1. Een beetje (Westerse) geschiedenis Alle culturen maken gebruik van geluid, vanzelfsprekend bij spreken (en zingen), maar ook voor communicatie over grotere afstanden (trommels, tam tam) en bij dans en andere festiviteiten. Vrijwel alle culturen kennen ook (muziek)instrumenten. Hoewel de gebruikte toonsystemen (toonladders) heel verschillend kunnen zijn, lijkt het dat alle culturen het octaaf kennen.1 Bij de Grieken hebben in het bijzonder Pythagoras en Plato zich met ‘Muziek’ beziggehouden. Bij hen was er een innig verband tussen getallen, tonen, wiskunde, wijsbegeerte en kosmos. Mooie tooncombinaties waren verbonden met getallen, en met snaarlengtes, waarbij de getallen ook (met de geest) ‘te horen’ waren in de kosmos. Deze harmonie der sferen kom je tot in de 19e eeuw tegen bij wijsgeren, dichters, wetenschappers (Kepler, Newton!), in opera’s, etc. In de Middeleeuwen kende men de vrije kunsten (artes liberales), die later tot de wetenschappen leidden, in tegenstelling tot de handwerkkunsten, de ambachten, waaronder ook wat wij nu kunst noemen viel. De artes liberales werden onderverdeeld in: philosophia, quadrivium (‘getallen’): arithmetica, geometrica, astronomia, musica, en trivium (‘woorden’): grammatica, retorica, dialectica (of logica). Muziek bestond dus, maar natuurkunde nog niet. In Engeland kan men op een aantal plaatsen nog steeds Physics and Music studeren. Toonsystemen, toonladders, muzieknotatie, e.d. zijn in de Middeleeuwen ontwikkeld. De periode 1600-1900 is die van de ontwikkeling van instrumenten, de opkomst van natuurwetenschappen, interesse van geleerden zoals Chr. Huygens (1629 - 1695), stemming en 31-toonssysteem, de wiskundige L. Euler (1707 - 1783), de Fis van Euler, en de natuurwetenschapper H.L.F. von Helmholtz (1821 - 1894), Die Lehre von den Tonempfindungen. Na 1900 verschuift de aandacht naar perceptieonderzoek (met een grote bijdrage vanuit Nederland, bijv. R. Plomp, jarenlang bijzonder hoogleraar audiologie aan de VU) en naar gebruik maken van nieuwe technische mogelijkheden (elektronica, computer): elektronische instrumenten, zoals Ondes Martenot, Theremin en Hammondorgel, synthesizer, keyboard, elektronische/computer muziek, opname/weergave technieken (analoog/digitaal, sampling, compressie, MP3), opslag (grammofoonplaat, band, CD, DVD, harddisk), etc., waarbij de ontwikkelingen nog steeds doorgaan.
1
In “De compositie van de wereld” besteedt Harry Mulisch veel aandacht aan muziek en speciaal het octaaf. -1-
2. Geluid Alvorens in volgende hoofdstukken een aantal zaken in detail te behandelen, eerst wat algemene opmerkingen over geluid. Op een aantal plaatsen wordt tussen haakjes verwezen naar het hoofdstuk waar dieper op het onderwerp wordt ingegaan. Het vakgebied Het vakgebied dat zich bezig houdt met alles wat met geluid te maken heeft wordt Geluidsleer (in het Engels ‘Acoustics’) genoemd. Vroeger werd veel onderzoek gedaan aan de natuurkundige aspecten van geluid (trillingen/ golven, geluidsbronnen en voorplanting van geluid, etc.), tegenwoordig m.n. aan de fysiologie (bouw van het oor) en de perceptie (wat gebeurt er in de hersenen) van het horen (‘psychoacoustics’). Beide aspecten komen in deze cursus aan bod. Los daarvan is opnemen, opslaan, oversturen en afspelen van geluid de laatste decennia een enorm vakgebied geworden (grammofoonplaat, cassettebandje, CD, DVD, mobiele telefonie, IPod, Bluetooth Audio, Apple Airplay). Wat is geluid? Natuurkundig gezien is geluid een trilling van de lucht, die zich als een golf voortplant: ruiten trillen bij een donderslag of als een vliegtuig door de geluidsbarrière gaat, je voelt je keel trillen bij het zingen, en de conus van een luidspreker beweegt heen en weer. In vacuüm is er dus geen geluid, wat in sommige sciencefiction series wel eens vergeten wordt. Maar de definitie wordt wijder gebruikt: ook trilling (beweging) van deeltjes in andere materie dan lucht wordt geluid genoemd. Voorbeelden zijn opsporen van duikboten m.b.v. sonar in zee (trillend water), seismografie, echoscopie (trillend lichaamswater en weefsel) en het vergruizelen van een niersteen (trillingen in steen). In dit college beperken we ons tot ‘muzikaal’ geluid, d.w.z. het geluid is opzettelijk geproduceerd en er zit een zekere ordening of structuur in.1 Het ruisen van de zee of willekeurig lawaai valt er dus niet onder, hoewel deze natuurkundig wel interessant kunnen zijn. Aspecten van geluid Bij geluid spelen drie zaken een belangrijke rol: er moet een bron zijn die het geluid voortbrengt, het geluid moet zich voortplanten om ergens gehoord te worden (we beperken ons tot voortplanting in lucht) en we moeten het geluid horen/ervaren. Bij het eerste speelt, naast vakmanschap, natuurkunde een grote rol, het tweede is puur natuurkunde, terwijl het bij het laatste gaat om de fysiologie van het oor en wat erna in de hersenen gebeurt. Soorten muziekinstrumenten (geluidsbronnen) Er zijn verschillende soorten geluidsbronnen (instrumenten) voor muziek (elektronisch gegenereerd geluid laten we buiten beschouwing): o Slaginstrumenten zoals gong, klok, trommel, pauk, xylofoon, celesta. Hierbij ontstaat de toon doordat een oppervlak trilt. Slaginstrumenten hebben van zich zelf niet 'automatisch' een duidelijke toonhoogte. o Snaar/strijkinstrumenten (hfdst. 9, 11) zoals gitaar/harp (aangetokkeld), klavecimbel, piano (aangeslagen), viool (aangestreken). De toonhoogte wordt bepaald door de snaar.
1
Varèse heeft muziek ooit gedefinieerd als ‘georganiseerd geluid’. -2-
o Blaasinstrumenten (hfdst. 10): orgelpijp, fluit, rietinstrumenten zoals klarinet en saxofoon (enkel riet) en hobo en fagot (dubbel riet), koperblazers (trompet, hoorn, trombone), tongwerk bij orgel, harmonium, accordeon en mondharmonica. Behalve bij de laatste drie, waarbij ze bepaald wordt door een trillend metalen tongetje, wordt de toonhoogte bepaald door de lengte van een trillende luchtkolom. Onze stem (hfdst. 12) hoort ook tot de blaasinstrumenten, maar wel een heel bijzonder. Vooral bij snaarinstrumenten speelt een klankkast een belangrijke rol. Deze fungeert als resonator (meetriller) om het geluid te versterken. Verder kun je er nog op letten of er met het instrument hard en zacht gespeeld kan worden, en of de geluidssterkte na het begin nog beïnvloed kan worden (bij piano, slag- en tokkelinstrumenten niet). In principe is er een relatie tussen de grootte van een instrument en de toonhoogte: hoe groter het instrument, hoe lager de toon, hetgeen met de golflengte van de toon te maken heeft (hfdst. 3), maar de relatie is in de praktijk ingewikkeld. Ze is bijv. verschillend voor fluit, viool, xylofoon. Waarom dat zo is zal later duidelijk worden. Kenmerken van geluid Bij geluid kan men 4 kenmerken onderscheiden: 1. de tijdsduur (lang aangehouden toon op een instrument vs. het geluid van bijv. een zweepslag) 2. de (toon)hoogte (piccolo vs. contrabas) 3. de geluidssterkte (hfdst. 8) (hard, zacht) 4. de klankkleur of het timbre (hfdst. 5) (blokfluit en hobo klinken heel anders) De laatste drie kenmerken kunnen constant blijven in de tijd of veranderen. Bijv. bij een glissando of bij een vibrato verandert de toonhoogte, een pianotoon dempt uit en verandert daarbij tevens van klankkleur, terwijl ook de aanzet van de toon van groot belang is (ook voor de herkenbaarheid van instrumenten), m.n. bij strijkinstrumenten. Toonhoogte en frequentie Willen we een bepaalde toonhoogte aan geluid kunnen toekennen, dan is periodiciteit nodig: het trillingspatroon moet zich na een bepaalde tijd T (trillingstijd genoemd) herhalen. De frequentie, het aantal trillingen per seconde, meestal aangeduid met de letter f, is gelijk aan 1/T. Hoe groter het aantal trillingen per seconde, hoe hoger de toon die we ervaren. De toonhoogte is dus direct gerelateerd aan de grootte van de frequentie. We stemmen bijv. op de a(440), d.w.z. de frequentie is 440 trillingen per seconde, ofwel 440 Hz. Hz (Hertz) staat hierbij voor de ‘eenheid’: (trilling) per seconde. De relatie toonhoogte - frequentie is pas laat gelegd, door Vincenzo Galilei (c.1520-1591) en meer in detail door Mersenne (1588-1648), een Frans wiskundige. Hoorbaar geluid Het voor de mens hoorbare geluid beslaat globaal het frequentiegebied van 20 tot 20.000 trillingen per seconde (20 Hz - 20 kHz). Geluid met een frequentie boven de 20 kHz heet ultrasoon, onder de 20 Hz infrasoon. De opgegeven grenzen gelden voor een jong iemand met een uitstekend gehoor. Bij ouder worden neemt de bovengrens geleidelijk af. In een HOVO groep varieert de bovengrens zo tussen de 9 en 14 kHz.
-3-
Bij dieren kunnen de grenzen heel anders liggen. Honden kunnen tonen van 25 kHz nog horen (hondenfluitjes), vleermuizen gebruiken frequenties van 25-120 kHz voor hun sonar, terwijl walvissen communiceren via ‘tonen’ van een paar Hz. Zie appendix A voor het frequentiebereik van een aantal instrumenten en zangstemmen. Let wel: dit zijn de frequenties van de grondtoon, die gelijk is aan de frequentie van het gehele trillingspatroon. Boventonen (hfdst. 3 en 5) hebben hogere frequenties. Klankkleur De klankkleur, ook wel timbre genoemd, wordt bepaald (hfdst. 3 en 5) door de vorm van het trillingspatroon. Dit patroon kan er heel verschillend uitzien, zie fig. 2.1.
0.00E+00
5.00E-03
0
1.00E-02
10
1.50E-02
2.00E-02
20 ms
0
10
20 ms 0
10
Figuur 2.1 Trillingspatroon van trompet (260 Hz), gezongen aa (320 Hz) en gezongen ie (300 Hz) . Horizontaal staat de tijd uit (1ms = 0,001 s).
Opgaven 2.1
Bepaal de trillingstijden van de trillingspatronen in fig. 2.1 m.b.v. de plaatjes (1 ms is 1/1000e seconde). Kloppen uw resultaten (ongeveer) met de gegeven frequenties?
2.2
Als je een vochtige vinger stevig over een ruit beweegt, ontstaat er een toon. Hoe komt dat? En waardoor wordt de frequentie bepaald?
2.3
Beweeg een kaart (bijv. een betaalpas of speelkaart) over een (lange) kam en schat, bijv. met een piano, de toonhoogte van het geluid. Bepaal dan m.b.v. de gegevens in appendix A de bijbehorende frequentie. Probeer de frequentie ook te berekenen door het aantal tanden dat je per seconde raakt te schatten. Hoe goed kloppen de twee getallen?
2.4
Het geluid van een xylofoon is vrij zwak. Plaats je onder het plaatje echter een buis van de juiste lengte als resonator, dan wordt het veel luider. De tijdsduur dat de toon klinkt wordt echter flink korter. Probeer beide verschijnselen te verklaren.
-4-
20
3. (Geluids)golven en trillingen Golven en trillingen spelen een zeer belangrijke rol in de natuurkunde. Denk bijv. aan licht, warmtestraling, radiogolven, Röntgenstraling (dit zijn alle elektromagnetische golven/ trillingen), kwartsklokken, vloedgolven, etc. In dit college gaat het om geluidsgolven en trillende snaren en luchtkolommen (van en in muziekinstrumenten). We behandelen daartoe eerst een aantal belangrijke begrippen. Lopende golven Lopende golven zijn het gemakkelijkst te zien in een niet te strak gespannen lang touw. Door één uiteinde op en neer te bewegen, kun je in het touw lopende golven opwekken, d.w.z. het golfpatroon schuift op in de ruimte, terwijl elk punt van het touw een trilling op en neer uitvoert rond de normale (‘evenwicht’)stand (zie fig. 3.1). Het touw verplaatst zich dus niet: het patroon (de golf) verplaatst zich. Aan het uiteinde kaatsen de golven terug. Bij een snaar gebeurt dit alles ook, maar het gaat te snel om te zien.
→t
Fig. 3.1 Beweging van een punt van een golf in de tijd (a), momentopname (b) van een golf als functie van de afstand x, en op opvolgende tijdstippen (c). (P(eriod) is Engels voor trillingstijd T)
→x
→x
Dit zijn transversale golven: de uitwijking uit de evenwichtsstand is in een richting loodrecht op de voortplantingsrichting. Golven op een wateroppervlak zijn gemengd transversaal en longitudinaal (in de richting van de voortplanting), want de waterdeeltjes bewegen in cirkels op en neer en naar voren en achteren. Geluidsgolven in lucht zijn longitudinale golven (in een vast lichaam zijn zowel transversale als longitudinale geluidsgolven mogelijk): de luchtmoleculen bewegen heen en weer in de voortplantingsrichting van het geluid, waardoor de lucht lokaal enigszins verdund of verdicht wordt, en daarmee ook de luchtdruk lokaal een beetje kleiner of groter wordt, zie fig. 3.2. Ook hier geldt: het golfpatroon verplaatst zich, niet de lucht zelf.
P1
U1
P2
U2
Fig. 3.2. Beweging van de luchtmoleculen in een geluidsgolf. De pijltjes geven de verplaatsing van de moleculen uit hun evenwichtsstand weer. De verplaatsing (uitwijking) van de moleculen is maximaal naar rechts bij U1, en maximaal naar links bij U2. De grootste verdunning (en laagste druk) bevindt zich bij P1, de grootste verdichting (en hoogste druk) bij P2.
-5-
Voor de beschrijving van geluidsgolven is het het handigst om niet naar de verplaatsing (‘uitwijking’) van de moleculen te kijken, maar naar de ‘uitwijking’ van de (lucht)druk, d.w.z. de verandering van de luchtdruk in een geluidsgolf ten opzichte van de normale druk van de lucht (dat is ook wat een microfoon meet). Deze verandering is zeer gering, 10-4 tot 10-2 mbar, terwijl de normale luchtdruk ongeveer 1 bar = 1000 mbar bedraagt. Zoals reeds gezien in fig. 2.1 kan de (druk)verandering als functie van de tijd zeer ingewikkeld zijn. Eenheden in gebruik voor luchtdruk: (Lucht)druk is een kracht per oppervlakte-eenheid, en wordt dus uitgedrukt in Newton (de eenheid van kracht) per m2: N/m2, Pascal genaamd; 1 bar = 100.000 N/m2 = 100 kPa(scal). Een oude eenheid is de atmosfeer: 1 atm. is de druk van een kwikkolom van 76 cm, wat overeenkomt met 0,76×13,59×103×9,81 = 1,013×105 N/m2 = 1013 mbar. Golflengte, frequentie en snelheid van trillingen en golven We hebben in hoofdstuk 2 trillingstijd en frequentie al gedefinieerd: trillingstijd T : tijdsduur van één trilling [eenheid: s(econde)] (in het Engels gebruikt men vaak de letter P (period) i.p.v. T) frequentie f : aantal trillingen per seconde [eenheid: Hz (Hertz)], f = 1/T Daar komt nu bij het begrip golflengte, aangeduid met de Griekse letter λ (lambda) en uitgedrukt in m(eter): de afstand tussen twee golftoppen of dalen, of tussen twee verdunningen (of verdichtingen) van de lucht, of maxima (minima) in de luchtdruk, zie fig. 3.1 b. Er bestaat een direct verband tussen de snelheid v (uitgedrukt in meter per seconde) van een golf, de frequentie f, en de golflengte λ: v = f λ, want in één trillingstijd schuift het golfpatroon een afstand λ op, en er zitten f trillingstijden in een seconde. Deze relatie is van zeer groot belang. We zullen hem gebruiken voor geluidsgolven in lucht, waarbij v dan de geluidssnelheid is, en voor golven in een snaar, die een eigen snelheid (vsnaar) hebben. De geluidssnelheid Iedereen gebruikt wel eens bij onweer dat als er 3 seconden zitten tussen het zien van de bliksem en het horen van de donder, de bliksem 1 km ver weg was. Wat preciezer: de geluidssnelheid in normale lucht van 20 graden Celsius en bij een druk van 1013 mbar bedraagt 344 m/s. Staande golven Bij lopende golven schuift het golfpatroon op in de ruimte. Als een snaar aan beide uiteinden ingeklemd is (maar het geldt ook voor een touw met één los uiteinde, en ook voor de luchtkolom in een blaasinstrument), dan kaatsen de golven aan de uiteinden terug. Door interferentie van de heen- en teruggaande golven ontstaan er dan staande golven: alle punten van de snaar bewegen gezamenlijk in een bepaald patroon op en neer1. Dit is goed te zien als golven van zee tegen de wand van een haven botsen, en ook in een golfslagbad. Harmonische trilling
1
NB. Dit laatste geldt alleen voor een harmonische golf, waarbij elk punt van de snaar een harmonische trilling uitvoert. Zie verder bij Strijken in hfdst. 11.
-6-
De simpelste trilling is een harmonische trilling: deze ontstaat als iets, bijv. een deeltje met massa m, beweegt onder invloed van een terugdrijvende kracht K, die evenredig is met de uitwijking u. De frequentie f van de trilling wordt gegeven door f = k m / 2π . Voorbeelden van harmonische trillingen zijn een massa aan een veer (waarbij k de stijfheid van de veer is), de slinger van een klok, een mechanische metronoom, maar ook een elektronische toongenerator. De bewegingsvergelijking is (a is hierbij de versnelling van het deeltje): d 2u K = m a [= m 2 ] = − k u dt Omdat deze differentiaalvergelijking een lineaire vergelijking is (de uitwijking u komt links en rechts met macht één voor), is de frequentie onafhankelijk van de grootte van de uitwijking. De oplossing (uitwijking u als functie van de tijd) kan beschreven worden met een sinus functie (zie appendix B voor een korte uitleg wat een sinus is): u(t) = A sin(ωt+φ), waarbij A de amplitudo (de maximale uitwijking) aangeeft, ω = 2πf de hoekfrequentie is, met f de frequentie van de trilling, en φ de phase(hoek). Fourieranalyse Harmonische trillingen zijn van groot belang voor de beschrijving van geluid in termen van grond- en boventonen. Een periodiek trillingspatroon met frequentie f kan namelijk opgebouwd worden uit harmonische trillingen, waarvan de frequenties veelvouden zijn van f: f, 2f, 3f, 4f, etc., dus met frequenties fn = n f (Fourier opbouw) (n = 1, 2, 3 etc.). De harmonische trilling met frequentie f1 (= f) heet de grondtoon of 1e harmonische (de toonhoogte die wij waarnemen komt ook overeen met f1), terwijl de trillingen met n groter dan 1 de boventonen (of hogere harmonischen) genoemd worden (in het Engels: ‘fundamental’ of ‘1st partial’, en ‘higher partials’). NB. De eerste boventoon heeft dus n=2. Het feit dat tonen van verschillende instrumenten (of tonen van verschillende toonhoogte van eenzelfde instrument) een verschillend trillingspatroon vertonen en ook verschillend klinken, dus een andere klankkleur hebben, is rechtstreeks verbonden met een andere opbouw uit grond- en boventonen. Een toon zonder boventonen (dat ‘is’ dus een pure sinus) klinkt kaal. Om een bekend gezegde te parafraseren: het zijn de boventonen die de muziek maken. En de boventonen hangen af van (de bouw/vorm van) het instrument (of bij zang van hoe we onze keel en mond houden), maar ook van hoe je het instrument bespeelt (embouchure bij blazers, plaats van aanstrijken bij strijkinstrumenten, hard/zacht).
Opgaven 3.1
De geluidssnelheid v is onafhankelijk van de frequentie, maar ook geldt v = f λ. Hoe zit dat?
3.2
De geluidssnelheid neemt met ongeveer 0,6 m/s toe per graad Celsius. Hoeveel verandert de toonhoogte, uitgedrukt in trillingen per sec., als je op een fluit een a(440) speelt en de temperatuur 3 graden stijgt? Hoeveel ‘hele tonen’ is dat (1 halve toon is ongeveer 6% verschil in frequentie)? Beantwoord dezelfde vragen als je een a(880) speelt. Wat valt u op?
-7-
3.3
Als je de geluidssnelheid kent, kun je de afstand van waar je staat tot een wand bepalen door in de handen te klappen, ervoor te zorgen dat de echo precies tussen twee klappen in valt, en met een stopwatch of horloge te meten hoe lang je over bijv. 10 klappen doet. Stel dat dat 8 seconden is, hoe ver is de wand dan weg?
3.4
Waarom klinken mannenstemmen in een badkamer of douche i.h.a. goed?
3.5
Wat is de golflengte van het geluid geproduceerd door een vioolsnaar die trilt met een frequentie van 1000 Hz?
3.6
Een orgelpijp produceert geluid met een golflengte voor de grondtoon van 4 m. Wat is de toonhoogte?
3.7
Stel dat die orgelpijp alleen ‘even’ boventonen produceert, welke frequenties zullen die dan hebben?
3.8
Een interessante vraag is waar de geluidssnelheid wel/niet van afhangt. Aanwijzing: ga na welke fysische grootheden allemaal een rol spelen bij geluid en dus in principe de geluidssnelheid zouden kunnen beïnvloeden. Wie een blaasinstrument bespeelt, weet vermoedelijk al enigszins welke van de genoemde grootheden invloed hebben, bijv. wat gebeurt er als je met je instrument in de bergen speelt?
3.9
Als je op een fles blaast, hoor je een bepaalde toon. Wordt de toon hoger of lager als je de fles (ten dele) met water vult? Is dit (voornamelijk) het gevolg van een verandering van de ‘massa’ of een verandering van de ‘terugdrijvende kracht’? Beschouw de beweging van de lucht in de halsopening en in de fles: wat is de bewegende massa, en wat veroorzaakt de terugdrijvende kracht? Welke wordt met name beïnvloed door het vullen met water?
3.10 Een complexe golfvorm herhaalt zich elke 4 ms. Wat zijn de frequenties van de mogelijke Fouriercomponenten? 3.11 Voor een trillende staaf geldt dat de snelheid van de ‘geluidsgolven’ in de staaf evenredig is met de wortel van de frequentie. Wat betekent dit voor de boventonen als je aanneemt dat er een geheel aantal halve golven in de staaf moet passen? 3.12 Toon aan dat Asin(ωt+φ) een oplossing is van de differentiaalvergelijking voor een harmonische oscillator. Aan welke voorwaarden moeten A, ω en φ voldoen? Is Acos(ωt+φ) ook een oplossing? En is die verschillend van de sinus oplossing? Ter herinnering: de afgeleide van sinα (cosα) is cosα (- sinα), en de kettingregel luidt: df(g(x))/dx = df/dg dg/dx.
-8-
4. Trillende snaren Een snaar is een goed voorbeeld om een aantal zaken, die in het vorige hoofdstuk aan de orde gekomen zijn, uit te leggen. De Grieken, in het bijzonder Pythagoras, hebben onderzoek gedaan aan het monochord: één snaar gespannen op een klankkast. Daarmee werd de relatie tussen de toonhoogte en de lengte van de snaar gevonden en ook dat snaren van verschillende lengten ‘mooie’ combinaties van tonen opleverden als de lengten zich verhielden als gehele getallen. Een voorbeeld van een monochord, zoals beschreven door Mersenne, is te zien in fig. 4.1. Let op de erbij geschreven noten en afstanden, plus de schrijffout. In fig. 4.2 zijn de eerste 4 eenvoudigste trillingswijzen (eigentrilling of modus, in het Engels: ‘mode’) van een ideale snaar (zonder enige stijfheid) te zien. Dit zijn staande golven, ontstaan door de interferentie van heen- en teruggaande golven (door terugkaatsing aan de vaste uiteinden). Elk punt van de snaar voert een harmonische trilling uit. Punten waar de snaar niet beweegt worden knopen genoemd, en waar de snaar maximaal heen en weer gaat buiken (bij flageolet spelen op een strijkinstrument dwing je door op een bepaalde plaats een vinger op de snaar te houden op die plaats een knoop af). Zoals in de figuur te zien is, zijn slechts bepaalde trillingswijzen mogelijk. Dat is als volgt in te zien.
Fig. 4.1 Monochord van Mersenne.
De uitwijking van de snaar is nul bij de vaste uiteinden. Dit levert de voorwaarde dat de golflengte λ van de golf gelijk moet zijn aan 2L, L, 2L/3, etc., dus algemeen λn = 2L/n, met n=1,2,3, etc., waarbij L de lengte van de snaar is. Omdat f=v/λ, horen hierbij frequenties fn = nf1, waarbij f1 = v/2L de frequentie van de eerste modus is. Bij elke trillingswijze hoort dus ook een bepaalde frequentie, en daarmee een bepaalde toonhoogte, en deze frequenties vormen een harmonische rij. In de praktijk geldt dit slechts bij benadering: zodra een snaar een zekere stijfheid vertoont, ontstaan er afwijkingen (zie bij piano in hfdst. 9). Fig. 4.2 Eerste vier eigentrillingen van een snaar. N (node) geeft een knoop aan.
-9-
De toonhoogte blijkt behalve van de lengte L van de snaar ook af te hangen van de massa per lengte-eenheid µ en van de spanning S van de snaar. Dit is het gevolg van het feit dat ook voor de golven in een snaar de relatie v = f λ geldt, maar waarbij v nu de voortplantingssnelheid van de golven in de snaar is, die gegeven wordt door
vsnaar = S / µ . De frequenties van de eigentrillingen van een snaar worden dus gegeven door fn =
n S . 2L µ
Algemeen is de trilling van een snaar een combinatie (som) van deze harmonische (eigen)trillingen (Fourier opbouw), dus bestaand uit grondtoon plus boventonen. De toonhoogte, die we ervaren, wordt bepaald door de laagste frequentie (f1), dus die van de grondtoon. De (longitudinale) trillingen/staande golven van een luchtkolom kunnen op analoge wijze beschreven worden, als je i.p.v. de uitwijking van de snaar de luchtdrukverandering neemt (dus niet de beweging/uitwijking van de trillende luchtdeeltjes).
De trilling van een ideale (niet stijve) snaar wordt beschreven met de snaarvergelijking
∂ 2u ( x , t ) S ∂ 2u ( x , t ) = . ∂t 2 µ ∂x 2
Opgaven 4.1
Wat zijn de golflengten van de laagste drie trillingswijzen van een snaar van 0,6 m?
4.2
Als de snelheid van de (transversale) golven van een snaar 240 m/s is, wat is dan de frequentie van de grondtoon van een snaar van 30 cm? En wat is de golflengte van het geproduceerde geluid? Geef twee manieren waarop je de toonhoogte van die grondtoon kunt wijzigen.
4.3
Bij de demonstratie van de ‘Pythagoras’ doos werd een stalen snaar gebruikt met een diameter van 0,40 mm en een lengte van 60 cm, die gespannen werd door gewichten van 4,1 kg, 7,15 kg of 11,25 kg in een emmertje van 0,1 kg. Bereken, welke toonhoogten bij deze drie gevallen horen, en vergelijk het met de waargenomen tonen: Gegeven: de versnelling g van de zwaartekracht is 9,81 m/s2 en de soortelijke dichtheid van staal is 7,6 g/cm3. Ter controle: 16,0 cm van dat draad bleek 0,152 g te wegen.
4.4
Ga na dat de functie u(x,t) = A sin(2πx/λ)sin(2πf t) een oplossing van de snaarvergelijking is. Aan welke voorwaarden moeten λ en f voldoen voor een snaar met lengte L?
- 10 -
5. Boventonen en timbre De toon van een instrument bestaat i.h.a. niet uit één harmonische trilling (in dat geval zijn er geen boventonen) (zie hfdst. 3) en snaren kunnen in hogere modi (zie hfdst. 4) trillen. Dit is goed aan te tonen met de zgn. resonantieproeven op een piano. 1e resonantieproef: een snaar kan in hogere modi trillen Druk de toets van 'F (zie Namen en notatie in hfdst. 6 en appendix A voor de namen van tonen) langzaam in, zodat er geen toon ontstaat, en houd die ingedrukt. Sla daarna een F aan en laat die weer los. De toon F blijkt zacht hoorbaar te blijven, totdat je 'F loslaat. Doe dat vervolgens ook met c, f, a, c', es', … (Merk op dat de a, die klinkt na loslaten van de a toets, een beetje zweeft met een weer zacht aangeslagen a.) Probeer ook andere tonen. Bij de meeste hoor je niets (of heel zachtjes de toon 'F), maar bijv. bij aanslaan van A hoor je niet A, maar wel a! 2e resonantieproef: de toon van een aangeslagen snaar bevat een aantal boventonen Druk de toets van F langzaam in, zodat er geen toon ontstaat, sla dan een 'F aan en laat die weer los. Je hoort nu een F toon doorklinken. Doe hetzelfde met i.p.v. F een c, f, a, c', es', etc. (merk op dat de es' maar heel zacht klinkt). Probeer ook andere, bijv. C en A. Deze verschijnselen kunnen als volgt verklaard worden. Doordat alle snaren van een piano over dezelfde kam lopen, kunnen, mits de demper eraf is, andere snaren dan die aangeslagen zijn, mee gaan trillen (resoneren). De eerste boventoon van 'F heeft precies de frequentie van de toon F. Bij aanslaan van F bij de 1e resonantieproef gaat de 'F snaar meetrillen met die frequentie (die 2 keer die van de grondtoon van 'F is). De snaar trilt dan niet in zijn laagste modus, maar in de tweede (zie hfdst. 4). De frequenties van de tonen c, f, a, etc. zijn resp. 3, 4, 5, etc. zo groot als die van 'F. De 'F snaar gaat dan in steeds hogere modi meetrillen. Het feit dat je zwevingen hoort als je de a weer zachtjes aanslaat, komt doordat in de gebruikelijke gelijkzwevende stemming (zie hfdst. 7) de a niet precies met 5 keer de frequentie van de toon 'F trilt1, terwijl de 'F snaar in de 5e modus dat wel precies doet. Bij de 2e resonantieproef gebeurt het omgekeerde. Bij aanslaan van de toon 'F trilt de snaar niet alleen in zijn 1e modus (de grondtoon), maar er zijn kennelijk ook boventonen (met frequentie fn=n f1, als f1 de frequentie van de grondtoon van 'F is), waardoor de snaren die qua frequentie met die boventonen overeenkomen, gaan meetrillen. Op een cello is dit ook te horen (en te zien): een ‘losse’ C snaar resoneert met o.a. een gespeelde c en omgekeerd. (Dit wordt gebruikt om toch een vibrato te krijgen als je een C speelt.) Bij een snaardoos met twee snaren vliegen papieren ruitertjes, die je op de ene snaar gehangen hebt, er af ter plaatse van een buik, maar niet ter plaatse van een knoop, als je op de andere snaar de grondtoon of één van de boventonen tokkelt. Het verschil in klank van (tonen van) verschillende instrumenten en het onderscheid tussen bijv. de klinkers aa en ie, is volledig te danken aan een verschil in trillingspatroon en daarmee
1
Volgens appendix A is de frequentie van 'F in de gelijkzwevende stemming 43,654 Hz. De 5e modus heeft dus een frequentie van 5 × 43,654 = 218,27 Hz, terwijl de a een frequentie van 220 Hz heeft.
- 11 -
aan een verschil in opbouw aan boventonen (Fourier opbouw: welke harmonischen zijn aanwezig, en hoe sterk). In fig. 5.1 staan hiervan enkele voorbeelden. In een luisterfragment blijkt dat je een instrument pas herkent, als de laagste 3 tot 5 boventonen aanwezig zijn.
0
1000
2000
3000
4000
0
1000
0
1000
→ f (Hz)
Fig. 5.1 Voorbeelden van de boventoonopbouw van trompet, gezongen aa en gezongen ie van fig. 2.1.
De hogere modi (eigentrillingen) van een snaar en van houtblaasinstrumenten zijn in goede benadering harmonisch. Dit geldt over het algemeen niet voor trillende staven en oppervlakken (zoals een xylofoon, bekken of een trommelvel). Zo heeft een trillende staaf, als f1 de frequentie van de laagste eigentrilling is, hogere eigentrillingen met frequentie 2,756 f1 , 5,404 f1 , 8,933 f1 , 15,99 f1 , etc. (NB. De frequenties hangen af van hoe de staaf ondersteund of ingeklemd is).
Opgaven 5.1
Verklaar hoe het komt dat je bij de 1e resonantieproef een a hoort als je een A aanslaat.
5.2
Houd op een piano de toon d' stom ingedrukt en zoek uit bij welke lagere tonen de d' gaat resoneren, als je ze kort hard aanslaat. Verklaar wat u waarneemt.
5.3
Welke tonen vormen de boventoonreeks van de toon C? Welke frequenties horen daarbij als de frequentie van C 65,4 Hz is? Vergelijk deze met de frequenties van deze tonen op een gelijkzwevend gestemde piano (gebruik appendix A).
5.4
Hoe zou het komen dat de es' vrijwel niet resoneert bij de 2e resonantieproef?
5.5
De hoogste snaar op een cello geeft uit zichzelf (‘losse snaar’) een a. Waar (als deel van de gehele snaar) moet je je vinger zetten om een e' te spelen? Welke toon klinkt er als je op die plaats je vinger losjes op de snaar houdt, zodat daar wel een knoop ontstaat, maar de snaar aan beide kanten kan trillen (flageolet spelen)? Dezelfde vragen voor d' i.p.v. e'. NB. De frequentie van e' (d') is 3/2e (4/3e) maal die van de toon a.
- 12 -
6. Toonsystemen Van alle mogelijke tonen binnen ons hoorbereik worden er in de muziek maar een beperkt aantal gebruikt. Vrijwel alle culturen kennen en gebruiken daarbij het octaaf (2 tonen met een frequentie-verhouding van 2 staat tot 1): als een bepaalde toon gebruikt wordt, dan worden ook tonen die één of meer octaven hoger of lager zijn gebruikt. Een bepaalde onderverdeling van het octaaf in een beperkt aantal tonen wordt een toonsysteem genoemd. Het westerse systeem gebruikt een verdeling in 12 ‘toongebieden’. Dit is een juistere term dan tonen, omdat die afhangen af van de gebruikte stemming, maar we zullen in het vervolg voor het gemak de term toon gebruiken voor de tonen die gebruikt worden in ons toonsysteem. Oorspronkelijk waren er slechts 7 ‘tonen’ per octaaf, stamtonen genoemd: a - b c - d - e - f - g (- a) (de witte toetsen op een piano). Daarbij waren er grotere en kleinere (‘hele’ en ‘halve’) afstanden. Tussen de stamtonen met hele afstand kwamen extra tonen, de zwarte toetsen. In totaal zijn er dan dus 12 halve = 6 hele afstanden.
a
b
c
d
e
f
g
a
Als eerste kwam tussen de a en b de ‘b rotundum’ (ronde b), ook wel ‘b mollum’ (zachte b) genoemd: onze bes. De gewone b werd ‘b quadratum’ of ‘durum’ (vierkante of harde b) genoemd. Achtergrond daarvan is dat met alleen 'witte toets' tonen er een hexachord voorkomt, de combinatie: c-d-e-f-g-a (met toonsafstanden 1 1 ½ 1 1), het zgn. ‘hexachordum naturale’. Achteraan aansluitend is er een ‘hexachordum durum’: g-a-b-c-d-e. Maar voor een voorafgaand hexachord met c-d als eindtonen was een nieuwe 'zwarte' toon, bes, nodig: f-g-a-bes-c-d (hexachordum mollum).1 De schrijfwijze van een ronde b voor b mollum, ontwikkelt zich tot het molteken Ù voor het aanduiden van een verlaagde toon, en de schrijfwijze voor b durum ontwikkelt zich tot het herstellingsteken Ú, en vervolgens tot het kruisteken Û voor een verhoogde toon. In Duitsland wordt b gebruikt voor bes en h ( lijkt op een Gotische h) voor b! Verder wordt daar ‘Dur’ voor een grote terts toonaard, en ‘Moll’ voor een kleine terts toonaard (zie later) gebruikt (Bach’s Hohe Messe in H-moll staat dus in B kleine terts; en er zijn fuga’s op de naam BACH gemaakt, zie fig. 6.1). Na de bes kwam de es tussen d en e, fis tussen f en g, etc. (zie verder bij toonladders en kwintencirkel).
Fig. 6.1 Deel Fuga XV uit Die Kunst der Fuge van J.S. Bach 1
De termen ‘hard’ en ‘zacht’ slaan vermoedelijk op de gevoelswaarde: ‘opgewekt, vrolijk’, resp. ‘week, weemoedig’.
- 13 -
De namen voor mol en kruis in andere talen zijn: bémol, dièse (Frans), Be, Kreuz (Duits), flat, sharp (Engels). In moderne muziek worden soms kwarttonen gebruikt: c, cih, cis, cisih; d, deh, des, deseh, etc. of zelfs nog kleinere onderverdelingen (microtonale muziek). Een interessante vraag bij dit alles is: is een fis (een verhoogde f) dezelfde toon als een ges (een verlaagde g)? En is een fes hetzelfde als een e? Zie hdfst. 7. Do-re-mi Dit systeem is voornamelijk uitgewerkt door Guido van Arezzo (~990 - 1050), een Benedictijner monnik en muziektheoreticus en pedagoog. Hij realiseerde zich dat de noten van de verschillende hexachorden onderling dezelfde relatie hebben, en dat bijv. bij zingen alleen de relatieve toonhoogtes van belang zijn, en niet de absolute (a, b, etc.). Daarom introduceerde hij relatieve namen: ut re mi fa sol la (si). Deze namen zijn ontleend aan een hymne aan Johannes, waarvan elke regel met een volgende toon van het hexachord begint. Later werd ut → do (van ‘Dominus’ (Heer), zodat alle met een medeklinker beginnen, van belang voor zang) en si → ti (elke noot een verschillende medeklinker), en soms sol → so. In noordelijke landen waren de absolute namen a, b, c, etc. ingeburgerd en werd do-re-mi alleen gebruikt voor relatieve tonen, maar in Frankrijk en Italië werden en worden de namen do re mi etc. absoluut gebruikt, met do voor C, dus Re majeur = D groot (grote terts).
Fig.6.2: Hymne van Johannes
Namen en notatie Noten worden aangeduid met hun letter, aangevuld met in welk octaaf ze voorkomen: subcontra, contra, groot, klein, ééngestreept, tweegestreept, driegestreept, viergestreept, met als notatie bijv. ''A, 'A, A, a, a', a'', a''', a'''' (zie appendix A). Voor de absolute toonhoogte is in 1939 afgesproken dat de a' een frequentie heeft van 440 Hz. Daarvoor was het 422 Hz (1650-1850) en 435 Hz (1860 - 1940). Lokaal heeft de a' gevarieerd tussen 375 Hz en 500 Hz.
- 14 -
Fig. 6.3 Stukje uit Trio opus 83 nr. 4 voor Bes-klarinet, altviool en piano van M. Bruch
Noten worden genoteerd op notenbalken (zo nodig met hulplijnen), waarbij sleutels aangeven waar op de balk een bepaalde toon ligt, zie fig. 6.3. Het meest worden de sopraan (G) en bas (F) sleutel gebruikt, maar standaard voor een altviool is de altsleutel, en bij de cello wordt ook vaak de tenorsleutel gebruikt. De ‘lijnnoten’ en ‘tussennoten’ komen overeen met de ‘witte toets’ noten. Enkele (dubbele) verhogingen of verlagingen worden aangegeven met Û (µ), resp. Ù (ÙÙ). Deze kunnen ongedaan gemaakt worden door het herstellingsteken Ú te gebruiken. Meestal staat een stuk in een bepaalde toonsoort (zie hieronder bij toonladders) met een aantal kruizen of mollen. Dan worden deze vóór aan de notenbalk genoteerd (vaste voortekens). De partijen voor sommige instrumenten, zoals klarinet en hoorn, hebben een getransponeerde notatie.1 Zo klinkt op een Bes-klarinet de geschreven c als een bes. Dus als die klarinet een klinkende c moet spelen, staat er in de partij een d. Ook de voortekens moeten aangepast worden: een Bes-klarinet ‘heeft’ uit zichzelf al een bes en een es, dus bij de voortekens moeten er 2 Ù minder (of 2 Û meer) staan (zie de bovenste partij in fig. 6.3). Tonaliteit In de meeste muziek (tonale muziek) heeft één toon, tonica genoemd, een centrale plaats aan zowel het begin als het eind. Tussendoor speelt vaak de dominant die rol. Als de tonica een c is, dan is de dominant een g. Voorbeeld: Altijd is Kortjakje ziek. Meestal worden 7 tonen gebruikt in een tonaliteit, maar vaak ook 5 (pentatoniek) of slechts 3, (dit laatste m.n. in kinderliedjes). 3 toons: Twee emmertjes water halen, Schuitje varen, theetje drinken, Sinterklaas kapoentje, Stille nacht 5 toons: Nobody knows, Voiles (Debussy) middendeel, 5e symfonie (Dvorák) Largo, Morgenstimmung (Grieg), Avond op het land (Bartók)
Toonladders Het geheel van gebruikte tonen vormt een toonladder. Het simpelst is alleen stamtonen te gebruiken. Door op verschillende stamtonen te beginnen krijg je de zeven kerktoonladders; startend op d: dorisch, frygisch, lydisch, mixolydisch, hypodorisch of eolisch, hypofrygisch, hypolydisch of ionisch. Deze namen komen uit de Griekse muziekleer. Behalve in de psalmen en recent in de popmuziek worden de meeste daarvan nauwelijks gebruikt. 1
Deze instrumenten zijn er in verschillende soorten (lengten), bijv. hoorn in C en in F, en klarinet in Bes, in A en in Es. Om dezelfde vingerzetting te kunnen gebruiken wordt de geschreven partij aangepast.
- 15 -
Twee hebben zich ontwikkeld tot de nu algemeen gebruikte grote-terts toonladder: c d e f g a b c (ionisch, majeur) en kleine-terts toonladder (mineur). De laatste heeft in zijn oorspronkelijke vorm (eolisch) als tonen: a b c d e f g a. Door de g te verhogen tot gis (leidtoon principe: na de gis verwacht je een a, zoals b → c in de grote-terts toonladder) krijg je de harmonische kleine-terts toonladder: a b c d e f gis a. Door ook nog de f te verhogen tot fis (maar alleen als je omhoog gaat; teruggaand houd je de oorspronkelijke eolische vorm: a g f e d c b a) krijg je de melodische kleine-terts toonladder: a b c d e fis gis a. Een variant met twee leidtonen is de zigeunertoonladder: a b c dis e f gis a. Let op waar hele, halve en anderhalve(!) toonafstanden voorkomen. Tenslotte is er ook nog de ‘hele toon’ toonladder: c d e fis gis ais c. Deze heeft geen centrale toon; elke toon kan tonica zijn. Componisten maken gebruik van de verschillende gevoelswaarde van de verschillende toonladders. (Zing eens ‘Er zaten zeven kikkertjes’ in mineur.) Door op een andere toon dan c (of a) te beginnen en zwarte toetsen te gebruiken is een hele reeks toonladders met kruizen en mollen te maken, bijv. Bes c d es f g a bes F g a bes c d e f Cdefgabc G a b c d e fis g D e fis g a b cis d. Het recept is: steeds een kwint (zie hieronder) omhoog en aan het eind een kruis toevoegen, of een kwint omlaag en halverwege een mol toevoegen. Dit leidt tot de ‘kwintencirkel’, want als je lang genoeg doorgaat, kom je weer uit bij het begin. De beginnoten zijn te onthouden m.b.v. de ezelsbrugzinnen: G-eef D-e A-rme E-en B-ord Fis-jes F-ijne Bes-sen Es-sen As Des-sert (of: Flinke Boeren Eten Alle Dagen Gort) Intervallen Twee noten (tonen), bijv. c – e , of b – fis vormen samen een interval. Intervallen met bepaalde verhoudingen van de frequenties van de twee tonen hebben speciale namen. Frequentieverhouding 1:1 2:1 3:2 4:3 5:4 6:5 5:3 8:5 9:8 10 : 9 16 : 15 256 : 243 81 : 80 531441 : 524288 2048 : 2025 128 : 125
Naam ‘Afstand’ in cent prime 0 octaaf 1200,0 kwint 702,0 kwart 498,0 grote terts 386,3 kleine terts 315,6 grote sext 884,4 kleine sext 813,7 grote hele toon 203,9 kleine hele toon 182,4 diatonische halve toon 111,7 limma 90,2 syntonisch komma 21,4 diatonisch komma 23,5 diaschisma 19.6 kleine diesis 41,1
- 16 -
Als twee tonen precies deze verhouding hebben, noem je het een rein of zuiver (gestemd) interval. NB. De laatste vijf intervallen zijn voor de muziekleer (stemmingen) van belang, zie hfdst. 7. De cents schaal Bij het combineren (optellen) van intervallen moet je frequentieverhoudingen vermenigvuldigen, bijv. een kwint plus een kwart is een octaaf: 3/2 x 4/3 = 4/2 = 2/1. Dat kan aardig ingewikkeld worden. Daarom is de ‘cent’ ingevoerd om intervallen (frequentieverhoudingen) uit te drukken: 1 cent komt overeen met 1/100e van een halve toon (dus 1/1200e van een octaaf), dus met een frequentieverhouding van 100 12
2 = 1200 2 = 1,0005778
Een grote terts is bijv. 386,3 cent (zie de tabel op blz. 16). Omdat de cent gedefinieerd is als een interval, mag je ‘centen’ optellen, bijv. kwint + kwart = 702,0 + 498,0 = 1200,0 = octaaf. De wiskundige achtergrond hiervan is het begrip logaritme, zie appendix C. Bij omrekenen van een frequentieverhouding f2 / f1 naar cent, bijv. met een zakrekenmachine, gebruik je de formule: n cent = 1200 2 log ( f 2 f1 ) = 1200 10 log ( f 2 f1 ) /10 log 2 = 3986,3 10 log ( f 2 f1 )
Omgekeerd geldt:
f 2 f1 = 2ncent
1200
= 10ncent
3986, 3
Opgaven 6.1
Een muziekstuk voor A klarinet en piano staat in C-groot. Welke voortekens staan er in de klarinetpartij? En als de klarinet een c moet spelen, welke noot staat dan in de partij?
6.2
Uit welke tonen bestaat de melodische kleine-terts toonladder die begint op c?
6.3
Een toonladder bestaat uit de tonen a b cis d e fis g. Wat is de grondtoon van de toonladder als het een grote terts toonladder is? En als het een eolische toonladder is?
6.4
Hoeveel kruizen (mollen) heeft de toonladder van Cis (Des) grote terts?
6.5
Welk interval maakt samen met een interval van 7/4 een octaaf? Welke toon op een piano komt daar het dichtst bij als je c als de hoogste toon van het interval neemt?
6.6
Bereken 2log1,5 met een zakrekenmachine, gebruikmakend van 2log1,5 = 10 log1,5/10log2, en ga daarmee na dat een kwint overeenkomt met 701,96 cent.
6.7
Je kunt een hele toon definiëren als een kwint omhoog plus een kwart omlaag, maar ook als een kwart omhoog en een kleine terts omlaag. Hoe groot (uitgedrukt in frequentieverhouding en in cent) is in beide gevallen deze hele toon?
- 17 -
7. Stemmingen De vraag bij stemmen is: hoe stem je op een toetsinstrument de witte toetsen van een octaaf zó dat zo veel mogelijk intervallen (allemaal is niet mogelijk, zoals we zullen zien) precies de frequentieverhouding van de tabel in hfdst. 6 hebben. In de praktijk blijken er dan verschillende mogelijkheden (keuzes) te zijn. Reine stemming De reine stemming (‘natuurlijk’ systeem; de aanhangers worden harmonici genoemd) gaat uit van de boventonenreeks c – c – g – c – e , met als relatieve frequenties 1 – 2 – 3 – 4 – 5. Dit levert rechtstreeks de frequenties (t.o.v. de frequentie van de c) van de tonen g en e, maar daarmee ook van f (c – f gelijk aan g – c), en a (c – a gelijk aan g – e) op. De d wordt dan zó gekozen, dat d – g een reine kwart is, en de b zó dat g – b een reine grote terts is. Dit resulteert in de volgende stamtonen (Zarlino) en frequentieverhoudingen: c 1
d 9/8 9/8
e f g a b c 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2 10/9 16/15 9/8 10/9 9/8 16/15
(frequenties t.o.v. eerste c) (frequentie verhoudingen)
Een aantal intervallen (ga na welke allemaal) is dus rein, zoals gewenst. Er zijn echter ook problemen: - Het interval d – a is 5/3 : 9/8 = 40/27 = 3/2 : (81/80), en is dus geen reine kwint. Je zou de a aan kunnen passen, maar dan zijn de grote terts f – a en de kleine terts a – c niet rein. De factor 81/80, die we nog vaak tegen zullen komen, heet het komma van Didymos of syntonisch komma. Het vertegenwoordigt een afwijking van 1,25% (21,4 cent; ongeveer 1/9e hele toon), wat overeenkomt met 5,5 zwevingen per seconde bij de a(440). - Er zijn twee soorten hele tonen: 9/8 en 10/9 (resp. 203,9 en 182,4 cent). Een toonladder die op g of d begint, heeft dus een ander begin dan de toonladder op c. - Er is een enharmonisch interval, bijv. cis-des (op een piano is er maar één toets voor beide): des/c = 16/15 (net zoals c/b), cis/c = cis/d × d/c= 15/16 (net zoals b/c) × 9/8 = 135/128 des/cis = des/c : cis/c = 16/15 : 135/128 = 2048/2025 (diaschisma) (de des is hoger) NB. es/dis verschilt meer: 128/125; ga dit zelf na. Pythagoreïsche stemming De Pythagoreïsche stemming gebruikt alleen het octaaf en de reine kwint om de frequenties van alle tonen af te leiden: de tonen in de rij f – c – g – d – a – e – b worden zo gekozen dat alle intervallen reine kwinten zijn. Dit levert de volgende stamtonen en frequentieverhoudingen: c d e f g a b c 1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 2 9/8 9/8 limma 9/8 9/8 9/8 limma Hierbij is er maar één soort hele toon (9/8, 203,9 cent), en de Pythagoreïsche halve toon (limma) is gelijk aan 256/243 = (16/15) : (81/80) (90,2 cent). De tonen fis, bes, etc. zijn te krijgen door vanaf b en f omhoog resp. omlaag te gaan met kwinten. De problemen bij deze stemming zijn: - tertsen en sexten flink onrein (81/80, 21,5 cent) - de wolfskwint tussen gis en es (aan de uiteinden van de kwintenrij) is erg vals: 262144/177147 ≈ 1,480 i.p.v. 1,5 (in cent: 678,5 i.p.v. 702,0). Als je geen toetsinstrument of instrumenten met fretten gebruikt of in één of enkele verwante toonaarden blijft, zijn er weinig problemen. - 18 -
Bij zangers en bijv. een strijkkwartet is de praktijk, dat beide systemen gevolgd worden (een limma werkt bijv. heel goed als leidtoon). Een (goed) koor zingt meestal in reine stemming. Daarbij gaat c - d - e omhoog (eerst 9/8, dan 10/9) ‘vanzelf’, maar dalend wordt het snel 9/8 en 9/8 (‘zakken’). Meer problemen: a) 12 kwinten (op een toetsinstrument 12 x 7 halve tonen) is een frequentieverhouding van (3/2)12 ≈ 129,75; 7 oktaven (7 x 12 halve tonen) is (2)7 = 128. De verhouding daarvan is 531441/524288 ≈ 1,0136 (diatonisch komma of komma van Pythagoras), 23,5 cent, ongeveer 0,12 hele toon NB. Een afwijking van 10 cent (0,1 halve toon) is goed hoorbaar. b) Een oktaaf is groter dan 3 grote tertsen 2 : (5/4)3 = 128/125 (41,1 cent). c) Een oktaaf is kleiner dan 4 kleine tertsen 2 : (6/5)4 = 625/648 (62,6 cent!). d) c - e'' via 4 kwinten geeft een frequentieverhouding van (3/2)4 = 81/16, maar c - e'' is ook 2 x 2 x 5/4 = 80/16 = (81/16) : (81/80). Dit is goed te horen als je op een rein gestemde cello een reine sext g-e speelt en dan de ‘kwart’ e-a test. Oplossing? De problemen zijn fundamenteel en niet echt op te lossen. Dit komt doordat machten van 2, 3 en 5 geen gemeenschappelijke waarden hebben. De scherpste kantjes kun je er af halen door ergens water in de wijn te doen. Globaal zijn er drie mogelijkheden: 1) een aantal kwinten en/of tertsen min of meer zuiver houden; hierbij zijn verschillende keuzes mogelijk (zie Middentoonstemming en opgave 7.1), 2) alle tonen een beetje aanpassen (‘gelijkzwevende’ stemming), 3) meer dan 12 toetsen per octaaf gebruiken (zie 31-toons orgel). Middentoonstemming (o.a. Schlick) Maak de grote terts c-e rein en pas de kwint aan (verdeel 80/81 dus over 4 kwinten): c - e'' = 2 × 2 × 5/4 = 5, dus de kwint wordt 4 5 = 1,4953 = 696,6 cent. Elk van de kwinten is dus een kwart komma (‘quartertone’) = 5,4 cent (0,03 hele toon) te klein (en de kwart dus te groot).
Fig. 7.1 Kwart-komma stemming. Lees de figuur van links naar rechts iets schuin omhoog en dan naar links één rij omhoog springen om verder te gaan. De diverse driehoeken hebben als zijden een kwint, grote terts en kleine terts. De (afgeronde) getallen geven aan (in cent), hoeveel deze intervallen afwijken van de reine waarden.
- 19 -
De meeste grote en kleine tertsen zijn dan goed of iets te klein, maar de overgebleven tertsen gis-c, cis-f, b-es, fis-bes, es-fis, bes-cis, f-gis, en de wolfskwint gis-es zijn erg vals (36-46 cent). Bij gebruik van alleen witte toetsen zitten de hele tonen (193,2 cent) tussen de grote en kleine hele toon in en is de halve toon (117,1 cent) iets te groot (zie de tabel in hfdst. 6). Getempereerde of gelijkzwevende stemming (NB ‘evenredigzwevende stemming’ is een juistere naam) De bekendste voorstander hiervan is de wiskundige Simon Stevin (1548-1620), die in Van de Spiegheling der Singhconst (1584) alle halve toonsafstanden gelijk neemt met dus een frequentieverhouding van 12 2 = 1,0595 (dit is per definitie 100 cent). De kwinten en daarmee de kwarten worden dan vrijwel goed (2,3 cent te klein, resp. te groot), maar de kleine en grote tertsen wijken meer af: 300 i.p.v. 315,6 en 400 i.p.v. 386,3. Alle intervallen (behalve het oktaaf) zijn (een beetje) vals, maar dat geldt voor allemaal, ook die met zwarte toetsen, en in dezelfde mate, dus je kunt in alle toonaarden spelen. Voorbeelden van muziekwerken die daar gebruik van maken of zelfs speciaal voor gecomponeerd zijn, zijn: • J.S. Bach Wohltemperiertes Klavier • P. Hindemith Ludus Tonalis • D. Sjostakowitsj Preludes • F. Chopin Preludes • D. Milhaud Le boeuf sur le toit 31-toonssyteem Het probleem wordt minder als je meer tonen per octaaf neemt, dus een kleinere eenheid, zodat de reine intervallen beter te benaderen zijn. Na 12 tonen per octaaf is de eerstvolgende (betere) keuze 31 tonen (van 1200/31 = 38,71 cent) per octaaf (Christiaan Huijgens,1629-1695). Met 5 toetsen per hele en 3 per halve toonsafstand kom je dan voor deze op 193,6, resp. 116,1 cent, en vind je 696,8 voor de kwint, 387,1 voor de grote (bijna zuiver dus) en 309,7 cent voor de kleine terts. Ook is een 7/4 (968,8 cent) interval (Huijgens houdt een pleidooi voor de 6e boven-toon, de 7e harmonische) heel goed te spelen: 25 µ 38,71 = 967,7 cent. Adriaan Daniël Fokker (1887-1972) heeft zich zeer ingespannen voor het 31-toonssyteem, wat geleid heeft tot de bouw van een 31-toons orgel (en speciaal daarvoor geschreven muziek), dat zich lang in het Teijlers-museum in Haarlem bevonden heeft, maar sinds een ingrijpende revisie in 2009 in het Muziekgebouw aan het IJ staat. Er is ook een Huygens-Fokker stichting, die zich inzet voor het 31-toons orgel en microtonale muziek, zie www.huygens-fokker.org. 96-toonspiano De Carrillo-piano, of 96-toonspiano (ook wel 1/16-toonspiano genoemd), is ontwikkeld in een samenwerking tussen Julián Carrillo (1875-1965) en de pianobouwer Carl Sauter in de jaren ‘50 van de vorige eeuw en heeft vele componisten en musici geïnspireerd tot het componeren en uitvoeren van microtonale muziek. De stemming is gebaseerd op het getempereerde 96-toonssysteem. Er zijn 16 toetsen voor een hele en 8 voor een halve toon. Het klavier van de Carrillo-piano bevat 97 toetsen en heeft een omvang van c' tot c''.
- 20 -
Stemmen en zwevingen Bij het stemmen van instrumenten wordt gebruik gemaakt van zwevingen, òf tussen dezelfde tonen op verschillende snaren, òf tussen de boventonen van verschillende tonen. Deze ontstaan als je twee trillingen met verschillende frequentie combineert. Soms versterken ze elkaar (ze zijn dan ‘in fase’), maar even later doven ze elkaar uit (dan zijn ze in ‘tegenfase’) (tenminste, als beide trillingen even sterk zijn), zie fig. 7.2. Het resultaat is een trilling met frequentie (f1+f2)/2, waarvan de amplitudo (sterkte) ‘trilt’ met de frequentie (f1−f2)/2 (zie de gestreepte lijn in fig. 7.2). Wiskundig is dit af te leiden uit u(t) = A cos(ω1t) + A cos(ω2t) = 2A cos½(ω1– ω2)t cos½(ω1+ ω2)t P1
P2
P1
P2
P1
Fig. 7.2 Twee trillingen met iets verschillende frequentie en hun som. Bij P2 versterken ze elkaar, bij P1 doven ze elkaar uit.
Opgaven 7.1
Sommige organisten gebruiken een onregelmatige stemming van Werckmeister (rond 1700), waarbij het diatonisch komma verdeeld wordt over de kwinten g-d, d-a, a-e en b-fis, die dus 23,5/4=5,9 cent te klein worden; de andere 8 kwinten worden rein gestemd. Bereken hoe de grote en kleine tertsen nu worden (aanwijzing: gebruik een schema zoals fig. 7.1 en begin met c-e).
7.2
Ga na hoe je op een gelijkzwevend gestemde piano zo goed mogelijk een 7/4e interval zou kunnen spelen. NB. Dit interval heeft een relatie met het zgn. dominant septiem akkoord: g - b - d - f .
7.3
Na 31 is 53 weer een goede keuze voor een getempereerde stemming. Wat is de toonstap in cent voor zo’n 53-toons evenredigzwevende stemming? Ga na met hoeveel stappen en hoe goed een kleine terts, een grote terts en een kwint te benaderen zijn.
7.4
Ga de harmonischen van f en a na, en kijk welke gemeenschappelijk zijn. Toon aan dat f-a een reine grote terts is, als de frequenties ff en fa van deze tonen precies 176 en 220 Hz zijn. Toon aan dat de frequentie van de zwevingen gelijk is aan 5 ff – 4 fa, als deze tonen niet precies gestemd zijn. Op welke toonhoogte zitten de zwevingen?
- 21 -
8. Geluid en horen Geluidssterkte Trilling van de lucht kan beschreven m.b.v. de 'uitwijking' in de plaats of snelheid van de moleculen, of m.b.v. de drukverandering. Het laatste is in de praktijk het handigste. De maximale plaats/snelheid/druk-verandering tijdens de trilling wordt de amplitudo genoemd. De energie die in een trilling zit is evenredig met het kwadraat van de amplitude. Bij normale geluidssterkten ligt de drukamplitudo in de orde van 0,01 tot 1 N/m2 (de Newton is de eenheid van kracht en druk is kracht per oppervlakte-eenheid). De geluidssterkte (intensiteit) is gedefinieerd als de geluidsenergie die per seconde (dat heet het vermogen) door een oppervlak van 1 m2 ‘stroomt’ (vergelijk de definitie van lichtsterkte bij een lamp: de hoeveelheid lichtenergie die per seconde op een oppervlak van 1 m2 valt). De eenheid is W/m2 (1 Watt = 1 Joule/s). De geluidssterkte neemt kwadratisch af met de afstand tot de bron, omdat als de afstand 2x zo groot wordt, het oppervlak waarover de geluidsenergie zich moet verdelen 4x zo groot wordt. Omdat voor ons gehoor de sterkte met gelijke stappen toeneemt als de geluidssterkte steeds met een factor vergroot wordt, worden geluidssterktes uitgedrukt in een relatieve (logaritmische) schaal: 1 bel is een factor 10 in geluidssterkte en 1 decibel (db) is 0,1 bel, een factor 1,26 in sterkte (3 db komt overeen met een factor 2). Het nulpunt, 0 (d)b, is een geluidssterkte van 10-12 W/m2 (dus geluidssterkte = 10log(I/I0) bel, met I0=10-12 W/m2). Pas op met ‘optellen’ van geluidsnivo’s: 50 db + 50 db = 53 db (tenzij de geluidsgolven perfect ‘in fase’ zijn)! Normale geluidssterkten liggen tussen 40 db (stil) en 80 db (luid). Een geluidssterktemeter meet m.b.v. een microfoon de drukamplitudo en bepaalt daaruit de geluidssterkte. De gevoeligheid voor verschillende geluidsfrequenties is in te stellen. Horen Zie hoofdstuk 13 voor de bouw en werking van ons oor. Hier behandelen we alleen een aantal eigenschappen van ons gehoor. Het frequentiebereik van ons oor is in principe 20 – 20.000 Hz, maar neemt, met name in de hoogte, af met de leeftijd (tot onder de 10 kHz). Qua gevoeligheid voor toonhoogte zijn we in staat om veranderingen in frequentie van 1 – 3 Hz (0,1 toon) voor frequenties tot 3 kHz waar te nemen. Ons oor is ook niet voor alle frequenties even gevoelig en de frequentie-afhankelijkheid hangt ook af van het geluidsnivo, zie fig. 8.1. De slingeringen in het gebied van 2 – 20 kHz hangen samen met de lengte van onze gehoorgang (golven met frequenties van 4 en 13 kHz passen beter daarin). De ‘ervaren’ geluidssterkte, luidheid genoemd, wordt uitgedrukt in foon. Bij definitie zijn voor een frequentie van 1000 Hz de foon en (deci)bel schaal identiek, maar voor andere frequenties zijn er (soms grote) verschillen. De ‘loudness’ knop op een audio-installatie corrigeert daarvoor (evenals de A schaal op een geluidssterktemeter).
- 22 -
Fig. 8.1 Gevoeligheid van ons gehoor met lijnen van gelijke luidheid (foon) (gebaseerd op metingen aan een grote groep mensen).
De foon is nog steeds een natuurkundige maat voor luidheid. Mensen ervaren dat iets 2 keer zo hard klinkt als de geluidssterkte een factor 10 toeneemt (10 violen klinken twee keer zo luid als 1). Voor deze luidheid wordt de ‘soon’ gebruikt. Een factor 2 in luidheid komt ongeveer overeen met een factor 10 in geluidssterkte (in formule: S ~ I0.3). Twee stappen in de dynamische tekens pp, p, mf, f, ff in muziek komen ongeveer overeen met stappen van een factor 10 in geluids-sterkte, wat dus een factor 2 in S is. Op zijn gevoeligst (rond 4 kHz) is ons gehoor in staat drukveranderingen van ongeveer 2.10-5 N/m2 (2.10-10 bar) waar te nemen. De pijndrempel ligt een factor 106 hoger. Deze waarden komen in geluidssterke overeen met 0 en 120 db. Het trommelvlies beweegt in deze gevallen 10-11, resp. 10-5 mm. Wat betreft gevoeligheid voor verschillen in geluidssterkte zijn we in staat om veranderingen in geluidssterkte van 0,5 – 1,5 db, d.w.z. 15 – 30 %, waar te nemen. Bij langdurige blootstelling aan geluidsnivo’s boven 90 db treedt (op den duur blijvende) gehoorschade op. Geluiden met bijbehorende geluidssterkte in db Vallende speld Fluisteren Wind Kamer ’s nachts Kamer overdag Normaal gesprek Normaal stadsverkeer Vrachtverkeer Werkplaats met machines Popconcert met versterkers Opstijgend vliegtuig op 100 m. afstand
- 23 -
10 db 20 db 20 - 50 db 40 db 50 db 60 db 70 db 80 db 100 db 100 - 130 db 120 db
Opgaven 8.1
Als één viool op een geluidssterktemeter 70 db geeft, wat wijst deze dan aan bij 2 violen? En bij tien violen?
8.2
Hoeveel db scheelt het als je in de open lucht op een afstand van 5 of van 25 meter van een luidspreker staat? En hoe zou dat zijn in een zaal?
8.3
Je draagt oordopjes bij een popconcert, die ongeveer 13 db reductie geven. Welke factor is dat in geluidssterkte en in geluidsdruk? Hoeveel percent van de geluidsenergie wordt dus tegengehouden? Hoeveel moet er tegengehouden worden voor 23 db reductie?
8.4
Als je tonen van 100, 1000 en 3000 Hz hoort, alle met luidheid 60 foon, wat is dan de geluidssterkte (in db) van die tonen?
8.5
Je hebt je versterker zo afgeregeld dat lage en hoge tonen goed in balans zijn bij een luidheid van 40 db. Wat gebeurt met de luidheid en de balans als je het volume 40 db verhoogt?
- 24 -
9. Snaarinstrumenten We behandelen hier snaarinstrumenten waarbij de snaar aangetokkeld (met vinger of plectrum) of aangeslagen (met hamer) wordt. Voorbeelden zijn: harp, gitaar, cimbaal, klavecimbel, piano. Strijkinstrumenten komen in hfdst. 11 aan de orde. Trillingen van een snaar Dit is al behandeld in hfdst. 4. Een aan beide uiteinden ingeklemde snaar kan trillen in zgn. ‘eigentrillingen’ (dit zijn staande golven). De bijbehorende eigenfrequenties zijn harmonisch: fn = (n/2L)√(S/m) = n f1 (de golflengten zijn λn = 2L/n). Een aangetokkelde of aangeslagen snaar trilt i.h.a. in een som van eigentrillingen, waarbij de bijdrage van de verschillende harmonischen (de grond- en boventonen) bepaald wordt door waar je de snaar aantokkelt, omdat de grond- en boventonen hun knopen en buiken op verschillende plaats hebben en op het punt van aanslaan een buik ontstaat. De beweging van de snaar is dan geen staande, maar een soort rondlopende golf. Zij kan beschreven worden als de som van een naar links en een naar rechts bewegend golfpatroon, dat zich met frequentie f1 (de grondtoon) herhaalt. Naast de plaats van aantokkelen bepaalt bij een elektrische gitaar ook de plaats van een opname-element de klank, afhankelijk van of de grond- en boventonen daar een knoop of buik of iets er tussenin hebben.
Fig. 9.1 Mechanisme van clavichord (links) en spinet (rechts).
Piano Voorlopers van de piano zijn het clavichord (1200 – 1800), waarbij een toets een metalen spateltje, tangent genoemd, tegen de snaar slaat (dit geeft een zachte toon, die te beïnvloeden is door de tangent meer of minder tegen de snaar gedrukt te houden), en het spinet en klavecimbel (1500 – 1800), waarbij een haakje d.m.v. een toets aan de snaar trekt tot het los schiet (daardoor is de toon niet te beïnvloeden). Bartolomeo Cristofori maakte in 1709 een piano-forte (instrument), waarbij de snaar via een overbrengingsmechanisme vanaf de toets aangeslagen wordt door een hamer met vilten kop. Ook worden meer snaren per toon gebruikt om meer volume te krijgen, en wordt de houten zangbodem verstevigd met een metalen frame om de spanning van de snaren op te vangen. De plaats waar de hamer de snaar aanslaat, de tijdsduur van het contact t.o.v. de snelheid (en af te leggen afstand tot het vaste uiteinde) van de golven in de snaar, alsook de grootte en hardheid van de hamerkop bepalen alle de klank (de opbouw uit harmonischen). Hogere harmonischen dempen sneller uit dan lagere, dus het timbre verandert tijdens de duur van een toon. Het wegsterven van een toon is ingewikkeld. Globaal zijn er twee componenten te onderscheiden, met flink verschillende ‘vervaltijden’. Omdat de 2 of 3 snaren van dezelfde toon nooit precies gelijk gestemd zijn, gaan ze na verloop van tijd in tegenfase trillen, waardoor de kam - 25 -
weinig beweegt. Dit geeft een relatief zacht geluid, maar ook een gering energieverlies per seconde, dus een lange vervaltijd. Het linkerpedaal van een vleugel geeft dit vanaf het begin, omdat van 2 of 3 snaren er één niet aangeslagen wordt, dus de toon is zachter, maar sterft ook langzaam weg. (Het linkerpedaal bij een gewone piano verkleint slechts de afstand tussen de hamer en de snaar, zodat de snaar alleen zachter geraakt wordt.) Een ander effect is dat doordat de snaren van dezelfde toon over dezelfde kam lopen, die een klein beetje meetrilt, hun bewegingen gekoppeld zijn. Daardoor gaan ze, ook al zijn ze niet exact gelijk gestemd, na even toch met dezelfde frequentie trillen. Bij de keuze van pianosnaren (lengte, dikte, materiaal) spelen een aantal zaken een rol: de toonhoogte (lengte, spanning, massa per meter), het volume (voldoende ‘massa’ voor voldoende energie) en de stijfheid van de snaar. Snaren voor lage tonen zijn relatief (te) kort, wat gecompenseerd wordt door ze zwaarder te maken d.m.v. omwikkeling met koperdraad. Bij hoge (boven)tonen gaat de stijfheid van de snaar een rol spelen. Daardoor komt er een term bij in de eerder gegeven formule voor de frequentie van de verschillende eigentrillingen: fn = n f1 [1+(n2-1)J], waarbij de grootheid J afhangt van de stijfheid en de lengte van de snaar. De invloed van deze term wordt groter naarmate de frequentie hoger (en dus de golflengte kleiner) is. Omdat bij stemmen boventonen van de lagere toon gebruikt worden, leidt dit tot 'uitgerekte' (stretched) octaven: octaven van een volgens ons gehoor goed gestemde piano zijn iets groter dan een factor 2 in frequentie, met name bij lage en hoge tonen (dikke, resp. korte snaren), zie fig. 9.2.
Fig. 9.2 Verschil tussen echte en theoretische frequenties van een goed gestemde piano. (Fletcher en Rossing en Rossing 14.4)
Opgaven 9.1
De snelheid van golven in een snaar van 40 cm zij 200 m/s. Wat is de frequentie van de 4e eigentrilling van deze snaar?
9.2
Een 2 meter lange bassnaar van een piano heeft een (lineaire) soortelijke massa van 0,05 kg/m. Welke spanning moet de snaar hebben om een (grond)toon van 40 Hz te maken?
9.3
Waar moet je een gitaarsnaar aantokkelen om de 3e eigentrilling zo sterk mogelijk aan te slaan? Waar moet je je vinger licht op de snaar houden om de eerste twee eigentrillingen te onderdrukken?
9.4
Een gitaar wordt aangetokkeld op 1/5e van zijn lengte, terwijl op 1/7e een opnameelement zit. Schets kwalitatief hoe sterk de grond- en boventonen vertegenwoordigd zijn.
- 26 -
10. Blaasinstrumenten De geluidssnelheid De geluidssnelheid is een belangrijke grootheid, omdat het product van golflengte λ en frequentie f van geluid gelijk is aan de geluidssnelheid (zie hoofdst.3). De geluidssnelheid c in een gas wordt gegeven door c2 = γ p0 /ρ, waarbij γ = cp/cv = 1,40 de verhouding van de soortelijke warmten bij constante druk en constante temperatuur is, p0 de luchtdruk, en ρ de dichtheid van het gas. Als de temperatuur verandert, dan verandert ρ, maar als de druk verandert, veranderen p0 en ρ even hard. Voor lucht van 1 atm. en 20° C krijg je c ≈ √(1,40×105 N/m2 :1,18 kg/m3) = 344 m/s.
Fig. 10.1 De eerste drie eigentrillingen van de lucht in een cylindrische (links) en konische (rechts) buis. Getoond worden de trilling van de druk (doorgetrokken lijn) en van de beweging van de lucht (gestreept).
Trillingen in een buis Net zoals een snaar heeft de luchtkolom in een cylindrische buis eigentrillingen (staande golven), zie fig. 10.1: • knopen (nodes) en buiken (antinodes) voor verplaatsing en druk • drukknopen corresponderen met verplaatsingsbuiken en omgekeerd1 • een dicht uiteinde is een knoop voor verplaatsing (buik voor druk) • een open uiteinde is knoop voor druk (buik voor verplaatsing) Een open buis met lengte L heeft als laagste eigentrilling drukknopen bij begin en eind, dus de golflengte λ1 = 2L. Hogere eigentrillingen hebben λn = 2L/n, dus de frequenties worden gegeven door fn= n f1. Dit is dus precies zo als voor een snaar. Een halfdichte buis heeft een drukbuik bij het dichte eind, dus L= λ/4 voor de laagste eigentrilling, L= 3λ/4 voor de volgende, etc. Dus λn = 4L/(2n-1), en fn = (2n-1) f1 . In beide gevallen zijn de boventonen harmonisch, maar bij de halfdichte buis ontbreken de even harmonischen. Cruciaal bij blaasinstrumenten is: hoe ontstaat de trilling (bij ‘aanblazen’) en correspondeert het aanblaasuiteinde met een open of een dicht uiteinde? Men kan instrumenten onderscheiden op grond van waarmee de trilling gemaakt wordt: • labium (lip): labiaalpijpen orgel, fluiten de luchtstroom trilt, drukknoop aan het begin • (enkel of dubbel) riet: klarinet, saxofoon, hobo, fagot het riet (de luchtdruk) trilt, drukbuik aan het begin 1
Alleen voor cylindrische buizen geldt dit exact.
- 27 -
• •
trillende lippen: hoorn, trompet, trombone de lippen werken als riet, drukbuik aan het begin trillende stembanden: stem de banden werken als riet, drukbuik aan het begin
Fluiten en orgelpijpen Door tegen een labium (lip) aan te blazen, wordt de lucht in beweging gebracht, er is geen drukopbouw, dus er ontstaat ter plaatse van het labium een knoop voor druk en het labium werkt dus als open uiteinde. De lucht trilt met een (grond)frequentie, die toeneemt met de snelheid van aanblazen, zie de fig. 10.2. Bij ‘over-blazen’ springt deze naar een hogere mode. Verder zitten er in principe alle hogere harmonischen in. De ‘pijp’ bepaalt uiteindelijk welke frequenties ‘gebruikt’ worden: alleen die waarvan de bijbehorende golf in de pijp ‘past’. Deze zijn dus afhankelijk van de lengte en de vorm daarvan.
Fig. 10.2
Fluiten zijn (vrijwel) cylindrisch. Effectief zijn ze aan beide zijden open en de eigenfrequenties zijn harmonisch: fn = n f1. Gaten worden gebruikt voor hogere noten. Een groot gat werkt ongeveer als een open uiteinde, maar een klein gat ‘dempt alleen de trilling’. Door 'overblazen' (evt. geholpen door een extra gat), waardoor je een extra knoop afdwingt, kun je hogere noten (in hogere registers) spelen: een octaaf, octaaf+kwint, of zelfs 2 octaven hoger. Een blokfluit heeft een ‘vast’ labium met aanblaasspleet, relatief kleine gaten en 12 tonen in het laagste octaaf via deels dubbel geboorde gaten en combinatiegrepen. Bij een dwarsfluit blaas je in/tegen het gat in het mondstuk. De frequentieopbouw is te beïnvloeden door de stand van de mond en de lippen (embouchure). Een fluit heeft veel relatief grote gaten. Orgelpijpen lijken op fluiten, maar er zijn open, dichte, konische pijpen, pijpen met een schoorsteentje erop, etc. Dichte pijpen geven bij gelijkblijvende lengte een octaaf lagere toon. Tongwerken Tongwerken vormen een aparte categorie ‘blaasinstrumenten’. Ze worden gebruikt bij orgel, harmonium, harmonica en accordeon. Ze hebben een (metalen) membraan, de tong, die door de combinatie van zijn stijfheid en de drukopbouw van de luchtstroom in trilling gebracht wordt en daarbij periodiek de toegang tot de pijp (grotendeels) afsluit. Hierbij ontstaat een drukbuik. De trilling van de lucht bevat veel hogere harmonischen. De toonhoogte (frequentie van de grondtoon) wordt bepaald door de eigenschapen van de tong (lengte, massa, stijfheid), een eventuele pijp is alleen voor het versterken van de grondtoon en bepaalde boventonen. Klarinet en hobo Rietinstrumenten hebben een relatief soepel membraan, dat net zoals bij tongwerken via luchtdruk werkt, dus met een drukbuik. Samen met de lippen kan het echter op veel frequenties trillen. De toonhoogte wordt bepaald door de (resonanties van de) buis. Omdat een klarinet een cylindervormige buis is met een drukbuik bij het mondstuk, hebben de eigentrillingen golflengten gegeven door λn = 4L/(2n-1) en dus fn = (2n-1) f1. Dus ‘alleen’ oneven harmonischen! Een hobo is konisch geboord. Daardoor is de golflengte niet constant binnen de buis. Voor de effectieve golflengte geldt: λn = 2L/n, en dus fn= n f1. Een hobo gedraagt zich wat betreft gronden boventonen (en overblazen) dus als een fluit, ook al heeft de hobo een drukbuik aan het begin! Terwijl een klarinet dus geen of zwakke even harmonischen heeft, zijn die bij de hobo wel (en zelfs sterk) aanwezig. Bij hogere tonen worden deze verschillen kleiner, zie fig. 10.3.
- 28 -
Fig. 10.3 Trillinspatronen en boventoonopbouw van klarinet (links) en hobo (rechts).
NB. De gegeven ‘regels’ zijn voor ‘ideale’ gevallen: als de diameter van de buis te verwaarlozen is t.o.v. de lengte, er geen uitstulpingen zijn bij de gaten, het mondstuk ideaal is en er geen ‘beker’ aan het uiteinde is. Trompet en hoorn Op een buis zonder gaten of kleppen kun je alleen 'natuurtonen', de grond- en boventonen die horen bij de buis, spelen. De lippen, geholpen door de koppeling met de resonanties van de buis, functioneren als trillend riet. Er is dus een drukbuik bij het mondstuk. Bij een cylindrische buis zou je dan alleen oneven harmonischen krijgen. Maar door (de vorm van) het mondstuk en de beker (de wijder wordende beker houdt lagere frequenties meer binnen, zie fig. 10.4, de effectieve lengte van de buis is dan kleiner, dus de frequenties van de lagere eigentrillingen worden hoger) veranderen alle eigenfrequenties. Daardoor zijn toch alle (oneven en even) harmonischen te krijgen, maar de grondtoon is vaak niet helemaal goed, zie fig. 10.5.
Fig. 10.4 Laagste drie eigentrillingen van een trompet. De effectieve lengte is groter voor hogere modes.
- 29 -
Fig. 10.5 Eigenfrequenties (relatieve schaal) van cylinder (a), met beker (b), met beker en mondstuk (c).
Fig. 10.6 Akoustische impedantie van een trompet.
Een nuttig begrip is ‘akoustische impedantie’: de verhouding tussen de opgebouwde druk en de luchtstroom die door die druk ontstaat. De impedantie vertoont (resonantie-)pieken bij de eigenfrequenties van het instrument (fig. 10.6). De spanning (en massa) van de lippen selecteert de te spelen toon. Bij harder blazen is er een grotere bijdrage van hogere resonanties (meer boventonen), de klankkleur verandert. (Dit is een ‘niet-lineair effect’, wat bij snaarinstrumenten en andere blaasinstrumenten nauwelijks optreedt.) Door de hand in de beker te steken of een demper te gebruiken (‘gestopte’ trompet of hoorn) wordt de toon lager en krijg je betere resonantiepieken bij hoge frequenties. In moderne instrumenten worden drie ventielen gebruikt om de toonhoogte ½, 1 of 1½ toon (plus evt. de ‘som’ daarvan) te verlagen. De meest gebruikte hoorn is de F (+Bes, via 4e ventiel) hoorn. Deze klinkt een kwint lager dan genoteerd. De lengte van de buis is ongeveer 375 cm. De laagste toon is een ′B (62 Hz). Een C trompet van een deelnemer aan een eerdere cursus had een lengte van ongeveer 150 cm met een laagste toon c (131 Hz).
Opgaven 10.1 Hoe groot zijn de golflengte en frequentie van de grondtoon en de 2e boventoon van een gesloten cylindrische buis van 43 cm? 10.2 Wat is de grondtoon van een fluit van 66 cm? Waar ongeveer moet je een groot gat boren om een toon te krijgen die een halve toon hoger is? En waar voor een kwint hoger? 10.3 Het riet van klarinet heeft een eigenfrequentie van ongeveer 2 kHz. Wat gebeurt er als je het riet met je tanden stijf inklemt? En wat als je het met je lippen doet? 10.4 De laagste noot van een Bes-klarinet is d(147). Hoe lang moet de buis zijn in het ideale geval? In de praktijk is de klarinet langer. Probeer dat te verklaren. Zelfde vragen voor een hobo met laagste noot bes(233), die in de praktijk korter is. 10.5 Je speelt op een klarinet een g. Welke toon klinkt, als je ‘overblaast’ in het 2e register (je houdt dezelfde vingerzetting)? En in het 3e register? 10.6 Ga na hoe lang je de extra buisjes (als percentage van de totale lengte van de buis) op een hoorn met 3 ventielen moet kiezen om de toon zo goed mogelijk van één tot zes halve tonen te kunnen verlagen.
- 30 -
11. Strijkinstrumenten Twee kenmerken van strijkinstrumenten zijn van groot belang: een snaar wordt aangestreken en de trilling van de snaar brengt een klankkast (het lichaam/de kast van bijv. een viool), die zelf ook eigentrillingen heeft, aan het trillen. De trillingen van de klankkast beïnvloeden de sterkte van de grond- en boventonen, die in de snaar opgewekt worden, en bepalen daarmee de klank van het instrument. Trillingen van een snaar hebben we al behandeld in hfdst. 4. Trillende staven en platen De ‘terugdrijvende’ kracht bij trillende staven en platen is de schuifkracht (een kracht die optreedt als je probeert te buigen). Deze is afhankelijk van de elasticiteitsmodulus E (ook wel Young modulus Y genoemd) van het materiaal. Voor uitrekking van een staaf met lengte l en oppervlak O onder invloed van een kracht K geldt: ∆l 1 K = l EO De voortplantingssnelheid v van trillingen in een dunne staaf met dikte d wordt gegeven door:
v 2 = 2π f D E/ρ met f de frequentie van de trilling, D = d/√12 en ρ de dichtheid van het materiaal. In tegenstelling tot wat we bij snaren en lucht vonden hangt v af van de frequentie. De golflengten (en daarmee de frequenties) van de eigentrillingen hangen behalve van de afmetingen en dichtheid van het materiaal ook af van waar een ‘vast uiteinde’ of een ondersteuningspunt zit. De boventonen zijn i.h.a. niet-harmonisch. Door bijv. bij een xylofoon het staafje in het midden dunner te maken kun je de ligging van de boventonen beïnvloeden.
Fig. 11.1 Trillingspatronen van een vrije vierkante plaat met (relatieve) frequenties. De getallen boven de vierkanten geven het aantal knopen in horizontale en verticale richting aan.
De trillingspatronen (en frequenties) van trillende membranen (zoals van een trommel of pauk) en trillende platen zijn erg ingewikkeld, zie fig. 11.1. Voor een vioolblad zijn de belangrijkste trillingswijzen de tweede en derde. Goede violen blijken ‘mooie’ eigentrillingen van (een los) boven- en onderblad te hebben, met eigenfrequenties, die half tot één toon verschillen. Doordat de waarde van de elasticiteitsmodulus E van hout langs en dwars op de vaten van het hout sterk verschilt (een factor 12), moet een vioolblad ongeveer een factor √√12 = 1,85 langer dan breed zijn willen de trillingspatronen er netjes in passen (zie de formule voor v hierboven). - 31 -
Strijken Bij aanstrijken van een snaar met een strijkstok treedt een ‘glijgrijp’ ('slip-stick') mechanisme op, waarbij het haar van de strijkstok de snaar een klein stukje meeneemt, dan los schiet, en de snaar weer pakt. Of dat lukt, hangt af van het gebruik van hars, de snelheid van strijken, de druk van de strijkstok op de snaar en de plaats van aanstrijken. Door het aanstrijken ontstaat een soort rondlopende golf in de snaar, zie fig. 11.2, met veel hogere harmonischen (minder sterk afhangend van de plaats van aanstrijken dan bij aantokkelen). De trilling van de snaar wordt via de kam overgebracht op de kast. De kam beïnvloedt ook de boventonen. Maak je hem zwaarder (sordino!) dan worden de boventonen zwakker. De kast heeft resonanties van de via de stapel gekoppelde boven- en onderbladen en van de in de kast opgesloten lucht, die door de f gaten wel in verbinding met de buitenlucht staat. Daardoor is de responscurve van een viool als totaal voor de Fig. 11.2 Beweging van een snaar. trillingen van de snaar erg complex, zie fig. 11.3.
Fig. 11.3 Resonantiecurve van een viool. De plaats van de pieken en het gedrag tussen 1 en 5 kHz is van groot belang voor een goede klank.
Opgaven 11.1 Om de toonhoogte (en klank) te beïnvloeden kan men bij een xylofoon wat hout weghalen in het midden of aan de uiteinden van het houten plaatje. Wat is het gevolg in elk van beide gevallen? 11.2 Een vioolkast meet ongeveer 36 cm bij 21 cm, terwijl de snaarlengte 33 cm is. De laagste toon is een g. De laagste toon van een cello is een C (en de snaarlengte is 60 cm). Wat is de verhouding van de frequenties van die laagste tonen? Hoe groot zouden de kast en de snaar van een cello moeten zijn als het een ‘opgeschaalde’ viool was? 11.3 Bereken de afstand in cm op de snaar tussen tonen, die een halve toon verschillen, voor een viool, cello en bas. De snaarlengten zijn resp. 33, 60 en 104 cm. Vergelijk deze waarden met de dikte en (maximale) afstand tussen je vingers. 11.4 Hoeveel moet de spanning op de snaren toenemen als je een oude viool die op a(415) gestemd is naar a(440) verstemt, en ook de darmsnaar vervangt door een omwonden snaar die 10% zwaarder is?
- 32 -
12. Zangstem Stemweg Ons stemapparaat bestaat uit longen, luchtpijp, strottenhoofd, strotklepje, stemspleet met stembanden, keelholte, mondholte, huig, tong en lippen. Hiermee kunnen we verschillende klanken (fonemen genoemd) maken: klinkers en (stemloze of stemhebbende) medeklinkers, de laatsten onderverdeeld in explosieven (b,d,k,p,t), nasalen (n,ng,nj,m), fricatieven (f,ch,g,h,j,s, v,w,z), vibranten (r) en lateralen (l). Naast de hieronder besproken formanten spelen daarbij de lippen, de tong en de huig een grote rol. Hier gaan we alleen in op klinkers, omdat die continu te zingen zijn. De stemweg (stemspleet tot lippen) lijkt enigszins op een klarinet. De stembanden (eigenlijk zijn het stemplooien, die de stemspleet een aantal malen per seconde, dus met een bepaalde frequentie, open en dicht doen) komen overeen met het trillende riet van de klarinet. Door open en dichtgaan van de stembanden wordt de lucht in trilling gebracht. In deze trilling komen in principe alle harmonischen vanaf een bepaalde grondtoon voor. De bijdrage van de hogere harmonischen hangt af van de sterkte van de luchtstroom door de stempleet en de spanning van de stembanden. De keel/mondholte, samen het aanzetstuk genoemd, vormt de ‘buis’. Formanten Er zijn twee wezenlijke verschillen met een klarinet. Bij een klarinet is de diameter van de buis klein vergeleken met de lengte van de buis. Daardoor passen alleen bepaalde golflengten in de buis, bijv. een golflengte van 4 keer de lengte van de buis voor de grondtoon (zie hfdst. 10), en het riet gaat trillen met de frequentie, die bij die golflengte hoort. Veranderen van toonhoogte kan alleen door de buis langer of korter te maken (of in een hoger register te gaan spelen). Bij de stem is de lengte van het aanzetstuk ongeveer 17 cm. Als dat een rechte dunne buis was, zoals bij een klarinet, zou daarbij een grondtoon horen met een frequentie van 340/(4x0,17) = 500 Hz (en eerste en tweede boventonen van 1500 Hz en 2500 Hz) en zouden we alleen op die toonhoogte kunnen zingen. Met name de mondholte is echter relatief wijd t.o.v. haar lengte, wat tot gevolg heeft dat er ook andere golflengten in passen, die corresponderen met frequenties in de buurt van 500 Hz (en van 1500 en 2500 Hz) (zie het middelste plaatje in de bovenste helft van fig. 12.1). De pieken die daar te zien zijn worden formanten genoemd. Deze beslaan een breed frequentiegebied, wat het mogelijk maakt dat we dezelfde klinker op verschillende toonhoogten kunnen zingen. De toonhoogte wordt dan niet meer bepaald door de buis, maar door de frequentie waarmee de stembanden de stemspleet open en dicht doen. Die frequentie hangt af van de massa en lengte van de stembanden, en hun spanning (vgl. een snaar). De toonhoogte is lager bij mannen dan bij vrouwen, omdat de stembanden van mannen langer en dikker, en dus zwaarder, zijn dan die van vrouwen. Het bereik is globaal 80-320 Hz voor een bas, 150-550 Hz voor een tenor, 200-700 Hz voor een alt, en 300-1000 Hz voor een sopraan. Een tweede belangrijk verschil met een klarinet is, dat we de vorm van de buis, d.w.z. van het aanzetstuk (met name die van de mondholte), kunnen aanpassen. Maken we de mondholte wijd, dan lijkt de buis meer op die van een hobo. Dat beïnvloedt de frequenties van de (grond- en boven)tonen die in de buis passen en dus de frequenties van de formanten, d.w.z. de plaats van de pieken in de middelste plaatjes. Dat gebruiken we om verschillende klinkers te maken. De keel/mondholte werkt dus als een resonator met brede resonanties, ofwel een soort filter, dat bepaalde frequenties beter doorgeeft dan andere. In het linkse deel van de figuur is aangegeven welke frequenties de stembanden maken (de ‘input’) als een toon van 200 Hz gezongen wordt. Het meest linkse verticale streepje bij 200 Hz (0,2 kHz) is de grondtoon en verder zijn boventonen bij 400, 600, 800 Hz etc. te zien. In het middelste deel zijn de formanten (het filter)
- 33 -
te zien voor twee verschillende klinkers. Het rechter deel toont de ‘output’: hoe sterk zijn grond- en boventonen in het geluid dat uiteindelijk uit de mond komt. Dat patroon (die klank) is verschillend voor verschillende klinkers.
Fig. 12.1. Werking van ons stemorgaan. Links: Frequenties (grondtoon en boventonen) gegenereerd door de stembanden bij een grondtoon van 200 Hz; midden: ligging van de formanten; rechts: opbouw (grond- en boventonen) van het geproduceerde geluid. De bovenste helft is voor de klank ‘uh’ als in ‘de’, en de onderste helft voor ‘aa’ als in ‘baas’.
De ligging van de eerste twee formanten voor een aantal klinkers is gegeven in onderstaande tabel. Dit zijn de waarden voor een mannenstem. Voor een vrouwenstem liggen ze 10 - 15% hoger, en voor een kinderstem nog weer ongeveer 15% hoger. Deze twee formanten zijn het belangrijkste voor het herkennen van welke klinker we maken. (Maar ook de context waarin een woord gebruikt wordt, helpt bij het onderscheiden tussen woorden met verschillende klinkers.) Bij een ‘oo’ en een ‘oe’ zijn er weinig hoge boventonen (de hogere formanten liggen laag en zijn zwak), terwijl er bij een ‘ie’ juist veel (hoge) boventonen zijn.
aa ee ie oo uu oe
1e formant (F1) 750 Hz 350 Hz 300 Hz 450 Hz 300 Hz 400 Hz
2e formant (F2) 1300 Hz 1900 Hz 2200 Hz 900 Hz 1700 Hz 800 Hz
Bij zachtjes zingen hebben de hogere formanten weinig intensiteit. Bij sopranen die hoge noten zingen, bijv. een hoge g (787 Hz), treedt er iets merkwaardigs op: de frequentie van de (grond)toon is dan groter dan de frequentie van de eerste formant voor een aantal klinkers. Daardoor wordt de toon zwak en de klank onduidelijk. In de praktijk veranderen sopranen de vorm van de mondholte zodanig dat de eerste formant hoger komt te liggen, maar dat gaat ten koste van de verstaanbaarheid, omdat het verschil (in de ligging van de formanten) tussen de verschillende klinkers kleiner wordt. Het is dan moeilijk te horen of de zangeres ‘haar’, ‘hoor’ of ‘hoer’ zingt. En op hoge toon over ‘die Liebe’ zingen is helemaal uitgesloten (de eerste formant van de ‘ie’ ligt heel laag, zie de tabel). Mannenstemmen hebben dat probleem niet, omdat ze bij veel lagere frequentie zingen.
- 34 -
Een ander fenomeen is de zangersformant. De frequenties van zang liggen in dezelfde buurt als die van instrumenten in een orkest. Wil een zanger(es) toch boven het orkest uit te horen zijn, dan past hij/zij de vorm van de mondholte aan, zodat er een sterke formant in het gebied van 2000 – 3000 Hz ontstaat. Registers Bij zingen onderscheidt men verschillende registers, met name ‘borststem’ (lage tonen) en ‘kopstem’ (hoge tonen). Deze namen zijn gebaseerd op het idee dat resonanties van de borst-, resp. de keel/mondholte bepalend zijn, wat echter een achterhaald idee is. Het bepalende is welk deel van de stembanden gebruikt wordt. Bij lagere tonen doet een groot deel van de stembanden mee bij het open- en dichtklappen van de stemspleet en de stemspleet blijft langer dicht. In het hogere register, ook wel falsetstem genoemd, worden alleen de randen van de stembanden gebruikt. Die hebben een kleinere massa, wat (samen met hun spanning) een hogere toon geeft (vergelijk een snaar) en door de kortere sluitingstijd is ook de opbouw in boventonen anders. Een countertenor gebruikt zijn falsetstem om net zo hoog als een alt te zingen. Voor een mooie zangstem heb je goede stembanden plus een soepele overgang tussen de registers nodig. Bij ‘boventoonzingen’ produceert men veel boventonen, die versterkt worden door m.b.v. de mond/neus/voorhoofdsholte een sterke 2e formant te maken.
Opgaven 12.1 Ga na hoe onze mond staat als we een aa, ee, ie, oo, uu of oe fluisteren. 12.2 Verklaar waarom we bij fluisteren toch klinkers kunnen herkennen, terwijl de stembanden niets doen. Kun je de toonhoogte beïnvloeden? 12.3 Hoe zou het frequentieplaatje van het geluid eruit zien voor een gezongen toon van 300 Hz als onze stemweg een cylindrische buis van 17 cm was? En als het een konische was? 12.4 Wat gebeurt er met de toonhoogte en met de klank als je zingt met helium i.p.v. lucht in je keel? De geluidssnelheid in helium is 930 m/s. 12.5 Wat gebeurt er met de toonhoogte en klank als je een opname van een mannenstem op dubbele snelheid afspeelt? Lijkt het dan op een vrouwenstem?
- 35 -
13. Werking van het gehoor Bouw Bij het oor kan men de volgende onderdelen onderscheiden (zie fig. 13.1): buitenoor: oorschelp, gehoorgang (een breedbandresonator met frequentie van 3500 Hz), trommelvlies middenoor: hamer, aambeeld, stijgbeugel (hefboom) en beveiligingsspiertjes tegen overbelasting, ovale (drukversterking) en ronde venster binnenoor: halfcirkelvormige kanalen (evenwichtsorgaan), slakkenhuis met basilair membraan, orgaan van Corti met haarcellen, gehoorzenuw. ‘Daarachter’ bevindt zich een zeer complexe zenuw/verwerkingsstructuur in de hersenen: combineren van signalen van linker en rechteroor (richtingsbepaling, ruisonderdrukking/filtering), patroonherkenning, uiteindelijk uitmondend in wat wij ‘horen’ noemen.
Fig. 13.1 Bouw van het oor
Bepaling van de toonhoogte Dit is een ingewikkeld proces. Het begint ermee dat de geluidstrilling doodloopt in het slakkenhuis, waarbij de plaats waar dit gebeurt afhangt van de frequentie: lagere tonen lopen verder door, zie fig. 13.2 en 13.3 (von Békésy). De trilling brengt de haarcellen in beweging, waardoor zenuwcellen gaan vuren. Daarna vindt verwerking in het verdere zenuwstelsel en de hersenen plaats. Dit laatste is nodig om te verklaren dat we toonhoogte tot op fracties van een halve toon kunnen bepalen, terwijl de plaats waar de golf doodloopt een groot frequentiebereik beslaat, en dat we toonhoogte kunnen bepalen ook al ontbreekt de grondtoonfrequentie.
Fig. 13.2 ‘Uitgerold’ slakkenhuis.
Fig. 13.3 Trillingen in het slakkenhuis.
- 36 -
Voor dit laatste werd eerst aangenomen, dat door niet-lineaire effecten in het oor de grondtoonfrequentie in het oor werd gegenereerd (zie hieronder bij combinatietonen). Verder onderzoek, o.a. door Schouten en Smoorenburg in Nederland, heeft aangetoond dat het voornamelijk patroonherkenning in de hersenen is: uit het patroon van de boventonen, bijv. 400, 600, 800 en 1000 Hz van een afwezige grondtoon van 200 Hz, ‘leiden’ we de grondtoon af, en ‘horen’ we dus een 200 Hz toon. Andere ‘verwerkings’ effecten Tonen die dicht bij elkaar liggen groeperen we en we maken er een evt. een melodie van, maar tonen die flink in toonhoogte verschillen horen (groeperen) we in twee (of meer) groepen. O.a. Bach maakt daar in zijn vioolpartita’s fraai gebruik van om meerstemmigheid te suggereren. Er bestaat ook ‘gehoorbedrog’: we vullen ontbrekend geluid aan als dat in een patroon past. Consonantie/dissonantie Bij zuivere sinustonen met toenemend verschil in frequentie hoor je eerst zwevingen, vervolgens een ‘ruwe’ toon, en dan twee aparte tonen. De kritische bandbreedte is gedefinieerd als de frequentie verhouding, waarbij je net twee aparte tonen hoort. De ervaren luidheid hangt ook daarvan af: geluid met tonen buiten de kritische bandbreedte klinkt harder dan wanneer de tonen daarbinnen vallen. Dit heeft te maken met het al of niet exciteren van dezelfde zenuwen. De kritische bandbreedte is ongeveer 5/4e toon, maar bij frequenties onder 500 Hz wordt hij groter. Of wij twee tonen als consonant/dissonant ervaren hangt af van de afstand tussen hun grond- en (boven)tonen vergeleken met de kritische bandbreedte. Masking Een ander gevolg van de brede respons van het oor op een toon is ‘masking’: de aanwezigheid van een andere (nabijgelegen) toon maakt een toon moeilijker hoorbaar. Dit is te verklaren uit het ‘bezet zijn’ van de zenuwen. Een lagere toon onderdrukt een hogere meer dan omgekeerd, doordat de hogere toon eerder doodloopt in het slakkenhuis. Combinatietonen Deze worden ook wel Tartini-tonen genoemd, naar degene die het verschijnsel het eerst beschreven heeft. Het blijkt dat als je twee trillingen met frequenties f1 en f2 aanbiedt, het oor andere frequenties genereert, die uit combinaties van f1 en f2 te maken zijn: f = n1 f1 ± n2 f2, waarbij n1 en n2 gehele getallen zijn. Deze ontstaan in het oor, maar niet, althans niet alleen, door niet-lineaire effecten (vervorming), zoals bij audio versterkers. I.h.a. storen ze ons weinig, omdat de gegenereerde frequentie vaak al aanwezig is in de boventonen en omdat de sterkte mee varieert met die van de hoofdtonen (dit laatste is niet te verklaren met niet-lineaire effecten). De verschiltoon 2 fL – fH , waarbij fL kleiner is dan fH , is het duidelijkst te horen.
Opgaven 13.1 Welke toonhoogte(n) ervaar je als je een geluid hoort waarin de frequenties 200, 230, 402, 455, 608, 685, 799, 920 1005 en 1160 voorkomen? 13.2 Wat hoor je (qua toonhoogte en ‘soort’ toon) als je een toon van 800 Hz mengt met een even sterke van 798 Hz, of 810 Hz, of 840 Hz, of 1000 Hz?
- 37 -
14. Akoustiek De kwaliteit van een zaal qua spreken en muziek hangt af van o.a. de vorm van de zaal, de bekleding van de wanden, vloer en het plafond en aanwezigheid van publiek. Deze kunnen uitgedrukt worden in een aantal grootheden, die voor de kwaliteit van belang zijn. Eén van de belangrijkste parameters van een (concert)zaal is de nagalmtijd Tr : de tijd waarin het geluidsniveau 60 dB afgenomen is, plus de eis dat het een geleidelijke afname is, zonder waarneembare (later dan 30 ms) echo’s. De nagalmtijd wordt gegeven door de formule van Sabine: Tr = (0,16 s/m) V/Se, waarbij V het volume (in m3) van de ruimte is en Se het effectieve absorptieoppervlak (in m2): oppervlakte maal absorptiecoëfficient. De laatste hangt sterk af van het soort materiaal en van de frequentie. Absorptiecoëfficenten van enkele materialen bij verschillende frequenties
Steen Ongeschilderd beton Geschilderd beton Pleisterwerk Hout Zwaar tapijt op vilt Velours gordijnen Onbeklede stoel (leeg) Beklede stoel (leeg) Beklede stoel (bezet)
125 Hz 0,03 0,4 0,1 0,2 0,4 0,1 0,07 0,02 0,2 0,4
500 Hz 0,03 0,3 0,06 0,1 0,2 0,4 0,5 0,03 0,6 0,8
2000 Hz 0,05 0,4 0,1 0,05 0,15 0,6 0,7 0,06 0,6 0,9
De optimale waarde voor Tr is afhankelijk van het soort muziek (oplopend van ongeveer 0,9 sec voor spraak via piano, kamerkoor, kamermuziek, orkest tot 1,8 sec voor orgel) en de gewenste ‘kleuring’ (een grote waarde bij lage tonen klinkt ‘warm’, terwijl een kleinere waarde meer ‘helderheid’ geeft; een te kleine waarde bij hoge tonen geeft te weinig ‘brilliantie’). Verstrooiende elementen (evt. zelfs speciale diffusoren) zijn uiterst nuttig voor het beïnvloeden van de nagalmtijd en het vermijden van echo’s. Verder zijn van belang: - de clarity (helderheid): geluidsintensiteit in de eerste 80 ms vs. die na 80 ms - de lateral efficiency: de verhouding tussen ‘direct’ en ‘zijwaarts’ (weerkaatst) geluid; deze bepaalt de ruimtelijke indruk - de uniformiteit: overal in de zaal hetzelfde 'geluid' - de 'gladheid': afval van de sterkte zonder waarneembare echo's Terugkaatsende oppervlakken, zoals boven een kansel in een kerk, spelen hierbij, naast de genoemde verstrooiende elementen, een grote rol. In onze ruimtelijke (richtings) beleving spelen een rol: het tijdsverschil tussen beide oren het faseverschil tussen beide oren (alleen bij frequenties onder de 1 kHz) het intensiteitsverschil tussen beide oren de richtingsgevoeligheid van ons oor via de oorschelp.
- 38 -
Opgaven 14.1 Schat waarden van Tr voor lage en hoge frequenties voor een concertzaal met afmetingen 80×40×20 m3. Kies zelf het materiaal van de wanden en de bekleding. Wat gebeurt er als je alle afmetingen halveert? 14.2 Hoeveel tijd na het directe geluid komen de echo’s van het plafond, de zij- en de achterwand in een zaal van 50×40×15 m3, als je precies in het midden van de zaal zit? 14.3 Schat het tijdsinterval tussen verschillende lettergrepen en tussen verschillende fonemen als je rustig spreekt. Wat zegt dat over de gewenste waarde van Tr voor een collegezaal?
- 39 -
Appendix A Tonen en namen daarvan op een piano plus bereik van zangstemmen en een aantal instrumenten. De gegeven frequenties zijn voor de gelijkzwevende stemming. ''A 'A A a a' a'' a''' a'''' subcontra contra groot klein 1gestreept 2gestreept 3gestreept 4gestreept octaaf
- 40 -
Appendix B Sinus (en cosinus) functies
Definities
sin α = a / c
c
a
α
cos α = b / c
sin 2 α + cos 2 α = 1 (Pythagoras) voor α < 0 is sin α < 0 hoeken worden uitgedrukt in radialen i.p.v. in graden per definitie is 360o gelijk aan 2π radiaal, dus 1 rad(iaal) = 56,7o
b
1 α b
a
Voor een cirkel met straal 1 is de ‘hoogte’ a precies sin α en de ‘voet’ b is cos α.
- 41 -
Appendix C Logaritme Bij machtsverheffen, bijv. 23=8, heb je een grondtal: 2, een exponent (macht):3 en een uitkomst: 8. Je kunt uit de uitkomst en de macht het grondtal terugrekenen door wortel te trekken: 3 8 = 2 (je neemt de ‘3e machts wortel’). Je kunt ook uit uitkomst plus grondtal de exponent terugrekenen. Dat heet logaritme nemen: 2 log 8 = 3. Het getal 2 heet het grondtal van de logaritme. Heel bekende logaritmen zijn die met grondtal 10: 10log .. , afgekort, bijv. op een rekenmachine, tot ‘log’, en de ‘natuurlijke’ logaritme met grondtal e= 2,713: elog .., afgekort tot ‘ln’. Omdat je bij vermenigvuldigen van getallen geschreven met machten, de machten mag optellen (mits de grondtallen hetzelfde zijn): 8 µ 32 = 23 µ 25 = 28 = 256, kun je getallen vermenigvuldigen door hun logaritmen op te tellen en dan het grondtal tot die macht te nemen. Vroeger deed je dit met logaritmetafels en/of een rekenliniaal, tegenwoordig met een zakrekenmachine. Bijvoorbeeld met grondtal 10: 2 µ 3 = 6; 10log 2 = 0,30103, 10log 3 = 0,47712, optellen geeft 0,77815 (=10log 6) en 100,77815 = 6 (10 tot de macht 10log 6 is per definitie 6, want 10log 6 was de macht waartoe je 10 moest verheffen om 6 te krijgen).
- 42 -
Oplossingen opgaven 2.1
Uit de plaatjes vind je met hulp van een liniaal waarden van ongeveer 3,9, 3,1 en 3,4 ms, wat goed overeenkomt met 1/f (omdat f=1/T, geldt ook T=1/f).
2.2
Je vinger ‘kleeft’ even, laat dan los, kleeft weer, enz. Die ‘trilling’ is hoorbaar. Op de ruit kun je met een vergrootglas soms ook een ribbeltjespatroon zien. De frequentie wordt bepaald door hoe snel je vinger beweegt.
2.3
Een redelijke waarde is 30 tanden in 0,1 sec, dus 300 Hz, ongeveer de toon d′.
2.4
De lucht in de resonator gaat meetrillen en stimuleert door terugkoppeling de trilling van het plaatje, waardoor de amplitudo van de trilling groter wordt, maar er per seconde ook meer energie in de vorm van geluid uitgezonden wordt.
3.1
De geluidssnelheid v is een (vast) getal, dus bij gekozen λ ‘past’ f zich zo aan (of omgekeerd) dat f λ = v geldt.
3.2
Een temperatuurstijging van 3 graden geeft een toename van de geluidssnelheid met 1,8 m/s : 344 m/s = 0,53%. Bij gelijkblijvende golflengte (want de uitzetting van de fluit is te verwaarlozen) neemt dus ook de frequentie met 0,53% toe, dus bij 440 Hz met 2,3 Hz, wat overeenkomt met ongeveer 0,1 halve toon. Bij 880 Hz is 0,53% 4,7 Hz, maar het blijft ongeveer een 0,1 halve toon.
3.3
De tijd tussen twee klappen is 0,8 sec. Dan moet het geluid in 0,4 sec naar de wand en terug. In 0,4 sec legt geluid 0,4 s × 344 m/s = 138 meter af, dus staat de wand op een afstand van 69 m.
3.4
Omdat de golflengte van de geluidstrillingen vergelijkbaar is met de afmetingen van de badkamer, passen de geluidsgolven er goed in (bij een frequentie van bijv. 150 Hz hoort een golflengte van 344/150 = 2,3 meter). Door resonantie worden de geluidstrillingen dan versterkt.
3.5
λ = 344 m/s :1000/s = 0,344 m = 34,4 cm.
3.6
f = 344 m/s : 4 m = 86 Hz (ongeveer de noot F).
3.7
Even boventonen wil zeggen: n is oneven in de formule fn = n f1, dus 258 Hz, 430 Hz, 602 Hz etc.
3.8
Van de soort gas en de temperatuur, maar niet van de luchtdruk.
3.9
Hoger. De ‘massa’ is die van de lucht in de hals, die heen en weer beweegt. De terugdrijvende kracht is de drukverandering in de fles die daarvan het gevolg is. Als de ruimte in de fles kleiner wordt, geeft de beweging van de lucht in de hals een grotere drukverandering.
3.10 De grondfrequentie is 1/0,004 = 250 Hz. Dus hogere harmonischen hebben frequenties van 500 Hz, 750 Hz, 1000 Hz, etc.
- 43 -
3.11 De snelheid kan men schrijven als v = c √f = f λ (met c een constante), dus f λ2 = c2. Als er een geheel aantal halve golven in de staaf moet passen, geldt dat λn = λ1/n. Dan is dus fn = c2/λn2 = n2 c2/λ12 = n2 f1. 3.12 Asin(ωt+φ) tweemaal differentieren naar t geeft -Aω2sin(ωt+φ), dus er komt: -mAω2sin(ωt+φ) = - kAsin(ωt+φ). Dit is correct voor alle A en φ, mits maar voldaan is aan ω2=k/m. Acos(ωt+φ) gaat geheel analoog. Als je daarbij een φ kiest die 90 graden (π/2) kleiner is dan de φ van de sinus, zijn ze identiek.
4.1
Voor de laagste drie trillingswijzen geldt λ = 2L, λ = 2L/2 en λ = 2L/3. Dus 1,2 m, 0,6 m en 0,4 m.
4.2
De golflengte van de grondtoon is 0,6 m, dus de frequentie is 240/0,6 = 400 Hz. De golflengte van het geluid is de geluidssnelheid gedeeld door de frequentie, dus 340/400 = 0,85 m. De golflengte ligt vast door de lengte van de snaar. Je moet dus de voortplantingssnelheid van de trillingen in de snaar wijzigen. Dat kan door de spanning van de snaar te veranderen, of de massa (per lengte-eenheid) (een dikkere of dunnere snaar).
4.3
S = 11,35 kg x 9,81 = 111,3 N (de kracht moet in N uitgedrukt worden) µ = 3,1416 x (0,02 cm)2 x 100 cm x 7,6 g/cm3 = 0,955 g = 0,955 x 10-3 kg per meter (controle: 15,8 cm moet dus 0,158 x 0,955 g = 0,151 g wegen) v = √{(111,3 kgm/sec2)/(0,955 x 10-3 kg/m)} = 341,5 m/sec λ = 2 x 60 cm = 1,20 m, dus f = v/ λ = 285 Hz (ongeveer een cis') Met 7,25 kg vind je: v = 273 m/s, f = 227 Hz (de noot bes) en met 4,2 kg: v = 208 m/s, f = 173 Hz (de noot f).
4.4
Dit is een oplossing, mits (2πf)2 = (S/m)(2π/λ)2, dus f= √(S/m). De randconditie dat de uitwijking nul is bij x=0 is automatisch vervuld door de keuze van een sinusfunctie als oplossing. De conditie u=0 bij x=L levert op: 2πL/λ = nπ, dus λ = 2L/n, met n een geheel getal.
5.1
A is geen boventoon van 'F, maar a, die een boventoon van snaar A is, wel. Kennelijk resoneert de boventoon a van de A snaar met die van de 'F snaar.
5.2
Bij d, G, D, ′Bes, ′G, ′F (via a′′!), ... De d′ is resp. de 1e, 2e, etc. boventoon van de 5 eerst-genoemde tonen, en de 20e harmonische van ′F resoneert met de 3e harmonische van d′.
5.3
c, g, c′, e′, g′, x, c′′, d′′, e′′, … ; x komt niet overeen met een gewone toon. n × 65,4 Hz, met n een geheel getal groter dan 1, dus 130,8 Hz, 196,2 Hz, etc.
5.4
De 7e boventoon van ′F heeft een frequentieverhouding met f van 7/4 = 1,75, terwijl es′-f een verhouding 3/2 × 6/5 = 9/5 = 1,80 is.
- 44 -
5.5
Op 1/3e vanaf de hals gerekend. Een e′′, want er gaan nu 3 halve golflengten (van de grondtoon) in de snaar. Voor d′: op 1/4e van de lengte. Een a′′.
6.1
Geschreven e, a en b klinken als cis, fis en gis op een A-klarinet, maar moeten c, f en g zijn, dus er zijn 3 moltekens nodig. Een es (e met mol voorteken).
6.2
De melodische c kleineterts toonladder heeft de tonen c d es f g a b c bes as g f es d c.
6.3
De tonen a b cis d e fis g vormen een D groteterts toonladder of een b eolische toonladder.
6.4
De toonladder van Cis grote terts (cis, dis, eis=f, fis, gis, ais, bis=c, cis) heeft 7 kruizen, die van Des grote terts (des, es, f, ges, as, bes, c, des) 5 mollen.
6.5
Een interval van 8/7 maakt samen met een interval van 7/4 een octaaf. Als je vanaf een c 7/4 (968,8 cent) omhoog gaat kom je uit tussen de a (900 cent) en de bes (1000 cent).
6.7
Kwint omhoog plus kwart omlaag is 3/2 : 4/3 = 9/8. Kwart omhoog en kleine terts omlaag is 4/3 : 6/5 = 10/9. In cent 701,95 – 498,05 = 203,90, resp. 498,05 – 315,64 = 182,41.
7.1
Begin met c-e te berekenen; die wordt 3,9 cent te groot. Ga daarna (zie fig. 7.1) de ‘driehoeken’ gevormd door grote terts, kleine terts, kwint na, waarbij de som van de afwijkingen van de tertsen gelijk moet zijn aan de afwijking van de kwint.
7.2
7/4 komt overeen met 968,8 cent. 1000 cent is daar het dichtst bij, dus bijv. c-bes.
7.3
De toonstap voor een 53-toons evenredigzwevende stemming is 1200/53 = 22,64. Kleine terts: 14 x 22,64 = 316,97 i.p.v. 315,64, grote terts 17 x 22,64 = 384,90 i.p.v. 386,31 en kwint 31 x 22,64 = 701,87 i.p.v. 701,95.
7.4
De harmonischen van f zijn f′ c′′ f′′ a′′ c′′′ (d/es′′′) en die van a: a′ e′′ a′′ cis′′′ e′′′, dus a′′ is gemeenschappelijk. f-a met 220/176 = 5/4 is een reine grote terts. Als deze tonen niet precies gestemd zijn, hoor je de zwevingen van de twee iets verschillende a′′ ’s, die de 5e harmonische van f en de 4e van a zijn.
8.1
Een factor 2 in sterkte is 3 db. 2 violen samen dus 73 db en 10 violen 80 db.
8.2
Geluidssterkte neemt af met kwadraat van de afstand, dus met factor (25/5)2 = 25. Dat komt overeen met ongeveer 14 db.
8.3
13 db is een factor 20 in sterkte, en een factor √20 = 4,5 in geluidsdruk. 95% van de energie wordt dus tegengehouden. 23 db is een factor 200. Dan moet je dus 99,5% tegenhouden.
8.4
67, 60 en 53 db.
8.5
De lage tonen klinken te sterk t.o.v. de hoge tonen. - 45 -
9.1
4 × 200/0,8 = 1000 Hz.
9.2
(40 × 4)2 × 0,05 = 1280 N
9.3
Op 1/6e van de lengte. Op ongeveer 0,3 van de lengte.
9.4
De 5e en 7e harmonischen zullen zeer zwak zijn, en 4, 6 en 8 zwak.
10.1 Voor de grondtoon λ = 172 cm, dus 344/1,72 = 200 Hz. De 2e boventoon heeft een 5 maal zo grote frequentie, dus 1000 Hz. 10.2 344/(2×0,66) = 261 Hz. Een halve toon komt overeen met een frequentie-verhouding van 16/15, dus een lengteverhouding van 15/16. Dus op 4,1 cm van het einde. Voor een kwint op 2/3e, dus op 22 cm van het einde. 10.3 Dan kan het riet alleen met frequenties in de buurt van 2000 Hz trillen, en krijg je alleen de boventonen die daar liggen. Zachte lippen zorgen ervoor dat het riet over een breed gebied kan trillen (brede resonantiepiek). 10.4 Voor de grondtoon λ = 344/147 = 2,34 m, dus een lengte 2,34/4 = 58,5 cm. De beker werkt deels al als een open uiteinde, dus de lengte incl. beker (66,5 cm) is groter. Voor een hobo λ = 344/233 = 1,48 m, dus een lengte 1,48/2 = 74 cm. Het mondstuk is wijder en korter dan een zuivere conus, dus de lengte in werkelijkheid (64 cm) is kleiner. 10.5 De golflengte wordt een factor 3 kleiner, dus de frequentie een factor 3 (oktaaf + kwint) hoger, dus een d''. In het 3e register een factor 5, dus een b''. 10.6 Met ventielen voor een halve, hele en anderhalve toon kun je tot zes halve tonen lager spelen. De frequentieverhouding 1,0595 van de gelijkzwevende stemming nemend voor een halve toon zouden de bijbehorende lengtevergrotingen dan 1,0595n met n= 1, 2, …, 6 moeten zijn, wat oplevert: 1,060, 1,123, 1,189, 1,260, 1,335 en 1,415. Buisjes van 7%, 13% en 20% van de lengte van de oorspronkelijke buis vormen dan een redelijk compromis.
11.1 In het midden (of algemeen in een buik) is er weinig buiging. Massa weghalen beïnvloedt dus met name de massa term, dus de frequentie gaat omhoog. Massa weghalen aan de rand (of algemeen bij een knoop) verkleint de stijfheid (de terugdrijvende kracht), terwijl daar nauwelijks beweging is, dus de massaterm verandert weinig. De frequentie wordt dan dus lager. 11.2 De frequenties schelen een factor 3. Bij ‘schalen’ zouden de golflengten en de afmetingen dus een factor 3 groter moeten worden.
- 46 -
11.3 Een halve toon komt ongeveer overeen met 6% van de lengte, dus 2,0 cm, 6,2 cm.
3,6 cm en
11.4 10% groter vanwege de grotere massa, en dan nog een factor (440/415)2 voor de hogere frequentie is totaal ongeveer een factor 1,23.
12.2 Bij fluisteren krijg je door de instabiliteiten in de luchtstroom een ‘breedband ruis’ frequentiespectrum (alle frequenties, met relatief veel hoge frequenties erin). De formanten maken daarin weer pieken en dalen. 12.3 Een cylindrische buis van 17 cm (‘dicht’ bij de stembanden) zou formanten bij 500 Hz, 1500 Hz, 2500 Hz, etc. hebben, dus het geluid zou sterke componenten bij 600, 1500 en 2400 Hz hebben en zwakke bij 300, 1200, 1800 Hz. Bij een konische stemweg van 17 cm liggen de formanten bij 1000 Hz, 2000 Hz, 3000 Hz, etc. Dus het geluid zou sterke componenten bij 900, 1800 en 2100 Hz hebben en (zeer) zwakke bij 600, 1200, 2400 Hz. 12.4 De frequenties van de formanten gaan een factor 930/344 = 2,7 omhoog, maar de frequenties van de grond- en boventonen van de stembanden blijven dezelfde. De klank wordt dus totaal anders. 12.5 Alle frequenties in het geluid gaan een factor 2 omhoog, dus effectief de formanten ook. Een vrouwenstem heeft hogere frequenties, maar de formanten liggen slechts 1020% hoger dan die van een man.
13.1 Een toon van ongeveer 201 Hz (uit 402, 608, 799, 1005) en één van ongeveer 230 Hz (uit 455, 685, 920,1160). 13.2 799 Hz met langzame zweving, 805 Hz met snelle zweving, een ruwe dubbele toon, een consonante grote terts. 14.1 Het volume is 64000 m3 en het oppervlak 11200 m2. Bij een gemiddelde absorptiecoëfficient van 0,2 (0,4) voor lage (hoge) tonen vind je waarden van Tr van 4,5 en 2,3 s, dus (veel) te hoog. Bij een factor twee kleinere zaal zijn de waarden ook een factor 2 kleiner. 14.2 De afstanden die het terugkaatsende geluid moet afleggen zijn 39 m, 47 m en 75 m, vergeleken met 25 m voor het directe geluid. Dat geeft echo’s na 41 ms, 64 ms en 145 ms. 14.3 Bij 4 lettergrepen per seconde is het tijdsverschil 250 ms. Als het geluid 20 db afgenomen is, stoort het het volgende niet meer, dus dan is Tr < 0,75 sec voldoende. Voor fonemen kom je op een kortere tijd.
- 47 -
