Teorie her. Kapitola Základní pojmy Základní pojmy

Kapitola 1

Teorie her Dosud jsme se věnovali jednokriteriální či vícekriteriální optimalizaci, kde ve všech úlohách byly předem pevně dané podmínky a ty se nijak neměnily v závislosti na našem rozhodnutí. Také jsme uvažovali modely (rozhodování za rizika a nejistoty), kde nebyly podmínky pro rozhodování jisté, neboť závisely ještě na dalších okolnostech, o kterých jsme neměli jistotu, jak dopadnou. V této kapitole se budeme zabývat řešením tzv. konfliktních situací. Jedná se o situace, kdy okolí na naše rozhodnutí může nějakým způsobem zareagovat, udělat nějaké protiopatření, čímž se může zcela změnit naše situace. Typickými příklady konfliktních situací jsou válečné situace, společenské (salónní) hry (z této oblasti byly převzaty i některé pojmy v teorii her), boj o ovládnutí trhu, boj zemědělců s přírodou apod. Příklad 1. Příkladem takové situace z ekonomie je oligopol. Pokud se bude rozhodovat jeden oligopolista sám a nebude brát v úvahu okolí, stanoví svůj objem výroby tak, aby maximalizoval své tržby. Spočítá si své jednotkové náklady závislé na objemu produkce, podle statistik dopočítá, kolik bude jednotkový zisk v závislosti na objemu produkce dodávané na trh (uvažuje, že na trh dodává sám) a odtud stanoví optimální výrobní plán. Pokud bude postupovat takto a nebude brát v úvahu okolí, je na nejlepší cestě skončit s podnikáním. Nevzal v úvahu ostatní oligopolisty. Pokud budou i oni vyrábět, potom se cena na trhu sníží (není sám, kdo dodává stejné zboží) a jeho zisky vůbec nemusí být, pro jím stanovený objem výroby, optimální.

1.1

Základní pojmy

1.1.1

Základní pojmy

Teorie her pracuje s těmito základními pojmy: hra – každá konfliktní situace (v dalším textu se omezíme pouze na hry, které lze matematicky modelovat), hráč – aktivní účastník hry, který svým chováním může ovlivnit její výsledek (fyzická nebo právnická osoba, popř. skupina osob se stejnými zájmy), racionální (inteligentní) hráč – hráč, který usiluje o optimální výsledek hry indiferentní (neinteligentní) hráč – hráč, kterému je výsledek hry lhostejný, strategie hráče – možnost chování hráče při hře, množinu všech strategií určitého hráče budeme nazývat prostorem strategií tohoto hráče, výplata hráče – kvantitativně vyjádřený výsledek hry, posuzovaný z hlediska uvažovaného hráče; přitom kladná hodnota výplaty představuje skutečný užitek hráče ze hry (je to 1

2

KAPITOLA 1. TEORIE HER např. získaná částka peněz, počet bodů apod.), záporná výplata je prohrou; výplata hráče je vždy závislá na volbě strategií všech hráčů, takže ji lze vyjádřit jako funkci uvažovaných strategií. Předpis pro zisk v závislosti na zvolené strategii se nazývá výplatní funkce hráče. Naším cílem je zvolit optimální strategii.

Poznámka. Příkladem indiferentního hráče je příroda či nějaká instituce. Naopak každá fyzická osoba je pokládána za racionálního hráče. Obecně, není-li řečeno jinak, či ze zadání jasně nevyplývá, že se jedná o indiferentního hráče (příroda), všechny hráče pokládáme za racionální.

1.1.2

Klasifikace her dle různých kritérií

Hry můžeme z různých hledisek rozdělit do skupin, které se vyznačují stejným nebo podobným způsobem řešení. Podle počtu hráčů rozlišujeme hry dvou hráčů a více hráčů. Podle součtu výplat všech hráčů rozlišujeme hry s konstantním součtem (antagonistický konflikt) a nekonstantním součtem (neantagonistický konflikt). Zvláštním případem her s konstantním součtem jsou hry s nulovým součtem. Poznámka. Většina salonních her jsou hry s nulovým součtem – hráči vloží nějakou částku do banku a tuto částku si následně rozdělí dle výsledku hry. V takovém případě je součet „výplatÿ všech hráčů nulový. Naopak příkladem hry s nekonstantním součtem jsou např. situace na trhu, podle toho, jak se zachovají hráči, vnější činitelé (kupující), vloží různou částku do hry (investují). Hry dvou hráčů s konstantním, ale nenulovým součtem výplat lze převést na hry s nulovým součtem. Způsob řešení je tedy stejný, viz řešený příklad 1.4. U neantagonistických konfliktů musíme rozlišit, kdy hráči spolupracují a kdy ne. Jde o tzv. kooperativní a nekooperativní hry. Podle velikosti prostoru strategií rozlišujeme hry konečné, kde prostor strategií každého hráče je konečný (tj. každý hráč má jen konečný počet všech možných strategií). Jestliže alespoň jeden z hráčů má k dispozici nekonečný počet strategií, uvažovaná hra je nekonečná. Poznámka. Častou aplikací nekonečných her jsou hry, ve kterých hráči hledají nejvhodnější okamžik k provedení určité akce. Řada námětů pro tento typ her je vojenského charakteru. Podle informace, kterou mají hráči k dispozici. U konfliktů, v nichž strategie hráčů jsou tvořeny posloupností tahů, rozlišujeme hry s úplnou informací (hráči mají před každým tahem přesnou informaci o všem, co se dosud ve hře dělo) a hry s neúplnou informací (informace o dosavadních tazích hráčů jsou jen částečné). Poznámka. Příkladem hry s úplnou informací jsou šachy. Charakter her s neúplnou informací má většina karetních her. Podle informací o důsledku volby dělíme hry na deterministické (pokud zvolíme strategii, víme přesně, kolik získáme v závislosti na tom, jakou strategii zvolí protihráč) a stochastické (do hry vstupuje náhoda – zvolíme-li danou strategii, náš zisk má nějaké pravděpodobnostní rozdělení). Poznámka. Příkladem deterministických her jsou hry karetní, hra Kámen-Nůžky-Papír aj. Zvolí-li hráči své strategie, pravidla udávají, jaký bude výsledek (kdo kolik vyhraje). Naopak příkladem stochastických her může být situace na trhu, kde po zvolení strategií všech prodávajících se jejich zisky řídí nějakým pravděpodobnostním rozdělením (nemůžu dopředu určit, kolik přesně přijde zákazníků). (Stochastické hry se často pro jednoduchost snažíme řešit nějakým vhodným deterministickým modelem.)

1.1. ZÁKLADNÍ POJMY

3

Podle racionality hráčů dělíme hry na hry racionálních hráčů a hry hrané proti přírodě, kde předpokládáme, že jeden hráč je indiferentní. Podle způsobu řešení dělíme hry na hry řešené v ryzích strategiích a na hry řešené ve smíšených strategiích. To je vlastně rozlišení případů, kdy dáme návod, kterou strategii vybrat a případů, kdy vybíráme různé strategie s různými pravděpodobnostmi. Neuvedeme-li jinak, uvažujeme ryzí strategie. Podle počtu realizací hry dělíme hry na jednotahové a vícetahové.

1.1.3

Používaná symbolika

Abychom mohli naše teorie srozumitelně zapisovat, budeme používat následující (běžné) značení: X Y x y f1 (x, y) f2 (x, y)

prostor strategií 1. hráče, prostor strategií 2. hráče, strategie prvního hráče (v případě konečného počtu (m) strategií prvního hráče, můžeme značit xi , kde i = 1 . . . m), strategie druhého hráče (v případě konečného počtu (n) strategií druhého hráče, můžeme značit yj , kde j = 1 . . . n), výplatní funkce prvního hráče, výplatní funkce druhého hráče.

Hra je dána výčtem strategií jednotlivých hráčů a výplatními funkcemi. Smysl značení si ukážeme na následujícím příkladu. Příklad 2. Uvažujme hru o jednom tahu, ve které hráč A volí mezi dvěma čísly 1 a 2 a hráč B rovněž volí mezi dvěma čísly 1 a 2. Při výplatě dostává hráč A od hráče B 1 Kč v případě, jsou-li zvolená čísla různá, a hráč A zaplatí 1 Kč hráči B v případě, že jsou tato čísla stejná. Výplatní matice hráče A je následující.   -1 1 A= . 1 -1 Prostorem strategií X hráče A v tomto případě jsou dvě strategie – strategie x1 – zvolit číslo 1 a strategie x2 – zvolit číslo 2. Hráč B má také prostor strategií Y dvouprvkový. Výplatní funkci hráče A můžeme zapsat do výplatní matice následovně: B A

”1” ”2”

”1” -1 1

”2” . 1 -1

V této matici prvek matice aij odpovídá hodnotě výplatní funkce f1 (xi , yj ). Například tedy prvek a12 (má hodnotu 1) odpovídá výplatě prvního hráče za předpokladu, že první hráč – A – zvolil svou první strategii (x1 – zvolil číslo 1) a druhý hráč – B – zvolil svou druhou strategii (y2 – zvolil číslo 2). Řešený příklad 1.1. Předpokládáme, že slečna vlastní kožich, jehož hodnota je 20000 Kč. Může si tento kabát za 100 Kč na jeden rok pojistit a v případě, že jí bude kožich v tuto dobu zničen požárem, bude jí škoda nahrazena. Má či nemá si slečna kožich pojistit? Řešení. V této hře je jedním hráčem slečna a druhým „přírodaÿ. Strategie (prostor X) prvního hráče, tj. slečny, jsou pojistit a nepojistit si kabát (tj. x1 – pojistit, x2 – nepojistit, X = {x1 , x2 }). Strategie „přírodyÿ (prostor Y ) jsou kabát slečně shoří a nestane se s kabátem nic (tj. y1 – kabát shoří, y2 – nestane se nic, Y = {y1 , y2 }). Výplatní funkce slečny (u „přírodyÿ nemají smysl) jsou

4

KAPITOLA 1. TEORIE HER

podle ceny kabátu, ceny pojištění a ceny náhrady, kterou pojišťovna slečně poskytne v případě, že by slečně kožich shořel. Pro slečnu můžeme napsat výplatní matici. Výplatní matice slečny má tedy následující tvar:

pojistí nepojistí

OK -100 0

zničen -100 -20000

Jak se má slečna rozhodnout? 2 Poznámka. Všimněte si podobnosti tohoto řešení a řešení úloh rozhodování za nejistoty. V tomto příkladu je jeden hráč racionální (předpokládáme to o slečně) a jeden indiferentní. V tom případě se skutečně jedná o tutéž situaci jako v rozhodování za nejistoty. Poznámka. Všimněme si, že určitě nemusí platit, že počet strategií prvního a druhého hráče je stejný. Pojisťujeme-li si například auto, potom nejsou strategie „přírodyÿ pouze zničit, nezničit, ale také různé částečné poničení. Nám zůstávají strategie dvě – pojistit, nepojistit.

1.2

Maticové hry – úvod

Důležité místo v teorii her mají konečné hry dvou hráčů s konečným počtem strategií, které nazýváme maticovými hrami. Tyto hry můžeme rozdělit na hry, kde jsou oba hráči racionální (ty pak dále dělíme na hry antagonistické a neantagonistické) a na hry, kde jeden z hráčů je indiferentní, jde o hry hrané proti přírodě (indiferentním hráčem může být skutečně příroda nebo nějaká instituce).

1.2.1

Dominované a nedominované strategie

Stejně jako ve vícekriteriálním hodnocení variant, i zde můžeme narazit na tzv. dominované a nedominované varianty, resp. strategie. Definice 1. Řekneme, že strategie xk prvního hráče dominuje strategii xl tohoto hráče, jestliže pro všechny možné strategie yj druhého hráče platí, že f (xk , yj ) ≥ f (xl , yj ) a zároveň existuje alespoň jedna strategie y0 taková, že f (xk , y0 ) > f (xl , y0 ). Neboli ať zvolí druhý hráč jakoukoliv stategii, v každém případě je pro prvního hráče výhodnější (nebo stejně výhodné) zvolit strategii xi1 než volit strategii xi2 . Druhá podmínka uvádí, že alespoň v jednom případě (při alespoň jedné strategii druhého hráče) je pro prvního hráče (ostře) výhodnější zvolit strategii xi1 oproti strategii xi2 . (Pokud by tato podmínka nebyla splněna a byla splněna první podmínka, znamenalo by to, že obě varianty jsou pro hráče stejné.) A proto RACIONÁLNÍ HRÁČ NIKDY NEVOLÍ DOMINOVANOU VARIANTU!

1.3. JEDNOMATICOVÉ HRY

5

Příklad 3. Představme si, že slečna z příkladu 1.1 si může sjednat jeden z následujících tří druhů pojištění. Sjedná-li si pojištění I, potom za toto pojištění zaplatí za rok 100 Kč a v případě požáru dostane jako náhradu 20000 Kč, sjedná-li si pojištění II, zaplatí roční sazbu 70 Kč a v případě požáru dostane náhradu 15000 Kč, pojištění III stojí 75 Kč a náhrada je také 15000 Kč. Napišme matici této hry: pojištění I pojištění II pojištění III bez pojištění

OK -100 -70 -75 0

zničen -100 -5070 -5075 -20000

V tomto příkladu je již ze zadání zřejmé, že pojištění III je pro slečnu nevýhodná varianta, poněvadž pojištění II je levnější a nabízí jí totéž. Po zápisu do výplatní matice vidíme, že skutečně varianta pojištění III je dominována variantou pojištění II. Matematicky zapsáno, v této matici platí, že a21 > a31 a zároveň a22 > a32 . (Připomeňte si, že u jednomaticové hry aij = f (xi , xj ).)

1.3 1.3.1

Jednomaticové hry Antagonistický konflikt

Antagonistickým konfliktem rozumíme konflikt (s konstantním součtem), kde proti sobě stojí dva racionální hráči a zisk jednoho hráče je roven ztrátě druhého hráče (př. sázky mezi dvěma lidmi). Nebo obecněji o co jeden získá více, o to druhý více ztratí (mají si nějakým způsobem rozdělit fixní částku, přičemž se povoluje, že jeden dostane částku celou a ještě navíc něco od druhého). Matematickým modelem je tzv. hra s konstantním součtem, tzn. f1 (x, y) + f2 (x, y) = k. Je možné ukázat, že bez újmy na obecnosti můžeme uvažovat pouze o hrách se součtem nula, neboť všechny hry s konstantním součtem je možné převést na hry se součtem nula. Poznámka. Uvědomte si, že nemá žádný smysl mluvit o kooperaci v antagonistickém konfliktu. Problém: Rozmyslete si, že je skutečně jedno, zda řeším hru s konstantním součtem obecné k nebo nulovým. Máme-li konečný prostor strategií, tzv. konečnou hru, můžeme hru přepsat do matice A, kde řádky budou tvořit možné strategie prvního hráče a sloupce možné strategie druhého hráče. Jednotlivými prvky matice aij je potom výplata prvního hráče v případě, že první hráč zvolí svou i-tou strategii a druhý hráč zvolí svou j-tou strategii. Hráče, kteří se účastní maticové hry, označíme písmeny A a B a hru budeme sledovat vždy z hlediska hráče A. Jeho výplatu budeme nazývat výhrou a výplatu hráče B prohrou. Má-li hráč A k dispozici m strategií x1 , x2 , . . . , xm a hráč B n strategií y1 , y2 , . . . , yn , výhry hráče A (a tedy prohry hráče B) při všech možných dvojicích strategií (xi , yj ) můžeme sestavit do matice typu m × n, kterou nazýváme výplatní maticí (též maticí hry). Prvek aij matice nám udává výplatu prvního hráče, pokud první zvolí i-tou strategii, tj. strategii xi , a druhý hráč zvolí j-tou strategii, tj. strategii yj , tedy aij = f1 (xi , yj ), kde f1 (xi , yj ) značí výplatní funkci hráče A. Protože se jedná o antagonistický konflikt, potom je aij s opačným znaménkem, tj. −aij , výplatou druhého hráče, při stejných strategiích, tedy pro výplatní funkci hráče B s označením f2 (xi , yj ) platí f2 (xi , yj ) = −f1 (xi , yj ) = −aij . K popisu maticové hry stačí jedna výplatní funkce, kterou budeme značit f (xi , yj ). Jedná se tedy o tzv. jednomaticovou hru. Uvedené pojmy a konstrukci výplatní matice ilustrujeme na několika příkladech.

6

KAPITOLA 1. TEORIE HER

Řešený příklad 1.2. Uvažujme následující hru. Hrají dva hráči. Každý má pět sirek. Teď si každý může vzít do ruky kolik chce sirek (z těch pěti) a na povel ruce otevřou. Kdo bude mít v ruce více sirek, vyhrál, pokud mají stejně, je remíza. Řešení. Ze zadání příkladu je zřejmé, že je rozumné, aby každý hráč vzal do ruky všech pět sirek. Ukažme si, že stejně nám dovede poradit i teorie her. Napišme si výplatní matici A prvního hráče a výplatní matici B druhého hráče. V obou maticích budou řádky odpovídat jednotlivým strategiím prvního hráče, postupně 1, 2,. . . , 5 sirkám v jeho ruce (předpokládejme, že musí alespoň jednu vzít) a sloupce steným způsobem jednotlivým strategiím druhého hráče. Výplatní matice mají tedy tvar:    A=  

0 −1 −1 −1 −1 1 0 −1 −1 −1 1 1 0 −1 −1 1 1 1 0 −1 1 1 1 1 0





    

  B=  

0 1 1 1 −1 0 1 1 −1 −1 0 1 −1 −1 −1 0 −1 −1 −1 −1

1 1 1 1 0

      2

Poznámka. Všimněme si, že skutečně platí A = −B, a tedy je zbytečné pro zápis takovéto hry používat dvě matice. Řešený příklad 1.3. Hráč A napíše slabiku ”ná” nebo ”tá” a hráč B, který nezná volbu hráče A, napíše slabiku ”ta”, ”bor” nebo ”chod”. Když obě slabiky dají dohromady slovo, zaplatí hráč A hráči B korunu a když vzniklé slovo bude představovat jméno města, dostane hráč B od hráče A navíc ještě prémii 3 koruny. Kdyby spojení obou slabik nedávalo smysl, hráč B zaplatí hráči A 2 koruny. Jaké slabiky mají oba hráči volit, aby vyhrávali co nejvíc? Řešení. Tuto společenskou hru můžeme zobrazit pomocí matice, jejíž řádky jsou nadepsány strategiemi hráče A, tj. slabikami „náÿ a „táÿ a nad sloupci jsou nadepsány strategie hráče B, tj. slabiky „taÿ, „borÿ a „chodÿ. Prvky této matice (označme ji A) lze odvodit z podmínek hry. Matice A:

„náÿ „táÿ

„taÿ  2 -1

„borÿ -1 -4

„chodÿ  -4 2 2

Řešený příklad 1.4. Dvě konkurující si firmy I a II uvažují o vybudování motelu na dálnici v jednom z míst P, Q, R, S (viz schéma, kde je uvedena též vzdálenost mezi potenciálními místy motelu).

Postaví-li obě firmy motel v témže místě, na každou z nich připadne polovina celkové poptávky (potencionálním nocležníkům nezbude než dojet do zvoleného místa a tam si náhodně vyberou

1.3. JEDNOMATICOVÉ HRY

7

jeden ze dvou motelů). V ostatních případech je procento poptávky přímo úměrné délce trasy přiřazené zvolenému místu (např. jestliže firma I se rozhodne pro místo Q a firma II pro R, procento poptávky pro firmu I je úměrné délce úseku 1 |P Q| + |QR| = 40). 2 (Předpokládá se, že potencionální zákazník si vybere nejbližší možný hotel, tedy ten, kdo bude mezi body P, Q zvolí hotel v místě Q, a ti, co budou mezi místy Q, R, s 50% pravděpodobností budou blíže ke Q, a tedy zvolí Q. Ostatní budou blíže druhému hotelu a zvolí tedy hotel II. firmy. Navíc se předpokládá, že rozdělení potencionálních zákazníků na celém úseku je rovnoměrné.) Poněvadž celková délka trasy je 100 km a firma I svým výběrem místa obsadila 40 km z této trasy, předpokládá se, že při volbě těchto strategií bude firma I obsluhovat 40% zákazníků. V jakém místě mají obě firmy motel vybudovat, aby dosáhly co největšího procenta poptávky? Řešení. V uvedené konfliktní situaci má každá firma 4 strategie (stavbu motelu v místě P nebo Q nebo R nebo S), přičemž za její výhry lze považovat procenta poptávky, kterých může dosáhnout. Výplatní matice pro firmu I má podobu matice F (viz dále), přičemž prvky výplatní matice pro firmu II (označme ji G) můžeme z matice F odvodit jakožto doplňky do 100. Jde tedy o konečnou hru dvou hráčů, s konstantním, ale nenulovým součtem výplat. Uvažovanou konfliktní situaci můžeme zobrazit pomocí jedné matice, jestliže zaujmeme stanovisko firmy I a za výplaty zvolíme procenta poptávky u této firmy, zmenšená o procenta poptávky u firmy II (neboli o kolik procent více poptávky získala při daných strategiích firma I oproti firmě II). Takto formulovaná konfliktní situace pak představuje hru s nulovým součtem (má-li firma I o x% více poptávky než firma II, potom má firma II právě o −x% více poptávky než firma I). Výplatní matice takto formulované hry má podobu matice H.

P Q R S

Matice F: P Q  50 10  90 50   70 60 50 40

R 30 40 50 20

Matice G: P Q R

S 

50 60   80  50



P 50  Q  10 R  30 S 50

90 50 40 60

70 60 50 80

P

S 

50 40   20  50



P 0  Q  80 R  40 S 0

Matice H: Q R -80 0 20 -20

-40 -20 0 -60

S  0 20   60  0 2

1.3.2

Řešení jednomaticových her – obecně

Účelem „hraní hryÿ s konstantním součtem je pro hráče A jeho maximální výhra a pro hráče B je cílem jeho minimální prohra. Poněvadž uvažujeme hry s konstantním součtem, jsou snahy obou hráčů v jakémsi protikladu (čím větší je výhra prvního hráče, tím větší je prohra druhého hráče a naopak.) Tyto snahy obou hráčů ale přece jen dovedou hráče k jejich optimálním strategiím, které mohou být jednak ryzí, jednak smíšené. Ryzí strategie hráče představuje jednu z jeho možných strategií. Jak jsme již zmínili, je to vlastně řešení pro hru, která se hraje pouze jednou, nedochází k opakování. (Pokud existuje ryzí strategie i v případě, kdy se má hra opakovat, potom hráč bude stále hrát stejnou strategii.) Smíšená strategie hráče znamená náhodné střídání jeho strategií a je určena rozložením pravděpodobností na prostoru ryzích strategií (vyjadřujeme ji vektorem pravděpodobností, s jakými hráč volí jednotlivé své strategie). Pro hráče A budeme smíšenou strategii označovat A A A pA = (pA 1 , p2 , . . . , pm ), kde pi nám udává pravděpodobnost, s jakou má první hráč volit svou i-tou strategii, tj. strategii xi . Smíšenou strategii hráče B bude obdobně představovat vektor B B B pB = (pB 1 , p2 , . . . , pn ), kde opět pj udává pravděpodobnost, s jakou má druhý hráč volit svou

8

KAPITOLA 1. TEORIE HER

j-tou strategii, tj. strategii yj . Složky vektorů) pA a pB (jedná se o pravděpodobnosti úplné kolekce nezávislých jevů) tvoří nezáporná čísla, jejichž součet je roven jedné. Z uvedené definice vyplývá, že ryzí strategie je zvláštním případem smíšené strategie (např. ryzí strategii Ai lze vyjádřit vektorem, jehož i-tá složka se rovná jedné a ostatní složky jsou nulové). Poznámka. Všimněme si, že v této terminologii tedy první hráč usiluje o maximalizaci: max f (xi , yj ) = max aij , i

i

přičemž on může ovlivnit pouze volbu i (pouze výběr své strategie) a volbu j (volbu strategie protihráče) ovlivnit nemůže, kdežto druhý hráč usiluje o minimalizaci min f (xi , yj ) = min aij , j

j

kde druhý hráč může ovlivnit volbu j, ale ne i.

1.3.3

Řešení v ryzích strategiích

Hledáme-li optimální řešení antagonistického konfliktu v ryzích strategiích, hledáme vlastně stabilní řešení. Stabilní v tom smyslu, že řešení musí být takové, aby se ani jednomu hráči nevyplatilo od této strategie „utéciÿ. Tj. má to být takové řešení, aby pokud pouze jeden hráč změní svou strategii a druhý hráč strategii nezmění, potom by si měl hráč, který svou strategii změnil, pohoršit. V takovém případě je řešení stabilní, neboť žádný hráč nemá zájem na změně své strategie. Ne vždy ale takovéto řešení existuje. Existuje-li takovéto řešení, mluvíme o sedlovém bodě hry, rovnovážném řešení. Podívejme se ještě jednou podrobněji, jak lze k tomuto stabilnímu řešení dospět. Jestliže hráč A volí strategii xi , musí počítat s tím, že inteligentní hráč B mu odpoví strategií, která jeho výhru zredukuje na minimum, neboli hráč A má při volbě této strategie zaručenou minimální výhru v hodnotě min aij j

(ve výplatní matici jde o nejmenší prvek v i-tém řádku). Protože hráč A chce hrát opatrně, zvolí strategii, při které bude toto minimum největší, tzn. nabude hodnoty maxi minj aij (z čísel, která představují minimální prvky v řádcích výplatní matice, vybereme největší). Tuto strategii hráče A nazýváme strategií maximinovou, přičemž číslo max min aij i

j

označujeme jako dolní cenu hry. Úvaha hráče B je podobná. Jestliže volí strategii yj , nemůže prohrát více než max aij i

(ve výplatní matici je to největší prvek v j-tém sloupci). Hráč B zvolí takovou strategii, při které toto maximum bude minimální, tj. při které neprohraje víc než min max aij j

i

(z čísel, která představují maximální prvky ve sloupcích výplatní matice, vybereme nejmenší). Tuto strategii hráče B nazýváme strategií minimaxovou, přičemž číslo minj maxi aij označujeme jako horní cenu hry.

1.3. JEDNOMATICOVÉ HRY

9

Lze dokázat, že v každé maticové hře je dolní cena hry nejvýše rovna horní ceně. Jestliže se obě ceny sobě rovnají, tzn. jestliže platí max min aij = min max aij , i

j

j

i

(1.1)

použití příslušných strategií zaručuje oběma hráčům optimální výsledek, neboli jde o ryzí optimální strategie. Je-li splněna rovnost (1.1), ve výplatní matici musí existovat prvek, který je nejmenší ve svém řádku a zároveň největší ve svém sloupci; tento prvek nazýváme sedlovým bodem. Existence sedlového bodu ve výplatní matici je nutnou a postačující podmínkou proto, aby příslušná hra měla řešení v oboru ryzích strategií, existovalo rovnovážné řešení. Hodnota sedlového bodu je cenou hry. Jestliže v dané výplatní matici existuje více sedlových bodů, je pro každou dvojici ryzích optimálních strategií cena hry stejná. V dané hře pak existuje nekonečně mnoho smíšených optimálních strategií, které jsou konvexní kombinací ryzích optimálních strategií. Obecněji, nejen pro hry s konečným počtem strategií, definujeme optimální řešení antagonistického konfliktu v ryzích strategiích (sedlový bod) následovně: Definice 2. Kombinace strategií (x0 , y0 ) určuje optimální řešení v ryzích strategiích tehdy a jen tehdy, pokud platí: f (x, y0 ) ≤ f (x0 , y0 ) ≤ f (x0 , y)

∀x ∈ X, ∀y ∈ Y,

(1.2)

neboli existuje dvojice (x0 , y0 ) taková, že min max f (x, y) = f (x0 , y0 ) = max min f (x, y), y

x

x

y

(1.3)

kde f je výplatní funkce hry. Poznámka. Ještě jednou připomeňme, že sedlový bod je v podstatě rovnovážným bodem v tom smyslu, že žádnému hráči se nevyplatí změnit strategii. Sedlový bod je určen nerovnostmi (1.2). V tomto vztahu první nerovnost vyjadřuje, že pokud by první hráč libovolně změnil svou strategii (a druhý ne – zůstal by v y0 ), potom by výplata prvního hráče buď zůstala stejná nebo by se zmenšila. Tedy první hráč nemá zájem na změně strategie. Druhá nerovnost udává stejnou podmínku pro druhého hráče (připomeňme, že výhry druhého hráče jsou hodnoty −f (x, y), tedy čím menší hodnota f (x, y), tím je to pro druhého hráče lepší). Na obrázku 1.1 je vidět, jak sedlový bod vypadá – že je to skutečně bod, kde dvourozměrná funkce nabývá maxima přes proměnnou x a zároveň minima přes proměnnou y. Poznámka. Rozmyslete si, jak souvisí vztah (1.1) se vztahem (1.3). Obecně matice mohou mít žádný, jeden nebo více sedlových bodů. Pokud nemají žádný, neexistuje rovnovážná strategie (a hru lze vyřešit pouze ve smíšených strategiích), pokud mají jeden, určuje rovnovážnou strategii, pokud jich mají více, určují alternativní rovnovážné strategii. Problém: Rozmyslete si, že v případě antagonistického konfliktu jsou skutečně alternativní rovnovážné strategie ekvivalentní ve smyslu zisku jednotlivých hráčů. Tj. v případě více sedlových bodů je jedno, který hráč zvolí který sedlový bod. Řešený příklad 1.5. Uvažujme příklad 1.2, jehož výplatní matice je   0 −1 −1 −1 −1  1 0 −1 −1 −1    0 −1 −1  A=  1 1 .  1 1 1 0 −1  1 1 1 1 0

10

KAPITOLA 1. TEORIE HER

Obrázek 1.1: Sedlový bod Existuje v tomto případě sedlový bod? Řešení. Sedlový bod, jak již bylo zmíněno výše, hledáme tak, že zjistíme minima v řádcích a poté maxima ve sloupcích. Pokud někde odpovídá řádkové minimum sloupcovému maximu, jedná se o sedlový bod. V následujících maticích jsou v první matici tučně označená minima v řádcích a v druhé jsou tučně vyznačena maxima ve sloupcích.    A=  

0 -1 -1 -1 -1 1 0 -1 -1 -1 1 1 0 -1 -1 1 1 1 0 -1 1 1 1 1 0





    

  A=  

0 −1 −1 −1 −1 1 0 −1 −1 −1 1 1 0 −1 −1 1 1 1 0 −1 1 1 1 1 0

     

Hledáme pozici v této matici, ve které máme zároveň označeno minimum v řádku a maximum ve sloupci. Takováto pozice v této matici je jediná a jedná se o prvek a55 = 0. Nebo-li tato hra má sedlový bod, má jediný sedlový bod, existuje tedy rovnovážné řešení. Tím řešením je, aby každý hráč vzal do ruky pět sirek. 2 Poznámka. V tomto případě bylo řešení zjevné již od začátku, nebylo třeba úlohu řešit takto složitou metodou, ale tento příklad měl sloužit jen jako demonstrace. Nadále uvidíme, že většinou správné řešení hry není od počátku vidět a je zapotřebí zmíněných metod užít. Řešený příklad 1.6. Uvažujme známou hru Kámen-Nůžky-Papír. V dva hráči, každý volí jednu ze tří možných strategií Kámen, Nůžky či zvolí stejnou strategii, jedná se o remízu, zisk obou je 0. Další pravidla nad Nůžkami, Nůžky nad Papírem a Papír nad Kamenem. Řekneme, hře o jednu korunu, tedy možná výhra je 1. Existuje u této hry sedlový

této hře hrají proti sobě Papír. Pokud oba hráči jsou, že Kámen vyhrává že hráči hrají při každé bod?

Řešení. Asi tušíte, že tato hra nemá sedlový bod, jinak by nebyla tak populární k rozhodování různých sporů. Zkusme tedy tuto hru analyzovat. Nejprve napišme matici hry.

1.3. JEDNOMATICOVÉ HRY

11

Kámen  0  -1 1

Kámen Nůžky Papír

Nůžky 1 0 -1

Papír  -1 1 . 0

V dalším kroku, podobně jako v předchozím příkladu, vyznačme v matici minima v řádcích a ve druhé matici maxima ve sloupcích.

Kámen Nůžky Papír

Kámen  0  -1 1

Nůžky

Papír  -1 1 , 0

1 0 -1

Kámen Nůžky Papír

Kámen  0  -1 1

Nůžky 1 0 -1

Papír  -1 1 . 0

Teď je vidět, že tentokrát neexistuje prvek, který by byl minimální ve svém řádku a zároveň maximální ve svém sloupci. Tedy tato hra nemá sedlový bod, neexistuje tedy řešení v ryzích strategiích. 2 Řešený příklad 1.7. Uvažujme následující hru. Hráč A může volit číslo od 5 do 8 a hráč B volí mezi čísly od 1 do 4. Výhry jsou stanoveny následovně: bude-li součet hráči zvolených čísel menší nebo roven 7, potom hráč A zaplatí hráči B 30 Kč, bude-li součet mezi 8 a 10, dostane hráč A od hráče B 5 Kč a v případě, že součet čísel bude větší než deset, dostane hráč A od hráče B 10 Kč. Poznámka. Byli byste raději v pozici hráče A či hráče B? Řešení. Sestavme nejprve matici této hry.

„5ÿ „6ÿ „7ÿ „8ÿ

„1ÿ

„2ÿ

„3ÿ

-30  -30   5 5

-30 5 5 5

5 5 5 10



„4ÿ  5 5  . 10  10

V dalším kroku opět v matici vyznačíme minima v řádcích a maxima ve sloupcích. „1ÿ „5ÿ „6ÿ „7ÿ „8ÿ



-30  -30   5 5

„2ÿ -30 5 5 5

„3ÿ 5 5 5 10

„4ÿ  5 5  . 10  10

„5ÿ „6ÿ „7ÿ „8ÿ

„1ÿ

„2ÿ

„3ÿ

-30  -30   5 5

-30 5 5 5

5 5 5 10



„4ÿ  5 5  . 10  10

Tentokrát vidíme, že tato úloha má čtyři sedlové body – a31 , a32 , a41 , a42 , jejichž hodnota je 5. Aby výsledek hry byl v sedlovém bodě, potom první hráč musí volit buď číslo 7 nebo 8 a druhý hráč číslo 1 nebo 2. Také je z matice vidět, že když oba hráči zvolí libovolnou strategii vedoucí do sedlového bodu, potom skutečně výsledek hry bude v sedlovém bodě. (Tato vlastnost platí u antagonostických konfliktů ale neplatí obecně u neantagonistických konfliktů, jak si ukážeme dále.) 2

12

KAPITOLA 1. TEORIE HER

Spravedlivé a nespravedlivé hry Jak jsme již zmínili výše, výplatu, která odpovídá rovnovážnému stavu (sedlový bod) nazýváme cenou hry. Je-li nulová, potom hru nazýváme spravedlivou. V opačném případě se jedná o hru nespravedlivou. Poznámka. Je tedy vidět, že v případě hry 1.2 se jedná o spravedlivou hru, ale hra 1.7 je nespravedlivá (hodnota v sedlovém bodě je 5). Má-li hra sedlový bod a znají-li oba hráči své optimální strategie, nemá smyslu takovou hru hrát. Stačí, když oba hráči ohlásí své optimální strategie a konflikt skončí rozumnou dohodou. Jestliže ve výplatní matici neexistuje sedlový bod (dolní cena hry je menší než horní cena hry), místo volby maximinové a minimaxové strategie je pro oba hráče výhodnější náhodné střídání strategií (tzn. volba smíšených strategií), které hráči A zaručí větší výhru než je dolní cena hry a hráči B menší prohru než je horní cena hry.

1.3.4

Řešení ve smíšených strategiích

Při volbě smíšených strategií pA , pB je výplata hráčů náhodná veličina, jejíž očekávanou hodnotu budeme značit E f (pA , pB ). Jestliže hráči volí strategie pA a pB nezávisle na sobě, je pravděpodobnost, že výhra hráče B A bude aij , dána součinem pravděpodobností pA i a pj , tzn. pro jeho očekávanou výhru platí A

B

E f (p , p ) =

m X n X

B aij pA i pj

i=1 j=1

Pomocí očekávané výplaty hráčů lze nyní rozšířit pojem optimální strategie i na smíšené strategie. B Dvojice smíšených strategií pA 0 , p0 je optimální právě tehdy, když pro všechny ostatní straA B tegie p , p platí A B A B E f (pA , pB 0 ) ≤ E f (p0 , p0 ) ≤ E f (p0 , p ) Uvedený vztah znamená, že při jakékoli odchylce od optimální smíšené strategie si hráč pohorší, jestliže protihráč zvolil optimální smíšenou strategii. Očekávaná hodnota výplaty, která odpovídá optimálním smíšeným strategiím obou hráčů, B tj. E f (pA 0 , p0 ), představuje cenu hry v. B Trojice údajů (pA 0 , p0 , v) představuje řešení hry v oboru smíšených strategií. Podle základní věty maticových her existuje pro každou maticovou hru řešení ve smíšených strategiích. Důsledek volby optimální smíšené strategie se neprojeví při jednotlivém rozhodování v konkrétní situaci, ale při opakovaném provádění hry budou na tom hráči rozhodně lépe, když se přidrží svých optimálních strategií.

1.3.5

Grafické řešení maticových her

Pokud je hra m × 2 nebo 2 × n, lze ji řešit jednoduchým grafickým způsobem. Vzpomeňte na grafické odvozování velikosti koeficientu α u Hurwitczova přístupu při rozhodování za nejistoty. Do podobné soustavy souřadnic budeme zakreslovat prvky výplatní matice. Pokud budeme řešit hru 2 × n, na ose x budeme zjišťovat, jaké jsou smíšené strategie hráče A. Na osu v (kolmice na osu x v bodě 0) budeme vynášet číslo , které je ve výplatní matici na pozici (1, k), kde k = 1, 2, . . . , n. Na osu z (kolmice na osu x v bodě 1) budeme vynášet číslo, které je ve výplatní matici na pozici (2, k), kde k = 1, 2, . . . , n. Oba body (prvky výplatní matice), příslušející jedné strategii hráče B, vždy spojíme přímkou. Když máme zakreslené všechny úsečky příslušející strategiím hráče B, hledáme část úsečky, pod kterou se nenachází body jiné úsečky. Tato část představuje graf minimální očekávané výhry hráče A. Pokud řešíme hry typu m × 2, vynášíme

1.3. JEDNOMATICOVÉ HRY

13

na osy v,z prohry hráče B při jednotlivých strategiích hráče A. Postup budeme ilustrovat na následujících příkladech. Řešený příklad 1.8. Mějme matici  A=

1 −2 5 3 4 0

 .

S jakými pravděpodobnostmi má hráč A volit svě strategie? Jaká je cena hry? Řešení. x01 =

4 11 , x02

=

7 11 , v

=

20 11 .

Grafické řešení viz obrázek 1.2.

v

z

v 0

1 x 02

x 01

x

Obrázek 1.2: Grafické řešení příkladu 1.8 2 Řešený příklad 1.9. Mějme matici  A=

1 −1 3 4 −5 2

 .

S jakými pravděpodobnostmi má hráč A volit své strategie a jaá je cena hry? Řešení. x01 = 1, x02 = 0, v = −1. Grafické řešení viz obrázek 1.3. 2 Řešený příklad 1.10. Mějme matici 

 5 −2 B =  3 1 . 2 0 S jakými pravděpodobnostmi má hráč B volit své strategie a jaká je cena hry? Řešení. y01 = 0, y02 = 1, v = 1. Grafické řešení viz obrázek 1.4. 2 Řešený příklad 1.11. Mějme matici  B=

2 −1 1 3

 .

S jakými pravděpodobnostmi má hráč B volit své strategie a jaká je cena hry? Řešení. y01 = 45 , y02 = 51 , v = 75 . Grafické řešení viz obrázek 1.5. 2

14

KAPITOLA 1. TEORIE HER v

0

z

1

v

x 01

x

Obrázek 1.3: Grafické řešení příkladu 1.9 v

z

v 0

1 y 02

x

Obrázek 1.4: Grafické řešení příkladu 1.10

1.3.6

Řešení maticových her metodami LP

Mějme výplatní matici    A= 

a11 a21 .. .

a12 a22 .. .

... ... .. .

a1n a2n .. .

   . 

am1 am2 . . . amn Následující soustavou nerovnic lze vyjádřit požadavek, aby optimální strategie hráče A tomuto hráči zajistila výhru nejméně v hodnotě ceny hry v, ať už hráč B volí jakoukoliv ze svých ryzích strategií: a11 x01 + a21 x02 + · · · + am1 x0m ≥ v a12 x01 + a22 x02 + · · · + am2 x0m ≥ v .. . a1n x01 + a2n x02 + · · · + amn x0m ≥ v V případě, že matice obsahuje záporná čísla, ke všem jejím prvkům přičteme dostatečně velké kladné číslo. Tím získáme strategicky ekvivalentní hru, jejíž cena bude o přičítanou konstantu

1.3. JEDNOMATICOVÉ HRY

15

v

z

v 0

1 y 02

x

y 01

Obrázek 1.5: Grafické řešení příkladu 1.11 vyšší. Pokud je nezápornost prvků matice splněna, vydělíme cenou každou nerovnici soustavy a podíly xv0i nahradíme symbolem ti pro i = 1, 2, . . . , m. Soustava má pak tvar a11 t1 + a21 t2 + · · · + am1 tm ≥ 1 a12 t1 + a22 t2 + · · · + am2 tm ≥ 1 .. . a1n t1 + a2n t2 + · · · + amn tm ≥ 1 Do podmínky

Pm

i=1 x0i

= 1 za x0i dosadíme součin vti . Potom platí v

Xm i=1

ti = 1, neboli

m P i=1

ti = v1 .

Danou úlohu můžeme zapsat jako úlohu LP. Na množině nezáporných řešení soustavy P t . Cena hry se rovná lineárních nerovnic hledáme minimum lineární funkce f = m i=1 i převrácené hodnotě účelové funkce a pro optimální strategii hráče A platí x0i = vti pro i = 1, 2, . . . , m. Nyní zformulujeme model z hlediska hráče B. Očekávaná prohra hráče B nesmí být větší než cena hry, ať už hráč A volí kteroukoliv ze svých ryzích strategií. Musí platit a11 y01 + a12 y02 + · · · + a1n y0n ≤ v a21 y01 + a22 y02 + · · · + a2n y0n ≤ v .. . am1 y01 + am2 y02 + · · · + amn y0n ≤ v I u hráče B upravíme výplatní matici tak, aby cena hry byla kladná a položíme 1, 2, . . . , n. Soustavu pak můžeme napsat ve tvaru a11 s1 + a12 s2 + · · · + a1n sn ≤ 1 a21 s1 + a22 s2 + · · · + a2n sn ≤ 1 .. . am1 s1 + am2 s2 + · · · + amn sn ≤ 1

y0j v

= sj , j =

16

KAPITOLA 1. TEORIE HER Do podmínky

Pn

j=1 y0j

= 1 za y0j dosadíme součin vsj . Potom platí v

Pn

j=1 sj

= 1, neboli

Pn

j=1 sj

= v1 .

P Snaha hráče B je minimalizovat cenu hry neboli maximalizovat součet nj=1 sj . Stejně jako u hráče A, i zde je možné úlohu zformulovat jako úlohu LP. Na množině nezáporných řešení Pn soustavy lineárních nerovnic hledáme maximum lineární funkce z = j=1 sj . Úlohy jsou duálně sdružené. Příklad 4. Pro hru Kámen-Nůžky-Papír zapíšeme výplatní matici (strategie jsou v pořadí kámen, nůžky, papír) a určíme optimální smíšené strategie pomocí LP. 

 0 1 −1 1 . A =  −1 0 1 −1 0 Výplatní matici upravíme přičtením čísla 1, aby matice neobsahovala záporná čísla. 

 1 2 0 A =  0 1 2 . 2 0 1 Z hlediska hráče A je model následující: t1 + 2t3 ≥ 1 2t1 + t2 ≥ 1 2t2 + t3 ≥ 1 t1 , t 2 , t 3 ≥ 0 f = t1 + t2 + t3 → min Z hlediska hráče B je model následující: s1 + 2s2 ≤ 1 s2 + 2s3 ≤ 1 2s1 + s3 ≤ 1 s1 , s2 , s3 ≥ 0 f = s1 + s2 + s3 → max Výsledky pro hráče A: t1 = 13 , t2 = 13 , t3 = 13 , f = 1 ⇒ v ‘ = 1, v = v ‘ − 1 = 0 Výsledky pro hráče B: s1 = 13 , s2 = 31 , s3 = 13 , z = 1 ⇒ v ‘ = 1, v = v ‘ − 1 = 0.

1.3. JEDNOMATICOVÉ HRY

1.3.7

17

Hry hrané proti přírodě

To je téma velmi podobné rozhodování za nejistoty, připomeňme řešený příklad 1.1. Při řešení her hraných proti přírodě má smysl hovořit jen o optimální strategii hráče A. Tento pojem však není zcela vyjasněn, přičemž různý přístup k problému optimální strategie hráče A ve hrách proti přírodě může vést u téže hry k odlišným výsledkům. Jednou z možností pro řešení her s přírodou je uplatnění principu minimaxu. Tento přístup, který předpokládá zákeřnost přírody, je projevem přílišné opatrnosti a může vést k nepřijatelným rozhodnutím. Správnější přístup k řešení her proti přírodě spočívá v aplikaci postupů známých pro jednokriteriální hodnocení rizikových variant (viz rozhodování za rizika). Ve srovnání s těmito postupy však princip minimaxu umožňuje řešení her proti přírodě ve smíšených strategiích, tzn. připouští kombinace některých rozhodnutí. Různé možnosti řešení her hraných proti přírodě ilustrujeme na následujícím příkladu. Řešený příklad 1.12. Pacient je postižen chorobou, která mohla být vyvolána pěti kmeny bakterií. Lékař ještě nezjistil přesnou diagnózu a rozhoduje se o předepsání jednoho ze tří léků. První lék zaručuje na 50 % zničení prvních čtyř bakteriálních kmenů. Druhý lék bezpečně ničí první kmen. Třetí lék ničí v 50 % druhý kmen a je zaručeným prostředkem proti pátému kmenu. Pro který lék se má lékař rozhodnout, chce-li maximalizovat pravděpodobnost zničení všech bakteriálních kmenů? Uvedený rozhodovací problém představuje hru hranou proti přírodě, ve které strategie lékaře jsou dány předepsáním prvního nebo druhého nebo třetího léku a strategie „přírodyÿ spočívají ve výskytu jednotlivých bakteriálních kmenů. V příslušné výplatní matici (označme ji A) prvek aij představuje pravděpodobnost, s jakou i-tý lék ničí j-tý bakteriální kmen (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4, 5). Řešení.

lék 1 lék 2 lék 3

kmen I  0,5  1 0

Matice A: kmen II kmen III 0,5 0 0,5

0,5 0 0

kmen IV 0,5 0 0

kmen V  0 0  1

Pokud připustíme zlomyslnost přírody, řešíme danou úlohu jako hru hranou podle minimaxu. Matice A nemá sedlový bod, takže lékař se nemůže jednoznačně rozhodnout pro jeden ze tří uvažovaných léků. Jestliže v matici A vynecháme řádky a sloupce, které odpovídají dominovaným strategiím, získáme matici 2 × 2 tvaru

lék 1 lék 3

kmen III  0,5 0

kmen V  0 1

Jestliže na tuto matici aplikujeme vzorce (6,2) a (6,3), bude platit x01 = 23 , x03 = 31 , v = 13 . Podle tohoto výsledku by měl lékař pacientovi předepsat lék 1 a lék 3 a nařídit mu, aby tyto léky užíval v poměru 2:1. Očekávaný úspěch této léčby by byl přibližně 33 %. Při optimistickém přístupu lékaře k předepisování léků by se jako nejúčinnější jevil lék 2 nebo lék 3 (za předpokladu, že bakteriální kmen bude typu I nebo V). Jestliže lékař zjistil, že uvažované bakteriální kmeny se vyskytují v poměru 1:3:3:2:5, tj. s 1 3 3 1 5 , 14 , 14 , 7 , 14 , mohl by uplatnit některé pravidlo pro rozhodování za rizika. pravděpodobnostmi 14 Např. při použití pravidla očekávané (střední) hodnoty porovnáme očekávané pravděpodobnosti 9 1 13 účinnosti jednotlivých léků, tj. zlomky 28 , 14 , 28 . Z tohoto porovnání vychází nejlépe lék 3.

18

KAPITOLA 1. TEORIE HER 2

Rozmysli: Rozmyslete si, že se vskutku jedná o stejnou situaci jako u jednokriteriálního hodnocení variant. Řešení této úlohy přes tzv. zaručenou výhru (zaručený zisk) dává stejné řešení jako řešení při rozhodování za nejistoty pesimistickým pravidlem. A podobně řešení této úlohy přes maximální možný zisk dává stejné řešení jako řešení rozhodování za nejistoty optimistickým pravidlem.

1.4 1.4.1

Dvoumaticové hry – hry dvou hráčů s nekonstantním součtem Model neantagonistického konfliktu dvou hráčů

Při neantagonistickém konfliktu každý z hráčů sleduje své zájmy, které ovšem nemusí být v protikladu se zájmy protihráče. Jedná se o hry s nekonstantním součtem. Hráč A má opět možnost volit strategie x1 , x2 , . . . , xm , hráč B má možnost volit mezi strategiemi y1 , y2 , . . . , yn . Připomeňme, že výplatu hráče A při volbě strategií xi , yj značíme f1 (xi , yj ). Výplata hráče B je f2 (xi , yj ). U her s konstantním součtem bylo možné z výplaty jednoho hráče odvodit i výplatu protihráče. U neantagonistického konfliktu toto možné není, neboť f1 (xi , yj ) + f2 (xi , yj ) 6= konst. Z tohoto důvodu je nutné pro každého hráče napsat matici jeho výplat. Tyto hry se proto nazývají dvoumaticové hry. Hry tohoto typu mohou být nekooperativní a kooperativní. Kooperativní hry pak můžeme rozdělit na hry s přenosnou výhrou (hráči se dohodnou na rozdělení společné výhry) a na hry s nepřenosnou výhrou (hráči se dohodnou pouze na volbě strategií).

1.4.2

Nekooperativní hry

Tak jako u her s konstantním součtem jsme hledali optimální strategie hráčů, i v tomto typu her hledáme optimální strategie - zde hledáme Nashův rovnovážný bod. Tento bod reprezentuje dvojici strategií (x0 , y0 ) - tzv. rovnovážné strategie. f1 (xi , y0 ) ≤ f1 (x0 , y0 ) ∀i ∈ {1, 2, . . . , m} f2 (x0 , yj ) ≤ f2 (x0 , y0 ) ∀j ∈ {1, 2, . . . , n} Neboli opět hledáme takový bod, ze kterého se nevyplatí žádnému hráči utéci, tj. bod, ve kterém když jeden z hráčů sám změní strategii, potom si tento hráč pohorší. (Rozmyslete si, že přesně to je smyslem výše zapsaných nerovnic.) U her s nekonstantním součtem si při odchýlení od optimální strategie hráč sám pohorší a může způsobit i zhoršení výplaty protihráče. U her s konstantním součtem hráč, který se odchýlil, zajistí protihráči vyšší výplatu (dokonce, přesně o kolik si pohoršil, o tolik protihráči přilepšil). Řešený příklad 1.13. Uvažujme dva investory, kteří přemýšlejí o vstupu na trh ve třech různých odvětvích, ve kterých si mohou konkurovat. Každý z nich volí jedno odvětví, do kterého se rozhodne vstoupit, to znamená, nejprve si v něm udělá reklamu a poté do něj vstoupí. Tabulka uvádí zisky jednotlivých investorů v jednotlivém odvětví v případě, že tam vstoupí sami či oba.

1.4. DVOUMATICOVÉ HRY – HRY DVOU HRÁČŮ S NEKONSTANTNÍM SOUČTEM 19

1. investor

2. investor

zisk 1. odvětví 2. odvětví 3. odvětví 1. odvětví 2. odvětví 3. odvětví

sami 9,5 13 12 8,9 8 10

oba 6 7 8 5,5 7 7

Řešení. Tuto hru můžeme zapsat více způsoby. Jedna možnost je zapsat ji pomocí dvou samostatných matic, kdy první matice vyjadřuje výplatu prvního hráče a druhá výplatu druhého hráče. Druhou možností je zapsat hru do jedné matice, kde na každé pozici budou dva prvky, první bude udávat výplatu prvního hráče a druhý výplatu druhého. Pro ilustraci uveďme obě možnosti.

A=

1. odv. 2. odv. 3. odv.

1. odv.  6  13 12

2. odv.

1. odvětví 2. odvětví 3. odvětví

9,5 7 12

3. odv.  9,5 13  , 8

 1. odvětví (6 , 5,5)  (13 , 8,9) (12, 8,9)

B=

1. odv. 2. odv. 3. odv.

2. odvětví (9,5 , 8) (7,7) (12, 8)

1. odv.  5,5  8,9 8,9

2. odv. 8 7 8

3. odv.  10 10  . 7

3. odvětví (9,5,10) (13 , 10)  (8,7)

Na tomto příkladu budeme ilustrovat hledání Nashova rovnovážného bodu. Ten se hledá následujícím způsobem: • V matici, reprezentující výplaty hráče A, nalezneme ve sloupcích maxima a příslušné pozice si zaznamenáme. • V matici B najdeme maxima v řádcích a příslušné pozice si také zaznamenáme. • Zjistíme, zda existuje pozice, na které je zároveň maximum ve sloupci matice A a zároveň maximum v řádku matice B. Pokud taková či takové pozice existují, určují Nashův či Nashovy rovnovážné body. Vyznačme tedy v zadaném příkladu maxima ve sloupcích matice A a maxima v řádcích matice B.

1. odvětví 2. odvětví 3. odvětví

 1. odvětví (6 , 5,5)  (13 , 8,9) (12, 8,9)

2. odvětví (9,5 , 8) (7,7) (12, 8)

3. odvětví  (9,5 , 10) (13 , 10)  (8,7)

Vidíme, že v tomto případě máme právě jeden rovnovážný bod, a to bod na pozici [2, 3].

20

KAPITOLA 1. TEORIE HER 2

Existuje-li právě jeden rovnovážný bod (jako v tomto případě), potom nám tento bod udává optimální strategie hráčů. Neboli v tomto případě má první hráč investovat do 2. odvětví a druhý hráč do 3. odvětví. Pokud by od této strategie jeden z nich upustil a druhý ji dodržel, potom by si ten, kdo změnil strategii, pohoršil (viz matice zisků). Ovšem ne každá úloha má takto jednoduché řešení, ve skutečnosti mohou nastat ještě dvě jiné možnosti – buď Nashův rovnovážný bod vůbec neexistuje nebo jich existuje více. V případě, že Nashův rovnovážný bod vůbec neexistuje, pak je možné úlohu řešit buď kooperací (viz dále) nebo pomocí metod rozhodování za nejistoty (viz příslušná kapitola). V případě existence více Nashových bodů rozlišujeme dvě situace – rozlišujeme, zda existuje či neexistuje Nashův rovnovážný bod, který všechny ostatní Nashovy body dominuje. Definice 3. Předpokládejme úlohu, která má k Nashových rovnovážných bodů, kde k ≥ 2. Strategie, které určují tyto body označme ([i1 , j1 ], [i2 , j2 ], . . . , [ik , jk ]). Potom řekneme, že jeden z nich – bod [i0 , j0 ] – je dominujícím Nashovým rovnovážným bodem, pokud platí ai0 > ail ∀l = 1, . . . , k, i0 6= il ∧ bi0 > bil ∀l = 1, . . . , k, i0 6= il . Pokud jeden z Nashových rovnovážných bodů ostatním dominuje, potom si hráči přirozeně vyberou tento a problém je vyřešen. Pokud tomu tak není, může se stát, že každý z hráčů zvolí jiný rovnovážný bod, čímž se dostanou do oboustranně nevýhodné situace. Příklad 5. Uvažujme obdobný příklad jako předchozí, jen pozměňme možné zisky jednotlivých investorů.

1. investor

2. investor

zisk 1. odvětví 2. odvětví 3. odvětví 1. odvětví 2. odvětví 3. odvětví

sami 9,5 9,8 12 8,9 11 10

oba 6 6 8 5,5 6 7

V takovém případě je matice zisků následující.

1. odvětví 2. odvětví 3. odvětví

 1. odvětví (6 , 5,5)  (9,8 , 8,9) (12, 8,9)

2. odvětví (9,5 ,11) (6,6) (12, 11)

3. odvětví  (9,5,10) (9,8 , 10)  (8,7)

Vyznačme v zadaném příkladu opět maxima ve sloupcích matice A a maxima v řádcích matice B.

1. odvětví 2. odvětví 3. odvětví

 1. odvětví (6 , 5,5)  (9,8 , 8,9) (12, 8,9)

2. odvětví (9,5 , 11) (6,6) (12, 11)

3. odvětví  (9,5 , 10) (9,8 , 10)  (8,7)

V tomto případě máme dva rovnovážné body, bod a32 a a23 . Tentokrát máme štěstí, protože bod a32 dominuje bod a23 , neboli pro oba investory je výhodnější zvolit bod a32 než volit bod a23 . A tedy jejich rozhodnutí je zřejmé.

1.4. DVOUMATICOVÉ HRY – HRY DVOU HRÁČŮ S NEKONSTANTNÍM SOUČTEM 21 Příklad 6. Opět uvažujme obdobný příklad, jen s jinými zisky jednotlivých investorů.

1. investor

2. investor

zisk 1. odvětví 2. odvětví 3. odvětví 1. odvětví 2. odvětví 3. odvětví

sami 9,5 9,8 12 8,9 9 10

oba 6 6 8 5,5 6 7

Zapišme matici zisků.

1. odvětví 2. odvětví 3. odvětví

 1. odvětví (6 , 5,5)  (9,8 , 8,9) (12, 8,9)

2. odvětví (9,5 ,9) (6,6) (12, 9)

3. odvětví  (9,5,10) (9,8 , 10)  (8,7)

Vyznačme v zadaném příkladu maxima ve sloupcích matice A a maxima v řádcích matice B.

1. odvětví 2. odvětví 3. odvětví

 1. odvětví (6 , 5,5)  (9,8 , 8,9) (12, 8,9)

2. odvětví (9,5 , 9) (6,6) (12, 9)

3. odvětví  (9,5 , 10) (9,8 , 10)  (8,7)

Tentokrát máme dva rovnovážné body, bod a32 a a23 , ovšem pro prvního hráče by byl výhodnější bod a32 a pro druhého a23 . Tedy žádný z bodů není dominující. Pokud se první hráč rozhodne pro bod a32 a druhý pro a23 , tedy první hráč zvolí investici do 3. odvětví a stejně tak druhý, dostanou se oba do nevýhodné situace, do bodu a33 se zisky 8 a 7. Pokud by se oba rozhodli volit bod, který je výhodnější pro druhého z nich, potom by se dostali ještě do horší situace, oba by zvolili investici do 2. odvětví a dosáhli by zisku pouze po 6. V tomto případě nelze úlohu řešit přes Nashovy rovnovážné body a je nutné ji buď řešit kooperací, je-li to možné, nebo přes zaručené zisky.

1.4.3

Známé příklady nekooperativních her

Vězňovo dilema. Uvažujme dva lidi ve vyšetřovací vazbě, kteří společně spáchali nějaký trestný čin. Oba vědí, že situace je následující. Pokud se ani jeden z nich nepřizná, potom se vyšetřovatelům nepodaří najít proti nim dostatek důkazů a budou odsouzeni každý k maximálně dvou letům vězení. V případě, že se jeden z nich přizná a druhý nikoliv, ten, co se přiznal, dostane pouze jeden rok, přiznání je polehčující okolnost a druhý dostane deset let. V případě, že se přiznají oba, dostanou po šesti letech. Jak se mají rozhodnout, přiznat, nepřiznat? Vězňovo dilema je model konfliktu, ve kterém obtížnost situace spočívá v tom, že oboustranně výhodné řešení existuje, ale je pro oba zúčastněné riskantní, neboť jednostranné porušení solidárního jednání vede k podstatné výhodě pro toho, kdo toto jednání porušil a k nevýhodě pro toho, kdo na oboustrannou solidárnost spoléhal. Matice této hry je následující.

22

KAPITOLA 1. TEORIE HER

N P

N (2 , 2) (1, 10)

P (10 , 1) (6, 6)

Nashův rovnovážný bod této hry existuje, je jím přiznání obou aktérů. (Připomeňme, že tentokrát se hráči snaží minimalizovat svůj pobyt za mřížemi, pro hledání sedlového bodu tedy používáme minima ve sloupcích první matice a minima v řádcích druhé matice.) Je ale vidět, že pokud by se vězni mohli domluvit nebo si věřit, potom by pro ně bylo výhodnější se nepřiznávat. Dalším typem konfliktu je tzv. manželský spor. Uvažujeme situaci, kdy se manželé rozhodují, jak stráví volné odpoledne. Muž by rád odpoledne strávil na sportovním stadiónu, kdežto žena by dala přednost kulturnímu odpoledni. Avšak oba chtějí trávit odpoledne společně. Vyjádřeno pomocí preferencí, žena by nejraději strávila kulturní odpoledne, ovšem pouze za předpokladu, že tam s ní bude i její muž. Další varianta v pořadí je pro ni strávení sportovního odpoledne s mužem a pokud by měla trávit odpoledne sama, nebude z toho mít žádný užitek. Podobně je na tom muž, nejraději by byl na sportovním stadiónu se svou ženou, potom by preferoval kulturní odpoledne se ženou a trávení odpoledne bez ženy by mu žádný užitek nepřineslo. Toto je typ konfliktu, kdy existuje více dvojic rovnovážných strategií, z nichž žádná není dominující. Matici tohoto sporu můžeme zapsat například následovně.

K S

K (2 , 1) (0, 0)

S (0 , 0) (1,2)

Tentokrát tedy existují dva Nashovy rovnovážné body, a to kombinace (K, K) a kombinace (S, S). Problémem tentokrát je, že žádný z těchto dvou bodů není dominující (pro ženu je výhodnější kombinace (K, K), ale pro muže (S, S)). V takovémto případě je problém, že pokud by se každý z hráčů rozhodl pro jiný rovnovážný bod, potom společně dojdou k řešení, které je oboustranně nevýhodné (například žena půjde za kulturou a bude totéž čekat od muže, ale ten půjde na stadión (a totéž čeká od ženy), tím se oba dostanou do situace, ze které ani jeden z nich nebude mít užitek). Další typ konfliktu nazveme prestiž. Uvažujme situaci inspirovanou filmem Rebel bez příčiny. Dva lidé jedou autem po cestě, která končí prudkým vysokým srázem do moře. Jedná se o to, který z nich první situaci nevydrží a z auta vyskočí, ten ztratí svou prestiž, druhý vyjde jako vítěz. Matici této hry můžeme napsat například následovně. (U – ustoupit, N – neustoupit)

U N

U (0 , 0) (5, -5)

N (-5 , 5) (-100,-100)

Předpokládáme, že ztráta prestiže je pro účastníky nepříjemná, ale stále příjemnější, než ztráta života, ke které by došlo, pokud by ani jeden z účastníků neustoupil. Každý z hráčů může buď ustoupit nebo neustoupit. Pokud oba hráči ustoupí, je výsledek neutrální, jednostranná ústupnost vede ke ztrátě prestiže toho, kdo ustoupil, oboustranná neústupnost vede ke krajně nepříznivým výsledkům u obou hráčů. Nashovy rovnovážné body jsou opět dva a žádný není dominující.

1.4. DVOUMATICOVÉ HRY – HRY DVOU HRÁČŮ S NEKONSTANTNÍM SOUČTEM 23 Poslední typ konfliktu, který popíšeme, nazveme auta. Modeluje situaci, kdy jede kolona aut, ve které je sem tam mezera pro jedno auto, ovšem na zařazení do této kolony čekají dvě auta stojící proti sobě. V případě, že se jedno z aut rozhodne zařadit a druhé nezařadit, první auto z toho má velký užitek (jede dál), ale druhé auto také něco získá, zůstane samo čekající, tedy příští mezera je jeho. Pokud se obě rozhodnou nezařadit, pak z této mezery neměla obě žádný užitek a v případě, že se rozhodnou zařadit obě auta zároveň, dojde ke srážce a tedy užitek pro obě auta je záporný. Matici této hry můžeme zapsat například následovně (J – jede, N – nejede): J (-100 , -100) (2, 5)

J N

N (5 , 2) ( 0, 0)

Tato hra má opět dva Nashovy rovnovážné body, z nichž žádný není dominující. Navíc, pokud se v tomto případě hráči nestrefí do rovnovážného bodu, oba si pohorší. Jediným východiskem je opět (viz příklad 6) buď kooperace nebo řešení přes zaručený zisk. V jiném případě je hra velmi riskantní.

1.4.4

Kooperativní hry s přenosnou výhrou

V případě her s nekonstantním součtem, až na výjimky, hráči mohou dosáhnout vyšších zisků, pokud se spolu dohodnou, jak hrát. V mnoha případech není z principu problému možné (někdy to není legální), aby hráči spolupracovali (kooperovali). Podívejme se, jak se dvoumaticové hry řeší kooperativním způsobem. Předpokládáme tedy, že hráči se dopředu mohou dohodnout, jak budou hrát. V takovém případě chtějí maximalizovat společný zisk (popř. minimalizovat společnou ztrátu). Stačí tedy zapsat matici společného zisku, což je matice A + B (matice A je maticí zisku prvního hráče, matice B je maticí zisku druhého hráče). Matematicky zapsáno řešíme: max(aij + bij ). i,j

Obecněji max(f1 (x, y) + f2 (x, y)), x,y

kde f1 je zisková funkce prvního hráče a f2 je funkce zisku druhého hráče. Maximalizujeme tedy společný zisk. V tomto případě budou mít hráči dohromady minimálně stejně jako v rovnovážném bodě. To, co budou mít případně navíc, nazýváme superaditivním efektem. Řešený příklad 1.14. Uvažujme dvoumaticovou hru, kde každý hráč má tři možné strategie a výplatní matice hráčů vypadají následovně: 

 5 3 1 A= 3 2 2  0 1 0



 2 5 3 B= 3 7 5  4 3 2

Řešení. Nejprve se podívejme, zda má tato hra nějaký rovnovážný bod. Standardním způsobem zjistíme, že má právě jeden rovnovážný bod, a to strategie (1, 2), v takovém případě dosahují

24

KAPITOLA 1. TEORIE HER

zisku 3 a 5. Budeme-li tuto hru řešit s možností kooperace, potom hledáme maximum v matici (hráči hledají maximální společný zisk)   7 8 4 A + B =  6 9 7 . 4 4 2 Optimální strategií tedy bude kombinace strategií (2, 2), největší možný společný zisk je 9 a je tedy oproti předchozímu řešení vyšší. Superaditivní efekt je v tomto případě 1 (9 − (3 + 5)). 2 Ovšem tím, že hráči znají optimální strategie k dosažení společného maximálního zisku, problém nekončí. Nastává další problém, a to je problém rozdělení tohoto společného zisku. (Všimněte si, že kdyby si měl každý ponechat jen to, co si skutečně vydělal, potom by první hráč na kooperaci tratil, protože by měl zisk pouze 2, kdežto v Nashově rovnovážném bodě měl zisk 3.) Všechny varianty, jak si mohou hráči zisk rozdělit, se nazývají jádro hry. To můžeme zakreslit na grafu, viz obrázek 1.6. Osa x představuje výhru prvního hráče (v1 ), osa y výhru druhého hráče (v2 ). Předpokládáme, že společná výhra má hodnotu v a první hráč musí obdržet minimálně výhru z1 a druhý minimálně z2 . Potom jádrem hry je úsečka AB, kde jsou všechny kombinace, jak si mohou hráči výhru rozdělit.

Obrázek 1.6: Jádro hry Jádro hry může vycházet buď z minimaxu, z Nashova rovnovážného bodu (problém nastane, když existují dva nebo neexistuje) nebo z úvahy – nechceme, aby někdo utekl. Všechny tyto varianty si vysvětlíme dále.

1.5. OLIGOPOL

25

Řešený příklad 1.15. Jakými způsoby si mohou účastníci hry řešeného příkladu 1.14 rozdělit zisk? Řešení. V tomto případě existuje jeden rovnovážný bod, v němž mají účastníci hry zisky 3 a 5. To můžeme vzít za základ pro dělení výhry a každému dát to, co by získal v rovnovážném bodě. Zbývající zisk (superaditivní efekt), v tomto případě má hodnotu 1, můžeme mezi hráče libovolně podělit, například spravedlivě napůl. V takovém případě by první hráč získal z dosaženého zisku 3, 5 a druhý 5, 5. Druhou metodou je dělení podle minimaxu neboli zaručeného zisku. První hráč má zaručený zisk 2 (když zvolí druhou strategii, musí dosáhnout zisku alespoň 2) a druhý hráč má zaručený zisk 3 (pokud zvolí druhou strategii). Tato metoda tedy radí dát každému jeho zaručený zisk a zbytek nějakým způsobem mezi hráče rozdělit (třeba napůl). Třetí metodou je dělení na principu „aby se nikomu nevyplatilo utéciÿ. Hráčům je doporučeno pro maximalizaci společného zisku zahrát strategie (2, 2). Pokud by první hráč měl ze společného zisku zaručen příjem menší než 3, hrozilo by, že na poslední chvíli změní svou strategii (není-li vázán žádnou smlouvou a nehrozí mu žádné sankce) a zahraje první strategii. Tím by měl šanci (za předpokladu, že druhý hráč zůstane u druhé strategie) získat výhru v hodnotě 3. Druhý hráč má největší možnou výhru v případě, že první hráč bude volit druhou strategii, právě v bodě společného maxima. Je tedy motivován v tomto bodě setrvat, ale vyplatilo by se mu po realizaci se svou výhrou utéci. Pokud by to nebylo možné, potom by měl mít zisk alespoň 5, aby neměl motivaci měnit strategii. 2 Řešený příklad 1.16. Uvažujme dvoumaticovou a s maticí B následující.  3 2  6 2 B= 0 2

hru s maticí A jako v předchozím příkladu  5 3  1

Řešení. V tomto případě neexistuje Nashův rovnovážný bod. Ale kooperativní řešení opět existuje! Dělba zisku by v tomto případě musela proběhnout buď podle minimaxu nebo strategie „aby někdo neuteklÿ. 2

1.4.5

Kooperativní hry s nepřenosnou výhrou

Zde se sleduje odděleně výhra každého hráče v1 a v2 (v Nashově rovnovážném bodě). V maticích zisků pak hledáme čísla aij a bij tak, aby platilo aij > v1 a zároveň bij ≥ v2 nebo aij ≥ v1 a zároveň bij > v2 . Neboli hledáme, zda existují strategie (i a j) takové, že při volbě těchto strategií dosáhnou oba hráči alespoň takového zisku, jako kdyby hráli samostatně a jeden hráč dosáhne lepšího zisku, než jaký má zaručen bez kooperace. Pokud takové strategie existují, je výhodné alespoň pro jednoho hráče smlouvu o kooperaci uzavřít.

1.5

Oligopol

Oligopolem rozumíme situaci na trhu, kdy jej ovládá několik málo firem. Tyto firmy nemohou ovlivnit cenu výrobku, tu určuje trh, ale určují množství výrobků na trh dodávaných. Pokud trh ovládají pouze dvě firmy, mluvíme o duopolu. V této kapitole popíšeme pro jednoduchost právě situaci duopolu. Modely ostatních oligopolů by se řešily podobným způsobem.

26

1.5.1

KAPITOLA 1. TEORIE HER

Značení

Nejprve zaveďme značení. q1 , q2 – objem výroby prvního, resp. druhého výrobce, Q = q1 + q2 – celkový objem výroby na trhu, p – cena výrobku (tu utvoří trh), společná pro oba (závisí na objemu výroby – Q, který je na trhu), c1 , c2 – náklady prvního, resp. druhého výrobce (závisí na jeho objemu produkce), z1 , z2 – zisk prvního, resp. druhého výrobce. Je tedy zřejmé, že platí z1 = p · q1 − c1 (q1 )

(1.4)

z2 = p · q2 − c2 (q2 ),

(1.5)

kde p závisí na Q, tedy p můžeme psát jako funkci dvou proměnných p(q1 , q2 ).

1.5.2

Nekooperativní model

Pokud duopolisté nemohou či nechtějí spolupracovat, potom každý z nich se snaží maximalizovat svůj zisk, tedy funkci z1 , resp. z2 . Ovšem každá z těchto funkcí závisí na obou hodnotách q1 i q2 . Jedná se tedy o hru dvou hráčů s nekonstantním součtem a s nekonečnou množinou všech strategií. Oba duopolisté musí brát v úvahu svého kolegu, neboť cena se určí dle množství výrobků na trhu, což je q1 + q2 . A bez znalosti ceny nemohou určit svůj zisk. Stejně jako v případě maticových her je možno tuto situaci řešit pomocí sedlového bodu. Opět hledáme takovou kombinaci strategií, aby se žádnému z hráčů (v tomto případě duopolistů) nevyplatilo utéci. U oligopolů se v případě nekooperativních modelů používají dva typy řešení – Stackelbergův model a Cournotův model. Cournotův model předpokládá, že oligopolisté jsou si zhruba rovni, tedy jeden nemůže nic diktovat druhému, jsou ve stejné situaci. Stackelbergelův model předpokládá, že jeden oligopolista je silnější, může určit objem výroby a druhý se mu bude muset přizpůsobit. V dalších dvou částech popíšeme oba tyto modely. Cournotův model Vychází z konkurence v objemu výroby. Předpokládá, že oba duopolisté chtějí maximalizovat svůj zisk za předpokladu, že vědí, že stejným způsobem se bude chovat také jejich protivník. Pokud první oligopolista předpokládá, že druhý bude na trh dodávat množství výrobků q20 , potom on pro maximalizaci svého zisku řeší následující rovnici: ∂z1 ∂p (q1 , q20 ) = p(q1 , q20 ) + q1 · (q1 , q20 ) − c01 (q1 ) = 0, ∂q1 ∂q1 kde c01 (q1 ) je první derivace funkce c1 (q1 ) podle q1 . Konkurent bude podle stejné filozofie řešit obdobnou rovnici (předpokládá, že objem výroby prvního duopolisty je q10 ): ∂z2 0 ∂p 0 (q1 , q2 ) = p(q10 , q2 ) + q2 · (q , q2 ) − c02 (q2 ) = 0. ∂q2 ∂q2 1 Poněvadž oba předpokládají, že stejně se chová jejich konkurent, řeší následující soustavu dvou rovnic o dvou neznámých: ∂z1 ∂p (q1 , q2 ) = p(q1 , q2 ) + q1 · (q1 , q2 ) − c01 (q1 ) = 0. ∂q1 ∂q1 ∂z2 ∂p (q1 , q2 ) = p(q1 , q2 ) + q2 · (q1 , q2 ) − c02 (q2 ) = 0 ∂q2 ∂q2

1.5. OLIGOPOL

27

Uvědomme si, že řešení těchto rovnic odpovídá přesně hledání Nashova rovnovážného bodu. Bude-li řešení v bodě (q10 , q20 ), potom se skutečně žádnému oligopolistovi nevyplatí utéci, poněvadž, pokud by druhý také nezměnil strategii, on sám by si pohoršil (za předpokladu, že druhý strategii nezmění, má v tomto bodě lokální extrém). V tomto modelu lze také zapsat funkci závislosti množství výroby jedné firmy na objemu výroby druhé. Řešený příklad 1.17. Předpokládejme duopol, kde se cena utváří p = 80 − Q, náklady prvního oligopolisty jsou c1 (q1 ) = 200 + 2q1 a druhého c2 (q2 ) = 150 + 5q2 . Předpokládejme možné rozsahy výroby q1 ∈ [0, 50] a q2 ∈ [0, 40]. Řešení. Nejprve připomeňme, že v tomto případě máme rovnice zisku jednotlivých oligopolistů v následujícím tvaru, viz rovnice (1.4), (1.5): z1 = (80 − q1 − q2 )q1 − (200 + 2q1 ) = −q12 − q1 q2 + 78q1 − 200, z2 = (80 − q1 − q2 )q2 − (150 + 5q2 ) = −q22 − q1 q2 + 75q2 − 150. Chceme-li získat optimální řešení pomocí Cournotova modelu, potřebujeme vyřešit následující soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. ∂z1 = −2q1 − q2 + 78 = 0 ∂q1 ∂z2 = −2q2 − q1 + 75 = 0 ∂q2 Vyřešením této soustavy získáme řešení q1 = 27, q2 = 24. Cena se tedy ustálí na hodnotě p = 80 − 27 − 24 = 29. Zisk prvního oligopolisty při této ceně a rozsahu výroby 27 bude z1 = 29 · 27 − (200 + 2 · 27) = 529, zisk druhého oligopolisty bude 426. Z této soustavy rovnic také můžeme vyjádřit funkční předpis pro objem výroby jednotlivých oligopolistů v závislosti na objemu výroby jeho konkurentů (funkce reakce oligopolistů). V tomto případě získáváme:

q1 = 39 − 1/2q2 q2 = 37, 5 − 1/2q1 .

Toto by bylo úplné řešení problému, pokud bychom neuvažovali omezené možnosti výroby jednotlivých oligopolistů. Uvažujeme-li navíc omezení v rozsahu výroby, potom ještě musíme ověřit, jak to vypadá na krajích definičního oboru. Je zřejmé, že nemusíme uvažovat případ, kdy jedna z firem nevyrábí (dolní hranice definiční oboru), to by určitě nebyl rovnovážný bod, protože ať by byla cena jakákoliv, firmě by se vyplatilo začít něco vyrábět, neboli utéci od strategie nulové výroby. Podívejme se tedy na situaci, kdy by první firma vyráběla na horní hranici svých výrobních možností, vyráběla by tedy množství 50. V takovém případě by zisková funkce druhé firmy byla z2 (50, q2 ) = −q22 − 50q2 + 75q2 − 150 = −q22 + 25q2 − 150. Tato funkce nabývá extrému v bodě q2 = 12, 5. Pokud ovšem hodnotu 12, 5 pro q2 dosadíme do funkce zisku prvního oligopolisty, získáme funkci z1 (q1 , q2 ) = −q12 − 12, 5q1 + 78q1 − 200 = −q12 + 65, 5q1 − 200.

28

KAPITOLA 1. TEORIE HER

Derivace této funkce (podle q1 ) je

0

z1 = −2q1 + 65, 5, a tedy v bodě 50 je to funkce klesající, prvnímu oligopolistovi by se tedy vyplatilo změnit strategii. Tedy tento bod také není rovnovážným řešením. Podobný výsledek získáme, pokud budeme uvažovat, že druhý oligopolista stanoví svůj objem výroby na horní hranici svých výrobních možností. Zjistíme, že při objemu výroby 40 druhého oligopolisty by bylo pro prvního výhodné vyrábět 19. Ale pokud by první vyráběl 19, potom by zisková funkce druhého oligopolisty v bodě 40 byla klesající, a tedy také se nejedná o rovnovážné řešení. 2

1.5.3

Stackelbergerův model

Tento model také vychází z předpokladu konkurence v objemu výroby, má stejné zadání jako předchozí model, ale liší se v tom, že v tomto modelu se předpokládá, že jedna firma bude vůdce a druhá následník. Jedna firma může urči objem výroby a druhá firma se jí přizpůsobí. Tedy vedoucí firma dovede zapsat závislost svého zisku pouze na objemu své výroby (objem výroby druhého výrobce je vlastně funkcí její vlastní výroby, viz předchozí model). Z této funkce jedné proměnné potom maximalizuje svůj zisk. Druhá firma potom stanoví svůj objem výroby dle této první firmy. Tento model bude fungovat, pokud jedna z firem je ochotná být následníkem. Budou-li chtít být následníkem obě, nastává vlastně předchozí případ. Pokud ovšem obě firmy budou stanovovat svůj objem výroby dle toho modelu a obě jako vůdci, potom se dostanou do oboustranně nevýhodné situace. Řešený příklad 1.18. Uvažujme opět stejné zadání jako v řešeném příkladě 1.17. Předpokládejme, že druhá firma je vůdce. Ona tedy počítá s tím, že pokud sama stanoví objem výroby q20 , potom první firma stanoví svůj objem výroby jako q1 = 39 − 1/2q2 (funkce reakce, viz předchozí příklad). Řešení. V tomto případě druhá firma může svůj zisk psát jako   1 z2 (q2 ) = −q22 − 39 − q2 q2 + 75q2 − 150 2 1 = − q22 + 36q2 − 150. 2 Jedná se tedy o funkci jedné proměnné, kterou chceme maximalizovat. Hledáme tedy q2 tak, aby první derivace této funkce byla nulová, tj. aby −q2 + 36 = 0. Získáme řešení q2 = 36. Protože se jedná o parabolu a její vrchol leží uvnitř definičního oboru, je zřejmé, že právě v tomto bodě nabývá tato funkce svého maxima. Nemusíme tedy dopočítávat hodnoty v krajních bodech intervalu. Z toho vypočteme q1 = 21, cena bude p = 23 a zisky z1 = 451 a z2 = 498. Druhý oligopolista si polepšil. 2 Řešený příklad 1.19. Předpokládejme stejný příklad a situaci, že oba chtějí být vůdci. Řešení. Nejprve se tedy podívejme, jaký rozsah výroby stanoví první oligopolista, pokud vychází z předpokladu, že on je vůdce. První oligopolista tedy předpokládá, že druhá firma

1.5. OLIGOPOL

29

bude stanovovat objem výroby podle funkce reakce na jeho objem výroby, tedy dle funkce q2 = 37, 5 − 1/2q1 . Předpokládá tedy, že jeho funkce zisku má následující tvar:   1 2 z1 (q1 ) = −q1 − 37, 5 − q1 q1 + 78q1 − 200 2 1 2 = − q1 + 40, 5q1 − 200. 2 Tato funkce nabývá maxima v bodě 40, 5. Pokud tedy první oligopolista předpokládá, že on je vůdce, stanoví svůj rozsah výroby na hodnotu 40, 5 a předpokládá, že druhý oligoplista stanoví svůj objem výroby na 17, 25. A tedy, že cena se ustálí na hodnotě 22, 25, při které může dosáhnout zisku 620, 125. (Očekává tedy, že si výrazně polepší.) Pokud oba duopolisté budou realizovat své řešení získané za předpokladu, že právě oni jsou vůdci, tedy první stanoví rozsah výroby na 40, 5 a druhý 36, oba na tom prodělají. Společně totiž vyrobí příliš mnoho výrobků a cena (kterou utváří trh) bude velmi nízká. V našem případě bude cena 3, 5. Oligopolisté tedy budou realizovat zisk z1 = −139, 25 a z2 = −204, neboli oba se dostanou do ztráty. 2

1.5.4

Kooperace – model kartelu

V nekooperativním modelu první oligopolista maximalizuje svou ziskovou funkci z1 a druhý ziskovou funkci z2 . V kooperativním modelu společně maximalizují funkci společného zisku, což je z1 + z2 . Hledáme tedy maximum funkce z = z1 + z2 , což je funkce dvou proměnných q1 a q2 . Funkce dvou proměnných nabývá svého maxima buď v krajních bodech definičního oboru (je-li definiční obor omezen) nebo v bodě, kde jsou její parciální derivace prvního řádu rovny nule a matice druhých parciálních derivací je negativně definitní. S využitím výše popsaného značení je tedy naším cílem maximalizovat funkci z(q1 , q2 ) = p(q1 + q2 ) − c1 (q1 ) − c2 (q2 ). Často ještě tuto funkci máme jen na omezené množině (oligopolisté mají omezený rozsah výroby), proto maximum nastává buď v bodech, kde jsou první parciální derivace nulové nebo v krajních bodech množiny. Po nalezení optimální strategie výroby je tu ještě jeden problém, stejně jako v případě kooperativních her, a to problém přerozdělení zisku nebo-li nalezení jádra hry. Řešený příklad 1.20. Uvažujme zadání řešeného příkladu 1.17. Jaká je optimální struktura výroby duopolistů za předpokladu, že spolupracují? Řešení. Tentokrát duopolisté chtějí maximalizovat společný zisk, který můžeme vyjádřit rovnicí z(q1 , q2 ) = z1 (q1 , q2 ) + z2 (q1 , q2 ) = (80 − q1 − q2 )(q1 + q2 ) − (200 + 2q1 ) − (150 + 5q2 ) = −q12 − q22 − 2q1 q2 + 78q1 + 75q2 − 350. Hledáme-li maximum funkce dvou proměnných, řešíme následující soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. ∂z = −2q1 − 2q2 + 78 = 0 ∂q1 ∂z = −2q2 − 2q1 + 75 = 0 ∂q2

30

KAPITOLA 1. TEORIE HER

Ovšem tato soustava nemá řešení (např. není splněna Frobeniova podmínka). Budeme tedy muset hledat řešení v krajích definičního oboru (funkce jsou omezené, máme omezené výrobní možnosti). (Kdyby nějaké řešení existovalo, museli bychom zkontrolovat, zda spadá do možných rozsahů výroby pro oba oligopolisty, a tedy je to kandidát na maximum. Pokud by tomu tak bylo, vyšetřili bychom ještě kraje přípustné množiny a ze všech kandidátů vybrali toho nejlepšího.) Začneme tedy kraji definičního oboru, kde první proměnná nabývá svého minima, tj. položme q1 = 0. Potom zisková funkce má tvar z(0, q2 ) = −q22 + 75q2 − 350. Maximum této funkce pro q2 ∈ [0, 40] je buď v krajích intervalu nebo v bodě 37, 5 (je to bod, kde je první derivace této funkce (podle q2 ) nulová). Dosazením zjistíme, že maximum je v bodě 37, 5 (dosazením jednotlivých bodů postupně jsme získali hodnoty −350, 1056, 5, 1050). Neboli jeden z kandidátů na maximum je bod výroby (0, 37, 5), v němž duopolisti dosahují společného zisku 1056, 5. V dalším kroku položme q1 = 50 (první proměnná nabývá svého maxima) a optimalizujeme z(50, q2 ) = −502 − q22 − 100q2 + 78 · 50 + 75q2 − 350 = −q22 − 25q2 + 1050. Derivace této funkce je nulová v bodě q2 = −12, 5, což není přípustný rozsah výroby, tudíž maxima se nabývá v jednom z krajních bodů, a tedy při q2 = 0. Hodnota maxima pak je 1050. Další z kandidátů na maximum je bod výroby (50, 0), v němž duopolisti dosahují společného zisku 1050. Dále položme q2 = 0 (druhá proměnná nabývá svého minima) a optimalizujeme z(q1 , 0) = −q12 + 78q1 − 350. Derivace této funkce je nulová v bodě q1 = 39, tudíž „podezřelýmiÿ body jsou q1 = 0, 39, 50. Po dosazení zjistíme, že maximum je v bodě 39 s hodnotou 1171. Získáváme tak dalšího kandidáta na maximum, bod výroby (39, 0), v němž duopolisti dosahují společného zisku 1171. Nakonec položme q2 = 40 a optimalizujeme z(q1 , 40) = −q12 − 402 − 80q1 + 78q1 + 75 · 40 − 350 = −q12 − 2q1 + 1050. Bod, ve kterém je nulová první derivace, je −1, tudíž maximum bude opět v jednom z krajních bodů intervalu, a to v bodě 0 se ziskem −390. V následující tabulce shrneme body, které jsou podezřelé, že v nich funkce společného zisku oligopolistů nabývá maxima. Zároveň u každého tohoto bodu uvedeme, jaká je v něm hodnota společného zisku. bod společný zisk

(0, 37, 5) 1056,5

(50, 0) 1050

(39, 0) 1171

(0, 40) −390

Je tedy vidět, že největšího společného zisku mohou oligopolisté dosáhnout při rozsahu výroby q1 = 39, q2 = 0, při čemž vytvoří společný zisk 1171 a cena se ustálí na hodnotě 41.

1.5. OLIGOPOL

31 2

Dále nastává problém, který už známe z teorie her, přerozdělení zisku. V tuto chvíli totiž první oligopolista má zisk 1321 a druhý má ztrátu 150. Pokud by tedy nedošlo k přerozdělení zisku, potom by druhý oligopolista neměl zájem tuto dohodu dodržovat. A jak tedy přerozdělit zisk? Je to stejný problém jako u teorie her, můžeme zde mluvit o jádru oligopolu. Pokud bychom chtěli vyjít z Nashova rovnovážného bodu, potřebujeme nejprve spočítat rovnovážné řešení, a pak stačí výsledky odečíst a podělit. Rovnovážné řešení máme spočítáno v řešeném příkladu 1.17. Pokud bychom chtěli vyjít z minimaxu, pak musíme zaručené zisky ještě dopočítat. Co je zaručeným ziskem prvního oligopolisty? Nejhorší varianta, která může pro prvního oligopolistu nastat, je že druhý oligopolista vyrábí maximum, co může, to je v našem případě 40. Zisk prvního oligopolisty v tomto případě bude v závislosti na objemu jeho výroby z1 (q1 , 40) = (40 − q1 )q1 − 200 − 2q1 . Tato funkce nabývá svého maxima v bodě q1 = 0, v tomto případě je zisk prvního oligopolisty −200. Stejným způsobem spočítáme zaručený zisk druhého oligopolisty a z toho poté vycházíme při tvorbě jádra oligopolu, spec. při rozdělování zisku. V tomto případě nemá smysl mluvit o přerozdělování zisku třetím způsobem, tj. tak, aby se nikomu nevyplatilo utéci, neboť zde se situace neustále opakuje a strategie utéci není trvale výhodná. Tím jsme vyřešili problémy duopolu. Řešíme-li situaci oligopolu, ve kterém vystupují více než dva subjekty, řešení je v mnohém stejné. Musíme si však řádně ohlídat jednu věc navíc. Pokud řešíme situaci koluzivního oligopolu a přerozdělujeme zisk, potom musíme nejen ohlídat, aby každý jedinec dostal co mu patří, ale také každá možná subkoalice. Shrnutí: V tabulce shrneme výsledky, ke kterým jsme dospěli řešením předchozích modelů. V prvním sloupci uvedeme výsledky pro Cournotův model, v dalších třech pro Stackelbergerův, přičemž ve druhém sloupci je předpoklad, že první firma je vůdce a druhá se přizpůsobí, ve třetím sloupci se předpokládá, že druhá firma je vůdcem a první se jí přizpůsobí. Ve čtvrtém sloupci je vypočteno, co by se stalo, kdyby obě firmy předpokládaly, že právě ony jsou vůdci a čekaly, že se jim druhá přizpůsobí. V posledním sloupci jsou uvedeny výsledky pro model kartelu.

cena výroba 1. firmy výroba 2. firmy zisk 1. firmy zisk 2. firmy společný zisk

Cournotův model 29 27 24 529 426 955

1. vůdce 22, 25 40, 5 17, 25 620, 125 147, 56 767,69

2. vůdce 23 21 36 451 498 949

oba vůdci 3, 5 40, 5 36 −139, 25 −204 −343, 25

kooperace 41 39 0

1171

Z tabulky je patrné, že pro spotřebitele je velmi nevýhodné, pokud firmy mohou spolupracovat, neboť společnou dohodou zvýší cenu výrobku na trhu.

32

KAPITOLA 1. TEORIE HER

Cvičení Cvičení 1.1. Ve hře Kámen-Nůžky-Papír povolme ještě strategii Studna (palec a ukazováček vytvoří kruh). Do studny může cokoliv spadnout, neboli v kombinaci Studna + cokoliv jiného vyhrává Studna, padnou-li dvě Studny je remíza. Má tato hra ještě smysl? Má sedlový bod? Cvičení 1.2. Stanovte cenu hry, ryzí optimální strategie obou hráčů a alespoň jednu smíšenou optimální strategii hráče A ve hře s výplatní maticí   3 1 2 3  −2 0 −3 4  2 1 4 3 Cvičení 1.3. Hráči A a B ukáží současně 1 nebo 2 nebo 3 prsty. Jestliže součet ukázaných prstů je sudý, dostane hráč A od hráče B tolik korun, kolik prstů hráč B ukázal. Je-li součet prstů lichý, hráč A zaplatí hráči B tolik korun, kolik prstů sám ukázal. Sestavte výplatní matici dané hry a stanovte optimální strategii každého hráče. Cvičení 1.4. Dva hráči současně ukáží 1 nebo 2 prsty a současně každý z nich řekne jedno z čísel 2, 3, 4. Jestliže číslo vyslovené jedním z hráčů se rovná součtu ukázaných prstů obou hráčů, dostane tento hráč od druhého počet korun rovný tomuto číslu. Jestliže oba hráči řeknou správné nebo chybné číslo, výplata každého z nich bude nulová. Sestavte výplatní matici dané hry a stanovte optimální strategii každého hráče. Cvičení 1.5. Hráč A se může skrýt ve třech místech X, Y a Z před hráčem B, který ho v těchto místech hledá. Pro vzájemnou polohu uvedených míst platí XY = 20, XZ = 35, YZ = 15. Hráč A se snaží maximalizovat vzdálenost od hráče B, zatímco hráč B se snaží tuto vzdálenost minimalizovat. Sestavte výplatní matici daného konfliktu a určete, v jakém místě se má hráč A ukrýt a kde ho má hráč B hledat. Cvičení 1.6. Investor zamýšlí postavit jeden velký a jeden malý hotel, jejichž vybudování by stavebním firmám přineslo zisk 15 mil.K a 9 mil.K. O výstavbu se zajímají dvě firmy, z nichž se každá může ucházet buď o stavbu jednoho z hotelů, nebo může nabídnout práci na stavbě obou hotelů. Investor rozdělí zakázky takto: a) jestliže se o hotel uchází jen jedna firma, získá celou tuto zakázku b) jestliže se o jeden hotel ucházejí obě firmy a o druhý žádná, investor nabídne oběma firmám spolupráci na obou hotelech s tím, že se o objem prací i o zisk rozdělí stejným dílem c) jestliže se jedna z firem uchází o stavbu celého jednoho hotelu a druhá nabízí práci na obou, získá firma, která nabízí realizaci celé stavby, 60 % z objemu prací i ze zisku na této stavbě a na zbývajícím hotelu si obě firmy rozdělí práci i zisk napůl. Sestavte výplatní matici daného konfliktu a stanovte optimální strategie obou firem za předpokladu, že usilují o maximalizaci svého zisku zmenšeného o zisk druhé firmy. Cvičení 1.7. V zemích Z1 a Z2 se konají veletrhy, přičemž v zemi Z1 se očekávají zakázky představující zisk 150 jednotek a v zemi Z2 se počítá se ziskem 90 jednotek. O trhy v těchto zemích soutěží firmy A a B, přičemž každá z těchto firem si může dovolit buď jednu velkou expozici v kterékoli ze zemí, nebo malé expozice v obou zemích. Zakázky budou přidělovány podle těchto pravidel: a) nemá-li jedna firma v zemi expozici, získá celou zakázku druhá firma b) mají-li obě firmy v dané zemi zastoupení téhož typu, o zakázku se dělí napůl

1.5. OLIGOPOL

33

c) má-li jedna firma v zemi malou expozici a druhá firma velkou, rozdělí se obě firmy o zakázku v poměru 1:2. Sestavte výplatní matici daného konfliktu a stanovte optimální strategie obou firem za předpokladu, že usilují o maximalizaci svého zisku zmenšeného o zisk druhé firmy. Cvičení 1.8. Firmy A a B vyrábějící týž výrobek se rozhodují o jeho ceně, která může být 2 tisíce Kč za kus nebo 2,5 tisíce Kč za kus. Očekávané zisky obou firem jsou pro uvažované kalkulace cen uvedeny (v milionech Kč) v následující matici:

2 tisíce Kč/ks 2,5 tisíce Kč/ks

2 tisíce Kč/ks  10;8 6;18

2,5 tisíce Kč/ks  17;3 15;13

Stanovte pro každou firmu nejvýhodnější cenu výrobku za předpokladu, že obě firmy spolu a) nekooperují b) kooperují. V případě b) určete očekávaný zisk každé firmy, jestliže zisk dosažený spoluprací bude mezi obě firmy rozdělen stejným dílem. Cvičení 1.9. Zemědělský podnikatel se rozhoduje, zda má začít sklizeň cukrové řepy co nejdříve (strategie A1 ), nebo zda s ní má ještě 14 dní počkat (strategie A2 ). Bude-li pěkné počasí (strategie přírody B1 ), řepa získá na hmotnosti a zvýší se procento cukernatosti. Současně však existuje nebezpečí mrazů (strategie B2 ), kdy farmář nestačí sklidit řepu včas a kdy také dojde ke ztrátám na cukernatosti. Výhrou farmáře v této „hře proti příroděÿ jsou tržby za řepu, které jsou uvedeny (v tisících Kč) v následující matici:

A1 A2



B1

B2

720 810

720 650



Zemědělec má k dispozici předpovědi počasí za uplynulých 30 let a také informace o skutečném stavu počasí v těchto letech. Uvedené údaje týkající se období sklizně řepy jsou zapsány v následující tabulce. Skutečnost Teplo Mrazy Celkem

Předpověď Teplo Mrazy 19 2 3 6 22 8

Celkem 21 9 30

Pomocí údajů z této tabulky můžeme stanovit relativní četnosti výskytu počasí obou typů, přičemž těmito hodnotami můžeme aproximovat příslušné pravděpodobnosti (viz následující tabulka). Předpověď Teplo Mrazy

Pravděpodobnost Teplo Mrazy 0,86 0,14 0,25 0,75

Kdy má zemědělec zahájit sklizeň řepy, aby za ni utržil co nejvíce, jestliže podle předpovědi počasí a) má být teplo b) mají přijít mrazy?

34

KAPITOLA 1. TEORIE HER

Cvičení 1.10. Dva podniky rychlého občerstvení MacChicken a MacPig uvažují o vynaložení prostředků na reklamu v částkách 7 (strategie 1), 9 (strategie 2) a 12 (strategie 3) milionů Kč. Pokud přesáhnou náklady na reklamu obou dohromady 20 milionů Kč, vzrostou celkové tržby z původních 200 na 270 milionů Kč. Různý podíl nákladů na reklamu bude mít za následek také různý podíl obou firem na těchto částkách: • Vynaloží-li oba stejně, rozdělí se na polovinu • Vynaloží-li jeden 7 a druhý 9 mil. Kč, získá první 45% a druhý 55% tržeb • Vynaloží-li jeden 7 a druhý 12 mil. Kč, bude mít první 35% a druhý 65% tržeb • Vynaloží-li jeden 9 a druhý 12 mil. Kč, bude mít první z tržeb už o výši 270 mil. Kč 40% a druhý 60%. Řekněme, že rentabilita tržeb je 10% a že se oba budou snažit maximalizovat rozdíl mezi ziskem a náklady na reklamu, tedy hodnoty tržby·0, 1·podíl na trhu – náklady na reklamu. Sestavte matici zisků obou firem při různých kombinací nákladů vložených do reklamy. Cvičení 1.11. Změňte zadání v úloze 1.10 tak, že upravíte prostředky vynaložené na reklamu na 7, 8 a 12 milionů Kč a růst tržeb při nákladech na reklamu nad 20 mil. Kč na 310 milionů Kč. Sestavte matici zisků a určete optimální strategie obou firem. Cvičení 1.12. Jeníček a Mařenka se rozhodují, jestli se večer budou dívat na televizi nebo zda půjdou do kina. Jeníček by se nejraději díval na televizi i s Mařenkou. Na druhém místě by šel do kina s Mařenkou, na třetím místě je pro něj varianta zůstat doma sám bez Mařenky a nejhorší by bylo, kdyby měl jít do kina bez Mařenky. Mařenka by nejraději šla do kina s Jeníčkem. Na druhém místě je pro ni dívat se na televizi s Jeníčkem, pak jít do kina bez Jeníčka a nejhorší by pro ni bylo být doma u televize sama. Sestavte dvojmatici jejich možných rozhodnutí (použijte ordinální stupnici pro ohodnocení užitku). Cvičení 1.13. Výrobce vyrábí určité výrobky, z nichž některé mohou být vadné. Servisní organizace účtuje tomuto výrobci za záruční opravu 8 peněžních jednotek (PJ)/kus. Výrobce však může provést před expedicí výrobku kontrolu kvality (stoprocentně účinnou) a vadné výrobky ještě před expedicí opravit. Průměrné náklady na opravu jednoho výrobku před expedicí činí 4 PJ/kus a náklady na kontrolu činí 3 PJ/kus. Zisk z prodeje jednoho kusu výrobku činí 9 PJ/kus. Výrobce se rozhoduje, zda má dělat výstupní kontrolu. Cvičení 1.14. Majitel penzionu se má rozhodnout, jakou zásobu uhlí si má v létě udělat. Zná následující údaje:

Mírná zima Normální zima Chladná zima

Potřeba uhlí v tunách 4 5 6

Průměrná cena za tunu 7,0 7,5 8,0

Tyto ceny (v tisících Kč) odpovídají nákupu během zimy. V létě lze koupit uhlí za 6,0 tisíc Kč za tunu, v domku je možnost uskladnit maximálně 6 tun. Uhlí, které po zimě zbude, musí majitel odepsat. Jaká je optimální strategie tohoto majitele penzionu? Cvičení 1.15. Dvě televizní stanice A stojí před problémem, jaký typ pořadu zařadit ve vybraný den v týdnu v nejsledovanější čas mezi 20. a 22. hodinou. Řekněme, že se rozhoduje mezi thrillerem, krimi a veselohrou. Stejný typ pořadů může zvolit i stanice B. Průzkumem sledovanosti pořadů byla sestavena matice sledovanosti, kde jednotlivé hodnoty představují počet diváků v milionech, kteří by pořad stanice A sledovali z celkového počtu 5 milionů možných diváků:

1.5. OLIGOPOL

35

Thriller Krimi Veselohra

Thriller 1, 3 2, 2 1, 9

Krimi 0, 8 2, 8 0, 7

Veselohra 3, 0 2, 0 3, 5

Jaký žánr by měla zařadit stanice A? Cvičení 1.16. Předpokládejme duopol, kde se cena utváří p = 50 − Q. Náklady prvního duopolisty jsou c1 = 150 + 2q1 , náklady druhého duopolisty jsou c2 = q22 . Rozsahy výroby nejsou omezené. a) Jaké jsou objemy produkce a zisky duopolistů pokud jsou oba následníci (Cournotův model)? Jaká je rovnovážná cena na trhu? b) Jaké jsou objemy produkce a zisky duopolistů pokud je první firma vůdce (Stackelbergův model)? Jaká je rovnovážná cena na trhu? c) Jaké jsou objemy produkce a zisky duopolistů pokud je druhá firma vůdce (Stackelbergův model)? Jaká je rovnovážná cena na trhu? d) Jaké jsou objemy produkce a zisky duopolistů v případě jejich spolupráce (model kartelu)? Jaká je rovnovážná cena na trhu? e) Porovnejte výsledky mezi sebou. Co je nejvýhodnější pro první firmu, co pro druhou firmu a co je nejvýhodnější pro zákazníky?

Otázky • Bylo by možné jednomaticové úlohy řešit metodami pro dvoumaticové? A opačně? • Proč u her s konstantním součtem nemluvíme o kooperaci? • Proč racionální hráč nikdy nevybere dominovanou variantu? • Může se stát, že indiferentní hráč zvolí dominovanou variantu? • Co by se stalo, kdyby hra Kámen-Nůžky-Papír měla sedlový bod? • Jaké problémy mohou nastat v řešení dvoumaticových her, má-li hra více rovnovážných bodů? • Proč v případě vězňova dilematu lze předpokládat, že se oba vězni přiznají, když by pro ně bylo výhodnější, kdyby oba zapírali? • Platí při kooperativním řešení, že hráči vždy docílí vyššího společného zisku než bez kooperace?

Literatura [1] Brožová, H., Houška, M., Šubrt, T. (2003): Modely pro vícekriteriální rozhodování. ČZU, Praha. [2] Fiala, P., Jablonský, J., Maňas, M. (1997): Vícekriteriální rozhodování. VŠE, Praha. [3] Fotr J., Dědina, J. (1997): Manažerské rozhodování. Ekopress, Praha. [4] Gros, I. (2003): Kvantitativní metody v manažerském rozhodování. Grada Publishing, Praha. [5] Holman, R. (2003): Ekonomie. C. H. Beck, Praha. [6] Jablonský, J. (2002): Operační výzkum. Professional Publishing, Praha. [7] Jablonský, J., Dlouhý, M. (2004): Modely hodnocení efektivnosti produkčních jednotek. Professional Publishing, Praha. [8] Saaty, T. L. (2005): Theory and Applications of the Analytic Network Process. RWS Publications, Pittsburg. [9] Soukupová, J. (2002): Mikroekonomie. Management Press, Praha. [10] Vaněčková, E. (1996): Ekonomicko-matematické metody. ZF JU, skripta, České Budějovice. [11] Vaněčková, E. (1998): Rozhodovací modely. ZF JU, skripta, České Budějovice.

36