III. Semestrální práce

Licenční studium GALILEO STATISTICKÁ ANALÝZA DAT

III. Semestrální práce 2.1 TVORBA LINEÁRNÍCH REGRESNÍCH MODELŮ PŘI ANALÝZE DAT

Ing. Marek Bilko listopad, 2015

OBSAH 2.1 TVORBA LINEÁRNÍCH REGRESNÍCH MODELŮ PŘI ANALÝZE DAT 3 ÚLOHA 1.

POROVNÁNÍ DVOU REGRESNÍCH PŘÍMEK U JEDNODUCHÉHO LINEÁRNÍHO REGRESNÍHO MODELU ................................................................................................................. 3 1) Zadání ................................................................................................................................................... 3 2) Data ...................................................................................................................................................... 3 3) Výpočet.................................................................................................................................................. 4

I. Řešení dat získaných z HRC měřením ..................................................................................... 5 4) Návrh lineárního modelu ...................................................................................................................... 5 5) Prvotní statistická analýza dat .............................................................................................................. 5 6) Regresní diagnostika ............................................................................................................................. 6 7) Analýza ostatních reziduí ...................................................................................................................... 7 8) Grafy vlivných bodů .............................................................................................................................. 8 9) Graf vlivných bodů .............................................................................................................................. 11 10) Konstrukce zpřesněného modelu ......................................................................................................... 11 11) Zpřesněný model má tedy tvar: ........................................................................................................... 11 12) Závěr: .................................................................................................................................................. 11

II. Řešení dat získaných z HRC_početně .................................................................................... 12 13) Návrh lineárního modelu .................................................................................................................... 12 14) Prvotní statistická analýza dat ............................................................................................................ 12 15) Regresní diagnostika ........................................................................................................................... 13 16) Konstrukce zpřesněného modelu ......................................................................................................... 18 17) Závěr: .................................................................................................................................................. 18

Řešení dat získaných HRC_měřením a HRC_početně ................................................... 19

III.

18) Zpřesněný model má tedy tvar: ........................................................................................................... 19 19) Řešení .................................................................................................................................................. 20 20) Závěr: .................................................................................................................................................. 21

ÚLOHA 2. 1) 2) 3) 4) 5)

URČENÍ STUPNĚ POLYNOMU METODOU NEJMENŠÍCH ČTVERCŮ............................ 22 Zadání ................................................................................................................................................. 22 Data .................................................................................................................................................... 22 Řešení .................................................................................................................................................. 23 Dílčí závěr: .......................................................................................................................................... 25 Závěr: .................................................................................................................................................. 26

ÚLOHA 3. 1) 2) 3) 4) 5) 6)

VALIDACE NOVÉ ANALYTICKÉ METODY ................................................................. 27 Zadání ................................................................................................................................................. 27 Data .................................................................................................................................................... 27 Řešení:................................................................................................................................................. 27 Dílčí závěr vysvětlení grafů ................................................................................................................. 28 Odhady parametrů a testování významnosti ....................................................................................... 29 Závěr: .................................................................................................................................................. 30

ÚLOHA 4. 1) 2) 3) 4) 5)

VÍCEROZMĚRNÝ LINEÁRNÍ REGRESNÍ MODEL ....................................................... 31 Zadání ................................................................................................................................................. 31 Data .................................................................................................................................................... 31 Návrh lineárního regresního modelu .................................................................................................. 32 Model má tvar ..................................................................................................................................... 32 Závěr: .................................................................................................................................................. 33

LITERATURA ................................................................................................................. 33

Stránka 2 z 35

2.1 TVORBA LINEÁRNÍCH REGRESNÍCH MODELŮ PŘI ANALÝZE DAT ÚLOHA 1.

POROVNÁNÍ

DVOU REGRESNÍCH PŘÍMEK LINEÁRNÍHO REGRESNÍHO MODELU

U

JEDNODUCHÉHO

(Včetně testování úseku a směrnice, s vyšetřením vlivných bodů a jejich event. odstraněním, posouzením míry spolehlivosti navrženého modelu). Test shodnosti dvou (nebo i více) přímek, test jejich paralelity a spolehlivého úseku. 1)

Zadání

Úkolem je porovnání dvou regresních křivek u jednoduchého lineárního modelu na hodnotu tvrdosti (HRC - ). Jedná se o lineární modely vytvořené z hodnot uhlíkového ekvivalentu (Ceq) oceli určené na železniční dvojkolí. První křivka regresního modelu byla získaná měřením a druhá výpočtem dle americké normy ASTM A255. Uhlíkový ekvivalent Ceq je ve své podstatě lineární funkcí (lineární transformací) chemického složení, vycházející z hm. obsahů 7 prvků (C, Mn, Cr, Mo, V, Cu, Ni) a počítá se podle vzorce: 𝐶𝑒𝑞 = C +

Mn 6

+

Cr+Mo+V 5

+

Cu+Ni 15

, odkud lze po úpravě dostat

𝐶𝑒𝑞 = 1.00C + 0.17Mn + 0.20(Cr + Mo + V) + 0.067(Cu + Ni) kde je

Ceq Me

(1) (2)

- uhlíkový ekvivalent [hm. %], - (C, Mn, Cr, Mo, V, Cu, Ni) prvky chemické analýzy v oceli [hm. %].

Ze vztahu (3) lze zjistit, že největší vliv, „váhu“ na Ceq má hm. obsah C a pětinovou váhu pak prvky Cr, Mo, V, a asi šestinovou váhu má Mn.

2)

Data

V prvním kroku byla data potřebná k analýze setříděná do přehledné tabulky. V dalším kroku, pomocí tabulkového procesoru MS Office Excel, bylo provedeno grafické zpracování dat a základní porovnání dvou lineárních regresních křivek. Cílem bylo odhalit a porovnat případné rozdíly. Analyzováno bylo celkem dat (n = 20) ze dvou parametrů a za níže uvedených kritérií.

Stránka 3 z 35

TAVBA

CEQ

T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 T11 T12 T13 T14 T15 T16 T17 T18 T19 T20

0.874 0.868 0.863 0.870 0.864 0.868 0.863 0.885 0.881 0.894 0.880 0.877 0.875 0.873 0.880 0.882 0.867 0.885 0.879 0.873

3)

HRC_ MĚŘENÍ 56.8 54.0 54.9 53.4 52.9 54.6 56.5 56.8 54.1 55.2 56.9 53.9 54.0 56.1 54.9 51.9 52.4 55.3 52.4 55.0

HRC_ POČETNĚ 55.4 54.7 54.0 54.7 54.3 54.1 53.7 57.7 57.1 58.3 56.6 55.8 54.6 54.7 55.6 57.2 54.5 57.1 56.0 55.4

Obr. 1: Grafické porovnání dvou lineárních křivek regresních modelů.

Výpočet

Použitý software : Adstat modul : Lineární regrese Regresní diagnostika MS Office Excel. VÝSTUP ZVOLENA STRATEGIE REGRESNÍ ANALÝZY: Omezení, P Transformace Váhy Absolutní člen zahrnut

: 1.0000E-34 : Ne : Ne : Ano

PODMÍNKY A KVANTILY PRO STATISTICKÉ TESTY: Hladina významnosti, alfa Počet bodů, n Počet parametrů, m Kvantil Studentova rozdělení t(1-alpha/2,n-m) Kvantil rozd. Chi-kvadrát Chi-square(1-alpha,m)

Stránka 4 z 35

: 0.050 : 20 :2 : 2.101 : 5.991

ŘEŠENÍ DAT ZÍSKANÝCH Z HRC MĚŘENÍM

I.

Návrh lineárního modelu

4)

𝒀 = 𝜷𝟎 + 𝜷 𝟏 𝒙

Prvotní statistická analýza dat

5)

Poloha a proměnlivost proměnných parametrů se posuzuje vždy z průměrné hodnoty a směrodatné odchylky. PROMĚNNÉ ANALÝZA DAT: Proměnná y x1

Průměr 54.625 0.87575

Směrodatná odchylka 1.5461 0.008732

Kor.koef. 1.0000 0.1817

Významnost 0.443

ODHAD PARAMETRŮ: Parametr B[ 0] B[ 1]

Odhad 26.46 32.161


Test H0: B[j] = 0 vs. HA: B[j] <> 0 t-kritérium hypotéza H0 jeHlad. výz. 0.73647 Akceptována 0.471 0.78395 Akceptována 0.443

STATISTICKÁ REGRESNÍ ANALÝZA: Vícenásobný korelační koeficient, R Koeficient determinace, R^2 Predikovaný korelační koeficient, Rp^2 Střední kvadratická chyba predikce, MEP Akaikeho informační kritérium, AIC

: 0.1817 : 0.033016 : 0.0000 : 2.6506 : 19.732

Hodnota párového korelačního koeficientu má výrazně nízkou hladinu, což ukazuje, navržený regresní model není významný Predikovaný koeficient determinace R2p ukazuje na predikční schopnost modelu, vysvětlovací schopnost je však velmi nízká. Kvadratická chyba predikce MPE a Aikaikeho informační kritérium AIC jsou užívany k rozlišení mezi několika navrženými modely, přičemž za optimální se považuje model, pro který je hodnota MPE a AIC minimální hodnoty.

Stránka 5 z 35

6)

Regresní diagnostika

Obr. 2: Graf regresního modelu

Obr. 3: Graf predikce reziduí

ANALÝZA KLASICKÝCH REZIDUI Bod i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Měřená hodnota yexp,i 56.8000 54.0000 54.9000 53.4000 52.9000 54.6000 56.5000 56.8000 54.1000 55.2000 56.9000 53.9000 54.0000 56.1000 54.9000 51.9000 52.4000 55.3000 52.4000 55.5000

Predikovaná hodnota yvyp,i 54.5690 54.3760 54.2150 54.4400 54.2470 54.3760 54.2150 54.9220 54.7940 55.2120 54.7620 54.6650 54.6010 54.5370 54.7620 54.8260 54.3440 54.9220 54.7300 54.9870

Směrodatná odchylka s(yvyp,i) 0.3566 0.4723 0.6290 0.4215 0.5953 0.4723 0.6290 0.5158 0.4103 0.8262 0.3904 0.3530 0.3506 0.3670 0.3904 0.4333 0.5009 0.5158 0.3739 0.5788

Reziduální součet čtverců RSC Průměr absolutní hodnota reziduí, Me Průměr relativních reziduí, Mer Odhad reziduálního rozptylu, s2(e) Odhad směrodatné odchylky reziduí, s(e) Odhad šikmosti reziduí, g1(e) Stránka 6 z 35

Klasické reziduum ei 2.2313 -0.3758 0.6851 -1.0401 -1.3471 0.2242 2.2850 1.8775 -0.6938 -0.0119 2.1383 -0.7652 -0.6009 1.5634 0.1383 -2.9260 -1.9436 0.3775 -2.3295 0.5132 : 43.9180 : 1.2034 : 2.2080 : 2.4399 : 1.5620 : -0.0903

Relativní reziduum eri 3.9283 -0.6958 1.2478 -1.9477 -2.5465 0.4107 4.0443 3.3055 -1.2825 -0.0216 3.7580 -1.4197 -1.1127 2.7869 0.2520 -5.6378 -3.7091 0.6827 -4.4457 0.9247

Odhad špičatosti reziduí, g2(e)

: 2.2177

Analýza ostatních reziduí

7)

INDIKACE VLIVNÝCH BODŮ Bod i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Standardizované reziduum eS[i] 1.4672 -0.2524 0.4791 -0.6915 -0.9328 0.1506 1.5982 1.2734 -0.4604 -0.0090 1.4138 -0.5029 -0.3948 1.0297 0.0915 -1.9497 -1.3136 0.2560 -1.5360 0.3537

Jackknife reziduum eJ[i] 1.5196 -0.2457 0.4686 -0.6811 -0.9293 0.1465 1.6766 1.2973 -0.4501 -0.0087 1.4573 -0.4922 -0.3853 1.0316 0.0889 -2.1334* -1.3426 0.2493 -1.6014 0.3450

Predikované reziduum eP[i] 2.3539 -0.4136 0.8176 -1.1217 -1.5760 0.2468 2.7272 2.1072 -0.7453 -0.0166 2.2808 -0.8064 -0.6328 1.6548 0.1475 -3.1699 -2.1663 0.4237 -2.4711 0.5949

VĚROHODNOSTI VZDÁLENOSTI: Bod i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

LD(b)[i] 0.1311 0.0071 0.0493 0.0417 0.1636 0.0025 0.5418 0.2193 0.0174 0.0000 0.1474 0.0151 0.0092 0.0687 0.0006 0.3490

LD(s^2)[i] 0.0594 0.0224 0.0146 0.0059 0.0000 0.0246 0.1071 0.0189 0.0154 0.0259 0.0451 0.0136 0.0179 0.0009 0.0254 0.3682

LD(b,s^2)[i] 0.2013 0.0292 0.0621 0.0466 0.1640 0.0270 0.7151 0.2490 0.0321 0.0259 0.2032 0.0282 0.0267 0.0704 0.0260 0.7923

Stránka 7 z 35

Diagonální prvky H[i,i] 0.0521 0.0914 0.1621 0.0728 0.1452 0.0914 0.1621 0.1090 0.0690 0.27974* 0.0625 0.0511 0.0504 0.0552 0.0625 0.0769 0.1028 0.1090 0.0573 0.1373

17 18 19 20 8)

0.2185 0.0089 0.1587 0.0221

0.0249 0.0223 0.0820 0.0194

0.2558 0.0308 0.2562 0.0405

Grafy vlivných bodů

Obr. 4: Graf predikovaných reziduí

Obr. 5: Pregibonův graf

Obr. 6: Williamsův graf

Obr. 7: McCullon-Meeterův graf

Obr. 8: L-R graf

Stránka 8 z 35

Obr. 9: Indexový graf Andrews

Obr. 10: Indexový graf normálního rozdělení

Obr. 11: Indexový graf prvky matice Rankitové grafy

Obr. 12: Rankitový graf normalizovaná rezidua

Obr. 13: Rankitový graf Andrews

Stránka 9 z 35

Obr. 14: Rankitový graf predikovaná rezidua

Obr. 15: Rankitový grafJackknife rezidua

TESTOVÁNÍ REGRESNÍHO TRIPLETU (DATA + MODEL + METODA): Fisherův-Snedocorův test významnosti regrese,F Tabulkový kvantil, F(1-alpha,m-1,n-m) Závěr: Navržený model není přijat jako významný Spočtená hladina významnosti

: 0.6146 : 4.4139

Scottovo kriterium multikolinearity, M Závěr: Navržený model je korektní.

: 0.0000

Cook-Weisberg–v test heteroskedasticity, Sf Tabulkový kvantil, Chi^2(1-alpha,1) Závěr: Rezidua vykazují heteroskedasticitu. Spočtená hladina významnosti

: 9.4157 : 3.8415

Jarque-Berraův test normality reziduí, L(e) Tabulkový kvantil, Chi^2(1-alpha,2) Závěr: Normalita je přijata. Spočtená hladina významnosti

: 0.5371 : 5.9915

Waldův test autokorelace, Wa Tabulkový kvantil, Chi^2(1-alpha,1) Závěr: Rezidua nejsou autokorelována. Spočtená hladina významnosti

: 0.1183 : 3.8415

Znamenkový test, Dt Tabulkový kvantil, N(1-alpha/2) Závěr: Rezidua nevykazují trend. Spočtená hladina významnosti

: 0.6892 : 1.6449

: 0.4430

: 0.0020

: 0.7640

: 0.7310

: 0.2450

Stránka 10 z 35

9)

Graf vlivných bodů

Obr. 16: Autokorelační graf 10)

Obr. 17: Graf heteroskedascity

Konstrukce zpřesněného modelu

Po odstranění vlivných bodů 16 a 7 identifikovaných v grafech byly nalezeny odhady nových parametrů u zpřesněného modelu. Parametr

Odhad

B[ 0] B[ 1]

-6.6915 70.0410

11)


Test H0: Bj = 0 vs. HA: Bj<> 0 t-kritérium hypotéza H0 je Hlad. význam. -0.2026 Akceptována 0.8420 1.8580 Akceptována 0.0820

Zpřesněný model má tedy tvar: Y = −6.6915 + 70.0410x

Vícenásobný korelační koeficient, R Koeficient determinace, R^2 Predikovaný korelační koeficient, Rp^2 Střední kvadratická chyba predikce, MEP Akaikeho informační kritérium, AIC 12)

: 0.4213 : 0.1775 : 0.0306 : 1.9113 : 12.1600

Závěr:

Po odstranění vlivných bodů došlo ke zpřesnění regresního modelu. Koeficient determinace tedy vysvětlovací schopnost modelu se nepatrně zvýšil, nicméně z pohledu statistiky lze konstatovat, že model je sice lepší, ale má malou vysvětlovací schopnost.

Stránka 11 z 35

Použitý software: Adstat MS Office Excel. VÝSTUP

ŘEŠENÍ DAT ZÍSKANÝCH Z HRC_POČETNĚ

II.

Návrh lineárního modelu

13)

𝒀 = 𝜷𝟎 + 𝜷𝟏 𝒙

Prvotní statistická analýza dat

14)

Poloha a proměnlivost proměnných parametrů se posuzuje vždy z průměrné hodnoty a směrodatné odchylky. PROMĚNNÉ ANALÝZA DAT: Proměnná y x1

Průměr 55.5750 0.8751


Kor.koef. 1.0000 0.9486

Významnost 0.0000

ODHAD PARAMETRŮ: Parametr B[0] B[1]

Odhad

Směrodatná odchylka -79.1160 10.5880 153.9200 12.1000

Test H0: B[j] = 0 vs. HA: B[j] <> 0 t-kritérium hypotéza H0 jeHlad. význam. -7.4720 Zamítnuta 0.0000 12.7210 Zamítnuta 0.0000

STATISTICKÁ REGRESNÍ ANALÝZA: Vícenásobný korelační koeficient, R Koeficient determinace, R^2 Predikovaný korelační koeficient, Rp^2 Střední kvadratická chyba predikce, MEP Akaikeho informační kritérium, AIC

: 0.9486 : 0.8999 : 0.9386 : 0.2075 : -30.9680

Hodnota párového korelačního koeficientu má výrazně nízkou hladinu, což ukazuje, navržený regresní model není významný Predikovaný koeficient determinace R2p ukazuje na predikční schopnost modelu, vysvětlovací schopnost je však velmi nízká. Kvadratická chyba predikce MPE a Aikaikeho informační kritérium AIC jsou užívaný k rozlišení mezi několika navrženými modely, přičemž za optimální se považuje model, pro který je hodnota MPE a AIC minimální hodnoty.

Stránka 12 z 35

Regresní diagnostika

15)

Obr. 18: Regresní model

Obr. 19: Graf predikce rezidua

ANALÝZA KLASICKÝCH REZIDUI Bod i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Mřená hodnota yexp,i 55.4000 54.7000 54.0000 54.7000 54.3000 54.1000 53.7000 57.7000 57.1000 58.3000 56.6000 55.8000 54.6000 54.7000 55.6000 57.2000 54.5000 57.1000 56.0000 55.4000

Predikovaná hodnota yvyp,i 55.4130 54.4900 53.7200 54.7980 53.8740 54.4900 53.7200 57.1070 56.4910 58.4920 56.3370 55.8750 55.5670 55.2590 56.3370 56.6450 54.3360 57.1070 56.1830 55.2590

Směrodatná odchylka s(yvyp,i) 0.0092 0.1302 0.1759 0.1158 0.1660 0.1302 0.1759 0.1555 0.1219 0.2495 0.1151 0.1011 0.0983 0.1014 0.1151 0.1294 0.1384 0.1555 0.1093 0.1014

Reziduální součet čtverců RSC Průměr absolutní hodnota reziduí, Me Průměr relativních reziduí, Me,r Odhad reziduálního rozptylu, s2(e) Odhad směrodatné odchylky reziduí, s(e) Odhad šikmosti reziduí, g1(e) Odhad špičatosti reziduí, g2(e)

Stránka 13 z 35

Klasické reziduum ei -0.0134 0.2102 0.2798 -0.0977 0.4259 -0.3898 -0.0202 0.5935 0.6092 -0.1919 0.2631 -0.0751 -0.9673 -0.5595 -0.7369 0.5552 0.1641 -0.0065 -0.1830 0.1405 : 3.4810 : 0.3241 : 0.5828 : 0.1934 : 0.4398 : -0.5606 : 2.8020

Relativní reziduum eri -0.0242 0.3842 0.5181 -0.1786 0.7843 -0.7206 -0.0377 1.0285 1.0668 -0.3291 0.4648 -0.1347 -1.7716 -1.0228 -1.3254 0.9707 0.3011 -0.0114 -0.3268 0.2537

ANALÝZA OSTATNÍCH REZIDUÍ INDIKACE VLIVNÝCH BODŮ Bod i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Standardizované reziduum eS[i] -0.0312 0.5003 0.6941 -0.2303 1.0457 -0.9281 -0.0502 1.4426 1.4417 -0.5298 0.6199 -0.1756 -2.2568 -1.3074 -1.7363 1.3210 0.3931 -0.0159 -0.4296 0.3284

Jackknife reziduum eJ[i] -0.0304 0.4897 0.6838 -0.2241 1.0486 -0.9243 -0.0488 1.4908 1.4897 -0.5189 0.6089 -0.1708 -2.5900 -1.3356 -1.8493 1.3510 0.3837 -0.0154 -0.4197 0.3201

Predikované reziduum eP[i] -0.0141 0.2304 0.3330 -0.1050 0.4966 -0.4273 -0.0241 0.6782 0.6598 -0.2829 0.2824 -0.0793 -1.0182 -0.5909 -0.7912 0.6079 0.1821 -0.0075 -0.1951 0.1484

VĚROHODNOSTI VZDÁLENOSTI Bod i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

LD(b)[i] 0.0001 0.0267 0.1017 0.0044 0.2008 0.0917 0.0005 0.3275 0.1912 0.1474 0.0314 0.0019 0.2957 0.1064 0.2450 0.1829 0.0189 0.0000

LD(s^2)[i] 0.0258 0.0137 0.0058 0.0230 0.0013 0.0001 0.0257 0.0525 0.0522 0.0125 0.0087 0.0242 0.8710 0.0239 0.1822 0.0261 0.0180 0.0259

LD(b,s^2)[i] 0.0259 0.0395 0.1053 0.0272 0.2054 0.0918 0.0262 0.4072 0.2586 0.1553 0.0392 0.0260 1.2656 0.1359 0.4635 0.2195 0.0360 0.0259 Stránka 14 z 35

Diagonální prvky H[i,i] 0.0508 0.0876 0.1599 0.0693 0.1424 0.0876 0.1599 0.1250 0.0768 0.3219 0.0685 0.0529 0.0500 0.0532 0.0685 0.0866 0.0991 0.1250 0.0618 0.0532

19 20

0.0135 0.0067

0.0166 0.0202

0.0295 0.0266

Grafy vlivných bodů




Obr. 23: McCulloh-Meetergův graf

Obr. 24: L-R graf

Stránka 15 z 35

Obr. 26:Graf index normalizovaná rezidua

Obr. 25: Graf index-Anderews

Obr. 27: Graf index prvky hat-matice Rankitové grafy

Obr. 28:Rankitový graf normalizovaná rezidua

Obr. 29: Rankitový graf Andrews

Stránka 16 z 35

Obr. 30: Rankitový graf predikovaná rezidua

Obr. 31: Rankitový graf Jacknife rezidua

TESTOVÁNÍ REGRESNÍHO TRIPLETU (DATA + MODEL + METODA): Fisherův-Snedocorův test významnosti regrese,F

: 161.8300

Tabulkový kvantil, F(1-alpha,m-1,n-m) Závěr: Navržený model není přijat jako významný Spočtená hladina významnosti

: 4.4139

Scottovo kriterium multikolinearity, M Závěr: Navržený model je korektní.

: 0.0000

Cook-Weisbergův test heteroskedasticity, Sf Tabulkový kvantil, Chi^2(1-alpha,1) Závěr: Rezidua vykazujˇ heteroskedasticitu. Spočtená hladina významnosti

: 157.4000 : 3.8415

Jarque-Berraův test normality reziduí, L(e) Tabulkový kvantil, Chi^2(1-alpha,2) Závěr: Normalita je přijata. Spočtená hladina významnosti

: 1.0802 : 5.9915

Waldův test autokorelace, Wa Tabulkový kvantil, Chi^2(1-alpha,1) Závěr: Rezidua nejsou autokorelována. Spočtená hladina významnosti

: 0.7878 : 3.8415

Znaménkový test, Dt Tabulkový kvantil, N(1-alpha/2) Závěr: Rezidua nevykazují trend. Spočtená hladina významnosti

: 0.2786 : 1.6449

: 0.0000

: 0.0020

: 0.5830

: 0.3750

: 0.3900

Stránka 17 z 35

Graf vlivných bodů

Obr. 32: Autokorelační graf

Obr. 33: Graf heteroskedasticity

Konstrukce zpřesněného modelu

16)

Důkladnou analýzou grafů byly identifikovány dva vlivné body. Jednalo se o jeden extrém bod č. 13 (bude odstraněn) a druhý bod s charakterem odlehlé hodnoty je bod č. 10. Po odstranění vlivného bodu, který byl v grafech identifikovaný, byly nalezeny odhady nových parametrů u zpřesněného modelu. Parametr

Odhad

B[ 0] B[ 1]

-79.031 153.880


Test H0: Bj = 0 vs. HA: Bj<> 0 t-kriterium hypotéza H0 je Hlad. význam. -8.5660 Zamítnuta 0.0000 14.5960 Zamítnuta 0.0000

Zpřesněný model má tedy tvar: 𝒀 = −79.031 · (∓9.2261) + 153.880 · (∓0.10543)

STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY REGRESE Vícenásobný korelační koeficient, R Koeficient determinace, R^2 Predikovaný korelační koeficient, Rp^2 Střední kvadratická chyba predikce, MEP Akaikeho informační kritérium, AIC 17)

: 0.9623 : 0.92610 : 0.95365 : 0.16098 : -34.560

Závěr:

Po odstranění vlivných bodů došlo ke zpřesnění regresního modelu. Koeficient determinace, tedy vysvětlovací schopnost modelu, se nepatrně zvýšil a nyní je navržený model přesnější.

Stránka 18 z 35

ŘEŠENÍ DAT ZÍSKANÝCH HRC_MĚŘENÍM A HRC_POČETNĚ

III.

Použitý software : Adstat modul : Lineární regrese Regresní diagnostika MS Office Excel.

Zpřesněný model má tedy tvar:

18)

𝒀 = 𝜷𝟎 + 𝜷𝟏 𝒙

PŘEDBĚŽNÁ ANALÝZA DAT ZVOLENÁ STRATEGIE REGRESNÍ ANALÝZY: Omezení, P Transformace Váhy Absolutní člen zahrnut

: 1.0000E-34 : Ne : Ne : Ano

PODMÍNKY A KVANTILY PRO STATISTICKÉ TESTY: Hladina významnosti, alfa Počet bodů, n Počet parametrů, m Kvantil Studentova rozdělení t(1-alpha/2,n-m) Kvantil rozd. Chí-kvadrát Chi-square(1-alpha,m) Navržený model:

: 0.050 : 20 :2 : 2.101 : 5.991

Y=β0+ β1 x

ODHADY PARAMETRŮ A TESTY VÝZNAMNOSTI Parametr

Odhad

B[ 0] B[ 1]

50.400 0.09473


Test H0: Bj = 0 vs. HA: Bj<> 0 t-kriterium hypotéza H0 je Hlad. význam. 4.4982 Zamítnuta 0.0000 0.46202 Akceptována 0.650

Stránka 19 z 35

Obr. 34: Graf regresního modelu HRC_M

Obr. 35: Graf regresního modelu HRC_P

Obr. 36: Graf regresního modelu HRC_M+ HRC_P

Obr. 37: Graf predikce rezidua pro HRC_M+ HRC_P

19)

Řešení

K testování shody přímek se nyní použije kritérium Fch

ANALÝZA KLASICKÝCH REZIDUÍ Reziduální součet čtverců, RSC Průměr absolutních hodnot reziduí, Me Průměr relativních reziduí, Mer Odhad reziduálního rozptylu, s2(e) Odhad směrodatné odchylky reziduií, g1(e) Odhad špičatosti reziduí, g2(e)

: 0.3437 : 1.1247 : 2.0158 : 1.9094 : 0.43937 : 2.0652

Počet bodů, n Počet parametrů, m HRC_M HRC_P HRC_M + RHC_P

: 40 :2 : 43.9180 : 3.4810 : 0.3431

Stránka 20 z 35

𝐹𝐶𝐻 =

𝐹𝐶𝐻 =

(RSC1,2 − RSCR2 − RSC2) · (N − 2m) (RSC1 + RSCR2) · (m)

(0.3431 − 43.4180 − 3.4810) · (20 − 2 · 2) (43.9180 + 3.4810) · (2) 𝐹𝐶𝐻 = -31.4308

20)

Závěr:

V hodnocení výsledku regresní analýzy lze vyjádřit závěr, že mezi oběma metodami je rozdíl statisticky významný. Je zřejmé, že metoda početní tedy na základě chemického složení není přesná, a proto lze výsledky získané právě touto metodou brát jen velmi opatrně.

Stránka 21 z 35

ÚLOHA 2.

URČENÍ STUPNĚ POLYNOMU METODOU NEJMENŠÍCH ČTVERCŮ

Metodou MNČ a RH křivky závislosti (porovnání obou metod vede k odstranění multikolinearity, testování statistické významnosti nalezených parametrů, vyšetření regresního tripletu metodou regresní diagnostiky, zdůvodnění a výklad všech užitých diagnostik a statistik). 1) Zadání K analýze byla vybrána data z měření meteo-stanice dvou dnů 48-hodinového cyklu v Třineckých železárnách, a.s. z měsíce září 2015. K testování byla vybrána data teploty a tlaku nasycené páry, tyto proměnné faktory můžou mít jistou souvislost s průběhem ochlazování ocelových odlitků. Pro testování statistické významnosti nalezených parametrů a porovnání obou metod MNČ a RH křivkové závislosti. Úkolem daného postupu je odstranění multikolinearity, testování vyšetření regresního tripletu metodou regresní diagnostiky, zdůvodnění a výklad všech užitých diagnostik a statistik.

Data

2)

X = teplota [°C]

Y = tlak vodní páry

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

17.7

20.2

17.2

19.5

25.1

31.8

24.7

34.5

20.0

23.4

17.4

19.7

24.2

30.1

22.3

33.8

21.0

27.9

17.2

19.5

23.3

28.4

24.4

30.4

21.3

28.2

17.0

19.3

21.6

25.7

23.2

28.3

23.7

29.3

17.4

19.7

19.6

22.7

22.0

26.3

24.4

30.4

18.2

20.8

18.2

20.7

20.5

24.0

24.3

30.2

19.3

22.2

17.4

19.7

19.2

22.1

23.4

31.7

20.9

24.6

17.2

19.6

17.7

20.1

24.9

32.7

23.4

28.8

17.2

19.5

15.0

17.0

25.8

33.2

25.0

31.7

17.1

19.4

12.2

14.1

Použitý software : Adstat modul : Lineární regrese Regresní diagnostika

Stránka 22 z 35

3)

Řešení VÝSTUP ZVOLENA STRATEGIE REGRESNÍ ANALÝZY:

Analýza vlivných bodů pomocí diagnostiky grafů. V dalším kroku určit stupeň polynomu s odhalením nejlepších odhadů, následované odhadem parametrů metodou racionálních hodností. V posledním kroku diagnostika vlivných bodů pomocí diagnostických grafů. ZVOLENÁ STRATEGIE REGRESNÍ ANALÝZY: Omezení, P Transformace Váhy Absolutní člen zahrnut

: 1.0000E-34 : Ne : Ne : Ano

PODMÍNKY A KVANTILY PRO STATISTICKÉ TESTY: Hladina významnosti, alfa Počet bodů, n Počet parametrů, m Kvantil Studentova rozdělení t(1-alpha/2,n-m) Kvantil rozd. Chí-kvadrát Chi-square(1-alpha,m)


: 0.050 : 40 :2 : 2.024 : 5.991


Stránka 23 z 35

Obr. 40:L-R graf

Studiem výše uvedených grafů byl identifikován jako vlivný bod číslo 31, 32, 40. Proto budou tyto vlivné body z datového souboru odstraněny a následně provedena analýza. Určení stupně polynomu a nalezení nejlepších odhadů ZVOLENÁ STRATEGIE REGRESNÍ ANALÝZY: Omezení, P Transformace stupeň polynomu Váhy Absolutní člen zahrnut

: 1.0000E-34 : polynom :1-6 : Ne : Ano


: 0.050 : 40 :2 : 2.024 : 5.991

K určení stupně polynomu porovnáváme v tabulce uvedené statistické charakteristiky pro stupně Stupeň polynomu (m)

MEP

R2p

AIC

1

0.73

0.98

-0.08

2

0.78

0.98

-9.16

3

0.77

0.98

-8.33

4

1.55

0.97

-6.91

5

0.16

0.97

-6.10

6

-5.00

0.93

-5.00

7

250.04

0.00

187.50

Stránka 24 z 35

Obr. 41: Graf průběhu změn hodnot MEP, R2p a AIC 4)

Dílčí závěr:

Testováním byly odhaleny dvě možná řešení. Minimální stupeň polynomu pro nejjednodušší model je pro polynom m = 1, nejtěsnějšího proložení bylo dosaženo u polynomu m = 5-tého stupně. Tabulka stupně polynomu m = 1 Parametr

Odhad

B[0] B[1]

-7.4076 1.5801


Test H0: B[j] = 0 vs. HA: B[j] <> 0 t-kritérium hypotéza H0 jeHlad. výz. -5.2893 Zamítnuta 0.000 0.2347 Zamítnuta 0.000

𝒀 = −7.4076 · (∓1.4005) + 1.5801 · (∓0.0673)

Obr. 42:Regresní graf

V tabulkách jsou uvedeny hodnoty odhadů parametrů j a testů významnosti. Lze tedy konstatovat, že tyto nalezené hodnoty parametrů jsou statistický významné. Proto, není nutné hledat hodnotu omezení P. Je, tedy žádoucí použít metodu nejmenších čtverců.

Stránka 25 z 35

Tabulka stupně polynomu m = 5 Parametr B[ 0] B[ 1] B[ 2] B[ 3] B[ 4] B[ 5]

Odhad odchylka -24374.00000 7230.20000 -885.37000 57.32900 -2.07050 0.03956

Směrodatná t-kritérium 25423.00000 7638.70000 949.63000 62.53600 2.30130 0.04488

Test H0: B[j] = 0 vs. HA: B[j] <> 0 hypotéza H0 je Hlad. výz. -0.95876 Akceptována 0.345 0.94652 Akceptována 0.351 -0.93233 Akceptována 0.359 0.91672 Akceptována 0.367 -0.89971 Akceptována 0.375 0.88151 Akceptována 0.385

𝒀 = −2589.8 · (∓2843.6) + 672.4300 · (∓718.6900) − 68.8370 · (∓72.0040) · +3.4895 · (∓3.5754) − 0.0874 · (∓0.0880) +

Obr. 43:L-R graf

5)

Závěr:

Zvolením stupně polynomu m = 1 je získán základní jednoduchý model. Ale podstatou této úlohy je získat model s co možná nejtěsnějším proložením, které je dosažitelné. Bylo zapotřebí provést celkem pět stupňů polynomů m = 5.

Stránka 26 z 35

ÚLOHA 3.

VALIDACE NOVÉ ANALYTICKÉ METODY

(Vyšetření regresního tripletu testujte a diskutujte statistickou významnost jednotlivých parametrů v modelu stejně jako i jejich fyzikální smysl, zdůvodnění a výklad všech užitých diagnostik a statistik). 1) Zadání V metalurgii při výrobě oceli dochází ve výrobním toku k jejímu znečištění nekovovými vměstky. Tyto nekovové částice velmi malých rozměrů způsobují zhoršení kvalitativních vlastností, které mohou být zdrojem vad materiálu. Pro lepší a kvalitnější materiál s eliminací těchto nedostatků slouží normované metodiky odhalující tyto vměstky, čímž se zajistí garance kvality. Úkolem, je vyšetřit, která ze dvou metod stanovování mikročistoty oceli je účinnější. Jedná se o normovanou metodiku DIN 50602 a metodiku EN 10247 aplikované na cementačních ocelích. 2)

Data

X = DIN 50602 X

Y = EN 10247

y 12,4 0,12 0,53 1.00 1,38 0,45 0,46 2,42 1,2 0.5

3,7 0,3 1.00 0,8 0,3 0,3 0,5 11.00 0,03 0,03

Použitý software : Adstat modul : Lineární regrese Regresní diagnostika MS Office Excel. 3)

Řešení: VÝSTUP ZVOLENA STRATEGIE REGRESNÍ ANALÝZY:

Analýza vlivných bodů pomocí diagnostiky grafů. V dalším kroku určit stupeň polynomu s odhalením nejlepších odhadů, následované odhadem parametrů metodou racionálních hodností. V posledním kroku diagnostika vlivných bodů pomocí diagnostických grafů.

Stránka 27 z 35

ZVOLENÁ STRATEGIE REGRESNÍ ANALÝZY: Omezení, P Transformace Váhy Absolutní člen zahrnut

: 1.0000E-34 : Ne : Ne : Ano



: 0.050 : 11 :2 : 2.262 : 5.991

Obr. 45: McCulloh-Meterův graf

Obr. 46:L-R graf 4)

Dílčí závěr vysvětlení grafů

V grafech byl identifikován jeden vlivný bod (4), který ovšem odstraňovat nebudeme pro malý počet dat. Dále byl pomocí grafu odhalen jeden odlehlý bod (1).

Stránka 28 z 35

Odhady parametrů a testování významnosti

5)

Tabulka stupně polynomu m = 1 Parametr

Odhad

B[0] B[1]

0.1807 0.28322


Test H0: B[j] = 0 vs. HA: B[j] <> 0 t-kritérium hypotéza H0 je Hlad. výz. 2.7306 Zamítnuta 0.023 16.218 Zamítnuta 0.000

Navržený model bude ve tvaru: 𝒀 = 0.1807 · (∓0.6618) + 0.28322 · (∓0.0673) Testování úseku Jestliže interval spolehlivosti úseku obsahuje nulu, lze úsek považovat za nulový. 𝒃𝟎 − 𝒕𝟏−

𝜶 𝟐(𝒏−𝒎)

· √𝑫(𝒃𝟎 ) ≤ 𝛃𝟎 ≤ 𝒃𝟎 + 𝒕𝟏−

𝜶 𝟐(𝒏−𝒎)

· √𝑫(𝒃𝟎 )

0.1807 − 2.262 · 0.6618 ≤ β0 ≤ 0.1807 + 2.262 · 0.6618 −𝟏. 𝟑𝟏𝟔𝟑 ≤ 𝛃𝟎 ≤ 𝟏. 𝟔𝟕𝟕𝟕 Závěr testování úseku: Interval spolehlivosti úseku obsahuje 0, lze úsek považovat za nulový. Testování směrnice Jestliže interval spolehlivosti směrnice obsahuje jedničku, lze úsek považovat za jednotkovou 𝒃𝟏 − 𝒕𝟏− 𝜶 · √𝑫(𝒃𝟏 ) ≤ 𝛃𝟏 ≤ 𝒃𝟏 + 𝒕𝟏− 𝜶 · √𝑫(𝒃𝟏 ) 𝟐(𝒏−𝒎)

𝟐(𝒏−𝒎)

0.28322 − 2.262 · 0.0673 ≤ β0 ≤ 0.1807 + 2.262 · 0.0673 𝟎. 𝟏𝟑𝟏𝟎 ≤ 𝛃𝟎 ≤ 𝟎. 𝟑𝟑𝟐𝟗 Závěr testování směrnice: Interval spolehlivosti směrnice neobsahuje 1, směrnici považujeme za nulovou. STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY REGRESE Vícenásobný korelační koeficient, R Koeficient determinace, R^2 Predikovaný korelační koeficient, Rp^2 Střední kvadratická chyba predikce, MEP Akaikeho informační kritérium, AIC

: 0.98332 : 0.96691 : 0.95208 : 0.091284 : -33.764

Interval spolehlivosti směrnice D = R2 = 96.7 %, což je vysoká vysvětlovací schopnost modelu. MEP a AIC jsou kritériem pro rozhodování se mezi několika modely. Přičemž za optimální model lze považovat takový, který má minimální hodnoty MEP a AIC, ale maximální hodnotu R2p.

Stránka 29 z 35

Obr. 47: Graf regresního modelu 6)

Závěr:

Závěrem lze konstatovat, že interval spolehlivosti obsahuje 0, metoda je zatížená systematickou chybou. Interval spolehlivosti směrnice neobsahuje jedničku, metoda podhodnocuje a také nadhodnocuje. Nová metoda stanovení nekovových vměstků v oceli je neúspěšně validována.

Stránka 30 z 35

ÚLOHA 4.

VÍCEROZMĚRNÝ LINEÁRNÍ REGRESNÍ MODEL

(Vyšetřením regresního tripletu nalezněte nejlepší model, využijte regresní diagnostiku a pomocí parciálních regresních a parciálních grafů diskutujte významnost jednotlivých parametrů v modelu stejně jako i jejich fyzikální smysl).(vyšetření regresního tripletu testujte a diskutujte statistickou významnost jednotlivých parametrů v modelu stejně jako i jejich fyzikální smysl, zdůvodnění a výklad všech užitých diagnostik a statistik).

Zadání

1)

Při zavádění nových prvků technologie výroby oceli je nutno tyto změny otestovat v praxi. Následně z výsledků různých analytických metod rozhodnout, zda změna technologie má pozitivní nebo negativní dopad na čistotu oceli, která je úzce spojená s kvalitativními vlastnostmi konečných výrobku. Výběr několika taveb, kde bylo aplikováno testování nového vápníkem plněného profilu vstřelovaného do lázně oceli v závěru jejího zpracování. Bude testována signifikace množství profilu, rychlost podáváni, obsah Ca v oceli a obsah Al v oceli na sumární hustotu nekovových vměstků. Cílem testování je zjistit míru jejich významnosti a navrhovaného vícerozměrného lineárního modelu.

Data

2)

TAVBA PROF_CA

RYCH_PROF m/s

HUST_INC 1/cm2

INC_O

INC_Al

INC_Ca

OC_AL OC_CA

T1

13

2.5

6187

12.98

22.02

11.34

0,027

0,0012

T2

12

2.5

6453

11.02

18.24

9.99

0,03

0,0014

T3

14

2.5

5178

13.09

21.96

13.02

0,024

0,0012

T4

9

2

6240

9.40

13.77

16.41

0,036

0,0021

T5

18

2

4978

13.12

22.88

12.59

0,024

0,0018

T6

16

1

4409

10.27

16.18

18.13

0,028

0,0012

T7

20

2

5156

18.75

30.37

31.10

0,038

0,0021

T8

15

2

5227

20.56

35.00

26.60

0,033

0,0017

T9

15

2

5796

17.77

27.04

28.57

0,027

0,0021

T10

15

2

5938

17.44

26.71

29.71

0,031

0,0024

T11

15

2

6596

19.61

32.40

22.07

0,033

0,0017

T12

15

2

5120

16.53

24.72

30.41

0,034

0,0024

Stránka 31 z 35

3)

Návrh lineárního regresního modelu 𝐘 = 𝛃𝟎 + 𝛃𝟏𝐱𝟏 + 𝛃𝟐𝐱𝟐 + 𝛃𝟑𝐱𝟑 + 𝛃𝟒𝐱𝟒

ZÁKLADNÍ ANALÝZY Item Dependent Variable Number Ind. Variables Weight Variable R² Adj R² Coefficient of Variation Mean Square Error Square Root of MSE Ave Abs Pct Error Completion Status

Value HUST_INC_1_cm2 4 None 0,5766 0,3346 0,0998 313145,3 559,5939 5,945 Normal Completion

Rows Value Rows Processed 12 Rows Filtered Out 0 Rows with X's Missing 0 Rows with Weight Missing 0 Rows with Y Missing 0 Rows Used in Estimation 12 Sum of Weights 12,000

REGRESSION COEFFICIENTS T-TESTS

Independent Variable Intercept OC_Al OC_Ca PROF_CA RYCH_PROF_m_s

Regression Coefficient b(i) 4468,361 33101,71 93947,66 -112,0661 792,137

Standard Error Sb(i) 2044,757 45345,33 456383,3 65,75193 454,9425

Standardized Coefficient 0,0000 0,2192 0,0618 -0,4521 0,4578

T-Statistic to Test H0: β(i)=0 2,185 0,730 0,206 -1,704 1,741

Reject Power Prob H0 at of Test Level 5,0%? at 5,0% 0,0651 No 0,4701 0,4891 No 0,0973 0,8428 No 0,0537 0,1321 No 0,3140 0,1252 No 0,3252

Standard

Variable Count OC_Al 12 OC_Ca 12 PROF_CA 12 RYCH_PROF_m_s 12 HUST_INC_1_cm2 12

4)

Mean Deviation 0,03041667 0,004541893 0,001775 0,0004515126 14,75 2,767506 2,041667 0,3964807 5606,267 686,005

Minimum Maximum 0,024 0,038 0,0012 0,0024 9 20 1 2,5 4408,875 6595,556

Model má tvar

HUST_INC_1_cm2 = 4468,36108465494 + 33101,7063429568 * OC_Al + 93947,6612264075 * OC_Ca 112,066100382197 * PROF_CA + 792,137044860106 * RYCH_PROF_m_s Stránka 32 z 35

Obr. 48:Pravděpodobnostní graf

5)

Obr. 49: Bodový graf

Závěr:

Aplikaci vícerozměrné lineární regrese na datech experimentálního charakteru zkoumající vliv čtyř parametrů (hliníku v oceli, vápníku v oceli, množství vstřelovaného vápníku do taveniny a rychlost jeho vstřelování) nemají ze statistického pohledu významnost) na regresand. Hustota vměstků je tedy ovlivněna jinou/jinými proměnnými které zde nejsou uvedeny.

LITERATURA [1]

Meloun, M., Militký, J., Hill, M., Statistická analýza vícerozměrných dat v příkladech, Academia, Praha, 2012, ISBN 978 80-200-2071-0.

[2]

Kupka, K., Statistické řízení jakosti, TriloByte, Pardubice, 1997.

[3]

Meloun, M., Militký, J., Kompendium statistického zpracování dat, Academia, Praha, 2012, ISBN 978-80-246-2196-8. Adstat 2.0 uživatelský manuál, Trilobite statistical software, TRILOBYTE, s.r.o., Pardubice, 1992 - 1993

[4]

Stránka 33 z 35

SEZNAM OBRÁZKŮ Obr. 1: Grafické porovnání dvou lineárních křivek regresních modelů. ................................... 4 Obr. 2: Graf regresního modelu ................................................................................................ 6 Obr. 3: Graf predikce reziduí .................................................................................................... 6 Obr. 4: Graf predikovaných reziduí .......................................................................................... 8 Obr. 5: Pregibonův graf ............................................................................................................. 8 Obr. 6: Williamsův graf............................................................................................................. 8 Obr. 7: McCullon-Meeterův graf .............................................................................................. 8 Obr. 8: L-R graf ......................................................................................................................... 8 Obr. 9: Indexový graf Andrews ................................................................................................. 9 Obr. 10: Indexový graf normálního rozdělení ........................................................................... 9 Obr. 11: Indexový graf prvky matice ........................................................................................ 9 Obr. 12: Rankitový graf normalizovaná rezidua ....................................................................... 9 Obr. 13: Rankitový graf Andrews ............................................................................................. 9 Obr. 14: Rankitový graf predikovaná rezidua ......................................................................... 10 Obr. 15: Rankitový grafJackknife rezidua .............................................................................. 10 Obr. 16: Autokorelační graf .................................................................................................... 11 Obr. 17: Graf heteroskedascity ................................................................................................ 11 Obr. 18: Regresní model ......................................................................................................... 13 Obr. 19: Graf predikce rezidua ................................................................................................ 13 Obr. 20: Graf predikovaných reziduí ...................................................................................... 15 Obr. 21: Pregibonův graf ......................................................................................................... 15 Obr. 22: Williamsův graf......................................................................................................... 15 Obr. 23: McCulloh-Meetergův graf ........................................................................................ 15 Obr. 24: L-R graf ..................................................................................................................... 15 Obr. 25: Graf index-Anderews ................................................................................................ 16 Obr. 26:Graf index normalizovaná rezidua ............................................................................. 16 Obr. 27: Graf index prvky hat-matice ..................................................................................... 16 Obr. 28:Rankitový graf normalizovaná rezidua ...................................................................... 16 Obr. 29: Rankitový graf Andrews ........................................................................................... 16 Obr. 30: Rankitový graf predikovaná rezidua ......................................................................... 17 Obr. 31: Rankitový graf Jacknife rezidua................................................................................ 17 Obr. 32: Autokorelační graf .................................................................................................... 18 Obr. 33: Graf heteroskedasticity ............................................................................................. 18 Obr. 34: Graf regresního modelu HRC_M .............................................................................. 20 Obr. 35: Graf regresního modelu HRC_P ............................................................................... 20 Obr. 36: Graf regresního modelu HRC_M+ HRC_P .............................................................. 20 Obr. 37: Graf predikce rezidua pro HRC_M+ HRC_P ........................................................... 20 Obr. 38: Williamsův graf......................................................................................................... 23 Obr. 39: Pregibonův graf ......................................................................................................... 23 Obr. 40:L-R graf ...................................................................................................................... 24 Obr. 41: Graf průběhu změn hodnot MEP, R2p a AIC ............................................................ 25 Obr. 42:Regresní graf .............................................................................................................. 25 Obr. 43:L-R graf ...................................................................................................................... 26 Obr. 44: Graf predikovaných reziduí ...................................................................................... 28 Obr. 45: McCulloh-Meterův graf ............................................................................................ 28 Obr. 46:L-R graf ...................................................................................................................... 28 Obr. 47: Graf regresního modelu ............................................................................................ 30 Obr. 48:Pravděpodobnostní graf ............................................................................................. 33 Stránka 34 z 35

Obr. 49: Bodový graf............................................................................................................... 33

Stránka 35 z 35

III. Semestrální práce

Recommend Documents