Tengelyek lehajlásának számítása Oktatási segédlet

0

Németh Géza adjunktus

Tengelyek lehajlásának számítása Oktatási segédlet

Miskolci Egyetem Gép és terméktervezési Intézet

Miskolc, 2014. március 20.

-1Tengelyek lehajlásának számítása A tengelyeket kéttámaszú tartóként modellezve, és a szuperpozíció elvét alkalmazva a következő eseteket vizsgáljuk Tengely terhelése a támaszközben koncentrált erővel

1. ábra A támaszközben terhelt tartó a koordináta rendszerrel Tengely terhelése a konzolon koncentrált erővel

2. ábra A konzol végén terhelt tartó a koordináta rendszerrel Mindkét terhelési esetben az 1. és 2. pontban meghatározható a tartó x irányú lehajlása és a tartó szögelfordulása, azaz x1, x2, 1 és 2, mint a z koordináta függvénye. Ezekből számítható egy-egy kitüntetett pontban a tengely lehajlása és szögelfordulása, így x_F, _F, _A és _B. Ha a tartóra egyidejűleg a konzolon és a támaszközben is hat erő, akkor az eredő lehajlás függvény a szuperpozíció elve alapján a fenti két terhelési esetből nyert függvények előjeles összege lesz. A továbbiakban a tengely rugalmas vonalát Castigliano tétele szerint számítjuk. Statikailag határozott szerkezet és prizmatikus rúd esetén ugyan egyszerűbb a rugalmas szál differenciál egyenletének megoldásával eredményre jutni, de a Castigliano tétel sokkal általánosabban használható, ezért itt ennek a módszernek a használatát mutatjuk be. A hajlítás során a külső erők munkája és a felhalmozódó alakváltozási energia megegyezik. Castigliano tétele szerint a szerkezet alakváltozási energiájának egy adott erő vagy erőpár szerinti parciális differenciálja egyenlő a szerkezet adott pontjának az adott erő vagy nyomaték irányú elmozdulásával illetve elfordulásával. U U ui  , illetve i  . (1) M i Fi A szerkezet tetszőleges pontjában az elmozdulás vagy szögelfordulás tetszőleges irányú vetületét számíthatjuk, ha a keresett helyen a keresett elmozdulás irányban felveszünk egy (tetszőleges nagyságú) Q erőt, vagy a keresett szögelfordulás irányban felveszünk egy (tetszőleges nagyságú) Q nyomatékú erőpárt, és ezzel együtt állítjuk elő a szerkezet belső energiáját, majd Q szerint differenciáljuk azt, a végén pedig a Q=0 helyettesítéssel nyerjük a keresett elmozdulás vagy szögelfordulás összetevőt. Q-t általánosított erőnek (erő vagy erőpár lehet), q-t pedig általánosított elmozdulásnak (elmozdulásnak vagy szögelfordulásnak) nevezzük. Ha olyan pontban kell kell elmozdulást

-2vagy szögelfordulást számolnunk, ahol eredetileg nem működött erő vagy erőpár, akkor a bevezetett általánosított erő és általánosított elmozdulás segítségével a Castigliano-tétel U (2) q Q Q 0 alakú lesz [1]. Az igénybevételek a rúdban az eredeti erőrendszerből (nullás index jelzi), és a rúdra pótlólagosan ráhelyezett Q általánosított erőből (és támasztó erőrendszeréből) állnak.

M h  M h0  Q  m ,

(3)

ahol

m

M hQ

(4) Q viszonyított igénybevétel (itt viszonyított hajlítónyomaték). Az m mértékegysége mm, ha Q erő, és mértékegység nélküli, ha Q erőpár. Ha csak a hajlításból származó alakváltozási energiát tekintjük mértékadónak, az alakváltozási energia M h 0  Q  m2 (5) U  ds 2 I  E ( L) alakban írható. Ebből a (2) szerint az általánosított elmozdulás

q

M h 0  Q  mm U   ds Q Q0 ( L ) IE

 Q 0

M h0  m ds , IE ( L)



tehát

q

M h0  m ds . IE (L)



(6)

Prizmatikus és homogén izotrop rudak esetén A másodrendű nyomaték és a rugalmassági modulusz kiemelhető az integráljel elé, így a következőkben használatos 1 (7) q M h 0 m ds I E (L ) alakot nyerjük. Az 1. és 2. ábra jelöléseivel az egyenes tartó elmozdulását az eredeti igénybevétel és a viszonyított igénybevétel szorzatának a z szerinti integrálja segítségével nyerjük, azaz 1 (8) q M h 0 z  mz  dz . I E (L ) A támaszközben koncentrált erővel terhelt egyenes rúd alakváltozása Tekintsük az 1. ábra szerinti tartót, és képezzük a (8) egyenlet nyomaték függvényeit. A 3. ábra mutatja az eredeti terheléshez tartozó M h 0 z  nyomaték változását z mentén, továbbá az 1. és 2. jelű pontokban ható Q általánosított erőkhöz tartozó viszonyított igénybevételeket. A mértékegység nélküliek az erőpárhoz, a hosszúság [m] egységűek az erőhöz tartoznak. Az általánosított erő irányítottságát mindenhol az x koordináta pozitív irányban, illetve a jobbsodrású koordináta rendszer pozitív forgásirányában vettük fel, és ennek megfelelően

-3rajzoltuk meg az eredeti terhelésű tartó igénybevételi ábráit, illetve a viszonyított igénybevételek ábráit.

3. ábra A tényleges erőrendszer nyomatéka és a viszonyított igénybevételek, a támaszközben terhelt tartó esetén A támasztó erőrendszer a statikai egyenletekkel számítható, a nyomaték és viszonyított nyomaték függvények pedig egyenesek egyenletei. Egyenesek, hiszen a terhelések koncentrált erők vagy koncentrált erőpárok. Az egyenes egyenlete, két pontjának ismeretében az x  x0 z  z 0  x  x0  1 (9) z1  z 0 egyenlettel írható le, ahol x helyére a nyomaték vagy a viszonyított nyomaték (független változó) kerül, két ismert pontja pedig P0 és P1 . Az A és B ponti támaszerőket, továbbá a nyomaték függvények 1. és 2. szakaszainak egyenleteit az 1. táblázatban foglaltuk össze. A lehajlás függvényei a támaszközben terhelt tartón, a (8) egyenlet és az 1. táblázat szerint számíthatók. A nyomaték függvények csak szakaszonként folytonosak, ezért szakaszonként kell elvégezni az integrálást. A szakaszok a 3. ábra segítségével jelölhetőek ki. Más függvény fogja leírni a tengely lehajlást és tengely szögelfordulást az erőtől balra, és az erőtől jobbra.

-41. táblázat A támaszközben terhelt tartó nyomaték függvényei Terhelés és igénybevétele

Támaszerők A

+F +Q +Q +Q +Q

Mz  [Nm] m1 z 

B

b    z1   F

m m1 z   m 2 z  m m 2 z  



F

a 

z1 



1 



A nyomaték, illetve viszonyított nyomatékok függvényei legnagyobb 1. szakaszon 2. szakaszon érték ab b a F z  F z    F      z1   z1 z z1 z  1 z       1 1 1 z    z  

1 

  z2 

1 



z2 

  z2 z2 

  z2 z 



z2 z    



1 

1

1  z 



1 z    

Az erőtől balra

q

1 M h 0 z  m1 z  dz I E (L ) z1

a



0

z1

a

I E q   M1 z  m1 z  dz   M1 z  m 2 z  dz   M 2 z  m 2 z  dz

(10)

A (10) összefüggés q általánosított elmozdulása egyaránt megadja az x irányú tengelylehajlást illetve az y tengely körüli y szögelfordulást, ha az 1. táblázatból az 1. sor nyomatékait és a 2. illetve 3. sor viszonyított nyomatékait helyettesítjük be a képletbe. Az így nyert összefüggések

b   z1 b  z a      z I E f x1   F z  z dz   F z    1 z    dz     F z       1 z    dz            0 z1 a z1



a

z1 z1 a z 6IE  z1  2 f x1  6b1    z dz  6b  z  z 2 dz  6a 1 F  0  z1  

 

6IE  z  f x1  2b1  1  z 3 F  

z1

0

 

 3bz1 z 2



a z1

2



 

bz1 3 z 



a z1



 z  

dz

a

 2a



2



z1 z   3 





 a

bz z 6IE  z  3 3 f x1  2b1  1 z13  3bz1 a 2  z12  2 1 a 3  z13  2a 1      a    F    

ba 3 z1 z 6IE 3 f x1  3bz1a 2  bz13  2  2a 1 a    F   3 ba z1 z 6IE 3 f x1  bz13  3bz1a 2  2  2a 1  b  F    6IE a 2  b2  3 2  z1 f x1  bz1   3ba  2ab F   



-5-





6IE f x1  bz13  3ba 2  2ba 2  2ab 2 z1 F 6IE f x1  bz13  aba  2b z1 F

(11)

Innen f x1 már számítható. A többi elmozdulást (lehajlást) hasonlóan számíthatjuk. Például ugyancsak az erőtől balra eső szakaszon az y tengely körüli szögelfordulás a (10) összefüggésből kiindulva az 1. táblázat 1. és 3. sorának felhasználásával z1 a  b  1  b  1 a     1  I E  y1   F z    z  dz   F z    z    dz     F z       z    dz              0 z1 a z1



a

IE b b a 2  y1    z 2 dz   z 2  z  dz   z    dz F 0  z1 a a

a



IE b a 2  y1    z 2 dz  b  z dz   z    dz F 0  z1 a 6IE  y1 F 6IE  y1 F 6IE  y1 F 6IE  y1 F 6IE  y1 F 6IE  y1 F

ba 3 a 3  3ba 2  z12   2 a      3 ba a  2  3ba 2  3bz12  2 b 3   2 2 a b  2ab  3ba 2  3bz12   2

 2aba  b   3aba  3bz12

 a 2 b  2ab 2  3bz12  3bz12  ab  b 

(12)

Innen  y1 már számítható. A többi szögelfordulást hasonlóan számíthatjuk. Az erőtől jobbra a

z2



0

a

z2

I E q   M1 z  m1 z  dz   M 2 z  m1 z  dz   M 2 z  m 2 z  dz

(13)

egyenlet írja le a tengelylehajlást illetve a szögelfordulást, ha az 1. táblázatból a 4. illetve 5. sorokból helyettesítjük be a viszonyított nyomatékokat. Az így nyert összefüggések 6IE 3 f x 2  a   z 2   ab2a  b   z 2  (14) F

6IE 2  y 2  3a   z 2   aba  2b  F

(15)

-6A konzolon koncentrált erővel terhelt egyenes rúd alakváltozása

4. ábra A tényleges erőrendszer nyomatéka és a viszonyított igénybevételek, a konzol végén terhelt tartó esetén A lehajlás függvényei a konzolon terhelt tartón, a (8) egyenlet és az 2. táblázat szerint számíthatók. A nyomaték függvények csak szakaszonként folytonosak, ezért szakaszonként kell elvégezni az integrálást. A szakaszok a 4. ábra segítségével jelölhetőek ki. Más függvény fogja leírni a tengely lehajlást és tengely szögelfordulást az erőtől balra, és az erőtől jobbra. Az erőtől balra 

0

IEq

 M z  m z  dz   M z  m z  dz 1

1

2

 z1

2

(16)

0

A (16) összefüggés q általánosított elmozdulása egyaránt megadja az x irányú tengelylehajlást illetve az y tengely körüli y szögelfordulást, ha a 2. táblázatból az 1. sor nyomatékait és a 2. illetve 3. sor viszonyított nyomatékait helyettesítjük be a képletbe. Az így nyert összefüggések



6IE f x1    z13  3az 12  2az1 F





6IE  y1    3z12  6az 1  2a F

(17)



(18)

-72. táblázat A konzolon terhelt tartó nyomaték függvényei Támaszerők A nyomaték, illetve viszonyított nyomatékok függvényei A B legnagyobb 1. szakaszon 2. szakaszon érték  Fa a a  Fz  a   a F F z     F1      

Terhelés és igénybevétele

+F

Mz  [Nm]

+Q

m1 z 

+Q +Q +Q

 z   1  1    1 

m m1 z   m 2 z  m m 2 z  



z1 

  z2 

1 

 z1

 z  z1 



1 

1

1



z2 

  z2 z2 



1 

1

z1 z    



1 z    

  z2 z 



z2 z    

1  z 



1 z    

Az erőtől jobbra 

z2

I E q   M 2 z  m1 z  dz   M 2 z  m 2 z  dz 0

(19)

z2

egyenlet írja le a tengely lehajlást illetve a szögelfordulást, ha a 2. táblázatból a 4. illetve 5. sorokból helyettesítjük be a viszonyított nyomatékokat. Az így nyert összefüggések



6IE f x 2  a z 32  3z 22  2 2 z 2 F



6IE  y 2  a  3z 22  6z 2  2 2 F



(20)



(21)

A tengely x irányú lehajlása a szuperpozíció elve szerint a két f x z  lehajlás függvény előjel helyes összege lesz. Ha az yz síkban is hatnak erők, akkor ott két f y z  lehajlásfüggvényt összegezünk előjelhelyesen, majd a teljes lehajlást egy adott helyen (pl. egy fogaskerék z F koordinátájú helyén

f  f x2 (z F )  f y2 (z F )

(22)

szerint számíthatjuk. Adott tengelypont szögelfordulását hasonlóan, a

  2x (z F )  2y (z F )

(23)

képlettel számítjuk.

Irodalom [1] Páczelt István, Rudak és rúdszerkezetek alakváltozása, in Szilárdságtan II.(kézirat) (J141302, Tankönyvkiadó, Budapest, 1981., 207p. [2] Drobni József, Gépelemek III. (kézirat) (J14-1458), Tankönyvkiadó, Budapest, 1988., 231p.