Gazdasági Matematika I. Di¤erenciálszámítás alkalmazásai Megoldások 1. (4.feladatlap/2) a) Határozza meg az f (x) = x3 az egyenletét.
6x2 + 1 függvény x0 =
2 helyen vett érint½ojének
El½oször meghatározzuk a pont 2. koordinátáját: y0 = f ( 2) = ( 2)3
6 ( 2)2 + 1 =
31
Az érint½oegyenes meredeksége az x0 pontbeli derivált értéke. Mivel f 0 (x) = 3x2 így m = f 0 ( 2) = 3 ( 2)2 egyenlete:
12x;
12 ( 2) = 36 Így a P ( 2; 31) pontban az érint½o
y = 36 (x ( 2)) + ( 31) =) y = 36x + 41 b) Határozza meg az f (x) = (x + 1) húzott érint½o egyenletét.
p 3
3
x függvény görbéjének a ( 1; 0) pontjába
Az érint½oegyenes meredeksége az x0 pontbeli derivált értéke. Mivel f 0 (x) = így m = f 0 ( 1) =
p 3
p 3
3
x + (x + 1)
1 (3 3
x)
2 3
( 1) ;
p 3
4 Így a P ( 1; 0) pontban az érint½oegyenes egyenlete: p 3 y = 4 (x ( 1)) + 0 =) p 3 y = 4 (x + 1)
4 0=
2. (4. feladatlap/5) Egy közlekedés gazdaságossági vizsgálat a T = 0; 4K 1;06 összefüggést használja, ahol K az útépítés költsége, T pedig a forgalom nagyságát méri.Határozza meg a T (K-ra vonatkozó) elaszticitását. Határozza meg (ezen modell szerint közelít½oen) hány %-os forgalomnövekedést okoz az útépítés költségének 1%-os növekedése? A T elaszticitása: E(T (K)) =
K 0 K T = 0; 4 1; 06K 0;06 = 1; 06 T 0; 4K 1;06
Azaz az útépítés költségének 1%-os növekedése 1; 06%-os forgalomnövekedést okoz.
3. (4. feladatlap/6) Egy termék iránti keresletet a p(> 0) ártól függ½oen az f (p) =
100 2p + 1
függvény írja le. Határozza meg (ezen modell szerint) hány %-kal és hogyan változik a kereslet, ha a cikk árát p = 50-r½ol 1%-kal növeljük! Az f függvény p-re vonatkozó elaszticitása: E(f (p)) =
p 0 f (p) = f (p)
) E(f (50)) =
p 100 2p+1
200 = (2p + 1)2
2p 2p + 1
100 101
Azaz az ár 50 egységr½ol történ½o 1%-os emelése
100 %-os 101
kereslet csökkenést okoz.
4. (4. feladatlap/7) Határozza meg az alábbi függvények széls½oértékeit! a) f (x) = x4 + x3 Df = R
f 0 (x) = 4x3 + 3x2 = x2 (4x + 3) = 0
=) x2 = 0 vagy 4x + 3 = 0 Lehetséges szé. helyek: x1 = 0 és x2 =
x f0 f
3 . 4
Így
3 x = 34 <x<0 x=0 0<x 4 0 + 0 + monoton csökk. min.hely monoton n½o nem szé. hely monoton n½o
x<
3 4
A minimum érték f ( Minimum pont: Pmin
3 4 3 )= 4 4 27 3 ; 256 4
+
3 3 4
=
27 256
=)
b) f (x) = x ex Df = R
f 0 (x) = ex + x ex = ex (x + 1) = 0
=) Mivel ex > 0; így x + 1 = 0 Lehetséges szé. hely: x =
1
Megvizsgáljuk, hogy az elégséges feltétel is teljesül-e. f 00 (x) = ex (x + 1) + ex = ex (x + 2) =) 1 f 00 ( 1) = e 1 1 = > 0 e Így az x =
1 hely lokális minimumhelye az f (x) függvénynek.
A minimum érték f ( 1) = ( 1) e Minimum pont: Pmin
1
1 e
=
=)
1 e
1;
c) f (x) = x ln2 x Df = R+ 1 = ln2 x + 2 ln x x = ln x (ln x + 2) = 0
f 0 (x) = ln2 x + x 2 ln x
=) ln x = 0 vagy ln x + 2 = 0 2
Lehetséges szé. helyek: x1 = 1 és x2 = e
=
1 e2
Megvizsgáljuk, hogy az elégséges feltétel is teljesül-e. 1 1 1 (ln x + 2) + ln x = (2 ln x + 2) =) x x x f 00 (1) = 1 (2 ln 1 + 2) = 2 > 0
f 00 (x) =
Így az x1 = 1 hely lokális minimumhelye az f (x) függvénynek. A minimum érték f (1) = 1 ln2 1 = 0 =) Minimum pont: Pmin (1; 0) Az x2 =
1 e2
esetén f 00 (
Így az x2 =
1 e2
1 ) = e2 e2
2 ln
1 +2 e2
=
2e2 < 0
hely lokális maximumhelye az f (x) függvénynek.
A maximum érték f ( e12 ) = Maximum pont: Pmax
1 e2
ln2
1 e2
=
1 e2
( 2)2 =
4 e2
=)
1 4 ; e2 e2 2
d) f (x) = (x + 1) (x + 3)
f 0 (x) = (x + 3)2 + (x + 1) 2 (x + 3) = (x + 3) (3x + 5) = 0 =) x + 3 = 0 vagy 3x + 5 = 0 Lehetséges szé. helyek: x1 =
3 és x2 =
5 . 3
Megvizsgáljuk, hogy az elégséges feltétel is teljesül-e. f 00 (x) = 3x + 5 + (x + 3) 3 = 6x + 14 =) f 00 ( 3) = 18 + 14 = 4 < 0 Így az x1 =
3 hely lokális maximumhelye az f (x) függvénynek.
A maximum érték f ( 3) = 0 =) Maximum pont: Pmax ( 3; 0) Az x2 =
5 3
esetén 5 )=6 3
f 00 ( Így az x2 =
5 3
5 3
+ 14 = 4 > 0
hely lokális minimumhelye az f (x) függvénynek.
A minimum érték f ( Minimum pont: Pmin
5 ) 3
5 3
=
5 ; 3
5 3
+1
+3
2
=
32 27
=)
32 27
5. (5.feladatlap/1) Egyenes fal mellett elhelyezked½o, 200m2 nagyságú téglalap alakú területet kell kijelölni úgy, hogy a három oldalához szükséges kerítés hossza a lehet½o legkisebb legyen. Mekkorák a téglalap oldalai? Jelölje az oldalakat a és b ( a; b 2 R+ ). Az a b = 200 feltétel mellett keressük, hogy a + 2b mikor lesz a legkisebb, vagyis az f (a) = a +
400 a
függvénynek a minimumát. Mivel f 0 (a) = 1
400 ; a2
így f 0 (a) = 0, ha a = 20. Ez tényleg minimumhely, mivel f 00 (a) =
1 800 =) f 00 (20) = >0 3 a 10
Azaz akkor minimális a kerítés hossza, ha a = 20m; b = 10m. 6. (5. feladatlap/3) Számítsa ki a következ½o határértékeket! a) sin2 3x = x!0 5x2 lim
=
0 0 0 0
6 sin 3x cos 3x 3 sin 6x = lim = x!0 10x L’Hospital szabály x!0 10x 18 cos 6x 18 9 = lim = = L’Hospital szabály x!0 10 10 5 =
lim
b) ex 1 = x!0 sin 2x lim
0 0
ex 1 = L’Hospital szabály x!0 2 cos 2x 2 =
lim
c) 0 0
1 tgx = lim x! 4 cos 2x
=
lim
L’Hospital szabály x! 4
1 cos2 x
2 sin 2x
=
2 =1 2
d) lim
x!0+0
1 sin x
ctgx
=
sin x
lim
x!0+0
cos x = sin x
0 0
=
L’Hosp. szab.
0 =0 1
=
x!0+0 cos x
1
lim
e) lim
x!2
x2
3x + 2 0 = x3 8 0 2x 3 1 lim = x!2 3x2 12
=
L’Hospital szabály
f) 2
2 3 x!1 0 x!1 0 1 1 (1 x) (1 + x) (1 x) (1 + x + x2 ) 2 (1 + x + x2 ) 3 (1 + x) 2x2 x 1 0 lim = lim = = 2 4 3 x!1 0 (1 + x) (1 x!1 0 x x) (1 + x + x ) x +x+1 0 L’Hosp. szab. 4x 1 3 1 lim = = 3 2 x!1 0 4x 3x + 1 6 2 lim
3
x2
=
x3
lim
g) e2x )ctgx = (0 1) = lim
lim (1
x!0+0
lim
x!0+0
1
e2x = tgx
0 0
1
e2x
x!0+0
1 ctgx
=
lim
= 2e2x
1 L’Hosp. szab. x!0+0 cos2 x
=
2 = 1
2
h) ex 2 1 = 2 x!+1 3x + x 1 x e lim = 1 x!+1 6 lim
=
L’Hosp.
ex 1 = szab. x!+1 6x + 1 1 lim
=
L’Hosp. szab.
i) 1
1
1
lim x e x
x!+1
0 0
1
=
lim
L’Hosp. szab. x!+1
1 x2
ex 1 x2
= (1 0) = lim
x!+1
=
1
lim e x = 1
x!+1
ex
1 1 x
=
7. (5. feladatlap/4) Végezzen teljes függvényvizsgálatot az alábbi függvények esetén! Készítse el a függvények gra…konját is! x3
a) f (x) = 3x
Értelmezési tartomány: Df = R x2 ) = 0 =) x = 0 vagy x2 = 3 =) p p zérushelyek: x1 = 0; x2 = 3 és x3 = 3
Zérushely: f (x) = x (3
Y tengelymetszet: f (0) = 0 ( x)3 =
Paritás: f ( x) = 3 ( x)
3x + x3 =
f (x) =) f (x) páratlan
Széls½oérték+monotonitás: f 0 (x) = 3
3x2 = 0
=) 3 = 3x2 =) x2 = 1 Lehetséges szé. helyek: x1 = 1 és x2 = x f0 f
1. Így
x= 1 1<x<1 x=1 1<x 0 + 0 monoton csökk. min.hely monoton n½o max. hely monoton csökken
x<
1
A minimum érték f ( 1) = 3 ( 1) 3 1 13 = 2 =)
( 1)3 =
2: A maximum érték f (1) =
Minimum pont: Pmin ( 1; 2) ;Maximum pont: Pmax (1; 2) Konvexitás+in‡exiós pont: f 00 (x) =
6x = 0
Lehetséges in‡.hely: x = 0: Így x f 00 f
x<0 x=0 0<x + 0 konvex in‡. hely konkáv
In‡exiós pont: Pinf l: (0; 0) Határértékek lim (3x
x!+1
lim (x
x! 1
x3 ) = lim x (3 x!+1
x3 ) = lim x (3 x! 1
Értékkészlet: Rf = R Ábra: f (x) = 3x
x3
x2 ) =
1
x2 ) = +1
b) f (x) = x4
32x
Értelmezési tartomány: Df = R Zérushely: f (x) = x (x3
32) = 0 =) x = 0 vagy x3 = 32 =) p p zérushelyek: x1 = 0 és x2 = 3 32 = 2 3 4 Y tengelymetszet: f (0) = 0 Paritás: f ( x) = ( x)4 32 ( x) = x4 + 32x 6= f (x) se nem páros, se nem páratlan
f (x) és f ( x) 6=
Széls½oérték+monotonitás: f 0 (x) = 4x3
32 = 0
=) 4x3 = 32 =) x3 = 8 Lehetséges szé. hely: x = 2. Így x f0 f
x<2
x=2 2<x 0 + monoton csökk. min.hely monoton n½o
A minimum érték f (2) = 24
32 2 =
48 =)
Minimum pont: Pmin (2; 48) Konvexitás+in‡exiós pont: f 00 (x) = 12x2 = 0 Lehetséges in‡.hely: x = 0: Így x f 00 f
x<0
x=0 0<x 0 + konvex konvex
f (x) =)
Nincs in‡exiós pont. Határértékek lim (x4
32x) = lim x (x3
32) = +1
lim (x4
32x) = lim x (x3
32) = +1
x!+1
x! 1
x!+1
x! 1
Értékkészlet: Rf = [ 48; +1) Ábra: f (x) = x4
32x
c) f (x) = (x
p 3) x
Értelmezési tartomány: Df = fx 0; x 2 Rg p p Zérushely: f (x) = (x 3) x = 0 =) x 3 = 0 vagy x = 0 =) zérushelyek: x1 = 0 és x2 = 3 Y tengelymetszet: f (0) = 0 Paritás: Se nem páros, se nem páratlan Széls½oérték+monotonitás: p
1 1 x 2 = 2 p 2x + x 3 x 3 p = x+ p = =0 2 x 2 x
f 0 (x) =
=) 3x
3=0
x + (x
3)
Lehetséges szé. hely: x = 1. Így x f0 f
0<x<1
x=1 1<x 0 + monoton csökk. min.hely monoton n½o
A minimum érték f (1) = (1
p 3) 1 =
2 =)
p 3 2 x
(3x
Minimum pont: Pmin (1; 2) Konvexitás+in‡exiós pont:
00
f (x) =
Határértékek p lim (x 3) x = +1 x!+1 p lim (x 3) x = 0
x!0+0
Értékkészlet: Rf = [ 2; +1) f (x) = (x
p 3) x
p1 x
= 4x 6x (3x 3) 3x + 3 p p > 0; = = 4x x 4x x
mivel az értelmezési tartomány esetén x in‡exiós pontja.
Ábra:
3)
0; így a függvény Df -n konvex és nincs
f) f (x) = x ln x Értelmezési tartomány: Df = R+ Zérushely: f (x) = x ln x = 0 =) ln x = 0 =) x = 1 x6=0
Y tengelymetszet:Széls½oérték+monotonitás: f 0 (x) = ln x + x Lehetséges szé. hely: x = e x f0 f
1
= 1e : Így 1 e
1 x = 1e <x e 0 + monoton csökken min. hely monoton n½o.
0<x<
Minimum pont: Pmin
1 = ln x + 1 = 0 x
1 ; 1 e e
Konvexitás+in‡exiós pont: f 00 (x) = Nincs in‡.hely és mivel f 00 (x) = konvex Df -n.
1 x
1 6= 0 x
> 0 tetsz½oleges x 2 Df esetén, a függvény
Határértékek lim x ln x = +1
x!+1
lim x ln x = 0 ( 1) = lim
x!0+0
0
Értékkészlet: Rf = Ábra: f (x) = x ln x
x!0+0
1 ;1 e
ln x 1 x
=
1 1
=
lim
1 x
L’Hospital szabály x!0+0 x
2
= lim
x!0+0
x=
