SPŠ a VOŠ Kladno
DYNAMIKA
1. ZÁKLADNÍ POJMY DYNAMIKA je částí mechaniky, která se zabývá studiem pohybů těles z hlediska příčin jejich vzniku (působení sil, momentů)
Základní pojmy v dynamice: Hmotnost
mechanická vlastnost hmotného útvaru (tělesa, hmotného bodu), která je mírou jeho odporu (setrvačnosti) proti změně pohybového stavu vyvolaného působícím silami
m[kg] Prostor
souřadnicový systém
l [m] Čas t [s]
Ostatní jednotky používané v dynamice lze pomocí základních vyjádřit Síla
kvalitativně i kvantitativně popisuje působení mezi hmotnými objekty (tělesy, hmotnými body)
F[N = kg.m.s-2]
Pozn. Vzájemné silové působení dvou nebo více těles (běžně se též používá termínu interakce těles) se může projevovat dvěma naprosto odlišnými způsoby:
→ →
při vzájemném dotyku (bezprostředním kontaktu) obou těles, prostřednictvím silových polí, aniž by se objekty dotýkaly (typická je taková interakce mezi hmotnými objekty v gravitačních polích nebo mezi nabitými tělesy v polích elektrických a magnetických) Důsledky silového působení mezi tělesy pak lze rovněž rozdělit do dvou rozdílných kategorií:
→ →
1. deformace tělesa − v takovém případě se jedná o statický účinek působící síly, 2. změna pohybového stavu tělesa − zde hovoříme o dynamických účincích působící síly.
-1-
SPŠ a VOŠ Kladno
DYNAMIKA
2. POHYBOVÉ ZÁKONY (NEWTON) Jedná se o tři základní zákony (vlastně axiomy) klasické mechanik zformulované Isaacem Newtonem již v druhé polovině 17. století. Vysvětlují pohybové účinky síly na hmotné body nebo na tělesa, jež lze hmotnými body nahradit. Je ale třeba zdůraznit, že existují jisté meze platnosti newtonovské klasické mechaniky. Na jedné straně jsou dány jevy probíhajícími vysokými rychlostmi blížícími se rychlosti světla ve vakuu a velkými hmotnostmi pohybujících se objektů − podobné děje zkoumá a vysvětluje teorie relativity, na druhé straně pak (v oblasti mikrosvěta) musíme použít k vysvětlení určitých skutečností závěrů kvantové mechaniky.
1. Zákon setrvačnosti Každé těleso (hmotný bod) setrvává v klidu nebo rovnoměrném přímočarém pohybu, pokud není nuceno vnějšími silami tento stav změnit Pozn. Klid a rovnoměrný přímočarý pohyb jsou rovnocenné pohybové stavy tělesa ( a = 0 )
2. Zákon zrychlující síly Síla F - příčina změny pohybu a
Z pokusu je zřejmé, že zrychlení vozíku je - přímo úměrně na síle F a≈F
F m
- nepřímo úměrně na jeho hmotnosti m 1 a≈ m F
Spojením obou závěrů dostaneme druhý pohybový zákon: Velikost zrychlení hmotného bodu (tělesa) je přímo úměrná velikosti výslednice působících sil a nepřímo úměrná hmotnosti hmotného bodu (tělesa) F a= m Častěji se používá druhý pohybový zákon ve tvaru
F = ma
základní rovnice dynamiky
N = kg .ms −2 Newton představuje sílu, která tělesu o hmotnosti 1kg uděluje zrychlení 1ms −2 Zrychlující síla je rovna součinu hmotnosti tělesa a jeho zrychlení Tíhové zrychlení uděluje tělesům tíhová síla, kterou jsou tělesa přitahována Zemi FG = mg
-2-
SPŠ a VOŠ Kladno
DYNAMIKA
3. Zákon akce a reakce Fr reakční síla
Každá akce (akční síla) vyvolává stejně velkou reakci (reakční sílu), tj. sílu stejné velikosti, stejného směru, ale opačné orientace (smyslu) Fr = − Fa
Pozn. Akce a reakce netvoří silovou soustavu (nelze tvrdit, že jsou v rovnováze), nepůsobí na jedno těleso G = Fa akční síla
APLIKACE NEWTONOVÝCH POHYBOVÝCH ZÁKONŮ Impuls síly a hybnost hmoty F = m.a = m.
∆v ∆t
F .∆t = m.∆v F .(t − t 0 ) = m.(v − v 0 ) = m.v − mv0 , kde I = F .(t − t 0 ) ... impuls síly = časový účinek síly
[I ] = N .s
∆H = m.(v − v0 ) = m.v − mv0 …změna hybnosti hmotného bodu (tělesa) H 0 = m.v0 … počáteční hybnost H = m.v … konečná hybnost [H ] = kg.m.s −1 = Ns Pokud t0 = 0 F .t = m.v − m.v0 I = H − H0
Impulsu zrychlující síly se rovná změně hybnosti Pokud v0 = 0 (těleso se uvádí do pohybu z klidu) F .t = m.v
-3-
SPŠ a VOŠ Kladno
DYNAMIKA
I=H
Pozn. Stejně velký impuls síly získáme součinem větší síly a kratší doby, nebo naopak součinem menší síly a delší doby F1 .t1 = F2 .t 2 Pozn. F .∆t = m.∆v = ∆H F = m.a = m.
∆v ∆H = … jiná interpretace 2.pohybového zákona ∆t ∆t
Zákon o zachování hybnosti Izolovaná soustava dvou těles (žádná jiná tělesa na ně nepůsobí) Tělesa těsně před kontaktem v01
Tělesa při vzájemném působení
v
v02
F1 m1
F2
m2
H 01 = m1 .v01 H 02 = m2 .v02 Celková hybnost soustavy H c = H 01 + H 02
Akce a reakce F1 = − F2 , kde podle 2.pohyb.zákona
F1 =
∆H1 ∆t
F2 =
∆H 2 ∆t
∆H 1 − ∆H 2 = ∆t ∆t
Při stejném ∆t →
∆H1 = −∆H 2
Změny hybností jsou stejně velké a mají opačný směr H 1 − H 01 = −( H 2 − H 02 ) ⇒ H 01 + H 02 = H 1 + H 2
Zákon o zachování hybnosti – celková hybnost izolované soustavy těles se vzájemným silovým působením nemění (viz teorie rázu)
-4-
SPŠ a VOŠ Kladno
DYNAMIKA
Působí-li na sebe dvě tělesa o různých hmotnostech po stejnou dobu silami opačného smyslu při
v01 = 0 a
v02 = 0 platí :
H1 = H 2 m1.v1 = m2 .v2 (výstřel střely z děla)
Setrvačná síla (přímočarý pohyb) směr pohybu
Zrychlující síla (tažná síla motoru) F - uvede automobil do pohybu rovnoměrně F zrychleného se zrychlením a = m - vyvolá reakční sílu FS = F , tedy sílu o
a
Fs
F
stejné velikosti FS = m.a , sílu setrvačnou
m
Setrvačná síla působí vždy proti smyslu zrychlení
Příklad Pohyb výtahu směrem vzhůru Rozjezd
Dojezd
pohyb zrychlený
pohyb zpomalený
FL
FS
FS
D: m = 400kg a = 2ms −2
a
a
směr pohybu
FL
Určit zatížení lana výtahu jedoucího vzhůru při rozjezdu a dojezdu, je-li hmotnost kabiny s nákladem 400kg a zrychlení (zpomalení) pohybu 2ms-2
FG
FG
Řešení a/ Rozjezd FL − FS − FG = 0
FL = FS + FG = m(a + g ) = 400(2 + 9,81)
FL = 4724 N b/ Dojezd FL + FS − FG = 0
-5-
U: FL
SPŠ a VOŠ Kladno
DYNAMIKA
FL = FG − FS = m(q − a ) = 400(9,81 − 2 )
FL = 3124 N
Odstředivá síla (rotační pohyb)
Fc R
an d
Fd
m
Příčinou rotačbího pohybu hmotného bodu je dostředivá síla v2 2 Fd = m.an = m.R.ω = m. , kde R −2 an ms … dostředivé zrychlení
[ ] ω [s ] … úhlová rychlost v[ms ] … obvodová rychlost −1
−1
Ze zákona akce a reakce platí Fc = Fd , kde Fc … odstředivá síla (reakce) v2 Fc = m.an = m.R.ω 2 = m. R
-6-
SPŠ a VOŠ Kladno
DYNAMIKA
1.3. MECHANICKÁ PRÁCE A ENERGIE, VÝKON, PŘÍKON, ÚČINNOST 1.3.1 Mechanická práce W Mechanickou práci konáme, tlačíme-li po podlaze bednu nebo táhneme vozík, zvedáme-li těleso do výšky. Mechanickou práci koná motor při jízdě, jeřáb při zvedání břemene. Překonáváme-li odpory silou po určité dráze, konáme mechanickou práci.
Práce W síly F je skalární fyzikální veličina, vyjadřující dráhový účinek síly při přemísťování hmotného bodu (nebo tělesa) – tato fyzikální veličina charakterizuje působení této síly po dráze s.
1.3.1.1 Mechanická práce síly stálé velikosti Posouvání břemene W = F.s [W] = N.m = kg.m2.s-2 = J (joule)
F s
Ft
Mechanická práce W je rovna součinu dráhy a průmětu síly ve směru dráhy (nebo naopak)
Zvedání břemene
F
h
W = F.h = G.h = m.g.h
G
Grafické znázornění práce
-7-
SPŠ a VOŠ Kladno
F
F.sinα α F.cosα
s
Ft
DYNAMIKA
W = F.cosα.s Ze vztahu je patrné, že největší práci daná síla vykoná tehdy míří-li ve směru posouvání tělesa, naopak žádná (nulová) práce se vykoná tehdy, bude-li síla F orientována vzhledem ke směru přemísťování hmotného bodu kolmo
W = F ′.s = G. cos α .s = G.h Práce vykonaná při zvedání tělesa kromě jeho tíhy závisí pouze na výšce, do které těleso zvedáme, nikoli na dráze s
h
α
F F'=G.cosα
G.cosα
G
G
Práce síly na klice (rotační pohyb)
R φ
) ) W = F .s = R.R.ϕ = M . ϕ ) W = M .ϕ
F
W = M. ϕ , ϕ [rad] … úhel pootočení kliky Práce při jedné otáčce kliky: W = F.R.2π Práce při i otočení klikou : W = F.R.2π.i -8-
F s
SPŠ a VOŠ Kladno
DYNAMIKA
1.3.1.2 Mechanická práce síly proměnné velikosti
Práce pístového motoru W = Σ Fi . ∆si = Fs . s Fs = ps . S kde ps … střední tlak S… plocha pístu V = S . s … zdvihový objem ⇒ W = ps . V
1.3.2 MECHANICKÁ ENERGIE E[J] Každé těleso je schopno konat práci když se pohybuje nebo je schopno se pohybovat. Tuto schopnost hmotnosti vykonávat práci nazýváme energií. Energie E hmotného bodu (tělesa) je skalární fyzikální veličina. Její jednotka je stejná jako fyzikální jednotka práce J − joule. To často vede k nesprávnému chápání této veličiny a jejímu ztotožnění s mechanickou prací. Podstata obou fyzikálních veličin je však odlišná, i když mezi nimi existuje poměrně úzká vazba. Práce v žádném případě není energií a energie není prací Pozn.
-9-
SPŠ a VOŠ Kladno
DYNAMIKA
→
Pro práci je charakteristické působení určité síly po určité dráze a toto působení rozhodně není záležitostí okamžitou, ale odehrává se po jistý kratší či delší čas. Práce vždy souvisí s konkrétní silou - . „síla koná práci“
→
Energie je fyzikální veličinou charakterizující přímo příslušný hmotný objekt, a to v daném bodě a v daném časovém okamžik. Je veličinou popisující stav příslušného objektu. Říkáme, že „těleso (resp. hmotný bod) má určitou energii"
Energie může mít nejrůznější formy (mechanická, tepelná, elektrická, světelná, chemická, jaderná, energie magnetického pole aj.) − v mechanice hmotného bodu (tělesa) zavádíme jednak energii pohybovou (kinetickou) a také energii polohovou (potenciální).
Energie polohy – potenciální Potenciální energie Ep hmotného bodu je skalární fyzikální veličina vycházející ze vzájemného silového působení mezi tělesy. Charakterizuje polohu určitého hmotného objektu (bodu nebo tělesa) v silovém poli objektu jiného (v homogenním tíhovém poli Země) Její změna (přírůstek) je rovna práci, kterou je třeba vykonat, abychom příslušný hmotný bod přemístili z původní výšky ho do jiné větší výšky h. Snadno lze odvodit, že velikost vykonané práce udává výraz W = ∆Ep = Ep − Epo = m.g.h − m.g. ho . Je-li základní výška ho totožná s povrchem Země, kdy volíme ho = 0 m, je potenciální tíhová energie hmotného bodu o hmotnosti m ve výšce h dána známým výrazem Ep = m.g.h F
W = F. h = G.h = m.g.h = Ep m
E p = m.g .h
[J ]
h
G F
G
Energie pohybová – kinetická Kinetická energie Ek hmotného bodu je skalární fyzikální veličina charakterizující pohybový stav hmotného bodu. v0
v
v
F
S
S=
v0 + v .t 2
a=
v − v0 t
v v0
m
s t
- 10 -
SPŠ a VOŠ Kladno
DYNAMIKA
v − v0 t Práce síly na dráze s: F = m.a = m.
v − v0 v0 + v m.(v 2 − v0 ) W = F .s = m.a.s = m. . .t = t 2 2 1 1 2 W = F .s = m.v 2 − m.v0 = E K − E K 0 = ∆E K 2 2 2
Změna kinetické energie (přírůstek nebo úbytek) ∆Ek je rovna práci sil, jež na hmotný bod působí při změně jeho rychlosti z počáteční hodnoty vo na konečnou hodnotu v. Kinetická energie Ek hmotného bodu o hmotnosti m, pohybujícího se rychlostí o velikosti v, je tedy dána vztahem EK =
1 2 mv 2 Pozn. Celková kinetická energie EK soustavy hmotných bodů (molekuly plynu v nádobě, střepiny granátu, tělesa sluneční soustavy) je dána součtem kinetických energií jednotlivých bodů
EK =
1 1 1 2 2 2 m1v1 + m2 v2 + .... + mn vn 2 2 2
Zákon zachování mechanické energie F m
Ep = m.g.h h
v2 1 m.g .h = m.g . = m.v 2 2g 2
Ek = G
v.t 2
g=
v t
v
G F
Volný pád
h=
1 m.v 2 2
⇒
- 11 -
t
h=
v2 2g
SPŠ a VOŠ Kladno
DYNAMIKA
Při všech mechanických dějích se mění kinetická energie tělesa (hmotného bodu) v potenciální a naopak, celková mechanická energie soustavy je však konstantní E = Ek + Ep = konst.
Obecný zákon zachování energie: Při všech dějích v izolované soustavě těles se mění jedna forma energie v jinou, nebo přechází energie z jednoho tělesa na druhé, celková energie soustavy se však nemění
1.3.3 Výkon, příkon, účinnost V praxi posuzujeme činnost strojů a lidí nejen podle práce, kterou vykonají, ale také podle doby, za kterou práci vykonají. Fyzikální veličina vyjadřující, jak rychle se práce vykoná, je výkon
Výkon P - je skalární fyzikální veličina charakterizující „rychlost“ konání mechanické práce. Jestliže je za čas t vykonána práce W, pak průměrný výkon za tuto dobu definujeme výrazem W PP = t Průměrný výkon ovšem nevyjadřuje, jestli je či není práce danou silou konána rovnoměrně (tzn. ve stejných časových intervalech vykonat vždy práci stejně velkou). Proto kromě průměrného výkonu zavádíme i výkon okamžitý ∆W P= ∆t Jednotkou veličiny výkon je watt (W). Platí ..... 1 W = 1 J.s−1 = 1 kg.m2.s−3 .
Okamžitý výkon lze ale vyjádřit i dalším důležitým vztahem, který získáme úpravou výrazu P=
W F.s = = F.v t t P = F.v
.
Z tohoto vztahu je zřejmé, že při pohybu přímočarém rovnoměrně zrychleném (vyvolaném silou stálé velikosti působící ve směru pohybu) musí okamžitý výkon též rovnoměrně vzrůstat. Pozn. Výkon člověka je 70 ÷ 80W Výkon žehličky – 1200W Výkon lokomotivy – 3,4 MW
- 12 -
SPŠ a VOŠ Kladno
DYNAMIKA
W můžeme vyjádřit práci W = PP .t Odtud vyplývá, že pro práci můžeme t použít jednotku wattsekunda, přičemž platí, že W.s=J. S touto jednotkou, nebo spíš s jejím násobkem kilowatthodina, se setkáváme v energetice, např.při měření spotřebované elektrické energie ( 1 kWh=3,6.106 J)
Ze vztahu PP =
Výkon při otáčivém pohybu Působí-li síla F stálé velikosti ve směru tečny ke kruhové dráze s (na klice, řemenici, ozubeném kole apod.), lze k vyjádření výkonu využít následujících vztahů
) F .s F .R.ϕ = = M .ω , kde t t … obvodová rychlost
P = F .v =
[
v m.s −1
]
M [N .m] … moment (krouticí)
ω [rad .s −1 ] … úhlová rychlost
V technické praxi se často vyjadřuje z uvedeného P P vztahu krouticí moment Mk : M k = = , kde ω 2.π .n n s −1 … otáčky
[ ]
U vodních strojů (vodní turbíny, čerpadla) se užívá pro výpočet výkonu vztah W m.g .h V .ρ .g .h P= = = = Vt .ρ .g .h , kde t t t Vt m 3 .s −1 … objemový průtok
[ ] ρ [kg.m ] … hustota kapaliny −3
h[m] … spád
Účinnost η stroje Dokonalost strojního zařízení posuzujeme podle toho, kolik dodané energie se přemění v užitečnou práci Účinnost definujeme jako podíl výkonu P tohoto stroje a jemu dodávaného příkonu Ppř . Také ji lze také vyjádřit jako podíl práce W strojem v určitém časovém úseku vykonané a energie E „dodané“ („přiváděné“) stroji za tutéž dobu
η=
P W = [1] Ppř E
Účinnost tak představuje míru využití energie. η<1
- 13 -
SPŠ a VOŠ Kladno
DYNAMIKA
Skládá-li se strojní zařízení z několika (n) strojů o účinnostech η1, η2, …ηn a tyto stroje jsou řazeny za sebou, je celková účinnost zařízení dána součinem jednotlivých účinností η c = η1 .η 2 .....η n
Příklad: Elektrická lokomotiva působí při rozjezdu na vlak tažnou silou 150 kN a po 2 minutách má souprava rychlost 108 km.h−1. Jak velkou práci lokomotiva vykoná a jaký je průměrný výkon jejích motorů? Lokomotiva působí na vlak stálou tažnou silou (což je proti reálnému rozjezdu vlaku jisté zjednodušení a navíc se zde vůbec neberou v úvahu odporové síly !!!); tedy jeho pohyb bude rovnoměrně zrychlený se zrychlením o velikosti
a=
v 30 m.s −1 = = 0,25 m.s−2 . t 120 s
Za danou dobu vlak ujede dráhu
s=
1 2 1 a t = . 0,25 m.s−2 . (120 s)2 = 1 800 m . 2 2
Tažná síla tudíž na této dráze vykoná práci
W = F.s = 150 000 N . 1 800 m = 2,7.108 J = 270 MJ . Průměrný výkon motorů lokomotivy za danou dobu pak bude
Pp =
W 2,7.10 8 J = = 2,25.106 W = 2 250 kW . t 120 s
Odpověď: Práce tažné síly lokomotivy má hodnotu 270 MJ a průměrný výkon jejích motorů při rozjezdu vlaku je 2,25 MW.
Fs F1
F2 m
1.4 DYNAMIKA POSUVNÉHO POHYBU F1, F2 … vnější síly (působení jiných těles)
F1 F2
a
- 14 -
Fv
SPŠ a VOŠ Kladno
DYNAMIKA
Fv m FS …setrvačná síla (odpor proti pohybu) představuje reakci hmoty na změnu pohybového stavu a má jiný charakter než vnější síly Fv … výslednice vnějších sil – udílí tělesu zrychlení a =
D'Alembertův princip: Při jakémkoli pohybu tělesa jsou vnější síly v rovnováze se sílou setrvačnou Rovnováha (podmínka rovnováhy) Fv − Fs = 0
POZN. Pomocí d'Alembertova principu převádíme (zavedením setrvačné síly) dynamické úlohy na úlohy statického charakteru Př. Svislý start rakety se zrychlením a = 4 g D: m = 400kg – hmotnost rakety a = 4g U: F – tažná síla motoru
F
Podmínka rovnováhy:
Směr pohybu
ΣFiy = 0
F − G − Fs = 0 F = G + Fs = mg + ma = mg + m4 g = 5mg F = 5.40000kg.9,81ms −2
a G
F = 1,962.10 6 N
Fs VOLNÝ POHYB – těleso se za pohybu nestýká s jiným tělesem
VÁZANÝ POHYB – pohyb tělesa omezený vazebními podmínkami; vazba pak představuje vazebnou sílu (reakci) UVOLNĚNÍ TĚLESA – vazební podmínky (vazby) nahradíme příslušnými reakcemi (vazbovými silami) a pohyb takto uvolněného tělesa uvažujeme jako volný
- 15 -
SPŠ a VOŠ Kladno
DYNAMIKA Pohyb tělesa po vodorovné rovině
Směr pohybu FR
Fn a φ
F
Fs Ft Pohyb tělesa po nakloněné rovině
bu y h o rp ě Sm Fn
a
F
G.sinα Fs
α α
G.cosα
Ft G
Pro pohyb těles ve vzduchu platí Fo = c x . p D .S x [N], kde
Fo [N] … odpor proti pohybu cx … součinitel odporu tělesa cx = 0,01 až 1,34 - 16 -
SPŠ a VOŠ Kladno
v2 [Pa] 2 ρ = 1,29 [kg.m-3] Sx [m2] v [ms-1] p D = ρ.
DYNAMIKA
dynamický tlak vzduchu hustota vzduchu (měrná hmotnost) čelní plocha tělesa ve směru pohybu rychlost pohybu
Pohyb rychlého dopravního prostředku FN
Odpor vozidla proti pohybu FT = m.g.ψ , kde
ψ =
ζ ´+ f č .r R
ζ [mm]
Fo
fč r [mm]
G
F − Fo − FT − Fs = 0 FN − G = 0
Odpor prostředí (vzduchu) Fo = c x . p D .S x = c x .ρ . K = cx .
ρ
v2 .S x 2
tvarový součinitel
2
F
Fs
trakční součinitel, kde rameno valivého odporu poloměr kola Podmínky rovnováhy součinitel čepového tření poloměr čepu
R [mm]
FT
Fo = K .S x .v [N] 2
Osobní automobily K = 0,22 až 0,37 Náklad.aut. Autobusy
K = 0,4 až 0,5 K = 0,37 až 04
Setrvačná síla Fs = m.a , kde m [kg] hmotnost vozu a [m.s-2] zrychlení vozu
1.5. DYNAMIKA OTÁČIVÉHO A SLOŽENÉHO POHYBU TĚLESA
- 17 -
SPŠ a VOŠ Kladno
DYNAMIKA
1.5.1 ZÁKLADNÍ ROVNICE DYNAMIKY PRO ROTAČNÍ POHYB Fz
FZ
a1t
∆m1.a1n
r
z
∆m
Zrychlující moment
F2
M = Fz .rz = ΣFzi .ri
F1 a1n r2
ρ 1
∆m . a 1
výslednice zrychlujících sil
1t
ω,ε
∆m1.at1 ≈ ∆M 1 = ∆m1.at1.ρ1
3
r
r6,5cm 1
Setrvačné síly
∆m1.an1 ≈ ∆M 1 = 0
F3
D’Alambertův princip Podmínka rovnováhy:
ΣM i = 0
a
ΣFi .ri − Σ∆mi .ati .ρi = 0 , kde ε = t ρ 2 ΣFi .ri − Σ∆mi .ε .ρi = 0
Fz .rz − ε .Σ∆mi .ρi = 0 2
Fz .rz = ε .J = 0
M = Fz .rz = J .ε základní rovnice dynamiky pro rotační pohyb, kde J = Σ∆m .ρ [kgm ] je moment setrvačnosti tělesa 2
i
2
i
MOMENTY SETRVAČNOSTI TĚLES Moment setrvačnosti je mírou setrvačných účinků tělesa při rotačním pohybu. Tato veličina závisí na hmotnostech elementů tělesa a na jejich rozložení vzhledem k rotační ose. Setrvačnost hmotných elementů se uplatňuje s druhou mocninou jejich vzdáleností od osy rotace.
- 18 -
SPŠ a VOŠ Kladno
DYNAMIKA
Elementární moment setrvačnosti hmotného bodu o elementární hmotnosti ∆mi ( i = 1,2,..., n ) vzdáleného od osy otáčení ri je dán výrazem 2 ∆J i = ∆mi .ri Celkový moment setrvačnosti tělesa k dané ose
∆mi ri O
n
n
J = ∑ J i = ∑ mi ri i =1
[kg.m ]
2
2
i =1
Je-li moment setrvačnosti vztažen k ose procházející těžištěm tělesa, označuje se J 0 a nazývá se centrálním momentem setrvačnosti
Nahrazení tělesa hmotným bodem ∆mi ri
V technické praxi často potřebujeme převést (redukovat) hmotnost otáčejícího se tělesa s momentem setrvačnost J 0 do jednoho hmotného bodu. Potom musí platit J těěles = J hmot .bodu
O
Redukovaná hmotnost Je-li předepsána vzdálenost r hmotného bodu od osy otáčení, musí platit J 0 = mr .r 2 . J Odtud mr = 20 je redukovaná hmotnost. r Takto lze redukovat např. hmotnost setrvačníku do čepu kliky, hmotnost navíjecího bubnu na jeho obvod apod.
Poloměr setrvačnosti Soustředíme-li hmotnost tělesa do jednoho hmotného bodu, bude jeho vzdálenost j od osy rotace odvozena ze vztahu J0 J0 = m . j2 ⇒ j = , kde j[m] …poloměr setrvačnosti m Setrvačný moment Místo momentu setrvačnosti se při výpočtech setrvačníků a rotačních části často používá výraz setrvačný moment -
m.D 2 , kde D = 2 j = 2
J0 m
Přehled momentů setrvačnosti základních geometrických těles
- 19 -
SPŠ a VOŠ Kladno
DYNAMIKA
0
l
Tyč k ose procházející koncovým bodem
α
Momenty setrvačnosti (u složených těles) lze slučovat
- 20 -
ml 2 sin 2 α 3
SPŠ a VOŠ Kladno
DYNAMIKA
Pozn. Při výpočtu momentu setrvačnosti těles předpokládáme spojitě rozloženou n
n
i =1
i =1
hmotnost. Pak sumace nekonečné řady J = ∑ J i = ∑ mi ri přejde na určitý integrál, kde 2
integraci provádíme přes hmotnost m tělesa. Je-li těleso homogenní, pak dm = ρ .dV , ρ = konst. a dV je element objemu. potom J = ρ ∫ r 2 dV . Integraci provádíme přes celý objem tělesa V
Příklad Vypočtěte moment setrvačnosti homogenního kruhového válce k jeho rotační ose. Válec má poloměr R a hmotnost m. J = ρ ∫ r 2 dV , kde dV = 2πlr.dr V
R
R
1 1 Potom J = ρ ∫ r dV = 2πρl ∫ r 3dr = πρlR 4 = mR 2 , kde 2 2 0 0 2
m = πr 2lρ
Příklad Vypočtěte moment setrvačnosti homogenní koule o hmotnosti m a poloměru
R vzhledem k ose, která prochází jejím středem. Kouli si představíme složenou z elementárních desek (vrstev) o poloměru r a tloušťce dy. Deska má v souladu s elementární moment setrvačnosti 1 dJ = r 2 dm , kde dm = πr 2 ρdy , r 2 = R 2 − y 2 . Po integraci 2 πρ R 2 8 2 dostaneme J = ( R − y 2 )dy = πρR 5 = mR 2 , kde ∫ 2 −R 15 5 4 m = πR 3 ρ je hmotnost koule. 3
- 21 -
SPŠ a VOŠ Kladno
DYNAMIKA
Momenty setrvačnosti k osám rovnoběžným s osou procházející těžištěm Steinerova věta
- 22 -
SPŠ a VOŠ Kladno
DYNAMIKA
1.5.2 IMPULS MOMENTU A MOMENT HYBNOSTI Točivý moment vnější síly na těleso: M = ε .I 0 , kde ε = M = I0.
ω t
ω t
/.t
M .t = I 0 .ω
M.t impuls momentu
I 0 .ω moment hybnosti Je-li ω0 – počáteční úhlová rychlost ω - konečná úhlová rychlost, pak
M .t = I 0 .(ω − ω0 )
I 0 .(ω − ω0 ) - 2.impulsová věta: Výsledný t moment vnějších sil k libovolnému pevnému bodu nebo ose je roven časové změně momentu hybnosti soustavy hmotných bodů k témuž bodu nebo ose ⇒
M=
- 23 -
SPŠ a VOŠ Kladno
DYNAMIKA
1.5.3. Kinetická energie ROTUJÍCÍHO tělesa Uvažujme libovolné nepravidelné těleso rotující konstantní úhlovou rychlostí ω kolem pevné osy. Pokud si vybereme nějaký maličký kousek tělesa o hmotnosti ∆mi, můžeme určit jeho kinetickou energii jako
∆E k =
1 2 ∆mi .vi 2
(1)
kde vi je obvodová rychlost tohoto elementárního hmotného bodu k ose daná vztahem
vi = ri .ω
(2)
kde ri je kolmá vzdálenost bodu od osy otáčení. Takovýmto způsobem můžeme vyjádřit kinetickou energii všech elem. hmotných bodů, ze kterých je těleso tvořeno a celkovou kinetickou energii rotačního pohybu tělesa pak získáme jako součet všech elementárních energií energií:
1 2 Ek = Σ∆Eki = Σ ∆mi .vi 2
(3)
Dosadíme-li za obvodovou rychlost ze vztahu (2), dostáváme pro kinetickou energii rotačního pohybu tělesa výraz:
1 2 Ek = Σ ∆mi .ri .ω 2 2
Σmi .ri = I 2
(4) kde výraz
je
momentem setrvačnosti tělesa
Ek =
1 I .ω 2 2
(5)
Moment setrvačnosti tělesa je ovlivněn rozložením hmoty v tělese. Pokud je hmota soustředěna blízko u osy otáčení je moment setrvačnosti malý, stejně těžké těleso s hmotou rozprostřenou dále od osy otáčení má moment setrvačnosti větší.
- 24 -
SPŠ a VOŠ Kladno
DYNAMIKA
1.5.4 ZMĚNA ROTAČNÍ ENERGIE – PRÁCE ZRYCHLUJÍCÍCH SIL
Těleso se rovnoměrně otáčí úhlovou rychlostí ω0 kolem pevné osy o´ Účinkem momentu zrychlujících sil (F1, F2,…→ F) M = F.r se otáčivý pohyb tělesa začne zrychlovat.
Pootočením o úhel ϕ vykoná zrychlující moment práci: W = F.s = F.r. ϕ = M. ϕ W = M .ϕ Tato práce zvětší počáteční energii tělesa z energii tělesa E k 0 =
Ek 0 =
1 2 I 0'ω0 na pohybovou 2
1 I 0 'ω 2 , kde I 0 ' …moment setrvačnosti tělesa k ose 2
otáčení 0‘. Práce zrychlujícího momentu se pak rovná přírůstku rotační energie tělesa:
W = M .ϕ´=
(
1 1 1 2 2 I 0 'ω 2 − I 0 ' ω 0 = I 0 ' ω 2 − ω 0 2 2 2
Pro pohyb z klidu, kdy ω0 = 0, platí:
W = M .ϕ =
1 I 0 'ω 2 2
- 25 -
)
SPŠ a VOŠ Kladno
DYNAMIKA
Odstředivá síla tělesa Odstředivá síla tělesa řešena podobně jak odstředivá síla hmotného bodu, kdy hmotnost tělesa je soustředěna do těžiště Fc = m.a n = m.rT .ω 2
Otáčející se tyč Fc = m.a n = m.rT .ω 2 =
1 m.r.ω 2 2
Působištěm odstředivé síly je však těžiště trojúhelníku dílčích odstředivých sil T ′
Těleso s osou rovnoběžnou s osou otáčení
Fc = m.a n = m.rT .ω 2 = m.r0 .ω 2
- 26 -
SPŠ a VOŠ Kladno
DYNAMIKA
1.5.5 POHYBOVÁ ENERGIE PŘI OBECNÉM POHYBU
Při obecném pohybu se těleso otáčí úhlovou rychlostí ω kolem okamžité osy otáčení 0´.
Užitím Steinerovy věty:
r
Ek =
0
v
1 1 1 1 I 0' .ω 2 = ω 2 ( I 0 + mr 2 ) = I 0 .ω 2 + m.r 2 .ω 2 2 2 2 2
ω
Ek =
0'
1 1 I 0ω 2 + m.v 2 2 2
Obecný pohyb v tomto případě = rotace úhlovou rychlostí ω + posun rychlostí v
- 27 -
