BAB II PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA ILUSTRASI Sonya akan membeli sebuah motor secara kredit, ketentuan yang ditawarkan oleh perusahaan leasing adalah, uang muka sebesar Rp 1.500.000,00 dan angsuran perbulannya sebesar Rp 365.000,00 selama 3 tahun ( 36 bulan ). Sementara koperasi perusahaan tempatnya bekerja menawarkan pinjaman dengan bunga sebesar 1,2% per bulan untuk membeli secara tunai. Harga
apabila membeli secara tunai adalah sebesar Rp
10.500.000- Apabila Anda dimintai pendapat untuk memilih salah satu dari kedua alternatif tersebut, kira – kira mana yang akan anda sarankan Sonya membeli secara kredit pada perusahaan leasing atau meminjam ke koperasi untuk dibelikan motor secara tunai? Pada kasus ini langkah penting yang harus dilakukan adalah membandingkan tingkat bunga yang ditetapkan antara perusahaan yang memberikan leasing dengan koperasi yang memberikan pinjaman. Tingkat bunga yang paling rendah yang akan Anda sarankan sebagai pilihan alternatif yang diambil. Penyelesaian kasus dalam ilustrasi ini akan sangat berhubungan dengan penggunaan akar dan pangkat. A. PANGKAT Pangkat adalah perkalian suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri sebanyak n kali yang dilambangkan dengan xa.Ekspresi xa dibaca “x pangkat a”; di mana x disebut sebagai basis dan a disebut pangkat. Jika a merupakan suatu bilangan bulat yang positif, maka :
x a x x x x.............. x Di mana x merupakan perkalian sebanyak a kali. Kaidah-kaidah dasar dalam pemangkatan dan pengakaran : 1) x0 = 1 Contoh 2.1 : 70 = 1 11
Modul Matematika Bisnis
2) 0X = 0 Contoh 2.2 : 05 = 0 3) x1 = x Contoh 2.3 : 61 = 6 4) xa.xb = xa+b Contoh 2.4: 52.53 = 52+3 = 55 = 3125 5) (xa)b = xab Contoh2.5 : (22)3 = 26 = 64 6) (xy)a = xaya Contoh 2.6 : (2.3)2 = 2232 = 4.9 = 36 a
x xa 7) a y y 2
4 2 16 4 Contoh 2.7 : 2 4 4 2 2 8) 1 = x-a xa Contoh 2.8 : 1 = 3-2 32 9) xa = xa-b = xb
1___ x b-a
Contoh 2.9 :
x4 x2
= x4-2 =
1___ x 2-4
10) x a / b b x a Contoh 2.10 : 5 4 / 2 2 5 4
12
Modul Matematika Bisnis
B. AKAR Akar merupakan kebalikan dari pangkat. Apabila kita mempunyai X n di mana X adalah bilangan nyata dan
n
adalah suatu bilangan bulat negatif
maka kaidah yang berlaku adalah X-n = . 1 . = . 1 Xn. X1 . X2 ……Xn Selanjutnya bila X adalah bilangan nyata dan
n
merupakan bilangan
pecah positif, persamaan pangkat bisa didefinisikan sebagai berikut : X4/5
=
5
X4 .
Di sinilah mulai terlihat hubungan antara pangkat
dan akar . Kaidah-kaidah perpangkatan untuk xa pada subbab sebelumnya dinyatakan untuk nilai x yang tidak sama dengan nol dan a merupakan bilangan bulat positif atau negatif. Nilai a pada xa dapat berupa setiap bilangan rasional. Bilangan rasional adalah sembarang bilangan yang dapat ditunjukkan oleh pembagian dua bilangan bulat p/q, untuk q ≠ 0 serta p dan q merupakan bilangan bulat. Pengembangan kaidah-kaidah perpangkatan untuk pangkat suatu bilangan pecahan (yaitu bilangan rasional) menghendaki agar bentuk ap/q didefinisikan sesuai dengan kaidah-kaidah perpangkatan yang berlaku. Misalnya ada suatu ekspresi dalam bentuk a
1/n
dan berlaku kaidah (xa)b
maka dengan menganggap a = 1/b akan berlaku pula : (x1/a)a = x a/a = x bentuk x 1/a disebut pula akar pangkat x dari a dan disimbolkan
a
x.
Kaidah-kaidah akar: 1)
a
xy a x .a y Contoh 2. 11 :
2
4.6 2 4.2 6 22 6 2 6 13
Modul Matematika Bisnis
a
2)
x x1 / a 2
Contoh 2.12: 3)
a
b
x ab x Contoh 2.13 :
4)
a
6 61 / 2
x y
a
x
a
y
4
2
5 2.4 5 8 5
Contoh 2.14 : 2
5 25 5 2 4 4 4
1
2
5
C. LOGARITMA Logaritma
pada
dasarnya
merupakan
kebalikan
dari
proses
pengakaran. Logaritma dari suatu bilangan adalah pangkat yang dikenakan pada bilangan pokok. Bilangan pokok logaritma tersebut, misalnya a, harus positif dan tidak sama dengan satu. Jadi a>0 dan a ≠ 1. Logaritma merupakan
bentuk
perpangkatan
juga.
Secara
definisi
,
logaritma
menunjukkan pangkat yang dimiliki oleh suatu basis sehingga bentuk perpangkatan
itu
nilainya
sama
dengan
bilangan
tertentu.
Dengan
menggunakan simbol, maka bila ada : y = an untuk a>0 dan a ≠ 1 maka n merupakan logaritma dari y dengan basis a atau ditulis : n = alogy Log Biasa dan Log Asli ( Log Natural ) Dalam penggunaan log yang sebenarnya, terdapat dua angka yang sering digunakan sebagai bilangan pokok yaitu 10 dan e. Bila angka 10 digunakan sebagai bilangan pokok maka disebut sebagai logaritma biasa. Sementara apabila e yang digunakan sebagai bilangan pokok akan disebut asli logaritma atau log natural ( ln ) Logaritma biasa, sering digunakan dalam perhitungan misalnya 14
Modul Matematika Bisnis
log10 1.000 = 3 (karena 103 = 1.000 ) log10 100 = 2 ( karena 102 = 100 ) log 10
10 = 1
( karena 101 = 10 )
Dari hasil – hasil perhitungan di atas, maka kita dapat menarik kesimpulan bahwa logaritma biasa dari suatu bilangan adalah yang terletak
antara 10
dan 100 pasti bernilai antara 1 dan 2, dan seterusnya. Dalam kegiatan yang bersifat
analisis, logaritma asli lebih mudah
penggunaannya karena menurut definisi logaritma kita akan melihat hubungan sebagai berikut : Y=et
maka t = log e Y. atau t = ln y.
Kaidah umum yang tampak dalam log natural adalah bahwa jika kita melihat pernyataan en , di mana n adalah bilangan riil, maka kita dapat menemukan bahwa eksponen n merupakan log natural dari en. Kaidah-kaidah Logaritma: 1)
a
log ap = p Contoh 2.15: 10 log 100 = 10 log 102 = 2
2) aalog b = b Contoh 2.16 : 10 10log 100 = 10 10log 102 = 102 = 100 3) alog xy = a log x + a log y Contoh 2.17 :
10
log (100) (10) = 10 log 100 + 10 log 10 = 10 log 102 + 10 log 101 = 2+1=3
4) alog x = a log x - a log y y Contoh 2.18 :
10
log 1000 = 10 log 1000 – 10 log 100 100 = 10 log 103 - 10 log 102 =3-2=1
5) alog xn = na log x Contoh 2.19 :
10
log 1004 = 410 log 100 = 410 log 102 = 4. 2 = 8 15
Modul Matematika Bisnis
6) alog a = 1 Contoh 2.20 : 10 log 10 = 1 , sebab 101 = 10 7) alog 1 = 0 Contoh 2.21 : 10 log 1 = 0 , sebab 100 8)
a
log b
b
1 log a
atau
=
1
a
log b. blog a = 1
Contoh 2.22 : 10 log 100 = 2 , sebab 102 = 100 100
log 10 = ½ , sebab 100 ½ =
100 = 10
Sehingga 10 log 100. 100 log 10 = 2 .½ = 1 9) a log b.b log c.c log a 1 10
log 100 2, sebab10 2 100
100
Contoh 2.23:
log 1000 2, sebab100 2 10000 log 10
10000
1
sebab10000 4 4 10000 10 1
4,
sehingga : 10 log 100.100 log 10000.10000log 10 2.2. 1 4 1
D. PENGFAKTORAN Ketika dihadapkan pada kasus – kasus yang kompleks, maka kita harus menguraikannya satu persatu dalam persamaan – persamaan lebih simpel/ sederhana untuk memudahkan proses penyelesaian masalah. Misalnya pernyataan matematis mengatakan bahwa X = ab + ac , maka kita dapat membuatnya menjadi X = a ( b + c ). Kedua persamaan tersebut mempunyai nilai yang sama. Langkah awal ketika akan melakukan pengfaktoran ( faktorial ), maka kita harus menemukan satu faktor bersama. Misalnya dalam kasus di atas, faktor bersamanya adalah a. Faktor bersama ini sering disebut dengan monomial factoring. Contoh 2.24
faktorkan
X = 2Y3 – 3XY2 + 4 Y X = Y ( 2 Y 2 – 3XY + 4 )
Faktor bersama
dalam contoh tersebut adalah Y, maka kita dapat
memperoleh persamaan baru dengan nilai yang sama.. 16
Modul Matematika Bisnis
Selain monomial factoring, kita juga mempunyai binomial factoirng yaitu apabila pernyataan matematis tersebut mempunyai 2 faktor yang sama. Misalnya saja dengan persamaan berikut ini Contoh 2.25
Y = ( X + a ) ( X + b ), Y = X2 + ( a + b ) X + ab.
Apabila kita masukkan ke dalam angka maka sebagai berikut : Contoh 2.26 Faktorkan Y = X2 - 9X + 20 Jawab :
Y
= X2 + ( a + b ) X + ab
.a + b = -9 .a x b = 20 Dengan cara trial and error kita bisa memperoleh a = -4
b = -5
Sehingga Y = X2 –9X + 20 Y = ( X – 4 ) ( X –5 ) X1 = 4
X2 = 5
Untuk mencari nilai – nilai dari faktoring tersebut, biasanya digunakan metode trial and error ( coba – coba ). Selain itu juga dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus abc yang akan kita bahas lebih lanjut dalam Bab Fungsi. E. PENERAPAN EKONOMI Dalam penerapan di bidang ekonomi, logaritma diterapkan bersamasama
dengan
eksponensial
bentuk-bentuk dan
mempermudah
pangkat.
pemecahan
matematika Adapun
masalah
yang
lain
seperti
fungsi
kegunaannya
adalah
untuk
bilangan
yang
terutama
untuk
mengandung pangkat terlalu besar. Contoh-contoh aplikasi logaritma ini di antaranya adalah dalam bunga-berbunga dan fungsi-fungsi pertumbuhan Contoh 2.27. Bimo
mempunyai
uang
senilai
Rp.
10.000.000,00.
Ia
akan
mendepositokannya di bank untuk jangka waktu 2 tahun ( 24 bulan ) dan akan diambil pada bulan ke 25. Jika tingkat suku bunga yang berlaku adalah 1% / bulan , maka berapakah jumlah uang Bimo 2 tahun kemudian? Solusi : 17
Modul Matematika Bisnis
P = Rp. 10.000.000,-
i = 0,01
n = 24
Fn = P (1 + i) n F24 = 10.000.000 (1 + 0,01)24 Log F24 = log 10.000.000 + log1,0124 log F24 = log 10.000.000 + 24 log1,01 log F24 = 7 + 24 (0.00432173783 ) log F24 = 7 + 0.10371297 log F24 = 7.10371297 F24 = antilog 7,10371297 F24 = 12.697.346, 46 Jadi uang Bimo setelah 2 tahun menjadi sebesar Rp. 12.697.346,46
18
Modul Matematika Bisnis
