0. Struktura matematické teorie Jedna kapitola celku „Výroková logika“ se zabývala výstavbou matematiky (matematické teorie). Na podrobnosti pojmů odkazuji do textu o výrokové logice. Zde provádím stručný výčet stavebních prvků. Axiomy – tvrzení, která se nedokazují jen se z nich vychází; jde o (primitivní) pojmy, které se pokládají za intuitivně jasné všem a nějaká tvrzení (jejich vlastnosti) o nich. Místo dokazování se diskutuje s cílem, že všichni zúčastnění budou mít stejnou představu. Definice – zavádějí něco nového – nové pojmy teorie (nyní již nejde o primitivní pojmy). Věty – tvrdí něco o zavedených pojmech (definovaných, eventuálně i primitivních); je nutné je dokazovat z definic a předchozích dokázaných vět (případně axiomů). Poznámky + příklady – ilustrují pojmy a rozšiřují intuitivní pohled. Modely – speciální konstrukce, na které se vytvořená teorie testuje a zhmotňuje. Na střední škole se žádné matematické téma takto důsledně nebuduje. Já to v tématu o vektorech a analytické geometrii takto udělám. Chci vám ukázat, že stavět matematiku je jako stavět zeď pečlivě cihlu po cihle. Když se to udělá ledabyle, hrozí, že zeď spadne. Nicméně předpokládám, že moji čtenáři a studenti jsou středoškoláci a tak ne všechny věty budeme dokazovat: buď jde o obtížný důkaz nad středoškolské možnosti, nebo bych vás unudil a otrávil pedanterií.
1. Pojem vektoru Co si představujeme pod pojmem židle? 1) tuto židli, tamtu židli, kolem stolu jsou čtyři židle – konkrétní kus 2) abstraktní pojem, který označuje všechny židle Když se začne mluvit o židli, nejprve nám vytane na mysli abstraktní pojem. Není blíže specifikovaný. Teprve dalšími informacemi se představa upřesňuje a konkretizuje na právě tuto a ne jinou židli. Konkretizace nemusí vždy nastat, můžeme se v celé úvaze pohybovat jen v abstraktní poloze. A tak je to i z jinými pojmy: strom, stůl, dům, … Lze říci, že židle jako abstraktní pojem je jakýsi zástupce všech židlí – třída židlí. Konkrétní židle je pak jedna instance - instalace – ta je vázaná na hmotu, na konkrétní bod prostoru. Vektor – co to je? Setkali jsme se s nimi ve fyzice = orientovaná úsečka: vždy konkrétní, vázaný na těžiště či jiný bod. V matematice se s tímto nespokojíme; provedeme následující konstrukci: Vezmeme uspořádané dvojice bodů (je jedno jestli roviny nebo prostoru – nebudeme to rozlišovat) [A,B], [C,D], [X,Y], …. Jde o uspořádané dvojice, proto [A,B] je něco jiného než [B,A] !!!
1.1 Definice: ekvipolentní dvojice bodů Říkáme, že uspořádané dvojice [A,B], [C,D] jsou ekvipolentní, ozn. [A,B] ~ [C,D] (dvojice A,B je ekvipolentní s dvojicí C,D), právě když střed bodů A,D je stejný bod jako střed bodů B,C.
1.2 Věta: ekvipolence je ekvivalence Relace ~ (ekvipolence) je ekvivalence, tj. je reflexivní: pro každé dva body A,B platí [A,B] ~ [A,B] je symetrická: pro každé čtyři body A,B,C,D platí [A,B] ~ [C,D] => [C,D] ~ [A,B] je tranzitivní: pro každých šest bodů A,B,C,D,E,F platí [A,B] ~ [C,D] a zároveň [C,D] ~ [E,F] => [A,B] ~ [E,F]
1.3 Poznámka: Vezměme množinu všech lidí a zaveďme ekvipolenci takto: dva lidé jsou ekvipolentní právě když jsou stejného pohlaví. Množina všech lidí se nám rozpadne na dvě (muže a ženy) disjunktní množiny. (Kdo bude připomínat hemafroidy, jen zbytečně komplikuje tuto poznámku.) Vezměme všechny stromy a ekvipolenci: dva stromy jsou ekvipolentní právě když jsou stejného rodu. Množina stromů se rozpadne na mnoho skupin: třešně, jabloně, hrušně, … Podobně ekvipolence vede k rozkladu množiny uspořádaných dvojic bodů, které jsou po dvou disjunktní.
1.4 Definice: vektor, umístění vektoru Vektorem u AB (z technických důvodů se často zapisuje místo se šipkou jen tučným
(bold) písmem u=AB ) nazýváme množinu všech ekvipolentních uspořádaných dvojic bodů s dvojicí [A,B]. Každý prvek vektoru, který do něj patří, každá dvojice [X,Y]~[A,B] se
nazývá umístění vektoru u
u Vektor o
AB .
AB {[ X ,Y ]
x
x
x ;[ X , Y ] ~ [ A, B]}
AA se nazývá nulový vektor.
1.5 Poznámka: Různá umístění téhož vektoru [A,B] ~ [C,D] ~ [E,F] => různé označení téhož vektoru AB CD EF V tomto textu budeme vektory psát tučně a někdy pro zdůraznění použijeme ještě šipku.
1.6 Definice: rovnost vektorů Dva vektory u, v se sobě rovnají, u = v, právě když obsahují stejné prvky.
1.7 Poznámka:
u
AB
XY
u = AB = XY
v UT ≠
VZ
v = UT = VZ
1.8 Definice: množina vektorů Množinu všech vektorů budeme značit Γ (velké řecké písmeno gama).
1.9 Poznámka: volný a vázaný vektor Vektor u Γ (jako třída) se nazývá volný vektor. Vektor AB se nazývá vázaný vektor. Nechť v=CD. O vektoru CD hovoříme jako o umístění vektoru v.
2 Základní operace s vektory 2.1 Definice: Operace sčítání vektorů Nechť AB, BC
Γ. Součtem rozumíme vektor AB+BC=AC Γ.
2.2 Poznámka: Používají se dvě konstrukce součtu vektorů. V první konstrukci je bod B koncovým bodem prvního vektoru a počátečním bodem druhého vektoru. u=AB v=BC u+v=AC Druhá konstrukce součtu vektorů má počáteční bod vektorů i výsledku v témže bodě [B,C]~[A,D] => BC=AD AB+AD=AC počáteční bod obou vektorů musí být týž AB+BB=AB => BB=o je nulový vektor a je neutrálním prvkem při operaci sčítání Z obrázku je zřejmé, že můžeme k výsledku AD dospět různými cestami ( AB + BC ) + CD = AC + CD = AD AB + ( BC + CD ) = AB + BD = AD => operace + je asociativní
u = AB = DC v = BC = AD u + v = AB + BC = AC = AD + DC = v + u => operace + je komutativní
AB + BA = AA = o vektory AB a BA jsou vzájemně opačné vektory BA = -AB úmluva: u + (-v) = u – v AB + (-BC) = AB – BC znaménko opačného vektoru budeme převádět na operaci minus stejně jako v aritmetice
2.3 Věta: vlastnosti sčítání vektorů Souhrnně platí: komutativní asociativní existence nulového prvku existence opačného prvku
pro každé u,v Γ: u+v=v+u pro každé u,v,w Γ: (u+v)+w=u+(v+w) existuje o Γ tak že pro každé u Γ: u+o=o+u=u ke každému u Γ existuje -u Γ : u+(-u)=(-u)+u=o
2.4 Příklad: Je dán kvádr ABCDEFGH. Napište vektor AG jako součet tří vektorů a to třemi různými způsoby a zakreslete je. řešení: například AG = AB + AD + AE, AG = AB + BC + CG, AG = AB + EF + DH
2.5 Příklad: V pravidelném šestibokém jehlanu ABCDEFV je označen střed základny S. Určete tyto součty: 1. AB + BC + CD + DE + EF + FA = 2. AS + AB + AF = 3. VB + BA – ES + SD – BF = řešení: 1. o , 2. AD , 3. VC
2.6 poznámka:
2.7 Definice: Operace násobení vektoru reálným číslem Nechť λ R je reálné číslo a u Γ je vektor, [A,B] u = AB je jeho jedno jeho umístění. Součinem reálného čísla λ a vektoru u rozumíme vektor λu, pro jehož jedno umístění [A,C] λu platí: 1.) λ=0 nebo u=o => C=A tj, [A,A] λu=o 2.) λ>0 => C leží na polopřímce AB tak, že vzdálenost AC je λ-krát větší než vzdálenost AB |AC|= λ |AB| 3.) λ<0 => C leží na polopřímce opačné k polopřímce AB tak, že |AC|= |λ| |AB|
2.8 Příklad: Jsou dány nenulové vektory u, v, w, t. Narýsujte vektor x = 2u + v – w – 3/2 t.
2.9 Příklad: Je dána krychle ABCDEFGH. Narýsujte vektory a) AK = AF + ½ ED – 2 GH b) BL = DC + 2 GF – 3/2 BD c) AM = AC + ½ BF – BH
2.10 Poznámka:
3. Abstraktní vektorový prostor 3.1 Definice: vektorový prostor Buď Γ množina, jejíž prvky budeme nazývat vektory a značit malými písmeny latinské abecedy se šipkou. Nechť na množině Γ je definována operace sčítání vektoru s těmito vlastnostmi:
1)
u, v
: u v
2)
u, v , w
3)
o
u
4)
u
( u)
5)
u, v
: u v
: (u v) w
u (v
w)
: u o o u u : u ( u) ( u) u o v u
Nechť R jsou reálná čísla, která budeme značit malými písmeny řecké abecedy. Nechť na množině Γ je definován operace násobení vektoru reálným číslem s těmito vlastnostmi:
6)
u
7)
u
,
R:
8)
u
,
R: (
9)
u, v
10)
u
:
1u u
11)
u
:
0u o
R:
o o
12)
R:
R:
u u ( u) (
)u
)u
u
u
(u v)
u
v
Je-li toto vše splněno, říkáme, že máme dán vektorový prostor nad reálnými čísly.
3.2 Definice: lineární kombinace Nechť u1 , u2 , , un je n vektorů a 1 u1
1,
2 ,... n
2 u2
R n reálných čísel. Vektor n un
se nazývá lineární kombinací vektorů u1 , u2 , , un .
3.3 Poznámka: Modely Model abstraktní matematické teorie je taková interpretace všech pojmů, která konkretizuje teorii. Od jedné teorie může být více různých modelů. My budeme rozvíjet abstraktní teorii vektorových prostorů na modelech. Vytvořit model vektorového prostoru nad reálnými čísly znamená: a) určit množinu Γ, tj vymezit, co pro nás bude vektor b) definovat sčítání vektorů a ověřit, zda platí vlastnosti 1-5 definice 3.1 c) definovat násobení vektoru a reálného čísla a ověřit, zda platí vlastnosti 6-9 def. 3.1 Ověřovat vlastnosti 10,11,12 nemusíme, neboť je lze dokázat z ostatních vlastností. KONEC
