3. Nejistoty měření Nejistota byla jako termín zavedena po dohodě mezinárodních organizací. Nejistoty měření se stávají společnou základnou pro hodnocení výsledků měření v experimentálním ověřování fyzikálních jevů a zákonů, při hodnocení přesných nebo úředních měření a při přesných a závažných měřeních v technických a přírodovědných oborech.
3.1. Základní principy a zásady Chyba měřicího přístroje je údaj měřidla minus pravá hodnota odpovídající vstupní veličiny. Chyba měření může být náhodná, systematická, dynamická a reverzibility. Nejistota měření (výsledku měření) charakterizuje rozsah hodnot okolo výsledku měření, který lze zdůvodněně přiřadit k hodnotě měřené veličiny. Nejistota se udává nebo stanoví nejen u výsledku měření, ale i u měřidel, u hodnot použitých konstant, u korekcí ap. Základem určování nejistot je statistický přístup. Předpokládá se určité rozdělení pravděpodobností, které popisuje, jak se může udávaná hodnota lišit od skutečné hodnoty, resp. pravděpodobnost s jakou se v intervalu daném nejistotou skutečná hodnota může nacházet. Mírou nejistoty je směrodatná odchylka udávané hodnoty. Takto vyjádřená nejistota se označuje standardní nejistota u a představuje rozsah okolo naměřené (stanovené hodnoty). Standardní nejistoty se dělí na standardní nejistoty typu A a standardní nejistoty typu B. Standardní nejistoty typu A jsou způsobovány náhodnými chybami (příčiny jejich vzniku nejsou známy), stanoví se z opakovaných měření stejné hodnoty za stále stejných podmínek statistickým přístupem a označují se uA. Nejistoty typu A se zmenšují se zvětšujícím se počtem opakovaných měření. Standardní nejistoty typu B jsou způsobovány známými a odhadnutelnými příčinami vzniku. Určují se jinými postupy, které nejsou přímo specifikovány. Standardní nejistoty typu B se označují uB. Jejich určování nebývá vždy jednoduché, právě naopak u složitějších měřicích zařízení a zvýšeném požadavku na přesnost se musí provést podrobný rozbor vzniku možných chyb a stanovení velikosti nejistoty typu B vyžaduje i značné zkušenosti. Standardní nejistoty typu B pocházejí od různých zdrojů a při určitém měření je výsledná standardní nejistota typu B dána odmocninou sumace kvadrátů nejistot od jednotlivých zdrojů i s respektováním vzájemných korelací. Protože se stanovení nejistot typu A i typů B provádí stejným přístupem, je možné skládat nejistoty typu A i typu B. Sumací kvadrátu standardní nejistoty typu A a standardní nejistoty typu B se dostane kvadrát kombinované standardní nejistoty označované u. Hodnotí-li se výsledek měření kombinovanou standardní nejistotou pak nemá význam zvláště rozlišovat nejistoty typu A a typu B. Z teoretického hlediska může být kompletní přístrojové vybavení potřebné pro realizaci měření matematicky popsané modelem měření. Tento model vyjadřuje vztah mezi výstupní veličinou Y a vstupními (nezávislými) veličinami (X1, X2, ..., Xj, ...Xm). Mezi vstupní veličiny se zahrnují: měřená veličina, veličiny ovlivňující výsledek měření a veličiny, které jsou potřebné pro stanovení výsledku, často převzaté z různých dokumentů (fyzikální konstanty, veličiny jejichž hodnoty se přebírají z jiných souvisejících měření ap.). V případě, že jde o měření jedné veličiny, na výstupu modelu měření označené Y, potom lze model měření popsat výrazem (1) Y = f(X1, X2, ...Xm) = f(X), kde X1, X2, ...Xm jsou vstupní veličiny a jejich standardní nejistoty jsou ux1, ux2, ...uxm. Nejistota veličiny Y je dána vztahem nazvaným také všeobecný neboli kovarianční zákon šíření nejistoty: m
u y2 = ∑ A2j ⋅ u xj2 + 2 ⋅ j =1
m
∑A
j
Ak u xj u xk rxj ,k
j =1; k < j
1
(2)
kde Aj, Ak jsou převodní koeficienty modelu měření (citlivosti), které jsou dány vztahy
Aj =
∂f ( X ) ; ∂X j
Ak =
∂f ( X ) ∂X k
(3)
Korelační koeficient rxj,k udává statistickou závislost (korelaci) mezi veličinami Xj a Xk. Pokud jsou vstupní veličiny nekorelované (korelační koeficienty jsou blízké nule), potom se rovnice zjednoduší na tzv. Gaussův zákon šíření nejistot: m
u y2 = ∑ Aj2 u xj2
(4)
j =1
Standardní kombinovaná nejistota udává interval, rozsah hodnot ve kterém se s pravděpodobností P=68,3% může vyskytnout skutečná hodnota. Praxe většinou žádá větší pravděpodobnost, toho se dosáhne zvětšením intervalu. Proto se zavádí ještě rozšířená standardní nejistota označená U a daná vztahem U = ku · u, kde ku je koeficient rozšíření nebo pokrytí. Rozšířená nejistota se má používat jenom při udávání výsledku měření a musí to být jasně označeno i včetně uvedení velikosti ku . Velikost ku se volí dvě až tři. V poslední době se doporučuje volit ku = 2, tj. U = 2· u a to odpovídá pravděpodobnosti pro normální rozdělení 95%, pro trojúhelníkové rozdělené 96,6%.
3.2. Stanovení standardních nejistot Postupy určování kombinovaných a rozšířených nejistot se budou lišit podle toho, zda se jedná o přímé nebo nepřímé měření.
3.2.1. Stanovení standardních nejistot při přímém měření Standardní nejistota typu A uA při přímém měření se stanoví z n opakovaných a nezávislých měření stejné hodnoty a za stejných podmínek. Odhad měřené hodnoty veličiny X je dán výběrovým průměrem x z naměřených hodnot x1, x2, ... atd. Výběrový průměr x se určí z
x= vztahu
1 n ∑ xi n i =1
(5)
Výběrová směrodatná odchylka sx se vypočítá z naměřených hodnot (náhodný výběr) dle
1 n ∑ (x i n − 1 i =1
s = 2 x
− x)
2
(6)
Výběrová směrodatná odchylka sx charakterizuje rozptýlení naměřených hodnot kolem výběrového průměru x . Výběrový průměr udává odhad hodnoty měřené veličiny a poněvadž se určuje z náhodného výběru, má náhodný charakter. Rozptyl výběrových průměrů se stanoví ze vztahu
s x2 =
1 2 sx n
(7)
a výběrová odchylka výběrových průměrů je dána odmocninou z předchozí rovnice. 2
Výběrová směrodatná odchylka výběrových průměrů s x charakterizuje rozptyl hodnot výběrových průměrů a je proto zvolena jako míra nejistoty výběrového průměru x (míra nejistoty odhadu hodnoty veličiny X. Standardní nejistota typu A je v tomto případě rovna směrodatné odchylce výběrových průměrů
u A = sx =
1 n ⋅ (n − 1)
n
∑ ( xi − x )
2
(8)
i =1
Pokud je počet opakovaných měření menší než 10 a není možné učinit kvalifikovaný odhad na základě zkušenosti, je nejistota typu A dána u A = k s ⋅ sx (9)
2
kde ks je koeficient, jehož hodnota závisí na počtu měření n, jak ukazuje následující tabulka. n ks
9 1,2
8 1,2
7 1,3
6 1,3
5 1,4
4 1,7
3 2,3
2 7,0
Z tabulky vyplývá, že zmenšováním počtu opakovaných měření vede k neúměrnému zvětšování nejistoty, zejména pro n < 5. Doporučuje se volit počet měření větší než 10, v krajním případě větší než 5. Standardní nejistota typu B Standardní nejistoty typu B se u některých autorů označují jako systematické nejistoty a v mnoha případech se tak projevují. Určování velikosti nejistot typu B je založeno také na statistickém základě. Při stanovení velikosti nejistoty typu B se postupuje následovně: • vytypují se možné zdroje nejistot Z1, ... , Zj, ... Zm , • určí se standardní nejistoty typu B u každého zdroje uzj, • stanovené nejistoty uzj od jednotlivých zdrojů se přepočítají na odpovídající složky nejistoty měřené veličiny uxzj, • posoudí se možné korelace mezi jednotlivými zdroji nejistot typu B a odhadnou se jejich korelační koeficienty rzj,k, • vypočítá se celková standardní nejistota typu B uB. Zdroje nejistot při měření jsou způsobovány: • nedokonalými měřicími přístroji a měřicí technikou, • použitými měřicími metodami, • podmínkami v nichž měření probíhá, • nepřesnými údaji konstant používaných při vyhodnocování, • způsoby vyhodnocování, • nedostatečnými znalostmi a malými praktickými zkušenostmi personálu. Odhad nejistoty typu B jednotlivých zdrojů Zj se skládá z těchto kroků: • odhadne se rozsah změn ± ∆zmax (odchylek) od jmenovité hodnoty, velikost ∆zmax se volí taková, aby její překročení bylo málo pravděpodobné, • uváží se, které rozdělení pravděpodobnosti nejlépe vystihuje výskyt hodnot ∆z v intervalu ± ∆zmax , (v tabulce č.1 předpisu TPM 0051-93 jsou uvedeny rozdělení: normální, trojúhelníkové, lichoběžníkové, rovnoměrné, trojúhelníkové bimodální a impulzové), • určí se nejistoty typu B jednotlivých zdrojů Zj ze vztahu uBz = ∆zmax / Θ, kde hodnota Θ se vezme buď z uvedené tabulky č.1 nebo pro normální a rovnoměrné rozdělení jsou uvedeny hodnoty Θ v obrázku na konci této kapoitoly. Konstanta Θ udává poměr maximální hodnoty odchylek ∆z ku směrodatné odchylce zvoleného rozdělení. Není-li možné odpověďně rozhodnout o rozdělení odchylek ∆z v intervalu ± ∆zmax, potom se vyjde z předpokladu, že všechny hodnoty ∆z v daném intervalu se mohou vyskytovat se stejnou pravděpodobností a tomu odpovídá rovnoměrné rozdělení. Přepočítání odhadnutých nejistot uBzj zdrojů Zj na odpovídající složky nejistoty měřené veličiny uxzj se provádí podle vztahu uxzj = Axzj · uzj, kde Axzj se určí ze závislosti X na zdrojích Zj dle vztahu Axzj = ∂X / ∂Zj . Pokud závislost X = f(Z) není známá, stanoví se Axzj experimentálně tak, že se změří hodnota ∆xzj odpovídající změně ∆zj a stanoví se Axzj ≈ ∆xzj/∆zj. Za předpokladu, že neexistuje mezi jednotlivými zdroji Zj korelace, stanovíme výslednou strandardní nejistotu typu B z výrazu m
m
j =1
j =1
u B2 = ∑ u x2, zj = ∑ Ax2, zj ⋅ u zj2
(10)
Jelikož zdroje nejistot typu B jsou v mnoha případech obtížně definovatelné a není potom možné určovat korelační koeficienty mezi nimi, v závažných případech se musí přistoupit k experimentálnímu postupu.
3
Hodnoty převodních koeficientů a nejistot v průběhu výpočtu se zaokrouhlují zpravidla na tři platná místa a celková nejistota se uvádí se dvěma platnými místy. Kombinovaná standardní nejistota Kombinovaná standardní nejistota při přímém měření se stanoví z
u = u 2A + u B2
(11)
kde uA je celková standardní nejistota typu A, uB je celková standardní nejistota typu B.
3.2.2. Stanovení standardních nejistot při nepřímém měření jedné veličiny (část 3.2.2. je možno při prvním seznámení s touto problematikou vynechat)
Úkolem měření je stanovení hodnoty veličiny Y z hodnot jedné nebo několika přímo měřených veličin Xj a s použitím konstant Vh podle vztahu Y = f(X1, ..., Xj, ..., Xm, V1, ..., Vh, ...Vp) = f(X, V)
(12)
kde X1, ... Xm jsou přímo měřené veličiny, V1, ... Vp jsou hodnoty použitých konstant. Měření se opakuje n-krát a pro každé i-té měření dostaneme hodnoty přímo měřených veličin x1i, x2i, ... xji, ... xmi. Odhad hodnoty veličiny Y se stanoví výběrovým průměrem y , který se může počítat dvěma způsoby: a) jako výběrový průměr z hodnot yi stanovených podle rovnice (12) pro každou serii naměřených hodnot xji :
1 n 1 n 1 n y = ∑ yi = ∑ f ( x 1 i , ... x j i , ... x m i , v1 , ... v h , ... v p ) = ∑ f ( x i , v ) n i =1 n i =1 n i =1
(13)
b) dosazením výběrových průměrů přímo měřených veličin do rovnice (12), možno použít jen pro lineární vztahy:
y = f ( x 1 , ... x j , ... x m , v 1 , ... v h , ... v p ) = f ( x , v ) kde x j =
(14)
1 n ∑ x ji jsou výběrové průměry jednotlivých přímo měřených veličin, n i =1
vh jsou hodnoty parametrů (konstant) Vh. Standardní nejistota typu A uAy se stanoví ze vztahu m
2 u Ay = s y2 = ∑ Axj2 ⋅ s x2 j + 2 ⋅ j =1
kde
Axj = ∂f( x ,v) / ∂xj,
m
∑A
xj
j =1; k < j
Axk s x j ,k
(15)
Axk = ∂f( x v) / ∂xk jsou převodní charakteristiky stanovené dosazením
vypočítaných hodnot x a hodnot v do parciálních derivací předchozí rovnice za předpokladu zanedbání členů vyšších řádů Taylorovy řady,
s x2 j =
1 n ⋅ (n − 1)
n
∑ (x
ji
− x j )2
(16)
i =1
je výběrový rozptyl výběrového průměru x j a
s x j ,k =
1 n ⋅ (n − 1)
n
∑ (x
ji
− x j ) ⋅ ( x ki − x k )
i =1
je výběrová kovariance výběrových průměrů x j a x k .
4
(17)
Druhý člen ve vztahu (15) respektuje korelaci mezi přímo měřenými veličinami, pokud je tato korelace nulová nebo blízká nule, lze pak druhý člen zanedbat. Korelace mezi přímo měřenými veličinami se dá posoudit podle velikosti korelačního koeficientu
rx j ,k =
s x j ,k
(18)
s x j ⋅ s xk
Stanovení standardní nejistoty typu B při nepřímém měření jedné veličiny se provádí následovně: • odhadnou se standardní nejistoty B přímo měřených veličin uBxj, • odhadnou se standardní nejistoty B konstant uvh, • posoudí se velikost korelací mezi přímo měřenými veličinami, • stanoví se celková standardní nejistota B uBy. Standardní nejistoty B přímo měřených veličin uBxj se určují stejným postupem jako při přímém měření, jednotlivě pro každou veličinu. Konstanty Vh při nepřímém měření mohou být: • fyzikální konstanty, jejichž hodnoty bývají uváděny např. v tabulkách fyzikálních konstant, kde by měly být též vyjádřeny i jejich nejistoty, • technické konstanty, jejichž hodnoty se nacházejí v technických normách, v předpisech, v katalozích ap. Pokud tyto dokumenty neobsahují informace o nejistotách, snažíme se odhadnout v jakém rozsahu se mohou vyskytovat změny jejich hodnot a nejistoty se pak odhadují podle pokynu uvedeného při přímém měření. Mezi konstanty lze též někdy zařadit i hodnoty nejistot použitých měřidel, které jsou obsaženy v technické dokumentaci nebo získané při kalibraci. Korelace mezi přímo měřenými veličinami mohou být způsobovány tím, že na údaje měřidel působí stejné ovlivňující veličiny (např. teplota) nebo se používá stejných měřicích zařízení pro měření veličin stejného druhu. Korelace mezi konstantami se vyskytují jen zřídka a jen v případech pokud mají některé společné zdroje nejistot. Celkovou standardní nejistotu B při nepřímo měřené veličině Y stanovíme sloučením odhadnutých nejistot ze vztahu
u
2 By
m
=∑A u j =1
2 xj
p
2 Bxj
+ ∑ A u + 2⋅ 2 vh
h =1
2 vh
m
∑
Axj Axk u Bxj u Bxk rxj , k + 2 ⋅
j = 2; k < j
p
∑A
vh
Avl uvh uvl rvh ,l (19)
h = 2; l < h
kde Axj = ∂y / ∂xj, Avh = ∂y / ∂vh jsou převodní koeficienty určené z příslušných parciálních derivací veličiny Y; uBxj a uvh jsou nejistoty typu B přímo měřených veličin X a konstant V; rxj,k a rvh,l jsou koeficienty korelace mezi přímo měřenými veličinami Xj a Xk a mezi konstantami Vh a Vl. Kombinovanou standardní nejistotu při nepřímém měření stanovíme sloučením celkových nejistot uAy a uBy dle vztahu 2 2 u y = u Ay + u By
(20)
3.3. Stanovení rozšířených nejistot Rozšířená nejistota Uy se používá místo kombinované nejistoty tehdy, když se požaduje velká pravděpodobnost výskytu skutečné hodnoty v intervalu (y - Uy), (y + Uy). Z hlediska matematické statistiky se jedná o konfidenční interval pro zvolenou konfidenční úroveň (1 - α). Exaktní řešení je i pro jednoduché měření obtížné. Proto byly pro stanovení Uy navrženy zjednodušující postupy, které vedou k určení rozšíření nejistoty jako násobku kombinované nejistoty uy , podle vztahů (11) a (20). U y = k U · uy (21) kde kU je koeficient rozšíření nebo pokrytí a jeho velikost se určuje: konvencí, výpočtem z údajů zkušených experimentátorů. Koeficient kU mívá běžně hodnoty od 2 (pro P=95%) do 3 (pro
5
P=99,73%), pro normální rozdělení, a doporučené hodnoty bývají uvedené v technických normách, předpisech, v individuálních dojednáních ap.
3.4. Všeobecné zásady pro vyjadřování nejistot Výpočet nejistot je neoddělitelnou částí zpracování naměřených údajů a výsledné nejistoty jsou stálou částí výsledku měření. Při každém údaji nejistoty musí být jasně uvedeno o jakou nejistotu se jedná. Údaj rozšířené nejistoty musí být doprovázen použitým koeficientem kU a též odpovídající konfidenční úrovní. Udávání absolutních a relativních nejistot je ekvivalentní a někdy je účelné použít obou způsobů. Uváděné hodnoty nejistot se zásadně zaokrouhlují na dvě platná čísla a přednostně se zaokrouhlují směrem nahoru. Větší počet platných míst nejistoty se ponechává, následuje-li další zpracování. Pokud se při výpočtu nejistot použije některý normativní dokument, uvede se příslušný odkaz. Některé dokumenty přímo předepisují náležitosti a formulace týkající se vyjadřování výsledků měření včetně způsobů udávání nejistot. V jiných případech jsou uvedeny informace, které je nutno o nejistotách uvádět.
3.5. Doprovodné informace k údajům o nejistotách U standardních nejistot typu A se uvádí: počet opakovaných měření nebo počet stupňů volnosti, výběrové směrodatné odchylky přímo měřených veličin a korelační koeficienty mezi nimi. U standardních nejistot typu B se uvádí: uvažované zdroje nejistot B, popřípadě i významnější zdroje, které byly zanedbány, výchozí hodnoty a postupy určování nejistot jednotlivých zdrojů, hodnoty vypočítaných nejistot u jednotlivých zdrojů a odhadnuté korelační koeficienty mezi nimi. U kombinovaných standardních nejistot se uvádí: hodnoty standardních nejistot typu A a typu B, které se podílely na kombinované nejistotě, doložené informace o uvedených nejistotách. U rozšířených standardních nejistot se uvádí: hodnota kombinované nejistoty a koeficient kU, při výpočtu koeficientu rozšíření též metodu a uvažovanou konfidenční úroveň. Jestliže se pro stanovení nejistot používá normativní literatura, uvede se a pak již není nutné uvádět informace obsažené v této literatuře.
6
Zpracováno podle J.Vítovce, ČMS
a normy TPM 0051-93: Stanovenie nejistôt pri meraniach.
7
