Bab 9 Transformasi Laplace

Suryadi Siregar

Metode Matematika Astronomi-2

Bab 9 Transformasi Laplace ____________________________________________________________________

9-1. Definisi Transformasi Laplace Misalkan f(t) suatu fungsi real dengan variable t dan t>0. Transformasi Laplace didefinisikan sebagai: T

L  f (t )  F ( s)  lim  f (t )e dt   st

T   0 



 f (t )e

 st

dt , 0  

0

s=j, j= 1 ,  dan  variable real definisi: jika f(t) didefinisikan dan berharga tunggal untuk t>0 dan F(s) konvergen mutlak. Untuk bilangan real  0 , maka f(t) dikatakan dapat ditransformasikan secara Laplace (Laplace-transformable), bila 



f (t ) e 0t dt 

0

T



f (t ) e 0t dt  , 0    T

lim T   0 

Contoh: f (t )  et adalah Laplace Transformable sebab, 



f (t ) e

 0t



dt 

0

e

t

e

0



 0t



dt   e  ( 0 1)t dt 0

1 e ( 0 1)t (1   0 )

 0



1   1  0

9-2. Definisi Transformasi Laplace inversi Misalkan F(s) transformasi Laplace dari fungsi f(t), t>0. Maka transformasi Laplace invers adalah L1  F ( s)  f (t ) 

1

C  j



2 j C  j

KK-Astronomi ITB

F ( s)e st ds, j  1, c   0

Page 9-1

Suryadi Siregar

Metode Matematika Astronomi-2

9-3 Sifat-sifat transformasi Laplace (TL) 1.

Sifat linearitas ( ai suatu konstanta real)

L  a1f1 (t) + a 2f 2 (t)  = L a1f1 (t)   L a 2f 2 (t)   a1 L  f1 (t)   a 2 L f 2 (t)   a1 F1 ( s)  a2 F2 ( s) 2.

Transformasi Laplace dari turunan fungsi,

df dt

 df  L    sF ( s)  f (0 )  dt  t

3. TL dari fungsi integral

 f ( z )dz , dimana transformasi Laplace f(t) adalah F(s) 0

t

L[  f ( z )dz ]  0

F (s) s

4. TL dari fungsi f ( t ) (time scaling) adalah L [ f ( t )]  aF (as), dimana a a

F (s)  L[ f (t )] 5. TL dari fungsi f(t-T) (time delay), T > 0 dan f(t-T)= 0 untuk t  T

L[ f (t  T )]  e sT F (s), dimana F (s)  L[ f (t )] 6. TL dari fungsi e at f (t ), (komplek translation) L[e at f (t )]  F (s  a) , dimana

F (s)  L[ f (t )] 7. TL hasil kali dua fungsi f1 (t ) dan f 2 (t )

L[ f1 (t ) f 2 (t )] 

1



 2 j 

F1 ( ) F2 ( s   )d

(complex convolution integral)

9-4 Sifat-Sifat Transformasi Laplace invers (TLI) 1. TLI dari fungsi F ( s ) (frequency scalling) a L1[ F ( s ]  af (at ) , dimana L1[ F (s)]  f (t ) a

2. TLI dari hasil kali dua transformasi Laplace F1 ( s) dan F2 ( s)

KK-Astronomi ITB

Page 9-2

Suryadi Siregar

Metode Matematika Astronomi-2

t

t

0

0

L1[ F1 ( s).F2 ( s)]   f1 ( z ) f 2 (t  z )dz   f 2 ( z ) f1 (t  z )dz dimana L1[ F1 (s)]  f1 (t ), L1[ F2 (s)]  f 2 (t )

dimana F (s)  L[ f (t )]

(complex convolution integral)

9-5 Ilustrasi 1. Carilah TL dari fungsi f (t )  et  e2t Penyelesaian :

  L[et  e2t ]  L[et ]  L[e2t ]   et e st dt   e2t e st dt 0 0 1 1 2s  3    s  1 s  2 s 2  3s  2

2. Carilah Transformasi Laplace Inversi dari fungsi F ( s) 

1 s 1

Penyelesaian : 

1 1 st  1  L1   e ds    s  1  2 j  s  1 x  s  1  dx  ds Misal s    x   dan s    x  

Jadi 



1 e( x 1)t et e xt  1  L   dx    x dx 2 j   s  1  2 j  x 1

Pernyataan ini sukar untuk diselesaikan, tapi dengan mengingat bahwa L1  F (s)  f (t ) dari contoh 1, dapat dikatakan ;

KK-Astronomi ITB

Page 9-3

Suryadi Siregar

Metode Matematika Astronomi-2

 1  t L1   e atau kita peroleh suatu pernyataan, Karena  s  1  





t e xt 1 e xt 1 e xt  1  t e 2t L    e  2 j  x dx  e  2 j  x dx  2 j  xt dxt  s  1    1

Karena bentuk xt dan x tidak akan mengubah batas integrasi bila x menuju ±∞ maka 

ex dx  e2t  2 j  x 1

Sulit dihitung secara langsung, tapi mudah dengan Transformasi Laplace inversi.

3. Carilah transformasi Laplace dari fungsi;

f (t ) 

1 (e at  ebt ) (b  a)

Jawab

1 (e  at  e bt ) (b  a) 1 L(e  at )  L(e bt )  L  f (t )  (b  a)  f (t ) 

Kita cari satu persatu dari komponen tersebut

L e

 at



0





   e e dt   e  at  st

0

 ( a  s )t



1 dt  de  ( a  s )t (a  s ) 0

 1 1 1 e ( a  s )t   0  1  0 (a  s) (a  s) (a  s)

Dengan cara yang sama, diperoleh (tinggal mengganti a dengan b)

L ebt  

1 sb

Maka KK-Astronomi ITB

Page 9-4

Suryadi Siregar L  f (t )  

Metode Matematika Astronomi-2

1 L(e at )  L(ebt )  (b  a)

1  1 1  1  sbsa    (b  a)  s  a s  b  b  a  (s  a )(s  b) 

1 ba . b  a ( s  a)( s  b) 1  ( s  a)( s  b) 

4. Carilah transformasi Laplace dari fungsi;

f (t ) 

1 ( z  a)e at  ( z  b)e bt  (b  a)

Jawab;

1 ( z  a)e  at  ( z  b)e bt  (b  a)  1  L  f (t )   L ( z  a)e  at   L ( z  b)e bt    (b  a) f (t ) 

L  f (t ) 

1  ( z  a)L e  at   ( z  b)L e bt    (b  a)

L  f (t ) 

1  1 1  ( z  a)  ( z  b)  (b  a)  sa s  b 

L  f (t ) 

1  z a z b 1  (( s  b)( z  a))  (( s  a)( z  b))     (b  a)  s  a s  b   b  a   (s  a)(s  b) 

KK-Astronomi ITB

Page 9-5

Suryadi Siregar

Metode Matematika Astronomi-2



1  ( sz  as  bz  ab)  ( sz  bs  az  ab)   ( s  a )( s  b)  b  a   



1  bs  as  bz  az   b  a   ( s  a)( s  b) 



1  s (b  a)  z (b  a)  1  (b  a)( s  z )      b  a   ( s  a)( s  b)   b  a   (s  a)(s  b) 



sz ( s  a)( s  b)

Dalam contoh yang diberikan ini dapat dibuat tabel transformasi Laplace untuk berbagai fungsi. Tabel ini diperlukan ketika kita mencari Transformasi Laplace inversi.

KK-Astronomi ITB

Page 9-6

Suryadi Siregar

Metode Matematika Astronomi-2

Tabel 9. 1 Transformasi Laplace( t>0) F ( s)

f (t )

1

 (t )

eTS

 (t  T )

1 sa

e at

1 ( s  a)n

1 t n 1e at dengan n=1,2.. (n  1)!

1 ( s  a)( s  b)

1 (e at  ebt ) (b  a)

s ( s  a)( s  b)

1 (ae at  bebt ) ( a  b)

sz ( s  a)( s  b)

1 (( z  a)e at  ( z  b)ebt ) (b  a)

1 ( s  a)( s  b)( s  c)

e at ebt e ct   (b  a)(c  a) (c  b)(a  b) (a  c)(b  c)

 s  2

Sint

s s  2

Cost

2

2

Perhatikan 

L  f '   e 0

 st

    st   st f '  t  dt   e df  t   e f (t )  s  e f t  dt    f  0   sL  f   sL  f   f  0  0 0 0  

KK-Astronomi ITB



 st

Page 9-7

Suryadi Siregar

Metode Matematika Astronomi-2

d  L  f ''  L   f '   sL  f '  f '  0   s sL  f   f  0   f '  0   s 2L  f   sf  0   f '  0   dt  d  L  f '''  L   f ''   sL  f ''  f ''  0   s s 2L  f   sf  0   f '  0   f ''  0   dt   s 3L  f   s 2 f  0   sf '  0   f ''  0 

Dengan induksi kita mempunyai bentuk umum; L  f ( m)   s mL  f   s m1 f  0   s m2 f    0   s m3 f  1

9.6

2

 0  . . .  f (m1)  0

Mencari solusi dengan bantuan table

Contoh (1) Tentukan TL dari fungsi f  t   t 2 Jawab

: f  0   0, f '  0  0, f ''  0  2 dan L  2 

Jadi

L  f ''  s 2L  f   sf  0   f '  0 

2 s

2 2  s 2L  f    L t 2   3 s s f t  cos t  g  t   sin t  Contoh (2) Tentukan TL dari fungsi   dan Jawab a) f  t   cos t  , f '  t    sin t  , f ''  t    2 cos t    2 f t  Jadi

L  f ''  s 2L  f   sf  0   f '  0   2L  f   s 2L  f   s

L f  

s   s2 2

b) g  t   sin t  , g '  t    cos t  , g ''  t    2 sin t    2 g  t 

L  g ''  s 2L  g   sg  0   g '  0   2L[ g ]  s 2L  g   0  

Lg 

KK-Astronomi ITB

   s2 2

Page 9-8

Suryadi Siregar

Metode Matematika Astronomi-2

Contoh (3) : carilah TL dari fungsi f (t )  sin 2 t Jawab: f (t )   sin t  , f ' (t )  2sin t cos t  sin 2t 2

Jadi L[ f ]  sL[ f ]  f (0)  sL[ f ] atau L[ f ] 

L[ f ' ] L[sin 2t ] 2   2 s s s ( s  22 )

Contoh (4) : carilah TL dari fungsi f (t )  t sin t Jawab: f (t )  t sin t , f ' (t )  sin t  t cos t f " (t )  2 cos t   2t sin t f " (t )  2 cos t   2 f (t )

f (0)  0, f ' (0)  0 Sehingga L[ f " ]  s 2L[ f ]  sf (0)  f ' (0)  s 2L[ f ]

L[2 cos t   2 f (t )]  s 2L[ f ] 2L[cos t ]   2L[ f ]  s 2L[ f ]  ( s 2   2 )L[ f ]  2L[cos t ] Jadi L[ f ] 

2 2 s 2 s L[cos t ]  2 2  2 2 2 2  s   s    s    s 2 2 2

Contoh (5) : Solusi persamaan diferensial dengan syarat awal y"  4 y '  3 y  0 , dengan y(0)  3, y ' (0)  1 Jawab: L[ y" ]  L[4 y ']  L[3 y]  0

s L[ y]  sy(0)  y '(0)  4sL[ y]  y '(0)  3L[ y]  0 2

s Y (s)  3s 1  4sY (s)  3  3Y (s)  0 2

s 2Y (s)  4sY (s)  3Y (s)  3s  1  12  3s  13

 s  3 s  1 Y (s)  3s  13 Y ( s) 

3s  13 2 5    s  3 s  1 s  3 s  1

Ambil transformasi invers: L1[Y (s)]  y(t )

KK-Astronomi ITB

Page 9-9

Suryadi Siregar

Metode Matematika Astronomi-2

 2  1  5  L1[Y ( s)]  L1   L   s  3   s  1  1   1  y  t   2L1   5L1   2e3t  5et   s  3 s  1    

Jadi solusinya

y(t )  2e3t  5et

9-6 Soal Latihan Carilah solusi persamaan differensial homogen berikut dengan Transformasi Laplace. Dengan syarat y(0) = 1 dan y(0) = 0 (1)

d2y  xe x  cos x 2 dx

(2) x 2 (3) x

d2y dy x 0 2 dx dx

d 2 y dy  x0 dx 2 dx

(4)

d2y  2y  0 dx 2

(5)

d 2 y 3dy   4y  0 dx 2 dx

(6)

d 2 y 3dy  0 dx 2 dx

(7)

d2y dy  4  13 y  0 2 dx dx

KK-Astronomi ITB

Page 9-10

Suryadi Siregar

Metode Matematika Astronomi-2

Bab 9 ................................................................................................................................... 1 Transformasi Laplace.......................................................................................................... 1 9-1.

Definisi Transformasi Laplace ................................................................................. 1

9-2.

Definisi Transformasi Laplace inversi .................................................................... 1

9-3

Sifat-sifat transformasi Laplace (TL)....................................................................... 2

9-4

Sifat-Sifat Transformasi Laplace invers (TLI) ........................................................ 2

9-5

Ilustrasi ..................................................................................................................... 3

9.6

Mencari solusi dengan bantuan table ....................................................................... 8 Contoh (1) ................................................................................................................... 8 Contoh (2) ................................................................................................................... 8 Contoh (3) ................................................................................................................... 9 Contoh (4) ................................................................................................................... 9 Contoh (5) ................................................................................................................... 9

9-6

Soal Latihan ........................................................................................................... 10

Tabel 9. 1 Transformasi Laplace( t>0) ............................................................................... 7

KK-Astronomi ITB

Page 9-11