BAB I BENTUK PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA

Amarhadi

BAB I BENTUK PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA Standar Kompetensi 1. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma Kompetensi Dasar 1.1 Menggunakan aturan pangkat, akar, dan logaritma 1.2 Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan yang melibatkan pangkat, akar, dan logaritma

Dalam perhitungan para ahli, dinyatakan bahwa berat bumi adalah 5.976 juta ton. Berpa kilogramkah itu? Coba kita tuliskan: 5.976.000.000.000.000.000 kg. Dalam ilmu pengetahuan alam, banyak digunakan bilanganbilangan yang sangat besar atau sangat kecil. Misalnya dalam pelajaran kimia terdapat tetapan avogadro yaitu 602.000.000.000.000.000.000.000; dalam ilmu fisika dikatakan muatan elektron (yang diketemukan oleh Joseph John Thompson) adalah -0,00000000000000000016 Coulomb. Jika seorang Joseph John Thompson ahli fisika dalam perhitungannya melakukan (1856 – 1940) kesalahan penulisan (misalnya kurang satu angka 0 atau kelabihan angka 0), maka hasil akhir perhitungannya juga salah. Dengan adanya cara penulisan bilangan berpangkat, kerepotan penulisan angka dihilangkan dan resiko kesalahan dapat diperkecil. Berat bumi dituliskan sebagai 5,976 . 1018 kg. Tetapan avogadro sebesar 6,02 . 1023 dan muatan elektron -1,6 . 10-19 Coulomb. Masih banyak lagi penulisan berpangkat yang akan kita pelajari dalam bab ini.

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma

Page | 1

Amarhadi

A. Bentuk pangkat

Bilangan berpangkat yang akan dibahas di sini adalah pangkat bulat dan pangkat pecahan. 1. Pangkat Bulat Positif Perkalian berulang suatu bilangan real dapat dituliskan dalam bentuk bilangan berpangkat bulat positif. Notasi eksponen sangat berguna untuk menuliskan hasil perkalian suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri secara berurutan . Misal : 2 x 2 x 2 ditulis 23 berarti 23 = 2 x 2x 2 Pada bentuk 23, 2 disebut bilangan pokok atau basis dan 3 yang ditulis di atas bilangan 2 disebut pangkat atau eksponen. Definisi Bilangan berpangkat bulat positif Jika a adalah bilangan real dan n bilangan bulat lebih dari satu , maka pangkat ke – n dari a ditulis an dan didefinisikan sebagai hasil perkalian n faktor masing-masing a yaitu : an = a x a x a x .... x a n faktor

untuk n = 1 didefinisikan a1 = a. Keterangan : an dibaca “ a pangkat n “ disebut bilangan berpangkat. a disebut bilangan dasar atau bilangan pokok. n disebut eksponen atau pangkat.

Contoh 1 : Tuliskanlah bilangan-bilangan berikut dalam bentuk pangkat / eksponen 1. 4 x 4 x 4 x 4 x 4 jawab : 45 3 2. ( - 2 ) x ( - 2 ) x ( - 2 ) jawab :  2  4

1 1 1 1 3.   x  x  x  5 5 5 5

jawab :

4. 81 5. 256 6. 30.000

jawab : jawab : jawab :

1   5 34 44 3x104

2. Sifat-sifat operasi bilangan dengan pangkat bulat positif Untuk m , n  B  dan a  R maka berlaku sifat-sifat sebagai berikut Bukti : 1. a m x a n  a m  n am x an =         a x a x a x ... x a x a x a x a x ... x a         m faktor ...     = a x a x a x ... x a ... faktor

=a


…

Page | 2

Amarhadi

2. a m : a n  a m  n ; m > n

Bukti : 

 



am : an =  a x a x a x ... x a  :  a x a x a x ... x a      

m faktor

 



...

faktor

(a x a x a x ... x a ) x a x a x a x ... x a ) ... faktor

=

a x a x a x ... x a faktor

= faktor

 

3. a n

m

Bukti : ( am )n = a m x a m x a m x ... x a m

 a mn

n faktor

= (a x a x a x ... x a ) x (a x a x a x ... a ) x ... x ( a x a x a .... x a ) mfaktor

...

...

...

= (a x a x a x ... x a ) ... x

=

faktor

a…

Bukti :

m

am a 4.    m b b

a   b

m



a a a a x x x ... x b b b b m faktor

...

a x a x a x ... x a = b x b x b x ... x b ...

= m

5. a x b   a m xb m

Bukti : ( ab)m

a

...

b...

= ab x ab x ab x ... x ab m faktor

= (a x a x a x ... x a ) x ( b x b x b x ... x b m faktor

...

= x = a… b… am

b…

Contoh 2 : Tuliskan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk pangkat 1.

8x 5 y 6 2

 6x y

3



4 5 2 6 3 4 x y   x3 y3 3 3


Page | 3

Amarhadi

2x y 

2

4x 4 y 2   x 43 y 21  xy 3 3 4x y 4x y 2

2.

2x  4y   4x y   4xy   6x y  3 2

3.

3

2

2

2

2

16 x 6 y 3  4 x 2 y 2 16 x 2 y 2  6 x 2 y 2

2





2 x 2 y 2 8x 4 y  2 2

22 x y

2

  1 8x 11

4

y2



3. Sifat-sifat operasi bilangan dengan pangkat bulat negatif dan nol Pada sifat 2 : am : an = am-n untuk m > n dan a  0.  Bagaimana jika m = n . Kita tahu bahwa 25 = 1 dan 25 = 52 25

2 Seandainya sifat 2 berlaku maka : 25 = 5 = 52- 2 = 50 = 1

25



52

Bagaimana jika m < n Perhatikan sifat : am : an untuk a  0 Seandainya berlaku untuk m = 0 diperoleh : am : an = a0 : an pada bilangan a0 = 1 untuk a  0 maka a0 : an = 1 : an a0-n = 1 : an a-n = 1 : an a-n

1 an

=

Dari ilustrasi di atas lakukan kegiatan berikut untuk membuktikan sifat pankat bulat negatif dan nol Bukti : 1. Jika a  0, maka a 0  1

2. Jika n  B dan a  0 maka a  n 

1 an

Bukti :

Contoh 3 : Tuliskan bilangan-bilangan berikut dengan pangkat bulat positif 1

1. 2  4 

2

4

4

2.  3x 

 

1 16 1

 3x 4



1 81x 4

Latihan Kompetensi 1

 x2 1. Sederhanakan   4 y

  

2

 y 3  . 2   x 


3

 3 23  2 15 x y 6. Sederhanakan  1  z 14 

    

2

1 2

Page | 4

Amarhadi

 p 3 q 4 2. Sederhanakan   2 3 r s

3. Sederhanakan

  

2

 p 3 r 3  .  4 4  q s 

a 2  b 1 a 1  b  2

2

10  1  2 2   4   7.  x 5 y 3         

   1 1  :  x 4 y 4      

8. Tentukan nilai dari T  untuk a = 100 , b =

4. Sederhanakan

x 1     y  x 1     y

4

2

3

ab 3 c 4 ,

1 dan c = 0,01 8

9. Sederhanakan

ab 1  a 1b b 1  a  2

x 3  y 3 5. Buktikan 3 x  y 3

3

 1 2 2 2   3 .  3   3   2   3 



3



 

5

 

3 10. Sederhanakan  8  2  . 8 0   

2 

6



3

TUGAS 1 1. Sederhanakan

6. Tulis dalam satu suku

 18 x 2 y 3  12 x  5 y 5



2. Sederhanakan x 2  y 2

1 1 1 1 1     2 4 8 16 32



2

7. Tulis dalam bentuk 4

5

6

2m 2n

2 2 2 2 8   4   2   6  3 5 3 3


7

Page | 5

Amarhadi

 a 2 3. Sederhanakan  7  b

  

3

 a4  . 3  b 

2

  

8. Sederhanakan

a 4  b 4  a 2  b 2

9. Sederhanakan

xy 1  x 1 y  y 1  x 1

1

4. Sederhanakan

 

 

  4 x 2 y 3  2 xy 2    4 2 5   4x y  2x y 

2



5. Sederhanakan



2  2  2  2  2 4

3 2

2 2

5 3



  1 1 10. Sederhanakan  3 . 1  a b2 

3

    .ab    

B. Bentuk Akar Kita telah membahas dan memberi arti pula pada bilangan dengan pangkat bulat, misalnya 7-9, 93, 50 dan sebagainya. Sekarang dapatkah kita memberi 1

1



1

arti dan definisi yang baik terhadap bilangan 5 7 , 3 2 , 100 3 dan bilangan-bilangan lain yang serupa dengan itu. Jawabnya bisa! Bilangan tersebut disebut bilangan berpangkat rasional. 1. Pangkat Rasional Definisi pangkat rasional  Misalkan a dan b bilngan real, n bilangan bulat positif , n ≥ 2 dan bn = a maka b dinamakan akar pangkat n dari a dan dinyatakan dengan 1

a n  n a , n ≥ 2; dibaca akar pangkat n dari bilangan a 1

Untuk n = 2, a 2  a ; pangkat tidak ditulis dan dibaca akar a  Jika m , n bilangan bulat dan a  Re al , maka m

a n  n am 

 a n

m

, n ≥ 2; dibaca akar pangakat n dari bilangan a pangkat m


Page | 6

Amarhadi

Contoh 4 : Tuliskan dalam bentuk akar yang sederhana 2 5

1. a 

5

a2

7

2  212  3 2 3   2. a   a  a   1

3.

3

4  4 3    27  27 

3 3

4 1  34 27 3

2. Bilangan Irasional dan Bentuk Akar Sebelum membahas lebih jauh bentuk akar, mengingat kembali tentang bilangan rasional dan bilangan irasional yang telah dibahas sebelumnya. Bilangan Real

Bilangan Irasional

Bilangan Rasional

Bilangan Pecahan

Bilangan Bulat

Bilangan rasional didefinisikan sebagai bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk

a dengan a, b bilangan bulat dan b  0. b

Berdasarkan definisi tersebut, bilangan rasional dapat dibedakan menjadi dua macam yaitu bilangan bulat dan bilangan pecahan, sedangkan bentuk akar merupakan bagian dari bilangan irasional. Perhatikan barisan bilangan berikut ini :

2 ,

4 ,

6 ,

8 ,

2,

6,

8,

12 ,

9 , 20

12 ,

16 ,

20 ,

25 ,

36 .

merupakan bentuk akar, karena bilangan-

bilangan tersebut tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan

a dan b

mempunyai nilai masing-masing sebagai berikut :

2 = 1.4142135623...

12 = 3.4641016151...

6 = 2.4494897427...

20 = 4.4721359549...

8 = 2.8284271247...


Page | 7

Amarhadi

Bilangan irasional dapat diartikan sebagai bilangan pecahan desimal tak terbatas dan tak berulang

4 , 9 , 16 ,

25 , 36

bukan bentuk akar karena bilangan-bilangan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan bulat, seperti :

4 = 2,000... 9 = 3,000...

16 = 4,000... 25 = 5,000... 36 = 6,000... Bilangan rasional dapat diartikan sebagai bilangan pecahan desimal tak terbatas tetapi berulang Contoh 5 : Tunjukkan bahwa bilangan 0,666... = 2/3 Penyelesaian Misalkan :

: x = 0,666... - - - - - - - - - ( kedua ruas dikalikan dengan 10 )  10x = 6,666 ...  10 x = 6 + 0,666 ...  10 x = 6 + x  10 x – x = 6  9x = 6  x = 6/9 = 2/3

Kerjakan soal berikut ini seperti contoh di atas Tunjukkan bahwa bilangan 0,242424... = 8/33 Misalkan :

x = 0,242424... - - - - - - - - - (kedua ruas dikalikan dengan 100)  .... = 24 , ...  .... = .... + ...  .... = .... + ...  .... – ... = ....  .... = ....  .... = ....


Page | 8

Amarhadi

Contoh 6 : Pada bangun persegi di bawah ini, bentuk akar, jika diketahui

a. panjang sisi

diagonal manakah yang merupakan

3 cm

b. panjang sisi 2 2 cm

:

Penyelesaian

C

D

A

B ( 3 )2  ( 3 )2

a. AD = =

33

=

6

Panjang diagonal ini merupakan bentuk akar b. AD = ............................ = ............................ = ............................ .......................................................................... 3. Bentuk akar atau Radikal Pernyataan yang berbentuk n a yang berarti akar pangkat n bilangan a. bilangan positif n adalah indeks atau tingkat akar dari radikal dan bilangan a adalah bilangan yang diambil akarnya (radikan), serdangkan lambang n tanda akar. Apabila n = 2 maka indeksnya dihilangkan, sehingga memiliki arti

2

a

a.

Definisi Jika n bilangan asli dengan n > 1 dan a  R, maka akar pangkat n bilangan a ditulis n a didefinisikan sebagai berikut: 

n

a adalah akar pangkat n yang positif dari a, dengan a > 0



n

a adalah akar pangkat n yang negatif dari a, dengan a < 0 dan n ganjil.



n

0 0.


Page | 9

Amarhadi

4. Mengubah bentuk akar ke bentuk pangkat dan sebaliknya Pada bagian ini akan dibahas bagaimana cara mengubah bentuk akar ke dalam bentuk pangkat dan sebaliknya. Contoh 7 : Nyatakan bilangan berpangkat di bawah ini dalam bentuk akar 2

2

a. 6 5 Penyelesaian

:

2 5 6

=

a.

b.

22

b. 5a 3

5 2 6

=

2 5a 3

=

5 2 a3

2

22

5 36

=

c. x 3

2 c. x 3 = x2 . x 3 = x

3 2 x

5

3 2 a

Contoh 8 : Nyatakan dalam pangkat rasional pecahan positif a.

5 2 3

6

Penyelesaian a.

c. b 1 b3

b. a 3 a 2

5 2 3

d.

1 3 1 9 81

: 2

= 35 2

31

3

1

6 b. a 3 a 2 = a3 x a 6 = a 3

c.

b 1 b3 = b–1 x b 2 = b 2

d.

1 1 13 1  1 3 – 2 = 3 x   = 3– 2 x 3 4 3 = 9 81  81 

 

3

1 3 3

=

1 1

33 3

Latihan Kompetensi 2 1. Manakah diantara bilangan di bawah ini yang merupakan bentuk akar, berikan alasan. a. 10 c. 0,9 e. 3 0,8 g. 3 0,08 6 8 f. 3 1000 h. 3 9 64 2. Nyatakan bilangan pangkat di bawah ini dalam bentuk akar

b.

125

1

a. 3 2 2

b. 5 3

d.

13

c. a 4

 12

d. ( 1 ) 8


 13

e.

81

f.

x 2

1

4

g. 7 y 5

21

h. ( x 2 y ) 3

Page | 10

Amarhadi

3. Nyatakan bentuk akar di bawah ini dalam pangkat pecahan a.

3

b.

4

g. p 2 4 p

5

2

c.

3

36

e.

2 a3

9

d.

3

16

f.

x

5

x3

h.

1 3 81 9

4. Nyatakan bentuk akar di bawah ini dalam bilangan berpangkat dengan bilangan pokok 2 a.

5

c. 2

16

b. 3 32

5

4

1 2

d.

3 1 32

g.

1 3 4 2

1 f. 4 4

h.

1 4

e.

8

1 2

5. Nyatakan x dalam bentuk pecahan murni untuk setiap soal di bawah a. x = 0,777... b. x = 0,252525... c. x = 0,135135135... 6. Nyatakan bilangan desimal 2,525252 … ke dalam bentuk bilangan rasional a b

pecahan

7. Nyatakan bentuk pangkat di bawah ini dalam bentuk akar  2  e.  x 

1

a. (x 2 y 2 ) 3

 2y 2   

5 1 b. a 6 b 3

c.

f.

   2   13   a     b 1      

g. x 2 ( x 3 + x

1 2 1

d.

1 2

2

1

2 3x

 23

 a2 3    b 1   

h. x

 12 )

 12 ( 2 + y 12 )

8. Nyatakan dalam bentuk pangkat pecahan positif 3

a. ( x

2

– 1 )1/ 4 ( x

2

– 1 )3/ 4

c.

x2 x 3 1

b.

x

3

x 1



d.

4

36 x 3 1

x5

c.

1 x

3

x x




f.

4  

x2 3 x

 x  

2

Page | 11

Amarhadi

5. Menyederhanakan bentuk akar Dalam perhitungan sering menemukan bentuk akar bilangan besar yang bukan merupakan bilangan prima, pada bagian ini akan dibahas bagaimana cara menyederhanakan bentuk akar yang dimaksud tadi. Untuk menyederhanakan atau menjabarkan akar, terlebih dahulu kita harus memahami sifat-sifat berikut: a)

n

b)

n

c) d)

an  a

e)

m

a

n

a

 mn a n  m

n

a  b  ab

f)

 a

m

a  n a  mn a m  n

g)

nm

n

a na  b nb

h)

n

n

p

n

 n ap

a  mn a

am 

np

a mp

Contoh 9 : Sederhanakan bentuk akar di bawah ini a.

48

d.

b.

125

e.

c

96a 5

f.

112b8

3 3

54x 8

192y10

Penyelesaian :

48 = 16 x 3

a.

=

b.

16 x

125

= . √25.. x . √5..

3

= 4 3

c.

e.

96a 5 =

3

54x 8 =

= .√25 x 5..

= .5√5..

16a 4 x 6a

112b8 = ...

d.

= 16a 4 x 6a

= ... x ...

= 4a 2 6a

= ...

3

27 x 6 x 2 x 2

=

3

27 x 6 x

f. 3

2x 2

3

= 3x 2 2x 2


3

192y10 = ...

= ... x ... = ...

Page | 12

Amarhadi

Latihan Kompetensi 3 1. Sederhanakan bentuk akar di bawah ini a. 20 f. 147

k. 2 40

b.

45

g. 150

l.

c.

63

h. 180

m. 8 200

d.

98

i.

n. 7 216

245

5 90

e. 108 j. 432 o. 11 320 2. Sederhanakan bentuk akar yang terdefinisi di bawah ini a.

a5

d.

12s 4

g.

27 x 2 y 5

b.

2p7

e.

6a 3b

h.

64 x 7 y 2

i.

80p8q11

c. 8x 4 f. 32a 8 y 5 3. Sederhanakan bentuk akar di bawah ini. a. b.

4

6253

d.

15

(100 x 2 y 4 )5

e.

3

32a 10 b 5 c 25 4.096x 12 y 27

c. 8 x 2 y 6 f. 5 3 5 30 a 40 b 25 4. Segitiga ABC siku-siku di A dengan panjang AB = 4 cm, dan Panjang AC = 6 cm, tunjukkan bahwa panjang BC = 2 13 cm 5. Luas sebuah persegi panjang adalah 72 cm2 , jika panjangnya tiga kali lebarnya, hitunglah panjang diagonalnya.

6. Operasi aljabar pada bentuk akar  Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar Operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk akar hanya dilakukan, jika bentuk akar-akarnya sejenis.  m a  n a  m  n a dengan a  0

dapat

 m a  n a  m  n a dengan a  0 

a x b  ab dengan a  0 dan b  0

Contoh 10 : Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan bentuk akar di bawah ini : a. 3 5 + 4 5 c. 6 7 – 4 7 d. 5 2 + 2 2 – 4 2

b. 2 3 + 7 3 Penyelesaian

:

Bentuk akar dari tiap-tiap soal di atas sejenis ( memenuhi syarat ) berarti dapat dijumlahkan atau dikurangkan a. 3 5 + 4 5 = ( 3 + 4 ) 5 = 7 5 b. 2 3 + 7 3

= ( ... + ... ) ... = ...

c. 6 7 – 4 7 = ( ... – ... ) ... = ... d. 5 2 + 2 2 – 4 2 Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma

= ( ... + ... – ... ) ... = ... Page | 13

Amarhadi

 Untuk a +

di ingat : b



dan

a  b

a –

b



a b

 Operasi Perkalian Bentuk Akar Seperti telah di sebutkan sebelumnya bahwa a2

a x

a =

a xa =

= a , untuk a  R dan a > 0

maka

a x

b = a x b = ab , untuk a,b  R dan a,b > 0

Hasil perkalian bentuk akar diartikan sebagai perkalian bilangan di bawah tanda akar. Perkalian bentuk akar : pxq 1.

bilangan-

p a x q b = pq ab axb

2.

p a ( q b  r c ) = pq ab  pr ac

3.

( a +

4.

( a + b )2 = (a + b) + 2 ab

b )( c +

( a+ b) = 5.

d)=

ac +

bc +

bd

(a  b)  2 ab

( a –

b )2 = (a + b ) – 2 ab

( a –

b)

=

ad +

(a  b)  2 ab , dengan a > b

Contoh 11 : Tentukan hasil perkalian bentuk akar di bawah ini a. 5 x 2 e. 2 3 x 5 2 x 4 3 b. 2 7 x 3 2 c. 5 2 ( 2 +

f. ( 2 + 3)

d. 3 3 (4 2 – 2 5 ) Penyelesaian : a.

5 x

2

=

5x 2 =

7 )( 5 +

g. ( 5 +

2

h. ( 3 –

2 )2

3)

)2

10

b. 2 7 x 3 2 = (2 x 3) 14 = 6 14


Page | 14

Amarhadi

c. 5 2 ( 2 + d.

3 ) = 10 + 5 6

3 3 (4 2 – 2 5 ) = 12 6 – 6 15

e. 2 3 x 5 2 x 4 3 = ( 2 x 5 x 4 x 3 ) 2 = 120 2 f.

( 2 + 7 )( 5 +

g. ( 5 +

3) =

10 + 6 + 35 +

21

2 )2 = ( 5 + 2 ) + 2 10 = 7 + 2 10 2

h. ( 3 – 2 ) = ( 3 + 2 ) – 2 6 = 5 – 2 6 Contoh 12 : Nyatakan dalam bentuk operasi jumlah atau kurang untuk setiap bentuk akar di bawah ini a.

c.

15  2 26

9 4 2

b. 18  2 72 Penyelesaian :

13 a.

26

15  2 26 syarat Jumlah

2

hasil kali

15  2 26 = ( 13 +

+

15

2) ...

b.

72

18  2 72

... + 18 = ( ..2√3. – .. √6. )

18  2 72

... c.

9 4 2

=

9 2 8

8 ... +

9 4 2

= ( 2√2... + .1.. )

Latihan Kompetensi 4 1. Sederhanakan operasi penjumlahan dan pengurangan di bawah ini. a. 5 2 + e. 8 10 + 3 10 – 10 10 2 b. 4 7 + 3 7

f. 3 6 – 2 5 –

6 + 7 5

c. 5 5 – 2 5

g. 5 2 – 2 5 – 9 2 + 7 5

d. 6 3 – 3 h. 6 3 + 4 2 – 2 3 – 6 2 2. Sederhanakan bentuk akar di bawah, kemudian tentukan hasil jumlah dan kurangnya a. 4 3 + 3 27 d. 3 45 + 4 20 – 5 125 b. 5 28 – 10 7

e. 5 63 – 4 20 – 2 175 + 5 125


Page | 15

Amarhadi

c. 128 + 5 50 f. 2 512 – 243 + 4 32 + 5 27 3. Sederhanakan bentuk perkalian akar di bawah ini a. 3 ( 2 + 2 3 ) h. 2 x 8 x 3 x 27 b.

6 (

c.

8 (

d.

15 (

e. (

3 –2 2 )

6 –

3 )

3 +

7 –

i. j. (

5 )

5 +

7 x

28 x

3 )( 6 –

112 2 )

3 )(3 5 – 2 3 )

l. ( 2 – 2 3 )( 2 + 2 3 )

6 )2

m. (2 3 + 5 2 )(2 3 – 5 2 ) n. (3 8 + 2 7 )(3 8 – 2 7 ) operasi jumlah atau kurang untuk setiap

)2

g. (2 3 – 5 2 4. Nyatakan dalam bentuk bentuk akar di bawah ini

a.

6 +

k. (

5 )2

f. ( 10 +

63 x

b. 32  5 28 c.

18  6 5

3  13  4 3

 Merasionalkan penyebut bentuk akar Salah satu cara untuk mempermudah perhitungan pada operasi

pembagian apabila penyebutnya berbentuk akar yaitu dengan cara merasionalkan penyebut. Sebagai ilustrasi : Tanpa menggunakan kalkulator atau alat bantu hitung lainnya,

1

tentukan hasil bagi dari

2

, jika

2 = 1,4142

Untuk menjawab pertanyaan tersebut, lakukan pengerjaan sbb : Cara 1  menggunakan operasi pembagian bilangan

1 2

=

1 = ... 1,4142

Cara 2  dengan merasionalkan penyebut

1 2

=

1 2

2

x

2

= ½ 2 = ½ (1,4142) = ...

Cara manakah yang paling sederhana menurut anda ? Merasionalkan Penyebut : 1. Bilangan Berbentuk

a b

Untuk merasionalkan penyebut

a b

, kalikan dengan

b b

Contoh 13 : Rasionalkan penyebut untuk setiap bilangan berikut ini :

a.

6 3


b.

3 2 5

c.

5 3

Page | 16

Amarhadi

Penyelesaian

a.

6

b.

3

c.

=

3

=

2 5 5 3

:

=

6 3 2 5 5 3

3

x

3

5

x

3 5 3 = 5 10 10

=

5 3

x

6 3 = 2 3 3

=

3

5 x 3 c

=

3

2. Bilangan Berbentuk

a 

3

b



1 15 3

atau

c a 

b

Bentuk a + b dan a – b masing-masing penyebut dari bilangan tersebut dikatakan saling sekawan atau konjugat. Bentuk sekawan dari suatu bilangan : a. 5 + 4 3 adalah 5 – 4 3 b. 7 2 – 3 adalah 7 2 + 3 c. 3 + 7 adalah 3 – 7 d. 5 2 – 4 5 adalah 5 2 + 4 5 dan seterusnya Contoh 14 : Rasionalkan penyebut bilangan pecahan berikut ini : a.

2

6

b.

3 5

c.

42 3

2 2 5 4

Penyelesaian : a.

2

=

3 5

= = =

b.

6 42 3

=

2 3  5

x

3  5 3  5

2 (3  5 ) 9  5

2 (3  5 ) 4 (3  5 ) 2 6 42 3

x

42 3 42 3

=

6 (4  2 3 ) 16  4(3)

=

6 (4  2 3 ) 16  12

=

6 (4  2 3 ) 6 . 2(2  3 )  32 3 4 4

=

6+3 3






Page | 17

Amarhadi

c.

2 2 5 4

2

=

2 5 4

2 5  4

x

2 5  4

2 (2 5  4) 20  16

= =

2 10  4 2 4

=

1 10  2

3. Bilangan Berbentuk

2 c a 

b

c

atau

a 

b

Contoh 15 : Rasionalkan penyebut bilangan pecahan berikut ini : a.

4

5

b.

3  5

2 2 3

Penyelesaian : a.

4

4

=

3  5

=

x

3  5

3  5 3  5

4( 3  5) 2

=  2( 3  5) = 2 52 3 b.

5 2 2 3

=

5 2 2 3

x

=

5 ( 2  2 3) 2  12

=

10  2 15  10

= 

2 2 3 2 2 3

1 1 10  15 10 5

Latihan Kompetensi 5 1. Rasionalkan penyebut untuk setiap bilangan pecahan di bawah ini

a.

6

b.

7

c.

3

d. e.

2

3 6 5

5 96 2 3

f.

2 3

g.

6

2 12 5

h.

20 63

i. j.

72 150 2 500


k. l. m. n. o.

4 3 

5

5 5 2 5

2 7 

3

2 2 3 

6

2 3 3 6 4 2

Page | 18

Amarhadi

2. Rasionalkan penyebut untuk setiap bilangan pecahan di bawah ini

a.

6 2

2 3 5

c.

6 2

e.

2 5

1

2 1 2

5 3

3 2 3

2 3 1 5 3 5 6 2 1 3 3. Rasionalkan penyebut bentuk akar di bawah ini

b.

a.

d.

4 1

13

b.

2 3

f.

42 3  3

TUGAS 2 1. Sederhanakan bentuk akar di bawah ini 2

4

(x

a.

y 3 ) 2

4 

1 1 (x 2 y  3 ) 2

3

3

(x

1



   

13  2    13  2    

21 3

x 4 .

1   3  13  4 3 

b.

c.

4

y 1 ) 2 3

2

y3

1 2



13  2  13  2  

2. Tentukan nilai x yang memenuhi bentuk akar di bawah ini a.

x

b.

x  1 1 1 x

c.

x=

d. e. 3. 4.

2 2 2 x

3

36 3 36 3 36 3 x

x = ( 2  3  2  5 )( 2  3  2  5 )( 10  2 3 ) 12x 2  20x  41 

Diketahui nilai a =

12x 2  20x  4  9

2 2 , b=

2 2

dan c = a + b .

Buktikan bahwa nilai c = a 2 Tentukanlah nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan : 9 x2  x  y  3  x  y2  x  y  3  y  4 4 2 x2  x  y  3  x  y2  x  y  3  y  1 4 4


Page | 19

Amarhadi

C. Bentuk Logaritma 1. Pengertian Logaritma Dalam pasal terdahulu kita telah memahami definisi perpangkatan. Bentuk umum dari suatu bilangan berpangkat adalah an, a disebut bilangan pokok dan n disebut pangkat. Jika bilangan pokok dan pangkat sudah ditetapkan, maka nilai dari bilangan berpangkat itu dengan segera dapat ditentukan. Sebagai ilustrasi:  23 = 8 1

1

 

 27 3  33 3  3  102 = 100 dan seterusnya. Sekarang persoalannya dibalik, yaitu apabila bilangan pokok dan hasil bilangan berpangkat sudah di ketahui, maka pangkat dari bilangan pokok itu dapat pula ditentukan. Sebagai ilustrasi:  2  16 , mencari pangkat dari bilangan 2 yang hasilnya 16. Pangkat itu sama dengan 4  9  3 , mencari pangkat dari bilangan 9 yang hasilnya 3. Pangkat itu sama dengan 

1 2

10  1000 , mencari pangkat dari bilangan 10 yang hasilnya 1000.

Pangkat itu sma dengan 3, dan seterusnya. Persoalan mencari pangkat dari suatu bilangan pokok jika hasil perpangkatannya sudah diketahui seperti di atas dapat dilakukan dengan memakai notasi logaritma (disngkat: log) sebagai berikut:  2  16 , ditulis 2log 16 = ... dan nilai 2log 16 = 4 

9

 3 , ditulis 9log 3 = ... dan nilai 9log 3 =

1 2

 10  1000 , ditulis 10log 1000 = ... dan nilai 10log 1000 = 3 Jelaslah bahwa logaritma adalah invers dari perpangkatan. Definisi Misalkan y adalah bilangan positif (y > 0) dan a adalah bilangan positif yang tidak sama dengan 1 (0 < a < 1 atau a > 1). b

log y  x  b x  y

b disebut basis/bilangan pokok (0 < b < 1 atau b > 1) atau (b > 0 dan b ≠ 1) y disebut numerus (y > 0) x disebut hasil logaritma nilainya dapat bernilai positif, nol dan negatif.

 Untuk

diingat : Jika b = 10, bilangan pokok tidak ditulis. Jadi

10log

2 ditulis log 2.

Sebagai akibat dari definisi di atas: a) b log b n  n b)

b

log b  1

c)

b

log 1  0


Page | 20

Amarhadi

Contoh 16 : Hitunglah nilai tiap logaritma berikut ini. a. 7log 49 d. 5log √5 1

2

e. log 4 f. 2log 2√2

b. 3 log 3 c. 2log 1 Penyelesaian

1

a.

7log

49 = 2, sebab 72 = 49

1 3 log 3 =

b.

1 3

d. 5log √5 =

1

-1, sebab    3

2

e.

1 , sebab 5 2  5 2

log 4 = 4, sebab

 2 4 4

3

2log

c.

1 = 0, sebab

20

=1

f.

2log

3 2√2 = 2 , sebab 2 2  2 2

Contoh 17 : Misalkan xlog 5 = 0,7; tunjukan bahwa x  57 53 . Penyelesaian xlog 5 = 0,7  x0,7 = 5 7

 x 10  5 10 10  7 7  x   x 10   5 7    

3

 x  5 5 7  x  57 53

Latihan Kompetensi 6 1. Carilah nilai tiap logaritma berikut ini. a.

2

b.

3log

log

1 16

d.

243

e. 4log √2

3

log 27

g. 6 log h.

1 216

16log

2

1 c. 5log 125 f. 10log 0,1 i. 81 log 3 1 3 a 9 2. Jika log 3 = -0,3; tunjukan bahwa a  81

3. Jika

1 2 log

3a  2  12 , tunjukan bahwa a  12


2

Page | 21

Amarhadi

2. Sifat-sifat Logaritma Setelah kita memahami definisi logaritma, untuk mempermudah perhitungan, sekarang akan mengkaji sifat-sifat logaritma. n 1) b log(x.y ) b log x  b log y 6) b log x n  b log x dengan b  0 , b  1, x  0, y  0

Bukti :

Bukti : Misalkan : x = bm dan y = bn

bn

nb log x n  b log x

log x n 

x  b m  m b log x y  b n  n b log y

o

m + n = b log x  b log y

o

x.y  b m  n  m  n b log( x.y )

Jadi, b log(x.y ) b log x  b log y b

2)

log



x b  log x  b log y y

dengan b> 0, b  1, x > 0 dan y >0 Bukti : Misalkan x = bm dan y = bn

7) a log b.b log c.c log d a log d Bukti : a

log b log c log d   log a log b log c log d a   log d log a

log b.b log c.c log d 

x  b m  m b log x y  b n  n b log y b

Jadi, a log b.b log c.c log da log d



b

o

m - n= log x  log y

o

x  y  bm  bn 

x bm  y bn

x x  b m  n  m  n b log y y x Jadi, b log  b log x  b log y  y



3)

b

log x p  p.b log x

a

dengan b  0 , b  1, x  0

Bukti : Misalkan x = bm  m b log x

8) a log x  x Bukti : Misal: alog x = m, maka am = x Karena alog x = m

 x p  (b m )p

a

 x p  b mp  mp b log x p

a

b

b

 p. log x  log x b

p

p

a

log x

a

log x

x

a

log x

Jadi, a

 am

x



b

Jadi, log x  p. log x 


Page | 22

Amarhadi

4)

b

p

log x 

p

log x  log b

x

1 log b

 

Bukti : Misalkan b log x  m  x  b m p

p

log x log b

 b log x 

5)

bn

a

log x m 

p p

log x log b

a

an

 r  a n  



log x

 x

mr n

log x r  p  p 

 

 log x  m log b p



Sehingga : a m

p

m

log x r

Misalkan

log x  p log b m p

an

9) a m a Bukti :

log x r

a

r a log x n

 

m

 a mp  a p

 log x   

m

x

mr n



mb log x n

Bukti : bn

log x m 

log x m log b n

m log x m b  log x n log b n n m Jadi, b log x m  b log x  n 

Contoh 17 : 1. Diketahui log 2  0,3010 dan log 3  0,4771 maka nilai log 6  log 2 x 3  log 2  log 3  0,3010  0,4771  0,7781 8

2 8 log 3  3 8 log 3  3p 8 2 2 log 4 2 log 2 2 log 2 3 3. Sederhanakan : 5 log 27 x 3log 55 log 33 x 3log 5 35 log 3 x 3log 5  3

2. Diketahui 8 log 3  p maka 4 log 9 

log 9

8



log 32

3



Contoh 18 : Misalkan 2log 3 = a dan 3log 5 = b. Nyatakan logaritma 5log 4,5 dalam bentuk a dan b Penyelesaian 1 dan 3log 5 = b  3log 5 = b a 45 5 9 5 log 4,5  5log  log 10 2

2log

3 = a  3 log 2 

3



log

3

9 2

3



log 9  3 log 2 3

log 5 log 5 1 2 2a  1 a   b ab 2a  1 5 Jadi, log 4,5  ab




23 log 3  3 log 2 3

log 5

Page | 23

Amarhadi

Latihan Kompetensi 7 1. Sederhanakan! a. 3 log 4 12  3log 6

d. 2 log x 3  2log x

b.

5

log 320  5log 4

c.

6

log 9  6log 2  26 log 6 a

e. 4 log (a  2)  4log (a 2  4) f. log 48  2 log 2  log 3

a

a

2. Jika log p  x , log q  y dan log r  z , nyatakan logaritma-logaritma berikut ini dalam x, y dan z.  p2 

e. a log  2 4  q r 

a.

a

log pqr

b.

a

log p3qr 2

c.

a

d.

a



 



 4 q3 

g. a log apqr 2 

 pr  log    q 

h. a log    pr 

3log

 a

 log 9  log 25 1   f.  log 3 log  25 9

5

3



16 c. 12 + 9 1 3 9 d. log 36 + log 16



 log 36 log 27 3

g.

4log

6

h. log 4 log 10

a. Jika a dan b adalah bilangan-bilangan real positif yang lebih besar dari 1, tunjukan bahwa a log b  b. Hitunglah : 2

i)

0,5

1 a log

b 0 2

log 6

ii)

log 6

c. Tunjukan bahwa 5.

5

e.

45 – 9log 25

2log

4.

   3  r 

log  p  q 2  3 r 2   

3. Sederhanakan. a. 2log 24 – 8log 27 b.

p

f. a log 

p

log a

q

log a

1 a

log b log b

 p log q

a. Jika p, q dan r adalah bilangan-bilangan real positif yang lebih besar dari 1, tunjukan bahwa q log p  r log q  p log r  1 b. Hitunglah nilai dari 2 log 10  6 log 4  log 216

6. Carilah nilai x pada persamaan-persamaan berikut: a. xlog 32 = 5 c. xlog 6 = 0,7 b. xlog 8 = 1,5 d. xlog 3 = -0,5 7. Carilah nilai x pada persamaan berikut log x 5  3 log x 2  log x 4  log x 3  9

8. Diketahui 8log 3 = a, nyatakan tiap bentuk berikut ini dalam a 32

1 log   3

a.

2log

3

c.

b.

4log

3

d. 2 log 3 9


Page | 24

Amarhadi

9. Misalkan diketahui plog q = 6, rlog p = 4, p, q dan r bilangan-bilangan real positif p ≠ 1, r ≠ 1. Hitunglah nilai dari 2

1 20 3

 log qr  . p

2

10. Misalkan diketahui log 3 = m dan log 5 = n, nyatakan tipa bentuk berikut ini dalam

m dan n. a. 6log 50

b. 18log 20

3. Menentukan Logaritma dan Antilogaritma Suatu Bilangan Dalam pembahasan di atas telah kita menentukan nilai logaritma menggunakan definisi dan sifat-sifat logaritma. Tetapi tidak mudah menentukan nilai suatu logaritma jika: i) 2log 3 = x  2x = 3, tidak mudah mencari nilai x walaupun sudah diubah kedalam bentuk bilangan berpangkat ii) 5log 7 = y  5y = 7, tidak mudah mencari nilai y walaupun sudah diubah kedalam bentuk bilangan berpangkat Untuk menjawab persoalan i)dan ii) di atas diperlukan cara lain. Ada dua cara untuk menentukan logaritma bilangan seperti di atas, yaitu:  dengan menggunakan grafik fungsi y = ax,  dengan memakai tabel logaritma.  dengan menggunakan kalkulaor scientifik  dengan menggunakan Ms excel Dalam buku ini hanya akan dibahas cara menentukan logaritma dengan menggunakan tabel logaitma.  Logaritma Bilangan Antara 1 Sampai 10 dengan Menggunakan Tabel Logaritma. Untuk keprluan perhitung perhitungan, telah dibuat daftar atau tabel matematika. Daftar atau tabel matematika memuat hasil logaritma suatu bilangan dengan bilangan pokok 10. Sebelum menggunakan tabel matematika ada baiknya kita pahamiterlebih dahulu beberapa hal berikut: 1) Dalam tabel logaritma yang ditulis hanya bilangan desimal yang menyatakan hasil logaritma dari suatu bilangan. Bilangan desimal ini disebut mantis (dari kata mantisse). 2) Lajur-lajur dalam tabel logaritma terdiri atas:  Lajur pertama (disebut lajur N), dari atas ke bawah memuat bilangan-bilangansecara berurutan dari 0 sampai dengan 1000.  Baris judul pada lajur kedua sampai dengan lajur kesebelas, dari kiri ke kanan berturut-turut diisi dengan angka-angka 0, 1, 2, 3 ....8, 9. Lajur yang memuat angka 0 disebut lajur 0, yang memuat angka 1 dosebut lajur 1, ....demikian seterusnya. Pada tiap lajur itu, dari atas ke bawah memuat mantis, yaitu bilangan desimal yang menyatakan logaritma suatu bilangan dengan bilangan pokok 10.


Page | 25

Amarhadi

Lajur 9 →

7

Lajur 8 →

6

Lajur 7 →

5

Lajur 6 →

4

Lajur 5 →

3

Lajur 4 →

2

Lajur 3 →

1

Lajur 2 →

0

Lajur 1 →

N

Lajur 0 →

Lajur N → Baris Judul →

8

9

Mantis atau bagian desimal dari logaritma 0

0

3010

4771

6021

6990

7782

8451

9031

9542

0

0414

0792

1139

1461

1761

2041

2304

2553

2788

3010

3222

3424

3617

3802

3979

4150

4314

4472

4624

3

4771

4914

5051

5185

5315

5441

5563

5682

5798

5911

4

6021

6128

6232

6335

6435

6532

6628

6721

6812

6902

5

6990

7076

,716

7243

7324

7404

7482

7559

7634

7709

6

7782

7853

7924

7993

8062

8129

8195

8261

8325

8388

7

8451

8513

8573

8633

8692

8751

8808

8865

8921

8976

8

9031

9085

9138

9191

9243

9294

9345

9395

9445

9494

9

9542

,959

9638

9685

9731

9777

9823

9868

9912

9956

10

0000

0043

0086

0128

,017

0212

0253

0294

0334

0374

11

0414

0453

0492

0531

0569

0607

0645

0682

0719

0755

12

0792

0828

0864

0899

0934

0969

1004

1038

1072

1106

13

1139

1173

1206

1239

1271

1303

1335

1367

1399

,143

14

1461

1492

1523

1553

1584

1614

1644

1673

1703

1732

15

1761

1790

1818

1847

1875

1903

1931

1959

1987

2014

16

2041

2068

2095

2122

2148

2175

2201

2227

2253

2279

17

2304

2330

2355

,238

2405

2430

2455

2480

2504

2529

18

2553

2577

2601

2625

2648

2672

2695

2718

2742

2765

19

2788

2810

2833

2856

2878

2900

2923

2945

2967

2989

20

,301

3032

3054

3075

3096

3118

3139

3160

3181

3201

21

3222

3243

3263

3284

3304

3324

3345

3365

3385

3404

22

3424

3444

3464

3483

3502

3522

3541

3560

3579

3598

23

3617

3636

3655

3674

3692

3711

3729

3747

3766

3784

24

3802

3820

3838

3856

3874

3892

3909

3927

3945

3962

25

3979

3997

4014

4031

4048

4065

4082

4099

4116

4133

26

4150

4166

4183

1,42

4216

4232

4249

4265

4281

4298

27

4314

4330

4346

4362

4378

4393

4409

4425

4440

4456

28

4472

4487

4502

4518

4533

4548

4564

4579

4594

4609

29

4624

4639

4654

4669

4683

4698

4713

4728

4742

4757

30

4771

4786

1480

4814

4829

4843

4857

4871

4886

1,49

31

4914

4928

4942

4955

4969

4983

4997

5011

5024

5038

1 2


Page | 26

Amarhadi

Contoh 19: Dengan menggunakan tabel logaritma, carilah nilai tiap logaritma berikut ini. a) log 4,6 d) log 1,013 b) log 1,21 e) log 1,238 c) log 3,69 f) log 1,495 Penyelesaian a) log 4,6 = .... logaritma tiap bilangan antara 1 sampai 10 mempunyai nilai antara 0 dan 1, maka kita dapat menuliskan log 4,6 = 0,.... angka didepan tanda koma disebut indeks atau karakeristik, yaitu bagian bulat dari logaitma suatu bilangan. angka-angka di belakan koma adalah bagian desimal atau mantis dari logaritma suatu bilangan itu. mantis ini dapat ditentuka dari tabel logaitma pada baris ke-4 lajur 6, diperolh 6628. jadi, log 4,6 = 0, 6628 N

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

9031 2553 4472 5798 6812 7634 8325 8921 9445 9912 0334

9542 2788 4624 5911 6902 7709 8388 8976 9494 9956 0374

Mantis atau bagian desimal dari logaritma 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

b)

0 3010 4771 6021 6990 7782 8451 9031 9542 0000

0 0414 3222 4914 6128 7076 7853 8513 9085 ,959 0043

3010 0792 3424 5051 6232 ,716 7924 8573 9138 9638 0086

4771 1139 3617 5185 6335 7243 7993 8633 9191 9685 0128

6021 1461 3802 5315 6435 7324 8062 8692 9243 9731 ,017

6990 1761 3979 5441 6532 7404 8129 8751 9294 9777 0212

7782 2041 4150 5563 6628 7482 8195 8808 9345 9823 0253

8451 2304 4314 5682 6721 7559 8261 8865 9395 9868 0294

Tulis dulu  log 1,21 = 0,... bagian desimalnya ditentukan dari tabel loigaritma, yaitu baris ke-12 lajur 1, diperoleh 0828 jadi, log 1,21 = 0,0828 N

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

9912 0334 0719 1072 1399

9956 0374 0755 1106 ,143

Mantis atau bagian desimal dari logaritma

9 10 11 12 13

. . 9542 0000 0414 0792 1139

,959 0043 0453 0828 1173

9638 0086 0492 0864 1206

9685 0128 0531 0899 1239

9731 ,017 0569 0934 1271

9777 0212 0607 0969 1303

9823 0253 0645 1004 1335

9868 0294 0682 1038 1367

. .


Page | 27

Amarhadi

c)

Tulis dulu  log 3,69 = 0,... bagian desimalnya ditentukan dari tabel loigaritma, yaitu baris ke-36 lajur diperoleh 5670 jadi, log 3,69 = 0, 5670 N

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9


31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

. . 4914 5051 5185 5315 5441 5563 5682 5798 5911 6021

4928 5065 5198 5328 5453 5575 5694 5809 5922 6031

4942 5079 5211 5340 5465 5587 5705 5821 5933 6042

4955 5092 5224 5353 5478 5599 5717 5832 5944 6053

4969 5105 5237 5366 5490 5611 5729 5843 5955 6064

4983 5119 5250 5378 5502 5623 5740 5855 5966 6075

4997 5132 5263 5391 5514 5635 5752 5866 5977 6085

5011 5145 5276 5403 5527 5647 5763 5877 5988 6096

5024 5159 5289 5416 5539 5658 5775 5888 5999 6107

5038 5172 5302 5428 5551 5670 5786 5899 6010 6117

2

3

4

5

6

7

8

9

. .

d)

log 1,013 = 0,0056 N

0

1

Mantis atau bagian desimal dari logaritma 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110

e)

0000 0043 0086 0128 0170 0212 0253 0294 0334 0374 0414

0004 0048 0090 0133 0175 0216 0257 0298 0338 0378 0418

0009 0052 0095 0137 0179 0220 0261 0302 0342 0382 0422

0013 0056 0099 0141 0183 0224 0265 0306 0346 0386 0426

0017 0060 0103 0145 0187 0228 0269 0310 0350 0390 ,043

0022 0065 0107 0149 0191 0233 0273 0314 0354 0394 0434

0026 0069 0111 0154 0195 0237 0278 0318 0358 0398 0438

0030 0073 0116 0158 0199 0241 0282 0322 0362 0402 0441

0035 0077 0120 0162 0204 0245 0286 0326 0366 0406 0445

0039 0082 0124 0166 0208 0249 0290 0330 0370 0410 0449

2

3

4

5

6

7

8

9

0892 0927 0962 0997 1031

0896 0931 0966 2,1 1035

log 1,238 = 0,0927 N

0

1


122 123 124 125 126

. . 0864 0899 0934 0969 1004

0867 0903 0938 0973 1007

0871 0906 0941 0976 1011

0874 0910 0945 0980 1014

0878 0913 0948 0983 1017

0881 0917 0952 0986 1021

0885 0920 0955 0990 1024

0888 0924 0959 0993 1028

. .


Page | 28

Amarhadi

f)

log 1,495 = 0,1746 N

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1697 1726 1755 1784 8

1700 1729 1758 1787 9

Mantis atau bagian desimal dari logaritma 147 148 149 150

1673 1703 1732 1761 0

1676 1706 1735 1764 1

1679 1708 1738 1767 2

1682 1711 1741 ,177 3

1685 1714 1744 1772 4

1688 1717 1746 1775 5

1691 1720 1749 1778 6

1694 1723 1752 1781 7

 Logaritma Bilangan Lebih dari 10 Untuk menghitung logaritma yang lebih dari 10 gunakan pertolngan sifat-sifat logaritma. Nilai logaritma suatu bilangan yang lebih dari 10 dapat ditentukan dengan menggunakan langkah-langkah sebagai berikut. Langkah 1: Nyatakan bilangan yang akan ditentukan nilai logaritmanya itu dalam notasi baku a x 10n Langkah 2: Gunakan sifat logaritma Log (a x 10n) = log a + log 10n  log (a x 10n) = n + log a Langkah 3: Oleh karena 1 ≤ a < 10 maka log a dapat dicari dari tabel logaritma. Nilai log a yang diperoleh dari tabel loigaritma tadi dijumlahkan dengan n. Hasil penjumlahan itu merupakan nilai logaritma dari bilangan yang dimaksudkan. Contoh 20: Carilah nilai dari tiap logaritma berikut. a) log 67,5 d) log 65.600 b) log 482,6 e) log 423.800 c) log 7.452 f) log 5.452.000 Penyelesaian a) log 67,5 = log (6,75 x 101)  = log 6,75 + log 10  = log 6,75 + 1  = 0,8293 + 1 = 1,8293 Jadi, log 67,5 = 1,8293 b) log 482,6 = log (4,826 + log 102)  = log 4,826 + 2  = 0,6836 + 2 = 2,6836 Jadi, log 482,6 = 2,6836 c)

log 7.452 = log (7,452 x 103)  = log (7,452 + log 103)  = log 7,452 + 3  = 0,8723 + 3 = 3,8723 Jadi, log 7.452 = 3,8723


d)

e)

f)

log 65.600 = log (6,56 x 104)  = log 6,56 + log 104  = log 6,56 + 4  = 0,8619 + 4 = 4,8619 Jadi, log 65.600 = 4,8619 Log 423.800 = log (4,238 + 105)  log 4,238 + log 105)  log 4,238 + 5  = 0,6272 + 5 = 5,6272 Jadi, log 423.800 = 5,6272 Log 5.452.000 = log (5,452 + 106)  = log 5,452 + log 106  = 0,7366 + 6  = 6,7366 Jadi, log 5.452.000 = 6,7366

Page | 29

Amarhadi

 Logaritma Bilangan Antara 0 dan 1 Nilai logaritma bilangan-bilangan antgara 0 dan dapat ditentukan dengan menggunakan langkah-langkah yang sama seperti dalam hal menentukan logaritma bilangan-bilangan yang lebig dari 10. Untuk lebih jelasnya simak contoh berikut. Contoh 21: Carilah nilai dari tiap logaritma berikut ini. a) log 0,67) c) log (0,00362) b) log (0,0451) d) log (0,000124) Penyelesaian a) log (0,67) = log (6,7 x 10-1)  = log 6,7 + log 10-1  = log 6,7 – 1  = 0,8261 – 1 = -0,1739 Jadi, log 0,67 = -0,1739 Nilai log 0,67 lebih sering ditulis dalam bentuk 0,8261 – 1, karena dapat dengan mudah diperlihatkan bagian bulat (karakteristik) dan mantisnya.

b) log (0,0451) = log (4,51 x 10-2)  = log 4,51 + log 10-2  = log 4,51 – 2  = 0,6542 – 2 Jadi, log (0,0451) = 0,6542 – 2 c) log (0,00362) = log (3,62 + 10-3)  = log 3, 62+ log 10-2  = log 3,62 – 3  = 0,5587 – 3 Jadi, log (0,00362) = 0,5587 – 3 d) log (0,000124) = log (1,24 + 10-4)  = log 1, 24+ log 10-4  = log 1,24 – 4  = 0,0934 – 4 Jadi, log (0,000124) = 0,0934 – 4


Page | 30

Amarhadi

 Menentukan Antilogaritma Suatu Bilangan Menggunakan Tabel Logaitma Pada pasal ini kita akan demonstrasikan bagaimana menentukan antilogaritma suatu bilangan menggunakan tabel logaritma. Misalkan log x 2,5. Berapakab nilai x

Perlu kita ingat bahwa: Jika 0 < log x < 1, maka 1 < x <10 Jika 1 < log x < 2, maka 10 < x < 102 Jika 2 < log x < 3, maka 102 < x < 103 ... dst Contoh 22: Tentukan nilai x menggunakan tabel logaritma a) log x = 0,9912 c) log x = 4,718 b) log x = 2,34 d) log x = 5,2146 Penyelesaian a) log x = 0,9912 mantisa 9912  diperoleh 9,80 pada lajur N diperleh 98 pada lajur 0 samapai 9 diperoleh 0 log x = 0,9912 karakteristiknya 0, berarti 1 < x < 10 N

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

9581 9628 9675 9722 9768 9814 9859 9903 9948 9991 0035 0077 8

9586 9633 ,968 9727 9773 9818 9863 9908 9952 9996 0039 0082 9


90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101

. . 9542 9590 9638 9685 9731 9777 9823 9868 9912 9956 0000 0043 0

9547 9595 9643 9689 9736 9782 9827 9872 9917 9961 0004 0048 1

9552 1,96 9647 9694 9741 9786 9832 9877 9921 9965 0009 0052 2

9557 9605 9652 9699 9745 9791 9836 9881 9926 9969 0013 0056 3

9562 9609 9657 9703 ,975 9795 9841 9886 ,993 9974 0017 ,006 4

9566 9614 9661 9708 9754 1,98 9845 ,989 9934 9978 0022 0065 5

9571 9619 9666 9713 9759 9805 ,985 9894 9939 9983 0026 0069 6

9576 9624 9671 9717 9763 9809 9854 9899 9943 9987 ,003 0073 7

Jadi, log x = 0,9912  x = 9,80 b) log x = 2,34 mantisa 3400  diperoleh 2,188 karakteristik dari log x = 2,34 adalah 2, berarati 102 < x < 103 maka x = 2,188  102 = 218,8 Jadi, log x = 2,34  x = 218,8


Page | 31

Amarhadi

c) log x = 4,718 mantisa 7180  diperoleh 5,224 karakteristik dari log x = 4,718 adalah 4, berarti 104 < x < 105 maka x = 5,224  104 = 52.240 Jadi, log x = 4,718  x = 52.240 d) log x = 5,2146 mantisa 2146  diperoleh 1,639 karakteristik dari log x = 5,2146adalah 5, berarti 105 < x < 106 maka x = 1,639  105 = 163.900 Jadi, log x = 5,2146 x = 163.900 Contoh 23: Tentukanlah bilangan yang logaritma-logaritmanya adalah a) 0,415 – 1 c) -1,52 b) 0,29 – 3 d) -4,6315 Penyelesaian: a) Misalkan log y = 0,415 – 1 mantisa 4150  diperoleh 2,600 karena karakteristiknya -1, didapat dari 10-1 (10-1 < y < 1) maka y = 2,600  10-1 = 0,26 Jadi, log y = 0,415 – 1  y = 0,26 b) Misalkan log y = 0,29 – 3 mantisa 2900  diperoleh 1,95 karena karakteristiknya -3 didapat dari 10-3 (10-3 < y < 10-2) maka y = 1,95  10-3 = 0,00195 Jadi, log y = 0,29 – 3  y = antilog (0,29 – 3 ) = 0,00195 c) Kita tulis dulu -1,52 = -1,52 + 2 – 2 = 0,48 - 2 misalkan log y = 0,48 – 2 mantisa 4800  diperoleh 3,02 karena karakteristiknya -2 didapat dari 10-2 (10-2 < y < 10-1) maka y = 3,02  10-2 = 0,0302 Jadi, log y = -1,52  y = 0,0302 d) Kita tulis dulu -4,6315 = -4,6315 + 5 -5 = 0,3685 -5 mantisa 3685  diperoleh 2,336 karena karakteristiknya -5 didapat dari 10-5 (10-5 < y < 10-4) maka y = 2,336  10-5 = 0,00002336 Jadi, log y = -4,6315  y = 0,00002336 Latihan Kompetensi 8 1. Dengan menggunakan berikut. a) log 3 b) log 6 c) log 9 d) log 2,3 e) log 4,5 f) log 9,3

tabel logaritma. Carilah nilai logaritma-logaritma g) log 3,61 h) log 1,68 i) log 6,21 j) log 2,926 k) log 8,532 l) log 6,071


Page | 32

Amarhadi

2. Dengan memekai tabel logaritma, carila nilai a pada setiap persamaan di bawah ini. a) log a = 0,316 d) log a = 0,94 b) log a = 0,415 e) log a = 0,8791 c) log a = 0,49 f) log a = 0,9298 3. Dengan menggunakan tabel logaritma, carilah loagritma-logaritma berikut a) log 12,3 g) log 83.260 b) log 16,6 h) log 137.500 c) log 32,5 i) log 854.400 d) log 147,5 j) log 6.819.000 e) log 252,6 k) log 47.800.000 f) log 3.051 h) log 841.000.000 4. Dengan menggunakan tabel logaritma, carilah logaritma-logaritma berikut ini. a) 0,15 g) 0,058 b) 0,18 h) 0,0642 c) 0,2 i) 0,006 d) 0,25 j) 0,00063 e) 0,268 k) 0,000632 f) 0,05 l) 0,0000841 5. Diketahui log 3,02 = 0,48, carilah logaritma-logaritma berikut. a) log 3 3,022 4

g) log 302.000 h) log 0,302 i) log 0,0320 j) log 0,00320 k) log 0,000320 l) log 0,0000320

b) log (3,02) c) log 30,2 d) log 302 e) log 3.020 f) log 30.200 6. Carilah bilangan yang nilai logaritma-logaritmanya sebagai berikut. a) 0,2 g) 4,235 b) 0,43 h) 0,416 - 1 c) 1,632 i) 0,531 - 2 d) 2,42 j) 0,624 - 4 e) 2,56 k) -4,325 f) 3,841 l) -2,931

4. Penggunaan Logaritma dalam Perhitungan Sekarang kita akan membicarakan penggunaan logaritma untuk memepermudah perhitungan yang melibatkan bilangan besar yang memerlukan operasi aljbar yang rumit seperti ketika menghitung  

mengalikan dan membagi bilangan menghitung pemangkatan dan pebarikan akar suatu bilangan

sehingga untuk keperluan di atas, kita kadang menggunakan kalkulator untuk memecahkannya. Kali ini, kita tidak menggunakan alat hitung kalkulator, tapi dengan memanfaatkan sifat-sifat logaritma dan tabel logaritma yang sudah kita bahas sebelumnya.


Page | 33

Amarhadi

 Mengalikan dan Membagi Bilangan. Ingat kembali sifat logaritma: log (a  b) = log a + log b a log    log a  log b b

Contoh 23: Dengan menggunakan logaritma, hitunglah: a)

4,321  6,571

c)

b)

3,214 2,645

d)

4,56  7,82 5,63 65.800 5,24  342

Penyelesaian a) Misalkan y = 4,321  6,517 log y = log (4,321  6,517) log y = log 4,321 + log 6,51 log y = 0,6356 + 0,8140 log y = 1,4496 log y = 1 + 0,4496 log y = log 101 + log 2,816; antilog 0,4496 = 2,816 log y = log (10  2,816) log y = log 28,16 y = 28,61 Jadi, 4,321  6,571 = 28,16 b) Misalkan y = log y

=

log log log log

= = = = =

Jadi,

y y y y y

3,214 2,645

log 3,214 – log 2,645 0,5070 – 0,4224 0,0846 log 1,215; antilog 0,0846 = 1,215 1,215

= 1,215

c) Misalkan y = log y

=

log log log log log

= = = = = =

Jadi,

y y y y y y

3,214 2,645 3,214 log 2,645

4,56  7,82 5,63 4,56  7,82 log 5,63

log 4,56 + log 7,82 – log 5,63 ( 0,659 + 0,8932 ) – 0,7505 1,5522 – 0,7505 0.8017 log 6,334 ; antilog 0,8017 = 6,334 6,334

4,56  7,82 = 6,334 5,63


Page | 34

Amarhadi

d) Misalkan y = log y

=

65.800 5,24  342



65.800    5,24  342 

log 

log log log log log log log log

y = log 65,800 – ( log 5,24 + log 342 ) y = 4,8182 – ( 0,7193 + 2,5340 ) y = 4,8182 – 3,2533 y = 1,5649 y = 1 + 0,5649 y = log 10 + log 3,672 ; antilog 0,5649 = 3,672 y = log (10  3,672) y = log 36,72 y = 36,72 65.800 Jadi, = 36,72 5,24  342

 Pemangkatan dan Penarikan Akar Bilangan Gunakan sifat log an = n log a, sehingga operasi dapat disederhanakan menjadi benuk perkalian antara pemangkatan dan logaritmanya. Unruk lebih jelasnya simak pembahasan berikut ini: Contoh 24: Dengan menggunakan logaritma, hitunglah: a) (0,043)4

c)

b) (2,86)3  (0,436)4

d)

3

642 84,3  0,345 3,64

Penyelesaian a) Misalkan x = (0,043)4 log x log log log log log log log log log

x x x x x x x x x x

= = = = = = = = = = =

log (0,043)4

4  log 0,043 4  ( log 4,3 + log 10-2 ) 4  (0,6335 – 2) 4  ( -1,3665 ) – 5,466 0,534 – 6 log 3,4198 + log 10-6 log (3,4198  10-6 ) log ( 0,0000034198 ) 0,0000034198 Jadi, (0,043)4 = 0,0000034198 = 3,4198  10-6

b) Misalkan x = (2,86)3  (0,436)4 log x log log log log log log log log

x x x x x x x x

= = = = = = = = =

log [(2,86)3  (0,436)4] log (2,86)3 + log (0,436)4 3 log (2,86) + 4 log (0,436) 3 ( 0,4564 ) + 4 ( -0,3605 ) 1,3692 – 1,442 –0,0728 0,9272 – 1 log 8,4657 + log 10 -1 log ( 8,4657  10-1 )


Page | 35

Amarhadi

log x x

= =

log ( 0,84657 ) 0,84657 Jadi, x = (2,86)3  (0,436)4 = 0,84657 3

c) Misalkan x = log x log x log x log x log x x

Jadi,

3

642

log

=

1 log 642 3 1 ( 2,8075 ) = 0,9358 3

1

= = =

642

log 642 3

log 8,626 8,626

642 = 8,626

d) Misalkan x = log x

=

log x

=

log x log x

= =

log x

=

log x log x x

= = =

Jadi,

3

= =

84,3  0,345 3,64

log

84,3  0,345 3,64 1

 84,3  0,345  2 log   3,64  

1 [ ( log 84,3 + log 0,345 ) – log 3,64 ] 2 1 [ 1,9258 + (0,5378 – 1) – 0,5611 2 0,4513 log 2,827 2,827

84,3  0,345 = 2,827 3,64

Latihan Kompetensi 9 1. Hitunglah ! 0,79 0,86  0,92

a) 3,45  2,64

e) 8,37  4,21

l)

b) 8,73  11,38

f) 137  56,2

m)

c) 5,98  1846

h) 2.400  54,72

d) 0,158  0,672

i) 0,58  3,92

e) 48,6  0,738

j) 4,57  0,342

p)

6,246 148  0,065 62,54  0,28

f)

k) 0,0041  0,0648

q)

26,84  0,0025 0,548  4,56  396

0,056  0,0625


4,52  6,73 36,5 0,145  0,078 n) 0,85 4,58  210  428 0) 385  629

Page | 36

Amarhadi

2. Hitunglah tiap perpangkatan dan bentuk akar di bawah ini! a) (4,72)3 g) 5,67 b) (51,6)3 c)

h)

(1,004)4

d) 4,86  (0,65)3 e)

61,8  (0,64)2 14,6

 5,82  7,64    2,81   3. Hitunglah! 3

a) (3,93)3  b) (0,214)3 

8.960

i)

0,6842

j)

0,0352 6,53

k) 2

f)

3

l)

0,521  0,042 0,32  0,73

57,3 12,64 246  4,56

c)

0,762 0671 

3

d)

5,34

4,253 

437

648

0,2643  3 526 30  3 0,782

4. Hitunglah luas dari: a) Lingkaran dengan jari-jari 6,54 ( = 3,14) b) Persegi dengan panjang sisi 5,82 cm 5. Volume sebuah tabung ditentukan dengan rumus v = r2t ( = 3,1; r = jari-jari bidang alas, dan t = tinggi tabung) a) Hitunglah V, jika r = 12,36 dan r = 6,85 b) Hitunglah t, jika V = 86 dan r = 3,42 c) Hitunglah r, jika V = 74 dan t = 2,86.

D. Persamaan pangkat dan bentuk akar sederhana Persamaan pangkat dan bentuk akar dengan bilangan pokok yang sama selalu memiliki penyelesaian. Untuk a  R dan a ≠ 0, berlaku a f ( x )  a g( x ) jika dan hanya jika f(x) = g(x) Jika pada persamaan eksponen bilangan pokoknya berbeda maka langkah pertama dalam menyelesaikannya adalah menyamakan bilangan pokok tersebut. Contoh 25 :

 

2

1. Diketahui : 8 x  16 , tentukan nilai x yang memenuhi Penyelesaian :

2 

3x 2

 16  26 x  24  6x  4  x 

2 3

2. Diketahui : 4 x  3   4 8 x  5 , tentukan nilai x yang memenuhi Penyelesaian : 2

2 x  3 



 x 5  3  2  4 

2

2x  6




3 x 15 2 4

 2x  6 

3x  15 9  8 x  24  3x  5  x   4 5

Page | 37

Amarhadi

3. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan Penyelesaian:

x  4  2x  1  3

x  4  3  2x  1 x  4  9  2x  1  6 2x  1 6 2x  1  x  6 362x  1  x 2  12x  36 72x  36  x 2  12x  36 x 2  60 x  0 x x  60   0 x1  0 atau x 2  60(tidak memenuhi )

Latihan Kompetensi 10 Tentukan nilai x dari persamaan berikut. 1. 322x  1 

16

6.

3

8 2x 1 2. 3 273 9  81

3. 22x 1 25 2  x  1 3

 1  8x 2     32 

8 x 3 9 5x 5 16

 1   8.  3 

3x

 3    x 2  3 

 243 

4x 1

9.

27

 3 23 x 1



3 2x 1

x 1

5.  

2 x

7. 5 x  2 y 1  25 x  2 y

4. 9 x 1    1 4

3

10.

 81

a 3

2 3

1 9

1 8

ax

3

a a

E. Persamaan Logaritma Sederhana Persamaan logaritma yang kita bahas dibatasi pada bentuk a

log f (x )  a log g(x ) maka f(x) = g(x)

dengan a > 0 dan a ≠ , f(x) dan g(x) > 0 Contoh 26 : 1. Diketahui : 2 log x  2 log x  2  3 , tentukan nilai x yang memenuhi Penyelesaian: 2





log x x  2 2 log 23  2 log x 2  2x  2 log 8 2

2

 x  2x  8  x  2x  8  0  x  2x  4  0  x1  2 atau x 2  4 tidak memenuhi 


Page | 38

Amarhadi

1

2. Tentukan nilai x jika diketahui x  10  100 2 Penyelesaian:

log 9  log 2

x  10 x 100 log 3  log 2 x  10 x 100

log

2 log

3 2 3

2 x  10 x 10 9 45 x  10 x  4 2

Latihan Kompetensi 11 1. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 2 log x  2 x  2 log 4  3





2. Tenatukan nilai x yang memenuhi persamaan 2 log 2 log x  2 log 10 2 log x 2  1 3. Tentukan nilai x yang memenuhi

log 2x  3  log x  2 1 log 6x  8 





4. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan x log 3x  2 x log x 2  3x  10  0 adalah 5. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan x log x  12   3. x log 4  1  0 6. Jika a dan b adalah akar-akar persamaan 3 log 4 x  3   4 log x 1  49 , hitunglah a + b 7. Diketahui akar-akar persamaan log x 2  log x  3  log 4 adalah x1 dan x2, hitunglah x1x2 3


2

2

Page | 39

Amarhadi


Page | 40

Amarhadi


Page | 41

BAB I BENTUK PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA

Recommend Documents