6.8. Gyorsan forgó tengelyek, csőtengelyek

6.8. Gyorsan forgó tengelyek, csőtengelyek Kiinduló feltételezések: -   állandó, - a súlyerő  0, - pB  pK  0. A szilárdságtani állapotokat henger koordinátarendszerben (HKR-ben) írjuk le.

y

pK  0

q

e

eR

dV



pB  0 S

x

R

Forgás  a gyorsulásból származó, a térfogaton megoszló erőrendszer:

q  qR eR   R  2 eR 



g

R  2 eR .

  a tömegsűrűség  kg/m3  ,   a fajsúly  N/m3  ,

2 RB 2 RK

g  a gravitációs gyorsulás  m/s 2  . A q  qR eR a tengely/csőtengely keresztmetszetének síkjába esik, ezért az alakváltozás során a keresztmetszetek síkok maradnak.

A feladat megoldása: SA + tiszta húzás-nyomás  F  F   F  . a) Sík alakváltozás: Ebben az esetben a biharmonikus differenciálegyenlet nem homogén, a jobboldalon megjelenik egy, az  -tól függő tag. Biharmonikus differenciál egyenlet:   U   2 Tengelyszimmetrikus esetben:

1  2  2. 1 

1 d  d  1 d  dU    1  2  2   állandó. R R  2 R dR  dR  R dR  dR    1  g

Megoldás: U  R  U h ( R)  U p ( R) . U( R )  

A 2 1  2  2 R 4 R  Bln R  C  DR 2 ln R  2   2 1  g 64





A 2 1  2  2 R 4 . R  Bln R  C  2  2 1  g 64





Megjegyzés: a DR 2 ln R tagot azért hagyjuk el, mert nem ad egyértékű elmozdulásmezőt kör és körgyűrű tartományon. Új változó bevezetése:



R2 . RK2

Az U  U  R  függvényből származtatott feszültségek:

165

Szögsebességtől és anyagtól függőállandók: 3  2   0   RK  2 , 1  8 1  2 1   3  2

   0    b      a   1  0       z   R      

 R  a 

b

b) Tiszta húzás: A húzó-nyomó erőt olyan nagyságúra kell felvenni, hogy a szuperpozíció után zérus tengely irányú erőt kapjunk. N  N   N   0.

RK N

 z    R       2a   0 1     .

   2 R  dR  N   0 . z

RB Behelyettesítve és átrendezve:





1

N    2 a RK2  RB2     0 1  1   RK2



d   2R

B



N    2 a R 2 K  R 2 B     0 1  1  

 z 

  d ,

N  . A



1 dR , RK2



1 1  B2 RK2 . 2

c) Szuperpozíció: forgó csőtengely/tengely     b        a   1  0  , .    z   z   z  2  0  1  B  2  .   A konstansok meghatározása a peremfeltételekből:

 R   R  a 

b

  0 ,

Anyagtól függő állandó:

2 

2  1, 3 - 2

   0     b R  RK    1  R  0  a    0     Az a és a b állandók ebből a két egyenletből meghatározhatók. R  RB

Jelölés:

b hR  a     hiperbolák.  b h  a   

A hiperbolák aszimptotái: 166

   B 

R  0a 

b



2  1 .

Ha   0 , akkor

hR    , h   ,

Ha    , akkor

hR  a ,

h  a .

A hiperbolák tulajdonsága: Egy tetszőleges szelő egyenes a hiperbolán és az aszimptotán levő pontjainak távolsága azonos.

aszimptoták

Az azonos távolságokat (szakaszokat) az ábrán vastag vonal jelöli.

tetszőleges szelő egyenes

6.8.1. A gyorsan forgó csőtengely diagramja

i

h

i

b

b

 R 0

 0

hR

a

a

0

B

z

1

1   0 1  B

1

B

A csőtengely diagram megrajzolásának gondolatmenete: - Megrajzoljuk a   0  egyenest. - Felvesszük a hR és h hiperbola aszimptótáit: a  i függőleges és a   a vízszintes egyeneseket. - A peremfeltételekből (   1  nél  R  0 és B  nél  R  0 ) meghatározzuk a hR hiperbola két pontját, majd felrajzoljuk a hR hiperbolát. - Berajzoljuk a h hiperbolát és a 1  0  egyenest. Az a és b állandók meghatározása peremfeltételekből:

R   0  a  B

b

B

   0 B ,

 R  1  0  a  b   0 . 167

A második peremfeltételből: a  b    0 . Ezt behelyettesítve az első peremfeltételbe: 0  b 

0 

b

B b

B

   0 1  B  ,

1  B    0 1  B 

 b  B  0 .

Visszahelyettesítve a második peremfeltételbe: a  1  B   0 . A gyorsan forgó csőtengely tetszőleges P pontjának feszültségállapota:  R 0        F    F  R    F  F   0         0 0

  , ahol  ,  ,  főfeszültségek.  R z   z  0 0

Maximális redukált feszültség:

 red max  Mohr    1   3      B   a 

b

B

 1 0 B .

A peremfeltételekből meghatározott a, b értéket behelyettesítve: 1  red max  Mohr   1  B   0  B  0  1  0 B  ,

 red max  Mohr    0  2  B  1B  .

B

6.8.2. A gyorsan forgó tengely diagramja Tömör/furat nélküli tengely: RB  0  B  0  .

Tapasztalat: R  0    0  -nál is véges nagyságúak a feszültségek  b  0 . Feszültségek:

 R  a   0  ,    a   0  ,

 z  2 0 1  2  .

Peremfeltétel: R  RK    1

 R  0  a   0  a   0 .

i

i



R

a   0

1   0 2   0

z

 1

2   0 A Mohr szerint számított redukált feszültség:

168

 red  Mohr   0   R   z   0   0 1  2  ,

 red  Mohr   1      z 

 1

   0 1  1  2  .

6.8.3. Gyakorló feladatok gyorsan forgó csőtengelyekre, tengelyekre 6.8.3.1. feladat: Gyorsan forgó csőtengely

y

y

x



z

 DB

 DK Adott: Az ábrán látható gyorsan forgó csőtengely anyaga, geometriája és szögsebessége: DB  400 mm , DK  600 mm ,   200 rad / s = állandó ,   8000 kg / m3 ,   1 / 3 . Feladat: a) A B és   0 mennyiségek meghatározása.

b) A  R    ,      és  z    feszültségi diagramok megrajzolása. c) Az RK  DK 2 helyen levő P pontokban a feszültségi tenzor mátrixának felírása az R,  , z henger koordináta-rendszerben. d) A Mohr-féle elmélet szerinti legnagyobb redukált feszültség kiszámítása.

Kidolgozás: a) A B és   0 mennyiségek meghatározása: 2

B 

RB2  200     0,44444 , RK2  300 

 0 

 3  2   R  2   3  2  0,33333  103 0,3  200 2  12,6  106 Pa  12,6 MPa .     1  0,33333  1   8 K

b) A  R    ,      és  z    feszültségi diagramok megrajzolása:     b     a   1  0   A vastagság menti feszültségeloszlás függvényei.    z   2   0  1  B  2       R (  1)  0 . Peremfeltételek:  R (  B )  0,

R a 

b

  0

169

R z

 b

b

 0

 R 0 a

 0 z

B



1  0

1

2 0  B  1

1  B

B

1

R2 1  2 1  2  0,3333 2 2  0,3333   0,714 , 2    0,285 . , 1  2 3  2 3  2  0,3333 3  2 3  2  0,3333 RK

c) Az RK  DK 2 helyen levő P pontokban a feszültségi tenzor mátrixának felírása R,  ,z henger koordináta-rendszerben: A diagramból:  R    1  0 ,

    1   0 1  2B   1 0  12,6 1  2  0,4444  0,714   14,8 MPa ,

 z    1  2 0  B  1  0,285  12,6 0,44444  1  2 MPa . 0 0 0    A feszültségi tenzor mátrixa:  F  (  1)  0 14, 8 0  MPa.  R z  0 0 2 

d) A Mohr-féle elmélet szerinti legnagyobb redukált feszültség kiszámítása:  red max      0  2  B   1 0 B  12,6  2  0,4444  0,314   26,79 MPa . B

6.8.3.2. feladat: Gyorsan forgó csőtengely y

RB RK

y

x



z

Adott: Az ábrán látható,  = állandó szögsebességgel gyorsan forgó csőtengely: 170

RK  200 2 mm ,  0  200 MPa ,   8000 kg / m3 ,   0,25 ; E  2  105 MPa .

Feladat: a) A  R    ,      és  z    feszültségi diagramok jelleghelyes megrajzolása. b) Az RB belső sugár értékének meghatározása, ha    B   440 MPa . c) Az RK helyen kialakuló feszültségi állapot meghatározása. d) A csőtengely külső átmérőjének DK megváltozásának kiszámítása. e) A csőtengely legnagyobb megengedett szögsebességének meghatározása, ha az anyag megengedett feszültsége  meg  110 MPa . Kidolgozás: a) A  R    ,      és  z    feszültségi diagramok jelleghelyes megrajzolása:

R a    a 

b



  0

b

 1  0    z   2   0  1  B  2  

     A feszültségek vastagság menti eloszlása.    

1  2 1  2  0,25 2 2  0,25 R2   0,6 , 2    0,2 . , 1  2 3  2 3  2  0,25 3  2 3  2  0,25 RK  R (  1)  0 . Peremfeltételek:  R (  B )  0,



A gyorsan forgó csőtengely diagramja:

R z

 b

b

 0

 R 0 a

 0 z

B

1  0

1

2 0  B  1

1  B

1

B

b) Az RB belső sugár értékének meghatározása, ha    B   440 MPa : A diagramból:  

B

  0  2  B   1 0 B  2 0  B 0 1  1  ,

171

440  2  200  B 200 1  0,6   400  B 80 ,

40  B 80  B  0,5 .

B 

RB2 1  RB  RK B  200  2  200 mm , 2 RK 2

RB  200 mm . c) Az RK helyen kialakuló feszültségi állapot meghatározása:

R  RK esetén  

R 2 RK2   1. RK2 RK2

 R    1  0 ,

A feszültségi tenzor: 0  0 0   F   0 280 0  MPa.   R z 0 0 20 

     1   0 1  2B   1 0   200 1  1  0,6   280MPa ,

 z    1  2 0  B  1  0,2  200  0,5  20 MPa . d) A csőtengely külső átmérőjének DK megváltozása: G

E 2  10 5   8  10 4 MPa . 2 1    2 1  0,25 

  R  RK    K  DK  2uR

RK



   z 1     2G  1    

    

1 260   280  0,25  14,25  10 4 ,  4  1,25  2  8  10 

 2 RK  K  2  200 2  14,25  10 4  80,37  10 2 mm.

DK  0,8 mm . e) A csőtengely legnagyobb megengedett max szögsebessége, ha  meg  110 MPa :

 red max   meg ,

 0  2  B   1 0 B   meg ,

 3  2   R  2 2        ,    B 1 B meg  1   8 K  meg 8  1   110  106 2  0,3  10 3  1,5  10 4 m2 /s 2 ,  RK max   2,2  2  B  1B    3  2  RK  max  1,5  104  122,47 m/s ,

 max 

122,47 122,47 rad .   434 RK s 0,2 2

A megengedett legnagyobb fordulatszám: nmax 

172

60 max 60  434 ford .   4148 2 6,282 min

6.8.3.3. feladat: Gyorsan forgó tengely

y

y

 z

x

D Adott: A hosszú tömör D átmérőjű tengely, amely   állandó szögsebességgel forog. D  400 mm ,   8000 kg / m3 ,   0,25 ,   0  40 MPa. Feladat: a) A  R    ,      és  z    feszültségi diagramok megrajzolása. b) A Mohr-féle elmélet alapján számított redukált feszültség maximumának kiszámítása. c) A tengely megengedett legnagyobb fordulatszámának meghatározása, ha  meg  80 MPa . Kidolgozás: a) Feszültségi diagramok megrajzolása:



R2 1  2 1  2  0,25 1,5 2 2  0,25 0,5 , 1     0,6 , 2     0,2 . 2 3  2 3  2  0,25 2,5 3  2 3  2  0,25 2,5 RK

 R  a   0     a  1  0   z   2   0  1  2 

   A feszültségeloszlás függvényei.  

Peremfeltétel: R  RK    1   R  0  a   0  0

 a   0  40 MPa .

A gyorsan forgó tengely diagramja két alakban:

 R  z  MPa 

   R  z  MPa  

 1

40

R

24

8

    

16

40

 

z



 8

8

R

z

 1 16



8

Feszültségek az R=0 és R  RK helyen: R=0

R  RK

 R    0   a   0   40  40  0  40 MPa.

 R    1  a   0   40  40  1  0 MPa.

173

R=0

     0   a  1 0   40  0,6  40  0  40 MPa.

R  RK

     1  a  1 0   40  0,6  40  1  16 MPa.

R=0

 z    0   2  0 1  2   0,2  40 1  2  0   8 MPa.

 z    1  2  0 1  2   0,2  40 1  2  1  8 MPa .

R  RK

b) A Mohr szerinti redukált feszültség:

 red  Mohr   0   R   z   40  8    0 1  2   40 1  0,2   40  0,8  32 MPa ,

 red  Mohr   1      z   16   8   0 1  1  2   40 1  0,6  0,2   24 MPa , Maximális redukált feszültség:  red max  Mohr   0   R   z   32 MPa . c) A maximális fordulatszám:

 meg   red max ( Mohr )   red  Mohr   0    0 1  2  

max  nmax 

 meg 1   8

 3  2  

RK2

 1  2 



 3  2   R  2 1   ,    2  1   8 K

80  106  1  0,25   8

 3  2  0,25   8000  0,2 1  0,2  2

 866

rad , s

60 max 60  866 ford .   8270 2 6,282 min

6.8.3.4. feladat: Gyorsan forgó csőtengely y

y x

DB

 z

DK Adott: Az   áll. szögsebességgel forgó DK külső és DB belső átmérőjű csőtengely.

DB  400 mm , DK  600 mm ,   200 rad/s ,   8000 kg/m3 ,   1/3 . Feladat: a) A B és   0 értékének meghatározása. b) A  R    ,      és  z    diagramok megrajzolása.

c) A Mohr szerinti legnagyobb redukált feszültség meghatározása. d) Az RK  DK / 2 sugárral kijelölt körön levő tetszőleges P pontban a feszültségi tenzor mátrixának meghatározása henger koordináta-rendszerben. Kidolgozás: a) A B és   0 értékének meghatározása:

174

2

 RB   200  4      0,44444 , 9  RK   300  2

B  

 3-2ν   R  2   3-2  0,44444 8000 300  200 2 12,6 N/mm2     1-ν  8 K 1-0,4444 8

 0 

.

b) A  R    ,      és  z    diagramok megrajzolása:   1+2 1+2  0,4444 5  1    ,  2 3  2 3-2  0,4444 7 b R     a   1  0   2 . 2 2  0,4444 2  RK  2    .  z  2  0 1+B -2   3  2 3-2  0,4444 7    R (  1)  0 . Peremfeltételek:  R (  B )  0,

R  a 

b

  0

R z

 b

b

 0

 R 0 a

 0 z

B

1  0

1

2 0  B  1

1  B

1

B

Peremfeltételek:  b    0   0a    0 B   B    b  R  RK    1  R  0  a    0  0  a  b   0    Az első peremfeltételi egyenletbe visszahelyettesítve: b 0 b     0 1  B  ,

   B 

R  RB

R  0a 

b



 a  b   0 .

B

0 

b

B

1  B    0 1  B 



b  B  0 .

Visszahelyettesítve a második peremfeltételi egyenletbe: a  1  B   0 . a   0 1  B   12,6 1  0,4444  18,2 MPa.

b  a   0  18,2  12,6  5,6 MPa.

175

A feszültségek jellemző értékei: 2 7 2  z    1  2  0 1+B -2   2 0  B  1  12,6  0,4444-1   2 MPa . 7 b b 5,6    B   a   1  0 B , h (B )  a   18,2  18,2  12,6  30,8 MPa , B B 0,4444 5 1  0 B  12,6  0,4444  4 MPa , 7 b    B   a   1  0 B  30,8  4  26,8MPa .

 z  B   2  0 1+B -2B   2  0 1-B   12,6 1  0,4444   2 MPa ,

B

     1  a  b  1 0 ,

h (  1)  a  b 18,2  5,6  23,8 MPa ,

5 7  23,8  9 14,8 MPa .

1  0  12,6  9 MPa ,

     1  a  b  1 0

c) A Mohr szerinti legnagyobb redukált feszültség meghatározása:

 1 ,

 red (Mohr )   1   3    z  14,8  (  2)  16,8 MPa ,

B  0,44444 ,

 red (Mohr )   1   3     R  26,8  0  26,8 MPa ,

 red max (Mohr )  26,8 MPa. d) Az RK  DK / 2 sugárral kijelölt körön levő tetszőleges P pontban a feszültségi tenzor mátrixának meghatározása henger koordináta-rendszerben: 0 0 0  (  1)  0 0    R    0   (  1) 0  F ( P)      0 14,8 0  MPa.  R z   0 0  z (  1)  0 0 -2   6.8.3.5. feladat: Gyorsan forgó tengely y

y

 z

x

D

Adott:

Az

  áll.

szögsebességgel

forgó

D

átmérőjű

tengely.

D  400mm ,

  8000kg/m ,  0  40 MPa ,   0,25 . Feladat: a) A  R    ,      és  z    diagramok megrajzolása. 3

b) A Mohr szerinti legnagyobb redukált feszültség meghatározása. c) A tengely legnagyobb megengedett fordulatszámának meghatározása, ha a megengedett feszültség  meg  80 MPa . 176

Kidolgozás: a) A feszültségi diagramok megrajzolása:

 R  a   0    a  1  0   z  2  0 1-2 

1+2 1+2  0,25   0,6 , 3  2 3  2  0,25 2 2  0,25 2    0,2 . 3  2 3  2  0,25

 R2   2 . RK  

1 

Peremfeltétel: R  RK    1   R  0  a   0  0

 a   0  40 MPa .

A gyorsan forgó tengely diagramja két alakban: 

 R  z  MPa 

 R  z  MPa   40

 1

  0  40 MPa R 0,2  0

0,2   0

  z





0,6   0

R z

0,2  0

 1 0,4   0



0,2   0

A feszültségek jellemző értékei:

 R    0  a   0   40  40  0= 40MPa ,

 R    1  a   0   40  40 1=0MPa ,

     0  a  1 0   40  0,6  40  0= 40MPa,

     1  a  1 0   40  0,6  40 1= 16MPa ,  z    0  2 0 1  2   0,2  40  (1  2  0)= 8MPa ,

 z    1  2 0 1  2   0,2  40  (1  2 1)=  8MPa.

b) A Mohr szerinti legnagyobb redukált feszültség meghatározása:

 red (Mohr )   0  0,2 0  0,8 0  0,8  40  32 MPa ,  red (Mohr )  0,4 0 +0,2 0  0,6 0  0,6  40  24 MPa ,

 0 ,  1,

 red max (Mohr )  32 MPa. c) A tengely legnagyobb megengedett fordulatszámának meghatározása, ha a megengedett feszültség  meg  80 MPa :

 red max (Mohr )  0,8 0   meg





 meg 1  ν 

0,1 3  2ν   RK2

2 n 60

 n



 3  2ν   R  2   1  ν  8 K

80 106  0,75  866 rad/s , 0,1  2,5  8 103  0,22



30 

 meg  0,8  0  0,8



30 866= 8269 ford/min . 3,141 177

6.8.3.6. feladat: Gyorsan forgó tengely Adott: A hosszú, tömör, D átmérőjű tengely, amely   állandó szögsebességgel forog. 1 D  6 mm ,   4 : A tengely anyagának sűrűsége:   8 kg/m3 , Poissons tényezője:   1/ 3 , megengedett feszültsége:  meg  110 MPa .

y

y



x

z

D

Feladat: a) A  R    ,      és  z    diagramok megrajzolása. b) A feszültségi tenzor mátrixának meghatározása hengerkoordináta-rendszerben az R1  100 mm sugárral kijelölt körön levő P pontban. c) A feszültségállapot szemléltetése a P pont környezetéből kiragadott elemi kockán. d) A tengely szilárdságtani ellenőrzése a Mohr elmélet szerint. Kidolgozás: a) A  R    ,      és  z    diagramok megrajzolása:   R2 , , RK  ,3 m .    RK2   z  2  0  1  2  

 R  a   0    a  1  0 

 0 

1+2 1+2  0.333   0,714 , 3  2 3  2  0,333

2 

2 2  0,333   0,286 . 3  2 3  2  0,333

 3-2ν   R  2  3,5  8000 1202 =3,5 1,44 107 =5,04 107 N   8 m2 1-ν  8 K R z

A diagram:

2  0

N . mm2



 1

z 0R

A diagramok más alakban:

,   0  5 4



R

a  0

178

1 

1 

0

 z

2  

0

0

i

Redukált feszültségek:

 red         0 1  2  ,

 0 2   0

z

 red       ,714  0 ,

1   0



 red        0 1  1  2  ,  red      ,572  0 .

R

 2   0

b) A feszültségi tenzor mátrixának meghatározása hengerkoordináta-rendszerben az R1  100 mm sugárral kijelölt körön levő P pontban: 8 8 R 2 12 1  R    1  1      5, 4  44,8 MPa, 1  12  2  9 9 RK 3 9  ,714       1  11   5, 4 1    46, 4 MPa, 9    2  z  2  1  1   , 286  5, 4 1    11, 2 MPa.  9 0 0   44,8  F  0 46, 4 0  MPa .  0 0 11, 2 

A feszültségi tenzor:

c) A feszültségállapot szemléltetése a P pont környezetéből kiragadott elemi kockán:

ez z

eR



R

e

d) A tengely ellenőrzése Mohr elmélete szerint:

 red max      z  0  0,714    35,99 MPa 0

6.8.3.7. feladat: Gyorsan forgó tengely

y

y

x



z

D

179

Adott: A hosszú, tömör,   áll. szögsebességgel forgó D átmérőjű tengely. D  4 mm ,

   4MPa ,   8 kg/m3 ,   0,25 . 0

Feladat: a) A  R    ,      ,  z    függvények felírása és a diagramok megrajzolása. b) A Mohr-féle elmélet alapján a redukált feszültség maximumának meghatározása. c) A tengely legnagyobb megengedett fordulatszámának meghatározása, ha a megengedett feszültség  meg  80 MPa . d) Mekkora átmérőjű furat esetén felel meg a tengely az adott  szögsebességre a Mohr elmélet szerint? Kidolgozás: a) A  R    ,      ,  z    függvények felírása és a diagramok megrajzolása:       a  1      z  2  1  2  

 R  a   



R2 , RK2

1 

1+2 1+2  0.25   0,6 , 3  2 3  2  0,25

2 

2 2  0,25   0,2 . 3  2 3  2  0,25

RK  , 2 m

R z



 1 

R

a  0

2  0

1 

0

z



0R

z

2  

0

0

b) A Mohr-féle elmélet alapján a redukált feszültség maximumának meghatározása:

 red max      z  0    1  2   0,8  40  32 MPa . 0

c) A tengely legnagyobb megengedett fordulatszámának meghatározása, ha a megengedett feszültség  meg  80 MPa :

 meg  80 N/mm2  8 105 N/m2 .

 red max   meg

  1  2    meg 0

Rk max 

1  2 

3m  2  2  Rkmax    meg . m 1 8

 meg 8 m  1  106 103  0,3  10 3 1  2  3m  2

  2 f  2 180



n 60



nmax 

30max







max 

1500 3 1  821 . 3,14 min

10 3 1  50 3 . 0, 2 s

d) Mekkora átmérőjű furat esetén felel meg a tengely az adott  szögsebességre a Mohr elmélet szerint? b b  R  a    0  ,    a   1 0  ,  z  2 0 1  B  2  .  



R 1  B



R

 0 z 1

B

1   0 

1

B

 red max     B      2  B   1  B , 0

0

 red max  2   B 1  1     meg , 0

0

 meg  2  80  80  0 1  1   40 1  0,6  A tengelybe furat nem készíthető. B 

0



RB  0 .

0

6.8.3.8. feladat: Gyorsan forgó hüvely A DK külső és DB belső átmérőjű hüvelyt (csőtengelyt) felmelegítve Dt átmérőjű merev tengelyre húzunk, majd lehűtjük. Ekkor a hüvely    Dt  DB  / 2 túlfedéssel illeszkedik a tengelyre. Lehűtés után a szerkezetet forgatni kezdjük. Feltételezzük, hogy a hüvely anyaga lineárisan rugalmas, a tengely pedig tökéletesen merev. Adott: DK  200 2 mm , Dt  200 mm ,

DK

DB

Dt

  0,2175 mm , E  2 105 MPa ,   0,25 ,   8 103 kg/m3 , G

E 2 105   0,8  105 MPa . 2(1   ) 2,5

Feladat: a) A túlfedés következtében a hüvely belső felületén fellépő nyomás meghatározása. b) Mekkora fordulatszámnál lazul meg a hüvely tengelyen, ha a hüvelyt hosszú, gyorsan forgó vastagfalú csőként (csőtengelyként) modellezzük? 181

Kidolgozás: a) A túlfedés következtében a hüvely belső felületén fellépő nyomás meghatározása: 2

R  1 RB  100 mm , RK  100 2 mm ,  K  B   B   .  RK  2 A túlfedésből származó nyomás meghatározása (az álló cső diagramja):

 R 



 b

a

B

  K

1 pB

R

b 

Dt  DB R  uB  RB B  Rt  (  1)  t   B   RB    B  , 2 2G R   t   B    pB    B  . 2G

A túlfedés:  

A csődiagramból:   B    (  1)  2b  pB  2



pB 1  K  pB  pB 1  B 1  K .

 Rt  1   K 1  K  pB  1   pB 2G  1  K 1  K 

A túlfedésből származó nyomás:

pB 

  Rt 1   K (1  2 )  pB     1  K  G  .

 Rt 1   K (1  2 )   G  1  K 

.

b) Mekkora fordulatszámnál lazul meg a hüvely tengelyen, ha a hüvelyt hosszú, gyorsan forgó vastagfalú csőként (csőtengelyként) modellezzük? A forgó hüvely diagramja: b   R  a     0    b     a   1  0      z  2  0 1  B  2    

Peremfeltételek:

1+2 1+2  0.25   0,6 , 3  2 3  2  0,25 2 2  0,25 2    0,2 . 3  2 3  2  0,25

1 

 R    1  0  a  b    0 ,  R    B    pB  a 

182

b

B

   0B .

Feszültségállapot a belső sugárnál:

 R (B )   pB ,  z (B )  2  0 1  B   0,2  0,5    0  0,1    0 ,   pB   (B )    0  (1  B )  0    0 1B . 1  B A forgó cső feszültségi diagramja zsugorkötés esetén:

R z



b b

 0

 R 0

a



 0 z

pB

B

1  0

1

2 0  B  1

1  B

B

1

Lazulásnál: pB  0. Alakváltozási állapot a   B helyen lazulásnál: A

FI 1   E ; F  2G  m 1 

 

   z 1      2G  1 

 

10 105 1,74  0  1,0875 105   0 16

FI      z  2,3  0 ,

2G  E

1 4  2  105  1,6 105 MPa. 1  5

 1  2,3  0 ,   2, 2  0  5   2G 

Lazulás:

  RB  RB  

DB   RB   100  1,0875  105   0 , 2

0,2175  10,875 104   0



   200 N/mm2  2 108 N/m2 . 0

183

  0

l 

3  2  2  RK    2 108 , 1  8

100 6 0,1 2

   2 f  2

 RK  

2

RK   100 6 ,

 0,6 105  6 104 ,

n 30  n  60 

 nl 

3 104 6 1  16 589 . 3,1415 2 min

6.8.3.8. feladat: Gyorsan forgó kettősfalú csőtengely

merev rugalmas D  2 RK

2 RB



Adott: Lineárisan rugalmas anyagú csőre tökéletesen merev csövet húzunk úgy, hogy hézag és túlfedés nélkül illeszkedjenek. Ezután a két csövet azonos  szögsebességgel megforgatjuk. A belső csőre: B  0,5 ,   0  60 N/mm2 ,   0,25 . Feladat: a) A belső csőben fellépő feszültségek eloszlásának jelleghelyes ábrázolása. b) A belső csőre az RK sugárnál átadódó erőrendszer pK sűrűségének meghatározása. c) A Mohr-féle elmélet alapján a belső csőben fellépő legnagyobb redukált feszültség kiszámítása. Kidolgozás: a) A belső csőben fellépő feszültségek eloszlásának jelleghelyes ábrázolása:     b     a   1  0      z  2  0 1  B  2    

R  a 

b

   0

Peremfeltételek:

1+2 1+2  0.25   0,6 , 3  2 3  2  0,25 2 2  0,25 2    0,2 . 3  2 3  2  0,25

1 

 R    1   pK  a  b    0 ,  R    B   0  a 

184

b

B

   0B .



R z

pK



R 0

1  0 z

B

1

0R

    2  0  B  1

B

1

0

b) A belső csőre az RK sugárnál átadódó erőrendszer pK sűrűségének meghatározása: A belső cső külső felületén (  1) a feszültségek:

 R   pK ,  z  2  0 1  B   6 MPa , 

      

0

 2B  pK   1 ,  2B    0  pK   1  0    0  2B  1  1   pK  1  B   1  B 

   60  2  0,6   3 pK  84  3 pK MPa . A belső cső külső felületén (  1) az alakváltozási jellemzők: A

FI 1   E ,  F  2G  1  

2G  E

1 , 1 

FI   R      z   pK  6  84  3 pK  ,

 

 FI 1    2G  1 

2G  1,6 105 MPa .

FI  78  4 pK .

 1  84  3 pK   0,2  78  4 pK  .   2G

  RK       1 

1 84  17,6  2,2 pK  . 2G

u  RK   0  RK   RK  

0  66,4  2,2 pK



pK 

66, 4  31,09 MPa . 2, 2

c) A Mohr-féle elmélet alapján a belső csőben fellépő legnagyobb redukált feszültség kiszámítása: Feszültségek meghatározása a belső cső belső és külső felületén:

  B



   B     0  

pK   1  B     0  1B  0  1  B 

185

  0  2  B  1B   pK

 red  B     (B )  25,71 MPa .

  B

1  B  168  47,43  3  25,71 MPa . 1  B

     1  84  93,3  9,7 MPa ,  z    1  6 MPa

 R    1   pK  31,09 MPa

 red    1   z    1   R    1  25,09 MPa.

 red max  25,71 MPa.

186

6.9. Kör és körgyűrű alakú tárcsák Megoldás: általánosított sík feszültségi állapot.

RB2 . R2 A biharmonikus differenciálegyenlet megoldásával előállított U  U ( R) feszültségfüggvényből formailag a vastagfalú csöveknél kapottal azonos a megoldás a feszültségekre nézve, azonban itt  z  0 . Változó:  

6.9.1. Furatos tárcsa

pK

A feszültségek

 R  a  b     a  b 

pB

A tengelyszimmetria miatt:  R  0.

 z 0 .

RK

Peremfeltételek:  R (  1)  a  b   pB ,

RB

 R (  K )  a  b K   pK .

Az első egyenletből: a  b  pB ,

b

A második egyenletből:

pB

b

A furatos tárcsa diagramja: A tárcsa diagram megszerkesztésének gondolatmenete megegyezik a vastagfalú cső diagramjának szerkesztésével. A tárcsadiagramot a pB  pK esetre rajzoltuk meg. A  R ,   ,  z ebben az esetben is főfeszültségek. Redukált feszültség a diagramból:

 red  Mohr      R , pK  pB . 1  K



pB  pK . 1  K

Visszahelyettesítve: p  pK  pB  1   K  a  b  pB  B 1  K

pK

 red max  Mohr   2

b  pB  b K   pK

 b

i

pB K  pK . 1  K



 red max K

z

1 

pK

R

pB

Ebben az esetben is fennáll az a probléma, hogy a pB  pK terheléskülönbség nem növelhető minden határon túl. Megoldás: növelni kell a pK terhelést – összetett tárcsát kell alkalmazni. 187

6.9.2. Túlfedéssel illesztett összetett furatos tárcsa Túlfedés:    B   K .

pK



Feltételezés:   B , K  B  K . Változó:  

RB

B K

RK

K 

pB

RB2

 B2



RB2 . R2

RB2

K 

,

 K2

RB2 . RK2

Tárcsa diagram:

 R 

A tárcsadiagram megszerkesztése a összetett cső diagramjának szerkesztésével analóg módon történik. Feltételezés: pB  pK .

 belső tárcsa

külső tárcsa

„Peremfeltételek” (ismert értékek):  R ( RB )   R (  1)   pB ,  R ( B  K )   R ( K )   p ,  R ( RK )   R ( K )   pK .

 red max K  aK

K

aB

K



1

Maximális redukált feszültségek: p  p ,  red max B  B 1  K p   pK  red max K   .  K  K K

pK p

R p

 red max B pB

R A túlfedés meghatározása:

Hooke-törvény:

   B  K   B 

  1        R  E   p  

R  B  K



A tárcsa diagramból:  p   pK  K  p  K  K   pB  p   B  2  K  p  1  K  Ezek az R   B   K (   K ) helyen vett értékek.

  K   red max K  p  2

188

.



B E

  K    B 

. R  B  K

6.9.3. Gyakorló feladatok kör és körgyűrű alakú tárcsákra 6.9.3.1. feladat: Körgyűrű alakú tárcsa Adott:

fK

Az állandó b vastagságú tárcsa geometriája és f B és f K állandó sűrűségű megoszló terhelése.

RB  100 mm , RK  100 2 mm , b  4 mm , f B  20 N/mm ,

fB

f K  20 N/mm .

2 RK 2 RB

Feladat: a) Az N R , N felületi feszültségi diagramok megrajzolása a jel-

fB

lemző metszékek számértékeinek megadásával. b) A N legnagyobb értékének meghatározása.

b

c) A Mohr szerinti legnagyobb redukált feszültség kiszámítása. fK

Kidolgozás: a) Az N R , N felületi feszültségi diagramok megrajzolása a jellemző metszékek számértékeinek megadásával: N R  A  B    N  A  B  



Peremfeltételek:

N R ( )  A  B  f B ,

2

RB2 , R2

K 

RB2  1  1   . RK2  2  2

N R ( K )  A  B   f K .

Felületi feszültségi diagram: Ni

 N/mm K f K  20

NR



f

B

 20



1

N red max

A

100

N 140

b) A N legnagyobb értékének meghatározása:

189

N red max f B  f K  2 1  K



N max  Nred max  f B

N red max  2 

40  160 N/mm . 0,5

N max  160  20  140 N/mm .



c) A Mohr szerinti legnagyobb redukált feszültség kiszámítása: N 160  red max   R     red max   40 N/mm2 .  1 b 4





6.9.3.2. feladat: Körgyűrű alakú tárcsa Adott:

fK

Az állandó b vastagságú tárcsa terhelése: f B  50 N/mm és méretei: f K  20 N/mm , RB  100 mm , b  5 mm , RK  200 mm .

fB 2 RK 2 RB

Feladat: a) A peremfeltételek felírása. b) Az N R , N felületi feszültségek diagramjának megrajzo-

fB

b fK

lása a jellemző metszékek számértékeinek megadásával. c) A   értékének meghatározása az R  RB és R  RK helyen. d) Az R  RB helyen fellépő felületi feszültségállapot szemléltetése az elemi négyzeten.

Kidolgozás: a) A peremfeltételek felírása:



R2 RB2 ,   B2  0, 25 2 R RK

Peremfeltételek: R  RB    1

R  RK     K

N R  f B  50 N/mm . N R  f K  20 N/mm .

b) Az N R , N felületi feszültségek diagramjának megrajzolása a jellemző metszékek számértékeinek megadásával: N R  A  B    N  A  B  

NR

N

NR fB

fK

A

 1

 K  0, 25 N

c) A   értékének meghatározása az R  RB és R  RK helyen: 190

f B  f K N  f B  1  K 2



N   1  50 N/mm , f B  f K N  f K  1  K 2 K

N    K   0,

N   1  2

  (  1) 

 N  K   2 K

  ( K ) 

fB  fK 30  4  fB  2  50 . 1  K 3

N (  1) b

 6 N/mm2 .

fB  fK  f  20  20  0 . 1  K  K

N ( K ) b

 0.

d) Az R  RB helyen fellépő felületi feszültségállapot szemléltetése az elemi négyzeten:  NR 0  N  R  RB      0 N 

eR

NR

N

e

6.9.3.3. feladat: Körgyűrű alakú tárcsa Adott: fK

A b  4 mm vastag tárcsa f B  60 N/mm és f K  30 N/mm terhelése, a furat RB  80 mm belső sugara és a tárcsa anyagának megengedett feszültsége:  meg  60 MPa .

fB 2 RK 2 RB

Feladat: a) A peremfeltételek felírása. b) Az N R , N felületi feszültségi diagramok jelleghelyes megraj-

fB

b

zolása. c) A tárcsa RK külső sugarának meghatározása.

fK

Kidolgozás: a) A peremfeltételek felírása: R2 R  RB   1   B2 R R  RK    K 

NR  fB , NR   f K .

b) Az N R , N felületi feszültségi diagramok jelleghelyes megrajzolása:

191

N R  A  B   N  A  B   Nz  0 

Ni

fK

f

NR

K



Nz  0

B



1

N c) A tárcsa RK külső sugarának meghatározása: N red max f B  f K .  2 1  K

 red max   meg . 2

192

fB  fK 1    meg 1  K b

RK 

RB f  fK 1 2 B  meg b



RB 90 1 2 60  4



RB 0, 25

 160 mm .

6.10. Gyorsan forgó kör és körgyűrű alakú tárcsák 6.10.1. Gyorsan forgó furatos tárcsa pK Kiinduló feltételezések:

pB

-   állandó , - súlyerő  0 . - A pB és a pK más, a tárcsához kapcsolódó alkatrész hatását modellezi. R2 Változó:   2 . RK

RK

RB

 b

Feszültségek:     , b    a   3  0     

pB

R a 

b

  0

0 

3    

8

 RK  

2

,

3 

1  3 . 3 

pK Peremfeltételek:

R  RB , R  RK ,

   B  ,  R  pB ,    1 ,  R  pK .

A forgó tárcsa diagramja:

R

 h

b

b hR

a

R  0

pB

B



pK

1

3  0 1

B

1  B A diagram szerkesztésének gondolatmenete megegyezik a gyorsan forgó csőtengely diagramjának szerkesztésénél leírtakkal. A redukált feszültség maximuma Mohr szerint:

 red max  Mohr     B   0  2  B   3 0 B . 193

6.10.2. Gyorsan forgó tömör tárcsa Tömör tárcsa: R  RB  0  B  0  .

Tapasztalat: R  0,    0  -nál is véges nagyságúak a feszültségek Feszültségek:  R  a   0  ,     a  3  0  . Peremfeltétel:  R    1  pK .

R



b 0 .



pK

a

R

  0

3  0  1

A redukált feszültség maximuma Mohr szerint:  red max  Mohr       0   a   0  pK . 6.10.3. Gyorsan forgó egyenszilárdságú tömör tárcsa Kérdés: Milyen b  b  R  tárcsavastagsággal érhető el a  R     0  állandó feltétel teljesülése? A forgó tárcsa térfogati terhelése: qR    2 R . Egyensúlyi egyenlet ÁSF esetén henger koordináta-rendszerben: d  R b 

 R     b  b q

R  0. R A  R     0  állandó , illetve a  R     0 feltétel teljesülését akarjuk elérni!

dR

0



db  b qR  0 , dR

db  2  Rb0 . dR 0

Ez egy szétválasztható típusú differenciálegyenlet.

K  áll. A differenciálegyenlet megoldása:

db   K R dR . b b R db   K R dR , ahol b0 a tárcsavastagság az R  0 helyen. Mindkét oldalt integrálva: b b R 0 Átrendezés után:

 0

194



Az integrálást elvégezve: ln

b   K R2 b0

 b  b  R   b0 e



K 2 R 2

.

Ez az egyenszilárdságú gyorsan forgó tömör tárcsa meridián görbéjének egyenlete. A görbe inflexiós pontjának megkeresése: Az első derivált:

db   b K R , dR

A második derivált:

d 2b d b   K R   b K  b K 2 R2  b K  b K 2 R2  K  0 . dR 2 dR





K

Az átalakítás során felhasználtuk, hogy

 R2  K  db  b0 e 2 2    R   b K R . dR  2

A görbe inflexiós pontjában a második derivált nulla: 0 1 d 2b Ri   az inflexiós hely sugara.  KR 2  1  0 ,  2 K  2 dR 0

A megoldás az R   esetre érvényes. A megoldást úgy használjuk, hogy a tárcsát az RK -nál elvágjuk és itt működtetünk egy pK  0 felületi terhelést.

RK Ri

Gyakorlati példa: Gázturbina forgórésze modellezhető így. A pK  0 a lapátozás forgás következtében fellépő hatása.

b0 6.10.4 Gyakorló feladatok gyorsan forgó kör és körgyűrű alakú tárcsákra 6.10.4.1. feladat: Gyorsan forgó körgyűrű tárcsa pK

RK RB

pB

pB b0

pK



Adott: Az ábrán látható  szögsebességgel gyorsan forgó furatos tárcsa anyaga, geometriája és szögsebessége: E  2 105 MPa ,   1/ 3 ,   8000 kg / m3 , b0  20 mm , RK  200 mm , RB  100 mm ,   300 rad / s , pK  pB  0 . Feladat: a) A gyorsan forgó tárcsa diagramjának megszerkesztése. b) Az R  RK helyen levő P pontokban a feszültségi tenzor mátrixának felírása az R,  ,z hengerkoordináta-rendszerben. c) A tárcsa szilárdságtani ellenőrzésének elvégzése Mohr szerint, ha a megengedett feszültség  meg  80 MPa . d) A tárcsa belső átmérője  DB megváltozásának kiszámítása. 195

Kidolgozás: a) A forgó tárcsa diagramjának megszerkesztése: RB2  100  3ν+1 3  (1/3)+1 = =0,6 .    0,25 , 3  2 3+ν 3+(1/3) RK  200  2

B 

 0 

 3 +   

8

 RK  

 3+0,33  8 10  0,2  300 0,33  8 3

2



2



R

Feszültségek:     b     a   3  0     z  0   

R a 

b

 36  106 Pa  36 MPa .

   0

b



b

Peremfeltételek:

 R (  B )  pB  0 ,

R

a

0 3  0

 R (  1)  pK  0 . B

1

1

B

1  B

b) Az R  RK helyen levő P pontokban a feszültségi tenzor mátrixának felírása az R,  ,z hengerkoordináta-rendszerben:

 R (  1)  pK  0 ,   (  1)    0 1  2B  3   36  0,9  32,4 MPa ,  z (  1)  0 . 0 0 0   F   0 32,4 0  MPa.  P   R z 0 0 0 

c) A tárcsa szilárdságtani ellenőrzésének elvégzése Mohr szerint, ha a megengedett feszültség  meg  80 MPa .

 red max     B  =   0  2  B  3B  = 36  2,1 = 75,6 MPa .  red max  75,6 MPa   meg  80 MPa , ezért a tárcsa szilárdságtani szempontból megfelel. d) A tárcsa belső átmérője  DB megváltozásának kiszámítása:

 1   1 1          .  2G  1  E  2 G 1  2R 200 DB  2RB  B    B   32,4  3,24  102 mm = 32,4  m . E 2 105

A Hooke-törvény szerint:  

196

6.10.4.2. feladat: Gyorsan forgó furatos körtárcsa pK

Adott: Az ábrán látható állandó fordulatszámmal gyorsan forgó furatos tárcsa méretei, anyaga és fordulatszáma:   0,33 ,   7800 kg / m3 , RK  200 mm , RB  20 mm , n  3000 ford/min , pK  pB  0 .

RK pB

RB



Feladat:

pB

a) A  R    és a      függvények meghatározása.

b0

b) A  R    feszültség maximumának meghatározása. c) A furatos tárcsa megengedett legnagyobb fordulatszámának meghatározása, ha  meg 100 MPa .

pK

Kidolgozás: a) A  R    és a      függvények meghatározása: RB2  20  2 1 3ν+1 3  (0,33)+1 n  314, 2 = =0,598 ,      0,01 , 3  2 60 s 3+ν 3+(0,33) RK  200  2

B 

0 

 3 +   

8

 RK  

2



 3+0,33  7,8 103 0,33  8

 0,2  314,2 

2

 38,85 106 Pa  38,85 MPa .

Az átlagos feszültségek: b b  R  a     0  ,    a   3  0 ,  z  0 .





Peremfeltételek:

b  0,01   0 , 0,01

 R (  B )  pB  0



a

 R (  1)  pK  0



a  b  0 .

 R     39,25 

3,89



b

0

 3,89 MPa, 100 a  1,01   0  39, 25 MPa. A peremfeltételekből meghatározott a,b paramétereket az átlagos feszültségekre felírt öszszefüggésekbe helyettesítve:

Az egyenletrendszer megoldása:

 38,85 ;       39,25 

3,89



 23,23 ;  z  0.

b) A  R    feszültség maximumának meghatározása: Szélsőérték ott van, ahol a  R    függvény deriváltja zérus:

d R    3,89  2  38,85  0 ,    0,3164 (a negatív gyöknek nincs fizikai tartalma). d  197

 R max   R    0,3164   39,25 

3,89  38,85  0,3164  14,67 MPa . 0,3164

c) A furatos tárcsa megengedett legnagyobb fordulatszámának meghatározása, ha  meg 100 MPa :

 red max     B  =  2  B  3B   0max = 2,004   0max =  meg  100 MPa , 100  49,9 MPa . 2,004

  0max = 0 

 3 +   

nmax  max

8

 RK  

2

 max 

8  0 max

 3 +   RK2



8  0,33  49,9 106 1  356 . 3,33  7800  0,04 s

60 ford .  3400 2 min

6.10.4.3. feladat: Gyorsan forgó tömör körtárcsa Adott: A D átmérőjű tömör tárcsa, amely   állandó szögsebességgel forog. D  100 mm , b0  10 mm ,   8000 kg / m3 ,   1/ 3 ,   0  30 MPa .

b0



D

Feladat: a) A  R    ,      függvények meghatározása. b) A  R    ,      diagramok megrajzolása. c) A Mohr-féle redukált feszültség maximumának meghatározása. d) A tárcsa legnagyobb szögsebességének kiszámítása, ha a megengedett feszültség:  meg  140 MPa .

Kidolgozás: a) A  R    ,      függvények meghatározása:     0    b    a   3  0     

R a 

b





R2 , RK2

3 

1+3ν 1+3  0,3333 = =0,6 . 3+ν 3+0,3333

Az állandók meghatározása a peremfeltételekből:

 R    1  0  a    0

 a    0  30 MPa .

 R    0  véges  b  0 . b) A  R    ,      diagramok megrajzolása:

198

Feszültségi diagramok:

A feszültségeloszlás függvények:

i

 R       0 1     30 1     MPa  ,

        0 1  3   30 1  0,6  MPa ,

 0

R z

  0 1  3  

1

0

 z    0 .

c) A Mohr-féle redukált feszültség maximumának meghatározása: A fenti tárcsa-diagramról leolvasható, hogy a legnagyobb- és a legkisebb főfeszültség közti különbség a   0 helyen, vagyis a tárcsa középpontjában lép fel.

 red max  Mohr    R    0   z    0    0  30 MPa . d) A tárcsa legnagyobb szögsebességének kiszámítása, ha  meg  140 MPa : A Mohr-elmélet szerint a tárcsa szilárdsági szempontból akkor megfelelő, ha a Mohr-féle redukált feszültség sehol sem haladja meg a megengedett feszültséget:

 meg   red max  Mohr     0 A 0 

max

 3 +  

 RK  

2



  0  140 MPa .

összefüggésből a maximális szögsebesség meghatározható:

 8 8   0 8 3 140 106 1 60max ford    2366 ,  nmax  .  22600 2 3    RK 10 3 8000  0,0025 s 2 min

6.10.4.4. feladat: Gyorsan forgó furatos körtárcsa

RK

Adott: Az ábrán látható  szögsebességgel gyorsan forgó furatos tárcsa anyaga, külső sugara és megengedett feszültsége: E  2 105 MPa ,

  1/ 3 ,   8000 kg / m3 , RK  200 mm ,  meg  80 MPa . RB

 b0

Feladat: a) A forgó tárcsa diagramjának megrajzolása. b) Annak vizsgálata, hogyan függ a maximális fordulatszám a furat átmérőjétől.

Kidolgozás: a) A forgó tárcsa diagramjának megrajzolása:

199

3 +   10 3  8 103   3ν+1 3  (1/3)+1 2 2 0  = =0,6 .  RK     0,2     400 2 , 3 



1 38

8

3+ν

Feszültségek:

Peremfeltételek:

    0 ,    b     a   3  0  ,     z  0.   

 R (  B )  pB  0 ,

R  a 

b

3+(1/3)

 R (  1)  pK  0 .

A forgó furatos tárcsa feszültség eloszlási diagramja:



R

b



b

R

a

B

0 3  0 1

1

B

1  B b) Annak vizsgálata, hogyan függ a maximális fordulatszám a furat átmérőjétől: A tárcsadiagramról leolvasható, hogy a Mohr-féle redukált feszültség maximális értéke:

 red max     B    z  B  =   0  2  B  3B   0 = 400 2  2  0,4B 

MPa  .

A fordulatszám csak addig növelhető, amíg a redukált feszültség el nem éri a megengedett feszültséget: 2  meg  80 MPa =  red max max  = 400max  2  0,4B  .

RB2 RB2 2   25RB2  6, 25DB2 és   n összefüggéseket: 60 RK2 0,04

Figyelembe véve a B 

 2  80 10 = 400  nmax   2  0, 4  6, 25DB2   60  2

6



nmax 

A képletbe a furatátmérőt méterben kell behelyettesíteni. 200

 ford   . 2  2,5D  min  4271

2 B

Az nmax  nmax ( DB ) függvény a jobb oldali ábrán látható:

6.10.4.5. feladat: Gyorsan forgó furatos körtárcsa Adott: Az  szögsebességgel gyorsan forgó furatos tárcsa geometriája, anyaga és terhelése: kg 1 DK   mm , DB  40 mm ,    3 , n   , m min    .

RK RB

 b0

A forgásból származó és az anyagra jellemző állandók:

  

1  3 1,9 3  2   ,5757 . 8  RK    12,71 MPa , 3  3   3,3 8

Feladat: a) A  R ,   feszültségek meghatározása. b) Legfeljebb milyen szögsebességgel foroghat a tárcsa, ha  meg  ΜPa ? Kidolgozás: a) A  R ,   feszültségek meghatározása: A feszültségeloszlás:

Peremfeltételek:

    b    a   3       

R a

 R    1  a   R  B   a 

b



b

B

b

   



      ,

    B   .

R2 . RK2

a  b     0 , 

b    

b

B

    B   .

Az első egyenletből: a  b      Pa . Ezt behelyettesítve a másodikba: b     

b

B

    B   ,  b

B  1     1  B    . B 201

Ebből:

a  b      Pa .

b     B   ,

A feszültségeloszlás, tárcsadiagram:



R

b



b

R

a

B

0 3  0 1

1

B

1  B

Jellemző feszültségek:      1  5,7 MPa ,    B    MPa .

 R max   d R ,127   12,7    ,1   R max  Pa . d 2 b) A tárcsa lehetséges legnagyobb szögsebessége, ha  meg  ΜPa : A tárcsadiagramból:  red max     B       2  B   3  B      2  B  3B  . Méretezés:  red max   meg .

  

max  nmax 

 meg    49,61 MPa 2  B  3B 2, 157 8 1 8 49,61 16 1 1    621 . 3   RK 3,3 78 , 2 s

6max 6  621 1   5,932 . 2 6,28 min

6.10.4.16. feladat: Gyorsan forgó tömör körtárcsa Adott: A forgó tömör tárcsa geometriája, fordulatszáma és anyaga. kg 1 D   mm ,    3 , n   ,    . m min Feladat: a) A  R ,   feszültségek meghatározása. 202

b) Milyen fordulatszámnál megy tönkre a tárcsa, ha  meg   ΜPa ? Kidolgozás: a) A  R ,   feszültségek meghatározása: R   -nál  R ,    

 b.

 R  a      

  

 , ahol    a  3    

1  3 1,9 3  2   ,5757 .   RK   , 3  3   3,3 8

2 n 1 D  314,15 .  , 2 m ,   6 s 2 3,3 2  78  ,2  314,15  12 71 431,64 Pa . 8  12,71 MPa .

RK 

 

 

 R    1    a     , Peremfeltétel: Feszültségek_   R     1     12,7        1  3  R

a      12,71 MPa .  12,7 5,39



 1

b) A megengedett maximális fordulatszám meghatározása:   Mohr elmélet:  red max  Mohr     1   3    meg .   

 red max   R                    meg . 3   2 nmax   RK2     meg . 8  6  2

nmax 

F 8 6 24  8 6 1  13 1 . 2 min  3    RK 2 3,3  78  , 4 6, 283

6.10.4.7. feladat: Merev tengelyre szerelt gyorsan forgó furatos körtárcsa Adott:

h merev tengely 

RK RB

A merev tengelyre  túlfedéssel szerelt tárcsa méretei és anyagjellemzői: RB   mm , RK   mm , h   mm , kg   2 mm ,    3 ,    , E   11 Pa . m

203

Feladat: a) Annak az max szögsebességnek a meghatározása, amelynél a tárcsa „lelazul” (megszűnik a túlfedés). b) A feszültségek meghatározása ebben a „lelazulási” esetben. c) Milyen p nyomás lép fel a tárcsa és a tengely között, ha nem forog a tengely? d) Mekkora axiális erő szükséges a tárcsa lehúzásához, ha   ,25 ? e) Melyik állapot, a gyors forgási, vagy a nyugalmi állapot a veszélyesebb? Kidolgozás: a) Annak az max szögsebességnek a meghatározása, amelynél a tárcsa „lelazul” (megszűnik a túlfedés): 2 1  3 1,9 R2 RB2  1    ,5757 .   2 , B  2     , 1 , 3  3   3,3 RK RK  1       ,  3  2    RK   .  , ahol     b 8    a   3     .  

R a Feszültségek:

b



 R    1    a  b  

  Peremfeltételek a lazuláskor:   a  b    . b  R  B     a      B  B  Az állandók meghatározása: b

b

B

        B  b

B  1    B 1  B   b    B , B

a     1  B  .

RB R    B   B    1  B   1  3B  . E E    1  3  B 

A túlfedés:

  R B   B  

Ebből:    

E  3  E  2  RK2 max  , illetve . R B   1  3  B 8 R B   1  3  B

max 

1 RK

E 8  1 8 2 16 2 15 .    R B 3     1  3  B , 2 3,3 78  , 2   1  ,57 1 1 s

max   . b) A feszültségek meghatározása ebben a „lelazulási” esetben: 3  3,3 2  RK2 max   78  ,22  881,52  1 5 337,6 Pa . 8 8  1 MPa .

  

  204

Az állandók meghatározása: a  b     1  B  1 MPa , b    B  1 MPa . Feszültségek a külső és belső sugárnál:

 R    1  a  b         1  B     B       .  R  B   a 

b

   B     1  B         B   .

B

     1  a  b  3       1  B     B  3        1  B  3   1 1     5757    Pa .

   B   a 

b

B

 3  B     1  B       3  B 

    1  B  3B   1 1   575   Pa . c) Milyen p nyomás lép fel a tárcsa és a tengely között, ha nem forog a tengely? Feszültségeloszlás álló tárcsa esetén:

 R  a  b  

RB2  , ahol   2 . R    a  b  

 R  K     a  b  K 

Peremfeltételek:

,  R   1   p  a  b 

i a

 Ebből:

p

RB E

  red max

z

K

  R B     1 

RB2   . RK2



1

R A túlfedés:

K 

p

RB    R  .  1 E 

 p  R  1  K  2  p  p   B p    .  1   K  E  1  K 

E 2 16  2 15   151,5  16 Pa  152 MPa . 1,  1  1  K     ,3  RB     , 2   ,99    1  K 

d) Mekkora axiális erő szükséges a tárcsa lehúzásához, ha   ,25 ? Fax   p 2R B h  1,9 15 N  19 kN .

e) Melyik állapot, a gyors forgási, vagy a nyugalmi állapot a veszélyesebb?

205

2p   Pa . 1  2  red max forgó     B   Pa .

 red max alapján dönthető el:  red max  álló  A nyugalmi állapot a veszélyesebb.

6.10.4.8. feladat: Merev tengelyre szerelt gyorsan forgó furatos körtárcsa

merev tengely 

RK

R1

Adott: A vázolt h vastagságú tárcsát  túlfedéssel szerelik a merev tengelyre. A tárcsa kerületén sűrű lapátozás van. A lapátok együttes tömege m1 és súlypontjuk az R1 sugárra esik. Ismert a tárcsa geometriája és anyaga: RB  mm , RK  mm , R1  mm , h   mm ,

RB

m1  1,5 kg ,   

h

kg , E   11 Pa ,    . 3 m

Feladat: a) Milyen  túlfedés kell ahhoz, hogy a tárcsa   1000 1/ s szögsebesség esetén lazuljon le a tengelyről? b) Mekkora p nyomás lép fel a tárcsa és a tengely között összeszerelés után, ha   0 ? c) Tönkremenetel (törés) szempontjából melyik állapot a veszélyesebb? Kidolgozás: a) Milyen  túlfedés kell ahhoz, hogy a tárcsa   1000 1/ s szögsebesség esetén lazuljon le a tengelyről? A lapátozásból származó kerületi (felületen megoszló) terhelés: pk 

m1 R1 2 2 RK  h



1,5  0,135 10002  13, 429  103 Pa=13,44 MPa . 2  0,12  3,1415  0,02   R2 3  2  , ,        RK   .  2 b RK 8    a   3       

R a Feszültségek:

b

   

 R    1  p  a  b     ,  Peremfeltételek lazuláskor:

206

   R  B   a      B .  B  b

Tárcsa diagram:

R



b



b



pK

R

a

a

 0 B Állandók meghatározása:

1

tg  a



0



1  B

 pK    0 B 1  B

3   0 B

1

,

  0 1  B   pK   0 1  B   pK    0 B , b  B . 1  B 1  B

1  3 1,9 R 2  15  3  B  2B     15,63 10 , 3  3    3,3  ,5757 . R K  120  2

Az állandók kiszámítása:

  

3  3,3  RK2  2   7860  0,122  106  46,688  106 Pa=46,688 MPa , 8 8

tg 

  0 1  B   pK  60,33 MPa , 1  B

a  tg    B    3  61,06 MPa , b  tg  B  60,33 15,63 103  0,943 MPa .

Túlfedés:

  R B  B   

Feszültségek:

 RB R  b    B   B  a   3  B   E E  B 





15 61,06  60,33  0,576  46,688 15,63 103  9,1 103 mm . 5 2 10

 B  B    ,

 R    1  p K  13,44 MPa ,

   B  Pa ,

     1  35,1 MPa .

b) A tárcsa és a tengely között összeszerelés után fellépő p nyomás meghatározása, ha  0 : Feszültségeloszlás nyugalmi helyzetben:

 R  a  b  ,  

   a  b  .  207

Peremfeltételek:

  R B    1  Ebből:

p

 R  K     a  b  K ,    R   1  p  a  b. 

 K  B  15,63 103 .

 1  K  RB R    R   B p    .     1 E E  1  K 

E 2 111  9,1 1   87, 44  16 Pa  87,44 MPa .  1  K   1, 156   ,3  RB     ,    ,984   1  K 

c) Tönkremenetel (törés) szempontjából veszélyesebb állapot meghatározása: Ez a kérdés a  red max alapján dönthető el: Gyors forgás:

 red max f     B  Pa .

Nyugalmi állapot:

 red max á  

p 87,44   Pa . 1  K 1  0,0156

A nyugalmi állapot a veszélyesebb. 6.10.4.9. feladat: Szakaszonként állandó vastagságú gyorsan forgó furatos körtárcsa

b2

1

f1 2

RK

f1

3  0,6 , N 0  b1  0 , f B .

R1 RB



b1

Adott: A szakaszonként állandó vastagságú, gyorsan forgó tárcsát belső palástján állandó f B sűrűségű, vonal mentén megoszló erőrendszer terheli B  0,25 , 1  0,5 , b2  2b1 ,

fB

Feladat: a) Az N R    , N    felületi feszültségi diagramok jelleghelyes megrajzolása. b) Az N R    és N    függvényekben szereplő állandók értékének meghatározása peremfeltételekből. c) Az f1 sűrűség értékének kiszámítása illesztési feltételekből. Kidolgozás: a) Az N R    , N    felületi feszültségi diagramok jelleghelyes megrajzolása: A tárcsát az R1 sugárnál két körgyűrű tárcsára, az 1 és 2 jelű tárcsára bontjuk. Az 1 és 2 jelű tárcsa egymásra gyakorolt hatását az f1 vonalmentés megoszló (belső) erőrendszerrel vesszük figyelembe.

208

NR

N

2

2

1

1

N

f1 NR fB

B

N

2N 0

NR

f1

2 3 N 0

N 0

1

3 N  0 B

 

B

1

1

1

1

B 1

b) Az N R    és N    függvényekben szereplő állandók értékének meghatározása peremfeltételekből: Felületi feszültségek:

Peremfeltételek:

   1. tárcsa:  B N1  A1  1  3 N 0     B  N R 2  A2  2  2 N 0     2. tárcsa:  B2 N 2  A2   2 3 N  0     N R1  A1 

B1

N R1    1  0    N R1    1   f1  

 N 0 

N R 2    1   f1    N R 2    B   f B  

Az állandók meghatározása a peremfeltételekből: 1. jelű tárcsa peremfeltételei: 0  A1  B1  N 0

  f1  A1  2 B1  0,5 N 0 

3 N 0  f1 . 2 N A 2. egyenletből: f1  B1  2B1  0,5N 0 , B1   0  f1 . 2 2. jelű tárcsa peremfeltételei: 1 f B  A2  4 B2  2 N 0 4 1 1 f1  A2  2B2  2 N 0 / 2  B2   A2  f1  N 0  . 2 2

Az 1. egyenletből:

f B  2 f1   A2

A1  B1  N 0 ,

A1 

B2  0,5  f1  f B  N 0 

 A2  2 f1  f B

c) Az f1 sűrűség értékének kiszámítása illesztési feltételekből: Illesztési feltétel:

u1 1  u2 1



R1 1 1  R1  2 1

209

   1  f1    2  f1  2G   1    2G    2    1   1      1 1

Hooke törvény: u1 1  u2 1



 1 1    2 1 - ez a feszültségekre vonatkozó illesztési feltétel.

 f  N1 1   N 0  1  1  1   N 0 1  31   2,2 N 0  3 f1 . 1  1    f  fB  N 2 1   2 N 0  1  2  2 N 0 1  f1  2 N 0 31  1  B  B 

 2 N 0   2B  1  31  

f1 2B .  2B  1  f B 1  B 1  B

N 2 1  1,4 N 0  3 f1  2 f B

Illesztési feltétel a feszültségekre: Behelyettesítve:

N1 b1

 1

N 2 2b1

1

 2 N1 1  N 2 1

4,4 N 0  6 f1  1,4 N 0  3 f1  2 f B 3N 0  2 f B  9 f1 1 2 f1  N 0  f B 3 9

6.10.4.10. feladat: Merev tengelyre túlfedéssel illesztett gyorsan forgó furatos körgyűrű tárcsa

DK

DB

Dt

b0



Adott: Állandó b0 vastagságú tárcsát felmelegítve a Dt átmérőjű tengelyre húzunk. A lehűtés után a tárcsa    Dt  DB  / 2 túlfedéssel illeszkedik a tengelyre. Ekkor a szerkezetet forgatni kezdjük. b0  8 mm , DK  400 mm , DB  200 mm ,   0,021 mm . Feltételezzük, hogy a tárcsa anyaga lineárisan rugalmas: E  2 105 MPa ,   1/ 3 ,   8 103 kg/m3 , a tengely pedig tökéletesen merev. R2 1 B  B2  . RK 4

Kérdés: Mekkora fordulatszámnál lazul meg a tárcsa a tengelyen? Kidolgozás: Lazulás feltétele: DB  2 .

210

   b     a   3   0      z 0  

R a Feszültségeloszlás:

b

   0



Feszültségi diagram: NR

N 1  B



R  0

3   0

z

B

 

1

B

1

   B     0  2  B     0 3B    0 2  B 1  3  .

   B  

1    B  ; E

DB    B  . E

DB  B   2 .

Lazulási feltétel:

 0 

DB  2n  B   2RB    B  

2 E 4, 2 102  2 105   40 N/mm2 = 40 106 N/m2 . 100  2  0,1 DB  2  B 1  3 

  0   3  



 R    4 10 8 2

K

 RK  

2

7

.

 0,3  4 104 .

RK   100 1,2  109,54 .

   2 f 

109,54 1  273,86 . 0, 4 s

2 n, 60

n

30





30  273,86 1  2615,26 . 3,14 min

211