (wijzen op iteratief karakter)?

-

Hoe ziet het samenwerkingsverband met het CLB er precies uit (nadruk op het belang van de leerkracht en het complementair werken)?

-

Hoe is het geheel efficiënt in te passen binnen het zorgbeleid van de school?

Specifieke introductie: korte introductie als start van het begeleidingstraject De inhoud, die aan bod dient te komen: -

Korte verwijzing naar de algemene introductie

-

Doel van het gesprek

-

Opbouw van het gesprek

-

Uitleggen verschil tussen consultatieve en traditionele leerlingbegeleiding

-

Nagaan of de leerkracht de consultatieve werkwijze haalbaar acht

-

Inventariseren van de verwachtingen van de leerkracht


3.2 PROBLEEMIDENTIFICATIE 3.2.1 Gespreksfiche

1. Openingsvraag → Uitnodigen om te vertellen waarover de leerkracht zich zorgen maakt. → Zijn er nog andere problemen? → Check of je de hulpvraag goed begrepen hebt. …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………

2. Probleem globaal afbakenen → Structureren en probleem afgrenzen: Is het een leerprobleem, gedragsprobleem, werkhoudingprobleem? → Bij meerdere opgegeven problemen: systematisch overlopen en afbakenen/ samenvatten …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………

3. Prioriteiten stellen → Wat is volgens de leerkracht het belangrijkste probleem? Waar moet eerst aan gewerkt worden? ……… …………………………………………………………………………………………………… 4. De problematiek specificeren Syllabus Rekenen (2007) - 66 -

4.1 Algemeen → Probleem uitdiepen: stellen van bijkomende vragen ¾ Uiting van het probleem, voorbeelden, situatieschets ¾ Materiaal bekijken ¾ Inschatten van de ernst, de achterstand in vgl. met klasgenoten -

Leerprobleem: Bij welke leerstofonderdelen doen zich problemen voor? Hoe groot is de achterstand? Bij welke taken doen zich problemen voor?

-

Werkhoudingprobleem: Hoe ernstig zijn de problemen? Bij welke opdrachten?

Opmerking: concreet waarneembaar gedrag laten beschrijven (≠ interpretaties!)

…………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………


4.2 Specifiek (rekenprobleem en/of werkhoudingprobleem)

→ Invullen vragenlijst ‘Leerkrachtenbevraging bij aanmelding rekenprobleem’* ¾ Huidige prestatie rekenen: niveaubepaling, foutenanalyse schriftelijk werk (klassikale werkjes, toetsen, LVS, …) ¾ Werkhouding en algemene prestaties ¾ Voorgeschiedenis

*De vragenlijst vindt men terug onder punt 3.2.2 pg. 70)

…………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………...


5. PROBLEEMIDENTIFICATIEFASE samenvatten: Nagaan of je het probleem duidelijk begrepen hebt. Bijkomende opmerkingen? …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………

6. Gemaakte afspraken (bv. Verzamelen van bijkomende informatie i.f.v. volgende fase door observatie* of gesprek met ouders, wie doet wat?, volgende samenkomst?) …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… *In functie van het doorlopen van de volgende fase ‘probleemanalyse’ is het belangrijk dat de leerkracht een duidelijk zicht krijgt op de strategie en het aanpakgedrag van het kind bij het maken van rekenopdrachten. De leerkracht dient hiertoe heel gericht te observeren en kan gebruik maken van ‘het diagnostisch gesprek’ om het rekenprobleem beter te duiden. De bekomen informatie wordt uitvoerig besproken tijdens de fase van de probleemanalyse. Hoe een diagnostisch gesprek dient te verlopen, komt in een volgende deel aan bod (punt 3.2.3 pg. 81). De CLB-medewerker verschaft uitleg en biedt ondersteuning waar nodig.

3.2.2 Vragenlijst ‘Leerkrachtenbevraging bij aanmelding van rekenproblemen’


Wanneer een leerling met rekenproblemen bij het CLB aangemeld wordt, moet de CLBmedewerker een zo ruim mogelijk beeld van de leerling proberen te krijgen. Hiervoor is het belangrijk dat alle informatie die over de leerling al op school aanwezig is, verzameld wordt. Om op een systematische wijze de nodige informatie te verzamelen kan gebruik gemaakt worden van de vragenlijst ‘Leerkrachtenbevraging bij aanmelding van rekenproblemen’. De vragenlijst dient aangewend te worden door de leerkracht om gericht het rekenprobleem te analyseren. De vragenlijst kan tijdens een gesprek rond probleemidentificatie met de CLBmedewerker ingevuld worden. Indien de vragenlijst enkel door de leerkracht werd ingevuld, dient de bekomen informatie, nadien, samen met de CLB-medewerker, besproken te worden. Binnen de vragenlijst worden eerst de huidige prestaties van het rekenen onder de loep genomen. De fouten worden onderworpen aan een nadere analyse. De opdeling van items in de vragenlijst helpen bij het benoemen/het identificeren van het rekenprobleem. Hierbij dient te worden aangehaald dat de vragenlijst een breed spectrum beslaat. Niet alle vragen zijn van toepassing bij elke leerling. Bij het overlopen van de vragenlijst dient men zodoende selectief te werk te gaan en dient men rekening te houden met het leerjaar, waartoe de leerling behoort, de didactische leeftijd van de leerling en de bereikte fase binnen het leerplan.


VRAGENLIJST Leerkrachtenbevraging bij aanmelding van rekenproblemen ¾ Handleiding voor leerkrachten ¾ Handleiding voor CLB-medewerkers ¾ Leerkrachtenbevraging o

Huidige prestaties voor rekenen

o

Algemene prestaties en werkhouding


VRAGENLIJST Leerkrachtenbevraging bij aanmelding van rekenproblemen Handleiding voor leerkrachten Als leerkracht ziet u leerlingen in verschillende omstandigheden, zowel tijdens leermomenten als tijdens vrijere momenten. U ziet ook veel leerlingen van dezelfde leeftijd. Daardoor beschikt u reeds over heel wat informatie. Wanneer u een leerling bij het CLB aanmeldt, is die informatie voor de CLB-medewerker dan ook onontbeerlijk. Ze vormt immers de basis van het begeleidingstraject en eventueel verder diagnostisch onderzoek. Wanneer een leerling omwille van een rekenprobleem wordt aangemeld, kan een specifieke observatie van het rekenproces nog heel wat bijkomende gegevens opleveren. Hierbij is het belangrijk dat zoveel mogelijk aspecten van het rekenen bekeken worden. De bijgevoegde bevraging wil een houvast zijn bij de observatie van die verschillende onderdelen. De leerkrachtenbevraging kan dan de basis vormen bij de bespreking(en) met de CLBmedewerker van een leerling met rekenproblemen. U beschikt misschien niet over voldoende informatie om alle onderdelen in te vullen (bijvoorbeeld: de leerling is in de loop van de schoolloopbaan van school veranderd en u heeft geen gegevens over de voorgeschiedenis van de leerling). Dat vermeldt u dan gewoon bij het betreffende onderdeel.


VRAGENLIJST Leerkrachtenbevraging bij aanmelding van rekenproblemen Handleiding voor CLB-medewerkers De school en de leerkracht beschikken over heel wat informatie over elke leerling. Ook van de leerling, die omwille van een rekenprobleem wordt aangemeld, heeft de leerkracht reeds heel wat gegevens: zo zijn er de resultaten van de methodebonden toetsen, van het LVS, enz.. Maar er is ook andere informatie. De leerkracht heeft immers een beeld van de werkhouding van de leerling (tijdens het rekenen en tijdens andere vakken), kan de prestaties vergelijken met de prestaties van de klasgroep, heeft een zicht op de huistaken en de lessen die thuis moeten verwerkt worden, enz.. Soms is het voor een leerkracht echter een probleem om leerlingen gericht te observeren. De bijgevoegde bevraging kan hierbij helpen. Hierin komen de verschillende aspecten van het rekenen aan bod. Door deze vragen wordt de aandacht van de leerkracht niet alleen naar de problemen, maar ook naar de sterke kanten van de leerling getrokken. De bespreking van deze bevraging met de leerkracht is dan de basis voor het uitstippelen van het verdere traject.


VRAGENLIJST Leerkrachtenbevraging bij aanmelding van rekenproblemen IDENTIFICATIEGEGEVENS LEERLING Naam:......................................................................................................................................... Voornaam:.................................................................................................................................. Geboortedatum: ......................................................................................................................... Klas: ........................................................................................................................................... School: ....................................................................................................................................... Leerkracht: ................................................................................................................................. Datum:........................................................................................................................................

1. Huidige prestatie voor rekenen 1.1. Niveaubepaling Methodegebonden toetsen (rekenmethode:.. ........................................................................... ) Resultaten: Algemeen:……………………………………………………………………. Per onderdeel:……………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………. Toetsen van het leerlingvolgsysteem (LVS: …………………………………………………) Resultaten: Algemeen:…………………………………………………………………………. Per onderdeel:……………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………. 1.2. Aspecten van rekenen •

Semantisch geheugen

De leerling heeft problemen met: ○ Automatiseren splitsingen getallen tot 10 ○ Automatiseren maal- en deeltafels ○ Antwoorden die moeten opgehaald worden uit het geheugen Syllabus Rekenen (2007) - 74 -

○ vb. 2 + 3 wordt 4 (verderzetten getallenrij) ○ vb. 2 + 3 wordt 6 (vermenigvuldiging i.p.v. optelling) ○ vb. 7 + 0 wordt 0 (verwarring met x, komt vaak voor bij inoefenen van de tafels) ○ Onthouden rekenkundige termen ○ som / verschil / product / quotiënt ○ teller / noemer ○ evenwijdig / loodrecht ○ parallellogram / trapezium ○ andere:………………………………………………………………………………… ○ Onthouden formules (omtrek en oppervlakte) ○ Arbitraire afspraken: ○ < en > staat voor ‘is kleiner en groter dan’ ○ teller staat boven breukstreep, noemer staat eronder ○ Andere aspecten die opvallen in verband met het semantisch geheugen: ……............................................................................................................................................. .................................................................................................................................................... ............................................................................................................................... •

Procedures

De leerling heeft problemen met: ○ Het oplossen van bewerkingen: ○ Oefeningen tellend blijven oplossen ○ Oefeningen met brug: de stap ‘aanvullen of verminderen tot 10’ wordt overgeslagen [vb. 8+5 wordt 15 (10+5) of 13-6 wordt 4 (10-6)] ○ Hoofdrekenen: tussenuitkomsten vergeten of stappen overslaan (vb. 35+28 wordt 43 omdat de tientallen van de tweede term vergeten zijn) ○ Staartdeling: verschillende stappen door elkaar halen ○ Aftrekkingen met brug: niet ‘gaan lenen’, maar de oplossingsstrategie ‘grootstekleinste’ toepassen (vb. 46-28 wordt dan 22) ○ x met een getal bestaande uit twee cijfers [vb. 23x42 wordt 86, nl. (20x4)+(3x2) ○ Rekenen met rekenvoordelen: de stappen niet volledig correct toepassen (vb. 45x9 wordt 450-1 in plaats van 450-45) ○ Metend rekenen: zich steeds afvragen welk getal in de kolom van de gegeven maat moet staan ○ Problemen oplossen: steeds weer twijfelen welke gegevens noodzakelijk zijn en welke niet:………………………………………………………………………………………………….

○ Oefeningen met breuken: ○ Breuken nemen van een getal: twijfelen of het cijfer boven of onder de breukstreep de verdeling aanduidt Syllabus Rekenen (2007) - 75 -

○ Uitvoeren van bewerkingen met breuken: zich steeds weer afvragen of gelijknamig moet gemaakt worden bij + of x ○ Uitvoeren van bewerkingen met breuken: vergeten of de eerste of de tweede breuk moet omgekeerd worden bij een deling ○ Andere aspecten die opvallen in verband met het toepassen van procedures: …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… •

Getallenkennis

De leerling heeft problemen met: ○ Lezen van cijfers en bewerkingssymbolen, bijvoorbeeld: ○ verwarring ‘zeven’ en ‘negen’ (gelijkenis benamingen) ○ verwarring ‘6’ en ‘9’ (gelijkenis symbolen) ○ verwarring ‘elf’ en ‘twaalf’ (onlogische benamingen) ○ vergeten dat ‘+’ staat voor ‘plus’, ‘vermeerderen’, ‘erbij doen’ ○ verwarring ‘63’ en ‘36’ (vanuit een andere moedertaal: in het Frans worden bijvoorbeeld eerst de tientallen en dan de eenheden benoemd) ○ Het rangschikken van getallen ○ Inzicht in de getalstructuur ○ van plaats verwisselen van T, E ○ problemen met opsplitsen van getallen in H, T, E ○ problemen met het noteren van grotere getallen, zeker met meerdere nullen (zesentwintigduizend en één) of decimale getallen (zeven hondersten) ○ Het maken van omzettingen bij metend rekenen lukt enkel met behulp van een tabel en dan nog zeer moeizaam (lengtematen/inhoudsmaten/oppervlaktematen/gewichten) …………………………………………………………………………………………………….... ○ Het vatten van de precieze betekenis van breuken en procenten ○ Andere aspecten die opvallen in verband met getallenkennis: …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………


•

Visueel-ruimtelijke vaardigheden

De leerling heeft problemen met: ○ Visuele informatie: dit is geen verduidelijking (vb. honderdveld, breukentafel) ○ Het werken in rijen of kolommen ○ bij een rekenrooster wordt het getal vaak in het verkeerde vakje geschreven ○ bij een tabel kijkt een leerling vaak op de verkeerde lijn of in de verkeerde kolom ○ De fijne motoriek ○ onduidelijk handschrift, ondanks inspanningen ○ vaak vlekken en vegen ○ moeite met het hanteren van lat, passer, tekendriehoek ○ niet nauwkeurig kunnen meten met lat en gradenboog ○ De interpretatie van visueel-ruimtelijke gegevens: ○ problemen met het zien van gelijkenissen tussen verschillende voorstellingen (gewone som, pijlenvoorstelling, roostervoorstelling) ○ problemen met het interpreteren van diagrammen, grafieken ○ problemen met het begrijpen van gegevens van een vraagstuk die visueel voorgesteld worden ○ Het ruimtelijk inzicht ○ niet zien of rechten evenwijdig lopen of niet ○ niet op zicht kunnen beoordelen of een hoek scherp of stomp is ○ steeds expliciet moeten nameten of een lijn een symmetrieas is ○ Andere aspecten die opvallen in verband met visueel-ruimtelijke vaardigheden bij de leerling: …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………..

2. Algemene prestaties en werkhouding Leerling presteert voor rekenen: ○ beter op oefeningen dan bij toetsen ○ beter voor huistaken rekenen dan in de klas ○ beter wanneer meer tijd gegeven wordt ○ andere opmerkingen i.v.m. de prestaties voor rekenen: ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… Werkhouding rekenen: ○ Impulsief (te snel beginnen aan de oefening; antwoorden roepen door de klas,…) ○ Te weinig initiatief nemen (snel oordelen dat een oefening toch te moeilijk is en daardoor er niet aan beginnen) ○ Zichzelf heel vaak corrigeren, waardoor de werkbladen erg slordig worden ○ Andere opmerkingen i.v.m. de werkhouding van de leerling voor Syllabus Rekenen (2007) - 77 -

rekenen…………...…………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Werkhouding andere vakken:.............................................................................................. ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ Er is een verschil tussen werkhouding rekenen en andere vakken: ................................... ............................................................................................................................................ …………………………………………………………………………………………………........ Prestaties overige vakken: •

Taal -

Spelling:

……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………….

-

Lezen: Technisch:

……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………. Begrijpend: ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………. •

Andere vakken (WO, LO …)

…………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………


3. Voorgeschiedenis 3.1. Kleuteronderwijs ○ De leerling heeft een jaar langer kleuteronderwijs gevolgd (klas die werd overgedaan: ……………………………………) ○ Reden …………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………… Tijdens de kleuterjaren waren er problemen met: ○ Het verwerven van de rekentaal, zoals telwoorden, eigenschappen voor classificeren,…: (vb.: weinig / eerste / voor / kleinste / minder / laagst / middelste / kortste / dun / …) Specifieke begrippen die steeds weer problemen opleverden: … .................................................................................................................................... ○ Het leren tellen ○ Het inzicht dat het telwoord een hoeveelheid aangeeft ○ Lateralisatie (problemen links-rechts, lange aarzeling bij het kiezen van een voorkeurshand,….) ○ Voorwaarden voor logisch redeneren ○ correspondentie (1-1 relatie, meer/minder) ○ seriatie (ordenen volgens grootte, hoeveelheid, …)

3.2. Evolutie probleem in de lagere school ○ De leerling heeft een jaar overgedaan: (klas die werd overgedaan: ……………………………………) ○ Reden …………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... Evolutie van het probleem: ○ Het probleem is nu pas duidelijk aan de oppervlakte gekomen ○ De leerling presteerde tot nu toe gemiddeld goed voor rekenen, maar de prestaties gaan nu achteruit ○ Het probleem is al geruime tijd sluimerend aanwezig, maar treedt nu meer op de voorgrond (leerling heeft er ook emotionele problemen mee) ○ De ouders ervaren nu ook problemen thuis


○ Het probleem is reeds geruime tijd aanwezig/zichtbaar: Sinds wanneer is het probleem aanwezig:……………………………………………. Waarom werd het probleem niet vroeger gemeld? ………………………………….. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ................................................................................................................... Andere opmerkingen: …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………


3.2.3 Diagnostisch gesprek Nagaan op welke manier de leerling een bepaalde rekenopdracht uitvoert is heel belangrijk. Aan de hand van een diagnostisch gesprek trachten we te weten te komen hoe de leerling tot de oplossing gekomen is, m.a.w. het rekenproces is hier van belang. Bij leerlingen, die zwak presteren omdat ze een verkeerde strategie gebruiken of een bepaalde (deel)vaardigheid (nog) niet onder de knie hebben, is een diagnostisch gesprek enorm belangrijk, omdat op die manier duidelijk wordt welke accenten bij de remediëring moeten gelegd worden. Verder moet er ook aandacht besteed worden aan de motivatie en interesses van de leerling. Hoe de leerling tegenover leren/school in het algemeen en tegenover rekenen in het bijzonder staat, heeft immers veel invloed op de behaalde resultaten. Er zijn bijvoorbeeld leerlingen die reeds afhaken van zodra er een rekenopgave aangeboden wordt. Zij gaan er immers van uit dat ze dit toch niet kunnen en proberen niet eens tot een oplossing te komen. Bepaalde leerlingen doen geen moeite, omdat ze weten dat ze het niet kunnen maar nog liever ‘lui’ dan ‘dom’ zijn. Ook de houding van de omgeving tegenover de zwakke rekenresultaten speelt een rol. Een diagnostisch gesprek levert niet alleen erg veel zinvolle informatie op i.f.v de probleemanalyse. Ook tijdens het klasgebeuren kan de techniek frequent ingelast worden om een zicht te krijgen op de manier waarop de leerling te werk gaat en te weten in welke richting bijgestuurd dient te worden. Het gesprek dient niet steeds even uitgebreid te gebeuren, maar via observatie, introspectie/retrospectie en doorvragen (zie verder 3.2.3.1 ´verloop van het diagnostisch gesprek´, pg.82) kan de leerkracht al heel wat gegevens over het rekenproces verzamelen.


3.2.3.1 Verloop van het diagnostisch gesprek

Het diagnostisch gesprek verloopt in verschillende stappen:

Observeren Vragen om introspectie/retrospectie Doorvragen Bespiegelen Variëren van opgaven Hulp geven

Voor de verschillende stappen en de technieken van het diagnostisch gesprek baseren wij ons voornamelijk op de Kwantiwijzer voor leerkrachten (van den Berg, van Eerde & Lit, 1992).

Observeren Dit is meer dan het bekijken van de leerling die, een rekenopgave oplost. Het moet heel actief gebeuren. Het handelen van de leerling start van zodra de opgave is aangeboden. Dit is dan ook het belangrijkste moment van de observatie. Sommige handelingen zijn heel makkelijk observeerbaar: wanneer de leerling met materiaal werkt, tussenuitkomsten noteert, hardop denkt, enz.. Andere handelingen zijn verborgen, maar kunnen wel afgeleid worden uit openlijke handelingen. Wanneer een leerling bijvoorbeeld de handen onder de bank verbergt, kan dit erop wijzen dat hij/zij op de vingers telt. Als de leerling een bepaald voorwerp nauwlettend in het oog houdt, zoals de mappen in het rek, en daarbij met het hoofd knikt of de lippen zachtjes beweegt, kan dit ook op tellen wijzen. Mentale handelingen zijn volledig verborgen. De tijd die verloopt tussen de opgave en het antwoord, kan een aanwijzing zijn dat de leerling mentaal bepaalde tussenstappen uitvoert.


Vanuit de observatie vormt men een hypothese over de manier waarop een leerling een bepaalde rekenopgave oplost. Die hypothese wordt in de volgende stappen verder onderzocht. (Innerlijke handelingen kunnen in de volgende stappen ook verder bevraagd worden.) Opmerking: Men wacht best met het noteren van de observaties tot de leerling een antwoord gegeven heeft. Tijdens het schrijven verliest men immers de leerling uit het oog waardoor informatie verloren gaat.

Vragen om introspectie / retrospectie Bij introspectie vraag je aan leerlingen om luidop te denken bij het oplossen van een probleem. Dit zal echter voor de meesten te moeilijk zijn, waardoor we dienen gebruik te maken van retrospectie. Hierbij vraag je ná het oplossen van een probleem wat ze gedacht hebben. Leerlingen dienen de manier van werken uit te leggen (vb.: “Hoe heb je dat gedaan?” “Wat heb je gedaan?”). Wanneer ze moeilijkheden hebben met het verwoorden of wanneer ze weten dat de gehanteerde strategie niet de meest aangewezen is (vb. op de vingers tellen), geven ze soms vage antwoorden. Een langere reactietijd bij een oefening kan ook aanleiding geven om door te vragen, dus het is belangrijk om hierop te letten. Wanneer een leerling bijvoorbeeld na een opgave zegt: “ik weet de oplossing uit mijn hoofd”, maar tijdens de opgave zeer veel tijd nodig had om tot de oplossing te komen, kan hij/zij geteld hebben. In geval van twijfel of bij vage antwoorden, is het belangrijk om door te vragen. De wijze van bevragen dient uiteraard te variëren naargelang de leeftijd. Bij jongere leerlingen kan je bijvoorbeeld vragen: “Kan jij mij eens helpen om deze oefening op te lossen, ik weet niet zo goed hoe ik eraan moet beginnen?” Oudere leerlingen weten heel goed dat de proefleider de oplossing zelf kent, maar gewoon wil weten hoe hij/zij tot de oplossing is gekomen. Doorvragen Bij doorvragen ga je om verdere uitleg vragen. Dit doe je best aan de hand van open vragen die aansluiten op wat de leerling zelf zegt. Hierbij mogen er geen suggestieve vragen gesteld worden. Wanneer je bijvoorbeeld twijfelt of een leerling al dan niet verkorte handelingen Syllabus Rekenen (2007) - 83 -

hanteert, kan je vragen naar tussentijdse berekeningen (niet onmiddellijk een antwoord geven, kan wijzen op tellen in plaats van verkorte handelingen en kan zo een aanwijzing vormen om door te vragen). Materialen en visuele voorstellingen waarmee de leerling vertrouwd is, kan je best bij de hand houden. Op deze manier kan je hem/haar laten demonstreren en verwoorden bij het antwoorden. Daarnaast kan je de leerling ook duiding laten geven bij correcte oplossingen.

Bespiegelen Bespiegelen is een leerling confronteren met de eigen werkwijzen of die van anderen om reflectie uit te lokken. Deze techniek zorgt niet enkel voor afwisseling in het gesprek, maar is bovendien goed bruikbaar bij zwijgzame leerlingen. Mogelijkheden staan hieronder beschreven:

“Ken je nog een andere manier om zo’n som uit te rekenen?”

“Welke som vind jij de moeilijkste/makkelijkste? Waarom?”

Vertel aan de leerling hoe jij denkt dat hij/zij een opgave heeft aangepakt, maar hanteer hierbij een andere strategie dan de oplossingsmethode die de leerling vermoedelijk heeft gevolgd.

Reken de opgave uit zoals de leerling het vermoedelijk ook heeft gedaan, maar maak opzettelijk een fout.

Vertel een verhaal van hoe een andere leerling zo’n opgave heeft aangepakt, en vraag wat deze leerling ervan vindt.

Variëren van opgaven Hierbij wordt een reeks opgaven aangeboden die in mindere of meerder mate op de oorspronkelijke opgave lijken. Op die manier tracht je een beeld te krijgen van de wijze waarop de leerling een bepaalde opgave aanpakt. Als de leerling er niet in slaagt de opgave correct op te lossen, kunnen makkelijkere oefeningen gegeven worden. Zo wordt het duidelijk welke handelingen de leerling reeds kan en welke (nog) niet. Voorbeeld: De leerling moet een oefening van de vorm TE + TE met brug oplossen (vb. 46 + 27). Als dit niet lukt, kan gezocht worden wat nog wel lukt: een opgave van de vorm TE + Syllabus Rekenen (2007) - 84 -

TE zonder brug (vb. 46 + 23), een opgave van de vorm TE + E met brug (vb. 46 + 7), een opgave van de vorm TE + T (vb. 46 + 20) …

Hulp geven Vaak is het onze eerste impuls de leerling te helpen indien hij/zij een opgave niet kan. Toch is het beter dit uit te stellen tot op het einde van het gesprek. Hulp geven bestaat uit verschillende stappen waarbij de aangeboden ondersteuning geleidelijk wordt vergroot/uitgebreid met als doel de opgave makkelijker oplosbaar te maken. Het is belangrijk dat de leerling blijft nadenken over vragen en opgaven, dus is het geenszins de bedoeling dat de oplossing voorgezegd wordt. Het bieden van hulp verloopt in verschillende stappen. Steeds wanneer de leerling faalt, wordt de volgende stap aangeboden. 1. Hulpvragen stellen, die de leerling in een bepaalde richting kunnen leiden: “Kijk nog eens goed wat er staat.” “Welke stap kunnen we eerst doen?” “Heb je nog al zulke sommen opgelost?” 2. Structureren van de opgave (schematisering, materialisering). Hierbij gaan we materiaal aanbieden dat de leerling al kent. 3. Voorstructureren van het oplossingsproces. Dit houdt in dat we deelstappen aangeven of de oplossingsstrategie uitleggen. 4. Modelleren: de leerkracht doet eerst de strategie voor terwijl de leerling toekijkt, daarna doen ze het samen waarbij de leerling steeds meer zelfstandigheid krijgt. Opmerking: Het is belangrijk te controleren of de aangeboden hulp effectief is door de leerling een gelijkaardige opgave zelfstandig te laten uitvoeren.

Voorbeeld van een diagnostisch gesprek Opgave van de vorm E + E met brug over de tien: 8+5=. Onmiddellijk nadat de oefening gegeven wordt, gaan we observeren. Telt de leerling op de vingers (5-structuur met 1 hand of 10-structuur met de beide handen?), rekent de leerling Syllabus Rekenen (2007) - 85 -

hardop, bewegen de lippen of het hoofd, …? De leerling vindt bijvoorbeeld 8 + 5 = 12. Nu gaan we over tot retrospectie. We vragen hoe de leerling tot deze oplossing is gekomen. Indien de leerling zegt dit uit het hoofd te weten, maar er lang over heeft gedaan om tot de oplossing te komen, kunnen we twijfelen of de som inderdaad wel geautomatiseerd is. In dit geval kunnen we doorvragen. Als de leerling bijvoorbeeld antwoordt: “Gewoon geteld”, kunnen we verder doorvragen. Let erop om geen suggestieve vragen te stellen. Dit gevaar stelt zich wanneer we vragen naar het al dan niet uitvoeren van een bepaalde handeling (bij onze oefening 8 + 5: “Heb je geteld tot 10 en dan nog 3 erbij?”). De leerling kan dergelijke suggestieve vraag beamen, omdat hij/zij vermoedt dat dit wellicht de juiste strategie is. Je kan bijvoorbeeld zeggen: “Tel nu eens luidop zoals je daarnet in je hoofd hebt gedaan”. Bespiegelen kunnen we ter afwisseling hanteren. We kunnen nagaan of de gebruikte strategie de enige is die voor de leerling mogelijk is. “Kan je dit nog op een andere manier oplossen?” Of, bijvoorbeeld indien de leerling geteld heeft, nagaan of het elke brugoefening dient uit te tellen. “Zijn er sommen die je niet moet tellen en die je zo weet?” Hiervoor zou je dan een blad met sommen (met en zonder brug) kunnen geven waarbij de leerling moet aanduiden welke hij/zij meteen kent (zonder te tellen). Variëren van opgaven: We bieden opgaven van verschillende moeilijkheidsgraad aan (dubbelsommen (6+6) of niet, afstand tussen de getallen klein (6+8) en groot (2+9), bijna-dubbelsommen (6+7), afstand tot 10 klein (9+5) of groot (4+7)) om zo een zicht te krijgen op het handelen. Uiteindelijk kan je hulp bieden. Hierbij is het belangrijk dat je de strategie die op school aangeleerd wordt, ook hier aanbiedt met hetzelfde materiaal en dezelfde manier van noteren.


3.3 PROBLEEMANALYSE 3.3.1 Gespreksfiche 0. Kort samenvatten van gegevens probleemidentificatiefase

1. De onderwijsleersituatie analyseren (directe factoren) → Onderwijscomponenten bevragen: -

Taak: de aard van de opdracht, die de leerling krijgt en niet kan ¾ Hoe ziet de les eruit? ¾ Welke taken bied je aan? ¾ Welke materialen gebruik je? ¾ Mag de leerling speciale hulpmiddelen gebruiken? (een tafelkaart, een fiche met de formules voor de berekening van de omtrek en de oppervlakte, een stappenplan voor het oplossen van vraagstukken …) ¾ Wanneer mag de leerling deze hulpmiddelen gebruiken? o

Altijd

o

Enkel bij oefeningen in de klas

o

Enkel bij oefeningen thuis

o

Bij toetsen

o Op andere momenten………………….. -

Instructie: activiteiten ondernomen door de leerkracht om leergedrag op te wekken en te sturen ¾ Welke instructies geef je? ¾ Hoe stuur je bij? Hoe reageert de leerling?

-

Reeds geboden hulp: Welke acties werden reeds ondernomen? ¾ extra individuele uitleg door de leerkracht ¾ extra individuele uitleg door een klasgenoot ¾ gedifferentieerde oefeningen in de klas, huiswerkopdrachten, …


Onderwijscomponenten: -

Taak:

…………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… -

Instructie:

…………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… -

Reeds geboden hulp:

…………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………

→ Leercomponenten bevragen*: Syllabus Rekenen (2007) - 88 -

*Gegevens bekomen a.d.h.v. het diagnostisch gesprek en observatie.

-

Strategie: manier waarop de leerling een taak tot een goed einde brengt

-

Aanpakgedrag/ werkhouding: de wijze waarop de leerling de taak aanpakt, uitvoert en evalueert ¾ Heb je de leerling kunnen observeren? ¾ Hoe gaat deze te werk (bv. Impulsief)? Is dat steeds zo? ¾ Hoe stuur je bij? Effect?

Leercomponenten: -

Strategie:

…………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… -

Aanpak:

…………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… → PROTECTIEVE FACTOREN ? → HYPOTHESE VAN DE LEERKRACHT? (patroon in directe factoren?)


Protectieve factoren: …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… Hypothese: …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………

2. De invloed van indirecte factoren vaststellen ¾ Leerlinggebonden (emotioneel, fysiek, cognitief)? ¾ Klassituatie (didactiek, curriculum, klasgenoten,…)? ¾ Thuissituatie? Ervaren ouders het als een probleem? ¾ Leerproblemen in het gezin? ○ Broer(s)/zus(sen) met een leerprobleem/rekenstoornis? ○ Ouder(s) problemen met rekenen? → Welke factoren spelen een rol? Wat is het onderliggend probleem volgens de leerkracht? → Wat zijn de consequenties van die factoren op de onderwijsleersituatie? …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………

3. Discrepantie tussen actueel en gewenst gedrag → Wat zou de leerling, gezien zijn leeftijd, moeten kunnen? → Wat kan de leerling nog niet? → Wat moet er gebeuren om de gewenste situatie te bereiken? Syllabus Rekenen (2007) - 90 -

→ Op welke termijn zou de gewenste situatie bereikt kunnen worden? …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………

4. Gesprek samenvatten -

belangrijkste beïnvloedende factoren

-

samenhang factoren en het probleem

-

samenhang factoren onderling

Bijkomende opmerkingen? …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………

5. Afspraken (verzamelen bijkomende informatie? gesprek ouders? onderzoek buiten de competenties van de school/clb (neurologisch onderzoek?) wie doet wat? volgende samenkomst? enz.)

…………………………………………………………………………………………………………… Syllabus Rekenen (2007) - 91 -

…………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………

3.4 KIEZEN VAN DE INTERVENTIE EN OPSTELLEN VAN DE EVALUATIECRITERIA 3.4.1 Gespreksfiche

1. Doelen vaststellen -

Realistische doelen op korte termijn: welk aspect van het probleem wordt eerst aangepakt?

-

Realistische doelen op lange termijn: welke aspecten van het probleem worden nadien Syllabus Rekenen (2007) - 92 -

aangepakt? -

In welke mate wijken de doelen af van de gangbare onderwijsleerdoelen?

-

Welke consequenties brengt dit met zich mee (bv. veranderingen in de klassituatie, toetsmomenten, hulp van thuis, buitenschoolse hulp, …)?

-

Helpt het verwezenlijken van bovenvernoemde doelen het kind vooruit? Is het plan wenselijk?

…………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………

2. Inhoudelijke aspecten handelingsplan -

Is beïnvloeding van de strategie nodig? Zo ja: ¾ Waaruit bestaat de gewenste verandering? ¾ Hoe kunnen we de verandering bekomen? ¾ Hoe kunnen we evalueren dat de gewenste verandering is bereikt (opstellen evaluatiecriteria)?

-

Is beïnvloeding van het aanpakgedrag nodig? Zo ja: ¾ Waaruit bestaat de gewenste verandering? ¾ Hoe kunnen we de verandering bekomen (taken- en instructieverandering)? ¾ Hoe kunnen we evalueren dat de gewenste verandering is bereikt (opstellen Syllabus Rekenen (2007) - 93 -

evaluatiecriteria)? -

Dienen we rekening te houden met indirecte schoolfactoren? Zo ja, welke?

-

Dienen we rekening te houden met indirecte leerlingfactoren? Zo ja, welke?

…………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………

3. Organisatorische afspraken omtrent de uitvoering van het handelingsplan -

Wie voert het plan uit? Inzetbare mankracht binnen/buiten de school?

-

Hoeveel tijd is er beschikbaar?

-

Startdatum van de interventie?

-

Wie toetst de effectiviteit van de interventie en op welke manier zal dat gebeuren ?

…………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… Syllabus Rekenen (2007) - 94 -

…………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………

4. Vaststellen begeleidingsbehoefte van de leerkracht? -

In welke mate acht de leerkracht zich in staat het plan zelfstandig uit te voeren? Zijn er extra maatregelen nodig?

-

In welke mate zijn de wenselijke interventies haalbaar? Anticiperen hoe veranderingen zullen lopen, hoe mogelijke problemen op te lossen.

-

Heeft de leerkracht extra vaardigheden, extra ondersteuning nodig?

…………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………

5. Evaluatie - Evaluatiecriteria: - Evaluatiemiddel: - Evaluatiemoment: ………………………………………………………………………………………………………....... …………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………....... ………………………………………………………………………………………………………....... ………………………………………………………………………………………………………....... ………………………………………………………………………………………………………....... ………………………………………………………………………………………………………....... ……………………………………………………………………………………………………….......


6. Afspraken (i.v.m. verdere uitwerking van het plan, opvolging van het plan, opvolging van de leerling en de leerkracht, de begeleiding van de leerkracht, enz.) …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………

3.4.2 Meervoudig handelingsplan Het resultaat van de samenwerking tijdens de interventiefase is een meervoudig handelingsplan. De uitvoering van een meervoudig handelingsplan impliceert zeker een verandering in het courante onderwijsgedrag (vb.organisatie). De didactische veranderingen, i.f.v. differentiatie en remediëring, zijn groter en gebeuren op een meer doordachte manier. Op welke manieren men kan differentiëren en remediëren, vindt men terug onder paragraaf 3.4.3, pg. 102) Het handelingsplan dient opgenomen te worden in het dossier van de leerling. Op de volgende bladzijde vindt men een model terug, dat aangewend kan worden bij het opstellen van een handelingsplan.


MEERVOUDIG HANDELINGSPLAN

Gegevens van de leerling:

Naam leerling:

Geboortedatum:

Leeftijd: Klas:

dle:

Leerkracht:

Vakonderdeel:

Handelingsplan nr.: Ingangsdatum:

Handelingsplan opgesteld door:

Aanmeldingsreden/ probleemomschrijving:


Beginsituatie (huidig prestatieniveau):

Toetsgegevens

afnamedatum

Kwalitatieve gegevens (observatiegegevens):

Doelstellingen:

Langetermijndoelstelling:

Kortetermijndoelstelling:

Differentiatie en remediëring: Syllabus Rekenen (2007) - 98 -

score

niveau

Leerinhoud:

Handelingen/ activiteiten:

Didactische aanwijzingen:

Materiaal:

Organisatie (Wie? Wat?):

Evaluatie:

Evaluatiecriteria:

Evaluatiemiddel:

Evaluatiemoment:

Het meervoudig handelingsplan kan aangevuld worden met een individuele volgfiche. Op deze manier kan punctueel genoteerd worden wanneer welke leerstof behandeld werd, welke oefeningen gemaakt werden, welk materiaal benut werd en tot welk resultaat de algehele aanpak geleid heeft.

Elke betrokken partij (leerkracht, taakleerkracht, ouders,

externe hulp,…) krijgt hierdoor een goed zicht op welke afspraken effectief zijn nagekomen Syllabus Rekenen (2007) - 99 -

en of deze een positief effect hebben op het leergedrag van de leerling. De volgfiche houdt zodoende een permanente evaluatie in. De leerling dient de fiche steeds bij zich te hebben. Volgfiche Naam leerling: Leeftijd: Klas: Leerkracht:

Datum

leerstof

materiaal

opmerking leerkracht


opmerking taakleerkracht

3.4.3 Differentiëren en remediëren Wanneer er bij een leerling rekenproblemen vastgesteld worden, moeten afspraken gemaakt worden in verband met de aanpak hiervan. Een goede rekendidactiek is vaak al een eerste stap. Voor een aantal leerlingen is dit echter niet voldoende. Zij hebben nood aan aangepaste instructie en aangepast oefenmateriaal.

3.4.3.1 Differentiatie in instructie Leerlingen verschillen van elkaar in instructiebehoefte. Sommige leerlingen hebben nood aan extra instructie om leerstof te beheersen. Voor deze leerlingen is het belangrijk naast een algemene groepsinstructie, bijkomende instructiemomenten te voorzien. Binnen het directe instructiemodel (Leenders, Naafs en van den Oord, 2002) dienen er steeds drie instructievormen voor te komen bij het aanbrengen van leerstof: -

groepsinstructie

-

subgroepinstructie

-

individuele instructie

Groepsinstructie Binnen de groepsinstructie biedt je de heterogene klasgroep uitleg en de mogelijkheid tot inoefening. Je bespreekt en doet een oplossingsstrategie voor (modelling). Wanneer kinderen laten blijken de leerstof begrepen te hebben, kunnen ze zelfstandig aan de slag.

Subgroepinstructie Kinderen die onvoldoende geholpen zijn door de groepsinstructie dienen in een homogene groep geplaatst te worden en extra instructie te krijgen. Op deze wijze kan de instructie beter aansluiten bij het prestatieniveau van de leerlingen. Bij deze ‘verlengde’ instructie ontstaat er tijd en ruimte om de oplossingsstrategie stap voor stap uit te leggen, voor te doen. Ook kunnen er extra voorbeelden, die aansluiten bij de belevingswereld van het kind, ingelast worden. Dit stimuleert de leerontwikkeling van de kinderen.


Individuele instructie Leerlingen, die na de subgroepinstructie, de leerstof nog niet zelfstandig en voldoende beheersen, hebben vervolgens recht op individuele instructie. Binnen dit instructiemoment dient het probleem van het kind gericht aangepakt te worden. Opmerking Binnen

elk

instructiemoment

dient

bij

het

uitleggen

en

de

inoefening

van

de

oplossingsstrategie steeds dezelfde structuur gebruikt te worden! De meeste leerlingen en voornamelijk de zwakkere hebben nood aan structuur. Tip Bij het geven van subgroep en individuele instructie kan gebruik gemaakt worden van een ‘instructietafel’. De tafel is de hele dag beschikbaar en heeft een duidelijk herkenbare plaats (bij voorkeur dicht aan het bord). Leerlingen, die moeilijkheden ondervinden, kunnen op vraag van de leerkracht, in groep of individueel, plaatsnemen aan de tafel. Het samen aan tafel zitten omvat een duidelijk signaal naar de overige, zelfstandig werkende, kinderen, dat de leerkracht even niet beschikbaar is. Het ‘moeten’ plaatsnemen aan de instructietafel mag niet demotiverend of stigmatiserend werken! In principe wordt elk kind wel eens uitgenodigd aan de tafel te komen bijzitten.

3.4.3.2 Differentiatie in leerstof Differentiëren in niveau en hoeveelheid lesstof is meestal aangewezen. Zwakkere leerlingen dienen

immers

de

basisleerstof

als

minimum

te

beheersen

(gestructureerde

basisoefeningen, veelvuldig herhalen), terwijl de sterkere zich dienen te verdiepen in aangeboden verrijkingsleerstof. De leerkracht dient steeds over materiaal te beschikken om de leerlingen, die de leerstof wel reeds begrepen hebben, verder op een zinvolle manier zelfstandig te laten werken.

3.4.3.3 Differentiatie- en remediëringsmaterialen


Het is voor een school niet altijd haalbaar om extra materiaal aan te kopen. Vaak is het ook moeilijk om de kwaliteit van het materiaal te beoordelen. Goed differentiatie- en remediëringsmateriaal moet aansluiten bij de methode, die op school gebruikt wordt, op het gebied van: •

oplossingsmethode

•

materiaal

•

voorstellingswijze

Voorbeelden: Op school wordt met kwadraatbeelden gewerkt, maar bij het remediëringsmateriaal wordt als visuele voorstelling het rekenrek met de vijfstructuur gebruikt. Dit kan voor kinderen de automatisering van de getalbeelden bemoeilijken.

Op school worden brugoefeningen steeds met een splitsing opgelost, terwijl bij het remediëringsmateriaal veel gebruik gemaakt wordt van dubbelsommen. Vb: 8 + 7 = (8 + 2) + 5 = 15 → werken met splitsingen 8 + 7 = 15 want 8 + 8 = 16 en 8 + 7 is ééntje minder → de uitkomst afleiden uit dubbelsommen


3.4.3.4 De rekenmethode In de meeste rekenmethoden zijn zowel remediërings- als verrijkingsopgaven opgenomen. Voor een duidelijk overzicht van bestaande rekenmethoden in Vlaanderen, met inbegrip van differentiatiemateriaal, verwijzen we naar hoofdstuk 3 ‘Rekenmethoden in Vlaanderen’. Dit materiaal sluit natuurlijk aan bij de methode die op school gebruikt wordt, vermits het er deel van uitmaakt. Het gebruik van de extra oefeningen, die in de methode aanwezig zijn, is reeds een heel belangrijke stap in het antwoord op een probleem.

3.4.3.5 Materiaal op school beschikbaar In heel wat scholen en CLB’s bevat de orthotheek een schat aan informatie die echter niet altijd gebruikt wordt. Zo is bijvoorbeeld de ‘Praktijkgids voor de basisschool’ (uitgeverij Wolters-Plantyn) in heel wat scholen en CLB’s aanwezig. In deze gids staan een aantal onderdelen over rekenen waarin heel wat praktische tips te vinden zijn over de manier waarop bepaalde vaardigheden kunnen aangeleerd worden. Voorbeeld: In het deel ‘Leren oplossen van vraagstukken’ is een lessenreeks uitgewerkt voor leerlingen uit de hoogste klassen van de basisschool. Het deel ‘meetkunde’ besteedt bijvoorbeeld aandacht aan de manier waarop ‘gelijkvormigheid’ aan leerlingen kan uitgelegd worden.

3.4.3.6 Remediëringsmateriaal gekoppeld aan het onderzoeksmateriaal Verder is er diagnostisch materiaal waarin remediëringsmateriaal is opgenomen. Zo zijn er in het leerlingvolgsysteem zelf vaak verwijzingen opgenomen naar materiaal waarmee men kan proberen de waargenomen tekorten weg te werken of toch alleszins te verminderen. Ook aan andere onderzoeksinstrumenten, zoals de Kwantiwijzer, is remediëringsmateriaal gelinkt.

3.4.3.7 Hulpmiddelen


Vaak wordt er beroep gedaan op velerlei middeltjes om kinderen leerstof te helpen begrijpen. Niet elke middeltje helpt elk kind. Er dient steeds sprake te zijn van maatwerk. Om een idee te geven van welke middelen er kunnen ingezet worden verwijzen we bijvoorbeeld graag naar de informatieve bundel ‘Kinderen met dyscalculie rekenen op jou: vormingspakket omtrent dyscalculie voor leerkrachten van het eerste tot en met het vierde leerjaar’ (http://www.letop.be/nieuws/ArtikelFrame.asp?ArtID=14762, Ghysens, 2005). In de bundel wordt ook verwezen naar ‘online’ materiaal, dat gratis te downloaden is, en wordt gerefereerd naar organisaties, zoals bv. het Eureka onderwijs, die gespecialiseerd zijn in de ontwikkeling van effectieve rekenhulpmiddelen en het geven van informatieve studiedagen hieromtrent. Zorgen voor een voldoende uitgebouwde inhoudelijke kennis van ontwikkelde middelen, methoden en programma’s, op school en daarbuiten, is essentieel bij de aanpak van rekenproblemen.

3.4.3.5 Extra oefeningen op het web Tenslotte zijn er ook websites van waarop men gratis leuke rekenspelletjes en oefeningen kan downloaden: http://users.pandora.be/beess Bij ‘downloads’ vind je allerlei rekenoefeningen i.v.m. getalbeelden, de getallenrij, het splitsen, het honderdveld en hoofdrekenen. De moeilijkheidsgraad kan aangepast worden en er kan ook met tijdsdruk worden gewerkt. Er kunnen ook rekenblaadjes met verbetersleutel worden afgedrukt. http://www.leerlinks.nl Op de homepagina vind je allerlei links. Rechts onderaan staat ‘rekenen en wiskunde’. Als je bovenaan op ‘rekenen’ klikt, vind je allerlei rekenspelletjes die door het Freudenthalinstituut ontwikkeld zijn.


http://www.rekenweb.nl Hierop staan allerlei spelletjes voor verschillende leerjaren (groep 1 = 2e kleuterklas tot en met groep 8 = 6e leerjaar) http://www.onlineklas.nl Hier vind je oefeningen (ook onder tijdsdruk) in verband met de tafels, optellen en aftrekken tot 100 en breuken. http://www.bspantarhei.nl/digitheek/rekenen.htm Op deze site staan hoofdrekenoefeningen voor de 4 hoofdberekeningen. De leerlingen moeten ze oplossen binnen één minuut. http://www.snuffelsoft.be/start.html Hier zijn oefeningen voor hoofdrekenen, cijferen, klokkijken en de euro te vinden. Wanneer je je laat registreren, kan je alles downloaden. Hiervoor wordt wel een bijdrage gevraagd.

3.4.4. Aandachtspunten Remediëring is een poging om het vastgestelde probleem weg te werken. Slechts op basis van de resultaten van intensieve en gerichte hulp kan geconcludeerd worden of het al dan niet om een hardnekkig probleem, een stoornis, gaat. Bij het begin van de remediëring wordt best gekozen voor één aspect. Wanneer men teveel tegelijk wil aanpakken, is dit vaak verwarrend, zowel voor de leerling als voor de leerkracht en leidt dit niet echt tot resultaat. De remediëring, die afgesproken is, moet uitgevoerd worden. Het kan zijn dat een leerling op papier bijvoorbeeld gedurende een maand wekelijks twee keer naar de zorgcoördinator gaat om individueel of in een kleine groep aan bepaalde vaardigheden te werken. Maar in de praktijk kan blijken dat die begeleiding omwille van allerlei omstandigheden vaak wegvalt (een bespreking waarop de zorgcoördinator moet aanwezig zijn, een klasuitstap, …). Dan kan natuurlijk niet meer echt van intensieve remediëring gesproken worden. Voorbeeld:


Uit het leerlingvolgsysteem blijkt dat Lies vooral problemen heeft met metend rekenen. Bij nadere analyse blijkt dat vooral het omzetten in een andere maat problemen oplevert (bijvoorbeeld: 700 cl = … dl). Omdat vooral het metend rekenen moeilijkheden oplevert en Lies dit ook als het grootste probleem ziet, wordt gekozen om in het begin vooral hieraan aandacht te besteden. De zorgcoördinator zal Lies met een omzettingstabel (hiermee wordt doorgaans vanaf het vierde leerjaar gewerkt) leren omgaan.

Kg

l

dl

cl

m

dm

cm

g

Steeds wanneer er maten moeten omgezet worden, gebruikt Lies de tabel, zowel in de klas (de leerkracht ziet hierop toe) als thuis (de ouders krijgen ook uitleg over de tabel en het gebruik ervan). Er wordt afgesproken dat er na 3 maanden opnieuw geëvalueerd wordt om na te gaan of deze aanpak succes heeft en of het inzicht in de maten en in hun onderlinge verhouding is verbeterd, ook los van de tabel.

Evaluatie en eventuele bijsturing van de remediëring is noodzakelijk! Na de afgesproken termijn wordt de remediëring geëvalueerd. Hoewel het niet altijd nodig is, kan dit gebeuren aan de hand van een test waarmee het geoefende onderzocht wordt. Een andere mogelijkheid, die voldoende informatie kan opleveren, is een gesprek met de Syllabus Rekenen (2007) - 107 -

leerkracht/de ouders waarbij de werkbladen en de toetsen die in de klas gemaakt zijn, besproken worden. De conclusie van deze bespreking kan zijn dat de remediëring op dezelfde manier wordt verdergezet of wordt aangepast. Ook kan een nieuwe datum vastgelegd worden waarop de bijgestuurde remediëring opnieuw geëvalueerd wordt. Voorbeeld: Lies heeft het werken met de tabel vrij snel onder de knie. Ze ervaart zelf dat dit voor haar een goed hulpmiddel is, en sommige oefeningen kan ze zelfs al zonder de tabel oplossen. Het omzetten van maten bij het metend rekenen is dus een goed aanknopingspunt geweest. Vanuit die ervaring wordt ervoor gekozen om het inzicht in de getalstructuur aan te pakken. Hiervoor kan eventueel ook met een tabel gewerkt worden waarop de benamingen van de rangen staan. Dit kan bovendien nog verduidelijkt worden met een tekening van het MAB-materiaal (eenheid: blokje van 1cm x 1cm x 1cm, tiental: staafje van 10cm x 1cm x 1cm, honderdtal: plak van 10cm x 10cm x 1cm, duizendtal: kubus van 10cm x 10cm x 10 cm) .

D (duizendtallen)

H (honderdtallen)

T (tientallen)

E (eenheden)

Als Lies volgend schooljaar met grotere getallen en met decimale getallen zal moeten werken, is het immers erg belangrijk dat ze deze structuur reeds onder de knie heeft. De tabel kan dan eventueel nog verder uitgebreid worden. Het belang van evaluatie is duidelijk: Kinderen dienen, doorheen hun ontwikkeling op maat ondersteunt te worden. Hun leerproces evalueren en indien nodig bijsturen is hierbij uitermate belangrijk.


Niet alleen de tussentijdse en eindevaluaties van de gekozen interventies zijn van belang. Ook het gehele begeleidingsproces dient aan een evaluatie onderworpen te worden. Enkel op deze manier kan de methodiek bijdragen tot de professionalisering van leerkrachten en CLB-medewerkers in hun aanpak van rekenproblemen bij kinderen. In wat volgt wordt een gespreksfiche aangeboden om aan proces- en productevaluatie te doen. De fiche kan zodoende voor zowel tussentijdse als eindevaluaties aangewend worden.


3.5 EVALUATIE 3.5.1 Gespreksfiche

1. Nagaan of proces goed verlopen is Mogelijke reden voor het niet realiseren van het vooropgestelde plan: -

plan is onduidelijk

-

plan kost te veel tijd en/of energie

-

te weinig betrokkenheid van de begeleider tijdens de implementatie

-

…

…………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………

2. Nagaan of de doelstellingen zijn bereikt

…………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………


3. Afspraken maken -

doorgaan met plan

-

bijsturen

-

verder diagnostisch onderzoek bij vermoeden van stoornis

-

begeleiding afsluiten

…………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………

4. Evaluatie van het begeleidingsproces

…………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………


Luik 3

Tweedelijnszorg: Diagnostisch onderzoek

1. Inleidend Wanneer het consultatief handelen vastloopt (het kind heeft in zijn rekenontwikkeling een plafond bereikt) en uiteindelijk het bestaan van een rekenstoornis vermoed wordt, is verder diagnostisch onderzoek aangewezen. Nadere statistische testgegevens zijn immers noodzakelijk om een vastgesteld rekenprobleem al dan niet als een stoornis, m.n. dyscalculie, te benoemen. Het inzetten van een diagnostische procedure zit vervat in de tweedelijnszorg. Wanneer de CLB-medewerker beslist de leerling te onderzoeken, zal dit onderzoek niet veel meer informatie opleveren dan wat reeds geweten is door de consultatieve aanpak. Het onderzoek gaat zich echter voornamelijk richten op onderdelen, waarop de leerling zwakker scoort, zodat het alsnog bijkomende aanknopingspunten kan leveren om verder gerichte hulp te bieden. In geval van dyscalculie omvat de hulp niet enkel verdere remediëring en differentiatie. Ook het inzetten van compenserende maatregelen komt dan aan de orde (zie verder, pg. 136, paragraaf 5.1 ‘Compenserende maatregelen voor leerlingen met dyscalculie’). De diagnostische procedure omvat de volgende stappen: •

CLB-onderzoek

•

Eventuele labeling van het probleem als ‘dyscalculie’ / Attestering

•

Bespreking van de resultaten en afspraken i.v.m. verdere remediëring / differentiatie / compenserende maatregelen

.

2. Het CLB-onderzoek In de meeste gevallen kan het niveau van de leerling voor rekenen afgeleid worden uit de methodegebonden toetsen en uit resultaten op het leerlingvolgsysteem, die reeds op school zijn afgenomen. De facetten waarop de leerling zwakker scoort, kunnen in het CLB verder onderzocht worden. Hierbij is het belangrijk om de verschillende aspecten van het rekenen te bekijken. Bij rekenen is immers niet alleen het automatiseren van basisbewerkingen belangrijk, de leerling moet ook procedures kunnen toepassen en inzicht hebben in het Syllabus Rekenen (2007) - 112 -

(tiendelig) stelsel van de getallen. Daarnaast speelt het visueel-ruimtelijke bij het rekenen ook een grote rol. Verschillende aspecten verdienen daarom bij een rekenonderzoek de aandacht:

-

Mathematische competenties die nodig zijn voor het rekenen (de bouwstenen waarop het rekenproces steunt).

-

Basisvaardigheden bij het hoofdrekenen en de mate waarin deze geautomatiseerd zijn (verworven kennis die het rekenproces vlotter laat verlopen).

-

Verder onderzoek in verband met de onderdelen die uitvallen op het LVS of in de methodegebonden

toetsen

(specifiek

onderzoek

in

verband

met

bepaalde

leerstofonderdelen). Hierbij is uiteraard niet enkel het resultaat belangrijk, maar ook de manier waarop de leerling te werk gaat. Tijdens een individueel onderzoek kan dan over bepaalde oefeningen een diagnostisch gesprek (cfr. Luik 2, punt 3.2.3 p.81) gevoerd worden.

2.1 Mathematische competenties die nodig zijn voor het rekenen Om te leren rekenen moet de leerling bepaalde vaardigheden onder de knie hebben. De meeste leerlingen hebben deze bouwstenen, waarop het rekenproces steunt, vanaf het vierde leerjaar reeds verworven. Vanaf deze leeftijd is het doorgaans ook niet zinvol ze (allemaal) te onderzoeken. Soms is het aangewezen om er tijdens het onderzoek van leerlingen van 10 jaar of ouder nog aandacht aan te besteden. Dit is bijvoorbeeld wanneer er specifieke uitvallen zijn, zoals bij leerlingen die het moeilijk blijven hebben met het ordenen van getallen. Hier kunnen we het inzicht in de getalstructuur dan nauwkeuriger bekijken. Het is immers ook belangrijk om bij de remediëring aan deze aspecten aandacht te besteden. De wiskundige basisvaardigheden kunnen onderzocht worden met de TEDI-MATH (TEst voor de DIagnostiek van MATHematische competenties). Deze test meet de wiskundige basisvaardigheden die een kind normalerwijze verwerft tussen 5 en 9 jaar (tussen de tweede kleuterklas en het derde leerjaar). Deze test is dus niet geschikt om het rekenniveau van de leerling te bepalen, maar wel om een beeld te krijgen van de mate waarin de competenties waarop het rekenproces steunt, verworven zijn. De leerlingen die geen problemen hebben met rekenen behalen op deze test dan ook plafondscores. Syllabus Rekenen (2007) - 113 -

Uit onderzoek is gebleken dat leerlingen met dyscalculie uitvallen op competenties, die nodig zijn voor het rekenen. Verschillende aspecten van deze basiscompetenties komen dan ook in de TEDI-MATH aan bod:

Pre-numerische diagnostiek: •

Telrij kennen Heel wat kinderen, die later dyscalculie bleken te hebben, hadden als kleuter bijvoorbeeld langer problemen met het opzeggen van de telrij vanaf een gegeven ondergrens en tot een gegeven bovengrens. Bovendien verliep ook het terugtellen moeilijk.

•

Tellen Kinderen met dyscalculie hadden op jongere leeftijd langer problemen met de 11 correspondentie bij het tellen, met het resultatief tellen en met het principe van de irrelevante volgorde (het startpunt en de volgorde hebben geen belang, wanneer elk voorwerp een keer geteld wordt, blijft de hoeveelheid hetzelfde).

•

Logisch denken met getallen Getalbegrip komt maar ten volle tot ontplooiing als de kinderen de splitsingen van getallen kennen. Bij heel wat jongeren met dyscalculie zijn deze splitsingen echter geen geautomatiseerde vaardigheden.

Numerische diagnostiek •

Getallenkennis Leerlingen met dyscalculie ondervinden soms problemen met het beoordelen van symbolen en woorden (zijn het getallen of zijn het er geen) en het lezen en opschrijven van getallen.


•

Inzicht in de getalstructuur Kinderen met dyscalculie hebben vaak een gestoord of onvolledig inzicht in de opbouw van getallen in E, T, H.

•

Rekenvaardigheden Er worden zowel rekenfeiten (met en zonder visuele ondersteuning) als contextrijke toepassingen aangeboden. Ook wordt nagegaan of leerlingen reeds conceptuele kennis ontwikkeld hebben. Voorbeeld (uit de TEDI-MATH): Item 5.4.4. “Als je weet dat 3 x 23 = 69. Helpt dat jou bij het oplossen van 23 + 23 + 23 = ? Waarom?” Item 5.4.2. “Als je weet dat 65 – 38 = 27. Helpt dat jou bij het oplossen van 38 – 27 = ? Waarom?” Heel wat leerlingen met dyscalculie hebben deze vaardigheden niet verworven. Deze numerische basisvaardigheden van het hoofdrekenen kunnen ook nog met andere tests uitgebreider onderzocht worden (zie verder, punt 2.2, pg.117).

•

Schattend rekenen Het kunnen inschatten van de grootte van stippenwolken en getallen komt hierbij aan bod, vermits dit voor leerlingen met dyscalculie ook vaak een moeilijk punt is.

2.2 Basisvaardigheden bij het hoofdrekenen en de mate waarin deze geautomatiseerd zijn De mate van automatisering van het hoofdrekenen kan onderzocht worden met tests, waarbij de leerling basisbewerkingen onder tijdsdruk moet oplossen. Dit kunnen we doen met behulp van de volgende tests: Syllabus Rekenen (2007) - 115 -

-

De tempo-test-rekenen (T. de Vos) •

Met deze test wordt de mate van automatisering van de elementaire bewerkingen onderzocht.

•

Voor de prestatie van elke leerling kan een DLE bepaald worden.

Deze Nederlandse test is genormeerd vanaf groep 3 (eerste leerjaar) tot groep 8 (zesde leerjaar) en voor de brugklas. -

Twee tempotoetsen hoofdrekenen (P. Dudal) •

Met deze test wordt de mate van automatisering van de basisbewerkingen onderzocht.

•

Voor de verschillende normeringsmomenten kan er een percentiel bepaald worden.

Tempotoets hoofdrekenen + en -: normen einde 1e leerjaar en midden 2e leerjaar Tempotoets rekenautomatismen tot 20 (optellen, aftrekken, splitsen, maal- en deeltafels): normen begin 3e leerjaar en begin 4e leerjaar Om een goed en duidelijk beeld te krijgen van de vaardigheden van de leerling is niet enkel het product belangrijk, maar moet ook heel wat aandacht besteed worden aan het rekenproces. Om dit te achterhalen is een diagnostisch gesprek (Cfr. Luik 2, punt 3.2.3 p.81) een goed instrument.

Aan de hand van de Kwantiwijzer voor leerkrachten kan men het optellen en aftrekken tot 100 gedetailleerd onderzoeken. ‘De Kwantiwijzer’ bevat zowel klassikale als individuele tests om leerlingen die voor een onderdeel uitvallen, verder te onderzoeken. Er wordt nagegaan welke strategie een leerling gebruikt om een oefening op te lossen en in welke mate deze strategie reeds verkort is. Ook wordt onderzocht of de leerling de deelhandelingen, die voor deze strategie vereist zijn, beheerst. Onder

tijdsdruk

worden

verschillende

onderdelen

onderzocht:

opgavenserie voor een diagnostisch gesprek en remediëringslessen) 1. Telmethoden tot 20 2. Optellen tot 10 3. Aftrekken tot 10 4. Overbruggen van 10 (optellen) 5. Overbruggen van 10 (aftrekken) Syllabus Rekenen (2007) - 116 -

(met

instaptoests,

6. Oriëntatie in de getallen 7. Optellen onder 100 8. Aftrekken onder 100

Opmerkingen: •

De volledige afname levert heel veel informatie op, maar is erg arbeidsintensief.

•

Bij de visuele voorstelling van getallen wordt in ‘De Kwantiwijzer’ met de vijfstructuur gewerkt, en niet met de kwadraatbeelden die in de meeste Vlaamse rekenmethoden gebruikt worden.

2.3 Verder onderzoek i.v.m. de onderdelen die uitvallen op het LVS of de methodegebonden toetsen Uit het leerlingvolgsysteem of uit de methodegebonden toetsen kan naar voren komen dat de leerling met bepaalde onderdelen problemen heeft. Het nauwkeurig bestuderen van de oefeningen en de werkblaadjes, die de leerling in de klas gemaakt heeft, kan hierover meer informatie geven, maar soms is verder onderzoek noodzakelijk.

Hiervoor kunnen o.a. de volgende onderzoeksinstrumenten gebruikt worden: (voor een volledig overzicht van leerlingvolgsystemen verwijzen we naar bijlage 2 ‘Leerlingvolgsystemen in Vlaanderen: een vergelijking’). Criteriumtoetsen bij het LVS-VCLB (Uitgeverij: Garant) Aan de hand van de analyse van de LVS-resultaten van de leerling (zie bijlage 2 ‘Leerlingvolgsystemen in Vlaanderen: een vergelijking’) kan men achterhalen met welke onderdelen de leerling problemen heeft. Deze zwakke punten kunnen verder onderzocht worden met de criteriumtoetsen die opgenomen zijn in het boek ‘Analyse en handelen’ bij het LVS-VCLB. Leerlingvolgsysteem ‘Kinderstappen’ (uitgeverij: Wolters-Plantyn)


In dit leerlingvolgsysteem worden de leerlingen waarbij de leerkracht problemen vermoedt, verder onderzocht aan de hand van observaties en doelgerichte formatieve toetsen. De onderdelen die reeds in de klas aan bod zijn gekomen, maar waarmee de leerling nog problemen

heeft,

worden

individueel

getoetst

(Voor

meer

uitleg

zie

bijlage

2

‘Leerlingvolgsystemen in Vlaanderen: een vergelijking’).

3. De diagnose ‘Dyscalculie’ Een vermoeden van dyscalculie ontstaat wanneer alle intensive en doelgerichte remediëringsinspanningen om achterstanden weg te werken geen soelaas bieden. Voorbeeld: Bij Lies heeft de remediëring tot nu toe een zeer positief effect. Op basis hiervan kan zeker (nog) niet besloten worden dat Lies dyscalculie heeft. Er kan wel al gezegd worden dat het leerproces van Lies voor rekenen niet zo vlot verloopt als voor taal en dat er ten minste aan het metend rekenen extra aandacht moet besteed worden. Ook het inzicht in de getalstructuur, wanneer Lies met grote en met decimale getallen zal werken, zal waarschijnlijk extra ondersteuning vereisen.

De labeling ‘dyscalculie’ mag enkel gebeuren op basis van diagnostisch onderzoek en dient heel omzichtig te gebeuren. De labeling mag immers geen nadelen inhouden voor de leerling in kwestie en mag de leerkracht geen excuus geven om die leerling links te laten liggen ‘want er is toch niks aan te doen’. Wanneer een leerling dyscalculie heeft, moeten er ook afspraken gemaakt worden over maatregelen die voor deze leerling zullen genomen worden (zie verder ‘compenserende maatregelen’, pg.136). Zoals alle leerlingen verschillend zijn, zijn ook alle leerlingen met dyscalculie verschillend. Het is daarom noodzakelijk dat er gezocht wordt naar maatregelen die voor deze leerling zinvol zijn. Verder blijft de leerling natuurlijk in de eerste plaats een persoon en niet een leerstoornis.


3.1 Wat is dyscalculie? Wat houdt dyscalculie nu precies in? Op deze belangrijke vraag wordt, in dit deel, een antwoord geformuleerd. Ook wordt kort ingegaan op mogelijke rekenmoeilijkheden, die kinderen met dyscalculie, kunnen ondervinden en welke onderkennende diagnose eraan gekoppeld kan worden. Verder worden er richtlijnen geformuleerd voor adequaat onderwijs voor kinderen met een rekenstoornis.

3.1.1 Definitie Ernstige rekenproblemen worden dyscalculie genoemd. Dyscalculie is in deze zin een beschrijvende en geen verklarende term. De ernstige en blijvende moeilijkheden met het rekenen zijn immers geen gevolg van een stoornis die ‘dyscalculie’ heet, maar juist die problemen zijn ‘dyscalculie’. Dit leidt tot de volgende definitie: ‘Dyscalculie is een stoornis die gekenmerkt wordt door hardnekkige problemen met het leren en vlot/accuraat oproepen/toepassen van reken-/wiskundekennis (feiten/afspraken).’ Dyscalculie is dus een leerstoornis die invloed kan hebben op de verschillende aspecten van het rekenen. 3.1.2 Aanwijzingen dat dyscalculie een leerstoornis is Wanneer over ‘dyscalculie’ gesproken wordt, heeft men het niet over tijdelijke moeilijkheden die een leerling met rekenen ondervindt, namelijk problemen die dankzij gerichte en aangepaste instructie kunnen verholpen worden. Het betreft integendeel hardnekkige problemen met rekenen. Dyscalculie stopt niet als de school uit is of op het einde van de kindertijd. Een volwassene zou per uur ongeveer 1000 getallen tegenkomen, dus 16.000 per dag en bijna 6.000.000 in een jaar! Dyscalculie heeft dus op het leven van een volwassene ook nog heel wat invloed. Verschillende aspecten zijn hierbij belangrijk:

De directe beschikbaarheid van feiten en afspraken komt bij leerlingen met dyscalculie niet of onvoldoende tot stand. Dit in tegenstelling met wat op basis van intelligentie en/of schoolse prestaties voor andere vakken te verwachten is. Syllabus Rekenen (2007) - 119 -

Dyscalculie leidt tot allerlei beperkingen en ongemakken in het dagelijks leven. Het is dus een blijvend probleem, ondanks de geboden hulp. Daarom kan de diagnose dyscalculie nooit op basis van één test gesteld worden. De leerling moet immers gedurende twee opeenvolgende testperiodes grote achterstand vertonen. Doorgaans spreekt men van minstens zes maanden intensieve remediëring die niet tot het beoogde resultaat heeft geleid. Over welke achterstand het precies gaat, staat niet eenduidig vast. Het RIZIV hanteert de strenge norm van percentiel 3 (een afwijking van twee standaarddeviaties). In verscheidene landen hanteert men als norm percentiel 25 en de ‘commissie dyslexie Nederland’ stelt percentiel 10 als grens voorop.

De zwakke prestaties van de leerling voor rekenen zijn niet te verklaren vanuit andere kenmerken. Dit wil niet zeggen dat leerlingen met een zwakkere intelligentie, een visuele handicap ... geen dyscalculie kunnen hebben. Het betekent wel dat bij dyscalculie de zwakkere prestaties voor rekenen niet volledig vanuit die handicap te verklaren zijn. Een leerling uit het type 1 onderwijs blijft bijvoorbeeld, ondanks goed onderwijs en vele inspanningen, voor rekenen toch erg zwak presteren tegenover de rest van de klasgroep, terwijl hij voor de overige vakken wel het niveau van de klas haalt. Bij deze leerling zou sprake kunnen zijn van dyscalculie.

3.1.3 Dyscalculie wordt internationaal als een stoornis erkend Dyscalculie krijgt de laatste jaren ook internationaal meer aandacht. In de DSM-IV-TR (APA, 2001) wordt dyscalculie (mathematics disorder) als volgt omschreven: A. De rekenkundige begaafdheid ligt, gemeten met een gestandaardiseerde test, aanzienlijk onder het verwachte niveau dat hoort bij de leeftijd, de gemeten intelligentie en de bij de leeftijd passende opleiding van de betrokkene. B. De stoornis van criterium A interfereert in significante mate met de schoolresultaten of de dagelijkse bezigheden waarvoor rekenen vereist is. C. Indien een zintuiglijk defect aanwezig is, zijn de rekenproblemen ernstiger dan diegene die hier gewoonlijk bij horen.

3.1.4 Prevalentie en comorbiditeit De prevalentie van dyscalculie is te vergelijken met die van dyslexie. In de literatuur komen cijfers voor van 2 tot 8%. Syllabus Rekenen (2007) - 120 -

Zoals vaak bij leerstoornissen het geval is, hebben leerlingen met dyscalculie geregeld bijkomend een andere leer- of ontwikkelingsstoornis. Slechts iets minder dan de helft van de leerlingen met dyscalculie (46%) heeft een geïsoleerde rekenstoornis. Bij ongeveer een kwart gaat (26%) dyscalculie gepaard met ADHD, 18% ondervindt ernstige leesproblemen en de helft van de leerlingen met dyscalculie heeft ernstige spellingsproblemen.

3.2 Welke problemen ondervinden leerlingen met dyscalculie? Leerlingen met dyscalculie maken heel veel fouten bij het oplossen van rekenopgaven. Typische ‘dyscalculiefouten’ bestaan echter niet. De fouten die leerlingen met dyscalculie maken, zijn fouten die door alle leerlingen wel eens worden gemaakt. Wanneer de tafels bijvoorbeeld intensief geoefend worden, maken meerdere leerlingen wel eens de fout dat ze bij de oefening ‘0 + 8 = .’ als antwoord ‘0’ invullen, omdat ‘0 x 8 = 0’. Het verschil is dat leerlingen met dyscalculie deze fouten veel hardnekkiger blijven maken. Daardoor kan het lijken alsof ze gewoon verstrooid zijn en, in dit geval bijvoorbeeld, de opgave niet aandachtig genoeg bekeken hebben en dus onvoldoende aandacht hebben besteed aan het bewerkingsteken. De vele fouten die ze maken, zijn echter helemaal niet het gevolg van een gebrek aan aandacht, maar wel van een ernstig en blijvend rekenprobleem. Omdat rekenen verschillende onderdelen omvat en verschillende vaardigheden vereist, kunnen leerlingen bij het rekenen veel verschillende fouten maken. Het kan ook best zijn dat leerlingen problemen ondervinden op bepaalde gebieden van het rekenen, terwijl andere terreinen geen moeilijkheden opleveren. Er zijn bijvoorbeeld leerlingen, die hun tafels niet onder de knie krijgen, maar een grillige figuur wel perfect kunnen opsplitsen in delen waarvoor ze wel een formule kennen om de oppervlakte te berekenen. Het is dus steeds enorm belangrijk om aandacht te hebben voor alle aspecten van het rekenen, en niet alleen voor die onderdelen waar de leerling over struikelt. Wanneer alle gebieden van het rekenen nauwkeurig bestudeerd worden, krijgt men immers ook een zicht op

de

onderdelen

die

geen

of

minder

problemen

opleveren.

De

vragenlijst

‘Leerkrachtenbevraging bij aanmelding van rekenproblemen’ kan hierbij als leidraad gebruikt worden. Op die manier krijgt de leerkracht ook een genuanceerder beeld van de prestaties voor rekenen van de leerling en wordt zijn/haar aandacht ook gevestigd op de sterkere kanten van de leerling. Dit zijn immers belangrijke aanknopingspunten voor de remediëring.


Verder moet er steeds nagegaan worden op welke manier de leerling te werk gaat (cfr. Luik 2, 3.2.3 p.81 Diagnostisch gesprek). Een blik op het werkboek van de leerling levert vaak al een schat aan informatie op. Bekijk bijvoorbeeld eens het volgende rekenrooster (een soort opgave die haast in alle rekenmethodes voorkomt). Een rekenrooster met vermenigvuldigingen X 29

4

10

5

9

44(1) 349(2)

35 350(3)

77

330(4)

22 In dit rekenrooster zijn verschillende foutieve antwoorden ingevuld. Ze geven een beeld van de soorten fouten die leerlingen kunnen maken: (1) Hier wordt geen rekening gehouden met de rangwaarde van de getallen. De 2 wordt als 2 eenheden beschouwd en de opgave wordt als volgt opgelost: (2 x 4) + (9 x 4) = 8 + 36 = 44 De juiste oplossing: 29 x 4 = (20 x 4) + (9 x 4) = 80 + 36 = 116 (2) Hier past de leerling de oplossingsprocedure verkeerd toe. De oefening wordt als volgt uitgerekend: (35 x 10) – 1 De juiste oplossing: 35 x 9 = (35 x 10) – (35 x 1)= 350 – 35 = 315 (3) De leerling noteert de oplossing in het verkeerde vakje, 350 moet immers op de vorige rij geschreven worden (bij 35 x 10) (4) Hier wordt een tafelfout gemaakt. 7 x 5 wordt 30 in plaats van 35. Dus wordt de opgave als volgt opgelost: 300 + 30 = 330. De juiste oplossing: 77 x 5 = (70 x 5) + (7 x 5) = 350 + 35 = 385

3.3. Verschillende soorten van diagnostiek Het stellen van een diagnose kan op verschillende niveaus: -

onderkennende diagnose

-

verklarende diagnose

-

indicerende, handelingsgerichte diagnose Syllabus Rekenen (2007) - 122 -

3.3.1 Onderkennende diagnose Op dit niveau wordt een diagnose gesteld op basis van objectief waarneembare kenmerken. Hierbij zijn de volgende criteria erg belangrijk: •

Achterstand:

Om van dyscalculie te kunnen spreken, moet de rekenvaardigheid van de leerling significant lager liggen dan men in de gegeven omstandigheden zou verwachten (gezien het gegeven onderwijs, de prestaties op de andere vakken …)

•

Didactische resistentie:

Adequate remediëring en inoefening heeft niet het beoogde effect. Ondanks inspanningen van de leerling, de leerkracht … blijft de achterstand bestaan. Bij de onderkennende diagnose worden de problemen geordend om na te gaan of er eventueel een patroon te herkennen is in de oefeningen waarmee de leerling problemen heeft. In de wetenschappelijke wereld is er nog geen eensgezindheid over de precieze inhoud van de

term

‘dyscalculie’.

Sommige

wetenschappers

beschouwen

enkel

de

automatiseringsproblemen (problemen met betrekking tot het semantische geheugen) als ‘dyscalculie’. Deze visie heeft vooral in Nederland veel aanhangers. Internationaal hangt men een ruimere visie aan, omdat het rekenen vele aspecten heeft (Deze visie wordt o.a. door D.C. Geary verdedigd.). Er is, op basis van de clustering van fouten, een indeling gemaakt. Deze zou corresponderen met de verschillende hersengebieden die bij het rekenproces betrokken zijn:

-

Problemen met betrekking tot het semantische geheugen

-

Problemen met betrekking tot het procedurale aspect

-

Problemen met betrekking tot het visuo-spatiële aspect

Omdat er leerlingen zijn die specifiek problemen ondervinden met de getalstructuur, wordt er soms (o.a. door A. Desoete) nog een vierde vorm aan toegevoegd: problemen op het gebied van getalkennis. Syllabus Rekenen (2007) - 123 -

3.3.1.1 Problemen met betrekking tot het semantisch geheugen

Dit is de meest bekende vorm van rekenstoornissen. Deze vorm vertoont ook de meeste overeenkomsten met dyslexie. Het gaat steeds om de automatisering in de zin van: snel en goed uit het geheugen kunnen oproepen van de juiste feiten: woordfeiten en rekenfeiten. (In Nederland gebruikt men de term ‘dyscalculie’ enkel voor dit type van rekenstoornissen.) Deze leerlingen ondervinden problemen met het oproepen van gegevens uit hun geheugen:

-

Splitsingen

-

Maal- en deeltafels

-

Formules (van omtrek, oppervlakte ...)

-

Rekenkundige termen (zoals som, teller, evenwijdig, parallellogram ...)

-

Arbitraire afspraken (zoals: de teller staat boven de breukstreep), enz.

De tijd, die deze leerlingen nodig hebben om iets uit het geheugen op te roepen, is heel wisselend. Ook zijn de antwoorden die ze uit hun geheugen halen vaak fout. Daarom wordt de oorzaak van dit type van dyscalculie ook soms toegeschreven aan een inhibitietekort: deze leerlingen kunnen de vele associaties die een bepaalde opgave oproept niet onderdrukken en daardoor ‘kiezen’ ze vaak het verkeerde antwoord. Hierdoor kunnen ze bijvoorbeeld de volgende fouten maken: 4 + 5 wordt 6 (de leerling zet de telrij gewoon verder) 2 x 3 wordt 5 (de leerling telt op in plaats van te vermenigvuldigen) 8 + 0 wordt 0 (de leerling vermenigvuldigt hoewel er moet opgeteld worden)

3.3.1.2 Problemen met betrekking tot het procedurale aspect Bij deze vorm van dyscalculie hebben de leerlingen problemen met de manier waarop oefeningen moeten opgelost worden. Zij blijven vaak oplossingsprocedures gebruiken, die doorgaans door jongere kinderen worden toegepast. Zo lossen zij bijvoorbeeld heel wat oefeningen tellend op. Ook passen ze vaak verkeerde oplossingsprocedures toe. Zo wordt 46 – 28 bijvoorbeeld 22, omdat de leerling de strategie ‘grootste min kleinste’ toepast in plaats van de brug uit te voeren. (4 – 2 = 2, 6 – 8 gaat niet, 8 – 6 = 2 dus 46 – 28 = 22). Oefeningen met breuken leveren eveneens erg veel problemen op. Deze leerlingen vergeten steeds weer of breuken nu bij het optellen of bij het vermenigvuldigen gelijknamig gemaakt Syllabus Rekenen (2007) - 124 -

moeten worden. Mogen de tellers en de noemers gewoon bij elkaar opgeteld worden, of mogen ze enkel met elkaar worden vermenigvuldigd? Zoals vaak het geval is, ontwikkelen deze leerlingen hulpmiddeltjes, die echter niet altijd tot de juiste oplossing leiden. Zo gaan ze bijvoorbeeld ‘beredeneerd gokken’. Hierbij kijken ze naar de plaats die ze krijgen om een bepaalde oefening op te lossen. Als deze plaats vrij groot is, zullen ze wel heel wat tussenstappen moeten uitvoeren en zullen ze de breuken dus wel gelijknamig moeten maken. Is er slechts weinig ruimte voorzien, dan zal de tussenstap van het gelijknamig maken niet gezet moeten worden. Dankzij die redenering gebruiken deze leerlingen meer dan eens de juiste strategie. De reden waarom ze voor een bepaalde strategie kiezen is echter rekenkundig niet correct. Ook vraagstukken vormen voor deze leerlingen een enorm struikelblok.

3.3.1.3 Problemen in verband met getallenkennis Leerlingen die met dit facet problemen ondervinden, struikelen over de getalstructuur. Ze wisselen tientallen en eenheden van plaats, hebben problemen met het noteren van getallen waarin verschillende nullen voorkomen ... Ook de precieze betekenis van breuken en procenten blijft voor hen vaak onduidelijk. Ze hebben weinig inzicht in de opbouw, namelijk de tiendelige structuur van de getallen. Ook bij metend rekenen ondervinden deze leerlingen erg veel problemen. Wanneer ze bijvoorbeeld lengtematen moeten omzetten in een andere maateenheid, verloopt dit erg moeizaam. Zelfs wanneer ze een tabel mogen gebruiken waarin de verschillende maateenheden aangegeven staan en waarin ze de getallen kunnen noteren, slagen ze er vaak nog niet in om de juiste oplossing te vinden.

3.3.1.4 Problemen met betrekking tot het visuo-spatiële aspect Alles wat te maken heeft met visueel-ruimtelijke aspecten levert voor deze leerlingen problemen op. Zo is het voor hen erg moeilijk om de precieze betekenis van grafieken en diagrammen te vatten. Er zijn eveneens problemen wanneer een deel van de gegevens visueel wordt aangeboden (bijvoorbeeld bij toepassingen). Daarnaast hebben ze het heel moeilijk om zich


een plattegrond in 3 dimensies voor te stellen. Ze kunnen dingen ook niet enkel visueel beoordelen. Voorbeeld: Een symmetrieas deelt de figuur in twee delen, die exact elkaars spiegelbeeld zijn. Dus niet elke rechte, die een figuur in twee gelijke delen verdeelt, is een symmetrieas.

(1)

(2)

Bij de twee figuren deelt de rechte de figuur in twee even grote delen. Bij figuur (1) is de rechte een symmetrieas, maar bij figuur (2) niet. Leerlingen met visueel-ruimtelijke dyscalculie zullen dit moeten nameten of hun blad op de lijn in twee vouwen en tegen het licht houden om te kunnen zien of de twee delen dan exact op elkaar vallen. Deze leerlingen hebben ook problemen met het werken in rijen en kolommen. Ze schrijven bij een rooster in het verkeerde vak, lezen op de verkeerde lijn … Een visuele voorstelling is voor hen vaak geen verduidelijking. Zo zien zij bijvoorbeeld niet dat steeds hetzelfde deel gekleurd is wanneer in de verschillende lijnstukken onder elkaar 1

/2, 2/4, 3/6 … aangeduid is.

Heel wat van deze leerlingen ondervinden moeilijkheden bij het hanteren van een passer, het nauwkeurig meten van hoeken met een gradenboog …

3.3.1.5 Mengvormen Deze indeling is natuurlijk theoretisch. Leerlingen met dyscalculie kunnen ook op meer dan een terrein problemen hebben. Maar een leerling met dyscalculie (een ‘pimaire’ Syllabus Rekenen (2007) - 126 -

rekenstoornis) zou nooit op de vier gebieden uitvallen. De sterke punten kunnen dus aangegrepen worden om de zwakkere punten wat te compenseren.

3.3.2 Verklarende diagnose Op dit niveau wordt een samenhangend beeld gegeven van de condities, die de stoornis uitlokken en/of ze in stand houden. Vermits dyscalculie een primaire leerstoornis is, liggen er geen omgevingsoorzaken aan de basis van de rekenproblemen. Omgevingsfactoren kunnen natuurlijk wel een (positieve of negatieve) invloed hebben op het leerprobleem. De volgende leerlinggebonden condities kunnen aan de basis liggen van de leerstoornissen: •

Cognitieve ontwikkeling en intelligentie

Inzichten van de cognitieve ontwikkelingspsychologie en de handelings(leer)psychologie •

Informatieverwerking

Cognitieve leerpsychologie •

Taalontwikkeling

Taal speelt bij het rekenproces een belangrijke rol •

Neurologische functies

Indeling volgens Geary (koppeling van de verschillende soorten dyscalculie aan de verschillende hersengebieden)

•

Erfelijkheid

Leerlingen waarbij (een van de) ouders, broers en/of zussen dyscalculie hebben, hebben tien keer meer kans om zelf ook dyscalculie te ontwikkelen dan leerlingen waarbij geen van de familieleden dyscalculie heeft.

3.3.3 Indicerende, handelingsgerichte diagnose


Deze diagnose heeft als doel om op basis van de onderkennende en de verklarende diagnose richtlijnen te geven voor de aanpak van de leerling met dyscalculie.

3.3.4 Attestering Naast de algemene verslaggeving (Cfr. Paragraaf 3.4.5 ‘Gemotiveerd verslag’, pg.132) van de diagnostische bevindingen dient een attest ‘dyscalculie’ opgemaakt te worden. Er bestaat heel wat discussie rond het toekennen van attesten en het oneigenlijke gebruik hiervan (bv. door leerkrachten) als een soort vrijgeleide om geen inspanningen meer te moeten leveren voor het kind. In het lager onderwijs achten we attestering niet noodzakelijk. In vergelijking met het secundair onderwijs wordt in het lager onderwijs meer intensief aandacht besteed aan zorg. Leerlingen hebben in principe geen attest nodig om extra hulp te verkrijgen. Extra zorg dient voor elke leerling verzekerd te zijn. Binnen het secundair onderwijs is een attest echter (vaak) wel noodzakelijk. Het attest vormt dan een middel om extra hulp, specifieke maatregelingen of faciliteiten te verkrijgen.


ATTEST DYSCALCULIE

Betreffende: Geboren op: Wonende te:

Bij …………………..is sprake van dyscalculie. Er kan met zekerheid gesteld worden dat de rekenvaardigheid onvoldoende geautomatiseerd is. De stoornis is niet het gevolg van omgevingsfactoren, zoals een tekort aan degelijk onderwijs, deskundige remediale begeleiding of begeleiding thuis.

Begeleidend CLB:

De CLB-medewerker,

Datum:

Handtekening:

Bijgevoegd het gemotiveerd verslag


3.4.5 Gemotiveerd verslag Het gemotiveerd verslag dient een korte omschrijving van de diagnose te omvatten: de leerproblemen worden omschreven en handelingsgerichte adviezen worden geformuleerd. Bijgevoegd vindt u een voorbeeldexemplaar:

GEMOTIVEERD VERSLAG

Identificatiegegevens Naam: Adres: School: Klas:

Situering onderzoek Op (testdatum) werd een onderzoek doorgevoerd. Het onderzoek ging door in het centrum voor leerlingbegeleiding van het gemeenschapsonderwijs te …... (Naam leerling) was op dat moment .. jaar oud. Het onderzoek ging door op vraag van ….. Reden van aanmelding:…..

Samenvatting tot nog toe verzamelde gegevens (algemeen beeld schetsen van de leerling, het thuismilieu, het rekenprobleem en het begeleidingsverloop)


Gegevens uit: -

consultatieve leerlingbegeleiding gesprekken met ouders gesprek leerling enz.

Onderzoeksmiddelen (opsomming van aangewend testmateriaal)

Onderzoeksresultaten en observaties Beschrijving van het rekenprobleem in termen van achterstand, tekort aan automatisering en hardnekkigheid (onderkennende diagnose).

Besluit en advies ….

Begeleidend CLB:

De CLB-medewerker,

Datum:

Handtekening:


4. Bespreking van de resultaten en afspraken i.f.v. het verder handelen op school De resultaten van het onderzoek worden met de ouders en de school besproken. Hierbij is het belangrijk om niet enkel aandacht te besteden aan die dingen waarmee de leerling problemen heeft. Ook datgene wat goed loopt, dient ter sprake gebracht te worden (die informatie is deels verzameld tijdens de verkenning van het probleem). Het meedelen van deze positieve informatie heeft een motiverende werking en is zeer bepalend voor een verdere positieve aanpak op school en thuis. Tijdens dit gesprek worden verschillende afspraken gemaakt: •

Waaraan zal vooral aandacht besteed worden?

•

Wie zal de verdere remediëring op zich nemen?

•

Na hoeveel tijd zal de remediëring geëvalueerd (en eventueel bijgestuurd) worden?

•

Welke compensatiemaatregelen zullen getroffen worden?

5. Onderwijs aan leerlingen met dyscalculie Om kinderen met rekenstoornissen in de klas te helpen, kunnen zogenaamde STICORDImaatregelen

worden

gehanteerd.

STICORDI

is

het

acroniem

voor

STImuleren,

COmpenseren, Remediëren en DIspenseren. Deze ondersteunende maatregelen worden gehanteerd als het gaat over dyslexie, dyscalculie of andere leerstoornissen. Belangrijk is dat de maatregelen per leerling aangepast worden. Zwakke punten bij bepaalde leerlingen met een rekenstoornis kunnen immers net de sterke punten zijn bij andere leerlingen met een rekenstoornis. Uitgewerkte voorbeelden en verdere informatie over STICORDI-maatregelen voor kinderen met dyscalculie kan je onder andere vinden in de map Leerzorg (2004) en in de tekst ‘Een charter en STICORDI-maatregelen voor kinderen met dyscalculie in de lagere school’ (http://www.letop.be/infotheek/pdf.asp?ArtID=13320, Verschaeren en Desoete). Ook de informatieve bundel ‘ Kinderen met dyscalculie rekenen op jou: een vormingspakket omtrent dyscalculie

voor

leerkrachten van het eerste Syllabus Rekenen (2007) - 132 -

tot

het

vierde

leerjaar’

(http://www.letop.be/nieuws/ArtikelFrame.asp?ArtID=14762,

Ghysen,

2005)

omvat

een

overzicht van STICORDI-maatregelen.

5.1 Stimulerende maatregelen Leerlingen met dyscalculie maken altijd opnieuw fouten. Ook tegen zaken waar al meer dan eens hun aandacht op gevestigd is en tegen aspecten die reeds meermaals geoefend zijn. Het lijkt alsof deze leerlingen zich niet inzetten en steeds weer verstrooid zijn. Toch doen ze vaak wel heel veel moeite om voor rekenen goed te presteren, maar worden ze steeds weer geconfronteerd met hun eigen onvermogen. Opdat ze de moed niet zouden laten zakken is het heel belangrijk dat deze leerlingen ondervinden dat de leerkracht hun inspanningen waardeert. Ook is het noodzakelijk dat ze bevestigd worden in datgene wat wel goed gaat, zodat de leerlingen zich gewaardeerd voelen omwille van wie ze zijn en zich meer dan alleen een kind met een leerprobleem voelen. Stimulerende maatregelen impliceren dus dat de leerkracht/ het schoolteam de affectieve component ondersteunen door onder andere begrip te tonen voor het probleem en het probleem te herkennen. 5.1.1 Voorbeelden van stimulerende maatregelen -

Moedig de leerling zoveel mogelijk aan en bevestig hem als hij het goed doet. Dit kan zowel mondeling in de klas als schriftelijk bij taken.

-

Nodig de leerling uitdrukkelijk en frequent uit om vragen te stellen over wat hij niet begrijpt, eventueel moet je het kind leren om hulp te vragen wanneer het nodig is. Dit kan op verschillende manieren: vinger opsteken, een kaartje laten plaatsen op de bank wanneer de leerling hulp nodig heeft…

-

Gebruik alle middelen om een rekenactiviteit boeiend te maken voor de leerling.

-

Geef de leerling huistaken die hij zeker aankan en waarmee hij succes kan behalen.


5.2 Remediërende maatregelen Remediërende

maatregelen

impliceren

een

directe,

taakgerichte

aanpak

van

de

rekenproblemen. Hierbij wordt nagegaan welke vaardigheden de leerling nog niet beheerst en wordt aangepaste hulp gegeven om deze vaardigheden te verwerven. Het remediëren van een vaardigheid verloopt best met vele verfijnde tussenstappen en met zeer expliciete instructie. Volgende fasen zijn van belang bij remediërende hulp (cfr. Luik 2, punt 2.4 ‘Hoe komen leerlingen tot automatisering van de basisvaardigheden? pg.52 ): ISOLEREN Oriënteren Herhalen Verkorten en verinnerlijken Versnellen Identificeren INTEGREREN GENERALISEREN 5.2.1 Voorbeelden van remediërende maatregelen -

Zoals elke leerling met een leerstoornis heeft ook de leerling met dyscalculie meer tijd nodig dan een doorsnee leerling om de leerstof onder de knie te krijgen. Daarom is het belangrijk om voldoende inoefentijd te voorzien.

-

Leerstof die een tijdje niet meer aan bod is gekomen, moet terug opgefrist worden want een leerling met een leerstoornis kan die informatie niet vlot uit het geheugen oproepen.

-

Leerlingen met dyscalculie hebben heel veel nood aan houvast. Daarom moeten ze oplossingsmethodes aangereikt krijgen die ruim toepasbaar zijn. Rekenvoordelen zijn bijvoorbeeld handige hulpmiddeltjes, maar zijn niet altijd toepasbaar. Bovendien moet niet alleen de procedure onthouden worden, maar ook de omstandigheden waarin deze procedure precies kan toegepast worden. Dit maakt de belasting voor het geheugen veel groter dan bij standaard Syllabus Rekenen (2007) - 134 -

oplossingsmethoden. -

De leerling dient over correcte notities te beschikken. Leerlingen met een leerstoornis maken vaak fouten bij het (over)schrijven. Ook is hun handschrift niet altijd even duidelijk, waardoor ze soms kunnen twijfelen over het getal dat er staat. De eigen notities zijn niet steeds correct en vormen dus geen goede basis om leerstof in te studeren.

-

De constructies, die de leerling moet maken, worden nog eens getoond met het eigen materiaal van de leerling (gradenboog, passer,…). Wanneer constructies enkel met het klasmateriaal aan het bord getoond worden, is dit voor veel leerlingen niet voldoende om ze zelf te kunnen uitvoeren in hun eigen schrift.

5.3 Compenserende maatregelen De rekenproblemen die leerlingen met dyscalculie ervaren, zijn niet of slechts gedeeltelijk te remediëren. Vaak zijn de rekenproblemen hardnekkig en blijvend. Voor deze leerlingen zal het er vooral op aan komen te stimuleren, te compenseren en te dispenseren. Compenseren is het aanreiken van hulpmiddelen en strategieën om problemen en tekorten die eigen zijn aan de leerstoornis te omzeilen. Deze compenserende maatregelen lossen een probleem niet op maar maken het wel mogelijk voor de leerling om beter met de problemen om te gaan. De maatregelen kunnen er tevens voor zorgen dat het verdere leerproces niet stagneert. De hulpmiddelen zijn echter geen toverstokjes waarmee de leerlingen moeten zwaaien om tot het gewenste resultaat te komen. Belangrijk is dat de leerling wordt aangeleerd hoe hij met deze hulpmiddelen moeten werken. Compenserende maatregelen kunnen van toepassing zijn tijdens de rekenles en/of tijdens toetsen en examens. 5.3.1 Voorbeelden van compenserende maatregelen (tijdens de rekenles) -

Werk met aangepaste werkbladen, op het niveau van het kind (hoeveelheid oefeningen aanpassen, strategieveranderingen duidelijk aangeven, bijvoorbeeld: plussommen in het rood, minsommen in het blauw). Syllabus Rekenen (2007) - 135 -

-

Gebruik werkbladen die niet visueel overladen, maar overzichtelijk gestructureerd zijn.

-

De leerling krijgt de informatie ook in tekstvorm aangeboden. Bepaalde leerlingen met een rekenstoornis kunnen visuele gegevens zoals grafieken en tabellen echt niet lezen. Voor hen is het dus noodzakelijk dat ze die informatie ook verbaal aangeboden krijgen.

-

De leerling mag steeds een rekenmachine gebruiken en moet dus geen berekeningen uit het hoofd maken. Een rekenmachine is een hulpmiddel voor leerlingen die problemen hebben met automatiseren. Een goed begrip van het getalsysteem en rekenbewerkingen is nodig om met een rekenmachine te kunnen werken. (Niet alleen bij wiskunde, maar ook bij andere vakken waarbij berekeningen moeten gemaakt worden zoals fysica, economie, …)

-

De leerling mag een fiche met formules gebruiken. De leerling moet dus nog wel nagaan wat er moet berekend worden, maar moet de formule zelf niet uit het hoofd kennen. Het formularium mag met woorden worden verduidelijkt. De leerling mag hierbij persoonlijke aantekeningen maken.

-

De leerling mag een omzettingstabel gebruiken wanneer er met verschillende maten moet gewerkt worden. (Bijvoorbeeld: km hm dam m dm cm mm). Dit kan ook heel nuttig zijn bij andere vakken, bijvoorbeeld bij aardrijkskunde wanneer de werkelijke afstand of de afstand op de kaart moet berekend worden.

-

De leerling mag oplossingsschema’s gebruiken (bijvoorbeeld een stappenplan voor het oplossen van vergelijkingen).

5.3.2 Voorbeelden van compenserende maatregelen (tijdens toetsen/examens) -

De leerling krijgt meer tijd voor het oplossen van toetsen en examens. Het oplossen van wiskundige problemen verloopt immers niet geautomatiseerd en vraagt dus meer tijd.

-

De leerling krijgt toetsen examenopgaven schriftelijk aangeboden. Noteren wat gedicteerd wordt of overschrijven van het bord, kan leiden tot heel wat fouten. Indien Syllabus Rekenen (2007) - 136 -

nodig worden de opgaven voorgelezen, met nadruk op woorden als minder, evenveel,…

-

De leerling mag een constructie mondeling toelichten. Sommige leerlingen met rekenstoornissen hebben immers problemen met het goed hanteren van passer, lat … en met het nauwkeurig meten en tekenen. Zij weten vaak wel wat ze moeten doen, en kunnen ook verwoorden hoe het moet gedaan worden, maar de praktische uitvoering

levert problemen op. Wanneer zij hun constructie mondeling mogen

toelichten, kunnen ze hun kennis wel tonen.

-

De leerling mag steeds tussenuitkomsten noteren. Sommige leerlingen hebben immers een beperkt werkgeheugen. Voor hen is het noodzakelijk dat ze steeds een kladblad mogen gebruiken of dat er op het blad met de oefeningen voldoende plaats voorzien is.

-

De leerling krijgt de informatie ook in tekstvorm aangeboden. Bepaalde leerlingen met een rekenstoornis kunnen visuele gegevens zoals grafieken en tabellen echt niet lezen. Voor hen is het noodzakelijk dat ze die informatie ook verbaal aangeboden krijgen.

-

De leerling mag de compenserende hulpmiddelen, die hij gebruikt tijdens de rekenles, ook hanteren tijdens toetsen/examens (bijvoorbeeld: rekenmachine, formularium, omzettingstabel, oplossingsschema’s).

5.4 Dispenserende maatregelen Dispenseren is het ontlasten van de leerling van bepaalde opdrachten die omwille van de stoornis te moeilijk zijn voor de leerling. Een vrijstelling kan verschillende vormen aannemen. Zo kan een leerling vrijgesteld worden voor bepaalde vakonderdelen. Ook van activiteiten die niet te overwinnen moeilijkheden opleveren, kan een leerlinge ontlast worden. Met het geven van een vrijstelling willen we voorkomen dat een leerling afhaakt wanneer een bepaalde situatie te frustrerend wordt.


5.4.1 Voorbeelden van dispenserende maatregelen

-

De leerling wordt vrijgesteld van een bepaald vakonderdeel (hoofdrekenen, metend rekenen,…).

-

De leerling moet geen oefeningen oplossen aan het bord.

-

De leerling krijgt een kortere toets (geen gemakkelijkere) of de leerling krijgt meer tijd om de toets te maken. Het oplossen van wiskundige problemen verloopt immers niet geautomatiseerd en vraagt dus meer tijd.

-

De leerling moet enkel de basisoefeningen maken.

-

Rekenfouten worden niet of weinig meegerekend. De leerkracht evalueert de oplossingsstrategie.

5.5 Belangrijke opmerkingen Het diagnostisch onderzoek toont aan wat de sterktes en de zwakkere punten zijn van een leerling. De ondersteunende maatregelen worden opgesteld op maat van de specifieke problemen en noden van de individuele leerling. Voorbeeld: (1) Wanneer een leerling vooral problemen ervaart met betrekking tot het semantische geheugen worden maatregelen vooropgesteld die het geheugen ontlasten, zoals: o

instructies kort en bondig houden

o

werken met rekenstrategieën die het werkgeheugen zo min mogelijk belasten

o

hulpmiddelen laten gebruiken zoals een tafelkaart, memofiches, formularia

(2) Wanneer een leerling vooral problemen heeft met betrekking tot het procedurele aspect van rekenen kan je bijvoorbeeld: o

één oplossingsstrategie aanbieden Syllabus Rekenen (2007) - 138 -

o

memofiches laten gebruiken voor het bepalen van de procedure en juist uitvoeren ervan

o

getallen vereenvoudigen bij moeilijke vraagstukken (zodat redenering primeert op rekenwerk)

(3) Bij een leerling die problemen heeft met getallenkennis kan je: o

stimuleren om concreet materiaal te gebruiken (lege getallenlijn)

o

getallen vereenvoudigen bij wiskundige problemen

(4) Een leerling die voornamelijk problemen ervaart met betrekking tot het visuospatiële aspect van rekenen kan geholpen worden door bijvoorbeeld: o

figuren zoveel mogelijk op dezelfde wijze te tekenen

o

tekeningen voldoende groot te maken

o

grafieken, tabellen mondeling te vertalen

De ondersteunende maatregelen worden opgesteld in overleg met de leerling, de leerkracht en de ouders. De leerling beslist zelf of hij ondersteunende maatregelen wil en of de voorgestelde maatregelen voor hem haalbaar en zinvol zijn. Bespreek de maatregelen steeds ook met de medeleerlingen. Zelfs met deze maatregelen heeft de leerling met dyscalculie het nog steeds moeilijker dan de doorsnee leerling zonder leerstoornis. Om positieve discriminatie van leerlingen bespreekbaar te maken, kan bijvoorbeeld hoofdstuk 7 ‘Tips om positieve discriminatie te hanteren in de klas’ uit de werkmap ‘Leerzorg’ gebruikt worden.

5.6 Afsprakencontract

Kinderen met dyscalculie mogen niet afhankelijk zijn van de goodwill van individuele leerkrachten. Daarom is het belangrijk overeengekomen afspraken, met de school, de ouders en de leerling, neer te schrijven in een contract. Het contract wordt opgemaakt in drie exemplaren: één voor de ouders, één voor de school en één voor het CLB.


6. Besluit Ter afronding van dit hoofdstuk bieden we een algemeen, samenvattend stappenplan, dat ingezet dient te worden wanneer een rekenprobleem wordt vastgesteld. VASTSTELLEN VAN EEN REKENPROBLEEM (klassikale toetsen, LVS-systeem, …) MELDING VAN HET REKENPROBLEEM → schoolteam / CLB / ouders → intern overleg ¾

Probleem identificeren

¾

Bepalen specifieke onderwijsbehoeften

¾

Afspraken rond aanpak

¾

Afspraken rond opvolging

LUIK 1

AANPASSEN ONDERWIJSLEERSITUATIE

EVALUATIE EFFECT? JA

NEEN

CONSULTATIEVE LEERLINGBEGELEIDING Introductie Probleemidentificatie

LUIK 2

Probleemanalyse Opstellen interventie en Evaluatiecriteria Evaluatie

EFFECT?

JA NEEN

DIAGNOSTISCHE PROCEDURE STARTEN


LUIK 3

7. Bibliografie Aerts, A. e.a. Rekenstoornissen tellen mee. Signaal, 38, 14 - 40. American Psychiatric Association (2001). Beknopte handleiding bij de diagnostische criteria van de DSM-IV TR. Harcourt: Amsterdam/Antwerpen. Billiaert E. (2004), Joris en de rekendraak ‘Dyscalculie’. Verslagboek 20 maart 2004: Hoe ver gaat onze zorg? Vozo: Mechelen, 266-276. Billiaert E. & Grysolle R. (2001). LVS-VCLB Leerlingvolgsysteem wiskunde: analyse en handelen. Garant: Antwerpen/Apeldoorn. Braams,

T.

(2000).

Dyscalculie

een

verzamelnaam

voor

uiteenlopende

rekenstoornissen. Tijdschrift voor remedial teaching, 2000/4, 6 – 11. Buijs, K. e.a. (2004). Problemen in de rekenontwikkeling. Garant: Leuven/Apeldoorn. Cuyvers, L. (2004). Inleiding tot de dyscalculie. Acco: Leuven/Antwerpen. Desoete, A. (2004). Diagnostische protocollen bij dyscalculie: Zin of onzin? Significant, 2004/3. Desoete A. & Grégoire J. (2004). TEDI-MATH : een batterij om dyscalculiemarkers op te sporen bij 4-9 jarigen ? Studiedag 17 september 2004: Universiteit Gent. De Vos T. (1994). Tempo-test-rekenen. Test voor het vaststellen van het rekenvaardigheidsniveau de elementaire bewerkingen (automatisering) voor het basisen voortgezet onderwijs. Berkhout: Nijmegen.


Geary, D.C. (2004). Mathematics and learning disabilities. Journal of learning disabilities, 1, 4-15. Ghysens, L. (2005). ‘Kinderen met dyscalculie rekenen op jou: vormingspakket omtrent dyscalculie voor leerkrachten van het eerste tot en met het vierde leerjaar’. http://www.letop.be/nieuws/ArtikelFrame.asp?ArtID=14762, Grégoire e.a. (2003). TEDI-MATH. Temaeditions: Brussel. Leenders, Y., Naafs, F. en van den Oord, I. (2002). Effectieve instructie: leren lesgeven met het activerende directe iinstructiemodel. CPS, Onderwijsontwikkeling en advies, Amersfoort. Navorming: dyscalculie, 7 februari 2006. Ruijssenaars

A.J.J.M.,

van

Luit

J.E.H.

&

van

Leishout

E.C.D.M.

(2004).

Rekenproblemen en dyscalculie: therorie, onderzoek diagnostiek en behandeling. Lemniscaat: Rotterdam. Van

Biervliet

P.

(2003).

Dyscalculie

en

rekenproblemen:

enkele

reflecties.

Onderwijskrant 126, 21- 35 Van den Berg, W., van Eerde, D. &Lit, S. (1992). Kwantiwijzer voor leerkrachten. Handleiding. Zwijsen: Tilburg. Van Eerde e.a. (1992). Kwantiwijzer voor leerkrachten. Zwijsen: Tilburg / Infoboek: Meerhout. Van Luit, J.E.H. & Ruyssenaars, A.J.J.M. (2004). Dyscalculie, zin en onzin. Rekenwiskunde: onderzoek, ontwikkeling, praktijk, jg. 23, nr.2.


Bijlage 1: een stappenplan bij het inoefenen van de tafels Gebaseerd op het werk van Cuyvers L., (2004). Inleiding tot de dyscalculie. Leuven/Antwerpen: Acco.

1.

Stappen bij het inoefenen van de tafels

1.1 Niet enkel de tafelgetallen Bij het inoefenen van de tafels is het erg belangrijk dat de leerlingen de uitkomsten steeds aan de opgaven kunnen koppelen, zodat de tafels worden geleerd en niet enkel de tafelgetallen. Alleen wanneer de twee aan elkaar gekoppeld worden, kunnen leerlingen vlot het resultaat van elke opgave oproepen. Bij cijferoefeningen bijvoorbeeld, is het erg tijdsrovend wanneer de leerling steeds de hele tafel moet opzeggen om een bepaalde deeluitkomst te kennen. Dus niet de oplossingen opdreunen (bijvoorbeeld: 3, 6, 9, 12, …) en met de vingers de volgorde aangeven, wel steeds de volledige oefening opzeggen.

1.2 De 9 stappen bij het inoefenen van de tafels Er zijn tafels die makkelijker te onthouden zijn dan andere. Zo leveren de tafels van 10, 2 en 5 doorgaans veel minder problemen op dan bijvoorbeeld de tafels van 7 en 8. Men begint best met het aanleren van deze ‘eenvoudige’ tafels. Sommige tafels zullen bovendien meer oefening vragen vooraleer de leerlingen ze onder de knie hebben. Een aantal tafels kunnen afgeleid worden uit ‘makkelijkere tafels’. Zo is de tafel van 9 af te leiden uit de tafel van 10, de tafel van 6 kan vlot berekend worden als men de tafel van 5 kent en de tafel van 4 kan afgeleid worden uit de tafel van 2 of uit die van 5. Toch verdient het de voorkeur om elke tafel in te oefenen tot ze als parate kennis beschikbaar is. Bij toepassingen en cijferoefeningen bijvoorbeeld, moeten de leerlingen de uitkomsten immers vlot uit hun geheugen kunnen oproepen. aangewezen zijn om elke tafel in 9 stappen te oefenen. De stappen worden geïllustreerd met de tafel van 3.


Daarom kan het

Stap 1: in stijgende orde tot en met 5 0x3=0 1x3=3 2x3=6 3x3=9 4 x 3 = 12 5 x 3 = 15 Bij het inoefenen van de tafels start men best bij ‘0 x getal’. Dit wordt vaak overgeslagen en heel wat leerlingen lossen deze opgaven dan ook fout op of twijfelen over de uitkomst. Stap 2: in dalende orde van 5 tot en met 0 5 x 3 = 15 4 x 3 = 12 3x3=9 2x3=6 1x3=3 0x3=0 Stap 3: van 0 tot en met 5 in willekeurige volgorde Stap 4: in stijgende volgorde van 6 tot en met 10 6 x 3 = 18 7 x 3 = 21 8 x 3 = 24 9 x 3 = 27 10 x 3 = 30 Stap 5: in dalende volgorde van 10 tot en met 6 10 x 3 = 30 9 x 3 = 27 Syllabus Rekenen (2007) - 144 -

8 x 3 = 24 7 x 3 = 21 6 x 3 = 18 Stap 6: in willekeurige volgorde van 6 tot en met 10 Stap 7: in stijgende volgorde van 0 tot en met 10 0x3=0 1x3=3 2x3=6 3x3=9 4 x 3 = 12 5 x 3 = 15 6 x 3 = 18 7 x 3 = 21 8 x 3 = 24 9 x 3 = 27 10 x 3 =30 Stap 8: in dalende volgorde van 10 tot en met 0 10 x 3 = 30 9 x 3 = 27 8 x 3 = 24 7 x 3 = 21 6 x 3 = 18 5 x 3 = 15 4 x 3 = 12 3x3=9 2x3=6 1x3=3 0x3=0 Stap 9: in willekeurige volgorde van 0 tot en met 10 Syllabus Rekenen (2007) - 145 -

1.3 Herhalen van de tafels, die reeds aangeleerd zijn Wanneer tafels een tijdje niet meer geoefend worden, worden ze snel weer vergeten. Daarom komt er dan ook een tiende stap bij wanneer reeds meer dan één tafel geoefend is: de mix van de reeds aangeleerde tafels.

2.

Besluit

Het leren van de tafels verloopt niet steeds even vlot. Voor een aantal leerlingen kan dit zelfs een struikelblok blijven. De meeste leerlingen krijgen ze echter wel onder de knie wanneer er voldoende tijd wordt besteed aan het inoefenen ervan en dit op een goede manier (bijvoorbeeld volgens de hierboven beschreven stappen) gebeurt.


Bijlage 2: Leerlingvolgsystemen in Vlaanderen: een vergelijking

1. Algemeen Een leerlingvolgsysteem heeft tot doel de vorderingen van de leerlingen op een systematische wijze te meten en in kaart te brengen gedurende een lange onderwijsperiode. Op die manier kunnen de leerkrachten de evolutie van de leerlingen op de voet volgen en zo snel ingrijpen wanneer er problemen opduiken. Bij leerlingvolgsystemen mag het dus niet gaan om het signaleren op zich: er moet ook iets met de resultaten gedaan worden. Bij een leerlingvolgsysteem zijn er doorgaans 2 à 3 vaste testmomenten (begin, einde en midden van het schooljaar waarbij het einde van het schooljaar en het begin van het daaropvolgende schooljaar veel gelijkenis vertonen).

2. Bepaalde leerlingvolgsystemen (in alfabetische volgorde) 2.1 Kinderstappen (Wolters-Plantyn) Toetsinhoud Dit leerlingvolgsysteem is gebaseerd op de leerplannen van de 3 onderwijsnetten (gemeenschapsonderwijs, OVSG en VVKBaO). Onderdelen die in de toetsen voorkomen: 1. Cijferrekenen 2. Getallenkennis 3. Hoofdrekenen 4. Meetkunde

5. Meten en metend rekenen


Toetsmomenten Een klassikale screening, in principe 3 keer per jaar (oktober, februari en mei/juni), gebeurt op basis van klassikale (methodegebonden) toetsen of observaties door de leerkracht. In principe screent de leerkracht driemaal per schooljaar klassikaal de socio-emotionele en de cognitieve aspecten van al de leerlingen van de klas. Het leerlingvolgsysteem ‘Kinderstappen’ biedt een systeem om alle vaststellingen per leerling te bundelen en een overzicht te maken op het klasscreeningsformulier. ‘Kinderstappen’ is een testbundel waarmee de leerkracht leerlingen met problemen verder kan onderzoeken. Elk toetsblad bevat een voorgeprogrammeerde minifoutenanalyse. Indien de leerkracht echter tussentijds ervaart dat bepaalde leerlingen problemen hebben, kan ‘Kinderstappen’ direct worden ingeschakeld (dus de leerkracht moet geen vast screeningsmoment afwachten om een leerling met problemen verder te onderzoeken). Enkel die kinderen waarbij de leerkracht problemen vermoedt, worden verder onderzocht aan de hand van observaties en doelgerichte formatieve toetsen. Er is een toetsleerlijn opgesteld op basis van de leerplannen van de drie onderwijsnetten. De leerkracht selecteert die onderdelen die reeds in de klas aan bod zijn gekomen, maar waarmee

de

leerling

nog

problemen

heeft.

‘Kinderstappen’

is

dus

geen

leerlingvolgsysteem waarbij alle toetsen voor een bepaalde periode moeten afgenomen worden. De toetsen worden individueel afgenomen en leveren dus ook steeds belangrijke observatiegegevens op. Schaal Er is een eenvoudig scoringssysteem. Per correct ingevuld item moet een vakje aangekruist worden. Het laatst aangekruiste vakje geeft de mate van beheersing aan (hoog, middelmatig of zwak). Onderaan elk blad van de toets kan de score dan onmiddellijk afgelezen worden. Syllabus Rekenen (2007) - 148 -

Per doelstelling die onderzocht wordt, kan dus de mate van beheersing worden weergegeven. Rapportage De leerlingen worden niet met een referentiegroep vergeleken. Hier wordt enkel nagegaan welke doelstellingen ze reeds verworven hebben en welke (nog) niet. Het betreft eigenlijk een vervolgonderzoek wanneer resultaten op andere tests uitwijzen dat de leerling bepaalde problemen ondervindt. Met het leerlingvolgsysteem ‘Kinderstappen’ kan dan geanalyseerd worden wat de leerling wel beheerst, en wat niet. Zorgverbreding De onderdelen waarmee de leerling nog problemen ondervindt, kunnen nauwkeurig omschreven worden aan de hand van de resultaten van de test uit het leerlingvolgsysteem ‘Kinderstappen’.

De algemene handleiding bevat de nodige

kopieerbladen waarmee voor elke leerling een begeleidingsdossier kan worden samengesteld.

2.2 Leerlingvolgsysteem Rekenen-Wiskunde (Cito) Toetsinhoud Dit is een leerlingvolgsysteem uit Nederland. Hierin worden de kerndoelen onderzocht die in het rekenonderwijs in Nederland aan bod komen. Hierbij dienen we wel op te merken dat in Nederland het realistisch rekenen veel meer wordt toegepast dan in Vlaanderen. Zo wordt er bijvoorbeeld veel meer de nadruk gelegd op het gebruik van bewerkingen in een situatie en veel minder op parate kennis. De onderdelen die in de toetsen voorkomen: 1. Getallen (structuur van de telrij en structuur van de getallen) 2. Automatisering

van

elementaire

optel-,

deeloperaties


aftrek-

vermenigvuldiging-

en

3. Hoofdrekenen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen met getallen sec en in toepassingssituaties) 4. Bewerkingen op papier, waarbij kinderen uitrekenpapier mogen gebruiken om een cijferalgoritme toe te passen of bijvoorbeeld tussenuitkomsten te noteren (vanaf groep 6 = 4e leerjaar) 5. Breuken: basiskennis en toepassingen (vanaf groep 6 = 4e leerjaar) 6. Verhoudingen: basiskennis en toepassingen (vanaf groep 7 = 5e leerjaar) 7. Procenten: basiskennis en toepassingen (vanaf groep 7 = 5e leerjaar) 8. Meten: lengte/omtrek, oppervlakte, inhoud, gewicht 9. Meetkunde: diverse aspecten uit de meetkundige oriëntatie 10. Tijd: klok en kalender 11. Aparte boekjes met euro-opgaven (vanaf groep 4 = 2e leerjaar) → in de uitgave van 2002 zijn deze nog niet genormeerd Toetsmomenten Er zijn 2 afnamemomenten voorzien: midden (januari voor het 2e t.e.m. het 6e leerjaar en februari voor het 1e leerjaar), en einde (juni) schooljaar. Schaal 1. Een algemene vaardigheidsscore: per toets kan de ruwe score omgezet worden in een vaardigheidsscore en in een zonescore 2. Vanaf groep 6 (4e leerjaar) t.e.m. groep 8 (6e leerjaar) is er ook een afzonderlijke vaardigheidsscore voor getallen en bewerkingen en voor meten en tijd. Rapportage Niveaus: A. Goed tot zeer goed (± 25% hoogst scorende leerlingen) B. Ruim voldoende tot goed (± 25% net boven het landelijk gemiddelde scorende leerlingen) C. Matig tot ruim voldoende (± 25% net onder het landelijk gemiddelde scorende leerlingen) D. Zwak tot matig (± 15% ruim onder het landelijk gemiddelde scorende leerlingen) Syllabus Rekenen (2007) - 150 -

E. Zeer zwak tot zwak (± 10% laagst scorende leerlingen) De groepsresultaten van de klas 1. Groepsprofiel dat hoort bij één afnamemoment Hierop worden per leerling de volgende resultaten genoteerd: →

Vaardigheidsscore

→

Niveau

2. Groepsoverzicht Hierop worden de wiskundeprestaties van alle leerlingen van het volledige leerjaar genoteerd over de opeenvolgende toetsmomenten. Per toetsmoment wordt het niveau en de vaardigheidsscore van elke leerling genoteerd. De individuele leerling Leerlingrapport: Hierop wordt per toetsmoment het vaardigheidsniveau aangegeven, waarna dit bij elk toetsmoment verder wordt aangevuld. Bij een normaal leerproces neemt de vaardigheidsscore steeds toe en op deze manier kan de evolutie van de leerling nauwgezet gevolgd worden. Steeds kan er nagegaan worden of en in hoeverre de leerling vaardiger is geworden in het rekenen. Zorgverbreding Leerlingen die een score D en E behalen verdienen speciale aandacht. De vaardigheidsprofielen geven een beeld van de leerstof waarmee zij nog problemen hebben. Het Hulpboek geeft, per relevante leerlijn, aan welk ontwikkelingsniveau deze leerlingen hebben bereikt, wat de vooruitgang blokkeert en welke leerstof deze leerlingen betekenisvol kunnen verwerken.

2.3 LVS-VCLB (Garant) Toetsinhoud De toetsen zijn methodeonafhankelijk. Syllabus Rekenen (2007) - 151 -

De toetsen volgen de inhoudelijke leerlijnen zoals die omschreven zijn in de leerplannen van 1998 (van VVKBaO en OVSG) De onderdelen die in de toetsen voorkomen: 1. Getallenkennis 2. Bewerkingen (zowel parate kennis onder tijdsdruk als bewerkingen zonder tijdsdruk en ingeklede bewerkingen) 3. Meetkunde 4. Metend rekenen Toetsmomenten Er zijn normen voorzien voor 3 afnamemomenten: begin (afnameperiode: 08-23 september), midden (afnameperiode: 1-15 februari) en einde (afnameperiode: 15-30 mei) van het schooljaar. De school kiest echter slechts twee toetsmomenten: ofwel begin en midden van het schooljaar ofwel midden en einde van het schooljaar. Schaal 1. Algemene vaardigheidsscore: Per toets kan de ruwe score omgezet worden in een percentielscore en een niveau. 2. Subtoetsresultaten: In elke toets komen verschillende onderdelen aan bod. In de analyse kunnen deze afzonderlijk gescoord worden en vergeleken met de kritische grenswaarde, om na te gaan welke leerlingen onvoldoende presteren op welke onderdelen. Rapportage Niveaus: A. Zeer goed (pc 100 – pc 75) B. Goed (pc 74 – pc 50) C. Voldoende (pc 29 – pc 25) D. Zwakker (pc 24 – pc 15) E. Zwak tot heel zwak (pc 14 – pc 0)


De groepsresultaten van de klas 1. Momentlijsten die horen bij een toetsmoment Hierop worden per leerling de volgende resultaten genoteerd: → Totaalresultaat met percentiel en niveau → Subtoetsuitslagen (resultaten op onderdelen van telkens 5 of 10 homogene

items):

het

is

de

bedoeling

om

enkel

de

subtoetsresultaten te noteren die erg laag liggen (de kritische grenswaarde of nog lager) → Uitslagen voor parate kennis hoofdrekenen: de uitslagen op deze toets met een tijdslimiet worden niet verrekend als LVSscore 2. Volglijst Hierop worden de wiskundeprestaties van alle leerlingen van het volledige leerjaar genoteerd over de opeenvolgende toetsmomenten. De individuele leerling 1. Volgrooster in het individuele leerlingendossier: Hierop wordt per toetsmoment het behaalde percentiel aangegeven, en dit wordt bij elk toetsmoment verder aangevuld. 2. Individueel analyseblad: Hierop wordt aangeduid welke oefeningen correct zijn opgelost en wordt genoteerd of de leerling zwak presteert op dit onderdeel (een score behaalt gelijk aan of onder de grensscore) → dit moet eigenlijk enkel ingevuld worden voor leerlingen die speciale aandacht verdienen (zie: zorgverbreding – analyseren) Zorgverbreding Dit wordt verder uitgewerkt in de boeken ‘Analyse en handelen’ Zone D wijst nog niet op een echte achterstand, maar zit wel reeds dicht bij het risicogebied. De leerlingen uit zone E verdienen speciale aandacht. Syllabus Rekenen (2007) - 153 -

Ook de evolutie die de leerling doormaakt is belangrijk. Als een leerling steeds ongeveer hetzelfde percentiel behaalt, maakt hij/zij een vooruitgang in de leerstof die vergelijkbaar is met de vooruitgang van andere leerlingen, vermits de leerstof steeds moeilijker wordt. Voor leerlingen die zwak presteren of voor leerlingen die onvoldoende vooruitgang maken is een verdere analyse aangewezen. Voor deze leerlingen wordt het individueel analyseblad ingevuld. Per onderdeel wordt verwezen naar een fiche uit ‘Analyse en handelen’. Hierin zitten suggesties voor verder onderzoek (o.a. criteriumtoetsen) en hulp.

3. Bibliografie Billiaert E. & Grysolle R. (2001). LVS-VCLB Leerlingvolgsysteem wiskunde: analyse en handelen. Garant: Antwerpen/Apeldoorn. Breban N. e.a. (2003), Kinderstappen. Wolters-Plantyn: Mechelen. Dudal P. (2000), LVS-VCLB Leerlingvolgsysteem. Garant: Antwerpen/Apeldoorn. Gillijns P. (1991), Leerlingvolgsystemen. Zwijsen: Tilburg. Hoebrechts

N.

(2002).

Leerlingvolgsystemen

rekenen/wiskunde.

Signaleren

en

adequaat aanpakken van rekenproblemen. Centrum voor nascholing: Jette. Janssen J. & Kraemer J.-M. (2002). Leerlingvolgsysteem rekenen-wiskunde 2002. Citogroep: Arnhem.


Inhoud 2 Inleiding 6 Hoofdstuk 1 Wiskundeonderwijs: ontwikkelingsdoelen en eindtermen 7. Hoofdstuk 3 Rekenmethoden in Vlaanderen 30

Recommend Documents