Teorie pravděpodobnosti ve strojírenské technologii Ing. Oskar Zemčík, Ph.D. ● ● ● ●
základní pojmy používaná rozdělení pravděpodobnosti vztahy, definice výpočty
základní pojmy ●
●
žádnou součást nedokážeme vyrobit s absolutní přesností při výrobě součásti dochází k chybám –
systematické chyby (opři třískovém obrábění se
–
objevují vždy, například drsnost povrchu či rozrušená povrchová vrstva) náhodné chyby (nemusí se vždy vyskytnout, například deformace polotovaru při obrábění,chyba ustavení obrobku atd.)
Tyto chyby mohou nabývat různých hodnot a k jejich vyhodnocení můžeme použít teorii pravděpodobnosti.
základní pojmy teorie pravděpodobnosti ●
teorie pravděpodobnosti se zabývá matematickými zákonitostmi náhodných jevů. (tyto zákonitosti se projevují při dostatečně velkém počtu pokusů)
●
Náhodný jev je jev který nemá 100% pravděpodobnost výskytu. (například výskyt zmetku
základní pojmy teorie pravděpodobnosti ●
(například barva tělesa modrá, červená, bílá) ●
●
ve vyrobené sérii) ●
●
●
Základní soubor množina všech uvažovaných jednotek (například všechny kusy výrobní dávky) Znak je sledovaná vlastnost (kvantitativní – například
●
(například 10000ks výrobní dávky) ●
Relativní četnost poměr výskytu sledované vlastnosti k celkovému počtu zkoumaných jednotek (např. 40% pokud 4 součásti ze zkoumaných 10 byly bílé barvy)
základní pojmy teorie pravděpodobnosti
základní pojmy teorie pravděpodobnosti
kumulativní relativní četnost poměr počtu jednotek které leží do určité hraniční vlastnosti vůči celkovému počtu zkoumaných jednotek. (např. 31%, pokud 31 kusů Odhad je charakteristika určená pomocí výběru vztahující se na celý zkoumaný soubor jednotek (například 3ks valivých tělísek z 20 testovaných byly zmetky, odhadujeme tedy zmetkovitost výroby dané série tělísek na 15%)
●
Výběr je část základního souboru určená k analýze. (například při kontrole 10% vyrobené série) Rozsah počet jednotek v základním souboru.
počet vadných kusů, kvalitativní – např. barva tělesa)
valivých tělísek ze 100 zkoumaných má průměr menší než 10.05mm) ●
Definiční obor množina která obsahuje všechny hodnoty sledovaného znaku, které mohou nastat.
Nestranný odhad jeho střední hodnota je shodná s hodnotou odhadovaného parametru. Konfidenční interval interval v němž s požadovanou pravděpodobností leží odhadovaný parametr. (může bít omezený z jedné či obou stran)
●
Náhodná proměnná může nabývat náhodných hodnot. – spojitá (libovolná hodnota v určitém rozsahu) –
diskrétní (může nabývat jen určitých hodnot, například celočíselných atd., nebo v případě že zkoumané jednotku roztřídíme do určitých rozsahů hodnot, například valivá tělíska podle průměru po 0.02mm)
základní vztahy teorie pravděpodobnosti ●
Pravděpodobnost náhodného jevu P(A)
základní vztahy teorie pravděpodobnosti ●
(pravděpodobnost výskytu jevu a) ●
pro náhodný jev musí platit:
P A∪B=P AP B−P A∩B
0P A1 ●
●
jestliže je možných výsledků konečný počet n, jejich výskyt je stejně pravděpodobný a jsou vzájemně nezávislé pak : m P A= n
●
obecně pravděpodobnost výskytu alespoň jednoho ze zkoumaných jevů: (sjednocení) jestliže se jednotlivé jevy vzájemně vylučují, pak nemají společný průnik a platí obecné pravidloo : P A1∪ A2 ... Ai =P A1 P A2 ... P Ai
●
kde m je počet příznivých výsledků
pravděpodobnost současného výskytu vzájemně nezávislých jevů: (průnik) P A1∩ A2 ... Ai =P A1 ⋅P A2 ...⋅P Ai
základní vztahy teorie pravděpodobnosti ●
podmíněná pravděpodobnost výskytu jednoho ze zkoumaných jevů: (s jakou pravděpodobností nastane
příklad ●
jeden jev jestliže nastal jev druhý)
P A/ B=P
A∩B P B
příklad: počet zmetků: P(A)=0.05 P(B)=0.02
●
P A∪B=P AP B−P A∩B P A∩B=P A⋅P B=0.05⋅0.02=0.001 P A∪B=0.050.02−0.001=0.069 P A−P A∩B=P A∪B−P B=0.069−0.02=0.049 P B− P A∩B=P A∪B−P A=0.069−0.05=0.019 Celkem se dá předpokládat průměrně 6.9% (69ks) zmetků z nichž 4.9% (49ks) má pouze vadu vzniklou při tepelném zpracování 1.9% (19ks) pouze při broušení a 0.1% (1ks)obě vady.
V sériové výrobě vyrábíme jednoduchou čepovou součást. Dlouhodobým pozorováním bylo zjištěno, že při tepelném zpracování se vyskytuje 5% zmetků a při následném broušení 2% neopravitelných zmetků. Pokud nebude provedena kontrola po tepelném zpracování, kolik kusů z 1000, bude pravděpodobně dobrých, kolik zmetků bude mít obě vady a kolik pouze jednu z možných?
Charakteristiky statistického souboru ●
Aritmetický průměr (odpovídá průměrné hodnotě) n
x= ●
1 ∑x n i=1 i
Vážený aritmetický průměr (pokud máme jednotlivé členy roztříděny podle daného znaku, například valivá tělíska podle průměru) k
x=
1 ∑x n n i=1 i i
xi je pak střední hodnota intervalu a ni počet členů daného intervalu.
Charakteristiky statistického souboru ●
modus x - hodnota s největší četností náhodné proměnné (může jích být víc)
Charakteristiky statistického souboru ●
medián x - hodnota náhodné proměnné která dělí soubor na dvě stejné poloviny (předpokládá setřídění podle velikosti)
16
14
14
12
12
10
10
8
8
6
6
4
4
2 2 0 0
1 10,5
10,6
10,7
10,8
10,9
11
11,1
11,2
11,3
11,4
11,5
11,6
11,7
Charakteristiky statistického souboru ●
Variační koeficient V - určuje nám variabilitu rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny. V=
v procentech: s ∣x∣
3
4
5
Variační rozpětí R – nebo také obor či výběrové rozpětí rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny. Rozdíl mezi největší a nejmenší hodnotou znaku ve výběru.
●
Rozptyl s2 - průměrná hodnota čtverců odchylek náhodné proměnné od její střední hodnoty:
[%]
n
Charakteristiky statistického souboru Směrodatná odchylka σ – kvadratický průměr odchylek hodnot znaku od jejich aritmetického průměru.
2
s=
=
∑
●
1 2 x −x n i=1 i
=
∑
1 2 2 x −x n i=1 i
Výběrová směrodatná odchylka s – pro skutečný výpočet na empiricky zjištěné řadě čísel.
n
1 s= ∑ x − x2 n−1 i=1 i
s=
n
1 ∑ x2−n⋅x 2 n−1 i=1 i
n
1 ∑ x − x2 n i=1 i
2
s=
1 ∑ x 2−x 2 n i=1 i
Charakteristiky statistického souboru ●
Směrodatná odchylka součtu nezávislých náhodných proměnných: s x1x2 .. xn = s x1 s x2 ..s xn 2
n
n
7
●
Variační koeficient je použitelný i při porovnávání var. proměnných, které jsou v různých měrných jednotkách.
●
6
Charakteristiky statistického souboru
s ∣x∣
V =100
2
11,8
●
2
2
Součinitel poměrného rozpětí k – ukazuje závislost směrodatné odchyclky na variačním rozpětí 6s k=
R
v případě, že ztotožníme polovinu tolerance rozměru s variačním rozpětím: 3s k=
Vyhodnocení charakteristik statistického souboru
Charakteristiky statistického souboru ●
Součinitel poměrné asymetrie α
●
snažíme se dosáhnou hodnot α = 0
charakterizuje nesouměrnost rozdělení náhodné veličiny vzhledem ke středu tolerančního pole.
– – –
=
●
x− As
Ukazatel ekonomické přesnosti výrobního zařízení W – –
Příklad za předpokladu normálního rozdělení náhodné veličiny.
Koeficient poměrného rozpětí λ - je definován jako kvadrát podílu výběrové směrodatné odchylky polovinou tolerančního pole s =
poměr mezi n - násobkem směrodatné odchylky a šířkou tolerančního pole pro normální rozdělení 2σ (+- 1σ) =>68.3% 4σ (+- 2σ) =>95.5% 6σ (+- 3σ) =>99.7% 8σ (+- 4σ) =>99.9937%
Přesnost strojního obrábění a zákony rozdělení
Charakteristiky statistického souboru ●
střed tolerančního pole je shodný se středem křivky rozdělení. další variantou je případ, kdy Jmenovitý rozměr odpovídá středu tolerančního pole. snažíme se toho dosáhnout seřízením výrobního zařízení
Alternativní rozdělení Náhodná veličina nabývá pouze dvou hodnot. ●
(například dobrý kus/zmetek, 0/1, 5mm 10mm atd. )
P X =x1= p P X =x2=1− p
2
x= p⋅x11− p⋅x2 s 2= p⋅1− p⋅ x1− x22 Příklad v daném souboru se nachází 3% zmetků, tj. 1 – 0.03 = 0.97 97% dobrých kusů. d.kus
zmetek
0
Binomické rozdělení ●
Použijeme ho v případě, že náhodná veličina může nabývat diskrétních hodnot (0,1,2,3,4...n) se stejnou pravděpodobností pro každou hodnotu. (n představuje počet pokusů p pravděpodobnost s jakou nastane požadovaný jev a k, kolikrát jev nastane)
20
40
60
80
100
120
Příklad použití Binomického rozdělení ●
Jaká je pravděpodobnost při hodu kostkou, že padne číslo 6 právě 1x 2x.. až 10x? 0,350
0,300
0,250
0,200
0,150
n! k n−k k n−k P X =k = n ⋅p 1− p = p 1− p n−k ! k ! k
0,100
0,050
0,000 2
x=n⋅p
2 x
s =n⋅p 1− p
3
4
5
6
7
8
9
10
Obdobně například jaká je pravděpodobnost že mezi 100ks výrobků budou právě 2 zmetky.
Poissonovo rozdělení ●
Rovnoměrné rozdělení
Poissonovo rozdělení se používá k aproximaci binomického rozdělení pro velký počet pokusů, tzn. a malou pravděpodobnost výskytu sledovaného jevu v jednom pokusu se stejnou pravděpodobností pro každou hodnotu. (používá
●
pro spojité veličiny, kdy v daném rozsahu je pravděpodobnost výskytu konstantní (například pravděpodobnost, že se v daném časovém rozmezí nastane náhodná porucha )
hustota pravděpodobnosti
distribuční funkce
se pro málo pravděpodobné jevy, n by mělo být větší než 30 a p menší než 0.1, resp p-1 > než 0.9)
P X =k =
k − e k!
x= s 2=
Protože je pravděpodobnost výskytu konstantní platí také, že
f x=
= x=n⋅p
1 b−a
střední hodnota a rozptyl: ●
x=
2
ab 2
s2x=
b−a 12
●
Normální rozdělení (Gaussovo) ●
funkce hustoty
f x =
1 e s2
− x−x 2 s2
x
F x =
x−a b−a
Je jedno z nejdůležitějších rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny. Tímto rozdělením pravděpodobnosti se sice neřídí velké množství veličin, ale dobře aproximuje řadu jiných pravděpodobnostních rozdělení (spojitých i diskrétních). V souvislosti s normálním rozdělením jsou často zmiňovány náhodné chyby, např. chyby měření, způsobené velkým počtem neznámých a vzájemně nezávislých příčin. Proto bývá normální rozdělení také označováno jako zákon chyb.
Normální rozdělení (Gaussovo)
distribuční funkce 2
F x=
Normální rozdělení (Gaussovo)
Rovnoměrné rozdělení ●
v intervalu (a≤x≤b)
1 ∫e s 2 −∞
− x−x2 2 s2
●
dx
funkce hustoty pravděpodobnosti má charakteristický zvonovitý tvar a je symetrická kolem střední hodnoty
1,200 1,000 0,800
0,600
1 f x = e s2
0,400
− x−x2 2 s2
2σ 4σ
0,200
6σ
0,000
8σ
-4,6 -4 -3,4 -2,8 -2,2 -1,6 -1 -0,4 0,20 0,80 1,40 2,00 2,60 3,20 3,80 4,40 -4,9 -4,3 -3,7 -3,1 -2,5 -1,9 -1,3 -0,7 -0,1 0,50 1,10 1,70 2,30 2,90 3,50 4,10 4,70
●
s rostoucí hodnotou s se splošťuje
plocha pod křivkou ●
řešení
pravděpodobnost, že hodnota bude ležet ve zvoleném rozsahu je dána plochou pod gaussovou křivkou v tomto rozsahu. Lze ji proto definovat pomocí integrálu: x2
1 P x1≤ x≤ x2= ∫e s 2 x1
●
analytické řešení nelze vyjádřit pomocí elementárních funkcí:
− x−x2 2 2s
postupujeme tedy jednodušším způsobem
Normované normální rozdělení
způsoby řešení ●
–
●
●
graficky
funkce hustoty
rozdělíme plochu pod integrálem na konečný počet částí, jejichž plochu nahradíme obdélníkem, lichoběžníkem případně lichoběžníkem s obloukovou výsečí.
1 f x= e s2
početně substitucí a využitím předem vypočtených tabulkových hodnot x− x =z s
z
1 z = ∫e s 2 0
s2z =1
distribuční funkce −z 2 2
z
F x =
f x=
1 ∫e s 2 −∞
−z 2 2
dz
f z s
− z2 2
hodnoty funkce Φ(z) jsou tabulkově dány
Příklad
příklad hodnot funkce Φ(z) ● ●
uložení hřídele v náboji Φ36H8/h7 vzniká rozměrový řetězec se třemi členy – – –
●
Náboj 3639 0 0 hřídel 36−25 vůle (má nulovou velikost jmenovitá hodnoty a tvoří závěrný člen)
seřídíme výrobní zařízení tak, aby střední hodnota ležela na středu tolerančního pole každého členu a šířka tolerančního pole odpovídala hodnotě 6σ.
Příklad
příklad
Střední hodnota vůle bude pak bude zjevně
●
●
AsAz=(AsA1-AsA2)
tj. AsAz=(36,195-35,875)=0,032mm
hodnota směrodatné odchylky
●
– – –
Náboj sA1=39µm/6=6,5µm hřídel sA2=25µm/6=4,16µm vůle s = s 2 s2 = 6,5 24,166 2=7,72 Az
A1
předpokladu správného seřízení výrobních zařízení na +- 3σ a střed tolerančního pole):
substituce z1,z2 x 2−x 20−32 x 1−x 10−32 = =−1,55 z 1= = =−2,85 z 2= s 7,72 s 7,72 –
z
A2
z =
v rozsahu +- 3s, tj s pravděpodobností 99,73% bude vůle nabývat hodnot. vmin= 32-3(7,72)=8,9µm vmax= 32+3(7,72)=55,2µm ●
− z2 2
−z =1−−z pro z2>z1
Aplikace teorie pravděpodobnosti na lineární rozměrové řetězce
pro určení hodnot Φ(z) můžeme použít –
1 ∫e s 2 0
P 0,01≤x−0,02= z2− z1
příklad ●
určení pravděpodobnosti, že vůle bude ležet v daném rozsahu, například 00,2 (za 0.1
●
předpokládáme, že úchylky jednotlivých členů rozměrového řetězce jsou náhodné
●
vyjdeme ze střední směrodatné odchylky závěrného členu, podle teorie pravděpodobnosti je hodnota směrodatné odchylky součtu nezávislých proměnných (v našem případě závěrného členu)
tabulkové hodnoty (ve skriptech jsou hodnoty pro ½ intervalu)
–
Tabulkový procesor MS Excel, OO Calc atd. z2=-1,55 z1=-2,85
Φ(z)= Φ(z)=
normsdist(z2) normsdist(z1)
0,060570758 0,002185961
P 0,01≤x−0,02= z2− z1=0,0605−0,0021=0,0584
s x1x2 .. xn ⇒ s z =
tj. 5,84%
Aplikace teorie pravděpodobnosti na lineární rozměrové řetězce ●
ze vzájemného vztahu mezi směrodatnou úchylkou a polovinou tolerančního pole: s =
●
2
z=
1 z
∑ s
2 i
Aplikace teorie pravděpodobnosti na lineární rozměrové řetězce ●
výpočet velikosti jednotlivých členů rozměrového řetězce: x z = As z z⋅ z =∑ Asi i⋅i −∑ As j j⋅ j
2 i
střední hodnoty jednotlivých členů rozměrového řetězce pak pak spočítáme v závislosti na jejich střední hodnotě tolerančního pole: x− Asi i = i
∑ s
x=Asi i⋅i
●
výpočet tolerancí jednotlivých členů rozměrového řetězce (pro +-3σ je λ všech členů 1/9): 2 s 2 2 = ⋅ =s
z⋅ z =∑ i⋅i 2
2
pokud pro všechny členy řetězce platí stejná hodnota λ (například ½ pro +-3σ) z =∑ i 2
2
Selektivní montáž ●
●
●
aplikujeme ji v případě, kdy požadujeme vyšší přesnost součástí, než jsme schopni zajistit výrobou předpokladem jsou odpovídající měřidla
Selektivní montáž, příklad ●
●
kroužek zvětšující člen a vnitřní kroužek s valivými tělísky zmenšující členy).
jednotlivé variační obory mohou – –
stejnou šířku (velké rozdíly v četnosti) rozdílnou šířku (rozdílné přesnosti výsledného celku, tj část výrobků zařadíme do méně přesné třídy)
kuličkové ložisko s vůlí mezi valivými členy ±3µm rozměrový řetězec se skládá z vnějšího kroužku, 2x valivého tělíska, vnitřního kroužku a vůle (přičemž vůle je závěrný člen, Vnější
●
předpokládaná šířka tolerančního pole jednotlivých členů –
příklad ložiska ZKL
pokud rozdělíme celkovou toleranci rovnoměrně s tím že vzhledem k velikosti valivých tělísek použijeme u kroužků dvojnásobnou hodnotu: ∆Az=∆A1+∆A2+2∆A3
Selektivní montáž, příklad ∆Az=∆A1+∆A2+2∆A3 6µm=2µm+2µm+2*1µm ●
● ●
●
vyrábět s podobnou přesností je technicky a finančně náročné zvolíme ekonomickou přesnost dvou komponent rozdělíme zvolené variační obory na potřebný počet skupin třetí komponentu dopočítáme, jako kombinaci dvou předcházejících (podle pravidel pro lineární
rozměrové řetězce)
anglické výrazy ● ●
● ● ●
normální rozdělení: normal distribution funkce hustoty rozdělení : probability density function roztyl (σ2) : variance střední hodnota : mean směrodatná odchylka : standard deviation
