Technische Universitaire Lerarenopleiding

Technische Universitaire Lerarenopleiding

Handleiding Vakdidactiek 3

Vakdidactici wiskunde Technische Universiteit Delft Technische Universiteit Eindhoven Universiteit Twente

Februari 2009

Wiskunde

TULO Vakdidactiek Wiskunde 3 ___________________________________________________________________________

22


INHOUD 11 PRAKTISCHE OPDRACHTEN VOOR WISKUNDE 11.1 Inleiding 11.2 Uitgangspunten bij praktische opdrachten 11.3 Opdrachten 11.4 Schoolpracticumopdrachten 11.5 Literatuur/informatiebronnen 12 VAKOVERSTIJGENDE PRAKTISCHE OPDRACHTEN WERKSTUKKEN VOOR HAVO EN VWO 12.1 Inleiding 12.2 Opdrachten 12.3 Schoolpracticumopdrachten 12.4 Literatuur/informatiebronnen 13 DE ROL VAN BEWIJZEN IN HET WISKUNDEONDERWIJS 13.1 Inleiding 13.2 Waarom bewijzen in het wiskundeonderwijs? 13.2 Opdrachten 12.4 Literatuur/informatiebronnen

3

5 5 5 8 9 9 EN

PROFIEL-

11 11 14 15 15 17 17 17 21 22


4


11

PRAKTISCHE OPDRACHTEN VOOR WISKUNDE

11.1 Inleiding In de Tweede Fase van havo en vwo bestaat de examinering voor wiskunde, net als voor de meeste andere vakken, uit: • een schriftelijk centraal examen van drie uur; • een schoolexamen. Het schoolexamen bestaat uit een examendossier. Het examendossier is het geheel van de onderdelen van het schoolexamen zoals gedocumenteerd in een door het bevoegd gezag gekozen vorm. Dit dossier, waaraan de leerling gedurende het gehele verblijf in de Tweede Fase werkt (twee jaar voor havo en drie jaar voor vwo), bestaat enerzijds uit een lijst met eisen waaraan de leerling moet voldoen. Dit is het zogenaamde programma van toetsing en afsluiting (PTA). Anderzijds bevat het dossier alle toetsen en documenten met de daarbij behorende beoordelingen, waarmee de leerling aantoont dat hij/zij aan de lijst met eisen voldoet. Voor leerlingen die nu in 6 vwo zitten, geldt nog de verplichting dat er per vak ten minste één praktische opdracht in het programma van toetsing en afsluiting opgenomen moet zijn. Voor de overige havo- en vwo-leerlingen is deze verplichting vervallen. Toch zijn praktische opdrachten ook voor hen niet meer weg te denken. Met name aan de hand van deze opdrachten kan immers serieus aandacht besteed worden aan het ontwikkelen en toetsen van algemene vaardigheden uit de examenprogramma’s zoals onderzoeken, samenwerken en presenteren. Hierdoor zijn praktische opdrachten ook een uitstekende voorbereiding op het profielwerkstuk, dat wel een verplicht onderdeel van het schoolexamen is gebleven. De school heeft echter de vrijheid gekregen om de organisatie rond praktische opdrachten naar eigen inzicht in te richten. We beperken ons in dit hoofdstuk tot de praktische opdrachten voor wiskunde, waarbij het gaat om het toetsen van informatievaardigheden, onderzoeksvaardigheden en technischinstrumentele vaardigheden. .

11.2 Uitgangspunten bij praktische opdrachten De volgende aspecten zijn van belang als uitgangspunten bij praktische opdrachten voor wiskunde: •

Te toetsen vaardigheden De praktische opdrachten moeten zo ontworpen zijn dat hiermee in hoofdzaak die eindtermen uit de subdomeinen Informatievaardigheden, Onderzoeksvaardigheden en Technisch-instrumentele vaardigheden van het domein A Vaardigheden van de examenprogramma’s wiskunde voor havo en vwo getoetst worden die in het centrale examen en in de schriftelijke toetsen van het schoolexamen wiskunde niet - en in de schoolexamens van andere schoolvakken minder goed dan bij wiskunde - tot hun recht 5

TULO Vakdidactiek Wiskunde 3 ___________________________________________________________________________ kunnen komen. Het gaat dus vooral om de vaardigheden van het domein A die door de leerlingen bij de praktische opdrachten wiskunde gedemonstreerd kunnen worden in samenhang met inmiddels behandelde kennis, inzicht en vaardigheden op het gebied van de vakinhoud zoals deze genoemd zijn in de eindtermen uit de overige domeinen van de examenprogramma’s voor wiskunde. Daarmee spelen praktische opdrachten dus ook een beperkte - rol in de toetsing van deze eindtermen. •

Zelfstandigheid van de leerling De opdrachten moeten een beroep doen op (aspecten van) zelfstandig leren van de leerling. Het is daarom niet de bedoeling dat een praktische opdracht het karakter heeft van een kookrecept, waar de leerling stapsgewijs doorheen wordt geloodst. Uiteraard worden de randvoorwaarden bij het uitvoeren van de opdrachten door de docent bepaald, maar daarbinnen dient voldoende ruimte te zijn voor zelfstandige keuzes van de leerling. Van de leerling, of een groep leerlingen in het geval van een groepsopdracht, wordt bijvoorbeeld een eigen planning en aanpak verwacht. Daarom wordt bij elke praktische opdracht door de leerling(en) een plan van aanpak gemaakt, waarin de volgende punten worden opgenomen: - de onderzoeksvraag, eventueel onderverdeeld in hoofdvraag en deelvragen; - wijze van uitvoering van het onderzoek; - te verwachten conclusies; - benodigde literatuur, materialen, hulpmiddelen, etc.; - wijze van noteren van de onderzoeksresultaten; - wijze waarop presentatie van de bevindingen plaats zal vinden; - de taakverdeling in het geval er gewerkt wordt in groepsverband; - (geplande) tijdsbesteding voor de verschillende onderdelen; - deadline voor oplevering van het eindproduct. De leerling (of groep leerlingen) maakt een planning voor de uit te voeren activiteiten, zoekt zo zelfstandig mogelijk naar informatiebronnen en hulpmiddelen en verwerkt en presenteert de bevindingen. Het spreekt vanzelf dat, naarmate het zelfstandigheidsniveau van de leerlingen toeneemt, de opdrachten steeds meer open kunnen (en moeten) worden.

•

Mate van sturing door de docent Het uitgangspunt van grotendeels zelfstandig werkende leerlingen bij het uitvoeren van praktische opdrachten impliceert minder sturing door de docent dan in een gewone lessituatie. Dat wil echter niet zeggen dat de docent een passieve rol krijgt toebedeeld. Het is juist van groot belang dat de docent de leerling(en) blijft stimuleren en volgen. Met name aan het begin van de Tweede Fase moeten leerlingen vertrouwd raken met de praktische opdracht, met daarbij de nodige sturing door de docent tijdens het hele proces. Dit kan bijvoorbeeld leiden tot bijstellingen in het plan van aanpak of in de gekozen onderzoeksopzet en –methodiek, of in het aanreiken van (aanvullende) literatuur en data door de docent. Het initiatief voor het vragen van hulp ligt echter bij de leerling. Bovendien mag de hulp die de docent geeft niet ontaarden in een ‘cursus’ die elk initiatief bij de leerling wegneemt. Normaliter zal er een opbouw zitten in de complexiteit van achtereenvolgende praktische opdrachten die door een leerling tijdens de Tweede Fase worden uitgevoerd. Die opbouw zal enerzijds tot uiting komen in toenemende vakinhoudelijke eisen, de leerling heeft immers steeds meer vakkennis in zijn bagage. Maar ook zal het zo zijn dat bij de eerste 6

TULO Vakdidactiek Wiskunde 3 ___________________________________________________________________________ praktische opdracht(en) slechts in beperkte mate een beroep wordt gedaan op algemene vaardigheden van de leerling, bij vervolgopdrachten kunnen de eisen opgeschroefd worden. Zo is bijvoorbeeld de volgende opbouw denkbaar in de activiteiten die van de leerling worden verwacht: - het beantwoorden van een gegeven onderzoeksvraag aan de hand van informatiebronnen die door de docent worden aangereikt; - het beantwoorden van een gegeven onderzoeksvraag aan de hand van door de leerling zelf gezochte informatiebronnen; - het formuleren van een onderzoeksvraag met deelvragen en hypothesen bij een door de docent gegeven onderwerp. Het moge duidelijk zijn dat de manier waarop het bovenstaande in de praktijk vorm krijgt voor respectievelijk havo en vwo sterk zal verschillen. •

Onderscheid tussen inhoud en presentatievorm Bij praktische opdrachten zijn diverse presentatievormen mogelijk. Vaak zal van de leerling gevraagd worden naar een (al dan niet met een tekstverwerker) geschreven verslag. Andere mogelijkheden zijn bijvoorbeeld een mondelinge presentatie of een posterpresentatie. Combinaties van verschillende vormen zijn uiteraard ook denkbaar. In principe geldt echter dat bij veel opdrachten de presentatievorm onafhankelijk is van de inhoud, en bij de beoordeling (zie hierna) dienen deze twee dan ook duidelijk onderscheiden te worden.

•

Beoordeling van het eindproduct Bij de gebruikelijke wiskundetoetsen met open en/of gesloten vragen krijgen alle leerlingen dezelfde vragen onder gelijkwaardige omstandigheden voorgelegd. Bovendien kan subjectiviteit in de beoordeling in hoge mate worden ingeperkt door het gebruik van gedetailleerde antwoordmodellen met correctievoorschrift. Bij praktische opdrachten is door de grotere zelfstandigheid van de leerling die objectiviteit veel lastiger te realiseren. Dat begint al wanneer aan verschillende (groepen) leerlingen verschillende opdrachten worden voorgelegd; de gelijkwaardigheid van die opdrachten is dan essentieel, maar vaak lastig in te schatten. Vervolgens dient bij de uitvoering van de opdrachten er in ieder geval voor gezorgd te worden dat binnen een school de condities voor alle leerlingen zoveel mogelijk gelijkwaardig zijn; denk bijvoorbeeld aan de beschikbaarheid van computers, bereikbaarheid van de docent(en), toegang tot een mediatheek, etc. Ten slotte is het in verband met de objectiviteit bij de uiteindelijke beoordeling van belang dat duidelijke beoordelingscriteria (en richtlijnen hoe die te hanteren) worden geformuleerd. Het is daarom verstandig elke praktische opdracht te beoordelen aan de hand van een beoordelingsmodel met daarin de beoordelingscriteria die vooraf aan de leerling bekend zijn. Op die manier wordt bevorderd dat de uiteindelijke beoordeling voor alle betrokkenen duidelijk, inzichtelijk en aanvaardbaar is.

•

Procesbeoordeling en -begeleiding Bij een praktische opdracht is niet alleen de beoordeling van het eindproduct van belang, maar ook de beoordeling van het proces, dat zijn de handelingen die een leerling verricht en de keuzes die hij/zij maakt tijdens het uitvoeren van de opdracht. Zo’n procesbeoordeling kan bijvoorbeeld plaats vinden aan de hand van gerichte observaties van de leerling(en) tijdens het werken aan de opdracht. Deze methode is echter tijdrovend en vaak lastig te organiseren. Daarom wordt in de praktijk ook wel gekozen voor een 7

TULO Vakdidactiek Wiskunde 3 ___________________________________________________________________________ beoordeling van de procesgang aan de hand van tussentijdse producten, zoals het plan van aanpak, de (bijgestelde) onderzoeksvraag, de (bijgestelde) onderzoeksopzet en de gevonden literatuur. Een derde methode is een door de leerling bijgehouden logboek. Aan de hand daarvan kan de docent nagaan of de geplande activiteiten en werkwijze daadwerkelijk en volgens planning worden uitgevoerd. Tussentijds overleg tussen docent en leerling blijft hoe dan ook nodig. Zeker in het begin van de Tweede Fase dient zulk overleg met name om de leerling te begeleiden, (bij) te sturen en te stimuleren. Maar ook kan de docent op die manier de authenticiteit van het gemaakte werk bewaken. Overigens hoort zo’n tussentijdse bespreking tweerichtingsverkeer te zijn: de leerling kan leerervaringen, resultaten of bevindingen te berde brengen, de docent kan om nadere toelichting vragen en eventueel bijsturen of adviseren. Ook kan tijdens zo’n bespreking de vooraf door de docent gemaakte tijdsinschatting en de daadwerkelijke tijdsbesteding door de leerlingen regelmatig vergeleken worden; de ervaringen in de praktijk wijzen uit dat de inschatting van de docent vaak veel te optimistisch is. Het tussentijds overleg kan dergelijke problemen tijdig aan het licht brengen.

11.3 Opdrachten 1. Bestudeer de publicaties die in paragraaf 11.5 onder de kopjes "Literatuur waarin algemene aanwijzingen gegeven worden voor het omgaan met praktische opdrachten vor wiskunde" en "Literatuur over de ontwikkeling van onderzoeksvaardigheden in het wiskundeonderwijs" genoemd zijn. Vat de opbrengst van deze studie samen in een korte notitie. 2. Lees de artikelen die in paragraaf 11.5 onder de drie kopjes die beginnen met “Literatuur over ervaringen met …” genoemd zijn. Beschrijf kort wat deze artikelen je geleerd hebben over het omgaan met praktische opdrachten voor wiskunde. 3. Kies drie praktische opdrachten die je (na eventuele aanpassing) geschikt lijken voor leerlingen van de bovenbouw van havo of vwo: één uit het boekje [15] of de bundel [16] die genoemd zijn in 11.5, één uit de methoden Getal en ruimte, Moderne Wiskunde en Netwerk, en één van de internetsite waarvan het adres gegeven is in 11.5. Geef bij elk van deze drie praktische opdrachten aan in hoeverre voldaan is aan de uitgangspunten die in paragraaf 11.2 genoemd zijn. Besteed daarbij aandacht aan de mate waarin informatievaardigheden, onderzoeksvaardigheden en technisch-instrumentele vaardigheden in deze opdrachten centraal staan. Bespreek ten slotte door welke aanvullingen en/of wijzigingen deze opdrachten (nog) geschikter zouden worden voor gebruik op school.

11.4 Schoolpracticumopdrachten 1. Ga na hoe op je stageschool met de praktische opdrachten voor wiskunde in de Tweede Fase omgegaan wordt. Bijvoorbeeld: 8

TULO Vakdidactiek Wiskunde 3 ___________________________________________________________________________ -

hoeveel opdrachten maken de leerlingen per jaar, op welke momenten; in hoeverre speelt het gebruik van de computer een rol; wordt gekozen uit de opdrachten die in de schoolboeken zijn opgenomen of halen de docenten de opdrachten ook elders vandaan, zoals bijv. Internet, Wiskunde Alympiade etc.; - hoe zijn de ervaringen van leerlingen en docenten; - worden de leerlingen in de onderbouw al voorbereid op praktische opdrachten in de Tweede Fase? 2. Overleg tijdig met je schoolpracticumdocent over de mogelijkheid om (eventueel in een andere klas dan waarin je zelf lessen verzorgt) bij tenminste één praktische opdracht die de leerlingen uitvoeren, het proces van begin tot eind zoveel mogelijk mee te maken. Verwerk je bevindingen, voor zover ze niet in je portfolio passen, in een verslag.

11.5 Literatuur/informatiebronnen Literatuur waarin algemene aanwijzingen gegeven worden voor het omgaan met praktische opdrachten voor wiskunde: [1] Alink, Nico, Iris van Gulik, Jenneke Krüger, Handreiking schoolexamen wiskunde … voor de wiskundevakken van havo en vwo, Stichting Leerplanonwikkeling (SLO), Enschede, 2007, http://www.slo.nl/voortgezet/tweedefase/kerndoelen/handreikingen/. [2] Spijkerboer, Lambrecht en Patricia Straatman, ‘Rubrics. Een hulpmiddel bij het beoordelen van praktische opdrachten’. In: Euclides, april 2004, jg 79 nr 6, p. 270-273. Literatuur over de ontwikkeling van onderzoeksvaardigheden in het wiskundeonderwijs: [3] Hofstra, Cor, 'Onderzoeksopdrachten onmisbaar in modern wiskundeonderwijs'. In: Euclides, januari 2003, jg 78 nr 4, p. 138-139. [4] Witterholt, Martha, 'Lange lijn in de ontwikkeling van onderzoeksvaardigheden'. In: Euclides, januari 2003, jg 78 nr 4, p. 146-149. Literatuur over ervaringen met praktische opdrachten voor wiskunde in de bovenbouw: [5] Kok, D., K. Hoogland, ‘Hoe overleef ik mijn eerste praktische opdracht?’. In: Euclides, oktober 1999, jg 75 nr 2, p. 46-51. [6] Kok, D., ‘Leesbaarheid - een praktische opdracht in de klas’. In: Nieuwe Wiskrant, december 1999, jg 19 nr 2, p. 5-12. [7] Haan, D.L., ‘Praktische opdrachten bij wiskunde: verslag van een onderzoek’. In: Nieuwe Wiskrant, maart 2001, jg 20 nr 3, p. 17-23. [8] Lambriex-van der Heijden, Marianne, ‘Praktische Opdrachten voor wiskunde in 5-vwo’. In: Euclides, juni 2001, jg 76 nr 8, p. 316-321. [9] Roest, Ab van der, 'Praktische opdrachten met Studyworks'. In: Euclides, januari 2003, jg 78 nr 4, p. 144-145. Literatuur over ervaringen met de Wiskunde A-lympiade of de Wiskunde B-dag als praktische opdracht: [10] Schalkwijk, L. van, ‘Een tweede leven voor krasloten’. In: Nieuwe Wiskrant, december 9

TULO Vakdidactiek Wiskunde 3 ___________________________________________________________________________ 2000, jg 20 nr 2, p. 4-8. [11] Geijs, Wilbert, ‘Wiskunde B-dag 2003’. In: Euclides, april 2004, jg 79 nr 6, p. 260-265. [12] Goris, T., ‘De Wiskunde A-lympiade van het Mill-Hillcollege’. In: Nieuwe Wiskrant, december 2005, jg 25 nr 2, p. 31-32. Literatuur over ervaringen met praktische opdrachten voor wiskunde in de onderbouw: [13] Verhage, Heleen, ‘Nederland Aardappelland’. In: Euclides, februari 2004, jg 79 nr 5, p. 218-221. [14] Camp, W. van den, en A. Heck, ‘Wat heb je aan het gemiddelde?’. In: Nieuwe Wiskrant, december 2004, jg 24 nr 2, p. 33-38. Boekjes en een bundel met voorbeelden van praktische opdrachten voor wiskunde: [15] Haan, Dédé de (eindredactie), 10 jaar Wiskunde A-lympiade, de opstap naar de tweede fase, Utrecht: Freudenthal Instituut, Universiteit Utrecht, 1999. [16] Hofstra, C., Praktische opdrachten wiskunde, Loenen aan de Vecht: Edumedia bv, 1999. Verder zijn in de wiskundeleerboeken voor de Tweede Fase van havo en vwo praktische opdrachten opgenomen. Een overzicht van (praktische) opdrachten en werkstukken voor wiskunde op het Internet: [17] In het Wiskundelokaal van de Digitale School. Internet: http://www.digischool.nl/wi/ en vervolgens klikken bij “honderden instructies, bronnen etc. voor werkstukken e.d.”.

10


12

VAKOVERSTIJGENDE PRAKTISCHE OPDRACHTEN EN PROFIELWERKSTUKKEN VOOR HAVO EN VWO

12.1 Inleiding In alle profielen van de Vernieuwde Tweede Fase van vwo en havo hebben de leerlingen te maken met het vervaardigen van een profielwerkstuk. Het is een uitgebreide praktische opdracht, die vaardigheden in combinatie met kennis en inzicht toetst. Hiernaast is het profielwerkstuk bedoeld om de samenhang en integratie van leerstofonderdelen binnen een profiel te bevorderen. De studielast van het profielwerkstuk bedraagt voor vwo- en havo-leerlingen 80 uur. De oorspronkelijke gedachte was dat het profielwerkstuk betrekking zou moeten hebben op tenminste twee (deel)vakken van het betreffende profiel, maar voor de leerlingen van de vanaf 2007 begonnen zijn met het 4e leerjaar is bepaald dat het profielwerkstuk kan worden beperkt tot één vak dat deel uitmaakt van het examenpakket van de leerling. De school maakt de keuze tussen één of meer vakken. De school mag ook beslissen de keuze aan de leerling te laten. Het vak of elk van de vakken waarop het profielwerkstuk betrekking heeft, maakt deel uit van het gemeenschappelijk deel, het profieldeel of het vrije deel van het examenpakket. Ten minste één van de vakken waarop het profielwerkstuk betrekking heeft, heef een omvang van 400 uur of meer voor vwo en 320 uur of meer voor havo. Het profielwerkstuk wordt geëxamineerd in het schoolexamen. Het is sinds de invoering van de Vernieuwde Tweede Fase niet langer een onderdeel waarvoor een beoordeling als ‘voldoende’ of ‘goed’ wordt vastgesteld. Het profielwerkstuk heeft de status van een afzonderlijk vak gekregen; het heeft daarmee ook een zelfstandig plaats op de cijferlijst en in de uitslagregeling verworven. In de Vernieuwde Tweede Fase kan het niet meer voorkomen dat het profielwerkstuk niet is afgerond voordat aan het centraal examen wordt deelgenomen. Bij niet tijdig afronden, wordt voor het profielwerkstuk een onvoldoende eindcijfer gegeven. Bij de uitslagbepaling wordt voor de relatief kleine vakken zonder centraal examen het zogenaamde combinatiecijfer gehanteerd. Tot deze vakken behoren ten minste het profielwerkstuk en maatschappijleer en voor vwo ook algemene natuurwetenschappen. Het bevoegd gezag kan hieraan nog enkele in het Eindexamenbesluit genoemde vakken of vakonderdelen toevoegen. Het maken van het profielwerkstuk is tegelijkertijd een leerproces en het uitvoeren van een toets. In Het examendossier van de Stuurgroep Tweede Fase Voortgezet Onderwijs (april 1997) wordt het een ‘meesterproef’ genoemd. Om die reden zal het maken en presenteren van het profielwerkstuk veelal door de scholen in het laatste schooljaar worden geprogrammeerd, maar wettelijk voorgeschreven is dit niet. Het oefenen vindt plaats bij het uitvoeren van praktische opdrachten (zie hoofdstuk 11 van deze bundel). Voor zover deze opdrachten een vakoverstijgend karakter hebben, kunnen ze een goede voorbereiding bieden voor profielwerkstukken waarbij ten minste twee profielvakken zijn betrokken.

11

TULO Vakdidactiek Wiskunde 3 ___________________________________________________________________________ Vaardigheden De algemene vaardigheden uit domein A van de examenprogramma's havo en vwo hebben onder andere betrekking op: - informatievaardigheden; - onderzoeks- en/of ontwerpvaardigheden; - communicatieve of presentatievaardigheden. Deze vaardigheden zijn vakoverstijgend en het is mede daarom wenselijk dat deze vaardigheden (reeds bij de praktische opdrachten) in onderlinge afstemming tussen vakken worden aangeleerd. Het binnen elk vak apart aanleren en toetsen van deze vaardigheden is in tijd niet haalbaar en ook niet efficiënt. Door deze vaardigheden - al in de eerste fase voortgezet onderwijs - over vakken heen af te stemmen, wordt voor leerlingen de onderlinge samenhang zichtbaar en zullen zij beter in staat zijn tot transfer naar andere leergebieden of situaties. Deze transfer wordt namelijk ook bij het maken van een profielwerkstuk gevraagd en dan is het nodig dat de leerling komt tot integratie van deze vaardigheden. Bovendien mag niet verwacht worden dat aan het eind van de opleiding een leerling zaken kan integreren als daarvoor alleen segregatie in het gegeven onderwijs zichtbaar was. Dat zou naar de leerling toe een te hooggespannen en daardoor oneerlijke verwachting zijn. Het maken van een profielwerkstuk doet een beroep op een groot aantal vaardigheden, zowel algemene als vakinhoudelijke. In het profielwerkstuk moet de leerling al deze vaardigheden en daarnaast ook de in een ander verband geleerde kennis en inzicht toepassen. Onderzoeksfasen Afgezien van de eindbeoordeling (zie verderop) en de wijze waarop die beoordeling meetelt in het examendossier, blijkt uit het bovenstaande dat bij het maken van het profielwerkstuk in feite dezelfde soort aspecten een rol spelen als bij het uitvoeren van een praktische opdracht. We zullen hieronder de verschillende fasen, die bij beide een rol spelen, kort samenvatten: • Voorbereidingsfase - probleemstelling kiezen - deelvragen formuleren - planning van het verzamelen van gegevens en van het onderzoek • Uitvoeringsfase - informatie verzamelen en ordenen - onderzoek uitvoeren - deelvragen beantwoorden - hoofdvraag beantwoorden • Afsluitingsfase - opzet voor verslag in trefwoorden en synopsis maken - verslag schrijven (inleidend hoofdstuk als laatste) - presentatie Vanwege de relatief grote studielast van het profielwerkstuk zijn twee aspecten van nog groter belang dan bij ‘gewone’ praktische opdrachten: het strategisch plannen van overlegmomenten tussen docent en leerling en het bewaken van de tijdsbesteding door de leerling. Hieronder zullen we daarvoor enkele suggesties aandragen.

12

TULO Vakdidactiek Wiskunde 3 ___________________________________________________________________________ Suggesties voor overlegmomenten - Na het opstellen van het werkplan voor een onderzoek moet de leraar kunnen zien of het plan uitvoerbaar is en tot een aanvaardbaar resultaat kan leiden. Zo niet, dan kunnen gebreken in de uitvoering van de voorgaande stappen nog worden hersteld voordat aan het arbeidsintensieve (literatuur)onderzoek wordt begonnen. - Tijdens de uitvoering van het onderzoek dienen er voldoende momenten te zijn waarop tussentijdse bijsturing kan plaatsvinden. - Voordat het onderzoek wordt afgesloten, moeten onderzoeksresultaten en de conclusies die de leerling daaruit wil trekken, worden besproken. Als er iets niet klopt, kan het nu nog worden overgedaan. - Als voorbereiding bij het schrijven van het verslag/houden van een presentatie is het goed te bespreken wat de leerling vindt dat de inhoud gaat worden (een synopsis, documentatie van het proces, een beschrijving van resultaten en conclusies), voordat aan een arbeidsintensief karwei wordt begonnen. In de dagelijkse praktijk zullen waarschijnlijk vaker dan hierboven beschreven overleg- en begeleidingsmomenten worden ingepland. Aan de door ons gemaakte keuze ligt de overweging ten grondslag dat de uitkomst van de stappen in het begin van het proces mede bepaalt wat het resultaat is van de stappen die daarna volgen en die vanwege hun arbeidintensiviteit liever niet overgedaan moeten worden. Suggesties met betrekking tot de tijdsindeling Het is belangrijk dat de beschikbare tijd (80 uur) niet te veel wordt overschreden. Het gevaar dat dat gebeurt is erg groot. De soort opdracht maakt dat veel leerlingen er erg gemotiveerd voor zijn en er daarom ‘vrijwillig’ extra tijd aan besteden. De hierboven genoemde overlegmomenten kunnen/moeten door de docent(en) ook aangegrepen worden om in dit opzicht de leerlingen af en toe tegen zichzelf te beschermen. - Uit de praktijk blijkt dat leerlingen (te) veel tijd besteden aan de afsluitingsfase. Die tijd moet er uiteraard wel zijn, maar binnen de perken. Veel leerlingen zullen als kroon op al het werk een juweel van een schriftelijk verslag willen maken of bijvoorbeeld een flitsende presentatie met Powerpoint willen verzorgen. In het huidige computertijdperk zijn er wat dat betreft ongekende mogelijkheden. Maar voorkomen moet worden dat de balans qua tijdsbesteding aan inhoud respectievelijk vormgeving doorslaat naar de vormgeving. - Bij een onderzoek moet het grootste deel van de tijd beschikbaar blijven voor de uitvoering; daarom dient ook de tijd die besteed wordt aan de voorbereidingsfase strak in de hand te worden gehouden. Een globale tijdsindeling zou er als volgt uit kunnen zien: Voorbereidingsfase Uitvoeringsfase Afsluitingsfase

15 uur 45 uur 20 uur

Beoordeling van het profielwerkstuk Voor de beoordeling van het profielwerkstuk wordt gebruik gemaakt van een beoordelingsmodel met beoordelingscriteria die vooraf aan de kandidaat bekend gemaakt zijn. Hiervoor kunnen bijvoorbeeld - evenals bij praktische opdrachten - rubrics gebruikt worden, zie paragraaf 11.5 [2]. De beoordeling vindt plaats door de examinatoren van de vakken die

13

TULO Vakdidactiek Wiskunde 3 ___________________________________________________________________________ bij het profielwerkstuk zijn betrokken. In de beoordeling worden de volgende aspecten betrokken: • het door de leerling doorlopen proces; • het produkt (de uitkomsten van het onderzoek); • de presentatie. Het doorlopen proces wordt door de leerling gedocumenteerd (keuze van het onderwerp, vraagstelling, verrichte werkzaamheden, geraadpleegde hulpbronnen en dergelijke. Voor de presentatie van het profielwerkstuk kan gebruik worden gemaakt van dezelfde presentatievormen als bij de praktische opdrachten. Bij een vakoverstijgend werkstuk kan er een dilemma ontstaan over het aandeel dat elk van de betrokken vakken in het werkstuk moet hebben. Dat aandeel moet natuurlijk wel duidelijk zijn, anders is het gezamenlijk beoordelen door de docenten van die vakken niet serieus te nemen. Anderzijds zou een eis in de trant van ‘gelijk gewicht van elk van de betrokken vakken’ veel te beperkend en zelfs onzinnig zijn. Het is echter geenszins denkbeeldig dat de betrokken docenten met betrekking tot hun vakgebied graag ieder het onderste uit de kan willen hebben met als gevolg dat de leerling (veel) meer tijd dan 80 uur kwijt is. Goede afspraken vooraf tussen de eindbeoordelaars zijn dus geen overbodige luxe.

12.2 Opdrachten 1. Lees de eerste twee in paragraaf 12.4 genoemde artikelen, over ervaringen met het begeleiden van een profielwerkstuk dat alleen betrekking heeft op wiskunde. Welke wiskundige activiteiten en welke algemene vaardigheden uit de examenprogramma’s van havo en vwo lijken met deze werkstukken getoetst te kunnen worden? 2. Lees het derde artikel, ‘Wiskunde in het Profielwerkstuk’, dat in paragraaf 12.4 genoemd is. 3. Bekijk de internet-sites die in de paragrafen 11.5 en 12.4 van deze syllabus zijn genoemd en eventuele andere sites waar zinvolle informatie over profielwerkstukken c.q. vakoverstijgende praktische opdrachten met wiskunde te vinden is. Maak een overzicht van de op die sites genoemde onderwerpen voor een vakoverstijgend profielwerkstuk of een vakoverstijgende praktische opdracht waar wiskunde deel van uitmaakt en geef bij elk onderwerp aan welke wiskundige activiteiten, welke activiteiten op het gebied van welk(e) ander(e) schoolvak(ken) en welke algemene vaardigheden uit de examenprogramma’s van havo/vwo ermee getoetst kunnen worden. 4. Vorm een team met een of twee medestudenten zo dat binnen dit team ook op het gebied van minstens één ander profielvak dan wiskunde deskundigheid aanwezig is. Bedenk met dit team of kies in overleg uit het bij opdracht 4 gemaakte overzicht een onderwerp voor een vakoverstijgend profielwerkstuk of een vakoverstijgende praktische opdracht waarin wiskunde en zo’n ander profielvak beide goed tot hun recht komen en waarmee voldoende onderzoeksvaardigheden, informatievaardigheden en technisch-instrumentele vaardigheden uit de examenprogramma’s van havo en vwo getoetst kunnen worden. Maak, al dan niet op basis van teksten, opgaven en links die je op internet gevonden hebt, een heldere 14

TULO Vakdidactiek Wiskunde 3 ___________________________________________________________________________ en motiverende introductie op het onderwerp voor leerlingen inclusief eventuele oriënterende opgaven en aanwijzingen voor verdere studie, een goed begeleidingsplan en redelijke en duidelijke beoordelingscriteria.

12.3 Schoolpracticumopdrachten 1. Ga na hoe op je stageschool de spreiding van de te toetsen algemene vaardigheden over de verschillende vakken geregeld is (zie ook de inleidende tekst hierover in dit hoofdstuk). 2. Overleg tijdig met je schoolpracticumdocent over de mogelijkheid om (eventueel in een andere klas dan waarin je zelf lessen verzorgt) tenminste éénmaal het hele proces van het maken van een profielwerkstuk van begin tot eind mee te maken. Besteed in het geval van een vakoverstijgend werkstuk speciaal aandacht aan de afstemming tussen de betrokken docenten bij de keuze van het onderwerp, de begeleiding en de eindbeoordeling. Verwerk je bevindingen in een verslag.

12.4 Literatuur/informatiebronnen Behalve in de bronnen die al in hoofdstuk 11 over praktische opdrachten zijn vermeld, is ook informatie te vinden in de regelingen, de artikelen en de internet-site die hieronder zijn vermeld. • • • •

Regelgeving voor de Vernieuwde Tweede Fase, Tweede Fase Adviespunt, maart 2007, zie http://www.tweedefase-loket.nl/doc/regelgeving2efase2007.pdf Jansen, Jaques, ‘De lat te hoog gelegd? Vakinhoudelijke begeleiding van een profielwerkstuk over de wiskunde in Eschers kunst’. In: Euclides, januari 2003, jg 78 nr 4, p. 132-137. Roest, Ab van der, ‘Profielwerkstuk wiskunst. Beeldende vormgeving en Platonische lichamen als inspiratiebron’. In: Euclides, januari 2004, jg 79 nr 4, p. 149-151. Wijers, M., en A. Jambroes, ‘Wiskunde in het Profielwerkstuk’. In: Nieuwe Wiskrant, december 2003, jg 23 nr 2, p. 4-9.

http://havovwo.kennisnet.nl/werkstukken

15


16


13

DE ROL VAN BEWIJZEN IN HET WISKUNDEONDERWIJS

13.1 Inleiding Wiskundigen vinden dat bewijzen een essentieel onderdeel van het vak Wiskunde is. In het wiskundeonderwijs heeft dit facet ook lange tijd een belangrijke rol gespeeld, maar nu lijkt het in de wiskunde van de meeste afdelingen van het voortgezet onderwijs nog slechts een marginale plaats in te nemen. Een beschrijving van de rol die “bewijzen” in het leerplan voor het wiskundeonderwijs gespeeld heeft kan in [1] gevonden worden. Bewijzen wordt door leerlingen moeilijk gevonden, ze zien er vaak het nut niet van in, en mogelijk past het ook wat minder bij heersende ideeën dat het wiskundeonderwijs zich bezig moet houden met realistische, contextrijke problemen. Ook komt de notie van bewijzen in geen enkel ander schoolvak voor. Toch is het begrip “bewijzen” beslist niet exclusief voor de wiskundige wereld gereserveerd. Een rechter zal pas tot veroordeling overgaan als hij de beschikking heeft over voldoende deugdelijk bewijsmateriaal voor de schuld van de verdachte. Een bedrijf maakt op een geven moment reclame met het feit dat door onderzoek bewezen is dat hun product werkt. En ook in het dagelijks leven is het kunnen geven van een redenering waarin argumenten in een logische volgorde achter elkaar worden geplaatst uiterst zinvol. In dit hoofdstuk besteden we geen aandacht aan hoe je leerlingen kunt leren zelf bewijzen te bedenken. Daarvoor verwijzen we naar hoofdstuk 5: Het onderwijzen van een systematische probleemaanpak. Het gaat nu om de bewijzen die je als docent geeft of in samenspraak met de leerlingen ontwikkelt als je een nieuwe regel of werkwijze introduceert of de oplossing van een probleem bespreekt.

13.2 Waarom bewijzen in het wiskundeonderwijs? Aan de hand van een aantal voorbeelden zal geprobeerd worden duidelijk te maken waarom het zinvol is in het wiskundeonderwijs met bewijzen bezig te zijn. 13.2.1 Een bewijs kan een zoekproces stoppen. Bekijk de volgende puzzel. Je hebt een 8x8 bord, waarvan je twee diametraal tegenover elkaar gelegen vakjes hebt verwijderd. Vervolgens heb je 31 domino’s, elk ter grootte van twee vakjes van het bord. Probeer het bord hiermee te bedekken. Op het eerste gezicht lijkt dit wel een heel eenvoudige opgave. Bij uitproberen blijkt dit wat minder simpel. Op een bepaald moment ontstaat er toch twijfel: kan het wel of kan het niet. Een bewijs kan hier uitsluitsel geven. De volgende opgave komt uit Getal en Ruimte. Gegeven is de functie f ( x ) = x 4 − 4 x 3 − 7 x 2 + 34 x − 24 .

17

TULO Vakdidactiek Wiskunde 3 ___________________________________________________________________________ Spoor de oplossingen van de vergelijking f ( x ) = 0 op. Het is niet zo moeilijk om met behulp van een grafische rekenmachine de vier oplossingen te vinden. Weinig leerlingen zullen beseffen dat er bij deze gevonden oplossingen impliciet toch van een bewijs sprake zou moeten zijn: hoe weet je zeker dat je echt alle oplossingen gevonden hebt? Gebruik je daarbij de stelling dat een vierdegraads polynoom maximaal vier nulpunten kan hebben (vermoedelijk niet), of leid je één en ander af uit het dalen/stijgen van de functie? Of kun je iets concluderen uit een ontbinding van het polynoom? In het volgende sommetje zul je zeker een redenering moeten geven:  1 Bepaal alle oplossingen van de vergelijking x sin  2  = 0.1 . x  Het is ook hier niet moeilijk om met een grafische rekenmachine één of meerdere oplossingen te vinden. Maar hoe kun je zeker weten dat je ze allemaal gevonden hebt (het zijn er erg veel) en dus niet verder meer hoeft te zoeken? Wat is bijvoorbeeld de grootste oplossing, en hoe weet je zeker dat er geen grotere zijn? Uit de “echte” wiskunde wereld zijn er ook tal van bekende voorbeelden te noemen van bewijzen die een einde maakten aan soms eeuwenlange zoektochten. Zo heeft men vele eeuwen lang gezocht naar een constructie om met passer en liniaal een hoek in drie gelijke delen te verdelen totdat er onomstotelijk bewezen werd dat dit onmogelijk is. Hetzelfde geldt voor het bestaan van formules om polynoomvergelijkingen van willekeurige graad op te lossen. Bewezen is al geruime tijd geleden dat dergelijke formules voor vergelijkingen van de graad groter dan 4 niet kunnen bestaan. 13.2.2 Door middel van een bewijs kun je iemand overtuigen. De rol die bewijzen in de wereld van wiskundigen spelen is in feite deze: na een correct bewijs behoort elke wiskundige van de juistheid van de stelling overtuigd te zijn. Een vraag die je bijvoorbeeld aan leerlingen kunt stellen: Is het getal 0.999......... het grootste getal dat kleiner is dan 1, of is het gelijk aan 1? Het overgrote deel kiest altijd voor de eerste optie (“je ziet toch duidelijk dat er iets ontbreekt”), terwijl een klein deel beweert dat het echt gelijk is aan 1. Als je dan aan de één vraagt om de ander te overtuigen krijg je allerlei argumenten te horen, maar zelden steekhoudende. Een bewijs via bijvoorbeeld de som van een meetkundige reeks overtuigt daarna de meesten wel, en voor de twijfelaars is er in deze situatie gelukkig nog een tweede redenering die meestal wel afdoende is: noem het getal x , dan zie je gemakkelijk in dat 10 x − 9 = x , enz. Bewijzen gaan dus een rol spelen als beweringen in twijfel worden getrokken, als er spontaan discussies in de trant van welles-nietes ontstaan. Naar dit soort situaties zouden je in het wiskundeonderwijs op zoek moeten gaan. In de meetkunde kan dat bijvoorbeeld heel goed met de programma’s Cabri en GeoGebra. Al doende krijg je vermoedens, met daarna de vraag of dat echt altijd zo is. Een voorbeeld:

18

TULO Vakdidactiek Wiskunde 3 ___________________________________________________________________________ Bekijk een vierhoek waarin de diagonalen loodrecht op elkaar staan. Verbind de middens van de zijden zodat je een nieuwe vierhoek krijgt. Meet de hoeken van deze vierhoek. Is wat je daarbij opmerkt nu altijd zo? Een voorbeeld van een wat andere aard: Schrijf een aantal voorbeelden op van rechthoekige driehoeken waarvan de zijden geheeltallige lengte hebben, bijvoorbeeld 3, 4, 5. of 5, 12, 13, of 8, 15, 17 (zogenaamde Pythagoreïsche drietallen). Je ziet dat in deze voorbeelden minstens één zijde een lengte heeft die door 5 deelbaar is. Is dat nu altijd zo? Het volgende is een variatie op een opgave uit het blad Pythagoras (zie [2]). Het getal 10 is deelbaar door 2, het getal 111 door 3, 100 door 4, 10 door 5, 1110 door 6, enz. Is er nu voor elk natuurlijk getal n een getal dat geheel bestaat uit enen en nullen, en dat deelbaar is door n ? Het lijkt er in het begin wel op, maar is dat nu altijd zo? Proberen geeft steeds meer aanwijzingen dat het wel waar zal zijn, maar je weet maar nooit! Ga je op een dergelijke manier met het begrip bewijzen om dan is interactie tussen leerlingen onderling en tussen leerlingen en docent uiteraard heel belangrijk. 13.2.3 Een bewijs kan een bruikbare methode leveren om een probleem op te lossen. Een bekend voorbeeld van een zogenaamd constructief bewijs is één van de bewijzen dat elk tweetal positieve gehele getallen een grootste gemene deler heeft, namelijk het bewijs dat gebruik maakt van het zogenaamde Euclidische algoritme. Er wordt daarbij steeds deling met rest toegepast, waarbij de rest steeds kleiner wordt. Net zo lang tot de rest gelijk aan 0 is. Je kunt dan beredeneren dat de voorlaatste rest de grootste gemene deler is. Daarmee wordt de existentie van een grootste gemene deler aangetoond, maar wordt ook meteen aangegeven hoe je die zou kunnen uitrekenen. Dit algoritme is niet slechts van belang om eenvoudige rekensommetjes mee te kunnen maken, maar vormt bijvoorbeeld ook de basis voor diverse veel gebruikte cryptografische systemen. Ook het laatste voorbeeld van de vorige paragraaf kan hier genoemd worden. Door de resten van de getallen 1, 11, 111,..... bij deling door n te bekijken, en te bedenken dat er hoogstens n verschillende resten kunnen zijn, krijg je niet alleen een bewijs dat de bewering waar is, maar tevens een methode om zo’n bijzonder getal te vinden. Een ander voorbeeld is een bewijs dat er oneindig veel rechthoekige driehoeken zijn waarvan de zijden geheeltallige lengte hebben, en waarvan de lengtes geen gemeenschappelijke factor hebben. Zonder deze laatste beperking zou de bewering flauw zijn: als a, b, c dergelijke zijden zijn, dan voldoen ook na, nb, nc voor elk natuurlijk getal n . Voor lengtes die onderling priem zijn kan dit als volgt worden aangetoond: neem willekeurige natuurlijke getallen s en t met s > t en ggd ( s , t ) = 1 , en één van de twee is even en de andere oneven. Noem a = s 2 − t 2 , b = 2st , c = s 2 + t 2 , dan volgt onmiddellijk dat a 2 + b 2 = c 2 . Hierbij kan nog worden opgemerkt dat je zelfs kunt bewijzen dat je op deze manier alle dergelijke drietallen a, b, c die onderling priem zijn, kunt krijgen (zie bijvoorbeeld [3]).

19

TULO Vakdidactiek Wiskunde 3 ___________________________________________________________________________ Van verschillende spelletjes kun je bewijzen dat er een winnende strategie bestaat. En vaak bestaat het bewijs uit een beschrijving hoe je kunt winnen. Bijvoorbeeld het Nim-spel. Nim is een spel voor twee spelers dat gespeeld wordt met lucifers. Op tafel worden stapeltjes lucifers neergelegd. Om en om nemen de spelers uit een stapeltje naar keuze een willekeurig aantal lucifers weg (minstens een, maximaal alle lucifers uit die stapel). Winnaar is degene die de laatste lucifer trekt. Je kunt nu van elke beginsituatie precies aangeven of dit een winnende of verliezende situatie is, en het bewijs daarvan geeft meteen de strategie die je moet volgen (zie bijvoorbeeld [4], waar je niet alleen uitleg kunt krijgen, maar het spelletje ook interactief kunt spelen). Een puzzel die op dit gebied ook aardig is, is de volgende. Neem een bord met 8 bij 8 vakjes. Verwijder één van deze vakjes, en laat zien dat je wat overblijft kunt bedekken met 21 tromino’s. Een tromino is daarbij een domino met nog een vakje er boven. Voor een 2 bij 2 bord is dit triviaal. Voor een 4 bij 4 bord kun je als volgt te werk gaan. Verdeel dit bord in vieren. In één van die kwarten is het vakje verwijderd, en daar lukt het dus. De vakjes van de overige drie kwarten die rond het midden liggen zijn precies door één tromino te bedekken. En verder hou je dan drie kwarten over met al één vakje bedekt, en dan lukt het ook wel om de rest te bedekken. Daarna kun je dit proces herhalen voor het 8 bij 8 bord. Dit puzzeltje kan ook nog op een andere manier op een hoger niveau gebruikt worden. De bewering is namelijk waar voor elk 2n bij 2n bord, en het bewijs volgt gemakkelijk met volledige inductie, waarvan de inductiestap in de zojuist beschreven strategie in feite al is aangetoond. Je kunt hiermee dus niet alleen de puzzel oplossen, maar ook de kracht van de bewijsmethode die volledige inductie heet illustreren. 13.2.4 Een bewijs kan je helpen een stelling of regel te onthouden, of te reconstrueren. Het is een bekend verschijnsel dat veel leerlingen weinig rekenregels paraat hebben. Nu is de noodzaak daarvoor ook een tijd lang niet zo groot meer geweest omdat vrijwel elke regel die ooit nodig mocht blijken op een formuleblad stond. Maar zodra er met logaritmen, goniometrische functies of wortelvormen gerekend moest worden, zag je vaak heel veel misvattingen, ondanks het formuleblad. In Getal en Ruimte staat een bewijs van de volgende regel voor logaritmen: g log ( ab ) = g log a + g log b , en wel als volgt. g g

g

log ( ab )

g

log a + log b

Dus g

g

g

= ab =g

log ( ab )

g

log a

=g

g

g

g

log b

log a + log b g

= ab , , waaruit de regel volgt.

Dit bewijs wordt vaak overgeslagen, en deze regel is voor veel leerlingen slechts één van de vele regels die ze ergens hebben staan. Dat is jammer, want juist als je wel aandacht schenkt aan de manier waarop deze regel wordt afgeleid (bewezen), maak je leerlingen vertrouwder met de regel en krijgen ze ook door dat het niet moeilijk is om zelf deze te reconstrueren.

20

TULO Vakdidactiek Wiskunde 3 ___________________________________________________________________________ Bovendien krijgen ze zo ook meer inzicht in de belangrijke eigenschappen van exponentiële en logaritmische functies. Een ander voorbeeld is de cosinusregel. Onzekerheid over wat waar moet staan, en of er een + of een – voor de term met de cosinus moet staan, kan gemakkelijk verholpen worden door een beeld van een driehoek en het idee voor de afleiding van de cosinusregel daarin paraat te hebben. Ook enig begrip van het idee achter een bewijs, zonder dat een dergelijk bewijs in alle details beheerst wordt, kan nuttig zijn. Zo worden als toepassing van de integraalrekening in Wiskunde B voor het VWO formules afgeleid voor de inhoud van omwentelingslichamen, en voor de booglengte van een grafiek. Door te beseffen dat deze formules tevoorschijn komen via inhoudsbepaling van smalle cilindertjes, resp. door gebruik van de stelling van Pythagoras, kun je de formules reconstrueren zonder dat er een volledig formeel bewijs via Riemann-sommen hoeft te volgen.

13.3 Opdrachten OPDRACHT 1 In de brugklas wordt geen aandacht aan bewijzen geschonken. Toch komt in de brugklas bijvoorbeeld −1× −1 = 1 aan de orde. Zoek uit hoe dit in Getal en Ruimte en Moderne Wiskunde wordt uitgelegd, en of er daar ook wordt uitgelegd waarom dit zo is. Lees vervolgens [5] door, en geef een samenvatting. Hoe ga je zelf −1× −1 = 1 uitleggen? OPDRACHT 2 Het feit dat de afgeleide van de functie f ( x ) = sin x de functie f ′ ( x ) = cos x is is zeker niet vanzelfsprekend. Zoek uit hoe dit in Getal en Ruimte en in Moderne Wiskunde behandeld wordt, en dan met name of er een bewijs gegeven wordt. Geef, als er sprake is van een bewijs, je mening daarover. Hoe zou je dit zelf aanpakken? OPDRACHT 3 Lees [6] door. Geef de karakteristieken van de typen bewijzen die Van Dormolen onderscheidt. Zoek een onderwerp uit de tweede fase HAVO/VWO waarbij je een preformeel bewijs zou kunnen gebruiken. Geef precies aan hoe dat bewijs er dan uit zou zien, en geef aan waarom jij vindt dat het een pre-formeel bewijs is. OPDRACHT 4 In het boek Advanced Mathematical Thinking [7] gaan enkele hoofdstukken over de rol van "bewijzen" in het wiskundeonderwijs. Het betreft de hoofdstukken 4 (Mathematical Proof) en 13 (Research on Mathematical Proof). Werk deze hoofdstukken door, en schrijf er een korte scriptie over. Bekijk zowel in Getal en Ruimte als in Moderne Wiskunde de onderdelen die over de meetkunde van Wiskunde B van het VWO gaan. Vind je daar iets van de ideeën uit de beide gelezen hoofdstukken terug?

21


13.4 Literatuur/informatiebronnen [1] Wim Kleijne, Bewijzen in de leerplannen van de 20e eeuw. In: Euclides, februari 2006, jg. 81, nr. 4, p. 159 – 164. [2] Pythagoras, jaargang 44, nr. 4, 2005 [3] Getaltheorie voor Beginners, Frits Beukers, Epsilon Uitgaven nr. 42, 1999 [4] http://www.science.uva.nl/misc/pythagoras/interactief/java/nim/ [5] Frits Beukers, Min maal min is plus, Bewijzen in de brugklas. In: Euclides,februari 2006, jg. 81, nr. 4, p. 180 – 183. [6] Joop van Dormolen, Leren wat bewijzen is. In: Euclides, maart 1984, jg. 59, nr. 7, p. 325 – 334. [7] Advanced Mathematical Thinking, ed. David Tall, Kluwer Academic Publishers, 1991.

22

Technische Universitaire Lerarenopleiding

Recommend Documents