32_10_Čisla, rovnice-Rovnice s absolutní hodnotou.notebook
October 09, 2014
Šablona 10 VY_32_INOVACE_0106_0110 Rovnice s absolutní hodnotou
1
32_10_Čisla, rovnice-Rovnice s absolutní hodnotou.notebook
October 09, 2014
VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy
Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizaceBratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632
Číslo projektu
CZ.1.07/1.5.00/34.1076
Číslo a název šablony
III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Autor
0106 - Ing. Petr Kotulič
Tematická oblast
Matematika - Čísla, rovnice
Číslo a název materiálu
VY_32_INOVACE_0106_0110 Rovnice s absolutní hodnotou
Anotace
Výukový materiál pro interaktivní tabuli sloužící jako podpora při výkladu rovnic s absolutní hodnotou a jejich procvičení na příkladech.
Vytvořeno
1. 2. 2013
Určeno pro
Žáky oborů středního vzdělávání zakončeného maturitní zkouškou
Testováno (kdy, kde)
28. 11. 2013
Přílohy
Bez příloh
2
32_10_Čisla, rovnice-Rovnice s absolutní hodnotou.notebook
October 09, 2014
Rovnice s absolutní hodnotou
3
32_10_Čisla, rovnice-Rovnice s absolutní hodnotou.notebook
October 09, 2014
Jednoduché příklady Následující rovnice jsou velice jednoduché, a proto nebudem u každě zvlášť určovat O a D. Ve všech příkladech platí, že O = D = R.
Absolutní hodnotu budeme interpretovat jako vzdálenost obrayu dvou čísel na číselné ose. Zadanou rovnici interpretujeme takto: Hledáme taková reálná čísla x, aby jejich vzdálenost od počátku byla 3. 3
3
-3
0
3
Řešením jsou právě dvě čísla, a to −3 a 3. Tedy K = {−3; 3}.
4
32_10_Čisla, rovnice-Rovnice s absolutní hodnotou.notebook
October 09, 2014
Jednoduché příklady |x − 2| = 3 Podle výše uvedených poznámek můžeme výraz |x − 2| "přečíst" jako: Vzdálenost čísla x od 2 Hledáme tedy taková čísla, jejichž obrazy na číselné ose mají vzdálenost 3 od obrazu čísla 2. Při pohledu na číselnou osu pak snadno určíme, že to jsou právě čísla 5 a také −1. K = {−1; 5}. 3
3
-5
0
2
5
5
32_10_Čisla, rovnice-Rovnice s absolutní hodnotou.notebook
October 09, 2014
Jednoduché příklady |x + 1| = 4
Abychom opět interpretovali absolutní hodnotu na levé straně rovnice, musíme si ji upravit. Chceme-li ji totiž chápat jako vzdálenost dvou "čísel", musí být v absolutní hodnotě znaménko mínus, nikoliv plus.
Výraz na levé straně tedy upravíme takto: |x − (−1)|. Teď už není problém zjistit, že dvě čísla, jejichž obrazy mají od obrazu −1 vzdálenost 4, jsou −5 a 3.
K = {−5; 3}.
6
32_10_Čisla, rovnice-Rovnice s absolutní hodnotou.notebook
October 09, 2014
Poznámka: Takto jednoduše se dají řešit pouze rovnice a nerovnice, které obsahují jen jednu absolutní hodnotu, ve které je pouze lineární dvojčlen a mimo absolutní hodnotu je jen jedno číslo. Pokud toto není splněno, budeme rovnice a nerovnice řešit pomocí tabulky.
7
32_10_Čisla, rovnice-Rovnice s absolutní hodnotou.notebook
October 09, 2014
Řešení pomocí tabulky
Řešte rovnici v R: Obdobné příklady se vždy řeší tak, že se snažíme nahradit výrazy s absolutní hodnotou nějakými ekvivalentními bez absolutní hodnoty, a to za jistých podmínek. Z definice absolutní hodnoty víme, že máme-li v absolutní hodnotě nezáporný výraz, můžeme absolutní hodnotu klidně odstranit a výraz bude mít stejnou hodnotu. Pokud je uvnitř záporný výraz, stačí celou absolutní hodnotu nahradit opačným výrazem k "vnitřku". Ukážeme si to na příkladu absolutní hodnoty |1 − x| ze zadané rovnice.
8
32_10_Čisla, rovnice-Rovnice s absolutní hodnotou.notebook
October 09, 2014
Řešení pomocí tabulky
Řešte rovnici v R: Pro x ≤ 1 je výraz v absolutní hodnotě |1 − x| nezáporný a podle definice absolutní hodnoty můžeme nahradit výrazem 1 − x. Podobně pro x > 1 je "vnitřek" absolutní hodnoty |1 − x| záporný a můžeme ji nahradit výrazem − (1 − x), neboli x − 1. Řešení rovnice bychom tedy rozdělili do dvou větví: pro x ≤ 1 a pro x > 1. Zadaná rovnice ale obsahuje ještě jednu absolutní hodnotu, a proto bychom museli každou z těchto dvou větví dělit ještě na další dvě, abychom mohli nahradit i tu druhou absolutní hodnotu.
9
32_10_Čisla, rovnice-Rovnice s absolutní hodnotou.notebook
October 09, 2014
)
Řešení pomocí tabulky
Řešte rovnici v R: Řešení rovnice bychom tedy rozdělili do dvou větví: pro x ≤ 1 a pro x > 1. Zadaná rovnice ale obsahuje ještě jednu absolutní hodnotu, a proto bychom museli každou z těchto dvou větví dělit ještě na další dvě, abychom mohli nahradit i tu druhou absolutní hodnotu. Pro danou rovnici existují dva nulové body:
x01 = 0 a x02 = 1
<0; 1>
<1; ∞)
10
32_10_Čisla, rovnice-Rovnice s absolutní hodnotou.notebook
October 09, 2014
11
32_10_Čisla, rovnice-Rovnice s absolutní hodnotou.notebook
October 09, 2014
Zdroje: Materiál byl vytvořen pomocí prostředků programu SMART Notebook. KUBÁT, J.: Sbírka úloh z matematiky pro přípravu k maturitní zkoušce a k přijímacím zkouškám na VŠ, Victoria Publishing, Praha, ISBN 80-85605-27-9
12
