Delftse Universitaire Pers

Delftse Universitaire Pers

2406 636 4

"fL7..~ or; r, ~:ld'r~

Vraagstukken over Mechanica verzameld door drs. R. Roest

.

..

iïllili~\liC C 2267057

2406 ft

636 4

CIP-gegevens Koninklijke Bibliotheek, Den Haag

Roest, R. Vraagstukken over mechanica / verz. door R. Roest. - Delft : Delftse Universitaire Pers. - lil. Uitg. in opdracht van: Vereniging voor Studie- en Studentenbelangen te Delft. ISBN 90-407-1292-1 SISO 533 UDC 531 (076: I)

Trefw.: mechanica.

©VSSD Eerste druk 1986 Vijfde druk 1996 Uitgegeven door: Delftse Universitaire Pers Stevinweg 1, 2628 eN Delft tel. 015 - 2783254, telefax 015 - 2781661. In opdracht van : Vereniging voor Studie- en Studentenbelangen te Delft Poortlandplein 6, 2628 BM Delft tel. 015 - 2782124, telefax 015 - 2787585, e-mail: [email protected] intémet: pubwww.TUDelft.NU-frVSSD Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of op enige andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever.

All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording, or otherwise, without the prior written permission of the publisher. ISBN 90-407 -1292-1

3

Voorwoord Deze verzameling vraagstukken kan gezien worden als de opvolger van het gelijknamige vraagstukkenboekje, samengesteld door drs. A.N. Borghouts en eerder door de Delftse Uitgevers Maatschappij uitgegeven. Menig vraagstuk in deze verzameling zal de vaste gebruiker ·dan ook bekend voorkomen, ook al is aan de redactie hier en daar wel wat veranderd. Daarnaast is een dankbaar gebruik gemaakt van vraagstukken die de laatste jaren aan . de Afdeling Technische Natuurkunde van de TH Delft zijn bedacht ten behoeve van de diverse mechanica-tentamens. Voorts is getracht de vraagstukken in een wat handzamere volgorde te rangschikken. Het oplossen van vraagstukken is (althans wat de mechanica betreft) nog altijd een geschikte methode om nieuw verworven kennis in te slijpen en te toetsen. Ook déze verzameling is vooral bedoeld voor eerstejaars-studenten natuurkunde, wiskunde, elektrotechniek, en scheikundige technologie. Een woord van advies aan de studenten is hier op zijn plaats: het is beter een beperkt aantal 'vraagstukken uit te kiezen en deze grondig te bekijken, dan te proberen een groot aantal vluchtig door te zien. De theorie komt op de eerste plaats; de . vraagstukken zijn slechts ter oefening. Het omgekeerde zou zeker onjuist zijn! Ten slotte nodig ik alle gebruikers gaarne uit deze verzameling kritisch te bezien. Commentaar gericht aan de uitgever of aan mij, is altijd welkom. Moge dit boekje velen tot steun zijn bij de studie van de mechanica. Voorburg, februari 1986

R. Roest

Bij de vijfde druk De nummering zoals die voor het eerst in de vierde druk is toegepast is niet gewijzigd. Het eerste nummer van elk vraagstuk verwijst dus naar het betreffende hoofdstuk van het theorieboek. Van sommige vraagstukken is de tekst herzien. Waar dit het geval is, is de toevoeging 'nieuwe tekst' vermeld. Enkele nieuwe vraagstukken zijn toegevoegd, met name de nummers 12.10 tot en met 12.15.

Voorburg, januari 1996

R. Roest

•

4

Bij de omslag:

De baan van ISEE-3 (International Sun-Earth Explorer) tussen juni 1982 en april 1985 Deze ruimtesonde was in augustus 1978 gelanceerd voor onderzoek aan de zonnewind en de wisselwerking daarvan met de aarde. Op 10 juni 1982 bevond zij zich nabij het punt waar de aantrekkingskracht van zon en aarde elkaar opheffen. Met behulp van de aanwezige stuurraketjes werd de koers zodanig gecorrigeerd dat, beurtelings gebruik' makend van de aantrekkingskracht van de aarde en van de maan, het ruimtevaartuig uiteindelijk (ten koste van bijzonder weinig brandstof) op weg was naar de komeet Giacobini-Zinner. Bij die gelegenheid werd de naam van de sonde veranderd in ICE (International Cometary Explorer). Op 11 september 1985 schoot ICE door de gasstaart van de komeet Giacobini-Zinner en was daarmee de eerste J'fJimtesonde die gebruikt is voor onderzoek aan een koineet. . De cirkel in 'de tekening is de baan van de maan ten opzichte van de aarde, de zon staat ver links onder de tekening. Bron van de tekening is het tijdschrift Zenit van september 1985, uitgave Stichting De Koepel te Utrecht; het origineel was getekend door Govert Schilling,

5

Inhoud Voorwoord Eenheden, reeksen, benaderingen 1. Inleiding 2. Kinematica van puntvonnige lichamen 3. De grondwetten van de dynamica 4. Dynamica van een puntmassa 5. Arbeid, energie, impuls, impulsmo~ent 6. Twee-deeltjes systemen; botsingen 7. Dynamica van een verzameling puntmassa's 8. Starre lichamen; rotatie van een lichaam om een vaste as 9. Vlakke dynamica van een star lichaam 10. Relatieve beweging en traagheidskrachten 11. Niet-gebalanceerde systemen 12. Het omgekeerd kwadratisch centrale krachtveld 13. Trillingen 14. Lineaire defonnaties 15. Vloeistofmechanica 16. Oppervlakteverschijnselen bij vloeistoffen 17. Mechanische aspecten van de relativiteitstheorie Antwoorden

3

6 8

9 13

14 20 30 36 37 43 53 58 64

71 76 78 84

86 87

6

Eenheden, reeksen, benaderingen De versnelling bij vrije val aan het aardoppervlak (symbool g)' wordt in alle vraagstukken (voorzover niet anders aa~gegeven) gelijk gesteld aan 10 rnIs 2• In alle opgaven worden uitsluitend SI-eenheden gebruikt.

Reeksen N

In

o

=t N(N + 1)

voor nE N.

1

L xn = I _ x 00

mits lxi < 1.

o

Taylor

.

f(xo + ~x)

~x (~x)2 , =f(xo) + TI f(xo) + ~ f (xo) + .. .

2

McLaurin f(x)

=f(O) + TIx f(O) + 2!x f ,(0) + ...

Binomiaal-reeksontwikkeling:

.

waarin

,

= =I, B == (~) =n, C =(~) =t n(n - I), i.h.a. (~) =k!(nn~ k)!

A (3)

In eerste orde benadering is (voor lxi « 1): eX

= 1 + x'

ln(l + x) =x sin x = x cos x = 1 tg x x (1 + x)n = 1 + nx voor elke n E R.

=

In tweede orde benadering is (voor lxi « 1): cos x = 1 -

tx

2•

7

Het griekse alfabet alfa A ex bèta B ~

Y

r

Ö

~

e

E

ç

Z H

11 1'} (e)

e

t

I

K

K

"A

A M

Il

gamma delta epsilon zêta êta thêta iota kappa labda mu

v

N

-

ç

.....

0

0

1t

p

11 P

cr

L

't

T

'IJ

y

X

'ro"

\}I

.Q

nu xi o-mikron pi rho sigma tau u-psilon ti chi psi o-mega

...

9

1. Inleiding 1.1. Voor de luchtweerstand Fw die een auto tijdens het rijden ondervindt geldt de formule: Fw = Cw·t pv 2 ·S. Hierin is S de oppervlakte van de grootste dwarsdoorsnede van de auto; v is zijn snelheid t.o.v. de omringende lucht; p is de massadichtheid van die lucht; C w is de bekende oCw-waarde' die kleiner is naarmate de auto beter gestroomlijnd is. Ga na wat de dimensie is van C w • 1.2. De viscositeit (taaiheid) van een vloeistof wordt aangeduid met het symbool Tl . De S.I.-eenheid voor viscositeit is: kg·m-1 .çl . Een heel klein bolletje (straal r) dat langzaam valt (bijvoorbeeld een mistdrupPeltje in de lucht of een fietskogeltje ineen met glycerol gevuld glas) ondervindt eèn weerstandskracht Fw die groter is naarmate Tl, r enlof de valsnelheid groter zijn. We schrijven daarom: Fw = C·Tla.rP.vY waarin C een dimensieloze constante is, terwijl de exponenten a , ~ , y uiteraard ook dimensIeloos zijri. Zoek, met behulp van dimensieanalyse, uit hoe groot a, ~ en y zijn. 1.3. Van "een punt P zijn de cartesische coördinaten : x = 3,0; y= 4,0; z = 12,0 (meter). Bereken de bol-coördinaten r,
10

2. Kinematica

van puntvormige

lichamen 2.1. Een puntmassa beweegt langs een rechte lijn (x-as). Zijn versnelling is: x = 3 - 2t (mls 2 ). Op tijdstip t = 0 passe~rt het deeltje de oorsprong met snelheid x = 4 mis. Q. Bereken x als functie van de tijd; schets het diagram van x tegen t. b. Bereken x als functie van de tijd. Wat is de maximale waarde van x sinds t =O? c. Wanneer passeert het deeltje opnieuw de oorsprong? 2.2. Op een deeltje werkt langs een rechte lijn een periodieke kracht, die het de versnelling x = 3 sin(t 1tt) mls 2 geeft. Op tijdstip t '= 0 is x = 0 en v = O. Bereken de plaats van het deeltje als functie van de tijd. (Voorbeeld: een elektrisch geladen deeltje tussen de platen van een condensator die op een wisselspanning is aangesloten.)

2.3. Een deeltje beweegt langs een rechte lijn '(x-as). Op t

= 0 bevindt het zich in

x = 0 en heeft dan de snelheid Vx = Vo > O. Er werkt een vertragende kracht op die evenredig is met de snelheid, zodat ax -bv x, waarin b > O. Pas na oneindig lange tijd zou de snelheid geheel nul geworden zijn. De afgelegde weg zou dan toch niet oneindig lang zijn! Bereken, hoe lang die weg zou zijn.

=

2.4. Een deeltje beweegt langs een rechte lijn (x-as). Op t

=

=

= 0 bevindt het zich in

x 0 ~n heeft dan de snelheid Vx Vo > O. Er werkt een vertragende kracht op die van de snelheid afhangt (bijvoorbeeld een wrijvingskracht); daardoor ondervindt het deeltje een versnelling a x -bvi waarin b > O. Q. Bereken de snelheid Vx als functie van t. b. Bereken de plaats x als functie van t.

=

2.5. Twee auto's A en B rijden in dezelfde richting achter elkaar aan, B voorop. De snelheden zijn VA en VB waarbij VA> VB. Als de auto's nog op een afstand d van elkaar af zijn, gaat de bestuurder van A remmen; de rem vertraging heeft de constante waarde a. Bewijs dat een botsing onvermijdelijk is iridien VA - vB > -V2ad.

2.6. Plaats B ligt ten noorden van plaats A. Een vliegtuig heeft de opdracht in rechte lijn van A naar B en weer terug te vliegen. De afstand tussen A en B is 1.. De snelheid van het vliegtuig ten opzichte van de omringende lucht is V; de windsnelheid is v'. Q. Toon aan dat de benodigde tijd (voor de retourvlucht), in het geval dat de wind een westenwind is, gelijk is aan:

Kinematica van puntvormige licharren

11

/2

)_ & -2f. ( I -Vv v2 .

b. Toon aan dat de benodigde tijd, in het geval dat de wind uit het noorden komt, gelijk is aan:

c. In welk geval duurt de reis langer, bij westenwind of bij noordenwind? 2.7. Een puntmassa P voert een eenparige cirkelbeweging uit. De straal van de cirkel is r. Op tijdstip t ;:: 0 was x ;:: ren y 0:

=

y

p

x

. De hoeksnelheid is 00. Q. Geef x(t) en y(t) van P. b. Geef vx(t) en vy(t) van P en ga na dat ..L c. GeefaxCt) en ay(t) van P en ga na dat ä -ro2r.

v r. =

2.8. Een vliegwiel (diameter 3 m) heeft een hoeksnelheid die gelijkmatig afneemt van 100 toeren per minuut op t = 0 tot nul op t ;:: 4 s. Bereken de tangentiële en de normale versnelling van een punt op de omtrek op t =2 s .

2.9. (nieuwe tekst) Een deeltje beweegt langs een cirkel, 'tegen de wijzers van de klok in'. De straal van de cirkel is 25 m. Op het tijdstip t is de lengte van de afgelegde boog C vanaf een vast punt van de cirkel: C =5t2 - 5t. Bereken de snelheid, hoeksnelheid, hoekversnelling en de grootte van de versnelling . op het tijdstipt = 2 s. Bereken ook de hoek tussen de versnelling en de momentane voerstraal van het deeltje op dat tijdstip.

2.10. De coördinaten van een in een plat vlak bewegende puntmassa zijn: x Q.

=2 sin rot en y =2 cos rot. Hierin is ro een constante. Wat is de baan-vergelijking?

b. Bereken de grootte van de snelheid als functie van de tijd. c. Bereken atan en an als functie van de tijd. d. Wat voor beweging is hier beschreven?

12

Vraagstukken over mechanica

2.11. Een bal (puntmassa) wordt schuin omhoog geworpen. Verwaarloos de luchtweerstand. Het ogenblik waarop hij het hoogste punt passeert noemen we t =O. De hoogte boven de grond is dan h = 30 m; zijn snelheid is dan Vo =4 omls. In de figuur is de baan getekend en is een coördinatenstelsel aangebracht. De plaatsvector op t =0 is in dit coördinatenstelsel: 10 =(0; 30m), de snelheidsvector op t =0 is vo =(4 mis; 0): y

x a. Geef plaatsen snelheidsvector (11 en VI) op tijdstip t = I s. b. ll1 ~f 1 1 -10; ga na welke hoek

Sr maakt met de X-as.

c. llv ~f VI - vo; ga na welke hoek llvmaakt met de X-as. d. B.e reken de grootte van de tangentiële en van de normale component van de versnelling op tijdstip t 1 s. e. Bereken de kromtestraal in het hoogste punt van de baan.

=

2.12. Een puntmassa doorloopt een vlakke baan in het XY-vlak. Voor zijn plaatsvector 1(t) geldt: 1 ={3 cos(5t); 2 sin(5t)}. a. Bereken de snelheid v(t) en de versnelling a(t). b. Het punt (0;2) I1gt op de baan. Bereken de kromtestraal in dat punt. c. De plaats van de puntmassaokàn niet alleen door de rechthoekige cOördinaten x en y worden aangegeven, maar eveneens door de poolcoördinaten r en cp. Bereken r en cp op het tijdstip t = 0,15 s. d. Bereken de grootte van de radiale en de transversale component van de snelheid op het tijdstip t = 0,15 s. 2.13. Een boot beweegt in stromend water. Ten opzichte van het water heeft de boot een snelheid 4 kmlh in noordwestelijke richting. De werkelijke snelheid (ten opzichte

Kinematica van puntvormige lichamen

13

van de wal) is 5 kmlh in westelijke richting. Ga na, iri welke richting de stroming is en hoe groot de stroomsnelheid is.

2.14. In twee ten opzichte van elkaar bewegende coördinatensystemen OXYZ en O'X'Y'Z' zijn de eenheidsvectoren 1; Ten k in dezelfde richting. De plaatsvector van een puntmassa is in het eerstgenoemde stelsel:

en ten opzichte van het andere stelsel:

a. Ga na, met welke snelheid O'X'Y'Z' be~eegt ten opzichte van OXYZ. b. Toon aait dat de versnelling van de puntmassa in beide stelsels gelijk is.

14

3.De grondwetten van ·de dynamica 3.1. Astronauten in spe worden gewend aan een toestand van gewichtsloosheid in een vliegtuig waarvan op zeker ogenblik de motoren worden uitgeschakeld zodat het toestel gedurende enige tijd als een ballistisch projectiel door de atmosfeer beweegt. De luchtweerstand die het .vliegtuig ondervinöt is te verwaarlozen in vergelijking met de zwaartekracht. De astronauten oriënteren zich ten opzichte ,van een met het vlieguig verbonden coördinatenstelsel. Is dit een inertiestelsel? 3.2. Een kunstmaan cirkelt rond de aarde. De bemanning (en alles wat zich verder in de kunstmaan bevindt) is gewichtloos. Is een aan de kunstmaan verbonden coördinatenstelsel een inertiestelsel?

15

4.

Dynamica van een puntmassa

4.1. Een__deeltj.-: (massa m) kan bewegen in een plat vlak onder invloed van twee krachten F I en F2. FI is steeds naar het vaste punt A (-a,O) gericht en h.eeft de grootte F I =c/r1 als rl de afstand van het deeltje tot A is. F2 is steeds van het punt B (a,O) af gericht en heeft de grootte F2 = ac/~ als r2 de afstand van het deeltje tot B is. Het deeltje passeert het punt P (-a,+a) met de snelheid v (2,4'
=

4.2. Een man van 90 kg staat ,in een lift. Bereken de grootte van de kracht die de bodem van de lift uitoefent op de man als: a~ de lift versneld omlaag gaat met versnelling 3 rnIs2; b. de lift vertraagd omlaag gaat met vertraging 3 rnIs2.

4.3. (nieuwe tekst) Een fietskogeltje wordt voorzichtig losgelaten, vlak onder het , wateroppervlak van een met water gevuld hoog glas. De beginsnelheid van het kogeltje is nul. De resultante van zwaartekracht en opwaartse kracht op het kogeltje is 4,0·] 0-4 N. De massa van het kogeltje is 4,5.10-5 kg. Het kogeltje ondervindt een wrijvingskracht die evenredig is met zijn snelheid: = -Cv, waarin C = 3,0·10-4 kg/s. ' a. Stel de differentiaalvergelijking op, waaraan v moet voldoen. b. De snelheid neemt weliswaar toe, ~aar nadert een eindwaarde die willekeurig dicht benaderd zou kunnen worden indien de af te leggen afstand willekeurig groot zou zijn. Bereken die 'eindwaarde'. c. De oplossing van de in a gevraagde vergelijking is van de vorm v a + (3e'Yl, waarin a, (3, 'Y reële constanten zijn. Bereken de snelheid, één tiende seconde na het loslaten.

Fw

=

4.4. Een voorwerp hangt, in de toestand van rust, aan een schroefveer. Wordt de veer nog wat verder uitgerekt en dan losgelaten, dan gaat het voorwerp een trillende beweging uitvoeren. a. Stel de bewegingsvergelijking van het trillende lichaam op. Voer daartoe een plaatscoördinaat z in, met positieve richting naar beneden, en kies z = 0 voor het vrije einde van de veer als het lichaam er nog niet aan bevestigd is. Stel de veerconstante gelijk aan b, en stel de massa van de veer gelijk aan nul. b. Leid uit de bewegingsvergelijking de trillingstijd van het lichaam af. Ga na dat de

16


zwaartekracht geen invloed heeft op de trillingstijd. c. Stel dat, als het voorwerp in rust aan de schroefveer hangt, deze nog 0,1 m extra wordt uitgerekt. De trillingstijd blijkt 0,5 s te zijn. Met welke snelheid gaat het voorwerp,door de evenwichtsstand? d. Befeken de versnelling die het voorwerp heeft als het zich 0,05 m boven de evenwichtsstand bevindt. e. Hoeveel wordt de veer korter als het voorwerp afgehaakt wordt?

4.5. (nieuwe tekst) Op een glad horizontaal oppervlak zijn twee vaste punten aangebracht. Een puntmassa met massa m is via twee identieke gespannen snaren bevestigd aan de beide vaste punten. De lengte van elke snaar is f.. Geeft men de puntmassa een kleine uitwijking u in een horizontale richting loodrecht op de snaren en laat men dan los, dan zal de puntmassa vervolgens een trilling gaan uitvoeren. \

\ \

11

\ \

\ \

--(}m I

I I

11

I

I

I I I

a. De snaren zijn strak gespannen; de spankracht in elke snaar is So. Toon aan dat voor kleine uitwijkingen u de puntmassa harmonisch trilt. Bereken voor dit geval , de trillingstijd. (Neem aan dat d~ spankracht in de snaren steeds dezelfde waarde (So) behoudt). b. Stei nu, dat de spankracht in de beide snaren juist nul is in de evenwichtssituatie. Zodra de puntmassa een uitwijking u bezit, heerst in de snaren een spankracht . waarvan de grootte rechtevenredig is met de lengtetoename van de snaren. Toon aan dat de trilling nu niet harmonisch is. ,

4.6. Twee konische slingers zijn aan hetzelfde plafond bevestigd. Ze hebben Verschillende lengten maar ze bewegen zodanig dat de beide puntmassa's op dezelfde hoogte boven de vloer hun cirkels beschrijven. Bewijs dat beide slingers dezelfde omlooptijd hebben. ,4 .7. Fen trein rijdt met 63 krnlh door een scheefgelegde (verkante) bocht. De kromtestraal van de bocht is 300 m.


17

a. Bereken de verkantingshqek a opdat geen zijdelingse wrij'ving optreedt. b. Bereken de hoek die een ketting, opgehangen aan het plafond in één van de wagons, maakt met de verticaal. Opmerking: Bij de vraagstukken 4.8 tfm 4.11 dient de wet van behoud van mechanische energie te worden gebruikt in de vorm d(f mv 2 ) =-d(mgh).

4.8. Een gladde schaal heeft de vorm van een halve bol. Men laa't vanaf de rand een puntmassa naar beneden glijden met beginsnelheid nul.

•x a. Met welke snelheid passeert het deeltje het onderste punt A van de schaal? b. Hoe groot is de krach~ die de schaal in het punt A ondervindt bij het passeren van het deeltje? c. Hoe groot is de kracht op de kom bij het passeren van punt B (LAMB =
-

4.9. Een puntmassa (m) bevindt zich op een halfbolvormige ijsberg. Men geeft de puntmassa een uiterst kleine verplaatsing, waarna hij uit zichzelf verder naar beneden glijdt. Op zeker ogenblik verliest de puntmassa dan het contact met de (volkomen glad veronderstelde) ijsberg. Ga na, bij welke waarde van hoek

Q

18


4.10. Een bol die als puntmassa beschouwd kan worden, is door middel van een massaloze staaf in een punt A vrij draaibaar opgehangen. De lengte van de staaf is .e . . Met welke minimum snelheid moet men de bol uit de rusttoestand wegstoten, opdat de staaf over 1t rad draait? Als men de staaf door een massaloos ondersteld touwtje vervangt; met welke horizontaal gerichte minimum snelheid moet men dan de bol wegstoten opdat de bol over de hoogte 2.e stijgt? 4.11. Een cirkelvormige, aan de binnenzijde open goot is in een verticaal vlak opgesteld. De straal van de goot is R. Een deeltje waarvan d.e massa m is glijdt langs een hellend vlak naar beneden, zo, dat het de goot in het laagste punt horizontaal binnentreedt. Stel dat nergens wrijvingskrachten optreden. . a. Op welke hoogte h moet het deeltje minstens worden losgelaten opdat het het bovenste punt van de cirkelbaan passeert?

b. Bereken de snelheid vals functie van de hoek

4.12. Een planeet (P) voert een eenparige cirkelbeweging uit om de zon (Z). De massa van P is m; de massa van Z is M » m. De straal van de cirkelbaan is r. Hoe groter r is, des te groter is ook de omlooptijd T. Bewijs dat T recht evenredig is met rl,s. 4.13. Op een ruwe tafel ligt een blok waarvan de massa . I 0 kg is. Aan het blok is een koord bevestigd dat over een gladde pin aan de rand van de tafel hangt en dat aan

5 kg


19

t van de tafel het andere uiteinde een lichaam met massa 5 kg draagt. De wrijvingskrach op het blok is 20 N. Bereken de spankracht in het koord en de versnelling van het blok. , Verwaarloos de massa van het koord. ene einde een 4.14. Over een horizontale gladde pin glijdt een koord dat aan het kg. Bereken de lichaam van 6 kg draagt en aan het andere einde .een lichaam van 3 de licham~n .kracht, die het koord op de pin uitoefent tijdens de bewegi ng van (verwaarloos de massa van het koord).

4.15. Kl is een losse katrol; K2 is een vaste katrol; H is een hijsbalk. deze katrol aan Het lichaam met massa m I hangt aan de losse katrol. Het koord, waar eveneens aan de hangt, is enerzijds aan de hijsbalk bçvestigd en anderzijds over de, het koord hangt hijsbalk bevestigde, vaste katrol geslagen. Aan het vrije uiteinde van l. het lichaam met massa m2. De rechte stukken van het koord hangen verticaa rloosd. De massa van het koord wordt, evenals die van de katrollen, '· verwaa H

a. Bereken de grootte van de spankracht in het koord.

in g). b. Bereken de versnellingen waarmee de beide lichamen bewegen (uitgedrukt Hoe zijn die versnellingen gericht? van de dwarse 4.16. Een homogene balk waarvan de lengte C is en de oppervlakte aan een van die doorsnede A, wordt in zijn lengterichting door een constante kracht F, voortgetrokken. de uiteinden aangrijpt, over een horizontaal volkomen glad oppervlak eindvlak? a. Hoe groot is de trekspanning in de balk op een afstand x van het voorste (Trekspanning cr trekkracht gedeeld door doorsnede.) b. Hoe groot is de trekspanningals de balk in zijn lengterichting vrij valt?

•

=

cht in de 4.17. Om een wiel is een dunne band van rubber gespannen. De spankra band is F:~. De straal van het wiel is R; de breedte van de band is b. a. Hoe groot is de druk die de band op het wiel uitoefent?

...

20

b.

Vraagstukken over mechanica S~el de massa van de band per lengte-eenheid A. Als men het wiel om zijn as laat draaien, bij welke hoeksnelheid oefent de band dan geen druk meer op het wiel uit?

4.18. Een blok van 10 kg ligt op een horizontale tafel. Op het blok rust een onbekende massa m. Het blok is door middel van een massaloos koord verbonden met een vrij hangend lichaam van 5 kg. Het koord loopt over de volkomen gladde pin P. De statische wrijvingscoëfficiënt Ils voor de wrijving tussen blok en tafel is 0,20; de kinetische wrijvingscoëfficiënt Ilk is 0,15.

Bereken de minimaal benodigde waarde van m opdat het blok blijft liggen. b. Bereken de versnelling van het blok als de massa m is weggenomen.

Q.

•

21

5. Arbeid,

energie, impuls, impulsmoment

Arbeid en energie 5.1. -Een lichaam van 0,5 kg valt van 1 m hoogte op een verticaal geplaatste druk veer waarvan de bindingssterkte (veereonstante) 2000 NIm is. Bereken de maximale indrukking van de veer. 5.2. Een schjoefveer is aan een plafond opgehangen; de veereonstante is b. Aan het onderste einde van' de veer wordt eén steen, waarvan de massa in is, gehaakt, en uit deze stand losgelaten. Verwaarloos de massa van de veer ten opzichte van die van de steen. a. De steen heeft tijdens zijn beweging een potentiële energie ten gevolge van de zwaartekracht en een potentiële energie ten gevolge van de veerkracht. 'Stel een uitdrukking op voor de totale potentiële energie van de steen ten opzichte van de oorspronkèlijke stand. Maak een grafische voorstelling van de potentiële energie als functie van de uitrekking z. b. I Hoe groot is de potentiële energie van de steen in zijn laagste stand? Leid daaruit af over welke lengte de steen in zijn laagste stand gedaald is. c. Het stelsel veer plus steen gaat een trillende beweging uitvoeren, die, tengevolge van dempingskrachten, na enige tijd tot rust komt. Over welke lengte is de veer in deze eindstand uitgerekt?

5.3. Een puntmassa beweegt langs de x-as. Hij ondervindt een kracht, ten gevolge waarvan hij een potentiële energie bezit: Ep =3x2 - x3 + 1. a. Schets de grafiek van Ep tegen x. b. Ga na, hoe de richting van de kracht is voor x < 0, voor 0< x< 2, en voor x > 2 meter. c. Stel dat nu nog gegeven is dat het deeltje in dit krachtveld een trilling uitvoert. Ga na, tussen welke waarden in dat geval zijn totale mechanische energie moet liggen. d. Als het trillende deeltje een zo hoog mogelijke totale mechanische energie bezit, tussen welke grenzen van x beweegt het dan?

1.

5.4. Op een deeltje werkt een kracht F=(y2 - x2)i+ 3xy

a. Toon aan dat dit krachtveld niet conserverend is. b. Bereken de arbeid, verricht door F, als het deeltje van punt 0 (0,0) wordt verplaatst naar punt A (2,4) langs de volgende weg: Eerst langs de x-as tot (2,0) en dan evenwijdig aan de y-as naar A.

L-- ____________

~

______________________________________________

~

________

~

22


.

.

c. Dezelfde vraag voor een andere weg: Eerst langs de y-as tot (0,4) en dan verder evenwijdig aan de x-as tot A. , d. Dezelfde vraag voor nog een andere weg: van 0 in rechte lijn naar A. 5.5. Op een deeltje werkt een kracht F =2xy1+ x2J. a. Toon aan dat dit krachtveld conserverend is. b. Bereken de arbeid, verricht door F, als ~et deeltje van punt 0 (0,0) naar punt A (2,4) gaat. c. Bereken de potentiële energie van het deeltje als functie van x en y. \

=

5.6. Op een deeltje werkt een kracht F 2axy1+ (ax 2 + 3ay2)J. a. Toon aan dat het krachtveld conserverend is. b. Bereken de potentiële energie van het deeltje in het punt P (1,2) as we Ep kiezen in het punt Q (3,0).

=0

5.7. Een deeltje beweegt in een conserverend krachtveld. De massa m =0,2 kg. Voor de kracht die het ondervindt in een punt met coördinaten x, y, z' geldt: Fx = 2px3y2; Fy =xqy; Fz ~ 0; de constanten p en q zijn:;: O. a. Bereken p en q. b. Het deeltje passeert het punt (1,2,0) met een snelheid v 6J. Bereken de grootte van de tangentiële versnellingscomponent en van de kromtestraal R van de baan in dat punt. c. Bereken de potentiële energie van het deeltje ten opzichte van de oorsprong in het punt P (1,2,0).

=

5.8. Een deeltje waarvan de massa m is, beweegt langs een rechte lijn. De potentiële energieis Ep =cxJ(x 2 + a2), waarin a en c positieve constanten zijn. a. In welke punten kan het deeltje in een evenwichtstoestand zijn? Onderzoek of het . evenwicht labiel of stabiel is. Schets het diagram van Ep tegen x. b. Stel het deeltje bevindt zich in rust in de stabiele evenwichtstoestand. Welke snelheid zou men het dan moeten geven opdat het deeltje naar - 0 0 verdwijnt? En welke snelheid opdat het naar +00 gaat?

5.9. a. Bewijs dat de potentiële energie Ep van een deeltje met massa in in het gravitatieveld van de aarde (opgevat als bolsymmetrisch verdeelde massa; straal RA) is, t.o.v. zeeniveau:

Hierin is go de valversnelling op zeeniveau en h de hoogte boven zeeniveau. De invloed van de rotatie van de aarde wordt verwaarloosd.

Arbeid, energie, impuls, implusmoment

23

b.. Bereken de potentiële energie Ep van een deeltje van 1 kg in het gravitatieveld van de aarde met behulp van bovenstaande formule voor h = 50 km, 500 km en 5000 km, alsook voor h ~ 00. Gegeven is nog dat go =9,8 m/s 2 en RA :::: 6350 km. Bereken Ep voor de genoemde hoogten ook met behulp van de formule Ep :::: mgoh.

, 5.10. a. Een deeltje bevindt zich in een centraal krachtveld. Voor de veldkracht geldt:

c is een positieve constante. Bereken de potentiële energie van het deeltje in dit veld (op een constante na) . • b. Dezelfde vraag voor het geval dat de veldkracht is:

waarin a een lengte is. ·c. Bereken nu de potentiële energie van het in vraagstuk 4.1 genoemde deeltje in het daar beschreven krachtveld, als functie van rl en r2. d. Bereken laatstgenoemde potentiële energie als het deeltje zich bevindt in het punt P (-a,+a). Stel Ep 0 in het oneindige. e. Dezelfde vraag, maar nu :-V0rdt Ep = gesteld als het deeltje zich bevindt in het punt .(O,O). f. De snelheid in het punt P is (2,4...) c/am)i; deze is zo groot dat het deeltje , willekeurig ver weg komt. Bereken de grootte van zijn snelheid in het oneindige.

=

°

v

5.11. Bereken de amplitude en de beginfase van een trillend punt, als voor de uitwijking geldt: u =3 sin(oot) + 4 cos(oot). 5.12. Een deeltje trilt langs de x-as in het in vraagstuk 5.3 beschreven krachtveld. De amplitude is klein (d.w.z. « I m). De massa van hetdeeitje is 0,24 kg. Bewijs dat het deeltje nagenoeg harmonisch trilt en bereken de trillingstijd.

5.13. Een puntmassa (massa m) beweegt langs een rechte lijn (x-as), onder invloed van een kracht Fx = c/x 2 - kx (c en k zijn positieve constanten). a. Bereken de coördinaat Xo van het punt waar de puntmassa in evenwicht verkeert. b. , Berekende potentiële energie als functie van x (stel Ep = voor x =Xo) en schet~ de grafiek, voor x > 0. c. Men geeft de puntmassa vanuit de evenwichtsstand een kleine uitwijking Llx en laat hem dan los. Bewijs dat voor ILlxl « Xo de beweging bij benadering is op te vatten a(s een harmonische trilling; bereken de trillingstijd.

°

24


5.14. Op een deeltje waarvan de massa m is werkt de kracht:

Hierin is a > 0 en b > O. a. Schets in een grafiek de potentiële energie Ep van het deeltje als functie van r. Stel Ep = 0 voor r ~ 00. b. Op welke afstand.ro van de oorsprong (het krachtcentrum) kan het deeltje in stabiel evenwicht verblijven? Met welk punt in de grafiek correspondeert deze evenwichtsstand? c. Als men het deeltje vanuit de evenwichtsstand een verplaatsing M > 0 geeft, gaat he~een trilling uitvoeren. Geldt dat ook voor elke M < O? Onderzoek beide gevallen . met behulp van de grafiek. d. Als IMI « ro gaat het deeltje een harmonische trilling uitvoeren. Hoe groot is daarvan de trillingstijd?

Krachtstoot en impuls 5.15. Op een lichaam werkt gedurende 5 seconden een naar grootte en richting I constante kracht van 4 N. Beantwoord de volgende vragen zonder de versnelling van het lichaam uit te rekenen. a. Hoe groot is de impuls (hoeveelheid beweging) die het lichaam krijgt, als het oorspronkelijk in rust was? b. Als het lichaam een massa van 0,2 kg heeft, en het, voor de kracht begon te werken, een snelheid van 3 mis had in de, richting waarin de kracht werkt, hoe groot is dan de eindsnelheid? c. Indien het lichaam (massa 0,2kg), voor de kracht begon te werken, een snelheid van 4 mis had in de richting tegengesteld aan die waarin de kracht werkt, hoe groot is dan de eindsnelheid? d. Beantwoord vraag c als op het lichaam, in plaats van een constante kracht, de kracht F = t/5 N gedurende 5 seconden werkt.

5.16. Een wagentje kan zonder wrijving op zeer kleine wielen uitsluitend in één richting rijden. Het wagentje staat aanvankelijk stil; de massa is 50 kg. a. Een man loopt in de genoemde richting met een snelheid van 2 mis op het wagentje toe; de massa van de man is 70 kg. Welke snelheid krijgt het wagentje als de man er op springt en zich dan aan het wagentje vasthoudt? Geldt bij deze gebeurtenis de wet van behoud van energie? Verklaar uw bevinding. b. Terwijl het wagentje rijdt, gooit iemander nog een zak zand van 20 kg op, in een richting loodrecht op de rijrichting. Welke snelheid heeft het wagentje daarna?


C.

25

Even later gooit de man de zak zand er weer af, in een richting loodrecht op de rijrichting. Welke snelheid heeft het wagentje nu?

5.17. Een aan zichzelf overgelaten wagentje, waarvan de massa mo is, rijdt met snelheid vo over rechte horizontale rails. Wrijvifig, luchtweerstand en wielmassa zijn verwaarloosbaar klein. Het begint opeens te regenen; waardoor er per seconde r kg water in de wagen valt. De regen valt loodrecht naar beneden. Bereken de snelheid van de wagen na t seconden regenval in de volgende twee gevallen. a. Het regenwater blijft i.n de wagen staan. b. Het regenwater vloeit door een verticale afvoerpijp in çle bodem van de wagen weg, zó dat er per seconde evenveel water wegstroomt als er in de wagen valt. c. Na hoeveel tijd is in elk van de gevallen (a) en (b) de snelheid tot Vo afgenomen?

.

.

t

5.18. Men laat een ei en een tennisbal beide van één meter hoogte op een marmeren vloer vallen. Ei en tennisbal hebben beide een massa van 0,050 kg. Welk van beide lichamen ondervindt bij de botsing de grootste krachtstoo~? Bereken de grootten van de krachtstoten.

5.19. In een verticaal opgestelde dikke plank worden n kogels per seconde geschoten, die in het hout blijven steken. Elke kogel heeft een massa m en een snelheid v loodrecht op de plank. Welke constante kracht is nodig om de plank op zijn plal\ts te houden? Als de plank vervangen wordt door een stalen plaat waar de kogels tegen terugkaatsen met een snelheid even groot als de trefsnelheid, hoe groot is dan de kracht, nodig om de plaat op zijn plaats te houden?

5.20. Hoe kunt u verklaren dat een ei, dat van een bepaalde hoogte valt, op een harde bodem kapot valt en op een zachte bodem niet? .

.

5.21. Van een stapel damschijven kan men één der schijven uit de stapel wegstoten door er met een dun latje hard tegen te slaan, zonder dat de stapel omvalt. Het lukt echter niet één schijf langzaam uit de stapel weg te trekken. Verklaar dat.

5.22. Een raket is klaargezet om verticaal op te stijgen. Zijn oorspronkelijke massa (inclusief brandstof) is 1000 kg. De verbrandingsgassen verlaten de raket met een debiet van 2 kg per s. Gevraagd de minimale snelheid waarmee deze gassen de raket moeten verlaten opdat de raket zich ook werkelijk van de aarde verheft.

5.23. In de zwaartekrachtvrije ruimte (ver van alle sterren en planeten) bevindt zich

=

een raket. Op zeker tijdstip t 0 is de snelheid van de raket ten opzichte van een bepaald inertiestelsel nul. De massa van de raket zonder brandstof is mo; de massa van de brandstof in de raket is 2mo op t 0 (de totale massa is dan dus 3mo).

=

I

26


De raket stoot r kg per s uit in de vorm van verbrandingsgassen die met een constante . snelheid y' (ten opzichte van de raket) uitstromen. a. Ten gevolge van het uitstromen van de verbrandingsgassen ondervindt de raket een constante kracht. Bereken de gr~ite van deze kracht. b. Doordat de massa steeds kleiner wordt, is de versnelling a van de raket niet • constant. Bereken de snelheid vals functie van de tijd en schets het v-t diagram voor het tijd-interval [0; 3molr].

5.24. Een raket gaat recht omhoog; de beginsnelheid is nul. De massa van de raket zonder brandstof is M; de oorspronkelijke massa van dé brandstof is mo. Per sstoot de raket r kg brandstof uit; r =0,05 mo. De uitstroomsnelheid v' van de gassen t.O. v. de raket is constant; v' 5.103 mIs. a. Bewijs dat voor de snelheid van de raket als functie van de tijd geldt, voor het tijdinterval [0;20 s]:

=

. v

) =-gt + v, 1n ( MM+mo + mo _ rt

indien we de luchtweerstand mogen verwaarlozen en de valversnelling als constant mogen beschouwen. b. Voor het geval dat M v

=-gt -

=mo is de genoemde formule te vereenvoudigen tot:

v' In(l - 0,025t).

Bereken voor dat geval de grootte van de snelheid op het tijdstip t op welke hoogte de raket zich dan bevindt. Aanwijzing: In x dx x In x-x.

J

=20 s. Ga na,

=

Krachtmoment en impulsmoment; perkenwet 5.25. Voor de plaatsvector van een puntmassa van I kg geldt:

r =t 21 + t 31- tk a. Bereken de kracht op de puntmassa. b. Bereken het krachtmoment ten opzichte van de oorsprong: c. Bereken de impuls van het. deeltje en ook het impulsmoment ten opzichte van O.

d. Ga na dat inderdaad M = L

5.26. Een planeet beschrijft, in-het gravitatieveld van de zon, een ellipsbaan waarbij

=

de zon in één der brandpunten staat. Voor de ellipsbaan geldt: x2 /a 2 + y2/b 2 I waarbij a de halve lange as is en b de halve korte as. De plaatscoördinaten van het middelpunt van de (stilstaand gedachte) zon zijn: (+f;O), waarin f = ...J a 2 - b 2. In het perihelium (d.i. het punt waar de 'a fstand tot de zon minimaal is) is de snelheid van de planeet vo.


27

a. Bereken de perksnelheid (dat is de per seconde door de voerstraal doorsnederi oppervlakte), uitgedrukt in a, fen voo b. Bereken de omlooptijd, uitgedrukt in vo, a en f. Opmerking: de oppervlakte van de ellips is 7tab.

5.27. Op een deeltje waarvan de massa m is, werkt een naar een vast punt 0 gerichte kracht waarvan de grootte c/i2 is (c =constante). Aanvankelijk bevindt het deeltje zich op zeer grote afstand van 0 en heeft dan de snelheid Vo in de getekende richting. De afstand van 0 tot de drager van Vo is a. Tengevolge van de aantrekkende kracht beschrijft het deeltje een gekromde baan om O. Stel vergelijkingen op waaruit berekend kunnen worden: de kleinste afstand rm waarmee het deeltje tot 0 nadert, en de snelheid Vm die het deeltje op het ogenblik van dichtste nadering heeft.

---..----_. Vo

m

5.28. Een projectiel met massa m wordt van het aardoppervlak weggeschoten met een snelheid Va die een hoek van ~ rad met de verticaal op het aardoppervlak maakt. De invloed van de luchtweerstand mag verwaarloosd worden. De aardstraal is R. Het middelpunt van de aarde heet O. De rotatie van de aarde wordt yerwaarloosd. a. Hoe groot is het· impulsmoment van het projectiel ten opzichte van 0 op het ogenblik van afschieten? Wat is de richting van dit impulsmoment? ~

Vo

b. Op een later tijdstip bevindt het projectiel zich op een afstand r (> R) van O. Men denkt zich de snelheid van het projectiel ontbonden in een radiale component Vrad en een transversale component Vtr loodrecht daarop. Hoe groot is Vtr? (uitgedrukt in de gegevens).

v

28

, Vraagstukken over mechanica

c. Bewijs, dat de potentiële energie van het projectiel gelijk is aan: R2

-mgo- . .

r

. .. H lenn IS go

=GmA R2

(G = gravitatieconstante; mA = massa van de aarde). Waar is het nulpunt van de . potentiële energie gekozen? Wat is de fysische betekenis van go? d. Stel, Vo =. .J goR. Het projectiel bereikt een.grootste hoogte h boven het aardoppervlak. Bereken h, uitgedrukt in R. . e. Bereken ook de kromtestraal p in het hoogste punt van de baan. f. Bereken de ontsnappingssnelheid (dit is: de waarde die Vo minstens moet hebben opdat het projectiel niet meer terugkeert).

5.29. Men wil een kunstsatelliet in een elliptische baan om de aarde brengen, zo, dat de afstanden tot het aardoppervlak variëren van R (in het perigeum) tot SR (in het . apogeum), als R = straal van de aarde. (Beschouw de aarde als bolvormig en pomogeen van samenstelling.) Stel de versnelling van de gravitatiekracht aan het aardopperylak go. a. Toon aan dat men de satelliet in het perigeum een beginsnelheid gelijk aan ...J3goRl4 moet geven. b. Als de satelliet zich op een hoogte van 2R boven het aardoppervlak bevindt, maakt de richting van de baan een hoek a met de voerstraal uit het middelpunt van de aarde. Toon aan: sin a == ...[0,8. c. Bereken de kromtestraal van de baan in het perigeum.

5.30. Een ruimtevaartuig met massa m beschrijft een cirkelvormige baan met straal R rond de zon (Z) met massa rtI z• De grootte van zijn snelheid is voo In een bepaald punt P van die baan wordt de snelheid plotseling vergrQ9t tot VI. De nieuwe baan is ellipsvormig; het verste punt A ligt op afstand 4,4R van het middelpunt van de zon (het meest nabijgelegen punt is· uiteraard P)~ In A heeft de snelheid de grootte V2. Het ruimtevaartuig kan als puntmassa worden opgevat; m z » m. De gravitatieconstante is G.

4,4R

a. Bereken de potentiële energie Ep van het ruimtevaartuig in het gravitatieveld van de zon als fuhctie van de afstand r tot het middelpunt van de zon. Stel Ep =0 als r =.00.


29

b. Bereken V2 uitgedrukt in Vl. c. Bereken VI uitgedrukt in vo0 d. Bereken de kromtestraal van de ellipsbaan in het punt P, uitgedrukt in R.

5.31. Een deeltje, waarvan de massa m is, beweegt in een centraal krachtveld. De . plaatsvector r ten opzichte van het krachtcentrum 0 is, als functie van t: ..... ~ ~ Va . r = tro cos rot + J - sm rot ro waarin vo, ro en ro CQnstanten zijn. a. Bereken plaats en snelheidsvector op tijdstip t O. b. Stel de vergelijkin!Lvan de baan van het deeltje op in rechthoekige coördinaten. c. Bereken de kracht F die op het deeltje werkt. d. Bereken de snelheid van het deeltje àls functie van r. e. Hoe groot is het impulsmoment van het deeltje ten opzichte van O? Bereken met behulp daarvan de transversale component van de snelheid (dit is de comporient die loodrecht staa~ op f), als functie van r.

=

5.32. Een puntmassa (massa m) beweegt in een centraal krachtveld. Voor zijn potentiële energie geldt: Ep =-c/rh, waarin r de grootte van de plaatsvector ris; c is een positieve cönstante. Op zeker ogenblik is zijn plaatsvector ro en de snelheid voo De hoek tussen sneiheid en plaatsvector is op dat ogenblik <Xo (0.< <Xo < Tussen ro en Vo bestaat het volgende verband:

i).

Vo

=_1_

-

[2C

r03 -"

m

en

dus:

I 2

2

c

-mvo = r06

a. Bewijs, dat er in dit geval een maximale waarde van r bestaat (met andere woorden: de puntmassa kan niet willekeurig ver weg komen). Hoe groot is deze waarde van r? b. Bereken de kromtestraal van de baan van de puntmassa in zijn verste punt (uitgedrukt in r max ).

30


5.33. (nieuw) Een puntmassa (massa in) doorloopt een ellipsvormige baan in een centraal krachtveld. Het krachtcentrum 0 valt samen met één der brandpunten van de ellips. De potentiële energie van de puntmassa in dit krachtveld is: Ep -<;Ir (c is een positieve constante; r is de afstand tot het krachtcentrum). Q. In het perihelium (het punt van de ellips dat het dichtste bij O ,ligt) heeft r' de waarde ro, terwijl de snelheid is:

=

~32 mro' c

Vo =

Bereken de totale mechanische energie E (dat is Ep + Ek) alsook L (de grootte van het impulsmoment t.o.v. 0), uitgedrukt in c, m en ro. b. Bereken de potentiële energie Ep* ván het ééndimensionale equivalent (als functie van r) en schets het diagram van Ep * tegen r. c. Bereken r in het aphelium (het punt van de ellips dat het verst van 0 verwijderd is).

31

.6.

Twee-deeltjes systemen; b'o tsingen

6.1. Langs een rechte lijn bewegen twee deeltjes, waarvan de massa ' s zijn: mi = 4 kg en m2 = 6 kg. Zij trekken elkaar aan met een kracht waarvan de grootte recht evenredig is met hun afstand; de evenredigheidsfactor is 0,02 Nim , Langs de lijn is een coördinaat-as aangebracht met een bepaalde oorsprong. Op het tijdstip t = 0 bevinden de deeltjes zich op de plaatsen x I = 7 m en X2 = 57 m, Zij bewegen op dit tijdstip van elkaar af, met. snelheden respectievelijk 3 ,en 2 mis. a. Toon aan dat de snelheid van het massamiddelpunt nul is. Bereken de plaats van dat punt. b. Hoe groot is de mutuele potentiële energie van het stelsel van de twee deeltjes, ten opzichte van de toestand van dichtste nadering, als hun onderlinge afstand ris? c. Welke snelheden hebben de deeltjes vlak vóór zij botsen? d. Hóe groot is de maximale afstand tussen de twee deeltjes vóór de botsing geweest? 6.2. Twee vrij beweeglijke elektrisch geladen deeltjes (massa mi en m2 ; ladingen ql en Q2, beide positief) bevinden zich aanvankelijk op grote afstand van elkaar. De snelheid VI van deeltje I is dan Yo en is gericht naar deeltje 2, dat dan nog in rust is. Hoe dicht naderen de deeltjes elkaar'!-'(De gravitatiekrachten zijn verwaarloosbaar ten opzichte van de coulombkrachten.)

vo

6.3. Een deeltje, genummerd I, wordt met snelheid geschoten in de richting van een ander deeltje, genummerd 2. De deeltjes stoten elkaar af met de kracht C/r2 , als r hun onderlinge afstand is (C is een constante). Op het ogenblik van afschieten is de afstand zeer groot (r = 00). De massa's van de deeltjes zijn mi en m2. De gravitatiekrachten tussen de deeltjes zijn verwaarloosbaar klein. a. De~ltje 2 is eerst vast opgesteld. Bereken de kleinste afstand waarop I tot 2 nadert. b. Op het ogenblik dat 1 zo dicht mogelijk tot 2 g~naderd is, wordt deeltje 2 vrij beweeglijk. Bereken de snelheden van elk van de deeltjes als ze zich daarna op zeer grote afstand van elkaar bevinden.

6.4. De experimenteel bepaalde dissociatie-energie van een waterstofmolecuul is 7,18· 10- 19 J. Toon aan dat daaruit volgt dat de gravitationele interactie van de twee waterstofatomeri waaruit het molecuul is opgebouwd niet de oorzaak kan zijn van de vorming van het molecuul uit zijn atomen. Nadere gegevens: de afstand tussen de atomen in het molecuul is 0,745.10- 10 m; de massa van een waterstofatoom is 1,673.10-27 kg; de gravitatieconstante is l' G 6,7· 10- 11 Nm 2/kg 2 .

=

32


6.5. Van de aarde wordt een projectiel (massa 20 kg) verticaal omhoog geschoten; de beginsnelheid is 100 mIs. Het projectiel bevat een springlading die, als het projectiel . . op 320 meter hoogte is gekomen, ontploft. Door de ontploffing wordt het projectiel in twee stukken gedeeld, waarvan de massa's even groot zijn (elk 10 kg). Het ene deel vliegt weg in horizontale richting met een snelheid van 160 mis. De duur van de ontploffing is zeer klein. Verwaarloos de massa van de springlading; verwaarloos de luchtweerstand. a. In welke richting beweegt het massamiddelpunt van de twee stukken (die als puntmassa's beschouwd kunnen worden) na de ontploffing? b. Hoe groot is de impuls van het stelsel van de twee stukken onmiddellijk na de ontploffing? c. Bereken de snelheid die het tweede deel van het projectiel heeft, onmiddellijk na de . ontploffing. d. Hoeveel chemische energie·moet er bij de explosie tenminste zijn vrijgekomen?

.

6.6. Door Lennard-Jones is aangetoond dat de mutuele potentiële energie van een stelsel van twee non-polaire moleculen als functie van hun onderlinge afstand r wordt . beschreven door de functie Ep(r) = 4E[(cr/r)12 - (cr/r)6], waarin E en cr constanten zijn.

a. Schets het verloop van Ep als functie van r. . b. Wat is de kleinste afstand waarop twee moleculen elkaar kunnen naderen als hun totale energie nul is? (Hieruit volgt de betekenis van cr.) c. Met welke onderlinge afstand van de moleculen kan het stelsel in stabiel evenwicht zijn? Hoe groot is dan hun interactie-energie? (Hieruit volgt de betekenis van E.) d. Bereken de krachten die de moleculen op elkaar uitoefenen. e. Bereken de trillingstijd van het stelsel voor kleine uitwijkingen uit de stabiele evenwichtstoestand, als de massa's van de moleculen beide m zijn.

Botsin.g en 6.7. Twee bollen (massa's m en Sm) bewegen naar elkaar toe met even grote snel- . heden ven -v. a. Bereken de snelheden van de bollèn na de botsing, als deze centraal en volkomen elastisch is. b. Als de botsing centraal en volkomen onelastisch verloopt, hoe groot zijn dan de snelheden na de botsing? Hoeveel procent van de oorspronkelijke kinetische energie van beide bollen tezamen is in dit geval "verdwenen"? 6.8. Een atoom A, massa mb botst met snelheid v tegen een in rust zijnd atoom B, massa m2. Bij kleine relatieve snelheid is zo'n botsing altijd elastisch. Bij grotere relatieve snelheid kan de botsing ook wel gedeeltelijk elastisch zijn, of zelfs onèlastisch. In dat geval neemt de totale kinetische energie van beide atomen samen af met E (= energie, nodig om één van beide atomen aan te slaàn). Het relatief grootste

Twee deeltjes systemen; botsingen

33

verlies aan kinetische energie treedt op indien de botsing centraal en onelastisch is. Bereken voor dat geval de kinetische energie van A vóór de botsing, uitgedrukt in E, ml.en In2.

6.9. De snelheid van een kogel wordt gemeten met een ballistische slinger. De kogel, waarvan de massa 2,5.10-3 kg is, wordt in een met zand gevuld kistje geschoten, dat aan een lang koord opgehangen is. De kogel blijft in het zand steken. De massa van het kistje met zand is 4 kg; de afstand van het zwaartepunt tot het punt waar het om kan slingeren is 3,6 m. Het zwaartepunt van het kistje krijgt na ,het schot een maximum uitwijking van 0,1 m in horizontale richting. Bereken de snelheid van de kogel vóór het treffen.

6.10. Een gladde bol, waarvan de massa 2m is, botst met een snelheid v scheef tegen een stilstaande bol waarvan de massa m is. De botsing verloopt elastisch. Op het ogenblik van botsing maakt de verbindingslijn van de (massa)middelpunten van de bollen een hoek van ~ rad met de richting van v. Over welke hoek wijkt de eerstgenoemde bol ten gevolge van de botsing van zijn oorspronkelijke bewegingsrichting af? 6.11. Een gladde bol A (massa m) heeft snelheid v en botst scheef tegen een in rust zijnde bol B (massa 2m). De botsing is gedeeltelijk elastisch. Op het ogenblik van de botsing maakt de verbindingslijn van de (massa)middelpunten van de bollen een hoek van 0,50 rad met de richting van v. Bol B heeft na de botsing een snelheid UB waarvan de grootte 0,30 v is; de richting maakt natuurlijk een hoek van 0,50 rad met v. a. Bereken de snelh«?id vc van het massamiddelpunt van het twee~deeltjes systeem, uitgedrukt in,v. b. Bereken de snelheid vB van B in het m.m.-stelsel vóór de botsing. c. Bereken de grootte van de snelheid uB van B in het m.m.-stelsel na de botsing. d. Bereken de grootte van de snelheid UA van bol A na de botsing. Opmerking: in dit vraagstuk speelt de zwaartekracht geen enkele rol. 6.12. Twee bollen (massa's 2 kg en 10 kg) bewegen langs onderling loodrechte wegen naar elkaar toe, met snelheden van respectievelijk 120 en 18 mis. Na de botsing blijven de bollen aan elkaar gekleefd. In welke richting en met welke snelheid beweegt het geheel onmiddellijk na de botsing? Construeer in een tekening de krachtstoten die ze bij de botsing op elkaar uitoefenen. 6.13. (nieuwe tekst) Een zware vrachtauto rijdt met een snelheid Vover een horizontale weg. Iemand gooit van achteren een tennisbal tegen de vrachtauto. De bal treft de verticale achterwand van de auto met een snelheid v die in dezelfde richting staat aIs V. a . .De botsing is volkomen elastisch. Bereken de snelheid u·van de bal. na de botsing,

34


üitgedrukt in

ven V.

Aanwijzing: denk aan de relatieve snelheid voor en na de botsing en bedenk dat de snelheid van de vrachtauto na de botsing niet merkbaar veranderd zal zijn. b. Wat is er op te merken over ü in het geval dat de snelheid twee keer zo groot was als de snelheid V?

v

6.14. Een knikker valt van 5 m hoogte op een horizontale glazen plaat en komt na elke botsing 10% minder hoog. a. Hoe groot is de restitutiecoëfficiënt bij de botsingen? b. Hoeveel tijd verloopt er tussen de vierde en vijfde botsing? c. Na hqeveel seconden komt de knikker tot rust?

6.15. Een gelijkmatige stroom moleculen treft een stilstaande bol waarvan de straal R is. De concentratie van de moleculen (aantal per m3) is n; de massa van elk molecuul is m; de snelheid van elk molecuul is vo (naar link~ gericht).

----:------;n

(a)

(b)

De moleculen botsen elastisch met de bol; veronderstel dat er geen botsingen tussen de moleculen onderling plaatsvinden. De massa van de bol » m. a. Wij beschouwen een molecuul dat de bol treft onder een hoek q> (zie figuur a). Ga na, welke krachtstoot de bol hiervan ondervindt. b. Wij beschouwen nu alle moleculen die in één seconde de bol treffen onder een hoek die varieert tussen q> en q> + Llq> (waarbij Llq>« q»; zie figuur b. Ga na dat hun aantal is: 27tnvoR2 sin q> cos q> Llq>. c. Bereken de totale krachtstoot die de bol van de in vraag b genoemde moleculen ondervindt. d. Bereken de grootte van de kracht die op de bol moet worden uitgeoefend om deze op zijn plaats te houden. e. Ga na, hoe groot de gezamenlijke impuls is geworden van alle moieculen die in één seconde de bol hebben getroffen.

Twee deeltjes systemen; botsingen

35

Impulsmoment van een twee-deeltjes systeem 6.16. Gegeven een stelsel van twee puntmassa's: y

m, ·4kg

v,

·2m/s

3m

o

4m

x

a. Bereken het impulsmoment ~ vim het stelsel van twee puntmassa's t.o.v. o. b. Bereken het impulsmoment Lc ten opzichte van het massamiddelpunt C. c. Ga na dat L = Lc + re x (mI + m2}ve. d. Bereken de totale kinetische energie (E0. e. Bereken ook de kinetische energie in het massamiddelpuntstelsel'(Ek). f· Ga na dat Ek =Ek + (mI + mÛ ve 2.

t

g. Controleer ook (door invulling van de numerieke gegevens) de relatie

Ek =

t (mI + m2)ve2 + t Il re1 2, waarin W l = mI-I + m2-2 en Vrel = vI - V2. V

(mass~'s mA en mB) zijn uitsluitend onderworpen aan onderlinge (afstotende of aantrekkende) krachten. Welke behoudswetten gelden in dat geval? b. Stel nu dat A een cirkelbaan beschrijft met straal RA en constante hoeksnelheid. Bewijs dat in dat geval B noodzakelijkerwijze ook een cirkelbaan beschrijft met dezelfde hoeksnelheid. ~ereken RB, uitgedrukt in RA, mA ,en mB.

6.17. a. Twee puntmassa's A en B

6.18. (nieuw) Twee puntmassa's A en B (massa's mI = 3 kg en m2 = 2 kg) trekken elkaar aan met een kracht waarvoor geidt: - F21 ' = F 12 = (-c/r2)eI2 waarin c een positieve constante is; de eenheidsvector el2 = r]2lr. Aanvankelijk bevinden ze zich op zeer grote afstand van elkaar (r "" 00). A beweegt dan met een snelheid Vo naar rechts; B heeft dan nog geen snelheid. Zie de tekening.

36


De afstand van B tot de drager van de vector Vo is a. Voor de grootte van de snelheid Vo geldt: Vo ...[ë7a. Na enige tijd is de onderlinge afstand ingekrompen tot een minimale waarde rm • a. Bereken de snelheid Vc van het massamiddelpunt C van het twee-deeltjessysteem, uitgedrukt in b . Voor het impulsmoment van het twee-deeltjessysteem t.o. v. het massamiddelpunt (re) geldt, zoals bekend: fl2 x J.1Vre l waarin J.1 de gereduceerde massa is. Bereken de grootte van c. Schets de banen van de beide deeltjes in het massamiddelpunt-coördinatenstelsel. d. Bewijs dat de kleinste afstand rm "'" O,47a. (Maak voor dit bewijs gebruik van de methode van het ééndimensionale equivalente probleem!)

=

voo

Le = Le.

37

7.

Dynamica ·van een verzameling ,

"

"

puntmassa's

-

7.1. Een puntmassa van 3 kg heeft een snelheid 6 j (mis). Een tweede puntmassa van 2 kg beweegt met 8 mis in een richting die een hoek van -300 maakt met 1. Een derde puntmassa van 5 kg heeft een zodanige snelheid dat het massamiddelpunt van het stelsel van de drie puntmassa's in rust is. Gevraagd de snelheid van het derde deeltje.

7.2. De afstand tussen twee ionen (puntladingen -e resp. +e) noemt men r. Voor de mutuele potentiële energie van de twee ionen geldt: E~ mul =a/(r9 ) - blr waarin a en b " positieve constanten zijn. a. Bereken de evenwichtsafstand ro (tussen de beide ionen). b. Een kristal bestaat uit evenveel positieve als negatieve ionen in een bepaalde rangschikking. Wij beschouwen nu een eenvoudig, ééndimensionaal model: e

-e

e

o

o

-e

e o

-e

e

-e

e o

(De tekening in gedachten naar links en rechts uitbreiden!). Bereken in dit model de potentiële energie van 1 ion (niet te "dicht bij één der uiteinden van de keten) in het krachtveld van alle andere; neem in de berekening voor de term met a alleen de naaste buren mee! . I I I . Opmerkmg: 1 - 2' + '3 - 4" + ... ln(2). c. Er zijn N ionen per meter; de keten is vele meters lang. Bereken de mutuele potentiële energie per strekkende meter (niet te dicht bij één der uiteinden). d. Bereken deevenwichtsafstand ro' voor de ionen in de keten.

=

7.3. Voor een verzameling van N PQntmassa's geldt: MA = LA mits het betrekkingspunt 'A een vast punt is in een inertiestelsel. Is A een bewegend punt, dan is de genoemde betrekking niet juist. Op deze regel is één uitzondering: kiest men het massamiddelpunt C van de verzameling als betrekki!1gspunt, dan is de relatie altijd geldig~ Bewijs dat Me = Le ook als"v c ~ O.

ft

38

8". Starre

lichamen; rotatie van een lichaam om een vaste as =

=

8. 1. "Op een rechthoekige plaat AB CD (AB 0,4 m lang, AD 0,6 m lang) werken vijf krachten: In A grijpen aan: een kracht van 6 N die naar B toe is gericht, een kracht van 4 N die naar C wijst, en een kracht van 3 N die naar D wijst; in C grijpen aan: een kracht van 5 N in de richting van punt D, en een kracht van 4 N die naar B wijst. y A

"

"

,., "-

'" '"

.-

.-

0 X

//

'-

'-

B

C

Gevraagd wordt de grootte en de richting van de resulterende kracht, alsook de grootte "van het resulterend krachtmoment ten opzichte van respectievelijk A, B en het snijpunt van de diagonalen te berekenen. 8.2. De werklijnen van twee krachten FI en F2' die in twee verschillende punten van één star lichaam aangrijpen, lopen parallel; de beide krachten hebben dezelfde richting. De afstand tussen hun werklijnen is 0,2 m. F I 13 N; de werklijn van de resultante ligt op een afst~nd van 0,08 m van die van F2. Bereken F2.

=

8.3. Een draad AB is met het uiteinde A bevestigd aan een punt van een verticale wand; het uiteinde B valt samen met het middelpunt van een homogene bol met massa m. De bol 'leunt' tegeri de (gladde!) muur; daarbij maakt AB een hoek a. met de muur Bereken de grootte van de spankracht in de draad, en de grootte van de normale kracht die de wand uitoefent op de bol.

A

mg

Starre lichamen; rotatie van een lichaam om een vaste as

39

8.4. a. Bereken van een overal even dunne homogene plaat (massa m; lengte .f.; breedte b) het traagheidsmoment (lxx) t.o~v. de in de figuur aangegeven X-as. y

b

Ir

X

e b. Idem t.o.v. de Y-as (Iyy); c. Idem t.o.v. de Z-as (lzz) .. 8.5. Een homogene massieve cilinder kan zonder wrijving draaien om een horizontale as, die samenvalt met zijn lichaam sas. Om de cilinder is een koord gewikkeld, waarvan het ene einde aan de cilinder bevestigd is, terwijl aan het andere, atbangende, einde een lichaam hangt, waarvan de massa 3 kg is: De straal van de cilinder is R, de massa is 12 kg. De massa van het koord wordt verwaarloosd. a. Toon aan dat het aangehangen lichaam een eenparig versnelde beweging heeft. Hoe groot is de versnelling? b. Hoe groot is de spankracht in het atbangende gedeelte van het koord? 8.6. Aan een balans hangt aan het ene einde een schaal, aan het andere einde een katrol, die een homogene cirkelvormige schijf is, met straal R en massa 2 kg. Over de katrol hangt een touw, dat aan zijn uiteinden twee 'gewichten' draagt van 3 kg respectievelijk I kg. Dè massa's van de schaal en van het touw worden nul gesteld. a. Indien de katrol geklemd is, en hij zo ruw is, dat het touwer niet over glijden kan, welke massa moet dan op de schaal geplaatst worden om de balans in evenwicht te brengen? b. Welke massa moet op de schaal geplaatst worden, als de katrol glad is? c. Indien de katrol ruw is, en niet geklemd is, welke massa houdt dan de balans in evenwicht? Bereken in dit geval ook de versnelling ac van het massamiddelpunt van het gehele systeem (katrol + gewichten). 8.7. Men blaast gedurende t seconden langs de rand van een homogene schijf met straal R en mas,sa m, die zonder wrijving draaib-!ar is om zijn (vaste) as door het middelpunt. Dàardoor wordt een constante kracht F, gericht langs een raaklijn, op de schijf uitgeoefend. Bereken de kinetische energie die de schijf ten slotte bezit als deze aanvankelijk in rust was? 8.8. Een lichaam dat aanvankelijk in rust is, is draaibaar om een vaste as. Men laat er

40


gedurende enige tijd 'een koppel op werken (T is gericht langs de as) waarvan het moment 4 Nm is. Het lichaam krijgt daardoor een rotatie-energie van 120 J. Hoeveel omwentelingen heeft het lichaam gedurende de werking van het koppel gemaakt? , 8.9. a. Een homogene schijf met massa m en straal R draait om zijn verticaal opgestelde as met constante hoeksnelheid (0. Toon aan dat de impuls van de schijf nul is. Bereken het impulsmoment ten opzichte van het midden van de as. Oefent de as een kracht uit op de schijf? b. Dezelfde schijf draait nu om een excentrische verticale as, aangebracht op afstand R van het middelpunt, met constante hoeksnelheid (0. Hoe groot is nu de impuls? Bereken ' het impulsmoment ten opzichte van het midden van de as. Bereken de grootte van de kracht die de as uitoefent.

t

8.10. Een man staat op een tafeltje dat zonder wrijving om een verticale as kan draaien. Hij heeft in elke hand een gewicht waarvan de massa 3 kg is en draait met gestrekte armen - spanwijdte 2 m - rond ~et hoeksnelheid I rad/s. Hij trekt vervolgens de armen in tot een spanwijdte van I m en draait dan rond met hoeksnelheid 1,6 rad/s. a. Hoe groot is het traagheidsmoment van de man plus het tafeltje als dat tijdens de handeling constant ondersteld wordt? b. Tijdens het intrekken van de armen heeft de man arbeid op de gewichten verricht. Bereken deze arbeid. c. Ga na dat deze arbeid gelijk is aan de toeneming van de rotatie-energie. 8.11. Een dunne homogene staaf is in een horizontaal 'vlak draaibaar om een verticale as door een van de uitdnden van de staaf. Men schiet tegen het andere einde van de staaf, in het draai vlak van de staaf en in een richting loodrecht erop, een kogel waarvan de massa m en de snelheid v is. De massa van de staaf is ms; de lengte is l. De botsing van kogel en staaf is volkomen veerkrachtig. a. Met welke hoeksnelheid draait de staaf na de botsing? b. Hoe groot zijn de krachtstoten die door de kogel op de staaf en door de staaf op de kogel uitgeoefend worden? 8.12. Een dunne homogene staaf (massa m, lengte l) hangt aan een horizontale as door één van zijn uiteinden (A) en kan om die as zonder wrijving draaien in een verticaal vlak. Men schiet tegen het andere uiteinde van de staaf, in het draaivlak van, en loodrecht op, de staaf een kogeltje (massa 0, I m) met snelheid y. De botsing is volkomen elastisch. De botsingsduur is uiterst kort, dat wil zeggen de staaf heeft, onmiddellijk n~ de botsing, nog geen merkbare verdraaiing ondergaan. a. Bewijs dat het traagheidsmoment van de staaf ten opzichte van de as door A gelijk . .I A2 IS aan '3 m~ .


41

A /

m ~

O.lm

v

-------

b. De totale impuls onmiddellijk na de botsing is niet gelijk aan de impuls vÓór de botsing. Wat is daarvan de oorzaak? c. Bereken de hoeksnelheid van de staaf onmiddellijk na de ~tsing. d: Bereken de horizontale krachtstoot die de as tijdens de botsing op de staaf heeft uitgeoefend. 8.13. Een man staat op een stilstaand tafeltje dat zonder wrijving om een verticale as kan draaien. Het traagheidsmoment van man en tafeltje samen, ten opzichte van de draaiingsas van het tafeltje, is 2,5 kgm 2. Een helper geeft de man op het tafeltje een draaiend wiel aan, dat deze bij de as vastgrijpt. Het wiel wentelt 4 maal ~r seconde om zijn eigen as; het traagheidsmoment van het wiel ten opzichte van deze as is 1 kgm 2 . a. Welke hoeksnelheid krijgen tafeltje en man als de helper het wiel met de as in de verticale richting heeft aangegeven? b. De man verplaatst het wiel evenwijdig aan zichzelf, zó dat de assen van het wiel en van het tafeltje in elkaars verlengde liggen. Daarna kantelt hij de wielas 1t rad. Hoe groot is daarna de hoeksnelheid van man plus tafel? c. De man grijpt daarna de omtrek van het wiel met de hand vast. Hoe groot wordt dan zijn hoeksnelheid? 8.14. Een plat liniaaltje, dat een lengte van 0,2 m heeft, ligt zo op een tafel, dat het 0,1. m buiten de rand uitsteekt. Men laat van 5 m hoogte een knikker van 0,010 kg op het uiterste punt van het vrije uiteinde van het liniaaltje vallen. Stel de botsing is volkomen veerkrachtig. a. Hoe groot moet de massa van het liniaaltje zijn, opdat de knikker bij de botsing zijn snelheid geheel verliest? b. Hoe groot is in dat geval de hoeksnelheid van het liniaaltje onmiddellijk na de botsing?

42


Fysische slingers 8.15. Een staaf met lengte l hangt aan een horizontale as door één van de uiteinden. a. Bereken de lengte van een mathematische slinger die dezelfde trillingstijd bij kleine amplitude rou hebben als de staaf. b. De staaf hangt nu aan een horirontale as die de staaf doorboort in een punt dat op de in vraag a gevonden afstand ligt van het onderste uiteinde. Bereken de trillingstijd voor kleine amplitude. 8.16. Een dunne staaf van lengte l en massa m kan slingeren om een horizontale as door één van de uiteinden. Op de staaf wordt een puntmassa m aangebracht op een . afstand h van de rotatie-as. De versnelling van de vrije val is g. Het traagheidsmoment van de staaf (zonder puntmassa) ten opzichte van de rotatieas is ml 2•

t

......

I

. . . . -1-"

,,-

a. Druk de trillingstijd T voor kleine slingeringen uit in g, l en h. b. Bestaat er een waarde voor h*-O waarbij de trillingstijd mèt extra massa m .gelijk is aan die ronder extra massa? Zo ja, welke waarde?

8.17. Een dunne hoepel met straal R en massa m is in een punt van zijn omtrek opgehangen. Bereken de slingertijd (voor kleine uitwijkingen): a. indien hij in zijn eigen vlak slingert; b. indien hij loodrecht op zijn eigen vlak slingert. Kunt u zonder berekening inzien in welk geval de slingertijd het grootst is? 8.18. (nieuwe tekst) Van een hoepel ontbreekt een kwart gedeelte. De massa van deze gedeeltelijke hoepel is m; zijn straal is R. De hoepel kan slingeren in een verticaal vlak om een horirontale as door het punt A; de as staat loodrecht op het slingervlak. A

a. Bereken de afstand tussen punt A en het massamiddelpunt C. b. Bereken de slingertijd voor slingeren met kleine amplitude.


43

8.19. Een slinger bestaat uit een lange dunne staaf die aan het ene uiteinde een ma~sieve cirkelvormige schijf draagt. De draaiingsas van de slinger bevindt zich aan het andere einde van de staaf en staat loodrecht op het vlak van de schijf; het middelpunt van de schijf ligt in het eerstgenoemde einde. De lengte van de staaf is f, de massa m; de massa van de schijf is M, de straal R. Bereken de slingertijd.

f.

8.20. Twee bollen, waarvan de massa's 5 kg en 2 kg zijn, zijn verbonden door een staaf van 0,80 m lengte. De diameters van de bollen zijn klein ten opzichte ·van de lengte van de staaf; de massa van de staaf wordt verwaarloosd ten opzichte van die van de bollen: De staaf is draaibaar om een horizontale as opgehangen in een punt dat 0,60 m van dé zwaarste bol verwijderd is. a. Bereken de slingertijd als men dit stelsel met kleine amplitude laat slingeren. b. Indien de bollen niet als puntmassa's opgevat mogen worden, en de gegeven lengte van de staaf de afstand van de middelpunten voorstelt, is de slingertijd dan groter of kleiner dan de zojuist berekende? 8.21. Een dunne platte schijf met massa m en straal R is draaibaar om een door het middelpunt gaande horizontale as die in het vlak van de schijf ligt (doorgetrokken streep iri de tekening).

±

a. Bewijs dat het traagheidsmoment ten opzichte van die as gelijk is aaIt mR 2 • b. Als de as niet door het middelpunt gaat maar wel in het vlak van de schijf ligt (onderbroken streeplijn in de tekening), op afstand s van de vorige positie, kan men de schijf als fysische slinger laten fungeren. Voor een bepaalde waarde van s (uitgedrukt in R) is de slingertijd (voor kleine amplitude) minimaal. Bereken deze waarde van s.

44

9.

Vlakke dynamica van een star. lichaam

9.1. Met een wiel, waarvan de straal R en de massa m is, worden twee experimenten uitgevoerd in een zwaartekrachtvrije ruimte. Het traagheidsmoment van het wiel ten opzichte van de as is I. Aanvankelijk staat·het wiel stil. I. Men oefent in het middelpunt een constante kracht Fuit, loodrecht op de as. a. Hoe groot is de impuls na t seconden? b. Over welke afstand wordt het middelpunt van het wiel in die tijd verplaatst? c. Hoeveel arbeid verricht F in die tijd? d. Waar is deze arbeid in omgezet? 11. Om het wiel is een dunne draad gewikkeld. Men trekt aan de draad, in de richting van een raaklijn, met een constante kracht F. e. Hoe groot is de impuls van het wiel na t seconden? Hoe groot is dan het impulsmoment van het wiel ten opzichte van het (massa-) middelpunt van het wiel? f. Over welke afstand is het middelpunt van het wiel in die tijd verplaatst? g, Over welke lengte wordt de draad in die tijd afgewikkeld? h. Hoeveel arbeid venicht Fin die tijd? i. Waar is deze arbeid in omgezet?

._.

9.2. Als men een stoel op een linoleum vloer achterover laat hellen en hem daarna los laat, valt hij voorover, waarbij de achterpoten niet over de vloer verschuiven. Zodra de voorpoten op de vloer komen,schuift de stoel echter enige centimeters vooruit. Verklaar dat. In hoeverre zou het verschijnsel zich op een volkomen gladde vloer anders afspelen?

9.3. Een homogene staaf (lengte f) rust met het ene einde op een gladde vloer, terwijl het andere einde met een touwtje is opgehangen, zo, dat dit einde zich op de hoogte h . boven de vloer bevindt. Het touwtje wordt doorgebrand. Beschrijf kwalitief de beweging die de staaf daarna uitvoert. Stel de hoek die de staaf tijdens de beweging met het horizontale vlak maakt voor door p. Wat is dan het verband tussen de snelheid Vc van het massamiddelpunt C ende hoeksnelheid Cl) van de staaf om een as door C bij een bepaalde waarde van p? . Bereken de verhouding van de kinetische e.nergieën van translatie en van rotatie (ten opzichte van C) tijdens de beweging als functie van p. Hoe groot is die verhouding als de staaf in horizontale toestand de vloer bereikt?

I I

I

I

Vlakke dynamica van een star lichaam

45

9.4. Een homogene staaf, waarvan de lengte l is en de massa m, bevindt zich, in de toestand van rust, boven een horizontale vloer. De staaf maakt een hoek Cl met de . vloer; de afstand van het onderste eindpunt van de staaf tot de vloer is h. Vanuit deze toestand valt de staaf. Stel de botsing met de vloer is volkomen veerkrachtig en de vloer is volkomen glad:

a. Beschrijf de beweging van de staaf vóór de botsing. b. Als de staaf botst, ondervindt hij een krachtstoot tegen het ene uiteinde. Bereken de. kraèhtstoot .. . Aanwijzin.g: stel de tijdsduur van de krachtstoot zeer klein; dan mag men aannemen dat Cl gedurende die tijd nog geen verandering ondergaat. De krachtstoot L\p is oorzaak dat de impuls van de staaf verandert, en ook dat de staaf een impulsmoment ten opzichte van het massamiddelpunt krijgt, waardoor een hoeksnelheid (0 ontstaat. De totale kinetische energie onmiddellijk na de botsing moet gelijk zijn aan de kinetische energie vóór de botsing. Daaruit volgt een vergelijking voor I~pl. ~

. ,

.

9.5. Een homogene sçhijf ligt pla~ op een volkomen glad horizontaal vlak. Men geeft tegen de schijf een stoot naar rechts, evenwijdig aan het vlak en loodrecht op de middellijn AB, zo, dat het massamiddelpunt de snelheid Yc krijgt en de hoeksnelheid (0 is, in de figuur linksom. De massa van de schijf is m, de straal is R. A

stoot --r-----l~

---Q

B

a. Hoe groot is het impulsmoment van de schijf ten opzichte van het punt Q na de stoot (uitgedrukt in m, R, Vc en (O)? (Q ligt in het genoemde vlak; QB is loodrecht op AB.)

b. Op welke afstand x van. de lijn QB moet de stoot toegebracht worden, opdat het poot A na de stoot aanvankelijk in rust is? 9.6. Een staaf waarvan de lengte l is en de massa m, wentelt in een horizontaal vlak met hoeksnelheid (0 om een verticale as door één der uiteinden. Plotseling breekt de as. Beschrijf de beweging die de staaf daarna uitvoert, als de zwaartekracht buiten beschouwing wordt gelaten. In hoeverre is de beweging anders als de zwaartekracht wel aanwezig gedacht wordt? 9.7. Een staaf wentelt met hoeksnelheid (00 om zijn massamiddelpunt op een volkomen glad horizontaal vlak. Plotseling wordt een pin door een klein oogje aan een der uiteinden van de staaf gestoken, waardoor de staaf om de verticale pin gaat draaien. Bereken de hoeksnelheid van de staaf om de pin. Bereken de kinetische

J

\

46


energieën van beide bewegingstoestanden en verklaar het verschil. 9.8. Op een glad horizontaal vlak ligt een dunne homogene staaf (lengte .e, massa ms). Tegen het ene uiteinde wordt een knikker geschoten in een richting evenwijdig aan het horizontale vlak en loodrecht op de staaf. De massa van de knikker ism, de snelheid is v. De botsing van knikker en staaf is volkomen elastisch. a. Beschrijf de beweging van de staaf na de botsing. b. Waar ligt het momentele rotatiecentrum van de staaf bij het begin van zijn beweging? c. In welk geval blijft de knikker na de botsing stilliggen? 9.9. In een zwaartekrachtvrije ruimte bevindt zich een starre halter, bestaande uit twee kleine bolletjes (elk heeft massa m), 'verbonden door een · massaloos stangetje. De afstand tussen de middelpunten is .e. De bolletjes zijn zo klein dat ze, voor de berekening van het traagheidsmoment, mogen worden opgevat als puntmassa's. De. _' halter is in rust. Tegen één van de bolletjes wordt een ander bolletje A geschoten met snelheid loodrecht op de verbindingslijn der middelpunten van de bolletjes van de halter. A heeft massa 2m. De botsing is centraal en volkomen elastisch.

v

m

2m

A~----

-m ---

Na de botsing heeft A snelheid u; de halter heeft snelheid Vc en hoeksnelheid 00. Bereken u, Vc en <0, uitgedrukt in ven f.. 9.10. Een halter bestaat uit twee bollen, waarvan de massa's mlen m2 zijn; de massa van de verbindingsstaaf wordt verwaarloosd; de lengte van deze staaf is a. De halter bevindt zich aanvankelijk in rust op een horizontale gladde tafel. Een derde bolletje, waarvan de massa m3 is, beweegt in het vlak van de tafel met snelheid Vo naar m2, in , de richting loodrecht op de halterstaaf, en botst dan volkomen elastisch tegen m2. Beschouw alle bolletjes als puntmassa's.

a

m3

V

o

O-r-~~

,

,,:~

~

A

-------


47

a. Beschrijf kwalitatief de beweging van de halter na de botsing. b. Voor het stelsel vim m3 en de halter geldt behoud van impulsmoment ten opzichte van elk vast punt (waarom?). Voer in de snelheid ti van m3 na de botsing, de snelheid Vc van het massamiddelpunt C van de halter na de botsing en de hoeksnelheid (0 van de halter na de botsing. Stel nu, met behulp van deze drie grootheden en de gegeven grootheden betrekkingen op die het behoud van impulsmoment uitdrukken voor elk van de volgende betrekkings punten: (1) een punt op de werklijn van vo, (2) een punt op de werklijn van vc, en (3) het in de figuur aangegeven punt A. . c. Stel drie vergelijkingen op waaruit u, Vc en (0 berekend kunnen worden. d. Zou het resultaat voor deze drie grootheden anders geweest zijn als deeltje m3, in plaats van tegen m2, tegen mI zou botsen met dezelfde snelheid Vo en in dezelfde richting als tegen m2?

,

9.11. Eenjojo bestaat uit twee massieve schijven, verbonden door een asje waar een lange draad op gewonden is. Het ene einde van de draad is aan het asje bevestigd, het andere einde wordt met de hand vastgehouden. De jojo rolt vanuit de toestand van rust naar beneden af. De massa van de beide schijven tezamen is m, de straal van de schijven is R; de massa van het asje wordt verwaarloosd, de straal is r =Rl6; de massa van de draad wordt verwaarloosd. a. Bereken de versnelfing waarmee het massamiddelpunt van de jojo naar beneden gaat. . b. Met welke kracht trekt de draad aan de hand tijdens de omlaaggaande,beweging?

9.12. Een massieve cilinder rolt (rollen ten gevolge van een voldoend grote wrijvingskracht) van een hellend vlak dat een hoek van ~ rad met het horizontale vlak maakt, zo, dat de as van de cilinder.steeds evenwijdig is met de snijlijn van deze vlakken. De massa van de cilinder is 1 kg; de straal is 0,1 m. Stel de bewegingsvergelijkingen van de cilinder op. Bereken, op grond van die vergelijkingen, de weg die de cilinder, 10 s nadat hij werd losgelaten, heeft afgelegd. Hoe groot is op dat tijdstip de kinetische energie van de cilinder? Welk gedeelte daarvan is energie van rotatie om de as van de cilinder? Ga na dat voor de rollende cilinder behoud van mechanische energie geldt. Hoe kan men dit behoud begrijpen, terwijl er toch een wrijvingskracht in het spel is?

=

9.13. Een dikke ijzeren ring (massa m 18 kg) is een korte, holle, dikwandige, rechte cirkelcilinder met binnenstraai a =0,50 m en buitenstraai b =0,60 m. a. Bewijs dat het traagheidsmoment Ic ten opzichte van de cilinder-as gelijk is aan m(a 2 + b2 ).

t

48


b. De ring rolt van een hellend vlak; als hij de onderkant bereikt, is zijn snèlheid Vc aangegroeid van nul tot 3,6 mis. Bereken zijn totale kinetische en~rgie op dat ogenblik en ga na, over welke hoogte C da~ is gedaald.

9.14. Van een dunwandige bol is de massa m en de straal R. a. Bewijs dat het traagheidsmoment van de bol ten opzichte van een as door het middelpunt gelijk is aan ~ mR 2 . b. De bol rolt van een hellend vlak (hellingshoek y, zie figuur) recht omlaag. Men kan de beweging op zeker-ogenblik beschrijven als een zuivere rotatie om een lijn door het aanrakiIigspunt A.

Bereken het traagheidsmoment van de bol ten opzichte van deze lijn. c. De grootte van de versnelling van het massamiddelpunt van de bol (in de bij vraag b beschreven situatie) is fg sin y waarin g =versnelling bij een vrije val, en f =een constante factor. Bereken f. I

9.15. Een staaf AB (lengte 1., massa m) kan in een verticaal vlak roteren om een

=

horiz(;mtale as door A. Op t 0 laat men de staaf in horizontale stand los. Even later heeft de staaf

B

Bereken op dit ogenblik a. de hoekversnelling êp; b. de hoeksn~heid ; c. de kracht F, door de as in A u~tgeoe!end op de !!taaf, dat wil zeggen bereken de grootte~an zijn componenten Fl en F2 waarbij Fl in het verlengde van BA ligt, terwijl F2 daar loodrecht op staat.

9.16. Een staaf AB (lengte I.

= 1 m en massa m = 2,5 kg) hangt verticaal aán een

horizontale as door zijn uiteinde A. Op uiteinde B wordt nu gedurende 0,02 s een horizontale kracht van lOON uitgeoefend; deze kracht staat loodrecht op de as.


49 ·

a. In 0,02 s zal de staaf nog geen merkbare hoekverdraaiing hebben ondergaan. Bereken het impulsmoment vande staaf ten opzichte van A, onmiddellijk na de krachtstoot. b. Ga na, of dé staaf meer dan rad zal verdraaien . .

i

9.17. Een biljartbal (straal R) ligt op een biljart. De bal ondervindt een horizontale krachtstoot; de werklijn van de kracht ligt recht boven het massamiddelpunt, x meters boven het biljartlaken. Bereken de verhouding xIR waarbij de bal van meet af aan rolt. 9.18. Een bowlingbal wordt op de (horizontale) vloer geworpen zodanig dat hij een horizontale snelheid Vo bezit en nog geen hoeksnelheid op het ogenblik waarop hij de vloer treft. Eerst slipt de bal, maar na enige tijd rolt hij. Bereken de snelheid van het massamiddelpunt als de bal uiteindelijk rolt. 9.19. Op een horizontale tafel ligt een vel papier. Op het yel papier ligt een holle dunwandige bol (tafeltennisballetje, massa m, straal R, Ic =~ mR2). a. Men trekt het vel papier nu weg met een constante horizontale snelheid VD. Daardoor krijgt de bol een snelheid e en een hoeksnelheid 00. Aanvankelijk slipt de bol, maar al spoedig zijn e en 00 zodanig dat er geen slip meer optreedt (terwijl het vel papier nog niet onder de bol is uitgetrokken).

v

v

~

p

.

~------------~~------~r------'

al. Ga na, welke relatie er dan tussen Ve en (0 bestaat ('rolvoorwaarde'). a2. Hoe groot is dan het impulsmoment ten opzichte van punt P van het tafeloppervlak? Beredeneer uw antwoord. (Punt P ligt op de werklijn van de wrijvingskracht die de bol ondervond.) . a3. Bereken Ve op dat ogenblik. b. Enige tijd later is het vel papier tussen bol en tafel uitgetrokken. De bol slipt nu . over het tafelblad. Ga na, hoe groot uiteindelijk e zal zijn, als de bol niet meer slipt (aangenomen dat de bol nog steeds niet de rand van de tafel heeft bereikt!)~

v

50


9.20. Op een horizontale lopende band waarvan de handsnelheid Vo constant gehouden wordt, plaatst men op t =0 een aanvankelijk niet draaiende, homogene cilinder. De as van de cilinder is horizontaal en loodrecht op de richting van Voo De massa van de cilinder is m, de straal is R. Cilinder en band oefenen wrijvingskrachten op elkaar uit. Aanvankelijk slipt de cilinder op de band; n~ enige tijd eindigt de slip. a. Bereken de translatie-snelheid en de hoeksnelheid van de cilinder als deze niet meer slipt. Stel nu (bij de beantwoording van de vragen b tlm e) dat de wrijvingskracht tijdens de slip de constante waarde W heeft. b. Op welk tijdstip eindigt dan de slip? c. Hoe groot is tijdens het slippen het vermogen als functie van t, dat aan de cilinder wordt toegevoerd? d. Hoe groot is tijdens het slippen het vermogen dat aan de lopende band moet worden toegevoerd opdat deze met de constante snelheid Vo voortbeweegt? e. Hoeveel is de totale energie die de cilinder opneemt en hoeveel is de totale arbeid die op de band wordt verricht door de motor die de band lopende houdt? - Waar is het verschil gebleven?

9.21. Een auto met achterwielaandrijving staat stil op een horizontale weg. De bestuurder start de motor en rijdt weg. Bij het wegrijden oefent de motor op de achteras een koppel uit waarvan het moment de grootte T heeft. De massa van de auto (incl. de wielen) is m; voor- en achterWielen zijn identiek; het traagheidsmoment van elk wiel t.o.v. zijn eigen as is I. a. T is niet zo groot dat er slip optreedt (alle wielen rollen). Bereken de versnelling van de auto bij het wegrijden (verwaarloos de rolweerstand). b. De statische wrijvingscoëfficiënt voor de wrijving tussen autoband en wegdek is '.L Bereken de maximale waarde die T mag hebben opdat er nog juist geen slip optreedt. c. Bereken de versnelling voor het geval dat de bestuurder zoveel gas geeft dat de voorwielen juist het contact met de weg kwijt zijn (de auto maakt nog net geen 'wheelie' !). N.B. 11 is zo groot dat de achterwielen ook nu nog rollen.

-

9.22. Een klos is opgebouwd uit een homogene houten kern (straal R en massa m)

. en twee massaloze flenzen van straal 2R (zie figuur 1). Om de kern is garen gewonden; de massa van het garen is te verwaarlozen, evenals de dikte van de laag garen. Het traagheidsmoment van een homogene cilinder ten opzichte van zijn 'symmetrie-as is mR2. De klos ligt in rust op een horizontale tafel. _ a. Men oefent nu op het vrije uiteinde een constante horizontale kracht F uit (zie figuur 2). De klos gáat nu rollen. Bereken de grootte ac van de versnelling van het massamiddelpunt C, uitgedrukt in Fen m. Welke richting heeft de wrijvingskracht?

t


51

F

2R

R

Figuur 2

Figuur 1

b. Men legt de klos nu zo, dat de werklijn van

F onder C langs loopt (zie figuur 3).

-=- Als het tafelblad voldoende ruw is zal de klos weer gaan rollen, waarbij de klos zichzelf nu opwikkelt!

F

Figuur 3

Bereken weer liC, uitgedrukt in Fen m.

9.23. Aan een massieve cilinder (massa mlo straal R) is een dunne draad bevestigd. De draad is enkele malen om de cilinder gewikkeld. Het massamiddelpunt C van de cilinder en de draad bevinden zich in hetzelfde verticale vlak. De draad loopt over de wrijvingsloze (en massaloze) katrol K; aan het andere uiteinde hangt een lichaam (massa m2). De valversnelling bij vrije val is g. Het lichaam beweegt versneld omlaag; de cilinder rolt versneld over een horizontale tafel (zie tekening). Ic van de cilinder (ten opzichte van de cilinder-as) is m(R2. .

i

K

Q.

Formuleer de rol voorwaarde voor de cilinder.

b. Als de translatiesnelheid van de cilinder V c is, hoe groot is dan de snelheid van het lichaam met massa m2? c. Formuleer de wet van behoud van mechanische energie voor dit geval. d. Bereken de versnelling ac van C.

52


e. Ga na of er enig punt te vinden is, ten opzichte waarvan het impulsmoment van de cilinder constant is.

9.24. Een liniaal is op verschillende plaatsen doorboord. We bekijken de rotatie van de liniaal in een verticaal vlak om een horizontale as A die door elk van de boorgaten kan lopen. De liniaal kan zonder wrijving roteren. Zijn lengte is l; de massa is m. De afstand van C tot de as n~mt men x (C is het massamiddelpunt). Men laat de liniaal uit horizontale stand los.

I

A 0

0

0

•

C 0

0

0

O

· 0

0

,0

0

0

0

0

I

x

a. Bereken de hoekversnelling op het ogenblik van loslaten. b. Bereken x zo dat die hoekversnelling zo groot mogelijk is. c. Bereken de tangentiële vérsnelling llctan als functie van de afgelegde hoek e bij deze waarde van x.

9.25. Een massieve bol (massa m; straal R) rolt van een hellend vlak (hellingshoek y). Bereken de minimaal noodzakelijke waarde van de (statische) wrijvingscoëfficiënt

Il·

9.26. Het zwaartepunt van een rijdende auto ligt 0,60 m boven de grond. De afstanden van het zwaartepunt tot de ~oor- en achteras zijn, horizontaal gemeten, 1,20 m. De auto wordt geremd, waarbij de voorwielen geblokkeerd worden. De remweg is 10 m. Tijdens het remmen komen de achterwielen net vrij van de grond. a. Door welke oorzaak komen de achterwielen van de grond? b. Hoe groot is de kinetische wrijvingscoëfficiënt tussen weg en band? c. Welke snelheid had de auto voor het remmen?

9.27. (nieuw) .Een cirkelvormige harde schijf A (massa m, straal R) voert een translatie uit met een horizontale snelheid v over een volkomen gladde horizontale ondergrond. Na enige tijd botst A scheeft tegen een tot dan toe in rust vekerende identieke schijf B. Tijdens dé (uiterst kort durende) botsing maakt veen hoek van 1t rad met de verbindingslijn van de middelpunten. Na de botsing blijven de schijven aan elkaar kleven ("kleefbotsing"). De schijven zijn nu te beschouwen als één geheel dat een vlakke beweging uitvoert. Afgebeeld is de situatie onmiddelijk voor de botsing.

t

,/


53

a. Bereken de snelheid Vc van het massamiddelpunt na de botsing, uitgedrukt in v. b. Bereken de hoeksnelheid 00 waarmee het geheel na de botsing roteert. c. Ga na, w~lk deel van de oorspronkèlijke kinetische energie "verloren is gegaan" (omgezet in warmte en vervormingsarbeid).

54

10. Relatieve

beweging en traagheidskrachten

10.1. Een trein wordt geremd met constante vertraging ä. Men hangt in deze situatie een schietlood in de trein op. Welke hoek maakt het ophangkoord dan met de verticaal? - Is de uitwijking naar voor of naar achter gericht? 10.2. Van een glad hellend vlak glijdt een slee. De hellingshoek is a. Een man die op de slee staat 'weegt' een lichaam, waarvan de massa m is, met behulp van een veerbalans. Welk gewicht wijst de balans aan? 10.3. Eencirkelvonnige, gladde horizontale draaitafel (straal R, middelpunt 0) draait met constante hoeksnelheid om de verticaal door O. Men laat op tijdstip t = 0 een puntmassa P (massa m) het punt A van de tafelrand passeren met snelheid Vo in de richting van O. Ten opzichte van een inertiestelsel voert P dus een rechtlijnige beweging uit met constante snelheid voo Als P de 'overkant' bereikt, is de tafel inmiddels een halve slag gedraaid, met andere woorden 2R1vo = T =rtlol. De baan van P ten opzichte van een met de tafel meeroterend coördinatenstelsel is geen rechte lijn, maar heeft de hier afgebeelde vonn. Voor de snelhéid Vi van P ten opzichte van het roterende stelsel geldt: 'Vi Vo x waarin de vector van 0 naar P is. De coriolis-versnelling is 2v' x de centrifugale vers{lelling is x (f x

ro

t

=

ro;

-

ro r

r

ro

ro).

w

o

t

a. Bereken ren

Relatieve beweging en tr.aagheiaskrachten

55

d. Is er, in het mee-roterende coördinatenstelsel, behoud van impulsmoment ten opzichte van O? Beredeneer uw antwoord!

10.4. Een dunne homogene staaf (massa m; lengte R) is met één uiteinde door middel van een kogelgewricht bevestigd aan een vast punt A. De staaf ro~ert met constante hoeksn.elheid 00 om de verticaal door A; de staaf doorloopt hierbij het oppervlak van een rechte cirkelkegel met halve tophoek ep. Wij beschouwen de staaf nu in een meeroterend coördinatenstelsel. In dat stelsel is de staaf in rust. A

•

---"""7

a. Hoe groot is de resultante Fef van de centrifugale krachten die op elk deeltje van de b. c. d.

e.

staaf werken? Waar grijpt Fefaan? Bereken de hoek ep, uitgedrukt in 00, i en de val versnelling g. Ga mi hoe groot 00 minstens moet zijn (uitgedrukt in Ren g). Op de staaf werken drie krachten: Fef, de zwaartekracht mg en de kracht FA, uitgeoefend door het'kogelgewricht op de staaf..... Construeer in een tekening de richting van FA.

10.5. Een man staat op e~nhorizontale schijf, die met constante hoeksnelheid 00 om zijn (verticale) as draait. Het oppervlak van de schijf is stroef genoeg om de wrijvingskracht Fw.op de man te kunnen uitoefenen, die nodig is opdat de man met de schijf meedraait. De lengte van de man is i; zijn massa is m. Om zijn evenwicht niet te verliezen, moet de man scheef staan; zijn hoofd bevindt zich daarbij juist op het ver-

Figuur I

Figuur 2

56


lengde van de as van draaiing. Zijn lichaam maakt een hoek

We stellen nu de man eenvoudshalve voor als een homogene en overal even dunne staaf met lengte en massa m (figuur 2). a. Hoe groot is de kracht Fw (uitgedrukt in m, (0, een
e

ie

-

e

10.6. Een massieve homogene rechte cirkelcilinder staat op een horizontal~ draaiende schijf, waarvan de verticale draaiings!ls met één van de beschrijvende lijnen van de cilinder samenvalt. Het toerental is 120 per minuut. a. Hoe hoog mag de cilinder ten hoogste zijn, opdat hij niet omvalt? b. Hoe groot mag bij deze of een kleinere hoogte de straal van de cilinder zijn, opdat hij niet gaat schuiven, als de wrijvingscoëfficiënt 11 =O,5?

i

10.7. a. Een scheef staande nauwe buis AB maakt een hoek van rad met de verticaal AC door het onderste uiteinde A. In de buis kan een puntmassa P, waarvan de massa m is, zonder wrijving bewegen. Men laat de buis met een constante hoeksnelheid (0 om de verticaal AC draaien, zodat de buis een kegelmantel beschrijft met A als top. De versnelling van de zwaartekracht is g. Op welke afstand van A kan P zich in rust ten opzichte van de buis bevinden? Hoe groot is in dat punt de kracht die de puntmassa op de buis uitoefent? (Merk op dat het evenwicht labiel is.) b. Hoe zou de gedaante van een (volkomen gladde) buis moeten zijn opdat de puntmassa overal ten opzichte van de buis in rust is? (N.B.: In dit vraagstuk kan gebruik worden gemaakt van de potentiële energie die de puntmassa in het mee-roterende stelsel bezit ten gevolge van de ce~trifugale kracht!)

10.8. De figuur stelt voor een ronde, horizontale tafel, die met een constante hoeksnelheid (0 om een verticale as door M draait. In de tafel is een cirkelvormige smalle sleuf aangebracht, waarvan Me een middellijn is met een lengte = 5a. Men plaatst in A in de sleuf een passend blOkje (massa m), zó dat het op dat ogenblik ten opzichte van de tafel in rust is; MA = 3a. Stel dat het blokje in de sleuf geen wrijvingskrachten ondervindt.

w

..

Relatieve beweging en traagheidskrachten

Q.

57

Het blokje komt ten opzichte van de tafel in beweging. Waardoor?

b. Ga na welke horizonlale krachten, beschouwd ten opzichte van een met de tafel meebewegend coördinatenstelsel, op het blokje werken op het ogenblik dat het eeq willekeurig punt B passeert. - Geef in een tekening aan hoe deze krachten gericht zijn. c. Voer de potentiële energie van de centrifugale kracht in. Leid daarna uit een energiebeschouwing af de snelheid v' van het blokje ten opzichte van de tafel, als . het punt C passeert. d. Hoe verloopt de verdere beweging van het blokje na het passeren van C?

10.9. Ga grootte en richting na van de horizontale component van de coriolisversnelling die wordt ondervonden door het water van een beek, dat een stroomsnelheid heeft van 2 mis: Q. op 30° noorderbreedte, van zuid naar noord; b. op 30° noorderbreedte, van west naar oost; c. over de noordpool (bijvoorbeeld uit een warme bron!). 10.10. Men laat aan de evenaar van h meter hoogte een steen vallen. Ten gevolge van de coriolis-versnelling krijgt de steen daarbij een horizontale afwijking. De hoogte h is zeer veel kleiner dan de straal R van de aardbol. De val versnelling is g (hierin is de centrifugale versnelling reeds inbegrepen !). Verwaarloos alle wrijving. De hoeksnelheid van de aarde om zijn eigen as is {o. De vector ö> wijst van zuid naar noord. a. Ga na, of de steen in oostelijke dan wel westelijke richting afwijkt. Beredeneer uw antwoord! b. Wij voeren een cartesisch coördinatenstelsel in waarvan de oorsprong op het aardoppervlak ligt recht onder het punt waar de steen wordt losgelaten. De x-as loopt van west naar oost; de y-as is recht omhoog. Ga na, wat {ox, {Oy en {oz zijn. c. Na enige tijd heeft de steen snelheidscomponenten Vx en vy. Ga na, hoe de X-, y- en z-componentèn van de coriolis-versnelling zijn. d. Bereken de horizontale afwijking waarmee de steen neerkomt (verwaarloos de verticale component van de coriolis-versnellingbij deze berekening). 10.11. Aan de equator wordt een deeltje verticaal opgeworpen met beginsnelheid voo Bewijs dat het bij terugkeer de grond treft op de afstand 4{Ovo3/3g2 van de plaats waar het werd opgeworpen.. als de hoeksnelheid van de aarde ={o. In welke kompasrichting is. deze afwijking? , (N.B.: Vo is klein, dat wil zeggen de bereikte hoogte is «straal van de aardbol.)

58


10.12. Centrifugale kracht, corioliskracht en centripetale kracht in één probleem. Een deeltje is in rust in een inertiestelsel. Er werkt dus geen kracht op. Beschouw nu het dedtje in een coördinatenstelsel dat met hoeksnelheid <Ö ten opzichte van het inertiestelsel roteert om een as die niet door het deeltje gaat. Ten opzichte van het roterende stelsel beschrijft het deeltje dan een cirkelbaan. In het bewegende stelsel beschouwd heeft het deeltje dus een centripetale versnelling. Waar wordt de daarvoor benodigde.(centripetale) kracht door geleverd?

10.13. Beantwoord vraagstuk 6.17 nog eens, maar nu met behulp van een met A mee-roterend coördinatenstelsel. 10.14. In een met 00 roterend coördinatenstelsel (waarbij ro niet constant is!) geldt: ä' = ä -2 <ö x

v' - <ö x (<ö x r) -

<Ö x

r.

Een puntmassa (massa m) beschrijft een vlakke baan in een centraal krachtveld. Voor de véldkracht geldt:

v

waarin c een positieve constante is. De snelheid ontbinden we in de radiale component Vrad = rêr en de transversale component Vlr = rcpë

v

a. Geef de potentiële energie als functie van r. b. Voor een met ro = cp mee-roterende waarnemer heeft de puntmassa illleen de radiale snelheid rêr. Maar, volgens die waarnemer werken er, behalve de reeds genoemde F, nog drie andere krachten op de puntmassa! Ga na, hoe groot deze zijn (uitgedrukt in m, r, r, cp eri
59

11.

Niet-gebalanceerde systemen

11.1. Een puntmassa (massa m) is opgehangen aan een vast punt A door middel van een massaloze draad waarvan de lengte l is. De puntmassa beschrijft een cirkel in een horizontaal vlak; de draad doorloopt daarbij het oppervlak van een rechte cirkelkegel. Men noemt de hoek tussen draad en verticaal <po De hoeksnelheid van de puntmassa is w. De zwaartekrachtversnelling is g. A

OPI I I

m

,

_ --- 1t~~____ __ " ____

---- --

-1

./

a. Bereken de grootte van het impulsmoment van de puntmassa t.o.v. A, uitgedrukt in m, 0), l en <po Hoe is dit impulsmoment gericht, als de puntmassa zich bevindt in qe getekende situatie? b. Bereken de grootte van het krachtmoment (t.o.v. A) van de zwaartekracht. Hoe is dit krachtmoment gericht, als de puntmassa zich bevindt in de getekende situatie? c. Bereken 0) als functie van de hoek <po

11.2. Een homogene, rechthoekige plaat met zijden a en b en verwaarloosbare dikte heeft de massa m. Hij kan draaien om een vaste as die in het vlak van de plaat ligt en door het massamiddelpunt C gaat. a. Bewijs, dat het traagheidsmoment ten opzichte van die as gelijk is aan: ~ ma 2cos. 2a + ~ mb 2 sin 2 a • . 12 12

60


b. Bewijs dat het traagheidsmoment ten opzichte van een as door het hoekpunt A, evenwijdig aan de eerstgenoemde as, gelijk is aan: .

t ma cos a + t mb sin a + t mab sin a cos a. 2

2

2

2

11.3. Een stijve halter bestaat uit twee puntmassa' s, elk met massa m, verbonden door een massaloze staaf met lengte 2f.. De halter is stijf bevestigd aan een as door het midden C, waarmee hij een hoek cp maakt. De halter roteert om de as met de hgeksnelheid ro. Bereken richting en grootte van het krachtmoment, dat de lagers op . de as m~ten uitoefenen opdat deze rotatie mogelijk is.

-+ w

p

q

Bereken ook (naar grootte en richting) de componenten loodrecht op de as van de krachten, die de lagers op de as uitoefenen. 11.4. Een puntmassa m is door een massaloze staaf, waarvan de lengte f. is, stijf met een verticale as verbonden. Het systeem staaf met puntmassa draait met constante hoeksnelheid <Ï> om die as. Zie figuur voor verdere gegevens.

-+ w

p

q


61

Bereken het krachtmoment M, ten opzichte van A, door de lagers op de as uitgeoefend (grootte en richting!). Bereken ook de horizontale component van de kracht, door elk van de lagers op de as uitgeoefend (grootte en richting).

11.5. Een homogeen rechthoekig blQk draait met constante hoeksnelheid c.o om een vaste as die samenvalt met een lichaamsdiagonaal. De lengten van de ribben zijn a, b, c; de lengte van de lichaamsdiagonaal is l (= " a2 + b 2 + c2 ). De massa van het blok is m. Kies in het massamiddelpunt C een hoofdassenstelsel met de eerste as 11 ribbe a naar rechts, tweede as 11 ribbe b naar achter, en dus derde as 11 ri~be c naar boven.

•

elI I I ,/

1

/

/1.....1----

.... ",

a

Bereken de componenten, ten opzichte van dit meedraaiende hoofdassenstelsel, van het krachtmoment Tdat door de lagers op de as wordt uitgeoefend.

11.6. Een platte, homogene cirkelvormige schijf is stijf bevestigd aan een as door het middelpunt C, zo, dat de as met het vlak van de schijf de hoek ~ maakt (0 < ~ < 1t). De as is gelagerd in twee vaste lagers A en B; het systeem draait met de constante hoeksnelheid c.o in de aangegeven zin. De massa van de schijf is m, de straal

t

is R.

A

B

62 - Vraagstukken over mechanica

a. Bereken het traagheidsmoment I van de schijf ten opzichte van de as AB. b. Bereken de grootte van het krachtmoment Tdoor de lagers op de as uitgeoefend. Beschrijf de richting van T ten opzichte van AB en PQ. Geef ook de richtings-zin duidelijk aan. 11.7. Een dunne t:irkelvormige schijf (massa m, straal R) is gemonteerd op een as door zijn middelpunt; deze as maakt een vaste hoek

=

n

a. Bereken de hoek tussen de impulsmomentvector en de as. b. Bereken, hoe groot het krachtmoment is ten opzichte van het middelpunt van de schijf, dat de lagers van de as op de schijf moeten uitoefenen.

~~_________~_m~~~$~__

l _____________

[Yïm

•

~

t

c. Men brengt twee puntmassa's (elk met massa m) aan op een massaloos staafje door het middelpunt, welk staafje loodrecht op de schijf is gemonteerd. De afstand van elke puntmassa tot de schijf noemt men s. Deze wordt zodanig gekozen dat het systeem dynamisch gebalanceerd is (dat wil zeggen de impulsmomentvector ligt nu langs de as). Bereken s.

11.8. De massa van een rechthoekige plaat ABCD met zijden Ren 2R en verwaarloosbare dikte is m. Hij draait met hoeksnelheid 00 om een vaste as die in het vlak van de plaat ligt, een hoek

•


63

Lz =0.

c. Bewijs dat de grootte van het krachtmoment t.o.v. punt A, van de door de lagers op de as uitgeoefende krachten, wordt gegeven door de uitdrukking: M

t m.e2(02(cos 2cp - sin 2cp).

=

Laat de zwaartekracht hierbij buiten beschouwing! d. Bereken voor welke waarde(n) van cp de draaiingsas samenvalt met één der hoofdtraagheidsassen door het punt A.

11.9. (nieuw) Een homogene, overal even dunne, rechthoekige plaat met zijden a en 2a heeft massa m.

64


ro

Hij draait met constante hoeksnelheid om een vaste as die in het vlak van de plaat ligt en door het massamiddelpunt C gaat. De as maakt een hoek van 1t rad met de X2as (hoofdtraagheidsas nummer 2; zie de figuur, waarin ook hoofdtraagheidsas nr. 1 is aangegeven evenals de eenheidsvectoren ë, en ë2 ). a. Bereken de hoofdtraagheidsmomenten I" hen 13, b. Het impulsmoment t.O.V. C noemen we L. Bereken de componenten L" L2 en L3 ' c. Bereken de hoek 'Y die de vector L maakt met de vaste as. d. Bereken de grootte van het koppel moment dat de lagers van de vaste as uitoefenen.

i

11.10. (nieuw) De °hoofdtraagheidsas voor het massamiddelpunt C van een star lichaam zijn I" hen 13, Het lichaam beweegt al roterend door de ruimte. Behalve de zwaartekracht (die in Caangrijpt) is er geen enkele uitwendige kracht werkzaam op het lichaam. a. Op zeker ogenblik roteert het lichaam om een willekeurige as door C. Bewijs dat in het algemeen de hoeksnelheidsvector en de inipulsmomentvector niet dezelfde richting zullen hebben. b. In deze situatie geldt:

5=(dÛdt)R + ro x L. Bewijs dat hieruit ond~r andere volgt: o

I

•

c. Geef ook de gelijksoortige uitdrukkingen voor h<Î>2 oen lio3. d. We bekijken nu de gedragingen van een symmetrische tol waarop weer als enige uitwendige kracht de zwaartekracht werkt. De hoofdtraagheidsmomenten I, en h zijn beide precies I kg·m 2 terwijl 13 = 1,4 kg·m 2 . Op zeker ogenblik (t = 0) is (0, = 5, ffi2 = 0 en (03 = 8 (radIs). Bereken (0" ffi2 en ffi3 als functie van de tijd.

65

12. Het

omgekeerd kwadratisch centrale krachtveld

Opmerking. In hoofdstuk 12 van het théorieboek wordt potentiële energie niet met het symbool Ep aangeduid maar met het symbool U. Numerieke gegevens: RA (straal van de aardbol) = 6,4.106 m; G (gravitatieconstante) =6,7.10- 11 Nm 2)cg-2; c (lichtsnelheid in vacuo) = 3,0.108 ffiJs.

12.1. Beschouw de aarde als een stilstaande bol met homogene samenstelling met straal RA. Stel de gravitationele veldsterkte aan de oppervlakte go. a. Ber~ken, met behulp van de stelling van Gauss, de gravitationele veldsterkte in het inwendige van de aarde op een afstand r van het riliddelpunt. b. Stel, men boort in een willekeurige richting door de aarde een rechte tunnel met lengte t. Men laat in die tunnel een steen vallen (massa m). Neem aan dat de wand ' van de tunnel als volkomen glad beschouwd kan worden. Stel de dynamische bewegingsvergelijking op voor de steen, en leid daaruit de plaats van de steen àls functie van de tijd af. (Voer langs de tunnel een x-as in, met oorsprong in het midden.) c. Als men de steen aan het ene einde in de tunnel laat vallen met beginsnelheid nul, na hoeveel seconden bereikt de steen dan het andere einde? d. Breng nu de rotatie van de aàrde in rekening. Deze heeft een maximum effect voor de beweging van de steen als de tunnel de aardas loo~recht snijdt. Bereken voor dit geval de tijd die de steen er over doet om de tunnel te doorlopen.

12.2. a. Een bolvormig hemellichaam heeft een massa m en een straal R. Wat is de minimum snelheid die een lichaam aan de oppervlakte moet hebben om aan de gravitatiekracht te kunnen ontsnappen? Stel dat het hemellichaam niet roteert, is het dan van belang, welke hoek die snelheid met de verticaal maakt? b. Zwart gat volgens de gravitatietheode van Newton. De oÏltsnappingssnelheid kan grote~ zijn dan de lichtsnelheid. In dat geval kan zelfs geen 'lichtdeeltje' meer uittreden. Ga na dat de voorwaarde daarvoor is: R < 2mG/c2 (voor G en c zie boven). c. Bewijs dat de voorwaarde voor een homogene bol, waarvan de massadichtheid p =5,5.103 kg/m 3, verandert in: R> 1,7:10 11 m. 12.3. Gravitationele roodverschuiving van een sterrenspectrum. Als een deeltje zich van een hemellichaam af beweegt,.neemt zijn po~entiële energie toe, ten koste van zijn kinetische energie. Beschouw nu een lichtgevende ster waarvan de massa M is en de

66


straal R. Een foton dat door de ster wordt uitgezonden en waarvan de frequentie v is, heeft de energie hv (h constante van Planck). Men kan het foton een massa toekennen, bepaald door hv mc2, waarinc lichtsnelheid in vacuüm. Dat betekent: als het foton de ster verlaat neemt zijn potentiële energie in het zwaartekrachtveld van de ster toe; de eigen-energie ('kinetische energie') van het foton moet.dus afnemen, en daarmee de frequentie. Men noemt dit de gravitationele roodverschuivil1g van het uitgezonden licht (wel te onderscheiden van de roodverschuiving die door ~et . Doppler-effect optreedt ~en gevolge van de relatieve beweging van ster en waarnemer!). Stel dat het foton bij de emissie de frequentie v heeft, wat is dan de frequentie v' op zeer grote afstand van de ster? (Neem hierbij aan dat GM « c2R.)

=

=

=

12.4. Op eén hoogte h boven het aardoppervlak geldt voor de versnelling g van de gravitatiekracht, als h « RA:

Toon dit aan.

12.5. Een zeer ijle gaswolk in de wereldruimte heeft een massa van 1030 kg en een straal van 10 16 m. De dichtheid is in de wolk overal even groot. Zij begint samen te trekken onder invloed van de eigen aantrekkingskracht ('grayitational collapse'). Door de samentrekking wordt een druk ontwikkeld tot een stabiele ster gevormd is met een s~raal van 109 m. Hoeveel is de totale gravitatie-energie afgenomen, als men veronderstelt dat de dichtheid in de gevormde ster overal even ~root is? 12.6. Wij beschouwen de aarde als een bol waarvan de massa bolsymmetrisch is verdeeld. De gravitatieversnelling aan het oppervlak is go = 9,8 mls 2• De omlooptijd van de maan om de aarde is 27,3 dagen. Bereken op grond van deze gegevens de afstand tussen de middelpunten van aarde en maan. 12.7. Een als puntmassa op te vatten satelliet beschrijft een ellipsvormige baan in het gravitatieveld van de aarde ..Het middelpunt van de aarde wordt als een vast punt (0) beschouwd. De massa van de satelliet is 1,5.104 kg. Voor de potentiële energie van de _ satelliet geldt: U = -6·1 018/r. De grootte van het impulsmoment L van de satelliet ten opzichte van 0 j·s 2,1.10 15 kgm 2çl. a. Bewijs dat voor de totale mechanische energie van de satelliet geldt:

b. Wij beschouwen nu het equivalente eendimensionale probleem, d.w.z. we doen alsof E de totale mechanische energie is van een fictieve puntmassa van 1~5·1 Q4 kg

Het omgekeerd kwadratisch centrale krachtveld

67

die uitsluitend beweegt langs een rechte lijn waarop het krachtcentrum 0 ligt. In dat ge~al is de term 0,75.104 . r2 de kinetische energie en is de tweeterm U* 1,47·1026/r2 - 6. 10 18/r de potentiële energie.

=

Schets de grafiek van U* tegen r.

=

c. Nu wordt nog gegeven dat E ~,O·lOlO (1). Ga na, hoe groot de minimale alsook de maximale waarde van ris. d. De baan vande satelliet is een ellips, beschreven door de vergelijking r =p/(l + E cos
12.8. Een puntmassa (massa m*) beweegt in het gravitatieveld van de aarde. Het middelpunt van de aarde wordt als een vast punt (0) beschouwd. Voor de potentiële energie van de satelliet geldt: U -elr waarin c Gm*mA (mA is de massa van de aarde). De snelheid waarmee de puntmaasa het perigeum passeert (dat is het punt van de baan waar de afstand tot 0 minimaal is) is voo De waarde van r in het perigeum wordt aangeduid als ro: De snelheid v ontbinden we in de radIale component rer en de transversale component

=

r<j>~. Voor de grootte van het impulsmoment

L

=

L ten opzichte van 0

geldt, zoals bekend:

=rm* IVtrl =r2m* 1<j>1.

a. Bewijs dat v?Or de totale mechanische energie van de satelliet geldt:

E=!m*i2+~ -~ 2 2m*r2. r b. Wij beschouwen nu het equivalante eendimensionale probleem, d.w.z. we doen alsof E de totale mechanische energie is van een fictieve puntmassa met massa m* die uitsluitend beweegt langs een rechte lijn waarop het krachtcentrum 0 ligt. In dat geval is de term m*f2 de kinetische energie en is de tweeterm U* L 2/(2m*r2) - clr de potentiële energie. Schets de grafiek van U* tegen r.

=

t

c. Stel dat vsx>r de 'snelheid vo geldt: vo2 ·= 1,5 c/(rom*). Ga na, hoe groot de minimale alsook de maximale waarde van ris. d. Stel dat voor de snelheid Vo geldt: vo2 =ac/(rom*) waarin a een positief reëel getal is. Ga na, hoe groot a minstens moet zijn opdat er geen maximale waarde van ris.

12.9. Een deeltje (massa m) beweegt in een elliptische baan in een centraal krachtveld. Voor de veldkracht geldt: (-e/r2 waarin c > O. De baanvergelijking is: r =p/(l + E cos
F=

L

)er

=""pmc.

68


p

A

b. Bereken de snelheid in het perihelium P, uitgedrukt in c, m, p en E. , c. Ga na dat voor de totale energie geldt: E =-c/2a. Controleer dit resultaat VOOt; een cirkelvormige baan! Opmerking: in het atoommüdel van Bohr voor het waterstofatoom kan het elektron dus verschillende elliptische banen (inc. één cirkelbaan) doorlopen bij éénzelfde waarde van de totale energie. Al deze banen hebben even lange assen maar verschillende korte assen. Het impulsmoment Lis wel verschillend. De quantummechanica beperkt de mogelijkheden door de eis dat het impulsmoment L slechts bepaalde waarden kan hebben. d. Bereken de perksnelheid (de per s door de plaatsvector doorlopen oppervlakte), uitgedrukt in c, p en m. e. De oppervlakte van de ellips is: 1tp2/(l- E2)1.5 (dit behoeft u niet te bewijZen!). Bewijs dat (voor dit deeltje, in dit krachtveld) de omlooptijd T alleen wordt bepaald door a, dus onafhankelijk is van E (anders gezegd: T wordt alfeen door de waarde van de energie bepaald, onafhankelijk van de grootte van het impulsmoment). 12.10. '(nieuw) Een komeet (massa m*) beschrijft in het gravitatieveld van de zon (massa m) een baan. Het middelpunt van de zon wordt opgevat als een vast krachtcentrum (0). Voor de gravitatiekracht die de komeet ondervindt geldt~

F=-{c/r2)êr ' waarin

c

= Gmm*.

In het pherihelium P heeft r de waarde ro; de grootte van de snelheid van de komeet is daar:

Vo =..J 1, 8Gmlro·

Het omgekeerd kwadratisch centrale krachtveld

69

a. Bereken de grootte van het impulsmoment (t.o.v. 0) van de komeet, uitgedrukt in m, m*, G en ro. b. Bereken de grootte van de totale mechanische energie van de komeet, eveneens uitgedrukt in m, m*, Gen ro (de potentiële energie wordt nul gesteld voor r ~ 00). c. De baan vergelijking is: r = p/(l + E cos q». Ga na hoe groot p en E zijn (p uitgedrukt in ro). (nieuw) Een puntmassa (massa m = 1,5 kg) beweegt in een centraal krachtveld. V~or zijn potentiële energie in dat krachtveld geldt: Ep = -12/r waarin r de afstand tot het krachtcentrum 0 is. Op het tijdstip t = 0 is r = 1,0 m; de snelheid staat dan loodrecht op de plaatsvector; zijn grootte is 4,0 mis. 12~ 11.

v

y

I

1,5

m,

11

I

x

Figuur bij vraagstuk 12.11.

Figuur bij vraagstuk 12.12.

a. Ga na hoe de baanvergelijking r =r(q» 'er uit ziet Kies daarbij q> =0 in het punt waar de puntmassa is op t =O. , b. Bereken de grootte van de snelheid als r is aangegroeid tot 1,5 meter. c. De hoek tussen r en v noemen we y. Bereken y' in het punt waar r is aangegroeid tot 1,5 meter.

=

12.12. (nieuw)Een puntmassa (massà m 2,5 kg) beweegt in een plat vlak waarin een X-Y coördinatenstelsel is aangebracht. De puntmassa bevindt zich in een centraal krachtveld waarvan het krachtcentrum ligt in de oorsprong O. Voor de potentiële energie van de puntmassa geldt in dit geval: Ep -l,6/r (joule). Op zeker tijdstip t 0 is de plaatsvector r 0 (1; 0) en de snelheid Vo (0; 1,2). a. De baanvergelijking is:

=

p - 1 + e cos q>

r---~-

Ga na hoe groot p en E zijn.

=

=

=

70


b. Op zeker tijdstip t > 0 passeert de puntmassa de Y-as. Bewijs dat dit gebeurt in het punt (0; 2,25). c. Bereken de x- en de y-component van de snelheid waarmee de puntmassa de Y-as passeert.

v

12.13. (nieuw) Een puntmassa (massa m) beweegt in een centraal krachtveld. Het krachtcentrum is O. Voor de veldkracht geldt: F = (-c/r2 ) êr waarin ceen positieve constante is. De baan is een ellips; de baanvergelijking in poolcoördinaten (r en
waarin p en E positieve constanten zijn; E < 1. m

p

A

a. Bereken de minimale en de maximale waarde van r (uitgedrukt in p en E). b. Als de grootte van de snelheid in het perihelium P (punt waar r minimaal is) Vo is, ga dan na hoe groot de snelheid is in het aphelium A (punt waar r maximaal is), uitgedrukt in E en voo c. Druk Vo uit in de overige gegevens (c, p, men E).

=

12.14. (nieuw) Een puntmassa (massa m 3,0 kg) beweegt in een centraal krachtveld. Voor zijn potentiële energie in dat krachtveld geldt: Ep = -12/r waarin r de afstand tot het krachtcentrum 0 is.

o tI---L.._ _-+j

Het omgekeerd ,kwadratisch centrale krachtveld

71

v

Op het tijdstip t = 0 is r = 1,0 m; de snelheid staat dan loodrecht op de plaatsvector; ~ijn grootte is 4,0 mis. a. Voor de kracht op de puntmassa kan men schrijven: F f(r)ër. Bereken f(r). b. Ga na, hoe de baanvergelijking r = r(
=

=

r v

12.15. (nieuw) Een puntmassa (massa m) beschrijft een baan in een centraal krachtveld (krachtcentrum 0). Voor de veldkracht geldt: (c/r2) ër waarin c > 0 (afstotende kracht). De baan van de puntmassa is hieronder afgebeeld.

F=

Aanvankelijk is de puntmassa op grote afstand van 0 (in vergelijking met de minimale afstand rm); zijn snelheid is dan voo De afstand van 0 tot de drager van de vector Vo wordt a genoemd. Voor' de grootte van Vo geldt:

Vo = ~ ~ c/(am).

a. Bewijs dar rm gelijk is aan 3a. b. De baan kan worden beschreven door de vergelijking r =p/(-1 + E cos 1; voor

13.

TriLlingen

13.1. Een puntmassa kan bewegen langs een rechte lijn (X-as). Op hét deeltje werkt een el~tische kracht -bx i en een dempingskracht -r xT De dynamische bewegingsvergelijking is dus: mX + rx + bx =O. We voeren in de symbolen co = blm (de hoekfrequentie van de ongedempte trilling), . (l = r/(2m) en COl = 1(l2 - co021. Als (l > COo spreekt men van sterke demping; COl stelt dan niet een hoekfrequentie voor en de oplossing van de dynamische bewegingsvergelijking is dan van de vorm:

x =e-llt(Ale(J)lt + A2e- o. . Bereken AI en A2, uitgedrukt in Vo en COl. 13.2. De betrekking x =A e-atcos(co\t + P) beschrijft een zwak gedempte trilling. Bereken A en Pals gegeven is: op t =0 is x =0 maar x =vo > O. 13.3. De betrekking x =A e-atcos(colt + P) beschrijft een zwak gedempte trilling. Bereken A en Pals gegeven is: op t =0 is x =Xo en v =o. 13.4. I?e algemene oplossing van de differentiaalvergelijking voor een vrije harmonische.trilling luidt, voor het geval van zwakke demping:

u =A e-rtl2mcoS(COlt +
• Trillingen

1---I

I

I

I

73

L _____ .J a. Stel de differentiaalvergelijking voor deze laatste, gedempte, trilling op. b. Hoe groot is de viscositeit van de olie? (Wet van Stokes: Fw =-Q1t11Rv.) c. Hoe groot is de kwaliteitsfactor van de gedempte oscillator? d. Met welke factor is de arriplitude na tien perioden afgenomen? 13.6. Een blokje niet massa m kan praktisch wrijvingsloos bewegen over een horizontaal vlak. Aan weerszijden van het blokje is een veer bevestigd met veerconstante b I respectievelijk b2. Het linker uiteinde van veer 1 is allO de wand bevestigd. Het rechter uiteinde van veer 2 is bevestigd aan de knop van een trillingsmachine en voert een harmonische beweging uit volgens U2(t) = Û2 cos roL Het aanloopverschijnsel (de overgangstoestand) is uitgestorven.

a. b. c. d.

Welke krachten werken op het blokje? Stel de bewegingsvergelijking op. Bereken Ul(t). (De toestand is stationair, zie boven~) Welke twee waarden kan het faseverschil tussen u((t) en U2(t) hebben? Waardoor wordt bepaald welke van de twee waarden optreedt? e. Bij welke frequentie treedt amplituderesonantie op?

13.7. Een voorwerp met een massa van 2 kg hangt aan het ondereind van een ,

(

schroefveer van verwaarloosbare massa. Bij het belasten van de veer met het voorwerp rekt de veer 25 mm uit. Het bovenste uiteinde van de veer wordt harmonisch op en neer bewogen met een amplitude van 1 mm en een hoekfrequentie 00. De kwaliteit Q van het systeem is 15. De stationaire toestand is ingetreden. a. Hoe groot is de 000 van het systeem? b. Bereken hoeveel promille de resonantiefrequentie
74

Vraagstukten over mechanica

13.8. Een condensator met capaciteit C = 10-9 F wordt ontladen over een weerstand R = 3.103 n in serie met een spoel met zelfinductie L = 2 H. Het ontladen begint op het tijdstip t = O. Het potentiaalverschil tussen de condensatorplaten is dan 1 Ven de stroomsterkte nul. a. Waarom ontstaat er een trilling? Wat is de hoekfrequentie hiervan? . b. Bereken de lading op de condensatorplaten, 1,2 en 3 perioden na t = O. c. Laat zien dat na elke periode de lading op de condensatorplaten met een constant percentage is afgenomen. Bereken dit percentage. L

R

d. Na hoeveel perioden is het potentiaalverschil tussen de con~ensatorptaten blijvend kleiner dan 0,001 V?

=

13.9. a. Op het tijdstip t 0 is de lading q van de linker plaat van de condensator in onderstaande schakeling qo; de lading -q van de rechterplaat is dan -qo. De schakelaar wordt op dat ogenblik gesloten. Schrijf de differentiaalvergelijking op waaraan de lading q als functie van de tijd voldoet na het sluiten van de schakelaar.

1]

-0--"

L_._ _

I - -_ _

b. De ontlading van de condensator is kritiek gedempt. Aan welke onderlinge betrekkingen voldoen L, Ren C blijkbaar? c. De algemene oplossing van de bewegi9gsvergelijking voor een kritiek gedempte, mechanische trilling heeft de gedaante u (AI + A2t)e-at. Op welke wijze hangt de lading q van de linkerplaat van de condensator na het sluiten van de schakelaar af van de tijd (uitgedrukt in qo, R, L en t)? d. Op welk tijdstip is de (absolute) waarde van de stroomsterkte maximaal (uitgedrukt in Len R)?

=

13.10. Aan een stang die op en neer kan worden bewogen hangt een veer waarvan de veereonstante b is. De massa van de veer mag worden verwaarloosd. Aan de veer hangt een lichaam met massa m. De versnelling van de zwaartekracht is g. De kwaliteitsfactor van het (zwak gedempte) systeem veer plus massa is Q.

•

Trillingen

75

a. Toon aan, dat voor de dempingscoëfficiënt r geldt:

waarin ~ de hoekfrequentie van de ongedempte vrije trilling is. Op het tijdstip t 0 wordt de stang in een verwaarloosbaar korte tijd over een afstand A omhoog getrokken. b. Hoe groot is de arbeid, die daarbij door de stang op het systeem veer plus massa wordt verricht (uitgegrukt in de gegeven grootheden)? e. Als de trilling die na t 0 optreedt geheel is uitgedempt, hoeveel energie is dan gedissipeerd (uitgedrukt in de gegeven grootheden)? d. (nieuwe tekst) De nieuwe evenwichtstoestand van het lichaam 'wordt aangegeven met: z zo. De uitwijking uit die evenwichtstoestand is dan u z - zo. Voor u(t) geldt:

=

=

=

=

Toon aan dat:

cp =-arctan (2~)

• en

U max

= A~

1+

4~2 .

13.11. a. Schrijf de bewegingsvergelijking op van een vrije lineair gedempte oscillator en geef de algemene oplossing voor het geval van zwakke demping. Van èen oscillator is gegeven: m =0,010 kg. Indien hij niet gedempt was, zou de hoekfrequentie <00 = 150 s-I zijn. b. Bereken de veerconstante. Tengevolge van de demping (lineair!) is de tijd. die verloopt tussen twee opeenvolgende doorgangen door de evenwichtstoestand ;~ x zo groot als wanneer er geen demping was. e. !3ereken de dempingscoëffici~nt r. ~tel nu, dat de osci,lIator wordt aangedreven met een kracht F(t) = F cos (rot).

76


d. Bereken de waarde die co moet hebben opdat de amplitude van de trilling (nadat het aanloopverschijnsel uitgedempt is) maximaal zal zijn.

13.12. Twee identieke mathematische slingers met gemeenschappelijk slingervlak zijn op gelijke hoogte opgehangen; zie de figuur. De slingerlichamen zijn verbonden door een massaloze.schroefveer met veerconstante b, die juist ontspannen is als beide slingers verticaal hangen. Beide slingers worden geacht zich te bewegen met een zo kleine uitwijking uit de evenwichtstoestand dat de beweging als rechtlijnig mag worden beschouwd. De uitwijkingen uit de evenwichtstoestand worden u I en U2 genoemd. Er is geen demping. a. Stel bewegingsvergelijkingen op voor u I en U2. b. Bereken daaruit de twee verschillende eigenfrequenties van het systeem.

c. Toon aan, dat voor beide eigentrillingen geldt, dat de amplitudes van beide slingers gelijk zijn, en dat bij de ene de beide slingers in gelijke fase zijn en bij de andere in tegenfase.

77,

14.

lineaire deformaties

14.1. Een staaf hangt verticaal. Bereken de trekspanning en de schuifspanning in het midden van een vlak AA' dat een hoek (l maakt met het horizontale vlak (zie figuur).

A'

A

x

De massadichtheid van het materiaal van de staaf is p; het midden van het bedoelde vlak is op afstand x van de onderkant van de staaf.

14.2. Een lange draad heeft in ongerekte toestand de lengte f.. De elasticiteitsmodulus van het materiaal is E; de soortelijke massa is p, Bereken de lengtevermeerdering van de draad ten gevolge van de zwaartekracht als de draad verticaal wordt opgehangen. 14.3. Een massieve staaf heeft de vorm van een afgeknotte kegel. De doorsnede is cirkelvor-mig; de stralen van de eindvlakken zijn a en 2a; de lengte van de staaf is l00a. De elasticiteitsmodulus van het materiaal is E. Bereken de lengtevermeerdering van de staaf ~ls deze door een kracht F wordt uitgerekt. 14.4. a. Binnenbanden van fietsen en auto's worden door oppompen niet langer. Dat is een gevolg van het feit dat de constante van Poisson voor rubber::::: 0,5 is. Toon dat aan door (in eerste orde benadering) dè lengteverandering te onderzoeken van een rechte cilindrische buis van rubber, waarvan de einden afgesloten zijn, als daar lucht in wordt gepompt tot een overdruk ~p. ' b. Van een bepaalde rubber b11is is de wanddikte 1 mm; de gemiddelde diameter van de buis is 20 mmoBij meting blijkt voor 'elke 0,1 bar overdruk de diameter 10% toe te nemen. Leid uit deze meting de elasticiteitsmodulus van rubber af. (N.B.: 1 bar 105 Pa.)

=

78


14.5. Een metalen balk, waarvan de doorsnede rechthoekig is, bestaat uit twee even dikke aan elkaar gelaste lagen. De lengte van de balk is de breedte is b, de dikte is a. De elasticiteitsmodulus van de onderste laag is Eo, die van de bovenste laag is 2Eo. a. Bereken de lengteverandering van de balk als deze belast wordt met een trekkracht

e.

F. b. Bepaal de ligging van de neutrale laag van de balk als deze gebogen wordt. 14.6. Een massieve homogene, cirkeIcilindrische staaf is, in horizontale stand, met zijn ene uiteinde vastgeklemd in een verticale muur. Van de staaf is de lengte l, de straal r, de dichtheid p; de elasticiteitsmodulus van het materiaal is E. Bereken de zakking van het vrije uiteinde ten gevolge van het eigen gewicht van de staaf. ,14.7. Een cirkeIcilindrisch buisje rust in het midden dwars op een messnede. In beide einden zijn bolletjes, waarvan de massa's m zijn, geklemd. De massa van het buisje wordt verwaarloosd; de binnenstraai is r, de lengte l, de wanddikte d (r» d, r« l; denk bijvoorbeeld aan een limonaderietje). a. Toon aan dat de uiteinden ten opzichte van het midden doorzakken over een hoogte

y =mgl 3/241tEdr3. In welk geval zal het evenwicht stabiel zijn? b. Het buisje kan bij deze opstelling twee soorten trillingen uitvoeren: elastische, waartoe men aan beide uiteinden gelijk gerichte verticale stootjes van gelijke grootte moet geven, en gravitationele, waartoe men even grote verticale stootjes in tegengestelde richting moet geven. Bereken voor beide gevallen de trillingstijd. (Laat y in het antwoord staan.) 14.8. Van een dunwandige buis is de lengte l, de straal r, de -wanddikte d. De glijdingsmodulus van het materiaal is G. Hoeveel arbeid moet men verrichten om de buis over een hoek

79

15. Vloeistofmechanica " Hydrostatica 15.1. Een sluisdeur is 6 m hoog en 5 m breed. Aan de ene zijde staat het water 3 m hoog; aan de andere kant staat het tot de bovenkant van de deur. Bereken de resultante van de krachten die de deur van het water ondervindt en bepaal de plaats van het aangrijpingspunt van de resultante. 15.2. In een vierkante uitsnijding van 2 x 2 meter in de verticale wand van een bak is een houten cilinder aangebracht op de wijze als in de figuur geschetst is. De cilinder kan zonder wrijving om zijn horizontale as wentelen.

De bak wordt met water gevuld tot een hoogte van 2 m boven de cilinderas. De dichtheid van het hout is 700 kglm 3. a. Op de linkerhelft van de cilinder werkt een opwaartse kracht. Toon aan dat desondanks de cilinder niet als een perpetuum mobile om zijn as gaat draaien. b. Bereken de totale kracht die de cilinder op zijn astappen uitoefent.

15.3. Bereken de kracht waarmee twee luchtledig gemaakte Maagdenburger halve bollen, waarvan de diameter 0, lOm is, tegen elkaar gedrukt worden, als de puitendruk 105 Pa is. Ga na, dat de kracht op de afsluitplaten van een drukketel even groot is op platte platen als op gebogen platen. 15.4. Een cilindrische glazen buis is in de vorm van een V gebogen; de hoek tussen de benen is ~ rad: Het ene been wordt verticaal gehouden. De buis is, over een lengte l , gevuld met vloeistof waarvan de massadichtheid p is en waarvan de inwendige wrijving verwaarloosd wordt. Als de vloeistof schommelt, hoe groot is dan de slingertijd? 15.5. Een cirkelcilindrische bak, waarvan de as verticaal staat en die gedeeltelijk met "vloeistof gevuld is, draait eenparig met hoeksnelheid 0) om deze as. De vloeistof wentelt met de bak mee. De massadichtheid van de vloeistof is p. De druk p in een willekeurig punt in de vloeistof is dan een functie van de coördinaten zen r; z is de hoogte boven de bodem en r de afstand van dit punt tot de as.

80


*

a. VOQr de druk in de vloeistof gelden de volgende betrekkingen:

=-p g

en

1i =pro

2

r.Bewijs dit.

b. Ga na welke vonn het oppervlak van de vloeistof heeft.

15.6. Een cirkelciliridrisch vat, dat gedeeltelijk gevuld is met een vloeistof, laat men om de as met constante hoeksnelheid ro roteren. Het vloeistofoppervlak krijgt dan een holle gedaante; in de stationaire toestand is dat een omwentelingsparaboloïde. Kiest men de rotatie-as als z-as, dan is de·vergelijking van het oppervlak: . z = (ro2I2g)(x2 + y2) + constante. a. Toon dat aan op grond van de overweging.,dat in een meedraaiend coördinatenstelsel de re~ultante van de 'uitwendige' krachten die op een vloeistofelement aan het oppervlak werken, loodrecht 'op dat oppervlak gericht moet zijn. (In het meedraaiende stelsel is de vloeistof immers in statisch evenwicht.) Daaruit volgt de richtingscoëfficiënt van de doorsnijding van het oppervlak met een vlak door de as van wenteling. b. Men kan de situatie in het meedraaiende stelsel ook als volgt beschouwen. De op de vloeistofdeeltjes werkende krachten zijn in dit stelsel conserverende krachten. Hoet vloeistofoppervlak zal in statische toestand dus een equipotentiaalvlak moeten zijn; dat is: de potentiële energie per kg is langs dit oppervlak constant. Daaruit volgt direct de vergelijking van de omwentelingsparaboloïde.

Mechanica van wrijvingsloze fluïda 15.7. Door een buisleiding stroomt per seconde 45 dm 3 water door een doorsnede. In een punt A is de doorsnede van de leiding 0,5 dm 2 ; in een ander punt B, dat lOm lager ligt, is de doorsnede 4,5 dm 2. Hoe groot is het drukverschil tussen A en B? 20 cm 2 stroomt wrijvingsloze vloeistof. De stroming is stationair. In de buis is een vernauwing aangebracht met doorsnede S' 5 cm 2• De twee getekende manometerbuisjes, gevuld met . dezelfde vloeistof en waan:an er één op de plaats van de vernauwing is aangebracht, hebben een niveauverschil van 27 cm. Bereken het volume vloeistof dat per seconde door een dwarse doorsnede stroomt.

15.8. Door een horizontale buis waarvan de doorsnede S

=

:~~ -.- r2~cm, -... -

--

=

Vloeistofmechanica

81

15.9. Een baksteen ligt met zijn grote zijde op de harde horizontale bodem van een rivier. De afmetingen van de steen zijn 5 bij 10 bij 20 cm; zijn massadichtheid is 2,5.103 kg/m 3 . De stroomsnelheid is overal praktisch even groot; v = 1,0 mis.

- -__ ~ v

p Q

a. Wij beschouwen een stroomlijn die midden onder de steen .doorgaat (noch het oppervlak van de steen, noch de bodem van de rivier zijn volkomen vlak; er stroomt dus enig water onder de steen door, waarvan de stroomsnelheid echter verwaarloosbaar is). Punt Q ligt op die stroomlijn. Ook beschouwen we een stroomlijn die vlak boven de steen loopt (zie tekening); punt P ligt op deze stroomlijn. Bereken het drukv~rschil PQ - pp. . b. Stel dat de druk overal op het bovenvlak van de steen zo groot is als in punt P en overal op het ondervlak zo groot als in het punt Q. Bereken nu de grootte van de resultante van de verticale krachten die op de steen werken. Blijft de steen liggen? c. Beantwoord vraag b nog eens, maar nu voor een steen die niet 5 cm dik is maar slechts 2,5 cm.

15.10. In een kanaal, met rechthoekig dwars profiel, stroomt water met een snelheid van 0,60 mIs. Het water staát 0,30 m diep. Dwars over de bodem van het kanaal ligt . een drempel van 15 mm hoogte. Bereken hoeveel de waterspiegel boven de drempel lager ligt dan elders. Stel de inwendige wrijving nul en verwaarloos de tweede en hogere machten van de spiegelverlaging. (N.B.: Beschouw een stroomlijn langs het oppervlak. Daarlangs is ovèral p atmosferische druk. We gaan er van uit dat de stroomsnelheid overal even groot is. Stel dat de waterspiegel boven de drempel x hoger is dan elders ..Men vindt dan voor x een negatieve waarde.)

=

15.11. Een wijd open cilindrisch vat is gevuld met vloeistof tot de hoogte h. De oppervlakte van de doorsnede van het vat isA(. In de bodem van het vat bevindt zich een (nauwe) opening, waardoor de vloeistof zonder turbulentie wegstroomt. De oppervlakte van deze opening is A2 (A2 « AI)' De vloeistof wordt zonder inwendige wrijving verondersteld. a. Toon aan dat, als de hoogte van het vloeistofniveau constant gehouden wordt, de uitstroomsnelheid is: v = "2gh.

82


b. Men laat vervolgens het vat, dat aanvankelijk tot de hoogte h gevuld is, leeglopen. In welke tijd stroomt het vat voor ~ deel leeg, als dat z6 langzaam geschiedt, dat de stroming op ieder tijdstip als stationair beschouwd mag worden? 15.12. Een lange cilinder metstraai R bevindt zich in een stationaire luchtstroom. De massadichtheid van de lucht p is overal dezelfde; de viscositeit is verwaarloosbaar. y

I.

~

--->-:-----=:::::::::::::::::::=±I:::::s:::: -~;-~-;><-'

?

"

.<

==1___=~~~t-'---._____

- - x

--~f

~~~

-----=

I

--~

---

I

Er geldt, uitgedrukt in cilindercoördinaten, voor de snelheid van de lucht: Vr = r = voO - R2/r2)cos q>; v'" = rip = -voO + R2/r2)sin q>; Vz ::0. Voor een vector Ä geldt in cilindercoördinaten: . 1 a 1 aAIjI aAz dlV A = ar (rAr) + aq> + dz

r

r

.

a. Bewijs, dat met deze vr, v'" en Vz voldaan is aan de continuït~itsvergelijking. b. Bereken de druk op het cilinderoppervlak als functie van q> (stel p =po op grote afstand van de cilinder, en neem aan, dat p niet van z afhangt; verwaarloos de zwaartekrachtsterm in de vergelijking van Bemoulli). Men laat nu de cilinder met constante hoeksnelheid ro =-rook langzaam ronddraaien om zijn as. Neem aan dat, direct bij het cilinderoppervlak, nu voor v'" geldt: v'" =-2vo sin q> - rooR. y

x

. c. A en B zijn punten van het cilinderoppervlak; YB = -YA; XB = XA, ZB = ZA. Bewijs dat PB - PA 4p vorooR sin
=

Vloeistofmechanica

83

T.

d. De cilinder ondervindt een (netto-) kracht in de richting van de eenheidsvector Bereken hoe groot die kracht is op I meter van de cilinder (stuk cilinder dat zich uitstrekt van z =-0,5 tot z =+0,5).

Mechanica van newtonse fluïda 15.13. Twee cirkelvormige schijven, waarvan de diameters 0,2 m zijn, draaien om hun gemeenschappelijke as met een constante hoeksnelheid van één omwenteling per seconde ten opzichte van elkaar. Tussen de schijven, die I mm van elkaar verwijderd zijn, bevindt zich water. Hoe groot is het moment van het wrijvingskoppel dat op elk van de schijven uitgeoefend wordt? (De viscositeit van water is 1.10-3 kgçlm- I ; randverschijnselen worden verwaarloosd.) 15.14. Een dun laagje vloeistof stroomt stationair en laminair van een hellend vlak. De dichtheid van de vloeistof is p, de viscositeit is Tl; de dikte van het laagje is h; de hellingshoek van het vlak is u. a. Hoe verloopt de snelheid met de hoogte in de vloeistof? b. Bereken de gemiddelde snelheid in het laagje. c. Hoe kan men nagaan of de onderstelling van laQlinaire stroming, bij toepassing van de gevonden uitkomsten op een numeriek geval, geoorloofd is? 15.15. Een rechte cilinder van cirk~lvormige doorsnee (lengte L,straal a) wordt met de constante snelheid Vc door een met vloeistof gevulde wijdere buis getrokken. De buis heeft eveneens een cirkelvormige doorsnee (straal b). De as van de cilinder valt steeds samen met die van de buis. Het systeem is zo ingericht dat de vloeistofdruk overal hetzelfde is. Tengevolge van de beweging van de cilinder is er een laminaire stroming in de visceuze vloeistof (viscositeit = Tl).

a. Verwaarloos de effecten aan de eindvlakken (L» b). Toon aan dat in een punt op afstand 'r van de as, in de ruimte tussen de cilinder en de buiswand de snelheid van de vloeistof is: v = Cl In r + C2 (v evenwijdig aan de as; Cl en C2 zijn constanten). b. Druk c I en C2 uit in de gegevens. c. Bereken het vermogen dat voor de voortbeweging van de cilinder moet worden toegevoerd.

15.16. Uit een wijde bak stroomt door een lange nauwe verticale buis, die in de bodem uitmondt, een visceuze vloeistof. De stroming in de buis geschiedt laminair. De

84

Vraagstukken over mechanica •

hoogte van het vloei~tofniveau in de bak is h; de lengte van de buis is f, de straal is R; de dichtheid van de vloeistof p, de viscositeit 11. Bereken het volumedebiet van de uitstromende vloeistof (de vloeistof in de bak wordt als quasi-stilstaand beschouwd).

15.17. In een bak glycerine laat men beneden het vloeistofoppervlak een stalen bolletje vallen, zonder het een beginsnelheid te geven. De diameter van het bolletje is 2 mrn; Pstaal = 7,8.10 3 kg/m 3 ; Pglyc = 1,3.103 kg/m 3 ; 11glyc = 0,83 kgs-1m- I,. Bereken de eindwaarde van de snelheid van het bolletje. Ga na of de wet van Stokes in dit geval mag worden toegepast. Na hoeveel tijd heeft het bolletje een snelheid verkregen die gelijk is aan 99% van de eindwaarde?

15.18. In een rotatie-viscosimeter bevindt zich de vloeistof, waarvan men de viscositeit wil meten, tussen twee coaxiale cilinders. De buitenste cilinder roteert met constante hoeksnelheid c.oo; de binnenste cilinder hangt aan een torsiedraad. Tengevolge van de inwendige wrijving van de vloeistof wordt een krachtmoment, via de vloeistof, op de binnenste cilinder uitgeoefend, dat door het torsiemoment van de ophangdraad wordt tegengewerkt. Stel de torsieconstante van de draad is T o. Als de draad in de evenwichtstoestand over een hoek 'Ö is getordeerd, is het torsiemoment dus T = T 0'Ö. Stel dat men het krachtmoment dat langs het ondervlak van de binnenste cilinder werkt buiten beschouwing mag laten: Druk, met deze veronderstelling, 11 uit in 'Ö en in' (00, To, rl, r2 en f (zie figuur).

::::::::: o

~

'.~ :.:.~.:.~

•:.:'.: :.:

•••••• '. ..:::::::;: ....... ... ..

......... ..........

:.:.:.:.:.

..

.:.:: ::'.::.::

~......r..'.'.'.'.' ....................

:••:.::•••:.:.:.:.:.:" •••••'1" •• "........

85

16.0 pp ervlakteverschijnselen

bij

vloeistoffen . 16.1. Bereken de overdruk in een bolvormige vloeistofdruppel, waarvan de straal r is, als de oppervlaktespanning van de vloeistof y is . . Hoe groot is de overdruk in een zeepbel, waarvan de diameter 0, JO m is, als van de zeepoplossing y= 0,025 Nim? 16.2. Bereken de stijgQoogte van een vloeistof in een capillair waarvan de doorsnede cirkelvormig is, indien de oppervlaktespanning y is, en de contacthoek van de vloeistof met de wand (l is. 16.3. Van een U-vormige buis is de diameter vari het ene been 0,4 mm , die van het andere 1 mmo Er wordt water in geschonken ~ Hoe groot is het hoogteverschil tussen de niveaus in de benen als de buis verticaal staat? Hoe groot is het niveauverschil voor ether? Bij kamertemperatuur is Ywater 0,072 kgs-Im-I; Yether 0,016 kgs-Im-I; Pether 700 kglm 3• Veronderstel dat de vloeistoffen de wand geheel bevochtigen.

=

=

=

16.4. In een horizontaal opgesteld capillair buisje, waarvan het inwendige zwak konisch is, wordt in net midden een beetje water gebracht. Toon aan dat dit water naar het nauwe einde van het buisje gaat bewegen. Gebeurt hetzelfde als men het water door kwik vervangt? 16.5. Twee verticale platen (breedte b) staan op korte afstand a (a « b) tegenover elkaar in een bak met vloeistof (dichtheid p). De oppervlaktespanning van ·de vloeistof is y.

- --

'-

----

I r - - - - - - __ a. Hoe groot is de stijghoogte h, aIs de vloeistof de platen geheel bevochtigt? b. Hoe groot zijn de horizontale krachten waarmee de platen op hun plaats gehouden moeten worden? C. Op welke hoogte boven de vloeistof in de bak grijpen die krachten aan?

86


16.6. In een vlak raam is een zeepvlies gespannen. In het vlies bevindt zich een luchtbel, waarvan de inhoud 1~047·IO-5 m3 is. De oppervlaktespanning van de zeepoplossing is 0,025 kgç 1m- 1• a. Hoe is de vorm van de luchtbel precies? (Verwaarloos de invloed van de zwaartekracht.) b. Hoe groot is de overdruk in' de luchtbel? (N.B.: De inhoud van een bolsegment is j 1th 2(3r - h), als r = straal van de bol en h = hoogte van het segment.)

16.7. Wordt een met water gevulde, verticaal gehouden pipet, waarvan het ondereinde tot een nauwe capillair uitgetrokken is, voor de helft leeggeblazen, dan blijft onderaan een bolvormig druppeltje hangen. De resterende waterhoogte in de pipet is h; de oppervlaktespamling van de vloeistof is y. , Voor de straal R van het druppeltje is er een evenwichtswaarde Re zo, dat als R < Re de druppel inkrimpt, als R =Re de druppel blijft hangen, en als R > Re de druppel aangroeit en tenslotte,afvalt. Hoe groot is Re?

16.8. Twee zeepbellen (straal van de ene is 5,0 mm, vim de andere 6,0 mm) staan met elkaar in verbinding door middel van een smalle verbindingsbuis (volume is verwaarloosbaar), waarin een kraan is opgenomen die gesloten is. De buitendruk is 1,0.105 Pa, de oppervlaktespanning van de zeepoplossing is 2,5.10-2 Nim. a. Bereken de overdruk (ten opzichte van de buitendruk) in beide zeepbellen; leid de gebruikte formule af. b. Men opent de kraan; beschrijf wat er dan gebeurt. c. Bereken de straal van de beI(len), die tenslotte overblijft (-blijven); veronderstel dat het gehele proces isothermisch verloopt. 16.9. Een cilindrische dobber drijft verticaal in een rustige vijver. Het water bevochtigt de buitenkant van de dobber volkomen (contacthoek e is nul).

--------~---'~ ~'------x

•' - - -De diameter van de dobber is d =4 mm, de massa is m =411.10-6 kg. De oppervlaktespanning van water is y =73.10-3 Nim; Pwater = 103 kglm 3. Hoe diep steekt de dobber in het water?

• 87

17.

Mechanische aspecten van

de relativiteitstheorie 17.1. Volgens A heeft een bepaalde gebeurtenis v lak bij hem plaats, 40 s nadat iemand in een raket hem rakelings passeerde met een constante snelheid van 108 mis. a. Wanneer heeft die gebeurtenis plaats volgens de raket-bestuurder B? b. Hoe ver is A dan van B verwijderd (volgens B)? 17.2. De rustmassa van een elektron is 9;1.10-31 kg. Men versnelt een elektron tot zijn kinetische energie 2,2.10- 14 J bedraagt. Bereken zijn snelheid.

17.3. In de relativiteitstheorie maakt men wel gebruik van het begrip ,separatie s tussen twee ebeurtenissen. De separatie is als volgt gedefinieerd: s -<12 + c 2T2, waariri d afstand tussen d~ punten waar de gebeurtenissen plaats hadden, en T = tijdsduur die is verlopen tussen het optreden van de ene en de andere gebeurtenis. Bewijs, dat de separatie invariant is voor Lorentz-transformatie, dat wil zeggen dat de separatie s' (de separatie waargenomen door waarnemerW') even groot is als s.

=

=

88

Antwoorden 1. Inleiding 1.1. c w is dimensieloos. 1.2. a=~='Y=l. 1.3. r = 13 (m);

2. Kinematica van puntvormige lichamen 2.1. · a. x = _t2 +.3t + 4 b. Xmax = 18,7 (m) 2.2. x = -1,2 sin(l,57t) + 1,9t. 2.3. lim x = vofb. t-+oo

2.4.

a.

Vx = vo/(1

+ vobt)

C.

t = 6,4 (s).

. 1

b. x =i) ln(1 + vobt).

2.8~

-3,9 respectievelijk 41 m1s2. 2.9. v = 15 mis; 00 = 0,6 rad/s; a = 0,4 rad/s 2; a = 13,5 mls2; 0,84 rad. 2.10. a. x 2 + y2 = 4 b. v = 200. 2.11. a. c( = (4;25); V( = (4;-10) b. ilc=(4;-5);dehoekisO,90rad C. Ll"v =g.1 (recht Omlaag) dus hoek = 7t rad

t

d. atan = 9,3 m/s2; an = 3,7 mls2 e. R = 1,6 ·m. 2.12. b. 4,5 m c. r ~ 2,58 m;

2.14. -71.

3. De grondwetten van de dynamica 3.1. 3.2.

Neen. Neen.

4. Dynamica van een puntmassa 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5.

24 c 2 c a n = 25 -2- ; atan = 25 -2- ; R = 6a. a m a m. a. 630 N b. 1170 N. a. 0,45v+ 3v = 4 b. 1,3 mis c. 0,65 mis. c. 1,3 mIs d. 7,9 m/s2 e. 0,063 m. a. T = 27t~mtI2So

Antwoorden

4.7. 4.8.

4.9.

89

b. De terugdrijvende kracht is evenredig met de derde macht van de uitwijking. b. 0,1 rad. a . ..J2gR b. 3 mg c. 3mg cos cp d. (1 + 2 (hip)) mg. cp = 0,73 rad.

a. 0,1 rad

4.10 . .y4gl respectievelijk .ySgl. 4.11. a. h =. 2,5R b. v = ~-g-R-(3-+-2-c"':""~-scp-) d. T =

-1fÏ ~3+2cos

g

0

=

C.

v= -g sin cp

4~g'

4.13. 40 N; 2 m1s 2. 4.14. 80 N. 4.15. a. Fs = 3m)in2g/(4m2 + m)). b. a) = -(2m2 - m))gt(4m2 + mI); a2 = +2(2m2 - m))gt(4m2 + mI) . . 4.16. a. (1

-7) ~

b.O.

4.17. a. p= Fs/bR b . .co = ~FslÀR2 . •4.18. a. 15 kg b. 2,3 mis.

5. Arbeid, ene.r gie, impuls, impulsmoment 5.1. 5.2. 5.3.

. 5.4. 5.5. 5.6. 5.7. 5.8.

5.9.

0,073 m. b. gedaald over 2mglb c. mglb. b. Fheeft aezelfde richting als i voor x < 0 of x> 2 m; daartussen heeft F de tegengestelde richting c. tussen 1 en 5 J d. tussen x = -1 en x = 2 m. b. 45,3 J c. 29,3 J d. 40 J. 2 b. 16 J c. Ep = _x y + constante. b. -10a. a. p = 1 en q = '4 b. atan = 10 m/s2; R = 0,9 m c. -2 J. a. Stabiel in x;::: -a; labiel in x = +a b. v ~ "dam respectievelijk v> "2c/am. b. h(m) Ep(J) mgoh(J) 5.104 5.105 5.106 00

5.10.a. Ep = -

c

r

4,9.105 4,5.106 2,7-107 6,2.107 + const.

c

4,9.10 5 4,9.106 4,9-107 00

oc b. Ep = + 2r2 + const.

oc + const. r) 2fï e. -O,4c/a f. 2..J·c/am. 5.11. A 5 (m); ~ -0,64 (rad).

c. Ep = - - + 2

=

d. -0,9 cia

=

L_

90


5.12. T = 1,3 s. 5.13.

=~ k ,

8. Xo

c

5.14. b. ro=.:rf

b • Ep

= ~X +!2 kx2 ·_12xo ~

d. T = 21t

c. T =

~.

5.15. 8.20 kgms- 1 b. 103 mIs c. 96 mIs 5.16; 8. ~ mIs b. 1 mIs c. 1 mIs.

5.17. 8. V = votO + rtlmo)

21t~.

d. 8,5 mis.

b. voe-rtJmo m

' . l·IJ·k na r m en na, 069 r c. respectieve

.

5.18. Ei: 0,22 Ns; bal: 0,45 Ns. 5.19. F= -nmv respectievelijk -2nmv. . 5.20. Het ei moet een krachtstoot opvangen die de snelheid nul maakt. Dat kan door een grote kracht, maar ook door een betrekkelijk kleine kracht. 5.21. De wrijvingskracht die de w~ggeslagen steen op de andere stenen uitoefent is bij snel wegslaan vrijwel even groot als bij langzaam wegtrekken. Maar de werkingstijd, en dus de meegedeelde impuls, is bij snel wegslaan kleiner dan bij langzaam wegtrekken. 5.22. 5,0.103 mis.

5.23.

8.

F

= rv'

Toelichting: op tijdstip t is de massa van de raket m (= 3mo - rt) en de snelheid v ~ p = mv. Op t + dt is de massa m - r dt, de snelheid v + dv, en dus de

impuls: (m - r dt)(v + dV). De uitgestoten massa had impuls (r dt)v (reeds inbegrepen in mV) en heeft nu de impuls r dt(v - v')(Vlv).

mv = (m - r dt)(v + dv) + r dt(v - v') ~ 0 = m dv - rv' dt. ... enzovoort ... 5.24. b. v(20) = 3,3.103 mis; h = 29 km. 5.25. 8. 2i + 6t} b. 6t2 7 - 2t} + 4t3k c. 2t7 + 3t2} - k; respect. 2t37- t2} + t4k. Impulsbehoud

5.26.

1 8. -2 (a -

f)vo

~

b. T

= 21ta -vo

m+

- - ff .. a -

Antwoorden

5.27. rmV m = avo; mv m2 - 2e/rm = mvo2. 1 1 5.28. 8."2 mRvo b. Vtrans = "2 voR/r 8.

p =t R

5.29. c. P =3R. 5.30. b. V2 = O,23vI

....

d. h

91

= O,87R

f . ...J 2goR ..

c. VI

....

= 1,28vo

= 1,63R.

d. P

5.31.8. ro= iro;vo= jvo b. (xJrO)2 + (roy/vO)2 = 1: ellips met halve assen ro en volro c. F = ~Tmroro2 cos rot - ]mvoro sin rot =-mro2r.

d. v =~ vo 2 + ro 2(ro2 - r2). (Volgt uit behoud van energie; het krachtenveld is

=

volgens (c) immers conserverend.) 8. ro x mvo r x mv. (Het impulsmoment is constant omdat de kracht centraal is.) Hieruit volgt Vtrans = (rolr)vo. 5.32. 8. Energiebehoud en behoud van impulsmoment (ten opzichte van 0) ~ r altijd ~ ro ~sin ao I

b. P ="3 rmax· 5.33.

8.

I

IJ

·3

2

E = - 4"c/ro; L = 'J 2 cmro· b. Ep* = 4"crolr - c/r: A

Ep* 0+--+-7--------,----

+----~,.;.-:::-

- - - --

°

c. In het perihelium is r = ~ E = Ep *(ro). In het aphelium (A) is weer r = ~Ep*(rA) =E = Ep*(ro). Hieruit volgt: ~ croirA2 - clrA = c/ro ~ rA = 3ro·

°

-i

6. Twee deeltje systemen; botsingen 6.1.

6.2.

6.3. 6.4.

= 37 m b. Ep = O,Olr2 (1) c. 4,1 en 2,7 mis d. 74,2 m. (mi +m2)qlq2 rmin ~ 21tEomlm2vo2 . 8. Xc

rmirr = 2c1m1V02 b. vI = -vo ...Jr-m-2-""/(:-m-l-+-m-2-:-);v2 = vo(ml/m2)...Jm2/(ml +m2) De dissociatie-energie is de energie nodig om de atomen van elkaar te ver8.

92


wijderen tot hun interactie nul geworden is. De gravitationele interactie-energie in het molecuul verband ten opzicht van de gedissocieerde toestand is

,

oo

Gm 2 ...

'

,

J- T} ·dr. Ga na dat de absolute waarde hiervan

ongeveer 3.10-36

gemeten dissociatie-energie is. b. 1,2.103 kg mis C. 200 mIs (schuin omhoog) ~r;:;2 . . . C. ro = cr 'I/~; Interactle-energle:-€ b. rmin = cr

d. 2,9.105 J.

x de

ro

,6 .5. 6.6.

24e
t

6.7.

a. -

6.8. 6.9.

(1 + m l /m2)E.

v respectievelijk

-j v;

_

Im E'

e. T = .0,59cr -\J

b. - ~ v; 56% van de kinetische energie is om-

gezet in warmte en vervormingsenergie. /

267 mis. 6.10. 0,46 rad. 6.11. a.tv b. -

iv

c. 0; 16v

d.

0,55v.

6.12. 25 mis onder ca. 0,64 rad met de oorspronkelijke snelheid van de lichtste bol. ' 6.13. a.ü=-v+2V; b. û=O. 6.14. a. 0,95 b. 1,6 s ongeveer 38 s (de knikker is dan oneindig vaak heen en weer gegaan! De werkelijkheid is ingewikkelder: de knikker gaat elastisch, vibreren, waarbij door inwendige wrijving een grotere dissipatie van energie plaatsvindt. De knikker komt daardoor eerder tot rust.) 6.15. a. 2mvo cos ep (loodrecht op het oppervlak) c. (21tnvoR2 sin ep cos ep ~ep)(2mvo cos ep)cos ep ~ 41tnmvo2R2 sin ep cos3ep C.

~ep.

d. 1tnmvo2R2 = (nvo·1tR2)mvo = de totale impuls van de moleculen die in 1 seconde de bol treffen

e.nul. 6.16. =48k d. 35 J

La

b. Lc = 14,4k e. 15 ,6 J ,f.

c. re x mvc.= 33,6k

î mve2

= 19,4 J

g.

î

jlV re l2

= 15,6 J.

6.17. a. Behoud van impuls; behoud van impulsmoment ten opzichte van ieder willekeurig punt; behoud van mechanische energie.

b. RB = mA 'RA. , mB

,I

Antwoorden

6.18. a. Vc =0,6vo. b. Lc

93

= 1,21Ca.

Ep* E = O.6c/a

c.

(A)

t

=t .1,2".02 =0,6 cIa. r =rm als Ep * =E => 0,6 ca/rm2 - c/rm =0,6 cIa.

d. Ep * =0,6ca/r2 - c/r; Ep * + ~2 Oplossing: rm =0,47 a.

7. Dynamica van een verzameling puntmassa's 7.1.

Van het derde deeltje is V x .

7.2.

a. ro = :V(9a/b); c. Ep' = N{a/(r9 )

8

-

.

=-2,8 en vy =-2 mis.

b. Ep = 2a/(r9 ) - 1,39b/r; 0,69b/r}; .d. ro' = 1,05ro.

8. Starre lichamen; rotatie van een licf:laam om een vaste as

=

=

=0,47k; Ms = 1,9k

4 8 ••

Pres 2,331- 3,22J; MA 1,4k; Ms 19.5 N. Fs =mg/cos a;Fn =mg tan a. mb 2 .' I yy -- ~ m {., 0 2. Ixx -- ~ 12 12

8.5.

a.

8.6.

a. 6 kg

8.7.

F2t 2 /m.

8.8. 8.9.

Bijna 4,8 omwentelingen. a. Impulsmoment mR2 ro ; geen kracht

8.1. 8.2. 8.3.

tg

b. 20 N.

b. 5 kg .

c. 5,2 kg; .1,3 m/s2.

t

b. impuls

t mRro waarvan de

richting steeds verandert; impulsmoment! mR2ro; kracht door as uitgeoefend is mRro2.

t

8.10. a. 6 kgm 2 6mv 8.11. a. (m s +3m)l

b. 3,6 J. b 2mmsv

. ms+3m'

. 94

Vraagstukken over mechanica '6

v

l -+ d . 13 mv.

c.ï37

8.12. b. Uitwendige kracht bij A

8.13.8. 0 b. 20 rad/s c. 7,2 ra,d/s. 8.14. 8. 0,030 kg b. 100 rad/s. 8.15.

8.

b. T = 21t-V tUg .

ti

6h 2 + 21 2 3g(l+2h)

8.16. a. T=21t

8.17.

8. 21t..J2R/g

8.18.

8.

b.

•

2

b. Ja: h =3 l .

21t~ ~R/g.

b. 21t..J2îUg. 3MR2 + 6Mi2 + 2ml 2

0,70R

8.19. 21t

3(2M+m)lg

8.20. a. T = 1,7 s 8.21. b. s = R.

t

b. groter.

9. Vlakke dynamica vim een star lichaam 9.1.

9.3.

b. Ft2/2m c. F 2t 212m d. translatie-energie 2 2 8. Ft; RFt f. Ft /2m g. R2Ft /2I h. (mR2 + I)F2 t2/2mI i. translatie-energie F2t2/2m en rotatie-energie R2F2t2/2I. Het zwaartepunt van de staaf beweegt verticaal omlaag. Kies de z-as loodrecht op de tafel, richting naar boven .positief. Dan is Vc = -dzcldt; 00 == -dp/dt. 8. Ft

t

t

Anderzijds is ze = i sin

13· Daarmee: Vc = loo cosp. Verhouding Etransl.:Erot. = 3 cos 2p:l; als 13 = 0 dus 3:1.

9.4.

8. Het zwaartepunt gaat 'verticaal naar beneden, waarbij de asrichting van de

staaf niet verandert.

2m~ . Zijn de snelheden van het massamiddelpunt C van de staaf 1 + 3 cos Cl onmiddelijk vóór en na de botsing VI en V2, dan is p = mV2 - mVI. D.aaruit volgt V2 = (p/m);- ..J2gh. De rotatie om een as door C volgt uit het door stoot p • . 1 ' pl cos Cl meegedeelde Impulsmoment: P'2l cos Cl = Icoo, dus 00 = 2Ic b. p =

Substitueer V2 en

00

t

t

in de energiebetrekking: mgh = mvl + Icoo 2.

I

I

b. x = ï"R.

9.5.

a. mR(vc-ï" Roo)

9.6.

Eenparig rechtlijnige translatie met Vc =t loo + rotatie om as door C met hoek-

9.7.

snelheid 00. In zwaartekrachtsveld heeft C een versnelde beweging (paraboolbaan). IE ' 3 . . . 00 = 4" roo; k IS voor 4" omgezet 10 vervormmgsenergle en warmte.

' 9.8.

· -+ a. T ransIatle met Vc =

2mv +4

~ .

~

. d C 12mv en rotatIe om as oor met 00 = ( 4)0

,

~+m~

Antwoorden

b. Op ~ l van trefpunt

9.9.

-

1-

-

u=)"v;

95

c. ms = 4m.

2-

vc=)"v;

00

= 4)"v/l.

9.10. a. Het massamiddelpunt C van de halter voert een eenparige rechtlijnige beweging uit in een richting evenwijdig vo; daarnaast roteert de halter om de as door dit punt loodrecht op de tafel, voor de waarnemer linksom b. Stel de afstanden van mi en m2 tot C zijn al en a2. Dan geldt: (1) 0= (mi + m2)a2vC - (mlal 2 + m2a22)oo, of na substitutie van al en a2:

°

= Vc - m2aw(ml + m2); (2) -a2m3vO = -a2m3U - (mla\2 + m2a22)oo, of na uitwerking: m3(vO - u) = m2aoo (3) m3vof = m3ul- (mlal 2 + m2a22)oo + (mi + m2)vcCl + a2) c. Impuls is constant: m3vO = m3u + (mi + m2)vC; impulsmoment is constant: één van de drie vergelijkingen van (b); kinetische energie na botsing = kinetische enrgie vóór botsing: m3 vo2 =t m3 u2 +t (mi + m2)vc2 +t (mlal 2 + m2 a22)oo 2.

t

b . 18 ï9 mg.

I -g 9.11. a. ï9

9.12. Beschouw beweging als translatie van massamiddelpunt C plus rotatie om as door C ten gevolge van drie krachten: mg, wrijvingskracht Fw en reactie van hellend vlak. Dan zijn de bewegingsvergelijkingen: mg sin (l -:- Fw = mac en RFw = Icro. Daarnaast geldt de rolvoorwaarde: ac = roR. Andere manier: beschouw de beweging als zuivere rotatie (kanteling) om de momentele aanrakingslijn. Dan is de bewegingsvergelijking: Rmg sin (l = IA ro, waarin IA = traagheidsmoment ten opzichte van aanrakingslijn (IA = Ic + mR2). Afgelegde weg 167 m.

Ekin

t

= 833 J; hiervan is gedeelte

rotatie-energie.

9.13. b. 215 J; 1,2 m. 9.14. b. mR2 c. f = 0,6.

t

9.15. êp = (3g cos = .jr-(3-g-sl-·n-
a. 2 kgm 2 ç

l

C.

. I F 1= 2"5 mg sm
b. Neen: haalt slechts ca. 0,63 rad.

x = lAR. vc = 0,71vo. a1. Vo = Vc + ooR

Vo 9.20. a. vc=)"voenOO=)"R _

I_

2

a2. b

°

a3. Vc = OAvo

mv0 . T = 3W

3 W 2t c. m

I mvo2 respectieve . I"k e. 6 IJ )"I mvo2 ; warmte. TIR TIR 9.21. a. m+4I1R2 b. · JlmgR c. m+2I1R2'

b. Vc = 0. d. Wvo

96


-

4 9.22. a. . äc = -3 E; m Fw is naar rechts gericht!

9.23. a. vc = roR b. 2vc 2 . c. mi vc + Icro2 + m2C?vc)2 + m2gh = constant.

t

d.

t

t

ac = 3mi4".;.2fe. ten opzichte van elk punt in verticaal vlak doorC, m2 .

op hoogte 1,SR boven tafelblad. 12x

9.24. a. g. .e2 + 12x2

b. x = O,29.e

1

c. aC tan = i g cos

e.

9.25. J.1 ="12 tan "(. 9.26. b. J.1 = 2 c. 20 mIs. 9.27. a. Behoudswet 2 ~ 2mvc= mv ~ vc = v (C ligt op de raaklijn van de

t

schijven A en B). b. Ï<: voor de botsing = Ï<: na de botsing. ~ Rmv·sin 1t) =Icro waarin Ic =2Ct mR2 + mR2) = 3mR2.

ct

ii ...[3.

Resultaat: ro = C. Ek,oud

=2"1mv2; Ek,nw =2"I (2m)vc2 + 2"1lero2 =. 8"3mv2.

~ -~EklEk,oud

3 I =CiI - -p)li =4"I deel.

10. Relatieve beweging en traagheidskrachten 10.1. 10.2. 10.3.

Hoek =arctan (á/g); uitwijking naar voren. mg cos <X. a. Uit de beweging ten opzichte van een inertiestelsel is duidelijk dat r = R - vot en

I

I

\

...... f>

-centrifugaal

Antwoorden

97

b. op t =0 is v' =~ V0 2 + ffi2R 2 = 1,19roR; ac.f. is dan ro2R en acor =2v'ro = = 2,37ro2R. De ~omponent van 3cJ. loodrecht op v' heeft de grootte acJ.cos 13 =ro2R -roR , ~ O,84ro2R ~ a'n =(2,37 - O,84)ro2R = 1,53ro2R v _, 1tVo2 _, _ .. ... _ C. In 0 geldt: v =Vo en a =acor =2vo x ro ~ a n =2voro =~ v'2 P

vo 2

,

1tVo2

= a n ~ p =~

~ p

R

= 1t =O,32R.

.d. Neen, want de coroliskracht heeft een moment ten opzichte van O. 10.4. a. mro2 t sin
r

(t

C.

De momenten van Fcf en van de zwaartekracht t.o.v. punt A zijn samen

nul; hieruit volgt:

G--}) . rot

d. ro >

-11i -'J U'

e.

10.5.

t

a. Fw = mro2 t cos

t

t

t

(t

I.M = Ö. In de tekening 2

Fcentrifugaal

= 2g1ro 2 = 0,13 m

= )lg/ro 2 ",; 0,032 m.

10.6.

a. hmax

10.7.

AP = glro2; kracht op buis is mg...{3

10.8.

b. Fc.f., Fcor en de reactiekracht van de sleufwand. De resultante van deze

i

b. rmax

i

ro2x2

b. Vorm: y = ~ (parabool).

drie krachten is te ontbinden in een component die raakt aan de sleuf en één

98


die gericht is naar het middelpunt van de sleuf. Deze laatste heeft de grootte C. v' ·= 4aro d. Trilling tussen A en een punt A', dat . ~ mv'2/a met A symmetrisch ligt ten opzichte van de lijn door M en C.

10.9. 8. 14,5.10-5 m/s 2 b. 14,5.10-5 m/s2 C. 29.10- 5 m1s2. 10.10. Op het ogenblik van loslaten heeft de steen volgens een niet-meedraaiende waarnemer ('Atlas'!) een zijdelingse snelheid ro(R + h) naar het oosten. Tijdens de val wordt deze component groter (volgens de wet van behoud van impulsmoment.) ~ Tijdens de val heeft de steen een grotere hoeksnelheid dan ro

~

hij komt oostelijk neer ten opzichte van de l'laats waarboven hij

werd losgelaten. y

x .,.

west

IZ

oost

I

b. De z-as loopt 11 aard-as, maar k wijst van noord naar zuid ~ ro = (0,0,-<0)

-i j-k-

c. ÏÏcor = -2ro x

v= -2

-t

0

0

-Cl)

Vx v y

~ ÏÏcor = (-2rov y, +2rov x , 0)

0

d. vy = -gt ~ Y = h gt2 ... (1) vx = -2rovy = +2rogt ~ V x = rogt2 ~ x ~ rogt3 ... (2) Als y =Odan (1)

t

~ t=~; dus (2) ~ x =~roh ~

N.B.: voor h = 2 km is (t = 20 s en) x = 1;9 m. 10.12. ma' = Feor + Fe.f. = -2mro x v' - mro x (ro x f) = -2mroo x (-roo x f) - mroo x (roo x r) = +m roo x (roo x f) .

=-mroo2r

...

...

De benodigde centripetale kracht wordt dus geleverd door Feor en Fe.f..

10.14.

8.

Ep = -

rc

+ constante

maarq;<0;Fc.f. =m<j>2 r ;

b . . in de geschetste situatie is <j> > 0, · C > 0, Feor = 2m<j>c;

I-mroxrl=-mq;r

Antwoorden

o

-mroxr d . "r -- rcp'2 -

99

~

2' mr

11. Enige aspecten van de niet-vlakke dynamica 11.1.

a. LA =mt' 2ro sin cp; LA staàt loodrecht QP de draad, in het vlak van tekening, wijzend naar linksboven.

b. MA =t'mg sin cp; MA staat naar voren gericht. 11.3.

11.4.

11.5.

-V

c. ro =

t' c!s cp .

Tloodrecht op vlak door as en halter, in figuur naar vóór gericht;

T =mro2t'2 sin 2cp (dus maximum als cp =\f(~,4) rad). Krachtcomponenten elk mro2t'2 sin 2cp ... . . . hnks . .+ ; ZlJ hggen 10 vlak door as en halter; 10 figuur: boven naar p q . gericht, onder naar rechts gericht. M =mt'(ro2t' cos cp + g)sin cp; richting loodrecht op vlak door as en staaf, in figuur naar vóór. mt'(ro2t' cos cp+ ro 2q + g)sin cp . Kracht boven: p+q 2 mt'(ro t' cos cp- ro2p + g)sin cp beneden: p+q Beide krachten in vlak door as en staaf, boven naar links gericht, onder naar rechts gericht, tenzij t' cos cp < p - g/ro2. Hoofdstraagheidsmoment: 11 =11 2 m(b 2 + c2), h = /2 m(a2 + c2), 13 /2 m(a2 + b2). De drie kentallen van ro zijn:

=

roa

.001 =

T'

rob <02 =

T.'

roe <03 =

T .

Daarmee volgt uit de vergelijking van Euler: mro2(b 2-c2)bc mro 2(c 2 -a2)ca mro 2(a 2-b2)ab TI = 12(2 ' T2 = 12(2 ' T3 = 12t'2 11.6.

Ga na dat ze alle nul zijn als a = b = c. a. Kiest men de hQofdtraagheidsassen als in de figuur aangegeven, dan is I I = mR2 en h = 13 = mR2. Daarmee: IasAB = I I cos 2 1t - 'Ö) + h cos 2'Ö =2'I mR2sin 2'Ö + 4'I mR2 cos' 2'Ö.

t

(t

i

c. rol = ro sin 'Ö; 002 = ro cos 'Ö;

Ol) =

0;

100

Vraagstukken over mechanica , -

=

=

=

00. xL=> Tl 0, T2 0, T3 -4I mR2 Ol2 sin t'} cos t'}. Daannee: T mR2 002 sin t'} cost'}.

T ==

=±

-

.

Richting van T: loodrecht vlak door AB en PQ, in de figuur naar achter.

B

11.7.

a.

=t mR2; 12 =13 =± mR2. 001 = Ol cos

11

=t mR 200{3

LI

L2 = 0

=> {

= t mR 200

L3 Noem de hoek tussen L en 00: a . .

Dan is cos a

b. T

-L·OO

=Lw =0,97 => a =0,24 rad.

=100 x Ü =ooL sin a =Q,llmR

2 oo2

11.8.

a • Ixx -_!mo2. 3 {;, Iyy --~mo2. 3 {;, Ixy -- - !2

11.9.

2 . I - l... ma2 . I - 1... ma2 ma a · I1_! -3 ,2 -12 ,3-12 . 2 2 b. LI =- ma wV2; L2 =ma 00/(l2{ï);.

2 mo {;

t

[ [,

c. y = 0.54 (rad).

ro

Antwoorden.

101

11.10. a. L =I1 rol ë l + 12fi>2ë2 + 130>:3ë3 '" lro (in het algemeen). c. Verwissel de indices 1,2 en 3 cyclisch! d. ro3 blijft 8 radls; rol 5 cos(3,2t) en ro2

=

=5 sin(3,2t).

12. Het omgekeerd kwadratisch centrale krachtveld 12.1.

b. x =t l cos(t.v golR A )

a. -(goIRÛr

c. 1t..JR A /go =2,5.103 s

1t-VRA/(gO- ro2RA) (scheelt 1,7 promille). G~M dr =c2 dm ~ v' =v e-DM/c2 R =:: v( 1 - 3~).

d.

12.3.

-

12.5.

Met _1 Gm 2(.1 5

r2

_.1) rl

=::

4.10 40 1.

=

3,8.108 m 6ORA. c. 31.106 m resp. 119.106 m. d. p 49.106 m; E 0,59. 12.8. . c. ro resp. 3ro.

12.6. 12.7.

=

d. 12.9.

=

a~2 .

a. a =p/(l - E2 ). d.

t~.

b . .v p =(l + EN c/(mp).

c. -:-

e. T = (21t~ aU.

12.10. a. L =rm*vo =m*.v 1,8Gmro. b. Ep =-e/r en Ek -~ m*v 2 ~ E =-e/r +

t m*v

2

in elk punt van de baan ..

=

Kies het perihelium: E -e/ro + 0,9(Gmm*/ro) = -0, I(Gmm*/ro); c. pm*c = L2 ~ P = 1,8ro; ro =p/(J.+ E) ~ E = 0,8. 12.11. a. r = 2/(1 + cos cp)(parabool !); b. v = 3,3 (mis). c. y = 0,96 (rad).

12.12. a. p = 2,25 (m) en E = 1,25; 12.13. a. p/(J + E) en p/(l - E);

c. Vx = -0,53 en vy = 0,67 (mis). l-E

b. VA

=Vo (-1+E -).

c. Vo =(J + E) -'.JIc Pro . . 12.14. a.f(r)=-12/r2 ;

b.r=4/(J +3 cos cp) (hyperbool);

c. -1,91 < cp < 1,91 (rad);

.d. v =-V 10 + 6 cos cp;

. ( 1 + 3 cos cp ) e. y= arcsm .

-V 10 + 6 cos cp

12.15. b. 3a = p/(-1 + E);

3

c. p = 4" a en E = 1,25;

d. CPmax = 0,64 (rad); de verstrooiingshoek is:

1t -

2cpmax = 1,85 (rad).

102


13. Trillingen .

Vo

13.1.

-A2=AI=-' 2wI

13.2.

A

13.3.

A = Xo

13.4.

a.r~lkg/s

- 13.5.

Vo =-WI

en

p =- -2 • 7t

.

H

2

1 + a 2; WI

P= -arctan (WWI)'

b,wI=7s- 1

a. 0,3z + 0,12i: + 30z =

°

c.
b. Tl = 0,21 kgs -I m - I

d. A "'" 0,081 ril. .

c. Q

= 25

d.O,285.

13.6.

a. Als i naar rechts wijst: FI = -blul i; F2 = b2(U2 - uI)i b. mÜI + (bi + b2)UI = b2Û2 c.os wt h' . . ~bl +b2 c. u I = b2Û2coswt 2 2 ; lenn IS Wo = -mm(wo -w ) d. als w < Wo dan
Wo dan

13.7. 13.8.

13.9.

e. bij w =wo. a. Wo = 20 çl b. 1,1 promille c. 15 mm d. 0,12 W. 4 a. WI = 2,24.10 S-I b. resp. 8,1.10- 10 C, 6,6.10- 10 C en 5,3.10- 10 C c. 19% d. na 33 perioden. b. R2 = 4L1C c. q = qo( 1 + ~D e- Rt / 2L d. t = 2L1R.

13.10. b. mgA

+t

c. ~ bA2.

bA2

c. r = 0,84 Ns/m; w = 138 S-I.

13.11. b. b = 225 NIm

14. Lineaire deformaties

t

14.1.

cr = pgx cos 2a;

14.2.

pgl2l2E. Voer langs de draad een z-as in, oorsprong in ophangpunt. Op een deel dz werkt de trekspanning cr = (l- z)pg ..

't

= pgx sin 2a.

Relatieve rek: E = ~(dz)/dz = (l- z)pglE. f.

De totale rek is dus IA(dz) = ~

14.3.

16F Ea'

f (l- z)dz. o

.

Antwoorden

14.4.

103

a. Straal van de doorsnede zij R; dikte van de wand is 0 « R; lengte is .e R. Met cilindercoördinaten z, r, 9: ~p .

»

~pR

O"z·21tRÖ =~p1tR2 => O"Z =2ö ; 20"elÖ =~pnR => O"e =Ö; O"r =-~p::::: 0 M o"z O"e =>7 =E -~E =0. - <Je b . ~(21tR) 21tR - E

14.5.

a. 3;~~ 11

b.

_

<Jz

~R

_ll

~ E -: 4 Eo

=>

. E - 0 75.106 NI 2 -, m .

De neutrale vezel ligt in de bovenste, de stijvere, laag op

2 a boven het grensvlak van de lagen.

pgi4

14 ..6.

2Er2 .

14.7.

a. Als doorzakking y > r

b. 21t#n

21t~ 4(y ~ r)g .

14.8 . . (1tGr 3d/i)ep2. Massieve staaf: (1tGr4/4l)ep2. 14.9.

4.10 10 N/m 2•

15. Vloeistofmechanica

15.3.

0,675.106 N op 2,33 mboven de bodem., b. Horizontale component: 8.104 N; verticale component: 1,3.104 N (omlaag). 785 N.

15.4.

21t-V

15.5.

a .. Mee-draaiend cQÖrdinatenstelsel: hydro-statisch probleem!

15.1 . 15.2.

1,~g .

=> p(g + 0027) - Vp =Ö. => -pg -

~ =0 en poo2r -

W; =0

oo2r2

. b. Langs oppervlak is p =Po => dp =0 => z =2g + constante: omwentelingsparaboloïde. 15.7. PA - Ps -1,4.105 Pa -1,4 bar. 15.8. 1,2.10-3 m3/s. 15.9. a. 1000 Pa b. 5 N (omlaag gericht; de steen blijft dus liggen). c. 2,5N (omhoog gericht; de steen komt dus van zijn plaats! Een dergelijk druk-effect verklaart het gemakkelijk meeslepen van zware steenmassa's door snel stromende rivieren). 15.10. 0,23 cm. 15.11. b. t (A 1/A 2).yh/2g.

=

=

15.12. a. div

=

v=!..~: (rv ) +! dVIj) =~ (1 + R2) cos ep _ ~ (1 + R2) cos ep =0 r r dep r r2 r r2 r or

104


b. Bemoui1li: Po

+t pv0 = P +i pv 2. 2

= 0 en vIP = -2vo sin
P = Po + p v02(l - 4 sin2
t

Vr

i t 2 = Po + i p v0 ( 1 - 4 sin2
sin P2 - PI = +4pvoCOoR sin <po . {FI = PI·l·Rd
Fy = P2·R d
J

=> Totale Fy = 4pvorooR2 sin 2

x

15.13. 15.14.

15 . 14. 15.15.

Dit verschijnsel (de draaiende cilinder ondervindt een kracht loodrecht op de . windrichting) staat bekend als. het Magnus-effect. 0,001 Nm. a. v = pg sin a (2hx - x2)/2T1 als x = afstand tot hellend vlak. Het snelheidsprofiel is dus parabolisch. (Beschouw de krachten op een dun laagje vloeistof, evenwijdig aan het.hellend vlak op afstand x er vandaan, en waarvan de dikte dx is. In de stationaire toestand moet de resultante van de krachten nul zijn.) b. pgh 2sin a/3T1 c. Het getal van Reynolds = pvgemh/ri moet kleiner zijn dan de.kritieke waarde (hier ongeveer 1000). -Vc In b 2 L vc2 b ·. Cl = ln(b/a); C2 = V c ln(b/a) c. 1tTl ln(b/a)' 1tpg(h + l)R4 8T1l

15.16. Voo = 0,017 mis; v = 0,99voo ~a 9,6.10-3 s. 15.17. De hoeksnelheid van de vloeistof is een functie van de afstand r tot de rotatieas: ro = ro(r). Voor r == rl is (Ó = 0; voor r = r2 is ro = roo. De snelheidsgradiënt in de uitdrukking voor de schuifspanning F/A = TI dv/dr is hier (wegens v = ror): dv/dr = r dro/dr 'niet r dro/dr + rol). Op een coaxiaal cilinderopper-

Antwoorden

105

vlak met straal r werkt een krachtmoment 21tTl.er 3 dooldr. In de stationaire toestand moet dat krachtmoment onafhankelijk zijn van r(waarom?), dus 21tT).er3 dro/dr = C. Daaruit volgt 00 als functie van r (met gebruikmaking van de grenscondities voor (0). 0 _0 1t00U"-

Met (2m;.er3 droldr)r=r, = To'Ö vindt men tenslotte Tl = 4 T

(~ ~)'Ö. rt r2 -

(De niet-verwaarloosbare correctie voor de invloed van het krachtmoment op de onderkant van de stilstaande cilinder kan in de praktijk bepaald worden door meting van de torsiehoeken bij twee verschillende waarden van .e, bij eenzelfde waarde van 000. Berekeningen van die.invloed is niet eenvoudig wegens randeffecten aan de omtrek van de .onderzijde van de cilinder.)

16. Oppervlakteverschijnselen 16.1. 16.2. 16.3. 16.5. 16.6.

211r; 2 Pa. 21 cos

(l

pgr Water: 43 mm; ether: 14 mmo 21 2 8.h=b. kpgbh 2 C. "3 h. pga 8. De luchtbel bestaat uit twee even grote bolsegmenten waarvan de oppervlakken het platte vlies snijden onder hoeke~ van 60°. De hoogte van elk segment is .

t r; r = 0,02 m b . 5 Pa.

21

16.7.

Re=-· pgh

16.8. 16.9.

8. 20 respectievelijk 17 Pa 40mm

c. R = 7,0 mmo

17. Relativiteitstheorie 17.1. 17 .2.

8.42,4 s nadat hij A passeerde b. 42,4.10 8 ·m. v = l,g·J08 mis. (Bedenk dat Ek :F- mov 2 , dus v :F- 2,2· J08 mIs, maar'

t

Ek

= mc 2 - moc 2, waarinm = .

mo

...J 1 - (v 2/c 2 )

.)

aan. De antWoorden op de vraagstukken zijn achterin het boek opgenomen. 103 pag., ISBN 90-407-1293-X

INLEIDING MECHANICA drs. R. Roest Dit boek is in de eerste plaats bestemd voor het propaedeutisch onderwijs aan studenten in de (technische) natuurkunde en aanverwante studierichtingen. Opdat het boek door studenten met verschillend ingangsniveau kan worden gebruikt; is aan de gehanteerde wiskunde (in een appendix) vrij uitgebreid aandacht besteed. Na een inleidend hoofdstuk volgen hoofstukken over de kinematica van puntvormige lichamen, de grondwetten van de dynarTjic
(1996)

VRAAGSTUKKEN OVER MECHANICA drs. R. Roest Deze vraagstukkenbundel biedt oefenstof bij bovengenoemd theorieboek en houdt daarbij dezelfde indeling aan . De antwoorden op de opgaven zijn achterin het boek opgenomen. 93 pag., ISBN 90-407-1292-1

(1996)

(1994)

INLEIDING THERMODYNAMICA drs. W.H. Wisman De aanpak in dit boek is in hoofdzaak klassiek en fenomenologisch. Het is bedoeld als een leerboek op een inleidend niveau. Het is geen handboek. De titels van de hoodstukken zijn : Inleiding • Warmteleer • De Eerste Hoofdwet • De Tweede Hoofdwet • Een andere invoering van de entropie. T,S- en H,S-Diagrammen • Standaard vermogens- en koel-<:ycli ; andere systemen • De thermodynamische potentiaalfuncties • De chemische potentiaal • Faseovergangen • Condensatie van verzadigde dampen • De Derde Hoofdwet· Mengsels, legeringen en oplossingen· Vloeistofmengsels in evenwicht met hun dampen • Vormingsenthalpie im reactiewarmte • Verspreide onderwerpen (Elastische deformatie, de thermodynamica van het rekstrookje, de elektrochemische potentiaal, elektrische elementen en brandstofcellen, transformaties, magnetische arbeid, magnetische koeling) • Elektromagnetische straling (temperatuurstraling, straiingstemperatuur, de wetten van Kirchhoff en Lambert, stralingsdruk, de wetten van Stefan-Boltzmann en Wien). 254 pag ., ISBN 90-407-1294-8

(1994)

VRAAGSTUKKEN THERMODYNAMICA verzameld door ir. W. Buijze. dr. H.C. Meijer en drs. W.H. Wisman Deze bundel vraagstukken volgt de indeling van het bovengenoemde theorieboek. De opgaven zijn voorzien van ántwoorden . . 71 pag., ISBN 90-407-1295-6

(1994)

INLEIDING ELEKTRICITEIT EN MAGNETISME ir. W. Buijze en drs R. Roest

ELEKTRISCHE EN MAGNEnSCHE VELDEN ir. A. Henderson

Aan de TU Delft worden voor verschillende faculte~ ten verschillende colleges Elektriciteit gegeven. Die verschillen betreffen volledigheid en strengheid van het betoog; de keuze hangt af van wat de faculteiten wenselijk of mogelijk achten. In dit boek, dat is opgezet als een studieboek, komen alle onderwerpen uit die colleges aan de orde. Waar nodig wordt een onderwerp op verschillende niveaus van strengheid behandeld. Dit maakt het mogelijk uit de paragrafen steeds die keuze te doen die voor een bepaald college gewenst wordt. De hoofdstu'kken gaan over: • elektrostatische velden in vacuüm • elektrostatische velden in diëlektrica • elektrische stromen. het magnetisch veld van stationaire stromen • mag netostatische velden • elektromagnetissche inductie • de vergelijkingen van Maxwell • netwerken:

In dit beknopte boek wordt de theorie van de elektrische en' magnetische velden voor technici behandeld; daarbij wordt naast de noodzakelijke formules ook aandacht gegeven aan de ontwikkeling van het fysisch inzicht. In een inleidend hoofdstuk wordt een beknopt overzicht gegeven van de vectoralgebra. Daarna volgen de elektrostatica, de elektrische stromen en magnetische velden, en vervolgens de wetten van Maxwell in integraalvorm. , Daarbij komen ook de voor de netwerktheorie noodzakelijke wetten van Kirchhoff naar voren. Tenslotte volgen de wetten in differentiaalvorm, waarbij tevens wordt ingegaan op de beginselen van de vectoranalyse. Het boek wordt afgerond met 100 vraagstukken, voorzien van antwoorden.

243 pag., ISBN 90-407-1152-6

106 pag., ISBN 90-407-1254-9

(1988)

(1995)

VRAAGSTUKKEN ELEKTRICITEIT EN MAGNETISME verzameld door ir. W. Buijze en drs. R. Roest Deze vraagstukkenbundel biedt oefenstof bij 'Inleiding Elektriciteit' en houdt daarbij dezelfde indeling

BOUWFYSICA I (inleiding) vakgroep Bouwfysica De bedoeling van dit boek is inzicht te verschaffen in de grondregels, die bij het ontwerpen van ruimteomsluitende constructies bepalend zijn voor het te verwachten leefklimaat en het daarbij kunnen hanteren

van de elementaire basisbegrippen op het gebied van warmte, vocht, ventilatie, akoestiek en licht. Naast het ge,bruik als collegedictaat bij het bouwfyslca-onderwl)s aan de TU-Delft is deze handleiding ook zeer geschikt voor gebruik op TH's. . 128 pag., ISBN 90-407-1150-X

(1995)

REACTIEKINETIEK samengesteld door dr.ir. G. Hakvoort, . dr.ir. M. Peereboom, prof. dr. J.J.F. Seholteri en dr.ir. J. Schram De chemische reactiekinetiek is een zeer uitgebreid onderdeel van de chemie. Dit boek 'moet gezien worden als een inleiding in dat vak. Het bevat de volgende hoofdstukken: mathematische beschrijving van chemische reacties; kinetisch onderzoek naar de kengetallen van een reactie; theoretische berekening van de snelheid van een elementaire reactie; reacties in oplossing; radicaalreacties; heterogene katalyse (fotochemische reacties; polymerisatie reacties); algemene katalysetheorie en homogene katalyse; moderne experimentele methoden voor de bestudering van snelle reacties in oplpssing; het ontwikkelen van reactie modellen door middel van wiskun9ige modellen; statistische verwerking van de bij reactiekinetische metingen verkregen resultaten . Verder bevat het boek een inleidend hoofdstuk, een appendix over enkele statistisch-thermodynamische begrippen, vele vraagstukken (met antwoorden) en een trefwoordenlijst. 255 pag., ISBN 90-407-1296-4

(1991)

SCHEIDINGSPROCESSEN prof. ir. J.A. Wesselingh en ir. H.H. Kleizen In dit boek wordt de aankomende ingenieur in de chemische technologie, de werktuigkunde of mijnbouwkunde geconfronteerd met scheidingstechhie- · ken. Daarbij wordt enige kennis van de thermodynamica en de stromingsleer bekend verondersteld. Aan de hand van concrete voorbeelden uit de scheidingsindustrie (absorptie, destillatie, extractie, zeewaterontzilting) wordt uiteengezet hoe aan dergelijke processen met een hulpfase kan worden gerekend en hoe de apparatuur in grote lijnen kan worden gedimensioneerd. . 230 pag ., ISBN 90-407-1297-2

(1994)

DOWNSTREAM PROCESSING Opwerken van. een produkt in de biotechnologie prof.ir. J.A. Wesselingh, ir. J. Krijgsman en ir. P. Vonk Dit boekje behandelt het lastige stap van de biotechnoldgie naar het maken van een produkt. De eigenschappen van deeltjes en stoffen in een fermentatie . vlo~istof zijn zo onzeker, dat een ontwerp van een opwerkingsproces niet alleen vanuit de theorie opgezet kan worden . De stappen moeten ook doorgemeten worden. Hoqfdstukken: • Celdisruptie • Klaren • Concentreren • Zuiveren • Schakelen.

77 pag ., ISBN 90-407-1298-0

(1996)

FYSISCHE TRANSPORTVERSCHIJNSELEN I dr.ir. L.P.B.M. Janssen, prof. J.M. Smith MSc en dr.i~. E. Stammers In deze handleiding zijn de volgende hoofdstukken opgenomen: • inleiding tot de fysische transportverschijnselen en tot de beschrijving daarvan met drie behoudswetten; • inwendige wrijving en elementen van technische stromingsleer; • warmtegeleiding en . elementen van technische .warmteoverdracht; • diffusie en elementen van technische stofoverdracht. 176 pag., ISBN 90-407-1299-9

(1994)

FYSISCHE TRANSPORTVERSCHIJNSElEN I prof.dr.ir. H.E .A. van den .Akker en dr. R.F. Mudde In dit boek worden behandeld: • Balansen (massabalans, energiebalans en impulsbalans, voorbeelden van gecombineerd gebruik van ·massa-, energie- en impulsbalansen); • Mechanismen (moleculair transport, dimensie-analyse en krachten op omstroomde lichamen); • Warmtetransport (stationaire . warmtegeleiding, Newton's afkoelingswet. instationaire warmtegeleiding, microbalans voor warmtetransport, warmteoverdrachtscoëfficiënt bij convectie, warmtewisselaars, warmtetransport door straling); • Massatransport (analogie tussen massatransport en warmtetransport, wederzijdse diffusie naar analogie van warmtetransport, diffusie en driftflux, de verdelIngscoëfficiënt bij stofov ~ rdracht, convectief stoftransport, gelijktijdig transport van warmte en massa) ; • Stromingsleer (stroommeters, wrijvingsdrukval over een rechte leiding, drukvalberekeningen voor pijpleidingsystemen, drukval over een gepakt bed, laminaire stroming van Newtonse vloeistoffen, laminaire stroming van niet-Newtonse vloeistoffen, de NavierStokes vergelijkingen. Het boek wordt afgesloten met een uitgebreide uitgewerkte tentamenopgaven. . 282 pag., ISBN 90-407-1204-2

(1996)

FYSISCHE TRANSPORTVERSCHIJNSELEN, 150 vraagstukken verzameld door dr. R.F. Mudde en dr.ir. E. Stamrners

I

Dit boekje bevat oefenmateriaal bij het bestuderen van de . basisstof Fysische Transportverschijnselen. . Vooral door de vraagstukken in meerdere onderdelen te splitsen, wordt geprobeerd aan te geven dat een stapsgewijze aanpak, veelal gebaseerd op één of meer béilansen, een bruikbaar recept is voor het oplossen . Ten behOeve van docenten is bij de uitgever tegen vergoeding van de kopieerkosten een bundel uitgewerkte antwoorden verkrijgbaar. 72 pag., ISBN 90-401-1300-6

(1993)

FYSISCHE TRANSPORTVERSCHIJNSELEN 11 prof.ir. C.J. Hoogendoorn en dr.ir. T.H. van der Meer Warmte- en stof transport worden in dit boek vooral wiskundig benaderd. Aparte hoofdstukken worden gewijd aan de wiskundige methoden ; daarna worden de fysische problemen besproken: transportproblemen in rustende media, impulstransport en diffusie en geleiding in stromende media. 214 pag., ISBN 90-407-1301-4

. (1991)

TRANSPORT PHENOMENA DATA COMPANION prof.dr.ir. LP.B.M. Janssen en dr.ir. M.M.C.G. Warmoeskerken

(1992)

CAHIERS VOOR FYSISCHE CHEMIE onder redactie van prof.dr. G. Frens

(1993)

VRAAGSTUKKEN CHEMISCHE REACTORKUNDE ir. C.M. van den Bleek en dr.ir. A.W. Gerritsen

In een reeks van vijf beknopte cahiers over fysische chemie wordt de kennis samengevat die de student en de ingfJnieur in de praktijk (tijdens een onderzoek, of in een productieproces) bij de hand moet hebben . Intussen zijn verschenenö Cahier no. 1 24 pag ., ISBN 90-407-1240-9 (verschijnt herfst 1996) Cahier no. 2: Oplossingen, met hoofdstukken over: Een ideaal gas • Oplossingen. Elektrolyt-oplossingen • Sterke elektrolyten. 28 pag., ISBN 90-407-1165-8

(1993)

(1995)

Cahier no. 3: Reactiekinetiek, met hoofdstukken over: Chemische reacties • Formele kinetiek • Thermochemische kinetiek • Theoretische snelheid van een reactie • Transition state theory • Oplossingen van reactanten • Reactienetwerken • Katalyse en katalysatoren 44 pag., ISBN 90-407-1242-5

Deze verzameling vraagstukken is bedÇ>eld als ondersteuning en oefening bij het bestuderen van de beginselen der chemische reactorkunde. Ze is ontleend aan de tentamens die sinds maart 1977 aan de afdeling der Scheikundige Technologie door de auteurs zijn afgenomen . De vraagstukken zijn verdeeld over een aantal onderwerpen . Er is gepoogd een min of meer opklimmende moeilijkheidsgraad aan te houden . De antwoorden op de vraagstukken zijn achterin het boekje opgenomen. Bovendien is van elk van de ondhwerpen een karakteristiek vraagstuk nader, doch summier, uitgewerkt. 92 pag., ISBN 90-407-1303-0

Aan de h Ic! van het voorbeeld van de methanolproductie latën de auteurs de chemicus in opleiding iets zien van de chemische- of procestechnologie. De hoofdstu jes gaan over methanol, stromen in de fabriek, de energiehuishouding , apparaten en kosten . De tekst is doorregen met veel illustraties en opgaven. 62 pag., ISBN 90-407-1304-9

In dit boek is ernaar gestreefd een zodanige selectie van formules en tabellen op het terrein van de fysische technologie te presenteren,dat men hieruit voor het dagelijks gebruik kan putten. Het boek bestaat uit \lier delen. In het eerste, algemene, deel zijn gegevens ondergebracht variërend van het Griekse alfabet tot thermokoppels. Het tweede deel bevat veel gebruikte wiskunde . Algemene balansvergelijkingen, differentiëren in vector- en tensornotatie, Besselfuncties, Laplace transformaties, elementaire differentiaalvergelijkingen en nog vele andere behoren hiertoe. ' . Het derde deel is een compendium over fysische transportverschijnselen en bevat veel gegevens die in de vorm van grafieken zijn opgenomen. In het vierde deel wordt een keuze geboden uit de stofeigenschappen, uiteenlopend van die van water en lucht tot die van een aantal voedingsstoffen. Een uitvoerige index sluit het (Engelstalige) boek af. 168 pag., ISBN 90-407-1302-2 (gebonden)

VAN AARDGAS NAAR METHANOL prof. ir. J.A.:;W...elingh. dr.ir. G.H. 1!.:an;8Jis. prof. dr~~ P~. van den Berg en prof.ir..G. Montfoort

(1993)

Cl!hier no. 4: Polymeren, met hoofdstukken over: Ketenmodellen • Kluwenmoleculen • Lichtverstrooiing • Niet-idealiteit· De Flory-Hugginstheorie • Polymeerkunde. 32 pag., ISBN 90-407-1238-7

(1996)

Cahier no. 5: Colloiden, met hoofdstukken over: Oppervlaktespanning • Disperse systemen • De D.l.V.O. theorie • Colloidchemie. 28 pag., ISBN 90-407-1239-5

(1991)

9 789040 712920

Delftse Universitaire Pers

Recommend Documents