BAB 1
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma
Penggunaan bentuk pangkat, akar, dan logaritma banyak dijumpai di pelajaran lain, misalnya fisika, kimia, biologi, dan lain-lain. Dalam fisika, logaritma dapat digunakan untuk menentukan taraf intensitas oleh suatu sumber bunyi. Itensitas bunyi yang dihasilkan mesin pesawat dapat dihitung dengan menggunakan metode logaritma. Kuat atau lemahnya bunyi dikenal dengan taraf intensitas bunyi. Rentang intensitas yang dapat diterima oleh telinga manusia adalah watt/m2 sampai 1 watt/m2. Bilangan yang dibaca 10 pangkat negatif 12 merupakan bentuk bilangan berpangkat. Bisakah kamu mencari contoh lain penggunaan bentuk bilangan berpangkat?.
Standar Kompetensi: 1. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma.
Evi Yuliana, S.Pd.
Kompetensi Dasar: 1.1 Menggunakan aturan pangkat, akar, dan logaritma. 1.2 Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan yang melibatkan pangkat, akar, dan logaritma.
Buku Kerja Matematika Kelas X Semester Ganjil....1
Inti Pembahasan A. Pangkat Bulat Positif B. Pangkat Bulat Negatif dan Nol C. Bentuk Akar D. Merasionalkan Bentuk Akar E. Pangkat Rasional F. Menyelesaikan Persamaan Bilangan Berpangkat Sederhana G. Logaritma H. Ulangan Harian Bab 1
1. Tentukan nilai dari bentuk berikut: a.
c.
e.
g.
i.
b.
d.
f.
h.
j.
Jawab:
2. Hitunglah nilai dari bentuk-bentuk berikut: a. e. b. f. c. g. d.
h. i. j.
Jawab:
3. Sederhanakan bentuk-bentuk di bawah ini, nomor a sudah dikerjakan sebagai contoh untukmu! a. d. h. e. Jawab: i. ( ) ( ) ( ) b. f. j. c.
g.
Jawab:
Evi Yuliana, S.Pd.
Buku Kerja Matematika Kelas X Semester Ganjil...2
A. Pangkat Bulat Positif 1.
Pengertian Bilangan Berpangkat Bentuk umum Jika
adalah bilangan real dan
dibaca 2.
pangkat
adalah bilangan bulat positif, maka:
Sebanyak faktor , dengan disebut bilangan pokok dan
disebut pangkat
Sifat-sifat Bilangan Pangkat Bulat Positif
(
)
(
)
( )
B. Pangkat Bulat Negatif dan Nol 1.
Pangkat Bulat Negatif
Jika adalah bilangan real, , adalah bilangan bulat positif, maka:
Berdasarkan sifat pangkat bilangan bulat, maka: , jadi 2.
Pangkat Nol Jika
adalah bilangan real,
, maka
Soal dan Pembahasan.. 1. Nyatakan dalam bentuk perkalian berulang! b. ( ) a. c. ( )
d. (
e.
)
Pembahasan:
2. Sederhanakan bilangan pangkat berikut! a. c. (
)
e. (
d. (
)
f.
b. Pembahasan: a.
c. (
)
b.
d. (
)
Evi Yuliana, S.Pd.
( )
e. ( f.
)
)
( )
Buku Kerja Matematika Kelas X Semester Ganjil...3
3. Ubahlah ke bentuk pangkat positif! a. b.
c.
d. ( )
Pembahasan:
4. Tentukan nilai perpangkatan berikut! a. b. ( ) Pembahasan: a.
b. (
c. ( )
)
c. ( )
d. (
)
d. (
)
AYO BERLATIH…........... Kerjakan di buku latihanmu ya….! 1. Tentukan nilai perpangkatan berikut! a. c. e. ( b. d. ( ) f. (
) )
g. (
)
h. ( )
2. Sederhanakan bentuk berikut dengan menggunakan sifat-sifat bilangan berpangkat! a. c. e. ( ) g. ( b. d. f. ( ) h. (
) )
3. Sederhanakan bentuk-bentuk perpangkatan berikut!
a.
b.
4. Sederhanakan bentuk berikut! a. b.
c.
d.
c.
e.
d.
f.
5. Sederhanakan bentuk berikut menjadi bentuk pangkat positif! a. d. g. b. e. h. c. f.
i.
( )
j.
( )
3. Penulisan Bilangan dalam Bentuk Baku Definisi: Suatu bilangan N yang dituliskan dalam bentuk notasi ilmiah merupakan hasil kali sembarang bilangan antara 1 sampai 10 dengan sembarang bilangan berpangkat dengan bilangan pokok 10. Secara matematis, , dimana Contoh: Nyatakan bilangan-bilangan berikut kedalam notasi ilmiah! b. 257,5 a. Pembahasan: a. b. Evi Yuliana, S.Pd. Buku Kerja Matematika Kelas X Semester Ganjil....4
Ayo Mencoba…………….. 1. Nyatakan jarak rata-rata planet dalam tata surya dari matahari beikut ke dalam notasi ilmiah! Planet Merkurius Venus Bumi Mars Yupiter Saturnus Uranus Neptunus
Jarak rata-rata planet dari matahari (dalam m) 57.900.000.000 108.900.000.000 149. 600.000.000 227. 900.000.000 778. 300.000.000 1.427. 900.000.000 2.869. 600.000.000 4.496. 600.000.000
Notasi Ilmiah
2. Perhatikan tabel berikut! Dan tentukan massa beikut ke dalam notasi ilmiah! Jenis
Massa (dalam kg)
Proton Elektron Neutron Natrium Kalsium Helium Argon Oksigen
0,000.000.000.000.000.000.000.000.001.672.600 0,000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.911 0,000.000.000.000.000.000.000.000.001.672.800 0,000.000.000.000.000.000.000.000.038.180 0,000.000.000.000.000.000.000.000.006.400 0,000.000.000.000.000.000.000.000.066.640 0,000.000.000.000.000.000.000.000.066.400 0,000.000.000.000.000.000.000.000.026.560
Notasi Ilmiah
C. Bentuk Akar 1.
Pengertian Bilangan Rasional dan Irasional
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai pecahan dengan dan bilangan bulat dan dan dapat juga dinyatakan dalam bentuk desimal berulang. Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan , dan bilangan bulat dan , atau merupakan desimal tidak berulang.
Soal dan Pembahasan.. 1. Perhatikan contoh bilangan rasional berikut! a. (pecahan ) b. c.
(pecahan (desimal berulang)
)
2. Perhatikan contoh bilangan irasional berikut! a. √ b. c. d. Evi Yuliana, S.Pd.
Buku Kerja Matematika Kelas X Semester Ganjil...5
AYO BERLATIH……......... Lengkapilah tabel berikut dengan memberi tanda (√) pada kolom yang sesuai! No.
Bilangan
1.
Rasional
Irasional
No.
Bilangan
Rasional Irasional
.......
.......
8.
.......
.......
2.
3
.......
.......
9.
.......
.......
3.
√
.......
.......
10.
.......
.......
4.
1,6
.......
.......
11.
.......
.......
.......
.......
12.
56
.......
.......
.......
.......
13.
0
.......
.......
.......
.......
14.
√
.......
.......
5. √
6. 7. 2.
√
Pengertian Bentuk Akar Perhatikan akar dari dua bilangan berikut! √
(bilangan irasional) disebut juga sebagai bentuk akar
(bilangan rasional) √ Jadi, Bentuk akar merupakan akar dari suatu bilangan real positif yang hasilnya bukan merupakan bilangan rasional.
AYO BERLATIH……......... Diantara bilangan-bilangan dalam tabel berikut, manakah yang merupakan bentuk akar? No. Bilangan Bentuk akarYa/Tidak Alasan √ 1. ........... ........... 2.
√
...........
...........
3.
√
...........
...........
4.
√
...........
...........
5.
√
...........
...........
6.
√
...........
...........
7.
√
...........
...........
8.
√
...........
...........
3.
Menyederhanakan Bentuk Akar Dalam matematika penulisan bentuk akar biasanya ditulis dalam bentuk yang paling sederhana untuk memudahkan operasi aljabar.
Soal dan Pembahasan.. Sederhanakan bentuk akar berikut ke bentuk paling sederhana! Evi Yuliana, S.Pd.
Buku Kerja Matematika Kelas X Semester Ganjil...6
a. √ b. √ Jawab:
c. √
a. √ b. √
√ √
c. √
√ √
d. √
√
√
√
√ √ √
√ √ √
√
√
√
d. √
√
√
√ √
√
√
√
√
AYO BERLATIH…........... Kerjakan di buku latihanmu! 1. Sederhanakan bentuk akar berikut ke bentuk paling sederhana! a. √
b. √
c. √
d. √
e. √
f.
√
2. Sederhanakan bentuk akar berikut ke bentuk paling sederhana! a. √
b. √
c. √
d. √
3. Sederhanakan bentuk akar berikut ke bentuk paling sederhana! a. √
b. √
c. √
d. √
4. Operasi Bentuk Aljabar Jika
dan bilangan rasional positif, maka: √
√ √ √ √ c√
√ (
√ √ √
√ )√
√
√(
)
√
√
√
√(
)
√
√
√
Dengan
√
√
Soal dan Pembahasan.. 1. Sederhanakan bentuk berikut! a. √ b. √ Jawab:
√
c.
√
d. √
√ √
√ √
a. b.
( (
)√ )√
√ √
√
√ √
d. √ √
√ (
√ )√ √
√ (
√ )√
√ √
√
√
√ √
(
√
√
√
√ √
c.
√ √
√
√
√
√ )√
√
2. Sederhanakan bentuk akar berikut! a. √ √ Evi Yuliana, S.Pd.
b. √
√
√ √ Buku Kerja Matematika Kelas X Semester Ganjil...7 c.
(√
√ )(√
√ )
g. (√
√ )(√
√ )
f.
d. (√ ) e. √ (√ Jawab:
√ )
h. (√
√ )
3. Sederhanakan tiap bentuk di bawah ini! a. √ Jawab: a. √
b. √
√
b. √
√
√(
)
√
√
√
√
c. √
√ √(
√
c. √
√
)
√
√
√
AYO BERLATIH….......... 1. Sederhanakan tiap-tiap bentuk di bawah ini! a. √ b. √ c. √ d. √ Jawab:
√ √ √ √
e. f. g. h.
√ √ √ √
√ √ √ √
i. j.
√ √
√ √
√ √
Nomor 2 – 4 kerjakan di buku latihanmu! 2. Nyatakan bentuk akar berikut dalam bentuk sederhana! a. √ b. √ c. √ d. √
√ √ √ √
e. f. g. h.
√ √ √ √
√ √ √ √
3. Sederhanakanlah bentuk perkalian berikut! Evi Yuliana, S.Pd.
i. √ √ j. √ √ k. √ (√ √ ) l.
√ (√
m. √ (√ n. √ ( o.
) √ )
√ ( √
√ )
√ )
Buku Kerja Matematika Kelas X Semester Ganjil...8
a. (√
√ )(√
√ )
e. (√
√ )(√
√ )
h. (√
√ )
b. (√
)(√
)
f.
(√
√ )(√
√ )
c. (√
√ )(√
√ )
( √
√ )( √
i.
(√
√ )
g.
d. (√
√ )(√
√ )
j.
(√
√ )
√ )
4. Sederhanakan bentuk di bawah ini! a. √
b. √
√
c. √
√
d. √
√
√
D. Merasionalkan Bentuk Akar Dalam operasi aljabar pada bilangan pecahan, pecahan yang penyebutnya mengandung bentuk akar dapat diubah atau disederhanakan dengan merasionalkan penyebut berbentuk akar, dengan cara dikalikan pembilang dan penyebut yang merupakan akar sekawan bentuk akar tersebut. Rasionalkan bentuk pecahan berikut!
Bentuk akar sekawan √ √ √
√
a.
√
√
→
√ √
Pembahasan:
→
√
√
b.
√ √
→ → √
a.
√
→
b.
√
√
√ √
√
√
√ √
√ √
√ √
Soal dan Pembahasan.. Rasionalkan pecahan berikut! 1.
2.
√
3.
√
4.
√
√ √
5.
√
√
Pembahasan: a. b. c.
√
√
√ √
√
√
√ √
√
e.
√
√
√ √ √
√ √
√ √
√ √ √
d.
√
√
√
√
√ √ √
√ √
√ √
√ √
(√
√ √ )
√ (√
√ )
√
√
AYO BERLATIH …......... 1. Tentukan bentuk sekawan dari bentuk-bentuk di bawah ini! a. √ b. √ Jawab:
Evi Yuliana, S.Pd.
c. √ d. √
√
e. √ f. √
√ √
√ h. √ g.
√ √
Buku Kerja Matematika Kelas X Semester Ganjil...9
Untuk nomor 2 dan 3 kerjakan di buku latihanmu! 2. Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut: a. b. c.
d.
√
e.
√
f.
√
g.
√
h.
√
k.
√
i.
√
j.
√
l.
√
√
m.
√
n.
√
o.
√ √ √ √ √ √
3. Sederhanakan pecahan-pecahan di bawah ini dengan merasionalkan penyebutnya! a.
c.
√
b.
d.
√
e.
√
f.
√
√
√
√
√
g. h.
√
i.
√
√
j.
√
√ √ √ √
√ √
E. Pangkat Rasional (Pecahan) Pada dasarnya bilangan berpangkat pecahan merupakan bentuk lain dari bentuk akar, hubungannya dapat dinyatakan sebagai berikut:
Jika
Jika
bilangan real,
bilangan asli dengan
bilangan real dengan , √ bilangan real dan √
,
, maka
√ bilangan bulat, ,maka
bilangan asli dan
√
Jika pada bilangan pangkat bulat terdapat hubungan
, maka
pada bilangan pangkat rasional terdapat hubungan
Soal dan Pembahasan.. 1. Hitunglah! a. Jawab:
b.
a.
√
b.
( )
c.
√
c. d.
d. ( √
)
( ) √(
)
√(
)
2. Ubahlah bentuk berikut ke dalam bentuk pangkat rasional! a. √ Jawab:
b. √
a. √
b. √
( )
c.
√
c.
√
3. Ubahlah bentuk berikut ke dalam bentuk akar! a. Jawab: Evi Yuliana, S.Pd. Ganjil...10
b.
c. Buku Kerja Matematika Kelas X Semester
a.
√
c.
√
b.
√
AYO BERLATIH…......... Kerjakan di buku latihanmu! 1. Hitunglah bentuk pangkat pecahan berikut! a.
c.
e.
g.
b.
d.
f.
h.
2. Ubahlah bentuk berikut menjadi bentuk pangkat pecahan! a. √ b. √
√ d. √
e. √ f. √
c.
g. √ h. √
i.
√
k.
√
j.
√
l.
√
3. Nyatakan bentuk berikut ke dalam bentuk akar! a.
b.
c.
d.
e.
f.
(
4. Hitunglah! a.
c.
b.
d. ( )
F. Menyelesaikan Persamaan Bilangan Berpangkat Sederhana Suatu persamaan yang pangkatnya mengandung variabel tersebut persamaan pangkat atau eksponen. Berikut contoh-contoh persamaan eksponen sederhana: a. e. b. d. c. √ Jika
( )
dengan
maka ( )
dan
Soal dan Pembahasan.. Tentukan nilai a.
pada persamaan-persamaan berikut! b.
Jawab: a. ( )
b.
c. ( )
c. ( ) (
(
)
(
)
)( ) atau
AYO BERLATIH…………. Tentukan nilai
yang memenuhi persamaan berikut!
Evi Yuliana, S.Pd. Ganjil...11
Buku Kerja Matematika Kelas X Semester
)
2.
1. Jawab:
G. Logaritma Logaritma berasal dari dua kata Yunani yaitu Logos (berpangkat) dan Arithmos (bilangan). 1. Pengertian Logaritma “Log” adalah notasi dari logaritma. Bentuk dibaca sebagai “logaritma b dengan bilangan pokok a”. Secara umum: dengan: disebut bilangan pokok, dan b disebut numerus, dan disebut hasil logaritma
Soal dan Pembahasan.. 1. Nyatakan bentuk logaritma berikut menjadi bilangan berpangkat! a. c. d. b. Jawab: a.
e.
c. ( )
b.
e.
d.
2. Nyatakan bentuk bilangan berpangkat berikut ke dalam bentuk logaritma! a. b. c. d. Jawab: a. b. c. 2.
Menentukan Nilai Logaritma Hitunglah nilai logaritma berikut! a. b. Jawab: a. b.
e.
d. e.
c.
d. d. e.
√
e.
√ √
√
√ √
c.
AYO BERLATIH…......... Evi Yuliana, S.Pd. Ganjil...12
Buku Kerja Matematika Kelas X Semester
1. Nyatakan bentuk logaritma berikut ke dalam bentuk bilangan berpangkat! a. g. m. b.
h.
c.
i.
d.
j.
e. f.
r.
n.
s.
o.
t.
p.
k.
q.
l.
Jawab:
2. Nyatakan bilangan-bilangan berpangkat berikut ke dalam bentuk logaritma! a. g. m. b.
h.
c.
i.
d.
j.
e. f.
r. s.
n.
t.
o. ( )
k.
p. ( )
l.
q.
Jawab:
Kerjakan di buku latihanmu! 3. Hitunglah nilai logaritma berikut! a. c. b. Evi Yuliana, S.Pd. Ganjil...13
d. e.
f. g.
h. i.
Buku Kerja Matematika Kelas X Semester
j. k. l. 3.
m.
o.
n.
p.
r. s.
√
t.
q. Sifat-Sifat Logaitma Jika
dan
bilangan real positif dan bilangan real, dimana
dan
1. 2.
(Perluasan dari definisi ligaritma) (Sifat perkalian)
3.
(Sifat pembagian)
4.
(Sifat perpangkatan)
, maka:
5. 6. 7.
(Mengubah bilangan pokok logaritma)
8. 9.
Soal dan Pembahasan.. 1. Sederhanakan! a. Jawab:
c.
b.
a.
c.
b.
2. Hitunglah nilai logaritma berikut! a.
c.
b.
d.
e. ( )
f.
Jawab: (
a. (
b.
)
)
c. d.
( )
( )
( )
e. f. 3. Diketahui a. Jawab:
Evi Yuliana, S.Pd. Ganjil...14
, maka tentukan nilai logaritma berikut! b.
c.
Buku Kerja Matematika Kelas X Semester
AYO BERLATIH 9......... 1. Tentukan nilai bentuk berikut dengan memakai sifat a.
c.
b. Jawab:
d.
e.
2. Sederhanakan bentuk berikut dengan memakai sifat
dan
! a. b. c. d. Jawab:
e. f. g.
i. j.
h.
Kerjakan nomor 3 – 6 di buku latihanmu! 3. Sederhanakan! a. b. c.
4. Tentukan nilai dari logaritma berikut! a. b.
d. e. f.
c.
5. Sederhanakan logaritma berikut! Evi Yuliana, S.Pd. Ganjil...15
Buku Kerja Matematika Kelas X Semester
a.
b.
6. Jika bawah ini!
dan
c.
, gunakan sifat-sifat logaritma untuk menghitung bentuk-bentuk di
a.
b.
c.
H. Ulangan Harian Bab 1 Pilihlah satu jawaban yang benar! 1. Bilangan terbesar di bawah ini adalah.... a. ( ) d. ( ) b. e. c. 2. Bentuk sederhana dari ( d. a. e. b. c. 3.
b. c. ....
d. e.
9. Bentuk
(
)
(
)
disederhanakan menjadi....
a.
d.
b.
e.
c. (
a.
d.
b.
e.
)
….
c. (
)
disederhanakan menjadi....
a.
d.
b.
e.
c. 6. Hasil dari (
)
....
a.
d.
b.
e.
10.Bentuk sederhana dari √ a.
√
d.
√
b.
√
e.
√
c.
√
√
√
....
11.Bentuk sederhana dari √
√
√
√
a.
√
d.
√
b.
√
e.
√
c.
√
12.Bentuk sederhana dari √ a.
d.
b.
e.
√
....
....
c.
c. 7. ( a.
)
a. b. c.
) ....
4. Bentuk sederhana dari
5. Bentuk
(
8.
... d. e.
a. b. c.
e.
)
13.Nilai dari √
....
Evi Yuliana, S.Pd. Ganjil...16
d.
a.
√
√
√ d.
....
√
Buku Kerja Matematika Kelas X Semester
b.
√
c.
√
√
e.
c.
(√
√ )
21.Bentuk sederhana 14.Nilai dari (√
)(√
√
√
a.
e. √ √
c. 15.(√
)
√
√ √
dan
)
b.
√
c.
√
c.
, maka
√
a. √
√
d.
√
b.
b.
√
e.
√
c.
c.
√
√
adalah....
d.
√
√
e.
√
√
√ √
√
√
√
adalah....
d. √
√
e. √
√
ekuivalen dengan....
√
23.√
a.
√
√
√
d. √ e. √
√
√
24.Nilai yang memenuhi persamaan adalah.... √ ,
√ √ , maka
√ √
a.
√ dan ....
a.
d.
√
b.
e.
d.
√
b.
√
e.
c.
√
c. √
√
√
√
√
√
√
√
√ √
√
√
b.
....
17.Jika
18.
√
√
16.Diketahui
√
a.
√
d. e.
c.
a.
22.Bentuk sederhana dari
....
a. b.
√(
....
√
d.
b. √
)
√
√ √
a.
√
b.
√
c.
√
√
(√
b.
(√
c.
(√
d.
√
e.
√
√ √
26.Jika adalah....
√
19.Bentuk sederhana a.
....
√
√
adalah....
)
d.
(√
√ )
√ )
e.
(√
√ )
√
√
, maka nilai dari
a.
d.
b.
e.
c. 27.Nilai dari
)
20.Bentuk sederhana dari
√ √
√
....
a. 2 b. 3 c. 4
....
a.
(√
√ )
d.
( √
√ )
b.
(√
√ )
e.
( √
√ )
Evi Yuliana, S.Pd. Ganjil...17
25.Nilai yang memenuhi persamaan adalah.... a. d. 2 b. e. 4 c.
28.
√
a. 6
d. 5 e. 6
.... d. 2 Buku Kerja Matematika Kelas X Semester
b. √
e. √
b. 2,758 c. 2,760
c. √ 29.
.... a. 90 b. 10 c. 1
d. 0 e. -1
30.
.... a. 3 b. 4 c. 5
√
dan
, maka
a.
(
)
d.
(
)
b.
(
)
e.
(
)
c.
(
Evi Yuliana, S.Pd. Ganjil...18
....
a. 3
d.
b. 2
e.
34.Jika
....
32.Jika nilai a. 2,723
√
33.Nilai dari
c.
d. 6 e. 12
31.Diketahui
e. 2,857
a. b. c.
dan .... )
(
35.Jika
, maka d. e.
dan
, maka nilai
....
)
a. dan
,maka
.... d. 2,840
(
)
b. c.
d. e.
(
(
)
(
)
)
Buku Kerja Matematika Kelas X Semester
