Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory Přednáška MATEMATIKA č. 1

Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:[email protected]

7. 10. 2010

Jiří Neubauer



Základní pojmy teorie množin

Množinou rozumíme souhrn určitých objektů chápaných jako samostatný celek. Tyto objekty nazýváme prvky množiny. Zápis x ∈ M , resp. x 6∈ M čteme: x je, resp. x není prvkem množiny M. Pro každý objekt x a množinu M platí právě jedna z možností x ∈ M , nebo x 6∈ M. A=B A⊂B A∪B A∩B A−B

rovnost množin množina A je podmnožinou množiny B sjednocení množin průnik množin rozdíl množin

Jiří Neubauer



Základní pojmy teorie množin Nechť A a B jsou dvě množiny. Množina všech uspořádaných dvojic (x, y ), kde x ∈ A, y ∈ B se nazývá kartézský součin množin A a B, značí se A × B. Libovolnou podmnožinu kartézského součinu nazýváme binární relace. Zobrazením f z množiny A do množiny B nazýváme každou binární relaci takovou, že každému prvku x ∈ A je přiřazen nejvýše jeden prvek y ∈ B. N Z R C

množina přirozených čísel množina celých čísel množina reálných čísel množina komplexních čísel

Jiří Neubauer



Aritmetický vektorový prostor Podprostor vektorové prostoru Lineární kombinace vektorů Lineární závislost a nezávislost vektorů Báze a dimenze vektorového prostoru

Vektorové prostory Definice Množina V libovolných prvků (značíme je ~a, ~b, . . . , ~y , ~z říkáme jim vektory) se nazývá vektorový prostor, jestliže: a) Je dáno zobrazení V × V → V , které každé uspořádané dvojici vektorů (~a, ~b) ∈ V přiřazuje vektor ~a + ~b ∈ V tak, že pro každé vektory ~a, ~b, ~c ∈ V platí axiomy: (A1) ~a + ~b = ~b + ~a, (A2) ~a + (~b + ~c ) = (~a + ~b) + ~c , (A3) ke každému vektoru ~a ∈ V existuje vektor ~o ∈ V tak, že platí ~a + ~o = ~a, (A4) ke každému vektoru ~a ∈ V existuje vektor −~a ∈ V tak, že platí ~a + (−~a) = ~o .

Toto zobrazení se nazývá sčítání na množině V a vektor ~a + ~b je součet vektorů ~a, ~b. Jiří Neubauer




Vektorové prostory Definice Množina V libovolných prvků (značíme je ~a, ~b, . . . , ~y , ~z říkáme jim vektory) se nazývá vektorový prostor, jestliže: b) Je dáno zobrazení R × V → V , které každé uspořádané dvojici (r , ~b) ∈ V přiřazuje vektor r ~b ∈ V tak, že pro každá reálná čísla r , s ∈ R a pro každé vektory ~a, ~b ∈ V platí axiomy: (A5) (A6) (A7) (A8)

1 · ~a = ~a, r (s~a) = (rs)~a, (r + s)~a = r~a + s~a r (~a + ~b) = r~a + r ~b.

Toto zobrazení se nazývá násobení vektoru reálným číslem a vektor r~a se nazývá reálný násobek vektoru ~a.

Jiří Neubauer




Aritmetický vektorový prostor

Definice Uspořádanou n-tici reálných čísel ~a = (a1 , a2 , . . . , an ), n ∈ N nazýváme n-rozměrným aritmetickým vektorem. Reálná čísla a1 , a2 , . . . , an nazýváme souřadnicemi aritmetického vektoru ~a. Definice Aritmetický vektor ~o , jehož všechny souřadnice jsou rovny nule, tj. ~o = (0, 0, . . . , 0), nazýváme nulovým aritmetickým vektorem.

Jiří Neubauer




Aritmetický vektorový prostor

Definice Uspořádanou n-tici reálných čísel ~a = (a1 , a2 , . . . , an ), n ∈ N nazýváme n-rozměrným aritmetickým vektorem. Reálná čísla a1 , a2 , . . . , an nazýváme souřadnicemi aritmetického vektoru ~a. Definice Aritmetický vektor ~o , jehož všechny souřadnice jsou rovny nule, tj. ~o = (0, 0, . . . , 0), nazýváme nulovým aritmetickým vektorem.

Jiří Neubauer




Aritmetický vektorový prostor Definice Řekneme, že aritmetický vektor ~a = (a1 , . . . , an ) je roven aritmetickému vektoru ~b = (b1 , . . . , bn ), jestliže platí ai = bi pro každé i = 1 . . . n. Píšeme ~a = ~b. Součtem aritmetických vektorů ~a = (a1 , . . . , an ) a ~b = (b1 , . . . , bn ) nazýváme aritmetický vektor ~a + ~b = (a1 + b1 , . . . , an + bn ). Nechť r ∈ R. Reálným násobkem aritmetického vektoru ~a = (a1 , . . . , an ) je aritmetický vektor r~a = (ra1 , . . . , ran ). Opačným aritmetickým vektorem k aritmetickému vektoru ~a = (a1 , . . . , an ) nazýváme aritmetický vektor −~a = (−a1 , . . . , −an ). Rozdílem aritmetických vektorů ~a = (a1 , . . . , an ) a ~b = (b1 , . . . , bn ) rozumíme součet aritmetický vektor ~a a aritmetického vektoru opačného k aritmetickému vektoru ~b, ~a − ~b = (a1 − b1 , . . . , an − bn ). Jiří Neubauer




Podprostor vektorové prostoru

Definice Nechť V je vektorový prostor, W neprázdná podmnožina množiny V . Řekneme, že množina W je podprostor vektorového prostoru V , a píšeme W ⊂ V , jestliže platí: (1) Pro každou dvojici vektorů ~a ∈ W , ~b ∈ W je ~a + ~b ∈ W . (2) Pro každé reálné číslo r ∈ R a každý vektor ~a ∈ W je r~a ∈ W .

Jiří Neubauer




Lineární kombinace vektorů

Definice Nechť ~a,~a1 , . . . ,~ak jsou prvky vektorového prostoru V . Řekneme, že vektor ~a je lineární kombinací vektorů ~a1 , . . . ,~ak , jestliže existují reálná čísla c1 , . . . , ck taková, že platí ~a =

k X

ci ~ai = c1~a1 + · · · + ck~ak .

i=1

Čísla c1 , . . . , ck se nazývají koeficienty lineární kombinace.

Jiří Neubauer




Lineární kombinace vektorů Definice Nechť ~a1 , . . . ,~ak jsou prvky vektorového prostoru V . Množina [~a1 , . . . ,~ak ] všech lineárních kombinací vektorů ~a1 , . . . ,~ak se nazývá lineární obal vektorů ~a1 , . . . ,~ak . Věta Jsou-li ~a1 , . . . ,~ak vektory z vektorového prostoru V , pak jejich lineární obal [~a1 , . . . ,~ak ] je podprostorem vektorového prostoru V . Definice Nechť ~a1 , . . . ,~ak jsou vektory z vektorového prostoru V . Jestliže každý vektor ~a ∈ V je lineární kombinaci vektorů ~a1 , . . . ,~ak , říkáme, že vektorový prostor V je generován vektory ~a1 , . . . ,~ak a těmto vektorům říkáme množina generátorů vektorového prostoru V. Jiří Neubauer












Lineární kombinace vektorů Věta Nechť ~a1 , . . . ,~ak je množina vektorů z vektorového prostoru V a ~b1 , . . . , ~bq jsou vektory, které vznikly z vektorů ~a1 , . . . ,~ak jedním z následujících způsobů: a) změna pořadí vektorů, b) násobením libovolného vektoru nenulovým reálným číslem, c) přičtením k libovolnému vektoru lineární kombinace ostatních vektorů, d) vynecháním vektoru, který je lineární kombinací ostatních, e) přidáním vektoru, který je lineární kombinací ostatních vektorů. Jestliže vektory ~a1 , . . . ,~ak tvoří množinu generátorů vektorového prostoru V , pak také vektory ~b1 , . . . , ~bq tvoří množinu generátorů vektorového prostor V . Jiří Neubauer




Lineární závislost a nezávislost vektorů

Definice Nechť ~a1 , . . . ,~ak jsou vektory z vektorového prostoru V . Řekneme, že vektory ~a1 , . . . ,~ak jsou lineárně závislé, jestliže existují reálná čísla c1 , . . . , ck , z nichž alespoň jedno je různé od nuly, taková, že platí c1~a1 + · · · + ck~ak = ~o V opačném případě se vektory nazývají lineárně nezávislé.

Jiří Neubauer





Věta Nechť ~a1 , . . . ,~ak jsou vektory z vektorového prostoru V , k ≥ 2. Vektory jsou lineárně závislé právě tehdy, když alespoň jeden z nich je lineární kombinaci ostatních. Věta Nechť ~a1 , . . . ,~ak jsou lineárně nezávislé vektory z vektorového prostoru V , k ≥ 2. Pak také vektory ~a1 , . . . ,~ak−1 jsou lineárně nezávislé.

Jiří Neubauer





Věta Nechť ~a1 , . . . ,~ak jsou vektory z vektorového prostoru V , k ≥ 2. Vektory jsou lineárně závislé právě tehdy, když alespoň jeden z nich je lineární kombinaci ostatních. Věta Nechť ~a1 , . . . ,~ak jsou lineárně nezávislé vektory z vektorového prostoru V , k ≥ 2. Pak také vektory ~a1 , . . . ,~ak−1 jsou lineárně nezávislé.

Jiří Neubauer




Báze a dimenze vektorového prostoru Definice Množina generátorů vektorového prostoru V , jejíž vektory jsou lineárně nezávislé, se nazývá báze vektorového prostoru. Věta Nechť V je vektorový prostor s bázi ~a1 , . . . ,~ak . Pak každá skupina k lineárně nezávislých vektorů ~b1 , . . . , bk ∈ V tvoří také bázi vektorového prostoru V . Věta Existuje-li ve vektorovém prostoru V báze o k vektorech, pak každá skupina obsahující více než k vektorů je lineárně závislá.

Jiří Neubauer





Jiří Neubauer





Jiří Neubauer




Báze a dimenze vektorového prostoru Definice Počet vektorů v libovolné bázi vektorového prostoru V se nazývá dimenze vektorového prostoru V a značí se dim V . Věta Jestliže W je podprostor vektorového prostoru V , pak platí dim W ≤ dim V . Rovnost dim W = dim V platí právě tehdy, když W = V. Věta Nechť ~a1 , . . . ,~ak jsou vektory z vektorového prostoru V . Platí dim[~a1 , . . . ,~ak ] ≤ min{dim V , k}.

Jiří Neubauer





Jiří Neubauer





Jiří Neubauer


Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

Recommend Documents