ANALISIS KESALAHAN DAN KESULITAN SISWA KELAS X SMA IMMANUEL KALASAN DALAM MENGUBAH BENTUK AKAR MENJADI BENTUK PANGKAT PADA POKOK BAHASAN LOGARITMA

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ANALISIS KESALAHAN DAN KESULITAN SISWA KELAS X SMA IMMANUEL KALASAN DALAM MENGUBAH BENTUK AKAR MENJADI BENTUK PANGKAT PADA POKOK BAHASAN LOGARITMA

SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh : YUNITA WIDYASTUTI NIM : 031414008

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2007

i


ii


iii


Motto dan Persembahan ☺ Dan apa yang tidak terpandang dan yang hina bagi dunia, dipilih Allah, bahkan apa yang tidak berarti, dipilih Allah untuk meniadakan apa yang berarti. ( I Korintus 1 : 28 ) ☺ Ia membuat segala sesuatu indah pada waktunya. ( Pengkotbah 3 : 11 ) ☺ Tidak ada yang mustahil bagi orang yang percaya! ( Markus 9 : 23 ) ☺ Nilai yang terpenting dari sebuah kebahagiaan dalam hidup ini adalah memiliki sesuatu untuk dilakukan, sesuatu untuk dicintai, dan sesuatu untuk diharapkan.

Skripsi ini kupersembahkan untuk : ☻ Tuhan Yesus Kristus ☻ Bapak dan Ibu tercinta ☻ Mbak Rini dan Mas Bambang ☻ Mas Sarwoto ☻ Adhi dan Berna ☻ Nunung

iv


v


vi


KATA PENGANTAR Puji Tuhan penulis mengucapkan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa yang senantiasa melimpahkan berkatNya sehingga skripsi yang berjudul “ Analisis Kesalahan dan Kesulitan Siswa Kelas X SMA Immanuel Kalasan dalam Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat pada Pokok Bahasan Logaritma “ ini dapat penulis selesaikan. Skripsi ini disusun dengan tujuan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Pendidikan, Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma. Penulis menyadari bahwa tersusunnya skripsi ini tidak lepas dari dukungan dan bantuan berbagai pihak yang dengan tulus membantu penulis dalam mengatasi segala rintangan maupun kesulitan yang penulis hadapi. Oleh karena itu, penulis bersyukur dan berterima kasih kepada : 1. Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Sanata Dharma 2. Ketua Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sanata Dharma 3. Ketua Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma 4. Bapak Dr. Susento, M. S., selaku pembimbing yang berkenan memberikan pengarahan dan bimbingan kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. 5. Ibu Dra. Sri Trismiyati selaku Kepala SMA Immanuel Kalasan yang telah memberikan ijin bagi penulis untuk melaksanakan penelitian. 6. Bapak dan Ibu Guru serta seluruh karyawan SMA Immanuel Kalasan yang dengan ramah memberikan waktu kepada penulis selama melaksanakan penelitian. 7. Bapak, Ibu, Mbak Rini, Mas Bambang, Mas Sarwoto, Adhi dan Berna yang selalu memberikan dukungan baik moril maupun materiil. 8. Mas Nunung yang senantiasa membantu dan selalu memberikan dorongan semangat.

vii


9. Kezia, Renaldo, Rid, Thomas, dan Titik yang telah membantu penulis selama penelitian. 10. Teman – teman Pendidikan Matematika 2003 yang telah memberikan dukungan. 11. Semua pihak yang membantu penyusunan skripsi ini yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu. Dalam penyusunan skripsi ini, penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan dan banyak kekurangan. Oleh karena itu, penulis dengan senang hati menerima kritik dan saran yang bersifat membangun demi kemajuan penulis. Semoga skripsi ini bermanfaat bagi semua pihak yang berkepentingan dan Tuhan memberkati.

Yogyakarta, 21 Februari 2008

Penulis

viii


PERNYATAAN KEASLIAN KARYA Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 21 Februari 2008 Penulis

Yunita Widyastuti

ix


DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL………………………………………………………………i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING………………………………. ....ii HALAMAN PENGESAHAN……………………………………………………iii MOTTO DAN PERSEMBAHAN……………………………………………......iv KATA PENGANTAR…………………………………………………………….v PERNYATAAN KEASLIAN KARYA…………………………………………vii DAFTAR ISI…………………………………………………………………….viii DAFTAR TABEL…………………………………………………………………x DAFTAR GAMBAR……………………………………………………………..xi DAFTAR LAMPIRAN…………………………………………………………..xii ABSTRAK………………………………………………………………………xiii ABSTRACT……………………………………………………………………..xiv BAB I PENDAHULUAN……………………………………………………….1 A. Latar Belakang Masalah……………………………………………..1 B. Rumusan Masalah…………………………………………………...2 C. Batasan Istilah…………………………………………….................2 D. Tujuan Penelitian …………………………………………………...3 E. Manfaat Penelitian…………………………………………………..3 F. Sistematika Penulisan…………………………………………..........4 BAB II LANDASAN TEORI…………………………………………………...6 A. Pengertian Kesalahan………………………………………………..6 B. Kategori Jenis Kesalahan……………………………………………6 C. Faktor Penyebab Kesalahan………………………………………..10 D. Pengertian Kesulitan Belajar……………………………………….12 E. Faktor Penyebab Kesulitan Belajar………………………………...13 F. Gejala – Gejala Kesulitan Belajar………………………………….14 G. Bentuk Pangkat…………………………………………………….15 H. Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan………………………………...16 I. Logaritma…………………………………………………………..24

x


BAB III METODE PENELITIAN……...……………………………………….27 A. Metode Penelitian…….………...…………………………………..27 B. Subyek dan Obyek Penelitian………………………………...........27 C. Teknik Pengumpulan Data………………………………………....29 D. Instrumen Penelitian………………………………………………..29 E. Teknik Analisis Data…………………………………………….....30 BAB IV ANALISIS DATA……………………………………………………..32 A. Hasil Observasi…………………………………………………….32 B. Transkripsi Data…………………………………………………....32 C. Topik Data………..…………………………………………...........32 D. Kategori Data……………………………………………………....39 BAB V HASIL PENELITIAN………………………………………………....51 A. Kesalahan Subyek..………………………………………………...51 B. Kesulitan Subyek…….…………………………………………….54 BAB VI PEMBAHASAN HASIL PENELITIAN……………………………....58 A. Kesalahan Subyek……...…………………………………………..58 B. Faktor Penyebab Kesalahan………………………………………..62 C. Kesulitan Subyek………………...………………………………...63 D. Faktor Penyebab Kesulitan Subyek…………...…………………...67 E. Gejala – Gejala Kesulitan Subyek………………………………….68 F. Bentuk Pangkat…………………………………………………….68 G. Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan………………………………...69 H. Logaritma…………………………………………………………..70 BAB VII PENUTUP..…………………………………………………………...71 A. Kesimpulan………………………………………………………...71 B. Saran…………………………………………………………….....72 DAFTAR PUSTAKA……………………………………………………………73 LAMPIRAN……………………………………………………………………...74

xi


DAFTAR TABEL Tabel 1.

Topik Data Kesalahan Subyek Livi......................................................33

Tabel 2.

Topik Data Kesalahan Subyek Martha.................................................35

Tabel 3.

Topik Data Kesalahan Subyek Nuno....................................................36

Tabel 4.

Topik Data Kesalahan Subyek Renata..................................................36

Tabel 5.

Topik Data Kesulitan Subyek Livi……………………………………37

Tabel 6.

Topik Data Kesulitan Subyek Martha.................................................. 38

Tabel 7.

Topik Data Kesulitan Subyek Nuno.....................................................39

Tabel 8.

Topik Data Kesulitan Subyek Renata...................................................39

Tabel 9. Kategori dan Sub Kategori Data Kesalahan Subyek Livi dalam Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat…………………...40 Tabel 10. Kategori dan Sub Kategori Data Kesalahan Subyek Martha dalam

Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat…………………...40 Tabel 11. Kategori dan Sub Kategori Data Kesalahan Subyek Nuno dalam

Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat…………………...41 Tabel 12. Kategori dan Sub Kategori Data Kesalahan Subyek Renata dalam

Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat…………………...41 Tabel 13. Kategori dan Sub Kategori Data Kesulitan Subyek Livi dalam

Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat…………………...41 Tabel 14. Kategori dan Sub Kategori Data Kesulitan Subyek Martha dalam

Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat…………………...42 Tabel 15. Kategori dan Sub Kategori Data Kesulitan Subyek Nuno dalam

Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat…………………...42 Tabel 16. Kategori dan Sub Kategori Data Kesulitan Subyek Renata dalam

Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat…………………...43

xii


DAFTAR GAMBAR Gambar 1. Diagram Pohon Kategori dan Sub Kategori Data Kesalahan Subyek Livi……………………………………………………………………………….44 Gambar 2. Diagram Pohon Kategori dan Sub Kategori Data Kesalahan Subyek Martha……………………………………………………………………………45 Gambar 3. Diagram Pohon Kategori dan Sub Kategori Data Kesalahan Subyek Nuno……………………………………………………………………………...46 Gambar 4. Diagram Pohon Kategori dan Sub Kategori Data Kesalahan Subyek Renata…………………………………………………………………………….47 Gambar 5. Diagram Pohon Kategori dan Sub Kategori Data Kesulitan Subyek Livi……………………………………………………………………………….48 Gambar 6. Diagram Pohon Kategori dan Sub Kategori Data Kesulitan Subyek Martha……………………………………………………………………………49 Gambar 7. Diagram Pohon Kategori dan Sub Kategori Data Kesulitan Subyek Nuno……………………………………………………………………………...50 Gambar 8. Diagram Pohon Kategori dan Sub Kategori Data Kesulitan Subyek Renata…………………………………………………………………………….50

xiii


DAFTAR LAMPIRAN 1. Transkripsi Data……………………………………………………………...74 2. Lembar Kerja Siswa………………………………………………….............82 3. Hasil Pekerjaan Siswa………………………………………………………..83 4. Surat Ijin Penelitian…………………………………………………………..91

xiv


ABSTRAK

Yunita Widyastuti. 2007. Analisis Kesalahan dan Kesulitan Siswa Kelas X SMA Immanuel Kalasan dalam Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat pada Pokok Bahasan Logaritma. Skripsi. Program Studi Pendidikan Matematika. Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan. Universitas Sanata Dharma. Tujuan penelitian ini adalah untuk mengetahui kesalahan – kesalahan dan kesulitan – kesulitan yang dialami oleh siswa kelas X SMA Immanuel Kalasan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat pada pokok bahasan logaritma. Penelitian ini adalah penelitian deskriptif kualitatif yang dilakukan di SMA Immanuel Kalasan pada bulan Maret 2007. Subyek dalam penelitian ini adalah 4 siswa kelas X. Metode pengumpulan data yang digunakan adalah video rekaman dan wawancara. Metode analisis data yang digunakan adalah deskriptif kualitatif, yang mendeskripsikan atau menggambarkan keadaan atau status fenomena sebenarnya yang ada di lapangan. Hasil yang diperoleh dalam penelitian ini yaitu siswa melakukan : (1) kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat, (2) kesalahan dalam memahami konsep bentuk pangkat, (3) kesalahan dalam memahami konsep bentuk pangkat, (4) kesalahan dalam melakukan operasi pemangkatan, (5) kesalahan dalam melakukan operasi aljabar pada pemangkatan bilangan real, (6) kesalahan dalam melakukan operasi aljabar terhadap pembagian, (7) kesalahan dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma, (8) kesalahan dalam melakukan operasi aljabar terhadap penarikan akar suatu bilangan, (9) kesulitan mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat, (10) kesulitan memahami konsep bentuk akar dan konsep bentuk pangkat, (11) kesulitan dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma, (12) kesulitan dalam melakukan operasi aljabar terhadap penarikan akar suatu bilangan, (13) kesulitan dalam melakukan operasi aljabar pada pemangkatan bilangan real, (14) kesulitan dalam menjelaskan cara mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat, (15) kesulitan dalam menjelaskan hasil penarikan akar suatu bilangan, dan (16) kesulitan dalam menjelaskan hasil pemangkatan bilangan real.

xv


ABSTRACT

Yunita Widyastuti. 2007. The Analysis of Difficulty and Error of Immanuel Kalasan Senior High School Students in Transforming Root Form into Rank Form of Logarithm Subject. Thesis. Study Program of Mathematics Education. Majors of Natural Sciences and Mathematics Education. Faculty of Education and Teachership. Sanata Dharma University. This research aimed to identify errors and difficulties faced by Immanuel Kalasan Senior High School students class X in transforming root form into rank form in logarithm subject. This is a descriptive qualitative research conducted at Immanuel Kalasan Senior High School students during March 2007. The subjects of this research were 4 students class X. The data gathering methods used in this research were video recording and interview. The data analyzing method used in this research was descriptive qualitative which describes situation or actual fenomena status. The results of this research were that the students were doing : (1) mistake in transforming root form into rank form, (2) mistake in comprehending rank form concept, (3) mistake in comprehending root form concept, (4) mistake in accomplishing ranking operation, (5) mistake in transforming numbers into rank form, (6) mistake in accomplishing algebra operation of division, (7) mistake in accomplishing algebra operation of logarithm form, (8) mistake in accomplishing algebra operation towards root pullouting of a number; and that they also found (9) difficulties in transforming root form into rank form, (10) difficulties in comprehending root from concept and rank form concept, (11) difficulties in accomplishing algebra operation of logarithm form, (12) difficulties in accomplishing algebra operation towards root pullouting of a number, (13) difficulties in accomplishing algebra operation in ranking real numbers, (14) difficulties in explaining how to transform root form into rank form, (15) difficulties in explaining the result of root pullouting of a number, and (16) difficulties in explaining the result of real numbers ranking.

xvi


BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah Bukan merupakan suatu hal yang mengherankan lagi jika sebagian besar siswa SD sampai siswa SMU beranggapan bahwa Matematika adalah mata pelajaran yang paling sulit dan menakutkan. Matematika dilihat sebagai situasi yang membuat seseorang tampak dungu, tolol, dan canggung. Oleh karena itu, maka Matematika dianggap merupakan ancaman bagi seseorang yang merasa dirinya seorang yang pandai dan berkemampuan. Berdasarkan anggapan di atas, hal tersebut dapat mempengaruhi hasil belajar siswa. Padahal, hasil belajar seseorang tidak hanya mengenai aspek kemampuan mengerti Matematika sebagai pengetahuan, tetapi juga meliputi aspek sikap terhadap Matematika dan aspek ketrampilan dalam Matematika. Melihat kenyataan bahwa sampai sekarang masih banyak siswa yang mengalami kesulitan dalam belajar Matematika, kiranya perlu diketahui selengkap mungkin aspek – aspek yang diduga mempunyai hubungan ( relevansi ) dengan pembelajaran Matematika agar aspek – aspek tersebut dapat diperhatikan dalam proses pembelajaran siswa secara optimal, sehingga proses belajar siswa dapat berlangsung dengan lebih lancar dan siswa memperoleh manfaat yang sebesar mungkin dari kegiatan belajar tersebut ( Suwarsono, 1998 : 25 ). Dari beberapa hal yang menjadi penyebab tidak berminatnya siswa terhadap mata pelajaran Matematika di atas, banyak siswa mengalami kesulitan

dalam

memahami

materi

yang

disampaikan

oleh

guru.

Kesalahan - kesalahan yang dibuat siswa dalam menyelesaikan soal - soal Matematika antara lain disebabkan oleh kecerobohan siswa dan kurangnya pemahaman siswa terhadap suatu konsep atau definisi atau teorema atau rumus yang harus digunakan.

1

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 2

Dari sedikit pengalaman penulis selama mengajar, penulis sering menjumpai siswa melakukan kesalahan dan kesulitan dalam menyelesaikan soal Matematika, ini disebabkan karena kurangnya pemahaman siswa terhadap soal yang diberikan sehingga menyebabkan siswa mengerjakan soal tidak sesuai dengan maksud soal tersebut. Selain itu disebabkan juga karena siswa kurang menguasai konsep-konsep dalam Matematika. Oleh karena itu, dalam penelitian ini penulis tertarik untuk mengetahui kesalahan-kesalahan dan kesulitan-kesulitan siswa dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat pada pokok bahasan logaritma. Penulis memilih mengetahui kesalahan - kesalahan dan kesulitan - kesulitan siswa dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat karena mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat merupakan langkah awal dalam menyelesaikan soal logaritma yang memuat bentuk akar. Mengingat betapa pentingnya pemahaman terhadap materi pelajaran Matematika khususnya dalam hal menyelesaikan soal, maka penulis ingin menyusun skripsi dengan judul “ Analisis Kesalahan dan Kesulitan Siswa Kelas X SMA Immanuel Kalasan dalam Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat pada Pokok Bahasan Logaritma “.

B. Rumusan Masalah 1. Kesalahan – kesalahan apa saja yang dilakukan siswa dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dalam pembelajaran materi logaritma ? 2. Kesulitan – kesulitan apa saja yang dialami siswa dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dalam pembelajaran materi logaritma ? C. Batasan Istilah 1. Kesalahan adalah hasil tindakan yang tidak tepat atau menyimpang dari aturan atau norma – norma tertentu. 2. Kesulitan adalah hambatan yang menyebabkan siswa tidak mampu menyelesaikan soal.


3. Logaritma adalah invers dari perpangkatan, yaitu mencari pangkat dari suatu bilangan pokok sehingga hasilnya sesuai dengan yang telah diketahui. 4. Bentuk akar adalah akar dari bilangan rasional yang hasilnya merupakan bilangan irrasional. 5. Bentuk pangkat bulat positif adalah jika a merupakan bilangan real ( a ∈ R ) dan n adalah bilangan bulat positif lebih dari 1, maka a dipangkatkan dengan n ( = an ) ditetapkan sebagai perkalian n faktor dengan tiap faktornya adalah a. 6. Bentuk pangkat bulat negatif adalah misalkan a ∈ R dan a ≠ 0, maka a-n adalah kebalikan dari an atau sebaliknya. a-n = atau an =

1 a−n

D. Tujuan Penelitian 1. Mendeskripsikan kesalahan – kesalahan yang dilakukan siswa dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dalam pembelajaran materi logaritma. 2. Mendeskripsikan kesulitan – kesulitan yang dialami siswa dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dalam pembelajaran materi logaritma.

E. Manfaat Penelitian 1. Bagi Siswa Penelitian ini dapat membantu siswa mengetahui letak kesalahan dan kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat pada pembelajaran materi logaritma sehingga siswa dapat memperbaiki kesalahannya dan diharapkan tidak mengulangi kesalahan yang sama.


2. Bagi Penulis Penelitian ini memberikan pengalaman dalam meningkatkan wawasan sebagai calon guru sehingga ketika terjun ke lapangan, peneliti dapat mempersiapkan metode – metode pembelajaran yang sesuai agar materi yang disampaikan dapat dipahami siswa sehingga dapat mengurangi kesalahan dan kesulitan dalam menentukan penyelesaian dari soal – soal Matematika. 3. Bagi Guru Hasil penelitian ini diharapkan dapat membantu guru menyusun program remidi bagi siswa yang mengalami kesalahan dan kesulitan belajar Matematika, khususnya dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat pada pokok bahasan logaritma. Dengan mengetahui kesalahan dan kesulitan siswa dalam mengerjakan soal-soal bentuk akar pada pokok bahasan logaritma ini, guru akan lebih mudah membuat program bantuan untuk siswa.

F. Sistematika Penulisan BAB I

PENDAHULUAN Dalam bab I akan diuraikan mengenai latar belakang masalah, batasan masalah, rumusan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, dan sistematika penulisan.

BAB II

LANDASAN TEORI Dalam bab II akan diuraikan mengenai hasil kajian pustaka yang relevan dengan permasalahan yang diangkat.

BAB III

METODE PENELITIAN Dalam bab III akan diuraikan mengenai jenis, waktu, tempat, subyek dan obyek penelitian, serta metode pengumpulan dan analisis data.

BAB IV

ANALISIS DATA Dalam bab IV akan diuraikan mengenai analisis data yang meliputi transkrip data, menentukan topik data kesalahan dan kesulitan


siswa, menentukan kategori data kesalahan dan kesulitan siswa. Kategori data disajikan dalam bentuk tabel dan diagram pohon. BAB V

HASIL PENELITIAN Dalam bab V penulis menyajikan hasil penelitian yang telah dilaksanakan. Akan diuraikan mengenai kesalahan dan kesulitan siswa dalam menyelesaikan soal.

BAB VI

PEMBAHASAN HASIL PENELITIAN Dalam bab VI akan diuraikan mengenai analisis terhadap cara penyelesaian soal siswa untuk mengetahui kesalahan dan kesulitan yang dialami siswa.

BAB VII PENUTUP Dalam bab VII akan diuraikan kesimpulan mengenai hasil yang diperoleh dari penelitian serta saran – saran yang dapat diberikan.


BAB II LANDASAN TEORI

A. Pengertian Kesalahan Pengertian kesalahan secara umum adalah sesuatu yang menyimpang dari aturan atau norma – norma tertentu. Tindakan yang tidak tepat itu dapat mengakibatkan tujuan tidak tercapai secara maksimal atau bahkan gagal. Kesalahan dalam Matematika bisa berarti, sebagai pemahaman yang tidak tepat atau tidak rasional dalam mempelajari suatu masalah, sehingga banyak kesulitan yang dihadapi, bahkan masalah tidak dapat diselesaikan. Sebagai contoh, siswa salah dalam melakukan perhitungan atau salah di dalam menerapkan rumus untuk menentukan penyelesaian.

B. Kategori Jenis Kesalahan Beberapa tokoh yang telah melakukan penelitian mengenai kesalahan dalam Matematika, diantaranya adalah : 1. Cox (1975) dari Pasifik Lutheran University, mengadakan penelitian tentang kesalahan - kesalahan dalam keterampilan berhitung terhadap kurang lebih 700 anak. Keterampilan berhitung ini oleh Cox, dibagi menjadi keterampilan dalam penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Siswa yang diikutsertakan dalam penelitian ini sudah mendapat

pelajaran

tentang

algoritma

dan

trampil

mengerjakan

penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian dengan algoritma. Dalam penelitiannya Cox mengajukan tiga kategori kesalahan, yaitu : a. Kesalahan Sistematis Kesalahan sistematis lebih mengarah pada cara kerja siswa yang salah atau kurang tepat, di mana kesalahan yang dilakukan sama dan berulang pada beberapa soal lain.

6


b. Kesalahan Random Kesalahan random adalah kesalahan yang dilakukan siswa dalam mengerjakan soal - soal Matematika dengan pola kesalahan yang berbeda. c. Kesalahan Kecerobohan Ketidaktelitian siswa dalam mengerjakan soal adalah hal yang sering kita jumpai dalam keseharian siswa. Ketidaktelitian ini merupakan kecerobohan siswa. Siswa yang termasuk dalam kategori ini dapat dilihat dari seberapa besar bobot kesalahan yang dilakukan siswa

dalam

menyelesaikan

soal-soal

tersebut.

Kalau

bobot

kesalahannya tidak terlalu besar atau bahkan sangat sedikit, maka kita dapat mengatakan bahwa kesalahan tersebut merupakan suatu kecerobohan. 2. Robert (1988) mengidentifikasi kategori kesalahan dalam studi kasus tentang penulisan hasil perhitungan siswa sebagai berikut: a. Kesalahan Operasi Kesalahan operasi sering terjadi pada siswa karena siswa berusaha untuk menjawab dengan melakukan operasi yang biasanya tidak dilakukan untuk menyelesaikan masalah. b. Kesalahan Perhitungan Kebiasaan salah menghitung sering terjadi pada siswa, bisa terjadi karena tergesa - gesa atau karena faktor kecerobohan yang lain. Pada kategori ini siswa sudah menerapkan operasi yang benar tetapi salah dalam menghitung bilangan sehingga jawabannya salah. Penggunaan algoritma yang tidak sempurna. Pada kategori ini siswa sudah menggunakan cara pengoperasian yang tepat, melakukan cara perhitungan

yang

benar,

tetapi

langkah - langkah yang diambil.

kesalahannya

terletak

pada


c. Jawaban Acak Tingkat

kategori

ini

hampir

sama

dengan

kesalahan

kecerobohan yang dikategorikan oleh Cox. Tetapi kategori jawaban acak yang diklasifikasikan oleh Robert ini menekankan pada pekerjaan siswa yang sembarangan tanpa berfikir rasional. Siswa sama sekali tidak memperhatikan cara operasi mana yang dipakai, tidak melakukan penghitungan dengan benar, juga tidak menggunakan algoritma tertentu dalam menyelesaikan masalah, tetapi secara langsung menjawab, sehingga jawaban yang diberikan tidak ada hubungannya dengan masalah yang ditanyakan. 3. Hadar dkk (1987) mengemukakan kategori jenis kesalahan dalam menyelesaikan soal - soal Matematika sebagai berikut : a. Kesalahan data Kategori ini merupakan kesalahan - kesalahan yang dapat dihubungkan dengan ketidaksesuaian antara data yang diketahui dengan data yang dikutip oleh siswa. Kategori ini meliputi

kesalahan - kesalahan :

1) Menambahkan data yang tidak ada hubungannya dengan soal 2) Mengabaikan data penting yang diberikan 3) Menguraikan syarat - syarat (dalam pembuktian, penghitungan) yang sebenarnya tidak dibutuhkan dalam masalah 4) Mengartikan informasi tidak sesuai dengan teks yang sebenarnya 5) Mengganti syarat yang ditentukan dengan informasi lain yang tidak sesuai 6) Menggunakan nilai suatu variabel untuk variabel yang lain 7) Salah menyalin data


b. Kesalahan menginterpretasikan bahasa Yang termasuk dalam kategori ini adalah : 1) Mengubah bahasa sehari-hari ke dalam bentuk persamaan Matematika dengan arti yang berbeda 2) Menuliskan simbol dari suatu konsep yang artinya berbeda 3) Salah mengartikan grafik c. Kesalahan menggunakan logika untuk menarik kesimpulan Yang termasuk dalam kategori ini adalah kesalahan - kesalahan di dalam menarik kesimpulan dari suatu bentuk informasi yang diberikan atau dari kesimpulan sebelumnya yaitu : 1) Dari pernyataan bentuk implikasi p Ö q, siswa menarik kesimpulan sebagai berikut : a) bila q diketahui terjadi, maka p pasti terjadi b) bila p diketahui salah, maka q juga pasti salah 2) Mengambil kesimpulan yang tidak benar, misalnya memberikan q sebagai akibat dari p tanpa dapat menjelaskan urutan pembuktian yang betul. d. Kesalahan menggunakan definisi atau teorema Kesalahan ini merupakan penyimpangan dari prinsip, aturan, teorema atau definisi yang pokok dan khas. e. Penyelesaiannya tidak diperiksa kembali Kesalahan ini terjadi pada setiap langkah yang ditempuh oleh siswa benar, akan tetapi hasil terakhir yang diberikan bukan penyelesaian dari soal tersebut. f. Kesalahan teknis Yang termasuk dalam kategori ini adalah kesalahan perhitungan dan kesalahan dalam memanipulasi simbol - simbol aljabar dasar.


C. Faktor Penyebab Kesalahan Secara umum kesalahan dapat dikelompokkan menjadi dua kelompok besar, yaitu faktor kognitif dan faktor non kognitif. Akan tetapi, penulis hanya akan membahas faktor-faktor kognitif saja. Faktor kognitif adalah segala sesuatu yang berhubungan dengan kemampuan intelektual siswa dalam memproses atau mencerna materi Matematika ke dalam pikiran (Suwarsono,1982). Marpaung (1986), mengatakan kognitif adalah sesuatu yang bersifat internal, sesuatu yang tidak dapat diamati secara langsung. Marpaung mengatakan kognitif berarti proses dalam pikiran seseorang

(tidak dapat

diamati secara langsung tetapi dapat diteliti dengan menyusun model-model dengan

menggunakan

kemampuan

interpretasi

terhadap

data

yang

dikumpulkan melalui cara - cara atau metode tertentu) dari saat menerima data, mengolahnya lalu menyimpan dalam bentuk informasi di dalam ingatan dan memanggilnya kembali saat dibutuhkan dalam rangka pengolahan selanjutnya. Banyak siswa tidak dapat memahami dengan baik Matematika karena mempunyai kemampuan mental yang kurang. Menurut Marpaung, ada 9 kemampuan mental yang hendaknya dikuasai siswa yaitu : 1. Kemampuan Membandingkan Kemampuan membandingkan adalah kemampuan untuk melihat kesamaan atau perbedaan masalah - masalah Matematika yang dihadapi. 2. Kemampuan Mengatur Kemampuan

mengatur adalah kemampuan untuk

mentaati

aturan - aturan yang ada dalam Matematika. 3.

Kemampuan melakukan Abstraksi Kemampuan melakukan abstraksi adalah kemampuan melihat kesamaan pokok dan mengabaikan perbedaan - perbedaan atau sifat - sifat yang tidak mendasar. Untuk mencapai kemampuan ini siswa harus mempunyai tingkat operasional formal tentang pendewasaan mental. Jika


seorang anak gagal melakukan pendewasaan mental, kemungkinan anak akan banyak mengalami masalah dalam pemahaman konsep - konsep Matematika secara umum. 4.

Generalisasi Generalisasi adalah suatu proses memperoleh sifat yang sama yang dimiliki oleh sejumlah obyek berdasarkan pengamatan terhadap himpunan bagian dari obyek tersebut. Dalam konteks sehari-hari, generalisasi sering diartikan sebagai kemampuan seseorang untuk menarik kesimpulan dari khusus ke umum.

5.

Kemampuan Klasifikasi Kemampuan klasifikasi adalah kemampuan menggolongkan obyek atau menetapkan hubungan antarkelas.

6.

Kemampuan Konkritisasi atau Partikulasi Kemampuan konkritisasi atau partikulasi adalah kemampuan mentransfer atau mengaplikasikan prinsip umum atas hal - hal khusus.

7. Kemampuan Formalisasi Kemampuan formalisasi adalah kemampuan untuk melihat bentuk dan berfikir secara formal dan menghilangkan makna atau konteks untuk memperoleh sesuatu yang lebih abstrak. 8. Kemampuan Analogisasi Kemampuan analogisasi adalah kemampuan untuk melihat hubungan yang sama atau sifat yang sama dalam dua situasi yang berbeda. 9. Kemampuan Representasi Kemampuan

representasi

meliputi

kemampuan

untuk

merepresentasikan ide - ide dalam berbagai modus dan bentuk representasi enaktif, ikonik dan simbolik. Modus enaktif adalah salah satu cara merepresentasikan ide atau pengetahuannya melalui aktivitas, perbuatan dan benda - benda konkret. Merepresentasikan ide dalam modus ikonik dapat diwujudkan melalui gambar, skema, bagan, grafik, dan sejenisnya. Sedangkan


representasi dalam modus simbolik dilakukan melalui lambang - lambang atau simbol - simbol. Dari sembilan kemampuan yang harus dimiliki siswa dalam memahami Matematika, nampak bahwa diperlukan kemampuan intelektual yang cukup untuk dapat memenuhi kemampuan - kemampuan tersebut. Apabila seseorang mempunyai kemampuan intelektual terbatas, sehingga lamban

dalam

memahami

Matematika,

dapat

terjadi

kemungkinan

kemampuan - kemampuan mental yang seharusnya dikuasai menjadi tidak dikuasai sehingga menjadi penyebab kesalahan sering terjadi pada siswa.

D. Pengertian Kesulitan Belajar Kesulitan belajar tidak selalu disebabkan oleh faktor intelegensi yang rendah (kelainan mental), akan tetapi dapat juga disebabkan oleh faktor - faktor non intelegensi. Oleh karena itu, IQ yang tinggi belum tentu menjamin keberhasilan belajar. Abu Ahmadi dan Widodo Supriyono (1991) mendefinisikan kesulitan belajar adalah keadaan yang dialami anak didik atau siswa yang tidak dapat belajar sebagaimana mestinya. Kesulitan belajar yang dialami mengakibatkan terganggunya atau terhambatnya proses belajar dan pencapaian tujuan pendidikan sekolah itu. Habbiburrahman (1981) menghubungkan pengertian kesulitan belajar dengan kegagalan belajar, dimana kegagalan belajar tersebut dapat dilihat dari prestasi belajar yang rendah. Menurut pendidikan modern, tidak selamanya siswa yang mengalami kegagalan belajar disebabkan oleh kesulitan belajar. Habbiburrahman mendefinisikan kesulitan belajar siswa adalah suatu keadaan apabila hasil belajar tidak sesuai atau lebih rendah dari kemampuan belajar yang dimilikinya.


E. Faktor Penyebab Kesulitan Belajar Menurut Burton, faktor - faktor penyebab timbulnya kesulitan belajar dikelompokkan menjadi 2 macam yaitu : 1. Faktor - faktor yang terdapat dalam diri siswa, antara lain : a. Kelemahan secara fisik, seperti : 1) Suatu pusat susunan syaraf tidak berkembang secara sempurna, luka atau cacat, atau sakit, sehingga membawa gangguan emosional. 2) Penyakit menahun (seperti asma) menghambat usaha - usaha belajar secara optimal. b. Kelemahan - kelemahan secara mental (sejak lahir atau karena pengalaman) yang sukar diatasi oleh individu yang bersangkutan dan juga oleh pendidikan, antara lain : 1) Kelemahan mental ( taraf kecerdasan kurang ) 2) Faktor - faktor afektif yang kurang optimal, seperti kekurangan minat, kebimbangan, kurang usaha, kurang semangat, cara belajar yang keliru dan lain - lain c. Gangguan - gangguan emosional, antara lain : 1) Adanya rasa tidak aman 2) Penyesuaian yang salah terhadap orang - orang, situasi dan tuntutan tugas dan lingkungan 3) Tercekam rasa phobia ( takut, benci dan anti pati ) d. Tidak memiliki ketrampilan - ketrampilan dan pengetahuan dasar yang diperlukan seperti : ketidakmampuan membaca, berhitung, kurang menguasai pengetahuan dasar untuk sesuatu bidang studi yang sedang diikutinya, kurang menguasai bahasa asing yang diperlukan. 2. Faktor-faktor yang terletak di luar diri siswa (situasi sekolah, keluarga dan masyarakat) antara lain : a. Kurikulum yang kurang sesuai dengan kondisi siswa, bahan dan buku - buku (sumber) yang tidak sesuai dengan tingkat - tingkat kematangan dan perbedaan - perbedaan individu.


b. Ketidaksesuaian standar administratif (sistem pengajaran, penilaian, pengelolaan kegiatan dan pengalaman belajar mengajar), dan sebagainya. c. Terlalu berat beban belajar (siswa) dan atau mengajar (guru), terlampau besar populasi siswa dalam kelas, terlalu berat menuntut kegiatan di luar, dan sebagainya. d. Terlalu sering pindah sekolah, tinggal kelas, dan sebagainya. e. Kelemahan dari sistem belajar mengajar pada tingkat - tingkat pendidikan sebelumnya. f. Kelemahan yang terdapat pada kondisi rumah tangga (pendidikan, status sosial ekonomi, keutuhan keluarga, ketentraman dan keamanan sosial psikologis). g. Terlalu banyak kegiatan di luar jam pelajaran sekolah atau terlalu banyak terlibat dalam kegiatan ekstra kurikuler. h. Kekurangan makan (gizi) dan sebagainya.

F. Gejala - Gejala Kesulitan Belajar Murid

yang

mengalami

kesulitan

belajar

memiliki

hambatan - hambatan sehingga menampakkan gejala - gejala yang dapat diamati oleh orang lain (guru atau pembimbing). Beberapa gejala yang dapat menimbulkan kesulitan belajar menurut Abu Ahmadi (1991) adalah : 1. Menunjukkan prestasi yang rendah atau di bawah rata - rata yang dicapai oleh kelompok kelas. 2. Hasil yang dicapai tidak seimbang dengan usaha yang dilakukan. 3. Lamban dalam melakukan tugas - tugas belajar, seperti dalam mengerjakan soal - soal, dalam menyelesaikan tugas - tugas, dan sebagainya. 4. Menunjukkan sikap yang kurang wajar seperti acuh tak acuh, berpura - pura, dusta dan lain - lain. 5. Menunjukkan tingkah laku yang berlainan, misalnya mudah tersinggung, murung, pemarah, bingung, cemberut, kurang gembira, atau selalu sedih.


G. Bentuk Pangkat 1. Definisi Pangkat Bulat Positif Jika a adalah bilangan real ( a ∈ R ) dan n adalah bilangan bulat positif lebih dari 1, maka a dipangkatkan dengan n ( = an ) ditetapkan sebagai perkalian n faktor dengan tiap faktornya adalah a. Definisi ini dituliskan secara sederhana sebagai : an = a × a × a × … × a × a × a n buah faktor dimana a disebut bilangan pokok atau basis dan n ( bilangan asli > 1 ) disebut pangkat atau eksponen. Contoh : a. Perkalian berulang 2 × 2 × 2 ditulis secara ringkas dengan notasi bilangan berpangkat atau notasi eksponen sebagai 23. Jadi, 2 × 2 × 2 = 23. b. Perkalian berulang 4 × 4 × 4 × 4 × 4 ditulis secara ringkas dengan notasi bilangan berpangkat atau notasi eksponen sebagai 45. Jadi, 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 45. Bentuk an adalah bentuk bilangan berpangkat dengan pangkat bulat positif, a disebut bilangan pokok dan n ( bilangan asli > 1 ) disebut pangkat atau eksponen. Definisi : Jika n = 1, maka an = a1 dan ditetapkan a1 = a Jika n = 0, maka an = a0 Untuk a ≠ 0, maka a0 = 1 Untuk a = 0, maka 00 tidak terdefinisi 2. Definisi Pangkat Bulat Negatif Konsep bilangan pangkat bulat negatif didefinisikan sebagai berikut : misalkan a ∈ R dan a ≠ 0, maka a-n adalah kebalikan dari an atau sebaliknya. a-n =

1 an

atau an =

1 a−n


H. Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan 1. Bentuk Akar Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk perbandingan

a b

, dengan a merupakan bilangan real dan b ≠ 0.

Beberapa contoh bilangan rasional adalah

1 4

, 72 , 34 , 159 , dan sebagainya.

Sedangkan, bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk 3,

5,

7 , 10 ,

3

a b

. Beberapa contoh bilangan irrasional adalah

6 , dan sebagainya.

Bentuk akar adalah akar dari bilangan rasional yang hasilnya merupakan bilangan irrasional. Tanda bentuk akar adalah “

“. Akan

tetapi, tanda akar pada sebuah bilangan tidak menjamin bahwa bilangan itu merupakan bentuk akar, karena ada bilangan yang dituliskan dengan tanda akar hasilnya merupakan bilangan rasional. Contoh : 1)

4 = 2 ( bilangan rasional )

2)


3)


2. Menyederhanakan Bentuk Akar Beberapa bentuk akar seperti

8,

12 , dan

18 dapat disajikan

dalam bentuk yang lebih sederhana, yaitu dengan cara menyatakan bilangan di bawah tanda akar sebagai perkalian dua bilangan, dimana salah satu di antara kedua bilangan itu harus dapat dinyatakan dalam bentuk kuadrat murni. Sebagai contoh : 1)

8 =

4× 2 =

4 ×

2 =2 2

2)

12 =

4×3 =

4 ×

3 =2 3

3)

18 =

9× 2 =

9 ×

2 =3 2


Jadi, untuk menyederhanakan bentuk akar dapat menggunakan sifat sebagai berikut . Untuk setiap a dan b bilangan bulat positif, maka berlaku : a×b =

a ×

b

Dengan a atau b harus dapat dinyatakan dalam bentuk kuadrat murni. 3. Operasi Aljabar pada Bentuk Akar a. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar Untuk setiap a, b, dan c bilangan rasional positif, maka berlaku hubungan : a c +b c =(a+b)

c

dan a c -b c =(a-b)

c

Contoh : i. 4 2 + 3 2 = ( 4 + 3 ) 2 = 7 2 ii. 7 5 - 4 5

= (7–4) 5 =3 5

b. Perkalian Bentuk Akar Ketika menyederhanakan bentuk akar, kita telah menggunakan a ×

sifat

b =

a × b dengan a dan b masing – masing bilangan positif.

Sifat ini dapat digunakan untuk menentukan hasil kali bilangan bentuk akar. Contoh : i.

3 ×

ii.

2 × 12 =

5 =

3× 5 = 15

2 × 12 =

24 = 2 6

c. Menarik Akar Kuadrat Jika a dan b merupakan bilangan – bilangan rasional ≥ 0, maka bentuk a +

(a + b) + 2 ab dan b ) dan ( a -

akar kuadrat.

(a + b) − 2 ab dapat dituliskan sebagai (

b ). Pengerjaan seperti itu dinamakan menarik


Perhatikan perkalian – perkalian berikut : b )2 = ( a )2 + 2( a )( b ) + ( b )2

i. ( a +

= a + 2 ab + b = ( a + b ) + 2 ab Bila kedua ruas ditarik akar kuadrat, kemudian dilakukan perpindahan ruas maka diperoleh :

(a + b) + 2 ab = ( a + b )2

ii. ( a -

b)

= ( a )2 - 2( a )( b ) + ( b )2 = a - 2 ab + b = ( a + b ) - 2 ab

Bila kedua ruas ditarik akar kuadrat, kemudian dilakukan perpindahan ruas maka diperoleh :

(a + b) − 2 ab = ( a -

b)

Contoh : 5+2 6

i.

8 − 2 12

ii.

=

(3 + 2) + 2 3.2

=

3 +

=

(6 + 2) − 2 6.2

=

6 -

2

2

d. Merasionalkan Penyebut Sebuah Pecahan Bagian penyebut sebuah pecahan dapat berbentuk akar. Pecahan 3 2

,

12 3

,

10 5

, dan

15 7 +2

adalah beberapa contoh pecahan yang penyebutnya

berbentuk akar. Penyebut – penyebut pecahan itu dapat dirasionalkan. Cara merasionalkan penyebut suatu pecahan tergantung pada bentuk pecahan itu.


1) Pecahan Berbentuk a b

Pecahan

a b

(a bilangan rasional dan

b merupakan bentuk akar),

bagian penyebutnya dapat dirasionalkan dengan cara mengalikan pecahan itu dengan a b

=

a b

b b

, sehingga pecahan tersebut menjadi :

b b

×

=

a b b

Contoh : 12 3

= =

12 3

3

×

3

12 × 3 3× 3

=

2) Pecahan Berbentuk

12 3 =4 3 3 c a+ b

atau

c a− b

Perhatikan pasangan bilangan ( a + dan b bilangan rasional dan

b ) dan ( a -

b ) dengan a

b merupakan bentuk akar. Hasil kali

pasangan bilangan itu dapat ditentukan dengan menggunakan sifat distributif sebagai berikut : (a+

b)(a-

b) = a(a-

b ) + b( a -

b )

= a2 - a b + a b - b = a2 – b Oleh karena a dan b bilangan rasional, maka hasil kali ( a + dan ( a dan ( a (a+

b ) merupakan bilangan rasional. Pasangan bilangan ( a +

b) b)

b ) disebut bentuk – bentuk akar sekawan atau dikatakan

b ) kawan dari ( a -

b ) dan sebaliknya.

Dengan menggunakan sifat perkalian bentuk – bentuk akar sekawan, penyebut pecahan yang berbentuk

c a+ b

atau

c a− b

dirasionalkan dengan melakukan manipulasi aljabar sebagai berikut :

dapat


1. Untuk pecahan

diubah menjadi :

c a+ b

c( a− b)

×

a− b a− b

=

2. Untuk pecahan

c a− b

diubah menjadi :

c a+ b

c a− b

=

=

c a+ b

c a− b

a+ b a+ b

×

a 2 −b

c(a+ b)

=

a 2 −b

Contoh : i.

2 2 +1

= =

2 2 +1

2 −1

×

2 −1

2( 2 − 1) 2 −1

= 2( 2 -1) ii.

3

=

3−2

=

3 3−2

×

3+2 3+2

3 ( 3 + 2) 2 −1

= - (3 + 2 3 ) 3) Pecahan Berbentuk

c a+ b

atau

c a− b

Penyebut pecahan yang berbentuk

c a± b

dapat dirasionalkan

dengan menggunakan manipulasi aljabar yang hampir sama dengan merasionalkan penyebut pecahan yang berbentuk c a+ b

1. Untuk pecahan a c a+ b

.

pembilang dan penyebut dikalikan dengan

(

b ), menjadi :

=

c a+ b

×

a +

a− b a− b

c a− b

2. Untuk pecahan

c a− b

c a± b

=

c( a − b) a −b

pembilang dan penyebut dikalikan dengan

b ), menjadi :

=

c a− b

×

a+ b a+ b

=

c( a + b) a −b

(


Contoh : i.

3 3+ 2

3

=

=

3+ 2

3− 2

×

3− 2

3( 3 − 2) 3− 2

= 3( 3− 2) ii.

5 5− 3

5

=

5− 3

5+ 3

5 ( 5 + 3) 5−3

= =

5+ 3

×

1 ( 2 + 15 ) 2

4. Pangkat Pecahan Bilangan pecah adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk

m n

, m dan n adalah bilangan – bilangan bulat, dengan n ≠ 0 dan n

bukan faktor dari m. Dengan demikian, bilangan berpangkat dengan pangkat pecahan dapat dituliskan dalam notasi sebagai : m

an

dengan a bilangan real dan a ≠ 0 1

a) Pangkat Pecahan a n , dengan n ≠ 0 Perhatikan kembali manipulasi aljabar pada proses penarikan akar berikut : a. Jika b2 = a, maka

b2 =

a , dengan a ≥ 0 dan b ≥ 0

a atau b =

b. Jika b3 = a, maka

3

b3 =

c. Jika bn = a, maka

n

b n = n a atau b =

3

a atau b = n

3




Berdasarkan proses penarikan akar di atas, akar pangkat n dari suatu bilangan a dapat didefinisikan sebagai berikut : Misalkan n bilangan bulat positif, a dan b bilangan – bilangan real sehingga berlaku hubungan bn = a, maka b disebut akar pangkat n dari a. Untuk n = 2, maka b =

2

a = a dibaca sebagai akar kuadrat dari a.

Untuk n = 3, maka b =

3

a dibaca sebagai akar kubik dari a atau akar pangkat

n

a dibaca sebagai akar pangkat n dari a.

tiga dari a. Untuk n = n, maka b = Teknis perhitungan

n

a ditentukan melalui kaidah berikut ini :

a. Jika a positif, maka hanya dipilih sebuah bilangan positif b sehingga berlaku bn = a. Misalnya : 4

16 , a = +16 dan n = 4

Bilangan b = +2 berlaku hubungan 24 = 16, sehingga 4 16 = 2. Untuk b = -2, juga berlaku ( -2 )4 = 16, tetapi 4 16 = -2. b. Jika a negatif dan n ganjil, maka ada sebuah bilangan negatif b sehingga berlaku bn = a. Misalnya : 1)

3

− 8 = -2, a = -8 dan n = 3

Bilangan b = -2 berlaku hubungan ( -2 )3 = -8, sehingga 2)

4

3

− 8 = -2.

− 16 = -2, a = -16 dan n = 4

Tidak ada bilangan real b yang apabila dipangkatkan 4 hasilnya (-16 ). Jadi,

4

− 16 bukan bilangan real.

Sehingga nilai bilangan b =

n

a dapat ditetapkan dengan menggunakan kaidah

atau aturan sebagai berikut : 1. Jika a > 0, maka

n

a ≥0

2. Jika a < 0 dan ganjil, maka

n

3. Jika a < 0 dan n genap, maka

a <0 n

a bukan bilangan real


Hubungan

n

1

a dengan a n : a = ap, kedua ruas persamaan dikuadratkan, maka diperoleh :

1) Misalkan ( a )2

= ( ap )2

⇔ a

= a2p

⇔ 1

= 2p

⇔ p

=

Jadi,

1

= a2.

a

2) Misalkan

1 2

3

a = ap, kedua ruas persamaan dikuadratkan, maka diperoleh :

( 3 a )3

= ( ap )3

⇔ a

= a3p

⇔ 1

= 3p

⇔ p

=

Jadi,

3

1

= a3.

a

3) Misalkan

1 3

n

a = ap, kedua ruas persamaan dikuadratkan, maka diperoleh :

( n a )n

= ( ap )n

⇔ a

= anp

⇔ 1

= np

⇔ p

=

Jadi,

n

a

1 n 1

= an. 1

Sehingga pangkat pecahan a n dapat didefinisikan sebagai berikut : Misalkan a bilangan real tidak nol dan n bilangan bulat positif, maka 1

pangkat pecahan a n sama dengan akar pangkat n dari bilangan a : 1

an =

dengan catatan

n

n

a

a merupakan bilangan real.


m

b) Pangkat Pecahan a n =

(

an

⇔an =

(

n

m

an

m

m

⇔ an =

n

) m , menggunakan sifat pangkat bulat positif

1

) m , menggunakan definisi pangkat pecahan

a

1

an =

n

a

a m , menggunakan sifat perkalian bentuk akar m

Dengan demikian, pangkat pecahan a n dapat didefinisikan sebagai berikut : Misalkan a bilangan real, m bilangan bulat dan n bilangan asli ≥ 2, maka m

pangkat pecahan a n sama dengan akar pangkat n dari bilangan am.

I. Logaritma

1. Pengertian Logaritma Pada definisi perpangkatan, bentuk umum dari suatu bilangan berpangkat adalah an, a disebut bilangan pokok dan n disebut pangkat. Jika bilangan pokok dan pangkat sudah ditetapkan, maka nilai dari bilangan berpangkat itu dapat segera ditentukan. Contoh : 1) 23

=8 1

2) 25 2 = ( 52 )

1 2

=5

3) 102 = 100, dan seterusnya. Jika persoalannya dibalik, yaitu apabila bilangan pokok dan hasil bilangan berpangkat sudah diketahui, maka pangkat dari bilangan pokok itu juga dapat ditentukan. Contoh : 1) 2 ... = 16, mencari pangkat dari bilangan 2 yang hasilnya 16. Pangkat itu sama dengan 4. 2) 9 ... = 3, mencari pangkat dari bilangan 9 yang hasilnya 3. Pangkat itu sama dengan

1 . 2

3) 10 ... = 1000, mencari pangkat dari bilangan 10 yang 1000.


Pangkat itu sama dengan 3, demikian seterusnya. Persoalan mencari pangkat dari suatu bilangan pokok jika hasil perpangkatannya sudah diketahui seperti di atas, dapat dilakukan dengan memakai notasi logaritma ( disingkat log ) sebagai berikut : a. 2 ... = 16, ditulis 2log 16 = … dan nilai 2log 16 = 4. b. 9 ... = 3, ditulis 9log 3

= … dan nilai 9log 3 =

1 . 2

c. 10 ... = 1000, ditulis 10log 1000 = … dan nilai 10log 1000 = 3. Jelaslah bahwa logaritma adalah invers dari perpangkatan, yaitu mencari pangkat dari suatu bilangan pokok sehingga hasilnya sesuai dengan yang telah diketahui. Berdasarkan uraian di atas, logaritma suatu bilangan dapat didefinisikan sebagai berikut : Misalkan a adalah bilangan positif ( a > 0 ) dan g adalah bilangan positif yang tidak sama dengan 1 ( 0 < g < 1 atau g > 1 ). Untuk a > 0, maka : g

log a = x jika dan hanya jika gx = a

Keterangan : 1) g disebut bilangan pokok atau basis logaritma, dengan ketentuan 0 < g < 1 atau g > 1 (g > 0 dan g ≠ 1 ).

a) Jika g = 10, bilangan pokok ini biasanya tidak dituliskan. Jadi, 10log 2 ditulis log 2. b) Jika g = e ( e ≈ 2,7128… ) maka elog a ditulis sebagai ln a ( dibaca : logaritma natural dari a ), yaitu logaritma dengan bilangan pokok e. 2) a disebut numerus, yaitu bilangan yang dicari logaritmanya, dengan ketentuan a > 0. 3) x disebut hasil logaritma, nilainya dapat positif, nol, atau negatif. 4) Bentuk gx = a dan x = glog a merupakan pernyataan yang ekuivalen ( setara ), gx = a disebut eksponensial dan x = glog a disebut bentuk logaritmik dalam hubungan itu.


2. Sifat – sifat pokok logaritma : 1) glog gn = n 2) glog g = 1 3) glog 1 = 0 3. Sifat – sifat logaritma : 1) Logaritma perkalian dua bilangan sama dengan jumlah logaritma dari masing – masing bilangan itu, ditulis : g

log ( a × b ) = glog a + glog b

2) Logaritma pembagian dua bilangan sama dengan selisih logaritma dari masing – masing bilangan itu, ditulis : g

log (

a ) = glog a - glog b b

3) Logaritma suatu bilangan berpangkat sama dengan pangkat dikalikan dengan logaritma bilangan itu, ditulis : g

log an = n × glog a

4) Mengubah bilangan pokok logaritma : g

p

log a =

p

log a log g

Jika p = a, maka : glog a =

a

1 log g

5) Sifat 5 merupakan perluasan dari sifat – sifat yang terdahulu : a)

g

log a × alog b = glog b m g log a n

b)

gn

log am =

c)

gn

log an = glog a

6) Sifat 6 adalah perluasan dari definisi logaritma : g

g

log a

=a


BAB III METODE PENELITIAN

A. Metode Penelitian

Pada penelitian ini, penulis menggunakan penelitian dengan pendekatan deskriptif kualitatif yaitu penelitian yang menghasilkan data deskripsi yang berupa kata – kata tertulis maupun lisan dari orang atau perilaku yang sedang diamati. Penelitian deskriptif bertujuan untuk mendeskripsikan atau menggambarkan keadaan atau fenomena sebenarnya yang ada di lapangan.

B. Subyek dan Obyek Penelitian

Subyek dalam penelitian ini adalah 4 orang siswa kelas X SMA Immanuel Kalasan. Keempat subyek tersebut dipilih karena hasil pekerjaan keempat subyek paling rendah di antara subyek – subyek lainnya. Keempat subyek tersebut adalah : 1.

Nama

: Livi ( bukan nama sebenarnya )

Umur

: 17 tahun

Alamat

: Kaliajir Lor RT 03 / RW 02, Kalitirto, Berbah, Sleman

Anak ke

: 1 ( satu )

Jumlah Saudara Kandung

: 1 ( satu )

Pendidikan / Pekerjaan Ayah : D3 / Swasta Pendidikan / Pekerjaan Ibu 2.

Nama

: SMP / Swasta

: Martha ( bukan nama sebenarnya )

Umur

: 17 tahun

Alamat

: Juwangen RT 04 / RW 01 No. 50

Anak ke

: 1 ( satu )


: 4 ( empat )

Pendidikan / Pekerjaan Ayah : SD / Buruh Pendidikan / Pekerjaan Ibu

: SD / Ibu rumah tangga 27


3.

Nama

: Nuno ( bukan nama sebenarnya )

Umur

: 17 tahun

Alamat

: Sumber Lor RT 05 / RW 28, Kalitirto, Berbah, Sleman

Anak ke

: 2 ( dua )


: 1 ( satu )

Pendidikan / Pekerjaan Ayah : STh / Guru Kesenian Pendidikan / Pekerjaan Ibu 4.

Nama

: STh / Pendeta

: Renata ( bukan nama sebenarnya )

Umur

: 16 tahun

Alamat

: Kadirojo RT 08 / RW 02, Purwomartani, Sleman

Anak ke

: 3 ( tiga )


: 2 ( dua )

Pendidikan / Pekerjaan Ayah : SD / Petani Pendidikan / Pekerjaan Ibu

: SD / Petani

Keempat subyek menyelesaikan soal yang diberikan oleh peneliti dan peneliti melakukan wawancara terhadap siswa untuk mencari informasi mengenai kesalahan dan kesulitan siswa dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat pada pembelajaran materi logaritma. Sedangkan obyek penelitian ini adalah kesalahan dan kesulitan siswa dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat pada pembelajaran materi logaritma. SMA Immanuel adalah sekolah status swasta dan terakreditasi B yang terletak 15 km dari pusat kota Yogyakarta. Profil SMA Immanuel adalah sebagai berikut : 1. Nama Sekolah

: SMA Immanuel

2. No. Statistik

: 302040215043

3. Alamat

: Gampar, Tamanmartani

Kecamatan

: Kalasan

Kabupaten

: Sleman

Propinsi

: Daerah Istimewa Yogyakarta

Kode Pos

: 55571

4. Status Sekolah

: Swasta


5. Nama Yayasan

: Yayasan Immanuel Indonesia

6. Nomor Akte

: 29

7. Tahun Berdiri

: 1979

8. Luas Tanah

: 1500 m2

9. Luas Bangunan

: 1000 m2

C. Teknik Pengumpulan Data

Pengumpulan data dilakukan melalui proses wawancara terhadap subyek penelitian di dalam kelas yang dilakukan dengan perekaman video ( menggunakan alat bantu handycam ) dan kegiatan wawancara. 1. Video Rekaman Merupakan teknik pengumpulan data yang dilakukan dengan cara melakukan pengamatan menggunakan handycam untuk merekam kegiatan siswa dalam menyelesaikan soal logaritma terutama dalam hal mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat. 2. Wawancara Merupakan teknik pengumpulan data yang dilakukan dengan cara melakukan tanya jawab secara langsung terhadap para siswa, terutama mengenai hal – hal yang terkait dalam menyelesaikan soal.

D. Instrumen Penelitian

Dalam penelitian ini, instrumen yang digunakan yaitu instrumen untuk menggali kesalahan dan kesulitan siswa dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat meliputi pembuatan LKS dan pertanyaan – pertanyaan yang akan diajukan untuk melakukan wawancara. 1. Lembar Kerja Siswa Lembar kerja siswa digunakan sebagai persoalan yang harus ditentukan penyelesaiannya oleh siswa. Lembar kerja siswa terdiri dari 4 buah soal mengenai logaritma. Setiap siswa diberi kesempatan untuk menyelesaikan soal dengan caranya masing – masing yang dilanjutkan


dengan wawancara tentang cara penyelesaian soal. Soal – soal tersebut adalah : Nyatakan tiap bentuk logaritma di bawah ini dengan memakai notasi eksponen dan tentukan nilai tiap logaritma tersebut ! 1. Log 100 Penyelesaian :

2.

2

Log

8

Penyelesaian :

3.

3

Log

3

27

Penyelesaian :

4.

4

Log

64

Penyelesaian : 2. Pertanyaan untuk Melakukan Wawancara Pertanyaan – pertanyaan yang akan diajukan meliputi : (1) alasan siswa menentukan penyelesaian soal dengan cara yang digunakannya, (2) dari mana penyelesaian tersebut berasal, dan (3) apakah ada penyelesaian yang lain untuk menjawab soal tersebut. Dengan mengajukan pertanyaan – pertanyaan tersebut kepada siswa, maka dapat diperoleh informasi yang berkaitan dengan kesalahan dan kesulitan siswa dalam menyelesaikan soal.


E. Teknik Analisis Data

Analisis data dilakukan dengan langkah – langkah sebagai berikut : 1. Transkripsi data rekaman video yakni data yang diperoleh dari lapangan ditulis dalam bentuk uraian atau laporan terperinci. 2. Menentukan topik data yakni rangkuman bagian data yang mengandung makna yang sedang diteliti. 3. Menentukan kategori – kategori data yakni gagasan abstrak yang mewakili makna yang sama dalam sekelompok topik data. 4. Penarikan kesimpulan, yaitu kategori data – kategori data yang diperoleh diubah sehingga diperoleh suatu kesimpulan dari data tersebut. Dalam menentukan kesalahan dan kesulitan siswa, peneliti melakukan tes sacara klasikal terhadap seluruh siswa kelas 1. Selanjutnya, peneliti melakukan koreksi terhadap hasil pekerjaan siswa. Dari hasil koreksi tersebut peneliti menemukan berbagai kesalahan yang dilakukan siswa dalam menyelesaikan soal, sehingga dapat ditentukan kesalahan dan kesulitan siswa dalam mengubah bentuk ara menjadi bentuk pangkat.


BAB IV ANALISIS DATA

A. Hasil Observasi

Penelitian dilakukan tanggal 6 sampai dengan tanggal 10 Maret 2007 dengan subyek 4 orang siswa kelas X SMA. Data berupa cara siswa menyelesaikan soal yang telah direkam menggunakan handycam. Perekaman bertujuan untuk mengetahui kesalahan dan kesulitan yang dialami siswa selama menyelesaikan soal tersebut.

B. Transkripsi Data

Transkripsi data yaitu data yang diperoleh dari lapangan ditulis dalam bentuk uraian atau laporan terperinci. Transkripsi data menghasilkan transkrip data yang disajikan dalam bentuk dialog antara peneliti dengan subyek penelitian.

C. Topik Data

Topik data adalah rangkuman bagian data yang mengandung makna yang sedang diteliti. Dalam penelitian ini, makna yang diteliti adalah kesalahan dan kesulitan siswa dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat. Berikut disajikan topik data – topik data kesalahan dan kesulitan siswa dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat pada pembelajaran materi logaritma.

32


Tabel 1. Topik Data Kesalahan Subyek Livi NO.

KODE

TOPIK DATA

1

KH 1. 1

Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat, yaitu :

DATA

(1/5), (1/7-8)

256 pada soal 256 = 4log 2564,

log 256 menjadi log diperoleh dengan cara menghilangkan tanda akar

4

pada

4

256 dan mengganti dengan bilangan 2564.

2

KH 1. 2

Kesalahan dalam mengubah bilangan bulat menjadi bentuk pangkat pada bentuk logaritma, yaitu : 4log 16 = 4log 44, dengan cara mengubah bilangan 16 menjadi 44 yang diperoleh dari 44 = 4×4 = 16.

(1/7-8)

3

KH 1. 3

Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi

(1/33-34), (1/49-150)

bentuk pangkat, yaitu : 8 = 8 yang diperoleh berdasarkan pengertian siswa tentang tanda akar yaitu tanda akar sama artinya dengan pangkat 2. 2

4

KH 1. 4


8 = 8 , diperoleh dari setengah dari 8 adalah 4, sehingga 8 = 84.

bentuk pangkat, yaitu :

4

(1/33), (1/39-40), (1/42)

5

KH 1. 5

Kesalahan dalam memangkatkan bilangan real dengan bilangan bulat, yaitu : 82 = 16, diperoleh dengan cara mengalikan bilangan pokok dengan pangkat bilangannya yaitu 82 = 8 × 2 = 16.

(1/51-52)

6

KH 1. 6

Kesalahan dalam melakukan penarikan akar

(1/49), (1/56)

bilangan real, yaitu : 8 = 4 diperoleh dengan cara membagi dua bilangan 8 sehingga menghasilkan bilangan 4. 7

KH 1. 7

Kesalahan dalam menyatakan argumen terhadap hasil penarikan akar bilangan real, yaitu :

(1/57-64)

menjelaskan 8 = 4 dan 16 = 4, yang diperoleh berdasarkan penjelasan siswa bahwa setengah dari 16 adalah 8 dan setengah dari 8 adalah 4, maka 8

KH 1. 8

8 = 16 = 4.


(1/65-66)

16 = 16 , yang bentuk pangkat, yaitu : diperoleh berdasarkan pengertian siswa tentang tanda akar yaitu tanda akar sama artinya dengan pangkat 4. 4

9

KH 1. 9

Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat, yaitu :

16 = 16 , yang 0

(1/71-72)


diperoleh berdasarkan pengertian siswa tentang tanda akar yaitu tanda akar sama artinya dengan pangkat 0. 10

KH 1. 10

Kesalahan dalam memangkatkan bilangan real dengan bilangan nol, yaitu : 160 = 16 diperoleh dengan cara mengalikan 16 dengan 0 dimana hasil kali 16 dengan 0 adalah tetap 16.

(1/73-74)

11

KH 1. 11


(1/89), (1/91-94)


12

KH 1. 12

Kesalahan dalam menyatakan argumen terhadap perubahan bentuk akar menjadi bentuk pangkat,

(1/89), (1/94-96)

yaitu : hilangnya tanda akar pada bilangan 64 diakibatkan karena tanda akar tersebut jika diubah menjadi bentuk pangkat akan menjadi 44. 13

KH 1. 13


(1/101-102)

a = a , yang diperoleh bentuk pangkat, yaitu : berdasarkan pengertian siswa tentang tanda akar yaitu tanda akar sama artinya dengan pangkat 4. 4

14

KH 1. 14

Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma, yaitu : log 64 = log 4 = 4log 4 = 1, kemudian mengubah jawabannya menjadi : 4 . 4log 4 = 4 . 1 = 4. 4

15

KH 1. 15

4


(1/105), (1/107-110)

(1/117-118)


16

KH 1. 16

Kesalahan dalam memberikan penjelasan terhadap hasil pemangkatan bilangan real dengan bilangan

(1/119-120)

1

pecahan, yaitu : menjelaskan 9 4 = 3 karena setengahnya 9 hasilnya 6 dan seperempatnya 9 hasilnya 3. 17

KH 1. 17

Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi 1 3

bentuk pangkat, yaitu : 9 = 9 diperoleh dari pemahaman siswa bahwa 9 merupakan hasil dari bentuk kuadrat bilangan 32. 18

KH 1.18

Kesalahan dalam memangkatkan bilangan real denagan bilangan pecahan, yaitu : 9 1 3

diperoleh dari 9 artinya

1 3

= 3 yang

1 dari 9 adalah 3. 3

(1/117), (1/124-126)

(1/119-120), (1/124)


19

KH 1. 19

Kesalahan dalam memberikan penjelasan terhadap hasil pemangkatan bilangan real dengan bilangan 1

pecahan, yaitu : 9 3 = 3 karena 9 dibagi 20

KH 1. 20

bentuk pangkat, yaitu : 16 = 16 dengan cara

16 = 4 dan 4 merupakan

dari 16 sehingga 21

KH 1. 21

1 = 3. 3

Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi 1 4

(1/127-130)

(1/131-132)

diperoleh

1 bagian 4

1

16 = 16 4 .

Kesalahan dalam memberikan penjelasan terhadap hasil pemangkatan bilangan real dengan bilangan 1

pecahan, yaitu : 16 4 = 4 karena 16 dibagi

(1/133-136)

1 = 4. 4

22

KH 1. 22

Kesalahan dalam menginterpretasikan akar suatu bilangan, yaitu : “ bahwa akar dari setiap bilangan yang berbeda, artinya juga berbeda “.

(1/141-142)

23

KH 1. 23


(1/143-144)

bentuk pangkat, yaitu :

3

27 = 3 diperoleh dari 3

3

27 hasilnya adalah 3 dan pangkat 3 pada tanda akar adalah tetap sehingga 3 27 = 33. 24

KH 1. 24

Kesalahan dalam memberikan penjelasan terhadap hasil pemangkatan bilangan real dengan bilangan

(1/159-160)

1

pecahan, yaitu : 27 3 = 3 diperoleh dari 27 dibagi

1 = 3. 3

Tabel 2. Topik Data Kesalahan Subyek Martha NO.

KODE

TOPIK DATA

1

KH 2. 1


DATA

(2/9-10)

bentuk pangkat, yaitu : 3 27 = 273 diperoleh dengan cara memindahkan angka 3 pada tanda akar ke bilangan 27, sehingga bilangan 3 pada tanda akar menjadi pangkat dari bilangan 27. 2

KH 2. 2

Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat, yaitu : 4 = 42 yang diperoleh berdasarkan pengertian siswa tentang tanda akar yaitu tanda akar sama artinya dengan pangkat 2.

(2/29-30)


3

KH 2. 3

Kesalahan dalam memangkatkan bilangan real dengan bilangan bulat, yaitu : 42 = 8 diperoleh dengan cara mengalikan 4 dengan 2 sehingga menghasilkan 8.

(2/31-32)

4

KH 2.4

Kesalahan dalam memberikan penjelasan terhadap hasil pemangkatan bilangan real dengan bilangan bulat, yaitu : 42 = 8 diperoleh dari 4 × 2 = 8.

(2/37-42)

5

KH 2. 5


(2/45-46), (2/59-60)


Tabel 3. Topik Data Kesalahan Subyek Nuno NO.

KODE

TOPIK DATA

1

KH 3. 1


DATA


KH 3. 2


(3/6-7), (3/10), (3/15-16)

(3/31-32)


3

KH 3. 3

Kesalahan dalam menginterpretasikan pangkat suatu bilangan yang berbentuk bilangan pecahan, yaitu : siswa berpendapat bahwa bilangan pangkat yang berbentuk bilangan pecahan adalah tidak ada.

(3/39), (3/41), (3/44)

4

KH 3. 4

Kesalahan dalam melakukan penarikan akar

(3/45-48)

bilangan real, yaitu :

1 = tidak terdefinisi.

Tabel 4. Topik Data Kesalahan Subyek Renata NO.

KODE

TOPIK DATA

1

KH 4. 1

Kesalahan dalam melakukan penarikan akar bilangan real, yaitu :

2

KH 4. 2

64 = 8 × 8 = 64.

Kesalahan dalam menginterpretasikan pangkat suatu bilangan yang berbentuk bilangan pecahan, yaitu : siswa berpendapat bahwa bilangan pangkat yang berbentuk pecahan adalah tidak ada.

DATA

(4/11-14), (4/17-18) (4/23-26)


Tabel 5. Topik Data Kesulitan Subyek Livi NO.

KODE

TOPIK DATA

1

KS 1. 1

Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma, yaitu : menyelesaikan 4

2

KS 1. 2

log

256 = … .

Kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi

KS 1. 3

4

KS 1. 4

256 = ( 256 ) .

Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma, yaitu : menentukan penyelesaian 4 log 44 dan 4log 4 .

(1/17), (1/19-20), (1/23-24)


(1/28-32)

bentuk pangkat, yaitu : 5

KS 1. 5

(1/9-12)

...


DATA

(1/5-6)

3

8 = 8 ... .

Kesulitan dalam menginterpretasikan bentuk akar

(1/35), (1/37-38)

menjadi bentuk pangkat, yaitu : 8 = 8 . 2

6

KS 1. 6

Kesulitan dalam memberikan penjelasan terhadap hasil penarikan akar bilangan real, yaitu : menjelaskan

7

KS 1.7

8

KS 1. 8

16 = 4.

Kesulitan dalam menyatakan argumen terhadap hasil penarikan akar bilangan real, yaitu : menjelaskan

(1/43), (1/45-46)

(1/57-58)

8 = 4.

Kesulitan dalam memberikan penjelasan terhadap hasil perubahan bentuk akar menjadi bentuk pangkat, yaitu : menjelaskan

(1/69-70)

16 = 164.

9

KS 1. 9

Kesulitan dalam menginterpretasikan bilangan pangkat pada bilangan real, yaitu : menjelaskan pangkat 2 pada angka 8.

(1/54), (1/75-76)

10

KS 1. 10

Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma, yaitu : menghitung hasil dari log 10.

(1/82-83)

11

KS 1. 11

Kesulitan dalam menginterpretasikan akar suatu bilangan, yaitu : menjawab pertanyaan “ akar = pangkat berapa ? “

(1/97-100)

12

KS 1. 12

Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar pada

(1/105-106)

bentuk akar, yaitu : menghitung hasil dari 13

KS 1. 13

64 .

Kesulitan dalam memberikan penjelasan terhadap hasil pemangkatan bilangan real dengan bilangan 1

pecahan, yaitu : menjelaskan 9 4 = 3.

(1/119), (1/121-122)


14

KS 1.14

Kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat, yaitu :

15

KS 1. 15

3

...

27 = 27 .

Kesulitan dalam memberikan penjelasan terhadap hasil pemangkatan bilangan real dengan bilangan

(1/143), (1/147-148) (1/153), (1/155158)

1

pecahan, yaitu : menjelaskan 27 3 = 3.

Tabel 6. Topik Data Kesulitan Subyek Martha NO.

KODE

TOPIK DATA

1

KS 2. 1

Kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat pada bentuk logaritma, yaitu : 3

2

KS 2. 2

log

3

DATA

(2/6-8)

27 = 3log 27 ... .


3

(2/7), (2/13-14)

...

27 = 27 .

3

KS 2.3

Kesulitan dalam memangkatkan bilangan real dengan bilangan bulat, yaitu : menghitung hasil dari 273.

(2/15-16)

4

KS 2. 4

Kesulitan

(2/17-18), (2/21-22)

dalam

melakukan

penarikan

bilangan real, yaitu : menghitung hasil dari 5

KS 2. 5

KS 2. 6

81 .

Kesulitan dalam memberikan penjelasan terhadap hasil perubahan bentuk akar menjadi bentuk pangkat, yaitu : menjelaskan

6

akar

4 = 42 = 8.

Kesulitan dalam memberikan penjelasan terhadap hasil penarikan akar bilangan real, yaitu : menjelaskan

(2/32-36)

(2/43-44)

4 = 4.

7

KS 2. 7

Kesulitan dalam memangkatkan bilangan real dengan bilangan bulat, yaitu : menghitung hasil dari 44.

(2/47-48)

8

KS 2. 8


(2/49-50)


KS 2. 9

KS 2. 10

4 =4 .

Kesulitan dalam membedakan bilangan real dengan bentuk akar, yaitu : membedakan bilangan 4 dengan bilangan

10

...

(2/51-52)

4 .

Kesulitan dalam menginterpretasikan pangkat suatu bilangan yang berbentuk bilangan pecahan, yaitu : menentukan ada atau tidaknya pangkat bilangan yang berbentuk bilangan pecahan.

(2/55-56)


Tabel 7. Topik Data Kesulitan Subyek Nuno NO.

KODE

TOPIK DATA

1

KS 3. 1


DATA

(3/7), (3/21-22)

100 = 100 ... .

Tabel 8. Topik Data Kesulitan Subyek Renata NO.

KODE

TOPIK DATA

1

KS 4. 1

Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar pada

DATA

bentuk logaritma, yaitu : menyelesaikan 2log 2

KS 4. 2

KS 4.3

8.

Kesulitan dalam melakukan penarikan akar bilangan

64 .

real, yaitu : menghitung hasil dari 3

3

(4/2-6)


(/7), (4/9-10), (4/15-16) (4/21-22)

...

bentuk pangkat, yaitu : 64 = 64 .

D. Kategori Data

Kategori data adalah gagasan abstrak yang mewakili makna yang sama yang terkandung di dalam sekelompok topik data. Dalam penelitian ini ditentukan kategori mengenai kategori kesalahan dan kesulitan siswa. Berikut disajikan kategori - kategori kesalahan dan kesulitan siswa dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat pada pembelajaran materi logaritma dalam bentuk : 1. Tabel Kategori dan Sub Kategori Kesalahan Data 2. Tabel Kategori dan Sub Kategori Kesulitan Data 3. Diagram Pohon Kategori dan Sub Kategori Kesalahan Data 4. Diagram Pohon Kategori dan Sub Kategori Kesulitan Data


Tabel 9. Kategori dan Sub Kategori Data Kesalahan Subyek Livi dalam Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat Kategori Data Kesalahan Siswa 1. Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat a. Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dengan cara memangkatkan 4 suatu bilangan. b. Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dengan cara mengkuadratkan bilangan. c. Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat oleh karena pengertian subyek bahwa bentuk akar adalah pangkat nol. d. Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dikarenakan oleh pengertian subyek bahwa 9 merupakan hasil dari bentuk kuadrat 32. e. Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dikarenakan pemahaman subyek bahwa 4 merupakan seperempat bagian dari 16. f. Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dikarenakan pada tanda akar terdapat angka 3. g. Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dikarenakan 27 dibagi sepertiga adalah tiga. 2. Kesalahan dalam memahami konsep bentuk akar Kesalahan dalam memahami tanda akar sebagai pangkat empat. 3.

Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar a. Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar pada pemangkatan bilangan real. b. Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar terhadap pembagian. c.

4.

Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma. d. Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar terhadap penarikan akar suatu bilangan. Kesalahan dalam membuat suatu pernyataan ( alasan ) a. Kesalahan dalam membuat suatu pernyataan terhadap hasil penarikan akar suatu bilangan. b. Kesalahan dalam membuat suatu pernyataan terhadap hasil pemangkatan bilangan real.

Topik Data KH 1.1, KH 1.4, KH 1.8, KH 1.13 KH 1.3, KH 1.15 KH 1.9 KH 1.17 KH 1.20 KH 1.23 KH 1.24 KH 1.11, KH 1.12, KH 1.13 KH 1.10, KH 1.18, KH 1.21, KH 1.24 KH 1.16, KH 1.19, KH 1.20, KH 1.21, KH 1.24 KH 1.14 KH 1.6 KH 1.7 KH 1.16, KH 1.19, KH 1.21

Tabel 10. Kategori dan Sub Kategori Data Kesalahan Subyek Martha dalam Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat Kategori Data Kesalahan Siswa 1. Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat a. Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dengan cara memindahkan angka 3 pada tanda akar menjadi pangkat dari 27. b. Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dengan cara mengkuadratkan bilangan. c. Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk

Topik Data KH 2.1 KH 2.2 KH 2.5


2. 3.

pangkat dengan cara memangkatkan 4 suatu bilangan. Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar pada pemangkatan bilangan real. Kesalahan dalam membuat suatu pernyataan ( alasan ) Kesalahan dalam membuat suatu pernyataan ( alasan ) terhadap hasil pemangkatan bilangan real dengan bilangan bulat.

KH 2.3 KH 2.4

Tabel 11. Kategori dan Sub Kategori Data Kesalahan Subyek Nuno dalam Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat Kategori Data Kesalahan Siswa 1.

2. 3.

Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dikarenakan oleh pegertian subyek bahwa tanda akar berarti pangkat dua. Kesalahan dalam memahami konsep bentuk pangkat Kesalahan dalam memahami pangkat pecahan dimana pangkat suatu bilangan yang berbentuk bilangan pecahan adalah tidak ada. Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar terhadap penarikan akar suatu bilangan.

Topik Data KH 3.1, KH 3.2

KH 3.3 KH 3.4

Tabel 12. Kategori dan Sub Kategori Data Kesalahan Subyek Renata dalam Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat Kategori Data Kesalahan Siswa 1. Kesalahan dalam memahami konsep bentuk pangkat Kesalahan dalam memahami pangkat pecahan dimana pangkat suatu bilangan yang berbentuk bilangan pecahan adalah tidak ada. 2. Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar terhadap penarikan akar suatu bilangan.

Topik Data KH 4.2 KH 4.1

Tabel 13. Kategori dan Sub Kategori Data Kesulitan Subyek Livi dalam Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat Kategori Data Kesulitan Siswa 1. Kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat Kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dikarenakan subyek tidak mengerti definisi bentuk akar. 2. Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar a. Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma dikarenakan subyek tidak paham terhadap materi logaritma. b. Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar terhadap penarikan akar suatu bilangan dikarenakan subyek tidak paham terhadap bentuk akar.

Topik Data KS 1.2, KS 1.9, KS 1.14 KS 1.1, KS 1.3, KS 1.10 KS 1.12


3.

Kesulitan dalam membuat suatu pernyataan ( alasan ) a. Kesulitan dalam membuat suatu pernyataan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dikarenakan subyek mengerjakan soal tidak menggunakan cara yang tepat. b. Kesulitan dalam membuat suatu pernyataan terhadap hasil penarikan akar suatu bilangan dikarenakan subyek mengerjakan soal dengan sembarangan. c. Kesulitan dalam membuat suatu pernyataan dalam menginterpretasikan akar suatu bilangan dikarenakan subyek tidak mengerti definisi bentuk akar.

KS 1.5, KS 1.8 KS 1.6, KS 1.7, KS 1.13, KS 1.15 KS 1.11

Tabel 14. Kategori dan Sub Kategori Data Kesulitan Subyek Martha dalam Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat Kategori Data Kesulitan Siswa 1. Kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat Kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dikarenakan subyek tidak mengerti definisi bentuk akar. 2. Kesulitan dalam memahami konsep bentuk akar dan bentuk pangkat a. Kesulitan dalam memahami konsep bentuk akar yang mengakibatkan subyek tidak mampu mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat. b. Kesulitan dalam memahami konsep bentuk pangkat yang mengakibatkan subyek tidak mampu mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat. 3. Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar a. Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar terhadap penarikan akar suatu bilangan dikarenakan subyek tidak paham terhadap bentuk akar. b. Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar pada pemangkatan bilangan real dikarenakan subyek tidak paham terhadap bentuk pangkat. 4. Kesulitan dalam membuat suatu pernyataan ( alasan ) Kesulitan dalam membuat suatu pernyataan terhadap hasil penarikan akar suatu bilangan dikarenakan subyek mengerjakan soal dengan sembarangan.

Topik Data KS 2.1, KS 2.2, KS 2.8 KS 2.7 KS 2.10

KS 2.4 KS 2.3, KS 2.7

KS 2.5, KS 2.6

Tabel 15. Kategori dan Sub Kategori Data Kesulitan Subyek Nuno dalam Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat Kategori Data Kesulitan Siswa 1. Kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat Kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dikarenakan subyek tidak mengerti definisi bentuk akar.

Topik Data KS 3.1


Tabel 16. Kategori dan Sub Kategori Data Kesulitan Subyek Renata dalam Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat Kategori Data Kesulitan Siswa 1. Kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat Kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dikarenakan subyek tidak mengerti definisi bentuk akar. 2. Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar a. Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma dikarenakan subyek tidak paham terhadap materi logaritma. b. Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar terhadap penarikan akar suatu bilangan dikarenakan subyek tidak paham terhadap bentuk akar.

Topik Data KS 4.3 KS 4.1 KS 4.2

Berikut ini adalah kategori data – kategori data kesalahan dan kesulitan siswa dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat yang disajikan dalam bentuk diagram pohon.


Gambar 1. Diagram Pohon Kategori dan Sub Kategori Data Kesalahan Subyek Livi

Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat

Kesalahan Subyek

Kesalahan dalam memahami bentuk akar

Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dengan cara memangkatkan 4 suatu bilangan

KH 1.1, KH 1.4, KH 1.8, KH 1.13

Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dengan cara mengkuadratkan bilangan

KH 1.3, KH 1.15

Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dikarenakan pengertian subyek bahwa tanda akar adalah pangkat nol

KH. 1.9

Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dikarenakan pengertian subyek bahwa 9 merupakan hasil dari 32

KH 1.17

Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dikarenakan pemahaman bahwa 4 merupakan seperempat bagian dari 16

KH 1.20

Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dikarenakan pada tanda akar terdapat angka 3

KH 1.23

Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dikarenakan 27 dibagi sepertiga adalah tiga

KH 1.24

Kesalahan dalam memahami tanda akar sebagai pangkat

KH 1.11, KH 1.12, KH 1.13

t Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar pada pemangkatan bilangan real Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar

Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar terhadap pembagian Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma

Kesalahan dalam membuat suatu pernyataan (alasan)

KH 1.10, KH 1.18, KH 1.21, KH 1.24

KH 1.16, KH 1.19, KH 1.20, KH 1.21, KH 1.24 KH 1.14

Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar terhadap penarikan akar suatu bilangan

KH 1.6

Kesalahan dalam membuat suatu pernyataan terhadap hasil penarikan akar suatu bilangan

KH 1.7

Kesalahan dalam membuat suatu pernyataan terhadap hasil pemangkatan bilangan real

KH 1.16, KH 1.19, KH 1.21

44


Gambar 2. Diagram Pohon Kategori dan Sub Kategori Data Kesalahan Subyek Martha

Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dengan cara memindahkan angka 3 pada tanda akar menjadi pangkat dari bilangan 27

KH 2.1

Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dengan cara mengkuadratkan bilangan

KH 2.2

Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dengan cara memangkatkan 4 suatu bilangan

KH 2.5

Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar

Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar pada pemangkatan bilangan real

KH 2.3

Kesalahan dalam membuat suatu pernyataan ( alasan )

Kesalahan dalam membuat suatu pernyataan terhadap hasil pemangkatan bilangan real dengan bilangan bulat

KH 2.4


Kesalahan Siswa

45


Gambar 3. Diagram Pohon Kategori dan Sub Kategori Data Kesalahan Subyek Nuno

Kesalahan Siswa


Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dikarenakan oleh pengertian subyek bahwa tanda akar berarti pangkat dua

KH 3.1, KH 3.2

Kesalahan dalam memahami konsep bentuk pangkat

Kesalahan dalam memahami pangkat pecahan dimana pangkat suatu bilangan yang berbentuk bilangan pecahan adalah tidak ada

KH 3.3



KH 3.4

46


Gambar 4. Diagram Pohon Kategori dan Sub Kategori Data Kesalahan Subyek Renata

Kesalahan dalam memahami konsep bentuk pangkat

Kesalahan dalam memahami pangkat pecahan dimana pangkat suatu bilangan yang berbentuk bilangan pecahan adalah tidak ada

KH 4.2



KH 4.1

Kesalahan Siswa

47


Gambar 5. Diagram Pohon Kategori dan Sub Kategori Data Kesulitan Subyek Livi

Kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat

Kesulitan Siswa

Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar

Kesulitan dalam membuat suatu pernyataan (alasan)

Kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dikarenakan subyek tidak mengerti definisi bentuk akar

KS 1.2, KS 1.9, KS 1.14

Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma dikarenakan subyek tidak paham terhadap materi logaritma

KS 1.1, KS 1.3, KS 1.10

Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar terhadap penarikan akar suatu bilangan dikarenakan subyek tidak paham terhadap bentuk akar

KS 1.12

Kesulitan dalam membuat suatu pernyataan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dikarenakan subyek mengerjakan soal tidak menggunakan cara yang tepat

KS 1.5, KS 1.8

Kesulitan dalam membuat suatu pernyataan terhadap hasil penarikan akar suatu bilangan dikarenakan subyek mengerjakarn soal dengan sembarangan

KS 1.6, KS 1.7 KS 1.13, KS 1.15

Kesulitan dalam membuat suatu pernyataan dalam menginterpretasikan akar suatu bilangan dikarenakan subyek tidak mengerti definisi bentuk akar

KS 1.11

48


Gambar 6. Diagram Pohon Kategori dan Sub Kategori Data Kesulitan Subyek Martha


Kesulitan dalam memahami konsep bentuk akar dan bentuk pangkat Kesulitan Siswa Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar

Kesulitan dalam membuat suatu pernyataan (alasan)


KS 2.1, KS 2.2, KS 2.8

Kesulitan dalam memahami konsep bentuk akar yang mengakibatkan subyek tidak mampu mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat

KS 2.7

Kesulitan dalam memahami konsep bentuk pangkat yang mengakibatkan subyek tidak mampu mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat

KS 2.10


KS 2.4

Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar pada pemangkatan bilangan real dikarenakan subyek tidak paham terhadap bentuk pangkat

KS 2.3, KS 2.7

Kesulitan dalam membuat suatu pernyataan terhadap penarikan akar suatu bilangan dikarenakan subyek mengerjakan soal dengan sembarangan

KS 2.5, KS 2.6

49


Gambar 7. Diagram Pohon Kategori dan Sub Kategori Data Kesulitan Subyek Nuno

Kesulitan Siswa



KS 3.1

Gambar 8. Diagram Pohon Kategori dan Sub Kategori Data Kesulitan Subyek Renata



KS 4.3

Kesulitan Siswa

Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar

Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma dikarenakan subyek tidak paham terhadap materi logaritma

KS 4.1


KS 4.2

50


51

BAB V HASIL PENELITIAN

Pada bab ini diuraikan kesalahan – kesalahan dan kesulitan – kesulitan subyek dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat pada pembelajaran materi logaritma. A. Kesalahan Subyek

Kesalahan subyek dalam menyelesaikan soal - soal Matematika, khususnya dalam menyelesaikan soal-soal logaritma yang memuat bentuk akar dapat dikategorikan sebagai berikut : 1. Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat 2. Kesalahan dalam memahami konsep pangkat 3. Kesalahan dalam memahami konsep akar 4. Kesalahan dalam melakukan operasi pemangkatan 5. Kesalahan dalam melakukan operasi pembagian 6. Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma 7. Kesalahan melakukan operasi aljabar terhadap penarikan akar suatu bilangan Untuk lebih jelasnya, akan diuraikan satu persatu mengenai kesalahan subyek tersebut. 1. Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat yaitu subyek menggunakan aturan pangkat bilangan bulat. Sebagai contoh, 4 = 42, menurut subyek

4 mempunyai nilai yang sebanding dengan 42.

Akan tetapi, subyek lain menggunakan bilangan pangkat yang berbeda yaitu

256 = 2564. Untuk bilangan 64 , subyek menjawab

64 = 44 dengan

alasan bahwa tanda akar pada angka 64 berubah menjadi 44, sehingga

64

nilainya sama dengan 44. Berbeda halnya dengan bilangan 16 , subyek menjawab

16 = 160. Setelah subyek diberi petunjuk mengenai pangkat

bilangan pecahan, subyek menyelesaikan soal dengan cara sebagai berikut : 1

9 = 9 3 dan

1

16 = 16 4 , dengan alasan bahwa akar dari setiap bilangan 51


yang berbeda, memiliki arti yang berbeda pula. Untuk

3

52

27 = 273, subyek

memberikan alasan bahwa pada tanda akar terdapat angka 3. Berbeda pula ketika subyek diminta mengubah bilangan 16 menjadi bentuk pangkat, yaitu 16 = 44 yang diperoleh dari

4 × 4 hasilnya 16, sehingga 16 = 44 karena 4 ×

4 = 16. 2. Kesalahan dalam memahami konsep pangkat Kesalahan dalam memahami konsep pangkat dilakukan ketika subyek memahami konsep pangkat sebagai berikut, subyek berpendapat bahwa pangkat suatu bilangan adalah bilangan bulat saja, sehingga pangkat bilangan pecahan tidak ada. Hal ini dapat dilihat dari pekerjaan subyek dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat yaitu subyek selalu mengubah bentuk akar menjadi bilangan yang berpangkat bilangan bulat. 3. Kesalahan dalam memahami konsep akar Kesalahan dalam memahami konsep akar dilakukan subyek ketika subyek memahami konsep akar, yaitu subyek berpendapat bahwa akar suatu bilangan sama artinya dengan pangkat 2. Subyek lain mengatakan bahwa akar suatu bilangan sama artinya dengan pangkat 4. Hal ini dapat dilihat dari hasil pekerjaan subyek yang selalu mengubah bentuk akar menjadi bilangan pangkat 2 dan bilangan pangkat 4. 4. Kesalahan dalam melakukan operasi pemangkatan Kesalahan dalam melakukan operasi pemangkatan yang dilakukan subyek meliputi kesalahan dalam memangkatkan bilangan bulat dengan bilangan bulat dan memangkatkan bilangan bulat dengan bilangan pecahan. Pertama, dalam memangkatkan bilangan bulat dengan bilangan bulat, kesalahan yang dilakukan subyek yaitu mengalikan bilangan pokok dengan pangkat bilangannya. Sebagai contoh, dalam melakukan operasi pemangkatan bilangan 42, yang dilakukan subyek adalah mengalikan bilangan 4 dengan bilangan 2 sehingga

4 = 42 = 4 × 2 = 8. Demikian pula halnya dengan 82,

yaitu 82 = 8 × 2 = 16. Kedua, dalam memangkatkan bilangan bulat dengan bilangan pecahan, kesalahan yang dilakukan subyek yaitu membagi bilangan pokok dengan pangkat bilangannya. Sebagai contoh, dalam melakukan operasi


53

1

pemangkatan bilangan 27 3 , yang dilakukan subyek adalah membagi bilangan 27 dengan bilangan

1 3

1

sehingga 27 3 = 27 : 1

1 3

. Cara yang sama juga digunakan

1

untuk memangkatkan bilangan 9 3 , yaitu 9 3 = 9 : 1

16 4 = 16 :

1 4

1 3

1

dan bilangan 16 4 , yaitu

. Untuk bilangan 160, subyek memberikan jawaban 16 dengan

cara mengalikan 16 dengan 0, jadi 160 hasilnya tetap 16. 5. Kesalahan dalam melakukan operasi pembagian Kesalahan dalam melakukan operasi pembagian terjadi ketika subyek memangkatkan bilangan bulat dengan bilangan pecahan, yaitu pada saat 1

melakukan perhitungan terhadap bilangan 27 3 , yang dilakukan subyek adalah membagi bilangan 27 dengan

1 3

menghasilkan 3, sehingga 27 :

1

halnya dengan 9 4 = 3, subyek menjelaskan bahwa

1 3

= 3. Lain

1

9 4 = 3 karena

setengahnya 9 adalah 6 dan seperempatnya 9 adalah 3. Akan tetapi, ketika memangkatkan bilangan 9 dengan bilangan alasan bahwa 9 dibagi 1 4

1 3

1 3

, subyek menjawab 3 dengan

hasilnya adalah 3. Demikian juga dengan bilangan 16

, subyek menjawab 4 dengan alasan bahwa 16 dibagi

1 4

hasilnya adalah 4.

6. Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma Kesalahan perhitungan dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma terjadi pada saat subyek menyelesaikan soal – soal logaritma yang diberikan, yaitu 4log

256 = 4log 16 = 4log 44 = 4. 4log 4 = 4. 1 = 4. Hal ini

dikarenakan subyek tidak paham terhadap definisi logaritma. 7. Kesalahan melakukan operasi aljabar terhadap penarikan akar suatu bilangan Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar terhadap penarikan akar suatu bilangan yang dilakukan subyek yaitu ketika subyek harus menentukan penyelesaian bilangan

8,

4,

16 , dan

3

hasil dari penarikan akar terhadap bilangan

27 . Menurut pekerjaan subyek, 4,

8 , dan 16 mempunyai

nilai yang sama yaitu hasilnya adalah 4. Untuk bilangan menjawab bahwa hasil dari

3

27 adalah 3.

3

27 , subyek


54

B. Kesulitan Subyek

Kesulitan

subyek

dalam

menyelesaikan

soal-soal

Matematika,

khususnya dalam menyelesaikan soal-soal logaritma yang memuat bentuk akar meliputi : 1. Kesulitan mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat 2. Kesulitan dalam mendefinisikan bentuk akar 3. Kesulitan memahami konsep bentuk pangkat 4. Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma 5. Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar terhadap penarikan akar suatu bilangan 6. Kesulitan melakukan operasi aljabar terhadap pemangkatan bilangan real 7. Kesulitan memberikan penjelasan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat 8. Kesulitan memberikan penjelasan terhadap hasil penarikan akar suatu bilangan 9. Kesulitan memberikan penjelasan terhadap hasil pemangkatan bilangan real Uraian mengenai kesulitan yang dialami oleh subyek adalah sebagai berikut : 1. Kesulitan mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat Kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat tampak ketika subyek mengubah bilangan

3

27 ,

4,

100 , dan

64

menjadi bentuk pangkat. Dari awal subyek diberi soal, subyek sudah mengalami kesulitan dalam menyelesaikan soal karena subyek kesulitan dalam menjawab soal – soal tersebut sehingga diperlukan contoh penyelesaian soal terlebih dahulu. Akan tetapi, setelah contoh penyelesaian soal diberikan, subyek masih mengalami kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat sehingga tidak ada soal yang dapat diselesaikan dengan benar. 2. Kesulitan memahami konsep bentuk akar Kesulitan dalam memahami konsep bentuk akar terlihat ketika subyek diberi persoalan tentang bilangan 4 dan bilangan

4 , yaitu subyek diminta


membedakan antara bilangan 4 dengan bilangan

55

4 , apakah kedua bilangan

tersebut mempunyai nilai yang sebanding. Akan tetapi, subyek tidak memberikan jawaban apapun terhadap pertanyaan tersebut karena tidak dapat membedakan bilangan 4 dengan bilangan

4.

3. Kesulitan memahami konsep bentuk pangkat Kesulitan dalam memahami konsep bentuk pangkat dialami subyek ketika subyek diberi persoalan tentang pangkat suatu bilangan yang berbentuk bilangan pecahan yaitu subyek harus memberikan jawaban apakah pangkat suatu bilangan yang berbentuk bilangan pecahan tersebut ada atau tidak. Akan tetapi, subyek tidak mengetahui ada atau tidaknya pangkat suatu bilangan yang berbentuk bilangan pecahan sehingga subyek tidak dapat memberikan jawaban apapun. 4. Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma Dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma, subyek selalu mengalami kesulitan dalam menghitung hasil logaritma suatu bentuk akar. Sebagai contoh, ketika subyek harus menentukan penyelesaian 4log 4

log 44 , 4log 4 , dan 2log

3

256 ,

8 , subyek tidak dapat menyelesaikan soal – soal

tersebut, sehingga subyek hanya memutar – mutar lembar soal dan diam saja karena tidak tahu cara menyelesaikan soal yang berkaitan dengan logaritma. Hal ini dikarenakan subyek tidak memahami definisi tentang logaritma. 5. Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar terhadap penarikan akar suatu bilangan Dalam melakukan operasi aljabar terhadap penarikan akar suatu bilangan, kesulitan yang dialami subyek adalah ketika subyek melakukan penarikan akar terhadap bilangan

64 dan

81 . Pada mulanya, subyek

memiliki pemahaman bahwa bentuk akar sama artinya dengan bilangan berpangkat 2 sehingga dalam melakukan penarikan akar, subyek selalu menjawab dengan bilangan berpangkat 2, selanjutnya subyek mengalikan bilangan pokok dengan pangkatnya. Akan tetapi, ternyata pemahaman tersebut keliru dan subyek tidak mengetahui pengertian yang sebenarnya. Oleh karena


56

itu, subyek mengalami kesulitan dalam melakukan penarikan akar terhadap suatu bilangan. 6. Kesulitan melakukan operasi aljabar terhadap pemangkatan bilangan real Dalam melakukan operasi aljabar terhadap pemangkatan bilangan real, kesulitan yang dialami subyek terlihat ketika subyek menentukan penyelesaian dari bilangan 273 dan 44. Subyek sama sekali tidak dapat menentukan penyelesaian soal tersebut. Dari pekerjaan subyek tersebut, terlihat bahwa subyek tidak paham terhadap bentuk pangkat sehingga mengalami kesulitan dalam menentukan penyelesaian bentuk akar. 7. Kesulitan memberikan penjelasan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat Kesulitan yang dialami subyek terjadi ketika subyek diminta menjelaskan

16 = 164 dan 8 = 82, yaitu subyek memberikan penjelasan

terhadap asal pangkat dari bilangan 16 dan bilangan 8 tersebut. Dalam hal ini, subyek sudah mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat, tetapi ketika subyek diminta memberikan alasan terhadap perubahan bentuk bilangan tersebut, subyek tidak dapat menjelaskan jawabannya. 8. Kesulitan memberikan penjelasan terhadap hasil penarikan akar suatu bilangan Kesulitan

yang dialami subyek terjadi ketika subyek harus 4 = 42 = 8,

menjelaskan alasan mengenai penyelesaian

16 = 4, dan

4

= 4,

8 = 4. Subyek tidak dapat memberikan penjelasan atas

jawaban – jawaban tersebut, padahal dari beberapa penyelesaian tersebut tampak bahwa

4,

16 , dan

8 mempunyai penyelesaian yang sama yaitu

4. Inilah yang seharusnya dijelaskan oleh subyek, akan tetapi subyek tidak dapat menjelaskannya. 9. Kesulitan memberikan penjelasan terhadap hasil pemangkatan bilangan real Kesulitan

yang dialami subyek terjadi ketika subyek harus 1

1

menjelaskan alasan mengenai penyelesaian 9 4 = 3 dan 27 3 = 3. Subyek tidak dapat memberikan penjelasan terhadap penyelesaian soal tersebut karena tidak


57

paham mengenai definisi bentuk pangkat sehingga akhir penyelesaian soal tidak dapat diketahui dengan jelas.


58

BAB VI PEMBAHASAN HASIL PENELITIAN

Dalam bab ini dikemukakan mengenai pembahasan hasil penelitian yaitu kesalahan dan kesulitan subyek dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat pada pembelajaran materi logaritma.

A. Kesalahan Subyek

1. Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat Dalam penelitian ini, kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat yang dilakukan subyek yaitu subyek selalu mengubah bilangan bentuk akar menjadi bilangan berpangkat bilangan bulat sehingga hasil dari bentuk akar tersebut adalah bilangan rasional, sedangkan berdasarkan definisi bentuk akar, seharusnya hasil dari bentuk akar merupakan bilangan irrasional. Sebagai contoh, dalam mengubah bilangan menjadi bentuk pangkat, subyek diminta mengubah bilangan 16 menjadi bentuk pangkat, yaitu 16 = 44. Menurut pendapat subyek, 16 = 4 × 4 sehingga 44 = 4 × 4 = 16. Oleh karena itu, cara subyek mengubah bilangan menjadi bentuk pangkat tidak tepat. Dilihat dari pekerjaan subyek tersebut, dapat diperoleh suatu informasi bahwa subyek tidak memahami tentang pengertian bentuk akar

sehingga

menyebabkan

kesalahan

dalam

menyelesaikan

soal.

Berdasarkan teori Marpaung, kesalahan yang dilakukan subyek tersebut disebabkan karena subyek kurang menguasai kemampuan mengatur yaitu kemampuan untuk mentaati aturan – aturan yang ada dalam Matematika, sehingga cara yang digunakan subyek untuk menyelesaikan soal tidak tepat. Jadi, tampak bahwa sebenarnya subyek sudah mampu mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat, akan tetapi masih kurang menguasai tentang konsep bentuk akar dan konsep bentuk pangkat.

58


59

2. Kesalahan dalam memahami konsep bentuk pangkat Dalam penelitian ini, cara subyek memahami konsep bentuk pangkat adalah pangkat suatu bilangan hanya berupa bilangan bulat, bukan bilangan pecahan sehingga pangkat bilangan pecahan adalah tidak ada. Selain itu, dalam

menentukan

penyelesaian

terhadap

bentuk

pangkat,

subyek

menyelesaikan dengan cara mengalikan bilangan pokok dengan pangkat bilangannya, misalnya : 82 = 8 × 2 = 16 yang seharusnya 82 = 8 × 8 = 64. Oleh karena cara pemahaman subyek yang keliru, maka dalam menyelesaikan soal juga akan menghasilkan penyelesaian yang tidak tepat, sehingga apabila menjumpai soal yang serupa, maka subyek akan menggunakan cara yang sama dalam menentukan penyelesaian soal. Berdasarkan teori Marpaung, kesalahan yang dilakukan subyek tersebut disebabkan karena subyek kurang menguasai kemampuan abstraksi yaitu kemampuan melihat kesamaan pokok dan mengabaikan perbedaan – perbedaan atau sifat – sifat yang tidak mendasar. Kelemahan dalam kemampuan abstraksi disebabkan oleh karena kegagalan subyek dalam melakukan pendewasaan mental sehingga subyek banyak mengalami masalah dalam pemahaman konsep – konsep Matematika secara umum. Jadi, tampak bahwa sebenarnya subyek sudah mampu melakukan perhitungan terhadap bentuk pangkat, akan tetapi subyek masih kurang menguasai definisi bentuk pangkat. 3. Kesalahan cara memahami konsep bentuk akar Dalam penelitian ini, pemahaman subyek terhadap bentuk akar adalah bahwa “ akar “ sama artinya dengan pangkat 4, dan bilangan dalam bentuk akar artinya adalah bilangan yang berpangkat bilangan bulat karena pangkat bilangan pecahan menurut subyek tidak ada. Hal ini tentu saja menyimpang dari definisi bentuk akar yang sebenarnya yaitu akar dari suatu bilangan rasional yang hasilnya merupakan bilangan irrasional. Sedangkan menurut subyek, bentuk akar adalah bilangan yang berpangkat bilangan bulat yang menghasilkan bilangan rasional. Berdasarkan teori Marpaung, kesalahan yang dilakukan subyek tersebut disebabkan karena subyek kurang menguasai kemampuan abstraksi yaitu kemampuan melihat kesamaan pokok dan


60

mengabaikan perbedaan – perbedaan atau sifat – sifat yang tidak mendasar. Kelemahan dalam kemampuan abstraksi disebabkan oleh karena kegagalan subyek dalam melakukan pendewasaan mental sehingga subyek banyak mengalami masalah dalam pemahaman konsep – konsep Matematika secara umum. Jadi, tampak bahwa subyek tidak memahami definisi bentuk akar secara benar sehingga menyebabkan subyek melakukan kesalahan dalam menentukan penyelesaian soal – soal yang berkaitan dengan bentuk akar. 4. Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar pada pemangkatan bilangan real Dalam penelitian ini, kesalahan dalam melakukan operasi aljabar pada pemangkatan bilangan real yang dilakukan subyek yaitu memangkatkan bilangan bulat dengan bilangan bulat dan memangkatkan bilangan bulat dengan bilangan pecahan. Dalam memangkatkan bilangan bulat dengan bilangan bulat, kesalahan yang dilakukan subyek adalah mengalikan bilangan pokok dengan pangkat bilangannya. Dalam memangkatkan bilangan bulat dengan bilangan pecahan, kesalahan yang dilakukan subyek adalah membagi bilangan pokok dengan pangkat bilangannya. Dari pekerjaan subyek tersebut, jelas bahwa subyek tidak memahami konsep pangkat karena cara penyelesaian soal subyek tidak sesuai dengan konsep pemangkatan bilangan. Berdasarkan teori Marpaung, kesalahan yang dilakukan subyek tersebut disebabkan karena subyek kurang menguasai kemampuan abstraksi yaitu kemampuan melihat kesamaan pokok dan mengabaikan perbedaan – perbedaan atau sifat – sifat yang tidak mendasar. Kelemahan dalam kemampuan abstraksi disebabkan oleh karena kegagalan subyek dalam melakukan pendewasaan mental sehingga

subyek

banyak

mengalami

masalah

dalam

pemahaman

konsep – konsep Matematika secara umum. Jadi, tampak bahwa subyek masih kurang menguasai konsep pemangkatan sehingga melakukan kesalahan dalam memangkatkan suatu bilangan. 5. Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar terhadap pembagian Dalam penelitian ini, kesalahan subyek dalam melakukan operasi pembagian terjadi ketika subyek memangkatkan bilangan bulat dengan bilangan pecahan, yaitu subyek membagi bilangan pokok dengan pangkat


61

bilangannya yang merupakan bilangan pecahan sehingga hasil pembagian tersebut tidak benar karena cara yang digunakan subyek tidak tepat. Sebagai contohnya, 27 13 = 27 :

1 3

1

= 3 dan 16 4 = 16 :

1 4

= 4. Berdasarkan teori

Marpaung, kesalahan yang dilakukan subyek tersebut disebabkan karena subyek kurang menguasai kemampuan mengatur dimana subyek tidak mampu mentaati aturan – aturan yang ada dalam Matematika. Jadi, tampak bahwa subyek tidak menguasai operasi pembagian. 6. Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma Dalam penelitian ini, kesalahan subyek dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma terjadi pada saat subyek menyelesaikan soal – soal logaritma yang diberikan, yaitu 4log 4

256 = 4log 16 = 4log 44 = 4.

log 4 = 4. 1 = 4. Dari contoh hasil pekerjaan subyek tersebut, tampak bahwa

kesalahan terletak pada saat subyek mengubah bilangan 16 menjadi bentuk pangkat dengan bilangan pokok 4, yaitu 16 = 44. Oleh karena itu, penyelesaian tersebut menghasilkan jawaban yang salah. Berdasarkan teori Marpaung, kesalahan yang dilakukan subyek tersebut disebabkan karena subyek kurang menguasai kemampuan konkritisasi atau partikulasi yaitu kemampuan mentransfer atau mengaplikasikan prinsip umum atas hal – hal khusus, sehingga subyek menggunakan aturan sendiri dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma. Jadi, tampak bahwa subyek belum menguasai materi logaritma sehingga menyelesaikan soal dengan sembarangan. 7. Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar terhadap penarikan akar suatu bilangan Dalam penelitian ini, kesalahan subyek dalam melakukan operasi aljabar terhadap penarikan akar suatu bilangan yang dilakukan subyek yaitu ketika subyek harus menentukan penyelesaian bilangan 3

4,

8,

16 , dan

27 . Di dalam menentukan penyelesaian terhadap bilangan – bilangan

tersebut, subyek selalu mengubah bilangan menjadi bentuk pangkat kemudian mengalikan bilangan pokok dengan pangkat bilangan itu. Berdasarkan definisi bentuk akar maupun bentuk pangkat, maka cara penyelesaian soal subyek


62

tersebut tidak tepat karena tidak sesuai dengan definisi dan sifat dasar bentuk akar. Berdasarkan teori Marpaung, kesalahan subyek tersebut disebabkan karena subyek kurang menguasai kemampuan formalisasi dimana subyek tidak mampu melihat bentuk dan berfikir secara formal dan menghilangkan makna atau konteks untuk memperoleh sesuatu yang lebih abstrak. Jadi, tampak bahwa belum mampu memahami bentuk akar secara benar.

B. Faktor Penyebab Kesalahan

Penyebab kesalahan subyek dalam menyelesaikan soal – soal logaritma adalah kurangnya kemampuan subyek dalam memahami materi. Pemahaman subyek terhadap Matematika yang kurang, dapat mengakibatkan kesalahan dalam menentukan penyelesaian soal. Kurangnya pemahaman materi yang dialami oleh subyek disebabkan karena subyek tidak menguasai beberapa kemampuan mental yaitu (1) kemampuan membandingkan, dimana subyek selalu menggunakan cara penyelesaian yang berbeda dalam menyelesaikan soal-soal logaritma meskipun sebenarnya cara penyelesaiannya sama, hanya bilangannya yang berbeda; (2) kemampuan mengatur, dimana subyek tidak menggunakan aturan-aturan yang berlaku dalam Matematika sehingga menciptakan aturan sendiri; (3) kemampuan melakukan abstraksi yang

menyebabkan

subyek

mengalami

masalah

dalam

pemahaman

konsep - konsep Matematika secara umum sehingga subyek tidak dapat memahami konsep dengan benar; (4) kemampuan formalisasi, dimana subyek mengalami kesulitan dalam melihat bentuk dan berfikir secara formal dan menghilangkan makna atau konteks untuk memperoleh sesuatu yang lebih abstrak; (5) kemampuan konkritisasi atau partikulasi, dimana subyek tidak mampu mentransfer atau mengaplikasikan prinsip umum atas hal – hal khusus secara benar; (6) kemampuan representasi, dimana subyek tidak mampu merepresentasikan ide - ide dalam berbagai modus, sehingga cara penyelesaian yang digunakan tidak tepat dan menghasilkan jawaban yang salah.


63

C. Kesulitan Subyek

1. Kesulitan mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat Dalam penelitian ini, kesulitan subyek dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat tampak ketika subyek mengubah bilangan

100 , dan

3

27 ,

4,

64 menjadi bentuk pangkat. Dari awal subyek diberi soal,

subyek sudah mengalami kesulitan dalam menyelesaikan soal karena subyek kesulitan dalam menjawab soal – soal tersebut sehingga diperlukan contoh penyelesaian soal terlebih dahulu. Akan tetapi, setelah contoh penyelesaian soal diberikan, subyek masih mengalami kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat sehingga tidak ada soal yang dapat diselesaikan dengan benar. Berdasarkan teori Marpaung, kesulitan yang dialami subyek dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat disebabkan karena subyek kurang menguasai kemampuan konkritisasi atau partikulasi yaitu kemampuan mentransfer atau mengaplikasikan prinsip umum atas hal – hal khusus. Jadi, tampak bahwa subyek kesulitan memahami bentuk akar dan bentuk pangkat sehingga perlu lebih banyak penjelasan terhadap materi tersebut. 2. Kesulitan dalam mendefinisikan bentuk akar Dalam penelitian ini, kesulitan subyek dalam memahami konsep bentuk akar terlihat ketika subyek diberi persoalan tentang bilangan 4 dan bilangan

4 , yaitu subyek diminta membedakan antara bilangan 4 dengan

bilangan

4 , apakah kedua bilangan tersebut mempunyai nilai yang

sebanding. Akan tetapi, subyek tidak memberikan jawaban apapun terhadap pertanyaan tersebut karena tidak dapat membedakan bilangan 4 dengan bilangan

4 . Berdasarkan teori Marpaung, kesulitan yang dialami subyek

dalam memahami konsep bentuk akar disebabkan karena kurang menguasai kemampuan klasifikasi yaitu kemampuan menggolongkan obyek atau menetapkan hubungan antarkelas sehingga subyek tidak mampu membedakan bentuk akar dan bilangan bulat. Selain itu, subyek juga kurang menguasai kemampuan melakukan abstraksi yang menyebabkan subyek mengalami


64

kesulitan dalam memahami konsep bentuk akar. Jadi, tampak bahwa subyek mengalami kelemahan dalam memahami konsep bentuk akar. 3. Kesulitan dalam mendefinisikan bentuk pangkat Dalam penelitian ini, kesulitan subyek dalam memahami konsep bentuk pangkat dialami subyek ketika subyek diberi persoalan tentang pangkat suatu bilangan yang berbentuk bilangan pecahan yaitu subyek harus memberikan jawaban apakah pangkat suatu bilangan yang berbentuk bilangan pecahan tersebut ada atau tidak. Akan tetapi, subyek tidak mengetahui ada atau tidaknya pangkat suatu bilangan yang berbentuk bilangan pecahan sehingga subyek tidak dapat memberikan jawaban apapun. Berdasarkan teori Marpaung, kesulitan yang dialami subyek dalam memahami konsep bentuk pangkat disebabkan karena subyek kurang menguasai kemampuan melakukan abstraksi

dimana

subyek

mengalami

kegagalan

dalam

melakukan

pendewasaan mental sehingga menyebabkan subyek mengalami kesulitan dalam memahami konsep bentuk pangkat. Jadi, tampak bahwa subyek mengalami kelemahan dalam mendefinisikan konsep bentuk pangkat. 4. Kesulitan dalam menghitung logaritma suatu bilangan Dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma, subyek selalu mengalami kesulitan dalam menghitung hasil logaritma suatu bentuk akar. Sebagai contoh, ketika subyek harus menentukan penyelesaian 4log 4

log 44 , 4log 4 , dan 2log

3

256 ,

8 , subyek tidak dapat menyelesaikan soal – soal

tersebut, sehingga subyek diam saja karena tidak tahu cara menyelesaikan soal yang berkaitan dengan logaritma. Berdasarkan teori Marpaung, kesulitan subyek dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma disebabkan karena subyek kurang menguasai kemampuan konkritisasi atau partikulasi dimana subyek tidak mampu mentransfer atau mengaplikasikan prinsip umum atas hal – hal khusus. Jadi, tampak bahwa subyek masih kurang menguasai logaritma. 5. Kesulitan dalam melakukan penarikan akar terhadap suatu bilangan


65

Dalam melakukan operasi aljabar terhadap penarikan akar suatu bilangan, kesulitan yang dialami subyek adalah ketika subyek melakukan penarikan akar terhadap bilangan

64 dan

81 . Pada mulanya, subyek

memiliki pemahaman bahwa bentuk akar sama artinya dengan bilangan berpangkat 2 sehingga dalam melakukan penarikan akar, subyek selalu menjawab dengan bilangan berpangkat 2, selanjutnya subyek mengalikan bilangan pokok dengan pangkatnya. Akan tetapi, ternyata pemahaman tersebut keliru dan subyek tidak mengetahui pengertian yang sebenarnya. Oleh karena itu, subyek mengalami kesulitan dalam melakukan penarikan akar terhadap suatu bilangan. Berdasarkan teori Marpaung, kesulitan subyek dalam melakukan operasi aljabar terhadap penarikan akar suatu bilangan disebabkan karena subyek kurang menguasai kemampuan melakukan abstraksi dimana subyek

tidak

mampu

melihat

kesamaan

pokok

dan

mengabaikan

perbedaan – perbedaan atau sifat – sifat yang tidak mendasar. Kelemahan subyek melakukan abstraksi disebabkan karena subyek mengalami kegagalan dalam melakukan pendewasaan mental. Jadi, tampak bahwa subyek masih kurang menguasai cara melakukan penarikan akar secara benar. 6. Kesulitan dalam melakukan pemangkatan bilangan real Dalam melakukan operasi aljabar terhadap pemangkatan bilangan real, kesulitan yang dialami subyek terlihat ketika subyek menentukan penyelesaian dari bilangan 273 dan 44. Subyek sama sekali tidak dapat menentukan penyelesaian soal tersebut. Berdasarkan teori Marpaung, kesulitan subyek dalam melakukan operasi aljabar terhadap pemangkatan bilangan real disebabkan karena subyek kurang menguasai kemampuan melakukan abstraksi dimana subyek tidak mampu melihat kesamaan pokok dan mengabaikan perbedaan – perbedaan atau sifat – sifat yang tidak mendasar. Kelemahan subyek melakukan abstraksi disebabkan karena subyek mengalami kegagalan dalam melakukan pendewasaan mental. Jadi, tampak bahwa subyek masih lemah dalam melakukan pemangkatan bilangan real sehingga tidak mampu menyelesaikan pemangkatan bilangan real secara benar.


7.

66

Kesulitan memberikan penjelasan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat Dalam penelitian ini, kesulitan yang dialami subyek terjadi ketika subyek diminta menjelaskan

16 = 164 dan 8 = 82, yaitu subyek

memberikan penjelasan terhadap asal pangkat dari bilangan 16 dan bilangan 8 tersebut. Dalam hal ini, subyek sudah mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat, tetapi ketika subyek diminta memberikan alasan terhadap perubahan bentuk bilangan tersebut, subyek tidak dapat menjelaskan jawabannya. Berdasarkan teori Marpaung, kesulitan subyek memberikan penjelasan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat disebabkan karena subyek kurang menguasai kemampuan representasi yang meliputi kemampuan merepresentasikan ide – ide dalam berbagai modus dan bentuk representasi enaktif, ikonik dan simbolik. Oleh karena itu, subyek tidak mampu merepresentasikan ide – ide yang ada di dalam pikirannya sehingga menyebabkan subyek kesulitan untuk menjelaskan hasil dari pekerjaannya. Jadi, tampak bahwa subyek tidak mengerti secara benar tentang bentuk akar dan bentuk pangkat. 8. Kesulitan memberikan penjelasan terhadap hasil penarikan akar suatu bilangan Dalam penelitian ini, kesulitan yang dialami subyek terjadi ketika subyek harus menjelaskan alasan mengenai penyelesaian 4,

16 = 4, dan

4 = 42 = 8,

4 =

8 = 4. Subyek tidak dapat memberikan penjelasan atas

jawaban – jawaban tersebut, padahal dari beberapa penyelesaian tersebut tampak bahwa

4,

16 , dan

8 mempunyai penyelesaian yang sama yaitu

4. Inilah yang seharusnya dijelaskan oleh subyek, akan tetapi subyek tidak dapat menjelaskannya. Berdasarkan teori Marpaung, kesulitan subyek memberikan penjelasan terhadap hasil penarikan akar suatu bilangan disebabkan karena subyek kurang menguasai kemampuan representasi yang meliputi kemampuan merepresentasikan ide – ide dalam berbagai modus dan


67

bentuk representasi enaktif, ikonik dan simbolik. Oleh karena itu, subyek tidak mampu merepresentasikan ide – ide yang ada di dalam pikirannya sehingga menyebabkan subyek kesulitan untuk menjelaskan hasil dari pekerjaannya. Jadi, tampak bahwa subyek belum mengerti tentang penarikan akar. 9. Kesulitan memberikan penjelasan terhadap hasil pemangkatan bilangan real Dalam penelitian ini, kesulitan yang dialami subyek terjadi ketika 1

1

subyek harus menjelaskan alasan mengenai penyelesaian 9 4 = 3 dan 27 3 = 3. Subyek tidak dapat memberikan penjelasan terhadap penyelesaian soal tersebut sehingga akhir penyelesaian soal tidak dapat diketahui dengan jelas. Berdasarkan teori Marpaung, kesulitan subyek memberikan penjelasan terhadap hasil pemangkatan bilangan real disebabkan karena subyek kurang menguasai

kemampuan

representasi

yang

meliputi

kemampuan

merepresentasikan ide – ide dalam berbagai modus dan bentuk representasi enaktif, ikonik dan simbolik. Oleh karena itu, subyek tidak mampu merepresentasikan ide – ide yang ada di dalam pikirannya sehingga menyebabkan subyek kesulitan untuk menjelaskan hasil dari pekerjaannya. Jadi, tampak bahwa subyek belum mengerti tentang pemangkatan bilangan real.

D. Faktor Penyebab Kesulitan Belajar

Berdasarkan teori Burton, beberapa faktor yang menjadi penyebab kesulitan subyek dalam belajar memahami materi yang mengakibatkan munculnya kesulitan dalam menyelesaikan soal yaitu (1) kurikulum yang kurang sesuai dengan kondisi subyek, bahan dan buku - buku ( sumber ) yang tidak sesuai dengan tingkat - tingkat kematangan dan perbedaan - perbedaan individu, dimana subyek dipaksakan untuk mengikuti metode pembelajaran yang menuntut subyek untuk berpikir mandiri, sedangkan subyek tidak mampu memahami apabila tidak diberi penjelasan terlebih dahulu; (2) ketidaksesuaian standar administratif ( sistem pengajaran yang hanya mementingkan tersampaikannya materi kepada subyek tanpa mempedulikan apakah subyek sudah memahami materi atau belum, penilaian, pengelolaan


68

kegiatan, dan pengalaman belajar mengajar ); (3) terlalu berat beban belajar ( subyek ) dan atau mengajar ( guru ), terlampau besar populasi subyek dalam kelas, serta terlalu berat menuntut kegiatan di luar; dan (4) kelemahan dari sistem belajar mengajar pada tingkat - tingkat pendidikan sebelumnya, sehingga untuk tingkat selanjutnya subyek juga mengalami kelemahan karena tidak mempunyai pengetahuan dasar yang kuat sebelumnya.

E. Gejala – Gejala Kesulitan Subyek

Beberapa gejala pertanda adanya kesulitan yang dialami subyek dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat adalah sebagai berikut : 1. Hasil tes yang dicapai sangat rendah 2. Lambat dalam mengerjakan soal - soal logaritma yang diberikan 3. Tidak langsung menjawab ketika diberi pertanyaan 4. Diam saja dan hanya memandangi soal

F. Bentuk Pangkat

Jika a adalah bilangan real ( a ∈ R ) dan n adalah bilangan bulat positif lebih dari 1, maka a dipangkatkan dengan n ( = an ) ditetapkan sebagai perkalian n faktor dengan tiap faktornya adalah a. Definisi ini dituliskan secara sederhana sebagai : an = a × a × a × … × a × a × a ( n buah faktor )

dimana a disebut bilangan pokok atau basis dan n ( bilangan asli > 1 ) disebut pangkat atau eksponen. Hampir seluruh subyek ketika diminta menentukan penyelesaian bentuk pangkat, selalu menjawab dengan cara mengalikan bilangan pokok dengan pangkat bilangan pokok tersebut, sehingga tidak menghasilkan penyelesaian yang tepat karena tidak sesuai dengan definisi pangkat bulat yaitu an = a × a × a × … × a × a × a ( n buah faktor ), dimana a disebut bilangan pokok atau basis dan n ( bilangan asli > 1 ) disebut pangkat atau


69

eksponen, serta tidak sesuai definisi pangkat bilangan bulat negatif yaitu a-n =

1 1 . = n a × a × a × ... × a × a × a a Akan tetapi, terdapat salah satu cara penyelesaian yang berbeda dari

salah satu subyek dalam menentukan penyelesaian bentuk pangkat bilangan pecahan. Cara penyelesaian tersebut adalah membagi bilangan pokok dengan 1

pangkat bilangan pokok tersebut, sebagai contohnya adalah 9 3 = 9 :

1 3

= 3.

Cara penyelesaian tersebut tentu saja tidak tepat karena tidak sesuai dengan definisi pangkat pecahan yaitu misalkan n bilangan bulat positif, a dan b bilangan – bilangan real sehingga berlaku hubungan bn = a, maka b disebut akar pangkat n dari a ( jika bn = a, maka

n

b n = n a atau b =

n

a dengan a

dan b ∈ R ).

G. Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan

Bentuk akar adalah akar dari bilangan rasional yang hasilnya merupakan bilangan irrasional. Bilangan pecahan adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk n ≠ 0). Dalam bentuk

m n

m n

( m dan n adalah bilangan – bilangan bulat dengan

itu, bilangan – bilangan m dan n tidak mempunyai

faktor persekutuan yang sama. Dengan demikian, bilangan berpangkat dengan pangkat pecahan dapat dituliskan dalam notasi sebagai : m

an dengan a bilangan real dan a ≠ 0.

Semua subyek memahami bahwa jika bentuk akar diubah menjadi bentuk pangkat, maka bentuknya akan menjadi bilangan berpangkat bilangan bulat. Sebagai contoh adalah 4 = 42 dan

4 , subyek menjawab dalam dua versi yaitu

4 = 44. Sedangkan untuk

1 , subyek menjawab bahwa

1

tidak terdefinisi. Jawaban – jawaban tersebut tidak sesuai dengan definisi bentuk akar yaitu akar dari bilangan rasional yang hasilnya merupakan


70

bilangan irrasional, serta tidak sesuai dengan sifat dasar bentuk akar yaitu q

p

a p = a q , dengan a = bilangan pokok, p = pangkat bilangan pokok, dan

q = pangkat akar. Dalam kasus ini, subyek memiliki pemahaman bahwa pangkat dari suatu bilangan yang berbentuk bilangan pecahan adalah tidak ada, jadi menurut subyek pangkat pecahan tidak ada, sehingga tidak satupun subyek menyelesaikan soal menggunakan pangkat pecahan.

H. Logaritma

Logaritma adalah invers dari perpangkatan, yaitu mencari pangkat dari suatu bilangan pokok sehingga hasilnya sesuai dengan yang telah diketahui. Misalkan a adalah bilangan positif ( a > 0 ) dan g adalah bilangan positif yang tidak sama dengan 1 ( 0 < g < 1 atau g > 1 ) : g

log a = x jika dan hanya jika gx = a Dalam penelitian ini, subyek belum sampai menyelesaikan perhitungan

logaritma karena untuk mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat, subyek masih melakukan banyak sekali kesalahan dan mengalami kesulitan sehingga subyek tidak mampu menentukan nilai logaritma dari soal - soal tersebut. Akan tetapi, salah satu subyek berhasil menyelesaikan perhitungan logaritma meskipun jawaban yang dihasilkan adalah keliru. Hal ini dikarenakan subyek melakukan kesalahan pada saat mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat, yaitu mengubah bentuk akar menjadi bilangan yang berpangkat bilangan bulat. Kesalahan subyek tersebut mengakibatkan kesalahan dalam menyelesaikan soal logaritma yang memuat bentuk akar.


71

BAB VII PENUTUP

A. Kesimpulan

Berdasarkan data dan informasi yang diperoleh serta hasil analisis data dalam penelitian ini, subyek banyak sekali melakukan kesalahan dan mengalami kesulitan dalam menyelesaikan soal – soal logaritma yang memuat bentuk akar terutama dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat. Berikut adalah kesalahan dan kesulitan subyek dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat. 1. Kesalahan Subyek a. Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat b. Kesalahan dalam memahami konsep bentuk pangkat c. Kesalahan dalam memahami konsep bentuk akar d. Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar pada pemangkatan bilangan real e. Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar terhadap pembagian f. Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma g. Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar terhadap penarikan akar suatu bilangan 2. Kesulitan Subyek a. Kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat b. Kesulitan dalam mendefinisikan bentuk akar c. Kesulitan dalam mendefinisikan bentuk pangkat d. Kesulitan dalam menghitung logaritma suatu bilangan e. Kesulitan dalam melakukan penarikan akar terhadap suatu bilangan f. Kesulitan melakukan pemangkatan bilangan real


72

g. Kesulitan memberikan penjelasan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat h. Kesulitan memberikan penjelasan terhadap hasil penarikan akar suatu bilangan i. Kesulitan memberikan penjelasan terhadap hasil pemangkatan bilangan 71 real

B. Saran

Untuk mengurangi kesalahan dan kesulitan yang dilakukan siswa dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat pada pembelajaran materi logaritma, penulis mengajukan beberapa saran sebagai berikut : 1. Dalam penelitian ini, keempat subyek tampak masih malu – malu menyampaikan ide – ide terhadap cara penyelesaian soal sehingga peneliti mengalami keterbatasan untuk memperoleh data. Hal ini menyebabkan data yang diperoleh peneliti kurang lengkap. Oleh karena itu, sebelum melakukan 69 penelitian sebaiknya peneliti dibantu pihak sekolah khususnya guru, memberikan penjelasan secara menyeluruh kepada subyek mengenai tujuan peneliti melakukan penelitian dan manfaat penelitian bagi subyek dengan harapan subyek tidak canggung atau malu dalam memberikan jawaban beserta penjelasan terhadap pertanyaan – pertanyaan yang diajukan peneliti guna memperoleh informasi selengkap mungkin. 2. Dalam penelitian ini, keempat subyek mengalami hambatan dalam menyelesaikan soal yang menyebabkan subyek mengalami kesulitan dalam menentukan penyelesaian soal. Oleh karena itu, sebaiknya peneliti memberikan sedikit penjelasan tentang materi pelajaran yang akan digunakan dalam penelitian untuk mengingatkan kembali subyek terhadap materi pelajaran tersebut sehingga subyek mempunyai gambaran dalam menentukan langkah – langkah penyelesaian soal. 3. Dalam penelitian ini, keempat subyek melakukan banyak kesalahan dalam menyelesaikan soal – soal logaritma khususnya dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dikarenakan pemahaman subyek yang keliru terhadap


73

konsep bentuk akar dan konsep bentuk pangkat. Oleh karena itu, sebaiknya peneliti memberikan kesempatan kepada subyek untuk mempelajari materi bentuk akar dan bentuk pangkat serta materi logaritma sebelum memberikan soal. DAFTAR PUSTAKA

Ahmadi, Abu. H. dan Widodo Supriyanto. 1991. Psikologi Belajar. Jakarta : Rineke Cipta. Ashlock, Robert. 1988. Error Patterns in Computation. New Jersey : Prentice Hall. Noormandiri, B.K. dan Sucipto, Endar. 2004. Matematika SMA Untuk Kelas X. Jakarta : Erlangga. Frans Susilo, SJ., St. Suwarsono, dan Fr. Y. Kartika Budi. 1998. Pendidikan Matematik dan Sains. Yogyakarta : Universitas Sanata Dharma. Habiburrahman. 1984. Diagnosis Kesulitan Belajar dan Pengajaran Remidi dalam Pendidikan IPA. Penataran Lokakarya Tahap II Proyek Pengembangan Pendidikan Guru (P3G) Departemen Pendidikan dan Kebudayaan. Jakarta. Marpaung, Y. 1986. Proses Berpikir Siswa dalam Pembentukan Konsep Algoritma Matematis. IKIP Sanata Dharma Yogyakarta. Marpaung, Y. 1986. Aspek – Aspek Kognitif yang Perlu Diketahui Guru – Guru Matematika sebagai Bekal untuk Dapat Membantu Siswa dengan Lebih Baik. IKIP Sanata Dharma. Lestari, Sri. 2003. Kumpulan Rumus Matematika SMU. Bandung : Kawan Pustaka. Wirodikromo, Sartono. 2004. Matematika untuk SMA Kelas X. Jakarta : Erlangga.


74

TRANSKRIPSI DATA 1 Wawancara pertama dengan Livi, siswa kelas X SMA Immanuel Kalasan. Hari : Jumat, 9 Maret 2007 P : Peneliti L : Livi 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

P : “ Selamat siang Livi…” [ L tersenyum ] P : “ Ini soal – soal tentang logaritma, coba kamu kerjakan mana yang paling mudah menurut kamu ! “ L : “ Contoh soal lain dulu ? “ 4

P [ P memberi contoh soal log 256 ] : “ Empat log akar dua ratus lima puluh enam berapa ? “ [ L diam sejenak ] P : “ Akar dua ratus lima puluh enam apabila diubah menjadi bentuk pangkat, menjadi dua ratus lima puluh enam pangkat berapa ? “ L : “ Dua lima enam pangkat empat ! ”

P : “ Kalau akar ini [ P menunjuk : 256 ], pangkat berapa ? “ L : “ Akar ? “ P : “ Akar dua ratus lima puluh enam sama dengan berapa ? “ [ L diam, menopang dagu ] P [ Memberi soal yang lebih sederhana ] : “ Kalau akar dua puluh lima sama dengan berapa ? “ 14. L : “ Lima ! “ 15. P : “ Mengapa ? “ 16. L : “ Karena lima kali lima sama dengan dua puluh lima ! “ Kembali ke contoh soal 17. P : “ Empat log akar dua ratus lima puluh enam sama dengan empat log enam belas bukan, sama dengan empat log berapa ? “ 18. L : “ Empat log empat pangkat empat ! ” 19. P : “Empat log empat pangkat empat sama dengan berapa ? “ 20. [ L diam ] 21. P : “ Empat ini [ menunjuk pangkat 4 pada bilangan 4 ] bisa diturunkan menjadi :

9. 10. 11. 12. 13.

4

22. 23. 24. 25.

4. log 4 = 4. 1 = 4 ? “ [ L mengangguk ] 4

26. 27.

P : “ Ini [ menunjuk : log 4 ] hasilnya berapa ? “ [ L diam ] P : “ Satu bukan ? Mengapa kali satu , karena empat log empat sama dengan satu ! Sudah mengerti ? “ L : “ Sudah ! “ P : “ Sekarang coba dikerjakan ! “

28.

[ L mulai mengerjakan soal :

3

8]


29. 30. 31. 32. 33. 34. 35.

75

P : “ Ini [ P menunjuk 3 8 ] kalau diubah menjadi bentuk pangkat, menjadi berapa ? ” [ L masih diam ] P : “ Jangan diperhatikan dulu lognya ! Akar pangkat tiga dari delapan ini bagaimana ? “ [ L bingung, tidak bisa menjawab ] P : “ Sekarang kalau akar delapan saja ! Akar delapan sama dengan delapan pangkat berapa ? “ L : “ Delapan pangkat dua ! “ P : “ Delapan pangkat dua ? Coba ditulis akar delapan sama dengan delapan pangkat dua ! “

36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43.

[ L menulis : 8 = 82 ] P : “ Mengapa bisa pangkat dua ? “ L : “ Akar delapan sama dengan delapan pangkat berapa, begitu ? “ P : “ Ya, delapan pangkat berapa ? “ L : “ Delapan pangkat empat ! “ P : “ Delapan pangkat empat ? “ [ L dengan ragu – ragu mengangguk ] P [ memberikan soal yang berbeda ]: “ Sekarang coba ditulis, akar enam belas sama dengan berapa ? “

44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53.

[ L menulis : 16 = 4 ] P : “ Akar enam belas hasilnya empat dari mana ? Mengapa bisa empat ? “ [ L berpikir ] P : “ Akar enam belas hasilnya empat, empat berarti lebih kecil dari enam belas ya ? “ [ L mengangguk ] P : “ Akar delapan tadi Livi menjawab delapan pangkat dua bukan ? “ [ L mengangguk lagi ] P : “ Coba ditulis, delapan pangkat dua sendiri hasilnya berapa ? “ L : “ Enam belas ! “ P : “ Delapan pangkat dua sama dengan enam belas, coba ditulis ! “

54. 55.

[ L menulis : 8 = 8 = 16 ] P : “ Enam belas lebih besar atau lebih kecil dari delapan ?”

56.

L [ meralat jawabannya ] : “ Lebih besar, o…ini [ L menunjuk

57. 58. 59. 60. 61. 62. 63. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 70.

2

8 ] empat, akar delapan

sama dengan empat [ L menulis 8 = 4 ] ! “ P : “ Akar delapan sama dengan empat ? Bisa empat dari mana, padahal tadi akar enam belas hasilnya juga empat ! “ [ L diam, tampak bingung ] P : “ Enam belas dengan delapan sama atau tidak ? “ L : “ Beda ! “ P : “ Tetapi hasilnya bisa sama, dari mana ? “ L : “ Kelipatannya ! Ini sama karena kelipatannya [ L menunjuk 16 = 4 ] ! “ P : “ Kelipatannya ? Kalau ditulis, bagaimana ? “ [ L diam sejenak ] P : “ Tadi akar delapan sama dengan delapan pangkat dua ya ? Menurut Livi delapan kuadrat ! Sekarang kalau akar enam belas diubah menjadi bentuk pangkat, menjadi enam belas pangkat berapa ? “ L : “ Enam belas pangkat empat [ kemudian L menghitung 16 × 16 × 16 ] ! “ P : “ Enam belas pangkat empat hasilnya berapa ? Banyak bukan ? “ [ L tersenyum malu ] P : “ Ini jawabannya sudah benar, akar enam belas sama dengan empat ! Mengapa sekarang menjadi enam belas pangkat empat ? Enam belas pangkat dua saja hasilnya sudah seribu dua ratus lima puluh enam…Padahal jawabannya empat bukan ? “ [ L tersenyum lagi ]


76

72. 73. 74.

P : “ Jadi, ini [ P menunjuk : 16 ] sebenarnya enam belas pangkat berapa ? Tidak mungkin bukan hasilnya menjadi banyak seperti ini [ P menunjuk : 1256 ] L : “ Enam belas pangkat nol ! “ P : “ Enam belas pangkat nol berapa ? “ L [ malu – malu menjawab ] : “ Enam belas ! “

75. 76. 77. 78. 79. 80. 81. 82. 83. 84. 85. 86. 87. 88.

P : “ Mengapa ini [ P menunjuk angka 2 pada 8 ] bisa dua ? “ [ L diam saja ] P : “ Sekarang Livi kerjakan sebisa Livi saja ! Akar seratus berapa ? “ L : “ Akar seratus ? “ P : “ Akar seratus hasilnya berapa ? “ L : “ Sepuluh ! “ P : “ Sepuluh diperoleh dari mana ? “ L : “ Sepuluh kali sepuluh ! “ P : “ Jadi, log sepuluh hasilnya berapa ? “ [ L tidak menjawab, hanya diam ] P : “ Kalau bilangan pokoknya disini tidak ditulis, berarti bilangan pokoknya berapa ? “ L : “ Sepuluh ! “ P : “ Jadi, log sepuluh hasilnya berapa ? “ L : “ Satu ! “

89. 90. 91. 92. 93. 94. 95. 96. 97. 98.

P [ memberi soal yang berbeda yaitu : 64 ] : “ Enam puluh empat kalau diubah menjadi bilangan berpangkat, menjadi empat pangkat berapa ? “ L : “ Empat ! “ P : “ Coba ditulis ! Menjadi, empat log empat pangkat empat ? “ [ L mengangguk ] P : “ Akarnya tetap atau hilang ? “ L : “ Akarnya hilang ! “ P : “ Mengapa bisa hilang ? “ L : “ Empat pangkat empat ! “ P : “ Menurut Livi, ’akar’sebenarnya bilangan pangkat berapa ? “ L : “ Akar ? “

99.

P : “ Ya, seperti [ P menunjuk :

71.

100. 101. 102. 103. 104. 105. 106. 107.

2

8 = 82 ] akar delapan sama dengan delapan pangkat dua

dan [ P menunjuk : 16 = 164 ] akar enam belas sama dengan enam belas pangkat empat, padahal akarnya sama bukan ? ” [ L tersenyum ] P : “ Akar a sama dengan a pangkat berapa ? “ L [ menulis angka 4 ] : “ a pangkat empat ! “ P : “ a pangkat empat ? “ [ L mengangguk ] P : “ Akar enam puluh empat kalau diselesaikan menjadi berapa ? “ [ L diam saja ] P : “ Saya ingin melihat penyelesaiannya ! Ini tadi akarnya bisa hilang, pangkatnya juga hilang, bagaimana caranya ? “

108. [ L diam saja, kemudian menulis : 4log 64 = 4log 4 = 4log 4 = 1, lalu mengubah jawabannya menjadi : 4 . 4log 4 = 4 . 1 = 4 ] 109. P : “ Jadi hasilnya ? “ 110. L : “ Empat ! “ 111. P : “ Sekarang kalau saya mempunyai soal akar sembilan, hasilnya berapa ? “ 112. L : “ Tiga ! “ 113. P : “ Karena tiga kali tiga hasilnya sembilan ? Jadi, sembilan sama dengan tiga pangkat berapa ? “ 114. L : “ Tiga pangkat dua ! “


77

115. P : “ Jadi [ P menunjuk angka 9 ], sembilan bisa diubah menjadi tiga pangkat dua ya ! Akar dari tiga pangkat dua tadi hasilnya tiga bukan ? “ 116. [ L mengangguk ] 117. P : “ Akar sembilan kalau diubah menjadi bentuk pangkat, menjadi sembilan pangkat berapa ? Akar sembilan sama dengan sembilan pangkat berapa ? “ 1

118. L : “ Sembilan pangkat dua ! “ [ kemudian L mengubah jawabannya dari 92 menjadi 9 4 =3] 119. P : “ Sembilan pangkat seperempat hasilnya sama dengan tiga ? “ 120. L : “ Setengahnya sembilan hasilnya enam, kalau seperempatnya hisalnya tiga ! “ 121. P : “ Bagaimana maksudnya ? “ 122. L : “ Aduh ! “ 123. P : “ Bagaimana ? Di corat – coret tidak apa – apa ! “ 124. L : “ Sebentar…Satu per tiga ! “ [ L mengubah jawabannya lagi ] 125. P : “ Sembilan pangkat sepertiga ? “ 126. L : “ Ya ! “ 127. P : “ Sembilan pangkat sepertiga hasilnya bisa tiga bagaimana ? “ 128. L : “ Sembilan dibagi sepertiga ! “ 129. P : “ Jadi, sembilan dibagi sepertiga sama dengan tiga ? “ 130. [ L mengangguk ] 131. P : “ Kalau akar enam belas tadi , menjadi enam belas pangkat berapa ? “ 132. L : “ Enam belas pangkat seperempat ! “ 133. P : “ Coba ditulis ! Akar enam belas sama dengan enam belas pangkat seperempat hasilnya…. ? “ 134. L : “ Empat ! “ 135. P : “ Empat diperoleh dari enam belas dibagi seperempat ? “ 136. L : “ Enam belas dibagi seperempat ! “ 137. P : “ Akar sembilan dan akar enam belas hanya berbeda angkanya, tetapi akarnya sama ! Akar sembilan sama dengan sembilan pangkat sepertiga, berarti akar sama dengan pangkat sepertiga ? “ 138. [ L mengangguk ] 139. P : “ Sedangkan yang di bawah ini [ P menunjuk : 16 ], akar sama dengan pangkat seperempat ! Berarti tidak sama bukan ? “ 140. [ L menggelengkan kepala ] 141. P : “ Jadi, akar dari setiap bilangan yang berbeda, artinya juga berbeda ? “ 142. [ L mengangguk ] 143. P : “ Sekarang, kalau akar pangkat tiga dari dua puluh tujuh berapa ? “ 144. L : “ Tiga pangkat tiga ! “ 145. P : “ Ini [ P menunjuk angka 33 ] bentuk dari dua puluh tujuh bukan ? “ 146. [ L mengangguk ] 147. P : “ Akarnya bagaimana ? Menjadi dua puluh tujuh pangkat berapa ? “ 148. [ L tidak menjawab ] 149. P : “ Akar sembilan tadi pangkat sepertiga dan akar enam belas tadi pangkat seperempat ! Kalau akar pangkat tiga dari dua puluh tujuh hasilnya berapa ? “ 150. L : “ Dua puluh tujuh pangkat sepertiga ! “ 151. P ; “ Coba ditulis ! Ini [ P menunjuk angka 33 ] dipakai atau tidak ? “ 152. L : “ Tidak ! “ 153. P : “ Dicoret saja ya ! Dua puluh tujuh pangkat sepertiga hasilnya berapa ? “ 154. L : “ Tiga ! “ 155. P : “ Bagaimana bisa tiga ? “ 156. [ L diam ] 157. P : “ Dari mana diperoleh tiga ? Bagaimana caranya ? “ 158. [ L masih diam ] 159. P : “ Dua puluh tujuh pangkat sepertiga sama dengan tiga diperoleh dari mana ? Mengapa bisa tiga ? “


78

160. L : “ Dua puluh tujuh dibagi sepertiga sama dengan tiga ! “ 161. P : “ Terima kasih Livi…”

TRANSKRIPSI DATA 2 Wawancara kedua dengan Martha, siswa kelas X SMA Immanuel Kalasan. Hari : Jumat, 9 Maret 2007 P : Peneliti M : Martha 1. 2. 3. 4. 5.

P [ P memberikan lembar kerja siswa ]: “ Selamat siang Martha…Sekarang coba kerjakan soal – soal ini, Martha pilih yang paling mudah dulu ! “ [ M menunjuk soal nomor 3 ] P : “ Nomor tiga ? “ [ M mengangguk ] P : “ Ditulis disini ! “ [ P memberikan selembar kertas untuk mengerjakan soal tersebut ]

18. 19.

[ M mulai menulis : 3log 3 27 ] P : “ Tiga log akar pangkat tiga dari dua puluh tujuh apabila diubah menjadi bentuk pangkat, menjadi tiga log berapa ? “ [ M diam saja ] P : “Akar pangkat tiga dari dua puluh tujuh apabila diubah menjadi bentuk pangkat, menjadi dua puluh tujuh pangkat berapa ? “ M : “ Dua puluh tujuh pangkat tiga ! “ P : “ Coba ditulis dua puluh tujuh pangkat tiga ! “ [ M menulis : 273 ] P : “Akarnya, tidak ada ? “ [ M diam saja ] P : “ Dua puluh tujuh pangkat tiga hasilnya berapa ? “ [ M tetap diam, tidak menjawab ] P [ memberi soal yang berbeda ] : “ Sekarang kalau akar delapan puluh satu sama dengan berapa ? “ [ M diam lagi ] P : “ Coba ditulis ! “

20. 21. 22. 23.

[ M menulis : 81 ] P : “ Akar delapan puluh satu sama dengan berapa ? “ [ M masih diam ] P : “ Coba angka yang lebih kecil saja, akar empat ! Akar empat sama dengan berapa ? “

6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.

M [ menulis : 4 = 2 ] : “ Dua ! “ P : “ Dua diperoleh dari mana ? Mengapa akar empat hasilnya dua ? “ M : “ Dua kali dua sama dengan empat ! “ P : “ Dua kali dua kalau ditulis dalam bentuk pangkat, menjadi dua pangkat berapa ? Sama artinya dengan dua pangkat berapa ? “ 28. M [ menulis angka 2 diatas angka 2, kemudian menulis : 4 = 22 ] : “ Dua pangkat dua ! “

24. 25. 26. 27.


79

29. P : “ Empat sama dengan dua pangkat dua ! Akar empat tadi hasilnya dua ya, akar empat sama dengan empat pangkat berapa ? “ 30. M : “ Empat pangkat dua ! “ 31. P : “ Coba tulis akar empat sama dengan empat pangkat dua, sama dengan berapa hasilnya ? “ 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42.

M : “ Delapan [ M menulis : 4 = 42 = 8 ] ! “ P : “ Delapan sama dengan dua ? “ [ M menggelengkan kepala ] P : “ Berbeda bukan ? Padahal akar empat hasilnya dua, sekarang mengapa bisa akar empat sama dengan empat pangkat dua sama dengan delapan ? “ [ M diam saja ] P : “ Empat pangkat dua sama dengan empat kali dua, hasilnya delapan, begitu ? “ [ M mengangguk ] P : “ Enam belas atau delapan ? “ [ M menunjuk angka 8 ] P : “ Jadi, empat pangkat dua sama dengan delapan diperoleh dari empat kali dua ? “ [ M mengangguk ]

43. P : “ Akar empat hasilnya dua, benar [ P menunjuk : empat sama dengan empat ? “ 44. [ M diam lagi ] 45. P : “ Akar empat sama dengan empat pangkat berapa ? “ 46. M : “ Empat pangkat empat ! “ 47. P : “ Empat pangkat empat hasilnya berapa ? “ 48. [ M tidak menjawab ]

4 = 2 ] ! Mengapa sekarang akar

4 = 2 ] ! Akar empat tadi hasilnya dua karena dua kali dua sama dengan empat ! Jadi, akar ini [ P menunjuk : 4 ] sendiri sebenarnya pangkat

49. P : “ Dari sini dulu [ P menunjuk :

50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61. 62. 63.

berapa ? “ [ M masih diam ] P : “ Empat tidak sama dengan akar empat bukan ? “ [ M diam lagi ] P : “ Karena akar empat hasilnya dua, jadi dua tidak sama dengan empat bukan ? “ [ M diam saja ] P : “ Kalau pangkat pecahan, ada atau tidak ? Misalnya pangkat setengah, pangkat sepertiga, pangkat seperlima atau mungkin pangkat dua per tiga ? “ [ M masih tetap diam ] P : “ Bilangan yang berpangkat bilangan pecahan misalnya dua pangkat dua per tiga atau dua pangkat setengah ada bukan ? “ M : “ Berarti setengah ! “ P : “ Setengah atau dua ? Akar empat sama dengan empat pangkat setengah atau empat pangkat dua ? “ M : “ Pangkat dua ! “ P : “ Jadi empat pangkat dua ? “ M : “ Ya ! “ P : “ Terima kasih Martha ! “


80

TRANSKRIPSI DATA 3 Wawancara ketiga dengan Nuno, siswa kelas X SMA Immanuel Kalasan. Hari : Sabtu, 10 Maret 2007 P : Peneliti N : Nuno 1. P : “ Selamat siang Nuno…Coba dari keempat soal ini, kamu kerjakan mana yang paling mudah dulu ! “ 2. N :[ N memilih soal nomor 1] 3. P : “ Akar ini diubah dulu ya ? Kalau log tidak ada angkanya [ P menunjuk : log ], bilangan pokoknya berapa ? “ 4. N : “ Sepuluh ! “ 5. P : “ Sepuluh ? “ 6. 7.

[ N mengangguk dan menopang dagu, kemudian menulis : 100 ] P : “ Akar seratus kalau diubah menjadi bentuk pangkat, sama dengan seratus pangkat berapa ?“

8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.

20. 21. 22.

[ N menulis : 100 = 100 ] P : “ Dua atau satu atau setengah atau seperempat ? “ N : “ Dua ! “ P : “ Akar seratus sendiri hasilnya berapa ? “ N : “ Akar seratus sama dengan sepuluh ! “ P : “ Sepuluh ? Coba ditulis disini, akar seratus sama dengan …Berapa hasilnya ? “ N : “ Sepuluh ! “ P : “ Nuno tadi mengatakan bahwa akar seratus sama dengan seratus pangkat…. ? “ N : “ Dua ! “ P : “ Seratus pangkat dua sendiri hasilnya berapa ? Pangkat dua berarti seratus kali seratus bukan ? “ [ N mengangguk ] P : “ Seratus kali seratus berapa ? Sepuluh ribu, padahal akar seratus hasilnya sepuluh ! Sepuluh sama atau tidak dengan sepuluh ribu ? “ N : “ Tidak ! “ P : “ Jadi, disini seratus pangkat berapa ? “ [ N diam, menopang dagu ]

23. 24. 25. 26. 27. 28. 29.

P : “ Kalau disini tidak ada angkanya [ P menunjuk : 100 ], sebenarnya dua bukan ? “ [ N mengangguk ] P [ memberi soal lain ] : “ Akar empat hasilnya berapa ? “ [ N menulis jawaban : 2 ] P : “ Mengapa bisa dua ? Dua diperoleh dari mana ? “ N : “ Karena dua kali dua empat ! “ P : “ Jadi, akar empat sama dengan dua karena dua kali dua sama dengan empat ? “

18. 19.


81

30. [ N mengangguk ] 31. P : “ Kalau akar empat ini [ P menunjuk : 4 ] diubah menjadi bentuk pangkat, menjadi empat pangkat berapa ? “ 32. N : “ Dua ! “ 33. P : “ Disini sama dengan dua ya ? Coba sekarang ditulis akar empat sama dengan berapa ? “ 34. N : “ Dua ! “ 35. P : “ Akar empat sama dengan empat pangkat sama dengan berapa ? “ 36. N : “ Enam belas ! “ 37. P : “ Enam belas sama dengan dua ? “ 38. N : “ Tidak ! “ 39. P : “ Bilangan pangkat yang berbentuk pecahan ada atau tidak ? “ 40. [ N diam, menopang dagu dan menggigit pensil, kemudian tersenyum malu ] 41. P : “ Misalnya dua pangkat sepertiga ada atau tidak ? “ 42. N : “ Ada ! “ 43. P : “ Ada ? “ 44. N : “ Ada atau tidak ya…? Menurutku tidak ada ! “ 45. P : “ Sekarang kalau akar satu hasilnya berapa ? “ 46. N : “ Tidak ada ! “ 47. P : “ Akar satu tidak ada hasilnya ? “ 48. [ N hanya senyum – senyum ] 49. P : “ Ya sudah ! Terima kasih Nuno…”


82

TRANSKRIPSI DATA 4 Wawancara keempat dengan Renata, siswa kelas X SMA Immanuel Kalasan. Hari : Sabtu, 10 Maret 2007 P : Peneliti R : Renata 1. 2. 3. 4. 5. 6.

P [ P memberikan lembar kerja siswa ] : “ Selamat siang Renata…Coba sekarang Renata kerjakan soal – soal logaritma ini, masih ingat bukan ? “ [ R menunjuk soal nomor 2 ] P : “ Coba dikerjakan ! “ [ R menulis : 2log 3 8 = 2log… ] P : “ Dua log akar pangkat dari delapan sama dengan dua log titik – titik, selanjutnya bagaimana ? “ R : “ Lupa ! “

7.

P : “ Lupa ? Coba sekarang mengerjakan yang ini dulu [ P menunjuk : 64 dan 100 ], Renata mau mengerjakan akar enam puluh empat atau akar seratus dulu [ R hanya tersenyum ] ? Kalau akar enam puluh empat dulu bagaimana ? “

8. 9.

[ R mengangguk, kemudian menulis : 64 ] P : “ Sekarang yang ini [ P menunjuk : 4 log ] tidak perlu dibaca dulu, akar enam puluh empat berapa ? Sama dengan enam puluh empat pangkat berapa ? “ [ R tidak menjawab ] P : “ Akar enam puluh empat hasilnya berapa ? “ R [ menulis : 8 × 8 ] : “ Delapan kali delapan ! “ P : “ Delapan kali delapan ? Jadi hasilnya coba ditulis berapa ? “ R : “ Enam puluh empat ! “ P : “ Akar enam puluh empat sama dengan…? “ [ R diam saja ]

10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

17. P : “ Coba ditulis, delapan pangkat dua sama dengan enam puluh empat [ 64 = 82 = 64 ], jadi akar enam puluh empat tetap enam puluh empat ? “ 18. R : “ Delapan…! Enam puluh empat ! “ 19. P : “ Delapan atau enam puluh empat ? “ 20. R : “ Delapan ! “ 21. P : “ Mengapa delapan ? Karena delapan kali delapan sama dengan enam puluh empat ! Akar enam puluh empat kalau diubah menjadi bentuk pangkat, menjadi enam puluh empat pangkat berapa ? “ 22. [ R diam saja ] 23. P : “ Pangkat pecahan ada atau tidak ? “ 24. [ R menggelengkan kepala ] 25. P : “ Tidak ada ? Jadi, yang ada dua hanya pangkat empat ? “ 26. [ R mengangguk ]


83

27. P : “ Terima kasih Renata…”

LEMBAR KERJA SISWA

Nyatakan tiap bentuk logaritma di bawah ini dengan memakai notasi eksponen dan tentukan nilai tiap logaritma tersebut ! Log 100 Penyelesaian :

2.

2

8

Log

Penyelesaian :

3.

3

Log

3

27

Penyelesaian :

4.

4

Log

64

Penyelesaian :


84


85


86


87


88


89


90


91


92


93

ANALISIS KESALAHAN DAN KESULITAN SISWA KELAS X SMA IMMANUEL KALASAN DALAM MENGUBAH BENTUK AKAR MENJADI BENTUK PANGKAT PADA POKOK BAHASAN LOGARITMA

Recommend Documents