SPŠ a VOŠ KLADNO
HYDROMECHANIKA
1. ÚVOD, ZÁKLADNÍ POJMY 1.1 OBSAH, ČLENĚNÍ MECHANIKY TEKUTIN Hydromechanika je součástí mechaniky tekutin zabývající se • rovnováhou kapalin (kapaliny v klidu) • pohybem kapalin • vzájemným působením kapalin a tuhých těles Hydrostatika Hydromechanika Mechanika tekutin
Hydrodynamika Aeromechanika
Termomechanika Mechanika tekutin = nauka o zákonitostech, jimiž se řídí v klidu i v pohybu látky tekuté - tekutiny Hydrostatika
nauka o rovnováze kapalin a jejich účinku na tuhá tělesa v klidu
Hydrodynamika
nauka zabývající se pohybem kapalin a jejich působením na tuhá tělesa
1.2 ZÁKLADNÍ POJMY Tekutina
spojitá látka se stejnými vlastnostmi ve všech směrech, tvořená z velmi malých částic, které spojitě vyplňují daný prostor a mohou se snadno po sobě posouvat za působení vnějších sil (může téci). Nemá vlastní tvar, přejímá tvar prostoru, v němž je obsažena (tekutiny = kapaliny + vzdušiny)
Kapalina
velmi málo stlačitelná tekutina, měnící svůj objem nepatrně se změnami tlaku a teploty. Svůj objem mění podle tvaru nádoby, v níž vlivem zemské přitažlivosti se nachází vždy ve spodní části a vytváří v ní volnou hladinu
Vzdušina
velmi dobře stlačitelná tekutina měnící svůj objem se změnami tlaku a teploty. Snadno mění tvar a zaujímá vždy celý prostor, ve kterém se nachází (vzdušiny = plyny + páry)
Ideální kapalina
dokonale tekutá bez vnitřního tření, nestlačitelná, se změnou teploty nemění objem, dokonalá nesoudržnost částic -1-
SPŠ a VOŠ KLADNO
HYDROMECHANIKA
Vlastnosti skutečných kapalin Vnitřní tření
Stlačitelnost
(vazkost, viskozita) vyvolává odporové síly působící proti vzájemnému posouvání částic tekutiny po sobě kohezní – podmiňují soudržnost tekutiny adhezní – mezi molekulami těles a tekutin, příčina přilnavosti tekutiny na stěny těles změna objemu při změně tlaku
Absorpce
schopnost tekutiny pohlcovat plyny do určité meze nasycení
Přitažlivé síly
Změna skupenství tekutiny podstatně mění své vlastnosti Základní veličiny určující stav kapaliny (stavové veličiny) Tlak p [Pa] [p] = 1 Pa = 1 N.m-2 1 kPa = 103 Pa 1 Mpa = 106 Pa 1mPa = 10-3Pa Dříve používané jednotky tlaku: 1 kp.m-2 ≅ 9,81 Pa (= hydrostatický tlak 1 mm vodního sloupce) 1 kp.cm-2 ≅ 9,81.104 Pa - atmosféra (at) 1 torr = 133,322 Pa (= hydrostatický tlak 1 mm rtuťového sloupce)
Pa torr at bar
Pa
torr
at
bar
1 133,32 98066,5 1.105
750.10-5 1 735,56 750
1,0197.10-5 1,3595,10-3 1 1,0197
1. 10-5 133,322. 10-5 0,980665 1
Teplota t [°] nebo T [K] T [K] = t [°] + 273,15 Hustota ρ [kg.m-3] 1 1 ρ= v= v ρ
T2 t 2 ≠ !!! T1 t1
T2 − T1 = t 2 − t1 nebo měrný objem v [m.kg -3]
Voda: ρ = 1000 kg.m-3 Rtuť: ρ = 13 600 kg.m-3 Benzin: ρ = 700 až 750 kg.m-3
-2-
SPŠ a VOŠ KLADNO
HYDROMECHANIKA
2 HYDROSTATIKA Hydrostatika je nauka o rovnováze kapalin a jejich účinku na tuhá tělesa v klidu. Kapalina je v rovnováze v klidu, jestliže se její částečky nepohybují vzhledem ke stěnám nádoby, v níž se nachází, a kapalina nemění svůj tvar Absolutní rovnováha – nádoba s kapalinou vůči zemi v klidu
Relativní rovnováha – nádoba vůči zemi v pohybu, kapalina vůči stěnám nádoby v klidu
2.1 TLAK V KAPALINĚ - vyvolán vnější silou působící na povrch kapaliny z vnějšku - vyvolán vlastní tíhou kapaliny
2.1.1 Tlak v kapalině vyvolaný vnější silou (tlakem) a) Vnější síla působící na píst ve válci
Fv
pv
pv =
Fv S
pv
pv
pv
pv
pv
Použití v praxi - hydraulické zvedáky, lisy, brzdy, autojeřáby, vyklápění koreb nákl. automobilů apod.
b) Tlak tekutiny působící na hladinu kapaliny - uzavřená nádoba - otevřená nádoba – tlak vzdušného obalu země (atmosférický tlak) pv pv pv pv
pb
pv
p v = pb
pv pv
pv pv
Volná hladina = hladinová plocha, na kterou působí atmosférický tlak Napjatá hladina = hladinová plocha, na kterou působí jiny než atmosférický tlak
-3-
SPŠ a VOŠ KLADNO
HYDROMECHANIKA
PASCALŮV ZÁKON Tlak v celém objemu kapaliny je stejný a je roven tlaku na povrchu kapaliny; v kapalině se šíří rovnoměrně všemi směry, na plochy stěn nádoby a ponořených těles působí kolmo Tlaková síla – výsledný silový účinek kapaliny působící kolmo na stykovou plochu stěny a kapaliny
Fp = p.S 2.1.2 Tlak v kapalině vyvolaný vlastní tíhou kapaliny - jeho příčinou je vlastní tíha kapaliny (hydrostatický tlak)
h
hx
tlaková čára px ph=ρ.g.h
phmax =
ph = h.ρ.g
G V .ρ .g hmax .S .ρ .g = = = hmax .ρ .g S S s
phx = hx .ρ .g
Pozn. Hydrostatický tlak lze vyjádřit výškou kapalinového sloupce
hg =
ph [m] … geodetická výška ρ .g
Aerostatický tlak pa – u vzdušin, v praktických výpočtech se zanedbává Atmosférický tlak vzduchu Pb - aerostatický tlak vyvozený tíhou vzdušného obalu Země (mění se s tlakem, teplotou a výškou)
-4-
SPŠ a VOŠ KLADNO
HYDROMECHANIKA
2.1.3 Statický tlak ps -vyjadřuje účinek vnějších sil (tlaků) na kapalinu a vlastní tíhy kapaliny
p s = p h + p v , kde ph = ρ g hg … hydrostatický tlak pv = ρ g hp … vnější tlak hs = hg + hp , kde hg =
ph … geodetická výška ρ .g
hp =
pv … tlaková výška ρ .g
hs =
ps … statická výška ρ .g
Pozn. Působí-li na volnou hladinu otevřené nádoby atmosférický tlak, bude statický tlak roven p s = p h + pb
-5-
SPŠ a VOŠ KLADNO
HYDROMECHANIKA
2.1.4 Absolutní tlak, přetlak, podtlak
Atmosférický (barometrický tlak) pb je způsobený tíhou vzdušného obalu Země. Mění se s tlakem, teplotou a nadmořskou výškou Normální atmosférický tlak pb = 0,101325MPa Absolutní tlak – měřen od absolutní tlakové nuly (vakuum)
Absolutní tlak (vždy kladný) p p = p abs − pb …přetlak p1abs = pb + p p1 ⇒
p 2 abs = pb − p p1
⇒
p va = pb − p abs … podtlak
Pozn. Stěny otevřených nádob jsou namáhány přetlakem p p = p h , neboť účinek barometrického
tlaku se ruší
pb pb
pb pb -6-
SPŠ a VOŠ KLADNO
HYDROMECHANIKA
2.2 ROVNOVÁHA NA ROZHRANÍ TEKUTIN - dělící hladina na rozhraní tekutin je v klidu Hladinové plochy – hladiny s konstantním tlakem; jsou vždy kolmé na výsledné zrychlení 2.2.1 Spojité nádoby s jednou kapalinou
a) Stejné tlaky
p1 = p 2 = pb Použití – vodováhy, vodoznaky, karburátory
b) Různé tlaky
p1 ≠ p2 Rovnováha k libovolné hladinové ploše x
p1 + h1 .ρ .g = p 2 + h2 .ρ .g p1 + h1 .ρ .g = p 2 + h1 .ρ .g + h.ρ .g
p1=
h2
h1
∆p = p1 − p 2 = h.ρ .g Použití: kapalinové manometry
x
Teoretická sací výška čerpadla při p2 = 0 pb = ρ .g .hs ⇒ hs =
pb =& 10m ρg
-7-
SPŠ a VOŠ KLADNO
HYDROMECHANIKA
2.2.3 Spojité nádoby se dvěma nemísícími se kapalinami
pb + h1 .ρ1 .g = pb + h2 .ρ 2 .g
h1 .ρ1 = h2 .ρ 2
Pozn. Uvedené vztahy platí pro trubice větších průměrů, neplatí pro kapiláry
2.3 TLAKOVÁ SÍLA NA PONOŘENÉ STĚNY TĚLES - namáhání stěn a těles tlakovou silou je způsobeno hydrostatickým tlakem kapaliny (přetlakem), neboť barometrický tlak působící ze všech stran nádoby, se vzájemně ruší 2.3.1 Tlaková síla na vodorovnou stěnu
F p = S . p h = S .ρ .g .h [N] , kde s = a.b [m2]
Fp
Ph [Pa] – hydrostatický tlak v hloubce h
Hydrostatické paradoxon Tlaková síla na dna nádob se stejnou plochou dna a výškou hladin je stejná, byť obsahují rozdílné množství kapaliny
p
p
-8-
p
SPŠ a VOŠ KLADNO
HYDROMECHANIKA
2.3.2 Tlaková síla na svislou stěnu
Fp = S . ph T , kde s = b.h … plocha ponořené stěny ph T = ρ .g. yT … hydrostatický tlak v těžišti ponořené plochy yT =
h … vzdálenost těžiště ponořené plochy od hladiny 2
Středisko tlaku (poloha tlakové síly) – bod 0, obecně platí: I y F = x + yT , kde Ix …kvadratický moment smočené plochy s. yT Odvození :
Polohu (souřadnici) působiště tlakové síly se určí z rovnováhy momentů dílčích tlakových sil a výsledné tlakové síly k volné hladině M F = ΣM i F p . y F = Σ∆F p . y ⇒ yF =
Σ∆F p . y Fp
Dílčí (elementární tlaková síla) ∆F p = ∆S . p h = ∆S .ρ .g . y Po dosazení do (1)
I Σ∆S .ρ .g. y 2 Σ∆S . y 2 yF = = = x´ S .ρ . g . y T S . yT M x ´
(2), kde
I x = Σ∆S .y 2 je kvadratický moment plochy k mimotěžišťové ose x´, ležící v rovině volné hladiny ´
M x = S. yT je statický moment plochy k ose x´ ´
Ze Steinerovy věty platí: ´ 2 I x = I x + S . yT Rovnice (2) po dosazení::
I yF = M
I + S . yT I = x = x + yT S . yT S . yT 2
x x
-9-
(1)
SPŠ a VOŠ KLADNO
HYDROMECHANIKA
Pro svislou obdélníkovou stěnu (viz předchozí obr.), kde h 1 yT = , I x = b.h 3 , S = b.h 2 12 1 b.h 3 h h h 2 y F = 12 + = + = h h 2 6 2 3 b.h. 2
2.3.3 Tlaková síla na obecně položenou rovinnou stěnu
yT
yF
S T
Fp F px
O α Fp
Fpy
I. metoda výpočtu
Fp = S . p h T yF =
Ix + yT S x . yT
II. metoda výpočtu – použitelná pro i pro křivočaré stěny
Fpx = Sy . phT
Sy je průmět stěny do svislé roviny
Fp y = G = V .ρ .g = b.S x .ρ .g ,
kde G je myšlená tíha kapaliny nad smočenou křivočarou stěnou, b je pak šířka stěny
Fp = F p x + Fp y 2
2
- 10 -
SPŠ a VOŠ KLADNO
HYDROMECHANIKA
2.3.4 Tlaková síla na křivočarou stěnu
Fpx = Sy . phT ,
kde Sy je průmět stěny do svislé roviny
Fp y = G = V .ρ .g = b.S x .ρ .g , kde G je myšlená tíha kapaliny nad smočenou křivočarou stěnou, b je pak šířka stěny
Fp = Fpx + Fp y 2
2
2.4 VZTLAKOVÁ HYDROSTATICKÁ SÍLA Archimédův zákon
S
F1
h1
F p 1 = p hT 1 .S1 = h1 .ρ .g .S1 h2
h
Fp 2 = phT 2 .S 2 = h2 .ρ .g .S 2
Fvz = Fp 2 − Fp1 = ρ .g .S 2 (h2 − h1 ) = ρ .g .S .h F2
S
Fvz = V .ρ .g
- 11 -
SPŠ a VOŠ KLADNO
HYDROMECHANIKA
G〉 Fvz … těleso klesá ke dnu G 〈 Fvz … těleso plave (vynořené nad hladinou) G = Fvz …těleso se volně vznáší v kapalině
- 12 -
SPŠ a VOŠ KLADNO
HYDROMECHANIKA
2.5 RELATIVNÍ ROVNOVÁHA KAPALIN Pohybuje-li se nádoba s kapalinou unášivým pohybem přímočarým nebo křivočarým, kapalina je vůči nádobě v relativní rovnováze. Hladinová plocha je při tom v každém místě kolmá na výsledné zrychlení (sílu)
2.5.1 Unášivý pohyb nádoby posuvný rovnoměrně zrychlený l
∆h
tgα = Fs=m.a
tgα = G=mg
Fs a = G g
∆h 2.∆h = l l 2
l a ∆h = . 2 g
2.5.2 Unášivý pohyb nádoby rotační rovnoměrný
Odstředivé zrychlení působící na částici A a c = x A .ω 2 Výsledné zrychlení av = ac + g 2 2
tgα =
a c x A .ω 2 = g g
Volná hladina kapaliny vytvoří rotační paraboloid, který ve svislém středovém řezu je zobrazen parabolou danou rovnicí: ω 2 .x 2 y= 2. g
Na obvodu válcové plochy (x=r) je svislá souřadnice h =
- 13 -
ω 2 .r 2 2. g
SPŠ a VOŠ KLADNO
HYDROMECHANIKA
- 14 -
