Ernest 2004
6. Teorie systém 6.1 Historie teorie systém • Intuitivní p edstava - systém jako množina element , které jsou vázány n jakým vztahem mezi sebou. Takto definoval systém Ludwig von Bertalanfy na po átku t icátých let. Prof. Bertalanfy se zabýval teorií otev ených systém stimulovaných pot ebami biologie. • Tato základní myšlenka dala vznik nové v decké disciplín obecné teorii systém . Za zakladatele obecné teorie systém je považován prof. Bertalanfy, který ukázal, že interakce mezi ástmi jsou pro vlastnosti celku velmi d ležité a že celek m že vykazovat vlastnosti, které bezprost edn nevyplývají z vlastností jeho ástí. • Za átek 40. let znamenal výrazný rozvoj a polarizace obecné teorie systém . Dva sm ry - první reprezentoval požadavky biologie, ekonomie a dalších málo formalizovaných disciplín a byl spíše verbálním popisem, druhý sm r vycházel zejména z teorie obvod a teorie ízení, jako deduktivní p ístup vycházejících z ur itých axiom .
6.2 Základní pojmy obecné teorie systém Našemu v deckému zkoumání nelze prakticky podrobit veškerou objektivní realitu. Z d vod , které jsou nám intuitivn jasné, ale které mají mnohdy hluboké fyzikální opodstatn ní, je našemu zkoumání v každém okamžiku p ístupná vždy pouze jistá ást objektivní reality. Tuto ást nazýváme objekt, všechno ostatní okolím. Objekt m žeme vyšet ovat z r zných hledisek. Na zvoleném objektu pozorujeme nebo m íme ur ité vlastnosti. Výb r vlastností závisí na tom, co považujeme za významné vzhledem k danému ú elu. Vztah mezi vybranými vlastnostmi na daném objektu definuje systém nad objektem.
Ernest 2004 objektivní realita okolí
systém
objekt
Procesem definování systému na objektu rozlišujeme n kolik hierarchických úrovní. Soubor zm n pozorovaných vlastností (prom nných) nazveme aktivita systému. P esnost a frekvence, s jakou budeme m it prom nné, ur ují asoprostorovou rozlišovací úrove v prostoru zvolených prom nných. • Zdrojový systém - definujeme soubor prom nných na objektu se zvolenou rozlišovací úrovní a p ípustnými mezemi t chto prom nných. Vymezení univerzální množiny charakterizující daný systém. • Datový systém - dopln ní zdrojového systému konkrétním vzorkem aktivity systému. • Generativní systém - najdeme-li vztah mezi prom nnými, který nám umožní generovat stejná data, jako zmín ný vzorek aktivity. D lení systém podle interakce s okolím: •
ízený (orientovaný) systém - u daného systému lze rozlišit vstupy a výstupy systému (vstupy - jsou veli iny, které zp sobují zm ny ostatních veli in systému a samy závisí pouze na okolí systému, výstupy - veli iny systému, které zp sobují zm ny v okolí systému). Odporový d li , regulátor. • Ne ízený (volný) systém - u tohoto systému d lení na vstupy a výstupy neexistuje nebo není známo. Harmonický oscilátor, hod kostkou atd.
Ernest 2004
Rozd lení systém podle kauzality: • Deterministický systém. Jestliže lze chování systému úpln popsat jako množinu uspo ádaných dvojic p í in a následk , tzn. jestliže ur ité p í in odpovídá vždy stejný následek, považujeme takový systém za deterministický. U deterministického systému je p í ina podmínkou nutnou i posta ující k ur ení následku. P íkladem je první Newton v zákon, kdy jestliže p sobí síla (p í ina), pohyb hmotného bodu se zrychluje (následek), a naopak jestliže se pohyb hmotného bodu zrychluje, musí na n j p sobit n jaká síla. • Stochastický systém. Opak deterministického systému. Jedné p í in m že odpovídat i n kolik r zných následk (s r znými pravd podobnostmi). P í ina je zde jen nutnou, nikoli posta ující podmínkou pro ur ení následku. P íkladem m že být nap . kvantová fyzika (Haisenbergovy relace neur itosti pro hybnost a energii ástice). Stochastické chování vykazují i deterministické systémy, u kterých p sobí velké množství p í in, p i emž n které z nich neznáme, nebo neumíme m it. Spojité a diskrétní systémy: • Spojitý systém. Prom nné nabývají reálných hodnot a jsou spojité v hodnotách. Prom nnou obvykle bývá i as, který se asto zám rn odlišuje od ostatních veli in. • Diskrétní systém. Prom nné nabývají hodnot z množiny celých ísel. Jedná se i o kvantované i vzorkované spojité systémy, které se ídí íslicovými po íta i pracujícími s diskrétními hodnotami. Dynamické a statické systémy: • Dynamický systém. Prom nné se m ní s asem. • Statický systém. Prom nné se s asem nem ní.
Ernest 2004
6.3 Dynamický systém a jeho popisy u(t)
S
y(t)
x(t)
6.3.1 Vnit ní popis dynamických systém • Vnit ní popis nelineárních spojitých deterministických dynamických systém popisuje vztah mezi stavovými (vnit ními) veli inami systému: .
x(t ) = f ( x(t ), u (t ), t ), y (t ) = g ( x(t ), u (t ), t ), kde x(t) je vektor stavových prom nných, y(t) je vektor výstupních prom nných a u(t) je vektor vstupních prom nných. • Nelineární spojitý nedeterministický dynamický systém lze popsat: .
x(t ) = f ( x(t ), u (t ), t ) + v(t ), y (t ) = g ( x(t ), u (t ), t ) + e(t ), kde v(t) je šum procesu a e(t) je šum m ení. • Nelineární diskrétní deterministický dynamický systém lze popsat:
x(k + 1) = f ( x(k ), u (k ), k ), y (k ) = g ( x(k ), u ( k ), k ), kde x(k+1) stav v k+1 kroku. Obdobn nedeterministický systém.
lze definovat i
Ernest 2004
• Lineární spojitý deterministický asov invariantní dynamický systém (LTI system) lze popsat stavovou a výstupní rovnicí: .
x(t ) = A.x(t ) + B.u (t ), y (t ) = C.x(t ) + D.u (t ), kde A je matice systému, B je matice ízení, C a D jsou výstupní matice. • Lineární spojitý deterministický asov neinvariantní dynamický systém lze popsat stavovou a výstupní rovnicí: .
x(t ) = A(t ).x(t ) + B (t ).u (t ), y (t ) = C (t ).x(t ) + D(t ).u (t ). • Lineární spojitý nedeterministický dynamický systém lze popsat:
asov
invariantní
.
x(t ) = A.x(t ) + B.u (t ) + v(t ), y (t ) = C.x(t ) + D.u (t ) + e(t ). • Lineární diskrétní nedeterministický dynamický systém lze popsat:
asov
invariantní
x(k + 1) = M .x(k ) + N .u (k ) + v(k ), y (k ) = C.x(k ) + D.u (k ) + e(k ). • Lineární diskrétní nedeterministický asov neinvariantní dynamický systém lze popsat: x(k + 1) = M (k ).x(k ) + N (k ).u (k ) + v(k ), y (k ) = C (k ).x(k ) + D(k ).u (k ) + e(k ).
Ernest 2004
P evod spojitého stavového popisu na diskrétní:
• Spojitý systém m že být p eveden na diskrétní pomocí disktretizace. • D vod - asto používáme k ízení po íta e (PLC, pr myslová PC, log. ízení atd.), které m í vstupy a výstupy v diskrétních asech. • Málo systém je diskrétních v principu (mnoho jich vzniká diskretizací spojitých). • Nutno dodržet vzorkovací v tu, jinak nebezpe í aliasing error a nestability (Shannon-Kot lnik v teorém). • Mnoho metod diskterizace - ZOH, Eulerova atd. P íklad 1: lineární RC obvod
R1 u1=u
C u3
R2
C
u2=y
Ur ete : a) vnit ní spojitý stavový popis obvodu na obrázku b) diskretizujte systém užitím Eulerovy metody ad a) Užitím metody uzlových nap tí dostaneme dv obvodové rovnice u3 (t ) − u1 (t ) d + C (u3 (t ) − u2 (t ) ) = 0, R1 dt
C
d (u2 (t ) − u3 (t ) ) + C d (u2 (t ) ) + u2 (t ) = 0. dt dt R2
nezávislé
Ernest 2004
Úpravou dostaneme − R1C
R1C
2 R2C
− R2C
.
u2 (t )
=
.
− 1 u2 (t ) 1 + (u1 (t ) ) , − 1 0 u3 (t ) 0 0
u3 (t ) vynásobením p edchozí rovnice inverzí první matice máme stavový popis obvodu 1 1 1 . − − u2 (t ) R2C R1C u2 (t ) R1C = + (u1 (t ) ) . 1 2 2 − − u3 (t ) u3 (t ) R2C R1C R1C , y = (u2 (t ) ) = (1 0)
u2 (t )
+ (0)(u1 (t ) ),
u3 (t )
kde x je stavový vektor systému, x = 1 R2C A je matice systému, A = 1 − R2C −
u2 (t )
,
u3 (t ) 1 − R1C , 2 − R1C
1 RC B je matice ízení, B = 1 a u vektor ízení, u = (u1 (t ) ) 2 R1C y je výstupní vektor, y = (u2 (t ) ) , pro matice výstupní rovnice platí D = (1 0 ), C = (0).
Ernest 2004
ad b) Užitím Eulerovy metody provedeme náhradu derivací za diference, tedy pro stavovou rovnici lze napsat jako d x(k + 1) − x(k ) x(t ) ≅ = A.x(k ) + B.u (k ), dt Ts
x(k + 1) = ( I + Ts . A).x(k ) + (Ts .B ).u (k ).
Porovnáním p edchozí aproximace dostaneme matice lineárního diskrétního systému jako M = (I + Ts . A), N = (Ts .B ) , kde Ts je vzorkovací perioda. Tedy pro disktretizovaný lineární systém z p íkladu lze napsat
Ts T 1− s u2 (k + 1) R2C R1C = T 2T u3 (k + 1) 1− s 1− s R2C R1C 1−
y = (u2 ( k ) ) = (1 0 )
u2 (k )
Ts u2 (k ) RC + 1 (u1 (k ) ) 2Ts u3 ( k ) R1C
+ (0 )(u1 (k ) ).
u3 ( k ) P evod nelineárního stavového popisu na lineární: • Nelineární systém m že být p eveden na lineární pomocí linearizace v pracovním bodu. • D vod - celá teorie ízení je vypracována pro lineární systémy (stavová zp tná vazba, PID regulace, LQ regulace atd.) nelineární ízení je složité a používají se asto numerické metody. • Málo systém je lineárních v principu (za lineární je považujeme pouze p i zjednodušení vzhledem k pracovním podmínkám - nap . neexistuje lineární cívka).
Ernest 2004
• Linearizovaný model platí s dostate nou p esností pouze v blízkém okolí pracovního bodu, kde byla linearizace provedena. • Standartní metodou je náhrada Taylorovým rozvojem 1. ádu. P íklad 2: inverzní rota ní kyvadlo
Na obrázku je zobrazeno tzv. rota ní kyvadlo, které se skládá z ramene délky la a hmotnosti ma, které je pohán no motorem o nap tí u a otá í se dokola. Na konci tohoto ramene je upevn no kyvadlo délky lp a hmotnosti mp. Výchylka oto ného ramene je ϕa a výchylka kyvadla od rovnovážné polohy je ϕp. Zanedbáním dynamiky motoru a dalších vazeb v systému lze toto kyvadlo modelovat zjednodušen jako (identifikovaný model): .
ω p (t ) = −2.ω p − 600. sin ϕ p (t ) + 1450.u (t ). cos ϕ p (t ), .
ω a (t ) = 800.u (t ) − 9.ωa (t ), .
ϕ p (t ) = ω p (t ), .
ϕ a (t ) = ωa (t ),
Ernest 2004
Ur ete : a) linearizovaný model za podmínky x0 = (0,0,0,π), u0 = (0) a x0 = (0,0,0,0), u0 = (0). P edpokládejme dále, že m íme oba úhly. b) vlastní ísla charakterizující dynamiku model z bodu a). ad a) Nelineární model rota ního kyvadla je ve tvaru .
ω p (t ) = f1 (ω p (t ), ω a (t ), ϕ p (t ), ϕ p (t ) ), .
ω a (t ) = 800.u (t ) − 9.ω a (t ), .
ϕ p (t ) = ω p (t ), .
ϕ a (t ) = ω a (t ),
ω p (t ) 0 0 1 0 ω a (t ) 0 ϕ p (t ) = (u (t ) ). + . 0 0 0 1 ϕ p (t ) 0 ϕ a (t ) ϕ a (t ) .
Linearizovat je nutno pouze první rovnici stavového popisu (ostatní jsou lineární, výstupní rovnice je také lineární), tedy lineární model bude ve tvaru .
∂f1 . ∂ω p ω a (t ) = 0 . ϕ p (t ) 1 . 0 ϕ a (t )
ω p (t )
∂f1 ∂ω a −9
∂f1 ∂ϕ p 0
∂f1 ∂ϕ a 0
0 1
0 0
0 0
ω p (t )
∂f1 ∂u ω a (t ) 800 + (u (t ) ). 0 ϕ p (t ) 0 ϕ a (t )
Ernest 2004
Po výpo tu parciálních derivací máme .
ωp
−2
. 0 ωa = . 1 ϕp 0 . ϕa
(i)
0 −9
− 600. cosϕ p −1450.u.sinϕ p 0
0 ωa + 0 ϕ 0 p
0
0
0
1
0
ωp
1450. cosϕ p 800 0
(u(t)).
0
ϕa
Dosazením pracovního bodu (i) x0 = (0,0,0,π), u0 = (0) a (ii) x0 = (0,0,0,0), u0 = (0) do p edchozího modelu dostaneme lineární popis .
ωp
ω
ϕa
ϕa
− 2 0 600 0 p −1450 . 0 − 9 0 0 ωa 800 ωa + (u(t)) , = . 1 0 0 0 0 ϕp ϕp 0 1 0 0 0 .
(ii) . ωp − 2 0 − 600 . 0 −9 0 ωa = . 1 0 0 ϕp 0 1 0 . ϕa
ad b)
0
ωp
1450
0 ωa 800 + (u(t)) . 0 0 ϕ 0 p 0
ϕa .
Pro vlastní ísla λ lineárního modelu x(t ) = A.x(t ) + B.u (t ) platí: det(λI − A) = 0. Aplikací p edchozího vztahu na linearizovaný model (i) dostaneme algebraickou rovnici
Ernest 2004
det(λI − A) = det
λ+2
0
0
λ +9
0
0
−1
0
λ
0
0
−1
0
λ
− 600 0 = λ.(λ3 +11λ2 − 582λ − 5400) = 0 .
Vlastní ísla systému (i) dostaneme ur ením ko en p edchozí algebraické rovnice, tedy λ1 = 0, λ2 = − 9, λ3 = − 25.5, λ4 = 23.5. Pro linearizovaný model (ii) a jeho vlastní algebraickou rovnici λ+2 det(λI − A) = det
0
0 600 0 λ +9 0 0
−1
0
λ
0
0
−1
0
λ
ísla dostaneme
= λ.(λ3 + 11λ2 + 582λ + 5400) = 0 .
Vlastní ísla systému (ii) dostaneme ur ením ko en p edchozí algebraické rovnice, tedy λ1 = 0, λ2 = − 9, λ3 = − 1 − 24.5j, λ4 = − 1 + 24.5j. Stabilita dynamických systém : • N kolik definic stability, Asymptotická versus Ljapunovská stabilita, BIBO stabilita. • Asymptotická stabilita lineárních spojitých systém – lineární spojitý systém definovaný vnit ním stavovým popisem .
x(t ) = A.x(t ) + B.u (t ) je stabilní tehdy, pokud vlastní ísla tohoto systému definovaná algebraickou rovnicí det(λI − A) = 0 leží v levé polorovin komplexní roviny, tedy Re{λi} < 0, ∀ i = 1, 2, ….. n. • Ljapunovská stabilita lineárních spojitých systém – systém m že kmitat, vlastní ísla mohou ležet na imaginární ose.
Ernest 2004
• Asymptotická stabilita lineárních diskrétních systém – lineární diskrétní systém definovaný vnit ním stavovým popisem x(k + 1) = M .x(k ) + N .u (k ) je stabilní tehdy, pokud vlastní ísla tohoto systému definovaná algebraickou rovnicí det(λI − M ) = 0 leží v uvnit jednotkové kružnice, jejíž st ed prochází po átkem komplexní roviny, tedy |λi| < 1, ∀ i = 1, 2, ….. n. • Ljapunovská stabilita lineárních diskrétních systém – systém m že kmitat, vlastní ísla mohou ležet na hranici jednotkové kružnice. • Stabilita nelineárních systém – vlastnost ešení stacionárních rovnovážných bod , stabilita lineárních systém – vlastnost systému. Stabilita ve velkém versus stabilita v malém.
P íklad 3: stabilita linearizovaného modelu rota ního kyvadla Ur ete stabilitu v malém linearizovaných vnit ních popis za podmínky (i) x0 = (0,0,0,π), u0 = (0) a (ii) x0 = (0,0,0,0), u0 = (0). Diskutujte s p edstavou stability v t chto dvou rovnovážných bodech. Pro vlastní ísla modelu (i) dostaneme algebraickou rovnici λ+2 det(λI − A) = det
0
0 − 600 0 λ +9 0 0
−1
0
λ
0
0
−1
0
λ
= λ.(λ3 +11λ2 − 582λ − 5400) = 0 .
Vlastní ísla systému (i) dostaneme ur ením ko en p edchozí algebraické rovnice, tedy platí λ1 = 0, λ2 = − 9, λ3 = − 25.5, λ4 = 23.5. Vlastní íslo λ1 = 0 odpovídá mezi stability (Ljapunovsky stabilní pól), vlastní ísla λ2 = − 9 a λ3 = − 25.5 odpovídají stabilním pól m systému, vlastní íslo λ4 = 23.5 odpovídá
Ernest 2004
nestabilnímu pólu. Linearizovaný systém (i) x0 = (0,0,0,π), u0 = (0) odpovídá kyvadlu v nestabilní poloze pro úhel kyvadla ϕp = π. Vzhledem k posuzování stability systému v malém se jedná o nestabilní systém, linearizovaný model v rovnovážném bodu není ani asymptoticky ani Ljapunovsky stabilní. Pro vlastní ísla modelu (ii) dostaneme algebraickou rovnici λ+2 det(λI − A) = det
0
0 600 0 λ +9 0 0
−1
0
λ
0
0
−1
0
λ
= λ.(λ3 + 11λ2 + 582λ + 5400) = 0 .
Vlastní ísla systému (ii) dostaneme ur ením ko en p edchozí algebraické rovnice, tedy λ1 = 0, λ2 = − 9, λ3 = − 1 − 24.5j, λ4 = − 1 + 24.5j. Vlastní íslo λ1 = 0 odpovídá mezi stability (Ljapunovsky stabilní pól), vlastní ísla λ2 = − 9, λ3 = − 1 − 24.5j a λ4 = − 1 + 24.5j odpovídají stabilním pól m systému. Linearizovaný systém (i) x0 = (0,0,0,0), u0 = (0) odpovídá kyvadlu ve stabilní poloze pro úhel kyvadla ϕp = 0. Vzhledem k posuzování stability systému v malém se jedná o asymptoticky nestabilní systém a Ljapunovsky stabilní systém.
6.3.2 Vn jší popisy dynamických systém Vn jší popis systém postihuje vztah mezi vstupem u a výstupem y systému. D líme na parametrické a neparametrické popisy. Možné parametrické vn jší popisy: • Diferenciální rovnice • Diferen ní rovnice • P enos v Laplaceov transformaci
Ernest 2004
• P enos v Z- transformaci • Frekven ní p enos • Póly a nuly p enosu systému Možné neparametrické vn jší popisy: • Impulsní charakteristika • P echodová charakteristika • Frekven ní charakteristika P íklad 4: vn jší popisy obvodu
R1 u1=u
C u3
R2
C
u2=y
Pro obvod na obrázku s parametry R1 = 1kΩ, R2 = 2kΩ a C = 1µF ur ete : a) P enos v Laplaceov transformaci a frekven ní p enos b) Diferenciální rovnici popisující dynamiku mezi vstupem a výstupem obvodu c) Póly a nuly p enosu systému a jejich stabilitu d) Impulsní a p echodovou charakteristiku
Ernest 2004
ad a) Pro parametry obvodu dosazením do vnit ního popisu systému máme .
u2 (t ) .
u3 (t )
=
− 50 − 100 u2 (t ) 100 (u1 (t ) ), + − 50 − 200 200 u3 (t )
y = (u2 (t ) ) = (1 0)
u2 (t )
+ (0)(u1 (t ) ),
u3 (t ) Pro p enos systému v Laplaceov transformaci v p ípad znalosti vnit ního popisu platí Y ( s ) = G ( s ).U ( s ) = C.( sI − A) −1.B + D .U ( s ) , kde G(s) je p enosová matice systému.
[
]
Dosazením do p edchozího vztahu dostáváme p enos systému v Laplaceov transformaci G ( s) =
U 2 (s) 100s = 2 . U1 ( s ) s + 250s + 5000
Frekven ní p enos m žeme ur it z p enosu systému. P edpokládejme, že v ustáleném stavu platí s = jω. Potom pro frekven ní p enos systému platí ∧
∧
F ( jω ) =
U 2 (s) ∧
U1 ( s )
ad b)
=
100 jω ( jω ) 2 + 250 jω + 5000
.
Diferenciální rovnici lze získat z vnit ního popisu systému eliminací vnit ních stav . Další možností je získání diferenciální rovnice p ímo z p enosu systému jako U 2 ( s). s 2 + 250s + 5000 = U1 ( s ).(100s ) ,
(
)
Ernest 2004
zp tnou Laplaceovou transformací máme diferenciální rovnici ..
.
.
u 2 (t ) + 250. u 2 (t ) + 5000. u 2 (t ) = 100. u1 (t ) . ad c)
Póly a nuly p enosu lze získat ešením algebraické rovnice jmenovatele a itatele p enosu, tedy pro póly p enosu platí algebraická rovnice s 2 + 250s + 5000 = 0 , póly ur íme jako ko eny této rovnice (shodné s vlastními ísly matice systému) s1 = −125 + 25. 17 , s2 = −125 − 25. 17 . Pro nuly p enosu platí algebraická rovnice 100s = 0 , tedy máme jedinou nulu a to s = 0. Oba póly p enosu jsou stabilní. ad d) Impulsní charakteristika w(t) je odezva systému na Dirack v impulz na vstupu systému. Odezvu lze spo ítat analyticky z p enosu systému jako 100s
U 2 ( s) = G ( s ).U1 ( s ) =
s 2 + 250s + 5000
U1 ( s ) ,
pro obraz Dirackova impulsu platí L{δ(t)}=1, impulsní odezvu W(s) v operátorovém tvaru lze napsat jako W (s) = G (s) =
100s s 2 + 250s + 5000
,
zp tnou Laplaceovou transformací dostaneme w(t ) = L−1 = 50 +
100s s 2 + 250s + 5000
250 17 e ( −125 − 25 17
= L−1
17 )t
50 + 250 17 / 17 50 − 250 17 / 17 + = s + 125 + 25 17 s + 125 − 25 17
+ 50 −
250 17 e ( −125 + 25 17
17 )t
.
Ernest 2004
P echodová charakteristika a(t) je odezva systému na jednotkový skok na vstupu systému. Odezvu lze spo ítat analyticky z p enosu systému jako U 2 ( s) = G ( s ).U1 ( s ) =
100s s 2 + 250s + 5000
U1 ( s ) ,
pro obraz jednotkového skoku platí L{δ(t)}=1/s, p echodovou charakteristiku A(s) v operátorovém tvaru lze napsat jako
1 100s A( s ) = G ( s ) = , s s.( s 2 + 250s + 5000) zp tnou Laplaceovou transformací dostaneme a(t ) = L−1 = −
100 2
s + 250s + 5000
2 17 e ( −125 − 25 17
17 )t
= L−1
+
− 2 17 / 17 2 17 / 17 + = s + 125 + 25 17 s + 125 − 25 17
2 17 e ( −125 + 25 17
17 )t
.
100
80
w(t)
60
40
20
0
-20
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25 t [s ]
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
Ernest 2004
0.35
0.3 0.25
a(t)
0.2
0.15
0.1 0.05
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25 t [s ]
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
6.4 Systémy a modely 6.4.1 Volba struktury modelu Strukturu modelu zvolíme podle apriorní znalosti o systému a poruchách, které na n j p sobí. Obecn volíme bu vn jší popis systému (výhodné pro snadnou identifikaci pomocí SW utilit identifika ní toolbox MATLABu), nebo vnit ní model, který m že být obecn nelineární. Pro modelování dynamických systému používáme obecných metod (vnit ní popisy): • Odvození modelu na základ fyzikálního popisu - tato metoda je p ípadem klasického analytického modelování, která je založena na sestavení diferenciálních a algebraických rovnic. Vhodné na libovolné systémy, pracný postup odvozování popisu. • Modelování systém užitím tzv. vazebních graf opa ný p ístup než u metody p edchozí, nejprve modelovaný systém rozložíme na podsystémy a jejich vazby znázorníme orientovaným grafem. Vznikne tak
Ernest 2004
nejprve simula ní schéma, z kterého m že být odvozen matematický model. Vhodná metoda pro tzv. hybridní systémy, systémy které se skládají z podsystém elektrických, pneumatických, hydraulických, mechanických, tepelných atd. • Modelování užitím Lagrangeovy metody - vhodná metoda pro modelování složitých mechanických, obecn nelineárních systém . Odvození vnit ního popisu systému je založeno na parciálních derivacích Lagrangeovy funkce reprezentující energii systému.
6.4.2 Volba parametr modelu Úloha nalezení parametr modelu se nazývá identifikace parametr modelu a je formulována jednak strukturou identifikovaného modelu, a kritériem, které vyhodnocuje rozdíl mezi odezvou modelovaného a skute ného systému na spole ný budící vstupní signál. Úloha identifikace parametr je pak formulována jako optimaliza ní úloha, nap . úloha minimalizace sou tu kvadrát odchylek výstupu modelovaného a reálného systému na stejný vstupní signál vzhledem k prom nným, což jsou hledané parametry modelu. K jejímu ešení se používá asto metoda nejmenších tverc (Least Squares - LS), která byla poprvé publikována geniálním C. F. Gaussem v roce 1809 v práci o pohybu vesmírných t les. Pro odhad parametr modelu se používají následující techniky: • • • •
Vyhodnocení p echodové a frekven ní charakteristiky Metody korela ní a spektrální analýzy Metoda nejmenších tverc a její modifikace Statistická metoda maximální v rohodnosti
Ernest 2004
6.5 Systémy a ízení ízení dynamických systém lze d lit: a) Direktivní ízení - ízení bez zp tné vazby, ídicí len (regulátor) nemá informaci o výstupu y systému
v(t)
regulátor
R
uR(t)
yR(t)
regulovaná soustava u(t)
S
y(t)
x(t) b) Zp tnovazební ízení - ízení se zp tnou vazbou - regulátor má informaci o výstupu systému a ídící veli inu u nastavuje tak, aby na výstupu y byla požadovaná hodnota w regulátor w(t)
+
e(t)
-
R
yR(t)
v(t)
regulovaná soustava u(t)
S
y(t)
x(t)
Podstatnou výhodou zp tnovazební regulace (použita stabilní záporná zp tná vazba - viz. obrázek) je informace o výstupu systému a možnost kompenzace poruch v(t) p sobících na vstupu systému. Direktivní ízení tuto poruchu nekompenzuje a porucha se negativn projeví na výstupu systému.
Ernest 2004
K ízení systém používáme bu lineární metody návrhu nebo nelineární metody návrhu. asté metody návrhu ízení dynamických systému používají lineární p ístup, v p ípad nelineární regulované soustavy se používá linearizace v pracovním bodu regulace (nap . ízení kyvadla v horní poloze). K návrhu ízení užíváme tedy vnit ní popis systému (soustava diferenciálních rovnic charakterizujících stavy systému) nebo vn jší popis systému (diferenciální rovnice charakterizující vztah mezi vstupem a výstupem systému). Pro ízení za p edpokladu znalosti vn jšího popisu systému se asto používají metody • PID regulátory (metoda umís ování pól , frekven ní metody syntézy nebo experimentální metoda ZieglerNichols) • Algebraické metody syntézy (založeno na ešení diofantické rovnice, volíme požadovaný p enos uzav ené smy ky) • Nelineární metody ízení Pro ízení za p edpokladu znalosti vnit ního popisu systému se asto používají metody • Stavová zp tná vazba (umís ování pól systému, regulace probíhá od stav systému, v p ípad , že neznáme stavy systému nutno sestrojit pozorovatele stavu) • Kvadraticky optimální ízení - LQ regulátor (stavová zp tná vazba, k regulaci použito ustálené ešení stavové zp tné vazby dle kritéria) • Nelineární stavová zp tná vazba (zákon ízení není lineární, ídicí funkce je nelineární a její aplikací provedeme linearizaci nelineárního popisu)
Ernest 2004
P íklad 5: PID regulace lineárního systému
Pro systém druhého ádu s p enosem 10 Gs ( s ) = 2 s + 10s + 16 navrhn te: a) P regulátor metodou umís ování pól tak, aby póly uzav ené smy ky byly stabilní a regula ní odchylka byla menší jak 10 %. Vypo t te póly uzav ené smy ky pro tuto podmínku a p echodovou charakteristiku uzav ené smy ky. b) Navrhn te P regulátor metodou umís ování pól tak, aby chování uzav ené smy ky bylo na mezi aperiodicity. Ur ete póly uzav ené smy ky, regula ní odchylku v ustáleném stavu a p echodovou charakteristiku uzav ené smy ky. c) Navrhn te PI regulátor metodou umís ování pól tak, aby regula ní proces byl na mezi aperiodicity. Ur ete póly uzav ené smy ky a regula ní odchylku v ustáleném stavu. ad a)
Pro operátorový p enos uzav ené regula ní smy ky Gw(s) mezi požadovanou hodnotou w a výstupem soustavy y platí G0 ( s) GS ( s ).GR ( s ) Y ( s) Gw ( s ) = = = , W ( s ) 1 + G0 ( s ) 1 + GS ( s ).GR ( s ) kde G0(s) je p enos odev ené regula ní smy ky, GS(s) je p enos soustavy a GR(s) je p enos regulátoru. Pro p enos soustavy a P regulátoru platí 10 GS ( s ) = 2 , GR ( s ) = K p . s + 10 s + 16 Pro p enos uzav ené smy ky platí 10.K p Gw ( s ) = 2 . s + 10s + 16 + 10.K p Pro póly p enosu uzav ené smy ky platí algebraická rovnice s 2 + 10s + 16 + 10.K p = 0 .
Ernest 2004
Póly uzav ené smy ky dostaneme ešením p edchozí rovnice − 5 ± 36 − 40 K p s12 = . 2
Pro regula ní odchylku platí e% = 100. lim [1 − Gw ( s )], s →0
dosazením p enosu uzav ené smy ky máme podmínku 10.K p 10 > 100. lim 1 − 2 , s →0 s + 10s + 16 + 10.K p ešením máme podmínku pro proporcionální složku Kp Kp > 14.4. Volíme tedy Kp = 15. Pro tuto podmínku máme póly uzav ené smy ky s1 = −5 − j 141, s2 = −5 + j 141 . Pro p echodovou charakteristiku uzav ené smy ky v operátorovém tvaru lze psát
A( s ) = =
150 s ( s 2 + 10s + 166)
=
A Bs + C + 2 = s ( s + 10s + 166)
75 1 s + 10 75 1 s+5 5 − 2 = − − . 83 s s + 10s + 166 83 s ( s + 5) 2 + 141 ( s + 5) 2 + 141
Po zp tné Laplaceov transformaci dostáváme p echodovou charakteristiku uzav ené regula ní smy ky a(t ) =
(
)
(
)
75 75 − 5.t 375 − 5.t e sin 141.t . − e cos 141.t − 83 83 83 141
Ernest 2004
1
a(t)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
t [s]
ad b)
Pro p enos uzav ené smy ky s P regulátorem platí 10.K p Gw ( s ) = 2 . s + 10s + 16 + 10.K p Pro charakteristický polynom ve jmenovateli p enosu pro mez aperiodicity musí platit s 2 + 10s + 16 + 10.K p = ( s + a) 2 , potom porovnáním koeficient rovnice dostaneme podmínku pro neznámé parametry, tedy a = 5, K p = 0.9 . P enos uzav ené smy ky bude mít tvar 9 9 Gw ( s ) = 2 = . 2 s + 10s + 25 ( s + 5) Póly uzav ené smy ky jsou tedy
s1 = −5, s2 = −5 (dvojnásobný pól -5). Pro regula ní odchylku v ustáleném stavu platí 9 e% = 100. lim [1 − Gw ( s )] = 100 1 − = 64% . s →0 25
Ernest 2004
Pro p echodovou charakteristiku uzav ené smy ky v operátorovém tvaru lze psát 9
A( s ) =
=
A B C + + = s ( s + 5) ( s + 5) 2
s ( s + 5) 2 9 1 9 1 9 1 = − − . 25 s 25 ( s + 5) 5 ( s + 5) 2
Po zp tné Laplaceov transformaci dostáváme p echodovou charakteristiku uzav ené regula ní smy ky a(t ) =
9 9 9 − e − 5.t − .t.e −5.t . 25 25 5
0.35 0.3
a(t)
0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0
0.5
1
1.5
2
2.5 t [s]
3
3.5
4
4.5
ad c) Pro p enos otev ené smy ky s PI regulátorem platí KI s G0 ( s ) = 2 , s + 10s + 16 + 10.K p 10. K p +
kde (Kp + KI/s) je p enos PI regulátoru.
5
Ernest 2004
Pro p enos uzav ené smy ky platí Gw ( s ) =
10.K p .s + 10.K I s 3 + 10s 2 + (16 + 10.K p ).s + 10.K I
.
Pro charakteristický polynom ve jmenovateli p enosu pro mez aperiodicity musí platit s 3 + 10s 2 + (16 + 10.K p ).s + 10.K I = ( s + a )3 , potom porovnáním koeficient rovnice dostaneme podmínku pro neznámé parametry, tedy 10 26 100 a = , K p = , KI = . 3 15 27 P enos uzav ené smy ky bude mít tvar 468s + 1000 468s + 1000 Gw ( s ) = = . 3 27 s 3 + 270s 2 + 468s + 1000 10 27 s + 3 Póly uzav ené smy ky jsou tedy s1 = −
10 10 10 , s2 = − , s3 = − (trojnásobný pól). 3 3 3
Pro regula ní odchylku v ustáleném stavu platí 1000 e% = 100. lim [1 − Gw ( s )] = 100 1 − = 0% . s →0 1000 1.1 1 0.9 0.8
a(t)
0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
0.5
1
1.5
2
2.5 t [s]
3
3.5
4
Ernest 2004
Úlohy 1. Pro následující spojitý lineární systém ur ete .
x1 (t ) .
=
x2 (t )
2 2
x1 (t )
8 2 x2 (t )
+
10 20
(u1 (t ) )
a) diskrétní systém pomocí Eulerovy metody, který vznikne ze spojitého vzorkováním s periodou T = 0.5s, b) diskutujte stabilitu vlastních ísel spojitého i diskrétního systému. 2. Pro následující spojitý nelineární systém ur ete .
x1 (t ) = 5. sin x1 (t ). cos x2 (t ) − 10.x2 (t ) + 5.u (t ), .
x2 (t ) = −6. sin x1 (t ) + 9.x1 (t ) − 3.u (t ) a) linearizovaný systém v okolí pracovního bodu x0 = (π/2,0), u0 = (0), b) diskutujte stabilitu vlastních ísel spojitého linearizovaného systému. 3. Pro následující spojitý lineární systém ur ete .
x1 (t ) .
x2 (t )
=
2 − 5 x1 (t ) 1 + (u1 (t ) ) 4 − 6 x2 (t ) 3
y (t ) = (0 1)
x1 (t ) x2 (t )
a) operátorový p enos mezi vstupem u a výstupem y systému, b) póly a nuly p enosu a jejich stabilitu, c) impulsovou a p echodovou charakteristiku.
Ernest 2004
4. Pro následující spojitý lineární systém daný p enosem navrhn te
GS ( s ) =
Y (s) 5 = U ( s ) s + 10
a) P regulátor tak, aby regula ní odchylka byla menší jak 5 %, dále ur ete pro jaké zesílení regulátoru je uzav ená smy ka stabilní, b) PI regulátor tak, aby regula ní pochod byl na mezi aperiodicity a jeho asová konstanta byla 50 ms, ur ete regula ní odchylku v ustáleném stavu.
Použitá literatura [1] [2] [3] [4]
Kotek, Vysoký, Zdráhal, Kybernetika, SNTL, 1990. Horá ek, Systémy a modely, vydavatelství VUT, 1998. John, Systémy a ízení, vydavatelství VUT, 1996. Stránky p edm tu – p ednášky http://gerstner.felk.cvut.cz.
