A. PANGKAT. Materi Pokok BENTUK PANGKAT,AKAR DAN LOGARITMA

Matematika SMA Semester 1

Bab 1 : Bentuk Pangkat,Akar & Logaritma

1

Materi Pokok

BENTUK PANGKAT,AKAR DAN LOGARITMA • •

• • • • • • • •

Indikator 1: Mengubah bentuk pangkat negatif ke pangkat positif dan sebaliknya Mengubah bentuk akar ke bentuk pangkat dan sebaliknya Mengubah bentuk pangkat ke bentuk logaritma dan sebaliknya Melakukan operasi aljabar pada bentuk pangkat, akar dan logaritma Indikator 2: Menyederhanakan bentuk aljabar yang memuat pangkat rasional Menyederhanakan bentuk aljabar yang memuat logaritma Merasionalkan bentuk akar Membuktikan sifat-sifat yang sederhana tentang bentuk pangkat, akar dan logaritma

A.

A.1

Kompetensi Dasar 1 : Menggunakan sifat dan aturan tentang pangkat, akar dan logaritma dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar 2: Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan pangkat, akar dan logaritma

PANGKAT

PENGERTIAN PANGKAT BULAT POSITIF

Jika a adalah sembarang bilangan riil dan n adalah sembarang bilangan bulat positif yang lebih dari 1 , maka a pangkat n ( ditulis an ) dapat ditulis sebagai perkalian n buah faktor dimana setiap faktornya adalah bilangan a. Pengertian diatas dapat ditulis dengan definisi :

an =

axaxaxax 14 424...xa 4 3 perkalian terdiri dari n faktor



2

Keterangan : a dinamakan bilangan pokok ( basis ) n dinamakan pangkat ( eksponen ) jika n = 1 maka a1 = a jika n = 0 maka a0 = 1 CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN Contoh 1 : Nyatakan dalam bentuk faktor-faktornya :

1 2

a. 52

c.  

b. ( -3 )4 Penyelesaian :

d.

a. 5

2

=5x5

b. ( -3 )4 = ( -3 )x( -3 )x( -3 )x( -3 )

A.2.

3

( 3)

4

3

c.

1   2

d.

( 3)

1 2

1 2

1 2

=  x  x 

4

=

3 x

3x 3x 3

PENGERTIAN PANGKAT BULAT NEGATIF

Bilangan dengan pangkat bulat negatif bukan merupakan bilangan berpangkat yang sebenarnya, misalnya 4-2 tidak dapat diartikan sebagai perkalian faktor-faktornya. Oleh karena itu bilangan dengan pangkat negatif sering disebut sebagai bilangan dengan pangkat tak sebenarnya. Definisi bilangan dengan pangkat bulat negatif :

Jika a bilangan riil dan ≠ 0 maka a-n adalah kebalikan dari an , dapat ditulis : 1 1 a − n = n atau a n = − n a a CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN Contoh 1 : Nyatakan bilangan pangkat bulat negatif berikut dalam bentuk pangkat positif :

 1   −4  5  3 −5 d. p 4

a. 4-2

c.

b. a-3 Penyelesaian : a.

4-2 =

1 42

c.

 1   −4  5 

= 54


b.

a-3 =


1 a3

d.

3 −5 p 4

=

1

UJI KOMPETENSI

3 4 p5

PENGERTIAN PANGKAT BULAT POSITIF DAN NEGATIF

1. Tulislah dalam bentuk perkalian faktor-faktornya: a. 6

2 d.   3

3

5

( )

b. 74 c. (-4)6

e. 5 f. ( ab )2

7

2. Nyatakan dalam bentuk pangkat bulat positif

1 a. 3-6

f.

b. a-3

g.

2

3d −4 4

(2 3 )

−2

2

c.

1 -4 b 2

h.

d.

1 5 −7

i.

e.

3 c −5

j.

5 2 p −6 3 4 −2 4 5 −5 4   3 2 5

( ) ( )

3. Hitunglah nilai dari : a. 5-2

1   3 1 c. 5 −4

5 3−2 7 −3 e. 4

g. 3-4 x 4-2

d.

−3

b.

h. 5-3 + 2-1

f. 81 x 3-3

i.

4. Nyatakan barisan bilangan berikut dalam bentuk pangkat : a. 16, 8, 4, 2, 1

d.

1 1 1 1 , , , 64 16 8 4

5 −3 3−4

3



1 1 1 , , 6 36 216 4 3 9 f. ,0, , 9 2 4

b. 3, 9, 27, 81 c.

4

e.

1 1 1 1 1 , , , , 2 4 8 16 32

5. Nyatakan barisan bilangan berikut tidak dalam bentuk pangkat : 3

3

2

1

0

-1

-2

4

2

0

-2

-4

-6

a. 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2

-3

−5

b. 4 , 4 , 4 , 4 , 4 , 4

A.3.

2

1

0

1 1 1 1 1 c.   ,   ,   ,   ,   5 5 5 5 5 −3

−1

3 3 3 3 d.   ,   ,   ,   2 2 2 2

−1

1

SIFAT - SIFAT BILANGAN PANGKAT BULAT

1. ap px aq a 2. a q

= ap + q

3. ( ap )q 4. ( a x b )p

= ap x q = ap x bp

a 5.   b

= ap – q

p

=

ap bp

CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN Contoh : Dengan menggunakan sifat bilangan pangkat bulat tersebut diatas , sederhanakan bentuk berikut : 4. ( 5 x 4 )3 1. 76 x 72 2.

4 3

87 82

5

5.  

3. ( 35 )2 Penyelesaian : 1. 76 x 72 = 76 + 2 = 78

3. ( 35 )2 4. ( 5 x 4 )3

87 2. 2 8

4 5.   3

=8

7–2

= 85

= 35 x 2 = 310 = 53 x 43

5

=

45 35



2

UJI KOMPETENSI

SIFAT PANGKAT BULAT

1.

Dengan menggunakan sifat pangkat a p x a q = a p + q, sederhanakan bentuk berikut ini 2

3

4

5

a. 5 x 5 b. a x a

3

4

f.

1 1   x  2 2 4

5

g.

3 3   x  4 4

h.

1 1   x   p  p

i.

a a   x  b b

2

3

c. (-2) x (-2)

6

4

d. 2b4 x b5 3

e. 8c5 x (-2)c6

7

2. Dengan menggunakan sifat pangkat a p : a q = a p - q, sederhanakan bentuk berikut ini 8

3

a. 48 : 43

f.

1 1   :  2 2

b. a6 : a2

g.

3 3   :  4 4

c. (-3)7 : (-3)4

h.

1 1   :    p  p

i.

a a   :  b b

18

5

14

5

d. 8b9 : b5 12

6

e. 12c : (-2)c

2

7

3. Dengan menggunakan sifat pangkat (a p) q = a p x q, sederhanakan bentuk berikut ini a. ( 43 )5

4 2

b. ( a )

e.

 1  5    d  

    5

f.

 1  7      q  

g.

 1  2      2  

c. ( b3 )4

 1  3 d.    3  

   

4

3

4

5



4. Dengan menggunakan sifat pangkat (a x b) p = a p x a q, sederhanakan bentuk berikut ini a. ( 4p3 )5

4 2

b. ( 8a )

e.

  1 5 3 4    d  

   

f.

 1  2   4   q  

g.

 1  2   2  p    

4

5

c. ( -2b3 )4

  1 3 d. q    3 

   

5

3

5. Dengan menggunakan sifat pangkat (a : b) p = a p : a q, sederhanakan bentuk berikut ini a.

2   7

e.

  5 5 3 4  c    d 3  

f.

 p 2  3  q

 2 4   

g.

 35  7  2

 2  p   

3

 2  b.  3  a 

5

 a8  c.  3  b 

2

  4 2 d.  q   3 

  

3

   

   

4

5

5

3

6. Nyatakan bentuk berikut ini dalam bentuk pangkat positif

2 a. 5 − 2   7  4  b.  −3  a 

 a −5  c.  3  b 

e.

  5  −5 6 − 2  c    d 3  

f.

 p − 4  3  q

g.

 35  − 2   −5  p   2  

3

−5

 −7  6   

    5

−4

  4 2 d.  q − 7    3 

  

−3

   

5

−6

−6

6


B.

7


BENTUK AKAR

B.1

PENGERTIAN BENTUK AKAR

Bentuk-bentuk seperti bilangan tersebut

4 , 25 , 100 , dan seterusnya bukan merupakan bentuk akar, sebab jika

ditarik

akarnya

merupakan

bilangan

rasional

( 4 = 2, 25 = 5, 100 = 10 ). Namun bialangan-bilangan seperti 2 , 3 , 8 , 12 dan seterusnya merupakan bilangan bentuk akar, sebab jika bilangan-bilangan tersebut ditarik akarnya hasilnya bukan bilangan rasional ( irasional ). Dengan demikian dapat didefinisikan :

Bentuk Akar : adalah akar dari suatu bilangan rasional, dimana hasilnya berupa bilangan irasional

BENTUK AKAR

3

UJI KOMPETENSI

1. Diantara bilangan berikut ini manakah yang merupakan bentuk akar ? a.

15

d.

0,4

g.

72

b.

0,04

e.

2,56

h. 2 8

c.

1 4

f.

1024

i.

9 4

2. Dengan menggunakan teorema Phytagoras, tentukan sisi yang belum diketahui dari segitiga ABC siku-siku siku-siku di B berikut ini jika diketahui panjang sisinya sebagai berikut . Mana diantara panjang sisi yang dicari tersebut yang merupakan bentuk akar ? a. a = 3, b = 5 c. b = 6 , c = 1 e. a = 23, c = 12 b. a = 5, b = 12 d. b = 12 , c = 13 f. a = 2, c = 7

B.2.

MENYEDERHANAKAN BENTUK AKAR

Untuk menyederhanakan bilngan bentuk akar dapat dilakukan dengan cara mengubah bilangan dalam akar tesebut dalam bentuk perkalian dari faktor-faktornya, dimana salah faktor harus merupakan bilangan bentuk kuadrat



CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN Contoh 1 : Sederhanakan bentuk akar berikut ini a.

8

b.

25 8

b.

25 = 8

c. 3 12

Penyelesaian : a.

8 = =

4 x2 4x 2

=

25

c. 3 12 = 3 4 x3

8 5

= 3 x 4x 3

2 2

=2 2

=3x2x 3 =6

MENYEDER-HANAKAN BENTUK AKAR

4

UJI KOMPETENSI

1. Sederhanakan bentuk akar berikut ini a. b. c. d.

24 72 18 75 48

f. g. h. i.

50 98 63 200 192

k.

2 120

m. 3 300

e. j. 2. Sederhanakan bentuk akar berikut ini a.

4p

f.

2 12d

b.

8 pq

g. 3 98a

c.

75a 2 b

h.

4 96b 2

d.

5a 2

i.

5 63 p

e.

48 y

j.

6 150q 2

3

n.

4 147

o.

5 432

p.

6 5000

8



B.3.

OPERASI BENTUK AKAR

B.3.1.

PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN BENTUK AKAR

9

Bentuk akar yang dapat dijumlahkan adalah yang sejenis ( bilangan dalam tanda akar sama ), namun jika tidak sejenis maka bentuk akar tersebut tidak dapat dijumlahkan / dikurangkan.

a b + c b = ( a + c) b a b − c b = ( a − c) b CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN Contoh : Sederhanakan bentuk berikut ini

3+2 3 b. 6 5 − 4 5

c. 3 2 + 4 3 − 3 d. 5 7 − 2 7 − 98

Penyelesaian : a. 3 + 2 3 = (1+2) 3

c. 3 2 + 4 3 − 3

a.

=3 3 b. 6 5 − 4 5 = (6-4) 5 =2 5

= 3 2 + ( 4 − 1) 3 = 3 2 +3 3

d. 5 7 − 2 7 − 98 = (5 − 2) 7 − 49 x 2 = (5 − 2) 7 − 7 2 = 3 7 −7 2

B.3.2.

Perkalian Bentuk Akar

Perkalian bentuk akar dapat didefinisikan :

a x b = axb CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN Contoh : Sederhanakan bentuk berikut ini


a.

3x 5

c.

b. 12 x 2 Penyelesaian : a. 3 x 5 = b. c.


= 12 x 2 5 (1 − 6) =

d. ( 3 + 2)(2 − 3 )

5 x3 = 15 24 x 2 = 48 = 16 x3 = 4 3 5 − 30

d. ( 3 + 2)( 2 − 3 )

B.3.3.

5 (1 − 6)

=

3 ( 2 − 3 ) + 2( 2 − 3 ) = 2 3 − 9 + 4 − 2 3 = - 3 + 4 = 1

MENARIK AKAR KUADRAT

Bentuk umum menarik akarkuadrat adalah sebagai berikut :

(a + b) + 2 axb = a + b

dan

(a + b) − 2 axb = a − b catatan : syarat harus a > b

CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN Contoh : Nyatakan bilangan berikut dalam bentuk a. 8 + 2 15 Penyelesaian :

b.

a + b atau

a− b

12 − 2 35

c.

a.

8 + 2 15 =

(5 + 3) + 2 5 x3 =

b.

12 − 2 35 =

(7 + 5) − 2 7 x5 = 7 − 5

c.

9 + 56

9 + 4 x14 = 9 + 2 14 = (7 + 2) + 2 7 x 2 =

=

.

UJI KOMPETENSI

9 + 56

5+ 3

5

7+ 2

OPERASI BENTUK AKAR

1. Sederhanakan bentuk penjumlahan / pengurangan dibawah ini a. b. c. d.

2 +3 2 2 8 + 5 32 4 75 − 3 6 50 − 2 125 7 72 + 108 − 3 6

f. 5 2 + 3 72 g. 4 27 − 3 50 h. 6 5 + 50 − 5 75 i. 3 24 − 4 12 + 5 125

e. j. 5 200 + 3 72 − 2 500 − 4 128 2. Sederhanakan bentuk perkalian dibawah ini a.

2x 2

f. 5 2 x3 12

10



b. 2 3 x 4 2

g. 4 27 x3 5

c. 4 75 x 3

h. 6 5 x 50 x5 5

d. 6 5 x 2 125

i. 3 2 x 4 12 x5 3

11

e. 7 7 x 3 x3 6 j. 5 20 x3 2 x 2 5 x 4 8 3. Sederhanakan bentuk perkalian dibawah ini

( ) b. 2 ( 5 − 3 ) c. 3 (2 6 + 4 3 ) d. ( 2 − 3 )( 3 + 2 ) e. ( 5 + 1)(1 − 5 ) a.

( ) g. ( 2 + 3 5 ) h. (4 2 − 3) i. (3 2 + 3 7 ) j. ( 2 + 3 5 )

5 1− 3

f. 1 − 3

2

2

2

2

2

4. Nyatakan bilangan berikut dalam bentuk

a + b atau

3

a− b

a.

8 + 2 15

d.

12 − 2 27

g.

7 − 48

b.

8 + 2 12

e.

23 − 2 112

h.

14 + 180

c.

11 + 2 30

f.

8 + 60

i.

23 + 4 28

C.

MERASIONALKAN PENYEBUT PECAHAN

Suatu pecahan yang penyebutnya bentuk akar haruslah dirasionalkan . Cara merasionalkan penyebut bentuk akar yaitu dengan mengalikan pecahan tersebut dengan bilangan 1. Namun bilangan 1 yang dipilih harus disesuaikan dengan model bentuk akarnya. Untuk itu perhatikan uraian berikut ini.

C.1.

PECAHAN BENTUK

a b

Pecahan bentuk ini harus dikalikan dengan bilangan 1 yaitu

b b

a b

=

a b

x

b b

CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN Contoh : Rasionalkan penyebut pecahan :

, secara umum dapat ditulis :


a.

1

12


b.

7

2

c.

1+ 2

6

3

Penyelesaian : a.

1

=

7

1

7

x

7 7 = 7

C.2.

b.

7

2

=

6

2

x

6 12 = 6 2 3 = 6 3 = 3

6

c.

1+ 2 1+ 2 =

6

3

3

x

3 3 3+ 6 3

=

a a ATAU b+ c b− c

PECAHAN BENTUK

Pecahan ini harus dikalikan dengan bilangan 1 yaitu sekawan dari penyebutnya. Secara umum dapat ditulis : atau

a

b+ c

=

a

b+ c

x

b− c

a

b− c

b− c

=

a

b− c

x

b+ c b+ c

CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN Contoh : Rasionalkan penyebut pecahan : a.

1

b.

2+ 7

2

c.

3− 6

1+ 2 3+ 2

Penyelesaian : a.

1 2+ 7

= =

1 2+ 7

2− 7

b.

2− 7 2− 7

2( 2 − 7 ) + 7 ( 2 − 7 ) 2− 7

=

c.

x

4−2 7 +2 7 −7 2− 7 = −3 1+ 2 1+ 2 3− 2 3+ 2

=

3+ 2

x

3− 2

2 3− 6

= =

=

2 3− 6

x

3+ 6

3+ 6 2 (3 + 6 )

3(3 + 6 ) − 6 (3 + 6 ) 2 (3 + 6 )

9+3 6 −3 6 −6 2 (3 + 6 ) = 3


=

=


13

1( 3 − 2 ) + 2 ( 3 − 2 ) 3( 3 − 2 ) + 2 ( 3 − 2 ) 3− 2 + 6 −2

3− 6 + 6 − 2 3− 2 + 6 −2 = 1 = 3− 2 + 6 −2

6

UJI KOMPETENSI

MERASIONALKAN PENYEBUT

1. Rasionalkan penyebut pecahan berikut ini a. b. c.

1

d.

2 1

e.

12 4

f.

5

g.

3 2 −2

h.

4 72 1− 6

3

1− 6 2 3+ 2 6

2

2. Rasionalkan penyebut pecahan berikut ini a. b. c.

1

d.

9+ 2 4

e.

3 − 12 5

f.

3+ 6

D.

8 3 2 −5 3 1− 6 5+ 2 3−4

g. h.

3−4 5+ 7 −2+3 3 4 72 − 2 50

5+ 7

PANGKAT PECAHAN 4

2

6

Bilangan-bilangan seperti 3 5 , 6 3 , 8 7 dan sebagainya dinamakan bilangan dengan pangkat pecahan ( rasional ). Bilangan dengan pangkat pecahan dapat dinyatakan dalam bentuk akar. Hubungan seperti itu dapat ditulis : p q

a = ap q

Syarat q harus bilangan asli lebih besar dari 2 Untuk q = 2 tidak perlu ditulis



CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN Contoh 1 : Nyatakan bilangan berikut dalam bentuk akar 4 5

a. 3 Penyelesaian : 4 5

5

b. 6

4

−

2 3

−

2 3

c. 8 −2

3

2

6 7

2

6 7

a. 3 = 3 b. 6 = 6 Contoh 2 : Nyatakan bilangan berikut dalam bentuk pangkat

c. 8

a. 25 3 Penyelesaian :

c.

3

27 4

=8

20 7

=

b.

3

85

a. 25 3 = 25 2 Contoh 3 : Hitunglah nilai dari

b.

3

85 = 8 3

c.

3

27 4 = 27 3

a. 25 3 Penyelesaian :

b.

3

85

c.

3

27 4

b.

3

5

c.

3

4

5

3

3 2

3

25 = 25

a.

8 =8

( )

4

5 3

27 = 27

( )

3 2 2

4 3

( )

5 3 3

= 5 = 2 = 33 = 53 = 25 = 34 = 125 = 32 = 81 Contoh 4 : Nyatakan bilangan berikut dalam bentuk pangkat dengan bilangan pokok 2 a.

3

85

7

b.

7

16 4

b.

7

16 4 = 16 7

c.

4

1 8

c.

4

1 = 8

4 3

Penyelesaian : 5

a.

3

4

85 = 8 3

( )

= 23

( )

5 3

= 24

4 7

4

2 −3

= 2

−

3 4

16

= 25

= 27

7

UJI KOMPETENSI

PENGERTIAN PANGKAT PECAHAN

1. Nyatakan dalam bentuk akar 3

a. 6 2

d. a

−

6 5

7

g. (a + b) 2

8 20

14


b. 7

5 3

−

1

Bab 1 : Bentuk Pangkat,Akar & Logaritma 7

1 7

c. 9 f. 16c 2. Nyatakan dalam bentuk pangkat a.

h. ( p − q )

e. 2b 3 5 6

7

8

( p + q) 3

3

h.

(2 −4 + 3 4 ) 7

i.

(a 2 − b 4 ) 5

d.

2c 6

g.

a5

e.

7 −3 3d −5

3

5

4

c. b 3. Hitunglah nilai dari a. 4

f.

3 2

d. 32

b. 27

c. 64

7

−

5 3

e. 81

1 4

−

9 5

i. (a 3 + b 2 ) 4

43

b.

5

−

−

5

6 5

 1 3 g.   8

7 3

4 h.   9

f. (−27)

−

9 2

4

7 3

 81  3 i.    125 

4. Hitunglah nilai dari 3 2

a. 4 + 27 1 4

b. 64 - 4

c. 32

−

6 5

−

5 3

7 3

1 4

d. 81 - 64 + 4

3 2

e. 27 1 4

+ 64 - 27

−

5 3

−

3 2

5

5 3

 13 +   - 64 4 8

−

9 2

4 f.   9

1

4

7 3

 81  3 - (−27) +    125 

5. Nyatakan dalam bentuk bilangan berpangkat dengan bilangan pokok 2 a.

3

b.

3

16

5

64

−4

c.

3

32 4

d.

4

1 2

−

e.

−5

7

 1     128 

5

 1 4    256 

3

7 3

f.

6. Nyatakan dalam bentuk bilangan berpangkat dengan bilangan pokok 3 a.

3

b.

4

92

27

c.

−5

d.

1

7

81 2 4

243

−

8 5

−6

e.

7

1   9

f.

5

 1 4    243 

7

15


D.1.


16

SIFAT PANGKAT PECAHAN ( RASIONAL )

Sifat pangkat pecahan sama dengan sifat pangkat bulat, yaitu :

1. ap px aq a 2. a q

= ap + q

3. ( ap )q 4. ( a x b )p

= ap x q = ap x bp

a 5.   b

= ap – q

p

=

ap bp

CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN Contoh : Dengan menggunakan sifat bilangan pangkat bulat tersebut diatas , sederhanakan bentuk berikut : 1. 2.

4 3

5 x5

1 2

(5 x7 ) 2 3

4.

1

5

83

 42 5.   3

8

2 7

1

 53  5 3.  4      Penyelesaian : 4

1. 2.

1

4 1 + 2

5 3 x5 2 8 8

= 53

1 3

=8

2 7

 53  3.  4     

1 5

= 4

1 2 − 3 7

5 1 x 3 5

11

=8

= 4

(5 x7 ) 2

3

3

= 56

4.

1 21

4 3

5.  

5 2

3

= 5 2 x7 2 =

4 3

5 2 5 2

1 3

8

UJI KOMPETENSI

SIFAT PANGKAT PECAHAN

1. Dengan menggunakan sifat pangkat a p x a q = a p + q, sederhanakan bentuk berikut ini a.

7 6

4 x4

1 4

4

f.

4

 1 3  1 7   x  2 2


5 6

71 2

b.

a x4

c.

(− 2) x(− 2)

d. e.

4 3

3 5

4b x 4b

1 3

Bab 1 : Bentuk Pangkat,Akar & Logaritma −

g.

3   4

h.

1    p

i.

a   b

2 7

−

2

 3 5 x  4

2 5

1 x   p

−

3 2

3 4

9 2

8c x(− 3)c

1 3

−

1 5

1

 a 2 − x  b

2. Dengan menggunakan sifat pangkat a p : a q = a p - q, sederhanakan bentuk berikut ini a.

7 4

1 2

4 5

1 3

2 :2

3

a :a

c.

(− 5) : (− 5)

d.

6b 5 : 2b 7

e.

f.

g.

 3 5  3    :  4 4

h.

1    p

i.

a   b

2

b.

7 5

9

1

14 12   :  3  3

5 2

−

1 7

−

1 3

1 :    p

−

2 5

4

9 2

4c : (− 2 )

2 7

−1

3 4

a :  b

1

2 3

3. Dengan menggunakan sifat pangkat (a p) q = a p x q, sederhanakan bentuk berikut ini 4

 15  a.  3     

b.

 a  

2 3

   

e.

1  −  1  3  p    

f.

1   5   1     q    

g.

1   3 1       2    

2 3

1 3

3     −

2 9

2

 52  7 c.  b      2  7 1    d.    6  

   

−

2 5

−2

3 4

4. Dengan menggunakan sifat pangkat (a x b) p = a p x a q, sederhanakan bentuk berikut ini

17


a.

 14  9 p     


e.

1  3 4  1  3   d  

f.

 1  53   4   q  

g.

 1  −113    p   2  

5 3

4

 23  3 b.  6q     

    −1

−

2 5

3 2

7 5 2   c.  − 3 p 4      1 2   1 5  d. q 6  

2   

3

1 7

5. Dengan menggunakan sifat pangkat (a : b) p = a p : a q, sederhanakan bentuk berikut ini

2 a.   5

b.

e.

  4  c5  3  d 3     

f.

 2  p  1  q 3

g.

 − 2 3  3 5  2 7 

1 4

 5   6 a 

1 3

2 1 5

 3  −14  4    

    

9 2

5

5

 43 a c.  3 b 

4    

   24 d. q 3   

  

1 6

    

4 3

   2 p     

−

3 5

6. Nyatakan bentuk berikut ini dalam bentuk pangkat positif

a.

3 5 −2   5

  7 b.  1  −4 a

   

−

−

1 5

e.

2  −  −2  c 5  3 7  d 3     

f.

 − 4  p  1  q 3

3 2

   −7  5     

     −

1 2

−8

18


 − 72 a c.  1  b6 

    


−4

   24 d. q − 7  7   

E.

2

  

−

1 4

7    

g.

 9 5  −2 13   −5  p   2  

−

2 7

PERSAMAAN PANGKAT SEDERHANA

Jika a > 0 , a ≠ 1 dan p = konstanta, maka berlaku hubungan :

1. Jika a f(x) = a c maka berlaku f(x) = c 2. Jika a f(x) = ag(x) maka berlaku f(x) = g(x) CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN Contoh : Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan a. 2 x = 4 Penyelesaian :

b. 4 x – 1 = 2 x

c.

3x = 9

a. 2 x = 4

b. 4 x – 1 = 2 x

c.

3x = 9

x

2 =2

2

x=2

(2 )

2 x −1

=2

x

2 2x – 2 = 2 x 2x – 2 = x x=2

3 = 32 x =2 2 x=4

9

UJI KOMPETENSI

x 2

PERSAMAAN PANGKAT SEDERHANA

1. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikt ini a. 3 x = 27

e. 4 x – 5 = 16

1 8

i.  

4 x −7

=

1 2

19


b. 2

x+3

= 16

f. 27

c. 3 2x – 1 = 81 d. 2

2x +7

1 j.   9

=9

2 x −5

1 27

=

g. 64 4x – 3 = 2

1 h.    81 

1 = 64

3x + 2

20


4 x −5

1 k.    81 

= 27

6 x +3

1 =  9

−4

2. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikt ini a. 3

x+3

b. 2

2x - 3

c. 3 2x d. 8

=3

2x + 5

=4

3x + 1

+5

3x - 2

= 9 4x - 1

= 16

1 – 3x

e. 4

x–5

f. 27

= 16

2x +7

1 i.   2

3 – 2x

=9

1 j.   9

5 – 3x

4 x −7

2 x −5

 1  =   64  1 =   81 

6 x −7

3x−4

g. 64 4x – 3 = 2 x + 8

1 h.    81 

4 x −5

= 27

1 – 6x

1 k.   3

6 x +3

 1  =   27 

−4 + 2

3. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikt ini a.

e.

83 x

f.

8

g.

3

h.

7

b. 2 2x - 3 =

813 x +7 = 9 4x - 1

c. d. 8

8 3 x +8 = 5 16

3 x = 3 2x + 5

3x - 2

=

F.

5

2

3− 6

3 x+6 =

3

64 3 x −8 = 5

2 x −1

=

3

6x -1

27 8−2 x

x +8

i.

5

1   2

j.

3

1    81 

k.

3

1   8

1   4

= x −9

=

5

x +9

1   9

2 x+7

2 5 x +1 125

4 x −9

x−4

=

9

1   2

x+7

LOGARITMA

Logaritma adalah invers dari perpangkatan, yaitu mencari pangkat dari suatu bilangan dimana bilangan pokok (x) dan hasilnya diketahui, misalnya bagaimana mencari pangkat : 2 .x = 4, maka x = 2 sebab 2 2 = 4 3 .x = 27 , maka x = 3 sebab 3 3 = 27 Proses mencari nilai x pada persamaan tersebut dinamakan logaritma. Dari uraian tersebut dapat didefinisikan : a

log b = x jika dan hanya jika a x = b

Syarat : a > 0, b > 0 , b ≠ 1



21

CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN Contoh 1 : Nyatakan dalam bentuk logaritma bilangan berpangkat berikut ini 3

2

1 1 c.   = 8 2

2

a. 2 = 8

b. 3 = 9

Penyelesaian : 3

a. 2 = 8 ↔ log 8 = 3 2

3

b. 3 = 9 ↔ log 9 = 2 3

2

1

1 1 1 c.   = ↔ 2 log = 3 8 8 2

Contoh 2 : Nyatakan dalam bentuk pangkat bilangan logaritma berikut ini a.

2

log16 = 4

b.

3

log 81 = 4

c.

2

b.

3

log 81 = 4 ↔ 3 4 = 81

c.

2

c.

3

1 log  = −2 4

Penyelesaian : a.

2

log16 = 4 ↔ 2 4 = 16

1 1 log  = −2 ↔ 2 -2 = 4 4

Contoh 3 : Tentukan nilai dari logaritma berikut ini a.

2

log 8

b.

4

b.

4

log16

1 log  9

Penyelesaian : a.

2

log 8 = 3, sebab 2 3 = 8

1 1 log16 = 2, sebab 4 2 = 16 c. 3 log  = -2,sebab 3 -2 = 9 9

10

UJI KOMPETENSI

PENGERTIAN LOGARITMA

1. Nyatakan bentuk berikut dalam logaritma 2

2

a. 3 = 9

1 1 e.   = 4 2 1 2

i. 10 -3 = 0,001 −2

b. 4 = 64

f. 25 = 5

1 j.   = 9 3

c. (-2) 4 = 16

g. 10 2 = 100

k. (0,1) -2 = 100

h. 5 0 = 1

l.  

3

d. 8 -2 =

1 64

2 3

−2

=

9 4

2. Nyatakan bentuk berikut dalam bentuk pangkat a.

2

log 4 = 2

d.

4

log16 = 2

g.

3

1 log  = −4  81 


b. log 1000 = 3 c.

3

log 8 = 2

22


e.

5

f.

2

log 125 = 3

h.

1 log  = −1 2

i.

4

 1  log  = −3  64 

log(0,00001) = −5

3. Hitunglah nilai dari logaritma berikut ini

log 256

e.

4

log 64

i.

3

b. log (0,0000001)

f.

5

log 625

j.

4

a.

2

c.

3

d.

25

1 log   16  1 h. 81 log  9

log 81

g.

1 log  5

2

1 log  9

3

1 log  4

−5

log(0,00001)

k.

3

l.

 1  log   27 

4. Hitunglah nilai dari penjumlahan / pengurangan logaritma berikut ini a.

2

5

log 256 + log 625

e.

1 log 64 + log  9

3

3

−5

1 b. log 625 - log   16  1 c. 81 log  + 3 log 81 9 1 d. 4 log 64 - 25 log  5 5

4

1 f. log  - 5 log 625 4 1 4 g. 2 log  + log(0,00001) 16   1  1  h. 81 log  - 3 log  9  27  4

2

5. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan logaritma berikut ini a. F.1

x

log 25 = 2

b.

x

 1  log  = −6  64 

c. x log 5 =

1 2

SIFAT-SIFAT LOGARITMA

1 log a

1. a log( pxq)= a log p + a log q

5. a log b =

 p 2. a log = a log p − a log q q

6. a log b.b log c = a log c

3. a log b n = n.a log b

7.

4. a log b =

p p

log b log a

ap

8. a

b

log b q = a

log b

=b

qa . log b p

4



CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN Contoh 1 : Sederhanakan penjumlahan logaritma berikut : a.

2

1 9

b. 3 log + 3 log 81

log 8+ 2 log 4

Penyelesaian : a.

2

log 8+ 2 log 4

1 9

b. 3 log + 3 log 81

= 2 log(8 x 4) = 2 log 32 =5

1 9 3 = log 9

= 3 log( x81)

=2

Contoh 2 : Sederhanakan pengurangan logaritma berikut : a. 2 log 400− 2 log 100 b. 3 log 9− 3 log 81 Penyelesaian : a.

2

log 400− 2 log 100 = 2 log

400 100

b. 3 log 9− 3 log 81

= 3 log

= 3 log

= 2 log 4 =2 Contoh 3 : Sederhanakan penjumlahan / pengurangan logaritma berikut : a. 2 log 5+ log 4

9 81

b.

1 9

=-2

12 log 81 −2 2 log 3 2

Penyelesaian : 1

a. 2 log 5+ log 4

= log 5 + log 4 2

= log(25 x 4) = log 100 =2

1 b. 2 log 81 −2 2 log 3 = 2 log 81 2 − 2 log 3 2 2 9 = 2 log 9 2 = log1 =0

Contoh 4 : Jika diketahui 3 log 2 = p , nyatakan bentuk logaritma berikut dalam p a. 3 log 4 Penyelesaian : a. 3 log 4 = 3 log 2 2 = 2.3 log 2 = 2.p b. 9 log 4

=

b. 9 log 4

log 4 log 2 2 2. log 2 log 2 3 = = = = log 2 = p log 9 log 3 2 2. log 3 log 3

Contoh 5 : Jika diketahui 3 log 2 = p , nyatakan bentuk logaritma berikut dalam p a.

2

log 3

b. 4 log 9

23



Penyelesaian : a.

2

log 3

b. 4 log 9

1 1 = log 2 p 1 1 1 = 9 = 2 = = 3 2 23 log 4 log 2 . log 2 2

=

3

Contoh 6 : Hitunglah nilai dari a. 2 log 7.7 log 64 Penyelesaian : a. 2 log 7.7 log 64

9

log 27

=

32

1 1 = log 2 p

b. 3 log 25.5 log 27 = 2 log 64 = 6

b. 3 log 25.5 log 27 Contoh 7 : Hitunglah nilai dari a. 9 log 27 Penyelesaian : a.

3

= 3 log 5 2.5 log 27 = 2.3 log 5 .5 log 27 = 2.3 log 27 = 2 x 3 = 6

b. 4 log16.25 log 5

33 3 3 . log 3 = x1 = 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 = 2 log 2 4.5 log 5 = .2 log 2 x .5 log 5 = x1x x1 = 2 2 2 2 2

log 33 =

b. 4 log16.25 log 5 Contoh 8 : Hitunglah nilai dari 3

a. 3 log 2 Penyelesaian : a. 3

3

b. 25

log 2 5

b. 25 =2

log 3

( )

= 52

5

log 3

(

= 5

5

log 3

) =5 2

2

5

log 3

= 25

SIFAT-SIFAT LOGARITMA

11

UJI KOMPETENSI

1 . Sederhanakan penjumlahan logaritma berikut : a. 2 log 3+ 2 log 4 c.. 4 log16+ 4 log 2 b.

3

log 5+ 3 log 7

d. 5 log

log 8+ 2 log 32 9 f. 3 log 6+ 3 log 2

e.

1 5 + log 25 25

2. Sederhanakan pengurangan logaritma berikut : a. 2 log 3− 2 log 24 c.. 3 log 14− 3 log 42 b.

2

log 28− 2 log 7

2

log 9− 4 log 36 1 1 f. 3 log + 3 log 27 9 e.

d. 5 log 50− 5 log 10

4

3. Sederhanakan penjumlahan / pengurangan logaritma berikut : a. 2 log 5+ log 40

c.

12 log 81 − 2 2 log 9 2

24


25


15 1 d. 5 2 log 2 −2 2 log16 log 25+ 5 log 2 125 2 4. Jika diketahui log 5 = p , nyatakan bentuk logaritma berikut dalam p b.

5.

a.

2

log 25

c. 4 log 25

b.

4

log 5

b. 8 log

1 125

e.

1 2

log 125

2

f.

log 3 5 2

Jika diketahui 3 log 6 = q , nyatakan bentuk logaritma berikut dalam q a.

6

log 3

b. 36 log 9 6. Hitunglah nilai dari

6

c. log 27 d.

1 36

log 81

e. f.

1 6

1

log

3

6

3

log 4 35 1 5 . log 8 125

a.

2

log 3.3 log 64

c. 2 log 25.5 log 32

e.

2

log

b.

3

log 5.5 log 27

d. 3 log 8.2 log 81

f.

3

log 3 7 2 .7 log 4 35

c. 4 log 32.25 log125

e.

7. Hitunglah nilai dari a.

9

b.

25

log 81 log 625

d.

81

log 27.4 log 8

f.

1 2

1

log 16. 5 log 25

3

log 27.

3

52

1

log

125

8. Hitunglah nilai dari a. 6 b. 7

2

6

log 9

7

log 3

c.

2

d. 125

5

log 16

e. 5

5

log 3 3

log 2

f.

3

+3

log 4

3

log 2

 1  −   2

2

log 8

A. PANGKAT. Materi Pokok BENTUK PANGKAT,AKAR DAN LOGARITMA

Recommend Documents