Standar Kompetensi Menggunakan operasi dan sifat serta manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar dan logaritma, persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat, system persamaan linier – kuadrat, pertidaksamaan satu variable, logika matematika.
BENTUK PANGKAT/EKSPONEN, AKAR DAN LOGARITMA. Kompetensi Dasar : 1.1. Menggunakan sifat dan aturan tentang pangkat, akar dan logaritma dalam pemecahan masalah 1.2. Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan tehnis yang berkaitan dengan pangkat, akar dan logaritma.
1.1.1. 1.1.2. 1.1.3. 1.1.4. 1.1.5. Prasyarat
Pengalaman Belajar Mendefinisikan pangkat, akar dan logaritma. Mendiskripsikan pangkat, akar dan logaritma, serta hubungan satu dengan yang lainnya. Mengaplikaikan rumus-rumus pangkat / eksponen. Mengaplikaikan rumus-rumus bentuk akar. Mengaplikaikan rumus-rumus logaritma. . : 1. Sistem Persamaan linier dan kuadrat. 2. Operasi hitung dalam aljabar.
A. BENTUK PANGKAT/EKSPONEN DAN BENTUK AKAR A.1. BENTUK PANGKAT / EKSPONEN. Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut pangkat/eksponen dan bentuk akar diharapkan peserta didik menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi / media interaktif. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan beberapa hubungan yang pasti dian- tara beberapa pola berikut ini: Masalah 1 : Tentukan dan jabarkan bentuk : a. 35 b. 56 c. 104 Penyelesaian : a. 35 = 3 x …. x ….. x ….. x ….. = 243 b. 56 = …. x …. x ….. x ….. x ….. x …… = ……. c. 104 = …. x ….. x ….. x ….. = ……… Penarikan kesimpulan: an = …. x ….. x ….. x …… x ….. x a , di mana : an dibaca a pangkat n n factor
a disebut bilangan pokok atau basis. n disebut pangkat atau eksponen an disebut bilangan berpangkat.
A.1.1. PANGKAT BULAT POSITIF. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan beberapa hubungan yang pasti di antara beberapa pola berikut ini: Masalah 2 : Tentukan nilai dari: a. 43 x 42 Penyelesaian : a.
b. 24 x 25
43 x 42 = ( 4 x …. x 4 ) x ( 4 x ….. ) = ( 4 x ….. x ….. x ….. x ….) = 43 + 2 = 4….. 3 faktor
2 faktor
(3 + 2) factor LKS-Mat.X-01
LKS-Mat.X-02 b.
24 x 25 = ( 2 x …. x …. x …. ) x ( 2 x …. x …. x …. x 2 )
= ( …. x …. x …. x …. x …. x …. x …. x …. x …. ) = 2….. Penarikan kesimpulan: ap . aq = ( a x a x a x … x a ) ( a x a x a x … x a) = ( a x a x a x .. x a ) = a … + …. …. factor
…. factor
ap . aq = a …. + ……
Sifat 1 :
45 43
Masalah 3 : Tentukan nilai dari: a. Penyelesaian : 5 faktor a.
b.
38 34
3 faktor
45 4 x4 x.....x.....x..... 4 x.....x..... = = x ( 4 x ….. ) = 1 x ( 4 x ….. ) = 42 = 4 5 - 3 3 4 x.....x..... 4 x.....x..... 4 3 faktor
3 faktor
8 faktor b.
( … + …. ) factor
2 faktor 4 faktor
4 faktor
38 3x.....x.....x.....x.....x.....x.....x3 3x.....x.....x..... = = x ( 3 x ….. x ….. x….. ) 4 3x.....x.....x3 3x.....x.....x..... 3 4 faktor 4 faktor = 1 x ( 3 x …..x…..x….. ) = 3 x …. x …. x 3 = 34 = 3 4 faktor
….. - …..
4 faktor
Penarikan kesimpulan: p faktor
( p - …. ) faktor
q faktor
ap ax.....x.....x.....x.....x.....x.....xa ax.....x.....x..... = = . ( a x ….. x ….. x….. ) q ax.....x.....xa ax.....x.....x..... a q faktor q faktor = 1 x ( a x …..x…..x a ) = a x a x …. x a = a…. - …… ( …. - …. ) faktor Sifat 2 :
( ….. - …. ) faktor
ap = a ….. - …… aq
Masalah 4 : Tentukan nilai dari: Penyelesaian :
3 faktor
( 2 x 5 )3 3 faktor
3 faktor
( 2 x 5 )3 = ( 2 x 5 ) x ( … x … ) x ( …x 5 ) = ( 2 x … x 2 ) x ( 5 x …x … ) = 2 … . 5 …. Penarikan kesimpulan: ( a . b )p = ( a x b ) x ( … x … )x … x ( … x b ) = ( a x … x … x a ) x ( b x .…x … x b) p factor = a … . b ….
p factor
p factor
LKS-Mat.X-03 ( a . b ) p = a ….. . b p
Sifat 3 :
( 5 3 )4
Masalah 5 : Tentukan nilai dari: Penyelesaian : 4 faktor
4 faktor
( 53 )4 = 53 x 5…. x … x 53 = ( 5 x ….x 5 ) x ( 5 x ….x …. ) x ( 5 x ….x …. ) x ( 5 x ….x …. ) 3 faktor 3 faktor , 3 faktor 3 faktor = 5 x …. x …. x ….. x …. x …. x ….. x ….. x ….. x …. x …. x 5 = 5 …. x ….. = 5…… 2 faktor atau { ( …. x …. ) factor }
( a p ) q = a … x …..
Sifat 4 :
Masalah 6
: Tentukan nilai dari:
Penyelesaian : (
(
2 4 ) 5
4 faktor
4 faktor
2 ..... 2 4 2 ... 2 2 x....x....x 2 ) = x x ….. x = = ..... 5 5 5 5 5 x....x....x.... 5 4 faktor p
Sifat 5 :
(
a a p ) = b b ....
A.1.2. PANGKAT BULAT NOL DAN NEGATIF. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna membuktikan kebenaran hubungan yang pasti di antara beberapa pola berikut ini: Masalah 7
: Buktikan bahwa: a. ao = 1
Bukti
: a. Akan dibuktikan ao = 1
b. a-p =
Ambil sifat 1 : ap . aq = a …. + …… ….
q
a .a =a
a0 =
b. Akan dibuktikan
a-p =
= a
, missal : p = 0 didapat: …..
aq = ……. a ....
a0 = Sifat 6 :
0 + ……
1 ap
Terbukti.
1
1 ap
Ambil sifat 1 : ap . aq = a …. + ……
, missal : q = -p didapat:
a…. . a….. = a ….. – p = a ….. a –p =
a .... ..... = .... .... a a
Terbukti.
LKS-Mat.X-04 a-p =
Sifat 7 :
1 ap
Permasalahan untuk didiskusikan siswa: 1. Sederhanakan bentuk-bentuk di bawah ini dengan menggunakan sifat-sifat bilangan pangkat! a. 4p2 x 2p3 x 23p c. 10y7 : 2y2 e. 6d8 : ( 3d2 x 2d2 ) 3 2 4 5 2 4 7 b. ( -k ) : k d. ( -m : m ) x m f. ( -6u3v )4 : ( 2uv2)2 2. Ubah ke dalam bentuk pangkat negative ! a.
1 4t 6
b.
5 ( a b) 3
c.
2 (b c 3 ) 3
e.
9m 2 n 3 p 7 21.m 1 n 2 p 6
2
3. Ubah ke dalam bentuk pangkat positif !
27 p 7 9 p2
a. a-6b4 x a2b-2
c.
b. (5m2n-3)-2 x 2(m-2n3)2
2 2 m 4 n d. 3 8 mn
2
3m n 2
f.
2 2
:
p4
p 3 m6
A.2. PANGKAT RASIONAL / PECAHAN ATAU BENTUK AKAR. Bentuk akar ialah akar bilangan rasional yang tidak dapat dinyatakan sebagai bilangan rasional.
a adalah bilangan non negative sedemikian hingga
Definisi:
a.
a =a
Dengan menggunakan sifat 1 : ap . aq = a p + q akan kita coba membuktikan hubungan pangkat pecahan dan bentuk akar, sebagai berikut: 1
a. 3
a =a 3
berarti
3
a . a . a = a berarti
..... ..... .....
1
a 2 .a 2 a ..... 1 3
1 ....
a .a .a
..... ......
a
1
a ...... sehingga :
..... ..... ..... ..... ..... .....
a
...... ......
a
......
a = a ...... sehingga p
Sehingga dapat disimpulkan berlakunya :
q
Sifat 8 :
a p a .....
Permasalahan untuk didiskusikan siswa: 1. Nyatakan dalam bentuk pangkat rasional/pecahan ! b. m 3 m
a. q 2 4 q 3
c.
1 y5 6 y5
2. Nyatakan dalam bentuk akar ! 2
a. 4a 5
b. 9k
5 2
7
3
c. 9a 2 3a 2
3. Sederhanakan bentuk di bawah ini !
12 32 a. 3a .b
2
96a 3 .b 2 b. 2 8 3a .b
1
5
x3 c. y
m
ym 3 x
m
3
a a 1
1 .....
LKS-Mat.X-05 4. Hitung nilai dari ! 1
a. 64
1 3
b.
(27) 3 9
c. 1442 .8 1
5 2
2 3
A.2.a. OPERASI HITUNG BENTUK AKAR. a.1. Penjumlahan dan pengurangan bentuk akar. Bentuk akar yang dapat dijumlahkan atau dikurangi hanyalah bentuk akar yang sejenis / sama. Masalah 8 : Sederhanakan operasi hitung di bawah ini: a. 2 3 + 5
3
b. 4
7 -
7
Penyelesaian: a. 2 3 + 5 3 = ( 2 + …. ) 3 = … 3 Penarikan Kesimpulan :
a
b. 4 7 - 7 = (…. - ….) 7 = …. 7
p b p = ( a …. )
.....
a.2. Perkalian bentuk akar. Masalah 9 : Sederhanakan operasi hitung di bawah ini: a. 3 x 2 b. 4 3 x 2 7 Penyelesaian: a. 3 x 2 = 3x..... ...... b. 4 3 x 2 7 = ( 4 x…. ) Penarikan Kesimpulan :
a.b =
3x..... ..... ......
a. b
a.3. Menyederhanakan bentuk akar. Masalah 10 : Sederhanakan bentuk akar di bawah ini: a. 12 b. 8 x 12 Penyelesaian: a.
12 .....x3 .....x ...... ...... ......
b.
8 x 12 = .....x2 x .....x3 = …. ..... x …. ..... = ( …. x…. ) ...x... = ….
.....
A.2..b. MERASIONALKAN PENYEBUT BENTUK AKAR. Guna menyederhanakan penyebut bentuk akar dari suatu pecahan perlu dipahami tentang operasi perkalian pada bentuk akar, dan diskusikan beberapa permasalahan berikut ini: Masalah 11 : Rasionalkan penyebut bentuk akar di bawah ini:
6
a.
3
b.
5 3 2
Penyelesaian: a.
6 3
=
6 3
x1=
6 3
x
.... ..... ..... ..... ..... ..... = ...... ..... ..... ...... ...... ..... .....x.....
LKS-Mat.X-06 b.
5
5
=
3 2
3 2
x 1=
5 3 2
3 2
x
=
.... .....
....( ... ... ) ( ... ) ( ... ) 2
2
=
...( ... ... ) ..... .....
3 2 dan 3 2 disebut bentuk akar yang saling sekawan dan jika di2 2 kalikan menghasilkan bilangan Real: ( 3 ) - ( 2 ) = 3 – 2 = 1
Di mana :
Penarikan Kesimpulan :
a
a.
b
a
a
b.
b c
b =
x
.... .... a
a .... b
b c
x
b .... .... ....
a( .... ....) ...... .....
Permasalahan untuk didiskusikan siswa: 1. Nyatakan ke dalam bentuk akar yang paling sederhana ! a. 5 7 3 7 7 b. 3 2 ( 2 5 ) c. 5 (4 5 3 ) 3 ( 5 3 3 ) 2. Rasionalkan penyebut pecahan berikut ini !
3
a.
2 3
b.
3. Diketahui x = 2 3 2 a. x2 y
11 2 2 32 2
5 3 3 2
c.
dan y = 2 3 2 . Tentukan nilai dari :
b. x2 + 2xy + y2
c.
x y
B. BENTUK LOGARITMA. Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut logaritma diharapkan peserta didik menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi / media interaktif. Perlu diingat bahwa pada definisi eksponen:
ax = c
Dari sini dapat ditarik hubungan sebabagi berikut: 1. a x = ……. dikenal dengan operasi perpangkatan / eksponen. x x c ...... dikenal dengan operasi bentuk akar. 2. (….) = c (….) a 3. a = c log c = …... dikenal dengan operasi logaritma. Sehingga dapat disimpulkan bahwa antara bentuk pangkat/eksponen dengan bentuk logaritma memiliki korelasi yang erat. Definisi: Logaritma suatu bilangan c untuk bilangan pokok/basis a, adalah eksponen bilangan berpangkat yang menghasilkan c jika a dipangkatkan dengan eksponen tersebut, dimana a > 0 , a 1 dan c > 0. a log c = x ax = c Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan nilai yang pasti di antara beberapa model logaritma berikut ini: Masalah 12
:
2
Tentukan nilai dari : a. log 8
b.
10
log 10000
c.
1 3
log 9
LKS-Mat.X-07 Penyelesaian: a. 2log 8 = 3
, sebab
c.
=8
, sebab 10….. = 10000
b. log 10000 = ……. 10
1 3
23
1 , sebab 3
log 9 = ……..
........
= ……..
Pada dasarnya logaritma dapat dibedakan menjadi 2 bagian, yaitu: 1. Logaritma dengan bilangan pokok / basis bilangan real: 1.1. 1.2.
Untuk bil. Pokok a = 10 Untuk bil. Pokok selain 10
10
log c biasa ditulis log c log c , missalnya: 2log 3
a
Konsep ini dikenalkan oleh Robert Briggs dan biasa disebut sebagai Logaritma Briggs. 2. Logaritma dengan bilangan pokok / basis bilangan natural/alam (e = 1,7218….. ) e log c biasa ditulis ln c (dibaca Lon c) Konsep ini dikenalkan oleh John Napier dan biasa dikenal dengan Logaritma Natural. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan beberapa hubungan yang pasti (sifat-sifat) di antara beberapa pola berikut ini: Dari definisi : a log c = x ax = c didapat ax = a Sehingga berlaku: Sifat 1 : Sederhanakan: 4
4 Masalah 13
2
log 7
.....
2
log 7
(....) 2
a 2
a
log c
= c
(.....)
log.....
2
a
log c
= …..
,
log(.....)2
(.....) 2 .......
: Tentukan bentuk lain dari : a. alog x + alog y b. alog x - alog y c. alog xp
Penyelesaian: a. alog x + alog y, missal : p = alog x maka sesuai definisi didapat q = alog y maka sesuai definisi didapat x.y = ap . a….. = a….. + …..
sehingga Sehingga berlaku: Sederhanakan:
3
3
Sifat
2
log 15 jika
:
a
a
maka :
a…. = x aq = …..
log (…. …..) = p + …..
log x.y = alog …. + alog ….
diketahui
3
log 5 = a
log 15 = 3 log (….. x …..) = 3log ….. + 3 log ….. = 1 + ……..
b. alog x - alog y
, dengan cara yang sama didapat:
ap x = q = a p ...... y a
maka
a
x = …. - ….. y
log
Sehingga berlaku: Sifat Sederhanakan: 4
log 8 = 3 log
4
3
:
log 8 jika 16 2
a
log
x y
diketahui
= alog …. - alog …. 4
log 2 = a
= 4 log …. - 4 log …. = 4 log (….)2 – 4 log ….. = 2 4 log … - a = …. –a
LKS-Mat.X-08
a
p
c. log x
=
a
p faktor log ( x . x . x . ….. . x ) =
log x + a log x + …….. + a log x = …..
a
a
log x
p suku Sehingga berlaku: Sifat 2
Sederhanakan: 2
4
a
:
log xp = ….. alog x
log 32 = …………… 2
log 32 =
log (….)5 = (….) 2log ….. = …….
Permasalahan untuk didiskusikan siswa: 1. Sederhanakan bentuk logaritma di bwah ini: a.
6
log 8 – 6 log 2 + 6 log 9
b.
3
1 log 3 + log 27 8
c. 3 log 81 – 3 log 9
e. 5 log 100 – 2. 5 log 2
3
d. 2log 2 + 2log 3 + 2log 5 + 2log 7 – 2log 105
3
2. Sederhanakanlah: a. log x – 3. log x + log 1/x 4
b. 2 log
6-
c. log x
1 2 . log 3 2
1 3
d.
1 2
1 log x y 2
+ log y -
1 10 . log 10 + 3 . 10 log 10 2
3. Hitunglah bentuk-bentuk di bawah ini: 7
a. 3 log 275
b. 16 log 8 9
3
c.
log
1 94
d. 25 log
5
21
e. 8 log 4-19
4. Tentukan nilai x yang memenuhi tiap persamaan berikut: a
a.
5 1 a 1 = log x log 8 - a log 4 – a log 4 16 3
b. 4 . 2 log x = 2 log 81 a
p
Masalah 14
: Buktikan bahwa: a. alog x =
log x p log a
c.
am
log b n
n log b m
b. alog b . blog x = alog x p
Penyelesaian: a. alog x =
p
log x log a
, Bukti:
a
Missal
am = p …. log a =
(…) p log a =
p
m
=
maka :
x log …..
….
p
log x = m
log x
log ..... = log .....
.....
a
log x
terbukti.
Sehingga berlaku: p
Sifat Sederhanakan: 2
4
log 7 =
2
5 4
:
a
log x =
log 7 = ……
p
log x log a
jika diketahui
log ..... ...... ..... 2 2 log(....) 2 log .... .....
2
log 7 = b
LKS-Mat.X-09 p
b. alog b.blog x = alog x, Bukti: alog b.blog x =
log b ..... log ... . p log .... p log ... p
= Sehingga berlaku: Sifat 6 : 3
Sederhanakan: 3
(dari sifat 5)
log .... ..... log x , terbukti. log ....
....
a
log b . blog x = alog x
log 36 .6log 9 = ……
log 36 .6log 9 = 3 log 6…. .6log 9 = … 3 log 6 .6log 9 = ....3 log .... = …. x …. = ...... a
c.
am
log b n
n log b , Bukti: m
am
log b n (....) a log ..... ( dari sifat 4 ) .... 1) m
Missal : p = Maka
Dari 2) 1) didapat :
a
p
am
log b (am)….. = …..
= b
1 m
.....
log b
1 m
......
am
log b n (....) a log ..... = (….)
log ..... p
1 ......
…….2) m
..... = .....
1 m
a
7
Sederhanakan:
9
am
:
log b n
n log b m
log 8 = …… jika diketahui 3
9
log 8 =
3......
log .(....).......
..... ..... log .... a ..... .....
Permasalahan untuk didiskusikan siswa: Tunjukan bahwa:
a. Jika b.
p
c.
ab
a
log x = y maka
log q +
1 p
log q 0 a
log x =
log x 1 log b a
an
log x n y
3
......
log .....
......
Sehingga berlaku: Sifat
.....
log 2 = a
log .....
