6 TEORIE NELINEÁRNÍHO ÍZENÍ

6

TEORIE NELINEÁRNÍHO ÍZENÍ

6.1 Nelineární systém Lineární systémy ízení jsou popsány lineárními diferenciálními rovnicemi. Tyto systémy dovedeme pom rn jednoduše ešit, ale ve skute nosti jsou jen ur itou aproximací, nebo každý fyzikální systém je v podstat nelineární. Mnohé nelineární systémy je však možno v ur ité oblasti a za ur itých podmínek vyšet ovat jako lineární s dostate nou p esností. Ale není to možné u všech systém . Proto se musíme také seznámit alespo se základy teorie pro vyšet ování nelineárních systém . S lineárností a nelineárností prvk systém i systém samých jsme se již seznámili v kapitole 3.3: Statické a dynamické vlastnosti regula ních len . P ipome me: Je-li statická charakteristika regula ního lenu nebo obecn prvku systému p ímka, jedná se o lineární len i prvek systému. Není-li p ímka, jedná se o nelineární len. Lineární systém má všechny prvky lineární; jeden nelineární prvek znamená nelineárnost celého systému. Nelineární systém je soubor jednotlivých prvk , z nichž alespo jeden je nelineární. Nelineární regula ní obvod je takový, kdy alespo jeden z jeho prvk je nelineární. V tšina regula ních len má nelineární statickou charakteristiku. Ovšem n které z nich je možno uvažovat jako podstatn nelineární a jiné slab nelineární. P i matematickém rozboru se slab nelineární charakteristiky nahrazují p ímkami a len se eší jako lineární len. Prakticky nevykazují leny p i takovéto náhrad odchylek od lineárních len . Za podstatn nelineární charakteristiku pokládáme takovou, kterou nelze matematicky popsat v celém rozsahu zm n vstupní veli iny jednou rovnicí p ímky. Taková charakteristika m že pouze sestávat ze dvou anebo více p ímkových úsek . Existuje ješt jedna zvláštnost n kterých nelineárních charakteristik – nejednozna ná závislost výstupní veli iny na vstupní. y

y u

y u

u

pásmo necitlivosti

nasycení

y u

hystereze

relé

Obr. 6.1

Statické charakteristiky nelineárních regula ních len mohou být bu k ivky s obecným pr b hem anebo se vyskytují ve tvaru tzv. typických nelinearit (velmi astý p ípad). Typické nelinearity jsou znázorn ny na obr. 6.1 – to jsou základní typické nelinearity a na obr. 6.2 – to jsou kombinace t chto základních typických nelinearit. y

y

y u

u

nasycení + + pásmo necitlivosti

relé + + pásmo necitlivosti

u relé +pásmo necitlivosti+ hysteréze

Obr. 6.2

61

V nelineárních obvodech neplatí princip superposice. Z toho d vodu nem že být nalezena odezva na libovolný vstupní signál jako suma reakcí na posloupnost skok nebo impuls . Odezva nelineárního obvodu na skokovou zm nu jej necharakterizuje, nebo není nezávislá na velikosti skoku. Následkem neplatnosti principu superpozice je také nepoužitelnost extrapolace. Známé chování nelineárního obvodu p i daném jednotkovém skoku nedovoluje d lat záv ry o charakteru reakce na skok v tší i menší velikosti. Dokonce u n kterých nelineárních obvod m že zm na velikosti vstupního skoku zm nit stabilní p echodový d j v nestabilní nebo naopak. Frekven ní metody, které byly vyvinuty pro lineární systémy jsou pro nelineární systémy nepoužitelné. Je-li totiž na vstupu sinusová i obecn harmonická funkce, není sinusová funkce na výstupu. Tím není možno použít frekven ního p enosu, který pro lineární systémy p edpokládá sinusové vstupní i výstupní kmity. A frekven ní p enos je východiskem všech frekven ních metod, po ínaje frekven ními charakteristikami. U nelineárních systém nelze použít Laplaceovy transformace, nelze zavést pojem p enos, a tím se výpo et nelineárních obvod stává daleko složit jší, než byl výpo et lineárních obvod . Pro ešení nelineárních obvod neexistuje ani „universální“ metoda, ani „zcela p esnᓠmetoda. Pro jejich ešení existuje více metod, z nichž každá je vhodná pro jiný typ obvodu, pro jinou nelinearitu a pro r zné cíle výpo tu. Všechny metody jsou p ibližné, jejich p esnost závisí na velikosti kroku výpo tu, délce volených interval , … Obecn m žeme rozd lit metody ešení nelineárních obvod na numerické, simula ní a grafické i graficko-analytické. Numerické metody jsou v podstat numerické metody ešení diferenciálních rovnic. V matematice existuje celá ada numerických metod pro ešení diferenciálních rovnic, které se zhruba dají rozd lit na jednokrokové a vícekrokové (jednokrokové po ítají funk ní hodnotu v daném bod z jedné p edcházející, vícekrokové z n kolika p edcházejících funk ních hodnot). U t chto metod je zcela lhostejné, jestliže se jedná o lineární i nelineární diferenciální rovnice. Dnes existuje celá ada softwarových produkt , které umož ují ešení diferenciálních rovnic. Uživatel nemusí v bec ovládat numerické metody pro ešení diferenciálních rovnic, pokud je tímto software vybaven. Co však um t musí, jsou základy ešení nelineárních regula ních systém , aby pochopil zvláštnosti, které se u nelineárních systém vyskytují a které nemají žádnou analogii u systém lineárních. Nevýhodou numerických metod je skute nost, že dávají ešení pouze pro jedny parametry a jedny po áte ní podmínky a neumož ují celkový p ehled o tom, pro které parametry je obvod stabilní a pro které nestabilní a pro se n kdy chová tak a jindy práv opa n . Simula ní metody mají sv j základ také v numerickém ešení diferenciálních rovnic, ale pracují typicky simula ním zp sobem na po íta i. Na po íta i se sestavuje simula ní model regula ního obvodu z blok p íslušného simula ního jazyka, na jeho vstup se p ivádí vstupní funkce a sleduje odezva. Nejznám jším simula ním jazykem pro modelování regula ních systém je produkt MATLAB a jeho simula ní dopln k SIMULINK plus tzv. toolboxy pro ízení, identifikaci atd., které jsou používány v celém sv t . Tyto programy jsou samoz ejm jak pro nelineární, tak i pro lineární systémy a také pro fuzzy ízení a pro mnoho dalších aplikací. O nich bude ješt mluveno v dalším. Základem grafických metod je metoda stavové roviny. Má sice nedostatek v tom, že je použitelná pouze pro obvody druhého ádu (p ejdeme-li do prostoru, p ejde v metodu stavového prostoru, umož ující ešit obvody t etího ádu). Ale výsledky ešení dávají celkový obraz

62

chování systému a m žeme je obdržet pro celou adu po áte ních podmínek, pro r zné vstupní funkce, pro r zné nelinearity i parametry nelinearit. Základem metody je grafické ešení nelineární rovnice prvního ádu. Vyšet uje vlastnosti obvodu v tzv. stavové rovin , jejímiž sou adnicemi jsou vyšet ovaná veli ina (nej ast ji regulovaná) a její derivace. Výsledky se dají rozší it i na obvody vyšších ád než je druhý. Mezi grafické i graficko-analytické metody m žeme za adit i frekven ní metody ešení nelineárních systém , p edevším metodu ekvivalentního p enosu. Tato metoda rozši uje použití frekven ních charakteristik i na nelineární systémy. Ekvivalentní p enos p edpokládá linearizaci ve frekven ní oblasti. Dostaneme ho za p edpokladu, že vstupní veli ina nelineárního lenu je sinusová a výstupní m že být nahrazena první harmonickou rozkladu ve Fourierovu adu. P i použití metody ekvivalentního p enosu se využívá lineárních frekven ních metod, ale v jejich použití jsou n které zvláštnosti. Nezastupitelné místo má metoda ekvivalentního p enosu p i vyšet ování autooscilací v nelineárních obvodech.

6.2 Metoda stavové roviny 6.2.1 Základní vztahy metody Kdybychom m li lineární systém o p enosu ízení podle (3.101) Gw s

Y s W s

bm s m ... b1 s b0 a n s n ... a1s a0

a rovnici ízení (3.103) an y ( n ) t

... a1 y t

a0 y t

bm w( m ) t

... b1 w t

b0 w t

byla by to rovnice buzeného systému, kde vstup je samoz ejm ídicí veli ina w. Kdybychom ji položili rovnu nule, dostaneme rovnici autonomního lineárního systému an y ( n ) t

... a1 y t

a0 y t

0

(6.1)

Zde jsou koeficienty a0, a1, …an konstantními koeficienty. Budou-li ale místo t chto koeficient funkce y, nap . y t y2 t y t 1 y t y t 2 y t 0 dostaneme rovnici autonomního nelineárního systému – autonomního nelineárního regula ního obvodu. Nelineární obvody uvažujeme vesm s autonomní s nulovou budící funkcí a buzení pak nahrazujeme n kterou nenulovou po áte ní podmínkou. V matematice se p evádí nelineární diferenciální rovnice (6.1) substitucí x1 x2

y y

x1 (6.2)

xn

y

n 1

xn

1

na soustavu diferenciálních rovnic prvého ádu

63

x1

x2

x2

x3 (6.3)

................ xn

a0 x1 an

a1 a x2 ... n 1 xn an an

Tuto substituci lze také chápat jako zavedení stavových veli in. První stavová veli ina x1 je výstupní veli ina systému y , další stavové veli iny x2, x3, …, xn jsou derivace výstupní veli iny y , y , …. Tímto jsme p evedli nelineární diferenciální rovnici autonomního obvodu (6.1) n-tého ádu, kde a0, a1, …an jsou funkce y, na n diferenciálních rovnic prvého ádu. Této soustav lze p i adit jednoduchou geometrickou interpretaci. Prom nné x1 , x2 , …xn budeme považovat za sou adnice tzv. zastupujícího bodu M x3 zastupující v n – rozm rném prostoru. Každému bodu tohoto prostoru M0[x1,x2,x3] bod odpovídá ur itý stav systému. Proto se tento prostor nazývá M[x1,x2,x3] stavový prostor. Prom nné x1 , x2 , …xn mají v každém asovém okamžiku ur ité hodnoty a ur ují tedy polohu x1 zastupujícího bodu M v každém asovém okamžiku – obr. stavová 6.3. Podle toho, jak se prom nné s asem m ní, m ní s i x2 trajektorie poloha zastupujícího bodu. K ivka, kterou p itom bod opisuje, se nazývá stavová trajektorie. Obr. 6.3

Stavový prostor

Stavovou trajektorií rozumíme k ivku ve stavovém prostoru, která spojuje všechny body [x1 , x2 , …xn ] , jimiž systém postupn p i svém pohybu prochází. as systému se v této interpretaci stává nezávisle prom nnou parametrického vyjád ení stavové trajektorie. P ejdeme-li z n – rozm rného stavového prostoru do n = 2-rozm rného prostoru, p ejdeme do stavové roviny. Rovnice (6.1) p ejde do jednoduché rovnice a2 y t

a1 y t

a0 y t

0

(6.4)

která se nej ast ji vyskytuje ve tvaru y

gy

f y

0

(6.5)

kde f(y), g(y ) jsou nelineární funkce prom nných y a y . Touto rovnicí jde popsat velmi mnoho nelineárních systém , a proto ji budeme považovat za výchozí rovnici pro demonstraci metody stavové roviny. Zd razn me, že v této rovnici není explicitn vyjád en as. Substituci zavedeme podle (6.2) x1 x2

y y

(6.6)

a touto substitucí p evedeme rovnici (6.6) na soustavu rovnic prvního ádu dx1 x1 x2 dt dx 2 x2 g x2 f x1 dt a pod lením druhé rovnice první dostaneme dx 2 dx1

64

g x2

f x1 x2

(6.7)

(6.8)

x2 x1 M0

Obr. 6.4

Stavová trajektorie

nelineární systém 2. ádu rovnice: y

gy

f y

0

Toto je rovnice stavové trajektorie v diferenciálním tvaru. Kdybychom ji dovedli vy ešit, získali bychom skute nou rovnici k ivky ve stavové rovin a touto k ivkou by byla stavová trajektorie. Rovnice (6.8) není sice obecn analyticky ešitelná, lze ale použitím n kterých grafických konstrukcí její ešení získat a tímto ešením je práv stavová trajektorie. Podle obr. 6.4 je stavová trajektorie k ivka ve stavové rovin . Jak souvisí stavová trajektorie s ešením p vodní rovnice (6.5)? Celý postup ešení rovnice (6.5) je na obr. 6.5.

soustava rovnic 1. ádu: dx1 x1 x2 dt dx 2 x2 g x2 f x1 dt

substituce: x1 y x2 y

p ímé ešení není možné asový pr b h regulované veli iny y(t): y

p evod do asové domény:

stavová trajektorie: x2

t

x1

grafické diferenciální tvar rovnice stavové trajektorie: konstrukce dx 2 g x 2 f x1 dx 1 x2

možnost posouzení stability Obr. 6.5

Postup p i ešení nelineárního systému metodou stavové roviny

Protože není možné p ímé analytické ani grafické ešení výchozí nelineární diferenciální rovnice druhého ádu (6.5), p evedeme tuto rovnicí substitucí (6.6) na soustavu diferenciálních rovnic prvního ádu (6.7). Ty bývají základem numerického ešení systému. P i ešení metodou stavové roviny p evedeme tuto soustavu na jednu diferenciální rovnici prvého ádu (6.8). Tuto rovnici dovedeme ešit graficky a to tak, že grafickými konstrukcemi nakreslíme její ešení a to je práv stavová trajektorie. Ta je ovšem v sou adnicích x1 – x2, ili ve stavové rovin . Stavová trajektorie nám sice umožní ur it stabilitu daného nelineárního systému, ale to je v tšinou málo. Obvykle chceme ešení ve tvaru asového pr b hu regulované veli iny y(t), které je možné ze stavové trajektorie získat. Tímto problémem se zabývají metody vyjád ení asu ve stavové rovin .

6.2.2 Konstrukce stavové trajektorie a) Metoda izoklín Metodou izoklín m žeme obecn

ešit nelineární diferenciální rovnice prvního ádu y

f x, y

(6.9)

Touto rovnicí je ur eno, že libovolnému bodu [x,y] je p i azena sm rnice y , tj. sm rnice te ny k ešení rovnice (6.9), kdyby toto ešení daným bodem [x,y] procházelo.

65

Podle metody izoklín volíme postupn za y konstanty nakreslíme k ivky f x, y i

1,

2,

…

n

a v rovin

x–y (6.10)

podle obr. 6.6. Tyto k ivky nazýváme izoklínami, nebo jsou to geometrická místa bod o stejné sm rnici (k ešení dané diferenciální rovnice). Každé ešení rovnice (6.9) – tedy partikulární ešení – které prochází n kterým bodem izoklíny, musí mít v tomto bod sm rnici, která odpovídá dané izoklín a je na ní vyzna ena krátkými úseky. Proto na každou izoklínu nakreslíme krátké úseky o dané sm rnici dy (6.11) y i dy dx dx

1

2

3

4

(je-li nap .

= 2, je sm rnice vedena pod úhlem ,

dy dx

kde tg A

i

2 , a tedy

arctg 2 63,5 °.

Máme-li sestrojit ešení rovnice (6.9), procházející bodem A ur eným po áte ní podmínkou, B x C postupujeme následovn : bodem A vedeme rovnob žku s nejbližší sm rnicí (na nejbližší Obr. 6.6 izoklín ) a to až do bodu B, který leží „uprost ed“ mezi dv ma izoklínami. Z tohoto bodu vedeme rovnob žku se sm rnicí odpovídající další izoklín atd. Jsou-li izoklíny dostate n husté, je lomená ára nahraditelná plynulou k ivkou a ta je partikulárním ešením diferenciální rovnice (6.9). D

Aplikujme nyní tuto matematickou metodu izoklín na ešení rovnice (6.8) dx 2 dx1

g x2

f x1 x2

dx2 Je z ejmé, že ešení provádíme v sou adnicích x1 – x2 , tj. ve stavové rovin . Za derivaci dx 1 pokládáme postupn konstanty 1, 2, … , n a kreslíme izoklíny o rovnici g x2

f x1

(6.12) x2 Po áte ním bodem sestrojujeme popsaným zp sobem ešení rovnice (6.8) a to je stavová trajektorie. i

P íklad 6.1: ešte nelineární regula ní obvod podle obr. 6.7, kde dvoupolohovým regulátorem typu ideální relé regulujeme integra ní regulovanou soustavu. Sestrojte odezvu regulované veli iny na jednotkový skok ídicí veli iny na vstupu obvodu. ešení: Z p enosu regulované soustavy získáme její rovnici 1,25 y

y

1,25u

GS s

y

1,25 s 1,25 s 1

u 2

e

w

-2 Obr. 6.7

Ze vztahu e = w – y vyplývá y = w – e , což dosadíme do rovnice soustavy, abychom získali rovnici regula ního obvodu (rovnici d líme hodnotou 1,25)

66

w e Protože je w(t) = 1 , je w = w = 0 a tedy

0,8 w e

u

e 0,8e u Zavedením substituce x1 = e , x2 = e dostaneme rovnice x1 x2 x2 0,8 x2 u a jejich pod lením dostaneme rovnici stavové trajektorie v diferenciálním tvaru dx2 0,8 x2 u dx1 x2 Ak ní veli ina je u = 2 pro e 0 ( ili x1 0) a u = -2 pro e se rovnice stavové trajektorie rozpadne na dv rovnice

0 ( ili x1

0) . Tím pádem

x1

0:

dx 2 dx1

0,8 x 2 2 x2

dx2 dx1

x2

2 0,8

x1

0:

dx 2 dx1

0,8 x 2 2 x2

dx2 dx1

x2

2 0,8

ešíme samostatn v pravé a levé polovin stavové roviny. Izoklíny jsou polop ímky rovnob žné s osou x1 a celá konstrukce stavové trajektorie je na obr. 6.8 pro po áte ní bod [1;0] (podle zadání ešíme odezvu na jednotkový skok ídicí veli iny w a proto musí být regula ní odchylka e(0) = x1(0) = 1 a e (0) = x2(0) = 0 … je to vid t z obr. 6.8). Zjistíme, že k ivka, kde regulátor p epíná je osa x2 (p epínací k ivka). Na ní dochází vždy k ostrému zlomu stavové trajektorie. x2 p epínací k ivka =1,2 =2 =3 =5 =10 =- -0,6 -0,4 -0,2 =-10

1 0,8 0,6 0,4 0,2

=-3 e y=1-e

=-5 x1

0,8 = 1 0,6 =10 0,4 =5 0,2 =3

0 0,2 0,4 0,6 0,8 -0,2 -0,4 -0,6

=-5 =-3 =-2,4 =-2,2

=2

-0,8 -1 -1,2 -1,4

y

1

=-10

=1,2 =0,8

0 -0,2 -0,4

e t [s] 1

2

3

4

-0,6

=0,6 Obr. 6.8

67

asový pr b h regula ní odchylky e(t) lze zkonstruovat metodami, které budou uvedeny v další kapitole, ale na obr. 6.8 již tento pr b h je. Známe-li pr b h e(t) je snadné získat pr b h regulované veli iny y(t) podle vztahu y=w–e=1–e protože jsme sestrojovali odezvu na jednotkový skok ídicí veli iny w(t). Pr b h y(t) je rovn ž sestrojen na obr. 6.8. b) Metoda pomocných k ivek Rovnici izoklín nelze vždy tak jednoduše vyjád it jako v p edchozím p íkladu. Zejména jestliže jsou funkce g(y ) a f(y) složité anebo jsou dány experimentáln získanými charakteristikami. Pak je pro konstrukci stavové trajektorie výhodný následující grafický zp sob. Jeho výhoda spo ívá také v tom, že nemusíme kreslit celé pole izoklín jako u metody izoklín, ale v podstat kreslíme jenom ty izoklíny, kudy stavová trajektorie prochází. Metoda izoklín nám ukázala, že nelineárnímu systému popsanému rovnicí (6.8) m žeme ve stavové rovin sestrojit pole izoklín. V každém bod stavové roviny tedy existuje sm rnice k stavové trajektorii, kdyby tudy stavová trajektorie (p i vhodné po áte ní podmínce) procházela. Metoda pomocných k ivek je práv metoda, která nám tuto sm rnici v libovolné bod stavové roviny umož uje sestrojit. Ve stavové rovin sestrojíme dv pomocné k ivky o rovnicích x1 x2

g x2

(6.13)

f x1

kde funkce g(x2) a f(x1) vezmeme z itatele pravé strany rovnice (6.8). Sm rnici stavové trajektorie v libovolném bod [x10 ; x20] stavové roviny pak sestrojíme takto – obr. 6.9:

a

x1=-g(x2) [x10,x20]

x2 x =f(x ) 2 1

B A x1 C

Daným bodem vedeme rovnob žky se sou adnými osami x1, x2. Po adnici a = f(x10) naneseme od osy x2 na rovnob žku s osou x1 a dostaneme bod A. Z pr se íku této rovnob žky s pomocnou k ivkou x1 g x2 , ozna íme ho jako bod B, spustíme kolmici na osu x1 – ozna íme jako bod C. Kolmice ke spojnici AC pak udává sm rnici stavové trajektorie v daném bod [x10 ; x20]. Správnost

konstrukce

vyplyne

ze

vztahu

a

tg

Obr. 6.9

f x10

g x20 x20

f x10

g x20 x20

kde tg je sm rnice stavové trajektorie a ta odpovídá rovnici (6.8). Znaménko sm rnice je kladné proto, že pro p ípad na obrázku 6.9 je f(x1) 0 , g(x2) 0.

Lienard ukázal výhodu této metody pro p ípady, kdy v rovnici (6.5) je f(y) lineární funkcí, což bývá pom rn asto. Tuto rovnici pak známou substitucí p evedeme na tvar

68

x1=-g(x2) a

x2

x2=x1

x1=-g(x2)

dx2 dx1

x2

g x2 x1 x2

(6.14)

Budeme-li aplikovat uvedenou metodu sestrojení sm rnice stavové trajektorie na tento p ípad zjistíme, že pomocná k ivka x2 f x1 je zde a p ímkou x2 x1 jdoucí po átkem pod úhlem 45°. Konstrukce sm rnice se zde Obr. 6.10 redukuje na sestrojení pravoúhlého trojúhelníku a p ímku x2 x1 není v bec zapot ebí sestrojovat. Uvedená konstrukce pro lineární funkce f(y) se nazývá Lienardovou konstrukcí. x2=f (x1) Nyní dovedeme sestrojit v libovolném bod stavové x1=-g(x2) x2 D roviny sm rnici k stavové trajektorii (bu obecnou metodou B C nebo Lienardovou konstrukcí). Jak nyní sestrojit stavovou A trajektorii? x1 ešme úlohu sestrojit stavovou trajektorii obvodu popsaného rovnicí (6.5) a vyhovující po áte ní podmínce, zobrazené bodem A ve stavové rovin . Sestrojíme pomocné Obr. 6.11 k ivky o rovnicích (6.13). V p ípad , že f(y) je lineární funkce, druhou k ivku nekreslíme. V bod A sestrojíme sm rnici stavové trajektorie (obecnou metodou nebo Lienardovou konstrukcí). V blízkém bod na této sm rnici (ozna me ho B) znovu sestrojme sm rnici stavové trajektorie. Na ni zvolme blízký bod (ozna me ho C) a v n m … Jestliže body A, B, C, x1=-g(x2) x2 …volíme dostate n blízko sebe, je obálka sm rnic v t chto B C B C bodech stavová trajektorie – obr. 6.11. A N kdy je výhodné, zvlášt je-li f(y) lineární funkce, A nahrazovat sm rnice kruhovými oblouky, jak je to x1 nazna eno na obr.6.12. Stavová trajektorie se skládá z krátkých kruhových oblou k , opisovaných z bod A , B , B C A … jako st ed , p ímo v bodech A, B, … Body A , B , … však nejsou st edy k ivosti, metoda je jen p ibližná a její Obr. 6.12 p esnost op t závisí na hustot bod . x1

x1

P íklad 6.2: Regula ní obvod podle obr. 6.13 se skládá z nelineárního regulátoru daného statickou charakteristikou typu nasycení a z lineární regulované soustavy dané p enosem GS(s). Nakreslete stavovou trajektorii tohoto obvodu pro po áte ní podmínky y(0) = 0,8 a y (0) = 0. ešení: p enosu

GS s u

y

0,02 ss 1 20 u

e

e

w=0

0,2

Rovnici regulované soustavy získáme z jejího y

y

Obr. 6.13

0,02u

Rovnice regulátoru je dána nelineární funkcí, ur enou statickou charakteristikou u

f e

a proto je y

y

0,02 f e

0

69

x2

x1=-g(x2)

Jelikož je statická charakteristika lichou funkcí, je f(e) = -f(-e) a rovnice má tvar

x2=0,02f(x1)

0,4

y

0,2 x1 -0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6 0,8

0,02 f

e

0

Protože tento obvod není buzen (w = 0) je e = w – y = -y a dosazením tohoto vztahu obvod vlastn uzavíráme. Rovnice uzav eného regula ního obvodu je tedy y

-0,2

y

y

0,02 f y

0

Zavedením substituce x1 = y, p evedeme tuto rovnici na tvar

-0,4

dx 2 dx1

Obr. 6.14

x2

x2 = y

0,02 f x1 x2

K obvodu, danému touto rovnicí, budeme sestrojovat stavovou trajektorii metodou pomocných k ivek. Nelze použít Lienardovy konstrukce, pon vadž 0,02.f(y) není lineární funkcí. Stavová trajektorie pro po áte ní podmínku x1(0) = 0,8 a x2(0) = 0 je zkonstruována na obr. 6.14. c) Metoda Metoda p edpokládá, že lze rovnici (6.5) y g y f y 0 p evést na tvar y y D y, y 0

(6.15)

Funkce D(y,y ) je obecná nelineární funkce prom nných y, y . Pro blízké okolí zvoleného bodu P ji nahradíme konstantou D y, y (6.16) jejíž hodnotu spo ítáme jako funk ní hodnotu dané funkce D(y,y ) v bod P. Rovnice (6.15) pak má tvar y y 0 (6.17) Zavedením substituce x1 = y, x2 = y p evedeme tuto rovnici na tvar dx2 dx1

x1

To, jak už bylo e eno, je diferenciální tvar rovnice stavové trajektorie a p ímo udává její sm rnici. P edchozí metodou pomocných k ivek jsme dovedli tuto sm rnici v libovolném bod stavové trajektorie sestrojit. A toto je také cíl metody . Konstrukce celé stavové trajektorie pak už bude stejná jako u metody pomocných k ivek. Na obr. 6.15 je zp sob sestrojení sm rnice v obecném bod P stavové roviny. Tato sm rnice je vyjád ena pomocí výrazu , který je spo ítán ve výpo tovém bod P [x1, x2]. Na ose x1 je realizován

70

(6.18)

x2 x2

P [x1, x2] 90°+

x2

Q

R x1 Obr. 6.15

x1

výraz x1 + tak, že za p edpokladu 0 je na opa nou stranu jak x1 nanesen úsek Dostáváme tak bod Q , na jehož spojnici QP je práv kolmá hledaná sm rnice.

.

Správnost konstrukce dokážeme výpo tem sm rnice p ímky, kterou vydáváme za sm rnici stavové trajektorie: 1 1 x1 tg 90 (6.19) x2 tg x2 x1 a to je podle rovnice (6.18) skute n sm rnice stavové trajektorie. P edpokládáme-li pro nejbližší okolí bodu P konstantní , lze rovnici (6.18) upravit x2 dx2

x1

dx1

a integrovat x22

x1

2

r2

(6.20)

To je rovnice kružnice o polom ru r = QP a st edu Q [- , 0]. Stavovou trajektorii sestrojíme z krátkých kruhových oblouk tak, že za neme z daného po áte ního bodu. Ur íme hodnotu a ze st edu [- , 0] opíšeme krátký oblou ek. Na n m zvolíme další blízký bod a k n mu ur íme znovu , opíšeme další oblou ek a tak postupujeme dále a postupn sestrojujeme stavovou trajektorii. Výhodou této metody je to, že oblouky o st edu [- , 0] jsou skute n oskula ní kružnice. P íklad 6.3: Sestrojte stavovou trajektorii nelineárního regula ního obvodu popsaného diferenciální rovnicí y

0,33 y

1 0,58 y

2

pro po áte ní podmínky y 0

y

0

0,

y 0

x2 1 2

y 0,33 y

0,58 y 3

4

2.

5

1

ešení: Rovnici upravíme na tvar (6.15) y

3

1,5

0

6

0,5

3

Funkci D y, y 0,33 y 0,58 y pokládáme vždy pro každý výpo tový bod za konstantu . Ta je po zavedení prom nných x1 , x2

x1 -1

0,5

1

1,5

-0,5

0,33 x2 0,58 x13 Konstrukce stavové trajektorie je na obr. 6.16 a to pro po áte ní podmínky x1 0 0, x2 0 2 . Výpo et pro prvních šest výpo tových bod je v tabulce tab.6.1. .

x1

x2

1

0,0

2,00

2

0,4

3

0,6

Tab. 6.1

0

-0,5

-1 Obr. 6.16

.

x1

x2

0,66

4

1,0

1,28

1,00

1,81

0,63

5

1,2

0,94

1,31

1,52

0,80

6

1,3

0,68

1,50

Výpo et

71

6.2.3 Vyjád ení asu ve stavové rovin Parametry systému se m ní v ase, po ínaje asem t = 0. Uvažujeme-li jako systém regula ní obvod, m ní se v ase jeho jednotlivé veli iny, nás obvykle nejvíce zajímá, jak se m ní s asem regulovaná veli ina y. U nelineárního systému, který ešíme metodou stavové roviny a sestrojujeme stavovou trajektorii nám chybí údaj o ase, ve kterém se systém popisovaný polohou zastupujícího bodu na stavové trajektorii nachází – obr. 6.17. Pouze je jasný po áte ní bod, d j za íná v ase t = 0.Jak vyjád íme as t, ve kterém p ejde obvod z bodu A do bodu B na stavové trajektorii? Vyjd me ze substituce (6.6) x1 y ; x2 y t= t

tA=?

tB=?

B tC=? C

t=0

x1

Obr. 6.17

odkud m žeme vyjád it

x2

dx1 dt a jestliže chceme vyjád it as, dostaneme nejd íve dx1 dt x2 a potom integrací xB 1 tB t A dx1 x xA 2 x2

x2 t=0 x1

x2

A

x1

Obr. 6.18

(6.21)

(6.22)

(6.23)

Podle tohoto vztahu bychom mohli spo ítat as, ve kterém p ejde systém z bodu A do bodu B. 1 Graficky by to znamenalo sestrojit k ivku p evratné hodnoty v závislosti na x1 a x2 planimetricky ur it plochu pod touto k ivkou z xA do xB. To je spíše teoretická varianta než praktická. N kdy se ve vztahu (6.22) p ejde od hodnot nekone n malých k hodnotám kone n malým

t=0 -2

x2=y t=1

2

6

0

54 -2

2

x1=y t=2

2

4 y

3

0

1 2 3 4 5 6 t [s] Obr. 6.19

72

x1 (6.24) x2 Tato rovnice udává p ír stek asu t v daném intervalu, kde x2 je st ední hodnota x2 na tomto intervalu, jak je nazna eno na obr. 6.18. S touto metodou se dá pom rn jednoduše stavová trajektorie okótovat asem. t

Pokud se nám poda í okótovat stavovou trajektorii asem, není už problém ji p evést na asový pr b h regulované veli iny. Sta í si uv domit, že sou adnice stavové roviny jsou vlastn y – y , regulovaná veli ina y a její derivace y . To nám íká substituce (6.6). A s tímto poznáním už není žádný problém p evést stavovou trajektorii, kde je vyzna en as, do asového pr b hu y(t) – obr. 6.19. A je dobré si ujasnit pr b h asu ve stavové rovin . P ipome me, že geometrická interpretace stavové trajektorie je pohyb zastupujícího bodu v této rovin . Zastupující bod zde zastupuje systém respektive jeho stav.

Je ale možné a v praxi velmi používané p evést na asový pr b h regulované veli iny stavovou trajektorii, která není okótovaná asem (úloha na obr. 6.19 byla p eur ena – hodnoty x2 jsme v bec nepoužívali). Použijeme k tomu metodu, která by se také dala nazvat metodou izoklín, protože tam op t budou vystupovat geometrická místa bod o konstantní sm rnici. V tomto p ípad to ale bude sm rnice asového pr b hu y(t) a nikoli sm rnice stavové trajektorie. Aby se to nepletlo s p edcházející metodou izoklín, tak zde rad ji tento název nepoužívejme. Vyjdeme ze skute nosti, že každý bod stavové trajektorie je dán hodnotami x1 a x2 neboli y a y . P i p evád ní ze stavové roviny do sou adnic t – y nebudeme sice znát hodnoty t a y jako na obr. 6.19 (s výjimkou t = 0), ale budeme znát hodnoty y a y . Pro volené hodnoty y si na vodorovnou p ímku (to je izoklína!) krátkými úseky vyzna íme sm rnici, odpovídající y (y =dy/dx= y/ x). Pak za ínáme v bod t = 0 a prokládáme k ivku y(t) tak, aby stále byl její sm r shodný se sm rnicemi y . Postup bude lépe patrný z p íkladu 6.4.

y=1,3

1 x1=y -2

0,5 y

1 0,5 y 2 y

0

-1

1

-1 y -2

0

-1

1

1 2 3 4

P íklad 6.4: Sestrojte stavovou trajektorii nelineárního systému, kterým je nelineární regula ní obvod o rovnici y

x2=y

2

5 t [s]

0

pro po áte ní podmínku danou bodem [-2; 0]. Tuto Obr. 6.20 trajektorii sestrojte metodou grafické konstrukce s pomocnými k ivkami. Potom p eve te sestrojenou stavovou trajektorii na asový pr b h regulované veli iny y. ešení: Substitucí (6.5) p evedeme rovnici obvodu na rovnici stavové trajektorie dx2 dx1

0,5 x2

1 0,1x12 x1 x2

Pomocné k ivky budou mít rovnice x1

0,5 x2

x2

1 0,1x22 x1

Musíme použít obecnou metodu, nelze použít Lienardovy konstrukce. Výsledná stavová trajektorie pro dané po áte ní podmínky je na obr. 6.20. A na tomto obrázku je také uvedena plná konstrukce asového pr b hu regulované veli iny y podle uvedené metody. K asu ve stavové rovin si ješt ekneme, že sm r stavové trajektorie je možný pouze ve sm ru ru i ek hodinových a nikdy naopak. Je to proto, že v horní polovin stavové roviny je podle rovnice (6.21) dx1 x2 0 dt a proto má stavová trajektorie sm r zleva doprava, nebo zv tšovat. Naopak v dolní polovin je

s rostoucím

asem se musí x1

73

x2

dx1 dt

0

a stavová trajektorie má sm r zprava doleva. Podobn je možno konstatovat, že v okamžiku, kdy stavová trajektorie prochází osou x1, musí ji procházet kolmo, sm rnice musí být kolmá na osu x1, protože na ose x1 je x2 = 0 a tudíž dx2 dx1

g x2

f x1

g x2

x2

f x1 0

6.2.3 Singulární body Vyjd me z rovnice nelineárního obvodu druhého ádu (6.5) y

g y

f y

0

z níž dostaneme rovnici stavové trajektorie (6.8) v diferenciálním tvaru dx 2 g x2 f x1 dx1 x2 P ipome me si grafické ešení této rovnice metodou izoklín. Derivaci na levé stran rovnice jsme položili rovnu konstant i a rovnice byla rovnicí izoklíny. Pro r zná i jsme dostali celou adu izoklín a na nich byla vždy vyzna ena sm rnice, která platila na celé izoklín . Takže jsme mohli konstatovat, že každému bodu stavové roviny je p i azena jedna ur itá sm rnice. Samoz ejm myslíme sm rnice ke stavové trajektorii, kdyby ta daným bodem procházela za daných po áte ních podmínek. Není tomu tak p esn . Existují body, ve kterých neexistuje žádná sm rnice a body, ve kterých je sm rnic nekone n mnoho. Jsou to takové body, kdy je itatel i jmenovatel v rovnici (6.8) sou asn roven nule g x2 f x1 0 (6.25) x2 0 Takovýchto bod m že mít systém kone ný i nekone ný po et, m že mít jeden takový bod anebo i žádný. V t chto bodech není jednozna n definována hodnota sm rnice dx2 /dx1 k stavové trajektorii, a tím pádem m že tímto bodem procházet nekone n mnoho trajektorií anebo žádná trajektorie. Tyto body se nazývají singulární body systému. V okolí singulárních bod jsou možné nejr zn jší p ípady, pokud se tý e existence a jednozna nosti ešení a tvaru stavových trajektorií. Z hlediska pozd jšího vyšet ování stability systému a chování systému mají tyto body velmi d ležitý význam. Singulární body, odpovídající systému popsanému rovnicí (6.5) a tím pádem i (6.8) musí samoz ejm ležet na reálné ose, pon vadž pro n platí x2 = 0. Ovšem pro obecný nelineární systém druhého ádu tomu tak není a singulární body mohou ležet obecn i mimo reálnou osu. Rovnici (6.8) jsme získali pod lením obou rovnic v soustav rovnic (6.7) x1 x2

dx1 dt dx2 dt

x2 g x2

a to znamená, že v singulárních bodech bude sou asn také

74

f x1

x1

dx1 dt

0;

x2

dx2 dt

0

(6.26)

To znamená, že jsou v n m rychlosti zm n v jednotlivých osách nulové – systém je v rovnovážném stavu. V singulárních bodech jsou spln ny podmínky rovnováhy systému. Bude ovšem záležet na tom, zdali stavová trajektorie má sm r do singulárního bodu – v tom p ípad bude tento rovnovážný stav stabilní a systém se bude chovat v okolí tohoto rovnovážného stavu jako stabilní systém. Anebo bude mít stavová trajektorie sm r od singulárního bodu a v tom p ípad se bude jednat o nestabilní rovnovážný stav a nestabilní systém v okolí tohoto singulárního bodu. Na toto navážeme v kapitole o stabilit nelineárních systém . Singulární body jsou tedy takové, kde není ur ena sm rnice stavové trajektorie. uzel

uzel

uzel

(stabilní)

(nestabilní)

(stabilní)

x2

x2

x1

st ed

(nestabilní)

x1

sedlo x2

(vždy nestabilní)

x2

x1

x1

x1

x2

x1

ohnisko

x2

(stabilní)

(nestabilní)

x2

x1

ohnisko

x2

uzel

x1

Obr. 6.21

Neprochází jím jedna, ale v tšinou nekone né množství stavových trajektorií. Podle pr b hu stavových trajektorií singulárním bodem se nazývají singulární body uzel, sedlo, st ed a ohnisko. Ohnisko m žeme definovat jako singulární bod, ke kterému sm ují spirální trajektorie (nebo se od n ho vzdalují), uzel jako bod, ke kterému sm ují asymptotické áry, sedlo, kolem n hož jsou hyperbolické trajektorie, které jím neprocházejí a st ed, kolem n hož jsou trajektorie kružnice nebo elipsy. Znázorn ní je na obr. 6.21. P íklad 6.5: Ur ete singulární body systému, popsaného rovnicí 10 2 y y y y2 0 3 ešení: Zavedením substituce x1 = y, x2 = y p ejde rovnice v soustavu dvou rovnic y

x1

0,1

x2

10 2 x2 x2 x1 x12 3 Pro singulární body musí sou asn platit x1 = 0 , x2 = 0 , tedy x2

x2

0;

0,1

0,1

10 2 x2 x2 3

x1 x12

0

Této soustav rovnic vyhovují dva body, které jsou ešením soustavy, a to [0. 0] a [-1, 0]. To jsou singulární body systému.

75

6.3 Stabilita nelineárních systém 6.3.1 Obecn o stabilit Stabilita je nejd ležit jší vlastností regula ních obvod , a už lineárních nebo nelineárních. Stabilita nelineárních obvod je široký pojem, který se odlišuje od stability systém lineárních. Stabilita lineárních systém je vlastnost t chto systém a nezávisí na jejich okamžitém stavu ani na vstupních signálech i po áte ních podmínkách. V tšinou se stabilita lineárního systému definuje jako jeho schopnost vrátit se do rovnovážného stavu, jestliže skon ilo p sobení signálu, který jej z tohoto stavu vyvedl. Pro nelineární systémy je tato definice již neposta ující a to z mnoha d vod , které budou v dalším uvedeny (nap . rovnovážných stav je u nelineárních systém více – odpovídají jim singulární body). Nejd íve o rozsahu platnosti stability u nelineárních systém . Lineární systém je stabilní nebo nestabilní pro jakékoliv po áte ní podmínky. Toto m že za jistých okolností platit i pro nelineární systém. V tomto p ípad pak mluvíme o globální stabilit (n kdy též o stabilit ve velkém). Systém je globáln stabilní, je-li stabilní pro všechny po áte ní podmínky. U nelineárních systém se však ast ji setkáváme se stabilitou p i malých výchylkách, p i malých po áte ních podmínkách, pouze v jistém okolí rovnovážného stavu. V tomto p ípad pak mluvíme o lokální stabilit (n kdy o stabilit v malém). Systém je stabilní lokáln , je-li stabilní pro po áte ní podmínky uvnit libovoln malé oblasti kolem rovnovážného stavu. Jeli systém stabilní globáln , je automaticky stabilní i lokáln . Naopak to neplatí. Požadavek na lokální stabilitu je slabší. Te si všimn me ustálených stav nelineárních systém , to je stav systému pro as jdoucí k nekone nu (t ). Na rozdíl od lineárních systém , které mají pouze jediný ustálený stav (anebo se v bec neustalují a jsou nestabilní), mohou u nelineárních systém vzniknout dva typy ustálených stav : rovnovážné ustálené stavy (také zvané klidové stavy) periodické ustálené stavy (periodická ešení reprezentovaná mezními cykly) Rovnovážný ustálený stav se vyzna uje nulovými rychlostmi v jednotlivých osách – je to stav klidu, jednotlivé veli iny se nem ní. Periodický ustálený stav se vyzna uje kmity o konstantní amplitud a frekvenci (nezam ujme tento stav se stavem na hranici stability u lineárních systém – to není ustálený stav, jakoukoliv malou zm nou parametr se obvod dostane do stabilního nebo nestabilního stavu). Jestliže vyšet ujeme stabilitu nelineárního systému, pak v tšinou nemluvíme o stabilit systému, ale o stabilit jeho rovnovážných stav , které mohou být bu stabilní anebo nestabilní. asto se stabilita systému v rovnovážném stavu vysv tluje na p íkladu kyvadla. Kyvadlo podle obr. 6.22 má dv klidové polohy – jednu, je-li t žišt kyvadla v klidu kolmo pod bodem upevn ní a druhou, je-li t žišt kyvadla kolmo nad bodem upevn ní. První poloha je stabilní, druhá Obr. 6.22 nestabilní, nebo p i malém vychýlení nastává pohyb kyvadla dol z této polohy. Mluvit o stabilit jiné polohy kyvadla nemá smysl, nebo v ní kyvadlo nem že z stat. Je

76

tedy z ejmé, že má smysl mluvit pouze o stabilit klidových stav , ve kterých systém bez p sobení vn jších podn t m že z stat. Toto jsou tzv. rovnovážné stavy systému. U rovnovážných stav jsou derivace stavových veli in nulové. To jsme konstatovali v kapitole o singulárních bodech – rovnice (6.26) – a toto tvrzení pochopiteln m žeme zobecnit na systémy i vyšších ád x1

dx1 dt

dx2 dt

0 ; x2

0 ; x3

dx3 dt

0 ; ...

(6.27)

a t mto stav m odpovídají singulární body systému. Nelineární systém má tolik rovnovážných stav , kolik existuje ešení soustavy rovnic (6.27). U lineárních systém je soustava (6.27) lineární soustavou, má jedno ešení a proto u lineárních systém existuje pouze jeden rovnovážný stav. U nelineárních systém jich m že být nula ili žádný, jeden, dva i více a také nekone né množství. Tedy nap . systém druhého ádu je v rovnováze – je v ustáleném stavu – jsou-li rychlosti v jednotlivých osách nulové, tj. platí-li rovnice (6.26) x1

dx1 dt

0;

x2

dx2 dt

0

T mto ustáleným stav m odpovídají body stavové roviny, ve kterých nejsou definovány sm rnice stavové trajektorie. T mito body m že procházet až nekone n mnoho trajektorií a jsou to tedy singulární body. Mají-li stavové trajektorie v okolí singulárního bodu sm r dovnit , sp je systém ke stavu klidu a tento rovnovážný stav – tento singulární bod – je stabilní. Naopak, jestliže stavové trajektorie opouští singulární body, dostávají se ze stavu klidu a tento rovnovážný stav - tento singulární bod – je nestabilní. Samoz ejm toto m žeme konstatovat též o systému nebo regula ním obvodu, ale bude uzel uzel to jenom lokální stabilita systému i (stabilní) (nestabilní) x x2 2 obvodu, protože tento m že mít ješt jiné singulární body – jiné rovnovážné stavy. x1 x1 Jako p íklad si z obr. 6.21 vyberme dva singulární body – dva rovnovážné stavy a to dva typy uzl – stabilní a nestabilní. Máme je znovu uvedeny na obr. 6.23. Jestliže se p i ešení systému vyskytne singulární bod Obr. 6.23 stabilní uzel, jdou všechny stavové trajektorie do tohoto bodu, rovnovážný stav je stabilní, systém je lokáln stabilní pro okolí tohoto singulárního bodu. Pokud se vyskytne singulární bod typu nestabilní uzel, vycházejí všechny trajektorie z tohoto singulárního bodu, rovnovážný stav je nestabilní a systém je lokáln nestabilní pro okolí tohoto singulárního bodu. Druhým typem ustálených stav nelineárních systém jsou periodické ustálené stavy (periodická ešení). Jsou to ustálené vlastní kmity neboli autooscilace. Ve stavové rovin jsou reprezentovány uzav enými trajektoriemi, které s nazývají mezní cykly. Mezní cykly mohou být stabilní, nestabilní nebo též polostabilní a polonestabilní – obr. 6.24. U stabilního mezního cyklu sm ují trajektorie z blízkého okolí k tomuto cyklu, u nestabilního se z obou stran od n ho vzdalují. U polostabilního mezního cyklu se trajektorie z vn jší strany p ibližují a z vnit ní vzdalují k po átku a p esn naopak je to u polonestabilního mezního cyklu.. Vyšet ení mezních cykl v systému je velmi d ležité pro praxi. V regula ní

77

typy mezních cykl stabilní

polostabilní

nestabilní

polonestabilní

Obr. 6.24

technice není zpravidla žádný mezní cyklus žádoucí (výjimkou jsou zde p íklady dvoupolohové regulace – žehli ka), i když lze n kdy p ipustit kmity s malou amplitudou, které nejsou na závadu innosti systému. U n kterých mechanických systém zlepšují tyto malé kmity celkové chování, nap . snižují vliv suchého t ení. Naproti tomu se t chto kmit využívá v oscilátorech, kde požadujeme mezní cyklus s dostate nou (a prom nnou) amplitudou. Oba typy ustálených stav (rovnovážné stavy a ji odpovídající singulární body i periodické ustálené stavy) tedy mohou být stabilní nebo nestabilní. U nelineárního systému je proto t eba rozlišovat stabilitu rovnovážného stavu a stabilitu periodického ešení. Obecnou myšlenku stability rovnovážných stav nestabilní formuloval ruský matematik Ljapunov. O2 Podle Ljapunova je rovnovážný stav stabilní, stabilní když stavová trajektorie za ínající v n jaké oblasti O1 stavové roviny z stane uvnit n jaké oblasti O2 O1 (libovoln velké) – obr. 6.25. asymptoticky Dále je podle Ljapunova rovnovážný stav stabilní asymptoticky stabilní, když je stabilní podle p edcházející definice a navíc se stavová trajektorie ustálí v rovnovážném stavu (daném n kterým singulárním bodem). Obr. 6.25 Je-li oblast O1 po áte ních stav ohrani ená, pak hovo íme o stabilit lokální (v malém), je-li neohrani ená – o stabilit globální (ve velkém). Totéž platí o stabilit asymptotické. U lineárního regula ního obvodu, pokud je stabilní, jde vždy o globální asymptotickou stabilitu jediného rovnovážného stavu. P íklad 6.6: Metodou stavové roviny s pr b hem stavové trajektorie vyšet ete stabilitu nelineárního regula ního obvodu podle obr. 6.26 pro skokovou zm nu ídicí veli iny w. ešení: Rovnice regulované soustavy je 2y y u Protože y = w – e a protože u = e3 je 2( w e)

(w e)

e

3

Pro jednotkový skok w = 1 p i t 0 je w = w = 0 a rovnice regula ního obvodu je 2e e e3 0 Zavedeme-li x1 e ; x2 e

78

u

y

1 s 2s 1

GS s

1

u=e3

u

Obr. 6.26

e

e

w t

w

jsou rovnice systému x1

x2

x2 0,5 x2 0,5 x13 a rovnice stavové trajektorie a z ní získaná rovnice obecné izoklíny dx2 dx1

x2 x13 2x2

dx2 dx1

x2

Pr b h izoklín je na obr. 6.27. Po áte ní stav jsme ur ili z úvahy, že pro t = 0 je y = 0 ; w = 1 e0

x1 0

1 =5

1

=0

x13 2

1 x2

=-0,5

-1 =-5

a z pr b hu y(t) je e 0

x2 0

0

Z pr b hu stavové trajektorie pro po áte ní stav [1; 0] plyne, že se dostává do rovnovážného stavu, kterým je po átek sou adnic, tj. bod [0; 0] . Je tedy tento rovnovážný stav asymptoticky stabilní. Rovnovážný stav odpovídající singulárnímu bodu [0; 0] je jediným rovnovážným stavem systému, jak plyne z ešení rovnic x2 0 0,5 x2 0,5 x13

0

1

=20

=-20 =

= -1

0

=-20

x2

1

=20 -1 =-5

=5 které ukazuje, že systém nemá další -1 1 =-0,5 =0 singulární bod mimo [0; 0]. Protože Obr. 6.27 pro libovolné po áte ní stavy se stavové trajektorie vždy dostanou do rovnovážného stavu daného singulárním bodem [0; 0], je tento globáln asymptoticky stabilní. O stabilit daného nelineárního obvodu tedy ud láme tento záv r: Obvod má jediný rovnovážný stav daný singulárním bodem [0; 0] a tento rovnovážný stav je globáln asymptoticky stabilní.

6.3.2 Vyšet ování stability Vyšet ovat stabilitu nelineárních systém sestrojováním stavové trajektorie by bylo stejn obtížným úkolem, jako po ítat ko eny charakteristické rovnice u lineárních systém . My pot ebujeme rychlejší a mén pracné metody pro ur ení stability nelineárních systém . a) Metoda linearizace V p edcházející kapitole bylo ukázáno, že rovnovážné stavy nelineárních systém mohou být stabilní nebo nestabilní podle toho, budou-li se stavové trajektorie ve stavové rovin s asem t blížit k p íslušnému singulárnímu bodu nebo se od n j vzdalovat.

79

Stabilitu rovnovážných stav ve smyslu Ljapunova m žeme pro daný nelineární systém vyšet it tak, že jeho rovnice linearizujeme v okolí každého rovnovážného stavu a zjiš ujeme stabilitu náhradního lineárního systému. Budeme op tn uvažovat pouze jednoduchý nelineární regula ní obvod, který jsme uvažovali p i ešení metodou stavové roviny o rovnici (6.5)

y

g y

f y

0

a který substitucí (6.6) x1

y

x2

y

p evedeme na rovnici (6.8) dx2 g x2 f x1 dx1 x2 Bez odvození – viz nap .[23] – uvedeme, že tento obvod m žeme v každém jeho singulárním bod [x10 ,x20 ] linearizovat. P i této linearizaci nahradíme jeho rovnici lineární rovnicí g x2

y

f x1 x2

g x2

y

f x1 x1

x10 , x 20

y

0

(6.28)

x10 , x 20

Chování systému a typy singulárních bod (pr b h stavových trajektorií) jsou stejné. Vyšet ení stability zlinearizovaného obvodu platí i pro nelineární obvod. Ovšem pouze v okolí singulárního bodu, je to tedy lokální stabilita. Je to vyšet ení stability daného rovnovážného stavu. Stabilitu zlinearizovaného obvodu budeme ur ovat jako u lineárního systému. To znamená, že ko eny charakteristické rovnice musí mít zápornou reálnou ást a to ur ujeme kritérii stability platnými pro lineární obvody. Ze stability zlinearizovaného obvodu usuzujeme na stabilitu p íslušného rovnovážného stavu systému a také na chování nelineárního systému a na pr b h stavových trajektorií v blízkém okolí p íslušného singulárního bodu, ve kterém byla linearizace provedena. Zd razn me: Rovnovážný stav nelineárního systému bude stabilní jen tehdy, budou-li ko eny charakteristické rovnice ležet v levé komplexní polorovin . Má-li charakteristická rovnice ko eny s kladnými reálnými ástmi, je rovnovážný stav systému (singulární bod) nestabilní. Má-li n který ko en nulovou reálnou ást, není možné podle lineárního p iblížení stanovit, zda p vodní nelineární systém má uvažovaný rovnovážný stav stabilní anebo nestabilní. P íklad 6.7: Vyšet ete stabilitu rovnovážných stav nelineárního obvodu podle obr. 6.28. GS s

ešení: Z rovnice soustavy 0,1 y y u dostaneme dosazením pro w = 0 u 0,5e 0,25e 3 e y a z toho plyne rovnice obvodu 0,1 y

80

y

0,5 y

0,25 y 3

u

u

e

u=0,5e+0,25e3

0

y

1 s 0,1s 1

Obr. 6.28

e

w=0

Zavedeme substituci x1 = y ; x2 = y´ a pak je x1 x2 10 x2 5 x1 2,5 x13

x2 a rovnice stavové trajektorie

10 x2 5 x1 2,5 x13 x2

dx2 dx1

Pro singulární body, respektive rovnovážné stavy (RS) platí x2 0 10 x 2

2,5 x13

5 x1

Z t chto rovnic ur íme singulární body 1. 2. – 3.

x1

0

10 x 2

0;

x1

j 2;

2,5 x1 2

x2

0

x2

0

x12

0

Singulární body 2.-3. neodpovídají reálným rovnovážným stav m. V tomto p ípad má proto vyšet ovaný nelineární obvod pouze jediný rovnovážný stav [0, 0]. Jeho stabilitu ur íme linearizací nelineární diferenciální rovnice v tomto bod . Spo ítáme parciální derivace a dosadíme do nich sou adnice singulárního bodu [0, 0] g x2

0; 0

10 x2 5 x1 2,5 x13 x2

0; 0

10 x2 5 x1 2,5 x13 x1

f x1 x2

g x2

f x1 x1

10

0; 0

10

0; 0

5 7,5 x12

0;0

5

0; 0

Tyto derivace dosadíme do rovnice (6.28) y

10 y

5y

0

a dostali jsme zlinearizovanou rovnici daného nelineárního obvodu v singulárním bod [0, 0] – rovnovážném stavu tohoto systému. Máme za úkol vyšet it stabilitu tohoto rovnovážného stavu. Rovnice je lineární, a proto sestavíme charakteristickou rovnici s 2 10 s 5 0 a ur íme její ko eny 9,47 0,53 Ko eny jsou reálné záporné. Rovnovážný stav je stabilní. Bližším rozborem bychom mohli zjistit, že se jedná o rovnovážný stav typu uzel. Protože je to jediný singulární bod systému, jedná se o globáln asymptoticky stabilní rovnovážný stav. (Samoz ejm jsme ko eny nemuseli ani po ítat, protože byla spln na nutná a pro rovnici druhého stupn posta ující podmínka kladnosti koeficient .) s1, 2

5 2 5

P íklad 6.8: Vyšet ete stabilitu nelineárního obvodu z p íkladu 6.5, jehož rovnice je y

0,1

10 y 3

2

y

y

y2

0

ešení: V p íkladu 6.5 byla sestavena soustava rovnic prvního ádu

81

x1

x2 10 2 0,1 x2 x2 3

x2

1 x2

2 1

x1

x

0,5

a z ní byly ur eny singulární body nelineárního systému a to [0, 0] a [-1, 0]. Spo ítejme ješt rovnici stavové trajektorie 10 2 0,1 x2 x2 x1 x12 dx2 3 dx1 x2

nestabilní ohnisko x1

sedlo 0

-0,5

-1

0,5

-0,5 Obr.6.29

a m žeme provád t linearizaci. Za n me singulárním bodem [0, 0]. P íslušné derivace jsou 10 3 x2 0,1x2 x1 3 g x2 f x1 x2 x2 0; 0

Obr. 6.29 2 1

x

10 x22 0,1

0,1

0; 0

0; 0

g x2

10 3 x2 0,1x2 3 x1

f x1 x1

0; 0

x1

x12 1 2 x1

1

0; 0

0; 0

Zlinearizovaná rovnice nelineárního systému v singulárním bod [0, 0] dosazením do (6.28) je y

0,1 y

y

[ char. rovn.: s 2 0,1s 1 0 ]

0

Charakteristická rovnice má záporný koeficient, a proto nejsou všechny ko eny v levé komplexní polorovin . A proto je p íslušný singulární bod – rovnovážný stav – nestabilní. Tytéž derivace jak v p edchozím spo ítáme pro singulární bod [-1, 0] g x2

10 3 x2 3

f x1 x2

0,1x 2

x12

x1

10 x 22

x2

1; 0

0,1

1; 0

0,1

1; 0

g x2

f x1 x1

1; 0

10 3 x2 0,1x2 3 x1

x12

x1

1 2 x1

1; 0

1

1; 0

Zlinearizovaná rovnice nelineárního systému v singulárním bod [-1, 0] dosazením do (6.28) je y

0,1 y

y

0

[ char. rovn.: s 2 0,1s 1 0 ]

Charakteristická rovnice má záporné koeficienty, a proto nejsou všechny ko eny v levé komplexní polorovin . A proto je p íslušný singulární bod – rovnovážný stav – nestabilní. Podrobn jším rozborem bychom zjistili, že singulární bod [0, 0] odpovídá nestabilnímu ohnisku a singulární bod [-1, 0] odpovídá sedlu (to je nestabilní vždy). A p i ješt podrobn jším rozboru bychom mohli vyšet it pr b hy stavových trajektorií v celé stavové rovin , kde oba

82

singulární body mají dominantní postavení. Na obr. 6.29 je stavový obraz skute ného nelineárního systému, abychom s ním mohli naše výsledky konfrontovat. b) Ljapunovova metoda Tato metoda umož uje posuzovat stabilitu i asymptotickou stabilitu v malém i ve velkém (lokální nebo globální) u obecného nelineárního systému a asto se za íná používat i pro vyšet ování stability lineárních systém . Princip metody je ve vyhledání Ljapunovy funkce k danému systému. Jestliže ji pro daný systém nalezneme, je tento stabilní anebo nestabilní. Pokud ji ale nenalezneme, neznamená to, že je systém nestabilní – pouze jsme neusp li s vyšet ováním stability. Vyhledání Ljapunovy funkce je komplikovaná záležitost a zde ji obejdeme používáním ztabelovaných funkcí. Nejd íve si uvedeme základní pot ebné pojmy o definitnosti funkcí. íkáme, že funkce f(x) je pozitivn definitní v intervalu a f(x) a , když v tomto intervalu platí f(x) 0 . Obdobn je v tomto intervalu negativn definitní, když v n m platí f(x) 0. P itom v po átku m že funkce nabývat i nulové hodnoty. Jestliže jsou funk ní hodnoty f(x) v tomto intervalu n kdy kladné a jindy záporné, je funkce f(x) indefinitní (nedefinitní) v daném intervalu. pozitivn definitní f(x)

negativn definitní f(x) x

pozitivn semidefinitní f(x)

negativn semidefinitní f(x) x

indefinitní f(x) x

x x f(x) 0 (mimo po

átek)

f(x) 0 (mimo po

átek)

f(x) 0

f(x) 0

Obr. 6.30

Pokud by pro funkci f(x) platilo v daném intervalu f(x) 0 anebo f(x) 0, bude daná funkce pozitivn semidefinitní anebo negativn semidefinitní. Schématicky je to znázorn no na obr. 6.30 pro interval (- , + ). Rozši me tyto pojmy na funkce více prom nných. Funkci f(x1, x2,……,xn) nazýváme pozitivn definitní, jestliže má nulovou hodnotu pouze v po átku a mimo po átek nabývá pouze kladných hodnot. Funkci f(x1, x2,……,xn) nazýváme negativn definitní, jestliže má nulovou hodnotu pouze v po átku a mimo po átek nabývá pouze záporných hodnot. Funkci f(x1, x2,……,xn) nazýváme pozitivn (negativn ) semidefinitní, jestliže nabývá pouze kladných (záporných) hodnot anebo nulovou hodnotu. Definitnost funkce f(x1, x2,……,xn) m že být bu v ur ité oblasti kolem po átku anebo m že platit v celém prostoru. Pokud uvedeme pouze, že funkce f(x1, x2,……,xn) je tak nebo onak definitní, p edpokládáme definitnost v celém prostoru (globální). P íklad 6.9: Ur ete definitnost t chto funkcí

83

x12 2 x24

a)

f x1 , x2

b)

f x1 , x2

x1

c)

f x1 , x2

x1 x2

x2

2

d)

f x1 , x2

x12 x22 1

e)

f x1 , x2

x12

f)

f x1 , x2

x12 3 x22

x24

ešení: a) pozitivn definitní b) pozitivn semidefinitní, nebo když je x1 = -x2 je f(x1, x2) = 0, tedy i mimo po átek c) indefinitní d) negativn semidefinitní, nebo když je x1 = 0 je f(x1, x2) = 0 pro jakékoliv x2 e) pozitivn semidefinitní, nebo když je x1 = 0 je f(x1, x2) = 0 pro jakékoliv x2 f) na první pohled nelze rozhodnout; snad ešením nerovností. Nyní k vlastní Ljapunovov metod . Metoda je naprosto obecná, pro systémy jakéhokoliv ádu. Budeme tedy p edpokládat obecný nelineární systém n – tého ádu popsaný soustavou rovnic prvního ádu x1 f1 x1 , x2 , ... , xn x2

f 2 x1 , x2 , ... , xn

(6.29)

................ xn

f n x1 , x2 , ... , xn

Pokud by byl popsán jednou nelineární rovnicí vyššího ádu, je nutné jej substitucí (6.2)

x1 x2

y y

xn

y

n 1

p evést na tuto soustavu rovnic prvního ádu (6.29). Dále p edpokládejme, že tento nelineární systém má singulární bod (rovnovážný stav) v po átku sou adnicového systému, tzn. že pro x1 = x2 =…= xn = 0 je ešením bod [0, 0, … 0]. Kdyby obvod nem l singulární bod v po átku (to je obecn pouze vlastností lineárních obvod ), je možné použít vhodné transformace a do po átku ho posunout. V dalším budeme zkoumat stabilitu tohoto rovnovážného stavu. Ljapunovova metoda p edpokládá nalezení vhodné spojité funkce (tzv. Ljapunovovy funkce) V( x 1 , x 2 , ... , x n )

(6.30) prom nných x1, x2, …, xn, které jsou zárove prom nnými daného systému (6.29). Tato funkce musí být pozitivn definitní a mít spojité první parciální derivace. Podle definitnosti funkce V a její derivace dV/dt podle asu lze pak posuzovat stabilitu rovnovážného stavu systému (rovnovážný stav odpovídá podle p edpokladu singulárnímu bodu v po átku). Derivaci funkce V ( x1 , x2 , ... , xn ) podle asu získáme jako derivaci složené funkce V p i emž za derivace

84

dxi dt

dV dt

V dx1 x1 dt

V dx2 ... x2 dt

V dxn xn dt

xi dosadíme pravé strany z rovnic systému (6.29).

(6.31)

dV dt

V

V f1 x1

V f2 ... x2

V fn xn

(6.32)

V TY: Asymptotická stabilita: Existuje-li Ljapunovova funkce V taková, že její derivace podle asu V je negativn definitní, je rovnovážný stav asymptoticky stabilní. Stabilita: Existuje-li Ljapunovova funkce V taková, že její derivace podle asu V je negativn semidefinitní, je rovnovážný stav asymptoticky stabilní. Nestabilita: Existuje-li Ljapunovova funkce V taková, že její derivace podle asu V je pozitivn definitní nebo semidefinitní, je rovnovážný stav asymptoticky stabilní. Symbolicky zapsáno: V

0:

V

0

RS asymptoticky stabilní

V V

0 0

RS stabilní RS nestabilní

Ljapunovovy v ty o stabilit dávají pouze posta ující podmínky, nikoliv nutné a posta ující. Jestliže pro n jakou funkci V je její derivace V indefinitní funkce, pak to neznamená, že obvod je nestabilní. Lze jen konstatovat, že pokus o ur ení stability se nezda il a že je nutné volit jinou funkci V. Uvedené v ty o stabilit jsou bu spln ny v ur ité oblasti kolem po átku a pak je rovnovážný stav lokáln stabilní, asymptoticky stabilní i nestabilní v dané oblasti. Nebo platí podmínky p edcházejících v t v celém prostoru a rovnovážný stav je globáln stabilní, asymptoticky stabilní i nestabilní. Dané v ty dávají posta ující podmínky stability, ale neukazují cestu k nalezení funkce V. Neexistuje pro nelineární systémy obecný zp sob, jak funkci V nalézt. Jde o to, abychom ur ili V tak, aby ona sama i její derivace dV/dt byly definitní funkce. .

rovnice systému

omezení

1 ay +by +cy=0 r

q

funkce V

-

2 ay +by (y ) +cy=0

r sudé

q liché

3 ay +byr(y )q +cyt=0

r sudé

q,t liché

4 ay +b(myr+nys)(y )q +cyt=0

r,s sudé

q,t liché

5 ay +b(myr+nys)[e(y )q +f(y )k]+cyt=0

r,s sudé

k,q,t liché

Tab. 6.1

V

V

2

c 2 x1 a c 1 t x1 at 1

x22

1

x22

Tabulka Ljapunovových funkcí pro obvody 2. ádu

Obecn pro nelineární systémy existuje více matematických metod, které umož ují generování Ljapunovovy funkce vždy pro ur itou skupinu systém . Všechny jsou však složité a teoretické náro né. Proto zde uvádíme v tab. 6.1 ztabelované Ljapunovy funkce V pro nejobecn jší skupinu regula ních obvod 2. ádu. V podstat by sta ilo uvést rovnici .5, nebo systémy .1-4 jsou zjednodušením tohoto systému. Uvedením všech p ti funkci je práce s tabulkou p ehledn jší.

85

P íklad 6.10: Pro daný konkrétní nelineární systém 2. ádu zvolíme pozitivn definitní Ljapunovu funkci ve tvaru V x1 , x2 x12 x22 a její asové derivace V x1 , x2 nám po dosazení pravých stran rovnice systému vyjdou ve tvaru a) V x1 , x2

x12

b) V x1 , x 2

x1

x22

c) V x1 , x2

x12 x22 1

d) V x1 , x2

x12 x22 1

x2

Rozhodn te o stabilit rovnovážného stavu, kterým je po átek sou adnic. ešení: a) asymptoticky stabilní (V je negativn definitní) b) podle zvolené Ljapunovy funkce V nelze rozhodnout o stabilit (V je indefinitní) c) stabilní (V je negativn semidefinitní) d) nestabilní (V je pozitivn semidefinitní). Tyto vlastnosti rovnovážných stav jsou globální. P íklad 6.11: Rozhodn te o stabilit nelineárního regula ního obvodu popsaného rovnicí y

1 y2 y

y

0

ešení: Známou substitucí (6.2) p evedeme rovnici na soustavu rovnic prvního ádu x1 x2 x2

1 x12 x2

x1

Soustava má evidentn jeden singulární bod – jeden rovnovážný stav, a tím je po átek sou adnic [0, 0]. Podle tab. 6.1 zvolíme Ljapunovu funkci . 4 (a=b=c=m=n=q=t=1; r=0; s=2) V x1 , x2

x12

x22

a spo ítáme její derivaci podle asu s dosazením pravých stran systému V f1 dx1

V x1 , x2

V f2 dx2

2 x1 x2

2 x2

1 x12 x2

2 1 x12 x22

x1

Funkce V je negativn semidefinitní (protože pro x2 = 0 je pro libovolné x1 rovna nule) a rovnovážný stav je globáln stabilní (nikoliv asymptoticky stabilní). P íklad 6.12: Ur ete stabilitu nelineárního obvodu podle obr. 6.31. ešení: Rovnice lineární ásti obvodu je y

y

GS s

m

3

Dosadíme m = e ; e = -y (w = 0) a získáme rovnici obvodu y y y3 0

u 1 m s

y

1 s 1

m=e3

u

e e

w=0

Používanou substitucí p evedeme rovnici na soustavu x1 x2

Obr. 6.31

x2 x2

x13

Rovnovážný stav je evidentn po átek sou adnic. Podle tab. 6.1 zvolíme Ljapunovu funkci . 3 (a=b=c=q=1; r=0; t=3)

86

V x1 , x2

x14 2

x22

a spo ítáme její derivaci podle asu s dosazením pravých stran systému V V f1 f 2 2 x13 x2 2 x2 x2 x13 2 x22 dx1 dx2 Funkce V je negativn semidefinitní (protože pro x2 = 0 je pro libovolné x1 rovna nule) a rovnovážný stav je globáln stabilní (nikoliv asymptoticky stabilní). V x1 , x2

c) Popovovo kritérium V roce 1959 uve ejnil rumunský v dec A. M. Popov nové kritérium stability nelineárních systém , které je velmi výhodné pro praxi, protože k vyšet ení y stability se používá b žných frekven ních charakteristik Gs lineární ásti obvodu. Kritérium je dnes rozpracováno pro systémy se spojitými i diskrétními systémy, pro systémy u k s v tším po tem nelinearit a pro další systémy. My se u w=0 e e seznámíme s nejjednodušší verzí tohoto kritéria pro obvody s jednou nelinearitou a s lineární ástí, kde lze do jednoho p enosu zahrnout všechny lineární leny. Na tento typ lze Obr. 6.32 p evést velkou ást nelineárních systém . Podle obr. 6.32 uvažujme autonomní systém s lineární ástí danou p enosem G(s) a nelineární ástí, popsanou statickou charakteristikou, která leží v 1. a 3. kvadrantu a prochází po átkem. u p ímka: Podle obr. 6.33 najdeme p ímku procházející rovnice u=ke po átkem o rovnici u = k.e , kde k je sm rnice této sm rnice: k p ímky tak, aby celá statická charakteristika ležela pod e touto p ímkou. Jinak statická charakteristika m že být zcela obecná k ivka, která leží ve vyšrafovaném sektoru. statická charakteristika To je velká výhoda Popovova kritéria – statická charakteristika m že být obecná k ivka. V dalším budeme p edpokládat, že statická charakteristika nelineárního prvku je daná hodnotou k, což je sm rnice uvedené Obr. 6.33 p ímky a touto hodnotou je zadán nelineární len. Popovovo kritérium: Nelineární systém s lineární ástí danou p enosem G(s) a jednozna nou nelinearitou, ležící pod p ímkou o sm rnici k je globáln asymptoticky stabilní, existuje-li libovolné reálné íslo q pro n ž je pro všechna 0 spln na nerovnost Re 1

j qG j

1 k

0

(6.33)

Toto je analytická verze Popovova kritéria. V tšinou se však p evádí do grafické verze a stabilita eší graficky. Odvození p evodu je možno nalézt v [23]. Popovovo kritérium – grafická verze: Nelineární systém, respektive nelineární regula ní obvod je globáln asymptoticky stabilní, m žeme-li vést bodem [-1/k, 0] libovolnou p ímku, aby celá modifikovaná frekven ní charakteristika G*(j ) lineární ásti ležela vpravo od této p ímky – viz obr. 6.34.

87

Im

asymptoticky stabilní

Re

Re 1 k

Modifikovaná frekven ní charakteristika G*(j ) lineární ásti se sestrojuje stejn jako normální frekven ní charakteristika v komplexní rovin , jenom imaginární ást je pro každý bod vynásobena p íslušnou odpovídající hodnotou .

Im nestabilní

1 k

0

0

P íklad 6.13: Ur ete, zda obvod podle obr. 6.32 s p enosem lineární ásti 1 Gs 2 s 2 s 1 s 1 0,5s 1

G*(j )

G*(j ) Obr. 6.34

je stabilní, když statická charakteristika nelineárního lenu leží v 1. a 3. kvadrantu všude pod p ímkou o sm rnici k = 0,5. ešení: V komplexní rovin sestrojíme modifikovanou frekven ní charakteristiku lineární ásti podle daného p enosu G(s) – obr. 6.35. Charakteristiku G*(j ) sestrojujeme tak, Im že všechny imaginární ásti násobíme G*(j ) 0,2 p íslušnou hodnotou . V tabulce 0,6 0,1 0,5 k hodnotám po ítáme hodnoty Re a -2 Re .Im. Jak je z obrázku vid t, bodem 0,4 1 1 0 -1 2 m žeme vést p ímku, 0,3 k 0,5 Obr. 6.35 aby G*(j ) ležela pro všechna vpravo od této p ímky. Obvod je proto globáln asymptoticky stabilní. P íklad 6.14: Stanovte, pro jaký sklon k p ímky ohrani ující nelineární reléovou charakteristiku podle obr. 6.32 je regula ní obvod stabilní. P enos lineární ásti je Gs

1 0,5 s 1 0,2 s 1 0,1s 1

ešení: Normální frekven ní p enos G(j ) rozd líme na reálnou a imaginární složku. Modifikovaný frekven ní p enos G*(j ) pak má imaginární složku - krát v tší G* j

1 0,25

2

1 0,17 1 0,04

2 2

1 0,01

2

j

2

0,8 0,01 2 1 0,25 1 0,04

Jestliže je imaginární ást G*(j ) rovna nule, protíná frekven ní charakteristika reálnou osu, a to je p i 0,8 – 0,01 2 = 0 2 = 80 ( = 8,95). Dosadíme-li tuto frekvenci do reálné ásti G*(j ), dostaneme úsek na reálné ose, ve kterém frekven ní charakteristika protíná reálnou osu a tento úsek je 0,08. Aby podle obr. 6.36 byl obvod asymptoticky stabilní, musí platit 1 k

88

0,08

2 2

1 0,01 G*(j )

=8,95

2

Im Re

Re=-0,08

k 12,5 Obr. 6.36

LITERATURA [1] Bartsch, H.J.: Matematické vzorce. SNTL, Praha, 1983 2

Dorf, R.C.- Bishop, H.R.: Modern Control Systems. Addison-Wesley Publishing Company, New York, 1995

3

Forsythe, W.- Goodall, R.M.: Digital Control . Fundamentals, Theory and Practice. MacMillan Education Ltd. London, 1991

4

Hoffmann, Z.- Mykiska, A.- Kára, J.: Základy automatického ízení. P íklady, úlohy. skriptum VUT, Praha, 1993

5

Hofreiter, M. a kolektiv: P íklady a úlohy z automatického ízení. Skriptum VUT, Praha, 1999

6

Isermann, R.: Digital Control Systems. Volume 1. Springer-Verlag, Berlin, 1989

7

Kubík, S.- Kotek,Z.- Strejc,V.- Štecha, J.: Teorie automatického ízení I. SNTL, Praha, 1982

8

Levine, W.S.: The Control Handbook. CRC Press, Inc. Boca Raton, Florida, 1996

9

Raven, H.R.: Automatic Control Engineering. McGraw-Hill, Inc. New York, 1995

10 Rektorys, K. a spolupracovníci: P ehled užité matematiky. SNTL, Praha, 1981 11 Škrášek, J.- Tichý,Z.: Základy aplikované matematiky I-III. SNTL, Praha, 1983 12 Švarc, I.: Automatizace - Automatického ízení , CERM - Brno, 2002 13 Švarc, I.: Teorie automatického ízení I. Skriptum VUT, Brno, 1989 14 Švarc, I.: Teorie automatického ízení II. Skriptum VUT, Brno, 1993 15 Švarc, I.: Teorie automatického ízení . Sbírka p íklad . Skriptum VUT, Brno, 1993 16 Švarc, I.: Základy automatizace a regulace. Sbírka p íklad . Skriptum VUT, Brno, 1989 17 Švarc, I.- Lacko, B.- N mec, Z.: Automatizace. Skriptum VUT, Brno, 1995 18 Vav ín, P.: Teorie automatického ízení I. Skriptum VUT, Brno, 1988 19 Víte ek, A.: Matematické metody automatického ízení. Transformace L a Z. Skriptum VŠB, Ostrava, 1988 20 Zítek, P.- Hofreiter, M.- Hlava, J.: Automatické ízení. Skriptum VUT, Praha, 2000 21 Zítek, P.- Víte ek, A.: Doporu ované zna ky, zkratky a názvy z oblasti automatického ízení. Interní publikace. VŠB, Ostrava, 1995

89